CN101875139B - 分阶式变压力角渐开线齿轮的数控磨削加工方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种分阶式变压力角渐开线齿轮的数控磨削加工方法，其特征是在利用砂轮的径向、切向联动变位原理，给出了基于六轴五联动数控系统采用阿基米德蜗杆砂轮磨削分阶式变压力角渐开线齿轮的联动控制模型和直接用于机床的实际设计加工的实时插补脉冲量计算方法。本发明填补了六轴五联动数控磨削加工分阶式变压力角渐开线齿轮技术的空白，可以为分阶式变压力角渐开线齿轮的高精加工提供技术依据。

Description

分阶式变压力角渐开线齿轮的数控磨削加工方法

技术领域

本发明涉及一种分阶式变压力角渐开线齿轮的数控磨削加工方法。

背景技术

分阶式变压力角渐开线齿轮具有传动噪音低、传动效率高和使用寿命长等优点，特别适用于高速、重载、高精度、高刚度的场合，如汽车、航空器用等齿轮的制造。已有的分阶式变压力角渐开线齿轮的加工方法一般有普通磨齿机仿形法磨削加工和数控磨齿机单齿圈仿形砂轮加工两种。普通非数控磨齿机床由于柔性低，造成生产效率低下，加工成本高昂，使用范围受到较大限制；目前生产中分阶式变压力角渐开线齿轮的数控磨齿加工一般采用较多的是单齿圈仿形砂轮加工，即先加工出和要求加工的齿形相同的砂轮刀具，再仿形加工。然而，由于普通砂轮易磨损，需频繁修整以保持原齿形，使用这种方法时，会导致加工连续性差，加工效率低下，且由于分度误差和砂轮齿形曲线修整误差的存在，齿轮的加工精度亦无法得到保证。

发明内容

本发明是为避免上述现有技术所存在的不足，提供了一种分阶式变压力角渐开线齿轮的数控磨削加工方法，以期提高分阶式变压力角渐开线齿轮的加工效率和加工精度，并利用数控磨齿机的柔性，降低加工成本，扩大机床的加工范围。

本发明为解决技术问题采用如下技术方案：

本发明分阶式变压力角渐开线齿轮的数控磨削加工方法，所述分阶式变压力角渐开线齿轮的齿形具有分阶式双渐开线结构，整个齿廓是以分度圆为分界，分度圆以内部分是分度圆压力角为α₁的标准渐开线I₁，分度圆以外部分是分度圆压力角为α₂的分阶渐开线I₂，α₁＝20°，α₂＞20°，r为分度圆半径；

所述标准渐开线I₁的参数方程：

所述分阶渐开线I₂的参数方程为：

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\left(2\right)}\\ y^{\left(2\right)}\end{array}\right)=\left[\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\β}& \sin \mathrm{\β}\\ -\sin \mathrm{\β}& \cos \mathrm{\β}\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{x}^{\left(3\right)}\\ y^{\left(3\right)}\end{array}\right)---\left(1b\right)$

式1b中： $\left\{\begin{array}{c}{x}^{\left(3\right)}=\frac{1}{2}\mathrm{mz}\cos {\mathrm{\α}}_2({\sin t}_2-t_2{\cos t}_2)\\ y^{\left(3\right)}=\frac{1}{2}\mathrm{mz}\cos {\mathrm{\α}}_2({\cos t}_2+t_2{\sin t}_2)\end{array}\right.$

上式中：参变量

α_i：渐开线瞬时压力角；

渐开线展成角；m：齿轮模数；z：齿轮齿数；

设定在所述分阶式变压力角渐开线齿轮的加工坐标系中，分别具有X轴、Y轴和Z轴三个直线自由度，以及B轴和C轴两个转动自由度，所述B轴和C轴两个转动自由度分别是以Y轴和Z轴为回转中心；

本发明方法的特点是：以阿基米德蜗杆砂轮为磨削刀具，所述磨削刀具的切向和径向联动变位运动分别在X轴、Y轴上实现；所述磨削刀具的轴向进给运动在Z轴上实现；所述磨削刀具的转动在B轴上实现；工件的转动在C轴上实现；

以齿廓为标准渐开线I₁的齿轮为被加工毛坏，按以下过程完成处在分度圆以外部分的、具有分阶渐开线I₂的齿廓的加工；

第一步：在分度圆以外部分，计算分阶渐开线I₂各离散点B_i与对应位置处的标准渐开线I₁上各离散点A_i之间的间距λ_i：

通过对式(1a)中的变量t₁离散化，得到毛坯处在分度圆以外部分的标准渐开线I₁的各离散点A_i(x_i1，y_i1)坐标；通过牛顿迭代法计算出与各离散点A_i对应的构成分阶渐开线I₂的各离散点B_i(x_i2，y_i2)的坐标，则有：

${\mathrm{\λ}}_i=\sqrt{{(x_{i1}-x_{i2})}^2+{(y_{i1}-y_{i2})}^2}$ (i＝1，2，3...)               (2)

第二步：计算加工分阶渐开线I₂的各离散点时，砂轮在X轴、Y轴上和齿轮毛坯在C轴上所作的联动变位量φ_gi、X_i、Y_i：

当砂轮与毛坯在离散点A_i处啮合时，砂轮刃面直线l_i2的斜率为k_i1，离散点A_i处的法线l_i1与分阶渐开线I₂相交于离散点B_i(x_i2，y_i2)，过离散点B_i处的分阶渐开线I₂的切线为l_i3、斜率为k_i2；

设定加工时蜗杆砂轮向右的水平移动为Y轴正方向，毛坯的逆时针转动为正，将毛坯绕C轴正向转过φ_gi角，使l_i3旋转到与l_i2平行位置，所述φ_gi为l_i2与l_i3之间的夹角

${\mathrm{\φ}}_{\mathrm{gi}}=\arctan \left(\frac{k_{i2}-k_{i1}}{1+k_{i1}{k}_{i2}}\right)---\left(3\right)$

在旋转过程中，砂轮沿Y轴同步作切向正位移，位移量为Y_i1，

Y_i1＝rφ_gi                          (4)

在切向正位移Y_i1过程中，砂轮沿X轴同步作径向正位移，位移量为X_i1，

X_i1＝rφ_gi cosαsinα               (5)

旋转到位后，将砂轮沿Y轴位移作切向负位移，位移量为Y_i2，

Y_i2＝-λ_i/cosα                     (6)

在切向正位移Y_i2过程中，砂轮沿X轴同步作径向正位移，位移量为X_i2，

X_i2＝λ_isinα                       (7)

砂轮沿X轴同步作径向正位移，位移量为X_i3，

X_i3＝rθ_scosαsinα                 (8)

其中： ${\mathrm{\θ}}_s=(2{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}}-2)\frac{2\mathrm{\π}}{z}$

重合度 ${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}}=\left[z(\tan {\mathrm{\α}}_{\mathrm{\α}1}-\tan {\mathrm{\α}}^{\′})\right]/2\mathrm{\π}+h_a^{*}/\mathrm{\π}\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α}$

α′和α_α1分别为齿轮齿条的啮合角和齿轮的齿顶圆压力角

为齿顶高系数；

最后，将砂轮沿Y轴位移作切向负位移，位移量为Y_i3，

Y_i3＝-(X_i1+X_i2+X_i3)tanα            (9)

综上，由(5)(7)(8)式得到要加工所述分阶渐开线I₂上的一个离散点，蜗杆砂轮所需要作的径向变位总量：

$X_i=X_{i1}+X_{i2}+X_{i3}$

$=r{\mathrm{\θ}}_s\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\α}+\frac{1}{2}(r{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{gi}}+\frac{{\mathrm{\λ}}_i}{\cos \mathrm{\α}})\sin \left(2\mathrm{\α}\right)---\left(10\right)$

由(4)(6)(9)式得到要加工所述分阶渐开线I₂上的一个离散点，蜗杆砂轮所需要作的切向变位总量：

$Y_i=Y_{i1}+Y_{i2}+Y_{i3}$

$=r{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{gi}}-\frac{{\mathrm{\λ}}_i}{\cos \mathrm{\α\α}}-X_i\tan \mathrm{\α}---\left(11\right)$

第三步：确定分阶式变压力角渐开线齿轮加工时的数控插补周期ΔT和所述插补周期中X轴、Y轴、Z轴、B轴、C轴的插补增量ΔX、ΔY、ΔZ、ΔB、ΔC：

(1)确定插补周期ΔT

设所述分阶渐开线I₂上两相邻离散点间的加工过程为一个时间间隔ΔT_i，齿轮的固有角速度为ω，求加工相邻离散点的时间间隔的公式为：

ΔT_i＝φ_i/ω                             (12)

其中：

α_i＝arctant_i

按以下步骤来求取所述数控插补周期ΔT：

a、通过均匀离散渐开线方程的变量t，求得离散点之间齿形的n个对应加工时间

间隔ΔT_n，设定特殊齿廓实际加工时的用到的离散点个数为m，m＜n，n＝1，2，3…；

ti

t1

t2

t3

t4

...

tn

ΔTi

ΔT1

ΔT2

ΔT3

ΔT4

...

ΔTn

b、在得到的n个时间间隔ΔT_n中选取最小的时间间隔作为设定的插补周期ΔT；

c、利用设定的插补周期ΔT与前边得到的n个时间ΔT_i做线性插值运算，插值得到m个离散变量t′_i的值；

令：

ti

t1

t′1

t2

t′2

t3

t′3

t4

...

t′m

ΔTi

ΔT1

ΔT

ΔT2

ΔT

ΔT3

ΔT

ΔT4

...

ΔT

$\frac{t_i^{\′}-t_i}{t_{i+1}-t_i}=\frac{\mathrm{\ΔT}-\mathrm{\Δ}{T}_i}{\mathrm{\Δ}{T}_{i+1}-\mathrm{\Δ}{T}_i}$ 则有：t′_i＝(t_i+1-t_i)+t_i

d、将插值求得的m个离散变量值t′_i回代入渐开线方程(1a)，重新得到适合数控加工的毛坯处在分度圆以外部分的标准渐开线I₁的离散点位置坐标(x_m，y_m)；

t

t′1

t′2

t′3

t′4

t′5

...

t′m

(x，y)

(x1，y1)

(x2，y2)

(x3，y3)

(x4，y4)

(x5，y5)

...

(xm，ym)

e、利用联动变位控制方程求出各加工所述分阶渐开线I₂上的m个离散点时X轴、Y轴、Z轴、B轴、C轴所产生的联动控制量X_m、Y_m、φ_gm；

(2)各联动轴插补增量的求取

以所述分阶渐开线I₂与齿轮分度圆的交点为加工起点，加工起点处的联动控制量λ₀＝0，X₀＝0，Y₀＝0，φ_go＝0；

将插补周期ΔT和加工所述分阶渐开线I₂上的m个离散点时所产生的联动控制量X_m、Y_m、φ_gm代入下式进行迭代计算，求出X轴、Y轴、Z轴、B轴、C轴的插补增量ΔX_m、ΔY_m、ΔZ_m、ΔB_m、ΔC_m：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{X}_m=X_m-X_{m-1}\\ \mathrm{\Δ}{Y}_m=Y_m-Y_{m-1}\\ \mathrm{\Δ}{Z}_m=\mathrm{v\ΔT}\\ \mathrm{\Δ}{B}_m={\mathrm{\ω}}_1\mathrm{\ΔT}\\ \mathrm{\Δ}{C}_m=\mathrm{\ω\ΔT}+{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{gm}}\end{array}\right.$

其中：v为砂轮轴向进给速度；

ω为齿轮正常啮合时的固有角速度；

ω₁为砂轮正常啮合时的固有角速度；

X_m，Y_m分别由(10)、(11)式确定。

与已有技术相比，本发明有益效果体现在：

本发明由于使用了常用的阿基米德蜗杆砂轮作为刀具，可以实现齿形的连续磨削，由于砂轮轴面齿廓是直线，只需用普通的金刚刀具来修整，且修整运动简单，这可以减小由砂轮修整产生的误差，有效提高分阶式变压力角渐开线齿轮的加工效率和加工精度；由于设计了专用的数控算法，就可以充分的利用数控磨齿机的柔性，降低加工成本，扩大机床的加工范围。

附图说明

图1为本发明分阶式变压力角渐开线齿轮齿廓示意图。

图2为本发明方法示意图。

图3为本发明中齿形加工原理示意图。

图4为本发明具体实施中仿真示意图。

图中标号：1分阶式变压力角渐开线齿轮，2直齿蜗杆砂轮。

具体实施方式

本实施例是针对分阶式变压力角渐开线齿轮，其齿形具有分阶式双渐开线结构，整个齿廓是以分度圆为分界，分度圆以内部分是分度圆压力角为α₁的标准渐开线I₁，分度圆以外部分是分度圆压力角为α₂的分阶渐开线I₂，α₁＝20°，α₂＞20°，r为分度圆半径，分阶式变压力角渐开线齿轮齿形如图1所示；

标准渐开线I₁的参数方程：

分阶渐开线I₂的参数方程为：

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\left(2\right)}\\ y^{\left(2\right)}\end{array}\right)=\left[\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\β}& \sin \mathrm{\β}\\ -\sin \mathrm{\β}& \cos \mathrm{\β}\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{x}^{\left(3\right)}\\ y^{\left(3\right)}\end{array}\right)---\left(1b\right)$

式1b中： $\left\{\begin{array}{c}{x}^{\left(3\right)}=\frac{1}{2}\mathrm{mz}\cos {\mathrm{\α}}_2({\sin t}_2-t_2{\cos t}_2)\\ y^{\left(3\right)}=\frac{1}{2}\mathrm{mz}\cos {\mathrm{\α}}_2({\cos t}_2+t_2{\sin t}_2)\end{array}\right.$

上式中：参变量α_i：渐开线瞬时压力角；

渐开线展成角；m：齿轮模数；z：齿轮齿数。

设定在分阶式变压力角渐开线齿轮的加工坐标系中，分别具有X轴、Y轴和Z轴三个直线自由度，以及B轴和C轴两个转动自由度，B轴和C轴两个转动自由度分别以Y轴和Z轴为回转中心；

本实施例是以阿基米德蜗杆砂轮为磨削刀具，磨削刀具的切向和径向联动变位运动分别在X轴、Y轴上实现；磨削刀具的轴向进给运动在Z轴上实现；磨削刀具的的转动在B轴上实现；工件的转动在C轴上实现；如图2所示。

以齿廓为标准渐开线I₁的齿轮为被加工毛坏，按以下过程完成处在分度圆以外部分的、具有分阶渐开线I₂的齿廓的加工；

第一步：为加工出分阶式变压力角渐开线齿轮齿廓，在分度圆以外部分，需计算分阶渐开线I₂的各离散点B_i与对应位置处的标准渐开线I₁上各离散点A_i之间的间距λ_i：

通过对式(1a)中的变量t₁离散化，得到毛坯处在分度圆以外部分的标准渐开线I₁的各离散点A_i(x_i1，y_i1)坐标；通过牛顿迭代法计算出与各离散点A_i对应的构成分阶渐开线I₂的各离散点B_i(x_i2，y_i2)的坐标，有：

${\mathrm{\λ}}_i=\sqrt{{(x_{i1}-x_{i2})}^2+{(y_{i1}-y_{i2})}^2}$ (i＝1，2，3...)         (2)

第二步：计算加工分阶渐开线I₂的各离散点时，砂轮在X轴、Y轴上和齿轮毛坯在C轴上所作的联动变位量φ_gi、X_i、Y_i：

当砂轮与毛坯在离散点A_i处啮合时，砂轮刃面直线l_i2的斜率为k_i1，离散点A_i处的法线l_i1与分阶渐开线I₂相交于离散点B_i(x_i2，y_i2)，过离散点B_i处的分阶渐开线I₂的切线为l_i3、斜率为k_i2；

设定加工时砂轮向右的水平移动为Y轴正方向，毛坯的逆时针转动为正，将毛坯绕C轴正向转过φ_gi角，使l_i3旋转到与l_i2平行位置，如图3所示，φ_gi为l_i2与l_i3之间的夹角

${\mathrm{\φ}}_{\mathrm{gi}}=\arctan \left(\frac{k_{i2}-k_{i1}}{1+k_{i1}{k}_{i2}}\right)---\left(3\right)$

在旋转过程中，为配合工件的转动，砂轮需沿Y轴同步作切向正位移，位移量为Y_i1，

Y_i1＝rφ_gi                       (4)

为消除砂轮在联动变位时所产生的干涉，在切向正位移Y_i1过程中，须将砂轮沿X轴同步作径向正位移，位移量为X_i1，其大小由齿轮加工的正交联动变位包络原理算出，

X_i1＝rφ_gi cosαsinα            (5)

旋转到位后，将砂轮沿Y轴位移作切向负位移，位移量为Y_i2，

Y_i2＝-λ_i/cosα                  (6)

为消除砂轮在联动变位时所产生的干涉，在切向正位移Y_i2过程中，砂轮沿X轴同步作径向正位移，位移量为X_i2，

X_i2＝λ_isinα                     (7)

为消除双齿啮合区所产生的干涉，砂轮沿X轴同步作径向正位移，位移量为X_i3，

X_i3＝rθ_scosαsinα               (8)

其中： ${\mathrm{\θ}}_s=(2{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}}-2)\frac{2\mathrm{\π}}{z}$

重合度 ${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}}=\left[z(\tan {\mathrm{\α}}_{\mathrm{\α}1}-\tan {\mathrm{\α}}^{\′})\right]/2\mathrm{\π}+h_a^{*}/\mathrm{\π}\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α}$

α′和α_α1分别为齿轮齿条的啮合角和齿轮的齿顶圆压力角

为齿顶高系数。

最后，为补偿由径向变位所产生的砂轮与工件间的间隙，须将砂轮沿Y轴位移作切向负位移，位移量为Y_i3，

Y_i3＝-(X_i1+X_i2+X_i3)tanα          (9)

综上，由(5)(7)(8)式得到要加工分阶渐开线I₂上的一个离散点，蜗杆砂轮所需要作的径向变位总量：

$X_i=X_{i1}+X_{i2}+X_{i3}$

$=r{\mathrm{\θ}}_s\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\α}+\frac{1}{2}(r{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{gi}}+\frac{{\mathrm{\λ}}_i}{\cos \mathrm{\α}})\sin \left(2\mathrm{\α}\right)---\left(10\right)$

由(4)(6)(9)式得到要加工分阶渐开线I₂上的一个离散点，蜗杆砂轮所需要作的切向变位总量：

$Y_i=Y_{i1}+Y_{i2}+Y_{i3}$

$=r{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{gi}}-\frac{{\mathrm{\λ}}_i}{\cos \mathrm{\α\α}}-X_i\tan \mathrm{\α}---\left(11\right)$

第三步：由于加工方法采用数字增量插补中的时间分割插补算法，这里需确定分阶式变压力角渐开线齿轮加工时的数控插补周期ΔT和插补周期中X轴、Y轴、Z轴、B轴、C轴的插补增量ΔX、ΔY、ΔZ、ΔB、ΔC：

(1)、确定插补周期ΔT

设分阶渐开线I₂上两相邻离散点间的加工过程为一个时间间隔ΔT_i，齿轮的固有角速度为ω。求加工相邻离散点的时间间隔的公式为：

ΔT_i＝φ_i/ω                    (12)

其中：

α_i＝arctant_i

按以下步骤来求取数控插补周期ΔT：

a、通过均匀离散渐开线方程的变量t，求得离散点之间齿形的n个对应加工时间间隔ΔT_n，设定特殊齿廓实际加工时的用到的离散点个数为m，m＜n。

表1均匀离散t求时间间隔ΔT_i

ti

t1

t2

t3

t4

...

tn

ΔTi

ΔT1

ΔT2

ΔT3

ΔT4

...

ΔTn

(n＝1，2，3…)

b、在得到的n个时间间隔ΔT_n中选取最小的时间间隔作为设定的插补周期ΔT。

c、利用设定的插补周期ΔT与前边得到的n个时间ΔT_i做线性插值运算，插值得到m个离散变量t′_i的值。

表2插值求离散变量t′_i

令：

ti

t1

t′1

t2

t′2

t3

t′3

t4

...

t′m

ΔTi

ΔT1

ΔT

ΔT2

ΔT

ΔT3

ΔT

ΔT4

...

ΔT

$\frac{t_i^{\′}-t_i}{t_{i+1}-t_i}=\frac{\mathrm{\ΔT}-\mathrm{\Δ}{T}_i}{\mathrm{\Δ}{T}_{i+1}-\mathrm{\Δ}{T}_i}$

则有：

t′_i＝(t_i+1-t_i)+t_i

d、将插值求得的m个离散变量值t′_i回代入渐开线方程(1a)重新得到适合数控加工的毛坯处在分度圆以外部分的标准渐开线I₁的离散点位置坐标(x_m，y_m)。

表3回代t′_i到渐开线方程求离散点坐标

t

t′1

t′2

t′3

t′4

t′5

...

t′m

(x，y)

(x1，y1)

(x2，y2)

(x3，y3)

(x4，y4)

(x5，y5)

...

(xm，ym)

e、利用联动变位控制方程求出各加工分阶渐开线I₂上的m个离散点时X轴、Y轴、Z轴、B轴、C轴所产生的联动控制量X_m、Y_m、φ_gm。

(2)各联动轴插补增量的求取

以分阶渐开线I₂与齿轮分度圆的交点为加工起点，加工起点处的联动控制量λ₀＝0，X₀＝0，Y₀＝0，

将插补周期ΔT和加工分阶渐开线I₂上的m个离散点时所产生的联动控制量X_m、Y_m、φ_gm代入下式进行迭代计算，迭代的初值为：λ₀＝0，X₀＝0，Y₀＝0，φ_go＝0，求出X轴、Y轴、Z轴、B轴、C轴的插补增量ΔX _m、ΔY_m、ΔZ_m、ΔB_m、ΔC_m：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{X}_m=X_m-X_{m-1}\\ \mathrm{\Δ}{Y}_m=Y_m-Y_{m-1}\\ \mathrm{\Δ}{Z}_m=\mathrm{v\ΔT}\\ \mathrm{\Δ}{B}_m={\mathrm{\ω}}_1\mathrm{\ΔT}\\ \mathrm{\Δ}{C}_m=\mathrm{\ω\ΔT}+{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{gm}}\end{array}\right.$

其中：v为砂轮轴向进给速度；ω为齿轮正常啮合时的固有角速度；

ω₁为砂轮正常啮合时的固有角速度；X_m，Y_m分别由(10)、(11)式确定。

至此，就推导出了使用阿基米德蜗杆砂轮加工分阶式变压力角渐开线齿轮的六轴五联动数控插补算法，完成了一种分阶式变压力角渐开线齿轮的数控磨削加工方法的设计。

取齿轮的m＝5，z＝20，h_a ^*＝1、C^*＝0.25，α＝20°，α₂＝25°。利用设计出的分阶式变压力角渐开线齿轮的数控磨削加工方法求出加工时机床五轴在每个插补周期内的插补增量：ΔX_i、ΔY_i、ΔZ_i、ΔB_i，ΔC_i；用普通20°压力角蜗杆砂轮加工分度圆以外渐开线压力角为25°、分度圆以内渐开线压力角为20°的分阶式变压力角渐开线齿轮。计算机仿真加工出的齿形达到了预期效果，如图4所示。

Claims (1)

1.一种分阶式变压力角渐开线齿轮的数控磨削加工方法，所述分阶式变压力角渐开线齿轮的齿形具有分阶式双渐开线结构，整个齿廓是以分度圆为分界，分度圆以内部分是分度圆压力角为α₁的标准渐开线I₁，分度圆以外部分是分度圆压力角为α₂的分阶渐开线I₂，α₁＝20°，α₂＞20°，r为分度圆半径；

所述标准渐开线I₁的参数方程：

所述分阶渐开线I₂的参数方程为：

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\left(2\right)}\\ y^{\left(2\right)}\end{array}\right)=\left[\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\β}& \sin \mathrm{\β}\\ -\sin \mathrm{\β}& \cos \mathrm{\β}\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{x}^{\left(3\right)}\\ y^{\left(3\right)}\end{array}\right)---\left(1b\right)$

式1b中： $\left\{\begin{array}{c}{x}^{\left(3\right)}=\frac{1}{2}\mathrm{mz}\cos {\mathrm{\α}}_2({\sin t}_2-t_2{\cos t}_2)\\ y^{\left(3\right)}=\frac{1}{2}\mathrm{mz}\cos {\mathrm{\α}}_2({\cos t}_2+t_2{\sin t}_2)\end{array}\right.$

上式中：参变量

α_i：渐开线瞬时压力角；

渐开线展成角；m：齿轮模数；z：齿轮齿数；

设定在所述分阶式变压力角渐开线齿轮的加工坐标系中，分别具有X轴、Y轴和Z轴三个直线自由度，以及B轴和C轴两个转动自由度，所述B轴和C轴两个转动自由度分别是以Y轴和Z轴为回转中心；

其特征是：以阿基米德蜗杆砂轮为磨削刀具，所述磨削刀具的切向和径向联动变位运动分别在X轴、Y轴上实现；所述磨削刀具的轴向进给运动在Z轴上实现；所述磨削刀具的转动在B轴上实现；工件的转动在C轴上实现；

以齿廓为标准渐开线I₁的齿轮为被加工毛坏，按以下过程完成处在分度圆以外部分的、具有分阶渐开线I₂的齿廓的加工；

第一步：在分度圆以外部分，计算分阶渐开线I₂各离散点B_i与对应位置处的标准渐开线I₁上各离散点A_i之间的间距λ_i：

通过对式(1a)中的变量t₁离散化，得到毛坯处在分度圆以外部分的标准渐开线I₁的各离散点A_i(x_i1，y_i1)坐标；通过牛顿迭代法计算出与各离散点A_i对应的构成分阶渐开线I₂的各离散点B_i(x_i2，y_i2)的坐标，则有：

${\mathrm{\λ}}_i=\sqrt{{(x_{i1}-x_{i2})}^2+{(y_{i1}-y_{i2})}^2},(i=\mathrm{1,2,3}...)---\left(2\right)$

第二步：计算加工分阶渐开线I₂的各离散点时，砂轮在X轴、Y轴上和齿轮毛坯在C轴上所作的联动变位量φ_gi、X_i、Y_i：

当砂轮与毛坯在离散点A_i处啮合时，砂轮刃面直线l_i2的斜率为k_i1，离散点A_i处的法线l_i1与分阶渐开线I₂相交于离散点B_i(x_i2，y_i2)，过离散点B_i处的分阶渐开线I₂的切线为l_i3、斜率为k_i2；

设定加工时蜗杆砂轮向右的水平移动为Y轴正方向，毛坯的逆时针转动为正，将毛坯绕C轴正向转过φ_gi角，使l_i3旋转到与l_i2平行位置，所述φ_gi为l_i2与l_i3之间的夹角

${\mathrm{\φ}}_{\mathrm{gi}}=\arctan \left(\frac{k_{i2}-k_{i1}}{1+k_{i1}+k_{i2}}\right)---\left(3\right)$

在旋转过程中，砂轮沿Y轴同步作切向正位移，位移量为Y_i1，

Y_i1＝rφ_gi    (4)

在切向正位移Y_i1过程中，砂轮沿X轴同步作径向正位移，位移量为X_i1，

X_i1＝rφ_gicosαsinα    (5)

旋转到位后，将砂轮沿Y轴位移作切向负位移，位移量为Y_i2，

Y_i2＝-λ_i/cosα    (6)

在切向正位移Y_i2过程中，砂轮沿X轴同步作径向正位移，位移量为X_i2，

X_i2＝λ_isinα    (7)

砂轮沿X轴同步作径向正位移，位移量为X_i3，

X_i3＝rθ_scosαsinα    (8)

其中： ${\mathrm{\θ}}_s=({2\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}}-2)\frac{2\mathrm{\π}}{z}$

重合度 ${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}}=\left[z(\tan {\mathrm{\α}}_{\mathrm{\α}1}-\tan {\mathrm{\α}}^{\′})\right]/2\mathrm{\π}+h_a^{*}/\mathrm{\π}\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α}$

α′和α_α1分别为齿轮齿条的啮合角和齿轮的齿顶圆压力角

为齿顶高系数；

最后，将砂轮沿Y轴位移作切向负位移，位移量为Y_i3，

Y_i3＝-(X_i1+X_i2+X_i3)tanα    (9)

由(5)(7)(8)式得到要加工所述分阶渐开线I₂上的一个离散点，蜗杆砂轮所需要作的径向变位总量：

X_i＝X_i1+X_i2+X_i3

$=r{\mathrm{\θ}}_s\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\α}+\frac{1}{2}(r{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{gi}}+\frac{{\mathrm{\λ}}_i}{\cos \mathrm{\α}})\sin \left(2\mathrm{\α}\right)---\left(10\right)$

由(4)(6)(9)式得到要加工所述分阶渐开线I₂上的一个离散点，蜗杆砂轮所需要作的切向变位总量：

Y_i＝Y_i1+Y_i2+Y_i3

$={\mathrm{r\φ}}_{\mathrm{gi}}-\frac{{\mathrm{\λ}}_i}{\cos \mathrm{\α}}-X_i\tan \mathrm{\α}---\left(11\right)$

第三步：确定分阶式变压力角渐开线齿轮加工时的数控插补周期ΔT和所述插补周期中X轴、Y轴、Z轴、B轴、C轴的插补增量ΔX、ΔY、ΔZ、ΔB、ΔC：

(1)确定插补周期ΔT

设所述分阶渐开线I₂上两相邻离散点间的加工过程为一个时间间隔ΔT_i，齿轮的固有角速度为ω，求加工相邻离散点的时间间隔的公式为：

ΔT_i＝φ_i/ω    (12)

其中：

α_i＝arctan t_i

按以下步骤来求取所述数控插补周期ΔT：

a、通过均匀离散渐开线方程的变量t，求得离散点之间齿形的n个对应加工时间间隔ΔT_n，设定特殊齿廓实际加工时的用到的离散点个数为m，m＜n，n＝1，2，3…；

  t_i   t₁   t₂   t₃   t₄ …   t_n   ΔT_i   ΔT₁   ΔT₂   ΔT₃   ΔT₄ …   ΔT_n

b、在得到的n个时间间隔ΔT_n中选取最小的时间间隔作为设定的插补周期ΔT；

c、利用设定的插补周期ΔT与前边得到的n个时间ΔT_i做线性插值运算，插值得到m个离散变量t′_i的值；

令：

  t_i   t₁   t′₁   t₂   t′₂   t₃   t′₃   t₄ …   t′_m   ΔT_i   ΔT₁   ΔT   ΔT₂   ΔT   ΔT₃   ΔT   ΔT₄ …   ΔT

$\frac{t_i^{\′}-t_i}{t_{i+1}-t_i}=\frac{\mathrm{\ΔT}-{\mathrm{\ΔT}}_i}{{\mathrm{\ΔT}}_{i+1}-{\mathrm{\ΔT}}_i}$ 则有：t′_i＝(t_i+1-t_i)+t_i

d、将插值求得的m个离散变量值t′_i回代入渐开线方程(1a)，重新得到适合数控加工的毛坯处在分度圆以外部分的标准渐开线I₁的离散点位置坐标(x_m，y_m)；

  t   t′₁   t′₂   t′₃   t′₄   t′₅ …   t′_m   (x，y)   (x₁，y₁)   (x₂，y₂)   (x₃，y₃)   (x₄，y₄)   (x₅，y₅) …   (x_m，y_m)

e、利用联动变位控制方程求出各加工所述分阶渐开线I₂上的m个离散点时X轴、Y轴、Z轴、B轴、C轴所产生的联动控制量X_m、Y_m、φ_gm；

(2)各联动轴插补增量的求取

以所述分阶渐开线I₂与齿轮分度圆的交点为加工起点，加工起点处的联动控制量λ₀＝0，X₀＝0，Y₀＝0，φ_go＝0；

将插补周期ΔT和加工所述分阶渐开线I₂上的m个离散点时所产生的联动控制量X_m、Y_m、φ_gm代入下式进行迭代计算，求出X轴、Y轴、Z轴、B轴、C轴的插补增量ΔX_m、ΔY_m、ΔZ_m、ΔB_m、ΔC_m：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{X}_m=X_m-X_{m-1}\\ \mathrm{\Δ}{Y}_m=Y_m-Y_{m-1}\\ \mathrm{\Δ}{Z}_m=\mathrm{v\ΔT}\\ \mathrm{\Δ}{B}_m={\mathrm{\ω}}_1\mathrm{\ΔT}\\ \mathrm{\Δ}{C}_m=\mathrm{\ω\ΔT}+{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{gm}}\end{array}\right.$

其中：v为砂轮轴向进给速度；ω为齿轮正常啮合时的固有角速度；

ω₁为砂轮正常啮合时的固有角速度；X_m，Y_m分别由(10)、(11)式确定。

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