CN101806892B - 基于投影近似子空间跟踪技术的自聚焦方法 - Google Patents

Abstract

本发明公布了一种基于投影近似子空间跟踪技术的自聚焦方法，包括如下步骤：利用对SAR图像各距离单元最强散射点循环移位、加窗后作方位向傅里叶逆变换，将SAR图像变换至方位数据域；在方位数据域中，根据参与相位估计的距离单元数，选取参与相位估计的脉冲数，将SAR图像在方位数据域进行分段；利用PAST方法估计各段SAR的相位误差函数；将所述的各段相位误差函数拼接，并对该SAR图像进行相位补偿。本发明利用PAST技术替代传统协方差矩阵估计和特征分解方法实现基于特征向量法的自聚焦算法，比较于PGA算法，其算法运算量相当，而算法性能明显优于PGA算法，是一种可用于实时处理的有效自聚焦算法。

Description

基于投影近似子空间跟踪技术的自聚焦方法

技术领域

本发明涉及一种将投影近似子空间跟踪(projection approximation subspace tracking，简称PAST)技术应用于合成孔径雷达(synthetic aperture radar，简称SAR)图像自聚焦中的方法，采用PAST技术估计所需的特征向量，完成对SAR图像的自聚焦处理。

背景技术

PGA算法通过相位误差补偿改善SAR图像的聚焦质量，因为其具有良好的自聚焦性能和鲁棒性，被广泛应用于SAR图像上。PGA算法如文献1：D.E Wahl，P.H.Eichel，D.C.Ghiglia，C.V.Jakowatz，JR.Phase Gradient Autofocus-A Robust Tool for High ResolutionSAR Phase Correction 1994.2：Hian Lim Chan，Tat Soon Yeo.Noniterative QualityPhase-Gradient Autofocus(QPGA)Algorithm for Spotlight SAR Imagery 1998.中公开的技术。

基于特征向量法的自聚焦算法，同时利用多个脉冲估计相位误差函数，相比较于PGA算法中仅利用相邻两个脉冲估计相位误差函数的方法，具有更高的估计精度，在较少迭代次数的情况下就可以获得理想的自聚焦效果。并且该算法对信噪比(signal-noise-ratio，简称SNR)要求较低，甚至在不加窗的情况下也可以保证相位估计的无偏性和估计精度，确保对宽带随机相位误差的正确估计。此技术如文献1：Charles V J，Daniel E W.Eigenvector Method for Maximum-Likelihood Estimation of Phase Errors inSynthetic-Aperture Radar Imagery 1993.2：Pan Cao，Mengdao Xing，Guangcai Sun，Yachao Li，Zheng Bao.Minimum Entropy via Subspace for ISAR Autofocus 2010.中公开的技术。但是，该算法必须对协方差矩阵进行特征分解，运算量巨大，严重影响算法的实时处理能力，所以在实际中并不被广泛应用。

发明内容

本发明的目的是寻找一种更有效的方案来替代基于特征分解方法的自聚焦方法，在同样获得优于PGA算法的自聚焦性能同时，有效减化原自聚焦算法实现复杂度。本发明采用PAST技术代替协方差矩阵的估计和特征分解，以估计所需的特征向量，显著降低自聚焦算法复杂度，从而有效提高算法实时处理性能。

本发明为实现上述目的，采用如下技术方案：

本发明基于投影近似子空间跟踪技术的自聚焦方法，包括如下步骤：

1)利用对SAR图像各距离单元最强散射点循环移位、加窗后作方位向傅里叶逆变换，将SAR图像变换至方位数据域；

其特征在于：

2)在方位数据域中，根据参与相位估计的距离单元数，选取参与相位估计的脉冲数，将SAR图像进行分段；

3)利用PAST方法估计各段相位误差函数；

4)将步骤3)所述的各段相位误差函数进行拼接，并对该SAR图像进行相位补偿。

步骤3)所述的估计各段相位误差函数的方法如下：

将参与相位估计的同一距离单元信号用向量形式表示：

x_k＝[F_k(1)，F_k(2)，...F_k(M)]^T，

其中，T表示转置，M为参与相位估计的脉冲数，F_k(·)为SAR图像各距离单元最强散射点在方位数据域的接收信号，F_k(m)＝a_k·exp[γ(m)]+n_k(m)，exp(.)代表指数运算，j代表为复数的虚部，即γ(m)为相位误差值，a_k为一复常数，m_k(m)表示杂波在方位数据域对于该场景中心点的影响，m＝1、2、3……M；设a_k和n_k(m)的方差值为：

$\mathrm{var}\left[a_k\right]=\frac{{\mathrm{\σ}}_a^2}{2},$

$\mathrm{var}\left[n_k\left(m\right)\right]=\frac{{\mathrm{\σ}}_n^2}{2},$

其中，var[.]代表求方差；

各距离单元信号的协方差矩阵为：

$C=\frac{1}{N}\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{x}_k{x}_k^H,$

其中，H表示共轭转置，N为参与相位估计的距离单元数；

则：

$C={\mathrm{\σ}}_n^{2}I+{\mathrm{\σ}}_a^2{\mathrm{vv}}^H,$

其中，I为单位矩阵；v为一个纯相位向量：

v＝[exp[j·γ(1)]，exp[j·γ(2)]，...exp[j·γ(M)]]^T，

向量为协方差矩阵C的最大特征值所对应的特征向量，即基于特征向量法的自聚焦算法所估计得到的相位误差函数。

本发明利用PAST技术替代传统协方差矩阵估计和特征分解方法实现基于特征向量法的自聚焦算法，比较于PGA算法，其算法运算量相当，而算法性能明显优于PGA算法，是一种可用于实时处理的有效自聚焦算法。

附图说明

图1.蒙特卡罗仿真实验1；(a)相位误差的估计均值；(b)高信噪比条件下，相位误差的估计方差值；(c)低信噪比条件下，相位误差的估计方差值；

图2.蒙特卡罗仿真实验2；(a)不同距离单元输入顺序情况下，相位误差的估计均值；(b)不同距离单元输入顺序情况下，相位误差的估计方差值；

图3.蒙特卡罗仿真实验3；(a)不同算法估计相位误差的均值比较；(b)不同算法估计相位误差的方差值比较；

图4.蒙特卡罗仿真实验4；(a)不同参与相位估计的距离单元数条件下，估计相位误差的均值比较；(b)不同参与相位估计的距离单元数条件下，估计相位误差的方差值比较；

图5.实际数据处理结果1；(a)自聚焦前聚束SAR图像；(b)PGA算法自聚焦后聚束SAR图像；(c)基于特征向量法的自聚焦方法自聚焦后聚束SAR图像；(d)基于PAST算法的自聚焦方法自聚焦后聚束SAR图像；

图6.宽带随机相位误差函数；

图7.估计宽带随机相位误差结果；(a)受宽带随机相位误差影响的聚束SAR图像；(b)PGA算法自聚焦后聚束SAR图像；(c)基于特征向量法的自聚焦算法自聚焦后聚束SAR图像；(d)基于PAST算法的自聚焦方法自聚焦后聚束SAR图像；

图8.实际数据处理结果。(a)自聚焦前聚束SAR图像；(b)PGA算法自聚焦后聚束SAR图像；(c)基于特征向量法的自聚焦算法自聚焦后聚束SAR图像；(d)基于PAST算法的自聚焦方法自聚焦后聚束SAR图像；

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细描述：

本发明针对特征分解过程对于算法实时性处理的影响，提出了利用PAST技术估计所需特征向量，完成自聚焦。本发明比较基于特征向量法的自聚焦方法，有效降低了自聚焦方法的实现复杂度；相比较于PGA算法，其算法运算量相当，而算法性能明显优于PGA算法。算法性能分析和实际数据处理结果证明了本发明的有效性。本发明具体方法包括如下步骤：

1)利用对各距离单元最强散射点循环移位，加窗并将图像作方位向傅里叶逆变换，将图像变换至方位数据域；

2)将图像在方位数据域中，根据参与相位估计的距离单元数，选取适当的参与相位估计的脉冲数，进行分段；

3)利用PAST技术估计各段相位误差函数；

4)将各段相位误差函数拼接，并对该SAR图像进行相位补偿。

对于理想SAR图像，假设在第k个距离单元的最强散射点，其多普勒频率为f_k，初始相位为ψ_k，其它弱散射点视为杂波。该最强散射点在方位数据域的接收信号相位为：

其中，下标k代表第k个距离单元；m代表方位向脉冲位置；

为杂波所引起的干扰相位。当该理想SAR图像受到相位误差影响时，其接收信号相位为：

其中，γ(m)为相位误差值，即自聚焦算法所需估计相位值。

(1)循环移位

基于特征向量法的自聚焦算法中，先将各距离单元中的最强散射点循环移位至该距离单元中心处，即令公式(2)中的f_k＝0，以消除多普勒频率对于相位误差值估计的影响。循环移位后的接收信号相位为：

(2)加窗

在较高信噪比条件下，自聚焦算法可以保证对相位的无偏估计。为了有效提高图像信噪比，基于特征向量法的自聚焦算法在图像循环移位后，以各距离单元中心点位置为中心，利用加窗处理将对于相位误差估计无贡献的数据丢弃，尽量提高窗内数据在方位数据域的信噪比，以减小公式(3)中杂波干扰相位对于相位误差估计的影响。

(3)估计相位误差

对加窗后图像在方位向通过傅里叶逆变换转换到方位数据域，根据公式(3)得到此时信号为：

F_k(m)＝a_k·exp[γ(m)]+n_k(m)            (4)

其中，exp(.)代表指数运算；j代表为复数的虚部，即a_k为一复常数；n_k(m)表示杂波在方位数据域对于该场景中心点的影响。定义a_k和n_k(m)的方差值为：

$\mathrm{var}\left[a_k\right]=\frac{{\mathrm{\σ}}_a^2}{2}---\left(5\right)$

$\mathrm{var}\left[n_k\left(m\right)\right]=\frac{{\mathrm{\σ}}_n^2}{2}---\left(6\right)$

其中，var[.]代表求方差。将同一距离单元信号改用向量形式表示：

x_k＝[F_k(1)，F_k(2)，...F_k(M)]^T    (7)

这里，T表示转置；M为参与相位估计的脉冲数。定义各距离单元信号的协方差矩阵为：

$C=\frac{1}{N}\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{x}_k{x}_k^H---\left(8\right)$

其中，E[.]代表求期望；H表示共轭转置；N为参与相位估计的距离单元数。将公式(4)-(7)带入公式(8)，得到：

$C={\mathrm{\σ}}_n^{2}I+{\mathrm{\σ}}_a^2{\mathrm{vv}}^H---\left(9\right)$

这里，I为单位矩阵；v为一个纯相位向量：

v＝[exp[j·γ(1)]，exp[j·γ(2)]，...exp[j·γ(M)]]^T    (10)

该向量为协方差矩阵C的最大特征值所对应的特征向量，即基于特征向量法的自聚焦算法所估计得到的相位误差函数。利用特征分解得到协方差矩阵C的最大特征值所对应的特征向量，完成一次SAR图像自聚焦。

基于特征向量法的自聚焦算法和PGA算法估计相位误差的克拉默-劳界限(CRLB)为：

基于特征向量法的相位误差自聚焦算法：

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ED}}^2=\frac{1+\mathrm{M\β}}{\mathrm{MN}{\mathrm{\β}}^2}=\frac{1}{\mathrm{MN}{\mathrm{\β}}^2}+\frac{1}{\mathrm{N\β}}---\left(11\right)$

PGA算法：

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{PGA}}^2=\frac{1+2\mathrm{\β}}{2N{\mathrm{\β}}^2}=\frac{1}{2N{\mathrm{\β}}^2}+\frac{1}{\mathrm{N\β}}---\left(12\right)$

其中，M为公式(7)中参与相位估计的脉冲数；N为公式(8)中参与相位估计的距离单元数；β为窗内图像在方位数据域信噪比。比较公式(11)和公式(12)，当基于特征向量法的自聚焦算法仅利用相邻脉冲估计相位误差时，通过公式(7)和公式(8)，对样本协方差矩阵进行估计并进行特征分解，发现该算法此时等价于PGA算法，所以其算法性能也与PGA算法一致；当利用多脉冲估计相位误差时，即M＞2，该算法性能优于PGA算法。

在基于特征向量法的自聚焦算法中，参与相位估计的距离单元数越多，对公示(8)所示样本协方差矩阵的估计则越精确。我们利用蒙特卡罗仿真实验，分别在SNR＝0dB的高信噪比条件下和SNR＝-10dB的低信噪比条件下，通过只改变参与相位估计的距离单元数，观察该自聚焦算法对相位误差的估计精度。仿真实验设定参与相位估计的脉冲数M＝64，待估计相位值为π/2，以参与相位估计距离单元数的对数作为横坐标，结果如图1所示。图1中，在SNR＝0dB的高信噪比条件下，当距离单元数为32时，基于特征向量法的自聚焦算法就可以对相位误差函数进行无偏估计，且其估计方差值达到CRLB；然而在低信噪比条件下，由于各距离单元自身受到噪声干扰严重，所以需要较多的距离单元样本，来保证对样本协方差矩阵的精确估计。以SNR＝-10dB为例，当距离单元数低于128时，即当参与相位估计的距离单元数少于待估计协方差矩阵维数的两倍时，该自聚焦算法无法正确的估计相位误差函数，且其估计方差值也高于CRLB。因此，在应用该自聚焦算法时，由于无法判断待自聚焦处理SAR图像的信噪比，且实际SAR图像所具有的距离单元数有限，所以为了保证获得良好的自聚焦效果，一般根据参与相位估计的距离单元数来适当选择参与相位估计的脉冲数。

基于特征向量法的自聚焦算法中，利用M个脉冲估计相位误差函数，忽略估计秩为M的协方差矩阵C所需的计算量，仅考虑对协方差矩阵C进行特征分解，其算法复杂度为O(M³)；而PGA算法的算法复杂度为O(M)。为了更进一步比较，我们以复数乘法来衡量两种算法的算法复杂度。考虑利用N个距离单元，M个脉冲估计协方差矩阵C需要NM²次复乘运算；对秩为M的协方差矩阵C进行特征分解，其算法复杂度为3M³，所以该算法的计算复杂度为：

f_ED＝NM²+3M³                (13)

而在PGA算法中，同样对脉冲数M估计相位误差函数，每一个距离单元求取相位梯度时需要M-1次复乘运算，由于一共有N个距离单元，所以该算法的算法复杂度为：

f_PGA＝N(M-1)                (14)

比较公式(13)和(14)，发现基于特征向量法的自聚焦算法运算量巨大，严重影响算法的实时处理能力。针对特征分解过程对于算法实时性处理的影响，本发明采用PAST技术替代协方差矩阵估计和特征分解过程，有效降低了算法复杂度，使其可以满足算法实时性处理的要求。

基于PAST技术的自聚焦算法不同于特征分解一次性计算出所有特征值和特征向量的运算过程，由于在该自聚焦算法中只需要获得最大特征值对应的特征向量，所以我们利用公式(7)所示的各距离单元信号，通过以下的公式计算迭代，只估计所需的特征向量：

fori＝1，2，...，N do                      (15)

y(i)＝u^H(i-1)x_i                            (16)

λ(i)＝λ(i-1)+|y(i)|²                     (17)

Δ(i)＝x_i-u(i-1)y(i)                       (18)

$u\left(i\right)=u(i-1)+\frac{\mathrm{\Δ}\left(i\right)y^{*}\left(i\right)}{\mathrm{\λ}\left(i\right)}---\left(19\right)$

其中，^*代表取共轭；x_i为公式(7)中所示的各距离单元信号；N为公式(8)中所示的参与相位估计的距离单元数；y(i)和Δ(i)为迭代估计计算中所需的中间变量；λ(i)和u(i)分别为估计得到的最大特征值和其对应的特征向量。λ(i)和u(i)在每一次迭代过程中，随着越来越多的距离单元信号参与估计，其估计值越来越趋近于最大特征值和对应特征向量的真实值，最终达到收敛。初始值λ(0)和u(0)为人为设定的随机值，我们一般选取：

λ(0)＝0                       (20)

u(0)＝[1，1，...1]^T            (21)

考虑对同一组参与相位估计的距离单元，以不同的顺序代入公式(15)-(19)中，会得到不同的结果。由于在自聚焦算法一开始选择参与相位估计的距离单元时，已经对各距离单元按能量大小进行排序，所以我们分别按距离单元能量由大到小正序和按距离单元能量由大到小倒序两种种方式，将参与相位估计的距离单元代入公式(15)-(19)中，结果如图2所示。在PAST算法中，随着越来越多的观测样本信号代入公式(15)-(19)中，估计得到的特征向量越来越逼近真实特征向量值，最终估计达到收敛。由于能量较弱的距离单元信号自身的相位扰动较大，如果我们将能量较强的距离单元先代入PAST算法中进行迭代，当估计值逼近真实值后，最后输入的能量较弱距离单元信号反而影响了PAST算法中特征向量的估计精度。正如图2中所示，按距离单元能量由大到小正序代入公式(15)-(19)中，自聚焦算法估计相位误差的性能较差，当信噪比低于-5dB时，无法保证对相位误差的无偏估计；相反，按距离单元能量由大到小倒序代入PAST算法中，先利用能量较弱的距离单元信号使估计值不断逼近待估计真实值，最后利用能量较强的距离单元信号可以进一步有效的提高估计精度，当信噪比达到-10dB时，就可以保证对相位误差的无偏估计，且随着信噪比的提高，其估计方差值不断逼近并最终达到CRLB。因此，在应用该自聚焦算法时，将已排序的距离单元按能量由大到小倒序代入PAST算法中，以保证获得良好的自聚焦效果。

图3中利用蒙特卡罗仿真实验对PGA算法，基于特征向量法的自聚焦算法和本发明的估计相位误差性能进行比较。设定三种算法中参与相位估计的距离单元数N＝512，待估计相位值为π/2，基于特征向量法的自聚焦算法和本发明中参与相位估计的脉冲数M＝64。观察发现，三种算法中，基于特征向量法的自聚焦算法在较低的信噪比条件下依然可以保证对相位误差的无偏估计，且估计方差值可达到CRLB，是三种算法中估计相位误差性能最佳的算法；本发明在较低信噪比情况下无法保证对相位误差的无偏估计，其相位估计方差值也无法达到CRLB，但是其算法性能依然优于PGA算法，且在较高信噪比条件下，本发明可以实现与基于特征向量法的自聚焦算法相同的算法性能。

图3中的蒙特卡罗仿真实验证明本发明相比较于基于特征向量法的自聚焦算法，在有效减小算法运算复杂度的同时，也一定程度上使算法性能有所下降，特别在较低信噪比情况下，无法对相位误差进行精确估计。由于在PAST中，随着越来越多的观测样本信号代入公式(15)-(19)中，估计得到的特征向量越来越逼近真实特征向量值，且本发明算法实现简单快速，所以可以通过适当增加参与相位估计的距离单元数，以提高算法性能，如图4所示。在图4中，依然设定待估计相位值为π/2，参与相位估计的脉冲数M＝64，对比参与相位估计的距离单元数不断增加对算法性能的影响。观察发现，随着参与相位估计的距离单元数增加，本发明的算法性能在较低和较高信噪比情况下都得到明显提高。

本发明中，利用公式(15)-(19)估计特征向量的过程，其运算量复杂度为O(MP)，其中P为所需估计特征向量个数。由于本发明只需估计最大特征值对应的特征向量，即P＝1，所以本发明的计算复杂度仅为O(M)。以复数乘法来衡量两种算法的算法复杂度，本发明利用公式(15)-(19)每迭代一次需要3M次复乘运算，由于一共有N个距离单元，所以本发明的计算复杂度为：

f_PAST＝3NM                    (22)

选取参与估计相位误差函数的距离单元数N＝1024，为了保证对协方差矩阵的精确估计，利用脉冲数M＝300估计相位误差函数。比较公式(13)和公式(22)，有：

$\frac{f_{\mathrm{ED}}}{f_{\mathrm{PAST}}}=\frac{{\mathrm{NM}}^2+3M^3}{3\mathrm{NM}}\≈187.890625---\left(23\right)$

即使考虑本发明中选用参与估计相位误差函数的距离单元数N_PAST明显多于基于特征向量法的自聚焦算法中选用参与估计相位误差函数的距离单元数N_ED，假设N_PAST＝4N_ED，带入公式(23)中，本发明依然可以有效降低计算复杂度，减小运算量，显著提高算法运算效率。比较公式(14)和(22)，虽然本发明相比较于PGA算法，需要进行更多的复数乘法，但本发明直接估计得到相位误差函数，而PGA算法估计得到的是相位误差梯度值，须对该估计值提取相位并进行一次积分。并且PGA算法一般需要进行4至6次迭代，才可以获得较好的自聚焦效果，而本发明和基于特征向量法的自聚焦算法一样，仅需要2至3次的较少迭代次数，就可以获得较为理想的聚焦SAR图像。因此，本发明比较于PGA算法，其算法运算量相当。

为了验证本发明的有效性，我们对图5(a)中图像分别利用PGA算法，基于特征向量法的自聚焦算法和本发明进行自聚焦，结果如图5(b)-(d)所示。该聚束SAR图像方位向脉冲数为4096，距离单元数为2048，我们选取参与估计相位误差函数的距离单元数为1024，为了保证对协方差矩阵的精确估计，在基于特征向量法的自聚焦算法和本发明中，将图像在方位数据域以300个脉冲为单位进行分段估计相位误差。对比发现，三种自聚焦方法均可以有效改善该SAR图像的聚焦质量。

为了进一步对比三种自聚焦算法性能，我们在图5中自聚焦后的图像基础上，在图像的方位数据域人为叠加如图6中所示的宽带随机相位误差函数，得到如图7(a)中所示的散焦SAR图像。图6中所示的相位误差函数分布在-π到π区间内，服从均值为0的均匀分布。为了完整的保留图像中有用信号信息，我们在不加窗的情况下利用三种自聚焦算法分别对图7(a)中受宽带随机相位误差影响的SAR图像进行自聚焦，结果如图7(b)-(d)所示。观察图7(b)发现，由于没有进行加窗处理，所以图像在方位数据域的信噪比较低，导致PGA算法无法精确估计相位误差，自聚焦后图像依然存在明显的方位向散焦；图7(c)和(d)中自聚焦后图像相比较图5中所示原图，仅在图像方位向存在一定的偏移，其聚焦质量已经得到明显改善，证明基于特征向量法的自聚焦算法和本发明即使在不加窗的较低信噪比情况下，依然可以较精确的估计相位误差函数，有效实现对SAR图像的自聚焦处理。

图8(a)中所示待自聚焦SAR图像，其图像对比度较低，且没有较强的目标。我们同样利用PGA算法，基于特征向量法的自聚焦算法和本发明对该SAR图像进行自聚焦，结果如图8(b)-(d)所示。图8(b)中利用PGA算法自聚焦后SAR图像相比较原图，图像方位向聚焦质量改善很小，证明对该幅SAR图像，PGA算法已经不再适用；然而观察图8(c)和(d)中自聚焦后图像，发现其方位向聚焦质量都有明显改善，证明基于特征向量法的自聚焦算法和本发明在自聚焦性能上均优于PGA算法。

其中，PAST如文献1：Bin Yang.Proj ection Approximation Subspace Tracking 1995.2：M.Shen，D.Zhu，Z.Zhu.Reduced-Rank Space-Time Adaptive Processing Using A ModifiedProiection Approximation Subspace Tracking Deflation Approach 2009.中公开的技术。

Claims (1)

1.一种基于投影近似子空间跟踪技术的自聚焦方法，其特征在于：

该方法包括如下步骤：

1)利用对SAR图像各距离单元最强散射点循环移位、加窗后作方位向傅里叶逆变换，将SAR图像变换至方位数据域；

2)在方位数据域中，根据参与相位估计的距离单元数，选取参与相位估计的脉冲数，将SAR图像进行分段；

3)利用PAST方法估计各段相位误差函数；

其中，所述的估计各段相位误差函数的方法如下：

对于理想SAR图像，假设在第k个距离单元的最强散射点，其多普勒频率为f_k，初始相位为ψ_k，其它弱散射点视为杂波；该最强散射点在方位数据域的接收信号相位为：

其中，下标k代表第k个距离单元；m代表方位向脉冲位置；

为杂波所引起的干扰相位；当该理想SAR图像受到相位误差影响时，其接收信号相位为：

其中，γ(m)为相位误差值，即自聚焦算法所需估计相位值；

(1)循环移位

基于特征向量法的自聚焦算法中，先将各距离单元中的最强散射点循环移位至该距离单元中心处，即令公式(2)中的f_k＝0，以消除多普勒频率对于相位误差值估计的影响；循环移位后的接收信号相位为：

(2)加窗

在较高信噪比条件下，自聚焦算法可以保证对相位的无偏估计；为了有效提高图像信噪比，基于特征向量法的自聚焦算法在图像循环移位后，以各距离单元中心点位置为中心，利用加窗处理将对于相位误差估计无贡献的数据丢弃，提高窗内数据在方位数据域的信噪比，以减小公式(3)中杂波干扰相位

对于相位误差估计的影响；

(3)估计相位误差

对加窗后图像在方位向通过傅里叶逆变换转换到方位数据域，根据公式(3)得到此时信号为：

F_k(m)＝a_k·exp[γ(m)]+n_k(m)             (4)

其中，exp(.)代表指数运算；j代表为复数的虚部，即

a_k为一复常数；n_k(m)表示杂波在方位数据域对于该场景中心点的影响；定义a_k和n_k(m)的方差值为：

其中，var[.]代表求方差；将同一距离单元信号改用向量形式表示：

x_k＝[F_k(1)，F_k(2)，...F_k(M)]^T        (7)

这里，T表示转置；M为参与相位估计的脉冲数；定义各距离单元信号的协方差矩阵为：

其中，E[.]代表求期望；H表示共轭转置；N为参与相位估计的距离单元数；将公式(4)-(7)带入公式(8)，得到：

这里，I为单位矩阵；v为一个纯相位向量：

v＝[exp[j·γ(1)]，exp[j·γ(2)]，...exp[j·γ(M)]]^T      (10)

该向量为协方差矩阵C的最大特征值所对应的特征向量，即基于特征向量法的自聚焦算法所估计得到的相位误差函数；利用特征分解得到协方差矩阵C的最大特征值所对应的特征向量，完成一次SAR图像自聚焦；

基于特征向量法的自聚焦算法和PGA算法估计相位误差的克拉默一劳界限(CRLB)为：

基于特征向量法的相位误差自聚焦算法：

PGA算法：

其中，M为公式(7)中参与相位估计的脉冲数；N为公式(8)中参与相位估计的距离单元数；β为窗内图像在方位数据域信噪比；

4)将步骤3)所述的各段相位误差函数进行拼接，并对该SAR图像进行相位补偿。

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