CN104166136A - 一种基于干扰子空间跟踪的高效自适应单脉冲测角方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于干扰子空间跟踪的高效自适应单脉冲测角方法，该发明针对自适应单脉冲技术在高维系统下估计协方差矩阵所需的庞大运算量和独立同分布训练样本数，首先将MPASTd方法运用到自适应单脉冲中递归估计干扰子空间，然后计算新的自适应和差波束权值，最后通过角度估计公式给出信号源空间角度。该方法在显著减少运算量的同时，提高了收敛速度，在小样本情况下可获得很好的测角精度。

Description

一种基于干扰子空间跟踪的高效自适应单脉冲测角方法

技术领域

本发明属于自适应单脉冲测角领域，具体涉及一种基于干扰子空间跟踪的高效自适应单脉冲测角方法。

背景技术

单脉冲测角技术最早是为了进行高精度的雷达跟踪而创，它通过比较两个同时的波束信号来获得目标角度信息，但是当存在干扰时，特别是干扰靠近目标时，会产生很大的角度估计误差。自适应单脉冲跟踪系统可以根据目标指向相应地产生波束，同时自适应地消除外界的干扰，因而成为目标角度估计的一种有效方法。Davis，Brennan和Reed最先提出了将单脉冲技术应用于自适应阵列信号处理，并基于极大似然估计推导了三种等距线阵的自适应单脉冲公式。Nickel利用雷达扫描功率函数推导出自适应单脉冲公式并将其推广到任意结构的两维阵列上去，并给出了单脉冲比值和斜率值的修正公式。在小样本情况下，由于不能准确估计出干扰加噪声协方差矩阵，自适应单脉冲测角精度明显减弱。而协方差矩阵中的主特征向量携带了干扰的全部信息，因而可将子空间技术应用于自适应单脉冲测角。紧缩投影近似子空间跟踪(PASTd)是一种不需要特征分解的子空间跟踪算法，针对PASTd算法中存在的误差传递性，MPASTd算法能避免误差传递，减小运算量的同时加快收敛速度。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是：提供一种基于干扰子空间跟踪的高效自适应单脉冲测角方法，针对自适应单脉冲技术在高维系统下估计协方差矩阵所需的庞大运算量和独立同分布训练样本数，解决了小样本情况下传统自适应单脉冲测角方法运算量大、收敛速度慢的问题。

本发明为解决上述技术问题，采用如下技术方案：

一种基于干扰子空间跟踪的高效自适应单脉冲测角方法，该方法应用雷达检测目标的方向角，预先设定雷达的接收天线为一个N阵元的均匀线阵，各阵元天线各项同性，则检测单元的信号模型可表示成如下形式：

z＝a_ub+n

其中，z表示检测单元阵列输出矢量，b表示目标的复包络，u表示方向参数，且u＝sinθ，θ为目标的方位角，上标^T表示转置符号，λ为发射信号波长，d为阵元间距，n表示干扰加噪声；假设干扰加噪声服从均值为0，协方差为Q的高斯分布，且干扰、噪声和目标互不相关；该方法包括如下步骤：

步骤1、获取样本数据x(i)，样本数据的总功率为其中L为样本数，令x₁(i)＝x(i)，预先设定系统噪声功率为n₀，检测门限为2n₀；

步骤2、根据MPASTd算法估计干扰子空间，对j＝1,2,…,P，具体过程如下：

步骤2.1、对i＝1,2,…,L，由样本数据递归估计第j个特征矢量得到e_j并进行存储，计算公式为：

$y_j\left(i\right)=e_j^H(i-1)x_j\left(i\right)$

λ_j(i)＝λ_j(i-1)+|y_j(i)|²

Δ_j(i)＝x_j(i)-e_j(i-1)y_j(i)

$e_j\left(i\right)=e_j(i-1)+\frac{{\mathrm{\Δ}}_j\left(i\right)\·y_j^{*}\left(i\right)}{{\mathrm{\λ}}_i\left(i\right)}$

其中，λ_j(i)表示由样本数据x_j(i)进行第i递归迭代时与e_j(i)对应的特征值，e_j(0)、λ_j(0)为预先设置的随机初始值，上标^H表示共轭转置符号，上标^*表示复共轭；对最后一次迭代更新值e_j(L)进行归一化操作，得到第j个主特征矢量e_j为

$e_j=\frac{e_j\left(L\right)}{{\left|\right|e_j\left(L\right)\left|\right|}_2}$

其中‖·‖₂为l₂范数运算；

步骤2.2、计算输入信号x_j(i)在第j个主特征矢量e_j上的投影分量幅度y_j(i)，即

y_j(i)＝<e_j,x_j(i)>

其中<·>为矢量内积运算符，则对所有训练样本数据而言，在第j个特征分量e_j上的总投影功率为：

${\mathrm{\&lambda;}}_j=\frac{1}{L}\underset{i=1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}{y}_j\left(i\right)\&CenterDot;y_j^{*}\left(i\right)$

其中上标^*为共轭运算符；剩余N-j个特征矢量对应的平均投影功率为

$E_{j+1}=\frac{E_0-\underset{k=1}{\overset{j}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&lambda;}}_k}{N-j};$

步骤2.3、判断E_j+1与检测门限2n₀的关系，当E_j+1>2n₀时，对所有样本数据x_j(i)滤去在e_j上的投影分量，得到新的样本数据x_j+1(i)，即：

x_j+1(i)＝x_j(i)-e_jy_j(i)

执行步骤2.4，否则，当E_j+1≤2n₀时，执行步骤2.5；

步骤2.4、将样本数据x_j(i)更新为新的样本数据x_j+1(i)，令j＝j+1重复步骤2.1至步骤2.3；

步骤2.5、令P＝j，构建干扰子空间U_J＝[e₁e₂…e_P]；

步骤3、计算自适应和差波束权值为：

w_ΣMPSATd＝(I-U_JU_J ^H)s_Σ

w_ΔMPSATd＝(I-U_JU_J ^H)s_Δ

其中，I为N维单位矩阵，γ表示任意复常量，s_Σ为和波束权矢量，即观测方向导向矢量， u₀＝sinθ₀为预先设定的观测方向，θ₀为观测角；s_Δ为差波束权矢量，即导向矢量在u₀处的导数，

步骤4、自适应单脉冲测角

采用ADBF抑制干扰，获取自适应和差波束输出分别为计算单脉冲比为

$r_u=\mathrm{Re}\left\{\frac{f_{\mathrm{\&Delta;}}}{f_{\mathrm{\&Sigma;}}}\right\}=\mathrm{Re}\left\{\frac{w_{\mathrm{\&Delta;MPASTd}}^{H}z}{w_{\mathrm{\&Sigma;MPASTd}}^{H}z}\right\}$

其中Re表示取实部，若和差波束在干扰方向形成零陷且信噪比大于13dB时，单脉冲比r_u近似为目标方向参数的函数即

$r_u=\mathrm{Re}\left\{\frac{w_{\mathrm{\&Delta;MPASTd}}^{H}z}{w_{\mathrm{\&Sigma;MPASTd}}^{H}z}\right\}=\mathrm{Re}\left\{\frac{w_{\mathrm{\&Delta;MPASTd}}^H{a}_u}{w_{\mathrm{\&Sigma;MPASTd}}^H{a}_u}\right\}$

将单脉冲比在波束指向u₀处进行一阶泰勒展开，即

$r_u\&ap;r_{u_0}+\frac{{\mathrm{dr}}_u}{\mathrm{du}}{|}_{u=u_0}(u-u_0)$

其中经变换得到单脉冲测角公式：

$u=u_0+{\left(r_{u,0}\right)}^{-1}(r_u-r_{u_0})$

其中，和分别表示斜率值和单脉冲比偏移值

$r_{u,0}=\frac{\mathrm{Re}\{w_{\mathrm{\&Delta;MPASTd}}^H{a}_{u,0}{a}_{u_0}^H{w}_{\mathrm{\&Sigma;MPASTd}}+w_{\mathrm{\&Delta;MPASTd}}^H{a}_{u_0}{a}_{u,0}^H{w}_{\mathrm{\&Sigma;MPASTd}}\}}{{\left|a_{u_0}^H{w}_{\mathrm{\&Sigma;MPASTd}}\right|}^2}-2r_{u_0}\mathrm{Re}\left\{\frac{w_{\mathrm{\&Sigma;MPASTd}}^H{a}_{u,0}}{w_{\mathrm{\&Sigma;MPASTd}}^H{a}_{u_0}}\right\}$

$r_{u_0}=\mathrm{Re}\left\{\frac{w_{\mathrm{\&Delta;MPASTd}}^H{a}_{u_0}}{w_{\mathrm{\&Sigma;MPASTd}}^H{a}_{u_0}}\right\}$

根据u＝sinθ，得到目标方位角θ。

与现有技术相比，本发明具有如下有益效果：

1、该方法在显著减少运算量的同时，提高了收敛速度，在小样本情况下可获得很好的测角精度。

2、收敛速度快，运算量小，易于工程实施。

附图说明

图1(a)为和波束方向图。

图1(b)为差波束方向图。

图1(c)为单脉冲率曲线。

图2为基于干扰子空间跟踪的自适应单脉冲信号处理流程图。

图3为RMSE随训练样本数变化曲线。

图4为RMSE随SNR变化曲线。

图5(a)为传统自适应单脉冲法和差波束方向图。

图5(b)为本发明方法和差波束方向图。

图6为每次估计的角度随迭代次数收敛曲线。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的技术方案进行详细说明：

传统的单脉冲技术是在高斯噪声环境下的一种有效角度估计方法，但是当存在干扰时，特别是干扰靠近目标时，其测角所依据的单脉冲比则出现扰动，从而导致测角偏差。自适应波束形成(ADBF)技术可以在提高信号噪声干扰比(SNIR)的同时保持良好的探测性能。但是，由于自适应过程，如图1(a)、图1(b)、图1(c)所示，和差波束均在干扰的方向形成零陷，导致了单脉冲率明显偏离静态单脉冲率，因而单脉冲修正技术应该应用到阵列雷达中。

当阵元个数很多的高自由度系统，自适应单脉冲技术需估计的协方差矩阵Q需大量的独立同分布样本，导致算法收敛速度慢且运算量极其庞大。基于特征子空间的自适应波束形成方法指出了协方差矩阵中的主特征向量携带了干扰的全部信息，因此，当独立干扰源个数为P时，仅需L＝2P个独立同分布样本即可将性能损失限制在3dB以内。子空间降维算法可有效提高收敛速度，但特征分解的运算量与全维矩阵求逆运算量相当。

MPASTd算法是一种不需要特征分解的子空间跟踪算法，它能避免PASTd中的误差传递，迭代地估计出干扰子空间，并且每次更新只需要O(NP)次复乘运算(N表示输入矢量维数，P表示理想的特征成分的数目)，因而可用于实时处理。因此，本发明研究一种基于干扰子空间跟踪的高效自适应单脉冲测角方法。首先将MPASTd方法运用到自适应单脉冲中递归估计干扰子空间，然后计算新的自适应和差波束权值，最后通过角度估计公式给出信号源空间角度。该方法在显著减少运算量的同时，提高了收敛速度，在小样本情况下的可获得很好的测角精度。

本发明是对传统的自适应单脉冲测角技术的改进，针对传统自适应单脉冲测角方法在高维系统下估计协方差矩阵所需的庞大运算量和训练样本数，提出了一种基于干扰子空间跟踪的自高效适应单脉冲测角方法。

本发明包括如下两个部分：1)基于MPASTd求干扰子空间估计，2)自适应单脉冲测角。

具体实施例如下：

1)基于MPASTd求干扰子空间估计

假定均匀线阵由N个阵元构成，各阵元天线各向同性，则其检测单元的信号模型可表示成如下形式：

z＝a_ub+n                       (1)式中，z表示检测单元阵列输出信号，b表示目标的复包络，u表示方向参数且u＝sinθ，θ为目标的方位角，上标^T表示转置符号，λ为发射信号波长，d为阵元间距，n表示干扰加噪声。假设干扰加噪声服从均值为0，协方差为Q的高斯分布，且干扰、噪声和目标互不相关。

MPASTd算法在PASTd的基础上进行了改进。针对雷达应用场景，首先利用样本数据x(i)，令x(i)＝x₁(i)递归估计出最主要特征矢量e₁(最大特征值对应的特征矢量)，同时计算相应的特征值以估计干扰的子空间的秩，即，对i＝1,2,…,L：

$y_1\left(i\right)=e_1^H(i-1)x_1\left(i\right)---\left(2\right)$

λ₁(i)＝λ₁(i-1)+|y₁(i)|²                  (3)

Δ₁(i)＝x₁(i)-e₁(i-1)y₁(i)               (4)

$e_1\left(i\right)=e_1(i-1)+\frac{{\mathrm{\&Delta;}}_1\left(i\right)\&CenterDot;y_1^{*}\left(i\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_1\left(i\right)}---\left(5\right)$

其中，λ₁(i)表示由样本数据x₁(i)进行第i递归迭代时与e₁(i)对应的特征值，e₁(0)、λ₁(0)为预先设置的随机初始值，上标^H表示共轭转置符号，上标^*表示复共轭；对最后一次迭代更新值e₁(L)进行归一化操作，得到第一个主特征矢量e₁为

$e_1=\frac{e_1\left(L\right)}{{\left|\right|e_1\left(L\right)\left|\right|}_2}---\left(6\right)$

其中‖·‖₂为l₂范数运算；计算输入信号x₁(i)在第一个主特征矢量e₁上的投影分量幅度y₁(i)

y₁(i)＝<e₁,x₁(i)>                   (7)

其中<·>为矢量内积运算符，则对所有训练样本数据而言，在第1个特征分量e₁上的总投影功率λ₁为：

${\mathrm{\&lambda;}}_1=\frac{1}{L}\underset{i=1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}{y}_1\left(i\right)\&CenterDot;y_1^{*}\left(i\right)---\left(8\right)$

$E_{j+1}=\frac{E_0-\underset{k=1}{\overset{j}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&lambda;}}_k}{N-j},j=\mathrm{1,2},...,P---\left(9\right)$

其中为样本数据的总功率，利用公式(9)计算剩余N-1特征矢量对应平均投影功率E₂，判断E₂与检测门限2n₀的关系，其中n₀为预先设定系统噪声功率，当E₂>2n₀时，表明还有干扰特征矢量需要进一步估计，对样本数据x₁(i)滤去在e₁上的投影分量，得到新的样本数据x₂(i)，即：

x₂(i)＝x₁(i)-e₁y₁(i)                   (10)

利用式(2)-(6)计算第二大特征矢量e₂，并相应计算E₃，重复此过程，当E_P+1≤2n₀时，可确定干扰子空间秩为P，构造干扰子空间U_J＝[e₁e₂…e_P]；

则由MPASTd估计的自适应和差波束权值为：

w_ΣMPSATd＝(I-U_JU_J ^H)s_Σ                (11)

w_ΔMPSATd＝(I-U_JU_J ^H)s_Δ                (12)

其中，I为N维单位矩阵，γ表示任意复常量，s_Σ为和波束权矢量，即观测方向导向矢量， u₀＝sinθ₀为预先设定的观测方向，θ₀为观测角；s_Δ为差波束权矢量，即导向矢量在u₀处的导数，

基于MPASTd算法的自适应单脉冲法相较于用特征分解(ED)来计算自适应权值可以显著减少运算量。在特定情形下，假设训练样本数L＝2P，对于ED需要O(N³+PN²)次复乘运算，而对于MPASTd则只需要O(P²N)次，而通常情况下N＞＞P，因而本发明算法运算量可以得到显著改善。

2)自适应单脉冲测角

采用ADBF抑制干扰，则自适应和差波束输出分别为w_ΣMPSATd和w_ΔMPSATd分别为由MPASTd估计的自适应和差波束加权，则单脉冲比为

$r_u=\mathrm{Re}\left\{\frac{f_{\mathrm{\&Delta;}}}{f_{\mathrm{\&Sigma;}}}\right\}=\mathrm{Re}\left\{\frac{w_{\mathrm{\&Delta;MPASTd}}^{H}z}{w_{\mathrm{\&Sigma;MPASTd}}^{H}z}\right\}---\left(13\right)$

其中Re表示取实部，若和差波束在干扰方向形成零点且信噪比大于13dB时，单脉冲比r_u近似为目标方向参数的函数即

$r_u=\mathrm{Re}\left\{\frac{w_{\mathrm{\&Delta;MPASTd}}^{H}z}{w_{\mathrm{\&Sigma;MPASTd}}^{H}z}\right\}=\mathrm{Re}\left\{\frac{w_{\mathrm{\&Delta;MPASTd}}^H{a}_u}{w_{\mathrm{\&Sigma;MPASTd}}^H{a}_u}\right\}---\left(14\right)$

由于目标在波束中心附近，则将单脉冲比在波束指向u₀处进行一阶泰勒展开，即

$r_u\&ap;r_{u_0}+\frac{{\mathrm{dr}}_u}{\mathrm{du}}{|}_{u=u_0}(u-u_0)---\left(15\right)$

其中经变换得单脉冲测角公式：

$u=u_0+{\left(r_{u,0}\right)}^{-1}(r_u-r_{u_0})---\left(16\right)$

其中，和分别表示斜率值和单脉冲比偏移值

$r_{u,0}=\frac{\mathrm{Re}\{w_{\mathrm{\&Delta;MPASTd}}^H{a}_{u,0}{a}_{u_0}^H{w}_{\mathrm{\&Sigma;MPASTd}}+w_{\mathrm{\&Delta;MPASTd}}^H{a}_{u_0}{a}_{u,0}^H{w}_{\mathrm{\&Sigma;MPASTd}}\}}{{\left|a_{u_0}^H{w}_{\mathrm{\&Sigma;MPASTd}}\right|}^2}-2r_{u_0}\mathrm{Re}\left\{\frac{w_{\mathrm{\&Sigma;MPASTd}}^H{a}_{u,0}}{w_{\mathrm{\&Sigma;MPASTd}}^H{a}_{u_0}}\right\}---\left(17\right)$

$r_{u_0}=\mathrm{Re}\left\{\frac{w_{\mathrm{\&Delta;MPASTd}}^H{a}_{u_0}}{w_{\mathrm{\&Sigma;MPASTd}}^H{a}_{u_0}}\right\}---\left(18\right)$

则将式(17)和(18)带入式(16)即可获得估计的目标方向，从而得到目标方位角。为了进一步消除所估计目标方位与真实目标方位的偏差，可将估计出的目标方位作为新的观测方向，重新迭代估计新的目标方向，一般通过两到三次迭代即可获得目标方位无偏估计。

综上，本发明提出的基于干扰子空间跟踪的高效自适应单脉冲测角方法包括基于MPASTd求干扰信号子空间和自适应单脉冲测角，即用MPASTd方法估计的干扰子空间求解自适应和差波束权值，然后带到自适应单脉冲测角公式中获得目标角度。其信号处理流程图如图2所示。

下面通过计算机仿真实验来分析基于投影子空间的自适应单脉冲测角方法的目标角度估计性能。仿真参数如下：均匀线阵的阵元数N＝32，阵元间距为半波长，波束指向为-3°，空间存在三个旁瓣干扰，分别位于-30°、-18°和20°，干扰噪声比均为30dB，检测单元存在一个目标回波信号位于-4.5°，信噪比(SNR)为30dB。

采用均方根误差(RMSE)来量化分析基于干扰子空间跟踪的高效自适应单脉冲算法的测角精度。均方根误差定义为

${\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{RMSE}}=\sqrt{\frac{1}{M}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_m-\mathrm{\&theta;})}^2}---\left(19\right)$

式中，M为实验次数，表示第m次估计出来的目标方位角，θ表示实际目标方位角。图3给出了RMSE随训练样本数的变化曲线，图中结果为10次迭代，200次独立Monte-Carlo实验的平均值。可见，即使采用5个训练样本，本发明算法的测角误差仅为0.005°，比传统自适应单脉冲算法误差小的多；当训练样本数不断增加时，两中算法的RMSE趋于恒定。图4给出了训练样本数L＝6时DOA估计的均方根误差随着信噪比的变化曲线，如图所示，本发明方法相较传统自适应单脉冲法，其RMSE要小很多，且收敛快。仿真结果验证了本发明方法收敛速度快，在小训练样本数条件下也具有很高的测角精度。

假定训练样本数L＝6，图5(a)、图5(b)分别给出了由自适应单脉冲方法和本发明算法计算的自适应权值获得的和差波束方向图，从图中可看出传统方法下的和差波束方向图明显扭曲，而本发明方法下的与静态和差波束方向图几乎一致。图6给出了本发明方法每次迭代估计的目标角度曲线，如图所示只需要两次迭代即收敛到目标角度。上述结果进一步验证了本发明的有效性。

Claims (1)

1.一种基于干扰子空间跟踪的高效自适应单脉冲测角方法，该方法应用雷达检测目标的方向角，预先设定雷达的接收天线为一个N阵元的均匀线阵，各阵元天线各项同性，则检测单元的信号模型可表示成如下形式：z＝a_ub+n，

其中，z表示检测单元阵列输出矢量，b表示目标的复包络，u表示方向参数，且u＝sinθ，θ为目标的方位角，上标^T表示转置符号，λ为发射信号波长，d为阵元间距，n表示干扰加噪声；假设干扰加噪声服从均值为0，协方差为Q的高斯分布，且干扰、噪声和目标互不相关；其特征在于，包括如下步骤：

步骤1、获取样本数据x(i)，样本数据的总功率为其中L为样本数，令x₁(i)＝x(i)，预先设定系统噪声功率为n₀，检测门限为2n₀；

步骤2、根据MPASTd算法估计干扰子空间，对j＝1,2,…,P，具体过程如下：

步骤2.1、对i＝1,2,…,L，由样本数据递归估计第j个特征矢量得到e_j并进行存储，计算公式为：

$y_j\left(i\right)=e_j^H(i-1)x_j\left(i\right)$

λ_j(i)＝λ_j(i-1)+|y_j(i)|²

Δ_j(i)＝x_j(i)-e_j(i-1)y_j(i)

$e_j\left(i\right)=e_j(i-1)+\frac{{\mathrm{\&Delta;}}_j\left(i\right)\&CenterDot;y_j^{*}\left(i\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_i\left(i\right)}$

其中，λ_j(i)表示由样本数据x_j(i)进行第i递归迭代时与e_j(i)对应的特征值，e_j(0)、λ_j(0)为预先设置的随机初始值，上标^H表示共轭转置符号，上标^*表示复共轭；对最后一次迭代更新值e_j(L)进行归一化操作，得到第j个主特征矢量e_j为

$e_j=\frac{e_j\left(L\right)}{{\left|\right|e_j\left(L\right)\left|\right|}_2}$

其中‖·‖₂为l₂范数运算；

步骤2.2、计算输入信号x_j(i)在第j个主特征矢量e_j上的投影分量幅度y_j(i)，即

y_j(i)＝<e_j,x_j(i)>

其中<·>为矢量内积运算符，则对所有训练样本数据而言，在第j个特征分量e_j上的总投影功率为：

${\mathrm{\&lambda;}}_j=\frac{1}{L}\underset{i=1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}{y}_j\left(i\right)\&CenterDot;y_j^{*}\left(i\right)$

其中上标^*为共轭运算符；剩余N-j个特征矢量对应的平均投影功率为

$E_{j+1}=\frac{E_0-\underset{k=1}{\overset{j}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&lambda;}}_k}{N-j};$

步骤2.3、判断E_j+1与检测门限2n₀的关系，当E_j+1>2n₀时，对所有样本数据x_j(i)滤去在e_j上的投影分量，得到新的样本数据x_j+1(i)

x_j+1(i)＝x_j(i)-e_jy_j(i)

执行步骤2.4，否则，当E_j+1≤2n₀时，执行步骤2.5；

步骤2.4、将样本数据x_j(i)更新为新的样本数据x_j+1(i)，令j＝j+1重复步骤2.1至步骤2.3；

步骤2.5、令P＝j，构建干扰子空间U_J＝[e₁e₂…e_P]；

步骤3、计算自适应和差波束权值为：

w_ΣMPSATd＝(I-U_JU_J ^H)s_Σ

w_ΔMPSATd＝(I-U_JU_J ^H)s_Δ

其中，I为N维单位矩阵，γ表示任意复常量，s_Σ为和波束权矢量，即观测方向导向矢量， u₀＝sinθ₀为预先设定的观测方向，θ₀为观测角；s_Δ为差波束权矢量，即导向矢量在u₀处的导数，

步骤4、自适应单脉冲测角

采用ADBF抑制干扰，获取自适应和差波束输出分别为计算单脉冲比为

$r_u=\mathrm{Re}\left\{\frac{f_{\mathrm{\&Delta;}}}{f_{\mathrm{\&Sigma;}}}\right\}=\mathrm{Re}\left\{\frac{w_{\mathrm{\&Delta;MPASTd}}^{H}z}{w_{\mathrm{\&Sigma;MPASTd}}^{H}z}\right\}$

其中Re表示取实部，若和差波束在干扰方向形成零陷且信噪比大于13dB时，单脉冲比r_u近似为目标方向参数的函数即

$r_u=\mathrm{Re}\left\{\frac{w_{\mathrm{\&Delta;MPASTd}}^{H}z}{w_{\mathrm{\&Sigma;MPASTd}}^{H}z}\right\}=\mathrm{Re}\left\{\frac{w_{\mathrm{\&Delta;MPASTd}}^H{a}_u}{w_{\mathrm{\&Sigma;MPASTd}}^H{a}_u}\right\}$

将单脉冲比在波束指向u₀处进行一阶泰勒展开，即

$r_u\&ap;r_{u_0}+\frac{{\mathrm{dr}}_u}{\mathrm{du}}{|}_{u=u_0}(u-u_0)$

其中经变换得到单脉冲测角公式：

$u=u_0+{\left(r_{u,0}\right)}^{-1}(r_u-r_{u_0})$

其中，和分别表示斜率值和单脉冲比偏移值

$r_{u,0}=\frac{\mathrm{Re}\{w_{\mathrm{\&Delta;MPASTd}}^H{a}_{u,0}{a}_{u_0}^H{w}_{\mathrm{\&Sigma;MPASTd}}+w_{\mathrm{\&Delta;MPASTd}}^H{a}_{u_0}{a}_{u,0}^H{w}_{\mathrm{\&Sigma;MPASTd}}\}}{{\left|a_{u_0}^H{w}_{\mathrm{\&Sigma;MPASTd}}\right|}^2}-2r_{u_0}\mathrm{Re}\left\{\frac{w_{\mathrm{\&Sigma;MPASTd}}^H{a}_{u,0}}{w_{\mathrm{\&Sigma;MPASTd}}^H{a}_{u_0}}\right\}$

$r_{u_0}=\mathrm{Re}\left\{\frac{w_{\mathrm{\&Delta;MPASTd}}^H{a}_{u_0}}{w_{\mathrm{\&Sigma;MPASTd}}^H{a}_{u_0}}\right\}$

根据u＝sinθ，得到目标方位角θ。