CN101257365A - 一种基于欧氏几何的可分解的ldpc码编码方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种信道纠错LDPC码的编码方法。现有方法只解决了二进制下的LDPC码的构造方法，不能解决多进制调制下的LDPC码的构造。本发明方法将原始的LDPC码分解成q个LDPC子码，使得在译码中可以采用多级译码，实现q次二进制迭代译码算法得到LDPC短码的译码结果，根据调制方式和交织方式，经过简单的组合就可以得到最终的原始LDPC码的译码结果。本发明方法得到的LDPC码具有Tanner图中不会产生四环的优点，且由于其编码方式采用的是多级编码，因此在译码中能够采用多级译码，每一级的译码采用二进制下的译码算法，从而大大降低了直接对多进制码字进行译码的复杂度。

Description

一种基于欧氏几何的可分解的LDPC码编码方法

技术领域

本发明属于通信领域，涉及一种信道纠错LDPC(low density paritycode，低密度校验)码的编码方法，具体涉及在欧氏几何空间中用代数的方法构造出一类可分解的LDPC码，对分解后的子码进行多级编码的方法，以方便将每个子码作为多级编码的组成码进行传输和译码。

背景技术

LDPC码于1962年由Gallager提出，因此它也被称为Gallager码，它是Turbo码之外的另外一种近香农极限(或者说信道容量)的码字。虽然Gallager证明了LDPC码是渐进好码，但是限于当时的计算能力，LDPC码一度被认为是一种无法实现的信道编码方式，在很长一段时间内没有受到人们的重视。

1981年随着Tanner著作的出现，LDPC码可以用图论的角度进行新的理解和诠释，然而不幸的是这一理论成果仍然没有得到人们的关注。直到90年代初，随着Turbo码的出现，这才引发了众多学者对LDPC码的研究兴趣。MacKay和Neal在上世纪九十年代中期利用随机构造的Tanner图研究了LDPC码的性能，采用和积译码算法的LDPC码字具有了与Turbo码相似的译码性能，长的LDPC码在基于Belief Propagation的译码算法上甚至超过了Turbo码，它可以达到一个距离香农极限只有0.1dB以下的距离，这个发现使得LDPC码比Turbo码在需要高度可靠性的通信和数字存储系统纠错中更具有竞争力。从此之后，有关LDPC码的文献大量涌现。

随着数字化进程的发展，人们对带宽的需求也比往日要高很多。因此现今译码的性能已经不再是人们更多关注的对象，人们往往更加希望能够在有限的带宽内获得更高的传送速率，多进制调制本身就是能够解决有效利用带宽的一个方法，它实际上是把编码后的多个比特合并为一组再进行符号映射，这样一个发送的符号传送速率当然要比二进制调制下的传送速率要高。因此采用多进制调制方式显然可以提高信息传送速率，这也就可以达到节省带宽的目的。

把分组编码和信道符号集联合起来，可以构造出带宽有效的编码调制方式，这种方式就称为分组编码调制BCM。通过分组编码调制方式构造的码字称为BCM码，其中，最有效的构造BCM码字的方法就是多级编码(Multilevel Coding)。

多级编码(MLC)方法最早是由Imai和Hirakawa提出的，这种方法能够十分有效的构造有效利用带宽的分组调制码。多级编码通过一个适当的信号集分割形成一个比特到符号的映射。这样的一种映射方式可以用以汉明距离为度量的组成码来构造任意大的以最小均方欧氏距离为度量的符号序列。

Shu Lin第一次用代数的方法系统的用有限几何(finite geometry)的方法构造出了一类LDPC码，这类LDPC码具有非常好的结构特性，并且这一类LDPC码所对应的Tanner图是不包含有四环结构的，这就使得译码过程中错误传递的可能性大大的降低。他所采用的构造空间是基于有限域的欧氏空间。

即一个m维向量(a₀，a₁，...，a_m-1)，每一个元素a_i在域GF(2^s)上取值。这样的m维向量一共有(2^s)^m＝(2^ms)个。这2^ms个向量组成了一个定义在GF(2^s)上的向量空间。向量加法和乘法按照下面定义：

(a₀，a₁，...，a_m-1)+(b₀，b₁，...，b_m-1)＝(a₀+b₀，a₁+b₁，...，a_m-1+b_m-1)

β·(a₀，a₁，…，a_m-1)＝(β·a₀，β·a₁，…，β·a_m-1)

加法a_i+b_i和乘法β·a_i都是在域GF(2^s)上定义。所有定义在GF(2^s)上的m维向量组成了定义在GF(2^s)上的m维欧氏几何空间，用EG(m，2^s)来表示。每一个m维向量a＝(a₀，a₁，…，a_m-1)定义为EG(m，2^s)上的一个点。全零向量0＝(0，0，...0)定义为EG(m，2^s)上的原点。

在空间EG(m，2^s)中，当任何两个μ维子空间没有公共的交点，这两个μ维子空间被称为相互平行。由于每一个μ维子空间包含2^μs个点，而EG(m，2^s)中总共包含2^ms个点，因此对于任何一个μ维子空间来说，一定有2^(m-μ)s-1个μ维子空间与它平行，集合中的平行子空间对应了EG(m，2^s)中的一个μ维子空间和它所有的2^(m-μ)s-1个陪集。

给定一个EG(m，2^s)中的μ维子空间F，则在EG(m，2^s)中相交于F的(μ+1)维子空间一共有：

(2^(m-μ)s-1)/(2^s-1)(1)

令μ取值为1，则得到了1维子空间。为了方便，把EG(m，2^s)中的1维子空间称为线。根据(1)可知，对于EG(m，2^s)中的任何一个点a，相交于这个点的线的总共有：

(2^ms-1)/(2^s-1)(2)

在EG(m，2^s)中一共存在的线数量为：

2^(m-1)s(2^ms-1)/(2^s-1)(3)

对于一个有限域GF(2^ms)，若a是它的一个本原元，则域中的任何一个元素都可以用β₀a⁰+β₁a¹+β₂a²+...+β_m-1a^m-1来表示，其中β∈GF(2^s)。如果用一个定义在GF(2^s)上的m维向量来表示每一个域中的元素，可以发现有限域GF(2^ms)可以完全等效成为一个EG(m，2^s)，因此对于任何一个EG(m，2^s)，都有一个有限域GF(2^ms)和它一一对应。域中的每一个元素可以和EG(m，2^s)的每一个点一一对应。令v＝(v₀，v₁，…，v_n)是一个定义在GF(2)上的n维向量，其中n＝2^ms。按照下面的原则对其进行编号：元素v_i标记为EG(m，2^s)第i个点，根据前面所述，它也就是有限域GF(2^ms)中第i个元素。令F表示任意一个μ维子空间，则我们可以按如下形式获得一个定义在GF(2)上的向量：v_F＝(v₀，v₁，…，v_n)。如果v_i所对应的点在子空间F上，则向量的第i个元素v_i是1；反之则取0。我们称向量v_F为μ维子空间的映射向量(incidence vector)。

Shu Lin所提出的方法只解决了二进制下的LDPC码的构造方法，而不能解决多进制调制下的LDPC码的构造。

发明内容

本发明的目的就是针对现有技术的不足，提供了一种多进制下基于欧氏几何构造一类可分解的LDPC码的编码方法。

本发明的具体步骤包括：

1)在有限域欧氏空间中选取EG(m，p^s)空间，使得选定的EG(m，p^s)空间中的全点个数p^ms与所要构造的LDPC码的码长相等；所述的欧氏空间采用Shu Lin的构造方法进行构造。

2)将得到的EG(m，p^s)空间按照设定的调制方式将空间分为q组，分组集合为C_q，对于M进制，则M＝2^q。

3)在选定的EG(m，p^s)空间中构造μ维子空间，使其平行子空间所包含点的个数能够整除C_q中点的个数，p^t＝q，t＝1，2...，n。

4)对C_q中的每一个分组构造校验矩阵H_i′，将μ维子空间中所有线的映射向量作为校验矩阵H_i′的行，将EG(m，p^s)空间中的所有的点对应校验矩阵H_i′的列。

5)构造可分解的LDPC码的校验矩阵H_dc，H_dc＝[H′₀ ^T，H′₁ ^T，...，H′_q-1 ^T]^T。

6)通过移除H_i′上的未出现在该分组上的点所对应的列(这些列都是全零的列向量)，把H_dc分解成q个子矩阵H_i，得到原始的LDPC码的q个LDPC码短码，即是其组成码的校验矩阵。

本发明方法得到的LDPC码具有Tanner图中不会产生四环的优点，且由于其编码方式采用的是多级编码，因此在译码中能够采用多级译码，每一级的译码采用二进制下的译码算法，从而大大降低了直接对多进制码字进行译码的复杂度

具体实施方式

实施例一：

1)选取合适的欧氏空间：

假设码字传输采用的是M进制调制方式，因此在信号星座图中有M个星座点。每个星座点用q个比特来表示，则多级编码由q个组成码组成。根据所需要构造的LDPC码的码长n选取合适的欧氏空间EG(m，2^s)，使得本空间中的所有点的个数2^ms＝n。

2)根据调制系数选定合适的q值：

考虑EG(m，2^s)空间中的每一个μ维子空间，由前面可知，每一个子空间包含2^μs个点，并且会存在2^(m-μ)s-1个μ维子空间与它组成一个μ维平行子空间集合。将全空间中的2^ms个点我们可以按照调制方式等分成q组，分组集合用C_q来表示，因此C_q中每组点的个数2^ms/q。接下来我们试图找到这样一个μ维平行子空间集合，它满足如下的要求：

要求1：每个μ维平行子空间所包含点的个数能够整除C_q中每组包含点数。

因为平行子空间的点数是随着μ的值呈指数关系，在此我们选择μ＝m-1可以满足上面的要求。由此可知，如果存在这样的一个μ维平行子空间集合，则每个分组中要包含2^(m-μ)s/q个这样的平行子空间。而当q是2的幂指数时候，是完全可以找到这样的一个μ的，使要求1满足，即：

$M=2^q=2^{2^t},(t=\mathrm{1,2},...)---\left(4\right)$

成立的时候，q可以取值为2，4，8，...，相应的调制方式是QPSK，16PSK(或16QAM)，256PSK(或256QAM)等等。如果t＝2(即16QAM调制)，合适的选择m和s的值，就可以获得一个(m-1)维平行子空间集合，使得每个子空间的点数可以整除分组中点数。由于我们最后构造的校验矩阵里面每个校验方程的度的值直接由s来决定，而空间中的点数就是码长，它由m和s共同决定，因此往往s要取的比较合理，因为如果s若太小，那么校验矩阵很难收敛，而如果取值过大，则会影响码字的最小汉明距离。在16QAM调制下，如果取m和s分别是3和4，则空间中一共有4096个点，将它们分成4组，每组的点数是1024个，取μ为2，则在一个2维平行子空间集合中每个子空间包含256个点，因此每个分组包含了4个这样的2维平行子空间。表一给出码长不小于4048下的m，s和子空间选择。

表1：各种不同调制方式下参数选择(Q＝2^t)

m和s分别是欧氏空间中和它的子域维度，μ表示的是欧氏几何中选取的子空间维度，q代表了调制方式，num_subspaces表示的是一个分组中平行子空间的数目，n代表码长为了方便，默认这个μ与m差值为1。不难发现这样的μ维平行子空间集合并不是唯一的。

3)选取满足条件的子空间：

由于EG(m，2^s)空间中的每一个点都可以和有限域GF(2^ms)中的元素一一对应，因此需要找到这样一个特殊的μ维平行子空间集合，它满足如下的要求：

要求2：对于C_q中的第i个分组包含所有的点仅仅对应有限域中表示为α^jq+i的元素，其中α是有限域的本原元，q＝2^t，j从0到2^μ-1取值。对于一个μ维平行子空间集，它存在一种分配方式，使得每个分组所包含每个点恰好对应它所包含所有分组中的每一个点。这样的μ维平行子空间集合我们定义为P_μ。

满足上面要求的P_μ是一定存在的，这是因为(1)所有满足上面要求的子空间没有任何交点，即它们是平行的；(2)满足上面要求的子空间的数量恰好等于μ维子空间中包含的平行子空间数量。因此可以断定平行子空间集合P_μ一定存在而且是唯一的。

4)针对C_q中的每一个分组构造校验矩阵H_i′

由于任何两个点确定一条线，根据(3)，对于任何一个μ维子空间它包含的线数量为：

2^(μ-1)s(2^μs-1)/(2^s-1)    (5)

令F_i表示集合P_μ中第i个平行子空间，F_i，j表示F_i第j条线。基于F_i，j，我们构造定义在GF(2)上的映射向量v_Fi，j＝(v₀，v₁，…，v_n)

当它的元素v_i所对应点出现在线F_i，j上时，v_i取值为1；否则取值为0。换句话说

中为1的元素仅仅简单的表示了包含在线v_Fi，j中的点。可下面我们构造一类可分解的LDPC码的校验矩阵。由于前面根据调制方式将空间中的所有点分成了q组，每一组包含了2^(m-μ)s/q个平行子空间。由于P_μ的属性，任何一条线F_i，j的映射向量仅仅在它所在空间F_i的2^μs个点对应位置上取2^s个“1”。对C_q中的每一个分组构造一个矩阵H_i′，它的行是它所包含所有F_i中线的映射向量，它的列对应了EG(m，2^s)空间中的所有的点。根据(5)，很容易看到每一个H_i′都是[2^(m-1)s·(2^μs-1)/(2^s-1)·q]×2^ms的矩阵，假定它的行秩为r′_i。

5)构造原始LDPC码的检验矩阵：

一个可分解的LDPC码可以被校验矩阵H_dc的零空间所确定，H_dc具有下面的结构：

H_dc＝[H′₀ ^T，H′₁ ^T，...，H′_q-1 ^T]^T    (6)

q个子矩阵H_i′分别由每个分组中所含P_μ中的2^(m-μ)s/q个平行子空间构造而来，所以任何两个子矩阵是相互正交的，也就是说任何来自从不同子矩阵的两个行向量不会在同一个列位置上都取值为1。另一方面，在EG(m，2^s)空间中任何两条线最多只有一个交点，因此来自同一个子矩阵的两个行向量最多只有一个列位置上都取值为1，这时候它们是取自同一平行子空间的线所对应的向量，因此校验矩阵H_dc所对应的Tanner图一定没有四环。

6)获取分解得到的LDPC组成码的校验矩阵：

对于每一个子矩阵H_i′，如果我们移除所有没有出现在第i个分组所包含的那些点所对应的列，就得到了q个新的矩阵，用H_i表示。因此每一个H_i是一个[2^(m-1)s·(2^μs-1)/(2^s-1)·q]×(2^ms/q)的矩阵，假定它的行秩为r_i。由于行秩为r′_i的矩阵H_i′是相互正交的，因此校验矩阵H_dc的零空间就定义了一个

码。另一方面，H_i是仅仅通过移除H_i′上的未出现在该分组上的点所对应的列，实际上这些列都是全零的列向量，因此这并没有改变矩阵的行秩，即r_i＝r′_i。因此新的矩阵H_i的零空间定义了一个(2^ms/q，2^ms/q-r′_i)LDPC码。如果我们把q个由H_i零空间定义的短码交织级联，并且它们比特的顺序与它们所对应的分组一致，就得到一个更长的

分组码，不难发现，这个级联后的码字就是由H_dc零空间定义的LDPC码。至此，我们已经把一个LDPC码分解成为了q个更短的LDPC码。我们把可分解的LDPC码称为原始LDPC码，而由于分解而得到的LDPC码可以在多级编码中应用，因此我们称它们为LDPC组成码。

实施例二：

前面的实施方案是基于GF(2^s)的扩域的，因此对于码字的长度的选取和调制方式系数的选取会有一定的限制，那么可以构造基于定义在GF(p^s)上的欧氏空间EG(m，p^s)，这样空间中点的数目为p^ms，根据调制方式参数q，适当的选择p使得每个分组中的点数为p^ms/q，一般来说p和q满足下面的关系：

p^t＝q    (t＝1，2...)  (7)

基于定义在GF(p^s)上的欧氏空间EG(m，p^s)构造LDPC码的方法与基于定义在GF(2^s)上的EG(m，2^s)是一样的。这样这种方法就构造了一大类可分解的LDPC码。表2列出了不同调制方式下p的选择以及其它参数的选取。

表2：不同调制方式下的参数选择

m和s分别是欧氏空间中和它的子域维度，μ表示的是欧氏几何中选取的子空间维度，q代表了调制方式，p表示不同的域，n代表码长

选取了合适的欧氏空间后，其后的实施步骤与前一个实施方案采取相同的处理方式就可以得到。

传统的由校验矩阵H_dc的零空间定义的原始LDPC码在多进制下进行传输后，它的译码需要采用基于广义的迭代译码算法。而本发明中，原始的LDPC码可以被分解成q个LDPC子码，则在译码中可以采用多级译码，仅仅需要实现q次二进制迭代译码算法得到LDPC短码的译码结果，根据调制方式和交织方式，经过简单的组合就可以得到最终的原始LDPC码的译码结果，这大大减少了相对于采用广义迭代译码算法的计算量和复杂度。不论是在多进制调制下的LDPC码的仿真还是硬件的实现上都具有非常大的优越性。

Claims (1)

1、一种基于欧氏几何的可分解的LDPC码编码方法，其特征在于该方法的具体步骤是：

1)在有限域欧氏空间中选取EG(m，p^s)空间，使得选定的EG(m，p^s)空间中的全点个数p^ms与所要构造的LDPC码的码长相等；所述的欧氏空间采用Shu Lin的构造方法进行构造；

2)将得到的EG(m，p^s)空间按照设定的调制方式将空间分为q组，分组集合为C_q，对于M进制，则M＝2^q；

3)在选定的EG(m，p^s)空间中构造μ维子空间，使其平行子空间所包含点的个数能够整除C_q中点的个数，p^t＝q，t＝1，2...，n；

4)对C_q中的每一个分组构造校验矩阵H_i′，将μ维子空间中所有线的映射向量作为校验矩阵H_i′的行，将EG(m，p^s)空间中的所有的点对应校验矩阵H_i′的列；

5)构造可分解的LDPC码的校验矩阵H_dc，H_dc＝[H′₀ ^T，H′₁ ^T，...，H′_q-1 ^T]^T；

6)通过移除H_i′上的未出现在该分组上的点所对应的列，把H_dc分解成q个子矩阵H_i，得到原始的LDPC码的q个LDPC码短码，即是其组成码的校验矩阵。