CN105207681A - 一种基于有限域乘群中循环子群生成元的ldpc码构造方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于有限域乘群中循环子群生成元的LDPC码构造方法,该方法包括以下步骤:确定码的参数和有限域、确定两个合适的循环子群、确定循环子群中的所有生成元、基于生成元的基矩阵设计、基矩阵的二元或多元扩展、获取分块子矩阵做校验矩阵,通过步骤,可以产生一类二元或多元的具有优秀误码性能和易于硬件实现的LDPC码。
Description
技术领域
本发明涉及LDPC码构造技术领域,更具体涉及一种基于有限域乘群中循环子群生成元的LDPC码构造方法。
背景技术
在20世纪50年代后期、60年代初,有限域成功用来构造线性分组码,这些码对于硬判决译码算法具有较大的最小码间距离,其中的代表如BCH码、RS码。2001年,林舒教授将有限域构造引入到LDPC码的构造中,产生了一类新的具有大的最小距离、良好收敛特性和低差错平底的一类LDPC码。
LDPC码由其稀疏的奇偶校验矩阵H唯一确定。若H具有恒定的列重γ,行重ρ,则其对应的LDPC码称为规则LDPC码,否则,称为不规则LDPC码。一个设计良好的LDPC码结合基于置信度传播的迭代译码算法在AWGN信道条件下误比特率曲线能够十分接近香农限。而研究表明,校验矩阵中的短环,特别是长度为4的环,在置信度传播的过程中破坏了信息间的独立性,阻止迭代译码算法的收敛,会导致较差的误比特率性能和较高的差错平底,因此,几乎在所有的码构造中,下面的约束总是被提及:校验矩阵中的任意两行不存在两个或更多的位置同时存在非零元,这条约束被称作行列约束。若校验矩阵满足此约束,且其最小列重为γmin,则其最小码间距离为γmin+1,该下界在γmin较大时比较紧。
若校验矩阵为稀疏的分块循环矩阵,则其零空间给出一个准循环LDPC码。准循环LDPC码的优势体现在硬件实现中,编码可以通过循环移位寄存器实现,实现复杂度与码字长度或校验位长度呈线性关系;在译码器的硬件实现中,准循环的LDPC码在布线中具有优势,而且准循环结构可以采用准并行的架构,这在译码器的速度和复杂度间提供了折中。由此可见,准循环的LDPC码是LDPC码中重要的一类。
与此相对的随机或伪随机LDPC码由于校验矩阵在结构上不具有如循环或准循环的特性,使得编码和译码实现变得十分复杂。
发明内容
(一)要解决的技术问题
本发明要解决的技术问题是如何构造一种性能优异的LDPC码,兼有准循环LDPC码或循环LDPC码在编译码实现中的优势与随机或伪随机LDPC码的优异的误码性能。
(二)技术方案
为了解决上述技术问题,本发明提供了一种基于有限域乘群中循环子群生成元的LDPC码构造方法,所述方法包括以下步骤:
S1、确定码参数,即码长L和码率R的范围,根据所述码参数确定码构造的有限域GF(q),所述有限域GF(q)所能构造的码字最大长度大于所述码长L,其中q表示所述有限域中元素的数量;q-1不是质数,并分解为互质的两个因子的乘积,即q-1=c×n;
S2、确定所述有限域上乘群的两个循环子群,即g1={δ0=1,δ,...,δc-1}和g2={β0=1,β,...,βn-1};其中δ=αn、β=αc,则δ和β分别具有阶数c和n,并且满足g1∩g2={1};α为所述有限域GF(q)的本原元;
S3、确定所述两个循环子群的全部生成元;具体为:
对于所述循环子群g1,如果有1≤i<c,并且i与c的最大公约数为1,则δ的i次方为g1的生成元;根据上述方法求取循环子群g1的全部生成元,所述g1生成元的数量为Kc,所述循环子群g1的全部生成元表示为 其中v0=0;
对于所述循环子群g2,如果有1≤j<n,并且j与n的最大公约数为1,则β的j次方为g2的生成元,根据上述方法求取循环子群g2的全部生成元,所述g2生成元的数量为Kn,所述循环子群设g2的全部生成元表示为 其中u0=0;
S4、根据所述步骤S3得到的全部生成元,构造(Kc+1)×(Kc+1)分块的基矩阵W,如公式(1),每个子矩阵为(Kn+1)×(Kn+1)的矩阵,如公式(2):
所述子矩阵Wi,j,0≤i≤Kc,0≤j≤Kc为:
所述基矩阵W的第i行分块第j列分块中的第s行第t列的元素等于所述循环子群g1中的第j个生成元除以第i个生成元乘上循环子群g2中的第t个生成元除以第s个生成元,然后减一,其中0≤i,j≤Kc、0≤s,t≤Kn,且循环子群g1和循环子群g2的第0个生成元均为1;
S5、根据步骤S4得到的基矩阵,将其的非零元扩展成(q-1)×(q-1)的循环置换矩阵,或广义循环置换矩阵,将所述基矩阵的零元扩展成(q-1)×(q-1)的零矩阵;得到如公式(3)形式的(Kc+1)(Kn+1)×(Kc+1)(Kn+1)的分块矩阵,即扩展矩阵H:
S6、选取所述扩展矩阵H的子矩阵H(γ,ρ)做校验矩阵,H(γ,ρ)的零空间给出所要构造的准循环LDPC码,具体为:
根据所述码长和码率的范围确定子矩阵的行分块数γ和列分块数ρ,其中所述列分块数ρ的取值使ρ(q-1)的值接近或等于要码长L;所述行分块数γ的取值使所要构造的校验矩阵的秩K接近或等于(1-R)ρ(q-1)的值;
从所述扩张矩阵H中选择连续的或者不连续的γ个行分块、ρ个列分块作为校验矩阵;若进一步要求校验矩阵中不含有全零子矩阵时,校验矩阵H(γ,ρ)选取要避开所述矩阵H中的零矩阵,即在主分块对角线上方或下方取值。
优选地,所述步骤S5具体为:
如果进行二元LDPC码的构造,则将所述基矩阵W中的非零元扩展成为二元的(q-1)×(q-1)循环置换矩阵,将所述基矩阵W中的零元扩展成为(q-1)×(q-1)零矩阵,得到一个二元的(q-1)×(q-1)分块校验矩阵H,其子矩阵为(q-1)×(q-1)的循环置换矩阵和零矩阵;
如果进行多元LDPC码的构造,即二元以上LDPC码的构建,则将所述基矩阵W中的非零元扩展成为多元的(q-1)×(q-1)的广义循环置换矩阵,将W中的零元扩展成为(q-1)×(q-1)零矩阵,得到一个多元的(q-1)×(q-1)分块校验矩阵H,其子矩阵为(q-1)×(q-1)的广义循环置换矩阵和零矩阵。
优选地,所述二元LDPC码的构造,非零元与扩展后的二元循环置换矩阵存在如下对应关系:
W中的所有非零元均表示为本原元α的幂次方的形式,即αi,0≤i<q-1;与元素αi对应的循环置换矩阵为i次循环右移后的q-1维标准阵。
优选地,所述多元LDPC码的构造,非零元与扩展后的广义循环置换矩阵存在如下对应关系:
W中的所有非零元均表示为本原元α的幂次方的形式,即αi,0≤i<q-1;定义q-1维广义标准矩阵为主对角线上的元素为(α0,α1,...,αq-2),其余元素均为0;与元素αi对应的广义循环置换矩阵为q-1维广义标准矩阵i次循环右移后所有元素乘以αi的q-1维广义标准阵,其中,α的幂取模q-1。
(三)有益效果
本发明提供了一种基于有限域乘群中循环子群生成元的LDPC码构造方法,该方法能够实现兼具有优异的误码性能和线性编译码复杂度的LDPC码的构造。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案,下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍,显而易见地,下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例,对于本领域普通技术人员来讲,在不付出创造性劳动的前提下,还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1为本发明的一种基于有限域乘群中循环子群生成元的LDPC码构造方法的流程图;
图2为利用本发明的方法所构造的两个(4080,3363)QC-LDPC码在AWGN信道条件下分别利用50次、10次、5次最大迭代次数的迭代译码算法得到的误码性能示意图。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明作进一步详细描述。以下实施例用于说明本发明,但不能用来限制本发明的范围。
图1为本发明的一种基于有限域乘群中循环子群生成元的LDPC码构造方法的流程图;一所述方法包括以下步骤:
S1、确定码参数,即码长L和码率R的范围,根据所述码参数确定码构造的有限域GF(q),所述有限域GF(q)所能构造的码字最大长度大于所述码长L,其中q表示所述有限域中元素的数量;q-1不是质数,并分解为互质的两个因子的乘积,即q-1=c×n;
所述有限域所构造出的LDPC码的最长的码长(Kc+1)(Kn+1)(q-1)大于所要构造码字的长度,即码长L,如果进一步要求构造的校验矩阵中不存在全零矩阵,则要使Mc+Nc≤(Kc+1)(Kn+1),其中,Mc是分块校验矩阵的行分块数,Nc是分块校验矩阵的列分块数;
S2、确定所述有限域上乘群的两个循环子群,即g1={δ0=1,δ,...,δc-1}和g2={β0=1,β,...,βn-1};其中δ=αn、β=αc,则δ和β分别具有阶数c和n,并且满足g1∩g2={1};α为所述有限域GF(q)的本原元;
S3、确定所述两个循环子群的全部生成元;具体为:
对于所述循环子群g1,如果有1≤i<c,并且i与c的最大公约数为1,则δ的i次方为g1的生成元;根据上述方法求取循环子群g1的全部生成元,所述g1生成元的数量为Kc,所述循环子群g1的全部生成元表示为 其中v0=0;
对于所述循环子群g2,如果有1≤j<n,并且j与n的最大公约数为1,则β的j次方为g2的生成元,根据上述方法求取循环子群g2的全部生成元,所述g2生成元的数量为Kn,所述循环子群g2的全部生成元表示为 其中u0=0;
S4、根据所述步骤S3得到的全部生成元,构造(Kc+1)×(Kc+1)分块的基矩阵W,如公式(1),每个子矩阵为(Kn+1)×(Kn+1)的矩阵,如公式(2):
所述子矩阵Wi,j,0≤i≤Kc,0≤j≤Kc为:
所述基矩阵W的第i行分块第j列分块中的第s行第t列的元素等于所述循环子群g1中的第j个生成元除以第i个生成元乘上循环子群g2中的第t个生成元除以第s个生成元,然后减一,其中0≤i,j≤Kc、0≤s,t≤Kn,且循环子群g1和循环子群g2的第0个生成元均为1;
我们可以看出或证明所述基矩阵W拥有如下的特性:1)W每一行(列)中的所有元素都不相同;2)W中的任意两行在所有的(Kc+1)×(Kn+1)个位置均不相同;3)W中的每一行(列)有且仅有一个零元素;4)所有的零元素均在W的主对角线上,由上述的性质,我们可以证明W满足α幂次乘积的行距约束。
S5、根据步骤S4得到的基矩阵,将其的非零元扩展成(q-1)×(q-1)的循环置换矩阵,或广义循环置换矩阵,将所述基矩阵的零元扩展成(q-1)×(q-1)的零矩阵;得到如公式(3)形式的(Kc+1)(Kn+1)×(Kc+1)(Kn+1)的分块矩阵,即扩展矩阵H:
如果进行二元LDPC码的构造,则将所述基矩阵W中的非零元扩展成为二元的(q-1)×(q-1)循环置换矩阵,将所述基矩阵W中的零元扩展成为(q-1)×(q-1)零矩阵,得到一个二元的(q-1)×(q-1)分块校验矩阵H,其子矩阵为(q-1)×(q-1)的循环置换矩阵和零矩阵;所述非零元与扩展后的二元循环置换矩阵存在如下对应关系:W中的所有非零元均表示为本原元α的幂次方的形式,即αi,0≤i<q-1;与元素αi对应的循环置换矩阵为i次循环右移后的q-1维标准阵;
如果进行多元LDPC码的构造,即二元以上LDPC码的构建,则将所述基矩阵W中的非零元扩展成为多元的(q-1)×(q-1)的广义循环置换矩阵,将W中的零元扩展成为(q-1)×(q-1)零矩阵,得到一个多元的(q-1)×(q-1)分块校验矩阵H,其子矩阵为(q-1)×(q-1)的广义循环置换矩阵和零矩阵;非零元与扩展后的广义循环置换矩阵存在如下对应关系:W中的所有非零元均表示为本原元α的幂次方的形式,即αi,0≤i<q-1;定义q-1维广义标准矩阵为主对角线上的元素为(α0,α1,...,αq-2),其余元素均为0;与元素αi对应的广义循环置换矩阵为q-1维广义标准矩阵i次循环右移后所有元素乘以αi的q-1维广义标准阵,其中,α的幂取模q-1。
S6、选取所述扩展矩阵H的子矩阵H(γ,ρ)做校验矩阵,H(γ,ρ)的零空间给出所要构造的准循环LDPC码,具体为:
根据所述码长和码率的范围确定子矩阵的行分块数γ和列分块数ρ,其中所述列分块数ρ的取值使ρ(q-1)的值接近或等于要码长L;所述行分块数γ的取值使所要构造的校验矩阵的秩K接近或等于(1-R)ρ(q-1)的值;
从所述扩张矩阵H中选择连续的或者不连续的γ个行分块、ρ个列分块作为校验矩阵;若进一步要求校验矩阵中不含有全零子矩阵时,校验矩阵H(γ,ρ)选取要避开所述矩阵H中的零矩阵,即在主分块对角线上方或下方取值。
校验矩阵H(γ,ρ)的零空间给出了一个码长为ρ(q-1)、码率为1-K/ρ(q-1),最小码距为γ的准循环LDPC码。若在H(γ,ρ)的选取中,要求避开H中的零子矩阵,则H(γ,ρ)的零空间给出一规则的循环LDPC码,若γ为奇数,则该码的最小码距为γ+1,若γ为偶数,则该码的最小码距为γ+2。
构造GF(q)上的二元LDPC码
1)参数设计:
选取q=281做为码构造域。
2)有限域乘群中循环子群的确定:
q-1可以分解为281-1=280=8×35,取c=8,n=35。
3)基于循环子群的基矩阵的设计:
根据上述步骤S3的计算过程,计算两个循环子群的生成元,并根据所述生成元进行基矩阵的构造,我们得到一125×125的基矩阵,基矩阵中的每个元素均属于GF(28)。
4)基矩阵的扩展:
对所取得基矩阵进行二元域上的扩展,得到125×125的分块校验矩阵,子矩阵为280×280的循环置换矩阵和零矩阵。
5)取扩展矩阵中的分块子矩阵作为校验矩阵:
此处取γ=4,ρ=16,避开主对角线上的零子矩阵,得到一4×16的分块子矩阵,子矩阵为280×280的循环置换矩阵,用此分块子矩阵作为校验矩阵。此矩阵的零空间给出一个(4480,3363)的准循环LDPC码,码率为0.751,其基于不同最大迭代次数(50次、10次、5次)的误比特性能曲线和对应的香农限如图2所示。
该码对应的基矩阵元素本原元的指数如下:
23566138152811001639230882485832195128265
145235192138152812541639118889524032195128
521452211921381522362541632301182485824032195
975266221192138100236254923088955824032
应用本发明的方法,有效简化了构造LDPC码的复杂度,并且该码保证了迭代译码中的良好收敛特性和低差错平底特性,够进行线性复杂度的编码,从而降低了信道编码对硬件的要求。
以上实施方式仅用于说明本发明,而非对本发明的限制。尽管参照实施例对本发明进行了详细说明,本领域的普通技术人员应当理解,对本发明的技术方案进行各种组合、修改或者等同替换,都不脱离本发明技术方案的精神和范围,均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。
Claims (4)
1.一种基于有限域乘群中循环子群生成元的LDPC码构造方法,其特征在于,所述方法包括以下步骤:
S1、确定码参数,即码长L和码率R的范围,根据所述码参数确定码构造的有限域GF(q),所述有限域GF(q)所能构造的码字最大长度大于所述码长L,其中q表示所述有限域中元素的数量;q-1不是质数,并分解为互质的两个因子的乘积,即q-1=c×n;
S2、确定所述有限域上乘群的两个循环子群,即g1={δ0=1,δ,...,δc-1}和g2={β0=1,β,...,βn-1};其中δ=αn、β=αc,则δ和β分别具有阶数c和n,并且满足g1∩g2={1};α为所述有限域GF(q)的本原元;
S3、确定所述两个循环子群的全部生成元;具体为:
对于所述循环子群g1,如果有1≤i<c,并且i与c的最大公约数为1,则δ的i次方为g1的生成元;根据上述方法求取循环子群g1的全部生成元,所述g1生成元的数量为Kc,所述循环子群g1的全部生成元表示为 其中v0=0;
对于所述循环子群g2,如果有1≤j<n,并且j与n的最大公约数为1,则β的j次方为g2的生成元,根据上述方法求取循环子群g2的全部生成元,所述g2生成元的数量为Kn,所述循环子群设g2的全部生成元表示为 其中u0=0;
S4、根据所述步骤S3得到的全部生成元,构造(Kc+1)×(Kc+1)分块的基矩阵W,如公式(1),每个子矩阵为(Kn+1)×(Kn+1)的矩阵,如公式(2):
所述子矩阵Wi,j,0≤i≤Kc,0≤j≤Kc为:
所述基矩阵W的第i行分块第j列分块中的第s行第t列的元素等于所述循环子群g1中的第j个生成元除以第i个生成元乘上循环子群g2中的第t个生成元除以第s个生成元,然后减一,其中0≤i,j≤Kc、0≤s,t≤Kn,且循环子群g1和循环子群g2的第0个生成元均为1;
S5、根据步骤S4得到的基矩阵,将其的非零元扩展成(q-1)×(q-1)的循环置换矩阵,或广义循环置换矩阵,将所述基矩阵的零元扩展成(q-1)×(q-1)的零矩阵;得到如公式(3)形式的(Kc+1)(Kn+1)×(Kc+1)(Kn+1)的分块矩阵,即扩展矩阵H:
S6、选取所述扩展矩阵H的子矩阵H(γ,ρ)做校验矩阵,H(γ,ρ)的零空间给出所要构造的准循环LDPC码,具体为:
根据所述码长和码率的范围确定子矩阵的行分块数γ和列分块数ρ,其中所述列分块数ρ的取值使ρ(q-1)的值接近或等于要码长L;所述行分块数γ的取值使所要构造的校验矩阵的秩K接近或等于(1-R)ρ(q-1)的值;
从所述扩张矩阵H中选择连续的或者不连续的γ个行分块、ρ个列分块作为校验矩阵;若进一步要求校验矩阵中不含有全零子矩阵时,校验矩阵H(γ,ρ)选取要避开所述矩阵H中的零矩阵,即在主分块对角线上方或下方取值。
2.根据权利要求1所述的方法,其特征在于,所述步骤S5具体为:
如果进行二元LDPC码的构造,则将所述基矩阵W中的非零元扩展成为二元的(q-1)×(q-1)循环置换矩阵,将所述基矩阵W中的零元扩展成为(q-1)×(q-1)零矩阵,得到一个二元的(q-1)×(q-1)分块校验矩阵H,其子矩阵为(q-1)×(q-1)的循环置换矩阵和零矩阵;
如果进行多元LDPC码的构造,即二元以上LDPC码的构建,则将所述基矩阵W中的非零元扩展成为多元的(q-1)×(q-1)的广义循环置换矩阵,将W中的零元扩展成为(q-1)×(q-1)零矩阵,得到一个多元的(q-1)×(q-1)分块校验矩阵H,其子矩阵为(q-1)×(q-1)的广义循环置换矩阵和零矩阵。
3.根据权利要求2所述的方法,其特征在于,所述二元LDPC码的构造,非零元与扩展后的二元循环置换矩阵存在如下对应关系:
W中的所有非零元均表示为本原元α的幂次方的形式,即αi,0≤i<q-1;与元素αi对应的循环置换矩阵为i次循环右移后的q-1维标准阵。
4.根据权利要求2所述的方法,其特征在于,所述多元LDPC码的构造,非零元与扩展后的广义循环置换矩阵存在如下对应关系:
W中的所有非零元均表示为本原元α的幂次方的形式,即αi,0≤i<q-1;定义q-1维广义标准矩阵为主对角线上的元素为(α0,α1,...,αq-2),其余元素均为0;与元素αi对应的广义循环置换矩阵为q-1维广义标准矩阵i次循环右移后所有元素乘以αi的q-1维广义标准阵,其中,α的幂取模q-1。
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Legal Events
Date | Code | Title | Description |
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C06 | Publication | ||
PB01 | Publication | ||
C10 | Entry into substantive examination | ||
SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
GR01 | Patent grant | ||
GR01 | Patent grant |