CN101246083B - 直齿圆柱齿轮动态啮合刚度的测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种直齿圆柱齿轮动态啮合刚度的测量方法。其过程包括：测量几何尺寸和形位公差并安装调整被测齿轮；测定在稳定状态下主动齿轮和被动齿轮各点的输出角度和测试台输出端动态摩擦力矩序列，定义被测齿轮的传动误差公式δ，并展开为傅立叶级数；利用周期函数特性，将动态摩擦力矩F_g用傅立叶级数表示；根据传动误差傅立叶级数和动态摩擦力矩的傅立叶级数表达形式，得到齿轮动态啮合刚度表示式；构建齿轮动态啮合刚度求解公式；将采用优化计算求得的相关系数同时代入刚度求解公式，求出动态啮合刚度傅立叶展开系数a_k0、a_ki、b_ki，得出齿轮动态啮合刚度K(t)。本发明可用对直齿圆柱齿轮啮合刚度直接测量，对齿轮传动的设计及应用有指导意义。

Description

直齿圆柱齿轮动态啮合刚度的测量方法

技术领域

本发明属于机械测量技术领域，涉及对齿轮啮合刚度的测量。具体的说是一种测量齿轮啮合过程中动态啮合刚度的方法，可用于对齿轮设计的指导。

背景技术

业内周知，齿轮传动由于具有平稳，传动比精确，工作可靠、效率高、寿命长，使用的功率、速度和尺寸范围大等特点，在工业领域得到了广泛的应用。

随着齿轮传动向高承载能力、高齿面硬度、高精度、高速度、高可靠性、高传动效率、低噪声、低成本、标准化、多样化的方向发展，以及有一些精密机器和仪表仪器本来就对精度有较高的要求，很需要确定主动轮和从动轮之间刚度变化的范围，确定传动偏差，以便采取更好的措施，实现更加准确的传动。

在以振动理论为基础的现代齿轮系统动力学中，轮齿啮合的刚度激励是齿轮系统振动的主要原因之一。由于刚度激励是其物体本身所固有的特性，这样，即使在外载荷为零或常量的情况下，系统也会因刚度激励而产生振动。因此，研究刚度激励及其与齿轮系统动态持性的关系，对改进齿轮传动系统的设计有其重要的作用。国内学者对此有较深入的描述，例如，李润方，王建军(1997)，齿轮系统动力学一书中对上述理论进行了深入的研究。王玉新，柳扬，王仪明在机械振动，26(1)(2002)，发表“考虑啮合时变刚度和传递误差的齿轮振动分析”的文章中，用多尺度方法研究了考虑轮齿时变刚度和静态传递误差激励的齿轮系统的动态特性，给出了系统在不同激励频率下系统稳态响应的求解方法，以及系统稳态解的解析表达式；最后，用数值方法对解析法分析的结果进行了验证。经研究发现，由于齿轮时变啮合刚度和静态传递误差的共同作用，导致系统产生多频响应，说明齿轮时变啮合刚度是系统产生多频响应的一个重要因素。王春光，常山，李应生(2005)，在“行星齿轮啮合刚度对其振动特性的影响.热能动力工程，20(4)：414-416”的文章中，对行星啮合刚度对其振动特性的影响进行了分析，分析结果表明，啮合刚度对两个旋转模态、两组位移模态和两个行星模态的固有特性影响较大；根据啮合应变能分布，可以清楚地了解啮合刚度变化对于系统固有特性的影响。Kahraman，Blankenship(1996)，“Gear dynamics experiments part-II：effect ofinvolute contact ratio.In ASME Power transmission and Gearing Conf，SanDiego，California”以动态传递误差表征齿轮系统动态特性，通过实验研究了齿轮付的受迫响应，说明了啮合刚度的时变幅值和重叠系数对系统动态特性有极重要的影响。Ozguven，Houser(1988)，“Dynamic analysis of high speed gears by using loadsstatic transmission error.J Sound Vib，125：71-83”建立了一对齿轮付单自由度非线性分析模型，采用分段线性方法计算了啮合过程、轮齿力、动载系数和动态传递误差等。这些研究表明，由时变啮合刚度产生的位移激励对系统的影响更大。

目前，齿轮啮合刚度的获取方法主要有两种，一是基于弹性力学、材料力学或振动力学经典的力学原理，通过建立数学模型来推导齿轮啮合时的刚度，由于理论模型的建立忽略了很多实际因素的影响，因此，建立的齿轮啮合的理论模型难免和实际模型之间存在较大误差，使得理论模型求解齿轮啮合刚度的精确性受到了一定的限制。二是直接测量啮合齿轮啮合时表面的正压力，根据K＝F/x求得齿轮的啮合刚度，但这种方法需要在齿轮轮齿的表面埋入压电传感材料破坏轮齿的结构，使得齿轮传动与实际相比出现偏差，测得的齿轮啮合刚度的准确性差。

发明的内容

本发明的目的在于克服上述已有技术的不足，提供一种直齿圆柱齿轮动态啮合刚度的测量方法，以在保证齿轮不被破坏条件下的准确测量。

本发明的目的是这样实现的：

本发明基于我们自身开发的测试平台，结合分析计算模型推导出了计算齿轮传动系统动态啮合刚度精确值的公式，并利用计算机强大的数据处理软件，实现渐开线直齿圆柱齿轮啮合刚度的精确测量，具体过程如下：

A.测量并标定被测齿轮的几何尺寸和形位公差；

B.将待测的主动齿轮和被动齿轮安装到测试台上，并调整该被测齿轮的同轴度；

C.控制测试台驱动电机(1)匀速输出，并通过测试台上的两个编码器(5、6)和扭矩传感器(7)，分别测定出在稳定状态下主动齿轮和被动齿轮的各点的输出角度和测试台输出端动态摩擦力矩，并定义被测主动齿轮和被动齿轮的传动误差公式为：

δ＝R_pθ_p-R_gθ_g

式中，R_p、R_g分别表示被测的主动齿轮和被动齿轮的节圆半径，θ_p、θ_g为主动齿轮和被动齿轮的输出角度；

D.利用周期函数的特性，将传动误差公式进一步展开为傅立叶级数为：

$\mathrm{\δ}=a_{\mathrm{\δ}0}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{\δi}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{\δi}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right)$

式中，ω为频率，a_δ0为恒定分量，a_δi与b_δi分别为第i级傅立叶级数的余弦项与正弦项系数，这些系数采用优化计算的方式获得；

E.利用周期函数的特性，将测试台输出端动态摩擦力矩F_g用傅立叶级数表示为：

$F_g=a_{g0}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{gi}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{gi}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right)$

式中，a_g0为恒定分量，a_gi与b_gi分别为摩擦力矩第i级傅立叶级数的余弦项与正弦项系数，这些系数采用优化计算的方式获得；

F.根据传动误差傅立叶级数和动态摩擦力矩的傅立叶级数表达形式，将齿轮动态啮合刚度表示为：

$K\left(t\right)=a_{k0}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ki}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{ki}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right)$

式中，a_k0、a_ki、b_ki是动态啮合刚度傅立叶展开的待求系数，a_k0为恒定分量，a_ki与b_ki分别为啮合齿轮动态啮合刚度第i级傅立叶级数的余弦项与正弦项系数；

G.构建齿轮动态啮合刚度求解公式为：

$-J_e{\mathrm{\ω}}^2(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{\δi}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{\δi}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right))+c\left(t\right)\mathrm{\ω}{J}_t(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{\δi}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{\δi}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right))+$

$(a_{k0}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ki}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{ki}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right))J_t(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{\δi}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{\δi}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right))$

$=T_e+J_p{R}_g(a_{g0}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{gi}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{gi}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right))$

式中，J_e＝J_pJ_g，

T_e＝T_pJ_gR_p+T_gJ_pR_g，J_p、J_g分别表示主动齿轮和被动齿轮的转动惯量，θ_p、θ_g分别表示主动齿轮和被动齿轮的转角，c(t)表示齿轮啮合阻尼，T_p、T_g分别表示啮合齿轮的输入力矩和系统输出力矩，R_p、R_g分别表示主动齿轮和被动齿轮的节圆半径；

H.将求得的所述系数a_δ0、a_δi、b_δi、a_g0、a_gi、b_gi同时代入刚度求解公式，利用三角函数系数相等的准则求出动态啮合刚度傅立叶展开系数a_k0、a_ki、b_ki，得出齿轮动态啮合刚度K(t)。

本发明具有如下优点：

1)本发明由于采用测试台中的调整机构，使得扭矩传感器可以准确测量出伺服传动机构摩擦力矩，消除了因安装精度等原因对摩擦力矩的干扰。

2)本发明由于采用测试台中的调整螺母调整传动轴，使得齿轮安装轴两端的同轴度的精度大为提高，消除了因齿轮两端不同轴造成对啮合刚度测量准确性问题。

3)本发明由于利用测得信号的周期特性，对传动误差、输出端动态摩擦力矩以及待测的齿轮动态啮合刚度采用傅立叶级数的方式表示，大大降低了最终计算的复杂程度，且用优化的方法获取上述傅立叶级数的参数；对于传动误差，利用傅立叶级数获得其速度与加速度，与传统的由测量数据直接差分获得速度与加速度的方法相比，能有效消除一部分测量数据中存在的干扰信号的影响，准确度大为提高。

4)本发明提出的齿轮动态啮合刚度的测量方法，与现有技术相比，不仅极大地减小了计算量，而且避免了直接测量啮合刚度对齿轮结构的破坏。

以下结合附图和实施方式对本发明的目的、特征作进一步详细描述。

附图说明

图1是本发明测试平台结构示意图；

图2是本发明的测量流程图；

图3是仿真获得的传动误差δ变化曲线图；

图4是齿轮受力分析示意图；

图5是动态啮合刚度变化曲线图。

具体实施方式

参照图1，本发明的测量平台包括：驱动电机(1)、传动轴(4)、第一编码器(5)、第二编码器(6)、扭矩传感器(7)、调整螺母(8)、机架(9)、电机输出轴(10)、惯性轮(11)、摩擦调整机构(12)和轴承(13)。其中，驱动电机(1)固定在机架(9)上，该驱动电机轴与电机输出轴(10)连接，传动轴(4)的两端分别连接在轴承(13)上，第一编码器(5)和第二编码器(6)分别固定在驱动电机(1)和传动轴(4)的下端，该两个编码器的数值通过数据传输线实时送入计算机内，用来测量传动齿轮主/被动齿轮的位置，以获取主/被动齿轮的位置信号；传动轴(4)的上端安装惯性轮(11)，该惯性轮上安装有摩擦调整机构(12)，安装时应使得摩擦调整机构(12)和伺服惯量盘(11)保持适当压力产生摩擦力，摩擦力大小要保证调整机构(11)可以随着惯量盘转动，扭矩传感器(7)安装在摩擦调整机构(12)和机架(9)之间，用于测量摩擦力大小，并通过数据线将扭矩实时送入计算机内。调整螺母(8)用于连接轴承(13)与机架(9)，调节调整螺母(8)可使轴承(13)位置改变，从而可使传动轴(4)位置发生改变，因此调整螺母(8)与轴承(13)一起构成同轴度调整机构。测试时，主动齿轮(2)安装在电机输出轴(10)上，被动齿轮(3)安装在传动轴(4)上，主动齿轮(2)和被动齿轮(3)保持啮合。

参照图2，本发明测量齿轮动态刚度的具体过程如下：

第一步，测量并标定被测齿轮的几何尺寸和形位公差。

利用测量仪器对待测的主动齿轮(2)和被动齿轮(3)的几何尺寸和形位公差进行详细测量，测量内容包括：齿数，齿顶圆直径，齿根圆直径，分度圆直径，齿厚，齿宽，模数，径节，齿面跳动，齿轮副的中心距，压力角与重合度系数。通过这些测量值，计算出齿轮的转动惯量、求解啮合刚度所需要的参数的数值以及惯性轮(11)的准确惯量。

第二步，将待测的主动齿轮和被动齿轮安装到测试台上，并调整该被测齿轮的同轴度。

利用公装将千分表架设在测试台上的传动轴(4)的不同点，使千分表的接触端点和该传动轴的表面接触；缓慢转动传动轴(4)，观察千分表的读数，如果每个测量点的读数之间的差值均小于0.02mm，说明安装同轴度满足要求；若存在测量点读数之间的差值大于0.02mm，则通过测试台上的调整螺母(8)，调整传动轴(4)两端的轴承(13)的位置，从而调整传动轴(4)的位置，使传动轴上每个测量点的读数之间的差值在0.02mm以内。

第三步，测量稳定状态下主动齿轮和被动齿轮各点的输出角度和测试台输出端的动态摩擦力矩。

控制测试台驱动电机(1)匀速输出，并通过测试台上的第一编码器(5)、第二编码器(6)和扭矩传感器(7)，分别测定出在稳定状态下主动齿轮和被动齿轮的各点的输出角度和测试台输出端动态摩擦力矩序列，并定义被测主动齿轮和被动齿轮的传动误差公式为：

δ＝R_pθ_p-R_gθ_g

式中，R_p、R_g分别表示被测的主动齿轮和被动齿轮的节圆半径，θ_p、θ_g为主动齿轮和被动齿轮的输出角度。

第四步，对传动误差公式用傅立叶级数进行表达。

齿轮的啮合过程可以描述为单齿啮合与双齿啮合相间的周而复始过程，由于电机输入转速是恒定值，齿轮的啮合过程呈现很强的周期性，即齿轮传动误差δ将呈周期性变化，且变化的频率输入的速度和齿轮的齿数有关，如图3所示，因此可以将齿轮传动误差δ表示为如下的傅立叶级数表达形式：

$\mathrm{\δ}=a_{\mathrm{\δ}0}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{\δi}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{\δi}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right)$

式中，ω为频率，且

ω_p是电机输入的角速度，z_p是主动齿轮的齿数；a_δ0为恒定分量，a_δi与b_δi分别为为第i级傅立叶级数的余弦项与正弦项系数。

这些系数采用如下优化的方式获得：

1)测定出的主动齿轮和被动齿轮各点的输出角度，得到传动误差序列；

2)对得到的传动误差序列进行离散傅立叶变换，并绘制其频谱；

3)根据所绘制的频谱，结合能量损失不超过5％的精度要求，确定传动误差傅立叶级数表达式

中n的取值，一般可取为3；

4)对于n已确定的傅立叶级数利用优化计算程序，求解出傅立叶表达形式的系数a_δ0、a_δi、b_δi，具体方法如下：

以传动误差δ的傅立叶表达形式获得的传动误差值与由测量获得的传动误差值δ差值的平方和最小为目标，构造如下规划：

Find  (a_δ0  a_δi  b_δi)i＝1…n

Min   (δ-δ)²

S.t $\mathrm{\δ}=a_{\mathrm{\δ}0}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{\δi}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{\δi}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right)$

$\mathrm{\ω}=\frac{{\mathrm{\ω}}_p{z}_p}{120\mathrm{\π}}$

解上述规划求得最优的a_δ0，a_δi与b_δi。

第五步，用傅立叶级数表达测试台输出端的动态摩擦力矩。

同理，当输入转速恒定时，基于齿轮啮合工作状态呈现周期性的特点，测试台输出端的动态摩擦力矩在齿轮稳定工作后，也随齿轮啮合呈现的周期性而呈现很强的周期性，且其变化的周期和齿形误差的周期相同，因此输出端动态摩擦力矩也可以用傅立叶级数来表达如下：

$F_g=a_{g0}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{gi}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{gi}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right)$

式中，a_g0为恒定分量，a_gi与b_gi分别为为输出端动态摩擦力矩第i级傅立叶级数的余弦项与正弦项系数。

这些系数采用如下的方法获得：

1)对测定出的动态摩擦力矩序列进行离散傅立叶变换，并绘制其频谱；

2)根据所绘制的频谱结合能量损失不超过5％的精度要求，确定动态摩擦力矩傅立叶级数表达式

中n的取值，一般可取为3；

3)对于n已确定的傅立叶级数

利用优化计算程序，求解出傅立叶表达形式的系数a_g0、a_gi、b_gi，具体方法如下：

以动态摩擦力矩F_g的傅立叶表达形式获得的传动误差值与由测量获得的动态摩擦力矩F_g差值的平方和最小为目标，构造如下规划：

Find  (a_g0  a_gi  b_gi)i＝1…n

Min   (F_g-F_g)²

S.t $F_g=a_{g0}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{gi}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{gi}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right)$

$\mathrm{\ω}=\frac{{\mathrm{\ω}}_p{z}_p}{120\mathrm{\π}}$

解上述规划求得最优的a_g0，a_gi与b_gi。

第六步，根据传动误差傅立叶级数和动态摩擦力矩的傅立叶级数表达形式，将齿轮动态啮合刚度K(t)用傅立叶级数表示。

由于齿轮工作状态始终处于单齿啮合和双齿啮合交变的过程中，当齿轮所处的啮合区不同时齿轮啮合刚度是不一样的，如图4所示，因此齿轮啮合动态刚度处于单齿或双齿变化中。令单齿啮合区的刚度值为K_min，双齿啮合区啮合刚度为K_max，其齿轮动态啮合刚度K(t)的变化曲线如图5所示。

当驱动电机(1)输入速度保持恒定时，齿轮啮合是一个单齿啮合变为双齿啮合然后再变回单齿啮合的周期性过程，即齿轮啮合状态也是呈周期性变化的，可以用傅立叶级数展开表示为：

$K\left(t\right)=a_{k0}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ki}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{ki}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right)$

式中，a_k0、a_ki、b_ki是动态啮合刚度傅立叶展开的待求系数，a_k0为恒定分量，a_ki与b_ki分别为啮合齿轮动态啮合刚度第i级傅立叶级数的余弦项与正弦项系数。

第七步，构建齿轮动态啮合刚度求解公式。

1)通过牛顿欧拉方程，得到主动齿轮和被动齿轮的动力学方程分别为：

$J_p{\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}}_p+c\left(t\right)({\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_p{R}_p-{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_g{R}_g)R_p+K\left(t\right)({\mathrm{\θ}}_p{R}_p-{\mathrm{\θ}}_g{R}_g)R_p=T_P+F_p$

$J_g{\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}}_g+c\left(t\right)({\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_g{R}_g-{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_p{R}_p)R_g+K\left(t\right)({\mathrm{\θ}}_g{R}_g-{\mathrm{\θ}}_p{R}_p)R_g={-T}_g-F_g$

式中，J_p、J_g分别表示主动齿轮和被动齿轮的转动惯量，θ_p、θ_g分别表示主动齿轮和被动齿轮的转角，c(t)、K(t)分别表示齿轮啮合阻尼和刚度，T_p、T_g分别表示啮合齿轮的输入力矩和系统输出力矩，R_p、R_g分别表示主动齿轮和被动齿轮的节圆半径，F_p表示主动轮上的摩擦力矩，F_g表示的被动轮与惯性轮整体受到的摩擦力矩；

2)用传动误差公式δ＝R_pθ_p-R_gθ_g替代上述动力学方程中的主动齿轮和

被动齿轮的转角θ_p，θ_g，得到齿轮传动误差动力学方程为：

$J_p{J}_g\stackrel{..}{\mathrm{\δ}}+c\left(t\right)(J_g{R}_p^2+J_p{R}_g^2)\stackrel{.}{\mathrm{\δ}}+K\left(t\right)(J_g{R}_p^2+J_p{R}_g^2)\mathrm{\δ}=(T_p{J}_g{R}_p+T_g{J}_p{R}_g)+(J_g{R}_p{F}_p+J_p{R}_g{F}_g)$

3)对齿轮传动误差动力学方程进行简化，令J_e＝J_pJ_g，T_e＝T_pJ_gR_p+T_gJ_pR_g，F_f＝J_gR_pF_p+J_pR_gF_g，将齿轮传动误差动力学方程可简化表示式为：

$J_e\stackrel{..}{\mathrm{\δ}}+c\left(t\right)J_t\stackrel{.}{\mathrm{\δ}}+K\left(t\right)J_t\mathrm{\δ}=T_e+F_f;$

4)对齿轮传动误差动力学方程中的T_e与F_f进一步简化，即将被动轮与伺服台末端的惯性轮看作一个整体，则系统的输出力矩T_g＝0，T_e＝T_pJ_gR_p，由于被动轮与惯性轮上的摩擦力矩F_g远远大于主动轮上的摩擦力矩，则有F_f＝J_pR_gF_g；

5)将所述传动误差、齿轮动态啮合刚度、动态摩擦力矩的傅立叶表达式，代入齿轮传动误差动力学简化方程，得到齿轮动态啮合刚度求解公式为：

$-J_e{\mathrm{\ω}}^2(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{\δi}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{\δi}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right))+c\left(t\right)\mathrm{\ω}{J}_t(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{\δi}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{\δi}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right))+$

$(a_{k0}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ki}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{ki}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right))J_t(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{\δi}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{\δi}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right))$

$=T_e+J_p{R}_g(a_{g0}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{gi}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{gi}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right)).$

第八步，将求得的所述系数a_δ0、a_δi、b_δi、a_g0、a_gi、b_gi同时代入刚度求解公式，利用三角函数系数相等的准则求出动态啮合刚度傅立叶展开系数a_k0、a_ki、b_ki，得出齿轮动态啮合刚度K(t)。

Claims (5)

1.一种直齿圆柱齿轮动态啮合刚度的测量方法，包括如下过程：

A.测量并标定被测齿轮的几何尺寸和形位公差；

B.将待测的主动齿轮和被动齿轮安装到测试台上，并调整该被测齿轮的同轴度；

C.控制测试台驱动电机(1)匀速输出，并通过测试台上的第一编码器(5)、第二编码器(6)和扭矩传感器(7)，分别测定出在稳定状态下主动齿轮和被动齿轮的各点的输出角度和测试台输出端动态摩擦力矩，并定义被测主动齿轮和被动齿轮的传动误差公式为：

δ＝R_pθ_p-R_gθ_g

式中，R_p、R_g分别表示被测的主动齿轮和被动齿轮的节圆半径，θ_p、θ_g为主动齿轮和被动齿轮的输出角度；

D.利用周期函数的特性，将传动误差公式进一步展开为傅立叶级数为：

$\mathrm{\δ}=a_{\mathrm{\δ}0}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{\δi}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{\δi}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right)$

式中，ω为频率，a_δ0为恒定分量，a_δi与b_δi分别为第i级傅立叶级数的余弦项与正弦项系数，这些系数采用优化计算的方式获得；

E.利用周期函数的特性，将测试台输出端动态摩擦力矩F_g用傅立叶级数表示为：

$F_g=a_{g0}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{gi}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{gi}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right)$

式中，a_g0为恒定分量，a_gi与b_gi分别为摩擦力矩第i级傅立叶级数的余弦项与正弦项系数，这些系数采用优化计算的方式获得；

F.根据传动误差傅立叶级数和动态摩擦力矩的傅立叶级数表达形式，将齿轮动态啮合刚度表示为：

$K\left(t\right)=a_{k0}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ki}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{ki}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right)$

式中，a_k0、a_ki、b_ki是动态啮合刚度傅立叶展开的待求系数，a_k0为恒定分量，a_ki与b_ki分别为啮合齿轮动态啮合刚度第i级傅立叶级数的余弦项与正弦项系数；

G.构建齿轮动态啮合刚度求解公式为：

$-J_e{\mathrm{\ω}}^2(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{\δi}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{\δi}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right))+c\left(t\right)\mathrm{\ω}{J}_t(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{\δi}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{\δi}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right))+$

$(a_{k0}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ki}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{ki}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right)J_i(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{\δi}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{\δi}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right)))$

$=T_e+J_p{R}_g(a_{g0}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{gi}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{gi}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right))$

式中，J_e＝J_pJ_g，

T_e＝T_pJ_gR_p+T_gJ_pR_g，J_p、J_g分别表示主动齿轮和被动齿轮的转动惯量，θ_p、θ_g分别表示主动齿轮和被动齿轮的转角，c(t)表示齿轮啮合阻尼，T_p、T_g分别表示啮合齿轮的输入力矩和系统输出力矩，R_p、R_g分别表示主动齿轮和被动齿轮的节圆半径；

H.将求得的所述系数a_δ0、a_δi、b_δi、a_g0、a_gi、b_gi同时代入刚度求解公式，利用三角函数系数相等的准则求出动态啮合刚度傅立叶展开系数a_k0、a_ki、b_ki，得出齿轮动态啮合刚度K(t)。

2.根据权利要求1所述的测量方法，其中步骤B所述的调整被测齿轮同轴度，按如下过程进行：

(B1)利用公装将千分表架设在测试台上的传动轴(4)的不同点，使千分表的接触端点和该传动轴的表面接触；

(B2)缓慢转动传动轴(4)，观察千分表的读数，如果每个测量点的读数之间的差值均小于0.02mm，说明安装同轴度满足要求；若存在测量点读数之间的差值大于0.02mm，则通过测试台上的调整螺母(8)，调整传动轴(4)两端轴承(13)的位置，从而调整传动轴(4)的位置，使传动轴(4)上每个测量点的读数之间的差值在0.02mm以内。

3.根据权利要求1所述的测量方法，其中步骤D所述的优化求解a_δ0、a_δi、b_δi，按如下过程进行：

(D1)测定出的主动齿轮和被动齿轮各点的输出角度，得到传动误差序列；

(D2)对所述传动误差序列进行离散傅立叶变换，并绘制其频谱；

(D3)根据所绘制的频谱，结合能量损失不超过5％的精度要求，确定传动误差傅立叶级数表达式

中n的取值，一般可取为3；

(D4)对于n已确定的傅立叶级数

利用优化计算方法，求解出傅立叶表达形式的恒定分量a_δ0，第i级傅立叶级数的余弦项系数a_δi，第i级傅立叶级数的正弦项系数b_δi，具体优化计算如下：

以传动误差δ的傅立叶表达形式获得的传动误差值与由测量获得的传动误差值δ差值的平方和最小为目标，构造如下规划：

Find(a_δ0a_δib_δi)i＝1…n

Min(δ-δ)²

$S.\mathrm{t\δ}=a_{\mathrm{\δ}0}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{\δi}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{\δi}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right)$

$\mathrm{\ω}=\frac{{\mathrm{\ω}}_p{z}_p}{120\mathrm{\π}}$

解上述规划求得最优的a_δ0，a_δi与b_δi。

4.根据权利要求1所述的测量方法，其中步骤E所述的优化求解a_g0、a_gi、b_gi，按如下过程进行：

(E1)对测定出的动态摩擦力矩序列进行离散傅立叶变换，并绘制其频谱；

(E2)根据所绘制的频谱结合能量损失不超过5％的精度要求，确定动态摩擦力矩傅立叶级数表达式中n的取值，一般可取为3；

(E3)对于n已确定的傅立叶级数

利用优化计算方法，求解出傅立叶表达形式的恒定分量a_g0，第i级傅立叶级数的余弦项系数a_gi，第i级傅立叶级数的正弦项系数b_gi，具体优化计算如下：

以动态摩擦力矩F_g的傅立叶表达形式获得的传动误差值与由测量获得的动态摩擦力矩F_g差值的平方和最小为目标，构造如下规划：

Find(a_g0a_gib_gi)i＝1…n

Min(F_g-F_g)²

$S.t{F}_g=a_{g0}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{gi}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{gi}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right)$

$\mathrm{\ω}=\frac{{\mathrm{\ω}}_p{z}_p}{120\mathrm{\π}}$

解上述规划求得最优的a_g0，a_gi与b_gi。

5.根据权利要求1所述的测量方法，其中步骤(G)所述的构建齿轮动态啮合刚度求解公式，按如下过程进行：

(G1)通过牛顿欧拉方程，得到主动齿轮和被动齿轮的动力学方程分别为：

$J_p{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_p+c\left(t\right)({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_p{R}_p-{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_g{R}_g)R_p+K\left(t\right)({\mathrm{\θ}}_p{R}_p-{\mathrm{\θ}}_g{R}_g)R_p=T_p+F_p$

$J_g{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_g+c\left(t\right)({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_g{R}_g-{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_p{R}_p)R_g+K\left(t\right)({\mathrm{\θ}}_g{R}_g-{\mathrm{\θ}}_p{R}_p)R_g={-T}_g-F_g$

式中，J_p、J_g分别表示主动齿轮和被动齿轮的转动惯量，θ_p、θ_g分别表示主动齿轮和被动齿轮的转角，c(t)、K(t)分别表示齿轮啮合阻尼和刚度，T_p、T_g分别表示啮合齿轮的输入力矩和系统输出力矩，R_p、R_g分别表示主动齿轮和被动齿轮的节圆半径，F_p表示主动轮上的摩擦力矩，F_g表示的被动轮与惯性轮整体受到的摩擦力矩；

(G2)用传动误差公式δ＝R_pθ_p-R_gθ_g替代上述动力学方程中的主动齿轮和被动齿轮的转角θ_p，θ_g，得到齿轮传动误差动力学方程为：

$J_p{J}_g\stackrel{\·\·}{\mathrm{\δ}}+c\left(t\right)(J_p{R}_p^2+J_p{R}_g^2)\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}+K\left(t\right)(J_p{R}_p^2+J_p{R}_g^2)\mathrm{\δ}=(T_p{J}_g{R}_p+T_g{J}_p{R}_g)+(J_g{R}_p{F}_p+J_p{R}_g{F}_g)$

(G3)对齿轮传动误差动力学方程进行简化，令J_e＝J_pJ_g，

T_e＝T_pJ_gR_p+T_gJ_pR_g，F_f＝J_gR_pF_p+J_pR_gF_g，齿轮传动误差动力学方程的简化表示式为：

$J_e\stackrel{\·\·}{\mathrm{\δ}}+c\left(t\right)J_t\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}+K\left(t\right)J_t\mathrm{\δ}=T_e+F_f;$

(G4)对齿轮传动误差动力学方程中的T_e与F_f进一步简化，即将被动轮与伺服台末端的惯性轮看作一个整体，则系统的输出力矩T_g＝0，T_e＝T_pJ_gR_p，根据被动轮与惯性轮上的摩擦力矩F_g远远大于主动轮上的摩擦力矩，则有F_f＝J_pR_gF_g；

(G5)将所述传动误差、齿轮动态啮合刚度、动态摩擦力矩的傅立叶表达式，代入齿轮传动误差动力学简化方程，得到齿轮动态啮合刚度求解公式为：

$-J_e{\mathrm{\ω}}^2(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{\δi}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{\δi}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right))+c\left(t\right)\mathrm{\ω}{J}_t(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{\δi}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{\δi}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right))+$

$(a_{k0}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ki}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{ki}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right)J_i(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{\δi}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{\δi}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right)))$

$=T_e+J_p{R}_g(a_{g0}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{gi}}\cos \left(\mathrm{i\ωt}\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{gi}}\sin \left(\mathrm{i\ωt}\right)).$

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