CN103207939A

CN103207939A - 一种基于变传动比摆线齿锥齿轮动力学建模方法

Info

Publication number: CN103207939A
Application number: CN2013101369428A
Authority: CN
Inventors: 刘志峰; 张志民; 罗兵; 郭春华; 张敬莹; 刘美荣
Original assignee: Beijing University of Technology
Current assignee: Beijing University of Technology
Priority date: 2013-04-19
Filing date: 2013-04-19
Publication date: 2013-07-17
Anticipated expiration: 2033-04-19
Also published as: CN103207939B

Abstract

本发明涉及一种基于变传动比摆线齿锥齿轮动力学建模方法，包括：将定传动比引入摆线齿锥齿轮的动力学方程中，形成传统的定传动比摆线齿锥齿轮非线性啮合动力学模型；在齿轮啮合过程中，考虑到误差会引起传动比的变化，推导出变传动比的方程；通过变传动比将齿轮误差引入摆线齿锥齿轮的动力学方程中，形成一种新的基于变传动比的摆线齿锥齿轮非线性啮合动力学模型；引入三种常见的齿轮误差，基于传统的摆线齿锥齿轮动力学模型和新方法建立的变传动比摆线齿锥齿轮动力学模型，进行齿轮系统仿真模拟分析。本方法能运用于克林根贝尔格锥齿轮啮合系统的仿真分析中，能够比较准确的模拟齿轮啮合过程和分析齿轮的非线性动力学特性。

Description

一种基于变传动比摆线齿锥齿轮动力学建模方法

技术领域

本发明属于非线性振动理论分析领域，涉及一种克林根贝尔格锥齿轮动力学建模方法，更具体涉及一种基于变传动比摆线齿锥齿轮动力学建模方法。

背景技术

克林根贝尔格锥齿轮（Klingelnberg Spiral Bevel Gear）作为螺旋锥齿轮的两大齿制之一，具有传动平稳、承载能力高、硬齿面刮削技术等特点，从而特别适用于大功率和大扭矩重载传动领域，是重型高档数控机床、汽车传动系统、航空航天装备等重要领域中的核心传动部件。为了保证齿轮在传动过程中平稳可靠，减小振动和噪声，必须对齿轮传动系统进行动力学分析。有效的建立齿轮啮合数学模型是动力学分析的基础。

国内外许多学者对齿轮误差以及动力学特性进行了较广泛而深入的研究，但多数都是考虑将齿轮传动比看成定值不受误差因素影响，即使是针对直齿圆柱齿轮误差对齿轮传动比的影响非常少，而针对克林根贝尔格锥齿轮研究误差对齿轮传动比的影响几乎是空白。研究齿轮误差对齿轮传动比的影响，能够比较准确的模拟克林根贝尔格锥齿轮系统啮合过程，准确的分析齿轮的非线性动力学特性，同时也能确定误差对齿轮传动平稳性的影响规律，也进而为摆线齿锥齿轮振动控制、降噪和缺陷检测提供基础和依据。

发明内容

本发明的目的是提供一种基于变传动比摆线齿锥齿轮动力学建模方法，该方法能运用于克林根贝尔格锥齿轮的啮合系统的仿真分析中，能够比较准确的模拟齿轮啮合过程，准确的分析齿轮的非线性动力学特性，同时该方法不仅确定误差对齿轮传动平稳性的影响规律，也进而为摆线齿锥齿轮振动控制、降噪和缺陷检测提供基础和依据。

本发明是采用以下技术手段实现的：

一种基于变传动比摆线齿锥齿轮动力学建模方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

1）、建立传统的定传动比齿轮动力学模型

1.1）考虑到实际中存在齿侧间隙和齿轮误差，基于齿侧间隙和误差函数建立摆线齿锥齿轮副扭转振动数学分析模型

I_{p} {\overset{\cdot \cdot}{θ}}_{p} + R_{p} c_{m} (R_{p} {\overset{\cdot}{θ}}_{p} - R_{g} {\overset{\cdot}{θ}}_{g} - \overset{\cdot}{e}) + R_{p} k_{m} f (R_{p} θ_{p} - R_{g} θ_{g} - e) = T_{p} - - - (1)

I_{g} {\overset{\cdot \cdot}{θ}}_{g} - R_{g} c_{m} (R_{p} {\overset{\cdot}{θ}}_{p} - R_{g} {\overset{\cdot}{θ}}_{g} - \overset{\cdot}{e}) - R_{g} k_{m} f (R_{p} θ_{p} - R_{g} θ_{g} - e) = {- T}_{g} - - - (2)

式中，I_i(i=p或g)为齿轮的转动惯量，R_i(i=p或g)为齿轮的啮合半径，T_i(i=p或g)为齿轮的负载扭矩，c_m为齿轮啮合阻尼，k_m为齿轮啮合刚度，转角位移θ_p和θ_g代表摆线齿锥齿轮啮合过程中转过的角度，即转角，它们不是独立的；

1.2）通常情况下，认为齿轮啮合的传动比是不变的，即不受误差的影响，两个摆线齿锥齿轮的转动角速度是理想的，因此可以得到

Z_i（i=p或g）为主、被动齿轮的齿数，得到切向角速度

而齿轮的传动比所以选择合适的初始条件，可以进一步推导出θ_g=-λθ_p:

1.3）转角θ_i（i=p或g）也被定义为齿轮和惯性矩的转角位移，因此它是一个平稳状态的转动和扭转振动的结合，齿轮旋转角度θ_i=α_it+q_i（i=p或g），所以α_g=-λα_p，其中α_i为平稳状态下的齿轮转速；q_i为扭转振动；

1.4）转角位移θ_p和θ_g是相关联的，摆线齿锥齿轮啮合过程中，齿侧间隙和误差的影响是不可避免的，将齿轮定传动比λ代入公式(1)与公式(2)相减的结果，消去转角位移θ_g，得到传统的定传动比摆线齿锥齿轮动力学模型为

\{\begin{matrix} [M] {{\overset{\cdot \cdot}{θ}}_{P}} + [C] {{\overset{\cdot}{θ}}_{P}} + [\overset{&OverBar;}{K}] F ((R_{p} + λ R_{g}) θ_{p}) = {P + {\overset{&OverBar;}{P}}_{f}} \\ [M] = [I_{p} + λ I_{g}] \\ [C] = [c_{m} (R_{p} + R_{g}) (R_{p} + λ R_{g})] \\ [\overset{&OverBar;}{K}] = [(R_{p} + R_{g}) k_{m}] \\ {P} = {T_{p} + T_{g}} \end{matrix} - - - (3)

式中，齿侧间隙函数为

f (x) = \{\begin{matrix} xx - H & x &GreaterEqual; H \\ 0 & - H < x < H \\ xx + H & x \leq - H \end{matrix}

x＝(R_p+λR_g)θ_p-e，xx＝(R_p+λR_g)θ_p，H为相应于刚度转折点的相对位移。式中，[M]，[C]，

{p}分别是质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵，外部激励。内部激振力

{\overset{&OverBar;}{P}}_{f} = \{\begin{matrix} (R_{p} + R_{g}) c_{m} \overset{\cdot}{e} & - H < x < H \\ (R_{p} + R_{g}) c_{m} \overset{\cdot}{e} + (R_{p} + R_{g}) k_{m} e & others \end{matrix}

2）、建立变传动比的摆线齿锥齿轮动力学模型

不考虑静态误差e的情况下，齿轮的实际应用中含有齿侧间隙，因此基于齿侧间隙函数，齿轮副的扭转振动分析数学模型为

I_{p} {\overset{\cdot \cdot}{θ}}_{p} + R_{p} c_{m} (R_{p} {\overset{\cdot}{θ}}_{p} - R_{g} {\overset{\cdot}{θ}}_{g}) + R_{p} k_{m} f (R_{p} θ_{p} - R_{g} θ_{g}) = T_{p} - - - (4)

I_{g} {\overset{\cdot \cdot}{θ}}_{g} - R_{g} c_{m} (R_{p} {\overset{\cdot}{θ}}_{p} - R_{g} {\overset{\cdot}{θ}}_{g}) - R_{g} k_{m} f (R_{p} θ_{p} - R_{g} θ_{g}) = {- T}_{g} - - - (5)

2.1）通常情况下考虑齿轮传动比都是理想状态下，即没有任何误差和振动等因素的影响，齿轮啮合时Z_pθ_p+Z_gθ_g=0，但齿轮在实际啮合过程中由于各种误差的存在也影响到齿轮传动比使得Z_pθ_p+Z_gθ_g≠0，则该方程改为

Z_pθ_p+Z_gθ_g=ε(θ_p,θ_g) (6)

式中，ε为啮合时以θ_p，θ_g为变量的误差函数；

2.2）假设两个啮合轮齿之间的啮合误差无关联，则公式（6）为

Z_pθ_p+Z_gθ_g=e_p(θ_p)+e_g(θ_g) (7)

式中e_p(θ_p)，e_g(θ_g)分别为关于变量θ_p和θ_g的啮合误差，将上式除以Z_g得

λ θ_{p} + θ_{g} = \frac{1}{Z_{g}} (e_{p} (θ_{p}) + e_{g} (θ_{g})) - - - (8)

2.3）误差函数是随着时间变化而变化的，因此将公式(7)改为以时间t为变量的函数

(Z_p+D_p(t))θ_p+(Z_g+D_g(t))θ_g=E_p(t)+Eg(t) (9)

其中D_i(t)，E_i(t)（i=p或g）按傅里叶级数展开，取表达式前两阶的计算精度，可以满足对象研究的要求；

式中，

d_in，α_i分别是傅立叶级数每一项的初相位，幅值，频率。

2.4）根据上文分析，定义时变齿轮传动比，即变传动比的函数为

λ (t) = \frac{Z_{p} + D_{p} (t)}{Z_{g} + D_{g} (t)} - - - (12)

2.5）则公式(9)两边同除以(Z_g+D_g(t))改为

λ (t) θ_{p} + θ_{g} = \frac{1}{Z_{g} + D_{g} (t)} (E_{p} (t) + E_{g} (t)) - - - (13)

2.6）公式(13)产生了一个周期激励，则定义激励函数

e (t) = \frac{1}{Z_{g} + D_{g} (t)} (E_{p} (t) + E_{g} (t)) - - - (14)

2.7）则公式(13)和公式(14)合并

θ_g=-λ(t)θ_p+e(t) (15)

2.8）因此基于齿侧间隙和误差函数，将变传动比代入公式(4)和公式(5)相减的结果中得到新的摆线齿锥齿轮副的变传动比动力学模型为

\{\begin{matrix} [M_{1}] {{\overset{\cdot \cdot}{θ}}_{p}} + [C_{1} + \overset{\cdot}{λ} (t) C_{2}] {{\overset{\cdot}{θ}}_{p}} + [{\overset{&OverBar;}{K}}_{1} + \overset{\cdot}{λ} (t) K_{2} + \overset{\cdot \cdot}{λ} (t) K_{3}] {θ_{p}} = {P + P_{1}} \\ [M_{1}] = [I_{p} + λ (t) I_{g}] \\ [C_{1}] = [c_{m} (R_{p} + R_{g}) (R_{p} + λ (t) R_{g})] \\ [C_{2}] = [{2 I}_{g}] \\ [\overset{&OverBar;}{K}] = [k_{m} (R_{p} + R_{g}) f (R_{p} + λ (t) R_{g})] \\ [K_{2}] = [(R_{p} + R_{g}) R_{g} c_{m}] \\ [K_{3}] = [I_{g}] \\ {P} = {T_{p} + T_{g}} \\ {P_{1}} = {I_{g} \overset{\cdot \cdot}{e} + R_{g} (R_{p} + R_{g}) c_{m} \overset{\cdot}{e} + R_{g} (R_{p} + R_{g}) k_{m} e} \end{matrix} - - - (16)

式中，齿侧间隙函数

f ((R_{p} + λ (t) R_{g}) θ_{p}) = \{\begin{matrix} x'' - b & x'' > b \\ 0 & - b \leq x'' \leq b \\ x'' + b & x'' < - b \end{matrix}

（x＂＝(R_p+λ(t)R_g)θ_p），P是摆线齿锥齿轮的外部激振力，P1是摆线齿锥齿轮系统的内部激振力；[M₁]是质量矩阵，[C₁]与[C₂]是阻尼矩阵，

[K₂]与[K₃]是刚度矩阵，b是相应于刚度转折点的相对位移。

3）、使用Matlab工具基于传统的定传动比齿轮动力学模型和用上述方法建立的变传动比齿轮动力学模型，对摆线齿锥齿轮动力学特性进行理论仿真分析和比较。有益效果：

本发明的特点在于在齿轮动力学分析中不再把齿轮传动比作为不变的定值，而是受到齿轮误差的影响而随时间变化的，提出了一种齿轮变传动比的动力学建模方法，通过此方法可以能够比较准确的模拟齿轮啮合过程，准确的分析齿轮的非线性动力学特性，同时该方法不仅确定误差对齿轮传动平稳性的影响规律，也进而为摆线齿锥齿轮振动控制、降噪和缺陷检测提供基础和依据。发明内容包括三部分。在第一部分中，理论得出齿轮传动比收到误差的影响而变化，将误差引入传动比中形成变传动比，并推导出变传动比的公式；在第二部分中，基于变传动比推导出新的齿轮啮合动力学模型；在第三部分中，基于传统的齿轮动力学模型和用新方法建立的变传动比齿轮动力学模型，对齿轮啮合过程中的动力学特性进行仿真分析和比较，用Matlab工具绘制位移响应图和频率响应图。最后通过实例论证了本发明提出的方法。

通过下面的描述并结合附图说明，本发明会更加清晰，附图说明用于解释本发明方法及实施例。

附图说明

图1基于定传动比动力学模型和变传动比动力学模型方法仿真分析流程图

图2主、被动齿轮简化成圆锥台模型图

图3-图8分别本发明考虑齿侧间隙的影响，在一定负载扭矩，同种误差下，基于定传动比和变传动比的摆线齿锥齿轮模型的位移响应图

具体实施方式

如图1-8所示为本发明的一种基于变传动比摆线齿锥齿轮动力学建模方法，具体步骤为：

1、用传统的方法建立定传动比齿轮动力学模型

I_{p} {\overset{\cdot \cdot}{θ}}_{p} + R_{p} c_{m} (R_{p} {\overset{\cdot}{θ}}_{p} - R_{g} {\overset{\cdot}{θ}}_{g} - \overset{\cdot}{e}) + R_{p} k_{m} f (R_{p} θ_{p} - R_{g} θ_{g} - e) = T_{p} - - - (1)

I_{g} {\overset{\cdot \cdot}{θ}}_{g} - R_{g} c_{m} (R_{p} {\overset{\cdot}{θ}}_{p} - R_{g} {\overset{\cdot}{θ}}_{g} - \overset{\cdot}{e}) - R_{g} k_{m} f (R_{p} θ_{p} - R_{g} θ_{g} - e) = {- T}_{g} - - - (2)

式中，I_i(i=p或g)为齿轮的转动惯量，R_i(i=p或g)为齿轮的啮合半径，T_i(i=p或g)为齿轮的负载扭矩，c_m为齿轮啮合阻尼，k_m为齿轮啮合刚度，转角位移θ_p和θ_g代表摆线齿锥齿轮啮合过程中转过的角度，它们不是独立的。

1.2）通常情况下，认为齿轮啮合的传动比是不变的（即不受误差的影响），两个摆线齿锥齿轮的转动角速度是理想的。因此可以得到

主、被动齿轮的齿数为Z_i（i=p，g），得到切向角速度

而齿轮的传动比

所以

选择合适的初始条件，可以进一步推导出θ_g=-λθ_p。

1.3）转角θ_i（i=p，g）被定义为齿轮和惯性矩的转角位移，因此它是一个平稳状态的转动和扭转振动的结合。齿轮旋转角度θ_i=α_it+q_i（i=p，g）所以α_g=-λα_p其中α_i为平稳状态下的齿轮转速；q_i为扭转振动。

\{\begin{matrix} [M] {{\overset{\cdot \cdot}{θ}}_{P}} + [C] {{\overset{\cdot}{θ}}_{P}} + [\overset{&OverBar;}{K}] F ((R_{p} + λ R_{g}) θ_{p}) = {P + {\overset{&OverBar;}{P}}_{f}} \\ [M] = [I_{p} + λ I_{g}] \\ [C] = [c_{m} (R_{p} + R_{g}) (R_{p} + λ R_{g})] \\ [\overset{&OverBar;}{K}] = [(R_{p} + R_{g}) k_{m}] \\ {P} = {T_{p} + T_{g}} \end{matrix} - - - (3)

式中，齿侧间隙函数为

f (x) = \{\begin{matrix} xx - H & x &GreaterEqual; H \\ 0 & - H < x < H \\ xx + H & x \leq - H \end{matrix}

x＝(Rp+λRg)θp-e，xx＝(R_p+λR_g)θ_p，H为相应于刚度转折点的相对位移。式中，[M]，[C]，{p}分别是质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵，外部激励。内部激振力

{\overset{&OverBar;}{P}}_{f} = \{\begin{matrix} (R_{p} + R_{g}) c_{m} \overset{\cdot}{e} & - H < x < H \\ (R_{p} + R_{g}) c_{m} \overset{\cdot}{e} + (R_{p} + R_{g}) k_{m} e & others \end{matrix}

2、基于新方法建立变传动比的摆线齿锥齿轮动力学模型

I_{p} {\overset{\cdot \cdot}{θ}}_{p} + R_{p} c_{m} (R_{p} {\overset{\cdot}{θ}}_{p} - R_{g} {\overset{\cdot}{θ}}_{g}) + R_{p} k_{m} f (R_{p} θ_{p} - R_{g} θ_{g}) = T_{p} - - - (4)

I_{g} {\overset{\cdot \cdot}{θ}}_{g} - R_{g} c_{m} (R_{p} {\overset{\cdot}{θ}}_{p} - R_{g} {\overset{\cdot}{θ}}_{g}) - R_{g} k_{m} f (R_{p} θ_{p} - R_{g} θ_{g}) = {- T}_{g} - - - (5)

2.1）通常情况下考虑齿轮传动比都是理想状态下，（即没有任何误差和振动等因素的影响），齿轮啮合时Z_pθ_p+Z_gθ_g=0，但齿轮在实际啮合过程中由于各种误差的存在也影响到齿轮传动比使得Z_pθ_p+Z_gθ_g≠0，则该方程改为

Z_pθ_p+Z_gθ_g=ε(θ_p,θ_g) (6)

式中，ε为啮合时以θ_p，θ_g为变量的误差函数。

Z_pθ_p+Z_gθ_g=e_p(θ_p)+e_g(θ_g) (7)

式中e_p(θ_p)，e_g(θ_g)分别为关于变量θ_p和θ_g的啮合误差。将上式除以Z_g得

λ θ_{p} + θ_{g} = \frac{1}{Z_{g}} (e_{p} (θ_{p}) + e_{g} (θ_{g})) - - - (8)

(Z_p+D_p(t))θ_p+(Z_g+D_g(t))θ_g=E_p(t)+E_g(t) (9)

其中D_i(t)，E_i(t)（i=p，g）按傅里叶级数展开，一般取表达式前两阶的计算精度，可以满足对象研究的要求。

d_in，α_i分别是傅立叶级数每一项的初相位，幅值，频率。

2.4）根据上文分析，定义时变齿轮传动比（变传动比）函数为

λ (t) = \frac{Z_{p} + D_{p} (t)}{Z_{g} + D_{g} (t)} - - - (12)

2.5）则公式(9)两边同除以(Z_g+D_g(t))改为

λ (t) θ_{p} + θ_{g} = \frac{1}{Z_{g} + D_{g} (t)} (E_{p} (t) + E_{g} (t)) - - - (13)

2.6）公式(13)产生了一个周期激励，则定义激励函数

e (t) = \frac{1}{Z_{g} + D_{g} (t)} (E_{p} (t) + E_{g} (t)) - - - (14)

2.7）则公式(13)和公式(14)合并

θ_g=-λ(t)θ_p+e(t) (15)

\{\begin{matrix} [M_{1}] {{\overset{\cdot \cdot}{θ}}_{p}} + [C_{1} + \overset{\cdot}{λ} (t) C_{2}] {{\overset{\cdot}{θ}}_{p}} + [{\overset{&OverBar;}{K}}_{1} + \overset{\cdot}{λ} (t) K_{2} + \overset{\cdot \cdot}{λ} (t) K_{3}] {θ_{p}} = {P + P_{1}} \\ [M_{1}] = [I_{p} + λ (t) I_{g}] \\ [C_{1}] = [c_{m} (R_{p} + R_{g}) (R_{p} + λ (t) R_{g})] \\ [C_{2}] = [{2 I}_{g}] \\ [\overset{&OverBar;}{K}] = [k_{m} (R_{p} + R_{g}) f (R_{p} + λ (t) R_{g})] \\ [K_{2}] = [(R_{p} + R_{g}) R_{g} c_{m}] \\ [K_{3}] = [I_{g}] \\ {P} = {T_{p} + T_{g}} \\ {P_{1}} = {I_{g} \overset{\cdot \cdot}{e} + R_{g} (R_{p} + R_{g}) c_{m} \overset{\cdot}{e} + R_{g} (R_{p} + R_{g}) k_{m} e} \end{matrix} - - - (16)

式中，齿侧间隙函数

f ((R_{p} + λ (t) R_{g}) θ_{p}) = \{\begin{matrix} x'' - b & x'' > b \\ 0 & - b \leq x'' \leq b \\ x'' + b & x'' < - b \end{matrix}

（x＂＝(R_p+λ(t)R_g)θ_p），P是摆线齿锥齿轮的外部激振力，P₁是摆线齿锥齿轮系统的内部激振力。[M₁]是质量矩阵，[C₁]与[C₂]是阻尼矩阵，

[K₂]与[K₃]是刚度矩阵，b是相应于刚度转折点的相对位移。

3、使用Matlab工具，实例分析两种方法对齿轮啮合的动力学仿真情况。

3.1）将摆线齿锥齿轮模型简化为圆锥台如图2，C为啮合点，r代表啮合半径。根据齿轮传动设计手册：主动轮的参数a=0.05m，b=0.38m，h=0.11m，β=9.462322°，r=0.325748m；从动轮的参数b1=0.0635m，h1=0.11m，β1=80.537678°，转速为1000r/min，r1=0.054458m。齿轮密度ρ=7.86×103kg/m3，杨氏模量E=2.06×105MPa，转矩Tp=-Tg=-5000Nm。

3.2）阻尼系

c_{m} = {2 ζ}_{g} \sqrt{k_{m} R_{p}^{2} R_{g}^{2} I_{p} I_{g} / (R_{p}^{2} I_{p} + R_{g}^{2} I_{g})},

频率

其中，

ζ_g为齿轮啮合的阻尼比，一般为0.03～0.17本文取值为0.05.主、被动齿轮的相关参数如：齿轮的质量m_p=46.7054kg，m_g=8.0189kg；齿轮的转动惯量I_p=2.6524kgm²，I_g=1.2434×10-2kgm²；平均刚度k_m=4.62×109N/m；平均啮合阻尼c_m=41.2724；齿轮的啮合半径R_p=r=0.325748m，R_g=r₁=0.054458m；齿轮的齿数Z_p=54，Z_g=9；误差综合系数d_pn=0.1×10^-n，d_gn=0.1×10^-n(n=1,2,3…)；系统扭转频率α_pn=104.72Hz，α_gn=942.4778Hz(n=1,2,3…)，相应于刚度转折点的相应位移H=1。

3.3）齿轮精度等级为6级，根据国标GB11365-89查得齿距极限偏差f_pp=14μm，f_pg=13μm；齿形相对误差公差值f_cp=10μm，f_cg=6μm；齿轮副齿频周期误差公差值f_zp=14μm，f_zg=12μm.

表1大、小齿轮的三种误差表达式

含有齿距误差激励函数

e_{p} (t) = \frac{1}{Z_{g} + D_{g} (t)} (E_{pp} (t) + E_{pg} (t)) - - - (17)

含有齿形相对误差激励函数

e_{c} (t) = \frac{1}{Z_{g} + D_{g} (t)} (E_{cp} (t) + E_{cg} (t)) - - - (18)

含有齿轮副齿频周期误差激励函数

e_{z} (t) = \frac{1}{Z_{g} + D_{g} (t)} (E_{zp} (t) + E_{zg} (t)) - - - (19)

图3-图8中最上一条稳定直线代表定传动比摆线齿锥齿轮动力学模型；直线下方的波动线代表变传动比摆线齿锥齿轮动力学模型。图3-图8是考虑齿侧间隙影响的情况下，在负载扭矩为2000Nm和5000Nm，三种误差（齿距误差、齿形相对误差和齿轮副齿频周期误差）下，定传动比和变传动比摆线齿锥齿轮动力学模型的位移响应。定传动比摆线齿锥齿轮动力学模型产生的角位移是最终稳定在一条直线，这个值是在一定的负载扭矩作用下产生的最大位移值，其产生的位移响应图体现不出齿轮啮合动力学变化特性。变传动比摆线齿锥齿轮动力学模型产生的位移在一定角位移（定传动比摆线齿锥齿轮动力学模型产生的角位移）下波动变化，没有超出最大位移值，这也体现出受误差影响，齿轮传动时位移不是定值，新方法更能体现出摆线齿锥齿轮的实际啮合情况。

通过以上实例分析总结出：本发明方法能运用于克林根贝尔格锥齿轮的啮合系统的仿真分析中，能够比较准确的模拟齿轮啮合过程，准确的分析齿轮的非线性动力学特性，同时该方法不仅确定误差对齿轮传动平稳性的影响规律，也进而为摆线齿锥齿轮振动控制、降噪和缺陷检测提供基础和依据。

Claims

1.一种基于变传动比摆线齿锥齿轮动力学建模方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

1）、建立传统的定传动比齿轮动力学模型

I_{p} {\overset{\cdot \cdot}{θ}}_{p} + R_{p} c_{m} (R_{p} {\overset{\cdot}{θ}}_{p} - R_{g} {\overset{\cdot}{θ}}_{g} - \overset{\cdot}{e}) + R_{p} k_{m} f (R_{p} θ_{p} - R_{g} θ_{g} - e) = T_{p} - - - (1)

I_{g} {\overset{\cdot \cdot}{θ}}_{g} - R_{g} c_{m} (R_{p} {\overset{\cdot}{θ}}_{p} - R_{g} {\overset{\cdot}{θ}}_{g} - \overset{\cdot}{e}) - R_{g} k_{m} f (R_{p} θ_{p} - R_{g} θ_{g} - e) = {- T}_{g} - - - (2)

1.2）通常情况下，认为齿轮啮合的传动比是不变的，即不受误差的影响，

两个摆线齿锥齿轮的转动角速度是理想的，因此可以得到

Z_i（i=p或g）

为主、被动齿轮的齿数，得到切向角速度

而齿轮的传动比

所以

选择合适的初始条件，可以进一步推导出θ_g=-λθ_p；

\{\begin{matrix} [M] {{\overset{\cdot \cdot}{θ}}_{P}} + [C] {{\overset{\cdot}{θ}}_{P}} + [\overset{&OverBar;}{K}] F ((R_{p} + λ R_{g}) θ_{p}) = {P + {\overset{&OverBar;}{P}}_{f}} \\ [M] = [I_{p} + λ I_{g}] \\ [C] = [c_{m} (R_{p} + R_{g}) (R_{p} + λ R_{g})] \\ [\overset{&OverBar;}{K}] = [(R_{p} + R_{g}) k_{m}] \\ {P} = {T_{p} + T_{g}} \end{matrix} - - - (3)

式中，齿侧间隙函数为

f (x) = \{\begin{matrix} xx - H & x &GreaterEqual; H \\ 0 & - H < x < H \\ xx + H & x \leq - H \end{matrix}

x=(R_p+λR_g)θ_p-e,xx＝(R_p+λR_g)θ_p，H为相应于刚度转折点的相对位移。式中，[M]，[C]，

{\overset{&OverBar;}{P}}_{f} = \{\begin{matrix} (R_{p} + R_{g}) c_{m} \overset{\cdot}{e} & - H < x < H \\ (R_{p} + R_{g}) c_{m} \overset{\cdot}{e} + (R_{p} + R_{g}) k_{m} e & others \end{matrix}

2）、建立变传动比的摆线齿锥齿轮动力学模型

I_{p} {\overset{\cdot \cdot}{θ}}_{p} + R_{p} c_{m} (R_{p} {\overset{\cdot}{θ}}_{p} - R_{g} {\overset{\cdot}{θ}}_{g}) + R_{p} k_{m} f (R_{p} θ_{p} - R_{g} θ_{g}) = T_{p} - - - (4)

I_{g} {\overset{\cdot \cdot}{θ}}_{g} - R_{g} c_{m} (R_{p} {\overset{\cdot}{θ}}_{p} - R_{g} {\overset{\cdot}{θ}}_{g}) - R_{g} k_{m} f (R_{p} θ_{p} - R_{g} θ_{g}) = {- T}_{g} - - - (5)

Z_pθ_p+Z_gθ_g=ε(θ_p,θ_g) (6)

式中，ε为啮合时以θ_p，θ_g为变量的误差函数；

Z_pθ_p+Z_gθ_g=e_p(θ_p)+e_g(θ_g) (7)

式中e_p(θp)，e_g(θ_g)分别为关于变量θ_p和θ_g的啮合误差，将上式除以Z_g得

λ θ_{p} + θ_{g} = \frac{1}{Z_{g}} (e_{p} (θ_{p}) + e_{g} (θ_{g})) - - - (8)

(Z_p+D_p(t))θ_p+(Z_g+D_g(t))θ_g=E_p(t)+E_g(t) (9)

式中，d_in，α_i分别是傅立叶级数每一项的初相位，幅值，频率。

λ (t) = \frac{Z_{p} + D_{p} (t)}{Z_{g} + D_{g} (t)} - - - (12)

2.5）则公式(9)两边同除以(Z_g+D_g(t))改为

λ (t) θ_{p} + θ_{g} = \frac{1}{Z_{g} + D_{g} (t)} (E_{p} (t) + E_{g} (t)) - - - (13)

2.6）公式(13)产生了一个周期激励，则定义激励函数

e (t) = \frac{1}{Z_{g} + D_{g} (t)} (E_{p} (t) + E_{g} (t)) - - - (14)

2.7）则公式(13)和公式(14)合并

θ_g=-λ(t)θ_p+e(t) (15)

\{\begin{matrix} [M_{1}] {{\overset{\cdot \cdot}{θ}}_{p}} + [C_{1} + \overset{\cdot}{λ} (t) C_{2}] {{\overset{\cdot}{θ}}_{p}} + [{\overset{&OverBar;}{K}}_{1} + \overset{\cdot}{λ} (t) K_{2} + \overset{\cdot \cdot}{λ} (t) K_{3}] {θ_{p}} = {P + P_{1}} \\ [M_{1}] = [I_{p} + λ (t) I_{g}] \\ [C_{1}] = [c_{m} (R_{p} + R_{g}) (R_{p} + λ (t) R_{g})] \\ [C_{2}] = [{2 I}_{g}] \\ [\overset{&OverBar;}{K}] = [k_{m} (R_{p} + R_{g}) f (R_{p} + λ (t) R_{g})] \\ [K_{2}] = [(R_{p} + R_{g}) R_{g} c_{m}] \\ [K_{3}] = [I_{g}] \\ {P} = {T_{p} + T_{g}} \\ {P_{1}} = {I_{g} \overset{\cdot \cdot}{e} + R_{g} (R_{p} + R_{g}) c_{m} \overset{\cdot}{e} + R_{g} (R_{p} + R_{g}) k_{m} e} \end{matrix} - - - (16)

式中，齿侧间隙函数

f ((R_{p} + λ (t) R_{g}) θ_{p}) = \{\begin{matrix} x'' - b & x'' > b \\ 0 & - b \leq x'' \leq b \\ x'' + b & x'' < - b \end{matrix}

（x＂＝(R_p+λ(t)R_g)θ_p），P是摆线齿锥齿轮的外部激振力，P₁是摆线齿锥齿轮系统的内部激振力；[M₁]是质量矩阵，[C₁]与[C₂]是阻尼矩阵，[K₂]与[K₃]是刚度矩阵，b是相应于刚度转折点的相对位移。

3）、使用Matlab工具基于传统的定传动比齿轮动力学模型和用上述方法建立的变传动比齿轮动力学模型，对摆线齿锥齿轮动力学特性进行理论仿真分析和比较。