CN103470744A - 一种消除传动齿轮间隙影响的控制方法及系统 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种消除传动齿轮间隙影响的控制方法及系统，所述方法包含：步骤101）为齿轮间隙建立光滑模型；步骤102）将建立的光滑模型引入智能控制算法，得到齿轮传动系统的驱动侧的输入转矩；步骤103）采用得到的输入转矩控制传动齿轮的驱动侧，使驱动侧的输出力矩平滑传递至负载侧，同时保证驱动侧的位置输出以所需的精度跟踪期望的位置信号。1）克服了传统齿轮间隙模型的不光滑特性；2）使避免使用逆模型补偿和建立多模型开关系统策略成为可能，简化了齿轮间隙控制策略的设计，便于工程化实现；3）使得系统驱动输出力矩平滑传递；4）将带有齿轮间隙的级联系统转化为一般的被控对象，拓宽了控制器设计可以采用的策略。

Description

一种消除传动齿轮间隙影响的控制方法及系统

技术领域

本发明涉及一种伺服齿轮传动系统高精度定位的控制方法，特别是涉及传动齿轮间隙的建模方法，即本发明涉及一种消除传动齿轮间隙影响的控制方法及系统。

背景技术

齿轮间隙是由于伺服齿轮传动系统中运动部件之间通过齿轮驱动而产生的，它既是机械传动过程正常进行不可缺少的一种非线性传动机制，也是影响系统动态性能和稳态精度的一个重要的非线性因素。现有的对齿轮间隙的建模是死区模型，该模型是通过系统驱动和从动部分的传输力矩和相对位移来描述齿轮间隙非线性的，数学描述如下式：

$T_{\mathrm{old}}=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&gamma;}(\mathrm{\&theta;}-\mathrm{\&alpha;}),\mathrm{\&theta;}\&GreaterEqual;\mathrm{\&alpha;}\\ 0,\left|\mathrm{\&theta;}\right|<\mathrm{\&alpha;}\\ \mathrm{\&gamma;}(\mathrm{\&theta;}+\mathrm{\&alpha;}),\mathrm{\&theta;}\&le;-\mathrm{\&alpha;}\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，θ为齿轮前后的相对转动位移，2α(α＞0)为齿轮间隙的间距，γ(γ＞0)为齿轮的刚度系数，T_old为齿轮的传输力矩。该模型在物理上十分符合实际，因此被广泛采用。上述各参数含义也可以参见表1。

对于该模型，现有的控制方法包含两类：一是逆模型补偿，在其方法策略中假定系统驱动部分在间隙中间能实现瞬间跳跃，才能获得其方法的结论。在实际的物理伺服齿轮传动系统中死区模型的输入描述的是两个实体间的转动位移差，由于实体惯量的存在，齿隙间不可能实现瞬间跳跃，故采用逆模型补偿的方法在实际中是不可操作的；二是建立多模型开关系统，即将整个系统划分为间隙模式和接触模式，分别设计控制策略及切换控制算法，这就使得传动系统的复杂度大大增加，同时稳定性也不易保证，不适合工程应用。

造成现有解决齿轮间隙影响的技术方案局限在上述两类策略中的主要原因在于齿轮间隙的死区模型描述的不光滑特性，使得对其补偿变得十分困难，从而也增加了传动系统控制的复杂程度，如果不能消除间隙非线性的影响，传动系统性能会因极限环或齿轮接触冲击而降低甚至变得不稳定，同时，轮齿间的碰撞会产生严重的震荡和噪音。

发明内容

本发明的目的在于，为克服上述问题，本发明提供了一种消除传动齿轮间隙影响的控制方法及系统。

为了实现上述目的，本发明提供了一种消除传动齿轮间隙影响的控制方法，所述方法包含：

步骤101）采用如下公式为齿轮间隙建立光滑模型：

$T_{\mathrm{new}}=\mathrm{\&gamma;}[\mathrm{\&theta;}+\frac{1}{2\mathrm{\&kappa;}}\ln \left(\frac{e^{\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}-\mathrm{\&alpha;})}+e^{-\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}-\mathrm{\&alpha;})}}{e^{\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}+\mathrm{\&alpha;})}+e^{-\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}+\mathrm{\&alpha;})}}\right)]$

其中，θ为齿轮前后的相对转动位置角信号，2α为齿轮间隙的间距，γ为齿轮的刚度系数，T_new为光滑模型的输出，κ为可调参数；

步骤102）基于建立的光滑模型得到对象状态空间描述，再依据对象状态空间描述得到齿轮传动系统的驱动侧的输入转矩；

步骤103）采用得到的输入转矩控制传动齿轮的驱动侧，使驱动侧的输出力矩平滑传递至负载侧，同时保证驱动侧的位置输出以所需的精度跟踪期望的位置信号。

采用智能控制算法得到对象状态空间描述，所述智能控制算法包含反步控制算法或状态反馈线性化控制算法。

可选的，当采用反步控制算法时，所述步骤102）进一步包含：

首先，定义状态变量x＝[x₁ x₂ x₃ x₄]^T＝[θ_l ω_l θ_m ω_m]^T，

通过引入光滑的齿轮间隙模型将受控对象转化为如下状态空间形式：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ \frac{n}{J_l}(T_{\mathrm{new}}+E\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))-\frac{b_l}{J_l}{x}_2\\ x_4\\ \frac{u}{J_m}-\frac{T_{\mathrm{new}}+E\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)}{J_m}-\frac{b_m}{J_m}{x}_4\end{array}\right]\text{=}\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ \frac{\mathrm{n\&gamma;}}{J_l}{x}_3-{\mathrm{\&phi;}}_1\left(x\right)+\frac{n}{J_l}E\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)\\ x_4\\ \frac{u}{J_m}-{\mathrm{\&phi;}}_2\left(x\right)-\frac{E\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)}{J_m}\end{array}\right]\end{array}$

基于上述对象数学描述，进行反步控制算法确定驱动侧的输入转矩，具体步骤如下：

步骤1，定义输出跟踪误差为：e₁＝θ_r-θ_l＝θ_r-x₁；

依据定义的跟踪误差选取Lyapunov函数，该函数形式为：

进而解算出虚拟控制量x₂的期望值为c₁为可调的正常数；

步骤2，定义x₂的误差为e₂=μ₁-x₂，依据定义的误差选取Lyapunov函数进而解算出虚拟控制量(nγ/J_l)x₃的期望值为 ${\mathrm{\&mu;}}_2=e_1+c_2{e}_2+c_1({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r-x_2)+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r+{\mathrm{\&phi;}}_1\left(x\right),$ 其中c₂为可调的正常数；

步骤3，定义x₃的跟踪误差为e₃=μ₂-(nγ/J_l)x₃，依据定义的误差选取Lyapunov函数

进而解算出虚拟控制量nγ(2+λ(x_θ))x₄/2J_l的期望值为 ${\mathrm{\&mu;}}_3=e_2+c_3{e}_3+(1+c_1{c}_2){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r+(c_1+c_2){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r+{\mathrm{\&theta;}}_r^{\left(3\right)}+(b_l/J_l-c_1-c_2)(\mathrm{n\&gamma;}{x}_3/J_l-{\mathrm{\&phi;}}_1\left(x\right))+[n^2\mathrm{\&gamma;}(2+\mathrm{\&lambda;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))/2J_l-c_1{c}_2-1]x_2,$ c₃为可调的正常数；

步骤4，定义x₄的跟踪误差为e₄=μ₃-nγ(2+λ(x_θ))x₄/2J_l，依据定义的跟踪误差选取Lyapunov函数

依据上述定义的x₁、x₂、x₃和x₄的值并基于Lyapunov稳定性原理解算得到驱动侧的输入转矩u为：

$\begin{array}{c}u=\frac{2J_l{J}_m}{\mathrm{n\&gamma;}(2+\mathrm{\&lambda;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))}\{e_3+c_4{e}_4+b_1({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r-x_2)+b_2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r+b_3{\mathrm{\&theta;}}_r^{\left(3\right)}+{\mathrm{\&theta;}}_r^{\left(4\right)}-\frac{2\mathrm{\&kappa;n\&gamma;}{(x_4-n{x}_2)}^2}{J_l}\mathrm{\&tau;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)+\\ [b_4+\frac{n^2\mathrm{\&gamma;}}{2J_l}(2+\mathrm{\&lambda;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))](\frac{\mathrm{n\&gamma;}{x}_3}{J_l}-{\mathrm{\&phi;}}_1\left(x\right))-[\frac{b_5\mathrm{n\&gamma;}(x_4-n{x}_2)}{2J_l}-\frac{\mathrm{n\&gamma;}{\mathrm{\&phi;}}_2\left(x\right)}{2J_l}](2+\mathrm{\&lambda;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))\}\end{array},$

其中，c₄为可调的正常数；J_m表示驱动侧转动惯量，J_l表示负载侧转动惯量，n表示减速器的减速比，γ表示齿轮刚度系数，x_θ表示齿轮前后相对转动角位移θ的状态变量；λ(x_θ)、τ(x_θ)表示自定义函数；b₁、b₂、b₃、b₄、b₅表示自定义参数；表示期望角位置信号θ_r的一阶微分信号；

表示θ_r的二阶微分信号；表示θ_r的三阶微分信号；

表示θ_r的四阶微分信号；φ₁(x)表示自定义函数；φ₂(x)表示自定义函数；x₁、x₂、x₃、x₄分别表示θ_l、ω_l、θ_m、ω_m的状态变量。

当采用状态反馈线性化控制算法时，所述步骤102）进一步包含：

首先，定义状态变量x，通过引入光滑的齿轮间隙模型将受控对象转化为如下状态空间形式：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ \frac{n}{J_l}{T}_{\mathrm{new}}\\ x_4\\ -\frac{1}{J_m}{T}_{\mathrm{new}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ \frac{1}{J_m}\end{array}\right]u\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}f\left(x\right)+\mathrm{gu}---\left(5.1\right)$

$y=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\end{array}\right]x\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}h\left(x\right)=x_1$

其中， $f\left(x\right)\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ \frac{n}{J_l}{T}_{\mathrm{new}}\\ x_4\\ -\frac{1}{J_m}{T}_{\mathrm{new}}\end{array}\right],g\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ \frac{1}{J_m}\end{array}\right],h\left(x\right)\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\end{array}\right]x;$

基于上述对象数学描述，进行状态反馈线性化控制算法确定驱动侧的输入转矩，具体步骤如下：

步骤1）通过分析，给出一个微分同胚坐标变换如下：

$Z\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\left[\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\\ z_3\\ z_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ \frac{n}{J_l}{T}_{\mathrm{new}}\\ \frac{\mathrm{n\&gamma;}(x_4-n{x}_2)}{J_l}l\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)\end{array}\right]---\left(5.2\right)$

其中， $l\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}1+\left\{\tanh \right[\mathrm{\&kappa;}(x_{\mathrm{\&theta;}}-\mathrm{\&alpha;})]-\tanh [\mathrm{\&kappa;}(x_{\mathrm{\&theta;}}+\mathrm{\&alpha;})\left]\right\}/2,$ 可求得

$\frac{\&PartialD;Z}{\&PartialD;x}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ \frac{n}{J_l}\frac{\&PartialD;T_{\mathrm{new}}}{\&PartialD;x_1}& 0& \frac{n}{J_l}\frac{\&PartialD;T_{\mathrm{new}}}{\&PartialD;x_3}& 0\\ \frac{\&PartialD;z_4}{\&PartialD;x_1}& \frac{\&PartialD;z_4}{\&PartialD;x_2}& \frac{\&PartialD;z_4}{\&PartialD;x_3}& \frac{\&PartialD;z_4}{\&PartialD;x_4}\end{array}\right]---\left(5.3\right)$

进而可求得，

$\left|\frac{\&PartialD;Z}{\&PartialD;x}\right|=\frac{n}{J_l}\frac{\&PartialD;T_{\mathrm{new}}}{\&PartialD;x_3}\frac{\&PartialD;z_4}{\&PartialD;x_4}=\frac{n^2{\mathrm{\&gamma;}}^2}{J_l^2}{\left(l\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)\right)}^2>0---\left(5.3\right)$

可知，所给的坐标变换是一个全局微分同胚；

步骤2）基于所设计的状态变换，令

则式（5.1）可转化为

$\stackrel{\&CenterDot;}{Z}=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{z}_2\\ z_3\\ z_4\\ L_f^{4}h\left(x\right)+u{L}_g{L}_f^{3}h\left(x\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]Z+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]v\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\mathrm{AZ}+\mathrm{bv}---\left(5.4\right)$

其中， $A\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right],b\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right].$

（5.4）即为原系统（5.1）经坐标变换（5.2）转化后的系统数学描述，v为中间控制量；

步骤3）令中间控制量v取：

v＝HZ+v_r   （5.5）

其中，H＝[h₁ h₂ h₃ h₄]为控制器参数向量，其值的选择满足(A+bH)为Hurwitz阵， $v_r=-h_1{\mathrm{\&theta;}}_r-h_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r-h_3{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r-h_4{\mathrm{\&theta;}}_r^{\left(3\right)}+{\mathrm{\&theta;}}_r^{\left(4\right)}$ 为参考控制输入；

步骤4）定义误差σ₁＝z₁-θ_r， ${\mathrm{\&sigma;}}_2=z_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r,{\mathrm{\&sigma;}}_3=z_3-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r,{\mathrm{\&sigma;}}_4=z_4-{\mathrm{\&theta;}}_r^{\left(3\right)},$ 误差向量为σ＝[σ₁ σ₂ σ₃ σ₄]^T，根据（5.4）—（5.5），则误差动态方程为

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&sigma;}}=(A+\mathrm{bH})\mathrm{\&sigma;}---\left(5.6\right)$

由于(A+bH)是Hurwitz阵，根据线性系统稳定性判据可知，误差向量σ是全局渐近稳定的，即z₁能够全局渐近稳定跟踪期望的位置信号θ_r，由于（5.2）是全局微分同胚，则经过坐标逆变换后可知输出信号θ_l能够渐近稳定跟踪期望的位置信号θ_r；

通过设计的中间控制量v的表达式，反推驱动侧的输入转矩u：

$u=\frac{v-L_f^{4}h\left(x\right)}{L_g{L}_f^{3}h\left(x\right)}---\left(5.7\right)$

其中，

$L_g{L}_f^{3}h\left(x\right)=\frac{\mathrm{n\&gamma;}}{J_l{J}_m}l\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)$

$L_f^{4}h\left(x\right)=\frac{2\mathrm{\&kappa;\&gamma;n}{(x_4-n{x}_2)}^2}{J_l}[1/{(e^{\mathrm{\&kappa;}(x_{\mathrm{\&theta;}}-\mathrm{\&alpha;})}+e^{-\mathrm{\&kappa;}(x_{\mathrm{\&theta;}}-\mathrm{\&alpha;})})}^2-1/{(e^{\mathrm{\&kappa;}(x_{\mathrm{\&theta;}}+\mathrm{\&alpha;})}+e^{-\mathrm{\&kappa;}(x_{\mathrm{\&theta;}}+\mathrm{\&alpha;})})}^2]-(\frac{n^3\mathrm{\&gamma;}}{J_l^2}+\frac{\mathrm{n\&gamma;}}{J_l{J}_m})l\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)T_{\mathrm{new}}$ ；

其中，上述各参数的含义可以参考表1，计算符号的含义也可参考当采用反步控制算法时涉及的各计算符号的含义，即

表示期望角位置信号θ_r的一阶微分信号；

表示θ_r的二阶微分信号，

表示θ_r的三阶微分信号；

表示θ_r的四阶微分信号。

所述控制参数的取值策略包含：

策略一，将控制参数都设置为1；或

策略二，控制器参数c_i＞0且满足c₁＝min(c_i)，并通过多元函数求极值的方法使下式中“ξ(c₁,c₂,c₃,c₄)/c₁”项最小进而确定c_i的取值，其中，i＝1…4；

$\mathrm{\&Omega;}=\left\{e\right|\left|\right|e\left|\right|<{\mathrm{\&xi;}}_1\left(\mathrm{\&kappa;}\right)\sqrt{\mathrm{\&xi;}(c_1,c_2,c_3,c_4)/c_1},{\mathrm{\&xi;}}_1\left(\mathrm{\&kappa;}\right)=\frac{\mathrm{n\&gamma;}\ln 2}{2J_l\mathrm{\&kappa;}}\}$

所述模型参数κ应在控制器参数c_i＞0确定后，根据伺服齿轮传动系统对负载侧输出角度的精度要求，依据误差精度上限确定。

为了实现上述方法，本发明还提供了一种消除齿轮间隙影响的控制系统，所述系统包含：

光滑模型建立模块，用于采用如下公式为齿轮间隙建立光滑模型：

$T_{\mathrm{new}}=\mathrm{\&gamma;}[\mathrm{\&theta;}+\frac{1}{2\mathrm{\&kappa;}}\ln \left(\frac{e^{\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}-\mathrm{\&alpha;})}+e^{-\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}-\mathrm{\&alpha;})}}{e^{\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}+\mathrm{\&alpha;})}+e^{-\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}+\mathrm{\&alpha;})}}\right)]$

其中，θ为齿轮前后的相对转动位置角信号，2α为齿轮间隙的间距，γ为齿轮的刚度系数，T_new为光滑模型的输出，κ为可调参数；

驱动侧输入转矩确定模块，用于将建立的光滑模型引入智能控制算法，得到齿轮传动系统的驱动侧的输入转矩；和

控制模块，用于采用得到的输入转矩控制传动齿轮，使驱动侧的输出力矩平滑传递至负载侧。

上述智能控制算法包含反步控制算法或状态反馈线性化控制算法。

上述驱动侧输入转矩确定模块进一步包含：

比较模块，用于将期望输出的位置与实际输出位置进行比较判决，输出角位置偏差信号；

对象状态空间描述信息获取模块，用于对建立的齿轮间隙的光滑模型和比较模块输入的角位置偏差、模型偏差及光滑间隙模型信息进行处理，最后输出带有光滑齿轮间隙和模型误差的对象状态空间描述；

第一处理模块，用于基于所述对象状态空间描述信息获取模块输出的带有光滑齿轮间隙和模型误差的对象状态空间描述信息，进行基于Lyapunov稳定性原理的反步控制处理，最终输出第二虚拟控制量x2信息；

第二处理模块，用于基于第一处理模块输出的第二虚拟控制量x₂信息，进行基于Lyapunov稳定性原理的反步控制处理，并输出第三虚拟控制量x₃信息；

第三处理模块，用于基于第二处理模块输出的第三虚拟控制量x₃信息，进行基于Lyapunov稳定性原理的反步控制处理处理，并输出第四虚拟控制量x₄信息；和

第四处理模块，用于基于第三处理模块输入的第四虚拟控制量x₄信息，采用如下公式得到驱动侧的输入转矩u：

$\begin{array}{c}u=\frac{2J_l{J}_m}{\mathrm{n\&gamma;}(2+\mathrm{\&lambda;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))}\{e_3+c_4{e}_4+b_1({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r-x_2)+b_2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r+b_3{\mathrm{\&theta;}}_r^{\left(3\right)}+{\mathrm{\&theta;}}_r^{\left(4\right)}-\frac{2\mathrm{\&kappa;n\&gamma;}{(x_4-n{x}_2)}^2}{J_l}\mathrm{\&tau;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)+\\ [b_4+\frac{n^2\mathrm{\&gamma;}}{2J_l}(2+\mathrm{\&lambda;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))](\frac{\mathrm{n\&gamma;}{x}_3}{J_l}-{\mathrm{\&phi;}}_1\left(x\right))-[\frac{b_5\mathrm{n\&gamma;}(x_4-n{x}_2)}{2J_l}-\frac{\mathrm{n\&gamma;}{\mathrm{\&phi;}}_2\left(x\right)}{2J_l}](2+\mathrm{\&lambda;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))\}\end{array},$ 其中，c₄为可调的正常数；J_m表示驱动侧转动惯量，J_l表示负载侧转动惯量，n表示减速器的减速比，γ表示齿轮刚度系数，x_θ表示齿轮前后相对转动角位移θ的状态变量；λ(x_θ)、τ(x_θ)表示自定义函数；b₁、b₂、b₃、b₄、b₅表示自定义参数；

表示期望角位置信号θ_r的一阶微分信号；表示θ_r的二阶微分信号；

表示θ_r的三阶微分信号；

表示θ_r的四阶微分信号；φ₁(x)表示自定义函数；φ₂(x)表示自定义函数；x₁、x₂、x₃、x₄分别表示θ_l、ω_l、θ_m、ω_m的状态变量。8、根据权利要求7所述的消除齿轮间隙影响的控制系统，其特征在于，所述驱动侧输入转矩确定模块还包含参数确定模块，所述参数确定模块依据如下策略确定控制参数和模型参数的取值：

策略一，将控制参数都设置为1；或

策略二，控制器参数c_i＞0且满足c₁＝min(c_i)，并通过多元函数求极值的方法使下式中“ξ(c₁,c₂,c₃,c₄)/c₁”项最小进而确定c_i的取值，其中，i＝1…4；

$\mathrm{\&Omega;}=\left\{e\right|\left|\right|e\left|\right|<{\mathrm{\&xi;}}_1\left(\mathrm{\&kappa;}\right)\sqrt{\mathrm{\&xi;}(c_1,c_2,c_3,c_4)/c_1},{\mathrm{\&xi;}}_1\left(\mathrm{\&kappa;}\right)=\frac{\mathrm{n\&gamma;}\ln 2}{2J_l\mathrm{\&kappa;}}\}$

所述模型参数κ应在控制器参数c_i＞0确定后，根据伺服齿轮传动系统对负载侧输出角度的精度要求，依据误差精度上限确定。

上述自定义的函数和参数的类型及取值可以参考具体实施方式部分的内容。

与现有技术相比，本发明的技术优势在于：

1）克服了传统齿轮间隙模型的不光滑特性；2）使避免使用逆模型补偿和建立多模型开关系统策略成为可能，简化了齿轮间隙控制策略的设计，便于工程化实现；3）克服现有技术方案的缺陷，使得系统驱动输出力矩平滑传递；4）将带有齿轮间隙的级联系统转化为一般的被控对象，拓宽了控制器设计可以采用的策略。

附图说明

图1是伺服齿轮传动系统示意图；

图2是本发明提供的消除传动齿轮间隙影响的控制方法流程图；

图3是本发明提供的基于反步控制算法得到的驱动侧输入转矩确定模块的组成框图；

图4是本发明提供的基于状态反馈控制算法得到的驱动侧输入转矩确定模块的组成框图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明所述方法进行详细说明。

为克服现有解决齿轮间隙影响技术的不足，本发明提出了一种光滑的齿轮间隙模型的描述方法：

$T_{\mathrm{new}}=\mathrm{\&gamma;}[\mathrm{\&theta;}+\frac{1}{2\mathrm{\&kappa;}}\ln \left(\frac{e^{\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}-\mathrm{\&alpha;})}+e^{-\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}-\mathrm{\&alpha;})}}{e^{\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}+\mathrm{\&alpha;})}+e^{-\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}+\mathrm{\&alpha;})}}\right)]$

其中，θ为齿轮前后的相对转动位移，2α为齿轮间隙的间距，γ为齿轮的刚度系数，T_new为齿轮的传输力矩，κ为新模型的可调参数，也是新模型的特征参数。上述各参数含义也可以参见表1。该模型的函数特性随着κ的增大逐渐逼近传统的齿轮间隙模型，且其是光滑的。

为说明上述光滑模型的特性，定义模型误差E(θ)=T_old-T_new，根据式（1）和式（2），则有：

$E\left(\mathrm{\&theta;}\right)=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&gamma;}(\mathrm{\&theta;}-\mathrm{\&alpha;})-\mathrm{\&gamma;}[\mathrm{\&theta;}+\frac{1}{2\mathrm{\&kappa;}}\ln \left(\frac{e^{\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}-\mathrm{\&alpha;})}+e^{-\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}-\mathrm{\&alpha;})}}{e^{\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}+\mathrm{\&alpha;})}+e^{-\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}+\mathrm{\&alpha;})}}\right)],\mathrm{\&theta;}\&GreaterEqual;\mathrm{\&alpha;}\\ -\mathrm{\&gamma;}[\mathrm{\&theta;}+\frac{1}{2\mathrm{\&kappa;}}\ln \left(\frac{e^{\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}-\mathrm{\&alpha;})}+e^{-\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}-\mathrm{\&alpha;})}}{e^{\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}+\mathrm{\&alpha;})}+e^{-\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}+\mathrm{\&alpha;})}}\right)],\left|\mathrm{\&theta;}\right|<\mathrm{\&alpha;}\\ \mathrm{\&gamma;}(\mathrm{\&theta;}+\mathrm{\&alpha;})-\mathrm{\&gamma;}[\mathrm{\&theta;}+\frac{1}{2\mathrm{\&kappa;}}\ln \left(\frac{e^{\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}-\mathrm{\&alpha;})}+e^{-\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}-\mathrm{\&alpha;})}}{e^{\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}+\mathrm{\&alpha;})}+e^{-\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}+\mathrm{\&alpha;})}}\right)],\mathrm{\&theta;}\&le;-\mathrm{\&alpha;}\end{array}\right.---\left(3\right)$

为进一步分析式（3），定义函数

则有

$\frac{\mathrm{d\&Pi;}\left(\mathrm{\&theta;}\right)}{\mathrm{d\&theta;}}=\frac{2\mathrm{\&kappa;}(e^{-4\mathrm{\&kappa;\&alpha;}}-1)}{(e^{2\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}-\mathrm{\&alpha;})}+e^{-2\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}+\mathrm{\&alpha;})}+2)}<0---\left(4\right)$

因此，函数Π(θ)是随自变量θ递减的。进而可推导出式（3）满足下述不等式

$\left\{\begin{array}{c}-\mathrm{\&gamma;\&alpha;}-\frac{\mathrm{\&gamma;}}{2\mathrm{\&kappa;}}\ln \left(\frac{2}{(e^{2\mathrm{\&kappa;\&alpha;}}+e^{-2\mathrm{\&kappa;\&alpha;}})}\right)\&le;E\left(\mathrm{\&theta;}\right)<0,\mathrm{\&theta;}\&GreaterEqual;\mathrm{\&alpha;}\\ -\mathrm{\&gamma;\&alpha;}-\frac{\mathrm{\&gamma;}}{2\mathrm{\&kappa;}}\ln \left(\frac{2}{(e^{2\mathrm{\&kappa;\&alpha;}}+e^{-2\mathrm{\&kappa;\&alpha;}})}\right)<E\left(\mathrm{\&theta;}\right)<\mathrm{\&gamma;\&alpha;}+\frac{\mathrm{\&gamma;}}{2\mathrm{\&kappa;}}\ln \left(\frac{2}{(e^{2\mathrm{\&kappa;\&alpha;}}+e^{-2\mathrm{\&kappa;\&alpha;}})}\right)\\ 0<E\left(\mathrm{\&theta;}\right)\&le;\mathrm{\&kappa;\&alpha;}+\frac{\mathrm{\&gamma;}}{2\mathrm{\&kappa;}}\ln \left(\frac{2}{(e^{2\mathrm{\&kappa;\&alpha;}}+e^{-2\mathrm{\&kappa;\&alpha;}})}\right),\mathrm{\&theta;}\&le;-\mathrm{\&alpha;}\end{array},\left|\mathrm{\&theta;}\right|<\mathrm{\&alpha;}\right.---\left(5\right)$

根据式（5），进一步可得，

$-\frac{\mathrm{\&gamma;}\ln 2}{2\mathrm{\&kappa;}}<E\left(\mathrm{\&theta;}\right)<\frac{\mathrm{\&gamma;}\ln 2}{2\mathrm{\&kappa;}}---\left(6\right)$

由式（6）可以推出

也就是说随着κ的增大，本发明提出的齿轮间隙模型可以以任意精度逼近传统的齿轮间隙的死区模型描述，同时又保留模型光滑的特性。

基于建立的光滑模型本发明的消除传动齿轮间隙影响的控制方法包含如下步骤，如图2所示：

步骤101）为齿轮间隙建立光滑模型，所述光滑模型为：

$T_{\mathrm{new}}=\mathrm{\&gamma;}[\mathrm{\&theta;}+\frac{1}{2\mathrm{\&kappa;}}\ln \left(\frac{e^{\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}-\mathrm{\&alpha;})}+e^{-\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}-\mathrm{\&alpha;})}}{e^{\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}+\mathrm{\&alpha;})}+e^{-\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}+\mathrm{\&alpha;})}}\right)]$

其中，各参数含义参见表1。步骤102）将建立的光滑模型引入智能控制算法，得到齿轮传动系统的驱动侧的输入转矩；

步骤103）采用得到的输入转矩控制传动齿轮，使驱动侧的输出力矩平滑传递至负载侧。

实施例1，

以反步控制算法为例，阐述本发明的消除传动齿轮间隙影响的控制方法，并以伺服齿轮传动系统的高精度位置控制器设计为例来说明所发明的齿轮间隙模型的有益效果。

伺服齿轮传动系统的数学描述为

$\left\{\begin{array}{c}{J}_m\frac{d^2{\mathrm{\&theta;}}_m}{d{t}^2}+b_m{\mathrm{\&omega;}}_m=u-T_{\mathrm{old}}\\ J_l\frac{d^2{\mathrm{\&theta;}}_l}{d{t}^2}+b_l{\mathrm{\&omega;}}_l=n{T}_{\mathrm{old}}\end{array}\right.,T_{\mathrm{old}}=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&gamma;}(\mathrm{\&theta;}-\mathrm{\&alpha;}),\mathrm{\&theta;}\&GreaterEqual;\mathrm{\&alpha;}\\ 0,\left|\mathrm{\&theta;}\right|<\mathrm{\&alpha;}\\ \mathrm{\&gamma;}(\mathrm{\&theta;}+\mathrm{\&alpha;}),\mathrm{\&theta;}\&le;-\mathrm{\&alpha;}\end{array}\right.---\left(4.1\right)$

其中，J_m和J_l为驱动侧和负载侧的转动惯量；θ_m和θ_l别为驱动侧和负载侧的输出角位置信号，θ=θ_m-nθ_l为相对角位移；b_m和b_l别为驱动轴和负载轴的粘性摩擦系数，ω_m和ω_l别为驱动侧和负载侧的角速度信号；2α和γ分别为齿隙的间距和刚度系数；T_old为传输转矩，n为减速器的减速比，u为驱动侧的控制输入力矩。上述各参数含义也可以参见表1。

定义x＝[x₁ x₂ x₃ x₄]^T＝[θ_l ω_l θ_m ω_m]^T，x_θ=x₃-nx₁，根据模型误差E(θ)=T_old-T_new，则式（4.1）可转化为如下状态空间形式：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ \frac{n}{J_l}(T_{\mathrm{new}}+E\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))-\frac{b_l}{J_l}{x}_2\\ x_4\\ \frac{u}{J_m}-\frac{T_{\mathrm{new}}+E\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)}{J_m}-\frac{b_m}{J_m}{x}_4\end{array}\right]\text{=}\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ \frac{\mathrm{n\&gamma;}}{J_l}{x}_3-{\mathrm{\&phi;}}_1\left(x\right)+\frac{n}{J_l}E\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)\\ x_4\\ \frac{u}{J_m}-{\mathrm{\&phi;}}_2\left(x\right)-\frac{E\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)}{J_m}\end{array}\right]---\left(4.2\right)\end{array}$

其中，

${\mathrm{\&phi;}}_1\left(x\right)=\frac{n^2\mathrm{\&gamma;}}{J_l}{x}_1+\frac{b_l}{J_l}{x}_2-\frac{\mathrm{n\&gamma;}}{2J_l\mathrm{\&kappa;}}\mathrm{\&Pi;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right),{\mathrm{\&phi;}}_2\left(x\right)=\frac{\mathrm{\&gamma;}{x}_{\mathrm{\&theta;}}}{J_m}+\frac{b_m{x}_4}{J_m}+\frac{\mathrm{\&gamma;}}{2J_m\mathrm{\&kappa;}}\mathrm{\&Pi;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)---\left(4.3\right)$

下面说明如何设计驱动侧控制输入力矩u，来消除齿轮间隙的影响使负载侧的角位置输出θ_l能够以任意精度跟踪期望的角位置信号θ_r。

步骤1  定义输出跟踪误差为：

e₁＝θ_r-θ_l＝θ_r-x₁   （4.4）

选取Lyapunov函数

令虚拟控制量x₂的期望值为

c₁为可调的正常数，定义x₂的误差为e₂=μ₁-x₂，根据式（4.2），则V₁的微分为

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1=-c_1{e}_1^2+e_1({\mathrm{\&mu;}}_1-x_2)=-c_1{e}_1^2+e_1{e}_2---\left(4.5\right)$

步骤2  为求得下一步的虚拟控制量x₃，需先求得e₂对时间t的导数，根据e₂的定义和式（4.2），可求得

${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2=c_1({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r-x_2)+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r-\frac{\mathrm{n\&gamma;}}{J_l}{x}_3+{\mathrm{\&theta;}}_3+{\mathrm{\&theta;}}_1\left(x\right)-\frac{n}{J_l}E\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)---\left(4.6\right)$

选取Lyapunov函数

令虚拟控制量(nγ/J_l)x₃的期望值为c₂为可调的正常数，定义x₃的跟踪误差为e₃=μ₂-(nγ/J_l)x₃，根据式（4.5）和式（4.6），则V₂的微分为

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_2={\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1+e_2{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2=-\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_i{e}_i^2+e_2(e_3-\frac{n}{J_l}E\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))---\left(4.7\right)$

步骤3  为求得下一步的虚拟控制量x₄，需先求得φ₁(x)对时间t的导数，定义函数λ(x_θ)=tanh(κ(x_θ-α))-tanh(κ(x_θ+α))，根据函数Π(x_θ)的定义以及式（4.2）和式（4.4），可求得

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&phi;}}}_1\left(x\right)=\frac{n^2\mathrm{\&gamma;}}{J_l}{x}_2-\frac{\mathrm{n\&gamma;}(x_4-n{x}_2)}{2J_l}\mathrm{\&lambda;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)+\frac{b_l}{J_l}(\frac{\mathrm{n\&gamma;}}{J_l}{x}_3-{\mathrm{\&phi;}}_1\left(x\right)+\frac{n}{J_l}E\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))---\left(4.8\right)$

进一步可求得e₃对时间t的导数为

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_3=(1+c_1{c}_2)({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r-x_2)+(c_1+c_2){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r+{\mathrm{\&theta;}}_r^{\left(3\right)}-\frac{\mathrm{n\&gamma;}(x_4-n{x}_2)}{2J_l}(2+\mathrm{\&lambda;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))\\ +(\frac{b_l}{J_l}-c_1-c_2)(\frac{\mathrm{n\&gamma;}}{J_l}{x}_3-{\mathrm{\&phi;}}_1\left(x\right)+\frac{n}{J_l}E\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))\end{array}---\left(4.9\right)$

选取Lyapunov函数

令虚拟控制量nγ(2+λ(x_θ))x₄/2J_l（很容易验证2+λ(x_θ)>0）的期望值为 ${\mathrm{\&mu;}}_3=e_2+c_3{e}_3+(1+c_1{c}_2){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r+(c_1+c_2){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r+{\mathrm{\&theta;}}_r^{\left(3\right)}+(b_l/J_l-c_1$ $-c_2)(\mathrm{n\&gamma;}{x}_3/J_l-{\mathrm{\&phi;}}_1\left(x\right))+[n^2\mathrm{\&gamma;}(2+\mathrm{\&lambda;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))/2J_l-c_1{c}_2-1]x_2,$ c₃为可调的正常数。定义x₄的跟踪误差为e₄=μ₃-nγ(2+λ(x_θ))x₄/2J_l，根据式（4.7）和式（4.9），则V₃的微分为

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_3=-\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_i{e}_i^2+e_3{e}_4+\frac{n}{J_l}[(\frac{b_l}{J_l}-c_1-c_2)e_3-e_2]E\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)$

步骤4  为求得真正的系统控制量u，需先求得e₄对时间t的导数，定义函数 $\mathrm{\&tau;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)=1/{(e^{\mathrm{\&kappa;}(x_{\mathrm{\&theta;}}-\mathrm{\&alpha;})}+e^{-\mathrm{\&kappa;}(x_{\mathrm{\&theta;}}-\mathrm{\&alpha;})})}^2-1/{(e^{\mathrm{\&kappa;}(x_{\mathrm{\&theta;}}+\mathrm{\&alpha;})}+e^{-\mathrm{\&kappa;}(x_{\mathrm{\&theta;}}+\mathrm{\&alpha;})})}^2,$ 可求得

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)=4\mathrm{\&kappa;}(x_4-n{x}_2)\mathrm{\&tau;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)---\left(4.11\right)$

根据式（4.2）和式（4.8），进一步可求得

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_4=b_1({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r-x_2)+b_2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r+b_3{\mathrm{\&theta;}}_r^{\left(3\right)}+{\mathrm{\&theta;}}_r^{\left(4\right)}+[b_4+\frac{n^2\mathrm{\&gamma;}}{2J_l}(2+\mathrm{\&lambda;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))](\frac{\mathrm{n\&gamma;}{x}_3}{J_l}-{\mathrm{\&phi;}}_1\left(x\right))-\\ \frac{2\mathrm{\&kappa;n\&gamma;}{(x_4-n{x}_2)}^2}{J_l}\mathrm{\&tau;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)-\frac{b_5\mathrm{n\&gamma;}(x_4-n{x}_2)}{2J_l}(2+\mathrm{\&lambda;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))+\frac{\mathrm{n\&gamma;}{\mathrm{\&phi;}}_2\left(x\right)}{2J_l}(2+\mathrm{\&lambda;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))\\ -\frac{\mathrm{n\&gamma;}(2+\mathrm{\&lambda;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))}{2J_l{J}_m}u+\frac{n}{J_l}[b_4+(\frac{n^2\mathrm{\&gamma;}}{2J_l}+\frac{\mathrm{\&gamma;}}{2J_m})(2+\mathrm{\&lambda;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))]E\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)\end{array}$ (4.12)

其中，b₁=c₁+c₃+c₁c₂c₃，b₂=2+c₁c₂+c₁c₃+c₂c₃，b₃=c₁+c₂+c₃，b₅=c₁+c₂+c₃-b_l/J_l，b₄=(b_l/J_l-c₁-c₂)(c₃-b_l/J_l)-c₁c₂-2。

令驱动侧的控制输入力矩u为

$\begin{array}{c}u=\frac{2J_l{J}_m}{\mathrm{n\&gamma;}(2+\mathrm{\&lambda;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))}\{e_3+c_4{e}_4+b_1({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r-x_2)+b_2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r+b_3{\mathrm{\&theta;}}_r^{\left(3\right)}+{\mathrm{\&theta;}}_r^{\left(4\right)}-\frac{2\mathrm{\&kappa;n\&gamma;}{(x_4-n{x}_2)}^2}{J_l}\mathrm{\&tau;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)+\\ [b_4+\frac{n^2\mathrm{\&gamma;}}{2J_l}(2+\mathrm{\&lambda;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))](\frac{\mathrm{n\&gamma;}{x}_3}{J_l}-{\mathrm{\&phi;}}_1\left(x\right))-[\frac{b_5\mathrm{n\&gamma;}(x_4-n{x}_2)}{2J_l}-\frac{\mathrm{n\&gamma;}{\mathrm{\&phi;}}_2\left(x\right)}{2J_l}](2+\mathrm{\&lambda;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))\}\end{array}---\left(4.13\right)$

其中c₄为可调的正常数。

选取Lyapunov函数

根据式（4.10）至式（4.13）可求得V₄的微分为

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_4=-\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_i{e}_i^2+\frac{n}{J_l}\{(\frac{b_l}{J_l}-c_1-c_2)e_3-e_2+[b_4+(\frac{n^2\mathrm{\&gamma;}}{2J_l}+\frac{\mathrm{\&gamma;}}{2J_m})(2+\mathrm{\&lambda;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))\left]e_4\right\}E\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)---\left(4.14\right)$

根据式（6），式（4.14）满足

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_4<-\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_i{e}_i^2+\frac{\mathrm{n\&gamma;}\ln 2}{2J_l\mathrm{\&kappa;}}\left[\right|e_2|+|\frac{b_l}{J_l}-c_1-c_2|\&CenterDot;|e_3|+\left(\right|b_4|+\frac{n^2\mathrm{\&gamma;}}{J_l}+\frac{\mathrm{\&gamma;}}{J_m})|e_4\left|\right]---\left(4.15\right)$

定义函数 ${\mathrm{\&xi;}}_1\left(\mathrm{\&kappa;}\right)=\frac{\mathrm{n\&gamma;}\ln 2}{2J_l\mathrm{\&kappa;}},{\mathrm{\&xi;}}_2(c_1,c_2)=|\frac{b_l}{J_l}-c_1-c_2|,{\mathrm{\&xi;}}_3(c_1,c_2,c_3)=\left|b_4\right|+\frac{n^2\mathrm{\&gamma;}}{J_l}+\frac{\mathrm{\&gamma;}}{J_m},$ 则式（4.15）可化为

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_4<-c_1{e}_1^2-c_2{\left(\right|e_2|-\frac{{\mathrm{\&xi;}}_1\left(\mathrm{\&kappa;}\right)}{2c_2})}^2-c_3{\left(\right|e_3|-\frac{{\mathrm{\&xi;}}_1\left(\mathrm{\&kappa;}\right){\mathrm{\&xi;}}_2(c_1,c_2)}{2c_3})}^2-c_4{\left(\right|e_4|-\frac{{\mathrm{\&xi;}}_1\left(\mathrm{\&kappa;}\right){\mathrm{\&xi;}}_3(c_1,c_2,c_3)}{2c_4})}^2\\ +{\mathrm{\&xi;}}_1^2\left(\mathrm{\&kappa;}\right)(\frac{1}{4c_2}+\frac{{\mathrm{\&xi;}}_2^2(c_1,c_2)}{4c_3}+\frac{{\mathrm{\&xi;}}_3^2(c_1,c_2,c_3)}{4c_4})\end{array}---\left(4.16\right)$

定义新误差 ${\mathrm{\&zeta;}}_2=\left|e_2\right|-\frac{{\mathrm{\&xi;}}_1\left(\mathrm{\&kappa;}\right)}{2c_2},{\mathrm{\&zeta;}}_3=\left|e_3\right|-\frac{{\mathrm{\&xi;}}_1\left(\mathrm{\&kappa;}\right){\mathrm{\&xi;}}_2(c_1,c_2)}{2c_3},{\mathrm{\&zeta;}}_4=\left|e_4\right|-\frac{{\mathrm{\&xi;}}_1\left(\mathrm{\&kappa;}\right){\mathrm{\&xi;}}_3(c_1,c_2,c_3)}{2c_4},$ 误差向量e＝[e₁ ζ₂ ζ₃ ζ₄]^T，控制器参数c_i＞0（i＝1…4）的选取满足c₁＝min(c_i)，则式（4.16）可转化为

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_4<-c_1{\left|\right|e\left|\right|}^2+{\mathrm{\&xi;}}_1^2\left(\mathrm{\&kappa;}\right)(\frac{1}{4c_2}+\frac{{\mathrm{\&xi;}}_2^2(c_1,c_2)}{4c_3}+\frac{{\mathrm{\&xi;}}_3^2(c_1,c_2,c_3)}{4c_4})---\left(4.17\right)$

令 $\mathrm{\&xi;}(c_1,c_2,c_3,c_4)=\frac{1}{4c_2}+\frac{{\mathrm{\&xi;}}_2^2(c_1,c_2)}{4c_3}+\frac{{\mathrm{\&xi;}}_3^2(c_1,c_2,c_3)}{4c_4},$ 当 $\left|\right|e\left|\right|\&GreaterEqual;{\mathrm{\&xi;}}_1\left(\mathrm{\&kappa;}\right)\sqrt{\mathrm{\&xi;}(c_1,c_2,c_3,c_4)/c_1}$ 成立时，有下式成立

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_4<-c_1{\left|\right|e\left|\right|}^2+{\mathrm{\&xi;}}_1^2\left(\mathrm{\&kappa;}\right)\mathrm{\&xi;}(c_1,c_2,c_3,c_4)\&le;0---\left(4.18\right)$

因此，误差向量最终会进入并保持在下述误差界中

$\mathrm{\&Omega;}=\left\{e\right|\left|\right|e\left|\right|<{\mathrm{\&xi;}}_1\left(\mathrm{\&kappa;}\right)\sqrt{\mathrm{\&xi;}(c_1,c_2,c_3,c_4)/c_1},{\mathrm{\&xi;}}_1\left(\mathrm{\&kappa;}\right)=\frac{\mathrm{n\&gamma;}\ln 2}{2J_l\mathrm{\&kappa;}}\}---\left(4.19\right)$

由于函数ξ₁(κ)是随κ增大而衰减到零的函数，当控制器参数c_i＞0（i＝1…4）的选取满足c₁＝min(c_i)，通过选择合适的模型参数κ可以使误差界Ω任意小，进而可知跟踪误差e₁可以任意小。

通过上述控制器的设计过程可知，基于新建的齿轮间隙模型，将不光滑的齿轮间隙的控制转化为光滑齿轮模型和模型误差的形式，进而采用反步控制策略所设计的输入控制力矩式（4.13）能够保证伺服齿轮传动系统的输出角位置信号θ_l以任意精度跟踪光滑的期望角位置信号θ_r，消除了齿轮间隙的影响，使得驱动侧的输出力矩平滑地传递到负载侧，消除了轮齿间的碰撞所产生的震荡和噪音，具有很大的工程应用价值。

（一）参数选取原则

本发明的实施方案中涉及的待确定参数有控制器中可调参数c₁、c₂、c₃、c₄和齿轮间隙模型参数κ，其参数选取的一般原则如下：

1）控制器参数c_i＞0（i＝1…4）的选取满足c₁＝min(c_i)，同时通过多元函数求极值的方法可以使式（4.19）中ξ(c₁,c₂,c₃,c₄)/c₁项最小来确定c_i的取值，这样在同等误差精度的要求下可以降低对模型参数κ的要求；另外一种简单的参数配置方法是将控制器参数都设置为1。

2）齿轮间隙模型参数κ应在控制器参数c_i＞0确定后，根据伺服齿轮传动系统对负载侧输出角度的精度要求，参照误差精度上限计算公式（4.19）来最终确定。

实施例2

为了更好地说明基于所建光滑的齿轮间隙模型的优势，针对伺服齿轮传动系统的数学描述（4.1），给出状态反馈控制算法设计过程如下：

采用本发明中光滑的齿轮间隙模的另一种形式来说明本方案的有效性，

$T_{\mathrm{new}}=\mathrm{\&gamma;\&theta;}+\frac{\mathrm{\&gamma;}}{2\mathrm{\&kappa;}}[\ln \left(\cosh \left(\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}-\mathrm{\&alpha;})\right)\right)-\ln \left(\cosh \left(\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}+\mathrm{\&alpha;})\right)\right)]$

下述推到过程中使用的符号具有全文一致性，则式（4.1）可转化为如下状态空间形式：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ \frac{n}{J_l}{T}_{\mathrm{new}}\\ x_4\\ -\frac{1}{J_m}{T}_{\mathrm{new}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ \frac{1}{J_m}\end{array}\right]u\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}f\left(x\right)+\mathrm{gu}---\left(5.1\right)$

$y=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\end{array}\right]x\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}h\left(x\right)=x_1$

其中， $f\left(x\right)\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ \frac{n}{J_l}{T}_{\mathrm{new}}\\ x_4\\ -\frac{1}{J_m}{T}_{\mathrm{new}}\end{array}\right],g\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ \frac{1}{J_m}\end{array}\right],h\left(x\right)\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\end{array}\right]x.$

下面说明如何通过状态反馈控制算法设计驱动侧控制输入力矩u。

步骤1  通过分析，给出了一个微分同胚坐标变换如下：

$Z\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\left[\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\\ z_3\\ z_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ \frac{n}{J_l}{T}_{\mathrm{new}}\\ \frac{\mathrm{n\&gamma;}(x_4-n{x}_2)}{J_l}l\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)\end{array}\right]---\left(5.2\right)$

其中， $l\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}1+\left\{\tanh \right[\mathrm{\&kappa;}(x_{\mathrm{\&theta;}}-\mathrm{\&alpha;})]-\tanh [\mathrm{\&kappa;}(x_{\mathrm{\&theta;}}+\mathrm{\&alpha;})\left]\right\}/2,$ 可求得

$\frac{\&PartialD;Z}{\&PartialD;x}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ \frac{n}{J_l}\frac{\&PartialD;T_{\mathrm{new}}}{\&PartialD;x_1}& 0& \frac{n}{J_l}\frac{\&PartialD;T_{\mathrm{new}}}{\&PartialD;x_3}& 0\\ \frac{\&PartialD;z_4}{\&PartialD;x_1}& \frac{\&PartialD;z_4}{\&PartialD;x_2}& \frac{\&PartialD;z_4}{\&PartialD;x_3}& \frac{\&PartialD;z_4}{\&PartialD;x_4}\end{array}\right]---\left(5.3\right)$

进而可求得，

$\left|\frac{\&PartialD;Z}{\&PartialD;x}\right|=\frac{n}{J_l}\frac{\&PartialD;T_{\mathrm{new}}}{\&PartialD;x_3}\frac{\&PartialD;z_4}{\&PartialD;x_4}=\frac{n^2{\mathrm{\&gamma;}}^2}{J_l^2}{\left(l\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)\right)}^2>0---\left(5.3\right)$

可知，所给的坐标变换是一个全局微分同胚。

步骤2  基于所设计的状态变换，令

则式（5.1）可转化为

$\stackrel{\&CenterDot;}{Z}=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{z}_2\\ z_3\\ z_4\\ L_f^{4}h\left(x\right)+u{L}_g{L}_f^{3}h\left(x\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]Z+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]v\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\mathrm{AZ}+\mathrm{bv}---\left(5.4\right)$

其中， $A\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right],b\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right].$

（5.4）即为原系统（5.1）经坐标变换（5.2）转化后的系统数学描述，v为中间控制量。

步骤3  令中间控制量v取

v＝HZ+v_r   （5.5）

其中，H＝[h₁ h₂ h₃ h₄]为控制器参数向量，其值的选择满足(A+bH)为Hurwitz阵， $v_r=-h_1{\mathrm{\&theta;}}_r-h_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r-h_3{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r-h_4{\mathrm{\&theta;}}_r^{\left(3\right)}+{\mathrm{\&theta;}}_r^{\left(4\right)}$ 为参考控制输入。

步骤4  定义误差σ₁＝z₁-θ_r， ${\mathrm{\&sigma;}}_2=z_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r,{\mathrm{\&sigma;}}_3=z_3-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r,{\mathrm{\&sigma;}}_4=z_4-{\mathrm{\&theta;}}_r^{\left(3\right)},$ 误差向量为σ＝[σ₁ σ₂ σ₃ σ₄]^T，根据（5.4）—（5.5），则误差动态方程为

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&sigma;}}=(A+\mathrm{bH})\mathrm{\&sigma;}---\left(5.6\right)$

由于(A+bH)是Hurwitz阵，根据线性系统稳定性判据可知，误差向量σ是全局渐近稳定的。即z₁能够全局渐近稳定跟踪期望的位置信号θ_r，由于（5.2）是全局微分同胚，则经过坐标逆变换后可知输出信号θ_l能够渐近稳定跟踪期望的位置信号θ_r。

通过已设计的中间控制量v的表达式，可以反推出真正的控制量u

$u=\frac{v-L_f^{4}h\left(x\right)}{L_g{L}_f^{3}h\left(x\right)}---\left(5.7\right)$

其中，

$L_g{L}_f^{3}h\left(x\right)=\frac{\mathrm{n\&gamma;}}{J_l{J}_m}l\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)$

$L_f^{4}h\left(x\right)=\frac{2\mathrm{\&kappa;\&gamma;n}{(x_4-n{x}_2)}^2}{J_l}[1/{(e^{\mathrm{\&kappa;}(x_{\mathrm{\&theta;}}-\mathrm{\&alpha;})}+e^{-\mathrm{\&kappa;}(x_{\mathrm{\&theta;}}-\mathrm{\&alpha;})})}^2-1/{(e^{\mathrm{\&kappa;}(x_{\mathrm{\&theta;}}+\mathrm{\&alpha;})}+e^{-\mathrm{\&kappa;}(x_{\mathrm{\&theta;}}+\mathrm{\&alpha;})})}^2]-(\frac{n^3\mathrm{\&gamma;}}{J_l^2}+\frac{\mathrm{n\&gamma;}}{J_l{J}_m})l\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)T_{\mathrm{new}}$ 。

通过上述控制器的设计过程可知，基于光滑的齿轮间隙模型，采用状态反馈线性化控制策略所设计的输入控制力矩式（5.7）能够保证伺服齿轮传动系统的输出角位置信号θ_l以任意精度跟踪光滑的期望角位置信号θ_r，消除了齿轮间隙的影响，使得驱动侧的输出力矩平滑地传递到负载侧，消除了轮齿间的碰撞所产生的震荡和噪音，具有很大的工程应用价值。

上述状态反馈控制算法的信号流程图如图4所示。

（二）参数选取原则

本发明的实施方案2中涉及的待确定参数有控制器中可调参数H＝[h₁ h₂ h₃ h₄]和齿轮间隙模型参数κ，其参数选取的一般原则如下：

1）H＝[h₁ h₂ h₃ h₄]的选择要满足(A+bH)为Hurwitz阵，可以采用极点配置法来实施；

2）齿轮间隙模型参数κ的选择，首先配置为0.1。如果系统位置跟踪误差精度满足要求，则配置完成；如果系统位置跟踪误差精度不满足要求，则增大κ的值，直到系统位置跟踪误差精度满足要求，则结束配置。

表1 参数说明

最后所应说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制。尽管参照实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，都不脱离本发明技术方案的精神和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (9)

1.一种消除传动齿轮间隙影响的控制方法，其特征在于，所述方法包含：

步骤101）采用如下公式为齿轮间隙建立光滑模型：

$T_{\mathrm{new}}=\mathrm{\&gamma;}[\mathrm{\&theta;}+\frac{1}{2\mathrm{\&kappa;}}\ln \left(\frac{e^{\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}-\mathrm{\&alpha;})}+e^{-\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}-\mathrm{\&alpha;})}}{e^{\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}+\mathrm{\&alpha;})}+e^{-\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}+\mathrm{\&alpha;})}}\right)]$

其中，θ为齿轮前后的相对转动位置角信号，2α为齿轮间隙的间距，γ为齿轮的刚度系数，T_new为光滑模型的输出，κ为可调参数；

步骤102）基于建立的光滑模型得到对象状态空间描述，再依据对象状态空间描述得到齿轮传动系统的驱动侧的输入转矩；

步骤103）采用得到的输入转矩控制传动齿轮的驱动侧，使驱动侧的输出力矩平滑传递至负载侧，同时保证驱动侧的位置输出以所需的精度跟踪期望的位置信号。

2.根据权利要求1所述的消除齿轮间隙影响的控制方法，其特征在于，采用智能控制算法得到对象状态空间描述，所述智能控制算法包含反步控制算法或状态反馈线性化控制算法。

3.根据权利要求2所述的消除齿轮间隙影响的控制方法，其特征在于，当采用反步控制算法时，所述步骤102）进一步包含：

首先，定义状态变量x＝[x₁ x₂ x₃ x₄]^T＝[θ_l ω_l θ_m ω_m]^T，

通过引入光滑的齿轮间隙模型将受控对象转化为如下状态空间形式：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ \frac{n}{J_l}(T_{\mathrm{new}}+E\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))-\frac{b_l}{J_l}{x}_2\\ x_4\\ \frac{u}{J_m}-\frac{T_{\mathrm{new}}+E\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)}{J_m}-\frac{b_m}{J_m}{x}_4\end{array}\right]\text{=}\begin{array}{}\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ \frac{\mathrm{n\&gamma;}}{J_l}{x}_3-{\mathrm{\&phi;}}_1\left(x\right)+\frac{n}{J_l}E\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)\\ x_4\\ \frac{u}{J_m}-{\mathrm{\&phi;}}_2\left(x\right)-\frac{E\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)}{J_m}\end{array}\right]\end{array}$

基于上述对象数学描述，进行反步控制算法确定驱动侧的输入转矩，具体步骤如下：

步骤1，定义输出跟踪误差为：e₁＝θ_r-θ_l＝θ_r-x₁；

依据定义的跟踪误差选取Lyapunov函数，该函数形式为：

进而解算出虚拟控制量x₂的期望值为

c₁为可调的正常数；

步骤2，定义x₂的误差为e₂=μ₁-x₂，依据定义的误差选取Lyapunov函数

进而解算出虚拟控制量(nγ/J_l)x₃的期望值为 ${\mathrm{\&mu;}}_2=e_1+c_2{e}_2+c_1({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r-x_2)+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r+{\mathrm{\&phi;}}_1\left(x\right),$ 其中c₂为可调的正常数；

步骤3，定义x₃的跟踪误差为e₃=μ₂-(nγ/J_l)x₃，依据定义的误差选取Lyapunov函数进而解算出虚拟控制量nγ(2+λ(x_θ))x₄/2J_l的期望值为 ${\mathrm{\&mu;}}_3=e_2+c_3{e}_3+(1+c_1{c}_2){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r+(c_1+c_2){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r+{\mathrm{\&theta;}}_r^{\left(3\right)}+(b_l/J_l-c_1-c_2)(\mathrm{n\&gamma;}{x}_3/J_l-{\mathrm{\&phi;}}_1\left(x\right))+[n^2\mathrm{\&gamma;}(2+\mathrm{\&lambda;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))/2J_l-c_1{c}_2-1]x_2,$ c₃为可调的正常数；

步骤4，定义x₄的跟踪误差为e₄=μ₃-nγ(2+λ(x_θ))x₄/2J_l，依据定义的跟踪误差选取Lyapunov函数依据上述定义的x₁、x₂、x₃和x₄的值并基于Lyapunov稳定性原理解算得到驱动侧的输入转矩u为：

$\begin{array}{c}u=\frac{2J_l{J}_m}{\mathrm{n\&gamma;}(2+\mathrm{\&lambda;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))}\{e_3+c_4{e}_4+b_1({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r-x_2)+b_2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r+b_3{\mathrm{\&theta;}}_r^{\left(3\right)}+{\mathrm{\&theta;}}_r^{\left(4\right)}-\frac{2\mathrm{\&kappa;n\&gamma;}{(x_4-n{x}_2)}^2}{J_l}\mathrm{\&tau;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)+\\ [b_4+\frac{n^2\mathrm{\&gamma;}}{2J_l}(2+\mathrm{\&lambda;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))](\frac{\mathrm{n\&gamma;}{x}_3}{J_l}-{\mathrm{\&phi;}}_1\left(x\right))-[\frac{b_5\mathrm{n\&gamma;}(x_4-n{x}_2)}{2J_l}-\frac{\mathrm{n\&gamma;}{\mathrm{\&phi;}}_2\left(x\right)}{2J_l}](2+\mathrm{\&lambda;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))\}\end{array},$

其中，c₄为可调的正常数；J_m表示驱动侧转动惯量，J_l表示负载侧转动惯量，n表示减速器的减速比，γ表示齿轮刚度系数，x_θ表示齿轮前后相对转动角位移θ的状态变量；λ(x_θ)、τ(x_θ)表示自定义函数；b₁、b₂、b₃、b₄、b₅表示自定义参数；

表示期望角位置信号θ_r的一阶微分信号；

表示θ_r的二阶微分信号；

表示θ_r的三阶微分信号；

表示θ_r的四阶微分信号；φ₁(x)表示自定义函数；φ₂(x)表示自定义函数；x₁、x₂、x₃、x₄分别表示θ_l、ω_l、θ_m、ω_m的状态变量。

4.根据权利要求3所述的消除齿轮间隙影响的控制方法，其特征在于，

所述控制参数的取值策略包含：

策略一，将控制参数都设置为1；或

策略二，控制器参数c_i＞0且满足c₁＝min(c_i)，并通过多元函数求极值的方法使下式中“ξ(c₁,c₂,c₃,c₄)/c₁”项最小进而确定c_i的取值，其中，i＝1…4；

$\mathrm{\&Omega;}=\left\{e\right|\left|\right|e\left|\right|<{\mathrm{\&xi;}}_1\left(\mathrm{\&kappa;}\right)\sqrt{\mathrm{\&xi;}(c_1,c_2,c_3,c_4)/c_1},{\mathrm{\&xi;}}_1\left(\mathrm{\&kappa;}\right)=\frac{\mathrm{n\&gamma;}\ln 2}{2J_l\mathrm{\&kappa;}}\}$

所述模型参数κ应在控制器参数c_i＞0确定后，根据伺服齿轮传动系统对负载侧输出角度的精度要求，依据误差精度上限确定。

5.根据权利要求2所述的消除齿轮间隙影响的控制方法，其特征在于，当采用状态反馈线性化控制算法时，所述步骤102）进一步包含：

首先，定义状态变量x，通过引入光滑的齿轮间隙模型将受控对象转化为如下状态空间形式：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ \frac{n}{J_l}{T}_{\mathrm{new}}\\ x_4\\ -\frac{1}{J_m}{T}_{\mathrm{new}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ \frac{1}{J_m}\end{array}\right]u\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}f\left(x\right)+\mathrm{gu}---\left(5.1\right)$

$y=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\end{array}\right]x\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}h\left(x\right)=x_1$

其中， $f\left(x\right)\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ \frac{n}{J_l}{T}_{\mathrm{new}}\\ x_4\\ -\frac{1}{J_m}{T}_{\mathrm{new}}\end{array}\right],g\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ \frac{1}{J_m}\end{array}\right],h\left(x\right)\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\end{array}\right]x;$

基于上述对象数学描述，进行状态反馈线性化控制算法确定驱动侧的输入转矩，具体步骤如下：

步骤1）通过分析，给出一个微分同胚坐标变换如下：

$Z\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\left[\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\\ z_3\\ z_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ \frac{n}{J_l}{T}_{\mathrm{new}}\\ \frac{\mathrm{n\&gamma;}(x_4-n{x}_2)}{J_l}l\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)\end{array}\right]---\left(5.2\right)$

其中， $l\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}1+\left\{\tanh \right[\mathrm{\&kappa;}(x_{\mathrm{\&theta;}}-\mathrm{\&alpha;})]-\tanh [\mathrm{\&kappa;}(x_{\mathrm{\&theta;}}+\mathrm{\&alpha;})\left]\right\}/2,$ 可求得

$\frac{\&PartialD;Z}{\&PartialD;x}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ \frac{n}{J_l}\frac{\&PartialD;T_{\mathrm{new}}}{\&PartialD;x_1}& 0& \frac{n}{J_l}\frac{\&PartialD;T_{\mathrm{new}}}{\&PartialD;x_3}& 0\\ \frac{\&PartialD;z_4}{\&PartialD;x_1}& \frac{\&PartialD;z_4}{\&PartialD;x_2}& \frac{\&PartialD;z_4}{\&PartialD;x_3}& \frac{\&PartialD;z_4}{\&PartialD;x_4}\end{array}\right]---\left(5.3\right)$

进而可求得，

$\left|\frac{\&PartialD;Z}{\&PartialD;x}\right|=\frac{n}{J_l}\frac{\&PartialD;T_{\mathrm{new}}}{\&PartialD;x_3}\frac{\&PartialD;z_4}{\&PartialD;x_4}=\frac{n^2{\mathrm{\&gamma;}}^2}{J_l^2}{\left(l\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)\right)}^2>0---\left(5.3\right)$

可知，所给的坐标变换是一个全局微分同胚；

步骤2）基于所设计的状态变换，令

则式（5.1）可转化为

$\stackrel{\&CenterDot;}{Z}=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{z}_2\\ z_3\\ z_4\\ L_f^{4}h\left(x\right)+u{L}_g{L}_f^{3}h\left(x\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]Z+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]v\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\mathrm{AZ}+\mathrm{bv}---\left(5.4\right)$

其中， $A\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right],b\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right].$

（5.4）即为原系统（5.1）经坐标变换（5.2）转化后的系统数学描述，v为中间控制量；

步骤3）令中间控制量v取：

v＝HZ+v_r   （5.5）

其中，H＝[h₁ h₂ h₃ h₄]为控制器参数向量，其值的选择满足(A+bH)为Hurwitz阵， $v_r=-h_1{\mathrm{\&theta;}}_r-h_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r-h_3{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r-h_4{\mathrm{\&theta;}}_r^{\left(3\right)}+{\mathrm{\&theta;}}_r^{\left(4\right)}$ 为参考控制输入；

步骤4）定义误差σ₁＝z₁-θ_r， ${\mathrm{\&sigma;}}_2=z_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r,{\mathrm{\&sigma;}}_3=z_3-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r,{\mathrm{\&sigma;}}_4=z_4-{\mathrm{\&theta;}}_r^{\left(3\right)},$ 误差向量为σ＝[σ₁ σ₂ σ₃ σ₄]^T，根据（5.4）—（5.5），则误差动态方程为

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&sigma;}}=(A+\mathrm{bH})\mathrm{\&sigma;}---\left(5.6\right)$

由于(A+bH)是Hurwitz阵，根据线性系统稳定性判据可知，误差向量σ是全局渐近稳定的，即z₁能够全局渐近稳定跟踪期望的位置信号θ_r，由于（5.2）是全局微分同胚，则经过坐标逆变换后可知输出信号θ_l能够渐近稳定跟踪期望的位置信号θ_r；

通过设计的中间控制量v的表达式，反推驱动侧的输入转矩u：

$u=\frac{v-L_f^{4}h\left(x\right)}{L_g{L}_f^{3}h\left(x\right)}---\left(5.7\right)$

其中，

$L_g{L}_f^{3}h\left(x\right)=\frac{\mathrm{n\&gamma;}}{J_l{J}_m}l\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)$

$L_f^{4}h\left(x\right)=\frac{2\mathrm{\&kappa;\&gamma;n}{(x_4-n{x}_2)}^2}{J_l}[1/{(e^{\mathrm{\&kappa;}(x_{\mathrm{\&theta;}}-\mathrm{\&alpha;})}+e^{-\mathrm{\&kappa;}(x_{\mathrm{\&theta;}}-\mathrm{\&alpha;})})}^2-1/{(e^{\mathrm{\&kappa;}(x_{\mathrm{\&theta;}}+\mathrm{\&alpha;})}+e^{-\mathrm{\&kappa;}(x_{\mathrm{\&theta;}}+\mathrm{\&alpha;})})}^2]-(\frac{n^3\mathrm{\&gamma;}}{J_l^2}+\frac{\mathrm{n\&gamma;}}{J_l{J}_m})l\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)T_{\mathrm{new}}$ 。

6.一种消除齿轮间隙影响的控制系统，所述系统包含：

光滑模型建立模块，用于采用如下公式为齿轮间隙建立光滑模型：

$T_{\mathrm{new}}=\mathrm{\&gamma;}[\mathrm{\&theta;}+\frac{1}{2\mathrm{\&kappa;}}\ln \left(\frac{e^{\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}-\mathrm{\&alpha;})}+e^{-\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}-\mathrm{\&alpha;})}}{e^{\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}+\mathrm{\&alpha;})}+e^{-\mathrm{\&kappa;}(\mathrm{\&theta;}+\mathrm{\&alpha;})}}\right)]$

其中，θ为齿轮前后的相对转动位置角信号，2α为齿轮间隙的间距，γ为齿轮的刚度系数，T_new为光滑模型的输出，κ为可调参数；

驱动侧输入转矩确定模块，用于将建立的光滑模型引入智能控制算法，得到齿轮传动系统的驱动侧的输入转矩；和

控制模块，用于采用得到的输入转矩控制传动齿轮，使驱动侧的输出力矩平滑传递至负载侧。

7.根据权利要求6所述的消除齿轮间隙影响的控制系统，其特征在于，所述智能控制算法包含反步控制算法或状态反馈线性化控制算法。

8.根据权利要求6所述的消除齿轮间隙影响的控制系统，其特征在于，所述驱动侧输入转矩确定模块进一步包含：

比较模块，用于将期望输出的位置与实际输出位置进行比较判决，输出角位置偏差信号；

对象状态空间描述信息获取模块，用于对建立的齿轮间隙的光滑模型和比较模块输入的角位置偏差、模型偏差及光滑间隙模型信息进行处理，最后输出带有光滑齿轮间隙和模型误差的对象状态空间描述；

第一处理模块，用于基于所述对象状态空间描述信息获取模块输出的带有光滑齿轮间隙和模型误差的对象状态空间描述信息，进行基于Lyapunov稳定性原理的反步控制处理，最终输出第二虚拟控制量x₂信息；

第二处理模块，用于基于第一处理模块输出的第二虚拟控制量x₂信息，进行基于Lyapunov稳定性原理的反步控制处理，并输出第三虚拟控制量x₃信息；

第三处理模块，用于基于第二处理模块输出的第三虚拟控制量x₃信息，进行基于Lyapunov稳定性原理的反步控制处理处理，并输出第四虚拟控制量x₄信息；和

第四处理模块，用于基于第三处理模块输入的第四虚拟控制量x₄信息，采用如下公式得到驱动侧的输入转矩u：

$\begin{array}{c}u=\frac{2J_l{J}_m}{\mathrm{n\&gamma;}(2+\mathrm{\&lambda;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))}\{e_3+c_4{e}_4+b_1({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r-x_2)+b_2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r+b_3{\mathrm{\&theta;}}_r^{\left(3\right)}+{\mathrm{\&theta;}}_r^{\left(4\right)}-\frac{2\mathrm{\&kappa;n\&gamma;}{(x_4-n{x}_2)}^2}{J_l}\mathrm{\&tau;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right)+\\ [b_4+\frac{n^2\mathrm{\&gamma;}}{2J_l}(2+\mathrm{\&lambda;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))](\frac{\mathrm{n\&gamma;}{x}_3}{J_l}-{\mathrm{\&phi;}}_1\left(x\right))-[\frac{b_5\mathrm{n\&gamma;}(x_4-n{x}_2)}{2J_l}-\frac{\mathrm{n\&gamma;}{\mathrm{\&phi;}}_2\left(x\right)}{2J_l}](2+\mathrm{\&lambda;}\left(x_{\mathrm{\&theta;}}\right))\}\end{array}$ 其中，c₄为可调的正常数；J_m表示驱动侧转动惯量，J_l表示负载侧转动惯量，n表示减速器的减速比，γ表示齿轮刚度系数，x_θ表示齿轮前后相对转动角位移θ的状态变量；λ(x_θ)、τ(x_θ)表示自定义函数；b₁、b₂、b₃、b₄、b₅表示自定义参数；

表示期望角位置信号θ_r的一阶微分信号；

表示θ_r的二阶微分信号；

表示θ_r的三阶微分信号；

表示θ_r的四阶微分信号；φ₁(x)表示自定义函数；φ₂(x)表示自定义函数；x₁、x₂、x₃、x₄分别表示θ_l、ω_l、θ_m、ω_m的状态变量。

9.根据权利要求8所述的消除齿轮间隙影响的控制系统，其特征在于，所述驱动侧输入转矩确定模块还包含参数确定模块，所述参数确定模块依据如下策略确定控制参数和模型参数的取值：

策略一，将控制参数都设置为1；或

策略二，控制器参数c_i＞0且满足c₁＝min(c_i)，并通过多元函数求极值的方法使下式中“ξ(c₁,c₂,c₃,c₄)/c₁”项最小进而确定c_i的取值，其中，i＝1…4；

$\mathrm{\&Omega;}=\left\{e\right|\left|\right|e\left|\right|<{\mathrm{\&xi;}}_1\left(\mathrm{\&kappa;}\right)\sqrt{\mathrm{\&xi;}(c_1,c_2,c_3,c_4)/c_1},{\mathrm{\&xi;}}_1\left(\mathrm{\&kappa;}\right)=\frac{\mathrm{n\&gamma;}\ln 2}{2J_l\mathrm{\&kappa;}}\}$

所述模型参数κ应在控制器参数c_i＞0确定后，根据伺服齿轮传动系统对负载侧输出角度的精度要求，依据误差精度上限确定。

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