CN103092075A - 一种含有间隙特性的机械传动系统模型参数确定方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种含有间隙特性的机械传动系统模型参数确定方法，所述的含有间隙特性的机械传动系统模型包括用来描述机械传动系统中驱动装置的L₁(·)动态线性子系统、用来描述机械传动系统负载的L₂(·)动态线性子系统和用来描述机械传动系统中传动部分间隙非线性特性的输入x(k)和输出v(k)，所述机械传动系统的输入u(k)和输出y(k)，采用M序列和正弦信号叠加的复合信号作为所述机械传动系统模型的激励信号，采用非光滑的Gauss-Newton方法对所述的含有间隙特性的机械传动系统模型参数的在线辨识，对目标函数中

求Clarke意义下的广义的雅克比矩阵。

Description

一种含有间隙特性的机械传动系统模型参数确定方法

技术领域

本发明属于机械传动控制技术领域，特别涉及一种含有间隙特性的机械传动系统的模型参数的确定方法。

背景技术

许多常见的机械加工系统所需的设备，往往采用齿轮或丝杠作为传动机构的工作平台。齿轮或丝杠由于存在着间隙的原因，会对传动装置的精度和动态特性产生不利影响。这些影响包括降低系统的控制精度，引起系统的抖动，甚至导致系统不稳定。因此，必须考虑消除间隙的不利影响。

通常采用的方法是基于模型的间隙补偿方法。该方法包括如何建立系统模型和确定模型的参数，这是实现基于模型的传动系统间隙补偿的关键。然而由于工程实际中从节省成本角度考虑，传动系统中齿轮或丝杠的输入与输出并不加装任何传感器，因此相应的模型中间隙特性的输入、输出变量不可直接测量，在这种情况下，在线确定间隙模型参数存在较大困难。同时，随着设备的磨损，材料的老化等，间隙的参数也会发生变化，实时地确定间隙的参数也成为提高这类系统定位控制精度的关键。

发明内容

本发明的目的是提出一种快速的非光滑的辨识方法来在线确定机械传动系统所含间隙模型的参数的方法。

本发明的技术方案，一种含有间隙特性的机械传动系统模型参数确定方法，所述的含有间隙特性的机械传动系统模型包括用来描述机械传动系统中驱动装置的L₁(·)动态线性子系统、用来描述机械传动系统负载的L₂(·)动态线性子系统和用来描述机械传动系统中传动部分间隙非线性特性的输入x(k)和输出v(k)，所述机械传动系统的输入u(k)和输出y(k)，L₁(·)和L₂(·)分别表述为：

$x\left(k\right)=-\underset{i_2=1}{\overset{n_a}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{i_2}x(k-i_2)+\underset{j_2=0}{\overset{n_b}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{j_2}u(k-q_1-j_2)---\left(1\right)$

和

$y\left(k\right)=-\underset{i_1=1}{\overset{n_c}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{i_1}y(k-i_1)+\underset{j_1=0}{\overset{n_d}{\mathrm{\Σ}}}{d}_{j_1}v(k-q_2-j_1)---\left(2\right)$

其中，n_a和n_b是L₁(·)的阶次，

和

是L₁(·)的系数,q₁是时间延迟,n_a和n_b是L₂(·)的阶次，

和

是L₂(·)的系数,q₂是时间延迟。

间隙的特性描述为：

m(k)=m₁+(m₂-m₁)g(k),   (3)

v1(k)=m(k)(x(k)+g(k)x(k)-D₁g₁(k)+D₂g₂(k)),   (4)

和

v(k)=v1(k)+[v(k-1)-v1(k)](g₁(k)-1)(g₂(k)-1),   (5)

其中：m₁和m₂分别是上升和下降的斜率，D₁和D₂分别是上升和下降的记忆区的绝对值，并且0<m₁<∞,0<m₂<∞,0<D₁<∞and0<D₂<∞.g(k),g₁(k)andg₂(k)分别定义为:

$g\left(k\right)=\left\{\begin{array}{cc}0,& \mathrm{\&Delta;x}\left(k\right)>0\\ 1,& \mathrm{\&Delta;x}\left(k\right)\&le;0\end{array}\right.,$ $g_1\left(k\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& x\left(k\right)>\frac{v(k-1)}{m_1}+D_1\mathrm{andx}\left(k\right)>x(k-1)\\ 0,& \mathrm{else}\end{array}\right.$ 和 $g_2\left(k\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& x\left(k\right)<\frac{\text{v}(k-1)}{m_2}-D_2\mathrm{andx}\left(k\right)<x(k-1)\\ 0,& \mathrm{else}\end{array}\right.,$ 并且Δx(k)=x(k)-x(k-1).

机械传动系统模型的未知参数写为：

并且

$\mathrm{\&theta;}={[c_1,...,c_{n_c},a_1,...,a_{n_a}{m}_1,m_2,D_1,D_2,b_1,...,b_{n_b},d_1,...,d_{n_d}]}^T.$

定义目标函数：

$Q(k,\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right))=\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{{[y\left(k\right)-\hat{y}(k,\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right))]}^2}{2}=\frac{1}{2}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}f(k,\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)).---\left(6\right)$

其中

是参数θ的估计值,

是系统模型的输出，式（6）用以优化未知参数

采用M序列和正弦信号叠加的复合信号作为所述机械传动系统模型的激励信号，采用非光滑的Gauss-Newton方法对所述的含有间隙特性的机械传动系统模型参数的在线辨识，对目标函数中

求Clarke意义下的广义的雅克比矩阵，该二阶优化算法的搜索方向

为：

$t(k,\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right))={({\stackrel{\&OverBar;}{h}}_j^T\left(k\right){\stackrel{\&OverBar;}{h}}_j\left(k\right)+{\mathrm{\&mu;}}_{k}I)}^{-1}{\stackrel{\&OverBar;}{h}}_j\left(k\right)[y\left(k\right)-\hat{y}(k,\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right))]---\left(7\right)$

其中： $h_j\left(k\right)\&Element;\&PartialD;f(k,{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_j\left(k\right)),$ $w_j\left(k\right)\&Element;\frac{\&PartialD;\hat{y}(k,\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right))}{\&PartialD;\mathrm{\&theta;}\left(k\right)}{|}_{\mathrm{\&theta;}\left(k\right)={\mathrm{\&theta;}}_j\left(k\right)},$ ${\stackrel{\&OverBar;}{h}}_j\left(k\right)=\underset{j\&Element;J_k}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&lambda;}}_j^k{w}_j\left(k\right),$ ${\mathrm{\&lambda;}}_j^k\&GreaterEqual;0,$ 并且

j∈J_k，J_k是{1,…，t₁}的一个非空集合，μ_k为阻尼系数，

其中，所述的参数的非光滑二次优化算法为：

第一步，选择参数的初始值优化停止参数δ>0，计算f(k,θ₀)和向量

并且j∈J_k,J_k={k₀},|J_k|≤k₁,|J_k|是J_k的元素数,k₁是一个给定的正数,k=k₀.定义线性的搜索参数:q∈(0,0.5),q*∈(q,1)，并且η(0)∈(0,1]；

第二步，优化停止，否则，根据式（7)，选取μ_k>0,求搜索方向

第三步:搜寻最大步长η(k)∈[0,1]，并且η(k)≥η(0)，如果

并且

那么,进行长步长搜索，并且设定

$\widehat{\mathrm{\&theta;}}(k+1)=\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)+\mathrm{\&eta;}\left(k\right)t\left(k\right),$ 并且 ${\widehat{\mathrm{\&theta;}}}^{*}(k+1)=\widehat{\mathrm{\&theta;}}(k+1);$ 转到第四步，

另外，如果0<η(k)<η(0),并且满足式（8），那么进行短步长搜索，并且设定

$\widehat{\mathrm{\&theta;}}(k+1)=\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)+\mathrm{\&eta;}\left(k\right)t\left(k\right),$ ${\widehat{\mathrm{\&theta;}}}^{*}(k+1)=\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)+{\mathrm{\&eta;}}^{*}\left(k\right)t\left(k\right)$ 并且η^*(k)>η(k)，转到第五步，

如果η(k)=0,并且满足式（8）,进行空步长搜索,即：

$\widehat{\mathrm{\&theta;}}(k+1)=\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right),$ 并且 ${\widehat{\mathrm{\&theta;}}}^{*}(k+1)=\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)+{\mathrm{\&eta;}}^{*}\left(k\right)t\left(k\right);$ 转到第五步；

第四步，设定J_k=J_k∪{k+1},k=k+1,如果k≤k₁,那么J_k={1，…,k},并且如果k>k₁,那么J_k=J_k-1∪{k}\{k-k₁},那么转到第二步；

第五步，J_k=J_k∪{k+1},k=k+1,如果k≤k₁，那么J_k={1，…,k}，并且k>k₁,那么J_k=J_k-1∪{k}\{k-k₁},找出合适的Clarke次梯度h_j(k)，然后转到第二步。

本发明用块的模型结构来描述含有齿轮或滚珠丝杠类的机械传动装置的运动平台的特性；在齿轮或丝杠等机械传动机构的输入及输出不可测量的情况下，实时的估算传动机构间隙模型的参数；用非光滑的二次优化技术来辨识该非光滑模型的特征参数，加速了算法的收敛；由于未知参数可以时实估计，有利于基于模型的间隙补偿器的设计与实现。

附图说明

图1是本发明实施例中含有齿轮或丝杠类的机械传动机构的工作平台的物理结构示意图。

图2是本发明的机械传动系统模型组成示意图。

具体实施方式

如图1所示，含有齿轮或丝杠类的机械传动机构的工作平台的实际物理结构。其中伺服电机的输入电压作为系统的输入信号u(k),通过电机产生转速x(k)，经过齿轮箱变速及丝杠的机械传动，再带动工作台（负载）工作，工作台的位移y(k),即为整个系统的输出。根据有齿轮或丝杠的机械传动机构的工作平台的实际物理结构，可以确定输入信号首先经过前端的电机等装置（可近似地认为是线性系统）后，经过齿轮或丝杠地机械传动（含有间隙的非线性特性）机构，再带动负载工作（负载可近似为线性系统），从而得到最终的输出信号。

图2所示的模型可用来描述这类工作平台的特性，其中，L₁(·)是一个动态的线性子系统，用来描述工作平台前端电机等装置，中间的间隙来描述滚珠丝杠、齿轮等这一类机械传动部分的非线性特性，L₂(·)是一个动态的线性子系统，用来描述工作平台的负载，机械传动的非线性部分的输入和输出，即x(k)和v(k)不能直接测量，工作平台的输入和输出，即：u(k)和y(k)可以直接测量。

L₁(·)和L₂(·)分别可以表述为：

$x\left(k\right)=-\underset{i_2=1}{\overset{n_a}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_{i_2}x(k-i_2)+\underset{j_2=0}{\overset{n_b}{\mathrm{\&Sigma;}}}{b}_{j_2}u(k-q_1-j_2)---\left(1\right)$

和

$y\left(k\right)=-\underset{i_1=1}{\overset{n_c}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_{i_1}y(k-i_1)+\underset{j_1=0}{\overset{n_d}{\mathrm{\&Sigma;}}}{d}_{j_1}v(k-q_2-j_1)---\left(2\right)$

其中：n_a和n_b是L₁(·)的阶次，

和

是L₁(·)的系数,q₁是时间延迟,n_a和n_b是L₂(·)的阶次，

和

是L₂(·)的系数,q₂是时间延迟。

间隙的特性可以描述为：

m(k)=m₁+(m₂-m₁)g(k),   (3)

v1(k)=m(k)(x(k)+g(k)x(k)-D₁g₁(k)+D₂g₂(k)),   (4)

和

v(k)=v1(k)+[v(k-1)-v1(k)](g₁(k)-1)(g₂(k)-1),   (5)

其中：m₁和m₂分别是上升和下降的斜率，D₁和D₂分别是上升和下降的记忆区的绝对值，并且0<m₁<∞,0<m₂<∞,0<D₁<∞and0<D₂<∞.g(k),g₁(k)andg₂(k)分别定义为:

$g\left(k\right)=\left\{\begin{array}{cc}0,& \mathrm{\&Delta;x}\left(k\right)>0\\ 1,& \mathrm{\&Delta;x}\left(k\right)\&le;0\end{array}\right.,$ $g_1\left(k\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& x\left(k\right)>\frac{v(k-1)}{m_1}+D_1\mathrm{andx}\left(k\right)>x(k-1)\\ 0,& \mathrm{else}\end{array}\right.$ 和 $g_2\left(k\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& x\left(k\right)<\frac{\text{v}(k-1)}{m_2}-D_2\mathrm{andx}\left(k\right)<x(k-1)\\ 0,& \mathrm{else}\end{array}\right.,$ 并且Δx(k)=x(k)-x(k-1).

因此，模型的未知参数可以写为：

并且

$\mathrm{\&theta;}={[c_1,...,c_{n_c},a_1,...,a_{n_a}{m}_1,m_2,D_1,D_2,b_1,...,b_{n_b},d_1,...,d_{n_d}]}^T.$

我们定义目标函数：

$Q(k,\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right))=\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{{[y\left(k\right)-\hat{y}(k,\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right))]}^2}{2}=\frac{1}{2}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}f(k,\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)).---\left(6\right)$

其中是参数θ的估计值,

是系统模型的输出，我们可以用式（6）来来优化未知参数

关于激励信号的确定。

因为超精密设备中，含有机械传动机构工作平台的机械传动机构的输入和输出大都不能直接测量，所选择的信号不但要能充分激励工作平台两个子线性的动态特性还要能充分激励传动机构的间隙特性，本发明选择M序列和正弦信号叠加的复合信号作为系统的激励信号。

关于本发明对与含有间隙的系统模型参数的在线辨识方法。

我们用非光滑的Gauss-Newton方法来确定间隙的参数，因为间隙具有非光滑的非线性特性，因此目标函数中

对未知参数的导数不是都存在，因此求的是Clarke意义下的广义的雅克比矩阵。

那么该二阶优化算法的搜索方向

为：

$t(k,\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right))={({\stackrel{\&OverBar;}{h}}_j^T\left(k\right){\stackrel{\&OverBar;}{h}}_j\left(k\right)+{\mathrm{\&mu;}}_{k}I)}^{-1}{\stackrel{\&OverBar;}{h}}_j\left(k\right)[y\left(k\right)-\hat{y}(k,\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right))]---\left(7\right)$

其中： $h_j\left(k\right)\&Element;\&PartialD;f(k,{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_j\left(k\right)),$ $w_j\left(k\right)\&Element;\frac{\&PartialD;\hat{y}(k,\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right))}{\&PartialD;\mathrm{\&theta;}\left(k\right)}{|}_{\mathrm{\&theta;}\left(k\right)={\mathrm{\&theta;}}_j\left(k\right)},$ ${\stackrel{\&OverBar;}{h}}_j\left(k\right)=\underset{j\&Element;J_k}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&lambda;}}_j^k{w}_j\left(k\right),$ ${\mathrm{\&lambda;}}_j^k\&GreaterEqual;0,$ 并且j∈J_k，J_k是{1,…，t₁}的一个非空集合，μ_k为阻尼系数。

因此，参数的非光滑二次优化算法为：

第一步:选择参数的初始值优化停止参数δ>0.计算f(k,θ₀)和向量

并且j∈J_k,J_k={k₀},|J_k|≤k₁,|J_k|是J_k的元素数,k₁是一个给定的正数,k=k₀.定义线性的搜索参数:q∈(0,0.5),q*∈(q,1)，并且η(0)∈(0,1].

第二步:优化停止，否则，根据式（7)，选取μ_k>0,求搜索方向

第三步:搜寻最大步长η(k)∈[0,1]，并且η(k)≥η(0)，如果

并且

那么,我们将进行长步长搜索，并且设定

$\widehat{\mathrm{\&theta;}}(k+1)=\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)+\mathrm{\&eta;}\left(k\right)t\left(k\right),$ 并且 ${\widehat{\mathrm{\&theta;}}}^{*}(k+1)=\widehat{\mathrm{\&theta;}}(k+1);$ 转到第四步.

另外，如果0<η(k)<η(0),并且满足式（8），那么我们进行短步长搜索，并且设定

$\widehat{\mathrm{\&theta;}}(k+1)=\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)+\mathrm{\&eta;}\left(k\right)t\left(k\right),$ ${\widehat{\mathrm{\&theta;}}}^{*}(k+1)=\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)+{\mathrm{\&eta;}}^{*}\left(k\right)t\left(k\right)$ 并且η^*(k)>η(k).转到第五步.

如果η(k)=0,并且满足式（8）,我们进行空步长搜索,即：

$\widehat{\mathrm{\&theta;}}(k+1)=\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right),$ 并且 ${\widehat{\mathrm{\&theta;}}}^{*}(k+1)=\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)+{\mathrm{\&eta;}}^{*}\left(k\right)t\left(k\right);$ 转到第五步.

第四步：设定J_k=J_k∪{k+1},k=k+1,如果k≤k₁,那么J_k={1，…,k},并且如果k>k₁,那么J_k=J_k-1∪{k}\{k-k₁,那么转到第二步.

第五步：J_k=J_k∪{k+1},k=k+1,如果k≤k₁，那么J_k={1，…,k}，并且k>K₁,那么J_k=J_k-1∪{k}\{k-k₁},找出合适的Clarke次梯度h_j(k)，然后转到第二步.

在工作平台上，采用角编码器作为传感器，对其测量值进行解码后获得驱动机械平台的输入--电机转速量，然后通过光栅尺检测工作台位移作为系统输出，并传送到数字信号处理器（DSP）中。DSP按“含有间隙的系统模型参数的在线辨识方法”对模型参数估算，得出模型的有关参数。

Claims (1)

1.一种含有间隙特性的机械传动系统模型参数确定方法，其特征在于，所述的含有间隙特性的机械传动系统模型包括用来描述机械传动系统中驱动装置的L₁(·)动态线性子系统、用来描述机械传动系统负载的L₂(·)动态线性子系统和用来描述机械传动系统中传动部分间隙非线性特性的输入x(k)和输出v(k)，所述机械传动系统的输入u(k)和输出y(k)，

L₁(·)和L₂(·)分别表述为：

$x\left(k\right)=-\underset{i_2=1}{\overset{n_a}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_{i_2}x(k-i_2)+\underset{j_2=0}{\overset{n_b}{\mathrm{\&Sigma;}}}{b}_{j_2}u(k-q_1-j_2)---\left(1\right)$

和

$y\left(k\right)=-\underset{i_1=1}{\overset{n_c}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_{i_1}y(k-i_1)+\underset{j_1=0}{\overset{n_d}{\mathrm{\&Sigma;}}}{d}_{j_1}v(k-q_2-j_1)---\left(2\right)$

其中，n_a和n_b是L₁(·)的阶次，

和

是L₁(·)的系数,q₁是时间延迟,n_a和n_b是L₂(·)的阶次，

和

是L₂(·)的系数,q₂是时间延迟。

间隙的特性描述为：

m(k)=m₁+(m₂-m₁)g(k),   (3)

v1(k)=m(k)(x(k)+g(k)x(k)-D₁g₁(k)+D₂g₂(k)),   (4)

和

v(k)=v1(k)+[v(k-1)-v1(k)](g₁(k)-1)(g₂(k)-1),   (5)

其中：m₁和m₂分别是上升和下降的斜率，D₁和D₂分别是上升和下降的记忆区的绝对值，并且0<m₁<∞,0<m₂<∞,0<D₁<∞and0<D₂<∞.g(k),g₁(k)andg₂(k)分别定义为:

$g\left(k\right)=\left\{\begin{array}{cc}0,& \mathrm{\&Delta;x}\left(k\right)>0\\ 1,& \mathrm{\&Delta;x}\left(k\right)\&le;0\end{array}\right.,$ $g_1\left(k\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& x\left(k\right)>\frac{v(k-1)}{m_1}+D_1\mathrm{andx}\left(k\right)>x(k-1)\\ 0,& \mathrm{else}\end{array}\right.$ 和 $g_2\left(k\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& x\left(k\right)<\frac{\text{v}(k-1)}{m_2}-D_2\mathrm{andx}\left(k\right)<x(k-1)\\ 0,& \mathrm{else}\end{array}\right.,$ 并且Δx(k)=x(k)-x(k-1).

机械传动系统模型的未知参数写为：并且

$\mathrm{\&theta;}={[c_1,...,c_{n_c},a_1,...,a_{n_a}{m}_1,m_2,D_1,D_2,b_1,...,b_{n_b},d_1,...,d_{n_d}]}^T.$

定义目标函数：

$Q(k,\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right))=\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{{[y\left(k\right)-\hat{y}(k,\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right))]}^2}{2}=\frac{1}{2}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}f(k,\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right))---\left(6\right)$

其中是参数θ的估计值,

是系统模型的输出，式（6）用以优化未知参数

采用M序列和正弦信号叠加的复合信号作为所述机械传动系统模型的激励信号，

采用非光滑的Gauss-Newton方法对所述的含有间隙特性的机械传动系统模型参数的在线辨识，对目标函数中

求Clarke意义下的广义的雅克比矩阵，该二阶优化算法的搜索方向

为：

$t(k,\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right))={({\stackrel{\&OverBar;}{h}}_j^T\left(k\right){\stackrel{\&OverBar;}{h}}_j\left(k\right)+{\mathrm{\&mu;}}_{k}I)}^{-1}{\stackrel{\&OverBar;}{h}}_j\left(k\right)[y\left(k\right)-\hat{y}(k,\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right))]---\left(7\right)$

其中： $h_j\left(k\right)\&Element;\&PartialD;f(k,{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_j\left(k\right)),$ $w_j\left(k\right)\&Element;\frac{\&PartialD;\hat{y}(k,\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right))}{\&PartialD;\mathrm{\&theta;}\left(k\right)}{|}_{\mathrm{\&theta;}\left(k\right)={\mathrm{\&theta;}}_j\left(k\right)},$ ${\stackrel{\&OverBar;}{h}}_j\left(k\right)=\underset{j\&Element;J_k}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&lambda;}}_j^k{w}_j\left(k\right),$ ${\mathrm{\&lambda;}}_j^k\&GreaterEqual;0,$ 并且

j∈J_k，J_k是{1,…，t₁，}的一个非空集合，μ_k为阻尼系数，

其中，所述的参数的非光滑二次优化算法为：

第一步，选择参数的初始值

优化停止参数δ>0，计算f(k,θ₀)和向量

并且j∈J_k,J_k={k₀},|J_k|≤k₁,|J_k|是J_k的元素数,k₁是一个给定的正数,k=k₀.定义线性的搜索参数:q∈(0,0.5),q*∈(q,1)，并且η(0)∈(0,1]；

第二步，

优化停止，否则，根据式（7)，选取μ_k>0,求搜索方向

第三步:搜寻最大步长η(k)∈[0,1]，并且η(k)≥η(0)，如果

并且

那么,进行长步长搜索，并且设定

$\widehat{\mathrm{\&theta;}}(k+1)=\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)+\mathrm{\&eta;}\left(k\right)t\left(k\right),$ 并且 ${\widehat{\mathrm{\&theta;}}}^{*}(k+1)=\widehat{\mathrm{\&theta;}}(k+1);$ 转到第四步，

另外，如果0<η(k)<η(0),并且满足式（8），那么进行短步长搜索，并且设定

$\widehat{\mathrm{\&theta;}}(k+1)=\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)+\mathrm{\&eta;}\left(k\right)t\left(k\right),$ ${\widehat{\mathrm{\&theta;}}}^{*}(k+1)=\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)+{\mathrm{\&eta;}}^{*}\left(k\right)t\left(k\right)$ 并且η^*(k)>η(k)，转到第五步，

如果η(k)=0,并且满足式（8）,进行空步长搜索,即：

$\widehat{\mathrm{\&theta;}}(k+1)=\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right),$ 并且 ${\widehat{\mathrm{\&theta;}}}^{*}(k+1)=\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)+{\mathrm{\&eta;}}^{*}\left(k\right)t\left(k\right);$ 转到第五步；

第四步，设定J_k=J_k∪{k+1},k=k+1,如果k≤k₁,那么J_k={1，…,k},并且如果k>k₁,那么J_k=J_k-1∪{k}\{k-k₁},那么转到第二步；

第五步，J_k=J_k∪{k+1},k=k+1,如果k≤k₁，那么J_k={1，…,k}，并且k>k₁,那么J_k=J_k-1∪{k}\{k-k₁},找出合适的Clarke次梯度h_j(k)，然后转到第二步。

Images