CN101207386A - 一种二进制低密度奇偶校验码的构造方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种基于PEG算法的具有准循环结构的二进制LDPC码构造方法。将校验矩阵H采用两个小矩阵来表征，一个是维数为c×t的二进制矩阵基矩阵M，另一个是维数为c×t的移位次数矩阵P；通过码长码率分别求得矩阵M和矩阵P的维数参数c、t，然后根据参数c、t以及校验矩阵H的列重量分布，采用PEG算法构造出基矩阵M，再采用右式构造矩阵P；仿真结果表明，本发明构造的LDPC码与用PEG算法构造的随机码具有几乎相同的性能，而且由于准循环特性，用本文提出的方法编码更简单，可以通过反馈移位寄存器来实现。此外，码率更易于调整。

Description

一种二进制低密度奇偶校验码的构造方法

技术领域

本发明属于准循环低密度奇偶校验码的构造技术领域，特别是涉及一种二进制低密度奇偶检验码的构造方法。

技术背景

低密度奇偶校验码，即LDPC码，由Gallager在1962年首先提出，后来Mackay和Neal等人重新对它进行了研究，发现该码在AWGN信道下通过和积译码算法译码具有接近香农极限的性能。许多好码都是由随机构造方法构造，但码长较大时，需要大量的存储空间来存储校验矩阵，而且由于校验矩阵没有特定的结构，很难有效地进行编码。

LDPC码是一类基于稀疏校验矩阵的线性分组码，对于一个(n，k)二进制的LDPC码，可用一个非常稀疏的二进制校验矩阵H来表示。如果H矩阵维数为m×n且满秩，则该LDPC码的码长为n，校验位长度为m，信息位长度为k＝n-m。

LDPC码也可以用二分图来定义，校验矩阵与Tanner图的关系如附图1所示。维数为m×n的校验矩阵H对应的二分图有m个校验节点和n个变量节点，记二分图为(V，E)，其中，V是节点集合且V＝V_s∪V_c，V_s＝{s₀，s₁，...，s_n-1}是变量节点集合，V_c＝{c₀，c₁，...，c_m-1}是校验节点集合，E是两类节点之间连接边的集合。其中，h_ij是H的第i行第j列元素，当h_ij≠0时，对应的二分图中第j个变量节点和第i个校验节点相连。若变量节点s_j的度数为ds_j，连接该节点的边集合记作Es_j，则E＝Es₀∪Es₁∪...∪Es_n-1，变量节点s_j的第k条边记为E_sj ^k。以s_j为根节点将二分图展开到l层所能访问到的校验节点集合记为N_sj ^l，不能访问到的校验节点集合记为

其中 $\stackrel{\‾}{N_{s_j}^l}=V_c\backslash N_{s_j}^l.$

准循环LDPC码是一类可以降低编译码复杂度并减少存储空间的码，编码可以通过简单的移位寄存器实现，译码可以并行处理。目前，大多数的准循环LDPC码都是基于有限几何或代数方法构造，该类方法都是基于它们各自的设计要求，构造出校验矩阵，然后由校验矩阵求得码长和码率，而不是通过直接给定码长和码率来设计校验矩阵，因此，码长和码率等参数的选择不够灵活。

综合考虑性能、编译码复杂度、硬件的实现以及参数选择的灵活性等因素，将PEG算法和准循环特性相结合，可构造出具有准循环结构的校验矩阵，而且码长和码率等参数选择比较灵活。

由于围长(Girth，即最小环长)是影响LDPC码性能的重要因素之一。译码算法采用迭代译码，该算法的推导基于这样的假设：在节点间传递的信息统计独立。当有环存在时，某一节点发出的信息经过一个环长的传递后会被传回本身，从而造成自身信息的叠加，破坏了假设中的独立性，从而影响译码的准确性。然而，对于有限长度的LDPC码来说，环的存在不可避免。因此，大围长是设计好的LDPC码的一个重要指标。

X.-Y.Hu提出的逐步加边算法是一种以增大围长为目的的构造方法，虽然它不能保证所构造的二分图为最佳的二分图，但是它可以保证每次在二分图中增加一条新边，所形成的环(如果有环)的围长尽可能大。

首先给定Tanner图的基本参数，包括校验节点的数目m、变量节点的数目n和变量节点度的分布，然后逐步在校验节点和变量节点之间进行加边。具体步骤如下：

(1)对于任一变量节点s_j，加第一条边时，在当前子图中找出连接边最少的校验节点c_i，连接这两个节点作为该变量节点的第一条边E_sj ⁰。

(2)加该变量节点的其它边时，把以该节点s_j为根节点对当前Tanner图展开到深度l，如果集

但是

或者集合N_sl ^j包含节点的数目不再继续增加但仍然小于m，则在集合

中选择最少连接边的校验节点进行连接。

(3)重复步骤(2)使当前的变量节点所有边添加完毕。

(4)重复步骤(1)、(2)、(3)使所有的变量节点的边都添加完毕。

因此，采用基于PEG算法构造出的准循环LDPC码，经过大量的实验后发现，该类码具有相同或更好的纠错性能，而且该码对应的校验矩阵具有准循环的结构，方便用于硬件实现。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种基于PEG算法来构造二进制准循环LDPC码，使得可直接通过给定码长和码率来设计检验矩阵。

为了实现上述发明目的，采用的技术方案如下：

一种二进制低密度奇偶校验码的构造方法，其通过构造具有准循环特性的检验矩阵实现，所述校验矩阵H采用两个小矩阵来表征，一个是维数为c×t的二进制矩阵基矩阵M，另一个是维数为c×t的移位次数矩阵P；具体构造方法如下：

构造m×n的校验矩阵且子矩阵维数为L×L，先通过c＝m/L和t＝n/L，分别求得矩阵M和矩阵P的维数参数c、t，然后根据参数c、t以及校验矩阵H的列重量分布，采用PEG算法构造出基矩阵M，再采用如下方式构造矩阵P：

$p_{\mathrm{ij}}=\left\{\begin{array}{cc}(i\×z)\mathrm{mod}L& a_{\mathrm{ij}}=1\\ \∞& a_{\mathrm{ij}}=0\end{array}\right.$

其中，a_ij和p_ij分别是矩阵M和矩阵P中第i行第j列的元素，z表示矩阵M每一行中元素‘1’的相对位置，每一行第一个为‘1’的位置，标记z＝0，第二个为‘1’位置，标记z＝1，依次类推；

确定基矩阵M和移位次数矩阵P后，通过子矩阵替换基矩阵M中‘1’和‘0’得到校验矩阵H。

本发明要构造一个具有准循环特性的校验矩阵，只需确定基矩阵M和移位次数矩阵P。根据给定的码长和码率便可构造出校验矩阵。假设要构造矩阵M和矩阵P，而且基于PEG算法来构造基矩阵M，这样，该基矩阵M具有比较大的环长，从校验矩阵H的角度来说，校验矩阵H具有较大的环长。而且校验矩阵H除了具有准循环特性外，参数选择还比较灵活。修改码字长度n，校验位长度m以及循环移位矩阵的维数L×L，都可以构造出不同的准循环校验矩阵。

上述技术方案中，所述校验矩阵H表述如下：

$H=\left[\begin{array}{cccccc}{A}^{p_{00}}& A^{p_{01}}& ...& A^{p_{0j}}& ...& A^{p_{0(t-1)}}\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ A^{p_{i0}}& A^{p_{i1}}& ...& A^{p_{\mathrm{ij}}}& ...& A^{p_{i(t-1)}}\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ A^{p_{(c-2)0}}& A^{p_{(c-2)1}}& ...& A^{p_{(c-2)i}}& ...& A^{p_{(c-2)(t-1)}}\\ A^{p_{(c-1)0}}& A^{p_{(c-1)1}}& ...& A^{p_{(c-1)j}}& ...& A^{p_{(c-1)(t-1)}}\end{array}\right]$

其中，c、t都为正整数且c ≤ t，A是L×L循环子矩阵，p_ij∈{0，1，...，L-1，∞}，如果p_ij≠∞，则A^pij是通过把循环矩阵A向右循环移位p_ij位后得到的，如果p_ij＝∞，则A^pij是L×L的零矩阵。

所述循环子矩阵A通过如下矩阵Q进行表述：

$Q=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& ...& 0\\ 0& 0& 1& ...& 0\\ .& .& .& & .\\ .& .& .& & .\\ .& .& .& & .\\ 0& 0& 0& ...& 1\\ 1& 0& 0& ...& 0\end{array}\right]$

该矩阵中的每一行向右移动一位，就得到下一行，最后一行向右移动一位就得到矩阵的第一行，每一列向下移动一位，就得到下一列，最后一列向下移动一位就得到第一列。

所述基矩阵M的表述如下：

$M=\left[\begin{array}{cccccc}{a}_{00}& a_{01}& ...& a_{0j}& ...& a_{0(t-1)}\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ a_{i0}& a_{i1}& ...& a_{\mathrm{ij}}& ...& a_{i(t-1)}\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ a_{(c-2)0}& a_{(c-2)1}<mrow>\; <msub>\; </msub>\; </mrow>& ...& a_{(c-2)j}& ...& a_{(c-2)(t-1)}\\ a_{(c-2)0}& a_{(c-1)1}& ...& a_{(c-1)j}& ...& a_{(c-1)(t-1)}\end{array}\right]$

其中，0≤i≤c-1，0≤j≤t-1，基矩阵M通过用‘1’取代矩阵H中的每个非零循环子矩阵，用‘0’取代H中的全零子矩阵得到。

所述移位次数矩阵P表述如下：

$P=\left[\begin{array}{cccccc}{p}_{00}& p_{01}& ...& p_{0j}& ...& p_{0(t-1)}\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ p_{i0}& p_{i1}& ...& p_{\mathrm{ij}}& ...& p_{i(t-1)}\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ p_{(c-2)0}& p_{(c-2)1}& ...& p_{(c-2)i}& ...& p_{(c-2)(t-1)}\\ p_{(c-1)0}& p_{(c-1)1}& ...& p_{(c-1)j}& ...& p_{(c-1)(t-1)}\end{array}\right]$

其中，0≤i≤c-1，0≤j≤t-1。

本发明提出了一种基于PEG算法的准循环LDPC码的构造方法，仿真结果表明，与传统的PEG算法构造的LDPC码相比，该方法构造的准循环LDPC码的纠错具有相同甚至更好的性能。而且该码对应的校验矩阵具有准循环的结构，方便用于硬件实现。另外，与代数方法构造或几何方法构造的准循环LDPC码相比，参数调整更加灵活，更适于实际应用。

附图说明

图1是现有LDPC码校验矩阵与Tanner图的关系示意图；

图2是现有LDPC码以一个变量节点为根节点的扩展树示意图；

图3是本发明的参数为(256，128)LDPC码的BER/FER性能示意图，其中实菱形“◆”代表的是本发明得到的BER和FER结果；

图4是本发明的参数为(504，252)LDPC码的BER/FER性能示意图，其中“*”代表的线条是本发明得到的BER和FER结果；

图5是本发明的参数为(1008，504)LDPC码的BER/FER性能示意图，其中“*”代表的线条是本发明得到的BER和FER结果；

图6是本发明的参数为(1008，504)LDPC码的不同迭代次数的BER/FER性能示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步的说明。

构造一个具有准循环特性的校验矩阵，只需确定基矩阵M和移位次数矩阵P。假设要构造m×n的校验矩阵且子矩阵维数为L×L，则根据计算式c＝m/L和t＝n/L，分别求得c、t，也即得到矩阵M和矩阵P的维数参数。然后根据参数c、t以及校验矩阵H的列重量分布，基于PEG算法，构造出基矩阵M。这样，该基矩阵M具有比较大的环长。从校验矩阵H的角度来说，校验矩阵H具有较大的块环长。

移位次数矩阵P可以按如下方式来确定。

$p_{\mathrm{ij}}=\left\{\begin{array}{cc}(i\&times;z)\mathrm{mod}L& a_{\mathrm{ij}}=1\\ \&infin;& a_{\mathrm{ij}}=0\end{array}\right.$

其中，a_ij和p_ij分别是矩阵M和矩阵P中第i行第j列的元素。z表示矩阵M每一行中元素‘1’的相对位置。每一行第一个为‘1’的位置，标记z＝0，第二个为‘1’位置，标记z＝1，依次类推。

构造一个码字长度为n＝48，校验位长度为m＝32，循环体大小为L＝8的校验矩阵，首先用PEG算法构造参数c＝m/L＝4，t＝n/L＝6的基矩阵M，若构造的矩阵为M如下所示：

$M=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0& 1& 0\end{array}\right]$

则根据 $p_{\mathrm{ij}}=\left\{\begin{array}{cc}(i\&times;z)\mathrm{mod}L& a_{\mathrm{ij}}=1\\ \&infin;& a_{\mathrm{ij}}=0\end{array}\right.$ 计算移位次数矩阵P如下：

$P=\left[\begin{array}{cccccc}0& \&infin;& \&infin;& 0& \&infin;& 0\\ \&infin;& 0& 1& 2& \&infin;& \&infin;\\ \&infin;& 0& \&infin;& \&infin;& 2& 4\\ 0& \&infin;& 3& \&infin;& 6& \&infin;\end{array}\right]$

确定基矩阵M和移位次数矩阵P后，通过子矩阵替换基矩阵M中‘1’和‘0’得到校验矩阵H。移位次数矩阵P中非∞的元素的值(如果为i)对应循环移位i次后的单位矩阵，元素。∞对应全零子矩阵。用循环移位后的子矩阵取代矩阵M中相应位置元素‘1’，用全零子矩阵取代矩阵M中相应位置元素‘0’，从而得到校验矩阵H。

本实施例仿真构造了三组参数(n，m)分别为(1008，504)、(504，252)、(256，128)的LDPC码，其中n为码字长度，m为校验位的长度，码率均为0.5。这些码对应的Tanner图变量节点度为均匀分布，ds＝3。校验节点的度数几乎均匀分布，除了少数节点的度数为7和5外，其它节点的度数都为6。对于每一组参数选择两类码字，一类是直接由PEG算法构造的随机码，另一类是基于PEG算法构造的准循环码。

仿真条件采用BPSK调制、AWGN信道，利用高斯消元法进行编码和对数域和积译码算法进行译码，最大迭代次数设置为80次，最大数据量为2.016×10⁸个比特。

附图3、4、5比较了本发明所提出的基于PEG算法构造的准循环码和现有PEG算法构造的LDPC码的性能，它们的码参数各不相同。

图3反映了参数为(256，128)LDPC码的BER/FER的仿真性能曲线，其中准循环码的子矩阵维数为16×16，图显示基于PEG算法构造的准循环LDPC码能达到比较好的性能，与直接用PEG算法构造的LDPC码性能几乎相同。

图4反映了参数为(504，252)码的BER/FER的仿真性能曲线，其中准循环码的子矩阵维数为18×18。该图表明在高信噪比时，基于PEG算法的准循环LDPC码比直接用PEG算法构造的随机LDPC码性能稍微差些。但是，因为前者具有准循环结构，因此更适合于硬件实现。

图5反映了参数为(1008，504)码的性能，其中准循环码的子矩阵维数为36×36。该图显示，基于PEG算法构造的准循环LDPC码具有优异的性能，特别是在相对较大的信噪比的时候，BER性能比直接用PEG算法构造的LDPC码的性能要好些。在误比特率为10^-7时，基于PEG算法的准循环LDPC码BER性能提高了大约0.06dB。

图6显示了参数为n＝1008，m＝504，L＝36的LDPC码在不同迭代次数下仿真的性能曲线。从图中可以看出，随着迭代次数的增加，误帧率(FER)和误比特率(BER)基本上呈下降趋势。当迭代次数达到80次时，再增加迭代次数到100次，性能不会有明显的改善。

综上，本发明提出了一种基于PEG算法的二进制准循环LDPC码的构造方法，仿真结果表明，与传统的PEG算法构造的LDPC码相比，该方法构造的准循环LDPC码的纠错具有几乎相同或更好的性能。而且该码对应校验矩阵具有准循环的结构，方便用于硬件实现。另外，与代数方法构造或几何方法构造的准循环LDPC码相比，参数调整更加灵活，更适于实际应用。

Claims (5)

1.一种二进制低密度奇偶校验码的构造方法，其通过构造具有准循环特性的校验矩阵实现，其特征在于所述校验矩阵H采用两个小矩阵来表征，一个是维数为c×t的二进制基矩阵M，另一个是维数为c×t的移位次数矩阵P；具体构造方法如下：

构造m×n的校验矩阵且子矩阵维数为L×L，先通过c＝m/L和t＝n/L，分别求得矩阵M和矩阵P的维数参数c、t，然后根据参数c、t以及校验矩阵H的列重量分布，采用PEG算法构造出基矩阵M，再采用如下方式构造矩阵P：

$p_{\mathrm{ij}}=\left\{\begin{array}{cc}(i\&times;z)\mathrm{mod}L& a_{\mathrm{ij}}=1\\ \&infin;& a_{\mathrm{ij}}=0\end{array}\right.$

其中，a_ij和p_ij分别是矩阵M和矩阵P中第i行第j列的元素，z表示矩阵M每一行中元素‘1’的相对位置，每一行第一个为‘1’的位置，标记z＝0，第二个为‘1’位置，标记z＝1，依次类推；

确定基矩阵M和移位次数矩阵P后，通过子矩阵替换基矩阵M中‘1’和‘0’得到校验矩阵H。

2.根据权利要求1所述的二进制低密度奇偶校验码的构造方法，其特征在于所述校验矩阵H表述如下：

$H=\left[\begin{array}{cccccc}{A}^{p_{00}}& A^{p_{01}}& ...& A^{p_{0j}}& ...& A^{p_{0(t-1)}}\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ A^{p_{i0}}& A^{p_{i1}}& ...& A^{p_{\mathrm{ij}}}& ...& A^{p_{i(t-1)}}\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ A^{p_{(c-2)0}}& A^{p_{(c-2)1}}& ...& A^{p_{(c-2)i}}& ...& A^{p_{(c-2)(t-1)}}\\ A^{p_{(c-1)0}}& A^{p_{(c-1)1}}& ...& A^{P_{(c-1)j}}& ...& A^{p_{(c-1)(t-1)}}\end{array}\right]$

其中，c、t都为正整数且c≤t，A是L×L循环子矩阵，p_ij∈{0，1，...，L-1，∞}，如果p_ij≠∞，则A^pij是通过把循环矩阵A向右循环移位p_ij位后得到的，如果p_ij＝∞，则A^pij是L×L的零矩阵。

3.根据权利要求2所述的二进制低密度奇偶校验码的构造方法，其特征在于所述循环子矩阵A通过如下矩阵Q进行表述：

$Q=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& ...& 0\\ 0& 0& 1& ...& 0\\ .& .& .& & .\\ .& .& .& & .\\ .& .& .& & .\\ 0& 0& 0& ...& 1\\ 1& 0& 0& ...& 0\end{array}\right]$

该矩阵中的每一行向右移动一位，就得到下一行，最后一行向右移动一位就得到矩阵的第一行，每一列向下移动一位，就得到下一列，最后一列向下移动一位就得到第一列。

4.根据权利要求1或2所述的二进制低密度奇偶校验码的构造方法，其特征在于所述基矩阵M的表述如下：

$M=\left[\begin{array}{cccccc}{a}_{00}& a_{01}& ...& a_{0j}& ...& a_{0(t-1)}\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ a_{i0}& a_{i1}& ...& a_{\mathrm{ij}}& ...& a_{i(t-1)}\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ a_{(c-2)0}& a_{(c-2)1}& ...& a_{(c-2)j}& ...& a_{(c-2)(t-1)}\\ a_{(c-1)0}& a_{(c-1)1}& ...& a_{(c-1)j}& ...& a_{(c-1)(t-1)}\end{array}\right]$

其中，0≤i≤c-1，0≤j≤t-1，基矩阵M通过用‘1’取代矩阵H中的每个非零循环子矩阵，用‘0’取代H中的全零子矩阵得到。

5.根据权利要求4所述的二进制低密度奇偶校验码的构造方法，其特征在于所述移位次数矩阵P表述如下：

$P=\left[\begin{array}{cccccc}{p}_{00}& p_{01}& ...& p_{0j}& ...& p_{0(t-1)}\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ p_{i0}& p_{i1}& ...& p_{\mathrm{ij}}& ...& p_{i(t-1)}\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ p_{(c-2)0}& p_{(c-2)1}& ...& p_{(c-2)j}& ...& p_{(c-2)(t-1)}\\ p_{(c-1)0}& p_{(c-1)1}& ...& p_{(c-1)j}& ...& p_{(c-1)(t-1)}\end{array}\right]$

其中，0≤i≤c-1，0≤j≤t-1。

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