CN101185273A - Mimo解码器和mimo解码方法 - Google Patents

Abstract

一种MIMO解码器，其能够根据信道矩阵的变化而改变发送信号向量的搜索区域，该解码器包括：广义逆向量矩阵计算单元，用于计算根据指示无线电波传播环境的信道矩阵来得到的Moore－Penrose广义逆矩阵；搜索区域限定处理单元，用于针对根据所述信道矩阵来计算得到的各个特征向量，与对应于特征向量的特征值的平方根成反比地执行加权，并基于该加权结果来确定以Moore－Penrose广义逆矩阵的解为中心的发送信号向量的搜索区域；以及最大似然估计单元，用于基于由搜索区域限定处理单元确定的搜索区域、通过使用最大似然估计来搜索发送信号向量。

Description

MIMO解码器和MIMO解码方法

技术领域

本发明涉及在移动通信等中使用的MIMO(多入/多出)空间复用传输中的最大似然检测方法，更具体地，涉及当发送信号向量的搜索区域根据由于无线电波传播环境等的变化而改变的信道矩阵而改变时适合使用的MIMO解码器和MIMO解码方法。

背景技术

关于移动通信中的无线电波传播路径，来自发送天线的无线电波根据周围地形等而经历反射和弥散(dispersion)，并以一群元波(elementarywave)的形式到达接收机。因为各个元波的传播路径长度和相位彼此不同，因此由于那样的一群经历过反射和弥散的元波的到达而导致衰落现象的发生。衰落现象总是成为实现高质量移动通信的障碍。在很长一段时间内，克服由于这种衰落而导致的不良无线电波传播环境已经成为移动通信技术中的挑战，并且目前为止已经实施了多种对策。

近年来，已经采取动作来重新审视衰落现象，以将其视为其中保持有移动通信中的无线电波传播的内在可能性的环境资源，而非将衰落现象视作不利因素。在Gerard J.Foschini[1]和Emre Telatar[2]中公开了对该重新审视情况的详细描述。

此外，近年来，还存在通过利用衰落变动(fading variations)中的空间位置独立性来使用无线电波传播路径内在的环境资源的动作，该动作被称为多用户分集(Multi-USER Diversity)，并且可以说这是与上述那些趋势相类似的趋势之一。

在MIMO系统中，发送方使用彼此不相关的多个天线来在空间上复用和发射发送序列，而接收方使用彼此不相关的多个天线来接收这些信号序列，并基于所接收的信号序列、根据最大似然估计来找到可能是从发送方原始发送的发送序列。这样的MIMO系统反驳了关于衰落现象的传统观点。

在MIMO系统中起到先驱作用的上述各个文献公开了称为BLAST的空间传输处理，该空间传输处理有效地使用了在空间上复用的信号，作为使用空间(移动通信中的传输介质)内在的传播路径资源的方式。此外，作为用于以低复杂度来实现BLAST的空间复用的体系结构，公开了一种称为V-BLAST的方法，该方法是线性滤波和干扰消除器(interferencecanceller)的组合。线性滤波一般包括基于迫零(ZF：zero-forcing)准则的线性滤波或者基于最小均方误差(MMSE)准则的线性滤波，其中基于迫零准则的线性滤波执行干扰分量的抑制(赋空(nulling))。作为根据ZF准则来执行赋空的线性变换，己知Moore-Penrose(MP)的广义逆矩阵，其中，出于提高干扰消除器的特性的目的，执行以简单地推测检测所得的SNR(信噪比)为最高的顺序来检测的顺序处理。作为针对顺序符号的操作，已知的是优先使用具有与Moore-Penrose广义逆矩阵的加权向量相当的最小模的列向量。

可替换地，基于QR分解(QR resolution)的方法提供了进一步降低复杂度的方法。具体而言，通过QR分解而将通信路径矩阵(信道矩阵)表示成H＝Q·R，则第n_T维的发送天线信号向量 $X\∈C^{n_T\×1}$ 与第n_R维的接收天线信号向量 $Y\∈C^{n_R\×1}$ 之间的以下关系成立：

Q^H·Y＝R·X+Q^H·v

应当注意，习惯上经常用粗体字来书写矩阵和向量，但是在本说明书中为了方便表示有时候用大写字母来书写矩阵和向量。此外，发送天线信号向量在这里被称为发送信号向量，而接收天线信号示例被称为接收信号向量。这里， $Q\∈C^{n_R\×n_R}$ 是酉矩阵，而 $R\∈C^{n_R\×n_T}$ 是上三角阵，其中噪声分量向量 $v\∈C^{n_R\×1}$ 经过酉变换，从而使得QR分解不会导致噪声增强(noiseemphasis)，并且所述变换是在维持信号点之间的距离的情况下执行的。在这种基于QR分解的处理中，可以实现分步处理，其中可以将矩阵中的向量重新排序，从而使得可以按从最高SNR开始的顺序来执行处理，并且按使得SNR最大化的顺序(排序)来进行检测。这样的方法可以与ZF准则中的赋空相比拟，并且本质上假设了接收天线的数目n_R是等于或大于发送天线的数目n_T的。

但是，因为这些方法在第一步首先执行基于赋空的线性处理中的第n_T-1次空产生(null production)，所以它们具有仅能够在n_R-n_T+1阶上提供分集增益的问题。因此，在第一步很可能会发生检测误差，并且其影响可能导致误差传播，而误差传播会在随后的级中导致检测误差。

另一方面，通过在下式中执行最大似然检测(下文中简称为MLD)来执行最佳检测：

$X_{\mathrm{MLD}}=\arg \underset{X\∈{\left|A\right|}^{n_T}}{\min }{\left|\right|Y-H\·X||}^2$

但是，在MLD中，由于复杂度关于天线数目和调制信号点的大小|A|而成指数型增长，因此考虑到编码，MLD事实上并不可能。因此，作为降低复杂度的方法，基于turbo原理等的方法正在研究中。虽然以上等式表示仅用于检测器的MLD，但是已经提出称为球形解码(spheredecoding，下文中简称为SD)的解码方法的应用，以避免复杂度，并避免在上述V-BLAST中由于从第一级向后几级的误差传播而导致的恶化特性，换而言之，是为了在衰落环境中产生分集增益。SD的基本思想是使得计算包括在以一接收信号点为中心并具有适当的半径r的球中的信号点的似然度，并在有限的范围内执行MLD。在SD中，效率取决于如何来选择半径r。可替换地，存在一种通过利用似然度的幅度来限定信号点的数目从而避免复杂度的方法。

关于这一点，文献[3]公开了基于MMSE和turbo原理的估计，但没有触及最大似然估计。另外，这种估计是针对信道而不是针对发送序列的。类似地，虽然文献[4]也公开了基于MMSE和turbo原理的估计，但是其中也没有触及最大似然估计。

此外，作为用于提高在无线电波传播条件并不令人满意的环境下的SNR的技术，存在一种先前就具有的使用阵列天线的方法[5]。但是，该使用阵列天线的方法假设组成天线阵列的天线是彼此相关的，并且本质上与基于MIMO的方法不同，该基于MIMO的方法假设多个天线之间没有相关性。

现在，列出在本说明书中参考的文献。

[1]Gerard J.Foschini，″Layered space-time architecture for wirelesscommunications in a fading environment when using multiple antennas，″BellLabs Technical Journal，Vol.6，No.2，pp.41-59，Autumn 1996

[2]Emre Telatar，″Capacity of multi-antenna Gaussian channels，″European Transaction on Telecommunication，Vol.10，No.6，pp.585-595，November/December 1999

[3]JP-2003-348057A

[4]JP-2003-152603A

[5]JP-2000-209018A

发明内容

本发明所解决的问题：

为了实现移动通信的最终目的“无论何时、无论何地、以及无论谁”，必须在瞬息万变的无线电波传播环境中以源自更高性能的稳定质量并以低复杂度来实现作为增加通信路径容量的措施的、空间信号复用中的信号分离，即使由特殊的反射物体导致不适于MIMO的偏移弥散状态(biased dispersion state)也是如此。

另一方面，上述的V-BLAST虽然可以以低复杂度来实现，但是其具有由系统本身固有的误差传播而导致恶化特性的问题。反过来，作为最佳检测的MLD具有这样的问题：虽然其可以提高性能，但是却具有高复杂度，并因此而无法如其原样地被采用。

意图减小发送信号向量的信号点搜索区域，以降低MLD的复杂度，并且目前为止已经提出多种方法，包括限定搜索区域的M算法以及球形解码(SD)。

顺便提及，旨在通过空间信号复用来增加传输路径容量的MIMO系统的特征在于：其性能倾向于依据无线电波传播环境。但是，目前为止主要在i.i.d信道(独立同分布信道)，即统计上具有相同的传播路径特性并且发送/接收天线元件之间不相关的信道方面进行对MIMO系统的研究，并在假设i.i.d信道的许多情况中还研究了限定信号搜索区域的多种算法。换而言之，一般的MIMO传播环境是i.i.d信道，并且其方差矩阵的特征值的概率分布是Weshard分布。

但是，在实际环境中，弥散经常受到特殊反射体的限定，在这种情况下，i.i.d环境不再成立，而呈现出特殊的特征值分布。其结果是，本应当适当的搜索区域发生偏移。因此，当移到处于由不均衡的反射体导致的不适于MIMO的弥散状态中的无线电波传播环境中时，上述在i.i.d信道的假设下限定最佳搜索区域的多种简化算法不再对最佳搜索区域进行限定，并且具有这样的问题：无法实现对于MLD至关重要的源自更高性能的稳定质量。可替换地，反过来，意图减轻对搜索区域的限定程度，以防止在无线电波传播环境处于不适于MIMO的偏移弥散状态中的假设下的恶化特性。但是，在这种情形下，MIMO无法产生简化算法的效果，从而接近高度复杂的MLD，并且无法再以低复杂度来实现。

鉴于上述问题而提出本发明，并且本发明的一个目的是提供一种MIMO解码器，其以源自更高性能的稳定质量并以低复杂度来实现作为增加通信路径容量的措施的空间信号复用中的信号分离，以实现移动通信的最终目的“无论何时、无论何地、以及无论谁”，即使瞬息万变的无线电波传播环境移动到不适于MIMO的偏移弥散状态中也是如此。换而言之，本发明的一个目的是以最小的搜索区域，即，以最小的电路规模、通过最有效的搜索来高效地操作MIMO，即使移动到不适于MIMO的偏移弥散状态中也是如此。

在实现这样的MIMO解码器的过程中，至关重要的是以低复杂度来提取特征值和特征向量，并且本发明的另一个目的是提供一种能够在不增加复杂度的情况下执行特征值和特征向量提取处理的装置，总体上看，通过执行以低复杂度和高速度来配置的雅克比旋转计算来实现。

解决问题的手段：

根据本发明的第一方面，一种MIMO解码器包括：广义逆矩阵计算装置，用于计算根据指示无线电波传播环境的信道矩阵或基于虚拟传播路径的虚拟信道矩阵来得到的Moore-Penrose广义逆矩阵；以及搜索装置，用于搜索以由广义逆矩阵计算装置计算得到的广义逆矩阵的解为中心的发送信号向量，其中，所述发送信号向量的搜索区域响应于所述信道矩阵或所述虚拟信道矩阵的变化而可以变化，并且所述搜索装置针对根据所述信道矩阵或所述虚拟信道矩阵而计算得到的各个特征向量，与特征向量所对应的特征值的平方根成反比地执行加权，并基于加权结果来确定发送信号向量的搜索区域。

根据本发明的第二方面，一种MIMO解码器包括：最小均方误差准则计算装置，用于根据指示无线电波传播环境的信道矩阵或基于虚拟传播路径的虚拟信道矩阵来执行基于最小均方误差准则的处理；以及搜索装置，用于搜索以由最小均方误差准则计算装置计算得到的检测结果为中心的发送信号向量，其中，所述发送信号向量的搜索区域响应于所述信道矩阵或所述虚拟信道矩阵的变化而可以变化，并且所述搜索装置针对根据所述信道矩阵或所述虚拟信道矩阵而计算得到的各个所述特征向量，与特征向量所对应的特征值的平方根成反比地执行加权，并基于加权结果来确定所述发送信号向量的搜索区域。

在本发明中，搜索装置可以针对与计算得到的特征值中的最小特征值相对应的特征向量，与所述最小特征值的平方根成反比地执行加权，并且对于与除了所述最小特征值之外的特征值相对应的各个特征向量，针对与各个特征向量相对应的标量，与各个特征向量所对应的各个特征值的平方根成反比地执行加权。在这种情形下，搜索装置可以选择与所述最小特征值相对应的特征向量，并针对所选择的特征向量中的各个元素、以与除了所述最小特征值之外的各个特征值的平方根成反比的形式来给出所述搜索区域的宽度，同时维持在所选择的特征向量中的各个元素关系。

在本发明中，当基于所述信道矩阵或虚拟信道矩阵来计算特征值和特征向量时，可以提供因式分解装置，用于使用雅克比旋转来计算特征值和特征向量，并针对各个组将雅克比旋转中的旋转角度顺序地因式分解成多个2的负幂的反正切的带符号和，其中，旋转矩阵被用于雅克比旋转，该旋转矩阵基于由所述因式分解装置形成的所述组中的每一个组的多个极性被配置、并且以2的负幂的线性和为元素。所述因式分解装置例如包括：存储器，该存储器将彼此不同的多个2的负幂的反正切作为各个组的值来持有；用于生成指示所述存储器的组的地址的装置；以及用于对从所述存储器读取的多个反正切数据的带符号和与直到上一次为止的带符号和的累加结果与雅克比旋转角度进行比较的装置，其中所述比较的结果被指定作为当前组内的反正切的极性。

在本发明中，虚拟信道矩阵可以包括基于收发信机的不完全性(incompleteness)的贡献。

根据本发明的第三方面，一种MIMO解码方法包括：接收发送信号以获得发送信号向量的步骤；计算根据指示无线电波传播环境的信道矩阵或指示虚拟传播路径的虚拟信道矩阵而获得的Moore-Penrose广义逆矩阵的步骤；基于所述信道矩阵或所述虚拟信道矩阵来计算特征值和特征向量的步骤；以及搜索以Moore-Penrose广义逆矩阵的解为中心的发送信号向量的步骤，其中，所述发送信号向量的搜索区域响应于所述信道矩阵或所述虚拟信道矩阵的变化而可以变化，并且在所述搜索步骤中，针对根据所述信道矩阵或所述虚拟信道矩阵来计算得到的各个特征向量，与所述特征向量所对应的特征值的平方根成反比地执行加权，并且基于加权结果来确定发送信号向量的搜索区域。

根据本发明的第四方面，一种MIMO解码方法包括：接收发送信号以获得发送信号向量的步骤；根据指示无线电波传播环境的信道矩阵或指示虚拟传播路径的虚拟信道矩阵来执行基于最小均方误差准则的处理；基于所述信道矩阵或所述虚拟信道矩阵来计算特征值和特征向量的步骤；以及搜索以通过基于所述最小均方误差准则的处理而得到的检测结果为中心的发送信号向量的搜索步骤，其中，所述发送信号向量的搜索区域响应于所述信道矩阵或所述虚拟信道矩阵的变化而可以变化，并且在所述搜索步骤中，针对根据所述信道矩阵或所述虚拟信道矩阵来计算得到的各个特征向量，与所述特征向量所对应的特征值的平方根成反比地执行加权，并且基于加权结果来确定所述发送信号向量的搜索区域。

在本发明中，发送信号向量的搜索区域可以根据由于无线电波传播环境的变化而变化的信道矩阵或虚拟信道矩阵而改变，并且可以由如下的特征向量来确定搜索区域：所述特征向量经过加权从而使得其与基于信道矩阵或虚拟信道矩阵来计算得到的特征值的平方根成反比，因此，即使环境处于不适于MIMO的偏移弥散状态中，也可以以源自更高性能的稳定质量和低复杂度来实现作为增加通信路径容量的措施的空间信号复用中的信号分离。因此，本发明提供了用于实现移动通信的最终目的“无论何时、无论何地、以及无论谁”的装置。

在这样的MIMO解码器中，在与瞬息万变的信道矩阵或虚拟信道矩阵相适应地搜索以Moore-Penrose广义逆矩阵为中心的发送信号向量时，由轴为经过加权从而与基于信道矩阵或虚拟信道矩阵来得到的特征值成反比的特征向量的超椭圆来确定该发送信号向量的搜索区域。在这种情形下，虽然特征值和特征向量的检测是该处理的瓶颈，但是在本发明中，当通过雅克比旋转来提取特征值和特征向量时，如“因式分解&成组”一样地针对各个组将旋转角度顺序地因式分解成多个2的负幂的反正切的带符号和，并且作为其结果，使用基于各个组的多个极性被配置的、元素为2的负幂的线性和的旋转矩阵来执行雅克比旋转。通过这样来配置，可以用仅包括由电路上的线路替换(开关)进行的2的负幂的处理以及加法器的硬件配置来执行雅克比旋转的计算，从而同时实现较低复杂度和源自成组的更高速度。这样，本发明就在MIMO系统中也实现了移动通信的最终目的“无论何时、无论何地、以及无论谁”。

在采用如上所述的配置的情况下，根据本发明，也可以在MIMO系统中实现移动通信的最终目的“无论何时、无论何地、以及无论谁”。根据本发明，可以以源自更高性能的稳定质量和低复杂度来实现作为增加通信容量的措施的空间信号复用中的信号分离，即使瞬息万变的无线电波传播环境移到不适于MIMO的偏移弥散状态中也是如此。

本发明提供了通过雅克比旋转、以低复杂度并且甚至以高速度来实现信道矩阵或虚拟信道矩阵的特征值和特征向量的提取。因为这个提取特征值和特征向量的处理每帧(frame)仅需要执行一次，所以与每次都需要处理的MLD相比，该处理的特征在于更低的复杂度，并且当从总体上看时，复杂度得到进一步的降低。如上所述，当通过雅克比旋转来提取特征值和特征向量时，针对各个组而将旋转角度顺序地因式分解成多个2的负幂的反正切的带符号和，并且基于作为其结果而得到的各个组的多个极性而被配置、元素为2的负幂的线性和的旋转矩阵可用于雅克比旋转，因此元素为2的负幂的线性和的矩阵运算可以仅通过作为硬件组件的电路上的线路替换和加法器来实现。因此，本发明可以提供其速度可以通过成组来增加的低复杂度和高速的实现装置。

在本发明中，通过搜索以基于最小均方误差(MMSE准则)准则而不是计算Moore-Penrose广义逆矩阵而得到的检测结果为中心的发送信号向量，可以以低复杂度来实现具有源自更高性能的稳定质量的MIMO解码器。

在本发明中，当针对发送信号向量来设置搜索区域时，通过针对与计算所得的特征值中的最小特征值相对应的特征向量，与该最小特征值的平方根成反比地执行加权，而对于与除了最小特征值之外的特征值相对应的各个特征向量，针对与这些特征向量中的每一个相对应的标量，与这些特征向量中的各个特征向量所对应的各个特征值的平方根成反比地执行加权，可以简化确定发送信号向量的搜索区域的处理。在这种情形下，通过选择与最小特征值相对应的特征向量，并且以与除了最小特征值之外的各个特征值的平方根成反比的形式来给出在所选择的特征向量中的各个元素的搜索区域的宽度，同时维持在所选择的与最小特征值相对应的特征向量中的各个元素关系，这样就可以进一步地简化确定发送信号向量的搜索区域的处理。

附图说明

图1是示出根据本发明第一示例性实施例的MIMO解码器的配置的框图；

图2是示出利用在二维实数的情况下示出的特征值和特征向量的示例性搜索区域限定处理的示图；

图3是示出利用在二维复数的情况下示出的特征值和特征向量的示例性搜索区域限定处理的示图，其示出了特征向量具有一个元素的情况；

图4是示出根据信道矩阵的示例性特征值的示图；

图5是示出利用在二维复数的情况下示出的特征值和特征向量的示例性搜索区域限定处理的示图，其示出了特征向量存在多个元素的情况；

图6A是示出雅克比旋转运算单元的配置并描述了雅克比旋转的示图；

图6B是用于描述雅克比旋转运算单元中的ω_pq极性检测单元的示图；

图6C是用于描述雅克比旋转运算单元中的酉矩阵运算单元的示图；

图6D是用于描述雅克比旋转运算单元中的2θ极性检测单元的示图；

图6E是用于描述雅克比旋转运算单元中的2θ复原单元的示图；

图6F是用于描述雅克比旋转运算单元中的θ极性检测单元的示图；

图6G是用于描述雅克比旋转运算单元中的旋转矩阵运算单元的示图；

图7是示出特征值/特征向量计算单元的配置并描述了通过雅克比旋转的特征值和特征向量的运算的示图；

图8是示出反正切量化电路(ASC，角度-正弦转换器)的配置的框图；以及

图9是示出角度复原电路(SAC，符号-角度转换器)的配置的框图。

标号的说明：

101  信道矩阵计算单元

102  广义逆矩阵计算单元

103  特征值/特征向量计算单元

104  搜索区域限定处理单元

105  最大似然估计单元

106  解码器

107  开关

108  接收天线

601  ω_pq极性检测单元

602  酉矩阵运算单元

603  2θ极性检测单元

604  2θ复原单元

605  θ极性检测单元

606  旋转矩阵运算单元

607  完成条件比较处理

701  特征向量计算单元

702  特征值计算单元

703  雅克比旋转运算单元

801，901  存储器

802，902  地址生成单元

803  带符号加法器

804，906  寄存器

805  比较器

806  极性选择器

807  减法器

808，904，905  加法器

809  选择器

903  极化电路

具体实施方式

接下来，将参考附图来描述本发明的优选示例性实施例。首先，将以解析的形式来示出本发明的理论背景。

在MIMO系统中，已经知道多种传统的计算量减少技术，其中，其复杂度可归因于针对已经从发送天线发送的发送信号向量的搜索区域、或者针对发送向量中的各个元素的搜索区域的适当的限定处理。因此，首先以解析的形式来示出在不同的无线电波传播环境中适当的搜索区域是彼此不同的。

假设在采样时刻i处具有n_R个接收天线的接收信号向量y(i)如下所示：

$y\left(i\right)=\left[\begin{array}{c}{y}_1\left(i\right)\\ y_2\left(i\right)\\ \·\\ \·\\ \·\\ y_{n_R}\left(i\right)\end{array}\right]...\left(1\right)$

而具有n_T个发送天线的发送信号向量s(i)如下所示：

$s\left(i\right)=\left[\begin{array}{c}{s}_1\left(i\right)\\ s_2\left(i\right)\\ \·\\ \·\\ \·\\ s_{n_T}\left(i\right)\end{array}\right]...\left(2\right)$

则，使用信道矩阵 $H\∈C^{n_R\×n_T},$ 以下等式成立：

y(i)＝H·s(i)+v(i) i＝1…N    ...(3)

其中，v(i)是在其元素中具有N_c(0，I_nR)的向量。

以下，当不会发生表述上的混淆时，y(i)等可以简写为例如y等。

因为发送信号向量s(i)是在这样的条件下最大似然检测(MLD)到的，所以得到下式：

$\arg \underset{s\∈A^{n_T}}{\min }{\left|\right|y-H\·s\left|\right|}^2...\left(5\right)$

其中

‖y-H·s‖²＝(y-H·s)^H·(y-H·s)＝(y^H-s^H·H^H)·(y-H·s)  ...(6)

           ＝y^H·y-s^H·H^H·y-y^H·H·s+s^H·H^H·H·s

另一方面，

(s-)^H·H^H·H·(s-)＝{s-(H^H·H)^-1·H^H·y}^H·H^H·H·{s-(H^H·H)^-1·H^H·y}

其中，＝(H^H·H)^-1·H^H·y

＝{s^H-y^H·H·(H^H·H)^-1}·(H^H·H)·{s-(H^H·H)^-1·H^H·y}

其中，∵Ω＝H^H·H，  ∴(Ω^-1)^H＝Ω^-1

＝{s^H·(H^H·H)-y^H·H}·{s-(H^H·H)^-1·H^H·y}

＝s^H·(H^H·H)·s-s^H·H^H·y-y^H·H·s+y^H·H·(H^H·H)^-1·H^H·y

                                                ...(7)

将式(7)减去式(6)，得到：

(s-)^H·H^H·H·(s-)-‖y-H·s‖²＝y^H·H·(H^H·H)^-1·H^H·y-y^H·y

                 ＝y^H·{H·(H^H·H)^-1·H^H-I}·y

                                                ...(8)

从该式可得下式：

‖y-H·s‖²＝(s-)H·H^H·H·(s-)-y^H·{H·(H^H·H)^-1·H^H-I}·y  ...(9)

因为最大似然估计是针对基于先前接收的接收信号向量y的发送信号向量s来执行的，所以式(9)的右侧第二项已经成立，并且通过Moore-Penrose广义逆矩阵的解，

＝(H^H·H)^-1·H^H·y    ...(10)

已经成立。因此，从式(5)可得下式(11)：

$\arg \underset{s\∈A^{n_T}}{\min }{(s-\hat{s})}^H\·H^H\·H\·(s-\hat{s})=\arg \underset{s\∈A^{n_T}}{\min }{(s-\hat{s})}^H\·\mathrm{\Ω}\·(s-\hat{s})...\left(11\right)$

其中，＝(H^H·H)^-1·H^H·y，Ω＝H^H·H

在式(11)中，可以使用拉格朗日(Lagrange)的不定乘子(undetermined multiplier)的方法在解析上求得(s-)，该(s-)给出了以Moore-Penrose广义逆矩阵的解为中心的单位欧几里得(Euclid)平方距离的约束条件下的最小值。具体而言，假设该约束条件是(s-)＝0，则下式成立：

(s-)＝(s-)^H·(s-)-1＝0    ...(12)

假设在这种条件下的评估函数是f(s-)，则可得：

f(s-)＝(s-)^H·Ω·(s-)    ...(13)

因此，使用常数λ可得下式：

u＝f(s-)-λ·(s-)

 ＝(s-)^H·Ω·(s-)-λ·((s-)^H·(s-)-1)    ...(14)

因此，可以求得无条件地使u成为极值的(s-)。

利用共轭导数

可以求解关于向量(s-)的微分。因为可以求得满足：

$\frac{1}{2}\frac{\∂u}{\∂(s-\hat{s})}=\frac{\∂u}{\∂{(s-\hat{s})}^{*}}=\mathrm{\Ω}\·(s-\hat{s})-\mathrm{\λ}\·(s-\hat{s})=0...\left(15\right)$

的(s-)，所以可以得到下式：

Ω·(s-)＝λ·(s-)

其中，＝(H^H·H)^-1·H^H·y，Ω＝H^H·H    ...(16)

式(16)仅仅是特征向量和特征值的定义。

因此，将约束条件(s-)下的评估函数f(s-)＝(s-)^H·Ω·(s-)最小化(最大化)的向量(s-)存在于与Ω＝H^H·H的特征值λ₁、λ₂、…、λ_n相对应的特征向量(s₁-)、(s₂-)、…、(s_n-)中。在式(16)的两侧从左边乘以(s-)^H，可得：

(s-)^H·Ω·(s-)＝λ·(s-)^H·(s-)＝λ    ...(17)

因此，评估函数f(s-)＝(s-)^H·Ω·(s-)的最小值(最大值)是最小的特征值(最大的特征值)λ_min(λ_max)本身，并且这时的向量(s-)是λ_min(λ_max)的特征向量。

使用上述关系来最大似然估计发送信号向量s，其中，这个问题实际上被称为NP完全问题(NP completion problem)，并且不再可能期望有解析解。鉴于此，只能通过搜索来求解。

现在，在光谱上对埃尔米特矩阵(Hermitian matrix)Ω＝H^H·H进行因式分解，从而得到下式：

$\mathrm{\Ω}=H^H\·H=\underset{n=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_n\·e_n\·{e_n}^H...\left(18\right)$

其中λ_n是特征值，e_n是归一化的特征向量，而{e_n}是标准正交系。对于任意的发送信号向量s：

${(s-\hat{s})}^H\·\mathrm{\Ω}\·(s-\hat{s})=\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_n\·{(s-\hat{s})}^H\·e_n\·{e_n}^H\·(s-\hat{s})$

$=\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_n\·{({(s-\hat{s})}^H\·e_n)\·({(s-\hat{s})}^H\·e_n)}^H$

$=\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_n\·{\left|\right|{(s-\hat{s})}^H\·e_n\left|\right|}^2...\left(19\right)$

其中，N＝min{n_T，n_R}

因为Ω是埃尔米特矩阵，所以其特征值λ_n必定是实数并且非负。

对于任意的c，现在假设对于满足(s-)^H·Ω·(s-)＝c²的发送信号向量s，标量值(scalar value)用下式来表示：

t_n＝(s-)^H·e_n   n＝1～N    …(20)

根据(19)，

c²＝λ₁·|t₁|²+λ₂·|t₂|²+…+λ_N·|t_N|²

$\stackrel{\·}{\·\·}1=\frac{{\left|t_1\right|}^2}{{\left(\frac{c}{\sqrt{{\mathrm{\λ}}_1}}\right)}^2}+\frac{{\left|t_2\right|}^2}{{\left(\frac{c}{\sqrt{{\mathrm{\λ}}_2}}\right)}^2}+\·\·\·+\frac{{\left|t_N\right|}^2}{{\left(\frac{c}{\sqrt{{\mathrm{\λ}}_N}}\right)}^2}...\left(21\right)$

是超椭圆的。因此， $(s-\hat{s})=\frac{c}{\sqrt{{\mathrm{\λ}}_1}}\·e_1$ 被表示为 ${(s-\hat{s})}^H\·\mathrm{\Ω}\·(s-\hat{s})={\mathrm{\λ}}_1\·{\left|\right|\frac{c}{\sqrt{{\mathrm{\λ}}_1}}{e_1}^H\·e_1\left|\right|}^2=c^2,$ 并且 $(s-\hat{s})=\frac{c}{\sqrt{{\mathrm{\λ}}_2}}\·e_2$ 给出了e₂方向上的适当距离。

具体而言，满足(s-)^H·Ω·(s-)＝c²的发送信号向量s具有与以Moore-Penrose广义逆矩阵的解为中心的特征值的平方根成反比的长度，并存在于超椭圆上，该超椭圆的轴由Ω＝H^H·H的特征向量来给出。

从容易说明直觉理解的角度，在图1中示出了以二维实元素的情形来示出的简单示例。根据图1，在(s-)^H·Ω·(s-)＝c²内的搜索区域定义了椭圆c²＝λ₁·|(s-)·e₁|²+λ₂·|(s-)·e₂|²，该椭圆的轴由特征向量来给出。

$(s-\hat{s})=\frac{c}{\sqrt{{\mathrm{\λ}}_1}}\·e_1$ 被表示成 ${(s-\hat{s})}^H\·\mathrm{\Ω}\·(s-\hat{s})={\mathrm{\λ}}_1\·{\left|\right|\frac{c}{\sqrt{{\mathrm{\λ}}_1}}{e_1}^H\·e_1\left|\right|}^2=c^2,$ 并示出了e₁方向上的最佳搜索区域。 $(s-\hat{s})=\frac{c}{\sqrt{{\mathrm{\λ}}_2}}\·e_2$ 被表示成 ${(s-\hat{s})}^H\·\mathrm{\Ω}\·(s-\hat{s})={\mathrm{\λ}}_2\·{\left|\right|\frac{c}{\sqrt{{\mathrm{\λ}}_2}}{e_2}^H\·e_{21}\left|\right|}^2=c^2,$ 并示出了e₂方向上的最佳搜索区域。

换而言之，在具有与特征值的平方根成反比的长度并且其轴由特征向量来给定的椭圆上的搜索区域c²＝λ₁·|t₁|²+λ₂·|t₂|²，给出了最佳搜索区域。

另一方面，在图2中示出了因为要在所有方向上进行搜索而设置的圆形的传统搜索区域。因此，当进行尝试以利用传统方法来实现与使用本发明的特征值的搜索区域的情况相类似的性能时，应当了解该搜索区域是包括作为最佳范围的椭圆在内的更大的圆形区域，并且应当了解没有执行适当的限定处理。相反，当在等效区域内进行搜索时，圆的半径较小，从而因为该圆没有包括实质上应当进行搜索的区域而导致恶化的特性。

这些特征值和特征向量是从表示无线电波传播环境的信道矩阵H中求得的。因此，当瞬息万变的无线电波传播环境改变为不适于MIMO的偏移弥散环境时，特征值分布也改变。虽然图2是在满足λ₁＜λ₂的假设之下绘制的，但是当无线电波传播环境改变成不适于MIMO的偏移弥散状态(在天线彼此相关，并且i.i.d信道不再存在的状态中)时，特征值分布扩展。具体而言，参考图2来描述时，λ₁和λ₂之间的差异将进一步增大。其结果是，使用特征值的本发明的搜索区域与传统的全向圆形搜索区域之间的差异进一步增大，并且当将确保相同的区域(s-)^H·Ω·(s-)＝c²时，传统方法引起了这样的问题，其使得不得不增大圆的半径，以用作复杂度接近于MLD的对策，或者使得在相同的搜索区域中的特性恶化。

另一方面，使用特征值的本发明的方法提供了由(s-)^H·Ω·(s-)＝c²的最小需求定义的最佳搜索区域，从而使得可以实现具有高性能的稳定质量，而不会增加复杂度。

以上的描述示出了发送信号向量的适当搜索区域或者发送向量的各个元素的适当搜索区域取决于无线电波传播环境而不同。

接下来，将描述根据本发明的第一示例性实施例的MIMO解码器的配置。图1是示出所述MIMO解码器的总体配置的框图。

N_R个接收天线108与MIMO解码器相连接。该MIMO解码器包括：信道矩阵计算单元101，用于从各个接收天线108接收接收信号(接收序列)，从而计算信道矩阵H并计算Ω＝H^H·H；广义逆矩阵计算单元102，用于计算与信道矩阵H相关的Moore-Penrose的广义逆矩阵；特征值/特征向量计算单元103，用于计算信道矩阵H的特征值和特征向量；搜索区域限定处理单元104，用于基于由广义逆矩阵计算单元102计算得到的Moore-Penrose广义逆矩阵以及由特征值/特征向量计算单元103计算得到的特征值和特征向量来执行限定搜索区域的处理；最大似然估计单元105，用于从接收天线108接收接收序列，从而在由搜索区域限定处理单元104限定的搜索区域中执行最大似然估计；解码器106，用于对信号序列进行解码；以及开关107，用于切换解码器106的输入。

尽管没有在这里特别说明，但是从发送方的n_T个发送天线发送的发送信号向量通过瞬息万变的无线电波传播路径而到达n_R个接收天线108。作为输入信号的n_R个信号被视作接收信号向量y，虚拟的传输路径可以被视为甚至包括从发射机开始通过无线电波传播路径的RF(射频)前端、匹配滤波器和白化滤波器(whitening filter)，并且对虚拟传播路径进行建模的虚拟信道矩阵的乘算结果可以被视为向量y。另外，发射机/接收机的不完全性也可以被视为包括在这种虚拟信道矩阵中。

在该MIMO解码器中，当信道矩阵或虚拟信道矩阵由于无线电波传播环境的变化等而发生改变时，发送向量的搜索区域根据这样改变的信道矩阵或虚拟信道矩阵而改变。因此，搜索区域限定处理单元104进行处理，以使得以Moore-Penrose广义逆矩阵的解为中心来搜索发送信号向量，在这种情况下，与该信道矩阵(或虚拟信道矩阵)的特征值的平方根成反比地对信道矩阵(或虚拟信道矩阵)的特征向量进行加权，从而使得搜索区域由加权特征向量确定。

接下来，将描述图1所示的MIMO解码器的操作。

发送方在发送用户数据之前先发送正交导频(pilot)信号，以使得可以在接收方估计信道矩阵H，所述正交导频信号对于各个发送天线是不同的。该导频信号被接收天线108所接收，并且结果，信道矩阵计算单元101执行以下计算：

Ω＝H^H·H  ...(22)

其中，H是信道矩阵，或者上述的虚拟信道矩阵。此外，同时地，广义逆矩阵计算单元102使用该操作结果来计算：

(H^H·H)^-1·H^H    ...(23)

特征值/特征向量计算单元103通过稍后将描述的雅可比旋转(Jacobeanrotation)、根据Ω计算特征值λ₁、λ₂、...λ_n和特征向量e₁、e₂、...e_n。

搜索区域限定处理单元104基于从特征值/特征向量计算单元103发送而来的特征值λ₁、λ₂、...λ_n和特征向量e₁、e₂、...e_n来计算原点在中心从而符合先前设置的搜索区域常数(s-)^H·Ω·(s-)＝c²的搜索区域。具体而言，搜索区域限定处理单元104确定了一个由

…，形成的超椭圆，该超椭圆的长度与特征值的平方根成反比，并且每一个特征向量定义一个轴。由于这种处理每一帧仅需要执行一次，所以与每次都需要处理的最大似然估计(MLD)相比，可以进行相对较慢的处理，稍后将描述。

接下来，因为用户数据被从发射机发送，所以搜索区域限定处理单元104使用接收信号向量y和作为广义逆矩阵计算单元102的操作结果的(H^H·H)^-1·H^H来计算广义逆矩阵的解(H^H·H)^-1·H^H·y，并使用该结果作为搜索区域的中心值：

＝(H^H·H)^-1·H^H·y    ...(24)

这样，就确定了最终的搜索区域。随后，最大似然估计单元105在由搜索区域限定处理单元104所设定的搜索区域中执行搜索，从而将范围缩小到最接近发送信号向量，并按需将其作为对数的似然比提供给解码器106。此外，当在受限的搜索区域中不存在经受估计的发送信号向量时，开关107将解码器106的输入切换到搜索区域限定处理单元，从而按需向解码器106提供在搜索区域限定处理单元104中计算得到的Moore-Penrose广义逆矩阵的解(H^H·H)^-1·H^H·y，或者表示对数似然比的信号。

在以上的描述中，当在搜索区域的中心或者在搜索区域内不存在发送信号向量时，Moore-Penrose广义逆矩阵的解被用作一个估计值。为了实现更高的性能和更稳定的质量，可以用Moore-Penrose广义逆矩阵计算来替代基于通过式(25)来计算的最小均方误差准则(MMSE准则)的处理。

${\{H^H\·H+\frac{n_T{\·\mathrm{\σ}}^2}{P}\·I\}}^{-1}\·H^H...\left(25\right)$

接下来，将描述根据本发明第二示例性实施例的MIMO解码器。虽然为了直觉理解和简化说明，已经结合实数元素描述了第一示例性实施例，但是还考虑到二维调制，将结合复数元素来描述第二示例性实施例。这个示例性实施例的特征在于示出了利用向量和标量的组合的具有低复杂度的实施方法。

首先将采用简单示例来进行描述。因为矩阵的元素是复数，所以为了方便说明，以二维信道矩阵为例，其中，各个向量都具有一个处于正交关系中的元素。

考虑：

$H=\left[\begin{array}{cc}\sqrt{{\mathrm{\λ}}_1}\·\exp \left[j{\mathrm{\θ}}_1\right]& 0\\ 0& \sqrt{{\mathrm{\λ}}_2}\exp \left[j{\mathrm{\θ}}_2\right]\end{array}\right]$ 其中，λ₁＜λ₂  ...(26)

根据Ω＝H^H·H，可得：

$\mathrm{\Ω}=\left[\begin{array}{cc}\sqrt{{\mathrm{\λ}}_1}\·\exp [-j{\mathrm{\θ}}_1]& 0\\ 0& \sqrt{{\mathrm{\λ}}_2}\exp [-j{\mathrm{\θ}}_2]\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{cc}\sqrt{{\mathrm{\λ}}_1}\·\exp \left[j{\mathrm{\θ}}_1\right]& 0\\ 0& \sqrt{{\mathrm{\λ}}_2}\exp \left[j{\mathrm{\θ}}_2\right]\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\λ}}_1& 0\\ 0& {\mathrm{\λ}}_2\end{array}\right]...\left(27\right)$

并且，根据该式，并根据 $\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\λ}}_1& 0\\ 0& {\mathrm{\λ}}_2\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}x\\ 0\end{array}\right]={\mathrm{\λ}}_1\·\left[\begin{array}{c}x\\ 0\end{array}\right]$ 和 $\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\λ}}_1& 0\\ 0& {\mathrm{\λ}}_2\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}0\\ y\end{array}\right]={\mathrm{\λ}}_2\·\left[\begin{array}{c}0\\ y\end{array}\right]$ 的关系，特征值和特征向量如下所示：

第一特征值和特征向量： ${\mathrm{\λ}}_1,e_1=\left[\begin{array}{c}x\\ 0\end{array}\right],$

第二特征值和特征向量： ${\mathrm{\λ}}_2,e_2=\left[\begin{array}{c}0\\ y\end{array}\right],$

在这种情况下，可以一个元素一个元素地、独立地搜索发送信号向量，并假设 $(s-\hat{s})=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right],$ 因为根据上述描述，最佳搜索区域与特征值的平方根成反比，所以对于第一特征值和特征向量，即x，以下关系成立：

x的搜索区域

而对于第二特征值和特征向量，即y，以下关系成立：

y的搜索区域

这种关系如图3所示。在图3中，Re表示实轴，而Im表示虚轴。因为图3是在λ₁＜λ₂成立的假设下绘制的，所以元素x的搜索区域大于元素y的搜索区域。虽然在该复平面上搜索与经二维调制的发送信号向量的第一元素x相对应的信号点，但是应当了解元素y的搜索区域得以减小，从而使得可以高效地进行低复杂度的搜索。关于经二维调制的发送信号向量的第二元素y，可以在该较小搜索区域的复平面上搜索信号点。

接下来，将基于具体的示例性实施例来描述在信道矩阵中的元素彼此相关的状态下、搜索区域受到限定的情况，即，与上述各个示例不同，存在特征值向量的多个元素分量的情况。通过针对最小的特征值使用向量、而针对其它特征值使用标量来执行加权从而使得特征向量的搜索区域与各个特征值的平方根成反比，这样来简化确定特征向量的搜索区域的方法，因而本示例性实施例减小了电路规模。在考虑到简化说明的情况下，以下将结合二维信道矩阵H来进行描述。

假设：

其中，λ₁＜λ₂  ...(28)

根据Ω＝H^H·H，可得下式：

按以下方式来求特征值。

根据以下关系：

得到下式：

(λ-2)²-(1+exp[j])·(1+exp[-j])＝λ²+4λ+2-exp[j]-exp[-j]＝0  ...(31)

针对λ来求解该式，则可得以下形式的λ₁、λ₂：

图4示出了φ与λ₁、λ₂之间的关系，其中φ在+180度到-180度的范围内变化。正如从图4中可见的，在φ的很小范围内存在λ₁、λ₂之差增大的情况。

根据以下关系：

使用式(32)来计算针对该特征值λ的特征向量如下所示：

因此，可得

第一特征值和特征向量：

第二特征值和特征向量：

发送信号向量的最佳搜索区域是由如下的轴来定义的椭圆：该轴的特征向量被与特征值的平方根成反比地加权。因此，假设：

对于任意的c，针对满足(s-)^H·Ω·(s-)＝c²的发送信号向量s，应当了解可以用由下式确定的椭圆来指定搜索区域：

$1=\frac{{\left|t_1\right|}^2}{{\left(\frac{c}{\sqrt{{\mathrm{\λ}}_1}}\right)}^2}+\frac{{\left|t_2\right|}^2}{{\left(\frac{c}{\sqrt{{\mathrm{\λ}}_2}}\right)}^2}...\left(36\right)$

但是，这里描述的是进一步简化并以低复杂度来实现的示例性实施例。具体而言，这是通过下述方式来减小搜索区域限定处理的电路规模的方法，所述方式是：通过针对发挥最大影响的最小特征值使用向量，而针对其它特征值使用标量，从而与各个特征值的平方根成反比地进行加权。

当沿着作为上述相互正交的特征向量e₁、e₂的轴来表示搜索区域内的观测点时：

通过在式(37)的两侧都从左边乘以e₁ ^H，可以求得以下形式的α，而通过在式(37)的两侧都从左边乘以e₂ ^H，可以求得β：

由于它们可以与上述t₁、t₂相比拟(实质上相同，尽管它们是复共轭)，因此与上述t₁、t₂相似，它们定义了相同的椭圆搜索区域。

因此，当使用限定在复平面 $\{a;|a|\≤|e^{j{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}}\left|\right\},$ $\{b;|b|=|e^{j{\mathrm{\θ}}_b}\left|\right\}$ 上的单位圆内的复变量、以不同方式来表示上述关系时，得到下式：

$(s-\hat{s})=a\·\left(\frac{c}{\sqrt{{\mathrm{\λ}}_1}}\right)\·e_1+b\·\left(\frac{c}{\sqrt{{\mathrm{\λ}}_1}}\right)\·e_2$

其中，λ₁＜λ₂          ...(39)

这里，因为式(39)是通过使用多个向量来任意组合的配置，所以对式(39)进行处理的搜索区域限定处理单元的复杂度增加。因此，在假设式(39)的右侧的第二项(其对搜索区域限定处理的结果贡献较少)被标量化的情况下考虑降低复杂度，则可得下式：

$(s-\hat{s})=a\·\left(\frac{c}{\sqrt{{\mathrm{\λ}}_1}}\right)\·e_1+b\·\left(\frac{c}{\sqrt{{\mathrm{\λ}}_2}}\right)\·\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$

其中，λ₁＜λ₂

因而，得到下式：

其中，λ₁＜λ₂

如图4所示，当在信道矩阵的φ＝36度的状态下观察该结果时，λ₁＝0.1，λ₂＝3.9。因此，用于搜索的信号向量 $(s-\hat{s})=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ 的元素x的搜索区域是半径为

的圆形区域，其中，大多数元素x是由λ₁＝0.1确定的分量，如图5中的元素x所示。并且，元素x的搜索区域是通过稍微加入标量分量

来确定的。在这种情况下，与元素x相关联地还搜索元素y。假设复平面上的元素的搜索点是

其中 $a=e^{j{\mathrm{\θ}}_a},$ 则关联执行的y的搜索涉及在以

为中心、以为半径，或者更严格地以

为半径的范围内的全向搜索。

(∵根据式(36)， $1=\frac{{\left|\frac{c}{\sqrt{{\mathrm{\λ}}_1}}a\right|}^2}{{\left(\frac{c}{\sqrt{{\mathrm{\λ}}_1}}\right)}^2}+\frac{{\left|\frac{c}{\sqrt{{\mathrm{\λ}}_2}}a\right|}^2}{{\left(\frac{c}{\sqrt{{\mathrm{\λ}}_2}}\right)}^2}={\left|a\right|}^2+{\left|b\right|}^2$ $\stackrel{\·}{\·\·}\left|b\right|=\sqrt{1-{\left|a\right|}^2}$ )这时，图5中示出元素y的区域就是搜索区域。

根据图5可以了解，与元素x相关联地，元素y的搜索区域变为大大缩小的以

为半径的区域。尽管搜索区域被限定于这样狭小的区域，但是还是完全覆盖了满足(s-)^H·Ω·(s-)≤c²的区域。

在本示例性实施例中，搜索区域是通过下述方式来设置的，即，仅将与最小特征值相对应的特征向量视为向量，而使其它特征值以标量值对搜索区域作贡献，从而减小处理规模。此外，这样来处理向量，向量中的各个元素维持作为向量的关系，同时以使得其它特征值的标量值与各个特征值的平方根成反比的形式来给出各个元素的搜索区域的图廓(margin)，从而使得可以以较低复杂度来实现。

接下来，将描述通过雅克比旋转、根据Ω来计算特征值λ₁、λ₂、...λ_n以及与其相对应的特征向量e₁、、e₂、...e_n的方法，在图1所示的MIMO解码器的特征值/特征向量计算单元103中执行所述方法。具体而言，将描述包括特征值/特征向量计算单元的MIMO解码器的示例性实施例，该特征值/特征向量计算单元以低复杂度和高速度来实现雅克比旋转。与其它示例性实施例不同的特征部分会得到详细描述。

本示例性实施例的特征在于：当在特征值/特征向量计算单元中实施雅克比旋转时，旋转角度被分解成带符号的多个2的负幂的反正切(arctan或tan^-1)的和，并且使用基于在以这种方式分解旋转角度时得到的极性来配置的、具有作为2的负幂的线性和的元素的旋转矩阵来实现雅克比旋转。在描述本示例性实施例的配置之前，首先将描述通过雅克比旋转来获得特征值和特征向量的过程。

将Ω＝H^H·H作为输入来施加给特征值/特征向量计算单元。对于这个Ω来说，雅克比旋转指的是生成满足以下关系的作为标量值的特征值λ以及特征向量X的处理：

Ω·X＝λ·X    ...(42)

当式(42)的两侧都从左边被乘以非奇异矩阵M时，得到下式：

M·Ω·X＝λ·M·X  ...(43)

这里，当y＝M·X时X＝M^-1·y，因而得到下式：

M·Ω·M^-1·y＝λ·y...(44)

换而言之，这显示出即使Ω被替换成Ω·M^-1，特征值或特征向量也不会改变。考虑将这种变换重复多次，以变换成简单形式。现在，将以下元素视为非奇异矩阵M：

其中，p、q是行号。稍后将描述角度θ。当对M进行描绘时，可得下式：

如从实际计算中将了解到的，矩阵M具有以下性质：

具体而言，M·M^H＝I，而M^-1＝M^H，因此不必特意计算式(44)的逆矩阵，仅仅简单的计算就足够了，如下所示：

此外，从右侧用M^-1＝M^H乘以式(47)，从而得到下式：

将新的newΩ代到变换矩阵M·Ω·M^-1中，则以下关系成立：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{new}{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{ij}}={\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{ij}},(i,j\≠p,q)\\ \mathrm{new}{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pj}}={\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pj}}\cos \mathrm{\θ}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qj}}\sin \mathrm{\θ},(j\≠p,q)\\ \mathrm{new}{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qj}}={-\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pj}}\sin \mathrm{\θ}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qj}}\cos \mathrm{\θ},(j\≠p,q)\\ \mathrm{new}{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{ip}}={\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{ip}}\cos \mathrm{\θ}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{iq}}\sin \mathrm{\θ},(i\≠p,q)\\ \mathrm{new}{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{iq}}=-{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{ip}}\sin \mathrm{\θ}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{iq}}\cos \mathrm{\θ},(i\≠p,q)\\ \mathrm{new}{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}={\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}{\cos }^2\mathrm{\θ}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qp}}\sin \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\θ}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}\cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\θ}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}{\sin }^2\mathrm{\θ}\\ ={\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}{\cos }^2\mathrm{\θ}+({\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qp}})\sin \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\θ}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}{\sin }^2\mathrm{\θ}\\ \mathrm{new}{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}=-{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}\cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\θ}-{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qp}}{\sin }^2\mathrm{\θ}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}{\cos }^2\mathrm{\θ}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}\sin \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\θ}\\ =({\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}-{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}})\sin \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\θ}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}\mathrm{co}{s}^2\mathrm{\θ}-{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qp}}{\sin }^2\mathrm{\θ}\\ \mathrm{new}{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qp}}=-{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}\sin \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\θ}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qp}}{\cos }^2\mathrm{\θ}-{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}{\sin }^2\mathrm{\θ}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}\cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\θ}\\ =({\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}-{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}})\sin \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\θ}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qp}}{\cos }^2\mathrm{\θ}-{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}{\sin }^2\mathrm{\θ}\\ \mathrm{new}{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}={\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}{\sin }^2\mathrm{\θ}-{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qp}}\cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\θ}-{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}\sin \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\θ}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}{\cos }^2\mathrm{\θ}\\ ={\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}{\sin }^2\mathrm{\θ}-({\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qp}})\sin \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\θ}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}{\cos }^2\mathrm{\θ}\end{array}\right....\left(49\right)$

因为这个新矩阵newΩ也是埃尔米特矩阵，所以所有的对角元素都是实数。但是，在一些情况中，非对角元素可以是复数。在雅克比旋转中，这样来确定θ以使得在所有非对角元素中的任意元素newΩ_pq、newΩ_qp为“0”。因为某些非对角元素是复数，所以本示例性实施例采用首先将目标元素转换成实数，然后再执行雅克比旋转的方法。因为Ω_pq和Ω_qp被用作目标，所以使用以下酉矩阵M(-ω_pq)：

其中，Ω_pq＝|Ω_pq|exp[jω_pq]＝Ω_pq ^*。

利用M(-ω_pq)来进行变换之后的Ω为：

$M\left({-\mathrm{\ω}}_{\mathrm{pq}}\right)\·\mathrm{\Ω}\·M{\left({-\mathrm{\ω}}_{\mathrm{pq}}\right)}^{\mathrm{II}}$

其中，Ω_pq＝Ω_qp ^*  ∴|Ω_pq|＝|Ω_qp|

                                                     …(51)

因为这也是埃尔米特矩阵，所以即使根据上述关系进行替换，也不会使特征值或特征向量发生改变。此外，对角元素维持不变，并且在变换之后目标Ω_pq和Ω_qp的值都变为相等的实数。这个变换后的矩阵被视为Ω。如此，根据式(49)，通过从式(47)到式(48)的变换而得到的newΩ的目标元素由以下等式来表示：

$\mathrm{new}{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}=\mathrm{new}{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qp}}=\frac{{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}-{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}}{2}\sin \left(2\mathrm{\θ}\right)+\left|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}\right|\·\cos \left(2\mathrm{\θ}\right)...\left(52\right)$

因为雅克比旋转这样来确定θ以使得该值变为“0”，所以可得下式：

$\frac{\sin \left(2\mathrm{\θ}\right)}{\cos \left(2\mathrm{\θ}\right)}=\frac{-\left|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}\right|}{\frac{{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}-{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}}{2}}=\frac{2\left|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}\right|}{{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}-{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}}$ $\stackrel{\·}{\·\·}\mathrm{\θ}=\frac{1}{2}\arctan \left(\frac{2\left|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}\right|}{{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}-{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}}\right)...\left(53\right).$

在本示例性实施例中，使用旋转角θ的雅克比旋转的具体过程在非对角元素变得足够小之前重复这样的操作：将具有最大绝对值的Ω的非对角元素指定作为上述目标Ω_pq和Ω_qp，并这样来确定θ以使得新变换后的newfΩ_pq和nesΩ_qp变为“0”。因而，特征值排列在变换之后的新的newΩ的对角元素上。这个重复处理必定会收敛。以下将描述该收敛过程。

现在假设一次变换之后的新的newΩ的矩阵是B，则可得下式：

B^H·B＝(M·Ω·M^-1)^H·(M·Ω·M^-1)＝(M·Ω·M^H)^H·(M·Ω·M^H)

     ＝(M·Ω^H·M^H)·(M·Ω·M^H)                                ...(54)

     ＝M·Ω^H·Ω·M^H    (其中，M^H＝M^-1)

作为矩阵的迹(trace)的关系，对于任意方阵(square matrix)A、B都存在tr[A·B]＝tr[B·A]的关系，则以下等式成立：

tr[B^H·B]＝tr[M·Ω^H·Ω·M^H]＝tr[M^H·M·Ω^H·Ω]＝tr[Ω^H·Ω]  ...(55)此外，对于任意矩阵A：

因此，由于

$\mathrm{tr}[B^H\·B]=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left|b_{\mathrm{ij}}\right|}^2,$ $\mathrm{tr}[{\mathrm{\Ω}}^T\·\mathrm{\Ω}]=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{ij}}\right|}^2...\left(57\right)$

所以，可得以下结果：

$\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left|b_{\mathrm{ij}}\right|}^2=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{ij}}\right|}^2...\left(58\right)$

式(58)示出变换之后的新newΩ的所有元素的幂之和与变换之前的矩阵的所有元素的幂之和相同。使用式(49)和式(58)的关系，可得下式：

b_ij＝Ω_ij(i，j≠p，q)

b_pj＝Ω_pj cosθ+Ω_qjsinθ(j≠p，q)

b_qj＝-Ω_pj sinθ+Ω_qjcosθ(j≠p，q)    ...(59)

b_ip＝Ω_ip cosθ+Ω_iq sinθ(i≠p，q)

b_iq＝-Ω_ip sinθ+Ω_iq cosθ(i≠p，q)

在这些等式中，第一等式的任何元素都没有发生改变，因此，其幂之和维持不变。后两个等式变为：

|b_pj|²+|b_qj|²＝(Ω_pjcosθ+Ω_qjsinθ)·(Ω_pj ^*cosθ+Ω_qj ^*sinθ)

             +(-Ω_pjsinθ+Ω_qjcosθ)·(-Ω_pj ^*sinθ+Ω_qj ^*cosθ)    ...(60)

             ＝|Ω_pj|²+|Ω_qj|²    (j≠p，q)

并且它们的幂之和保持不变。类似地，再后两个等式变为：

|b_ip|²+|b_iq|²＝(Ω_ipcosθ+Ω_iqsinθ)·(Ω_ip ^*cosθ+Ω_iq ^*sinθ)

             +(-Ω_ipsinθ+Ω_iqcosθ)·(-Ω_ip ^*sinθ+Ω_iq ^*cosθ)    ...(61)

             ＝|Ω_ip|²+|Ω_iq|²    (i≠p，q)

并且它们的幂之和保持不变。于是，剩余的是：

$b_{\mathrm{pp}}={\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}{\cos }^2\mathrm{\θ}+2\left|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}\right|\sin \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\θ}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}{\sin }^2\mathrm{\θ}=\frac{{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}}{2}+\frac{{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}-{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}}{2}\cos \left(2\mathrm{\θ}\right)+\left|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}\right|\sin \left(2\mathrm{\θ}\right)$

$b_{\mathrm{pq}}=\mathrm{new}{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qp}}=({\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}-{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}})\sin \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\θ}+\left|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}\right|(\mathrm{co}{s}^2\mathrm{\θ}-{\sin }^2\mathrm{\θ})=\frac{{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}-{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}}{2}\sin \left(2\mathrm{\θ}\right)+\left|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}\right|\cos \left(2\mathrm{\θ}\right)$

$b_{\mathrm{qq}}={\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}{\sin }^2\mathrm{\θ}-2\left|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}\right|\sin \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\θ}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}{\cos }^2\mathrm{\θ}=\frac{{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}}{2}-\frac{{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}-{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}}{2}\cos \left(2\mathrm{\θ}\right)-\left|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}\right|\sin \left(2\mathrm{\θ}\right)...\left(62\right)$

并且考查以下等式的组合：

${\left|b_{\mathrm{pp}}\right|}^2+{\left|b_{\mathrm{qq}}\right|}^2+2{\left|b_{\mathrm{pq}}\right|}^2$

$={(\left(\frac{{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}}{2}\right)+(\frac{{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}-{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}}{2}\cos \left(2\mathrm{\θ}\right)+|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}\left|\sin \left(2\mathrm{\θ}\right)\right))}^2+{(\left(\frac{{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}}{2}\right)-(\frac{{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}-{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}}{2}\cos \left(2\mathrm{\θ}\right)+|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}\left|\sin \left(2\mathrm{\θ}\right)\right))}^2$

$+2{(\frac{{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}-{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}}{2}\sin \left(2\mathrm{\θ}\right)+|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}\left|\cos \left(2\mathrm{\θ}\right)\right)}^2$ (∵所有项都是实数)

$=2{\left(\frac{{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}}{2}\right)}^2+2{(\frac{{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}-{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}}{2}\cos \left(2\mathrm{\θ}\right)+|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}\left|\sin \left(2\mathrm{\θ}\right)\right)}^2+2{(-\frac{{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}-{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}}{2}\sin \left(2\mathrm{\θ}\right)+|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qp}}\left|\cos \left(2\mathrm{\θ}\right)\right)}^2$

$=2{\left(\frac{{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}}{2}\right)}^2+2{\left(\frac{{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}-{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}}{2}\right)}^2+2{\left|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}\right|}^2={{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}}^2+{{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}}^2+2{\left|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}\right|}^2...\left(63\right)$

可得|b_pp|²+|b_qq|²+2|b_pq|²＝Ω_pp ²+Ω_qq ²+2|Ω_pq|²。如上所述，因为θ是以使得b_pq＝0的方式来选择的，所以最终可得以下等式：

|b_pp|²+|b_qq|²＝Ω_pp ²+Ω_qq ²+2|Ω_pq|²    ...(64)

换而言之，这个变换导致了对角分量的幂之和的增大。另一方而，因为如式(58)的关系所示，整个矩阵的元素的幂之和保持恒定不变，所以最终由所述增大导致非对角分量的幂之和减小。因此，根据上式，使用 $\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left|b_{\mathrm{ij}}\right|}^2=\underset{i,j}{\mathrm{\Σ}}{\left|b_{\mathrm{ij}}\right|}^2$ 的表述，可以用下式来表示非对角元素的幂之和：

$\underset{i\≠j}{\mathrm{\Σ}}{\left|b_{\mathrm{ij}}\right|}^2=\underset{i,j}{\mathrm{\Σ}}{\left|b_{\mathrm{ij}}\right|}^2-(\underset{i\≠p,q}{\mathrm{\Σ}}{\left|b_{\mathrm{ii}}\right|}^2+{\left|b_{\mathrm{pp}}\right|}^2+{\left|b_{\mathrm{qq}}\right|}^2)$

$=\underset{i,j}{\mathrm{\Σ}}{\left|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{ij}}\right|}^2-(\underset{i\≠p,q}{\mathrm{\Σ}}{{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{ii}}}^2+{{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}}^2+{{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}}^2+2{\left|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}\right|}^2)=\underset{i\≠j}{\mathrm{\Σ}}{\left|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{ij}}\right|}^2-2{\left|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}\right|}^2...\left(65\right)$

在该等式中，因为p、q的选择满足：

${\left|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}\right|}^2=\underset{i\≠j}{\max }{\left|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{ij}}\right|}^2...\left(66\right)$

所以，至少：

${\left|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}\right|}^2\≥\frac{1}{n^2-n}\·\underset{i\≠j}{\mathrm{\Σ}}{\left|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{ij}}\right|}^2...\left(67\right)$

所有非对角元素的幂之和变为：

$\underset{i\≠i}{\mathrm{\Σ}}{\left|b_{\mathrm{ij}}\right|}^2\≤(1-\frac{2}{n^2-n})\·\underset{i\≠j}{\mathrm{\Σ}}{\left|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{ij}}\right|}^2...\left(68\right)$

通过重复这样的旋转，非对角元素整体上被减小，并收敛为“0”。

换一种方式来说，在非对角元素变得足够小之前一直重复以下操作：将Ω的具有最大绝对值的非对角元素指定作为上述的目标Ω_pq和Ω_qp，并这样来确定θ以使得重新变换后的newΩ_pq和newΩ_qp变为“0”。在这个重复处理中，特征值排列在变换之后的新的矩阵newΩ的对角元素上。该重复处理由下式来表示：

$\·\·\·M\left({\mathrm{\θ}}_{p_2{q}_2}\right)\·M(-{\mathrm{\ω}}_{p_2{q}_2})\·(M\left({\mathrm{\θ}}_{p_1{q}_1}\right)\·\mathrm{\Ω}\·M{(-{\mathrm{\ω}}_{p_1{q}_1})}^H\·M{\left({\mathrm{\θ}}_{p_1{q}_1}\right)}^H)\·M{(-{\mathrm{\ω}}_{p_2{q}_2})}^H\·M{\left({\mathrm{\θ}}_{p_2{q}_2}\right)}^H\·\·\·$

其中，M为：

$\·\·\·M\left({\mathrm{\θ}}_{p_2{q}_2}\right)\·M(-{\mathrm{\ω}}_{p_2{q}_2})\·M\left({\mathrm{\θ}}_{p_1{q}_1}\right)\·M(-{\mathrm{\ω}}_{p_1{q}_1})=M...\left(70\right)$

根据以 ${\mathrm{\Ω}}_{p_i{q}_i}=\left|{\mathrm{\Ω}}_{p_i{q}_i}\right|\exp \left[j{\mathrm{\ω}}_{p_i{q}_i}\right]={{\mathrm{\Ω}}_{q_i{p}_i}}^{*}$ 为目标的式(51)，M(-ω_piqi)由下式来表示：

M(θ_pq)为：

此外，根据式(54)：

${\mathrm{\θ}}_{p_i{q}_i}=\frac{1}{2}\arctan \left(\frac{2\left|{\mathrm{\Ω}}_{p_i{q}_i}\right|}{{\mathrm{\Ω}}_{p_i{q}_i}-{\mathrm{\Ω}}_{q_i{q}_i}}\right)...\left(73\right)$

接下来，将描述特征向量的计算。首先，为了简单起见，用以下方式来重新书写式(69)：

$M_N\·\·\·\·\·M_2\·M_1\·\mathrm{\Ω}\·{M_1}^H\·{M_2}^H\·\·\·\·\·{M_N}^H=M\·\mathrm{\Ω}\·M^H$

其中， $M_i=M\left({\mathrm{\θ}}_{p_i{q}_i}\right)\·M(-{\mathrm{\ω}}_{p_i{q}_i})$

为了从式(74)中提取给出最小特征值λ_min的特征向量e_min，从左边用M^H来乘以式(74)中的M·Ω·M^H＝Λ的两侧。根据式(46)和式(5)，M^H＝M^-1，于是可得这里假设M^H＝[m₁ m₂...m_n]，则：

$=\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{\λ}}_1\·m_1& {\mathrm{\λ}}_2\·m_2& \·\·\·& {\mathrm{\λ}}_{\min }\·m_m& {\mathrm{\λ}}_n\·m_n\end{array}\right]$

因此，当从Ω·m_i＝λ_i·m_i(其中，i＝1，2，...，n)中选择最小特征值λ_min的特征值向量m_m时，其是将求得的最小特征值的特征向量。这也适用于其它特征向量。换而言之，列向量M^H被提取出来。根据式(74)，可得M^H＝M₁ ^H·M₂ ^H·...·M_N ^H，其是利用M^H＝((((((M₁ ^H)·M₂ ^H)·M₃ ^H)……)·M_N-1 ^H)·M_N ^H)这样的雅克比旋转的重复处理来并行地顺序计算得到的。因为这个计算也可以通过其元素是2的负幂的线性和的雅克比旋转矩阵(稍后将描述)、以较低复杂度来实现，所以本示例性实施例的实质是稍后将描述的一部分。

以上已经描述了通过雅克比旋转来求得特征值和特征向量的过程。

接下来，将描述通过雅克比旋转矩阵、以低复杂度来实现的示例性实施例，所述雅克比旋转矩阵基于在旋转角被分解成带符号的多个2的负幂的反正切的和时得到的极性被配置，并且其元素是2的负幂的线性和。

首先，将遵循雅克比旋转的处理顺序来描述以低复杂度来实现的本示例性实施例。

如式(48)所示，通过雅克比旋转的前一步处理，仅仅第p行和第q行被改变。此外，其中使用的将被变换的矩阵分量仅仅是第p行和第q行。因此，第p行和第q行被提取作为向量，并用以下方式来表示：

$\left[\begin{array}{c}{{\mathrm{\Ω}}_p}^{\′}\\ {{\mathrm{\Ω}}_q}^{\′}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccccc}{{\mathrm{\Ω}}_{p1}}^{\′}& \·\·\·& {{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}}^{\′}& \·\·\·& \·\·\·& {{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}}^{\′}& \·\·\·& {{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pn}}}^{\′}\\ {{\mathrm{\Ω}}_{q1}}^{\′}& \·\·\·& {{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qp}}}^{\′}& \·\·\·& \·\·\·& {{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}}^{\′}& \·\·\·& {{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qn}}}^{\′}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\θ}& \sin \mathrm{\θ}\\ -\sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{cccccccc}{\mathrm{\Ω}}_{p1}& \·\·\·& {\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}& \·\·\·& \·\·\·& \left|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}\right|& \·\·\·& {\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pn}}\\ {\mathrm{\Ω}}_{q1}& \·\·\·& \left|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qp}}\right|& \·\·\·& \·\·\·& {\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}& \·\·\·& {\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qn}}\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cccccccc}{\mathrm{\Ω}}_{p1}\cos \mathrm{\θ}+{\mathrm{\Ω}}_{q1}\sin \mathrm{\θ}& \·\·\·& {\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}\cos \mathrm{\θ}+\left|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qp}}\right|\sin \mathrm{\θ}& \·\·\·& \·\·\·& \left|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}\right|\cos \mathrm{\θ}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}\sin \mathrm{\θ}& \·\·\·& {\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pn}}\cos \mathrm{\θ}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qn}}\sin \mathrm{\θ}\\ -{\mathrm{\Ω}}_{p1}\sin \mathrm{\θ}+{\mathrm{\Ω}}_{q1}\cos \mathrm{\θ}& \·\·\·& -{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pp}}\sin \mathrm{\θ}+\left|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qp}}\right|\cos \mathrm{\θ}& \·\·\·& \·\·\·& -\left|{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pq}}\right|\sin \mathrm{\θ}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qq}}\cos \mathrm{\θ}& \·\·\·& -{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{pn}}\sin \mathrm{\θ}+{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{qn}}\cos \mathrm{\θ}\end{array}\right]...\left(76\right)$

这里用R(θ)来指示上述的2×2旋转矩阵，并且用以下方式来表示：

$R\left(\mathrm{\θ}\right)=\left[\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\θ}& \sin \mathrm{\θ}\\ -\sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}\end{array}\right]=\frac{1}{\left(\frac{1}{\cos \mathrm{\θ}}\right)}\left[\begin{array}{cc}1& \tan \mathrm{\θ}\\ -\tan \mathrm{\θ}& 1\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{\frac{{\cos }^2\mathrm{\θ}+{\sin }^2\mathrm{\θ}}{{\cos }^2\mathrm{\θ}}}}\left[\begin{array}{cc}1& \tan \mathrm{\θ}\\ -\tan \mathrm{\θ}& 1\end{array}\right]$

$=\frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^2\mathrm{\&theta;}}}\left[\begin{array}{cc}1& \tan \mathrm{\&theta;}\\ -\tan \mathrm{\&theta;}& 1\end{array}\right]$ 其中， $-\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}<\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}$

                                              ...(77)

此外，用反正切来量化上述θ，并且以如下的方式表示：

$\mathrm{\&theta;}=\underset{k=0}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}_k{\&CenterDot;\mathrm{\&theta;}}_k=\underset{k=0}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}_k\&CenterDot;{\tan }^{-1}{2}^{-k}=\underset{k=0}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\tan }^{-1}(s_k\&CenterDot;2^{-k})$ 其中，tanθ_k＝2^-k， $s_k=\left\{\begin{array}{c}+1\\ -1\end{array}\right....\left(78\right)$

因为旋转矩阵为：

$R\left({\mathrm{\&theta;}}_1\right)\&CenterDot;R\left({\mathrm{\&theta;}}_2\right)=\left[\begin{array}{cc}\cos {\mathrm{\&theta;}}_1& \sin {\mathrm{\&theta;}}_1\\ -\sin {\mathrm{\&theta;}}_1& \cos {\mathrm{\&theta;}}_1\end{array}\right]\&CenterDot;\left[\begin{array}{cc}\cos {\mathrm{\&theta;}}_2& \sin {\mathrm{\&theta;}}_2\\ -\sin {\mathrm{\&theta;}}_2& \cos {\mathrm{\&theta;}}_2\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}\cos {\mathrm{\&theta;}}_1\cos {\mathrm{\&theta;}}_2-\sin {\mathrm{\&theta;}}_1\sin {\mathrm{\&theta;}}_2& \cos {\mathrm{\&theta;}}_1\sin {\mathrm{\&theta;}}_2+\sin {\mathrm{\&theta;}}_1\cos {\mathrm{\&theta;}}_2\\ -\sin {\mathrm{\&theta;}}_1\cos {\mathrm{\&theta;}}_2-\cos {\mathrm{\&theta;}}_1\sin {\mathrm{\&theta;}}_2& -\sin {\mathrm{\&theta;}}_1\sin {\mathrm{\&theta;}}_2+\cos {\mathrm{\&theta;}}_1\cos {\mathrm{\&theta;}}_2\end{array}\right]...\left(79\right)$

$=\left[\begin{array}{cc}\cos ({\mathrm{\&theta;}}_1+{\mathrm{\&theta;}}_2)& \sin ({\mathrm{\&theta;}}_1+{\mathrm{\&theta;}}_2)\\ -\sin ({\mathrm{\&theta;}}_1+{\mathrm{\&theta;}}_2)& \cos ({\mathrm{\&theta;}}_1+{\mathrm{\&theta;}}_2)\end{array}\right]=R({\mathrm{\&theta;}}_1+{\mathrm{\&theta;}}_2)$

$R\left(\mathrm{\&theta;}\right)=R\left(\underset{k=0}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}_k{\&CenterDot;\mathrm{\&theta;}}_k\right)=\underset{k=0}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Pi;}}}R\left(s_k{\&CenterDot;\mathrm{\&theta;}}_k\right)...\left(80\right)$

因此，可以如下的方式分解旋转矩阵：

$R\left(\mathrm{\&theta;}\right)=\left[\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\&theta;}& \sin \mathrm{\&theta;}\\ -\sin \mathrm{\&theta;}& \cos \mathrm{\&theta;}\end{array}\right]=\underset{k=0}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Pi;}}}\left[\begin{array}{cc}\cos \left(s_k{\&CenterDot;\mathrm{\&theta;}}_k\right)& \sin \left(s_k{\&CenterDot;\mathrm{\&theta;}}_k\right)\\ -\sin \left(s_k{\&CenterDot;\mathrm{\&theta;}}_k\right)& \cos \left(s_k{\&CenterDot;\mathrm{\&theta;}}_k\right)\end{array}\right]$

$=\underset{k=0}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Pi;}}}\frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^2\left(s_k{\&CenterDot;\mathrm{\&theta;}}_k\right)}}\left[\begin{array}{cc}1& \tan \left(s_k{\&CenterDot;\mathrm{\&theta;}}_k\right)\\ -\tan \left(s_k{\&CenterDot;\mathrm{\&theta;}}_k\right)& 1\end{array}\right]$

$=\underset{k=0}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Pi;}}}\frac{1}{\sqrt{1+{s_k}^2\&CenterDot;{\tan }^2{\mathrm{\&theta;}}_k}}\left[\begin{array}{cc}1& s_k\&CenterDot;\tan {\mathrm{\&theta;}}_k\\ -s_k\&CenterDot;\tan {\mathrm{\&theta;}}_k& 1\end{array}\right]...\left(81\right)$

$=\underset{k=0}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Pi;}}}\frac{1}{\sqrt{1+2^{-2k}}}\left[\begin{array}{cc}1& s_k\&CenterDot;2^{-k}\\ -s_k\&CenterDot;2^{-k}& 1\end{array}\right]$

$=\frac{1}{\mathrm{\&alpha;}}\&CenterDot;\underset{k=0}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Pi;}}}\left[\begin{array}{cc}1& s_k\&CenterDot;2^{-k}\\ -s_k\&CenterDot;2^{-k}& 1\end{array}\right]$ 其中， $\frac{1}{\mathrm{\&alpha;}}=\underset{k=0}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Pi;}}}\frac{1}{\sqrt{1+2^{-2k}}}$

在式(81)中，比特精度被限定为K比特，并且 $\underset{k=0}{\overset{K}{\mathrm{\&Pi;}}}\left[\begin{array}{cc}1& s_k\&CenterDot;2^{-k}\\ -s_k\&CenterDot;2^{-k}& 1\end{array}\right]$ 被分割并且每复数个地集合成组。在本示例性实施例中，每两个被集合成一组，不过用类似方式也可以集合三个或更多个。以下，以一组集合两个为例，

$\underset{k=0}{\overset{K}{\mathrm{\&Pi;}}}\left[\begin{array}{cc}1& s_k\&CenterDot;2^{-k}\\ -s_k\&CenterDot;2^{-k}& 1\end{array}\right]=\underset{k^{\&prime;}=0}{\overset{\frac{K}{2}}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left[\begin{array}{cc}1& s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-(2k^{\&prime;}+1)}\\ -s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-(2k^{\&prime;}+1)}& 1\end{array}\right]\&CenterDot;\left[\begin{array}{cc}1& s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;2^{-2k^{\&prime;}}\\ -s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;2^{-2k^{\&prime;}}& 1\end{array}\right]$

$=\underset{k^{\&prime;}=0}{\overset{\frac{K}{2}}{\mathrm{\&Pi;}}}\left[\begin{array}{cc}1-s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-(4k^{\&prime;}+1)}& (s_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})\&CenterDot;2^{-2k^{\&prime;}}\\ -(s_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})\&CenterDot;2^{-2k^{\&prime;}}& 1-s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-(4k^{\&prime;}+1)}\end{array}\right]=\underset{k^{\&prime;}=0}{\overset{\frac{K}{2}}{\mathrm{\&Pi;}}}\left[\begin{array}{cc}{a}_{k^{\&prime;}}& b_{k^{\&prime;}}\\ -b_{k^{\&prime;}}& a_{k^{\&prime;}}\end{array}\right]...\left(82\right)$

当将其应用于式(76)时，可得下式：

$\left[\begin{array}{c}{{\mathrm{\&Omega;}}_p}^{\&prime;}\\ {{\mathrm{\&Omega;}}_q}^{\&prime;}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccccc}{{\mathrm{\&Omega;}}_{p1}}^{\&prime;}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pp}}}^{\&prime;}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pq}}}^{\&prime;}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pn}}}^{\&prime;}\\ {{\mathrm{\&Omega;}}_{q1}}^{\&prime;}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qp}}}^{\&prime;}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qq}}}^{\&prime;}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qn}}}^{\&prime;}\end{array}\right]=\frac{1}{\mathrm{\&alpha;}}\&CenterDot;\underset{k^{\&prime;}=0}{\overset{\frac{K}{2}}{\mathrm{\&Pi;}}}\left[\begin{array}{cc}{a}_{k^{\&prime;}}& b_{k^{\&prime;}}\\ -b_{k^{\&prime;}}& a_{k^{\&prime;}}\end{array}\right]\&CenterDot;\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&Omega;}}_p\\ {\mathrm{\&Omega;}}_q\end{array}\right]$

$=\frac{1}{\mathrm{\&alpha;}}\&CenterDot;\underset{k^{\&prime;}=0}{\overset{\frac{K}{2}}{\mathrm{\&Pi;}}}\left[\begin{array}{cc}1-s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-(4k^{\&prime;}+1)}& (s_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})\&CenterDot;2^{-2k^{\&prime;}}\\ -(s_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})\&CenterDot;2^{-2k^{\&prime;}}& 1-s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-(4k^{\&prime;}+1)}\end{array}\right]\&CenterDot;\left[\begin{array}{cccccccc}{\mathrm{\&Omega;}}_{p1}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& {\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pp}}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \left|{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pq}}\right|& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& {\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pn}}\\ {\mathrm{\&Omega;}}_{q1}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \left|{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qp}}\right|& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& {\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qq}}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& {\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qn}}\end{array}\right]$

$=\frac{1}{\mathrm{\&alpha;}}\&CenterDot;(\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;(\left[\begin{array}{cc}1-s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-5}& (s_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})\&CenterDot;2^{-2}\\ -(s_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})\&CenterDot;2^{-2}& 1-s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-5}\end{array}\right]\&CenterDot;(\left[\begin{array}{cc}1-s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1}& (s_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})\\ -(s_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})& 1-s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1}\end{array}\right]\&CenterDot;\&CenterDot;\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&Omega;}}_p\\ {\mathrm{\&Omega;}}_p\end{array}\right])\left)\right)...\left(83\right)$

通过重复K/2次矩阵处理就可以完成本来应当执行K次的顺序处理。换而言之，可以实现2倍高的速度。这是因为：为了简化说明，本示例性实施例2个接2个地集合成组，并且应当了解，当每4个地集合成组时，可以实现4倍高的速度。

此外，考查各个成组之后的重复处理中的任意一个处理，这是基于多个极性(此时是S_2k′，S_2k′+1)来配置的、元素是2的负幂的线性和的矩阵运算。当硬件电路被配置用于求2的负幂的线性和时，该线性和可以仅通过电路上的线路的替换单元(开关)和加法器来实现，而无需乘法器，乘法器的电路规模一般都很大。因此，可以使用并不复杂的电路来高速地执行所述处理。

以上是雅克比旋转的前一步处理。接下来，将描述后一步处理。如式(48)所示，通过雅克比旋转的后一步处理，仅改变了第p行、第q行、第p列和第q列。此外，在执行雅克比旋转之前，通过酉矩阵M(-ω_pq)来执行基于式(51)使目标元素Ω_pq和Ω_qp相等的处理。所得矩阵也是埃尔米特矩阵。因此，正如从式(48)可以了解到的，除了四个对角元素之外，在第p列和第q列上的所有分量与第p行和第q行的分量处于复共轭的关系中。换而言之，通过改变虚部的符号就可以如其原样地使用上述计算的结果。通过按与上述方式类似的方式来成组，还可以更快速地计算其余四个分量。当与上述示例性实施例类似地每两个地集合成组时，按以下方式来执行。首先，用矩阵来表示变换之前的四个元素，如下所示：

$\left[\begin{array}{cc}{{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pp}}}^{\&prime;}& {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pq}}}^{\&prime;}\\ {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qp}}}^{\&prime;}& {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qq}}}^{\&prime;}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pp}}\cos \mathrm{\&theta;}+\left|{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qp}}\right|\sin \mathrm{\&theta;}& \left|{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pq}}\right|\cos \mathrm{\&theta;}+{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qq}}\sin \mathrm{\&theta;}\\ -{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pp}}\sin \mathrm{\&theta;}+\left|{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qp}}\right|\cos \mathrm{\&theta;}& -\left|{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pq}}\right|\sin \mathrm{\&theta;}+{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qq}}\cos \mathrm{\&theta;}\end{array}\right]...\left(84\right)$

这个矩阵的所有元素都是实数。因此，考虑到变换之后的矩阵也是埃尔米特矩阵，并且根据这四个元素都是实数的事实，所述矩阵是对称矩阵，于是针对该等四个剩余对角元素的后一步处理如下所示：

$\left[\begin{array}{cc}{{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pp}}}^{\&prime;\&prime;}& {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pq}}}^{\&prime;\&prime;}\\ {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qp}}}^{\&prime;\&prime;}& {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qq}}}^{\&prime;\&prime;}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pp}}}^{\&prime;}& {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pq}}}^{\&prime;}\\ {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qp}}}^{\&prime;}& {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qq}}}^{\&prime;}\end{array}\right]\&CenterDot;\left[\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\&theta;}& -\sin \mathrm{\&theta;}\\ \sin \mathrm{\&theta;}& \cos \mathrm{\&theta;}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\&theta;}& \sin \mathrm{\&theta;}\\ -\sin \mathrm{\&theta;}& \cos \mathrm{\&theta;}\end{array}\right]\&CenterDot;\left[\begin{array}{cc}{{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pp}}}^{\&prime;}& {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qp}}}^{\&prime;}\\ {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pq}}}^{\&prime;}& {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qq}}}^{\&prime;}\end{array}\right](\stackrel{\&CenterDot;}{\&CenterDot;\&CenterDot;}\left[\begin{array}{cc}{{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pp}}}^{\&prime;\&prime;}& {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pq}}}^{\&prime;\&prime;}\\ {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qp}}}^{\&prime;\&prime;}& {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qq}}}^{\&prime;\&prime;}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}{{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pp}}}^{\&prime;\&prime;}& {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pq}}}^{\&prime;\&prime;}\\ {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qp}}}^{\&prime;\&prime;}& {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qq}}}^{\&prime;\&prime;}\end{array}\right]}^T)$

$=\frac{1}{\mathrm{\&alpha;}}\&CenterDot;\underset{k^{\&prime;}=0}{\overset{\frac{K}{2}}{\mathrm{\&Pi;}}}\left[\begin{array}{cc}{a}_{k^{\&prime;}}& b_{k^{\&prime;}}\\ {-b}_{k^{\&prime;}}& a_{k^{\&prime;}}\end{array}\right]\&CenterDot;\&CenterDot;\left[\begin{array}{cc}{{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pp}}}^{\&prime;}& {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qp}}}^{\&prime;}\\ {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pq}}}^{\&prime;}& {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qq}}}^{\&prime;}\end{array}\right]=\frac{1}{\mathrm{\&alpha;}}\&CenterDot;\underset{k^{\&prime;}=0}{\overset{\frac{K}{2}}{\mathrm{\&Pi;}}}\left[\begin{array}{cc}1-s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-(4k^{\&prime;}+1)}& (s_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})\&CenterDot;2^{-2k^{\&prime;}}\\ -(s_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})\&CenterDot;2^{-2k}& 1-s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-(4k^{\&prime;}+1)}\end{array}\right]\&CenterDot;\left[\begin{array}{cc}{{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pp}}}^{\&prime;}& {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qp}}}^{\&prime;}\\ {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pq}}}^{\&prime;}& {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qq}}}^{\&prime;}\end{array}\right]$

$=\frac{1}{\mathrm{\&alpha;}}\&CenterDot;(\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;(\left[\begin{array}{cc}1-s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-5}& (s_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})\&CenterDot;2^{-2}\\ -(s_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})\&CenterDot;2^{-2}& 1-s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-5}\end{array}\right]\&CenterDot;(\left[\begin{array}{cc}1-s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1}& (s_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})\\ -(s_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})& 1-s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1}\end{array}\right]\&CenterDot;\left[\begin{array}{cc}{{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pp}}}^{\&prime;}& {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qp}}}^{\&prime;}\\ {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pq}}}^{\&prime;}& {{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qq}}}^{\&prime;}\end{array}\right])\left)\right)---\left(85\right)$

因此，与上述情况相同，可以实现2倍高的速度。此外，应当了解，当每4个地集合成组时，可以实现4倍高的速度。因为即使一段处理也会涉及基于多个极性(此时为S_2k′、S_2k′+1)被配置的、其元素是2的负幂的线性和的矩阵运算，所以可以仅通过电路上的线路的替换单元(开关)和加法器来实现硬件配置，从而使得可以以低复杂度来增加速度。

当以这种方式将多个集合成组时，针对各个组的多个极性S_k必须一起提供。例如，在上述示例中，必须一次性提供两个极性S_2k′、S_2k′+1。根据式(78)，

$\mathrm{\&theta;}=\underset{k=0}{\overset{K}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}_k{\&CenterDot;\mathrm{\&theta;}}_k=\underset{k=0}{\overset{K}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}_k\&CenterDot;{\tan }^{-1}{2}^{-k}\mathrm{where};$ tanθ_k＝2^-k， $s_k=\left\{\begin{array}{c}+1\\ -1\end{array}\right....\left(86\right)$

因此：

$\mathrm{\&theta;}=\underset{k^{\&prime;}=0}{\overset{\frac{K}{2}}{\mathrm{\&Sigma;}}}(s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;{\mathrm{\&theta;}}_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;{\mathrm{\&theta;}}_{2k^{\&prime;}+1})=\underset{k^{\&prime;}=0}{\overset{\frac{K}{2}}{\mathrm{\&Sigma;}}}(s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;{\tan }^{-1}{2}^{-2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;{\tan }^{-1}{2}^{-2k^{\&prime;}+1})$

其中，tanθ_k＝2^-k， $s_{2k^{\&prime;}},s_{2k^{\&prime;}+1}=\left\{\begin{array}{cc}+1,& +1\\ +1,& -1\\ -1,& +1\\ -1,& -1\end{array}\right....\left(87\right)$

因此，通过每四个值地顺序比较来更新，可以用反正切来量化θ。

这里，因为根据式(54)，这个θ被设置为使得目标元素变为“0”，所以可得以下等式：

$\mathrm{\&theta;}=\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\left(\frac{2\left|{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pq}}\right|}{{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pp}}-{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qq}}}\right)...\left(88\right)$

虽然该方法根据式(88)来计算θ，并根据式(87)、用反正切来量化该θ，但是将描述包括更直接的方法的两个示例性实施例。在那之前，将描述根据反正切运算来计算θ的方法。

考虑根据式(81)、(82)使用旋转矩阵的以下向量操作：

$\left[\begin{array}{c}x\\ y(\&DoubleRightArrow;0)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\&theta;}& \sin \mathrm{\&theta;}\\ -\sin \mathrm{\&theta;}& \cos \mathrm{\&theta;}\end{array}\right]\&CenterDot;\left[\begin{array}{c}1\\ t\end{array}\right]=\underset{k=0}{\overset{K}{\mathrm{\&Pi;}}}\left[\begin{array}{cc}\cos (s_k\&CenterDot;{\mathrm{\&theta;}}_k)& \sin (s_k\&CenterDot;{\mathrm{\&theta;}}_k)\\ -\sin (s_k\&CenterDot;{\mathrm{\&theta;}}_k)& \cos \left(s_k{\&CenterDot;\mathrm{\&theta;}}_k\right)\end{array}\right]\&CenterDot;\left[\begin{array}{c}1\\ t\end{array}\right]$

$=\frac{1}{\mathrm{\&alpha;}}\underset{k=0}{\overset{K}{\mathrm{\&Pi;}}}\left[\begin{array}{cc}1& s_k\&CenterDot;2^{-k}\\ -s_k\&CenterDot;2^{-k}& 1\end{array}\right]\&CenterDot;\left[\begin{array}{c}1\\ t\end{array}\right]...\left(89\right)$

$=\frac{1}{\mathrm{\&alpha;}}\underset{k^{\&prime;}=0}{\overset{\frac{K}{2}}{\mathrm{\&Pi;}}}\left[\begin{array}{cc}1-s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-(4k^{\&prime;}+1)}& (s_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})\&CenterDot;2^{-2k^{\&prime;}}\\ -(s_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})\&CenterDot;2^{-2k^{\&prime;}}& 1-s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-(4k^{\&prime;}+1)}\end{array}\right]\&CenterDot;\left[\begin{array}{c}1\\ t\end{array}\right]=\frac{1}{\mathrm{\&alpha;}}\underset{k^{\&prime;}=0}{\overset{\frac{K}{2}}{\mathrm{\&Pi;}}}\left[\begin{array}{cc}{a}_{k^{\&prime;}}& b_{k^{\&prime;}}\\ -b_{k^{\&prime;}}& a_{k^{\&prime;}}\end{array}\right]\&CenterDot;\left[\begin{array}{c}1\\ t\end{array}\right]$

考虑在式(89)的各个k′中的顺序处理：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{k^{\&prime;}+1}=\frac{1}{\mathrm{\&alpha;}}\left((1-s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-(4k^{\&prime;}+1)})\&CenterDot;x_{k^{\&prime;}}+(s_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})\&CenterDot;2^{-2k^{\&prime;}}\&CenterDot;y_{k^{\&prime;}}\right)\\ y_{k^{\&prime;}+1}=\frac{1}{\mathrm{\&alpha;}}(-(s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})\&CenterDot;2^{-2k}\&CenterDot;x_{k^{\&prime;}}+(1-s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-(4k^{\&prime;}+1)})\&CenterDot;y_{k^{\&prime;}})\end{array}\right....\left(90\right)$

的过程中，基于极性S_2k′、S_2k′+1的选择而使与y相对应的元素为“0”。

因为极性S_2k′、S_2k′+1采用两个值“+1”和“-1”中的各个值，所以存存四个不同组合，并且使用它们中的最接近于“0”的组合来重复式(90)的更新。结果，根据式(89)中的关系 $\left[\begin{array}{c}x\\ y(\&DoubleRightArrow;0)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\&theta;}& \sin \mathrm{\&theta;}\\ -\sin \mathrm{\&theta;}& \cos \mathrm{\&theta;}\end{array}\right]\&CenterDot;\left[\begin{array}{c}1\\ t\end{array}\right],$ θ被设置成使得0＝-sinθ+t·cosθ，即， $\frac{\sin \mathrm{\&theta;}}{\cos \mathrm{\&theta;}}=t.$ 如从以上描述中清楚可见的，这个θ是顺序处理中的各个旋转角的总和，并且利用极性S_2k′、S_2k′+1可以求得：

$\mathrm{\&theta;}=\underset{k^{\&prime;}=0}{\overset{\frac{K}{2}}{\mathrm{\&Sigma;}}}(s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;{\mathrm{\&theta;}}_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;{\mathrm{\&theta;}}_{2k^{\&prime;}+1})=\underset{k^{\&prime;}}{\overset{\frac{K}{2}}{\mathrm{\&Sigma;}}}(s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;{\tan }^{-1}{2}^{-2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;{\tan }^{-1}{2}^{-2k^{\&prime;}+1})...\left(91\right)$

当希望求得θ＝tan^-1t(t的反正切)时，t被用作式(89)的初始值，并且利用以使得y变为“0”的方式来选择的极性S_2k′、S_2k′+1来连续地执行根据式(90)的顺序处理，从而最终根据式(91)来求得希望的θ。由于本示例性实施例还涉及元素为2的负幂的线性和的矩阵运算，所以其可以仅通过电路上的线路的替换单元(开关)和加法器来实现，而无需乘法器，乘法器的电路规模一般都很大。此外，因为本应当执行K次的顺序处理仅被执行了K/2次，所以可以以低复杂度来增加速度。将结合两个示例性实施例来描述上述情况。

[I]在根据式(88)求得2θ，并且移位1比特从而生成θ之后，根据式(87)来求极性的方法：

因为利用上述方法根据式(88)来求得的是在 $t=\left(\frac{2\left|{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pq}}\right|}{{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pp}}-{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qq}}}\right)$ 时的2θ，所以在将2θ移位1比特从而生成θ之后，根据式(87)通过利用反正切来量化，从而获得极性S_2k′、S_2k′+1。

[II]针对各个组来直接求θ的反正切的量化极性，同时没有停滞地在雅克比旋转中采用该量化极性的方法：

根据式(88)， $\tan 2\mathrm{\&theta;}=\frac{2\left|{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pq}}\right|}{{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pp}}-{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qq}}}.$ 另一方面，

$\tan 2\mathrm{\&theta;}=\frac{\sin 2\mathrm{\&theta;}}{\cos 2\mathrm{\&theta;}}=\frac{2\sin \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&theta;}}{{\cos }^2\mathrm{\&theta;}-{\sin }^2\mathrm{\&theta;}}=\frac{2\tan }{1-{\tan }^2\mathrm{\&theta;}}$ $\stackrel{\&CenterDot;}{\&CenterDot;\&CenterDot;}\tan \mathrm{\&theta;}=\frac{1-\&PlusMinus;\sqrt{1-{\tan }^{2}2\mathrm{\&theta;}}}{\tan 2\mathrm{\&theta;}}...\left(92\right)$

因此，

$\tan \mathrm{\&theta;}=\frac{{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pp}}-{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qq}}}{2{|\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pq}}|}(-1\&PlusMinus;\frac{\sqrt{{({\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pp}}-{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qq}})}^2-4{\left|{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pq}}\right|}^2}}{{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pp}}-{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qq}}})=\frac{{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qq}}-{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pp}}\&PlusMinus;\sqrt{{({\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pp}}-{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qq}})}^2-4{\left|{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pq}}\right|}^2}}{2\left|{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pq}}\right|}...\left(93\right)$

(这里，通过存在θ的范围(象限)来确定根号之前的符号“±”)。

当使用上式的结果来作为t，并根据式(90)来执行顺序处理时，针对通过式(83)和式(85)中的 $\left[\begin{array}{c}{{\mathrm{\&Omega;}}_p}^{\&prime;}\\ {{\mathrm{\&Omega;}}_q}^{\&prime;}\end{array}\right]=\frac{1}{\mathrm{\&alpha;}}\&CenterDot;\underset{k^{\&prime;}=0}{\overset{\frac{K}{2}}{\mathrm{\&Pi;}}}\left[\begin{array}{cc}{1-s}_{k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-(4k^{\&prime;}+1)}& (s_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})\&CenterDot;2^{-2k^{\&prime;}}\\ -(s_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})\&CenterDot;2^{-2k}& 1-s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-(4k^{\&prime;}+1)}\end{array}\right]\&CenterDot;\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&Omega;}}_p\\ {\mathrm{\&Omega;}}_q\end{array}\right]$ 来顺序计算的旋转矩阵的极性S_2k′、S_2k′+1，可以如其原样地使用作为其中问结果的极性S_2k′、S_2k′+1，而无需等待最终结果。

可以使用方法[I]、[II]中的任意一个。这些方法也可以按以下方式在酉矩阵M(-ω_pq)的计算中使用。

在式(52)中利用M(-ω_pq)来进行的Ω的变换中，存在一种从左边乘以酉矩阵的情况，以及从右边乘以酉矩阵的另一种情况，但是它们的区别仅在于在复共轭关系中是在行向量上起作用还是在列向量中起作用，因此这里描述了从左边乘以酉矩阵的情况。相同的情况也适用于当从右边进行乘算时的处理。具体而言，在以下等式中：

其中，Ω_pq＝Ω_qp ^*  ∴|Ω_pq|＝|Ω_qp|

                                    ...(94)

因为仅仅第p行经历了改变，所以仅提取第p行作为具有实部和虚部的二维复向量，如下所示：

$\left[\begin{array}{c}{X_p}^{\&prime;}\\ {Y_p}^{\&prime;}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccccc}{x_{p1}}^{\&prime;}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& {x_{\mathrm{pp}}}^{\&prime;}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& {x_{\mathrm{pq}}}^{\&prime;}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& {x_{\mathrm{pn}}}^{\&prime;}\\ {y_{p1}}^{\&prime;}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& {y_{\mathrm{pp}}}^{\&prime;}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& 0& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& {y_{\mathrm{pn}}}^{\&prime;}\end{array}\right]\&DoubleLeftArrow;\left[\begin{array}{cc}\cos {\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pq}}& \sin {\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pq}}\\ -\sin {\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pq}}& \cos {\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pq}}\end{array}\right]\&CenterDot;\left[\begin{array}{cccccccc}{x}_{p1}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& x_{\mathrm{pp}}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& x_{\mathrm{pq}}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& x_{\mathrm{pn}}\\ y_{p1}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& y_{\mathrm{pp}}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& y_{\mathrm{pq}}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& y_{\mathrm{pn}}\end{array}\right]$

其中， $e^{-j{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pq}}}=\cos {\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pq}}-j\sin {\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pq}},$  Ω_pi′＝x_pi′+j·y_pi′，  Ω_pi＝x_pi+j·y_pi

其中，关系如下：

${{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pi}}}^{\&prime;}={x_{\mathrm{pi}}}^{\&prime;}+j{y_{\mathrm{pi}}}^{\&prime;}=e^{-j{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pq}}}\&CenterDot;{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pi}}=(\cos \left({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pq}}\right)-j\sin \left({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pq}}\right))\&CenterDot;(x_{\mathrm{pi}}+j{y}_{\mathrm{pi}})$

$=(x_{\mathrm{pi}}\&CenterDot;\cos \left({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pq}}\right)+y_{\mathrm{pi}}\&CenterDot;\sin \left({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pq}}\right))+j(-x_{\mathrm{pi}}\&CenterDot;\sin \left({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pq}}\right)+y_{\mathrm{pi}}\&CenterDot;\cos \left({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pq}}\right))...\left(95\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{\&CenterDot;\&CenterDot;}\left\{\begin{array}{c}{x_{\mathrm{pi}}}^{\&prime;}=x_{\mathrm{pi}}\&CenterDot;\cos \left({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pq}}\right)+y_{\mathrm{pi}}\&CenterDot;\sin \left({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pq}}\right)\\ {y_{\mathrm{pi}}}^{\&prime;}=-x_{\mathrm{pi}}\&CenterDot;\sin \left({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pq}}\right)+y_{\mathrm{pi}}\&CenterDot;\cos \left({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pq}}\right)\end{array}\right.$

对这个复数进行运算的矩阵的所有元素是实数。通过运用与上述方法相同的方法，可得以下等式：

$\left[\begin{array}{c}{X_p}^{\&prime;}\\ {Y_p}^{\&prime;}\end{array}\right]=\frac{1}{\mathrm{\&alpha;}}\&CenterDot;\underset{k^{\&prime;}=0}{\overset{\frac{K}{2}}{\mathrm{\&Pi;}}}\left[\begin{array}{cc}1-s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-(4k^{\&prime;}+1)}& (s_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})\&CenterDot;2^{-2k^{\&prime;}}\\ -(s_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})\&CenterDot;2^{-2k^{\&prime;}}& 1-s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-(4k^{\&prime;}+1)}\end{array}\right]\&CenterDot;\left[\begin{array}{cccccccc}{x}_{p1}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& x_{\mathrm{pp}}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& x_{\mathrm{pq}}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& x_{\mathrm{pn}}\\ y_{p1}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& y_{\mathrm{pp}}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& y_{\mathrm{pq}}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& y_{\mathrm{pn}}\end{array}\right]$

$=\frac{1}{\mathrm{\&alpha;}}\&CenterDot;(\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;(\left[\begin{array}{cc}1-s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-5}& (s_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})\&CenterDot;2^{-2}\\ -(s_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})\&CenterDot;2^{-2}& 1-s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-5}\end{array}\right]\&CenterDot;(\left[\begin{array}{cc}1-s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1}& (s_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})\\ -(s_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})& 1-s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1}\end{array}\right]\&CenterDot;\&CenterDot;\left[\begin{array}{c}{X}_p\\ Y_p\end{array}\right])\left)\right)...\left(96\right)$

以类似于上述方式的方式可以实现2倍高的速度。此外，应当了解，当每4个地集合成组时，可以实现4倍高的速度。因为即使一段处理也会涉及基于多个极性(此时为S_2k′、S_2k′+1)来配置的、其元素是2的负幂的线性和的矩阵运算，所以可以仅通过电路上的线路的替换单元(开关)和加法器来实现硬件配置，从而使得可以以低复杂度来增加速度。

当以这种方式集合多个成组时，必须一起提供针对各个组的多个极性S_k。例如，在如上所述的示例中，必须一次性提供两个极性S_2k′、S_2k′+1。在利用酉矩阵M(-Ω_pq)来进行变换的情况下，由于抵消了目标的Ω_pq＝|Ω_pq|exp[jω_pq ]＝Ω_qp ^*的相位旋转，使得可以得到下式：

${\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{pq}}={\tan }^{-1}\left(\frac{y_{\mathrm{pq}}}{x_{\mathrm{pq}}}\right)...\left(97\right)$

此时，因为不像式(88)，这里没有系数1/2，所以可以一个组接一个组地直接求得ω_pq的反正切的量化极性，同时可以没有停滞地将其提供给式(96)的顺序旋转。具体而言，将

$t=\left(\frac{y_{\mathrm{pq}}}{x_{\mathrm{pq}}}\right)...\left(98\right)$

代入式(89)，并且利用以使得y变为“0”的方式来选择的极性S2k′、S2k′+1来连续执行根据式(90)的顺序处理。因为极性S2k′、S2k′+1取两个值“+1”和“-1”中的任意一个，所以存在四个不同组合，并且使用它们中y最接近“0”的组合来重复式(90)的更新。每次执行更新时得到的极性S2k′、S2k′+1是在基于式(96)来执行更新操作时提供的值。因此在 $\left[\begin{array}{c}{X_p}^{\&prime;}\\ {Y_p}^{\&prime;}\end{array}\right]=\frac{1}{\mathrm{\&alpha;}}\&CenterDot;\underset{k^{\&prime;}=0}{\overset{\frac{K}{2}}{\mathrm{\&Pi;}}}\left[\begin{array}{cc}1-s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-(4k^{\&prime;}+1)}& (s_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})\&CenterDot;2^{-2k^{\&prime;}}\\ -(s_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})\&CenterDot;2^{-2k^{\&prime;}}& 1-s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-(4k^{\&prime;}+1)}\end{array}\right]\&CenterDot;\left[\begin{array}{c}{X}_p\\ Y_p\end{array}\right]$ 的顺序处理中可以如其原样地使用作为其中间结果的极性S_2k′、S_2k′+1，而不用等到根据式(90)的顺序处理完成。因为这个处理涉及元素为2的负幂的线性和的矩阵运算，所以仅通过电路上的线路的替换单元(开关)和加法器就可以实现硬件配置，从而使得可以以低复杂度来增加速度。

图6A示出了基于上述关系来配置的雅克比旋转的处理。在图6A中，如图所示的左侧表示由程序装置(sequencer)执行的流程处理，而如图所示的右侧表示用硬件来配置成用于执行雅克比旋转运算的雅克比旋转运算单元的模块。该雅克比旋转运算单元包括：ω_pq极性检测单元601；酉矩阵运算单元602，用于执行酉矩阵M(-ω_pq)的运算；2θ极性检测单元603，用于检测2θ的极性；2θ复原单元604，用于复原2θ并计算θ；θ极性检测单元605，用于检测θ的极性；以及旋转矩阵运算单元606，用于执行旋转矩阵M(θ_p1q1)的运算。如稍后将参考图7来描述的，雅克比旋转运算单元设在特征值/特征向量计算单元103中。

接下来，将描述这个雅克比旋转运算单元的操作。

从如图所示执行雅克比旋转开始，具有最大绝对值的非对角元素被从Ω的非对角元素中选择作为目标Ω_pq(步骤610)。当所选择的元素是复数时，需要利用酉矩阵M(-ω_pq)来进行运算(步骤611)。用于这个目的的模块是ωpq极性检测单元601和酉矩阵运算单元602。ωpq极性检测单元601将式(98)应用于式(89)，从而计算极性S_2k′、S_2k′+1。图6B示出了由ωpq极性检测单元601执行的计算处理。酉矩阵运算单元602基于ωpq极性检测单元601计算所得的极性S_2k′、S_2k′+1来执行运算M(-ω_pq)·Ω，并计算变化对称的行向量，并通过从左边的矩阵运算来进一步计算变化对称的列向量。图6C示出了由酉矩阵运算单元602执行的计算处理。因为这些处理是相似的处理，所以仅描述了行向量。

虽然本示例性实施例被假定是在不使用乘法器的情况下执行元素为2的负幂的线性和的矩阵处理，并且被配置为仅使用电路上的线路的替换单元(开关)和加法器来执行矩阵运算，但是可直接使用矩阵乘法器来执行复共轭运算。

在步骤611中通过实数转换处理，以这种方式将包括目标元素的矩阵变换成M(-ω_p1q1)·Ω·M(-ω_p1q1)^H之后，接着进行步骤612中的运算M(θ_p1q1)·M(-ω_p1q1)·Ω·M(-ω_p1q1)^H·M(θ_p1q1)^H。执行这个运算的模块是2θ极性检测单元603、2θ复原单元604、θ极性检测单元605和旋转矩阵运算单元606。2θ极性检测单元603具有检测使得目标元素Ω _pq变为“0”的旋转角的功能。图6D示出了由2θ极性检测单元603执行的计算处理。本示例性实施例采用了这样的方法，即基于上述方法[I]根据式(88)来求得2θ(2θ复原单元604)，并将其移位1比特以转换成θ，并根据式(87)来求得极性。具体而言，利用 $t=\left(\frac{2\left|{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pq}}\right|}{{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{pp}}-{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{qq}}}\right),$ 执行式(89)的顺序处理： $\left\{\begin{array}{c}{x}_{k^{\&prime;}+1}=\frac{1}{\mathrm{\&alpha;}}((1-s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-(4k^{\&prime;}+1)})\&CenterDot;x_{k^{\&prime;}}+(s_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})\&CenterDot;2^{-2k^{\&prime;}}\&CenterDot;y_{k^{\&prime;}})\\ y_{k^{\&prime;}+1}=\frac{1}{\mathrm{\&alpha;}}(-(s_{2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-1})\&CenterDot;2^{-2k}\&CenterDot;x_{k^{\&prime;}}+(1-s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;2^{-(4k^{\&prime;}+1)})\&CenterDot;y_{k^{\&prime;}})\end{array}\right..$ 基于极性S_2k′、S_2k′+1的选择，上式中的y被处理以接近于“0”。因为极性S_2k′、S_2k′+1取两个值“+1”和“-1”中的任意一个，所以存在四个不同组合，使用它们中最接近于“0”的组合来重复更新。2θ复原单元604基于作为输出的极性S_2k′、S_2k′+1、根据式(91)来复原2θ，并且2θ被移位1比特，从而通过线路替换(线路开关)来输出θ。图6E示出了由2θ复原单元604执行的计算处理。θ极性检测单元605根据式(87)、通过利用每四个值的顺序比较来进行的更新、利用反正切来对该θ进行量化，从而生成极性S_2k′、S_2k′+1。图6F示出了由θ极性检测单元605执行的计算处理。旋转矩阵运算单元606基于施加给其的极性S_2k′、S_2k′+1、通过根据式(83)的顺序处理来在没有等到最终结果的情况下执行顺序处理，采用第p行和第q行或其复共轭来计算第p列和第q列，并且还根据式(85)来计算剩余的四个对角元素。图6G示出了由旋转矩阵运算单元606执行的计算处理。

这样就完成了在步骤612处的M(θ_p1q1)·M(-ω_p1q1)·Ω·M(-ω_p1q1)^H·M(θ_p1q1)^H的运算。这个结果被代到埃尔米特矩阵Ω中，并继续类似处理，或者与步骤613中提前确定的用于雅克比旋转的完成条件进行比较，并且如果有必要就重复类似处理。这样，就执行了雅克比旋转。

图7示出了特征值/特征向量计算单元103的内部配置，并示出了与雅克比旋转同时计算的特征向量的操作处理。特征值/特征向量计算单元103包括特征向量计算单元701、特征值计算单元702以及之前已经结合图6A来描述过的雅克比旋转运算单元703。

在图7中，将特征值计算单元702连接到雅克比旋转运算单元703的箭头表示上述的雅克比旋转的行为。Ω被特征值计算单元702所更新，M_i-1·Ω·M_i-1被重新代入到Ω，并且这个Ω被发送到雅克比旋转单元703。雅克比旋转单元703针对发送到其的Ω来执行M_i-1·Ω·M_i-1的处理，并将其再次发送回特征值计算单元702。通过这个序列的顺序处理，值M₂·M₁·Ω·M₁ ^H·M₂ ^H...被在特征值计算单元702中积累，并且从根据式(69)的关系

中，特征值计算单元702可以得到特征值λ₁、...、λ_n。与这个处理并行地，从雅克比旋转运算单元703向特征向量计算单元701施加旋转矩阵 ${M_i}^H=M{(-{\mathrm{\&omega;}}_{p_i{q}_i})}^H\&CenterDot;M{\left({\mathrm{\&theta;}}_{p_i{q}_i}\right)}^H,$ 并且以酉矩阵I作为初始值来积累M₁ ^H·M₂ ^H...的值。结果，根据式(74)、(75)的关系，

M₁ ^H·M₂ ^H·...[m₁...m_n]或[e₁...e_n]，特征向量计算单元701可以得到特征向量e₁、...，、e_n。

图8示出了作为图6F所示的θ极性检测单元605的示例性实施例的一个示例的反正切量化电路。该反正切量化电路包括：只读存储器801；地址生成电路802，用于生成存储器801的地址；四个带符号加法器803，其设在存储器801的输出侧；寄存器804，用于暂时存储数据；比较器805，设置用于各个带符号加法器803；极性选择器806；减法器807；加法器808；以及选择器809，用于选择四个带符号加法器803的输出中的一个。该反正切量化电路是这样的电路，即，该电路基于式(87)、通过每四个值的顺序比较、利用反正切来对输入角θ进行量化，从而生成极性S_2k′、S_2k′+1。

这里，因为假设了每两个地成组，所以存储器801针对彼此不同的2的负幂来存储反正切tan^-12^-2k′、S_2k′+1·tan^-1 2^-2k′-1(K′＝1到K/2)。地址生成电路802生成从1到K/2的地址，其中因为地址生成电路802的输出被连接到存储器801的地址输入，所以所生成的地址与K′相当。这样生成的tan^-12^-2k′、S_2k′+1·tan^-1 2^-2k′-1被带符号加法器803按以下四种组合来相加，并作为带符号和分别被提供给比较器805。这四个值是：(s_2k′·tan^-1 2^-2k′+s_2k′+1·tan^-1 2^-2k′+1)其中， $s_{2k^{\&prime;}},s_{2k^{\&prime;}+1}=\left\{\begin{array}{cc}+1,& +1\\ +1,& -1\\ -1,& +1\\ -1,& -1\end{array}\right....\left(99\right)$

虽然此时θ被提供给各个比较器805的另一个输入，但是在此情况下，通过减去上一次选择的带符号和而得到的并且存储在寄存器804中的值，即 $\mathrm{\&theta;}-\underset{k^{\&prime;}=0}{\overset{k^{\&prime;}-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}(s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;{\tan }^{-1}{2}^{-2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;{\tan }^{-1}{2}^{-2{\mathrm{ak}}^{\&prime;}+1})$ 被提供。因此，四个比较器805的输出在四个输出中的任意一个或多个中改变值。极性选择器806在所述值改变的界线(boundary)上执行选择当前极性S_2k′、S_2k′+1的处理，并且这是反正切量化电路的输出。此时的输出还被提供给选择器809，其结果是，基于式(99)来选择与这些S_2k′、S_2k′+1相对应的值。然后，对于顺序处理的下一个处理，通过由加法器808和寄存器804组成的累加器而将用于下一次的带符号和的累加结果存储在寄存器804中。

图9示出了作为图6E所示的2θ复原单元604的示例性实施例的一个示例的角度复原电路。该角度复原电路是这样的电路，即，该电路例如在图6E的情况下针对提供给其的极性S_2k′、S_2k′+1、根据式(91)来对2θ进行复原。该角度复原电路包括：只读存储器901；地址生成电路902，用于生成用于存储器901的地址；极化电路903，其设在存储器901的输出侧上；加法器904，用于将极化电路903的两个输出相加；寄存器906，用于暂时存储数据；以及加法器905，用于将加法器904的输出和寄存器906的输出相加。

与图8的情况相同，存储器901存储彼此不同的两个2的负幂的反正切tan^-12^-2k′、S_2k′+1·tan^-12^-2k′-1(K′＝1到K/2)。地址生成电路902生成与提供给其的极性S_2k′、S_2k′+1相适应的地址，藉此，通过极化电路903和加法器904而形成带符号和的存储器901的输出被表示为：(S_2k·tan^-12^-2k′+S_2k′+1·tan^-12^-2k′-1)。这里，S_2k′、S_2k′+1是提供给极化电路903的极性。因为之前的带符号和的累加结果存在于由加法器905和寄存器906组成的累加器中，K所以作为在达K/2次的处理完成时的输出的角度被表示为：

$\underset{k^{\&prime;}=0}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}(s_{2k^{\&prime;}}\&CenterDot;{\tan }^{-1}{2}^{-2k^{\&prime;}}+s_{2k^{\&prime;}+1}\&CenterDot;{\tan }^{-1}{2}^{-2{\mathrm{ak}}^{\&prime;}+1}).$

换而言之，由这些电路进行的处理可以被视为：在由2的负幂的反正切构成的范围中、通过使用作为角度极性转换电路的反正切量化电路来对角度进行转换，从而简化诸如雅克比旋转等的三角函数运算。角度极性转换的逆转换是可以由角度复原电路来实现的极性角度转换。

如上所述的包括图6A和图7所示的用于描述雅克比旋转的那些步骤的处理，是元素为2的负幂的线性和的矩阵运算，并且可以仅通过电路上的线路替换单元(开关)和加法器来实现，从而使得其可以用低复杂度来提高速度。此外，虽然在角度极性转换或其逆转换中使用了2的负幂的反正切，但是这也可以通过使用存储器或查找表来实现，并且地址仅需要与比特宽度相对应的深度，且可以用很少的存储量来实现。

Claims (13)

1.一种MIMO解码器，包括：

广义逆矩阵计算装置，用于计算根据指示无线电波传播环境的信道矩阵或基于虚拟传播路径的虚拟信道矩阵来得到的Moore-Penrose广义逆矩阵；以及

搜索装置，用于搜索以由所述广义逆矩阵计算装置计算得到的广义逆矩阵的解为中心的发送信号向量，

其中，所述发送信号向量的搜索区域响应于所述信道矩阵或所述虚拟信道矩阵的变化而可以变化，并且

所述搜索装置针对根据所述信道矩阵或所述虚拟信道矩阵而计算得到的各个特征向量，与所述特征向量所对应的特征值的平方根成反比地执行加权，并基于所述加权结果来确定所述发送信号向量的搜索区域。

2.一种MIMO解码器，包括：

最小均方误差准则计算装置，用于根据指示无线电波传播环境的信道矩阵或基于虚拟传播路径的虚拟信道矩阵来执行基于最小均方误差准则的处理；以及

搜索装置，用于搜索以由所述最小均方误差准则计算装置计算得到的检测结果为中心的发送信号向量，

其中，所述发送信号向量的搜索区域响应于所述信道矩阵或所述虚拟信道矩阵的变化而可以变化，并且

所述搜索装置针对根据所述信道矩阵或所述虚拟信道矩阵而计算得到的各个特征向量，与所述特征向量所对应的特征值的平方根成反比地执行加权，并基于所述加权结果来确定所述发送信号向量的搜索区域。

3.如权利要求1或2所述的MIMO解码器，包括特征值/特征向量计算装置，该特征值/特征向量计算装置用于基于所述信道矩阵或所述虚拟信道矩阵来计算特征值以及与所述特征值相对应的特征向量。

4.如权利要求3所述的MIMO解码器，其中，所述搜索装置针对与所述计算得到的特征值中的最小特征值相对应的特征向量，与所述最小特征值的平方根成反比地执行加权，并且对于与除了所述最小特征值之外的特征值相对应的各个特征向量，针对与各个所述特征向量相对应的标量，与各个所述特征向量所对应的各个特征值的平方根成反比地执行加权。

5.如权利要求4所述的MIMO解码器，其中，所述搜索装置选择与所述最小特征值相对应的特征向量，并针对所选择的特征向量中的各个元素、以与除了所述最小特征值之外的各个特征值的平方根成反比的形式来给出所述搜索区域的宽度，同时维持在所选择的特征向量中的各个元素关系。

6.如权利要求3所述的MIMO解码器，其中

所述特征值/特征向量计算装置包括因式分解装置，该因式分解装置用于使用雅克比旋转来计算所述特征值和特征向量，并针对各个组将所述雅克比旋转中的旋转角度顺序地因式分解成多个2的负幂的反正切的带符号和，并且

旋转矩阵被用于所述雅克比旋转，所述旋转矩阵基于由所述因式分解装置形成的所述组中的每一个组的多个极性被配置，并且以2的负幂的线性和为元素。

7.如权利要求6所述的MIMO解码器，其中：

所述因式分解装置包括：

存储器，该存储器将彼此不同的多个2的负幂的反正切作为各个组的值来持有；

用于生成指示所述存储器的组的地址的装置；以及

用于对从所述存储器读取的多个反正切数据的带符号和与直到上一次为止的所述带符号和的累加结果与雅克比旋转角度进行比较的装置，

其中所述比较的结果被指定作为当前组内的反正切的极性。

8.如权利要求1到7中的任意一个所述的MIMO解码器，其中，所述虚拟信道矩阵包括基于收发信机的不完全性的贡献。

9.一种MIMO解码方法，包括：

接收发送信号以获得发送信号向量的步骤；

计算根据指示无线电波传播环境的信道矩阵或指示虚拟传播路径的虚拟信道矩阵而获得的Moore-Penrose广义逆矩阵的步骤；

基于所述信道矩阵或所述虚拟信道矩阵来计算特征值和特征向量的步骤；以及

搜索以Moore-Penrose广义逆矩阵的解为中心的所述发送信号向量的步骤，

其中，所述发送信号向量的搜索区域响应于所述信道矩阵或所述虚拟信道矩阵的变化而可以变化，并且

在所述搜索步骤中，针对根据所述信道矩阵或所述虚拟信道矩阵来计算得到的各个特征向量，与所述特征向量所对应的特征值的平方根成反比地执行加权，并且基于所述加权的结果来确定所述发送信号向量的搜索区域。

10.一种MIMO解码方法，包括：

接收发送信号以获得发送信号向量的步骤；

根据指示无线电波传播环境的信道矩阵或指示虚拟传播路径的虚拟信道矩阵来执行基于最小均方误差准则的处理；

基于所述信道矩阵或所述虚拟信道矩阵来计算特征值和特征向量的步骤；以及

搜索以通过所述基于所述最小均方误差准则的处理而得到的检测结果为中心的所述发送信号向量的搜索步骤，

其中，所述发送信号向量的搜索区域响应于所述信道矩阵或所述虚拟信道矩阵的变化而可以变化，并且

在所述搜索步骤中，针对根据所述信道矩阵或所述虚拟信道矩阵来计算得到的各个特征向量，与所述特征向量所对应的特征值的平方根成反比地执行加权，并且基于所述加权的结果来确定所述发送信号向量的搜索区域。

11.如权利要求9或10所述的MIMO解码方法，其中

在所述搜索步骤中，针对与所述计算得到的特征值中的最小特征值相对应的特征向量，与所述最小特征值的平方根成反比地执行加权，而对于与除了所述最小特征值之外的特征值相对应的各个特征向量，针对与各个所述特征向量相对应的标量，与各个所述特征向量所对应的各个特征值的平方根成反比地执行加权。

12.如权利要求11所述的MIMO解码方法，其中，在所述搜索步骤中，选择与所述最小特征值相对应的特征向量，并针对所选择的特征向量中的各个元素、以与除了所述最小特征值之外的各个特征值的平方根成反比的形式来给出所述搜索区域的宽度，同时维持在所选择的特征向量中的各个元素关系。

13.如权利要求9到12中的任意一个所述的MIMO解码方法，其中，所述虚拟信道矩阵包括基于发射机的不完全性的贡献。

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