CN101156403A - 频道矩阵奇异值分解方法及装置 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种用于分解一无线通信系统中之一频道矩阵的方法及装置。就发射天线与接收天线间的频道产生一频道矩阵H。创造一Hermitian矩阵A＝H^HH或A＝HH^H。在矩阵A上循环地执行一Jacobi程序，以获得Q和D_A矩阵，使得A＝QD_AQ^H。D_A是由该A矩阵上的奇异值分解(SVD)所获得之一对角矩阵。在每一Jacobi转换中，执行实部对角化以消去该矩阵的非对角元素的实部，且在该实部对角化的后，执行虚部对角化以消去该矩阵的非对角元素的虚部。然后从该Q和D_A矩阵算出H矩阵的U、V和D_H矩阵。D_H是一包含该H矩阵的奇异值的对角矩阵。

Description

频道矩阵奇异值分解方法及装置

技术领域

本发明关于一种无线通信系统。更特定言之，本发明关于一种频道矩阵奇异值分解(SVD)的方法及装置。

背景技术

正交分频多任务(OFDM)是一种数据传输架构，其中数据被分割成多个较小串流且每一串流系利用一具备小于总可用传输频宽之一频宽的子载波传输。OFDM的效率取决于选择相互正交的这些子载波。这些子载波在每一者载送全部使用者数据之一部分的同时不会相互干扰。

OFDM系统具有优于其它无线通信系统的好处。当使用者数据被分割成由不同子载波载送的串流时，每一子载波上的有效数据传输率会小得多。因此，符号持续时间会长得多。一大符号持续时间可容忍较大延迟程度。因此，其不会被多路径严重影响。故OFDM符号可容忍没有复杂接收器设计的延迟程度。然传统无线系统需要复杂的频道等化架构以对抗多路径衰落。

OFDM的另一优点是发射器和接收器处的正交子载波的产生可为利用反快速傅立叶转换(IFFT)及快速傅立叶转换(FFT)引擎完成。由于IFFT和FFT施行方式已为人知，OFDM可被轻易地实施且不需要复杂的接收器。

多输入多输出(MIMO)系指一种无线传输及接收架构，其中一发射器和一接收器均使用一以上的天线。一MIMO系统从空间分集或空间多任务处理获益且改善信噪比(SNR)并加大吞吐量。

一般而言，MIMO系统有两种运作模式：一开环模式和一死循环模式。该死循环模式系在可向发射器提供频道状态信息(CSI)之时使用，且该开环模式系在发射器处没有CSI可用时使用。在死循环模式中，CSI被用来通过在发射器处预编码且在接收器处更进一步天线处理以分解并对角化频道矩阵的方式创造出几乎不相依的频道。该CSI可通过来自接收器的反馈或是经由利用频道互易性在发射器处获得。

一用于开环MIMO的最小均方误差(MMSE)接收器必须计算用于数据译码的权重向量且此等权重向量的收敛率很重要。相关系数矩阵之一直接向量逆转换(DMI)技术会比一最小均方(LMS)或最大SNR程序更快收敛。但是，DMI程序的复杂度随矩阵大小加大而呈指数性成长。一用于死循环MIMO的特征波束成形接收器必须在频道矩阵上执行SVD。SVD程序的复杂度亦随频道矩阵大小加大而呈指数性成长。

发明内容

本发明关于一种用于分解一无线通信系统中之一频道矩阵的方法及装置。该无线通信系统包括一具有多个发射天线的发射器及一具有多个接收天线的接收器。就发射天线与接收天线间的频道产生一频道矩阵H。创造一Hermitian矩阵A＝H^HH或A＝HH^H。在矩阵A上循环地执行一Jacobi程序以获得Q和D_A矩阵致使A＝QD_AQ^H，其中D_A是一通过该矩阵A上的SVD获得的对角矩阵。在每一Jacobi转换中，执行实部对角化以消去该矩阵的非对角元素的实部，且在该实部对角化的后执行虚部对角化以消去该矩阵的非对角元素的虚部。然后从该Q和D_A矩阵算出H矩阵的U、V和D_H矩阵，其中D_H是一包含该矩阵H的奇异值的对角矩阵。

附图说明

图1是一依据本发明利用SVD执行特征波束成形的包含一发射器和一接收器的OFDM-MIMO系统的方块图。

图2是一依据本发明在频道矩阵H上执行一SVD的程序的流程图。

具体实施方式

本发明的特征可被并入一集成电路(IC)内或被建构在一包含多重互连组件的电路内。

本发明提出频道评估构件、一MMSE接收器中的频道相关系数矩阵的直接逆转换以及用于一特征波束成形接收器的SVD。

图1是一依据本发明利用SVD实施特征波束成形的包含一发射器100和一接收器200的OFDM-MIMO系统10的方块图。应理解到图1所示系统10仅为一实例而非限制，且本发明可应用于需要一利用SVD的矩阵分解的任何无线通信系统。发射器100包括一频道编码器102、一解多任务器104、多个串并(S/P)转换器106、一发射波束成形器108、多个IFFT单元110、循环前缀(CP)插入单元112及多个发射天线114。频道编码器102编码输入数据101且通过解多任务器104将已编码数据串流103剖析成N_T个数据串流105。N_T是发射天线114的数量。在每一数据串流105上执行OFDM处理。通过S/P转换器106将每一数据串流105转换成多个数据串流107。然后通过发射波束成形器108处理数据串流107。发射波束成形器108用一从一频道矩阵分解且由接收器200如箭头220所示发送的V矩阵(详见下文)执行一发射预编码操作。IFFT单元110将数据转换成时域数据串流111且通过每一CP插入单元112将一CP插入每一数据串流111内并且经由相应的发射天线114发出。

接收器200包括多个接收天线202、CP去除单元204、FFT单元206、一接收波束成形器208、一多任务器210、一频道译码器212、一频道评估器214及一矩阵分解及频道相关系数矩阵单元216。通过CP去除单元204从已接收信号203去除CP且通过FFT单元206处理此信号使其被转换成频域数据串流207。接收波束成形器208用由矩阵分解及频道相关系数矩阵单元216产生的从频道矩阵分解的U和D矩阵217处理频域数据串流207。然后通过多任务器210多任务处理接收波束成形器208的每一输出209并通过频道译码器212予以译码，如此产生一已译码数据串流218。频道评估器214较佳从发射器100经由每一发射天线114发出的训练序列产生一频道矩阵215。矩阵分解及频道相关系数矩阵单元216将该频道矩阵分解成U、V和D矩阵且将V矩阵220送交发射器100并将U和D矩阵217送交接收器波束成形器208，详见下文。

本发明利用Hermitian矩阵及虚部对角化的特性使DMI和SVD程序二者的复杂度降低。本发明大幅超越习知技艺降低复杂度，且为非对称矩阵提供远大于习知技艺所能提供的复杂度方面的好处。

以下定义会被用在本发明整体中。

Nt是发射天线的数量。

Nr是接收天线的数量。

s(i)是一子载波的第i个(Ntx1)训练向量。

v(i)是第i个(Nrx1)接收噪声信号向量，其中v(i)～Nc(0，1)。

y(i)是一子载波的第i个(Nrx1)已接收训练向量。

H是(NrxNt)MIMO频道矩阵，其中h_ij代表第j个发射天线与第i个接收天线间的频道复增益。

对应于训练符号的已接收信号如下：

$y\left(i\right)=\sqrt{\frac{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{Nt}}}\mathrm{Hs}\left(i\right)+v\left(i\right)$ i＝1，2，…，T；方程式(1)

条件为T≥Nt MIMO训练符号。ρ是一总SNR，其独立于发射天线数量。

通过针对一子载波表示Y＝[y(1)，y(2)，…y(T)]、S＝[s(1)，s(2)，…，s(T)]且V＝[v(1)，v(2)，…v(T)]，方程式(1)可被改写如下：

$Y=\sqrt{\frac{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{Nt}}}\mathrm{HS}+V$ 方程式(2)

对于一子载波的频道矩阵H的最大概度估计由下式给出：

$H_{\mathrm{ML}}=\underset{H}{\arg \min \min }{\left|\right|Y-\sqrt{\frac{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{Nt}}}\mathrm{HS}\left|\right|}^2=\sqrt{\frac{\mathrm{Nt}}{\mathrm{\ρ}}}{\mathrm{YS}}^H{\left({\mathrm{SS}}^H\right)}^{-1}$ 方程式(3)

其中上标H代表Hermitian转置且S是一训练符号序列。假设已发射训练符号是单幂，E{|S_i|²}＝1。

作为最大概度频道评估之一替代方案，线性最小均方误差(MMSE)频道评估由下式给出：

$H_{\mathrm{MMSE}}=\sqrt{\frac{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{Nt}}}{\mathrm{YS}}^H{(\frac{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{Nt}}{\mathrm{SS}}^H+1)}^{-1}$ 方程式(4)

由于S为已知，SS^H可被离线计算。若训练符号序列S满足SS^H＝T.I_Nt，其中I_Nt是Nt×Nt单位矩阵，则该训练符号序列S是最佳的。举例来说，依据IEEE 802，11规格中用于4天线的HT-LTF型样，用于子载波编号(-26)的训练符号序列

$S_{-26}=\left|\right|\begin{array}{cccccccc}1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1& 0& 0& 0& 0\end{array}|$ 为最佳，因为 $S_{-26}{S}_{-26}^H=2\left|\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right|.$

一MIMO系统的输入-输出关系可被表示如下：

$y=\sqrt{\frac{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{Nt}}}\mathrm{Hs}+v$ 方程式(5)

其中s＝[s₁，s₂，…s_Nt]^T是Nt×1发射信号向量且s₁隶属于一有限星座，v＝[v₁，v₂，…v_Nt]^T是Nr×1接收白高斯噪声信号向量。H是Nt×Nr MIMO频道矩阵且h_ij代表第j个发射天线与第i个接收天线间的频道复增益。然后以MMSE为基础的数据译码程序由下式给出：

$s={(\frac{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{Nt}}{H}^{H}H+I)}^{-1}{H}^{H}y=R^{-1}{H}^{H}y=w^{H}y$ 方程式(6)

以下解释一2×2矩阵的矩阵逆转换程序。

2×2Hermitian矩阵R的逆转换的直接计算。

方程式(6)中的一Hermitian矩阵R及其逆矩阵T被定义为 $R=\left|\begin{array}{cc}{R}_{11}& R_{12}\\ R_{21}& R_{22}\end{array}\right|$ 及 $T=R^{-1}=\left|\begin{array}{cc}{T}_{11}& T_{12}\\ T_{21}& T_{22}\end{array}\right|.$ Hermitian矩阵R的对角元素(R₁₁和R₂₂)是实数且其非对角元素(R₁₂和R₂₁)是共轭对称的。逆矩阵T也是Hermitian。由于RT＝I其中I是2×2单位矩阵，逆矩阵T系通过展开左侧且用I求等相应所述获得，如下所示：

$T_{11}=\frac{R_{22}}{R_{11}{R}_{22}-R_{12}{R}_{12}^H},$ $T_{12}=-\frac{R_{12}{T}_{11}}{R_{22}},$ $T_{21}=T_{12}^H,$ $T_{22}=\frac{1-R_{21}{T}_{12}}{R_{22}}$ 方程式(7)

利用特征值分解计算2×2Hermitian矩阵R的逆矩阵。

方程式(6)中之一Hermitian矩阵R被定义如下：R＝QDQ^H，其中Q是么正的且D是对角的。

$R=\left|\begin{array}{cc}{R}_{11}& R_{12}\\ R_{21}& R_{22}\end{array}\right|,$ $Q=\left|\begin{array}{cc}{Q}_{11}& Q_{12}\\ Q_{21}& Q_{22}\end{array}\right|,$ $D=\left|\begin{array}{cc}{D}_{11}& 0\\ 0& D_{22}\end{array}\right|,$

其中D₁₁和D₂₂是R的特征值。

特征值D₁₁和D₂₂是依下式计算：

$D_{11}=\frac{(R_{11}+R_{12})+\sqrt{{(R_{11}+R_{22})}^2-4(R_{11}+R_{22}-R_{12}{R}_{12}^{*})}}{2}$ 方程式(8)

$D_{22}=\frac{(R_{11}+R_{22})-\sqrt{{(R_{11}+R_{22})}^2-4(R_{11}+R_{22}-R_{12}{R}_{12}^{*})}}{2}$ 方程式(9)

从RQ＝QD，展开左侧及右侧且求等相应所述，得到以下方程序：

R₁₁Q₁₁+R₁₂Q₂₁＝Q₁₁D₁₁     方程式(10)

R₁₁Q₁₂+R₁₂Q₂₂＝Q₁₂D₂₂     方程式(11)

$R_{12}^H{Q}_{11}+R_{22}{Q}_{21}=Q_{21}{D}_{11}$ 方程式(12)

$R_{12}^H{Q}_{12}+R_{22}{Q}_{22}=Q_{22}{D}_{22}$ 方程式(13)

从Q^HQ＝I其中I是2×2单位矩阵，展开左侧和右侧且求等相应所述，得到以下方程序：

$Q_{11}^H{Q}_{11}+Q_{21}^H{Q}_{21}=1$ 方程式(14)

$Q_{11}^H{Q}_{12}+Q_{21}^H{Q}_{22}=0$ 方程式(15)

$Q_{11}^H{Q}_{11}+Q_{22}^H{Q}_{21}=0$ 方程式(16)

$Q_{12}^H{Q}_{12}+Q_{22}^H{Q}_{22}=1$ 方程式(17)

从方程式(10)，

$Q_{21}=\sqrt{\frac{(D_{11}-R_{11})Q_{11}}{R_{12}}}$ 方程式(18)

将方程式(18)代入方程式(14)，

$Q_{11}=\sqrt{\frac{R_{12}^H{R}_{12}}{R_{12}^H{R}_{12}+{(D_{11}-R_{11})}^2}}$ 方程式(19)

将方程式(19)代入方程式(18)，得到Q₂₁。从方程式(13)，

$Q_{22}=\frac{R_{12}^H{Q}_{12}}{D_{22}-R_{22}}$ 方程式(20)

将方程式(20)代入方程式(17)，

$Q_{12}=\sqrt{\frac{{(D_{22}-R_{22})}^2}{R_{12}^H{R}_{12}+{(D_{22}-R_{22})}^2}}$ 方程式(21)

将方程式(21)代入方程式(20)，得到Q₂₂。然后通过下式获得逆矩阵：

R^-1＝QD^-1Q^H    方程式(22)

以下说明利用SVD的特征波束成形接收器，其示于图1。对于该特征波束成形接收器，通过SVD将用于一子载波的频道矩阵H分解成二个波束成形么正矩阵(用于发射的U及用于接收的V)及一对角矩阵D。

H＝UDV^H        方程式(23)

其中U和V是么正矩阵且D是一对角矩阵。U∈C^nRxnR且V∈C^nTxnT。对于发射符号向量s，执行如下所示发射预编码：

x＝Vs          方程式(24)

已接收信号变成如下：

y＝HVs+n       方程式(25)

其中n是导入该频道中的噪声信号。接收器通过利用一匹配滤波器如下所示完成分解：

V^HH^H＝V^HVD^HU^H＝D^HU^H    方程式(26)

在常态化特征波束的频道增益后，发射符号的估计变成如下：

$\hat{s}=\mathrm{\α}{D}^H{U}^{H}y=\mathrm{\α}{D}^H{U}^H(\mathrm{HVs}+n)=\mathrm{\α}{D}^H{U}^H({\mathrm{UDV}}^H\mathrm{Vs}+n)=s+\mathrm{\α}{D}^H{U}^{H}n$

$=s+\mathrm{\η}$ 方程式(27)

s被检测而不需要执行MMSE型检测器的连续干扰抵消。D^HD是一由H跨对角线的特征值构成的对角矩阵。U是HH^H的特征值之一矩阵，V是H^HH的特征值之一矩阵且D是H的奇异值(HH^H的特征值的平方根)之一对角矩阵。

一用于N×M频道矩阵在N＞2且M＞2条件下的SVD程序。

以下SVD计算(方程式(28)至(52))系以循环Jacobi程序利用Givens旋转为基础。以下说明双边Jacobi程序。

步骤1：将复数据转换成实数据。

给出如下的A2×2复矩阵：

$A=\left|\begin{array}{cc}{a}_{\mathrm{ii}}& a_{\mathrm{ij}}\\ a_{\mathrm{ji}}& a_{\mathrm{jj}}\end{array}\right|$ 方程式(28)

步骤1-1：如下将a_ii转换成一正实数b₁₁：

若(a₁₁等于1)则

$B=\left|\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right|=A$ 方程式(29)

否则

$B=\left|\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right|=\mathrm{kA}=k\left|\begin{array}{cc}{a}_{\mathrm{ii}}& a_{\mathrm{ij}}\\ a_{\mathrm{ji}}& a_{\mathrm{jj}}\end{array}\right|$ 方程式(30)

其中 $k=\frac{a_{11}^{*}}{\left|a_{11}\right|}$ 且 $\left|a_{11}\right|=\sqrt{\mathrm{real}{\left(a_{11}\right)}^2+\mathrm{imag}{\left(a_{11}\right)}^2}.$

步骤1-2：三角化。然后通过乘上一如下所示转换矩阵CSTriangle使矩阵B转换成三角矩阵W：

若(a_ij或a_ji等于零且a_jj等于零)则

$\mathrm{CSTriangle}=\left|\begin{array}{cc}c& s^{*}\\ -s& c\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|$ 其中c²+s²＝1  方程式(31)

W＝(CSTriangle)(B)＝B    方程式(32)

否则

$W=\left(\mathrm{CSTriangle}\right)\left(B\right)=\left|\begin{array}{cc}c& s^{*}\\ -s& c\end{array}\left|\right|\left|\begin{array}{cc}{b}_{\mathrm{ii}}& b_{\mathrm{ij}}\\ b_{\mathrm{ji}}& b_{\mathrm{jj}}\end{array}\right.\right|=\left|\begin{array}{cc}{w}_{\mathrm{ii}}& w_{\mathrm{ij}}\\ 0& w_{\mathrm{jj}}\end{array}\right|$ 方程式(33)

其中余弦参数c是实数，s是复数且c²+|s|²＝1

则 $c=\frac{\left|b_{\mathrm{ii}}\right|}{\sqrt{{\left|b_{\mathrm{ii}}\right|}^2+{\left|b_{\mathrm{ji}}\right|}^2}}$ 且 $s=\frac{b_{\mathrm{ji}}}{b_{\mathrm{ii}}}c$ 方程式(34)

步骤1-3：相位抵消。为了使三角矩阵W的元素转换成实数，如下所示以转换矩阵prePhC和postPhC乘以矩阵W：

若(a_ij和a_jj等于零且a_ji不等于零)则

$\mathrm{realW}=\left(\mathrm{prePhC}\right)\left(W\right)\left(\mathrm{postPhC}\right)=\left|\begin{array}{cc}{e}^{-\mathrm{j\γ}}& 0\\ 0& e^{-\mathrm{j\β}}\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}{w}_{\mathrm{ii}}& 0\\ w_{\mathrm{ji}}& 0\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{\mathrm{j\β}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{w}_{\mathrm{ii}}& 0\\ \left|w_{\mathrm{ji}}\right|& 0\end{array}\right|$

方程式(35)

其中β＝arg(w_ji)且γ＝arg(w_ii)，亦即 $e^{-\mathrm{j\β}}=\frac{w_{\mathrm{ji}}^{*}}{\left|w_{\mathrm{ji}}\right|}$ 且 $e^{-\mathrm{j\γ}}=\frac{w_{\mathrm{ii}}^{*}}{\left|w_{\mathrm{ii}}\right|}$

方程式(36)

否则若(a_ij不等于零)则

$\mathrm{realW}=\left(\mathrm{prePhC}\right)\left(W\right)\left(\mathrm{postPhC}\right)=\left|\begin{array}{cc}{e}^{-\mathrm{j\β}}& 0\\ 0& e^{-\mathrm{j\γ}}\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}{w}_{\mathrm{ii}}& w_{\mathrm{ij}}\\ 0& w_{\mathrm{jj}}\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}{e}^{\mathrm{j\β}}& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\begin{array}{cc}{w}_{\mathrm{ii}}& \left|w_{\mathrm{ij}}\right|\\ 0& \left|w_{\mathrm{jj}}\right|\end{array}\end{array}\right|$

方程式(37)

其中β＝arg(w_ij)且γ＝arg(w_jj)，亦即 $e^{-\mathrm{j\β}}=\frac{w_{\mathrm{ij}}^{*}}{\left|w_{\mathrm{ij}}\right|},$ 且

若(a_jj等于零)

e^-jγ＝1    方程式(38)

否则

$e^{-\mathrm{j\γ}}=\frac{w_{\mathrm{jj}}^{*}}{\left|w_{\mathrm{jj}}\right|}$ 方程式(39)

否则

$\mathrm{realW}=\left(\mathrm{prePhC}\right)\left(W\right)\left(\mathrm{postPhC}\right)=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}{w}_{\mathrm{ii}}& w_{\mathrm{ij}}\\ 0& w_{\mathrm{jj}}\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=W$ 方程式(40)

步骤2：对称化-若矩阵realW不是对称矩阵则施用一对称化旋转。若矩阵realW是对称的则略过此步骤。

若(a_ji等于零且a_jj等于零)则

$\mathrm{symW}={\left(\mathrm{symM}\right)}^T\left(\mathrm{realw}\right)=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|\mathrm{realW}=\mathrm{realW}$ 方程式(41)

否则

$\mathrm{sym}\left(W\right)={\left(\mathrm{symM}\right)}^T\left(\mathrm{realW}\right)={\left|\begin{array}{cc}c& s\\ -s& c\end{array}\right|}^T\left[\begin{array}{cc}{r}_{\mathrm{ii}}& r_{\mathrm{ij}}\\ r_{\mathrm{ji}}& r_{\mathrm{jj}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{s}_{\mathrm{ii}}& s_{\mathrm{ij}}\\ s_{\mathrm{ji}}& s_{\mathrm{jj}}\end{array}\right]$ 方程式(42)

其中s_ji＝s_ij且c²+s²＝1。

通过展开左侧且求等各所述，

$\mathrm{\ρ}=\frac{r_{\mathrm{ii}}+r_{\mathrm{jj}}}{r_{\mathrm{ij}}-r_{\mathrm{ji}}}=\frac{c}{s},$ $s=\frac{\mathrm{sign}\left(\mathrm{\ρ}\right)}{\sqrt{1+{\mathrm{\ρ}}^2}},$ c＝ρs    方程式(43)

步骤3：对角化-施用一对角化旋转以消去矩阵symW(或realW)中的非对角元素。

若(a_ij等于零且a_jj等于零)则

$D={\left(\mathrm{diagM}\right)}^T\left(\mathrm{symM}\right)\left(\mathrm{diagM}\right)=\left|\begin{array}{cc}{d}_{\mathrm{ii}}& 0\\ 0& d_{\mathrm{jj}}\end{array}\right|,$ 其中 $\mathrm{diagM}=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|$

方程式(44)

否则

$D={\left(\mathrm{diagM}\right)}^T\left(\mathrm{symM}\right)\left(\mathrm{diagM}\right)={\left|\begin{array}{cc}c& s\\ -s& c\end{array}\right|}^T\left|\begin{array}{cc}{s}_{\mathrm{ii}}& s_{\mathrm{ij}}\\ s_{\mathrm{ji}}& s_{\mathrm{jj}}\end{array}\right||\begin{array}{cc}c& s\\ -s& c\end{array}|=|\begin{array}{cc}{d}_{\mathrm{ii}}& 0\\ 0& d_{\mathrm{jj}}\end{array}|$

方程式(45)

其中c²+s²＝1。

通过展开左侧且求等相应非对角所述，

$\mathrm{\ξ}=\frac{s_{\mathrm{jj}}-s_{\mathrm{ii}}}{2s_{\mathrm{ji}}},$ $t=\frac{s}{c},$ 其中t²+2ζt-1＝0方程式(46)

对于内旋转， $t=\frac{s}{c}=\frac{\mathrm{sign}\left(\mathrm{\ξ}\right)}{\left|\mathrm{\ζ}\right|+\sqrt{1+{\mathrm{\ζ}}^2}}$ 方程式(47)；或

对于外旋转， $t=\frac{s}{c}=-\mathrm{sign}\left(\mathrm{\ζ}\right)\left(\right|\mathrm{\ζ}|+\sqrt{1+{\mathrm{\ζ}}^2})$ 方程式(48)

然后 $c=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$ 且s＝tc    方程式(49)

步骤4：旋转矩阵的融合以产生U和V矩阵。U和V矩阵依下述方式获得：

A＝UDV^H    方程式(50)

U＝[k(diagM)^H(symM)^H(prePhC)(CSTriangle)]^H    方程式(51)

V＝(postPhC)(diagM)                           方程式(52)

对于一M×M方形矩阵的循环广义Jacobi程序。

为了消去A的非对角元素(亦即(i，j)及(j，i)元素)，将上文所述程序依某种固定次序以总计m＝M(M-1)/2个不同指数对施用于M×M矩阵A。此一m转换的序列被称为一扫掠(sweep)。一扫掠的构造可为以列循环或以行循环。在任一例中，会在每一扫掠后获得一新矩阵A，以其计算j≠1条件下的 $\mathrm{off}\left(A\right)=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{if}}^2.$ 若off(A)≤δ，则计算停止。δ是一相依于计算准确度的小数字。否则计算被重复进行。

对于一N×M长方矩阵的循环广义Jacobi程序。

若矩阵A的维度N大于M，则通过对A添加(N-M)行的零来产生一方形矩阵。增广的方形矩阵B＝|A0|。然后将上文所述程序施用于B。

$U^T\left|\begin{array}{cc}A& 0\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}V& 0\\ 0& I\end{array}\right|=\mathrm{diag}({\mathrm{\λ}}_1,{\mathrm{\λ}}_2,...,{\mathrm{\λ}}_M,0,...,0)$ 方程式(53)

通过下式获得原始资料矩阵A的期望因子分解：

U^TAV＝diag(λ₁，λ₂，...，λ_M)  方程式(54)

若矩阵A的维度M大于N，则通过如下所示对A添加(M-N)列的零来产生一方形矩阵：

$B=\left|\begin{array}{c}A\\ 0\end{array}\right|$ 方程式(55)

然后将上文所述程序施用于B。

${\left|\begin{array}{cc}U& 0\\ 0& I\end{array}\right|}^T\left|\begin{array}{c}A\\ 0\end{array}\right|V=\mathrm{diag}({\mathrm{\λ}}_1,{\mathrm{\λ}}_2,...,{\mathrm{\λ}}_N,0,...,0)$ 方程式(56)

通过下式获得原始资料矩阵A的期望因子分解：

U^TAV＝diag(λ₁，λ₂，...，λ_N)方程式(57)

以下参照图2解释依据本发明的SVD程序。图2是一依据本发明的SVD程序的流程图。本发明提出一种执行一SVD程序的方法。产生多个发射天线与多个接收天线间之一频道矩阵H(步骤202)。就所得Nr×Nt频道矩阵H创造出一Hermitian矩阵A(步骤204)。矩阵A被产生为在Nr≥Nt条件下A＝H^HH且在Nr＜Nt条件下A＝HH^H。然后对M×M矩阵A循环地施用双边Jacobi程序以获得Q和DA矩阵致使A＝QD_AQ^H、其中M＝min(Nr，Nt)，这将在下文解释(步骤206)。D_A是一通过矩阵A的SVD获得的包含矩阵H的特征值的对角矩阵。由于矩阵A是Hermitian且对称，故不再需要习知技艺的对称化步骤且程序大幅简化。一旦算出A的SVD，从Q矩阵和D_A矩阵计算H矩阵的U矩阵、V矩阵和D_H矩阵(H＝UD_HV^H)(步骤208)。

以下解释在A矩阵上执行8VD的步骤206。如下所示从矩阵A定义-2×2Hermitian矩阵symW：

$\mathrm{symW}=\left|\begin{array}{cc}{s}_{\mathrm{ii}}& s_{\mathrm{ij}}\\ s_{\mathrm{ji}}& s_{\mathrm{jj}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{\mathrm{ii}}& a_{\mathrm{ij}}+{\mathrm{jb}}_{\mathrm{ij}}\\ a_{\mathrm{ji}}-{\mathrm{jb}}_{\mathrm{ji}}& a_{\mathrm{jj}}\end{array}\right|$ 方程式(58)

其中a_ii、a_ij、a_ji、a_jj、b_ij及b_ji是实数且a_ij＝a_ji且b_ij＝b_ji。矩阵symW系如习知技艺方法就每一Jacobi转换从矩阵A产生。

在矩阵symW上执行实部对角化。如下所示通过以转换矩阵(diagRM)^T和diagRM乘上矩阵symW的方式消去矩阵symW的非对角元素的实部：

$D_{\mathrm{real}}={\left(\mathrm{diagRM}\right)}^T\left(\mathrm{symW}\right)\left(\mathrm{diagRM}\right)=\left|{\begin{array}{cc}c& s\\ -s& c\end{array}|}^T\right|\begin{array}{cc}{s}_{\mathrm{ii}}& s_{\mathrm{ij}}\\ s_{\mathrm{ji}}& s_{\mathrm{jj}}\end{array}\left|\right|\begin{array}{cc}c& s\\ -s& c\end{array}|=|\begin{array}{cc}{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{ii}}& {\mathrm{jb}}_{\mathrm{ij}}\\ {-\mathrm{jb}}_{\mathrm{ji}}& {\mathrm{\γ}}_{\mathrm{jj}}\end{array}|$ 方程式(59)

其中r_ii和r_jj是实数，b_ij＝b_ji且c²+s²＝1。

通过展开左侧并求等相应非对角实所述，得到以下方程序。

$\mathrm{\ζ}=\frac{a_{\mathrm{jj}}-a_{\mathrm{ii}}}{{2a}_{\mathrm{ji}}}$ 且 $t=\frac{s}{c}$ 方程式(60)

其中t²＝2ζt-1＝0。

对于内旋转， $t=\frac{s}{c}\frac{\mathrm{sign}\left(\mathrm{\ζ}\right)}{\left|\mathrm{\ζ}\right|+\sqrt{1+{\mathrm{\ζ}}^2}}$ 方程式(61)；或

对于外旋转， $t=\frac{s}{c}=-\mathrm{sign}\left(\mathrm{\ζ}\right)\left(\right|\mathrm{\ζ}|+\sqrt{1+{\mathrm{\ζ}}^2})$ 方程式(62)

然后 $c=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$ 且s＝tc    方程式(63)。

然后执行虚部对角化。如下所示通过以转换矩阵(diagIM)^T和diagIM乘上实部对角化所得矩阵的方式消去非对角元素的虚部：

$D_A={\left(\mathrm{diagIM}\right)}^T\left(D_{\mathrm{real}}\right)\left(\mathrm{diagIM}\right)={\left|\begin{array}{cc}c& s\\ -\mathrm{js}& \mathrm{jc}\end{array}\right|}^T\left|\begin{array}{cc}{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{ii}}& {\mathrm{jb}}_{\mathrm{ij}}\\ -{\mathrm{jb}}_{\mathrm{ji}}& {\mathrm{\γ}}_{\mathrm{jj}}\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}c& s\\ -\mathrm{js}& \mathrm{jc}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{d}_{\mathrm{ii}}& 0\\ 0& d_{\mathrm{jj}}\end{array}\right|$

方程式(64)；

其中c、s、r_ii、r_jj、b_ij、b_ji、d_ii和d_jj是实数，b_ij＝b_ji且c²+s²＝1。

通过展开左侧并求等相应非对角所述，得到以下方程序。

$k={4b}_{\mathrm{ij}}^2+{({\mathrm{\γ}}_{\mathrm{ii}}-{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{jj}})}^2$ 方程式(65)

$x=0.5(1+\sqrt{1-\frac{{4b}_{\mathrm{ij}}^2}{k}})$ 方程式(66)

$c=\sqrt{1-x}$ 且 $s=\sqrt{x}$ 方程式(67)；

y＝cs(γ_ii-γ_jj)+(1-2c²)b_ij    方程式(68)

若y＞阀值(例如＝0.0001)，则

$x=0.5(1-\sqrt{1-\frac{4b_{\mathrm{ij}}^2}{k}})$ 方程式(69)

$c=\sqrt{1-x}$ 且 $s=\sqrt{x}$ 方程式(70)。

该阀值是某个小机器相依数。

然后如下所示结合用于实部三角化及虚部三角化的转换矩阵以计算U和V矩阵：

A＝UD_AV^H                    方程式(71)

U＝[(diagIM)^H(diagRM)^H]^H    方程式(72)

V＝(diagRM)(diagIM)         方程式(73)

为了消去A的非对角元素(亦即(i，j)及(j，i)元素)，将上述程序依某种固定次序以总计m＝M(M-1)/2个不同指数对施用于M×M矩阵A，其中M＝min(Nr，Nt)。在每一步骤后获得一新矩阵A，以其计算j≠1条件下的 $\mathrm{off}\left(A\right)=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ij}}^2.$ 若off(A)≤δ其中δ是某个小机器相依数字，则计算停止。否则计算被重复进行。

一旦矩阵A的SVD完成，在步骤208如下所示从Q矩阵和D_A矩阵计算H矩阵的U矩阵、V矩阵和DH矩阵：

从方程式(72)和(73)，U＝V且A矩阵可被写成：A＝QD_AQ^H。当Nr≥Nt，由于Q等于V，在H＝UD_HV^H且D_A＝Q^HAQ＝Q^HH^HHQ＝Q^HVD_HU^HUD_HV^HQ＝D_HU^HUD_H＝D_HD_H条件下，D_A＝D_HD_H(亦即D_H＝sqrt(D_A))。然后如下所示得到U、V和D_H矩阵：U＝HV(D_H)^-1其中V＝Q且D_H＝sqrt(D_A)。

当Nr＞Nt，由于Q等于V，在H＝UD_HV^H且D_A＝Q^HAQ＝Q^HHH_HQ＝Q^HUD_HV^HVD_HU^HQ＝D_HV^HVD_H＝D_HD_H条件下，D_A＝D_HD_H(亦即D_H＝sqrt(D_A))。然后如下所示得到U、V和D_H矩阵：V＝H^HU(D_H)^-1其中U＝Q且D_H＝sqrt(D_A)。

虽然已在较佳实施例中就特定组合说明本发明的特征和元素，每一特征或元素得被单独使用(不具备较佳实施例的其它特征和元素)或是以有或没有本发明其它特征和元素的多样组合使用。

Claims (9)

1.一种在一无线通信系统中利用一奇异值分解(SVD)将一频道矩阵H分解成一U矩阵、一V矩阵及一D_H矩阵使得H＝UD_HV^H的方法，其中D_H是一包含该矩阵H的奇异值的对角矩阵，上标H代表一Hermitian转置，该无线通信系统包括一具有多个发射天线的发射器及一具有多个接收天线的接收器，该方法包含：

(a)就该等发射天线与该等接收天线间的频道产生一频道矩阵H；

(b)创造一Hermitian矩阵A，该矩阵A相依于该频道矩阵H的维度被定义为H^HH和H^HH其中之一；

(c)在该矩阵A上循环地执行一Jacobi程序的至少一扫掠以获得Q和D_A矩阵，使得A＝QD_AQ^H，D_A是由该A矩阵上的SVD获得之一对角矩阵；以及

(d)从该Q矩阵和该D_A矩阵计算出该U矩阵、该V矩阵和该D_H矩阵。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，步骤(c)包含：

(c1)从该矩阵A选出一用于Jacobi转换的2×2矩阵 $\mathrm{symW}=\left|\begin{array}{cc}{a}_{\mathrm{ii}}& a_{\mathrm{ij}}\\ a_{\mathrm{ji}}& a_{\mathrm{jj}}\end{array}\right|;$

(c2)执行实部对角化以消去该矩阵symW的非对角元素的实部；

(c3)在该实部对角化步骤的后执行虚部对角化以消去该矩阵symW的非对角元素的虚部而产生一对角矩阵D_A；以及

(c4)结合该实部对角化步骤及该虚部对角化步骤的转换矩阵以计算该Q矩阵。

3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，其更包含：

在该Jacobi程序的每一扫掠，计算在该Jacobi程序的每一扫掠中获得之一矩阵的非对角元素之一平方和；

比较该平方和与一阀值；以及

仅在该平方和大于该阀值时执行Jacobi转换的下一步骤。

4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，该阀值是一机器相依小数字。

5.一种用于在一无线通信系统中利用一奇异值分解(SVD)将一频道矩阵H分解成一U矩阵、一V矩阵及一D_H矩阵使得H＝UD_HV^H的装置，其中D_H是一包含该矩阵H的奇异值的对角矩阵，上标H代表一Hermitian转置，该无线通信系统包括一具有多个发射天线的发射器及一具有多个接收天线的接收器，该装置包含：

一频道评估器，其用于就该等发射天线与该等接收天线间的频道产生一频道矩阵H；及

一矩阵分解及频道相关系数矩阵单元，其被构形为用来：产生一Hermitian矩阵A，该矩阵A相依于该频道矩阵H的维度被定义为H^HH和H^HH其中之一；在该矩阵A上循环地执行一Jacobi程序的至少一扫掠以获得Q和D_A矩阵，使得A＝QD_AQ^H，D_A是由该A矩阵上的SVD获得之一对角矩阵；及从该Q矩阵和该D_A矩阵计算出该U矩阵、该V矩阵和该D_H矩阵。

6.根据权利要求5所述的装置，其特征在于，该矩阵分解及频道相关系数矩阵单元被构形为用来：在一扫掠的每一Jacobi转换期间，该矩阵分解及频道相关系数矩阵单元从该矩阵A选出一用于Jacobi转换的2×2矩阵 $\mathrm{symW}=\left|\begin{array}{cc}{a}_{\mathrm{ii}}& a_{\mathrm{ij}}\\ a_{\mathrm{ji}}& a_{\mathrm{jj}}\end{array}\right|;$ 执行实部对角化以消去该矩阵symW的非对角元素的实部；在该实部对角化操作的后，执行虚部对角化以消去该矩阵symW的非对角元素的虚部而产生一对角矩阵D_A；及结合该实部对角化操作及该虚部对角化操作的转换矩阵以计算该Q矩阵。

7.根据权利要求6所述的装置，其特征在于，该矩阵分解及频道相关系数矩阵单元被构形为用来：在该Jacobi程序的每一扫掠，计算在该Jacobi程序的每一扫掠中获得之一矩阵的非对角元素之一平方和；比较该平方和与一阀值；及仅在该平方和大于该阀值时执行Jacobi转换的下一步骤。

8.根据权利要求6所述的装置，其特征在于，该阀值是一机器相依小数字。

9.一种用于在一无线通信系统中利用一奇异值分解(SVD)将一频道矩阵H分解成一U矩阵、一V矩阵及一D_H矩阵使得H＝UD_HV^H的集成电路(IC)，其中D_H是一包含该矩阵H的奇异值的对角矩阵，上标H代表一Hermitian转置，该无线通信系统包括一具有多个发射天线的发射器及一具有多个接收天线的接收器，该IC包含：

一频道评估器，其用于就该等发射天线与该等接收天线间的频道产生一频道矩阵H；及

一矩阵分解及频道相关系数矩阵单元，其被构形为用来：产生一Hermitian矩阵A，该矩阵A相依于该频道矩阵H的维度被定义为H^HH和H^HH其中之一；在该矩阵A上循环地执行一Jacobi程序的至少一扫掠以获得Q和D_A矩阵，使得A＝QD_AQ^H，D_A是由该A矩阵上的SVD获得之一对角矩阵；及从该Q矩阵和该D_A矩阵算出该U矩阵、该V矩阵和该D_H矩阵。

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