TWI407320B - 用於以ｊａｃｏｂｉ旋轉分解矩陣之裝置及方法 - Google Patents

Description

用於以JACOBI旋轉分解矩陣之裝置及方法

本發明大體上係關於通信，且更具體言之係關於用於分解矩陣之技術。

多重輸入多重輸出(MIMO)通信系統在傳輸站處採用多個(T個)傳輸天線且在接收站處採用多個(R個)接收天線以進行資料傳輸。可將一由T個傳輸天線及R個接收天線形成之MIMO通道分解為S個空間通道，其中S<min{T,R}。S個空間通道可以一方式用於傳輸資料以達成更高之總輸貫量及/或更大之可靠性。

MIMO通道回應之特徵可在於R×T通道回應矩陣 H ，其含有用於所有不同對之傳輸及接收天線的複通道增益。可將通道回應矩陣 H 對角化以獲得S個本徵模型，其可視為MIMO通道之正交空間通道。藉由在MIMO通道之本徵模型上傳輸資料可達成經改良之效能。

可藉由進行 H 之奇異值分解或 H 之相關矩陣的本徵值分解來將通道回應矩陣 H 對角化。奇異值分解提供左及右單一向量，且本徵值分解提供本徵向量。傳輸站使用右單一向量或本徵向量來在S個本徵模型上傳輸資料。接收站使用左單一向量或本徵向量來接收在S個本徵模型上傳輸之資料。

本徵值分解及奇異值分解計算非常密集。因此，在該項技術中需要有效分解矩陣之技術。

本文描述一種使用Jacobi旋轉有效分解矩陣的技術。此等技術可用於複值厄密(Hermitian)矩陣之本徵值分解以獲得本徵向量矩陣及厄密矩陣之本徵值矩陣。該等技術亦可用於一任意複值矩陣之奇異值分解以獲得任意矩陣之左單一向量矩陣、右單一向量矩陣及奇異值矩陣。

在一實施例中，以多個複值Jacobi旋轉矩陣對第一複值矩陣進行多次Jacobi旋轉迭代以排除第一矩陣中之非對角元素。第一矩陣可為通道回應矩陣 H 、 H 之相關矩陣(其為 R )或某一其它矩陣。對於每次迭代而言，可基於第一矩陣形成子矩陣及將該子矩陣分解以獲取該子矩陣之本徵向量，且可以該等本徵向量來形成一Jacobi旋轉矩陣及將該旋轉矩陣用於更新第一矩陣。基於Jacobi旋轉矩陣導出第二複值矩陣。該第二矩陣含有正交向量且可為 H 之右單一向量或 R 之本徵向量的矩陣 V _i 。

為進行本徵值分解，可基於Jacobi旋轉矩陣來導出本徵值之第三矩陣 D _i 。為基於第一SVD實施例進行奇異值分解(SVD)，可基於Jacobi旋轉矩陣來導出第三複值矩陣 W _i ，且可基於該第三矩陣 W _i 來導出一具有正交向量之第四矩陣，且亦可基於該第三矩陣 W _i 來導出一奇異值矩陣。為基於第二SVD實施例進行奇異值分解，可基於Jacobi旋轉矩陣來導出一具有正交向量之第三矩陣 U _i 及一奇異值矩陣。

以下進一步詳盡描述了本發明之各種態樣及實施例。

字"例示性"在本文中用於意指"充當一實例、情況或說明"。本文描述為"例示性"之任意實施例不一定解釋為較其它實施例更佳或優於其它實施例。

本文所述之矩陣分解技術可用於各種通信系統，諸如具有單頻子帶之單載波通信系統、具有多個子帶之多載波通信系統、具有多個子帶之單載波分頻多向近接(SC－FDMA)系統及其它通信系統。可以正交分頻多工(OFDM)、某些其它調變技術或某一其它構造來獲取多個子帶。OFDM將整個系統頻寬分割為多個(K個)正交子帶，其亦稱作色調、子載波、儲存區(bin)等等。使用OFDM，各個子帶與一可以資料調變之個別子載波相關。SC－FDMA系統可利用交錯FDMA(IFDMA)來在分佈於系統頻寬上之子帶上傳輸、利用區域化FDMA(LFDMA)來在相鄰子帶區塊上傳輸或利用增強FDMA(EFDMA)來在相鄰子帶之多個區塊上傳輸。通常，使用OFDM在頻域中且使用SC－FDMA在時域中發送調變符號。為清晰起見，以下描述之大部分針對具有單個子帶之MIMO系統。

由多個(T個)傳輸天線及多個(R個)接收天線形成之MIMO通道之特徵可在於R×T通道回應矩陣 H ，其可如下給出： 其中輸入項h _i,j (i ＝1,...,R且j ＝1,...,T)表示在傳輸天線j 與接收天線i 之間的耦合或複通道增益。

可將通道回應矩陣 H 對角化以獲取 H 之多個(S)本徵模型，其中S min{T ,R }。可例如藉由進行 H 之奇異值分解或 H 之相關矩陣的本徵值分解來達成對角化。

本徵值分解可表示如下： R ＝ H ^H ． H ＝ V ． Λ ． V ^H 方程(2)其中 R 為 H 之T ×T 相關矩陣； V 為其行為 R 之本徵向量的T ×T 單一矩陣； Λ 為 R 之本徵值的T ×T 對角矩陣；且"^H "表示一共軛轉置。

單一矩陣 V 之特徵在於性質 V ^H ． V ＝ I ，其中 I 為單位矩陣。單一矩陣之行彼此正交，且各行具有單位功率。對角矩陣 Λ 含有沿對角之可能的非零值及別處之零。 Λ 之對角元素為 R 之本徵值。此等本徵值表示為{λ₁ ,λ₂ ,…,λ_S }且代表S個本徵模型之功率增益。 R 為其非對角元素具有以下性質之厄密矩陣：，其中"^＊ "表示複共軛。

奇異值分解可表示如下： H ＝ U ． Σ ． V ^H 方程(3)其中 U 為 H 之左單一向量的R ×R 單一矩陣； Σ 為 H 之奇異值的R ×T 對角矩陣；且 V 為 H 之右單一向量的T ×T 單一矩陣。

U 及 V 各含有正交向量。方程(2)及(3)指示 H 之右單一向量亦為 R 之本徵向量。Σ 之對角元素為 H 之奇異值。此等奇異值表示為{σ ₁ ,σ ₂ ,…,σ _S }且代表S個本徵模型之通道增益。 H 之奇異值亦為 R 之本徵值的平方根，從而對於i ＝1,...,S而言σ₁ ＝。

傳輸站可使用 V 中之右單一向量來在 H 之本徵模型上傳輸資料。在本徵模型上傳輸資料通常提供較簡單地自T個傳輸天線傳輸資料而不進行任何空間處理更佳之效能。接收站可使用 U 中之左單一向量或 V 中之本徵向量來接收在 H 之本徵模型上發送的資料傳輸。表1展示由傳輸站進行之空間處理、在接收站所接收之符號及由接收站所進行之空間處理。在表1中， s 為具有高達S個待傳輸之資料符號的T ×1向量， x 為具有T個待自T個傳輸天線發送之傳輸符號的T ×1向量， r 為具有R個自R個接收天線所獲取之接收符號的R ×1向量， n 為R ×1雜訊向量，且為具有高達S個所偵測之資料符號的T ×1向量，其為s 中之資料符號的評估值。

複矩陣之本徵值分解及奇異值分解可以一使用Jacobi旋轉之迭代方法來進行，該迭代方法通常亦稱作Jacobi方法及Jacobi變換。Jacobi旋轉藉由對矩陣進行平面旋轉來排除複矩陣之一對非對角元素。對於2×2複厄密矩陣而言，僅需要一次Jacobi旋轉迭代來獲得此2×2矩陣之兩個本徵向量及兩個本徵值。對於具有大於2×2之維數的較大複矩陣而言，該迭代方法進行多次Jacobi旋轉迭代來獲取該較大複矩陣所要的本徵向量及本徵值或單一向量及奇異值。對較大複矩陣進行之各個Jacobi旋轉迭代使用如下所述之2×2子矩陣之本徵向量。

2×2厄密矩陣 R _{2 × 2} 之本徵值分解可如下進行。厄密矩陣 R _{2 × 2} 可表示如下： 其中A、B及D為任意實數值，且θ _b 為一任意相位。

R _{2 × 2} 之本徵值分解的第一步驟為如下應用兩側單一變換： 其中 R _re 為含有實數值且在位置(1,2)及(2,1)處具有對稱非對角元素之對稱實數矩陣。

接著如下使用兩側Jacobi旋轉來將對稱實數矩陣 R _re 對角化： 其中角度Φ可表示如下：

可如下導出 R _{2 × 2} 之本徵向量的2×2單一矩陣 V _{2 × 2} ：

可基於方程(6)或基於方程 Λ _{2 × 2} ＝． R _{2 × 2} ． V _{2 × 2} 如下導出兩個本徵值λ ₁ 及λ ₂ ：

在方程組(9)中，兩個本徵值之次序不固定，且λ₁ 可大於或小於λ₂ 。然而，若約束角度Φ以使得|2Φ|π/2 ，則當且僅當D>A時，cos2Φ0及sin2Φ>0。因此，兩個本徵值之次序可由A及D之相對量值來判定。若A>D，則λ₁ 為較大本徵值，且若D>A，則λ₂ 為較大本徵值。則若A＝D，則sin2Φ＝1且λ₂ 為較大本徵值。若λ₂ 為較大本徵值，則可交換Λ _{2 × 2} 中之兩個本徵值以維持最大至最小本徵值之預定次序，且亦可相應交換 V _{2 × 2} 之第一及第二行。維持 V _{2 × 2} 中之兩個本徵向量的此預定次序導致使用 V _{2 × 2} 分解之較大尺寸之矩陣的本徵向量按最大至最小本徵值排序，其正為所要的。

亦可自 R _re 之元素如下直接計算兩個本徵值λ₁ 及λ₂ ： 方程(10)為 R _{2 × 2} 之特徵方程的解。在方程(10)中，將右手側之第二量添加正號來獲得λ₁ ，且將第二量添加負號來獲得λ₂ ，其中λ₁ λ₂ 。

方程(8)需要計算cosΦ及sinΦ來導出 V _{2 × 2} 之元素。cssΦ及sinΦ之計算較複雜。可自如下之 R _{2 × 2} 之元素直接計算 V _{2 × 2} 之元素： c ₁ ＝r ₁ ．Re{r _{1 , 2} }＝cos(∠r _{1 , 2} ) 方程(11c)s ₁ ＝－r ₁ ．Im{r _{1 , 2} }＝sin(∠r _{1 , 2} ) 方程(11d)g ₁ ＝c ₁ ＋js ₁ 方程(11e) 若(τ<0),則t ＝－t 方程(11i) s ＝t．c 方程(11k) 若(τ<0)，則，或方程(11l)其中r _{1 , 1} 、r _{1 , 2} 及r _{2 , 1} 為 R _{2 × 2} 之元素，且r 為r _{1 , 2} 之量值。由於g ₁ 為複值，所以 V _{2 × 2} 在第二列中含有複值。

設計方程組(11)以減小自 R _{2 × 2} 導出 V _{2 × 2} 之計算量。舉例而言，在方程(11c)、(11d)及(11f)中，需要除以r 。實情為，將r 反相以獲得r ₁ ，且對方程(11c)、(11d)及(11f)乘以r ₁ 。此減小在計算上較乘法更昂貴之除法運算的數目。同樣地，替代計算複值元素r _{1 , 2} 之增大(相位)(其需要反正切(arctangent)運算)及接著計算此相位值之cosine及sine來獲得c ₁ 及s₁ ，使用各種三角恆等式且僅使用平方根運算來解出c ₁ 及s ₁ 作為r _{1 , 2} 之實部及虛部的函數。此外，替代計算方程(7)中之反正切及方程(8)中之sine及consine函數，使用其它三角恆等式解出c及s作為 R _{2 × 2} 之元素的函數。

方程組(11)對 R _{2 × 2} 進行複Jacobi旋轉以獲得 V _{2 × 2} 。設計方程組(11)中之計算組以減小導出 V _{2 × 2} 所需之乘法、平方根及反相運算。此可極大地降低使用 V _{2 × 2} 來分解較大尺寸之矩陣的計算複雜度。

R _{2 × 2} 之本徵值可如下計算： z ＝x．r ， 方程(12b) λ₁ ＝y ＋z ，及 方程(12c) λ₂ ＝y －z 方程(12d)

1.本徵值分解

如方程(2)所示之大於2×2的N ×N 厄密矩陣的本徵值分解可以迭代方法進行。此迭代方法重複使用Jacobi旋轉來排除N ×N 厄密矩陣中之非對角元素。對於迭代方法而言，基於N ×N 厄密矩陣之2×2厄密子矩陣來形成N ×N 單一變換矩陣且將該N ×N 單一變換矩陣重複應用以將N ×N 厄密矩陣對角化。各個單一變換矩陣均含有自相應2×2厄密子矩陣之元素導出的四個非平凡元素(即除0或1外之元素)。該等變換矩陣亦稱作Jacobi旋轉矩陣。在完成所有Jacobi旋轉後，所得對角矩陣含有N ×N 厄密矩陣之實數本徵值，且所有單一變換矩陣之乘積為N ×N 厄密矩陣的N ×N 本徵向量矩陣。

在以下描述中，指數i 表示迭代數目且其初始化為i ＝0。 R 為待分解之N ×N 厄密矩陣，其中N>2。N ×N 矩陣 D _i 為 R 之本徵值之對角矩陣 Λ 的近似值且其初始化為 D ₀ ＝ R 。N ×N 矩陣 V _i 為 R 之本徵向量之矩陣 V 的近似值且其初始化為V ₀ ＝ I 。

可如下進行單次Jacobi旋轉迭代來更新矩陣 D _i 及 V _i 。首先，可基於如下之當前 D _i 來形成2×2厄密矩陣 D _pq ： 其中d _p,q 為在 D _i 中之位置(p,q) 處的元素；且

D _pq 為 D _i 之2×2子矩陣，且 D _pq 之四個元素為在 D _i 中之位置(p,p) 、(p,q) 、(q,p) 及(q,q) 處的四個元素。可以如下所述之各種方式來選擇指數p 及q 之值。

接著例如如方程(11)所示進行 D _pq 之本徵值分解來獲取 D _pq 之本徵向量的2×2單一矩陣 V _pq 。為進行 D _pq 之本徵值分解，以 D _pq 替換方程(4)中之 R _{2 × 2} ，且來自方程(111)之 V _{2 × 2} 作為 V _pq 提供。

接著以矩陣 V _pq 來形成N ×N 複Jacobi旋轉矩陣 T _pq 。 T _pq 為位置(p,p)、(p,q)、(q,p) 及(q,q) 處之四個元素分別經 V _pq 之(1,1)、(1,2)、(2,1)及(2,2)元素替換的單位矩陣。 T _pq 具有以下形式： 其中v _{1 , 1} 、v _{1 , 2} 、v _{2 , 1} 及v _{2 , 2} 為 V _pq 之四個元素。 T _pq 之所有其它非對角元素均為零。方程(111)指示 T _pq 為含有用於v _{2 , 1} 及v _{2 , 2} 之複值的複矩陣。 T _pq 亦稱作進行Jacobi旋轉之變換矩陣。

接著如下更新矩陣 D _i ： 方程(15)排除分別在 D _i 之位置(p,p) 及(p,q) 處的兩個非對角元素d _p,q 及d _p,q 。計算可改變 D _i 中之其它非對角元素之值。

亦如下更新矩陣 V _i ： V _{i ＋ 1} ＝ V _i ． T _pq 方程(16) V _i 可視為含有對 D _i 所使用之所有Jacobi旋轉矩陣 T _pq 的累積變換矩陣。

各個Jacobi旋轉迭代排除 D _i 之兩個非對角元素。可對指數p 及q 之不同值進行多次Jacobi旋轉迭代以排除 D _i 之所有非對角元素。可以一藉由掃描所有可能值之預定方式來選擇指數p 及q 。

可如下對指數p 及q 之所有可能值進行單次掃描。指數p 可以1為增量自1步進至N－1。對於p 之各值而言，指數q 可以1為增量自p ＋1步進至N。可對p 及q 之值的各個不同組合進行一Jacobi旋轉迭代來更新 D _i 及 V _i 。對於每次迭代而言，基於p 及q 之值及用於彼迭代之當前 D _i 來形成 D _pq ，如方程組(11)所示來計算 D _pq 之 V _pq ，如方程(14)所示以 V _pq 來形成 T _pq ，如方程(15)所示來更新 D _i ，且如方程(16)所示來更新 V _i 。對於p 及q 之值之給定組合而言，若在 D _i 中之位置(p,q) 及(q,p) 處的非對角元素的量值低於一預定臨限值，則可跳過更新 D _i 及 V _i 之Jacobi旋轉。

掃描由對於p 及q 之所有可能值更新 D _i 及 V _i 的N．(N－1)/2次Jacobi旋轉迭代組成。各個Jacobi旋轉迭代排除 D _i 之兩個非對角元素，但可改變可能更早排除之其它元素。掃描指數p 及q 之效果為減小 D _i 之所有非對角元素的量值，從而 D _i 接近對角矩陣 Λ 。 V _i 含有共同給出 D _i 之所有Jacobi旋轉矩陣的累積。因此， V _i 在 D _i 接近 Λ 時接近 V 。

可進行任意數目之掃描以獲得 V 及 Λ 之愈來愈精確的近似值。電腦模擬已展示四次掃描應足以將 D _i 之非對角元素減小至可忽略水平，且三次掃描對於大多數應用應足夠。可進行預定數目之掃描(例如三或四次掃描)。或者，可在各個掃描後檢查 D _i 之非對角元素以判定 D _i 是否足夠精確。舉例而言，可在各個掃描後計算總誤差(例如 D _i 之所有非對角元素中的功率)且將其與一誤差臨限值進行對比，且若總誤差低於該誤差臨限值，則可終止迭代方法。其它條件或標準亦可用於終止迭代方法。

亦可以確定性方式來選擇指數p 及q 之值。作為一實例，對於每次迭代i 而言，可識別 D _i 之最大非對角元素且將其表示為d _p,q 。接著可以含有此最大非對角元素d _p,q 及在 D _i 之位置(p,p)、(q,p) 及(q,q) 處之三個其它元素的 D _pq 來進行Jacobi旋轉。可進行該迭代方法直至碰到終止條件。終止條件可例如為完成預定數目之迭代、滿足上述誤差標準或某其它條件或標準。

在終止迭代方法後，最終 V _i 為 V 之良好近似值，且最終 D _i 為 Λ 之良好近似值。可提供 V _i 之行為 R 之本徵向量，且可提供 D _i 之對角元素為 R 之本徵值。因為 V _pq 中用於每次迭代的本徵向量經過排序，所以最終 D _i 中之本徵值自最大至最小排序。最終 V _i 中之本徵向量亦基於其在 D _i 中之相關本徵值來排序。

圖1展示一種使用Jacobi旋轉進行N ×N 厄密矩陣 R 之本徵值分解的迭代方法100，其中N>2。矩陣 V _i 及 D _i 初始化為 V ₀ ＝ I 及 D ₀ ＝ R ，且指數i 初始化為i ＝1(方塊110)。

對於迭代i 而言，以一預定方式(例如藉由對此等指數之所有可能值步進)或一確定性方式(例如藉由選擇最大非對角元素之指數值)來選擇指數p 及q 之值(方塊112)。接著以在由指數p 及q 判定之位置處的矩陣 D _i 的四個元素來形成2×2矩陣 D _pq (方塊114)。接著例如如方程組(11)所示來進行 D _pq 之本徵值分解，以獲得 D _pq 之2×2本徵向量矩陣 V _pq (方塊116)。接著如方程(14)所示基於矩陣 V _pq 來形成N×N複Jacobi旋轉矩陣 T _pq (方塊118)。接著如方程(15)所示基於 T _pq 來更新矩陣 D _i (方塊120)。接著亦如方程(16)所示基於 T _pq 來更新矩陣 V _i (方塊122)。

接著判定是否將終止 R 之本徵值分解(方塊124)。終止標準可基於迭代數目或已進行之掃描、誤差標準等等。若方塊124之回答為'否'，則指數i 遞增(方塊126)，且方法返回方塊112以進行下一迭代。或者，若到達終止，則提供矩陣 D _i 為對角矩陣 Λ 之近似值，且提供矩陣 V _i 為 R 之本徵向量之矩陣 V 的近似值(方塊128)。

對於具有多個子帶之MIMO系統(例如利用OFDM之MIMO系統)而言，對不同子帶可獲取多個通道回應矩陣 H (k )。可對各個通道回應矩陣 H (k )進行迭代方法以獲取矩陣 D _i (k )及 V _i (k )，其分別為 R (k )＝ H ^H (k )． H (k )之本徵向量之對角矩陣 Λ (k )及矩陣 V (k )的近似值。

在一MIMO通道中之相鄰子帶之間通常存在高度相關性。可由迭代方法利用此相關性來減小導出有關子帶之 D _i (k )及 V _i (k )的計算量。舉例而言，可對一子帶一次性進行該迭代方法，其自系統頻寬之一端開始且朝向該系統頻寬之另一端遍曆。對於除第一子帶外之各個子帶k 而言，對先前子帶k －1所獲取之最終解 V _i (k －1)可用作當前子帶k 之初始解。對各個子帶k 之初始化可如下給出： V ₀ (k )＝ V _i (k －1)及 D ₀ (k )＝(k )． R (k )． V ₀ (k )。接著對子帶k 之 D ₀ (k )及 V ₀ (k )之初始解進行迭代方法運算，直至碰到終止條件。

上述概念亦可跨時間使用。對於各個時間間隔t 而言，對先前時間間隔t －1所獲取之最終解 V _t (t －1)可用作當前時間間隔t 之初始解。各個時間間隔t 之初始化可如下給出： V ₀ (t )＝ V _t (t －1)及 D ₀ (t )＝(t )． R (t )．V ₀ (t )，其中 R (t )＝ H ^H (t )． H (t )且 H (t )為時間間隔t 之通道回應矩陣。接著對時間間隔t 之 D ₀ (t )及 V ₀ (t )的初始解進行迭代方法運算，直至碰到終止條件。該概念亦可跨頻率及時間使用。對於各個時間間隔中之各個子帶而言，對先前子帶所獲取之最終解及/或對先前時間間隔所獲取之最終解可用作當前子帶及時間間隔之初始解。

2.奇異值分解

迭代方法亦可用於大於2×2之任意複矩陣 H 之奇異值分解。 H 之奇異值分解給出為 H ＝ U ． Σ ． V ^H 。以下研究可關於 H 進行。第一，矩陣 R ＝ H ^H ． H 及矩陣＝ H ． H ^H 均為厄密矩陣。第二，為 V 之行之 H 的右單一向量亦為 R 之本徵向量。相應地，為 U 之行之 H 的左單一向量亦為之本徵向量。第三， R 之非零本徵值等於之非零本徵值，且為 H 之相應奇異值的平方。

2×2複值矩陣 H _{2 × 2} 可表示如下： 其中 h ₁ 為元素位於 H _{2 × 2} 之第一行中的2×1向量；且 h ₂ 為元素位於 H _{2 × 2} 之第二行中的2×1向量。

H _{2 × 2} 之右單一向量為． H _{2 × 2} 之本徵向量且可使用上文方程組(11)所述之本徵值分解來計算。2×2厄密矩陣 R _{2 × 2} 定義為 R _{2 × 2} ＝． H _{2 × 2} ，且 R _{2 × 2} 之元素可基於如下之 H _{2 × 2} 的元素來計算：

對於厄密矩陣 R _{2 × 2} 而言，由於，所以無需計算r _{2 , 1} 。方程組(11)可應用於 R _{2 × 2} 以獲取矩陣 V _{2 × 2} 。 V _{2 × 2} 含有 R _{2 × 2} 之本徵向量，該等本徵向量亦為 H _{2 × 2} 之右單一向量。

H _{2 × 2} 之左單一向量為 H _{2 × 2} ．之本徵向量且亦可使用上文方程組(11)所述之本徵值分解來計算。2×2厄密矩陣定義為＝ H _{2 × 2} ．，且之元素可基於如下之 H _{2 × 2} 的元素來計算： 方程組(11)可應用於以獲取矩陣。含有之本徵向量，該等本徵向量亦為 H _{2 × 2} 之左單一向量。

用於N ×N 厄密矩陣 R 之本徵值分解的上述迭代方法亦可用於大於2×2之任意複矩陣 H 的奇異值分解。 H 具有R ×T 之維數，其中 R 為列之數目且T為行之數目。可以若干方式來進行用於 H 之奇異值分解(SVD)的迭代方法。

在第一SVD實施例中，迭代方法導出 V 中之右單一向量及 U ． Σ 中之比例左單一向量的近似值。對於此實施例而言，T ×T 矩陣 V _i 為 V 之近似值且其初始化為 V ₀ ＝ I 。R ×T 矩陣 W _i 為 U ． Σ 之近似值且其初始化為 W ₀ ＝ H 。

對於第一SVD實施例而言，可如下進行單次Jacobi旋轉迭代以更新矩陣 V _i 及 W _i 。首先，基於當前 W _i 來形成2×2厄密矩陣 M _pq 。 M _pq 為． W _i 之一2×2子矩陣且含有在． W _i 中之位置(p,p)、(p,q)、(q,p) 及(q,q) 處的四個元素。 M _pq 之元素可如下計算： 其中 W _p 為 W _i 之行p ， W _q 為 W _i 之行q ，且w _l,p 為在 W _i 中之位置(l,p )處的元素。指數p 及q 使得p {1,...,T},q {1,...,T}且p ≠q 。可以如下文所述之各種方式來選擇指數p 及q 之值。

接著例如如方程組(11)所示來進行 M _pq 之本徵值分解，以獲取 M _pq 之本徵向量的2×2單一矩陣 V _pq 。為進行此本徵值分解，以 M _pq 替換 R _{2 × 2} 且提供 V _{2 × 2} 為 V _pq 。

接著以矩陣 V _pq 形成T ×T 複Jacobi旋轉矩陣 T _pq 。 T _pq 為在位置(p,p)、(p,q)、(q,p) 及(q,q) 處之四個元素分別經 V _pq 之(1,1)、(1,2)、(2,1)及(2,2)元素替換的單位矩陣。 T _pq 具有方程(14)所示之形式。

接著如下更新矩陣 V _i ： V _{i ＋ 1} ＝ V _i ． T _pq 方程(21)

亦如下更新矩陣 W _i ： W _{i ＋ 1} ＝ W _i ． T _pq 方程(22)

對於第一SVD實施例而言，迭代方法重複排除． W _i 之非對角元素而無需明確地計算 H ^H ． H 。可藉由將p自1步進至T－1且對於p 之各個值而言將q 自p ＋1 步進至T來掃描指數p 及q 。或者，對於每次迭代可選擇對於最大之p 及q 的值。進行迭代方法，直至碰到終止條件，該終止條件可為預定掃描數目、預定迭代數目、滿足一誤差標準等等。

在終止迭代方法後，最終 V _i 為 V 之一良好近似值，且最終 W _i 為 U ． Σ 之一良好近似值。當收斂時，． W _i ＝ Σ ^T ． Σ 且 U ＝ W _i ．Σ ^{－ 1} ，其中" ^T "表示轉置。對於方對角矩陣而言，Σ 之最終解可給出為：。對於非方對角矩陣而言，之非零對角元素由． W _i 之對角元素的平方根給出。 U 之最終解可給出為＝ W _i ．。

圖2展示根據第一SVD實施例使用Jacobi旋轉進行大於2×2之任意複矩陣 H 的奇異值分解的迭代方法200。矩陣 V _i 及 W _i 初始化為 V ₀ ＝ I 及 W ₀ ＝H ，且指數i 初始化為i ＝1(方塊210)。

對於迭代i 而言，以一預定或確定性方式來選擇指數p 及q 之值(方塊212)。接著如方程組(20)所示以由指數p 及q 判定之位置處的矩陣 W _i 的四個元素來形成2×2矩陣 M _pq (方塊214)。接著例如如方程組(11)所示來進行 M _pq 之本徵值分解，以獲取 M _pq 之2×2本徵向量矩陣 V _pq (方塊216)。接著如方程(14)所示基於矩陣 V _pq 來形成T ×T 複Jacobi旋轉矩陣 T _pq (方塊218)。接著如方程(21)所示基於 T _pq 來更新矩陣 V _i (方塊220)。亦如方程(22)所示基於 T _pq 來更新矩陣 W _i (方塊222)。

接著對是否終止 H 之奇異值分解作出判定(方塊224)。終止標準可基於迭代數目或已進行之掃描數目、一誤差標準等等。若對方塊224之回答為'否'，則指數i 遞增(方塊226)，且方法返回方塊212以進行下一次迭代。或者，若達到終止，則對 W _i 進行後處理以獲取及(方塊228)。提供矩陣 V _i 為 H 之右單一向量的矩陣 V 的近似值，且提供矩陣為 H 之左單一向量的矩陣 U 的近似值，且提供矩陣為 H 之奇異值的矩陣 Σ 的近似值(方塊230)。

可藉由進行第一SVD實施例及解出比例左單一向量 H ． V ＝ U ． Σ 且接著正規化來獲取 H 之左單一向量。亦可藉由進行 H ． H ^H 之本徵值分解的迭代方法來獲取 H 之左單一向量。

在第二SVD實施例中，迭代方法直接導出 V 中之右單一向量及 U 中之左單一向量的近似值。此SVD實施例對兩側基應用Jacobi旋轉以同時解出左及右單一向量。對於一任意複2×2矩陣 H _{2 × 2} ＝[ h ₁ h ₂ ]而言，此矩陣之共軛轉置為，其中及為之兩行且亦為 H _{2 × 2} 之列的複共軛。 H _{2 × 2} 之左單一向量亦為 H _{2 × 2} 之右單一向量。可如以上方程組(18)所述使用Jacobi旋轉來計算 H _{2 × 2} 之右單一向量。可藉由如以上方程組(19)所述使用Jacobi旋轉計算之右單一向量來獲取 H _{2 × 2} 之左單一向量。

對於第二SVD實施例而言，T×T矩陣 V _i 為 V 之近似值且其初始化為 V ₀ ＝ I 。R ×R 矩陣 U _i 為 U 之近似值且其初始化為 U ₀ ＝ I 。R ×T 矩陣 D _i 為 Σ 之近似值且其初始化為 D ₀ ＝ H 。

對於第二SVD實施例而言，可如下進行單次Jacobi旋轉迭代來更新矩陣 V _i 、 U _i 及 D _i 。首先，基於當前 D _i 來形成2×2厄密矩陣。為． D _i 之2×2子矩陣且含有在． D _i 中之位置(p ₁ ,p ₁ )、(p ₁ ,q ₁ )、(q ₁ ,p ₁ )及(q ₁ ,p ₁ )處的四個元素。 X _{p 1 q 1} 之四個元素可如下計算： 其中為 D _i 之行p ₁ ，為 D _i 之行q ₁ ，且為在 D _i 中之位置(l,p ₁ )處的元素。指數p ₁ 及q ₁ 使得p {1,...,T}、q {1,...,T}且p ₁ ≠q ₁ 。可以下文所述之各種方式來選擇指數p ₁ 及q ₁ 。

接著例如如方程組(11)所示來進行之本徵值分解，以獲取之2×2本徵向量矩陣。為進行此本徵值分解，以替換 R _{2 × 2} ，且提供 V _{2 × 2} 為。接著以矩陣來形成T ×T 複Jacobi旋轉矩陣，且該旋轉矩陣含有在位置(p ₁ ,p ₁ )、(p ₁ ,q ₁ )、(q ₁ ,p ₁ )及(q ₁ ,p ₁ )處之的四個元素。具有方程(14)所示之形式。

亦基於當前 D _i 來形成另一2×2厄密矩陣。為 D _i ．之2×2子矩陣且含有在 D _i ．中之位置(p ₂ ,p ₂ )、(p ₂ ,q ₂ )、(q ₂ ,p ₂ ) 及(q ₂ ,q ₂ ) 處的元素。之元素可如下計算： 其中為 D _i 之列p ₂ ，為 D _i 之列q ₂ ，且為 D _i 中之位置(p ₂ ,l )處的元素。指數p ₂ 及q ₂ 使得p ₂ {1,...,R }、q ₂ {1,...,R }且p ₂ ≠q ₂ 。可以下文所述之各種方式來選擇指數p ₂ 及q ₂ 。

接著例如如方程組(11)所示來進行之本徵值分解以獲取之2×2本徵向量矩陣。為進行此本徵值分解，以替換 R _{2 × 2} ，且提供 V _{2 × 2} 為。接著以矩陣形成R ×R 複Jacobi旋轉矩陣，且該旋轉矩陣含有在位置(p ₂ ,p ₂ )、(p ₂ ,q ₂ )、(q ₂ ,p ₂ ) 及(q ₂ ,q ₂ ) 處之的四個元素。具有方程(14)所示之形式。

接著如下更新矩陣 V _i ：

如下更新矩陣 U _i ：

如下更新矩陣 D _i ：

對於第二SVD實施例而言，迭代方法或者發現：(1)排除 H ^H ． H 中具有指數p ₁ 及q ₁ 之非對角元素的Jacobi旋轉；及(2)排除 H ． H ^H 中具有指數p ₂ 及q ₂ 之非對角元素的Jacobi旋轉。可藉由將p ₁ 自1步進至T－1且對於p ₁ 之各個值而言將q ₁ 自p ₁ ＋1 步進至T來掃描指數p ₁ 及q ₁ 。亦可藉由將p ₂ 自1步進至R－1且對於p ₂ 之各個值而言將q ₂ 自p ₂ ＋1步進至R來掃描指數p ₂ 及q ₂ 。作為一實例，對於方陣 H 而言，可將指數設定為p ₁ ＝p ₂ 且q ₁ ＝q ₂ 。作為另一實例，對於方陣或非方陣 H 而言，可選擇一組p ₁ 及q ₁ ，接著可選擇一組p ₂ 及q ₂ ，接著可選擇一組新的p ₁ 及q ₁ ，接著選擇一組新的p ₂ 及q ₂ 等等，以對指數p ₁ 及q ₁ 與指數p ₂ 及q ₂ 替代性地選擇該等新值。或者，對於每次迭代而言，可選擇對於最大之p ₁ 及q ₁ 的值，且可選擇對於最大之p ₂ 及q ₂ 的值。進行迭代方法，直至碰到一終止條件，該終止條件可為一預定掃描數目、一預定迭代數目、滿足一誤差標準等等。

在終止迭代方法後，最終 V _i 為之良好近似值，最終 U _i 為 U 之良好近似值，且最終 D _i 為之良好近似值，其中及可分別為 V 及 Σ 之旋轉型式。上述計算不足以約束左及右單一向量解，以使得最終 D _i 之對角元素為正的實數值。最終 D _i 之元素可為複值，該複值之量值等於 H 之奇異值。 V _i 及 D _i 可如下未經旋轉： 其中 p 為對角元素具有單位量值及為 D _i 之相應對角元素之相位的負值的相位的T ×T 對角矩陣。及分別為 Σ 及 V 之最終近似值。

圖3展示根據第二SVD實施例使用Jacobi旋轉來進行大於2×2之任意複矩陣 H 的奇異值分解的迭代方法300。矩陣 V _i 、 U _i 及 D _i 初始化為 V ₀ ＝ I 、 U ₀ ＝ I 及 D ₀ ＝ H 且指數i 初始化為i ＝1(方塊310)。

對於迭代i 而言，以一預定或確定性方式來選擇指數p ₁ 、q ₁ 、p ₂ 及q ₂ 之值(方塊312)。如方程組(23)所示以由指數p ₁ 及q ₁ 所判定之位置處之矩陣 D _i 的四個元素來形成2×2矩陣(方塊314)。接著例如如方程組(11)所示進行之本徵值分解，以獲取之2×2本徵向量矩陣(方塊316)。接著基於矩陣來形成T ×T 複Jacobi旋轉矩陣(方塊318)。亦如方程組(24)所示以由指數p ₂ 及q ₂ 所判定之位置處的矩陣 D _i 的四個元素形成2×2矩陣(方塊324)。接著例如如方程組(11)所示來進行之本徵值分解，以獲取之2×2本徵向量矩陣(方塊326)。接著基於矩陣來形成R ×R 複Jacobi旋轉矩陣(方塊328)。

接著如方程(25)所示基於來更新矩陣 V _i (方塊330)。如方程(26)所示基於來更新矩陣 U _i (方塊332)。如方程(27)所示基於及來更新矩陣 D _i (方塊334)。

接著對是否將終止 H 之奇異值分解(方塊336)作出判定。終止標準可基於迭代數目或已進行之掃描、一誤差標準等等。若對方塊336之回答為'否'，則指數i 遞增(方塊338)，且方法返回方塊312以進行下一迭代。或者，若達到終止，則對 D _i 及 V _i 進行後處理以獲取及(方塊340)。提供矩陣為 V 之近似值，提供矩陣 U _i 為 U 之近似值，且提供矩陣為 Σ 之近似值(方塊342)。

對於第一及第二SVD實施例而言，因為每次迭代中 V _pq 之本徵向量(對於第一SVD實施例而言)及及中之本徵向量(對於第二SVD實施例而言)經過排序，所以最終 V _i 中之右單一向量及最終 U _i 或中之左單一向量自最大至最小奇異值排序。

對於具有多個子帶之MIMO系統而言，可對各個通道回應矩陣 H (k )進行迭代方法以獲取 V _i (k )、 U _i (k )及D _i (k )，其分別為彼 H (k )之右單一向量矩陣 V _i (k )、左單一向量矩陣 U (k )及奇異值對角矩陣Σ (k )的近似值。可對一子帶一次性進行迭代方法，其自系統頻寬之一端開始且朝向該系統頻寬之另一端遍曆。對於第一SVD實施例而言，對除第一子帶外之各個子帶k 而言，對先前子帶k －1所獲得之最終解 V _i (k －1)可用作當前子帶k 之初始解，使得 V ₀ (k )＝ V _i (k －1)且 W ₀ (k )＝ H (k )． V ₀ (k )。對於第二SVD實施例而言，對於除第一子帶外之子帶k 而言，對先前子帶k －1所獲得之最終解 V _i (k －1)及 U _i (k －1)可用作當前子帶k 之初始解，使得 V ₀ (k )＝ V _i (k －1)、 U ₀ (k )＝ U _i (k －1)且 D ₀ (k )＝(k )． H (k )． V ₀ (k )。對於兩個實施例而言，對子帶k 之初始解進行迭代方法運算，直至碰到子帶之終止條件。如上所述，該概念亦可跨時間或跨頻率及時間使用。

圖4展示使用Jacobi旋轉分解矩陣之方法400。以多次複值Jacobi旋轉矩陣對第一複值矩陣進行多次Jacobi旋轉迭代(方塊412)。第一矩陣可為通道回應矩陣 H 、 H 之相關矩陣(其為 R )或某一其它矩陣。Jacobi旋轉矩陣可為 T _pq 、 T _pq 、及/或某些其它矩陣。對於每次迭代而言，可基於第一矩陣來形成一子矩陣且將該子矩陣分解以獲取該子矩陣之本徵向量，且可以本徵向量來形成Jacobi旋轉矩陣且該旋轉矩陣可用於更新該第一矩陣。基於多個Jacobi旋轉矩陣來導出第二複值矩陣(方塊414)。第二矩陣含有正交向量且可為 H 之右單一向量或 R 之本徵向量的矩陣 V _i 。

為進行本徵值分解，如方塊416判定，可基於多個Jacobi旋轉矩陣來導出本徵值之第三矩陣 D _i (方塊420)。為基於第一SVD實施例或流程進行奇異值分解，可基於多個Jacobi旋轉矩陣來導出複值之第三矩陣 W _i ，可基於第三矩陣 W _i 導出具有正交向量之第四矩陣 W _i ，且亦可基於第三矩陣 W _i 來導出奇異值之矩陣(方塊422)。為基於第二SVD實施例來進行奇異值分解，可基於多個Jacobi旋轉矩陣來導出具有正交向量之第三矩陣 U _i 及奇異值之矩陣(方塊424)。

圖5展示使用Jacobi旋轉來分解矩陣之裝置500。裝置500包括用於以多個複值Jacobi旋轉矩陣對複值之第一矩陣進行多次Jacobi旋轉迭代的構件(方塊512)及用於基於多個Jacobi旋轉矩陣導出複值之第二矩陣 V _i 的構件(方塊514)。

為進行本徵值分解，裝置500進一步包括用於基於多個Jacobi旋轉矩陣導出第三本徵值矩陣 D _i 的構件(方塊520)。為基於第一SVD實施例進行奇異值分解，裝置500進一步包括用於基於多個Jacobi旋轉矩陣導出第三複值矩陣 W _i 、基於第三矩陣導出具有正交向量之第四矩陣 U _i 及基於第三矩陣導出奇異值矩陣的構件(方塊522)。為基於第二SVD實施例進行奇異值分解，裝置500進一步包括用於基於多個Jacobi旋轉矩陣導出具有正交向量之第三矩陣 U _i 及奇異值矩陣的構件(方塊524)。

3.系統

圖6展示MIMO系統600中之接取點610及使用者終端650的一實施例的方塊圖。接取點610配備有可用於資料傳輸及接收之多個(N_{a p} )天線。使用者終端650配備有可用於資料傳輸及接收之多個(N_{u t} )天線。為簡化，以下描述假定MIMO系統600使用分時雙工(TDD)，且各個子帶k 之下行鏈路通道回應矩陣 H _dn (k )為彼子帶之上行鏈路通道回應矩陣 H _up (k )的倒數，或 H _dn (k )＝ H (k )且 H _up (k )＝ H ^T (k )。

在下行鏈路上，在接取點610處，傳輸(TX)資料處理器614自資料源612接收流量資料且自控制器/處理器630接收其它資料。TX資料處理器614將所接收之資料格式化、編碼、交錯及調變且產生資料符號，該等資料符號為資料之調變符號。TX空間處理器620接收及多工化具有導頻符號之資料符號、若可應用則以本徵向量或右單一向量進行空間處理且將N_{a p} 個傳輸符號之流提供至N_{a p} 個傳輸器(TMTR)622a至622ap。各個傳輸器622處理其傳輸符號流且產生下行鏈路調變訊號。來自傳輸器622a至622ap之N_{a p} 個下行鏈路調變訊號分別自天線624a至624ap傳輸。

在使用者終端650處，N_{u t} 個天線652a至652ut接收所傳輸之下行鏈路調變符號，且各個天線652將一所接收之訊號提供至一個別接收器(RCVR)654。各個接收器654進行與由傳輸器622所進行之處理互補的處理且提供所接收之符號。接收(RX)空間處理器660對自所有接收器654a至654ut所接收之符號進行空間匹配濾波且提供經偵測之資料符號，該等經偵測之資料符號為由接取點610所傳輸之資料符號的評估值。RX資料處理器670進一步處理(例如符號解映射、解交錯及解碼)經偵測之資料符號且將經解碼之資料提供至資料槽672及/或控制器/處理器680。

通道處理器678處理所接收之導頻符號且提供有關各個子帶之下行鏈路通道回應(k )的評估值。處理器678及/或680可使用本文所述之技術將各個矩陣(k )分解以獲取(k )及(k )，其為下行鏈路通道回應矩陣 H (k )之 V (k )及Σ (k )的評估值。處理器678及/或680可基於如表1所示之(k )導出有關各個子帶之下行鏈路空間濾波矩陣 M _dn (k )。處理器680可將 M _dn (k )提供至用於下行鏈路匹配濾波之RX空間處理器660及/或將(k )提供至用於上行鏈路空間處理之TX空間處理器690。

對上行鏈路之處理可與對下行鏈路之處理相同或不同。來自資料源686之流量資料及來自控制器/處理器680之其它資料由TX資料處理器688處理(例如解碼、交錯及調變)、由導頻符號多工化且由TX空間處理器690以有關各個子帶的(k )進一步空間處理。來自TX空間處理器690之傳輸符號由傳輸器654a至654ut進一步處理以產生經由天線652a至652ut傳輸的N_{u t} 個上行鏈路調變符號。

在接取點610處，上行鏈路調變訊號由天線624a至624ap接收且由接收器622a至622ap處理以產生用於上行鏈路傳輸之接收符號。RX空間處理器640對所接收之資料符號進行空間匹配濾波且提供經偵測之資料符號。RX資料處理器642進一步處理經偵測之資料符號且將經解碼之資料提供至資料槽644及/或控制器/處理器630。

通道處理器628處理經接收之導頻符號且視傳輸上行鏈路導頻之方式而定來提供有關各個子帶之 H ^T (k )或 U (k )的評估值。處理器628及/或630可使用本文所述之技術來分解各個矩陣 ^T (k )以獲取(k )。處理器628及/或630亦可基於(k )來導出用於有關各個子帶之上行鏈路空間濾波矩陣 M _up (k )。處理器680可將 M _up (k )提供至用於上行鏈路空間匹配濾波之RX空間處理器640及/或將(k )提供至用於下行鏈路空間處理之TX空間處理器620。

控制器/處理器630及680分別控制在接取點610及使用者終端650處之運算。記憶體632及682分別儲存用於接取點610及使用者終端650之資料及程式碼。處理器628、630、678、680及/或其它處理器可進行通道回應矩陣之本徵值分解及/或奇異值分解。

本文所述之矩陣分解技術可由各種構件來實施。舉例而言，此等技術可實施於硬體、韌體、軟體或其組合中。對於硬體實施例而言，用於進行矩陣分解之處理單元可實施於一或多個特殊應用積體電路(ASIC)、數位訊號處理器(DSP)、數位訊號處理器件(DSPD)、可程式化邏輯器件(PLD)、場可程式化閘極陣列(FPGA)、處理器、控制器、微控制器、微處理器、設計用於進行本文所述之功能的其它電子單元或其組合內。

對於韌體及/或軟體實施例而言，矩陣分解技術可以進行本文所述之功能的模組(例如程序、功能等等)來實施。軟體碼可儲存於一記憶體(例如圖6中之記憶體632或682)中且可由一處理器(例如處理器630或680)來執行。記憶體單元可實施於處理器內或處理器外部。

標題包括於本文中以用於參考且協助尋找某些部分。此等標題並非意欲限制下文所述之概念的範疇，且此等概念可應用於遍及整個說明書之其它部分中。

提供所揭示之實施例的先前說明以使熟習此項技術者能夠製作或使用本發明。對此等實施例之各種修改對於熟習此項技術者將顯而易見，且本文所界定之通用原理可應用於其它實施例而不偏離本發明之精神或範疇。因此，本發明並非意欲限於本文所示之實施例，但其應符合與本文所揭示之原理及新穎特徵一致的最廣範疇。

600．．．MIMO系統

610．．．接取點

612．．．資料源

614．．．TX資料處理器

620．．．TX空間處理器

622a－622ap．．．傳輸器/接收器

624a－624ap．．．天線

628．．．通道處理器

630．．．控制器/處理器

632．．．記憶體

640．．．RX空間處理器

642．．．RX資料處理器

644．．．資料槽

650．．．使用者終端

652a－652ut．．．天線

654a－654ut．．．接收器/傳輸器

660．．．RX空間處理器

670．．．RX資料處理器

672．．．資料槽

678．．．通道處理器

680．．．控制器/處理器

682．．．記憶體

686．．．資料源

688．．．TX資料處理器

690．．．TX空間處理器

圖1展示一種使用Jacobi旋轉來進行本徵值分解的方法。

圖2展示一種根據第一SVD實施例使用Jacobi旋轉來進行奇異值分解的方法。

圖3展示一種根據第二SVD實施例使用Jacobi旋轉來進行奇異值分解的方法。

圖4展示一種使用Jacobi旋轉來分解矩陣的方法。

圖5展示一種使用Jacobi旋轉來分解矩陣的裝置。

圖6展示一接取點及一使用者終端的方塊圖。

Claims (36)

1. 一種用於以Jacobi旋轉分解矩陣之裝置，其包含：至少一處理器，其經組態以以複數個複值Jacobi旋轉矩陣對複值之一第一矩陣進行複數個Jacobi旋轉迭代，其中該至少一處理器經組態以對於每次迭代基於該第一矩陣來形成一子矩陣，分解該子矩陣以獲取該子矩陣之本徵向量，以該等本徵向量來形成一Jacobi旋轉矩陣，及以該Jacobi旋轉矩陣來更新該第一矩陣，及基於該等複數個Jacobi旋轉矩陣導出複值之一第二矩陣，該第二矩陣包含正交向量；及一記憶體，其耦接至該至少一處理器。
2. 如請求項1之裝置，其中對於該等複數個迭代之每一者而言，該至少一處理器經組態以基於該子矩陣之本徵值來將該子矩陣之該等本徵向量排序。
3. 如請求項1之裝置，其中該至少一處理器經組態以基於該等複數個Jacobi旋轉矩陣來導出一第三本徵值矩陣。
4. 如請求項1之裝置，其中該至少一處理器經組態以基於該等複數個Jacobi旋轉矩陣來導出複值之一第三矩陣；及基於該第三矩陣導出一具有正交向量之第四矩陣。
5. 如請求項4之裝置，其中該至少一處理器經組態以基於該第三矩陣導出一奇異值矩陣。
6. 如請求項1之裝置，其中該至少一處理器經組態以基於 該等複數個Jacobi旋轉矩陣導出一具有正交向量之第三矩陣。
7. 如請求項6之裝置，其中該至少一處理器經組態以基於該等複數個Jacobi旋轉矩陣導出一奇異值矩陣。
8. 如請求項1之裝置，其中該至少一處理器經組態以選擇用於該等複數個Jacobi旋轉迭代之該第一矩陣之列及行指數的不同值。
9. 如請求項1之裝置，其中對於該等複數個迭代之每一者而言，該至少一處理器經組態以識別該第一矩陣中之一最大非對角元素，及基於該最大非對角元素來進行該Jacobi旋轉。
10. 如請求項1之裝置，其中該至少一處理器經組態以在一預定數目之迭代後終止對該第一矩陣之該Jacobi旋轉。
11. 如請求項1之裝置，其中該至少一處理器經組態以判定是否滿足一誤差標準，及在滿足該誤差標準後終止該等複數個Jacobi旋轉迭代。
12. 如請求項1之裝置，其中該第一矩陣具有一大於2×2之維數。
13. 一種用於以Jacobi旋轉分解矩陣之方法，其包含：由一無線通訊裝置以複數個複值Jacobi旋轉矩陣對複值之一第一矩陣進行複數個Jacobi旋轉迭代，其中該進行包含對每一迭代基於該第一矩陣形成一子矩陣，分解該子矩陣以獲取該子矩陣之本徵向量，以該等本徵向量 形成一Jacobi旋轉矩陣，及以該Jacobi旋轉矩陣更新該第一矩陣；及基於該等複數個Jacobi旋轉矩陣導出複值之一第二矩陣，該第二矩陣包含正交向量。
14. 如請求項13之方法，其進一步包含：基於該等複數個Jacobi旋轉矩陣導出複值之一第三矩陣；及基於該第三矩陣導出一具有正交向量之第四矩陣。
15. 如請求項13之方法，其進一步包含：基於該等複數個Jacobi旋轉矩陣導出一具有正交向量之第三矩陣。
16. 一種用於無線通訊之裝置，其包含：用於以複數個複值Jacobi旋轉矩陣對複值之一第一矩陣進行複數個Jacobi旋轉迭代的構件，其中該用於進行之構件經組態以對於每一迭代基於該第一矩陣形成一子矩陣，分解該子矩陣以獲取該子矩陣之本徵向量，以該等本徵向量形成一Jacobi旋轉矩陣，及以該Jacobi旋轉矩陣更新該第一矩陣；及用於基於該等複數個Jacobi旋轉矩陣導出複值之一第二矩陣的構件，該第二矩陣包含正交向量。
17. 如請求項16之裝置，其進一步包含；用於基於該等複數個Jacobi旋轉矩陣來導出複值之一第三矩陣之構件；及用於基於該第三矩陣來導出一具有正交向量之第四矩 陣的構件。
18. 如請求項16之裝置，其進一步包含：用於基於該等複數個Jacobi旋轉矩陣來導出一具有正交向量之第三矩陣的構件。
19. 一種用於以Jacobi旋轉分解矩陣之裝置，其包含：至少一處理器，其經組態以將一第一矩陣初始化為一特性矩陣，將一第二矩陣初始化為一複值厄密矩陣，藉由以下步驟對該第二矩陣進行複數個Jacobi旋轉迭代：基於該第二矩陣形成一用於每次迭代之子矩陣，分解該子矩陣以獲取用於每次迭代該子矩陣之本徵向量，以該子矩陣之該等本徵向量來形成對每次迭代之一複值Jacobi旋轉矩陣，及基於用於該迭代之該Jacobi旋轉矩陣來更新用於每次迭代之該第一及第二矩陣，提供該第一矩陣為一本徵向量矩陣，及提供該第二矩陣為一本徵值矩陣；及一記憶體，其耦接至該至少一處理器。
20. 一種用於無線通訊之裝置，其包含：用於將一第一矩陣初始化為一特性矩陣之構件；用於將一第二矩陣初始化為一複值厄密矩陣之構件；用於對該第二矩陣進行複數個Jacobi旋轉迭代之構件，其藉由以下步驟： 對於每次迭代，基於該第二矩陣形成一子矩陣，分解該子矩陣以獲取該子矩陣之本徵向量，以該等本徵向量來形成一Jacobi旋轉矩陣，及基於用於該迭代之該Jacobi旋轉矩陣來更新該第一及第二矩陣；用於提供該第一矩陣為一本徵向量矩陣之構件；及用於提供該第二矩陣為一本徵值矩陣之構件。
21. 一種用於以Jacobi旋轉分解矩陣之裝置，其包含：至少一處理器，其經組態以：將一第一矩陣初始化為一特性矩陣，將一第二矩陣初始化為一複值矩陣，藉由以下步驟對該第二矩陣進行複數個Jacobi旋轉迭代：對於每次迭代，基於該第二矩陣形成一子矩陣，分解該子矩陣以獲取該子矩陣之本徵向量，以該子矩陣之該等本徵向量來形成一Jacobi旋轉矩陣，及基於用於該迭代之該Jacobi旋轉矩陣來更新該第一及第二矩陣，及提供該第一矩陣為一右單一向量矩陣；及一記憶體，其耦接至該至少一處理器。
22. 如請求項21之裝置，其中該至少一處理器經組態以基於該第二矩陣導出一奇異值矩陣。
23. 如請求項21之裝置，其中該至少一處理器經組態以基於該第二矩陣導出一左單一向量矩陣。
24. 一種用於無線通訊之裝置，其包含： 用於將一第一矩陣初始化為一特性矩陣之構件；用於將一第二矩陣初始化為一複值矩陣之構件；用於對該第二矩陣進行複數個Jacobi旋轉迭代之構件，其藉由以下步驟：對於每次迭代，基於該第二矩陣形成一子矩陣，分解該子矩陣以獲取該子矩陣之本徵向量，以該等本徵向量形成一Jacobi旋轉矩陣，及基於用於該迭代之該Jacobi旋轉矩陣來更新該第一及第二矩陣；及用於提供該第一矩陣為一右單一向量矩陣的構件。
25. 一種用於以Jacobi旋轉分解矩陣之裝置，其包含：至少一處理器，其經組態以將一第一矩陣初始化為一特性矩陣，將一第二矩陣初始化為該特性矩陣，將一第三矩陣初始化為一複值矩陣，對該第三矩陣進行複數個Jacobi旋轉迭代，其對於每次迭代而言係藉由：基於該第三矩陣形成一第一子矩陣，分解該第一子矩陣以獲取該第一子矩陣之本徵向量，以該第一子矩陣之該等本徵向量形成一第一Jacobi旋轉矩陣，基於該第三矩陣形成一第二Jacobi旋轉矩陣，基於該第一Jacobi旋轉矩陣更新該第一矩陣，基於該第二Jacobi旋轉矩陣更新該第二矩陣，及基於該第一及第二Jacobi旋轉矩陣來更新該第三矩 陣，及提供該第二矩陣為一左單一向量矩陣；及一記憶體，其耦接至該至少一處理器。
26. 如請求項25之裝置，其中對於該等複數個迭代之每一者而言，該至少一處理器經組態以基於該第三矩陣形成一第二子矩陣，分解該第二子矩陣以獲取該第二子矩陣之本徵向量，及以該第二子矩陣之該等本徵向量形成該第二Jacobi旋轉矩陣。
27. 如請求項25之裝置，其中該至少一處理器經組態以基於該第一矩陣導出一右單一向量矩陣。
28. 如請求項25之裝置，其中該至少一處理器經組態以基於該第三矩陣導出一奇異值矩陣。
29. 一種用無線通訊之裝置，其包含；用於將一第一矩陣初始化為一特性矩陣之構件；用於將一第二矩陣初始化為該特性矩陣之構件；用於將一第三矩陣初始化為一複值矩陣之構件；用於對該第三矩陣進行複數個Jacobi旋轉迭代之構件，其對於每次迭代而言藉由以下步驟：基於該第三矩陣形成一第一子矩陣，分解該第一子矩陣以獲取該第一子矩陣之本徵向量，以該第一子矩陣之該等本徵向量形成一第一Jacobi旋轉矩陣，基於該第三矩陣形成一第二Jacobi旋轉矩陣， 基於該第一Jacobi旋轉矩陣更新該第一矩陣，基於該第二Jacobi旋轉矩陣更新該第二矩陣，及基於該第一及第二Jacobi旋轉矩陣更新該第三矩陣；及用於提供該第二矩陣為一左單一向量矩陣的構件。
30. 如請求項29之裝置，其中該用於形成該第二Jacobi旋轉矩陣的構件包含：用於基於該第三矩陣形成一第二子矩陣的構件，用於分解該第二子矩陣以獲取該第二子矩陣之本徵向量的構件，及用於以該第二子矩陣之該等本徵向量形成該第二Jacobi旋轉矩陣的構件。
31. 一種用於以Jacobi旋轉分解矩陣之裝置，其包含：至少一處理器，其經組態以對一第一複值矩陣進行一第一複數個Jacobi旋轉迭代以獲取一具有正交向量之第一單一矩陣，及對一第二複值矩陣進行一第二複數個Jacobi旋轉迭代以獲取一具有正交向量之第二單一矩陣，其中該第一單一矩陣用作一用於該第二單一矩陣的初始解；及一記憶體，其耦接至該至少一處理器。
32. 如請求項31之裝置，其中該至少一處理器經組態以對一第三複值矩陣進行一第三複數個Jacobi旋轉迭代以獲取一具有正交向量之第三單一矩陣，其中該第二單一矩陣用作一用於該第三單一矩陣的初始解。
33. 如請求項31之裝置，其中該第一及第二複值矩陣為兩個頻率子帶之通道回應矩陣。
34. 如請求項31之裝置，其中該第一及第二複值矩陣為兩個時間間隔之通道回應矩陣。
35. 一種用於無線通訊之裝置，其包含：用於對一第一複值矩陣進行一第一複數個Jacobi旋轉迭代以獲取一具有正交向量之第一單一矩陣的構件；及用於對一第二複值矩陣進行一第二複數個Jacobi旋轉迭代以獲取一具有正交向量之第二單一矩陣的構件，其中該第一單一矩陣用作一用於該第二單一矩陣的初始解。
36. 如請求項35之裝置，其中該第一及第二複值矩陣為兩個頻率子帶之通道回應矩陣。