CN101055165A - 对径及平行多位测量轧辊圆度误差和机床主轴运动误差的方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种对径及平行多位测量轧辊圆度误差和机床主轴运动误差的方法。它是在被测轧辊测量截面的外围，对径设置两个位移传感器，其中一个位移传感器作为基准位置传感器，而另一个位移传感器与一个与其平行设置的位移传感器作为测量传感器，经过轧辊多次转位在不同测量位置与轧辊表面圆作相对运动，获取轧辊被测截面表面的冗余信息，建立相应的多位圆度误差分离方程，并将采集到冗余信息中的时域信号变换到频域进行分析，在机将作偏心旋转运动轧辊的圆度误差和主轴的运动误差进行分离，实现对轧辊圆度和机床主轴运动误差的测量与分离。本发明实施简便，解决了作偏心旋转运动工件的圆度误差在线测量问题，可以推广到普通轴类零件的圆度误差和机床主轴运动误差的在线测量和分离。

Description

对径及平行多位测量轧辊圆度误差和机床主轴运动误差的方法

技术领域

本发明涉及一种对径及平行多位测量轧辊圆度误差和机床主轴运动误差的方法。对径设置中的一个位移传感器作为基准位置传感器，另外平行的两个作为测量传感器，经过轧辊多次转位在不同测量位置与轧辊表面圆作相对运动，获取轧辊某截面表面的冗余信息，并建立相应的多位圆度误差分离方程，并将采集到冗余信息中的时域信号变换到频域进行分析，在机将作偏心旋转运动轧辊的圆度误差和主轴的运动误差进行分离，实现对轧辊的圆度误差和主轴运动误差在机测量，根据实际需求，该测量方法可简化为对径两点测量法，也可以设置任意夹角进行随机测量，从而提高测量精度。

背景技术

随着冶金钢铁及汽车行业的迅猛发展，对金属板材的精度要求越来越高。为了能压制出高精度的板材，轧辊的质量就显得优为重要。其中轧辊的圆度及轧辊的表面质量是决定板材精度的最主要因素，而轧辊的最终质量是由轧辊磨床所决定的，所以数控轧辊磨床测量精度的高低也起着很重要的作用。传统数控轧辊磨床测量装置测量圆度时，将轧辊的安装偏心和机床的主轴运动误差与轧辊的圆度误差混合在一起。现在这些传统的轧辊测量装置不具有将机床系统误差与轧辊的圆度误差分离的功能。随着人们对轧辊高精度、高效率的追求，对被加工轧辊实施在机测量，并能够将轧辊圆度误差和机床系统误差进行分离，不仅能够提高测量精度，而且分离后的数据还可以用于数控加工的补偿控制，有利于提高轧辊的加工精度和效率。

发明内容

本发明的目的在于提出了一种对径及平行多位测量轧辊圆度误差和机床主轴运动误差的方法，能够实现对工件圆度误差和机床主轴运动误差在线测量。

为达到上述目的，本发明采用下述技术方案：

一种对径及平行多位测量轧辊圆度误差和机床主轴运动误差的方法，其特征在于在被测轧辊测量截面的外围，对径设置两个位移传感器中的一个作为基准位置位移传感器，而另一个位移传感器与一个与其平行设置的位移传感器作为测量传感器，经过轧辊多次转位在不同测量位置与轧辊表面圆作相对运动，获取轧辊被测截面表面的冗余信息，建立相应的多位圆度误差分离方程，并将采集到冗余信息中的时域信号变换到频域进行分析，在机将作偏心旋转运动轧辊的圆度误差和主轴的运动误差进行分离，实现对轧辊圆度和机床主轴运动误差的测量与分离。

具体操作步骤如下：

(1)校正对径设置的两个位移传感器(1、2)处于x轴方向，而另一个位移传感器(3)与x轴夹角为；

(2)首次测量由一个位移传感器(1、2、3)测量三点1A，1B和1C，记录1A点位置及所测数据，1A点作为基准位置点；第二次测量轧辊逆时针旋转(π-)度，由两个平行的位移传感器(2、3)测量二点2B和2C，1C转至基准点1A所在位置，记为2A/1C，并作为新的基准点；第三次测量至第K次均同第二次测量过程，理论上第K次传感器3测量位置与第1次传感器2所测位置重合，在误差范围内可以进行重复测量；

(3)经过步骤(2)中的测量过程，实现多位测量：

设N为测量位移传感器每周采样点数，x_i(n)为第i次测量，测量过程中对应点为iA(i＝2，3，…，K-1)时对应运动误差在x和y轴上均有分量；，r(n)为被测量轧辊的圆度误差，并设δ(n)为主轴运动误差，设轧辊旋转K次，取值经过三位及K次测量得到下列方程：

y＝Ae                               (1)

式中：

y-K次测量得到的位移传感器输出y_i(n)构成的K阶列向量；

e-被测轧辊经过K次转位后得到K个重构的圆度误差和主轴运动误差构成的K+1阶列向量；

M-K+1列测量输出系数矩阵。

y＝(y₁(n)，y₂(n)…，y_N(n))^T                              (2)

$e={(r\left(n\right),r(n+\frac{N}{k}),\·\·\·,r(n+\frac{K-1}{K}N),\mathrm{\δ}\left(n\right))}^T---\left(3\right)$

(4)根据测量机构设置设有权值系数向量：

$C=(c_1,c_2,c_3\·\·\·,c_{K-1},c_K,\·\·\·,c_{K-1},c_K)$

$=(1,-\frac{1}{N-1},-\frac{K}{2N-K},\·\·\·,-\frac{1}{N-1},-\frac{1}{N-1},\·\·\·,1)---\left(4\right)$

其中含有运动误差x分量的系数个数为N个，含有y分量的系数个数为2N/K个；

(5)将C左乘矩阵方程(2)即为：

其中

实现了首次分离，先分离了主轴运动误差δ(n)而得到只含有轧辊圆度误差的表达式：

$y_n\left(n\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{c}_i{y}_i\left(n\right)=\mathrm{Me}---\left(5\right)$

(6)对上面(5)式进行离散Fourier变换(DFT)，同时应用DFT的“时延-相移”性质可解出被测量轧辊的圆度误差的频域表达式：

R(l)＝Y_n(l)/G(l)

$G\left(l\right)=\mathrm{C\Ω}=\underset{i=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{i+1}{e}^{i\×j2\mathrm{\πl}/K}=c_1{e}^0+c_1{e}^{j2\mathrm{\πl}/K}+\·\·\·+c_1{e}^{j2\mathrm{\πl}(N-1)/K}$

Ω＝(e⁰，e^j2πl/K，e^j2×2πl/K，…，e^j2×4πl/K，e^{j2×(N-1)πl/K})；

(7)最后求解出圆度误差序列和机床主轴旋转误差序列：

$r\left(n\right)={\mathrm{DFT}}^{-1}\left[\frac{Y_n\left(l\right)}{G\left(l\right)}\right]$ $(n=\mathrm{0,1,2}.....N-1)$

式中 代表对

进行反傅立叶变换；

(8)然后把(7)中求解出的圆度误差序列r(n)代入式：δ(n)＝y₀(n)-r(n)

即得到主轴运动误差。

本发明与现有技术相比较，本发明具有如下突出实质性特点和显著优点：实施简便，解决了做偏心旋转运动工件的圆度误差在机测量问题，可以推广到普通大轴类零件的圆度误差和机床主轴运动误差的在机测量和分离。

附图说明

图1是本发明的一个实例的对径及平行多位测量轧辊圆度误差和机床主轴运动误差的装置结构示意图。

图2是本发明的轧辊测量原理示意图。

图3是图2所示测量原理中的第一次测量轧辊位置示意图。

图4是图2所示测量原理中的第二次测量轧辊位置示意图。

图5是图2所示测量原理中的第三次测量轧辊位置示意图。

具体实施方式

本发明的一个优选实例结合附图详述如下：

本对径及平行多位测量轧辊圆度误差和机床主轴误差的方法采用图1所示的测量装置：在测量架4上安装两套滚珠丝杠副5、8和9，分别由伺服电机6、7和10驱动，滚珠丝杠副8需要设定临界位置为滚珠丝杠副9的边界线，以免测量过程中与滚珠丝杠副9发生碰撞。对径安置的两传感器1和2的测量头以及与传感器2平行的传感器3的测量头，三者分别安装在测量臂15、11和16上，分别通过滚珠丝杠副5、8和9驱动来接触中心支架14上的轧辊13，从而实现不同直径轧辊的测量。传感器测量头1和2应位于轧辊13的中心连线上，传感器3测量头与轧辊13的中心连线形成的夹角为。这里采用对称式采样，传感器3与x轴夹角要求满足K＝180°，其中K为轧辊旋转次数。简易测量(传感器3与x轴夹角≥60°)可只需使用传感器1和2进行对径测量，传感器3待用。高精度测量(传感器3与x轴夹角＜60°)可减小传感器3与x轴夹角，进行多位测量。根据测量精度要求可以通过调节滚珠丝杠副8的位置来改变角。

本对径及平行多位测量轧辊圆度误差和机床主轴运动误差方法的原理图如图2所示。校正位移传感器1和2，使二个位移传感器连线相交于O点，即与轧辊13中心重合，根据测量精度要求，设定位移传感器3测量头与轧辊13的中心连线形成的夹角为。对某一截面开始测量时，位移传感器1、2位于水平位置，位移传感器1与轧辊13上起始测量点1A相重合。第一次测量由位移传感器1、2和3测量三点1A、1B和1C，记录1A点位置及所测数据，1A点作为基准位置点。第二次测量轧辊13逆时针旋转(π-)度，由平行位移传感器2、3测量二点2B、2C，1C转至基准点1A所在位置，记为2A/1C，并作为新的基准点，第三次测量至第K次均同第二次测量过程，需要说明的是，理论上第K次位移传感器3测量位置与第1次位移传感器2所测位置重合，在误差范围内可以进行重复测量。最后可以得到N(N为采样点数，N＝2K)个位置的测量系列值，同时轧辊13回转要精确分度。轧辊13相对于测量起始点1A的旋转角如表1所示，各个轧辊13位置点的旋转角度情况参见图3_1、图3_2、图3_3。

 表1轧辊测量起始1A点旋转角度

相对应的传感器	角度(度)
		1	0
/	180
		/	240
…	…

表2  圆度测量工件转速推荐值n                      单位：rpm

轧辊直径mm	250～500	500～630	630～1250	大于1250
					n	5～10	4～8	3～5	小于3

轧辊圆度和机床主轴运动误差分离的测量是在测量轧辊13某一截面的圆度时，轧辊转速n参考表2，安装在测量架1上的两测量位移传感器头1、2相对静止。

上述的测量方法的具体操作步骤如下：

(1)校正对径设置的位移传感器1、2处于x轴方向，位移传感器3与x轴夹角为；

(2)首次测量由三个位移传感器1、2、3测量三点1A、1B、1C，记录1A点位置及所测数据，1A点作为基准位置点。第二次测量轧辊13逆时针旋转(π-)度，由两个平行的位移传感器2、3测量二点2B、2C，1C转至基准点1A所在位置，记为2A/1C，并作为新的基准点，第三次测量至第K次均同第二次测量过程，需要说明的是，理论上第K次位移传感器3测量位置与第1次位移传感器2所测位置重合，在误差范围内可以进行重复测量；

(3)经过(2)测量过程，实现多位测量。

对径及平行多位测量轧辊圆度误差和机床主轴运动误差方法的原理图如图2所示。设N为测量位移传感器每周采样点数，x_i(n)为第i次测量，测量过程中对应点为iA(i＝2，3，…，K-1)时对应运动误差在x和y轴上均有分量；，r(n)为被测量轧辊的圆度误差，并设δ(n)为主轴运动误差，设轧辊旋转K次，取值经过三位及K次测量得到下列方程：

y＝Ae                                    (1)

式中：

y-K次测量得到的传感器输出y_i(n)构成的K阶列向量；

e-被测轧辊经过K次转位后得到K个重构的圆度误差和主轴运动误差构成的K+1阶列向量；

M-K+1列测量输出系数矩阵。

y＝(y₁(n)，y₂(n)…，y_N(n))^T                     (2)

$e={(r\left(n\right),r(n+\frac{N}{K}),\·\·\·,r(n+\frac{K-1}{K}N),\mathrm{\δ}\left(n\right))}^T---\left(3\right)$

(4)根据测量机构设置设有权值系数向量：

$C=(c_1,c_2,c_3\·\·\·,c_{K-1},c_K,\·\·\·,c_{K-1},c_K)$

$=(1,-\frac{1}{N-1},-\frac{K}{2N-K},\·\·\·,-\frac{1}{N-1},-\frac{1}{N-1},\·\·\·,1)---\left(4\right)$

其中含有运动误差x分量的系数个数为N个，含有y分量的系数个数为2N/K个。

(5)将C左乘矩阵方程(2)即为：

其中

实现了首次分离，先分离了主轴运动误差δ(n)而得到只含有轧辊圆度误差的表达式：

$y_n\left(n\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{c}_i{y}_i\left(n\right)=\mathrm{Me}---\left(5\right)$

(6)对上面(5)式进行离散Fourier变换(DFT)，同时应用DFT的“时延-相移”性质可解出被测量轧辊的圆度误差的频域表达式：

R(l)＝Y_n(l)/G(l)

$G\left(l\right)=\mathrm{C\Ω}=\underset{i=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{i+1}{e}^{i\×j2\mathrm{\πl}/K}=c_1{e}^0+c_1{e}^{j2\mathrm{\πl}/K}+\·\·\·+c_1{e}^{j2\mathrm{\πl}(N-1)/K}$

Ω＝(e⁰，e^j2πl/K，e^j2×2πl/K，…，e^j2×4πl/K，e^{j2×(N-1)πl/K})

(7)最后求解出圆度误差序列和机床主轴旋转误差序列：

$r\left(n\right)={\mathrm{DFT}}^{-1}\left[\frac{Y_n\left(l\right)}{G\left(l\right)}\right](n=\mathrm{0,1,2}.....N-1)$

式中

代表对

进行反傅立叶变换。

(8)然后把(7)中求解出的圆度误差序列r(n)代入式：δ(n)＝y₀(n)-r(n)即可得到主轴运动误差。

测量原理

如图1所示，被测轧辊13圆截面周围，配置有三个位移传感器1、2和3，在其交点O处建立坐标系xoy，O’为某一时刻工件截面二乘心的位置，则δ_x(θ)和δ_y(θ)为轧辊主轴运动误差在x和y坐标轴方向上的分量。

R为轧辊的平均半径，D为位移传感器3与位移传感器2之间的间距，此时三个位移传感器1、2、3的输出方程分别为：

x₁(θ)＝-r(θ)+δ_x(θ)                                       (1)

x₂(θ)＝r(θ)+δ_x(θ)                                        (2)

其中，可由图2所示几何关系计算得到：sin＝D/R              (4)

则有：x₃(θ)＝f(r(θ+)，δ_y(θ))+δ_x(θ)-Rcos            (6)

对f(r(θ+)，δ_y(θ))作泰勒级数展开，略去高阶小量后，则有：

(7)

综合(3)、(5)、(6)及(7)式，可得

测量时，通常围绕轧辊13一周作等间隔数据采样，记为采样间隔，N为每周采样点数，则有＝2π/N，

(p为常整数)。位移传感器读数、被测工件形状误差以及运动误差的离散化数据相应地就应分别记为x_i(n)、r(n+ki)、δ_x(n)和δ_y(n)(i＝1，2，3)。于是三位移传感器的读数方程就成为：x₁(n)＝x₃(n-1)/cos(π+)+δ_x(n)   n＝2，3…，K-1            (9)

x₁(n)表示在位移传感器1位置对应的辊形数据信息为上次测量位移传感器3位置所测得的数据信息，首次测量时：x₁(1)＝-r(1)+δ_x(1)            (11)

当轧辊13旋转至最后第K次时，位移传感器1位置对应的辊形数据信息为第K-1次位移传感器3位置所测得的数据信息，位移传感器3位置与位移传感器2在第一次测量位置相重合。

y＝(y₁(n)，y₂(n)…，y_N(n))^T                                (12)

$\left.\begin{array}{c}{y}_1\left(n\right)=x_{\mathrm{KB}}\left(n\right),y_2\left(n\right)=x_{1B}\left(n\right)=x_{\mathrm{KC}}\left(n\right)\\ y_3\left(n\right)=x_{2A}\left(n\right),y_4\left(n\right)=x_{3B}\left(n\right)\\ \·\·\·\·\·\·\\ y_K\left(n\right)=x_{(K-1)B}\left(n\right),\\ y_{(K+1)}\left(n\right)=x_{\mathrm{KA}}\left(n\right)\\ y_{(K+2)}\left(n\right)=x_{1A}\left(n\right),y_{(K+3)}\left(n\right)=x_{2B}\left(n\right)\\ \·\·\·\·\·\·\\ y_{\left(N\right)}\left(n\right)=x_{(N-1)A}\left(n\right)\end{array}\right\}$ 方程组1(13)

$e={(r\left(n\right),r(n+\frac{N}{K}),\·\·\·,r(n+\frac{K-1}{K}N),\mathrm{\δ}\left(n\right))}^T---\left(14\right)$

设

A，B，C对应的分别是位移传感器1，2，3。M为K+1列测量输出系数矩阵，H为运动误差系数矩阵，

为运动误差映射矩阵。

设置以下参数：

N：测量传感器每周采样点数；

r(n)：为被测量轧辊的圆度误差；

δ(n)：为主轴运动误差；

x_i(n)：为第i次测量，测量过程中对应iA(i＝2，3，…，K-1)时对应运动误差在x和y轴上均有分量；

y_i(n)：为第i个测量点的传感器输出；

c_k：为权值系数常量；

G(l)：为测量-分离系统的频率传递函数也称误差分离的权函数，l谐波次数；

Ω：为误差分离的相移旋转因子。

设有权值系数向量

$C=(c_1,c_2,c_3\·\·\·,c_{K-1},c_K,\·\·\·,c_{K-1},c_K)$

$=(1,-\frac{1}{N-1},-\frac{K}{2N-K},\·\·\·,-\frac{1}{N-1},-\frac{1}{N-1},\·\·\·,1)---\left(16\right)$

将C左乘矩阵方程(12)即为：

其中

实现了首次分离，先分离了主轴运动误差δ(n)而得到只含有轧辊圆度误差的表达式：

$y_n\left(n\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{c}_i{y}_i\left(n\right)=\mathrm{Me}---\left(18\right)$

实现了首次分离，先分离了主轴运动误差δ(n)而得到只含有轧辊圆度误差的表达式：

$y_n\left(n\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{c}_i{y}_i\left(n\right)=\mathrm{Me}---\left(19\right)$

y_n(n)-为位移传感器对N个点测得的圆度误差的加权和。

要得到真正的轧辊圆度误差r(n)表达式，对式(19)进行离散Fourier变换(DFT)，同时应用DFT的“时延-相移”性质可解出被测量轧辊的圆度误差的频域表达式：

R(l)＝Y_n(l)/G(l)                                                 (20)

$G\left(l\right)=\mathrm{C\Ω}=\underset{i=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{i+1}{e}^{i\×j2\mathrm{\πl}/K}=c_1{e}^0+c_1{e}^{j2\mathrm{\πl}/K}+\·\·\·+c_1{e}^{j2\mathrm{\πl}(N-1)/L}---\left(21\right)$

Ω＝(e⁰，e^j2πl/K，e^j2×2πl/K，…，e^j2×4πl/K，e^{j2×(N-1)πl/K})    (22)

式中：G(l)为测量-分离系统的频率传递函数也称误差分离的权函数，它表征了圆度各谐波分量被加权后输送到组合信号中去的传递关系。显然当关l＝0时，有G(l)≡0，这表明这样的方法产生零阶谐波抑制，也就是说这种方法不能反映被轧辊的尺寸变动。实际上我们也是只关心被测量轧辊的实际形状轮廓，所以说零阶谐波并不影响该方法的圆度误差分离技术的应用。

Ω为误差分离的相移旋转因子。

式(20)为对径及平行多位法圆度误差分离的基本方程。对于任意的谐波次数l，如果其权函数G(l)≠0，其圆度误差在该阶谐波上的分量均可由式(20)给出，若对(20)做逆傅氏变换(DFT^-1)则可得经过误差分离后的圆度误差的轮廓曲线(11)方程，同时根据轧辊圆度误差曲线，采用测量系统软件可求出轧辊的圆度误差。

$r\left(n\right)={\mathrm{DFT}}^{-1}\left[\frac{Y_n\left(l\right)}{G\left(l\right)}\right](n=\mathrm{0,1},2\·\·\·\·\·N-1)---\left(23\right)$

式中

代表对

进行反傅立叶变换。

然后把(24)中求解出的圆度误差序列r(n)分别代入式(12)(14)的离散形式，即可得到主轴运动误差：

δ(n)＝y₀(n)-r(n)                                     (24)

由式(23)和(24)就可以分别计算出被测工件的圆度误差和机床主轴旋转误差，从而达到将圆度误差和系统误差分离的结果。

与现有技术相比较，本发明具有如下突出实质性特点和显著优点：计算简单，解决了做偏心旋转运动工件的圆度误差在机测量问题，也可以推广到普通大轴类零件的圆度误差和机床主轴运动误差的在机测量和分离。

Claims (2)

1.一种对径及平行多位测量轧辊圆度误差和机床主轴运动误差的方法，其特征在于在被测轧辊(13)测量截面的外围，对径设置两个位移传感器(1、2)，其中一个位移传感器(1)作为基准位置传感器，而另一个位移传感器(2)与一个与其平行设置的位移传感器(3)作为测量传感器，经过轧辊(13)多次转位在不同测量位置与轧辊(13)表面圆作相对运动，获取轧辊(13)被测截面表面的冗余信息，建立相应的多位圆度误差分离方程，并将采集到冗余信息中的时域信号变换到频域进行分析，在机将作偏心旋转运动轧辊的圆度误差和主轴的运动误差进行分离，实现对轧辊圆度和机床主轴运动误差的测量与分离。

2.根据权利要求1所述的对径及平行多位测量轧辊圆度误差和机床主轴运动误差的方法，其特征在于具体操作步骤如下：

(1)校正对径设置的两个位移传感器(1、2)处于x轴方向，而另一个位移传感器(3)与x轴夹角为；

(2)首次测量由一个位移传感器(1、2、3)测量三点1A，1B和1C，记录1A点位置及所测数据，1A点作为基准位置点；第二次测量轧辊逆时针旋转(π-)度，由两个平行的位移传感器(2、3)测量二点2B和2C，1C转至基准点1A所在位置，记为2A/1C，并作为新的基准点；第三次测量至第K次均同第二次测量过程，理论上第K次传感器3测量位置与第1次传感器2所测位置重合，在误差范围内可以进行重复测量；

(3)经过步骤(2)中的测量过程，实现多位测量：

设N为测量位移传感器每周采样点数，x_i(n)为第i次测量，测量过程中对应点为iA(i＝2，3，…，K-1)时对应运动误差在x和y轴上均有分量，r(n)为被测量轧辊的圆度误差，并设δ(n)为主轴运动误差，设轧辊旋转K次，取值经过三位及K次测量得到下列方程：

y＝Ae                                                  (1)

式中：

y-K次测量得到的位移传感器输出y_i(n)构成的K阶列向量；

e-被测轧辊经过K次转位后得到K个重构的圆度误差和主轴运动误差构成的K+1

阶列向量；

M-K+1列测量输出系数矩阵。

y＝(y₁(n)，y₂(n)…，y_N(n))^T                            (2)

$e={(r\left(n\right),r(n+\frac{N}{K}),\·\·\·,r(n+\frac{K-1}{K}N),\mathrm{\δ}\left(n\right))}^T---\left(3\right)$

(4)根据测量机构设置设有权值系数向量：

$C=(c_1,c_2,c_3\·\·\·,c_{K-1},c_K,\·\·\·,c_{K-1},c_K)$

$=(1,-\frac{1}{N-1},-\frac{K}{2N-K},\·\·\·,-\frac{1}{N-1},-\frac{1}{N-1},\·\·\·,1)---\left(4\right)$

其中含有运动误差x分量的系数个数为N个，含有y分量的系数个数为2N/K个；

(5)将C左乘矩阵方程(2)即为：

其中

实现了首次分离，先分离了主轴运动误差δ(n)而得到只含有轧辊圆度误差的表达式：

$y_n\left(n\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{c}_i{y}_i\left(n\right)=\mathrm{Me}---\left(5\right)$

(6)对上面(5)式进行离散Fourier变换(DFT)，同时应用DFT的“时延-相移”性质可解出被测量轧辊的圆度误差的频域表达式：

R(l)＝Y_n(l)/G(l)

$G\left(l\right)=\mathrm{C\Ω}=\underset{i=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{i+1}{e}^{i\×j2\mathrm{\πl}/K}=c_1{e}^0+c_1{e}^{j2\mathrm{\πl}/K}+\·\·\·+c_1{e}^{j2\mathrm{\πl}(N-1)/K}$

Ω＝(e⁰，e^j2πl/K，e^j2×2πl/K，…，e^j2×4πl/K，e^{j2×(N-1)πl/K})；

(7)最后求解出圆度误差序列和机床主轴旋转误差序列：

$r\left(n\right)={\mathrm{DFT}}^{-1}\left[\frac{Y_n\left(l\right)}{G\left(l\right)}\right](n=\mathrm{0,1,2}.....N-1)$

式中 代表对 进行反傅立叶变换；

(8)然后把(7)中求解出的圆度误差序列r(n)代入式：δ(n)＝y₀(n)-r(n)即得到主轴运动误差。

Images