CN102506800A - 对径两点六位测量大型轴类零件圆度误差和机床主轴运动误差的方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种对径两点六位测量大型轴类零件圆度误差和机床主轴误差的方法。它是根据对径设置的两个位移传感器在六个不同转位测量中采集到的时域信号变换到频域进行分析，在机将作偏心旋转运动大型轴类零件的圆度误差和主轴的运动误差进行分离，实现对大型轴类零件的圆度误差和主轴运动误差在线测量，提高了测量精度。

Description

对径两点六位测量大型轴类零件圆度误差和机床主轴运动误差的方法

技术领域

本发明涉及一种对径两点六位测量大型轴类零件圆度误差和机床主轴运动误差的方法。它是根据对径设置的两个位移传感器经过大型轴类零件三次转位在六个不同测量位置与大型轴类零件表面圆作相对运动，获取大型轴类零件某截面表面的冗余信息，并建立六位圆度误差分离方程，并将采集到冗余信息中的时域信号变换到频域进行分析，在机将作偏心旋转运动大型轴类零件的圆度误差和主轴的运动误差进行分离，实现对大型轴类零件的圆度误差和主轴运动误差在机测量，可提高测量精度。

背景技术

精密大型轴类零件的在机测量是国内外技术领域的一项技术难点。精密大型轴类零件的最终质量是由大型轴类零件磨床所决定的，所以数控大型轴类零件磨床测量精度的高低也起着很重要的作用。传统数控大型轴类零件磨床测量装置测量圆度时，将大型轴类零件的安装偏心和机床的主轴运动误差与大型轴类零件的圆度误差混合在一起。现在这些传统的大型轴类零件测量装置不具有将机床系统误差与大型轴类零件的圆度误差分离的功能。随着人们对大型轴类零件高精度、高效率的追求，对被加工大型轴类零件实施在机测量，并能够将大型轴类零件圆度误差和机床系统误差进行分离，不仅能够提高测量精度，而且分离后的数据还可以用于数控加工的补偿控制，有利于提高大型轴类零件的加工精度和效率。

发明内容

本发明的目的在于提出了一种对径两点六位测量大型轴类零件圆度误差和机床主轴运动误差的方法。在加工测量时，通过对径两点移传感器在六个位置的测量，获取被加工工件表面的冗余信息，并建立动态圆度误差分离方程，实现对工件圆度误差和机床主轴运动误差在线测量，其中六位测量是经过实践证明的最佳位数，经过前期实验证明六位以上测量出现系统数据卡死现象。

为达到上述目的，本发明采用下述技术方案：

一种对径两点六位测量大型轴类零件圆度误差和机床主轴运动误差的方法，其特征在于根据对径设置的两个位移传感器经过大型轴类零件三次转位在六个不同测量位置与大型轴类零件表面圆作相对运动，获取大型轴类零件某截面表面的冗余信息，并建立六位圆度误差分离方程，并将采集到冗余信息中的时域信号变换到频域进行分析，实现对大型轴类零件圆度和机床主轴运动误差的测量与分离。

如图1所示，测量架1上安装两套滚珠丝杠副2和5，分别由伺服电机3和4驱动。对径安置的两传感器测量头7和10，分别安装在测量臂6和11上，分别通过滚珠丝杠副5和2驱动来接触中心支架9上的大型轴类零件8，从而实现不同直径大型轴类零件的测量。传感器测量头7和10应位于大型轴类零件8的中心连线上。

对径两点六位测量大型轴类零件圆度误差和机床主轴运动误差方法的原理图如图2所示。分别设置二个传感器P₁、P₄(10)，并让二个传感器连线相交于O点，即与大型轴类零件中心重合。开对某一截面开始测量时，传感器P₁(7)、P₄(10)位于水平位置，P₁(7)与大型轴类零件上起始测量点A相重合。第二次测量时，大型轴类零件以A点为基准顺时针旋转60°，传感器P₂(7′)、P₅(10′)位于水平位置，进行采样取值。第三次测量时，大型轴类零件以A点为基准顺时针旋转120°，传感器P₃(7″)、P₆(10″)位于水平位置，进行采样取值。在测量过程中，大型轴类零件测量参照起始点A旋转测量三次，两个传感器共得到六个位置的测量系列值，同时大型轴类零件回转要精确分度。大型轴类零件相对于测量起始点A的旋转角如表1所示。

表1大型轴类零件测量起始A点旋转角度

相对应的传感器	角度(度)
		P1(7)、P4(10)	0
P2(7′)、P5(10′)	60
		P3(7″)、P6(10″)	120

表2圆度测量工件转速推荐值n  单位：rpm

大型轴类零件直径mm	250～500	500～630	630～1250	大于1250
					n	5～10	4～8	3～5	小于3

大型轴类零件圆度和机床主轴运动误差分离的测量是在测量大型轴类零件某一截面的圆度时，大型轴类零件转速n参考表2，安装在测量架1上的两测量传感器头7和10相对静止。

上述的测量方法的具体操作步骤如下：

(1)经过对径两传感器7[P₁(7)，P₂(7′)，P₃(7″)]和10[P₄(10)，P₅(10′)，P₆(10″)]在三个转位，实现六位测量其公式为：y＝Ae

其中：

y＝(y₀(n)，y₁(n)，y₂(n)，y₃(n)，y₄(n)，y₅(n))^T

$e={(r\left(n\right),r(n+\frac{N}{6}),r(n+\frac{2N}{6}),r(n+\frac{3N}{6}),r(n+\frac{4N}{6}),r(n+\frac{5N}{6}),\mathrm{\δ}\left(n\right))}^T$

$A=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 1\end{array}\right]$

N：测量传感器每周采样点数；

y_k(n)：为第K次测量时传感器在第n点的输出；

r(n)：为被测量大型轴类零件的圆度误差；

δ(n)：为主轴运动误；

y：6次测量得到的传感器输出y_k构成的6阶列向量；

e：被测大型轴类零件经过3次转位后得到6个重构的圆度误差和主轴运动误差构成的7阶列向量；

A：7列测量输出系数矩阵；

y_n(n)：为6个测量基准点开始的传感器输出圆度误差的加权和；

G(l)：为测量-分离系统的频率传递函数也称误差分离的权函数，l皆波次数；

Ω：为误差分离的相移旋转因子。

(2)根据测量机构设置设有权值系数向量：

$C=(c_0,c_1,c_2,c_3,c_4,c_5)=(1,-\frac{1}{5},-\frac{1}{5},-\frac{1}{5},-\frac{1}{5},-\frac{1}{5})$

(3)将C左乘步骤(1)中公式y＝Ae并展开得：

$\mathrm{Cy}=\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_k{y}_k\left(n\right)=\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{k}r(n+\frac{\mathrm{kN}}{6})+\mathrm{\δ}\left(n\right)\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_k$

其中 $\mathrm{\δ}\left(n\right)\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_k=\mathrm{\δ}\left(n\right)(1-\frac{1}{5}-\frac{1}{5}-\frac{1}{5}-\frac{1}{5}-\frac{1}{5})=0$ 实现了首次分离，先分离了主轴运动

误差δ(n)而得到只含有大型轴类零件圆度误差的表达式：

$y_n\left(n\right)=\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_k{y}_k\left(n\right)=\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{k}r(n+\frac{\mathrm{kN}}{6})$

(4)对步骤(3)中的表达式 $y_n\left(n\right)=\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_k{y}_k\left(n\right)=\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{k}r(n+\frac{\mathrm{kN}}{6})$ 进行离散Fourier变换(DFT)，同时应用DFT的“时延-相移”性质可解出被测量大型轴类零件的圆度误差的频域表达式：

R(l)＝Y_n(l)/G(l)

$G\left(l\right)=\mathrm{C\Ω}=\underset{K=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_k{e}^{k\×j2\mathrm{\πl}/6}=c_0{e}^{0\mathrm{xj}2\mathrm{\πl}/6}+c_1{e}^{1\mathrm{xj}2\mathrm{\πl}/6}+c_2{e}^{2\mathrm{xj}2\mathrm{\πl}/6}+$

$c_3{e}^{3\mathrm{xj}2\mathrm{\πl}/6}+c_4{e}^{4\mathrm{xj}2\mathrm{\πl}/6}{c}_5{e}^{5\mathrm{xj}2\mathrm{\πl}/6}$

$=1-\frac{1}{5}\underset{k=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{j2\mathrm{\πlk}/6}$

Ω＝(e⁰，e^j2πl/6，e^j2×2πl/6，e^j2×3πl/6，e^j2×4πl/6，e^j2×5πl/6)

(5)最后求解出圆度误差序列和机床主轴旋转误差序列：

$r\left(n\right)={\mathrm{DFT}}^{-1}\left[\frac{Y_n\left(l\right)}{G\left(l\right)}\right],(n=\mathrm{0,1,2}.....N-1)$

式中

代表对

进行反傅立叶变换。

(6)然后把(5)中求解出的圆度误差序列r(n)代入式：δ(n)＝y₀(n)-r(n)

即可得到主轴运动误差。

本发明的测量原理

对径两点六位测量大型轴类零件圆度误差和机床主轴运动误差方法的原理图如图2所示。设N为测量传感器每周采样点数，y_k(n)为第K次测量时传感器在第n点的输出，r(n)为被测量大型轴类零件的圆度误差，并设δ(n)为主轴运动误差，K取值如表3所示，经过三位及6次测量得到下列方程：

表3K值对应测量传感器表(K＝0，1，2，3，4，5)

K	0	1	2	3	4	5
							测量传感器	P1(7)	P2(7′)	P3(7″)	P4(10)	P5(10′)	P6(10″)

y＝Ae    (1)

式中：

y-6次测量得到的传感器输出y_k构成的6阶列向量；

e-被测大型轴类零件经过3次转位后得到6个重构的圆度误差和主轴运动误差构成的7阶列向量；

A-7列测量输出系数矩阵。

y＝(y₀(n)，y₁(n)，y₂(n)，y₃(n)，y₄(n)，y₅(n))^T    (2)

$e={(r\left(n\right),r(n+\frac{N}{6}),r(n+\frac{2N}{6}),r(n+\frac{3N}{6}),r(n+\frac{4N}{6}),r(n+\frac{5N}{6}),\mathrm{\δ}\left(n\right))}^T---\left(3\right)$

$A=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 1\end{array}\right]---\left(4\right)$

设有权值系数向量

$C=(c_0,c_1,c_2,c_3,c_4,c_5)=(1,-\frac{1}{5},-\frac{1}{5},-\frac{1}{5},-\frac{1}{5},-\frac{1}{5})---\left(5\right)$

将C左乘步骤(1)中公式y＝Ae并展开得：

$\mathrm{Cy}=\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_k{y}_k\left(n\right)=\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{k}r(n+\frac{\mathrm{kN}}{6})+\mathrm{\δ}\left(n\right)\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_k$

其中 $\mathrm{\δ}\left(n\right)\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_k=\mathrm{\δ}\left(n\right)(1-\frac{1}{5}-\frac{1}{5}-\frac{1}{5}-\frac{1}{5}-\frac{1}{5})=0---\left(6\right)$

实现了首次分离，先分离了主轴运动误差δ(n)而得到只含有大型轴类零件圆度误差的表达式：

$y_n\left(n\right)=\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_k{y}_k\left(n\right)=\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{k}r(n+\frac{\mathrm{kN}}{6})---\left(7\right)$

y_n(n)-为6个测量基准点开始的传感器输出圆度误差的加权和。

要得到真正的大型轴类零件圆度误差r(n)表达式，对式(7)进行离散Fourier变换(DFT)，同时应用DFT的“时延-相移”性质可解出被测量大型轴类零件的圆度误差的频域表达式：

R(l)＝Y_n(l)/G(l)    (8)

$G\left(l\right)=\mathrm{C\Ω}=\underset{K=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_k{e}^{k\×j2\mathrm{\πl}/6}=c_0{e}^{0\mathrm{xj}2\mathrm{\πl}/6}+c_1{e}^{1\mathrm{xj}2\mathrm{\πl}/6}+c_2{e}^{2\mathrm{xj}2\mathrm{\πl}/6}+$

$c_3{e}^{3\mathrm{xj}2\mathrm{\πl}/6}+c_4{e}^{4\mathrm{xj}2\mathrm{\πl}/6}{c}_5{e}^{5\mathrm{xj}2\mathrm{\πl}/6}---\left(9\right)$

$=1-\frac{1}{5}\underset{k=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{j2\mathrm{\πlk}/6}$

Ω＝(e⁰，e^j2πl/6，e^j2×2πl/6，e^j2×3πl/6，e^j2×4πl/6，e^j2×5πl/6)    (10)

式中：G(l)为测量-分离系统的频率传递函数也称误差分离的权函数，它表征了圆度各谐波分量被加权后输送到组合信号中去的传递关系。显然当关l＝0时，有G(l)≡0，这表明这样的方法产生零阶谐波抑制，也就是说这种方法不能反映被大型轴类零件的尺寸变动。实际上我们也是只关心被测量大型轴类零件的实际形状轮廓，所以说零阶谐波并不影响该方法的圆度误差分离技术的应用。

Ω为误差分离的相移旋转因子。

式(8)为对径两点六位法圆度误差分离的基本方程。对于任意的谐波次数l，如果其权函数G(l)≠0，其圆度误差在该阶谐波上的分量均可由式(8)给出，若对(8)做逆傅氏变换(DFT^-1)则可得经过误差分离后的圆度误差的轮廓曲线(11)方程，同时根据大型轴类零件圆度误差曲线，采用测量系统软件可求出大型轴类零件的圆度误差。

$r\left(n\right)={\mathrm{DFT}}^{-1}\left[\frac{Y_n\left(l\right)}{G\left(l\right)}\right],(n=\mathrm{0,1,2}.....N-1)---\left(11\right)$

式中

代表对

进行反傅立叶变换。

然后把(12)中求解出的圆度误差序列r(n)分别代入式(2)(3)的离散形式，即可得到主轴运动误差：

δ(n)＝y₀(n)-r(n)    (12)

由式(11)和(12)就可以分别计算出被测工件的圆度误差和机床主轴旋转误差，从而达到将圆度误差和系统误差分离的结果。

本发明与现有技术相比较，本发明具有如下突出实质性特点和显著优点：计算简单，解决了做偏心旋转运动工件的圆度误差在机测量问题，也可以推广到普通大轴类零件的圆度误差和机床主轴运动误差的在机测量和分离。

附图说明

图1是本发明测量装置示意图。

图2是本发明的对径两点六位法测量原理示意图。

具体实施方式

本发明的具体实施结合附图详述如下：

如图1所示，由伺服电机3和4驱动滚珠丝杠副5和2，使安装在测量臂6和11上的对径安置两传感器测量头7和10位于大型轴类零件8的中心连线上。在测量过程中，大型轴类零件测量参照起始点A旋转测量三次，两个传感器共得到六个位置的测量系列值，同时大型轴类零件回转要精确分度。大型轴类零件相对于测量参照起始点A的旋转角如表1所示，大型轴类零件转速参考表2。

符号说明：

N：测量传感器每周采样点数；

y_k(n)：为第K次测量时传感器在第n点的输出；

r(n)：为被测量大型轴类零件的圆度误差；

δ(n)：为主轴运动误；

y：6次测量得到的传感器输出y_k构成的6阶列向量；

e：被测大型轴类零件经过3次转位后得到6个重构的圆度误差和主轴运动误差构成的7阶列向量；

A：7列测量输出系数矩阵；

y_n(n)：为6个测量基准点开始的传感器输出圆度误差的加权和；

G(l)：为测量-分离系统的频率传递函数也称误差分离的权函数，l谐波次数；

Ω：为误差分离的相移旋转因子。

大型轴类零件在机圆度和机床主轴运动误差测量的方法，具体步骤为：

(7)经过对径两传感器(7)和(10)在三个转位，实现六位测量其公式为：y＝Ae

其中：

y＝(y₀(n)，y₁(n)，y₂(n)，y₃(n)，y₄(n)，y₅(n))^T

$e={(r\left(n\right),r(n+\frac{N}{6}),r(n+\frac{2N}{6}),r(n+\frac{3N}{6}),r(n+\frac{4N}{6}),r(n+\frac{5N}{6}),\mathrm{\δ}\left(n\right))}^T$

$A=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 1\end{array}\right]$

(8)根据测量机构设置设有权值系数向量：

$C=(c_0,c_1,c_2,c_3,c_4,c_5)=(1,-\frac{1}{5},-\frac{1}{5},-\frac{1}{5},-\frac{1}{5},-\frac{1}{5})$

(9)将C左乘步骤(1)中公式y＝Ae并展开得：

$\mathrm{Cy}=\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_k{y}_k\left(n\right)=\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{k}r(n+\frac{\mathrm{kN}}{6})+\mathrm{\δ}\left(n\right)\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_k$

$\mathrm{\δ}\left(n\right)\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_k=\mathrm{\δ}\left(n\right)(1-\frac{1}{5}-\frac{1}{5}-\frac{1}{5}-\frac{1}{5}-\frac{1}{5})=0$ 出现了首次分离，先分离了主轴运动误差

δ(n)而得到只含有大型轴类零件圆度误差的表达式：

$y_n\left(n\right)=\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_k{y}_k\left(n\right)=\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{k}r(n+\frac{\mathrm{kN}}{6})$

(10)对步骤(3)中的表达式 $y_n\left(n\right)=\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_k{y}_k\left(n\right)=\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{k}r(n+\frac{\mathrm{kN}}{6})$ 进行离散Fourier变换(DFT)，同时应用DFT的“时延-相移”性质可解出被测量大型轴类零件的圆度误差的频域表达式：

R(l)＝Y_n(l)/G(l)

$G\left(l\right)=\mathrm{C\Ω}=\underset{K=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_k{e}^{k\×j2\mathrm{\πl}/6}=c_0{e}^{0\mathrm{xj}2\mathrm{\πl}/6}+c_1{e}^{1\mathrm{xj}2\mathrm{\πl}/6}+c_2{e}^{2\mathrm{xj}2\mathrm{\πl}/6}+$

$c_3{e}^{3\mathrm{xj}2\mathrm{\πl}/6}+c_4{e}^{4\mathrm{xj}2\mathrm{\πl}/6}{c}_5{e}^{5\mathrm{xj}2\mathrm{\πl}/6}$

$=1-\frac{1}{5}\underset{k=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{j2\mathrm{\πlk}/6}$

Ω＝(e⁰，e^j2πl/6，e^j2×2πl/6，e^j2×3πl/6，e^j2×4πl/6，e^j2×5πl/6)

(11)最后求解出圆度误差序列和机床主轴旋转误差序列：

$r\left(n\right)={\mathrm{DFT}}^{-1}\left[\frac{Y_n\left(l\right)}{G\left(l\right)}\right],(n=\mathrm{0,1,2}.....N-1)$

式中代表对进行反傅立叶变换。

(12)然后把(5)中求解出的圆度误差序列r(n)代入式：δ(n)＝y₀(n)-r(n)

即可得到主轴运动误差。

Claims (2)

1.一种对径两点六位测量大型轴类零件圆度误差和机床主轴运动误差的方法，其特征在于根据对径设置的两个位移传感器(7)和(10)经过大型轴类零件三次转位在六个不同测量位置与大型轴类零件表面圆作相对运动，获取大型轴类零件某截面表面的冗余信息，并建立六位圆度误差分离方程，并将采集到冗余信息中的时域信号变换到频域进行分析，实现对大型轴类零件圆度和机床主轴运动误差的测量与分离。

2.根据权利要求1所述的对径两点六位测量大型轴类零件圆度误差和机床主轴运动误差的方法，其特征在于具体操作步骤如下：

(1)经过对径两传感器(7)[P₁(7)，P₂(7′)，P₃(7″)]和(10)[P₄(10)，P₅(10′)，P₆(10″)]，在三个转位上，实现六位测量其公式为：y＝Ae，其中：

y＝(y₀(n)，y₁(n)，y₂(n)，y₃(n)，y₄(n)，y₅(n))^T

$e={(r\left(n\right),r(n+\frac{N}{6}),r(n+\frac{2N}{6}),r(n+\frac{3N}{6}),r(n+\frac{4N}{6}),r(n+\frac{5N}{6}),\mathrm{\δ}\left(n\right))}^T$

$A=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 1\end{array}\right]$

N：测量传感器每周采样点数；

y_k(n)：为第K次测量时传感器在第n点的输出；

r(n)：为被测量大型轴类零件的圆度误差；

δ(n)：为主轴运动误；

y：6次测量得到的传感器输出y_k构成的6阶列向量；

e：被测大型轴类零件经过3次转位后得到6个重构的圆度误差和主轴运动误差构成的7阶列向量；

A：7列测量输出系数矩阵；

y_n(n)：为6个测量基准点开始的传感器输出圆度误差的加权和；

G(l)：为测量-分离系统的频率传递函数也称误差分离的权函数，l谐波次数；

Ω：为误差分离的相移旋转因子。

(2)根据测量机构设置设有权值系数向量：

$C=(c_0,c_1,c_2,c_3,c_4,c_5)=(1,-\frac{1}{5},-\frac{1}{5},-\frac{1}{5},-\frac{1}{5},-\frac{1}{5})$

(3)将C左乘步骤(1)中公式y＝Ae并展开得：

$\mathrm{Cy}=\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_k{y}_k\left(n\right)=\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{k}r(n+\frac{\mathrm{kN}}{6})+\mathrm{\δ}\left(n\right)\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_k$

其中 $\mathrm{\δ}\left(n\right)\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_k=\mathrm{\δ}\left(n\right)(1-\frac{1}{5}-\frac{1}{5}-\frac{1}{5}-\frac{1}{5}-\frac{1}{5})=0$ 实现了首次分离，先分离了主轴运动

误差δ(n)而得到只含有大型轴类零件圆度误差的表达式：

$y_n\left(n\right)=\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_k{y}_k\left(n\right)=\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{k}r(n+\frac{\mathrm{kN}}{6})$

(4)对步骤(3)中的表达式 $y_n\left(n\right)=\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_k{y}_k\left(n\right)=\underset{k=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{k}r(n+\frac{\mathrm{kN}}{6})$ 进行离散Fourier变换(DFT)，同时应用DFT的“时延-相移”性质可解出被测量大型轴类零件的圆度误差的频域表达式：

R(l)＝Y_n(l)/G(l)

$G\left(l\right)=\mathrm{C\Ω}=\underset{K=0}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{c}_k{e}^{k\×j2\mathrm{\πl}/6}=c_0{e}^{0\mathrm{xj}2\mathrm{\πl}/6}+c_1{e}^{1\mathrm{xj}2\mathrm{\πl}/6}+c_2{e}^{2\mathrm{xj}2\mathrm{\πl}/6}+$

$c_3{e}^{3\mathrm{xj}2\mathrm{\πl}/6}+c_4{e}^{4\mathrm{xj}2\mathrm{\πl}/6}{c}_5{e}^{5\mathrm{xj}2\mathrm{\πl}/6}$

$=1-\frac{1}{5}\underset{k=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{j2\mathrm{\πlk}/6}$

Ω＝(e⁰，e^j2πl/6，e^j2×2πl/6，e^j2×3πl/6，e^j2×4πl/6，e^j2×5πl/6)

(5)最后求解出圆度误差序列和机床主轴旋转误差序列：

$r\left(n\right)={\mathrm{DFT}}^{-1}\left[\frac{Y_n\left(l\right)}{G\left(l\right)}\right],(n=\mathrm{0,1,2}.....N-1)$

式中

代表对进行反傅立叶变换。

(6)然后把(5)中求解出的圆度误差序列r(n)代入式：δ(n)＝y₀(n)-r(n)即可得到主轴运动误差。

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