CN1837780A - 区间b样条小波单元用于转子横向裂纹定量诊断的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种区间B样条小波单元用于转子横向裂纹定量诊断的方法。该小波单元包含结构转动惯量对转子固有频率的影响，可以提高转子结构固有频率数值计算精度。进一步构建横向裂纹转子区间B样条小波有限元裂纹定量诊断模型数据库，利用等高线法定量诊断出转子横向裂纹存在的相对位置和相对深度。转子横向固有频率计算结果表明：本发明构造的小波单元数量少，计算精度和效率高。疲劳横向裂纹转子实验研究验证了该方法鲁棒性好，适合于工程中广泛存在的转子横向疲劳裂纹定量诊断。

Description

区间B样条小波单元用于转子横向裂纹定量诊断的方法

技术领域

本发明属结构裂纹定量诊断领域，具体涉及一种用于转子横向裂纹定量诊断的区间B样条小波B-spline wavelet on the interval，BSWI单元。

背景技术

转子裂纹是转子运行安全最为突出的隐患之一，若不及时检测、诊断、排除，会扰乱正常的生产过程，尤其是现代机电设备日益朝着大型化、高速化和智能化的方向发展，而机械结构却又向着轻型、精巧的方向发展，使得近年来由于裂纹扩展而导致的转子裂纹事故不断发生，造成重大的经济损失甚至人员伤亡。如：2002年4月，哈尔滨第三发电厂3号机组首台国产600MW机组轴系振动异常，经外部检查无问题。然而在送往厂家检修中发现，发电机转子本体与轴柄过渡圆角处沿转子周向165°范围存在深180mm的裂纹，并且裂纹面积达轴颈截面的1/3，造成发电机转子严重损坏事故；2003年10月河北省南部电网某厂2#汽轮机转子发生裂纹事故，这些事故给工业生产带来了巨大的经济损失。因此，采用简单易行的技术，确定结构内部的裂纹缺陷，成为工程界十分关心和不断探求的课题。正确地定量诊断裂纹的位置和深度，是估计其寿命的重要决策依据。近年来虽有大量探伤新技术和新仪器设备出现，但用这些局部探伤设备对大型结构进行全面检测，则要耗费大量的人力、时间和经费。

由于任何动力系统都可以看作是由质量、阻尼与刚度矩阵组成的力学系统，一旦出现裂纹损伤，结构参数就随之发生变化，从而导致系统模态参数(固有频率、阻尼、振型)的改变，所以结构模态参数的改变可视为结构早期损伤发生的标志。在诸多检测裂纹的方法中，利用结构上出现裂纹和损伤后，将会减小结构的局部刚度，从而改变结构的固有频率这一原理，通过测试固有频率，尤其是近年来采用测量方便的结构前三阶固有频率，建立结构传统有限元模型，事先绘制出裂纹参数(相对位置和相对深度两个参数变化)对结构前三阶固有频率的影响曲线，利用等高线法，定量诊断出结构裂纹存在的相对位置和相对深度是常用的方法。然而，这些方法基于传统有限元诊断裂纹，存在鲁棒性不强、计算效率和精度不高等问题，为获得较高的诊断精度必须采用大量的高维单元。小波有限元方法是近年发展起来的一种新的数值分析方法，用尺度函数或小波函数替代传统的多项式作为逼近函数，利用小波多分辨的特性，可以获得用于结构分析的多种基函数，针对求解问题的精度要求，采用不同的基函数。样条小波是定义在整个实数轴R上或一个周期函数的平方可积实数空间L²(R)上的完备基，用其求解边值问题时，在边界上会出现数值振荡。区间B样条小波在空间域具有良好的局部化性质，在求解边值问题时，能克服边界上数值振荡这一缺陷。

目前，国内外对静态转子结构动力学分析时，一般将转子等效为不考虑截面转动惯量影响的传统简支梁，往往得不到与实际测量值相符的结果。

发明内容

本发明的目的在于提供一种区间B样条小波单元用于转子横向裂纹定量诊断的方法，该方法能够高效、可靠地解决工程中广泛存在的转子横向疲劳裂纹定量诊断问题，可以通过简单的激振实验定量诊断出转子系统横向疲劳裂纹存在的位置和深度。

本发明的技术方案是这样解决的：

1)配置区间B样条小波单元的节点，构造包含结构转动惯量的区间B样条小波单元；

2)采用1)中所构造的单元，建立转子横向裂纹区间B样条小波有限元模型，获得裂纹定量诊断数据库，利用等高线法定量诊断出转子横向疲劳裂纹存在的相对位置和相对深度。

所述的配置区间B样条小波单元的节点，构造包含结构转动惯量的区间B样条小波单元，包括以下步骤：

采用阶数为m，尺度为j的区间B样条小波尺度函数，记为BSWIm_j尺度函数，作为插值基函数构造单元，在奇异点附近配置节点，单元被分成不等间隔的n＝2^j+m-4段，单元节点数为2^j+m-3，总自由度数为2^j+m-1，边界节点为1，n+1；内部节点为2，3，Λ，n，可得到

                               w(ξ)＝N^ew^e

形函数N^e为

$N^e=\mathrm{\Φ}{T}_b^a$

式中T_b ^e为

$T_b^e={\left\{{\left[{\mathrm{\Φ}}^T\left({\mathrm{\ξ}}_1\right)\frac{1}{l_e}{\frac{\mathrm{d\Φ}\left(\mathrm{\ξ}\right)}{\mathrm{d\ξ}}|}_{\mathrm{\ξ}={\mathrm{\ξ}}_1}{\mathrm{\Φ}}^T\left({\mathrm{\ξ}}_2\right)K{\mathrm{\Φ}}^T\left({\mathrm{\ξ}}_n\right){\mathrm{\Φ}}^T\left({\mathrm{\ξ}}_{n+1}\right)\frac{1}{l_e}{\frac{\mathrm{d\Φ}\left(\mathrm{\ξ}\right)}{\mathrm{d\ξ}}|}_{\mathrm{\ξ}={\mathrm{\ξ}}_{n+1}}\right]}^{-1}\right\}}^T$

$\mathrm{\Φ}=\left\{\begin{array}{ccc}{\mathrm{\φ}}_{m,-m+1}^j\left(\mathrm{\ξ}\right)& {\mathrm{\φ}}_{m,-m+2}^j\left(\mathrm{\ξ}\right)K& {\mathrm{\φ}}_{m,2^j-1}^j\left(\mathrm{\ξ}\right)\end{array}\right\}$ 表示BSWIm_j尺度函数行向量；

w_e为物理自由度列向量，表示为

                     w^e＝{w₁ θ₁ w₂ Λ w_n w_n+1 θ_n+1}^T

式中， ${\mathrm{\θ}}_1=\frac{1}{l_e}{\frac{\mathrm{dw}\left(\mathrm{\ξ}\right)}{\mathrm{d\ξ}}|}_{\mathrm{\ξ}={\mathrm{\ξ}}_1}$ 和 ${\mathrm{\θ}}_{n+1}=\frac{1}{l_e}{\frac{\mathrm{dw}\left(\mathrm{\ξ}\right)}{\mathrm{d\ξ}}|}_{\mathrm{\ξ}={\mathrm{\ξ}}_{n+1}}$ 表示单元边界节点上的转角，l_e为单元长度；

单元振动频率方程为

$|{\mathrm{\ω}}^2(M_r^e+M_b^e)-K_b^e|=0$

式中，ω为圆频率(rad/s)，令振动频率f＝ω/2π(Hz)；

单元转动惯量一致质量矩阵M_r ^e为

$M_r^e=\frac{\mathrm{\ρI}}{l_e}{\left(T_b^e\right)}^T{\mathrm{\Γ}}^{\mathrm{1,1}}{T}_b^e$

单元弯曲一致质量矩阵M_b ^e为

$M_b^e=\mathrm{\ρA}{l}_e{\left(T_b^e\right)}^T{\mathrm{\Γ}}^{\mathrm{0,0}}{T}_b^e$

单元弯曲刚度矩阵K_b ^e为

$K_b^e=\frac{\mathrm{EI}}{l_e^3}{\left(T_b^e\right)}^T{\mathrm{\Γ}}^{\mathrm{2,2}}{T}_b^e$

以上各式中，E为弹性模量，I为截面惯性矩，ρ为材料密度，A为截面面积，l_e为单元长度，T_b ^e为从小波空间转换到有限元空间中的单元转换矩阵，Γ^2，2，Γ^0，0和Γ^1，1分别为同一尺度上区间B样条小波尺度函数相应导数积分矩阵。

所述的采用1)中所构造的单元，建立转子横向裂纹区间B样条小波有限元模型，获得裂纹定量诊断数据库，利用等高线法定量诊断出转子横向疲劳裂纹存在的相对位置和相对深度，包括以下步骤：

利用断裂力学知识，可得到裂纹相对深度α相关的扭转线弹簧刚度kt及相应的裂纹刚度矩阵K_s，即

$k_t=\frac{\mathrm{\πE}{r}^8}{32(1-\mathrm{\μ})}\×\frac{1}{{\∫}_{-r\sqrt{1-{(1-2a)}^2}}^{r\sqrt{1-{(1-2a)}^2}}(r^2-{\mathrm{\ξ}}^2)\left[{\∫}_0^{a\left(\mathrm{\ξ}\right)}{\mathrm{\ηF}}^2(\mathrm{\η}/H)\mathrm{d\η}\right]\mathrm{d\ξ}}$

及

$K_s=\left[\begin{array}{cc}{k}_t& -k_t\\ -k_t& k_t\end{array}\right]$

将裂纹刚度矩阵K_s加入总体有限元刚度矩阵中，得到转子横向裂纹系统的总体振动频率方程，即转子横向裂纹区间B样条小波有限元模型

                |ω²(M_r+M_b)-K_b|＝0

式中，K_b为区间B样条小波单元叠加并加入裂纹刚度矩阵K_s后形成的总体刚度矩阵，M_r+M_b为区间B样条小波单元转动惯量一致质量矩阵M_r ^e和单元弯曲一致质量矩阵M_b ^e叠加后形成的总体一致质量矩阵；

通过特征值求解方法求解转子横向裂纹区间B样条小波有限元模型，获得裂纹定量诊断数据库，利用裂纹定量识别中的等高线法定量诊断出转子横向疲劳裂纹存在的相对位置和相对深度。

本发明由于所构造的BSWI单元包含结构转动惯量影响，并应用在转子横向裂纹定量诊断中，具有下列区别于传统有限元法诊断转子横向裂纹的显著优势：

1)包含转子转动惯量影响的BSWI单元适宜求解奇异性问题且对结构具有很好的适应性，为转子横向疲劳裂纹位置与深度高精度定量诊断提供了一种新的单元；

2)本发明能以很少的计算代价获得很高的计算精度、鲁棒性好，提高了转子横向裂纹定量诊断的可靠性和适应性；

3)本发明可根据不同结构的转子系统，预先提供与实际测试结果相符合的裂纹定量诊断数据库，实际应用中只需输入测量得到的转子结构前三阶横向固有频率，便可定量诊断出裂纹存在的相对位置和相对深度。因此，可在工程实践中广泛推广使用。

附图说明

图1为本发明BSWIm_j小波单元解域Ω_e上节点及自由度排列图；

图2为本发明横向裂纹转子简图；

图2(a)为本发明转子系统模型；

图2(b)为本发明转子横向裂纹断面；

图3为本发明转子横向裂纹定量诊断BSWI有限元模型求解结果图；

图3(a)表示曲面拟合得到的f₁＝F₁(α，β)图；

图3(b)表示曲面拟合得到的f₂＝F₂(α，β)图；

图3(c)表示曲面拟合得到的f₃＝F₃(α，β)图；

图4为本发明实验转子横向疲劳裂纹定量诊断结果图；

图4(a)表示裂纹工况为β＝0.78889，α＝0.3时裂纹定量诊断结果，图中，A点对应的横坐标为裂纹相对深度α，纵坐标为裂纹相对位置β；

图4(b)表示裂纹工况为β＝0.78889，α＝0.4时裂纹定量诊断结果。

具体实施方式

附图是本发明的具体实施例；

下面结合附图对本发明的内容作进一步详细说明：

1)配置区间B样条小波单元的节点，构造包含结构转动惯量的区间B样条小波单元；

2)采用1)中所构造的单元，建立转子横向裂纹区间B样条小波有限元模型，获得裂纹定量诊断数据库，利用等高线法定量诊断出转子横向疲劳裂纹存在的相对位置和相对深度。

参照图1所示，采用阶数为m，尺度为j的区间B样条小波尺度函数，简记为BSWIm_j尺度函数，作为插值基函数构造单元，由于区间B样条小波尺度函数在区间内是完备基，因此，在保证从小波空间转换到物理空间的单元转换矩阵可逆的基础上，可以在奇异点附近配置较多的节点，从而能够描述梯度较大、位移不连续等奇异性问题。BSWIm_j小波单元解域Ω_e上节点及自由度排列，单元被分成不等间隔的n＝2^j+m-4段，单元节点数为2^j+m-3，总自由度数为2^j+m-1。边界节点为1，n+1；内部节点为2，3，Λ，n。

未知场函数w(ξ)可表示为

$w\left(\mathrm{\ξ}\right)=\underset{k=-m+1}{\overset{2^j-1}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{m,k}^j{\mathrm{\φ}}_{m,k}^j\left(\mathrm{\ξ}\right)={\mathrm{\Φa}}^e---\left(1\right)$

式中

$a^e={\left\{\begin{array}{ccc}{a}_{m,-m+1}^j& a_{m,-m+2}^{j}K& a_{m,2^j-1}^j\end{array}\right\}}^T$ 表示小波插值系数列向量； $\mathrm{\Φ}=\left\{\begin{array}{ccc}{\mathrm{\φ}}_{m,-m+1}^j\left(\mathrm{\ξ}\right)& {\mathrm{\φ}}_{m,-m+2}^j\left(\mathrm{\ξ}\right)K& {\mathrm{\φ}}_{m,2^j-1}^j\end{array}\left(\mathrm{\ξ}\right)\right\}$ 表示BSWIm_j尺度函数行向量。

定义物理自由度列向量为

              w^e＝{w₁ θ₁ w₂ Λ w_n w_n+1 θ_n+1}^T    (2)

式中， ${\mathrm{\θ}}_1=\frac{1}{l_e}{\frac{\mathrm{dw}\left(\mathrm{\ξ}\right)}{\mathrm{d\ξ}}|}_{\mathrm{\ξ}={\mathrm{\ξ}}_1}$ 和 ${\mathrm{\θ}}_{n+1}=\frac{1}{l_e}{\frac{\mathrm{dw}\left(\mathrm{\ξ}\right)}{\mathrm{d\ξ}}|}_{\mathrm{\ξ}={\mathrm{\ξ}}_{n+1}}$ 分别表示单元边界节点上的转角，l_e＝x_n+1-x₁为单元长度， ${\mathrm{\ξ}}_i=\frac{x_i-x_1}{l_e},$ i＝1，2，Λ，n+1。

将式(1)中不同节点的w(ξ_i)分别代入式(2)，得

$a^e=T_b^e{w}^e---\left(3\right)$

式中矩阵T_b ^e为

$T_b^e={\left\{{\left[{\mathrm{\Φ}}^T\left({\mathrm{\ξ}}_1\right)\frac{1}{l_e}{\frac{\mathrm{d\Φ}\left(\mathrm{\ξ}\right)}{\mathrm{d\ξ}}|}_{\mathrm{\ξ}={\mathrm{\ξ}}_1}{\mathrm{\Φ}}^T\left({\mathrm{\ξ}}_2\right)K{\mathrm{\Φ}}^T\left({\mathrm{\ξ}}_n\right){\mathrm{\Φ}}^T\left({\mathrm{\ξ}}_{n+1}\right)\frac{1}{l_e}{\frac{\mathrm{d\Φ}\left(\mathrm{\ξ}\right)}{\mathrm{d\ξ}}|}_{\mathrm{\ξ}={\mathrm{\ξ}}_{n+1}}\right]}^{-1}\right\}}^T---\left(4\right)$

将式(3)代入式(1)，得

$w\left(\mathrm{\ξ}\right)=\mathrm{\Φ}{T}_b^e{w}^e=N^e{w}^e---\left(5\right)$

式中，形函数N^e为

$N^e=\mathrm{\Φ}{T}_b^e---\left(6\right)$

需要指出的是，在保证矩阵T_b ^e非奇异的前提下，单元内部节点可以任意配置。因此，可在奇异性点(如裂纹)附近配置较多的内部节点，从而能够以较小的计算代价获得从整体到局部均较好的求解结果。

考虑转动惯量影响时，梁弯曲问题势能泛函为

${\mathrm{II}}_p={\∫}_a^b\frac{\mathrm{EI}}{2}{\left(\frac{d^{2}w}{d{x}^2}\right)}^2-{\∫}_a^b\frac{\mathrm{\ρA}{\mathrm{\ω}}^2}{2}{w}^2\mathrm{dx}-{\∫}_a^b\frac{\mathrm{\ρI}{\mathrm{\ω}}^2}{2}{\left(\frac{\mathrm{dw}}{\mathrm{dx}}\right)}^2\mathrm{dx}---\left(7\right)$

式中，ρ为材料密度，ω为振动圆频率，A为梁横截面面积，E为弹性模量，I为截面惯性矩，l_e＝b-a为单元长度。

令未知位移场函数w用BSWIm_j尺度函数插值表示，则

$w=\mathrm{\Φ}{T}_b^e{w}^e---\left(8\right)$

对势能泛函式(7)，首先将单元求解域Ω_e映射到单元标准求解域Ω_s，然后将梁的未知场函数式(8)代入式(7)，并由变分原理，令δII_p＝0，可以得到单元振动模态方程

式中，ω为圆频率(rad/s)，令振动频率f＝ω/2π(Hz)。

式(9)对应的包含转动惯量影响的单元振动频率方程为

$|{\mathrm{\ω}}^2(M_r^e+M_b^e)-K_b^e|=0---\left(10\right)$

式中，单元转动惯量一致质量矩阵M_r ^e为

$M_r^e=\frac{\mathrm{\ρI}}{l_e}{\left(T_b^e\right)}^T{\mathrm{\Γ}}^{\mathrm{1,1}}{T}_b^e---\left(11\right)$

单元弯曲一致质量矩阵M_b ^e为

$M_b^e=\mathrm{\ρA}{l}_e{\left(T_b^e\right)}^T{\mathrm{\Γ}}^{\mathrm{0,0}}{T}_b^e---\left(12\right)$

单元弯曲刚度矩阵K_b ^e为

$K_b^e=\frac{\mathrm{EI}}{l_e^3}{\left(T_b^e\right)}^T{\mathrm{\Γ}}^{\mathrm{2,2}}{T}_b^e---\left(13\right)$

以上各式中，E为弹性模量，I为截面惯性矩，ρ为材料密度，A为截面面积，l_e为单元长度，T_b ^e为从小波空间转换到有限元空间中的单元矩阵。Γ^2，2，Γ^0，0和Γ^1，1分别为同一尺度上区间B样条小波尺度函数相应导数积分矩阵，分别表示为

${\mathrm{\Γ}}^{\mathrm{2,2}}={\∫}_0^1\frac{d^2{\mathrm{\Φ}}^T}{d{\mathrm{\ξ}}^2}\frac{d^2\mathrm{\Φ}}{d{\mathrm{\ξ}}^2}\mathrm{d\ξ}---\left(14\right)$

${\mathrm{\Γ}}^{\mathrm{1,1}}={\∫}_0^1\frac{d{\mathrm{\Φ}}^T}{d}\frac{\mathrm{d\Φ}}{\mathrm{d\ξ}}\mathrm{d\ξ}---\left(15\right)$

${\mathrm{\Γ}}^{\mathrm{0,0}}={\∫}_0^1{\mathrm{\Φ}}^T\mathrm{\Φd\ξ}---\left(16\right)$

参照图2所示，为典型的横向裂纹转子简图。为确定关系式f_j＝F_j(α，β)，(j＝1，2，3)，其中，裂纹相对深度α＝δ/d₁，裂纹相对位置β＝e/L₂。首先确定与裂纹相对深度α相关的扭转线弹簧刚度k_t及相应的裂纹刚度矩阵K_s为

$K_s=\left[\begin{array}{cc}{k}_t& -k_t\\ -k_t& k_t\end{array}\right]---\left(17\right)$

式中，k_t可由下式计算得到

$k_t=\frac{\mathrm{\πE}{r}^8}{32(1-\mathrm{\μ})}\×\frac{1}{{\∫}_{-r\sqrt{1-{(1-2\mathrm{\α})}^2}}^{r\sqrt{1-{(1-2\mathrm{\α})}^2}}(r^2-{\mathrm{\ξ}}^2)\left[{\∫}_0^{a\left(\mathrm{\ξ}\right)}{\mathrm{\ηF}}^2(\mathrm{\η}/H)\mathrm{d\η}\right]\mathrm{d\ξ}}---\left(18\right)$

式中

$a\left(\mathrm{\ξ}\right)=2\mathrm{r\α}-(r-\sqrt{r^2-{\mathrm{\ξ}}^2})---\left(19\right)$

F(η/H)＝1.122-1.40(η/H)+7.33(η/H)²-13.08(η/H)³+14.0(η/H)⁴    (20)

$H=2\sqrt{r^2-{\mathrm{\ξ}}^2}---\left(21\right)$

以上各式中，r＝d₁/2为裂纹转子半径，E为弹性模量，μ为波松比。

然后将裂纹刚度矩阵K_s加入总体有限元刚度矩阵中，其加入位置由裂纹相对位置β决定，得到隐含裂纹相对位置β和相对深度α的总体振动频率方程

                 |ω²(M_r+M_b)-K_b|＝0      (22)

式中，K_b为区间B样条小波单元叠加并加入裂纹刚度矩阵K_s后形成的总体刚度矩阵，M_r+M_b为区间B样条小波单元转动惯量一致质量矩阵M_r ^e和单元弯曲一致质量矩阵M_b ^e叠加后形成的总体一致质量矩阵。

在给定不同的裂纹相对位置β和相对深度α的前提下，求解与不同β和α相关的总体振动频率方程式(22)，可得到裂纹相对位置β和相对深度α与前三阶横向固有频率的对应关系式

             f_j＝F_j(α，β)，(j＝1，2，3)      (23)

由于函数关系F_j未知，因此，可由计算得到的离散值通过曲面拟合技术获得，即为转子裂纹定量诊断数据库。

为了从式(23)中通过已知的f_j求解出α和β，即确定关系式 $(\mathrm{\α},\mathrm{\β})=F_j^{-1}\left(f_j\right),$ (j＝1，2，3)，首先采用力锤敲击激振，用Polytec激光测振仪拾取脉冲响应信号，通过对响应信号频谱分析，得到转子前三阶横向固有频率f₁、f₂和f₃。

然后，将测试得到的转子前三阶横向固有频率分别代入转子裂纹定量诊断数据库，并作出相应的等高线，绘制在同一个平面上，对应三个不同频率等高线的交点可唯一确定裂纹相对位置β和相对深度α，即确定关系式

$(\mathrm{\α},\mathrm{\β})=F_j^{-1}\left(f_j\right),(j=\mathrm{1,2,3})---\left(24\right)$

实施例1：本实施例主要验证BSWI单元求解转子横向固有频率计算精度。对于图2所示的无裂纹单圆盘转子系统，取转子系统各轴段长度分别为：L＝300mm，L₁＝8mm，L₂＝133mm，L₃＝18mm，转子轴直径d₁＝9.5mm，圆盘直径d₂＝76mm，弹性模量E＝2.06×10¹¹N/m²，密度ρ＝7860kg/m³，泊松比μ＝0.3。

考虑以下四种情况：

(1)、五个没有包含转动惯量影响的BSWI4₃梁单元；

(2)、四百个没有包含转动惯量影响的传统梁单元；

(3)、五个包含转动惯量影响的BSWI4₃梁单元；

(4)、四百个包含转动惯量影响的传统梁单元求解。

表1为不同种类单元求解转子横向固有频率计算结果和实验测试结果。

         表1  不同种类单元求解及实测转子横向固有频率结果

方法	计算固有频率值/Hz			实测固有频率值/Hz			计算误差/％
										f1	f2	f3	f1	f2	f3	f1	f2	f3
	1234	86.3386.3486.3386.33	900.95901.00558.17558.17	1732.071732.251728.251728.20	86.11	557.82	1727.54	0.260.270.260.26	61.5161.520.060.06										0.260.270.040.04

由表1可知，采用五个没有包含转动惯量影响的BSWI43梁单元与四百个没有包含转动惯量影响的传统梁单元频率求解结果十分接近。但第二阶频率计算值与实验测试值误差很大，如果采用这两种单元进行基于模型的转子横向裂纹定量诊断，势必会得出虚假的结果。

五个包含转动惯量影响的BSWI43梁单元和四百个包含转动惯量影响的传统梁单元求解结果一致，且与实验测试频率结果吻合，可以用于转子横向裂纹定量诊断。同时，可以采用五个包含转动惯量影响的BSWI43单元达到与四百个包含转动惯量影响的传统梁单元相同的求解精度，计算量明显减小，计算效率高。

实施例2：

本实施例主要通过单跨疲劳裂纹转子验证基于BSWI单元的转子裂纹高精度定量诊断方法在实际应用中的有效性。对于图2所示的单圆盘转子系统，裂纹出现在L₂轴段，取转子系统各轴段长度分别为：L＝300mm，L₁＝8mm，L₂＝188mm，L₃＝18mm，转子轴直径d₁＝9.5mm，圆盘直径d₂＝76mm，弹性模量E＝2.06×10¹¹N/m²，密度ρ＝7860kg/m³，泊松比μ＝0.3，裂纹相对深度α＝δ/d₁，相对位置β＝e/L₂。

               表2转子横向疲劳裂纹工况及诊断结果

工况	β	α	实验测试频率结果			诊断β*(误差/％)	诊断α*(误差％)
								f1/Hz	f2/Hz	f3/Hz
			12	0.788890.78889	0.30.4						93.4990.68	579.41576.81	1108.991094.99	0.78(1.13)0.795(0.78)	0.29(3.33)0.41(2.5)

参照图3所示，表示由裂纹诊断数据库拟合而得到的频率响应曲面，即转子裂纹系统固有频率相对于β和α的函数关系。假设裂纹相对位置和深度取值范围为α，β∈[0.1，0.9]，图3(a)表示曲面拟合得到的f₁＝F₁(α，β)，图3(b)表示曲面拟合得到的f₂＝F₂(α，β)，图3(c)表示曲面拟合得到的f₃＝F₃(α，β)。

采用力锤敲击激振，用Polytec激光测振仪拾取脉冲响应信号，通过对响应信号分析，得到转子前三阶横向固有频率，作为转子裂纹定量诊断的输入，分别代入采用十四个BSWI4₃单元建立的该转子裂纹高精度诊断数据库，并作出相应的等高线，绘制在同一个平面上。

参照图4所示，为转子横向疲劳裂纹高精度诊断实验结果。由表2可知，裂纹工况为β＝0.78889，α＝0.3和β＝0.78889，α＝0.4。诊断结果为β＝0.78，α＝0.29和β＝0.795，α＝0.41。裂纹位置诊断的相对误差不超过1.13％，裂纹深度诊断的相对误差不超过3.33％。这表明：在不同的裂纹工况下，采用十四个BSWI4₃单元建立的转子横向疲劳裂纹定量诊断数据库在实际转子横向疲劳裂纹诊断中具有很高的诊断精度，可以可靠地进行转子横向疲劳裂纹的定量诊断。

Claims (3)

1.区间B样条小波单元用于转子横向裂纹定量诊断的方法，其特征在于，

1)配置区间B样条小波单元的节点，构造包含结构转动惯量的区间B样条小波单元；

2)采用1)中所构造的单元，建立转子横向裂纹区间B样条小波有限元模型，获得裂纹定量诊断数据库，利用等高线法定量诊断出转子横向疲劳裂纹存在的相对位置和相对深度。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述的配置区间B样条小波单元的节点，构造包含结构转动惯量的区间B样条小波单元，包括以下步骤：

采用阶数为m，尺度为j的区间B样条小波尺度函数，记为BSWIm_j尺度函数，作为插值基函数构造单元，在奇异点附近配置节点，单元被分成不等间隔的n＝2^j+m-4段，单元节点数为2^j+m-3，总自由度数为2^j+m-1，边界节点为1，n+1；内部节点为2，3，Λ，n，可得到

                          w(ξ)＝N^ew^e

形函数N^e为

$N^e=\mathrm{\Φ}{T}_b^e$

式中T_b ^e为

$T_b^e={\left\{{\left[{\mathrm{\Φ}}^T\left({\mathrm{\ξ}}_1\right)\frac{1}{l_e}\frac{\mathrm{d\Φ}\left(\mathrm{\ξ}\right)}{\mathrm{d\ξ}}{|}_{\mathrm{\ξ}={\mathrm{\ξ}}_1}{\mathrm{\Φ}}^T\left({\mathrm{\ξ}}_2\right)K{\mathrm{\Φ}}^T\left({\mathrm{\ξ}}_n\right){\mathrm{\Φ}}^T\left({\mathrm{\ξ}}_{n+1}\right)\frac{1}{l_e}{\frac{\mathrm{d\Φ}\left(\mathrm{\ξ}\right)}{\mathrm{d\ξ}}|}_{\mathrm{\ξ}={\mathrm{\ξ}}_{n+1}}\right]}^{-1}\right\}}^T$

$\mathrm{\Φ}=\begin{array}{}\left\{\begin{array}{ccc}{\mathrm{\φ}}_{m,-m+1}^j\left(\mathrm{\ξ}\right)& {\mathrm{\φ}}_{m,-m+2}^j\left(\mathrm{\ξ}\right)K& {\mathrm{\φ}}_{m,2^j-1}^j\left(\mathrm{\ξ}\right)\end{array}\right\}\end{array}$ 表示BSWIm_j尺度函数行向量；

w_e为物理自由度列向量，表示为

               w^e＝{w₁ θ₁ w₂ Λ w_n w_n+1 θ_n+1}^T

式中， ${\mathrm{\θ}}_1=\frac{1}{l_e}\frac{\mathrm{dw}\left(\mathrm{\ξ}\right)}{\mathrm{d\ξ}}{|}_{\mathrm{\ξ}={\mathrm{\ξ}}_1}$ 和 ${\mathrm{\θ}}_{n+1}=\frac{1}{l_e}{\frac{\mathrm{dw}\left(\mathrm{\ξ}\right)}{\mathrm{d\ξ}}|}_{\mathrm{\ξ}={\mathrm{\ξ}}_{n+1}}$ 表示单元边界节点上的转角，l_e为单元长度；

单元振动频率方程为

$|{\mathrm{\ω}}^2(M_r^e+M_b^e)-K_b^e|=0$

式中，ω为圆频率(rad/s)，令振动频率f＝ω/2π(Hz)；

单元转动惯量一致质量矩阵M_r ^e为

$M_r^e=\frac{\mathrm{\ρI}}{l_e}{\left(T_b^e\right)}^T{\mathrm{\Γ}}^{\mathrm{1,1}}{T}_b^e$

单元弯曲一致质量矩阵M_b ^e为

$M_b^e={\mathrm{\ρAl}}_e{\left(T_b^e\right)}^T{\mathrm{\Γ}}^{\mathrm{0,0}}{T}_b^e$

单元弯曲刚度矩阵K_b ^e为

$K_b^e={\frac{\mathrm{EI}}{l_e^3}\left(T_b^e\right)}^T{\mathrm{\Γ}}^{\mathrm{2,2}}{T}_b^e$

以上各式中，E为弹性模量，I为截面惯性矩，ρ为材料密度，A为截面面积，l_e为单元长度，T_b ^e为从小波空间转换到有限元空间中的单元转换矩阵，Γ^2，2，Γ^0.0和Γ^1.1分别为同一尺度上区间B样条小波尺度函数相应导数积分矩阵。

3.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述的采用1)中所构造的单元，建立转子横向裂纹区间B样条小波有限元模型，获得裂纹定量诊断数据库，利用等高线法定量诊断出转子横向疲劳裂纹存在的相对位置和相对深度，包括以下步骤：

利用断裂力学知识，可得到裂纹相对深度α相关的扭转线弹簧刚度k_t及相应的裂纹刚度矩阵K_s，即

$k_t=\frac{{\mathrm{\πEr}}^8}{32(1-\mathrm{\μ})}\×\frac{1}{{\∫}_{-r\sqrt{1-{(1-2a)}^2}}^{\sqrt{1-{(1-2a)}^2}}(r^2-{\mathrm{\ξ}}^2)\left[{\∫}_0^{a\left(\mathrm{\ξ}\right)}{\mathrm{\ηF}}^2(\mathrm{\η}/H)\mathrm{d\η}\right]\mathrm{d\ξ}}$

$K_S=\begin{array}{}\left[\begin{array}{cc}{k}_t& -k_t\\ -k_t& k_t\end{array}\right]\end{array}$

将裂纹刚度矩阵K_s加入总体有限元刚度矩阵中，得到转子横向裂纹系统的总体振动频率方程，即转子横向裂纹区间B样条小波有限元模型

                 |ω²(M_r+M_b)-K_b|＝0

式中，K_b为区间B样条小波单元叠加并加入裂纹刚度矩阵K_s后形成的总体刚度矩阵，M_r+M_b为区间B样条小波单元转动惯量一致质量矩阵M_r ^e和单元弯曲一致质量矩阵M_b ^e叠加后形成的总体一致质量矩阵；

通过特征值求解方法求解转子横向裂纹区间B样条小波有限元模型，获得裂纹定量诊断数据库，利用裂纹定量识别中的等高线法定量诊断出转子横向疲劳裂纹存在的相对位置和相对深度。

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