CN101013449A - 利用交叉模型交叉模态的结构模型修正方法 - Google Patents

Abstract

一种利用交叉模型交叉模态的结构模型修正方法，通过对有限元模型的刚度矩阵和质量矩阵进行调整，使之达到通过特征计算得到的模态频率与振型与实际结构匹配。因此对于有限元模型的每个单元，对于刚度矩阵和质量矩阵分别有两个修正系数。通过对结构有限元数值模型和实验实际模型的比较计算，得到每个单元的修正系数，从而对刚度矩阵和质量矩阵进行修正，达到模型修正的目的。本发明兼有直接矩阵法和间接物理特性调整法的优点，不需迭代，提高了工作效率，而且能够保持结构模型的物理联系性。此外，本方法中所需要的实测振型不需要质量归一化，与基于输出响应的模态参数识别技术结合，可以进行环境激励下的海洋平台结构模型修正，因而该方法更具有实际应用价值。

Description

利用交叉模型交叉模态的结构模型修正方法

技术领域

本发明涉及一种利用交叉模型交叉模态的结构模型修正方法，特别是针对海洋工程结构物的有限元模型修正方法。

背景技术

有限元方法，也叫有限单元法，是将物体离散成有限的单元，通过对各个单元的具体分析，然后在此基础上综合分析的一种数值方法。其基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个、且按一定方式相互联结在一起的单元的组合体。有限元方法是建立各种结构系统数值模型最为常用的方法。

模型修正即为采用由相关的实验模型得到的数据来修改数值模型中的某些参数的数值，使修正后的模型能够更加准确的反应实际结构的动力特性的过程。与模型修正密切相关的是基于模型的损伤诊断方法——将修正后的矩阵与原先相关联的矩阵相比较作为损伤的指标可以判断出损伤的位置和损伤的程度。

模型修正根据要修正的参数的类型和使用的测量数据分为许多方法。通常，模型修正方法可以被分为两大类：直接的矩阵型方法和间接的物理特性调整方法。第一种方法是非迭代方法，直接对质量和刚度矩阵进行修正。当修正模型与实验模型的特性相近时，这种方法是有效的，但是得到的模型往往不具有物理意义。第二种方法则通过对参数的调整来进行修正，更贴近于物理意义，对于每个独立的有限元或对于每个有限元的每个设计参数设定修正系数。这种方法被视为修正技术的发展方向，但是应用时因为迭代计算会花费更多的机时，造成工作效率低。

工程结构，特别是海洋平台等海洋结构，结构复杂、体积庞大、造价昂贵。由于所处的海洋环境十分复杂，一方面，海洋环境动力因素、环境腐蚀、构件缺陷、机械损伤会引起结构刚度的变化；另一方面，海生物附着、平台设备或储油(水)的改变必然引起结构质量的变化。因此，如何考虑到实际结构的变化进行有物理意义的模型修正，对海洋平台等海洋工程结构的建模尤其重要。

发明内容

本发明为解决现有技术中存在的结构模型修正方法不具有实际物理意义或迭代计算花费机时过多，工作效率低等问题，提出新的模型修正方法-交叉模型交叉模态法，这种方法同时修正刚度和质量矩阵，兼有直接矩阵法和间接物理特性调整法的优点，不需迭代，节省机时，而且能够保持结构模型的物理联系性。

结构有限元数值模型和实验实际模型主要体现于模态频率和振型的差异，要修正这些模态参数，就要通过对有限元模型的刚度矩阵和质量矩阵进行调整。使其动力特性与实际结构匹配。因此对于有限元模型的每个单元，其刚度矩阵和质量矩阵分别有两个修正系数。通过对结构有限元数值模型和实验实际模型的比较计算，得到每个单元的修正系数，从而对刚度矩阵和质量矩阵进行修正，达到模型修正的目的。

为解决上述技术问题，本发明采用以下技术方案予以实现：

一种利用交叉模型交叉模态的结构模型修正方法，包括以下步骤：

a)用计算机软件建立结构的有限元数值模型；

b)将上述结构模型的模态参数计算出并将数据存储入专用存储器中；

c)利用传感器测试实验模型的结构动力响应数据并通过模态识别技术得到模态参数信息，存储入专用存储器中；

d)利用结构模型和实验模型的模态参数，进行结构模型修正，即：从所述专用存储器中读取上述步骤b)、c)中存储的参数信息，并从有限元模型中提取出N_i阶模态，从实验模型中提取出N_j阶模态，通过两个模型(有限元和实验模型)的交叉，以及不同阶的模态交叉形成交叉模型交叉模态方程，写为矩阵形式，有：Cα+Eβ＝f

式中C和E分别是N_m×N_k阶矩阵和N_m×N_M阶矩阵；α和β为N_K和N_M阶列向量；f为N_m阶列向量。由此式可写为：Gγ＝f

式中：G＝[C E]

$\mathrm{\γ}=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\α}\\ \mathrm{\β}\end{array}\right\}$

在质量或者刚度修正项有一个是已知的前提下，γ通过最小二乘法解出： $\widehat{\mathrm{\γ}}={\left(G^{T}G\right)}^{-1}{G}^{T}f,$ 上标T表示转置， $C_{n.m}={\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^T{K}_n{\mathrm{\Φ}}_j^{*}{C}_M,$ E_n，m＝-b_mD_n，m，f_m＝b_m-1，

其中 $D_{n,m}={\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^T{M}_n{\mathrm{\Φ}}_j^{*}{C}_K,$ $b_m=\frac{{\mathrm{\λ}}_j^{*}}{{\mathrm{\λ}}_i},$ $C_M={\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^{T}M{\mathrm{\Φ}}_j^{*},$ $C_K={\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^{T}K{\mathrm{\Φ}}_j^{*},$ K和M分别表示结构的刚度矩阵和质量矩阵，K_n表示第n个单元的单元刚度矩阵，M_n表示第n个单元的单元质量矩阵，Φ_i，Φ_j ^*分别指结构有限元数值模型和实验模型的模态振型，λ_i和λ_j ^*有限元数值模型和实验模型的特征值，将计算机计算的模型修正系数(刚度修正系数α_n、质量修正系数β_n)分别代入 $K^{*}=K+\underset{n=1}{\overset{N_K}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_n{K}_n$ 和 $M^{*}=M+\underset{n=1}{\overset{N_M}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_n{M}_n$ 中，得到修正后的有限元数值模型。

所述的结构实验模型的结构动力响应数据，其或是加速度，和/或是速度，和/或是位移。

与现有技术相比，本发明的优点和积极效果是：本发明通过对有限元模型的刚度矩阵和质量矩阵进行调整，使其动力特性与实际结构匹配。因此对于有限元模型的每个单元，其刚度矩阵和质量矩阵分别有两个修正系数α和β：α针对结构物各单元的刚度差异；β针对结构物各单元质量变化。通过对结构有限元数值模型和实验实际模型的比较计算，得到每个单元的修正系数，从而对刚度矩阵和质量矩阵进行修正，达到模型修正的目的。本发明兼有直接矩阵法和间接物理特性调整法的优点，不需迭代，节省计算时间，提高了工作效率，而且能够保持结构模型的物理联系性。此外，本方法中所需要的实测振型不需要质量归一化，与基于输出响应的模态参数识别技术结合，可以进行环境激励下的海洋平台结构模型修正，因而该方法更具有实际应用价值。

附图说明

图1为：本发明的三维框架结构有限元模型图；

图2为：三维框架结构分析模型与实验模型预设修正系数；

图3为：预设系数与修正结果系数α_n(刚度)的比较；

图4为：预设系数与修正结果系数β_n(质量)的比较。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细的说明。

一.具体算法推导如下：

对于K和M及相关的第i阶特征值λ_i和特征向量Φ_i，有：

KΦ_i＝λ_iMΦ_i                                (1)

假定实验模型的刚度矩阵K^*可以表示为：

$K^{*}=K+\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_n{K}_n---\left(2\right)$

式中，K_n表示第n个单元的单元刚度矩阵，N_e为单元数，α_n是要确定的修正系数。这里为了简单起见，假定每个单元都有一个修正参数，比如每个单元的弹性模量。

同样的，质量矩阵M^*也可以写作：

$M^{*}=M+\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_n{M}_n---\left(3\right)$

M_n表示第n个单元的单元质量矩阵，β_n是要确定的修正系数。同样假定每个单元都有一个修正参数，比如每个单元的密度。

对于K^*和M^*及相关的第j阶特征值λ_j ^*和特征向量Φ_j ^*，有

$k^{*}{\mathrm{\Φ}}_j^{*}{={\mathrm{\λ}}_j^{*}M}^{*}{\mathrm{\Φ}}_j^{*}---\left(4\right)$

在下文中，λ_j ^*和Φ_j ^*表示实验中的测得的数据。将式(1)左乘(Φ_j ^*)^T，式(4)左乘(Φ_i)^T，得到

${\left({\mathrm{\Φ}}_j^{*}\right)}^{T}K{\mathrm{\Φ}}_i={\mathrm{\λ}}_i{\left({\mathrm{\Φ}}_j^{*}\right)}^T{\mathrm{M\Φ}}_i---\left(5\right)$

${\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^T{K}^{*}{\mathrm{\Φ}}_j^{*}={\mathrm{\λ}}_j^{*}{\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^T{M}^{*}{\mathrm{\Φ}}_j^{*}---\left(6\right)$

因为M是一个对称矩阵，则 ${\left[{\left({\mathrm{\Φ}}_j^{*}\right)}^{T}M{\mathrm{\Φ}}_i\right]}^T={\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^{T}M{\mathrm{\Φ}}_j^{*},$ 另外，标量的转置等于它本身，如 ${\left[{\left({\mathrm{\Φ}}_j^{*}\right)}^{T}M{\mathrm{\Φ}}_i\right]}^T={\left({\mathrm{\Φ}}_j^{*}\right)}^T{\mathrm{M\Φ}}_i,$ 可以得到

${\left({\mathrm{\Φ}}_j^{*}\right)}^t{\mathrm{M\Φ}}_i={\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^{t}M{\mathrm{\Φ}}_j^{*}---\left(7\right)$

同样的，因为K是一个对称矩阵，也有

${\left({\mathrm{\Φ}}_j^{*}\right)}^{T}K{\mathrm{\Φ}}_i={\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^{T}K{\mathrm{\Φ}}_j^{*}---\left(8\right)$

然后，用式(6)除以式(5)，得到

$\frac{{\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^T{K}^{*}{\mathrm{\Φ}}_j^{*}}{{\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^{T}K{\mathrm{\Φ}}_j^{*}}=\frac{{\mathrm{\λ}}_j^{*}{\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^T{M}^{*}{\mathrm{\Φ}}_j^{*}}{{\mathrm{\λ}}_i{\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^{T}M{\mathrm{\Φ}}_j^{*}}---\left(9\right)$

将式(2)和(3)代入上式，得

$1+\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_n{C}_{n,\mathrm{ij}}=\frac{{\mathrm{\λ}}_j^{*}}{{\mathrm{\λ}}_i}(1+\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_n{D}_{n,\mathrm{ij}})---\left(10\right)$

其中

$C_{n,\mathrm{ij}}={\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^T{K}_n{\mathrm{\Φ}}_j^{*}{C}_M---\left(11\right)$

$D_{n,\mathrm{ij}}={\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^T{M}_n{\mathrm{\Φ}}_j^{*}{C}_K---\left(12\right)$

$C_M={\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^{T}M{\mathrm{\Φ}}_j^{*}---\left(13\right)$

$C_K={\left({\mathrm{\Φ}}_i\right)}^{T}K{\mathrm{\Φ}}_j^{*}---\left(14\right)$

用一个新的标号m来代替ij，式(10)变为

$1+\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_n{C}_{n,m}=b_m(1+\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_n{D}_{n.m})---\left(15\right)$

式中

$b_m=\frac{{\mathrm{\λ}}_j^{*}}{{\mathrm{\λ}}_i}---\left(16\right)$

重新整理式(15)，可以得到

$\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_n{C}_{n,m}-b_m\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_n{D}_{n,m}=b_m-1---\left(17\right)$

或

$\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_n{C}_{n,m}+\underset{n=1}{\overset{N_e}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_n{E}_{n.m}=f_m---\left(18\right)$

其中E_n，m＝-b_mD_n，m，f_m＝b_m-1。当从有限元模型中提取出N_i阶模态，从实验模型中提取出N_j阶模态，式(18)就包含了N_m＝N_i×N_j个方程。这些方程被叫做交叉模型交叉模态(CMCM)方程，因为它们是通过两个模型(有限元和实验模型)的交叉，以及不同阶的模态交叉形成的。写为矩阵形式，有

Cα+Eβ＝f    (19)

式中C和E分别是N_m×N_k阶矩阵和N_m×N_M阶矩阵；α和β为N_K和N_M阶列向量；f为N_m阶列向量。由此式(19)可写为

Gγ＝f                  (20)

式中

G＝[CE]                 (21)

$\mathrm{\γ}=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\α}\\ \mathrm{\β}\end{array}\right\}---\left(22\right)$

如果N_m大于2N_e，即方程数比未知数多，那γ应通过最小二乘法解出：

$\widehat{\mathrm{\γ}}={\left(G^{T}G\right)}^{-1}{G}^{T}f---\left(23\right)$

但注意到，(G^TG)的秩不可能大于(2Nc-1)，所以(G^TG)^-1不存在。为了要解决这个问题，应该加入一个附加条件方程，例如，质量或者刚度修正项有一个是已知的。

二.建立三维框架有限元数值模型：

建立一个三维框架结构，结构由水平的梁，竖直桩构件组成，共40个单元，见图1所示，三维框架结构短跨方向长度为1m，长跨方向长度为3m。所有竖直方向的构件长度为1m。所有构件的弹性模量E为2.1×10¹¹ Pa，截面面积A＝2.825×10^-3m²，相应的惯性矩I＝2.89×10^-6m⁴。

利用MATLAB编写有限元程序，建立有限元模型，作为结构分析模型。然后根据预设的修正系数，模拟结构的实验模型，得出模拟实测的模态参数。根据三维空间梁单元的标准形式，可以计算出单元刚度矩阵k_n和单元(一致)质量矩阵m_n为12×12的矩阵。在这个模型中，共有40个单元。于是，分析模型的整体刚度矩阵 $K={\mathrm{\&Kgr;}}_{n=1}^{40}{K}_n,$ 对于实际模型 $K^{*}={\mathrm{\Σ}}_{n=1}^{40}(1+{\mathrm{\α}}_n)K_n,$ 其中K_n为整体坐标系下的K_n。同样的，分析模型和实际模型的整体质量矩阵分别为： $M={\mathrm{\Σ}}_{n=1}^{40}{M}_n$ 和

$M^{*}={\mathrm{\Σ}}_{n=1}^{40}(1+{\mathrm{\β}}_n{M}_n).$

三.结构模型修正：

结构中共有20个节点，每个节点有6个自由度，所以K和M为120×120的矩阵。在CMCM方法过程中，取分析模型的60阶模态，实际模型的前两阶模态——共组成了120个CMCM方程来解80个未知数。附加的约束为M₁＝M₁ ^*(分析模型与实验模型的第一个单元的质量不发生变化)，即为修正系数β₁等于0。预先设定的修正系数α_n和β_n都是随机数，α_n是一组均值为0，标准差为0.2的高斯随机数，β_n是一组均值为0，标准差为0.1的高斯随机数，如图2所示。修正前分析模型与实验的频率与前三阶振型的模态置信准则(MAC)值见表1、表2。Φ_i与Φ_j的模模型态置信准则定义为

表1前10阶频率(Hz)比较(修正前)

n(Hz)	有限元数值模型	实验模型
			1	6.91	6.52
2	9.36	8.88
			3	12.11	11.46
4	23.04	21.86
			5	29.36	28.06
6	38.05	36.57
			7	42.24	39.62
8	44.88	42.70
			9	51.77	48.92
10	52.37	50.40

表2前三阶振型MAC值(修正前)

模态	1	2	3
				MAC	0.9994	0.9917	0.9977

修正后可以得到刚度矩阵的修正系数α_n(n＝1，…40)如图3所示。预设的修正系数和得到的修正系数之间的绝对误差在10^-7的数量级上，如图4所示。同样的，修正后的质量矩阵的修正系数β_n(n＝1，…40)以及与预设修正系数的误差见图5和图6。注意到因为附加的条件，β₁的误差为0。以上的数值结果显示通过CMCM方法计算得出的修正系数能够很好的符合预先设定的值，误差足以忽略掉。通过得到的修正系数，可以计算出修正后的刚度矩阵K^*和质量矩阵M^*，并经过特征计算得到修正后模型的频率和前三阶模态振型的MAC值，见表3和表4。可以从表中看出，修正后的模型可以很好的代表实验模型的动力参数。

表3前10阶频率(Hz)比较(修正后)

n(Hz)	修正模型	实验模型
			1	6.52	6.52
2	8.88	8.88
			3	11.46	11.46
4	21.86	21.86
			5	28.06	28.06
6	36.57	36.57
			7	39.62	39.62
8	42.70	42.70
			9	48.92	48.92
10	50.40	50.40

表4前三阶振型MAC值(修正后)

模态	1	2	3
				MAC	1.0000	1.0000	1.0000

Claims (3)

1.一种利用交叉模型交叉模态的结构模型修正方法，其特征在于：包括以下步骤：

a)用计算机软件建立结构的有限元数值模型；

b)将上述结构模型的模态参数计算出并将数据存储入专用存储器中；

c)利用传感器测试实验模型的结构动力响应数据并通过模态识别技术得到模态参数信息，存储入所述专用存储器中；

d)利用结构模型和实验模型的模态参数，进行结构模型修正，即：从所述专用存储器中读取上述步骤b)、c)中存储的参数信息，并从有限元模型中提取出N_i阶模态，从实验模型中提取出N_j阶模态，通过有限元模型和实验模型的交叉，以及不同阶的模态交叉形成交叉

模型交叉模态方程，写为矩阵形式，有：Cα+Eβ＝f式中C和E分别是N_m×N_k，阶矩阵和N_m×N_M阶矩阵；α和β为N_K和N_M阶列向量；f为N_m阶列向量，由此式可写为：Gγ＝f

式中：G＝[C E]

$\mathrm{\γ}=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\α}\\ \mathrm{\β}\end{array}\right\}$

在质量或者刚度修正项有一个是已知的前提下，γ通过最小二乘法解出： $\widehat{\mathrm{\γ}}={\left(G^{T}G\right)}^{-1}{G}^{T}f$ ，上标T表示转置，C_n，m＝(Φ_l)^TK_nΦ^* _JC_M，E_n，m＝-b_mD_n，m，f_m＝b_m-1，其中D_n，m＝(Φ_l)^TM_nΦ^* _JC_K，

$b_m=\frac{{\mathrm{\λ}}_j^{*}}{{\mathrm{\λ}}_i},$ C_M＝(Φ_i)^TMΦ^* _J，C_K＝(Φ_i)^TKΦ^* _J，K和M分别表示结构的刚度矩阵和质量矩阵，K_n表示第n个单元的单元刚度矩阵，M_n表示第n个单元的单元质量矩阵，Φ_i，Φ^* _J分别指结构有限元数值模型和实验模型的模态振型，λ_i和λ^* _j有限元数值模型和实验模型的特征值，分别为将计算机计算出的模型修正系数(刚度修正系数α_n、质量修正系数β_n)分别代入 $K^{*}=K+\underset{n=1}{\overset{N_K}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_n{K}_n$ 和 $M^{*}=M+\underset{n=1}{\overset{N_M}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_n{M}_n$ 中，得到修正后的有限元数值模型。

2.根据权利要求1所述的利用交叉模型交叉模态的结构模型修正方法，其特征在于：所述的实验模型的结构动力响应数据，其或是加速度，和/或是速度，和/或是位移。

3.根据权利要求1所述的利用交叉模型交叉模态的结构模型修正方法，其特征在于：适合于进行环境激励下的海洋平台结构模型修正。