CN113626893B - 一种基于隐式几何模型的计算机力学分析数值模拟方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于隐式几何模型的计算机力学分析数值模拟方法，可应用于计算力学相关的机械工程、地质勘探、城市基础建设等领域。该方法针对复合多个隐式边界的隐式几何模型，结合数值流形方法的思想构建有限覆盖系统建立数值模拟平衡方程，并设计针对隐式表达实体空间和曲面的积分策略支撑数值模拟平衡方程中刚度矩阵、固定约束矩阵和外力载荷的计算，为工程计算领域提供了新的数值模拟解决方案。本发明提出数值模拟方法计算网格可不与实体边界保持一致，在保证计算精度的基础上，避免了边界一致网格划分的预处理过程，在科学和工程计算领域具有良好应用前景。
Description
技术领域
本发明涉及计算机图形学、结构力学分析、数值模拟等领域，其目的是设计一种可应用于计算力学分析的数值模拟方法，具体包括数值流形方法有限覆盖系统构建、数值模拟平衡方程创建与求解、模型内部物理属性场计算与分析等内容。
背景技术
数值模拟是利用计算机软件和硬件，采用一定的方法和策略，模拟和解释自然界和工程界物理规律和现象的技术。近几十年来，在工程计算领域相继涌现出有限差分法，有限体积法，边界元法，有限元法等众多数值模拟技术。其中有限元数值模拟计算的基础理论和方法发展较为成熟且具有良好的通用性，在相关领域应用非常广泛。数值流形方法可以认为是对有限元方法的一般性拓展，其思想和理论更具有普遍性，有限元方法也只是数值流形方法在特定有限覆盖系统下的特例。作为最近广受关注的数值模拟技术，数值流形方法的理论和技术在解决更为广泛的数学和物理问题方面具有很大潜力。
目前，有限元等主流数值模拟方法通常需要在前处理过程中采用显式参数化曲线曲面或网格等方式进行几何建模，曲面之间的布尔过程非常复杂，且常常出现问题。对于建模完成的实体几何模型，为了满足数值模拟计算的需求，往往还需通过网格划分的过程，将计算区域划分成简单单元的集合。作为一种形式更一般的数值模拟方法，数值流形方法需要依托具体的几何结构合理定义覆盖系统建立数值模拟平衡方程。如果选择有限元网格构建数值流形方法有限覆盖系统，其依然要面临区域边界一致网格划分的问题。对于稍微复杂的几何外形，现有的网格划分方法经常难以奏效，保证网格单元的质量也很困难，导致网格划分成为数值模拟计算实现的瓶颈。
发明内容
本发明旨在设计一种基于隐式几何模型的计算机力学分析数值模拟方法，在复合多个隐式边界的隐式几何模型结构上可直接生成有限覆盖系统执行数值模拟运算，避免了有限元等传统数值模拟方法对高质量边界一致网格划分的依赖性，提高了在具体工程问题中面对复杂边界问题实施数值模拟计算的可行性。
本发明为了达到上述发明目的采用技术方案是：提供了一种基于隐式几何模型的计算机力学分析数值模拟方法，用于计算力学数值模拟，应用于计算力学分析相关的机械工程、地质勘探、城市基础建设等领域。其特征包括以下步骤：
步骤A：输入隐式几何模型与边界条件，在输入过程中，将隐式几何模型结构用计算机语言描述和实现并正确读入计算机内存；其中隐式几何模型通过复合多个隐式边界隐式表达几何实体确定计算区域，边界条件用于确定实体边界所受固定约束和外力载荷等；
步骤B：根据输入的隐式几何模型，结合数值流形方法的思想构建有限覆盖系统；
步骤C：根据构建的有限覆盖系统和实体边界所受固定约束、外力载荷等边界条件建立数值模拟平衡方程并求解；
步骤D：根据数值模拟平衡方程求解得到的系统未知数向量以及计算区域有限覆盖系统计算实体内位移、应变、应力等物理属性场分布并分析。
所述数值模拟方法结合之前数值流形方法的思想，在复合多个隐式边界的几何模型数据结构上重新定义数学覆盖、物理覆盖、流形单元等概念组建有限覆盖系统。重新定义数值流形方法中的物理覆盖权函数和流形单元场函数形式构建数值模拟平衡方程。设计并实现了针对隐式表达实体空间和曲面的积分策略以支撑数值模拟平衡方程刚度矩阵、固定约束矩阵和外力载荷的计算。本发明公开的基于隐式几何模型的数值模拟方法，计算网格可不与实体边界保持一致，在保证计算精度的基础上，避免了边界一致网格划分的预处理过程。
所述步骤A进一步包括：将隐式几何模型和模型边界条件输入到计算机内存，其在计算机内存中的数据组织方式是通过计算机语言实现的数据结构。其中隐式几何模型结构定义在笛卡尔网格上，根据笛卡尔网格单元内包含隐式边界的数量，单元类型可分为基本单元、边界单元和复合单元。其中边界单元和基本单元通过在每个单元顶点处存储单个标量值定义单个隐函数。边界单元内部隐函数描述单个隐式边界，基本单元内部不包含隐式边界，其隐函数用于区分实体区域内外。复合单元顶点存储多个标量值以定义多个隐函数，并通过局部构造实体几何树组织各个隐函数从而描述多个隐式边界及其相互作用。本步骤输入的边界条件确定相应几何实体边界是否为固定边界，受到系统外力大小以方便后续建立数值模拟平衡方程并求解。
所述步骤B进一步包括：根据输入的隐式几何模型构建数值流形方法的有限覆盖系统，也即，在隐式几何模型结构上定义数值流形方法的数学覆盖、物理覆盖以及流形单元集合。在有限覆盖系统中，数学覆盖定义为包含单个顶点的所有笛卡尔网格单元的并集区域，物理覆盖为数学覆盖内包含的单个隐函数表达的实体区域。流形单元为物理覆盖之间的交集，其一般在单个笛卡尔网格单元的内部。所有数学覆盖、物理覆盖以及流形单元的集合组建成有限覆盖系统对计算区域进行描述和子区域离散化。
所述步骤C进一步包括：以笛卡尔网格单元为单位，以单元涉及的每个物理覆盖上定义的物理覆盖权函数和覆盖函数乘积之和设计数值流形方法总体场函数。其中覆盖函数为常量函数，每个常量覆盖函数为系统未知数。将计算力学中位移三个分量用总体场函数表达，结合计算力学最小势能原理理论推导数值模拟平衡方程。设计单元内部隐式表达空间和隐式曲面上的积分策略计算数值模拟平衡方程的刚度矩阵、固定约束矩阵和外力载荷向量元素。求解数值模拟平衡方程计算系统未知数，也即每个常量物理覆盖函数。
所述步骤D进一步包括：对于模型空间中任一点，根据其落入的笛卡尔网格单元涉及的物理覆盖集合，结合定义的物理覆盖权函数以及求解数值模拟平衡方程得到的常量物理覆盖函数可计算该点位移从而计算模型内部位移场。结合固体力学理论，根据应变和位移关系，以及应力与应变关系计算模型内应变场和应力场从而对实体进行力学分析。
有益效果：
本发明的方法从输入的隐式几何模型和模型边界条件构建数值流形方法有限覆盖系统建立设置模拟平衡方程求解工程物理问题。与现有技术相比所具有的优点是：可在非边界一致的网格上执行数值模拟计算，将数值模拟过程和几何建模过程直接对接，避免了常见数值模拟方法中高质量边界一致网格划分问题。
附图说明
图1隐式几何模型结构示例；
图2隐式几何模型上数学覆盖，物理覆盖和流形单元示例；
图3三维笛卡尔网格单元顶点编号；
图4将笛卡尔网格单元划分为规则子单元集合示例；
图5笛卡尔单元内隐式表达实体及外表面；(a)笛卡尔单元内隐式表达实体与隐式曲面；(b)隐式表达实体与笛卡尔单元外表面的交集；
图6基于隐式几何模型的数值模拟方法工作流程；
图7基于隐式几何模型的数值模拟方法计算得到模型整体位移场示例；
图8基于隐式几何模型的数值模拟方法计算得到模型等效应变场示例；
图9基于隐式几何模型的数值模拟方法计算得到模型等效应力场示例。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整的描述，显然，所描述的实施例仅为本发明的一部分实施例，而不是全部的实施例，基于本发明中的实施例，本领域的普通技术人员在不付出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明的保护范围。
本发明提出数值模拟方法需要在一种复合多个隐式边界的隐式几何模型的数据结构上构建数值流形方法，有限覆盖系统建立数值模拟平衡方程。图1以2D形式展示了本发明涉及的隐式几何模型结构示例，三维隐式几何模型的结构可以以此类推。隐式几何模型定义在笛卡尔网格上，根据单元内包含的隐式边界的数量对笛卡尔网格单元进行分类。其中边界单元和基本单元通过在每个单元顶点处存储单个标量值定义单个隐函数，边界单元内部隐函数描述单个隐式边界，基本单元内部不包含隐式边界，其隐函数用于区分实体区域内外。复合单元顶点存储多个标量值以定义多个隐函数，并通过局部构造实体几何树组织各个隐函数从而描述多个隐式边界及其相互作用。复合单元、边界单元以及顶点采样标量值为负的所有基本单元一起描述了实体内部和边界，构成了数值模拟的计算区域。
针对输入的隐式几何模型，本发明提出数值模拟方法需要结合数值流形方法，在隐式几何模型结构上定义数学覆盖、物理覆盖和流形单元等元素建立有限覆盖系统。图2二维形式展示了隐式几何模型上定义数学覆盖，物理覆盖和流形单元的示例。假设隐式几何模型M定义在笛卡尔网格D上，其表达的隐式几何实体区域为Ω。对于D的任一顶点p，假设包含p的单元为ci(1≤i≤m)，m为单元数量。令C＝∪ci，若则称C为实体区域Ω的一个数学覆盖。
假如数学覆盖C内定义n个隐函数φj(1≤j≤n)，对应每个隐函数表达的实体内部区域为Ωj(1≤j≤n)。则数学覆盖C上定义的每个物理覆盖为：
Pj＝C∩Ωj (1)
若数学覆盖C只包含边界单元和基本单元，则其上的所有单元内部都只定义一个隐函数函数，最终会产生一个物理覆盖。若C包含复合单元，则n＞1，将产生多个物理覆盖。如图2所示，数值流形方法中的流形单元为物理覆盖之间的交集。由于数学覆盖之间的交集最多为一个笛卡尔网格单元，而每个物理覆盖又是其对应数学覆盖的子集，所以通过本发明涉及的隐式几何模型构建的有限覆盖系统定义的每个流形单元都在一个笛卡尔网格单元的内部，为对应与实体内部区域交集非空的笛卡尔网格单元的子集。
定义了数学覆盖、物理覆盖和流形单元的概念，需要在其上定义相应的数学覆盖权函数、物理覆盖权函和流形单元场函数的形式以便于建立数值模拟平衡方程。如图3所示，对于任意三维笛卡尔网格单元，假设其X，Y和Z三个方向的边长为Δx，Δy和Δz，对其顶点进行编号，记为：
pi,j,k(xi,yj,zk)(0≤i,j,k≤1) (2)
数学覆盖权函数定义的形式如下：
其中X方向上的两个线性插值基函数为：
同理，在Y方向上的两个线性插值基函数为：
Z方向上的两个线性插值基函数为：
记笛卡尔网格单元c的8个顶点对应的数学覆盖为Cl(1≤l≤8)，对应编号的数学覆盖权函数为Ψl。若数学覆盖Cl根据其内部关联隐函数数量定义有nl个物理覆盖，定义其内部每个物理覆盖权函数为对应数学覆盖的平均值，也即，Cl中第j个数学覆盖为：
其中编号i满足：
表示笛卡尔网格单元c涉及的第i个物理覆盖，s为单元c涉及的物理覆盖的数量。每个物理覆盖上定义常量覆盖函数ηi(1≤i≤n)，则笛卡尔网格单元c内部的流形单元场函数形式为：
结合计算力学的思想，在三维情况下，假设单个笛卡尔网格单元c内任一点p(x,y,z)的位移为：
u＝[u(x,y,z)v(x,y,z)w(x,y,z)]T (13)
以公式定义的流形单元总体场函数的形式表示点p处位移，则：
u＝Gη (14)
其中向量η为未知数向量，G称为权函数矩阵，二者形式满足：
η＝[η1 η2 …η3s]T (15)
G＝[G1 G2 …Gs] (16)
根据计算力学中应变和位移的关系，点p处应变可表示为：
其中：
假设应力和应变存在关系：
σ＝Dε (20)
σ为应力，ε为应变，D为表达应力应变关系的矩阵；
则系统的应变能为：
其中Ω为单元内隐式表达实体区域，K称为刚度矩阵，满足：
由模型实体所受体积力和边界表面受力造成的势能为：
其中p为物体单位体积受力(体积力)，f为物体表面单位面积所受外力，Γ为表面外力作用的物体边界。向量F称为外力载荷向量，其形式为：
本发明提出数值模拟方法通过添加刚性弹簧的方式处理固定边界条件。假设固定边界的曲面Γs在X，Y，Z三个方向分别添加刚度系数分别为kx，ky和kz的弹簧。对于任意点p∈Γs，随着其位移增加，该点受到的弹簧力为：
fs＝[-kxup -kyvp -kzwp]T (25)
up、vp、wp分别为p点在X、Y、Z方向上的位移；
则由固定边界条件导致的弹簧势能为：
其中：
J＝[J1 J2…Js] (27)
Ks此处称为固定约束矩阵，满足：
根据以上分析，模型系统总势能为：
根据最小势能原理对系统未知数求导即可得到计算力学分析的数值模拟平衡方程：
(K+Ks)η＝F (31)
本发明提出基于隐式几何模型的数值流形方法在构建数值模拟平衡方程时，刚度矩阵，固定约束矩阵和外力载荷向量的每一项元素都涉及隐式表达实体和边界隐式曲面上的积分问题。对于隐式几何模型中任意笛卡尔网格单元c，假设其上的被积函数为f(x,y,z)，记Ω为c内整体隐函数φ隐式表达的实体区域，定义开关函数：
如图4所示，在进行积分计算时，可以通过等分或者多分辨率空间划分的方式，将单元c划分为更小的规则子单元集合在每个子单元内通过开关函数将子单元中隐式表达实体空间区域积分转化为子单元区域内积分。假设每个子单元/>对应的空间区域为/>单元c内实体区域积分可表示为划分后各个子单元内实体区域积分结果的和，也即
若需要在单元c内隐式曲面上执行积分运算，假设为单元c的外表面，由隐式几何模型的定义可知，单元c内隐函数φi表达的曲面为：
Γ＝{p∈c|φi(p)＝0} (34)
单元c内隐函数φi对应的隐式表达实体内部区域为：
Ωi＝{p∈cφφi(p)＜0} (35)
如图5(a)、(b)所示，隐式表达实体区域Ωi的边界有两部分构成，一部分为隐式曲面Γ，另一部分为隐式表达实体区域Ωi与单元c外表面的交集/>也即：
假设隐式曲面Γi上被积函数为g(x,y,z)，定义向量函数g满足：
g＝[g1(x,y,z)g2(x,y,z)g3(x,y,z)]T＝gn (38)
其中n为通过隐函数φi计算的单元区域内任意点的单位法向。假设隐式表达实体区域表面Γi上任意点法向为ni，Γ为Γi的一部分，显然在隐式曲面Γ上有：
ni＝n (39)
g＝g(n·n)＝g(n·ni)＝g·ni (40)
假设单元c表面Γc上单位法向为nc，由于为Γc的子集，则在/>上有：
ni＝nc (41)
设置定义域在单元c表面的函数以及定义域在单元c内部的向量函数gc：
根据散度定理，实体表面的第二类曲面积分可以转化为被积函数散度在实体区域内的积分，由此可得：
针对隐式曲面的积分运算也可以通过将单元c划分成更小尺度的规则子单元集合提高积分运算精度。如图4所示，假设单元c中与隐函数φi代表的实体边界相交的子单元集合为每个子单元/>对应的空间区域为/>其表面为/>表面法向为在/>上定义如公式的函数/>则单元c内隐式曲面上积分可表示为所有子单元内隐式曲面上积分的和：
根据本发明的一个实施例，如图6所示，展示了基于隐式几何模型的数值模拟方法工作流程，以下针对每个步骤具体说明。
首先是步骤200、输入隐式几何模型与边界条件。在输入过程中，将隐式几何模型结构用计算机语言描述和实现并正确读入计算机内存。根据输入的边界条件，标记具体隐式边界所受外力大小，记录固定隐式边界以方便后续建立数值模拟平衡方程。
步骤210、根据输入的隐式几何模型，结合数值流形方法的思想构建有限覆盖系统。在输入的隐式几何模型结构上定义数学覆盖、物理覆盖以及流形单元等概念，数学覆盖定义为包含单个顶点的所有笛卡尔网格单元的并集区域，物理覆盖为数学覆盖内包含的单个隐函数表达的实体区域。流形单元为物理覆盖之间的交集，其一般在单个笛卡尔网格单元的内部。所有数学覆盖、物理覆盖以及流形单元的集合组建成有限覆盖系统对计算区域进行描述和子区域离散化。
步骤220、根据构建的有限覆盖系统和实体边界所受固定约束、外力载荷等边界条件建立数值模拟平衡方程并求解。结合计算力学的思想，根据有限覆盖系统上定义的物理覆盖权函数、流形单元场函数等形式表达计算单元内任一点的位移。计算系统总势能，并根据最小势能原理推导数值模拟平衡方程的形式。通过对单元内隐式表达实体空间和曲面上的积分计算数值模拟平衡方程中刚度矩阵、固定约束矩阵和外力载荷向量的元素，求解数值模拟平衡方程得到系统未知数。
步骤230、根据数值模拟平衡方程求解得到的系统未知数向量以及计算区域有限覆盖系统计算实体内位移、应变、应力等物理属性场分布并分析。对于模型空间中任一点，根据其落入的笛卡尔网格单元涉及的物理覆盖集合，结合定义的物理覆盖权函数以及求解数值模拟平衡方程得到的常量物理覆盖函数可计算该点位移从而计算模型内部位移场。结合固体力学理论，根据应变和位移关系，以及应力与应变关系计算模型内应变场和应力场从而对实体进行力学分析。
综上所述，本发明提出的一种基于隐式几何模型的计算机力学分析数值模拟方法，计算网格可不与实体边界保持一致，在保证计算精度的基础上，避免了边界一致网格划分的预处理过程，提高了针对复杂几何外形的实体执行数值模拟计算的可实施性。
图7，图8和图9展示了采用本发明提出的基于隐式几何模型的数值模拟方法进行数值模拟计算后模型区域整体位移，等效应变和等效应力分布，以计算实例证明了本发明提出数值模拟方法的有效性。
当然，本发明还可以有其他多种实施例，在不背离本发明精神及其实质的情况下，熟悉本领域的技术人员当可根据本发明作出各种相应的改变和变形，但这些相应的改变和变形都应属于本发明所附的权利要求的保护范围。
Claims (4)
1.一种基于隐式几何模型的计算机力学分析数值模拟方法，用于计算力学数值模拟，应用于计算力学分析相关的机械工程、地质勘探、城市基础建设领域；其特征在于，包括以下步骤：
步骤A：输入隐式几何模型与边界条件，在输入过程中，将隐式几何模型结构用计算机语言描述和实现并正确读入计算机内存；其中隐式几何模型通过复合多个隐式边界隐式表达几何实体确定计算区域，边界条件用于确定实体边界所受固定约束和外力载荷；
步骤B：根据输入的隐式几何模型，结合数值流形方法构建有限覆盖系统；所述步骤B进一步包括：根据输入的隐式几何模型构建数值流形方法的有限覆盖系统，也即，在隐式几何模型结构上定义数值流形方法的数学覆盖、物理覆盖以及流形单元集合；在有限覆盖系统中，数学覆盖定义为包含单个顶点的所有笛卡尔网格单元的并集区域，物理覆盖为数学覆盖内包含的单个隐函数表达的隐式表达实体区域；流形单元为物理覆盖之间的交集，其在单个笛卡尔网格单元的内部；所有数学覆盖、物理覆盖以及流形单元的集合组建成有限覆盖系统对计算区域进行描述和子区域离散化；
步骤C：根据构建的有限覆盖系统和实体边界所受固定约束、外力载荷边界条件建立数值模拟平衡方程并求解；
步骤D：根据数值模拟平衡方程求解得到的系统未知数向量以及计算区域有限覆盖系统计算实体内物理属性场分布并分析，所述物理属性场包括位移、应变、应力。
2.根据权利要求1所述的一种基于隐式几何模型的计算机力学分析数值模拟方法，其特征在于：所述步骤A进一步包括：将隐式几何模型和模型边界条件输入到计算机内存，其在计算机内存中的数据组织方式是通过计算机语言实现的数据结构，其中隐式几何模型结构定义在笛卡尔网格上，根据笛卡尔网格单元内包含隐式边界的数量，将单元类型分为基本单元、边界单元和复合单元；其中边界单元和基本单元通过在每个单元顶点处存储单个标量值定义单个隐函数；边界单元内部隐函数描述单个隐式边界，基本单元内部不包含隐式边界，其隐函数用于区分实体区域内外；复合单元顶点存储多个标量值以定义多个隐函数，并通过局部构造实体几何树组织各个隐函数从而描述多个隐式边界及其相互作用；本步骤输入的边界条件确定相应几何实体边界是否为固定边界，受到系统外力大小以方便后续建立数值模拟平衡方程并求解。
3.根据权利要求1所述的一种基于隐式几何模型的计算机力学分析数值模拟方法，其特征在于：所述步骤C进一步包括：以笛卡尔网格单元为单位，以单元涉及的每个物理覆盖上定义的物理覆盖权函数和覆盖函数乘积之和设计数值流形方法总体场函数；其中覆盖函数为常量函数，每个常量覆盖函数为系统未知数；将计算力学中位移三个分量用总体场函数表达，结合计算力学最小势能原理理论推导数值模拟平衡方程；设计单元内部隐式表达空间和隐式曲面上的积分策略计算数值模拟平衡方程的刚度矩阵、固定约束矩阵和外力载荷向量元素；求解数值模拟平衡方程计算系统未知数，也即每个常量物理覆盖函数。
4.根据权利要求1所述的一种基于隐式几何模型的计算机力学分析数值模拟方法，其特征在于：所述步骤D进一步包括：对于模型空间中任一点，根据其落入的笛卡尔网格单元涉及的物理覆盖集合，结合定义的物理覆盖权函数以及求解数值模拟平衡方程得到的常量物理覆盖函数计算该点位移从而计算模型内部位移场；结合固体力学理论，根据应变和位移关系，以及应力与应变关系计算模型内应变场和应力场从而对实体进行力学分析。
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Citations (3)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN108491574A (zh) * | 2018-02-11 | 2018-09-04 | 郑州大学 | 基于光滑变形隐式曲线的结构形状设计方法 |
| CN108961224A (zh) * | 2018-06-20 | 2018-12-07 | 厦门大学 | 一种基于隐式拉伸曲面的冠脉血管几何模型重建方法 |
| CN110298105A (zh) * | 2019-06-26 | 2019-10-01 | 大连理工大学 | 饱和多孔介质大变形分析的ccpdi-impm方法 |
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| US9279314B2 (en) * | 2011-08-11 | 2016-03-08 | Conocophillips Company | Heat front capture in thermal recovery simulations of hydrocarbon reservoirs |
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2021
- 2021-08-27 CN CN202110993806.5A patent/CN113626893B/zh active Active
Patent Citations (3)
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