WO2020155509A1

WO2020155509A1 - 考虑铁损的永磁同步电机随机命令滤波神经网络控制方法

Info

Publication number: WO2020155509A1
Application number: PCT/CN2019/090499
Authority: WO
Inventors: 于金鹏; 马玉梅; 刘占杰; 程帅; 付程; 王孟孟
Original assignee: 青岛大学
Priority date: 2019-01-29
Filing date: 2019-06-10
Publication date: 2020-08-06
Also published as: CN109921698A; CN109921698B

Abstract

一种考虑铁损的永磁同步电机随机命令滤波神经网络控制方法，属于永磁同步电机位置跟踪控制技术领域。该方法针对永磁同步电机的控制精度需求以及驱动系统中的随机扰动和非线性问题，在传统的反步法中引入了命令滤波技术来解决计算过程中的"计算爆炸"问题，同时利用神经网络逼近系统中的非线性函数，构造了神经网络自适应位置跟踪控制器。本发明可以保证系统的跟踪误差能够收敛到原点的一个足够小的邻域内，具有更高的工作效率，更强的抗干扰能力以及更好的控制效果。

Description

考虑铁损的永磁同步电机随机命令滤波神经网络控制方法

技术领域

本发明属于永磁同步电机位置跟踪控制技术领域，尤其涉及一种考虑铁损的永磁同步电机随机命令滤波神经网络控制方法。

背景技术

近年来，永磁同步电机(PMSM)凭借其结构简单、效率高、使用寿命长和实际运用性强的特点，在农业、工业等领域有着极为广泛的运用。然而，PMSM的系统是高度非线性，强耦合和多变量的，并且在实际运用中电机系统会被一些不确定的因素所干扰，例如参数不确定和负载扰动。为解决这些问题，相关科技工作者提出了一些先进的非线性控制方法并取得了较好的成效，如反步控制、滑模控制、鲁棒控制等先进的控制技术。

通过这些技术可以使电机系统获得更好的性能。然而，上述控制方法很少考虑电机运行过程中的铁芯损耗和随机扰动的影响。在电机的实际运用中，电机系统常常会因为高速运行，空载运行或轻载运行产生一定的铁芯损耗，这将在一定程度上降低电机系统运行的稳定性，例如在新兴的混合动力汽车中，车辆的驱动系统在运行中的铁芯损耗是不能避免的，因此解决铁芯损耗的问题极为重要。另一方面，电机系统在实际运用中也无法避免随机扰动问题，例如外部负载随机切换，随机噪声和振动等，同时，PMSM系统的某些参数会因为阻尼转矩等随机干扰而发生一定程度的变化，这会影响到电机系统运行过程中的控制效果。此外，电机的输入饱和问题也会降低系统运行的稳定性。因此，研究电机运行过程中的铁芯损耗、随机扰动和输入饱和问题对于提高PMSM系统的性能是非常有必要的。

在另一个前端研究领域，作为先进技术之一的自适应反步法已成功运用到了PMSM系统中，但是它的使用却存在局限性，首先它使用的对象必须是线性系统，其次在虚拟控制函数计算过程中会出现“计算爆炸”的问题。针对上述缺点，已经提出了模糊逻辑系统(FLS)或神经网络(NN)等近似理论，并成功解决了传统自适应反步法中存在的部分缺陷，但这些方法并没有解决“计算爆炸”的问题。通过近几年的研究，动态面控制(DSC)技术作为新型技术之一被用来解决计算过程中出现的复杂计算，然而DCS技术在实际使用中不能消除产生的误差，这将影响对PMSM的控制精度。为了改善控制效果，引入了命令滤波误差补偿技术。此外，神经网络系统在处理未知非线性函数方面的能力引起了国内外控制界的广泛关注，并用于具有高度非线性和不确定性的复杂控制系统设计中。

发明内容

本发明的目的在于提出一种考虑铁损的永磁同步电机随机命令滤波神经网络控制方法，以解决在参数不确定和有负载转矩扰动的情况下永磁同步电机的位置跟踪控制的技术问题。

本发明为了实现上述目的，采用如下技术方案：

考虑铁损的永磁同步电机随机命令滤波神经网络控制方法，包括如下步骤：

a建立考虑铁损的永磁同步电机的d-q坐标轴动态数学模型，如公式(1)所示：

其中，u _d，u _q表示定子电压；Θ和ω分别表示转子角位置和转子角速度；

i _d，i _q表示定子电流；i _od，i _oq表示励磁电流；J表示转动惯量；n _p表示极对数；

L _d，L _q表示定子电感；L _ld，L _lq表示定子漏感；L _md，L _mq表示励磁电感；

R ₁表示定子电阻，R _c表示铁芯损耗电阻；

T _L表示负载转矩；λ _PM表示转子永磁体产生的磁通量；

为了简化计算过程，定义新的变量如下：

则考虑铁损的永磁同步电机的动态数学模型可表示为：

其中，ψ ₂,ψ ₃,ψ ₄,ψ ₅,ψ ₆均表示未知的光滑非线性函数；

b基于Lyapunov函数，对于任意给定的函数V＝V(x)∈C ²，C ²表示复数集；

定义差分运算，由伊藤微分法则可知：

其中，L表示无穷微分算子，

表示

修正项，f和h表示关于x的局部Lipschitz函数；Tr表示对角线元素之和；

对于公式(1)，u为永磁同步电机系统的对称饱和非线性输入；u可描述为：

其中，u _max＞0和u _min＜0是未知的输入饱和常数；v是饱和非线性的输入信号；

通过使用分段的平滑函数来近似饱和函数，定义如下函数：

将公式(3)中的sat(v)写成：u＝sat(v)＝g(v)+d(v)；

其中，d(v)＝sat(v)-g(v)是有界函数，其边界可表示为：

|d(v)|＝|sat(v)-g(v)|≤max{u _max(1-tanh(1)),u _min(tanh(1)-1)}＝D (4)

其中，D为常数；

根据中值定理可知，存在μ _i1，0＜μ _i1＜1，使得：

其中，

选择v ₀＝0，可得：

由上式u＝sat(v)＝g(v)+d(v)和

可得

存在常数b _m和b _M，使0＜b _m≤g _ia≤b _M＜∞成立；

其中，g _ia为x _ia+1的系数，ia＝1,…,n；

对于上式中的函数

存在未知的正常数g _m，得到如下不等式：

假设存在一个C ²的函数V(x):R ⁿ→R ₊，取两个常数e ₀＞0和g ₀＞0，则存在：

其中，R ⁿ表示全体n维实数列向量构成的集合，R ₊表示正数；

q(|x|)表示函数V(x)的下限，

表示函数V(x)的上限；

对于任意x∈R ⁿ，当t≥t ₀时，随机系统满足：

其中，E[V(x)]表示函数V(x)的期望，V(x ₀)表示当x＝x ₀时V(x)的初始值；

命令滤波器定义如下：

其中，φ ₁和φ ₂表示实数，ω _n＞0，ζ∈(0，1]；

如果输入信号α ₁满足

和

对于所有的t≥0均成立，其中ρ ₁和ρ ₂是正的常量，并且φ ₁(0)＝α ₁(0)，φ ₂(0)＝0，则对于任意μ＞0：

必然存在ω _n＞0和ζ∈(0，1]，使得|φ ₁-α ₁|≤μ，

和|φ ₁|都是有界的；

对于

R表示实数集，总存在不等式：

其中，ε＞0，p＞1，q＞1，并且(p-1)(q-1)＝1；

对于一个连续的函数

存在一个很小的集合Ω ₀，引入径向基函数神经网络，它满足：

R ^q→R，

其中，

为输入向量，q为神经网络的输入维数，

R ^q表示全体q维实数列向量构成的集合，N ^*表示权重向量，P(Z)表示基函数向量；

基函数向量P(Z)＝[p ₁(Z),…，p _n(Z)] ^T∈R ⁿ，

选用如下高斯函数的形式：

其中，

是接受域的中心，

是高斯函数的宽度；

对于任意给定的ε＞0，在紧集Ω ₀∈R _q下，径向基函数神经网络可对任何的连续函数进行逼近：

其中，δ(Z)为跟踪误差，且满足|δ(Z)|≤ε；

N是在分析过程中定义的未知理想权向量，且满足

当N的取值为N ^*时，|δ(Z)|达到最小；

下面给出基于反步法的随机非线性神经网络控制器的设计：

定义系统误差变量：

上式中，x _1d为跟踪信号，x _1,c，x _2,c，x _3,c，x _5,c分别为输入信号α ₁，α ₂，α ₃，α ₅时滤波器的输出信号，ξ _i为误差补偿信号，i＝1,2,3,4,5,6；

定义未知常数θ _j＝||N _j|| ²，j＝2,3,4,5,6，N _j表示未知理想权向量，

其中，

表示θ _j的估计值；P _i(Z)＝P _i表示基函数向量，δ _i(Z)为跟踪误差，且满足|δ _i(Z)|≤ε _i；

其中，

控制方法设计的每一步都会选取一个Lyapunov函数来构建一个虚拟控制函数或者真实控制律，控制方法的设计具体包括以下步骤：

b1定义误差信号z ₁＝x ₁-x _1d，补偿误差v ₁＝z ₁-ξ ₁；

选取Lyapunov函数

求导得

定义x ₂＝v ₂+x _1,c+ξ ₂，取

其中，k ₁表示正设计参数；

根据杨氏不等式，有

因此，可得不等式：

因此，选取

其中α ₁表示虚拟控制律，可得：

其中，

b2定义误差信号z ₂＝x ₂-x _1,c，补偿误差v ₂＝z ₂-ξ ₂；

选取Lyapunov函数为：

由上式得：

根据杨氏不等式可得：

l ₂为选取的正常数，代入式(10)得：

其中，d表示|T _L|的上限值；d＞0；

根据杨氏不等式和公式(12)，可得：

取

可得：

其中，k ₂表示正设计参数，

和

表示常数，其中i _d＝2,…,6；

由杨氏不等式可得：

根据上式取虚拟控制律：

可得：

其中，

b3定义误差信号z ₃＝x ₃-x _2,c，补偿误差v ₃＝z ₃-ξ ₃；

选取Lyapunov函数：

通过上式得：

由杨氏不等式可得：

其中，l ₃为选取的正常数，由此可得：

定义x ₄＝v ₄+ξ ₄+x _3,c；

将公式(19)代入公式(17)中，由杨氏不等式可知

并取：

选择虚拟控制律

可得：

其中，k ₃表示正设计参数，

b4定义误差信号z ₄＝x ₄-x _3,c，补偿误差v ₄＝z ₄-ξ ₄；

选取Lyapunov函数

求导得：

其中，l ₄为选取的正常数，将该公式代入公式(21)可得：

其中，

其中，取补偿信号为：

选择实际控制输入为：

式中，k ₄表示正设计参数，d _q为正数；

由杨氏不等式得到：

其中，D _q为常数；

当

时，公式(22)表示为：

b5定义误差信号z ₅＝x ₅，补偿误差v ₅＝z ₅-ξ ₅；

选取Lyapunov函数

利用上式得：

由杨氏不等式可得：

其中，l ₅为选取的正常数，可得：

令

x ₆＝v ₆+ξ ₆+x _5,c；

由杨氏不等式可得：

取

取虚拟控制律：

补偿信号

其中，k ₅表示正设计参数，可得到：

b6定义误差信号z ₆＝x ₆-x _5,c，补偿误差v ₆＝z ₆-ξ ₆；

选取Lyapunov函数

利用上式得：

由杨氏不等式得：

根据上式可得：

其中，

可得：

补偿信号

真实控制律为

其中，d _d表示常数；

根据上述公式可知：

其中，D _d表示常数，d ₂为常数；

通过上述公式可得：

其中，

c由上述分析，选择Lyapunov函数如下：

式中

j _h＝2,3,4,5,6，已知

可得

对上式求导得：

构造自适应律为：

代入上式得：

对于

可得

代入式(35)，可得：

其中，p _j和λ _j均表示设计常数；

取a ₀，b ₀分别为：

a ₀＝min{4e ₁,4e ₂,4e ₃,4e ₄,4e ₅,4e ₆,p ₂,p ₃,p ₄,p ₅,p ₆}；

因此，公式(36)可表示为：LV≤-a ₀V+b ₀,t≥0；

式(36)可表示为：

上式可改写为：

E[|v _i| ⁴]≤4E[V(t)],i＝1,2,3,4,5,6 (38)

构造Lyapunov函数V _ξ如下：

定义滤波误差为(x _t,c-α _t)且满足|x _t,c-α _t|≤σ _t,t＝1,2,3,5，由式(39)可得：

其中：

σ ₁,σ ₂,σ ₃,σ ₅均为滤波误差；取σ＝max(σ ₁,σ ₂,σ ₃,σ ₅)，已知

可得：

其中，

c ₀＝2σ ²；

综上，V _ξ是一致有界的，补偿信号ξ _i也是有界的，

ξ _i和v _i是有界的，z _i＝v _i+ξ _i，z _i是有界的，因此，跟踪误差会收敛到原点一个很小的邻域内。

本发明具有如下优点：

(1)本发明考虑了永磁同步电机系统运行过程中铁芯损耗和随机干扰的问题，使设计的控制方法更符合实际工程的需要。

(2)本发明针对永磁同步电机驱动系统中的高度非线性系统，本发明采用神经网络逼近的方法来处理，并通过使用分段光滑函数逼近的方法有效地解决了输入饱和问题。

(3)本发明通过使用命令滤波技术，有效地解决考虑铁损的永磁同步电机随机非线性系统计算过程中的“计算爆炸”问题，并通过命令滤波补偿器对产生的滤波误差进行补偿。

(4)本发明所提出的控制器与使用动态面的电机系统相比更容易实现，结果证明，该命令滤波控制器能够更好更快的实现位置信号的跟踪且具有更强的鲁棒性。

附图说明

图1本发明中考虑铁损的永磁同步电机随机命令滤波神经网络控制器、坐标变换、SVPWM逆变器组成的复合被控对象的示意图；

图2是采用本发明控制方法后转子角度和转子角度设定值跟踪仿真图；

图3是采用本发明控制方法后转子角度和转子角度设定值跟踪误差仿真图；

图4是采用本发明控制方法后同步电动机d轴定子电压仿真图；

图5是采用本发明控制方法后同步电动机q轴定子电压仿真图。

具体实施方式

本发明的基本思想为：利用神经网络系统逼近永磁同步电机驱动系统中未知的随机非线性函数，同时基于Lyapunov函数，运用反步法构造中间虚拟控制信号，逐步递推得到控制律，从而保证电压电流稳定在一个有界区域内，减小误差，提高控制精度。

下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：

如图1所示，考虑铁损的永磁同步电机随机命令滤波神经网络控制方法，其采用的部件主要包括考虑铁损的永磁同步电机随机命令滤波神经网络控制器1、坐标变换单元2、SVPWM逆变器3和转速检测单元4与电流检测单元5。

其中，转速检测单元4和电流检测单元5主要用于检测永磁同步电机的电流值和转速相关变量，通过实际测量的电流和转速变量作为输入，通过考虑铁损的永磁同步电机随机命令滤波神经网络控制器1进行电压控制，最终转换为三相电控制永磁同步电机的转速。为了设计一个更加有效的控制器，建立永磁同步电机动态模型是十分重要的。

其中，u _d，u _q表示定子电压；Θ和ω分别表示转子角位置和转子角速度；i _d，i _q表示定子电流；i _od，i _oq表示励磁电流；J表示转动惯量；n _p表示极对数；L _d，L _q表示定子电感；L _ld，L _lq表示定子漏感；L _md，L _mq表示励磁电感；R ₁表示定子电阻，R _c表示铁芯损耗电阻；T _L表示负载转矩；λ _PM表示转子永磁体产生的磁通量。为了简化计算过程，定义新的变量如下：

则考虑铁损的永磁同步电机的动态数学模型可表示为：

其中，ψ ₂,ψ ₃,ψ ₄,ψ ₅,ψ ₆均表示未知的光滑非线性函数。

定义差分运算，由伊藤微分法则可知：

其中，L表示无穷微分算子，

表示

修正项，f和h表示关于x的局部Lipschitz函数；Tr表示对角线元素之和。

其中，u _max＞0和u _min＜0是未知的输入饱和常数；v是饱和非线性的输入信号。

通过使用分段的平滑函数来近似饱和函数，定义如下函数：

将公式(3)中的sat(v)写成：u＝sat(v)＝g(v)+d(v)。

其中，d(v)＝sat(v)-g(v)是有界函数，其边界可表示为：

|d(v)|＝|sat(v)-g(v)|≤max{u _max(1-tanh(1)),u _min(tanh(1)-1)}＝D (4)

其中，D为常数。

根据中值定理可知，存在μ _i1，0＜μ _i1＜1，使得：

其中，

选择v ₀＝0，可得：

由上式u＝sat(v)＝g(v)+d(v)和

可得

存在常数b _m和b _M，使0＜b _m≤g _ia≤b _M＜∞成立。其中，g _ia为x _ia+1的系数，ia＝1,…,n。

对于上式中的函数

存在未知的正常数g _m，得到如下不等式：

其中，R ⁿ表示全体n维实数列向量构成的集合，R ₊表示正数。 q(|x|)表示函数V(x)的下限，

表示函数V(x)的上限。

对于任意x∈R ⁿ，当t≥t ₀时，随机系统满足：

其中，E[V(x)]表示函数V(x)的期望，V(x ₀)表示当x＝x ₀时V(x)的初始值。

命令滤波器定义如下：

其中，φ ₁和φ ₂表示实数，ω _n＞0，ζ∈(0，1]。

如果输入信号α ₁满足

和

必然存在ω _n＞0和ζ∈(0，1]，使得|φ ₁-α ₁|≤μ，

和|φ ₁|都是有界的。

对于

R表示实数集，总存在不等式：

其中，ε＞0，p＞1，q＞1，并且(p-1)(q-1)＝1。

对于一个连续的函数

R ^q→R，

其中，

为输入向量，q为神经网络的输入维数，R ^q表示全体q维实数列向量构成的集合，N ^*表示权重向量，P(Z)表示基函数向量。

基函数向量P(Z)＝[p ₁(Z),…，p _n(Z)] ^T∈R ⁿ，

选用如下高斯函数的形式：

其中，

是接受域的中心，

是高斯函数的宽度。

其中，δ(Z)为跟踪误差，且满足|δ(Z)|≤ε。

N是在分析过程中定义的未知理想权向量，且满足

当N的取值为N ^*时，|δ(Z)|达到最小。

下面给出基于反步法的随机非线性神经网络控制器的设计：

定义系统误差变量：

上式中，x _1d为跟踪信号，x _1,c，x _2,c，x _3,c，x _5,c分别为输入信号α ₁，α ₂，α ₃，α ₅时滤波器的输出信号，ξ _i为误差补偿信号，i＝1,2,3,4,5,6。

其中，

表示θ _j的估计值；P _i(Z)＝P _i表示基函数向量，δ _i(Z)为跟踪误差，且满足|δ _i(Z)|≤ε _i。

其中，

b1定义误差信号z ₁＝x ₁-x _1d，补偿误差v ₁＝z ₁-ξ ₁；选取Lyapunov函数

求导得

定义x ₂＝v ₂+x _1,c+ξ ₂，取

其中，k ₁表示正设计参数。

根据杨氏不等式，有

因此，可得不等式：

因此，选取

其中α ₁表示虚拟控制律，可得：

其中，

b2定义误差信号z ₂＝x ₂-x _1,c，补偿误差v ₂＝z ₂-ξ ₂。

选取Lyapunov函数为：

由上式得：

根据杨氏不等式可得：

l2为选取的正常数，代入式(10)得：

其中，d表示|T _L|的上限值；d＞0。

根据杨氏不等式和公式(12)，可得：

取

可得：

其中，k ₂表示正设计参数，

和

表示常数，其中i _d＝2,…,6。

由杨氏不等式可得：

根据上式取虚拟控制律：

可得：

其中，

b3定义误差信号z ₃＝x ₃-x _2,c，补偿误差v ₃＝z ₃-ξ ₃。

选取Lyapunov函数：

通过上式得：

由杨氏不等式可得：

其中，l ₃为选取的正常数，由此可得：

定义x ₄＝v ₄+ξ ₄+x _3,c。

将公式(19)代入公式(17)中，由杨氏不等式可知

并取：

选择虚拟控制律

可得：

其中，k ₃表示正设计参数，

b4定义误差信号z ₄＝x ₄-x _3,c，补偿误差v ₄＝z ₄-ξ ₄。

选取Lyapunov函数

求导得：

其中，l ₄为选取的正常数，将该公式代入公式(21)可得：

其中，

其中，取补偿信号为：

选择实际控制输入为：

式中，k ₄表示正设计参数，d _q为正数。

由杨氏不等式得到：

其中，D _q为常数。

当

时，公式(22)表示为：

b5定义误差信号z ₅＝x ₅，补偿误差v ₅＝z ₅-ξ ₅。

选取Lyapunov函数

利用上式得：

由杨氏不等式可得：

其中，l ₅为选取的正常数，可得：

令

x ₆＝v ₆+ξ ₆+x _5,c。

由杨氏不等式可得：

取

取虚拟控制律：

补偿信号

其中，k ₅表示正设计参数，可得到：

b6定义误差信号z ₆＝x ₆-x _5,c，补偿误差v ₆＝z ₆-ξ ₆。

选取Lyapunov函数

利用上式得：

由杨氏不等式得：

根据上式可得：

其中，

可得：

补偿信号

真实控制律为

其中，d _d表示常数。

根据上述公式可知：

其中，D _d表示常数，d ₂为常数。

通过上述公式可得：

其中，

c由上述分析，选择Lyapunov函数如下：

式中

j _h＝2,3,4,5,6，已知

可得

对上式求导得：

构造自适应律为：

代入上式得：

对于

可得

代入式(35)，可得：

其中，p _j和λ _j均表示设计常数。

取a ₀，b ₀分别为：

因此，公式(36)可表示为：LV≤-a ₀V+b ₀,t≥0。

式(36)可表示为：

上式可改写为：

E[|v _i| ⁴]≤4E[V(t)],i＝1,2,3,4,5,6 (38)

构造Lyapunov函数V _ξ如下：

其中：

可得：

其中，

c ₀＝2σ ²。

综上，V _ξ是一致有界的，补偿信号ξ _i也是有界的，

在虚拟环境下对所建立的考虑铁损的永磁同步电机随机命令滤波神经网络控制器进行仿真，验证所提出的考虑铁损的永磁同步电机随机命令滤波神经网络方法的可行性：

电机及负载参数为：

J＝0.002kg·m ²,λ _PM＝0.0844Wb,R ₁＝2.21Ω,R _c＝200Ω,L _d＝0.00977H,L _q＝0.00977H,

L _md＝0.007H,L _mq＝0.008H,L _lq＝0.00177H,L _ld＝0.00177H,n _p＝3。

参考信号为x _1d＝sin(t)，神经网络参数

和

在区间[-10,10]中包含十一个中心分布均匀的节点。

负载转矩为

选择令滤波技术的控制参数为：

k ₁＝k ₂＝10,k ₃＝k ₄＝k ₅＝k ₆＝20；l ₂＝l ₃＝l ₄＝l ₅＝l ₆＝5；

p ₂＝p ₃＝p ₄＝p ₅＝p ₆＝0.5；λ ₂＝λ ₃＝λ ₄＝2,λ ₅＝0.2,λ ₆＝2。

命令滤波器的参数如下：ζ＝0.7,ω _n＝500。

选择饱和非线性输入为：

仿真是在系统参数和非线性函数未知的前提下进行的。对于考虑铁损的自适应神经网络控制方法的仿真结果如附图所示。跟踪信号和期望信号如图2所示，位置跟踪误差如图3所示。由图2和图3看出，系统的输出可以很好的跟踪期望信号；d轴定子电压和q轴定子电压如图4和图5所示，由图4和图5看出，控制器输入u _d和u _q都稳定在一个有界区域内。

以上模拟信号清楚地表明，本发明中考虑铁损的永磁同步电机随机命令滤波神经网络控制方法可以高效地跟踪参考信号，因此，具有良好实际实施意义。

当然，以上说明仅仅为本发明的较佳实施例，本发明并不限于列举上述实施例，应当说明的是，任何熟悉本领域的技术人员在本说明书的教导下，所做出的所有等同替代、明显变形形式，均落在本说明书的实质范围之内，理应受到本发明的保护。

Claims

考虑铁损的永磁同步电机随机命令滤波神经网络控制方法，其特征在于，

包括如下步骤：

a建立考虑铁损的永磁同步电机的d-q坐标轴动态数学模型，如公式(1)所示：

其中，u _d，u _q表示定子电压；Θ和ω分别表示转子角位置和转子角速度；

i _d，i _q表示定子电流；i _od，i _oq表示励磁电流；J表示转动惯量；n _p表示极对数；

L _d，L _q表示定子电感；L _ld，L _lq表示定子漏感；L _md，L _mq表示励磁电感；

R ₁表示定子电阻，R _c表示铁芯损耗电阻；

T _L表示负载转矩；λ _PM表示转子永磁体产生的磁通量；

为了简化计算过程，定义新的变量如下：

则考虑铁损的永磁同步电机的动态数学模型可表示为：

其中，ψ ₂,ψ ₃,ψ ₄,ψ ₅,ψ ₆均表示未知的光滑非线性函数；

b基于Lyapunov函数，对于任意给定的函数V＝V(x)∈C ²，C ²表示复数集；

定义差分运算，由伊藤微分法则可知：

其中，L表示无穷微分算子，
表示
修正项，f和h表示关于x的局部Lipschitz函数；Tr表示对角线元素之和；

对于公式(1)，u为永磁同步电机系统的对称饱和非线性输入；u可描述为：

其中，u _max＞0和u _min＜0是未知的输入饱和常数；v是饱和非线性的输入信号；

通过使用分段的平滑函数来近似饱和函数，定义如下函数：

将公式(3)中的sat(v)写成：u＝sat(v)＝g(v)+d(v)；

其中，d(v)＝sat(v)-g(v)是有界函数，其边界可表示为：

|d(v)|＝|sat(v)-g(v)|≤max{u _max(1-tanh(1)),u _min(tanh(1)-1)}＝D (4)

其中，D为常数；

根据中值定理可知，存在μ _i1，0＜μ _i1＜1，使得：

其中，
选择v ₀＝0，可得：

由上式u＝sat(v)＝g(v)+d(v)和
可得

存在常数b _m和b _M，使0＜b _m≤g _ia≤b _M＜∞成立；

其中，g _ia为x _ia+1的系数，ia＝1,…,n；

对于上式中的函数
存在未知的正常数g _m，得到如下不等式：

假设存在一个C ²的函数V(x):R ⁿ→R ₊，取两个常数e ₀＞0和g ₀＞0，则存在：

其中，R ⁿ表示全体n维实数列向量构成的集合，R ₊表示正数；

q(|x|)表示函数V(x)的下限，
表示函数V(x)的上限；

对于任意x∈R ⁿ，当t≥t ₀时，随机系统满足：
t≥t ₀；

其中，E[V(x)]表示函数V(x)的期望，V(x ₀)表示当x＝x ₀时V(x)的初始值；

命令滤波器定义如下：

其中，φ ₁和φ ₂表示实数，ω _n＞0，ζ∈(0，1]；

如果输入信号α ₁满足
和
对于所有的t≥0均成立，其中ρ ₁和ρ ₂是正的常量，并且φ ₁(0)＝α ₁(0)，φ ₂(0)＝0，则对于任意μ＞0：

必然存在ω _n＞0和ζ∈(0，1]，使得|φ ₁-α ₁|≤μ，
和|φ ₁|都是有界的；

对于
R表示实数集，总存在不等式：

其中，ε＞0，p＞1，q＞1，并且(p-1)(q-1)＝1；

对于一个连续的函数
存在一个很小的集合Ω ₀，引入径向基函数神经网络，它满足：

R ^q→R，

其中，
为输入向量，q为神经网络的输入维数，

R ^q表示全体q维实数列向量构成的集合，N ^*表示权重向量，P(Z)表示基函数向量；基函数向量P(Z)＝[p ₁(Z),…，p _n(Z)] ^T∈R ⁿ，
选用如下高斯函数的形式：

其中，
是接受域的中心，
是高斯函数的宽度；

对于任意给定的ε＞0，在紧集Ω ₀∈R _q下，径向基函数神经网络可对任何的连续函数进行逼近：

其中，δ(Z)为跟踪误差，且满足|δ(Z)|≤ε；

N是在分析过程中定义的未知理想权向量，且满足

当N的取值为N ^*时，|δ(Z)|达到最小；

下面给出基于反步法的随机非线性神经网络控制器的设计：

定义系统误差变量：

上式中，x _1d为跟踪信号，x _1,c，x _2,c，x _3,c，x _5,c分别为输入信号α ₁，α ₂，α ₃，α ₅时滤波器的输出信号，ξ _i为误差补偿信号，i＝1,2,3,4,5,6；

定义未知常数θ _j＝||N _j|| ²，j＝2,3,4,5,6，N _j表示未知理想权向量，
其中，
表示θ _j的估计值；P _i(Z)＝P _i表示基函数向量，δ _i(Z)为跟踪误差，且满足|δ _i(Z) _|≤ε _i；

其中，

控制方法设计的每一步都会选取一个Lyapunov函数来构建一个虚拟控制函数或者真实控制律，控制方法的设计具体包括以下步骤：

b1定义误差信号z ₁＝x ₁-x _1d，补偿误差v ₁＝z ₁-ξ ₁；

选取Lyapunov函数
求导得

定义x ₂＝v ₂+x _1,c+ξ ₂，取

其中，k ₁表示正设计参数；

根据杨氏不等式，有
因此，可得不等式：

因此，选取
其中α ₁表示虚拟控制律，可得：

其中，

b2定义误差信号z ₂＝x ₂-x _1,c，补偿误差v ₂＝z ₂-ξ ₂；

选取Lyapunov函数为：
由上式得：

根据杨氏不等式可得：

l ₂为选取的正常数，代入式(10)得：

其中，d表示|T _L|的上限值；d＞0；

根据杨氏不等式和公式(12)，可得：

取
可得：

其中，k ₂表示正设计参数，
和
表示常数，其中i _d＝2,…,6；

由杨氏不等式可得：
根据上式取虚拟控制律：

可得：

其中，

b3定义误差信号z ₃＝x ₃-x _2,c，补偿误差v ₃＝z ₃-ξ ₃；

选取Lyapunov函数：
通过上式得：

由杨氏不等式可得：

其中，l ₃为选取的正常数，由此可得：

定义x ₄＝v ₄+ξ ₄+x _3,c；

将公式(19)代入公式(17)中，由杨氏不等式可知
并取：

选择虚拟控制律
可得：

其中，k ₃表示正设计参数，

b4定义误差信号z ₄＝x ₄-x _3,c，补偿误差v ₄＝z ₄-ξ ₄；

选取Lyapunov函数
求导得：

其中，l ₄为选取的正常数，将该公式代入公式(21)可得：

其中，

其中，取补偿信号为：
选择实际控制输入为：

式中，k ₄表示正设计参数，d _q为正数；

由杨氏不等式得到：

其中，D _q为常数；

当
时，公式(22)表示为：

b5定义误差信号z ₅＝x ₅，补偿误差v ₅＝z ₅-ξ ₅；

选取Lyapunov函数
利用上式得：

由杨氏不等式可得：

其中，l ₅为选取的正常数，可得：

令
x ₆＝v ₆+ξ ₆+x _5,c；

由杨氏不等式可得：
取
取虚拟控制律：

补偿信号

其中，k ₅表示正设计参数，可得到：

b6定义误差信号z ₆＝x ₆-x _5,c，补偿误差v ₆＝z ₆-ξ ₆；

选取Lyapunov函数
利用上式得：

由杨氏不等式得：

根据上式可得：

其中，
可得：

补偿信号
真实控制律为

其中，d _d表示常数；

根据上述公式可知：

其中，D _d表示常数，d ₂为常数；

通过上述公式可得：

其中，

c由上述分析，选择Lyapunov函数如下：

式中
j _h＝2,3,4,5,6，已知
可得
对上式求导得：

构造自适应律为：
代入上式得：

对于
可得
代入式(35)，可得：

其中，p _j和λ _j均表示设计常数；

取a ₀，b ₀分别为：

a ₀＝min{4e ₁,4e ₂,4e ₃,4e ₄,4e ₅,4e ₆,p ₂,p ₃,p ₄,p ₅,p ₆}；

因此，公式(36)可表示为：LV≤-a ₀V+b ₀,t≥0；

式(36)可表示为：

上式可改写为：

E[|v _i| ⁴]≤4E[V(t)],i＝1,2,3,4,5,6 (38)

构造Lyapunov函数V _ξ如下：

定义滤波误差为(x _t,c-α _t)且满足|x _t,c-α _t|≤σ _t,t＝1,2,3,5，由式(39)可得：

其中：

σ ₁,σ ₂,σ ₃,σ ₅均为滤波误差；取σ＝max(σ ₁,σ ₂,σ ₃,σ ₅)，已知
可得：

其中，
c ₀＝2σ ²；

综上，V _ξ是一致有界的，补偿信号ξ _i也是有界的，
i＝1,L,6；ξ _i和v _i是有界的，z _i＝v _i+ξ _i，z _i是有界的，因此，跟踪误差会收敛到原点一个很小的邻域内。