WO2018196466A1

WO2018196466A1 - 多层复合薄膜结构的力学参数测量方法及装置

Info

Publication number: WO2018196466A1
Application number: PCT/CN2018/076248
Authority: WO
Inventors: 周再发; 孙超; 郭欣格; 黄庆安
Original assignee: 东南大学
Priority date: 2017-04-28
Filing date: 2018-02-11
Publication date: 2018-11-01
Also published as: US11002710B2; CN107063839A; US20190227036A1

Abstract

一种多层复合薄膜结构的力学参数测量方法和一种多层复合薄膜结构的力学参数测量装置，属于微机电系统(Micro-Electro-Mechanical System，简称MEMS)材料参数在线测试技术领域。方法基于多层复合双端固支梁和多层复合悬臂梁的一阶谐振频率与材料特性、结构尺寸等参数之间的关系，利用求解方程组的形式一次性得到多层复合薄膜结构各层的等效杨氏模量和各层的等效残余应力，可满足多层薄膜材料的在线测试，且测试结构、计算方法简单，准确性更高。

Description

多层复合薄膜结构的力学参数测量方法及装置

技术领域

本发明涉及一种多层复合薄膜结构的力学参数测量方法及装置，属于微机电系统(Micro-Electro-Mechanical System，简称MEMS)材料参数在线测试技术领域。

背景技术

MEMS全称为微机电系统，也叫做微电子机械系统、微系统、微机械等，是指尺寸在几毫米乃至更小的高科技装置，其内部结构一般在微米甚至纳米量级，是一个独立的智能系统。MEMS主要由传感器、动作器(执行器)和微能源三大部分组成。微机电系统涉及物理学、半导体、光学、电子工程、化学、材料工程、机械工程、医学、信息工程及生物工程等多种学科和工程技术，为智能系统、消费电子、可穿戴设备、智能家居、系统生物技术的合成生物学与微流控技术等领域开拓了广阔的用途。常见的产品包括MEMS加速度计、MEMS麦克风、微马达、微泵、微振子、MEMS压力传感器、MEMS陀螺仪、MEMS湿度传感器等以及它们的集成产品。

随着MEMS工艺的发展和完善，用表面微机械加工技术和体硅加工工艺，已经做出了多种微型机械构件，如微悬臂梁、微桥等。这些微型机械构件，由于尺寸较小，在宏观上往往被看作薄膜结构，其力学行为与宏观的大块机械材料之间有相当大的差异，不能用我们所熟知的宏观机械材料的机械参数来衡量薄膜材料的力学性能。薄膜材料的力学性能与具有相同化学成分的大体积材料的力学性能有较大的差异，各种传统的力学性能测试技术与设备也不能直接用于薄膜材料的测试，所以在表面微机械结构的加工过程中薄膜材料力学参数(例如，残余应力、杨氏模量、疲劳强度、断裂强度、泊松比)的控制就变得尤其重要，在MEMS领域，薄膜力学性能的研究和测试正在成为一个新的研究热点，引起了微电子学、力学、物理、材料等领域研究者的兴趣。

对于很多种材料，尤其是在晶体材料在形成薄膜、细梁等结构，在不同的加工工艺条件下，即使相同的材料也往往会表现出明显不同的材料特性。同样，即使同样的工艺在不同生产环境下所表现出的热学参数也存在明显不同，因而会表现出明显不同的力学参数，如密度、杨式模量、残余应力等。但是如果以上力学参数已知的话，则对于传感器、执行器部分的一些静态或动响应，就可以方便地由已测得的其它参数估计出来。所以，在线监测薄膜结构的力学参数对于MEMS器件具有非常重要的意义。

一方面由于尺寸相对较小，薄膜材料的材料参数难以利用经典的宏观表征技术进行实验测量；另一方面，CMOS MEMS器件往往使用多层薄膜结构，将已有的测试单层薄膜材料力学参数方法应用到多层薄膜材料参数测量上却并不容易。因此，建立工艺兼容的对多层薄膜材料力学参数的在线测试结构和测试方法，对于监测MEMS薄膜材料力学特性，预测和优化产品性能，保证产品性能可靠、均匀一致并且长期稳定，具有非常重要的意义。

现有测量薄膜材料的杨氏模量的方法包括纳米压痕法、静电吸合法、鼓泡法等。但纳米压痕法会损伤薄膜；静电吸合法多次测量后由于静电积累，会造成测量误差，而且只适合测量导电材料；鼓泡法测量对工作台面的平面度、粗糙度要求高，同时薄膜构件与工作台的粘结质量直接影响试验的成功与否。

中国发明专利CN101493389公开了《一种基于谐振频率法在线测量MEMS薄膜杨氏模量的方法》。该方法制作了一个中心固定的圆形MEMS薄膜，薄膜的锚区固定在平面衬底上，通过测出圆形MEMS薄膜的谐振频率从而计算得到薄膜材料的杨氏模量。该发明主要适用于单层薄膜，但是目前对于多层薄膜材料参数的市场需求越来越大，且单层薄膜材料力学参数的提取并不能直接套用到多层薄膜上。

发明内容

本发明所要解决的技术问题在于克服现有技术不足，提供一种多层复合薄膜结构的力学参数测量方法，基于多层复合双端固支梁和多层复合悬臂梁的一阶谐振频率与材料特性、结构尺寸等参数之间的关系，利用求解方程组的形式一次性得到多层复合薄膜结构各层的等效杨氏模量和各层的等效残余应力，可满足多层薄膜材料的在线测试，且测试结构、计算方法简单，准确性更高。

本发明具体采用以下技术方案解决上述技术问题：

多层复合薄膜结构的力学参数测量方法，所述多层复合薄膜结构为初始平直的N层复合薄膜结构，N为大于等于2的整数；包括以下步骤：步骤1、采用所述多层复合薄膜结构的制备工艺制备一组至少N个初始平直的N层复合悬臂梁测试结构以及一组至少N个初始平直的N层复合双端固支梁测试结构，各测试结构除几何尺寸外的其他材料参数均相同；对于每一组测试结构，以每个测试结构的各层宽度及长度所组成的向量作为该测试结构的尺寸向量，则这一组测试结构的尺寸向量组线性无关；

步骤2、测量出每个测试结构的一阶谐振频率；

步骤3、将N层复合悬臂梁测试结构的一阶谐振频率分别代入N层复合悬臂梁一阶谐振频率表达式，从而得到由至少N个线性方程构成的方程组；对所述方程组求解，得到所述多层复合薄膜结构各层的等效杨氏模量；所述N层复合悬臂梁一阶谐振频率f _1cf的表达式具体如下：

式中，l为所述N层复合悬臂梁测试结构的长度；第i层薄膜材料的宽度为w _i，厚度为

h _i，材料密度为ρ _i，等效杨氏模量为

z _i为第i层薄膜材料的顶面在z轴上的位置，z _c是中性面高度；

步骤4、将N层复合双端固支梁测试结构的一阶谐振频率以及步骤3所得到的多层复合薄膜结构各层的等效杨氏模量分别代入N层复合双端固支梁一阶谐振频率表达式，从而得到由至少N个方程构成的方程组；对所述方程组求解，得到所述多层复合薄膜结构各层的等效残余应力；所述N层复合双端固支梁一阶谐振频率f _1s的表达式具体如下：

式中，l为所述N层复合双端固支梁测试结构的长度；第i层薄膜材料的宽度为w _i，厚度为h _i，材料密度为ρ _i，等效杨氏模量为

，等效残余应力为

z _c是中性面高度。

根据相同的发明思路还可以得到以下技术方案：

多层复合薄膜结构的力学参数测量装置，所述多层复合薄膜结构为初始平直的N层复合薄膜结构，N为大于等于2的整数；该装置包括：一组至少N个初始平直的N层复合悬臂梁测试结构，采用所述多层复合薄膜结构的制备工艺制备，各测试结构除几何尺寸外的其他材料参数均相同；以每个测试结构的各层宽度及长度所组成的向量作为该测试结构的尺寸向量，则这一组测试结构的尺寸向量组线性无关；

一组至少N个初始平直的N层复合双端固支梁测试结构，采用所述多层复合薄膜结构的制备工艺制备，各测试结构除几何尺寸外的其他材料参数均相同；以每个测试结构的各层宽度及长度所组成的向量作为该测试结构的尺寸向量，则这一组测试结构的尺寸向量组线性无关；

谐振频率测量单元，用于测量每个测试结构的一阶谐振频率；

计算单元，用于将N层复合悬臂梁测试结构的一阶谐振频率分别代入N层复合悬臂梁一阶谐振频率表达式，从而得到由至少N个线性方程构成的方程组，并对所述方程组求解，得到所述多层复合薄膜结构各层的等效杨氏模量；然后将N层复合双端固支梁测试结构的一阶谐振频率以及多层复合薄膜结构各层的等效杨氏模量分别代入N层复合双端固支梁一阶谐振频率表达式，从而得到由至少N个方程构成的方程组，并对所述方程组求解，得到所述多层复合薄膜结构各层的等效残余应力；其中，

所述N层复合悬臂梁一阶谐振频率f _1cf的表达式具体如下：

式中，l为所述N层复合悬臂梁测试结构的长度；第i层薄膜材料的宽度为w _i，厚度为h _i，材料密度为ρ _i，等效杨氏模量为

所述N层复合双端固支梁一阶谐振频率f _1s的表达式具体如下：

等效残余应力为

z _c是中性面高度。

相比现有技术，本发明具有以下有益效果：

本发明利用多层悬臂梁和多层双端固支梁的组合测试结构，基于多层双端固支梁和多层悬臂梁的一阶谐振频率与材料特性、结构尺寸等参数之间的关系，可一次性得到多层复合薄膜结构各层的等效杨氏模量和各层的等效残余应力，有效解决了多层复合薄膜结构的力学参数测量难题；

本发明测试方法简单，对测试设备要求低，且测试过程稳定，计算过程简便，测试准确性高。

本发明测试结构的加工过程与微机电器件加工同步，没有特殊加工要求，因此完全符合在线测试的要求。

附图说明

图1a、图1b分别为双层复合悬臂梁测试结构的俯视图、主视图；

图2a、图2b分别为双层复合双端固支梁测试结构的俯视图、主视图。

图中标号含义如下：

101、锚区，102、顶层，103、底层，104、衬底。

具体实施方式

针对多层复合薄膜结构的力学参数在线测量问题，本发明的思路是利用多层悬臂梁和多层双端固支梁的组合测试结构，基于多层双端固支梁和多层悬臂梁的一阶谐振频率与材料特性、结构尺寸等参数之间的关系，可一次性得到多层复合薄膜结构各层的等效杨氏模量和各层的等效残余应力，且计算简便，测试准确性高。

为了便于公众理解本发明技术方案，首先对本发明技术方案的理论原理进行详细说明。

对于由至少两层薄膜结构复合而成的复合薄膜结构而言，当薄膜宽度与其厚度满足w _i<5h _i，即薄膜结构为窄梁时，等效杨氏模量

就是杨氏模量E _i其本身；当薄膜宽度与其厚度满足w _i≥5h _i，即薄膜为宽梁时，等效杨氏模量

是一个关于杨氏模量和泊松比的关系式，即

则第i层薄膜的等效杨氏模量

关于薄膜厚度及其宽度之间的关系为：

假设释放工艺之前(即未发生形变时)梁的长度为l；第i层薄膜材料的宽度为w _i，厚度为h _i，材料密度为ρ _i，杨氏模量为E _i。多层薄膜的底面在z轴上位置为z ₀，z ₀＝0，从下至上第i层的顶面在z轴上的位置为z _i，则：

中性面高度z _c为：

第i层薄膜材料在横截面上的面积关于中性轴的转动惯量I _i为：

定义微机械薄膜梁的弯曲刚度为

线性密度为

轴向载荷

即：

其中，A _i为第i层薄膜材料在横截面上的面积，ρ _i为第i层薄膜材料的密度，

为第i层薄膜材料的等效残余应力。

对于初始平直的多层悬臂梁而言，微机械多层薄膜悬臂梁横向振动的微分方程为：

其中z(x,t)是当梁横向振动时在高度上的位移。利用分离变量法对该式进行求解，令z(x,t)＝Z(x)T(t)带入式(8)中进行求解，得释放后保持平直的多层悬臂梁一阶谐振频率公式：

其中频率值的下标1表示第一阶谐振频率，cf表示边界条件为悬臂梁。

基于上述线性方程组，可考虑利用一组除几何尺寸外其他材料参数均相同的多层复合悬臂梁测试结构来分别实测其一阶谐振频率，根据测得的一阶谐振频率及测试结构的尺寸参数可构建线性方程组，对方程组求解即可得到相应的多层薄膜结构各层的等效杨氏模量。

初始平直的多层薄膜双端固支梁在平衡点附近振动时，为线性、小形变振动。当梁横向振动时在高度上的位移为z(x,t)时，其内部任意垂直于长度方向的某一横截面不仅仅受到由弯曲形成的内应力产生的弯矩和单位长度上的荷载所产生的弯矩，而且也受到轴向力P对横截面偏移平衡位置而产生的弯矩，该弯矩为Pz(x,t)，上述关系可以描述为：

在小形变振动条件下，微机械薄膜梁小角度弯曲的微分方程为：

一段长度为dx，带有作用于其上的内作用力和惯性作用力的梁单元，其中剪力V，弯矩M，单位长度上梁的载荷p(x)之间的关系为：

且对于横向振动的梁，单位长度上梁的载荷等于克服单位长度上梁的质量(即线性密度

与加速度产生的惯性力的载荷，即：

将式(10)，(11)和(13)带入到式(12)中，最终得到：

该方程即为微机械薄膜双端固支梁横向振动的微分方程。运用分离变量法对该式进行求解。设z(x,t)＝Z(x)T(t)，代入式(14)，可以得到幅度Z(x)的通解为：

Z(x)＝C ₁sin(λ ₁x)+C ₁cos(λ ₁x)+C ₃sinh(λ ₂x)+C ₄cosh(λ ₂x) (15)

其中

可以考虑将薄膜双端固支梁的一阶谐振模态假设为余弦函数的形状，即Z ₁(x)＝b[1- cos(2πx/l)]。对于此形式存在以下关系：

将该关系式代入到幅度Z(x)的方程中，可以得到：

求解可以得到存在残余应力的初始平直的多层薄膜双端固支梁的第一阶谐振频率的近似解析公式为：

其中频率值的下标1表示第一阶谐振频率，s表示释放后保持平直。

由上式可以看出，多层双端固支梁的一阶谐振频率与梁的材料参数和结构几何尺寸有关。在此基础上，可以将多层双端固支梁的一阶谐振频率视为由上式确定的关于杨氏模量和残余应力的隐函数：

式中，l为所述N层复合双端固支梁的长度；第i层薄膜材料的宽度为w _i，厚度为h _i，材料密度为ρ _i，等效杨氏模量为

等效残余应力为

z _c是中性面高度。

基于上述隐函数，可考虑利用一组除几何尺寸外其他材料参数均相同的多层复合双端固支梁测试结构来分别实测其一阶谐振频率，根据测得的一阶谐振频率及测试结构的尺寸参数可构建非线性方程组，对方程组求解即可得到多层复合双端固支梁各层的等效杨氏模量和各层的等效残余应力。

然而考虑到非线性方程组的求解较困难，为了降低计算复杂度，可考虑先利用多层复合悬臂梁测试结构获得多层薄膜结构各层的等效杨氏模量，然后利用多层复合双端固支梁测试结构以及已获得的多层薄膜结构各层的等效杨氏模量，来计算出多层膜结构各层的等效残余应力。综上即可得到本发明技术方案：

步骤1、采用所述多层复合薄膜结构的制备工艺制备一组至少N个初始平直的N层复合悬臂梁测试结构以及一组至少N个初始平直的N层复合双端固支梁测试结构，各测试结构除几何尺寸外的其他材料参数均相同；对于每一组测试结构，以每个测试结构的各层宽度及长度所组成的向量作为该测试结构的尺寸向量，则这一组测试结构的尺寸向量组线性无关；

步骤2、测量出每个测试结构的一阶谐振频率；

步骤3、将N层复合悬臂梁测试结构的一阶谐振频率分别代入N层复合悬臂梁一阶谐振频率表达式，即式(9)，从而得到由至少N个线性方程构成的方程组；对所述方程组求解，得到所述多层复合薄膜结构各层的等效杨氏模量；

步骤4、将N层复合双端固支梁测试结构的一阶谐振频率以及步骤3所得到的多层复合薄膜结构各层的等效杨氏模量分别代入N层复合双端固支梁一阶谐振频率表达式，即式(19)，从而得到由至少N个方程构成的方程组；对所述方程组求解，得到所述多层复合薄膜结构各层的等效残余应力。

为了进一步帮助公众理解，下面以最简单的双层膜结构为例来对本发明技术方案进行进一步说明。

步骤1、采用所述双层复合薄膜结构的制备工艺制备一组至少2个初始平直的双层复合悬臂梁测试结构以及一组至少2个初始平直的双层复合双端固支梁测试结构，各测试结构除几何尺寸外的其他材料参数均相同；对于每一组测试结构，以每个测试结构的各层宽度及长度所组成的向量作为该测试结构的尺寸向量，则这一组测试结构的尺寸向量组线性无关；

所制备的双层复合悬臂梁测试结构如图1a、图1b所示，所制备的双层复合双端固支梁测试结构如图2a、图2b所示，均包括顶层102和底层103，图中的101为锚区，104为衬底。

对于由双层薄膜材料构成的双层复合悬臂梁，有2个需要求解的材料力学特性参数，这时需要至少2个不同尺寸的双层复合悬臂梁测试结构。假使以每个测试结构的各层宽度及长度所组成的向量作为该测试结构的尺寸向量，要使得构建的方程组有解，则所有测试结构的尺寸向量组必须满足线性无关。

类似地，对于由双层薄膜材料构成的双层复合双端固支梁，由于各层等效杨氏模量已知，因此仅剩各层的等效残余应力为未知参数，这时需要至少2个不同尺寸的双层复合双端固支梁测试结构。同样的，假使以每个测试结构的各层宽度及长度所组成的向量作为该测试结构的尺寸向量，要使得构建的方程组有解，则所有测试结构的尺寸向量组必须满足线性无关。

为了简化测试结构的制备以及计算过程，本实施例中，每一组中的两个测试结构除底层宽度不同外，两个测试结构的其余部分完全相同。

步骤2、测量出每个测试结构的一阶谐振频率；

一阶谐振频率的测量可采用现有的各种技术实现，例如静电激励法，热激励法，声波激励法等。本实施例中利用德国Polytech公司的MSV-400-M2型激光多普勒测振仪(LDV)对测试结构进行谐振频率测试。具体做法是：将压电陶瓷(PZT)平放于LDV测试视场区域，把待测试样品芯片粘贴在PZT上，使用外加电压信号驱使PZT发生振动，芯片在PZT的激励下将机械振动信号传递给测试结构，并通过测试结构的锚区将激励信号传给梁结构，最终形成振动力学中的基底激振形式，或称为惯性力激振形式。理想情况下，衬底激励的频谱应该尽可能的平缓，谐振梁在全波段范围内受到均匀的激励发生受迫振动，在本征频率附近因为选频放大作用而产生谐振，在振动频谱上形成谐振峰。假设其中两个双层复合悬臂梁测试结构的一阶谐振频率分别为f ₁、f ₂，两个双层复合双端固支梁测试结构的一阶谐振频率分别为f ₃、f ₄。

步骤3、将双层复合悬臂梁测试结构的一阶谐振频率分别代入双层复合悬臂梁一阶谐振频率表达式，即式(9)，从而得到由至少2个线性方程构成的方程组；对所述方程组求

解，得到所述双层复合薄膜结构各层的等效杨氏模量；

假设2个测试结构的长度为l ₁，每层厚度是h，顶层宽度均为w ₁，底层宽度分别是w ₂和w ₃且w ₂≠w ₃。则根据式(8)可得到如下所示的方程组：

其中，

分别为顶层、底层的等效杨氏模量。

因为上式是关于双层悬臂梁一阶谐振频率的线性解析公式，只对应一个频率值(即一阶谐振频率)，所以由该式根据已知频率和几何尺寸对材料的力学参数进行求解可以得到有限组关于杨氏模量的实数解和复数解，其中复数解不符合实际情况，而在一般情况下在工程应用中剩下仅有的几组实数解中符合材料参数通常值取值范围的唯一一组解可以很明显被识别出来。计算出的顶层、底层的等效杨氏模量即为采用相同制备工艺制备的双层复合膜结构中的上层、下层的等效杨氏模量。

步骤4、将双层复合双端固支梁测试结构的一阶谐振频率以及步骤3所得到的双层复合薄膜结构各层的等效杨氏模量分别代入双层复合双端固支梁一阶谐振频率表达式，即式(19)，从而得到由至少2个方程构成的方程组；对所述方程组求解，得到所述双层复合薄膜结构各层的等效残余应力；

假设两个双层复合双端固支梁测试结构的长度都为l ₂，顶层宽度均为w ₄，两个测试结构的底层宽度分别为w ₅和w ₆且w ₅≠w ₆，将已经求解得到的等效杨氏模量带入到方程组中并求解，就可以得到测试结构的各层等效残余应力，方程组如下所示：

计算出的顶层、底层的等效残余应力即为采用相同制备工艺制备的双层复合薄膜结构中的上层、下层的等效残余应力。

Claims

多层复合薄膜结构的力学参数测量方法，所述多层复合薄膜结构为初始平直的N层复合薄膜结构，N为大于等于2的整数；其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、采用所述多层复合薄膜结构的制备工艺制备一组至少N个初始平直的N层复合悬臂梁测试结构以及一组至少N个初始平直的N层复合双端固支梁测试结构，各测试结构除几何尺寸外的其他材料参数均相同；对于每一组测试结构，以每个测试结构的各层宽度及长度所组成的向量作为该测试结构的尺寸向量，则这一组测试结构的尺寸向量组线性无关；

步骤2、测量出每个测试结构的一阶谐振频率；

步骤3、将N层复合悬臂梁测试结构的一阶谐振频率分别代入N层复合悬臂梁一阶谐振频率表达式，从而得到由至少N个线性方程构成的方程组；对所述方程组求解，得到所述多层复合薄膜结构各层的等效杨氏模量；所述N层复合悬臂梁一阶谐振频率f _1cf的表达式具体如下：

式中，l为所述N层复合悬臂梁测试结构的长度；第i层薄膜材料的宽度为w _i，厚度为h _i，材料密度为ρ _i，等效杨氏模量为
z _i为第i层薄膜材料的顶面在z轴上的位置，z _c是中性面高度；

步骤4、将N层复合双端固支梁测试结构的一阶谐振频率以及步骤3所得到的多层复合薄膜结构各层的等效杨氏模量分别代入N层复合双端固支梁一阶谐振频率表达式，从而得到由至少N个方程构成的方程组；对所述方程组求解，得到所述多层复合薄膜结构各层的等效残余应力；所述N层复合双端固支梁一阶谐振频率f _1s的表达式具体如下：

式中，l为所述N层复合双端固支梁测试结构的长度；第i层薄膜材料的宽度为w _i，厚度为h _i，材料密度为ρ _i，等效杨氏模量为
等效残余应力为
z _c是中性面高度。
多层复合薄膜结构的力学参数测量装置，所述多层复合膜结构为初始平直的N层复合膜结构，N为大于等于2的整数；其特征在于，该装置包括：

一组至少N个初始平直的N层复合悬臂梁测试结构，采用所述多层复合薄膜结构的制备工艺制备，各测试结构除几何尺寸外的其他材料参数均相同；以每个测试结构的各层宽度及长度所组成的向量作为该测试结构的尺寸向量，则这一组测试结构的尺寸向量组线性无关；

一组至少N个初始平直的N层复合双端固支梁测试结构，采用所述多层复合薄膜结构的制备工艺制备，各测试结构除几何尺寸外的其他材料参数均相同；以每个测试结构的各层宽度及长度所组成的向量作为该测试结构的尺寸向量，则这一组测试结构的尺寸向量组线性无关；

谐振频率测量单元，用于测量每个测试结构的一阶谐振频率；

计算单元，用于将N层复合悬臂梁测试结构的一阶谐振频率分别代入N层复合悬臂梁一阶谐振频率表达式，从而得到由至少N个线性方程构成的方程组，并对所述方程组求解，得到所述多层复合薄膜结构各层的等效杨氏模量；然后将N层复合双端固支梁测试结构的一阶谐振频率以及多层复合薄膜结构各层的等效杨氏模量分别代入N层复合双端固支梁一阶谐振频率表达式，从而得到由至少N个方程构成的方程组，并对所述方程组求解，得到所述多层复合薄膜结构各层的等效残余应力；其中，

所述N层复合悬臂梁一阶谐振频率f _1cf的表达式具体如下：

式中，l为所述N层复合悬臂梁测试结构的长度；第i层薄膜材料的宽度为w _i，厚度为h _i，材料密度为ρ _i，等效杨氏模量为
z _i为第i层薄膜材料的顶面在z轴上的位置，z _c是中性面高度；

所述N层复合双端固支梁一阶谐振频率f _1s的表达式具体如下：

式中，l为所述N层复合双端固支梁测试结构的长度；第i层薄膜材料的宽度为w _i，厚度为h _i，材料密度为ρ _i，等效杨氏模量为
等效残余应力为
z _c是中性面高度。