WO2014125815A1 - 散乱トモグラフィ方法および散乱トモグラフィ装置 - Google Patents

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Definitions

  • the present invention relates to a technique for acquiring and imaging (imaging) internal information of an object using waves, and more particularly, to a scattering tomography method and a scattering tomography apparatus using a wave scattering phenomenon.
  • the scattering phenomenon that occurs when a wave is irradiated on an object can be expressed using an operator.
  • the problem of obtaining the observation data p is called a forward problem.
  • the forward problem is a method with a solid mathematical foundation, and its solution can be obtained by the method described in an ordinary physics textbook.
  • the multipath array radar 20 is a linear array antenna in which a plurality of antenna elements for transmission and a plurality of antenna elements for reception are arranged in a line.
  • a wave is transmitted by an arbitrary element on the transmitting antenna element array, and a reflected wave is received by an arbitrary element on the receiving antenna element array.
  • the transmitting antenna elements and receiving antenna elements are n y pieces arranged in the y-direction, respectively, can be obtained n y 2 sets of time-series data.
  • a wave radiation point (transmitting antenna element 36) and a receiving point (receiving antenna element 37) are arbitrarily installed in a curved line, and a radiated wave radiated from the radiation point
  • the information inside the object is visualized using transmission data indicating scatter data and scattered wave data indicating the scattered wave received at the reception point.
  • a simple mathematical description of the image reconstruction algorithm is as follows. First, an asymptotic solution (function) required for imaging is set, an equation is constructed from the solution, and a more exact solution is obtained from the transmitted and received data. It solves the inverse problem of seeking.
  • the boundary condition obtained by radar measurement is only given by one point (f (y 1 ), f (y 2 )) in the (z 1 , z 2 ) space.
  • G (r 1 , r 2 , ⁇ ) is the sum of reflection signals from all points ⁇ , and there are many reflection points in the region, so G (r 1 , r 2 , ⁇ ) It can be considered in the same manner as (Formula 1) shown in Embodiment 1.

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Abstract

　逆問題の解析を汎用的かつ高速に行い、物体内部の情報を簡便に映像化する。　散乱トモグラフィ方法は、波動を曲面上に配置された複数の送信アンテナ素子から物体に放射するステップと、散乱波を曲面上に配置された複数の受信アンテナ素子により受信するステップと、受信アンテナ素子により受信した散乱波を示す散乱波データから、物体の内部情報に関する画像を再構成するステップとを含み、画像を再構成するステップにおいて、物体の内部情報に関する画像を再構成するための関数φをあらかじめ設定し、関数の漸近式が満たす方程式を構築し、散乱波データから、方程式を解くことにより得られる映像化関数ρを導出し、映像化関数により、物体の内部情報に関する画像を再構成する。

Description

散乱トモグラフィ方法および散乱トモグラフィ装置
　本発明は、波動を利用して対象物の内部情報を取得し映像化（画像化）する技術に関し、特に、波動の散乱現象を利用した散乱トモグラフィ方法および散乱トモグラフィ装置に関する。
　従来、生体や建築物等の物体内部の情報を映像化する方法として、Ｘ線ＣＴ(Ｘ線トモグラフィ)、ＭＲＩ、ＰＥＴなどの方法が用いられている。具体的には、光、テラヘルツ、ミリ波、マイクロ波のような電磁波あるいは超音波、音波、弾性波などのフォノンのような波動を観測対象物である生体や物体、あるいはプラズマに照射し、その散乱波（反射波）を観測し解析することで、生体内部や固体内部、あるいは、プラズマの内部の情報を映像化している。また、最近では、波動に代えて磁場を用いて、生体や物体内部の情報の映像化も行われている。
　一般的に、これらの方法では、物体Ｏに電磁波や超音波のような波動ｕを照射し、物体Ｏの回りの多数の場所で物体Ｏから散乱される散乱波ｐを観測し、得られたデータを映像化するという技術が採用されている（例えば、特許文献１～３、非特許文献１～３参照）。
　特許文献１に記載の技術は、電波を用いて物体内部の情報の映像化を行うものである。円周上に配置されたセンサ素子で観測される散乱波のデータを、導電率や誘電率等のパラメータで修正しながら、データの取得を繰り返し、映像化するものである。
　特許文献２に記載の技術は、超音波フェーズドアレイ技術である。超音波センサ素子で受信した超音波のデータを平均ベクトルで補正し、映像化するものである。
　特許文献３に記載の技術は、物体に超音波を平面的に照射し、センサ素子で受信した超音波のデータを映像化するものである。曲面形状の物体内部の情報については、観測データ数を増加したり近似や補正を行ったりすることで映像化する。
　非特許文献１に記載の技術は、マルチパスリニアアレイレーダに関する技術であり、コンクリート内部の欠陥等の情報の映像化を行うものである。対象物の表面にセンサ素子を配置し、照射された波動の散乱波をセンサで観測し、観測データを解析し映像化するものである。
　非特許文献２に記載の技術は、超音波を用いて物体内部の情報の映像化を行うものである。物体に超音波を照射したときの散乱波を観測し、観測データをボルン近似（キルヒホフ近似）して映像化するものである。
　非特許文献３に記載の技術は、曲面上に設置したセンサ素子で得られる散乱波を観測し、センサ素子ごとに得られる時間波形データを、事前に取得したデータと比較し映像化するものである。
特開２００７－１７７６５６号公報 特開２００９－２８８１２９号公報 特開２００４－５１２１１７号公報
トンネル覆工コンクリート検査用３次元映像化レーダを開発、三井造船技報、Ｎｏ．１８４、ｐ２４、２００５年２月 リニアアレイ探触子を用いた欠陥形状イメージング法の開発、日本機械学会、講演論文集、Ｐ６７９、２００５年９月 可撓性アレイプローブを用いた不規則面からの内部きずの超音波映像化、信学技報２０１２年６月
　ここで、物体に波動を照射した際に生じる散乱現象は、演算子を用いて表すことができる。例えば、物体Ｏ、照射波ｕ、観測データｐで表される物理方程式を、演算子Ａを用いてｐ＝Ａｕ［Ｏ］と表すことができる。ここで、物体Ｏ、照射波ｕ、演算子（システム関数）Ａが既知である場合に、観測データｐを求める問題は、順方向問題と呼ばれている。順方向問題は数学的基盤が確かな方法であり、その解を求めることは普通の物理の教科書に書いてある方法で可能である。
　これに対して、医療や産業上で重要な課題は、照射波ｕ、システム関数Ａ、観測データｐが既知である場合に物体Ｏが何であるかを求める問題である。この問題は、物理現象の因果関係を逆方向に辿るという意味で、逆方向問題と呼ばれ、Ｏ＝Ａｕ －１［ｐ］と表すことができる。波動を物体に照射したときの散乱波を観測し解析して物体内部の情報を映像化するという方法（散乱トモグラフィ）は、この逆方向問題を利用するものである。
　逆方向問題は、順方向問題のように数学的基盤が確かな方法ではなく、現在まで確立した理論というものがないため、容易に解く事ができないという問題がある。したがって、逆方向問題を利用して物体内部の情報を映像化する方法では、例えば、物体の曲面形状等の条件が変わるたびに、理論や装置内部の構造等を変えてデータを再取得したり、取得したデータを補正したりする必要がある。そのため、逆方向問題を利用して物体内部の情報を映像化する方法は、汎用的な使用が難しい。また、データを再取得したり補正したりする必要があるため、計算速度の遅延やメモリの大量使用という問題がある。
　そこで、本発明は、逆問題の解析を汎用的かつ高速に行い、物体内部の情報を簡便に映像化することができる散乱トモグラフィ方法および散乱トモグラフィ装置を提供することを目的とする。
　上記の課題を解決するため、本発明に係る散乱トモグラフィ方法は、物体に放射した波動の散乱波を解析する散乱トモグラフィ方法であって、前記波動を、曲面上に配置された複数の送信アンテナ素子から前記物体に放射するステップと、前記散乱波を、曲面上に配置された複数の受信アンテナ素子により受信するステップと、前記受信アンテナ素子により受信した散乱波を示す散乱波データを境界条件として用い、前記物体の内部情報に関する画像を再構成するステップとを含み、前記画像を再構成するステップにおいて、前記物体の内部情報に関する画像を再構成するための、後述する（式５）に定義される関数φをあらかじめ設定し、前記関数φの漸近式が満たす、後述する（式１０）に定義される方程式を構築し、測定により得られた前記散乱波データから、前記方程式を解くことにより得られる、後述する（式２４）に定義される映像化関数ρを導出し、前記映像化関数ρにより、前記物体の内部情報に関する画像を再構成する。
　また、本発明に係る散乱トモグラフィ方法は、物体に放射した波動の散乱波を解析する散乱トモグラフィ方法であって、前記波動を、曲面上に配置された複数の送信アンテナ素子から前記物体に放射するステップと、前記散乱波を、曲面上に配置された複数の受信アンテナ素子により受信するステップと、前記受信アンテナ素子により受信した散乱波を示す散乱波データから、前記物体の内部情報に関する画像を再構成するステップとを含み、前記画像を再構成するステップにおいて、前記物体の内部情報に関する画像を再構成するための、後述する（式２７）に定義される関数φをあらかじめ設定し、前記関数φの漸近式が満たす、後述する（式３９）に定義される方程式を構築し、測定により得られた前記散乱波データから、前記方程式を解くことにより得られる、後述する（式５２）に定義される映像化関数ρを導出し、前記映像化関数ρにより、前記物体の内部情報に関する画像を再構成する。
　これにより、画像を再構成するステップにおいて、関数φの設定は、３次元空間を対象に行われるので、曲率の大きい曲面を有する対象物の内部情報をより精度よく高速に映像化することができる。
　これにより、任意曲面上にセンサ素子を配置した解析モデルにおいて逆問題用の偏微分方程式を設定し、これを解くことで、曲率の大きい曲面を有する対象物の内部情報を汎用的かつ高速に映像化することができる。
　また、前記映像化関数は、高速フーリエ変換を用いて導出されてもよい。
　これにより、解析データの取得を高速に行うことができるので、対象物の内部情報を高速に映像化することができる。
　また、前記波動は、電磁波または超音波であってもよい。
　これにより、汎用的かつ簡便な方法で、曲率の大きい曲面を有する対象物の内部情報を映像化することができる。
　また、前記波動は、パルス波または所定の周波数を有する周期波であってもよい。
　これにより、汎用的かつ簡便な方法で、曲率の大きい曲面を有する対象物の内部情報を映像化することができる。
　上記の課題を解決するため、本発明に係る散乱トモグラフィ装置は、物体に放射した波動の散乱波を解析する散乱トモグラフィ装置であって、曲面上に配置され、物体に波動を放射する複数の送信アンテナ素子と、曲面上に配置され、前記放射された波動が前記物体において散乱した散乱波を受信する複数の受信アンテナ素子と、前記受信した散乱波を示す散乱波データから、前記物体の内部情報に関する画像を再構成する画像再構成部とを備え、前記画像再構成部は、前記物体の内部情報に関する画像を再構成するための、後述する（式５）に定義される関数φをあらかじめ設定し、前記関数φの漸近式が満たす、後述する（式１０）に定義される方程式を構築し、測定により得られた前記散乱波データから、前記方程式を解くことにより得られる、後述する（式２４）に定義される映像化関数ρを導出し、前記映像化関数ρにより、前記物体の内部情報に関する画像を再構成する。
　これにより、任意曲面上にセンサ素子を配置した解析モデルにおいて逆問題用の偏微分方程式を設定し、これを解くことで、曲率の大きい曲面を有する対象物の内部情報を汎用的かつ高速に映像化することができる。
　また、本発明に係る散乱トモグラフィ装置は、物体に放射した波動の散乱波を解析する散乱トモグラフィ装置であって、曲面上に配置され、物体に波動を放射する複数の送信アンテナ素子と、曲面上に配置され、前記放射された波動が前記物体において散乱した散乱波を受信する複数の受信アンテナ素子と、前記受信した散乱波を示す散乱波データから、前記物体の内部情報に関する画像を再構成する画像再構成部とを備え、前記画像再構成部は、前記物体の内部情報に関する画像を再構成するための、後述する（式２７）に定義される関数φをあらかじめ設定し、前記関数φの漸近式が満たす、後述する（式３９）に定義される方程式を構築し、測定により得られた前記散乱波データから、前記方程式を解くことにより得られる、後述する（式５２）に定義される映像化関数ρを導出し、前記映像化関数ρにより、前記物体の内部情報に関する画像を再構成する。
　これにより、画像を再構成するステップにおいて、関数φの設定は、３次元空間を対象に行われるので、曲率の大きい曲面を有する対象物の内部情報をより精度よく高速に映像化することができる。
　また、前記画像再構成部は、高速フーリエ変換を用いて前記映像化関数を導出してもよい。
　これにより、解析データの取得を高速に行うことができるので、対象物の内部情報を高速に映像化することができる。
　また、前記波動は、電磁波または超音波であってもよい。
　これにより、汎用的かつ簡便な方法で、曲率の大きい曲面を有する対象物の内部情報を映像化することができる。
　また、前記波動は、パルス波または所定の周波数を有する周期波であってもよい。
　これにより、汎用的かつ簡便な方法で、曲率の大きい曲面を有する対象物の内部情報を映像化することができる。
　本発明により、逆問題の解析を汎用的かつ高速に行い、物体内部の情報を簡便に映像化することができる。
図１は、本発明の基礎となった技術について説明するための解析モデルである。 図２は、図１に示した解析モデルをさらに簡略化した図である。 図３は、実施の形態１に係るマルチパスアレイレーダの構成を示す概略図である。 図４は、実施の形態１に係るマルチパスアレイレーダの動作を示すフローチャートである。 図５は、実施の形態１に係る散乱トモグラフィ方法の原理を説明するための解析モデルである。 図６は、実施の形態１に係る散乱トモグラフィ方法の原理を説明するための解析モデルである。 図７は、実施の形態１に係る散乱トモグラフィ方法の原理を説明するための解析モデルである。 図８は、実施の形態１に係る散乱トモグラフィ方法の原理を説明するための解析モデルである。 図９は、実施の形態１に係る散乱トモグラフィ方法による解析のための解析モデルの例である。 図１０Ａは、図９に示した解析モデルにおける散乱波データである。 図１０Ｂは、図９に示した解析モデルにおける散乱波データである。 図１１Ａは、図９に示した解析モデルにおいてｃｕｒｖｆａｃｔｏｒ０のときのＭＰＬＡ　Ｒａｄａｒによる観測データである。 図１１Ｂは、図９に示した解析モデルにおいてｃｕｒｖｆａｃｔｏｒ０のときのＭＰＣＬＡ　Ｒａｄａｒによる観測データである。 図１２Ａは、図９に示した解析モデルにおいてｃｕｒｖｆａｃｔｏｒ７．０２のときのＭＰＬＡ　Ｒａｄａｒによる観測データである。 図１２Ｂは、図９に示した解析モデルにおいてｃｕｒｖｆａｃｔｏｒ７．０２のときのＭＰＣＬＡ　Ｒａｄａｒによる観測データである。 図１３Ａは、図９に示した解析モデルにおいてｃｕｒｖｆａｃｔｏｒ１４．０４のときのＭＰＬＡ　Ｒａｄａｒによる観測データである。 図１３Ｂは、図９に示した解析モデルにおいてｃｕｒｖｆａｃｔｏｒ１４．０４のときのＭＰＣＬＡ　Ｒａｄａｒによる観測データである。 図１４は、実施の形態２に係る散乱トモグラフィ方法の原理を説明するための解析モデルである。 図１５は、実施の形態２に係る散乱トモグラフィ方法の原理を説明するための解析モデルである。
　（本発明の基礎となった知見）
　本発明に係る実施の形態について説明する前に、本発明の基礎となった技術について説明する。
　図１および図２は、本発明の基礎となった技術について説明をするための図である。
　上記した、波動の散乱波を用いて非破壊で対象物の欠陥等を検出する方法（散乱トモグラフィ）として、Ｍｕｌｔｉ－Ｐａｔｈ　Ｌｉｎｅａｒ　Ａｒｒａｙ　Ｒａｄａｒ（ＭＰＬＡ　Ｒａｄａｒ）がある。この方法は、例えば、図１に示すように、センサとしてトンネル等の対象物にアンテナ素子１０を取り付け、当該アンテナ素子１０から電磁波を放射し、対象物において反射した反射波（散乱波）をアンテナ素子１０で検出し、放射した電磁波と反射波との関係から、非破壊で対象物の欠陥等を検出するものである。
　ここで、ＭＰＬＡ　Ｒａｄａｒは、図２に示すように、曲率のある対象物であっても平面として近似して計算するものである。すなわち、ＭＰＬＡ　Ｒａｄａｒは、アンテナ素子１０が平面状に配列されていることを前提として理論が構築されているものであり、アンテナ素子１０を曲率の大きな曲面上に配置すると、電磁波の位相に影響を及ぼす誤差が増加し、計算により得られた像が焦点を結ばなくなるといった問題がある。
　したがって、対象物が例えば新幹線のトンネル（曲率半径は約４．８ｍ）のように曲率が小さい（曲率半径が大きい）物体である場合には、平面として近似して計算しても誤差は小さく問題とならないが、対象物が在来線のトンネル（曲率半径は２．２～２．８ｍ）のように曲率が大きい（曲率半径が小さい）物体である場合には、平面として近似して計算することは難しい。
　平面として近似して計算した場合には、アンテナ上の送受素子の組み合わせによっては、位相に１波長相当以上の誤差が発生することもあり問題となる。例えば、図２の解析モデルにおいては、トンネルを構成する材料の比誘電率をε＝６．０、アレイサイズＬ＝１０００ｍｍ、電波の有効波長λ＝２０．４ｍｍ、電波の最高周波数３ＧＨｚと仮定すると、在来線のトンネルの半径Ｒ＝２．２ｍに対し、近似の際の誤差はΔｚ＝５７．６ｍｍとなり、電波の有効波長の約３倍の誤差が生じる。
　そこで、以下、ＭＰＬＡ　Ｒａｄａｒを改良し、曲率が大きい対象物であっても誤差を低減して欠陥等の検出をすることができる散乱トモグラフィである、Ｍｕｌｔｉ－Ｐａｔｈ　ＣｕｒｖｉＬｉｎｅａｒ　Ａｒｒａｙ　Ｒａｄａｒ（ＭＰＣＬＡ　Ｒａｄａｒ）について説明する。ＭＰＣＬＡ　Ｒａｄａｒにより、逆問題の解析を汎用的かつ高速に行い、物体内部の情報を簡便に映像化することができる。
　以下、図面を用いて、本発明に係る実施の形態について説明する。なお、図面において、同一の符号が付された構成要素は、同一または同種の構成要素を示す。
　また、以下で説明する実施の形態は、本発明の好ましい一具体例を示す。以下の実施の形態で示される数値、形状、材料、構成要素、構成要素の配置位置および接続形態、ステップ、ステップの順序等は、一例であり、本発明を限定する主旨ではない。また、以下の実施の形態における構成要素のうち、本発明の最上位概念を示す独立請求項に記載されていない構成要素については、より望ましい形態を構成する任意の構成要素として説明される。
　なお、一般的に、散乱トモグラフィとは、波動の散乱波を用いて非破壊で対象物の欠陥等を検出する方法のことをいうが、本件では、散乱トモグラフィが方法であることを明確にするために、以下、この方法を散乱トモグラフィ方法と呼ぶこととする。また、散乱トモグラフィ方法を行うための装置を散乱トモグラフィ装置と呼ぶこととする。
　（実施の形態１）
　＜センサアレイの構成＞
　実施の形態１では、散乱トモグラフィ方法を行うためのセンサとして、一次元センサアレイを用いる場合について説明する。一次元センサアレイは、一次元的に配置された送信アンテナ素子および受信アンテナ素子（リニアアレイアンテナ）で構成されるセンサアレイである。
　本実施の形態では、トンネル覆工コンクリートの内部情報を映像化する例を挙げるため、リニアアレイアンテナを構成する送信アンテナ素子および受信アンテナ素子は、トンネルの周方向に沿った一部にそれぞれ一列（一次元的）に配置され、トンネルの奥行き方向にリニアアレイアンテナを並進スキャンする場合について説明する。
　はじめに、本実施の形態に係る散乱トモグラフィ装置であるマルチパスアレイレーダ２０の構成について説明する。マルチパスアレイレーダ２０は、送信用の複数のアンテナ素子と受信用の複数のアンテナ素子がそれぞれ一列に配置されたリニアアレイアンテナである。このリニアアレイアンテナにおいて、送信アンテナ素子列上の任意の素子で波動を送信し、受信アンテナ素子列上の任意の素子で反射波を受信する。例えば、送信アンテナ素子及び受信アンテナ素子がそれぞれｙ方向にｎｙ個配置された場合、ｎｙ ２組の時系列データを得ることができる。
　図３は、実施の形態１に係るマルチパスアレイレーダ２０の構成を示す概略図である。図３に示すように、マルチパスアレイレーダ２０は、センサ部３０と、画像再構成部４０とを備えている。
　センサ部３０は、送信部３１と、受信部３２と、送信アンテナ素子３６と、受信アンテナ素子３７とを備えている。
　送信アンテナ素子３６および受信アンテナ素子３７は、図３に示すように、それぞれ直線状に複数配置されてリニアアレイアンテナを構成している。送信アンテナ素子３６は、対象物に向かって波動を送信し、受信アンテナ素子３７は、対象物から反射（散乱）した反射波（散乱波）を受信する。ここでは、波動として電磁波を例として説明するが、電磁波に限らず超音波であってもよい。
　送信部３１は、送信アンテナ素子３６から放射される電磁波の送信タイミングや回数、送信ゲインを調整する。
　受信部３２は、受信アンテナ素子３７で受信した電磁波の散乱波のデータを、画像再構成部４０に搬送する。このとき、受信した散乱波のデータは、受信部３２により増幅されたりＡＤ変換等の信号処理をされてもよい。
　画像再構成部４０は、受信部３２から搬送された散乱波のデータを解析し、後に説明する画像再構成アルゴリズムにより、散乱波のデータを映像化する。これにより、対象物の内部情報に応じた映像がモニタ５０に再生される。
　なお、マルチパスアレイレーダ２０において、上記したリニアアレイアンテナがｘ軸方向へ移動することにより、ｎｘｎｙ ２組の時系列データが得られる。時系列がｎｔ個の場合、得られるデータは総じてｎｘｎｙ ２ｎｔ個となる。こうして得られたｎｘｎｙ ２ｎｔ個のデータは、３次元の映像化に必要な量のデータｎｘｎｙｎｔ個に比べｎｙ倍の冗長度の情報量を持っている。したがって、このデータを、後に説明する画像再構成アルゴリズムにおける映像化関数に対応させることにより、対象物の内部情報に応じた３次元の画像を再生することができる。
　また、送信アンテナ素子３６と受信アンテナ素子３７との間隔が自由に選択できるので、送信アンテナ素子３６および受信アンテナ素子３７の対に応じて波動のゲインを変える（経路依存可変ゲイン増幅機能）ことにより、対象物において検査可能な深さを変えることができる。
　以下、散乱トモグラフィ方法による物体の内部情報の映像化の手順について説明する。
　＜散乱トモグラフィ方法の手順＞
　図４は、図３に係るマルチパスアレイレーダ２０の動作を示すフローチャート図である。
　図４に示すように、散乱トモグラフィ方法による物体の内部情報を映像化（画像化）する方法は、以下のとおりである。
　はじめに、送信アンテナ素子３６から対象物であるトンネル覆工コンクリートに向けて波動を放射する（Ｓ１１）。波動としては、例えば、超音波を用いる。送信部３１において超音波の波長、振幅等の調整を行い、送信アンテナ素子３６からコンクリートに放射する。
　次に、コンクリート内部の欠陥で反射した反射波（散乱波）を受信アンテナ素子３７により受信する（Ｓ１２）。受信した散乱波は、受信部３２において、増幅されたりＡＤ変換等、画像再構成部４０における解析に適した形式に変換されてもよい。
　次に、受信部３２から画像再構成部４０に、受信した散乱波を示す散乱波データが搬送される。画像再構成部４０では、搬送された散乱波データの解析が行われる（Ｓ１３）。ここでは、以下に説明する画像再構成アルゴリズムにより散乱波データの解析が行われる。具体的には、映像化関数が導出される。これにより、コンクリート内の欠陥に対応した映像（画像）が再構成される（Ｓ１４）。
　さらに、再構成された映像のデータは、画像再構成部４０からモニタ５０に搬送され、モニタ５０に表示される。
　以下、画像再構成部４０で行われる画像再構成アルゴリズムについて説明する。この画像再構成アルゴリズムは、本発明に係る散乱トモグラフィ方法の原理である。
　＜画像再構成アルゴリズム＞
　図５および図６は、本実施の形態に係る散乱トモグラフィ方法の原理を説明するための解析モデルである。以下、図５および図６に示すモデルを解析モデルとして、センサ部３０が一次元センサアレイである場合の映像化関数の導出について説明する。
　以下に説明する画像再構成アルゴリズム（理論）は、曲線状に波動の放射点（送信アンテナ素子３６）と受信点（受信アンテナ素子３７）とを任意に設置し、放射点から放射された放射波を示す送信データと受信点で受信された散乱波を示す散乱波データを用いて、物体内部の情報を映像化するものである。
　なお、図６に示すように、ｘ軸方向とは、トンネルの奥行き方向に対応し、ｘ軸方向に直交しｘ軸方向に沿って移動する２次元断面をｙｚ平面とする。つまり、この解析モデルでは、ｙｚ平面上に、曲線（円周の一部）状に送信アンテナ素子３６および受信アンテナ素子３７が設けられる。
　画像再構成アルゴリズムについて数学的に簡単に説明すると、映像化に必要な漸近的な解（関数）をはじめに設定し、その解から方程式を構築し、送信データおよび受信データから、より厳密な解を求めるという、逆問題を解くものである。
　すなわち、はじめに映像化に必要なグリーン関数を設定する。そして、このグリーン関数の解となる関数を導入する。そして、この関数が漸近的な解（関数）となる６次元空間（ｔ,ｘ,ｙ１,ｙ２,ｚ１,ｚ２）に関する偏微分方程式を構築する。そして、曲線状に配置された送信アンテナ素子３６から放射された送信データと曲線状に配置された受信アンテナ素子３７で受信された受信データとを境界条件としてこの偏微分方程式を解き、ｔ→０、ｘ→ｘ、ｚ２→ｚ１(＝ｚ)、ｙ１→ｙ２(＝ｙ)とおくことにより厳密な解（関数）を求める。これにより、厳密な解（関数）からなる映像化関数が求まり、コンクリート内部の欠陥等、物体内部の情報を汎用的かつ高速に映像化することができる。
　具体的には、以下のとおりである。
　１．散乱の逆問題とグリーン関数
　図５により、ｒ１から出た波動が点ξで反射して点ｒ２へ戻ってくる状況を考える。周波数ωが一定という条件で、波動の送信点ｒ１と受信点ｒ２がある拘束条件を満たしながらｘ断面Ｄの内部を自由に動く。このとき得られるデータをＧ(ｒ１,ｒ２,ω)と書くと、この関数は領域内の反射点の分布に関係したものとなる。ここで、ωは角周波数であり、ω＝２πｆである。Ｇ(ｒ１,ｒ２,ω)は、全ての点ξからの反射信号の和であり、領域内には多くの反射点があるので、Ｇ(ｒ１,ｒ２,ω)は次の（式１）のように書くことができる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000001
　ここで、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000002
 は、ｒ１から出て点ξで反射して点ｒ２へ戻る波動の信号強度を示す。
　波動の送信点ｒ１と受信点ｒ２に課せられた拘束条件とは、ｒ１とｒ２のｘ座標が常に等しいという条件である。
　この関数Ｇ(ｒ１,ｒ２,ω)を用いて散乱の逆問題の理論的構造を説明する。
　３次元空間の部分領域をＤとし、その境界を∂Ｄとする。このとき、関数Ｇ(ｒ１,ｒ２,ω)は、領域Ｄの内部で次の（式２）のような微分方程式の解となっている。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000003
　さらに、Ｇ(ｒ１,ｒ２,ω)の境界∂Ｄでの値は、センサ部３０における測定値（送信データおよび受信データ）とする。上記方程式をこの境界条件のもとに解き、その結果からρ（ｒ）を次の（式３）のように定義する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000004
　ここで、ρ（ｒ）とは、求めようとする領域Ｄ内の誘電率の勾配に関係した関数である。実際には、ここに現れる微分作用素L(∂/∂t,∂/∂r１,∂/∂r２)を求める必要がある。
　２．任意曲面における散乱の逆問題L(∂/∂t,∂/∂r１,∂/∂r２)の導出
　次に、上記した微分作用素を求める方法について説明する。図６～図８は、微分作用素を求める方法について説明するための解析モデルである。
　図６に示す一次元センサアレイにおいて、一次元センサアレイが回転スキャンしながらｘ軸方向へ移動する場合を考える。図７および図８は、図６に示すセンサアレイを部分的に拡大した図である。
　図７および図８に示すように、点Ｐ１から放射した波動は、点Ｐで反射して点Ｐ２へ帰ってくる。また、計測点は断面曲線Ｓ上を動くと仮定する。
　任意曲線上ではｒ１、ｒ２のｙｚ座標は、ｒ１＝（ｘ,ｙ１,ｚ１)、ｒ２＝（ｘ,ｙ２,ｚ２)と表される。このとき、関数Ｇは次の（式４）のように定義される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000005
　次に、関数Ｇ(ｒ１,ｒ２,ω)を満たす方程式として、次の（式５）のような関数φを導入する。ここで、ｃは伝播速度、ｋは波数であり、波長をλとすると、ω＝ｃｋ、ｋ＝２π／λの関係がある。なお、（式５）に示すφは、本発明における物体の内部情報に関する画像を再構成するための関数（解）、すなわち、本発明における（式Ａ）に定義される関数に相当する。ξ、η、ζは、図６から図８に示す点Ｐ（ξ，η，ζ）のｘ座標、ｙ座標およびｚ座標である。なお、点Ｐ（ξ，η，ζ）は、領域中の任意の散乱点である。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000006
　ここでは、時間の因子はｅｘｐ（－ｉωｔ)に比例すると仮定し、波数をｋとしている。上式の被積分項にある関数は（式４）の
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000007
 であり、以下の（式６）のように表される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000008
　次に、（式５）が漸近的な解（関数）となる偏微分方程式を求める。そのために、微分した結果生ずる１／ρに関して高次の項を無視して計算する。なお、本発明において、漸近的な解である関数のことを漸近式と呼んでいる。以下、微分の略記法を以下の（式７）のように定義する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000009
　このとき、φは次の（式８）に示す方程式を満たす。この（式８）が、本発明における漸近式に相当する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000010
　（式８）は定常状態の場合を仮定して導かれているが、（式８）を非定常状態の場合へ拡張することは容易である。そのために、次の（式９）のような変数の置換えをする。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000011
　これにより、最終的に次の（式１０）が得られる。この（式１０）が、本発明における（式Ｂ）に定義される関数に相当する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000012
　次に、φの時間の因子をｅｘｐ(－ｉωｔ)に比例すると仮定して、（式１０）の解を求める。最初に、（式１０）におけるφをｔ,ｘ,ｙ１,ｙ２について多重フーリエ変換すると、以下の（式１１）のように表される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000013
　なお、高速フーリエ変換を用いることにより、解析データの取得を高速に行うことができる。したがって、解析時間を短縮することができる。
　ここで、ｚ１,ｚ２に関する偏微分をそれぞれＤｚ１,Ｄｚ２とおくと、以下の（式１２）が得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000014
　この方程式を解くのであるが、ｚ１,ｚ２の２変数がある。そのため、（式１２）を解くに当たり、固定された(ｘ,ｙ１,ｙ２)あるいは(ｋｘ,ｋｙ１,ｋｙ２)に関して、(ｚ１,ｚ２)空間の中の一次元の自由度を持った領域で与えられる境界条件が必要となる。
　ところが、レーダの計測により得られる境界条件は、(ｚ１,ｚ２)空間の中の１点(ｆ(ｙ１),ｆ(ｙ２))で与えられるのみである。
　したがって、この問題を解決するために、ｚ１＝ｚ，ｚ２＝ｚの場合の理論と本理論との整合性が要求される。すなわち、ｚ１,ｚ２を独立とする本理論が、ｚ１＝ｚ,ｚ２＝ｚという特別の解を含むことが要求される。
　そこで、（式１２）の解を、次の（式１３）のように仮定する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000015
　（式１３）は、ｚ１＝ｚ２＝ｚのとき、次の（式１４）のようになる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000016
　ここで、（式１３）を（式１２）へ代入すると、次の（式１５）が得られる。（式１５）が、１つの境界条件となる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000017
　さらに、境界条件としてもう１つの方程式が必要である。ここで、上記の整合性の要求から、次の（式１６）が導かれる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000018
　（式１５）と（式１６）から、ｓ１(ｋｘ,ｋｙ１,ｋｙ２)、ｓ２(ｋｘ,ｋｙ１,ｋｙ２)は次の（式１７）のように決定される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000019
　具体的な計算は後に行うことにし、このようなｓ１(ｋｘ,ｋｙ１,ｋｙ２)、ｓ２(ｋｘ,ｋｙ１,ｋｙ２)を用いて、（式１３）の方程式の解を次の（式１８）のように書くことができる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000020
　ここで、ｘを固定した断面曲線Ｓの方程式を、例えば次の（式１９）のように仮定する。本質的な仮定ではないが、例えば放物面を仮定する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000021
　このとき、断面曲線Ｓ上で与えられる境界条件は、次の（式２０）のようになる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000022
　この方程式は、ａ(ｋｘ,ｋｙ１,ｋｙ２)を決定するために用いられる。ここで、次の（式２１）に示す簡略記法を用いる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000023
　（式２１）に示す簡略記法により（式２０）は、次の（式２２）に示すａ(ｋｘ,ｋｙ１,ｋｙ２)に関する積分方程式となる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000024
　この式からａ(ｋ)を求めることができれば、映像化関数は（式１８）から次の（式２３）のように表される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000025
　（式２３）においてｚ１＝ｚ２＝ｚとおき、ｋに関してフーリエ変換すると、次の（式２４）のような関数が得られる。この（式２４）は、本発明における（式Ｃ）に定義される映像化関数に相当する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000026
　こうして、最終的な映像化関数ρ(ｒ)が得られる。
　３．積分方程式（式２４）の解
　次に、上記した（式２４）の解を求める。すなわち、図８に示すように、断面曲面Ｓ上の点ＰＩ,ＰＪで測定されたデータからｘｙ面（平面ｚ＝０）上の点での近似データを求める。
　（式２４）におけるφについて、曲面上の点ＰＩ,ＰＪで測定されたデータφ(ｘ,ｙＩ,ｙＪ,ｚＩ,ｚＪ,ｔ)をフーリエ変換したΦ(ｋｘ,ｙＩ,ｙＪ,ｋ)を、次の（式２５）のようにおく。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000027
　ここで、ｚＩ,ｚＪは、図８に示すように断面曲線上にあるので、次の（式２６）が成立する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000028
　さらに、（式１８）から次の（式２７）が得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000029
　（式２７）を、次の（式２８）のように解釈して書くことができる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000030
　（式２８）について両辺のフーリエ変換をとると、次の（式２９）が得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000031
　（式２９）の両辺を積分すると、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000032
　こうして、次の（式３１）に示すように、ａＩ,Ｊが得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000033
　全てのＩ,Ｊに関して和を求めると、次の（式３２）が得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000034
　こうして、平面ｚ＝０での境界条件へ変換することができる。
　ｚ＝０における境界条件から（式１０）の偏微分方程式の解を求めると、（式１８）から次の（式３３）のようになる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000035
　このとき、画像を再構成するための映像化関数は、次の（式３４）をｋについて積分することにより得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000036
　（式３４）をｋについて積分するに当たり、次のようにｋｚなる変数を導入する。（式３５）には、ｋをｋｚで表す式及びそれを微分した関数を示す。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000037
　こうして、画像を再構成するための映像化関数ρ(ｘ,ｙ,ｚ)は、最終的に次の（式３６）のように表される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000038
　この映像化関数により、物体の内部情報に関する画像を再構成する。したがって、コンクリート内部の欠陥等、物体の内部情報に関する画像を汎用的かつ高速に映像化することができる。
　＜散乱トモグラフィ方法により得られる再構成画像＞
　次に、上記した散乱トモグラフィ方法により得られる再構成画像について説明する。ここでは、図９に示すモデルを解析モデルとした再構成画像について説明する。
　図９は、本実施の形態に係る解析モデルを示す図である。図１０Ａおよび図１０Ｂは、生データをそのまま表示したＢモード画像であり、点状の反射体が双曲線状に大きく広がっている。図１１Ａ～図１３Ｂは、従来のＭＰＬＡ　Ｒａｄａｒによる解析結果と本実施の形態に係るＭＰＣＬＡ　Ｒａｄａｒとを用いた解析結果である。
　図９に示す解析モデルは、トンネルを対象物とするものであり、トンネルの深さＺ＝Ｚ０の平面に点欠陥を３点有し、１次元のセンサアレイによって点欠陥を検出するものである。図９では、センサアレイ１０を放物線上に配置したと仮定したときのＣｕｒｖｆａｃｔｏｒをＣｕｒｖｆａｃｔｏｒ＝Ｎ＊Ｌ／（２Ｒ）と定義している。ここで、Ｎはｙ方向センサの数Ｎ＝ＮＹ、Ｌはセンサアレイの全長Ｌ＝Ｎ＊ｄｙ、Ｒはセンサアレイの曲率半径、ｄｘはｘ方向のスキャンピッチ、ｄｙはｙ方向のセンサ配置間隔を表している。
　図１０Ａ及び図１０Ｂに示す解析結果では、対象物であるトンネルのＣｕｒｖｆａｃｔｏｒを４．６８とし、Ｂモード、すなわち、受信アンテナ素子３７で受信した散乱波の強度をトンネルの断面図に対応する図として表示したものである。図１０Ａは、散乱体の深さを２００ｍｍ、すなわち、３つの欠陥が受信アンテナ素子３７が配置されたトンネル表面の位置より２００ｍｍ深い位置にある場合の散乱波を受信している。図１０Ｂでは、散乱体の深さを５００ｍｍ、すなわち、３つの欠陥が受信アンテナ素子３７が配置されたトンネル表面の位置より５００ｍｍ深い位置にある場合の散乱波を受信している。
　図１１Ａおよび図１１Ｂは、それぞれ、ｃｕｒｖｆａｃｔｏｒを０（平面）、散乱体の深さを５００ｍｍとしたときのＭＰＬＡ　ＲａｄａｒおよびＭＰＣＬＡ　Ｒａｄａｒによる解析結果である。図１１Ａおよび図１１Ｂによると、いずれの方法で解析した場合も３つの欠陥が計測され、ＭＰＬＡ　ＲａｄａｒおよびＭＰＣＬＡ　Ｒａｄａｒのいずれでもほとんど解析結果はほとんど変わらないことがわかる。
　また、図１２Ａおよび図１２Ｂは、それぞれ、ｃｕｒｖｆａｃｔｏｒを７．０２、散乱体の深さを５００ｍｍとしたときのＭＰＬＡ　ＲａｄａｒおよびＭＰＣＬＡ　Ｒａｄａｒによる解析結果である。図１２Ａおよび図１２Ｂによると、いずれの方法で解析した場合も３つの欠陥が計測されているが、図１２Ａに示すＭＰＬＡ　Ｒａｄａｒのほうでは像の焦点が合っておらずやや不明確な像となっている。一方、図１２Ｂに示すＭＰＣＬＡ　Ｒａｄａｒによる解析結果では、３つの欠陥が明確に計測されていることがわかる。
　また、図１３Ａおよび図１３Ｂは、それぞれ、ｃｕｒｖｆａｃｔｏｒを１４．０４、散乱体の深さを５００ｍｍとしたときのＭＰＬＡ　ＲａｄａｒおよびＭＰＣＬＡ　Ｒａｄａｒによる解析結果である。図１３Ａおよび図１３Ｂによると、いずれの方法で解析した場合も３つの欠陥が計測されているが、図１３Ａに示すＭＰＬＡ　Ｒａｄａｒのほうでは像の焦点が合っておらず不明確な像となっている。一方、図１３Ｂに示すＭＰＣＬＡ　Ｒａｄａｒによる解析結果では、３つの欠陥が明確に計測されていることがわかる。
　以上、本実施の形態に係る散乱トモグラフィ方法は、曲線状にセンサ素子を配置した解析モデルにおいて逆問題用の偏微分方程式を設定し、これを解くことで、映像化関数を得ている。これにより、物体に放射した波動の散乱波を解析する散乱トモグラフィ方法において、曲率の大きい曲面を有する対象物の内部情報を、汎用的かつ高速に映像化することができる。
　なお、マルチパスアレイレーダ２０において、上記したリニアアレイアンテナがｘ軸方向へ移動することにより、ｎｘｎｙ ２組の時系列データが得られる。時系列がｎｔ個の場合、得られるデータは総じてｎｘｎｙ ２ｎｔ個となる。こうして得られたｎｘｎｙ ２ｎｔ個のデータは、３次元の映像化に必要な量のデータｎｘｎｙｎｔ個に比べｎｙ倍の冗長度の情報量を持っている。このように、計測データが大きな冗長性を持っているため、マルチパスアレイレーダ２０の出力はノイズに強い性質がある。
　なお、上記の演算式、および、演算式の導出手順は、一例であって、別の演算式、および、別の導出手順が用いられてもよい。
　また、本実施の形態では、波動として電磁波を用いたが、電磁波に限らず、超音波であってもよい。また、本実施の形態では、電磁波を用いているため、所定の周波数を有する周期波を用いているが、波動として周期波に限らずパルス波を用いてもよい。
　また、本実施の形態では、対象物としてトンネル覆工コンクリートを例に説明しているが、対象物はトンネル覆工コンクリートに限らず、他の物体であってもよい。
　（実施の形態２）
　次に、本発明の第２の実施の形態について説明する。
　実施の形態２では、散乱トモグラフィ方法を行うためのセンサとして、二次元センサアレイを用いる場合について説明する。二次元センサアレイは、曲面状に二次元的に配置された送信アンテナ素子および受信アンテナ素子（マルチアレイアンテナ）で構成されるセンサアレイである。
　本実施の形態に係る散乱トモグラフィ装置であるマルチパスアレイレーダの構成は、実施の形態１にかかるマルチパスアレイレーダ２０とほぼ同様であるが、送信アンテナ素子および受信アンテナ素子が曲面状に二次元的に配置される点が実施の形態１にかかるマルチパスアレイレーダ２０と異なっている。したがって、本実施の形態に係るマルチパスアレイレーダの画像再構成部で行われる画像再構成アルゴリズムが、実施の形態１にかかるマルチパスアレイレーダ２０と異なっている。
　以下、本実施の形態に係る散乱トモグラフィ方法の画像再構成アルゴリズムについて説明する。
　＜画像再構成アルゴリズム＞
　図１４および図１５は、本実施の形態に係る散乱トモグラフィ方法の原理を説明するための解析モデルである。以下、図１４および図１５に示すモデルを解析モデルとして、マルチパスアレイレーダのセンサ部が二次元センサアレイである場合の映像化関数の導出について説明する。
　以下に説明する画像再構成アルゴリズム（理論）は、曲面状に波動の放射点（一の送信アンテナ素子３６）と受信点（一の受信アンテナ素子３７）を任意に設置し、放射点から放射された放射波を示す送信データと受信点で受信された散乱波を示す散乱波データを用いて、物体内部の情報を映像化するものである。
　なお、図１５は、二次元センサアレイの模式図である。図１５に示すように、ｘ、ｙ座標は対象物の表面に置き、ｚ座標は対象物の表面の法線方向にとる。この解析モデルでは、ｘｙｚ空間に、曲面状に送信アンテナ素子３６および受信アンテナ素子３７が設けられる。
　画像再構成アルゴリズムについて数学的に簡単に説明すると、実施の形態１に係る散乱トモグラフィ方法と同様、映像化に必要な漸近的な解（関数）をはじめに設定し、その解から方程式を構築し、送信データおよび受信データから、より厳密な解を求めるという、逆問題を解くものである。
　すなわち、はじめに映像化に必要なグリーン関数を設定する。そして、このグリーン関数の解となる関数を導入する。ここで、次に、この関数が漸近的な解（関数）となる７次元空間（ｔ,ｘ１,ｘ２,ｙ１,ｙ２,ｚ１,ｚ２）に関する偏微分方程式を構築する。そして、曲面状に配置された送信アンテナ素子から放射された送信データと曲面状に配置された受信アンテナ素子で受信された受信データとを境界条件としてこの偏微分方程式を解き、ｔ→０、ｘ１→ｘ２(＝ｘ)、ｚ２→ｚ１(＝ｚ)、ｙ１→ｙ２(＝ｙ)とおくことにより厳密な解（関数）を求める。これにより、厳密な解（関数）からなる映像化関数が求まり、トンネル内部の欠陥等、物体内部の情報を汎用的かつ高速に映像化することができる。
　具体的には、以下のとおりである。
　１．散乱の逆問題とグリーン関数
　図１４により、ｒ１から出た波動が点ξで反射して点ｒ２へ戻ってくる状況を考える。周波数ωが一定という条件で、波動の送信点ｒ１と受信点ｒ２がある拘束条件を満たしながら曲面上を自由に動く。このとき得られるデータをＧ(ｒ１,ｒ２,ω)と書くと、この関数は領域内の反射点の分布に関係したものとなる。このとき、ωは角周波数＝２πｆである。Ｇ(ｒ１,ｒ２,ω)は、全ての点ξからの反射信号の和であり、領域内に多くの反射点があるので、Ｇ(ｒ１,ｒ２,ω)は、実施の形態１に示した（式１）と同様に考えることができる。
　ただし、本実施の形態では、波動の送信点ｒ１と受信点ｒ２に課せられた拘束条件とは、ｒ１とｒ２がある曲面上を動くという条件である。
　この関数Ｇ(ｒ１,ｒ２,ω)を用いて散乱の逆問題の理論的構造を説明する。
　２．任意曲面における散乱の逆問題L(∂/∂t,∂/∂r１,∂/∂r２)の導出
　以下、この微分作用素を求める方法について述べる。本実施の形態に係る解析モデルでは、実施の形態１の解析モデルとは異なり、送信点および受信点がある曲面上を動くということである。曲線上ではｒ１、ｒ２のｘ,ｙ,ｚ座標が必ずしも等しくない。具体的にはｒ１＝(ｘ１,ｙ１,ｚ１)、ｒ２＝(ｘ２,ｙ２,ｚ２)である。関数Ｇは実施の形態１に示した（式４）と同様に定義され、ｒ１＝(ｘ１,ｙ１,ｚ１)、ｒ２＝(ｘ２,ｙ２,ｚ２)から関数Ｇ(ｒ１,ｒ２,ω)の満たす方程式を求めると、以下の（式３７）のようになる。なお、（式３７）に示すφは、本発明における物体の内部情報に関する画像を再構成するための関数（解）、すなわち、本発明における（式Ｄ）に定義される関数に相当する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000039
　ここでは、時間の因子をｅｘｐ(－ｉωｔ)に比例すると仮定し、波数をｋとしている。ｘ１、ｘ２、ｙ１、ｙ２、ｚ１、ｚ２は任意曲線上の座標である。ｃは伝播速度であり、波長をλとすると、ω＝ｃｋ、ｋ＝２π／λの関係がある。ξ、η、ζは、任意の点の座標である。
　上式の被積分項にある関数は（式４）の
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000040
 であり、（式６）のように表される。
　ここで、（式３７）が漸近的な解（関数）となる偏微分方程式を求める。そのためには、微分した結果生ずる１／ρに関して高次の項を無視して計算する。なお、本発明において、漸近的な解である関数のことを漸近式と呼んでいる。以下、微分の略記法を以下の（式３８）ように定義する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000041
　このとき、実施の形態１と同様の計算により、φは次の（式３９）に示す方程式を満たす。この（式３９）が、本発明における漸近式に相当する。また、この（式３９）が、本発明における（式Ｅ）に定義される関数に相当する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000042
　次に、φの時間の因子をｅｘｐ(－ｉωｔ)に比例すると仮定して、（式３９）の解を求めることにする。まず、φをｔ,ｘ１,ｘ２,ｙ１,ｙ２について多重フーリエ変換すると、以下の（式４０）のように表される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000043
　なお、高速フーリエ変換を用いることにより、解析データの取得を高速に行うことができる。したがって、解析時間を短縮することができる。
　ここで、ｚ１,ｚ２に関する偏微分をそれぞれＤｚ１,Ｄｚ２とおくと、以下の（式４１）が得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000044
　この方程式を解くのであるが、ｚ１,ｚ２の２変数がある。そのため、（式４１）を解くに当たり、固定された(ｘ１,ｘ２,ｙ１,ｙ２)あるいは(ｋｘ１,ｋｘ２,ｋｙ１,ｋｙ２)に関して、(ｚ１,ｚ２)空間の中の一次元の自由度を持った領域で与えられる境界条件が必要となる。
　ところが、レーダの計測により得られる境界条件は(ｚ１,ｚ２)空間の中の１点{ｆ(ｘ１,ｙ１),ｆ(ｘ２,ｙ２)}で与えられるのみである。
　したがって、この問題を解決するために、ｚ１＝ｚ,ｚ２＝ｚの場合の理論と本理論との整合性が要求される。すなわち、ｚ１,ｚ２を独立とする本理論がｚ１＝ｚ,ｚ２＝ｚである特別の場合の解を含むことが要求される。
　そこで、（式４１）の解を次の（式４２）のように仮定する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000045
　（式４２）は、ｚ１＝ｚ,ｚ２＝ｚのとき、次の（式４３）のようになる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000046
　一方、境界条件としてもう１つの方程式が必要である。ここで、上記の整合性の要求から、次の（式４４）が導かれる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000047
　（式４３）および（式４４）から、ｓ１,ｓ２は次の（式４５）のように決定される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000048
　このようなｓ１(ｋｘ,ｋｙ１,ｋｙ２),ｓ２(ｋｘ,ｋｙ１,ｋｙ２)を用いて方程式の解を次の（式４６）のように書くことができる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000049
　また、曲面Ｓの方程式を、例えば次の（式４７）のように仮定する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000050
　このとき、曲面Ｓ上で与えられる境界条件は、次の（式４８）のようになる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000051
　この方程式は、ａ(ｋｘ１,ｋｘ２,ｋｙ１,ｋｙ２)を決定するために用いられる。ここで、次の（式４９）に示す簡略記法を用いる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000052
　（式４９）に示す簡略記法により、（式４８）は次の（式５０）に示すａ(ｋｘ１,ｋｘ２,ｋｙ１,ｋｙ２)に関する積分方程式となる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000053
　この式からａ(ｋ)を求めることができれば、映像化は（式４６）から次の（式５１）のように表される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000054
　（式５１）において、ｚ１＝ｚ２＝ｚとおき、ｋに関してフーリエ変換すると、次の（式５２）のような関数が得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000055
　こうして最終的な映像化関数ρ(ｒ)が得られる。
　３．積分方程式（式５０）の解
　次に、上記した（式５０）の解を求める。すなわち、曲面Ｓ上の点ＰＩ,ＰＪで測定されたデータから平面ｚ＝０上の任意の点での近似データを求める。
　（式５０）におけるφについて、曲面Ｓ上の点ＰＩ,ＰＪで測定されたデータφ(ｘＩ,ｘＪ,ｙＩ,ｙＪ,ｚＩ,ｚＪ,ｔ)をフーリエ変換したΦＩ，Ｊ(ｘＩ,ｘＪ,ｙＩ,ｙＪ,ｋ)を次の（式５３）のようにおく。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000056
　さらに、（式４６）から次の（式５４）が得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000057
　（式５４）を、次の（式５５）のように解釈して書くことができる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000058
　（式５５）について両辺のフーリエ変換をとり、両辺を積分すると、次の（式５６）が得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000059
　こうして、次の（式５７）に示すように、ａＩ,Ｊが次のように得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000060
　全てのＩ,Ｊに関して和を求めると、次の（式５８）が得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000061
　こうして、平面ｚ＝０での境界条件へ変換することができる。
　ｚ＝０における境界条件から（式３９）の偏微分方程式の解を求めると、（式４６）に（式５８）を代入してから次の（式５９）のようになる。この（式５９）から上述した（式５２）が導かれ、これが本発明における（式Ｆ）に定義される映像化関数に相当する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000062
　この映像化関数により、物体の内部情報に関する画像を再構成する。したがって、物体内部の欠陥等、物体の内部情報に関する画像を汎用的かつ高速に映像化することができる。また、画像を再構成するステップにおいて、関数φの設定は、３次元空間を対象に行われるので、曲率の大きい曲面を有する対象物の内部情報をより精度よく高速に映像化することができる。
　以上、本実施の形態に係る散乱トモグラフィ方法は、曲面上に任意にセンサ素子を配置した解析モデルにおいて逆問題用の偏微分方程式を設定し、これを解くことで、映像化関数を得ている。これにより、物体に放射した波動の散乱波を解析する散乱トモグラフィ方法において、曲率の大きい曲面を有する対象物の内部情報を、汎用的かつ高速に映像化することができる。
　特に、本実施の形態では、マルチパスアレイレーダのセンサ部が二次元センサアレイである場合の散乱トモグラフィ方法における映像化関数を導出している。したがって、この映像化関数により、実施の形態１に示した、マルチパスアレイレーダのセンサ部が一次元センサアレイである場合よりも機械的な走査がないので高速に再構成画像を得ることができる。
　なお、上記の演算式、および、演算式の導出手順は、一例であって、別の演算式、および、別の導出手順が用いられてもよい。
　また、本実施の形態では、波動として電磁波を用いたが、電磁波に限らず、超音波であってもよい。また、本実施の形態では、電磁波を用いているため、所定の周波数を有する周期波を用いているが、波動として周期波に限らずパルス波を用いてもよい。
　また、本実施の形態では、対象物としてトンネル覆工コンクリートを例に説明しているが、対象物はトンネル覆工コンクリートに限らず、他の物体であってもよい。
　以上、本発明に係る散乱トモグラフィ方法および散乱トモグラフィ装置について、複数の実施の形態に基づいて説明したが、本発明は実施の形態に限定されるものではない。実施の形態に対して当業者が思いつく変形を施して得られる形態、および、複数の実施の形態における構成要素を任意に組み合わせて実現される別の形態も本発明に含まれる。
　例えば、散乱トモグラフィ装置において、特定の処理部が実行する処理を別の処理部が実行してもよい。また、散乱トモグラフィ方法において処理を実行する順番が変更されてもよいし、複数の処理が並行して実行されてもよい。
　また、本発明の散乱トモグラフィ方法におけるステップは、コンピュータによって実行されることとしてもよい。そして、本発明は、散乱トモグラフィ方法に含まれるステップを、コンピュータに実行させるためのプログラムとして実現できる。さらに、本発明は、そのプログラムを記録したＣＤ－ＲＯＭ等の非一時的なコンピュータ読み取り可能な記録媒体として実現できる。
　また、散乱トモグラフィ装置に含まれる複数の構成要素は、集積回路であるＬＳＩとして実現されてもよい。これらの構成要素は、個別に１チップ化されてもよいし、一部または全てを含むように１チップ化されてもよい。ここでは、ＬＳＩとしたが、集積度の違いにより、ＩＣ（Ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ　Ｃｉｒｃｕｉｔ）、システムＬＳＩ、スーパーＬＳＩまたはウルトラＬＳＩと呼称されることもある。
　また、集積回路化の手法はＬＳＩに限るものではなく、専用回路または汎用プロセッサで実現してもよい。プログラムすることが可能なＦＰＧＡ（Ｆｉｅｌｄ　Ｐｒｏｇｒａｍｍａｂｌｅ　Ｇａｔｅ　Ａｒｒａｙ）、または、ＬＳＩ内部の回路セルの接続および設定を再構成可能なリコンフィギュラブル・プロセッサを利用してもよい。
　さらには、半導体技術の進歩または派生する別技術によりＬＳＩに置き換わる集積回路化の技術が登場すれば、当然、その技術を用いて、散乱トモグラフィ装置に含まれる構成要素の集積回路化を行ってもよい。
　本発明に係る散乱トモグラフィ方法および散乱トモグラフィ装置は、曲率の大きい対象物に対する検査に有用であり、例えば、鉄道の在来線のトンネル内の欠陥の検査、道路のコンクリート覆工のレーダによる検査、コンクリート内部の鉄筋腐食の検査、被災地における鉄筋構造物の耐震検査、および、医療診断等に適用可能である。
　　１０　アンテナ素子
　　２０　マルチパスアレイレーダ（散乱トモグラフィ装置）
　　３０　センサ部
　　３１　送信部
　　３２　受信部
　　３６　送信アンテナ素子
　　３７　受信アンテナ素子
　　４０　画像再構成部
　　５０　モニタ

Claims (10)

  1. 　物体に放射した波動の散乱波を解析する散乱トモグラフィ方法であって、
    　前記波動を、曲面上に配置された複数の送信アンテナ素子から前記物体に放射するステップと、
    　前記散乱波を、曲面上に配置された複数の受信アンテナ素子により受信するステップと、
    　前記受信アンテナ素子により受信した散乱波を示す散乱波データを境界条件として用い、前記物体の内部情報に関する画像を再構成するステップとを含み、
    　前記画像を再構成するステップにおいて、
    　前記物体の内部情報に関する画像を再構成するための、（式Ａ）に定義される関数φをあらかじめ設定し、
    　前記関数φの漸近式が満たす、（式Ｂ）に定義される方程式を構築し、
    　測定により得られた前記散乱波データから、前記方程式を解くことにより得られる、（式Ｃ）に定義される映像化関数ρを導出し、
    　前記映像化関数ρにより、前記物体の内部情報に関する画像を再構成する
    　散乱トモグラフィ方法。
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000063
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000064
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000065
     　（式Ａ）から（式Ｃ）中において、ｘ、ｙ１、ｙ２、ｚ１、ｚ２は任意曲線上の座標、ξ、η、ζは領域中の任意の散乱点のｘ座標、ｙ座標、ｚ座標、ｃは伝播速度、ｋは波数であり、ω＝ｃｋである。
  2. 　物体に放射した波動の散乱波を解析する散乱トモグラフィ方法であって、
    　前記波動を、曲面上に配置された複数の送信アンテナ素子から前記物体に放射するステップと、
    　前記散乱波を、曲面上に配置された複数の受信アンテナ素子により受信するステップと、
    　前記受信アンテナ素子により受信した散乱波を示す散乱波データから、前記物体の内部情報に関する画像を再構成するステップとを含み、
    　前記画像を再構成するステップにおいて、
    　前記物体の内部情報に関する画像を再構成するための、（式Ｄ）に定義される関数φをあらかじめ設定し、
    　前記関数φの漸近式が満たす、（式Ｅ）に定義される方程式を構築し、
    　測定により得られた前記散乱波データから、前記方程式を解くことにより得られる、（式Ｆ）に定義される映像化関数ρを導出し、
    　前記映像化関数ρにより、前記物体の内部情報に関する画像を再構成する
    　散乱トモグラフィ方法。
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000066
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000067
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000068
     　（式Ｄ）から（式Ｆ）中において、ｘ１、ｘ２、ｙ１、ｙ２、ｚ１、ｚ２は任意曲面上の座標、ξ、η、ζは領域中の任意の散乱点のｘ座標、ｙ座標、ｚ座標、ｃは伝播速度、ｋは波数であり、ω＝ｃｋである。
  3. 　前記映像化関数は、高速フーリエ変換を用いて導出される
    　請求項１または２に記載の散乱トモグラフィ方法。
  4. 　前記波動は、電磁波または超音波である
    　請求項１～３のいずれか１項に記載の散乱トモグラフィ方法。
  5. 　前記波動は、パルス波または所定の周波数を有する周期波である
    　請求項１～４のいずれか１項に記載の散乱トモグラフィ方法。
  6. 　物体に放射した波動の散乱波を解析する散乱トモグラフィ装置であって、
    　曲面上に配置され、物体に波動を放射する複数の送信アンテナ素子と、
    　曲面上に配置され、前記放射された波動が前記物体において散乱した散乱波を受信する複数の受信アンテナ素子と、
    　前記受信した散乱波を示す散乱波データから、前記物体の内部情報に関する画像を再構成する画像再構成部とを備え、
    　前記画像再構成部は、
    　前記物体の内部情報に関する画像を再構成するための、（式Ａ）に定義される関数φをあらかじめ設定し、
    　前記関数φの漸近式が満たす、（式Ｂ）に定義される方程式を構築し、
    　測定により得られた前記散乱波データから、前記方程式を解くことにより得られる、（式Ｃ）に定義される映像化関数ρを導出し、
    　前記映像化関数ρにより、前記物体の内部情報に関する画像を再構成する
    　散乱トモグラフィ装置。 
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000069
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000070
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000071
     　（式Ａ）から（式Ｃ）中において、ｘ、ｙ１、ｙ２、ｚ１、ｚ２は任意曲線上の座標、ξ、η、ζは領域中の任意の散乱点のｘ座標、ｙ座標、ｚ座標、ｃは伝播速度、ｋは波数であり、ω＝ｃｋである。
  7. 　物体に放射した波動の散乱波を解析する散乱トモグラフィ装置であって、
    　曲面上に配置され、物体に波動を放射する複数の送信アンテナ素子と、
    　曲面上に配置され、前記放射された波動が前記物体において散乱した散乱波を受信する複数の受信アンテナ素子と、
    　前記受信した散乱波を示す散乱波データから、前記物体の内部情報に関する画像を再構成する画像再構成部とを備え、
    　前記画像再構成部は、
    　前記物体の内部情報に関する画像を再構成するための、（式Ｄ）に定義される関数φをあらかじめ設定し、
    　前記関数φの漸近式が満たす、（式Ｅ）に定義される方程式を構築し、
    　測定により得られた前記散乱波データから、前記方程式を解くことにより得られる、（式Ｆ）に定義される映像化関数ρを導出し、
    　前記映像化関数ρにより、前記物体の内部情報に関する画像を再構成する
    　散乱トモグラフィ装置。 
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000072
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000073
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000074
     　（式Ｄ）から（式Ｆ）中において、ｘ１、ｘ２、ｙ１、ｙ２、ｚ１、ｚ２は任意曲線上の座標、ξ、η、ζは領域中の任意の散乱点のｘ座標、ｙ座標、ｚ座標、ｃは伝播速度、ｋは波数であり、ω＝ｃｋである。
  8. 　前記画像再構成部は、高速フーリエ変換を用いて前記映像化関数を導出する
    　請求項６または７に記載の散乱トモグラフィ装置。
  9. 　前記波動は、電磁波または超音波である
    　請求項６～８のいずれか１項に記載の散乱トモグラフィ装置。
  10. 　前記波動は、パルス波または所定の周波数を有する周期波である
    　請求項６～９のいずれか１項に記載の散乱トモグラフィ装置。
     
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