WO2014003184A1 - 応力－ひずみ曲線式を出力するためのプログラム及びその装置並びに弾性材料の物性評価方法及び弾性材料の設計方法 - Google Patents

応力－ひずみ曲線式を出力するためのプログラム及びその装置並びに弾性材料の物性評価方法及び弾性材料の設計方法 Download PDF

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浩司 西口
和久 前田
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日東電工株式会社
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Definitions

  • the present invention is a program for outputting a stress-strain curve equation necessary for expressing a large deformation behavior of an elastic material having physical properties having both viscoelasticity and rubber elasticity (superelasticity) with good quantitativeness on a simulation.
  • the present invention also relates to a device for evaluating the physical properties of the elastic material.
  • the applicant of the present application creates a new model that can evaluate both physical properties of viscoelasticity and superelasticity by an approach different from that described in Patent Document 1, and formulates the model. Suggest tools that can be used.
  • the program according to the present invention as a tool is: A stress-strain correlation equation obtained based on the Maxwell model in which an elastic element and a viscous element are arranged in series, and includes a strain energy density function in which a high-order term of strain invariant is introduced as a term related to elasticity.
  • the correlation between stress and strain is as follows: Cauchy stress is bold ⁇ , solid pressure is p s , second-order unit tensor is bold I, volume change rate is J, first Cauchy-Green deformation tensor first invariant ( The first invariant of strain) is overlined I B , the second reduced invariant of the left Cauchy-Green deformation tensor (the second invariant of strain) is overlined II B , and the reduced invariant of the left Cauchy-Green deformation tensor B with an overline, c 1 , c 2 , c 3 constants determined by experiment, p, q (p> 0, q> 0) determined by experiment, ⁇ t time increment, relaxation time determined by experiment When ⁇ ( ⁇ > 0) and a constant determined by experiment are expressed by ⁇ ( ⁇ > 0), they are defined by the following equations.
  • the correlation between stress and strain is as follows: Cauchy stress is bold ⁇ , solid pressure is p s , second-order unit tensor is bold I, volume change rate is J, first Cauchy-Green deformation tensor first invariant ( The first invariant of strain) is overlined I B , the second reduced invariant of the left Cauchy-Green deformation tensor (the second invariant of strain) is overlined II B , and the reduced invariant of the left Cauchy-Green deformation tensor superscript line B, c 1 a constant determined by experiment, c 2, c 3, p a constant determined by experiment, q (p> 0, q > 0), time increment Delta] t, the relaxation time defined by experiment ⁇ ( ⁇ > 0), the constant determined by experiment is ⁇ ( ⁇ > 0), the temperature of the elastic material is ⁇ , the reference temperature (20 ° C.) is ⁇ S , the glass transition temperature,
  • the device according to the present invention as another tool is A stress-strain correlation equation obtained based on the Maxwell model in which an elastic element and a viscous element are arranged in series, and includes a strain energy density function in which a high-order term of strain invariant is introduced as a term related to elasticity. And a strain correlation equation as a stress-strain curve equation, An input unit for inputting parameters in the correlation equation of stress and strain; A specific unit that identifies the correlation equation of the stress and strain according to the input parameters; And an output unit that outputs the correlation equation of the identified stress and strain as a stress-strain curve equation.
  • the apparatus according to the present invention may include a printing apparatus for printing the stress-strain curve equation output from the output unit.
  • the physical property evaluation method of the elastic material as another tool is A stress-strain correlation equation obtained based on the Maxwell model in which an elastic element and a viscous element are arranged in series, and includes a strain energy density function in which a high-order term of strain invariant is introduced as a term related to elasticity. And the physical property of the elastic material is evaluated using a correlation equation of strain and strain.
  • the elastic material design method according to the present invention as another tool is characterized in that the elastic material is designed based on the stress-strain curve equation output by the above-described apparatus.
  • FIG. 1 shows a conceptual diagram of a generalized Maxwell model.
  • FIG. 2 shows a conceptual diagram of the Operator-Split method.
  • FIG. 3 shows an actual stress-strain curve diagram actually measured at three types of tension speeds, and a stress-strain curve diagram expressed by a calculation solution based on a model according to a comparative form for each tension speed.
  • FIG. 4 shows an actual stress-strain curve diagram actually measured at three types of tension speeds, and a stress-strain curve diagram expressed by a calculation solution based on the model according to this embodiment for each tension speed. .
  • FIG. 5 shows an actual stress-strain curve diagram actually measured at three kinds of temperatures and a stress-strain curve diagram expressed by a calculation solution based on a model according to a comparative form for each temperature.
  • FIG. 6 shows an actual stress-strain curve diagram actually measured at three temperatures and a stress-strain curve diagram expressed by a calculation solution based on the model according to the present embodiment for each temperature.
  • the stress (Cauchy stress) is represented by the following formula (1).
  • the first term on the right side of the equation (1) is a volume change term of the Cauchy stress and is represented by the following equation (2).
  • p s represents the pressure of the solid
  • I represents the unit tensor on the second floor.
  • the second term on the right side of the equation (1) is an equivalent product change term of the Cauchy stress
  • the generalized Maxwell model shown in FIG. 1 is expanded to a finite deformation theory, and the elastic part is represented as a superelastic body. Based on this viscoelastic model, it is formulated and expressed by the following equation (3).
  • the first term on the right side of the equation (3) is the equilibrium stress of the elastic unit (see FIG. 1), and is represented by the following equation (4).
  • J is the volume change rate
  • ⁇ iso
  • ⁇ is the strain energy density function
  • I B with the upper line is the first reduced invariant (first invariant of strain) of the left Cauchy-Green deformation tensor
  • II B with the upper line is left
  • B with an overline represents the reduction invariant of the left Cauchy-Green deformation tensor
  • bold I represents the second-order unit tensor.
  • strain energy density function ⁇ iso ⁇
  • the present inventor wrote in “Yoshihiro Yamashita, Tokio Kawabata: Approximate Formula of Strain Energy Density Function of Reinforced Rubber, Journal of Japan Rubber Association, 65 (9), 517-528, 1992.”
  • the disclosed strain energy density function (the following equation (5) ′) was studied.
  • the overlined I B is the first reduced invariant of the left Cauchy-Green deformation tensor (first invariant of strain)
  • the overlined II B is the second reduced invariant of the left Cauchy-Green deformation tensor (first strain invariant).
  • two invariant) c 1, c 2, c 3 is a constant defined experimentally
  • p is representative of a constant (p> 0), which is determined by experimentation.
  • the overlined I B is the first reduced invariant of the left Cauchy-Green deformation tensor (first invariant of strain)
  • the overlined II B is the second reduced invariant of the left Cauchy-Green deformation tensor (first strain invariant).
  • c 1 , c 2 , c 3 are constants determined by experiment
  • p, q are constants determined by experiment (p> 0, q> 0).
  • the fourth term on the right side of equation (5) is the higher-order term of the second invariant of the added strain.
  • the second term on the right side of the equation (3) is the non-equilibrium stress of the ⁇ -th viscoelastic unit (see FIG. 1) and is represented by the following equation (6).
  • ⁇ t is a time increment
  • a ( ⁇ ) is a time-temperature conversion factor (transfer factor)
  • ⁇ is a relaxation time determined by experiment ( ⁇ > 0)
  • ⁇ is a constant determined by experiment ( ⁇ > 0) ).
  • the Lagrange type finite element method has been conventionally used for numerical analysis of elastic materials.
  • the Lagrange finite element method is difficult to handle the large deformation behavior, exfoliation phenomenon and fracture phenomenon of superelastic materials (for example, adhesive).
  • the Euler type finite element method since the material deforms beyond the mesh fixed in the space, arbitrary large deformation analysis is possible.
  • a new material interface can be easily generated, it is advantageous for fracture analysis. Therefore, in this embodiment, paying attention to the viscosity-superelasticity of the adhesive, its behavior was analyzed by the Euler type finite element method.
  • ⁇ represents a mass density
  • v represents a velocity vector
  • ⁇ represents a Cauchy stress tensor
  • b represents an object force vector
  • Equation (8) (equation of motion) and equation (10) (time evolution equation of the left Cauchy-Green deformation tensor) are generalized as the following equation (11).
  • ⁇ and f represent arbitrary functions
  • v with a hat represents a mesh speed. That is, the basic equation of Euler display is expanded to ALE (arbitrary Lagrangian-Eulerian) display. Since the Euler type solution of this method cannot give boundary conditions to the material boundary surface, the ALE type solution method is used for the problem that gives boundary conditions to the material boundary surface.
  • Equation (12) calculation is performed by the Operator Split method of Equation (12).
  • the concept of the Operator Split method is shown in FIG.
  • Equation (13) is a non-advection step that advances time and is discretized by an explicit finite element method.
  • * mark with an upper right means the value after a non-advection step.
  • Equation (14) is an advection step that stops time.
  • the velocity advection is calculated by the central difference method
  • the left Cauchy-Green deformation tensor is calculated by the MUSCL method, which is a second-order upwind method for numerical stabilization.
  • the VOF (Volume of Fluid) method is adopted as the interface trapping method, and the advection equation of the VOF function is also calculated by the MUSCL method.
  • FIG. 4 shows stress-strain curves obtained when the specimen at a temperature of 20 ° C. is uniaxially stretched at a speed of 5 mm / min, 50 mm / min and 500 mm / min, respectively.
  • FIG. 6 shows stress-strain curves when the specimens at temperatures of 0 ° C., 20 ° C., and 40 ° C. are uniaxially stretched at 50 mm / min, respectively.
  • the model according to the present embodiment is a valid model as a model expressing deformation of an adhesive (elastic material) exhibiting viscoelastic-superelastic properties.
  • an adhesive epoxy
  • superelasticity is evaluated by the method proposed here, so that an elastic material having physical properties having both viscoelasticity and superelasticity is large. Deformation behavior can be expressed with high quantitativeness on simulation.
  • the software according to the present embodiment is a correlation equation of stress and strain obtained based on the Maxwell model in which an elastic element and a viscous element are arranged in series.
  • the device is configured by a computer, and includes a CPU, a ROM, a working memory, a frame memory, a data input / output device, a hard disk, and a display, each connected to a bus.
  • the ROM stores the program and various parameters
  • the working memory is a memory necessary for the CPU to perform control, and includes a buffer, a register, and the like.
  • the CPU performs various calculations and processes according to the computer program stored in the ROM.
  • a data input / output device is the input unit, and a control unit including a CPU, ROM, and memory constitutes the specifying unit.
  • the output part if the stress-strain curve expressed by the stress-strain curve equation is displayed on the display, if the display constitutes the output unit, and if the stress-strain curve equation is transmitted to the outside, the input If the output device constitutes the output unit and the stress-strain curve equation is stored in the control unit (such as a case where an application using the same is installed in the control unit and the application is started in the personal computer) ), The control unit itself constitutes the output unit.
  • the elastic material design method can design an elastic material based on a stress-strain curve output from this apparatus.
  • the related items are programmed and stored in the apparatus (installed in a computer).
  • the apparatus according to the present embodiment may include a printing apparatus for printing the stress-strain curve equation output from the output unit.
  • This printing apparatus can receive information on the stress-strain curve equation transmitted from the output unit by wired or wireless communication, and can print the information.
  • the stress-strain curve equation and the various correlation equations that are the premise thereof are not limited to those listed above, and various correlation equations based on other appropriate approximation equations and based thereon It may be a derived stress-strain curve equation.

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Abstract

　粘弾性だけでなく、超弾性を併せて弾性材料の物性を評価できるモデルを提供する。弾性要素及び粘性要素を直列に配置したＭａｘｗｅｌｌモデルに基づいて求められる応力及びひずみの相関式であって、弾性に関する項として、ひずみの不変量の高次項を導入したひずみエネルギー密度関数を含む、応力及びひずみの相関式を用い、弾性材料の物性を評価する。

Description

応力－ひずみ曲線式を出力するためのプログラム及びその装置並びに弾性材料の物性評価方法及び弾性材料の設計方法 関連出願の相互参照
　本願は、日本国特願２０１２－１４６５５２号の優先権を主張し、引用によって本願明細書の記載に組み込まれる。
　本発明は、粘弾性とゴム弾性（超弾性）とを併せ持つ物性を示す弾性材料の大変形挙動をシミュレーション上で定量性よく表現するために必要となる応力－ひずみ曲線式を出力するためのプログラム及びその装置並びに弾性材料の物性評価方法に関する。
　従来より、弾性材料の物性を評価する指標として粘弾性があり、その粘弾性を表現するモデルとしては、弾性要素及び粘性要素を直列に配置した一般化Ｍａｘｗｅｌｌモデルが用いられる。一般化Ｍａｘｗｅｌｌモデルでは、応力及びひずみの相関式、すなわち、応力－ひずみ曲線式を求めることができる。
　しかしながら、近年は、弾性材料（例えば粘着剤）の高品質化乃至高付加価値化に伴い、粘弾性だけでは弾性材料の物性を十分に評価できなくなってきている。具体的に言えば、非線形で且つ大変形を起こすような弾性材料であれば、その物性を評価するためには、粘弾性だけでなく、超弾性を指標に加える必要がある。
　そこで、本願出願人は、粘弾性モデルである一般化Ｍａｘｗｅｌｌモデルを発展させ、粘弾性－超弾性両方の物性を評価できるモデル（一般化Ｍａｘｗｅｌｌ発展モデル）を作成し、その定式化を行った上で、それを活用できるツールを提案した（特許文献１）。
日本国特許第４８５２６２６号公報
　本願出願人は、上記特許文献１に記載されたものとは別のアプローチで、新たに粘弾性－超弾性両方の物性を評価できるモデルを作成し、その定式化を行った上で、それを活用できるツールを提案する。
　ツールとしての本発明に係るプログラムは、
　弾性要素及び粘性要素を直列に配置したＭａｘｗｅｌｌモデルに基づいて求められる応力及びひずみの相関式であって、弾性に関する項として、ひずみの不変量の高次項を導入したひずみエネルギー密度関数を含む、応力及びひずみの相関式を、応力－ひずみ曲線式として出力するためのプログラムであって、
　コンピュータを、
　前記応力及びひずみの相関式におけるパラメータを入力する入力部、
　該入力されたパラメータによって前記応力及びひずみの相関式を特定する特定部、
　及び、該特定された応力及びひずみの相関式を、応力－ひずみ曲線式として出力する出力部、
　として機能させることを特徴とする。
　また、本発明に係るプログラムにおいては、一例として、
　前記応力及びひずみの相関式は、Cauchy応力を太字σ、固体の圧力をps、２階の単位テンソルを太字Ｉ、体積変化率をＪ、左Cauchy-Green変形テンソルの第一低減不変量（ひずみの第一不変量）を上線付きIB、左Cauchy-Green変形テンソルの第二低減不変量（ひずみの第二不変量）を上線付きIIB、左Cauchy-Green変形テンソルの低減不変量を上線付きＢ、実験により定められる定数をｃ1，ｃ2，ｃ3、実験により定められる定数をｐ，ｑ（ｐ＞０，ｑ＞０）、時間増分をΔｔ、実験により定められる緩和時間をτα（τα＞０）、実験により定められる定数をβα∞（βα∞＞０）で表した場合、以下の式で規定される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000003
　また、本発明に係るプログラムにおいては、温度依存性を含めた例として、
　前記応力及びひずみの相関式は、Cauchy応力を太字σ、固体の圧力をps、２階の単位テンソルを太字Ｉ、体積変化率をＪ、左Cauchy-Green変形テンソルの第一低減不変量（ひずみの第一不変量）を上線付きIB、左Cauchy-Green変形テンソルの第二低減不変量（ひずみの第二不変量）を上線付きIIB、左Cauchy-Green変形テンソルの低減不変量を上線付きＢ、実験により定められる定数をｃ1，ｃ2，ｃ3、実験により定められる定数をｐ，ｑ（ｐ＞０，ｑ＞０）、時間増分をΔｔ、実験により定められる緩和時間をτα（τα＞０）、実験により定められる定数をβα∞（βα∞＞０）、弾性材料の温度をθ、基準温度（２０℃）をθS、ガラス転移温度であって、材料固有の温度をθg、実験により定められる定数をｄ1，ｄ2で表した場合、以下の式で規定される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000004
　また、他のツールとしての本発明に係る装置は、
　弾性要素及び粘性要素を直列に配置したＭａｘｗｅｌｌモデルに基づいて求められる応力及びひずみの相関式であって、弾性に関する項として、ひずみの不変量の高次項を導入したひずみエネルギー密度関数を含む、応力及びひずみの相関式を、応力－ひずみ曲線式として出力する装置であって、
　前記応力及びひずみの相関式におけるパラメータを入力する入力部と、
　該入力されたパラメータによって前記応力及びひずみの相関式を特定する特定部と、
　及び、該特定された応力及びひずみの相関式を、応力－ひずみ曲線式として出力する出力部と
　を含むことを特徴とする。
　また、本発明に係る装置は、前記出力部から出力された前記応力―ひずみ曲線式を印刷するための印刷装置を備えていてもよい。
　また、別のツールとしての弾性材料の物性評価方法は、
　弾性要素及び粘性要素を直列に配置したＭａｘｗｅｌｌモデルに基づいて求められる応力及びひずみの相関式であって、弾性に関する項として、ひずみの不変量の高次項を導入したひずみエネルギー密度関数を含む、応力及びひずみの相関式を用い、弾性材料の物性を評価することを特徴とする。
　また、別のツールとしての本発明に係る弾性材料の設計方法は、上記の装置によって出力される応力―ひずみ曲線式に基づいて弾性材料を設計することを特徴とする。
図１は、一般化Ｍａｘｗｅｌｌモデルの概念図を示す。 図２は、Operator Split法の概念図を示す。 図３は、３種類の引張り速度にて実測した実際の応力－ひずみ曲線図と、各引張り速度に対し、比較形態に係るモデルに基づく計算解によって表現される応力－ひずみ曲線図とを示す。 図４は、３種類の引張り速度にて実測した実際の応力－ひずみ曲線図と、各引張り速度に対し、本実施形態に係るモデルに基づく計算解によって表現される応力－ひずみ曲線図とを示す。 図５は、３種類の温度にて実測した実際の応力－ひずみ曲線図と、各温度に対し、比較形態に係るモデルに基づく計算解によって表現される応力－ひずみ曲線図とを示す。 図６は、３種類の温度にて実測した実際の応力－ひずみ曲線図と、各温度に対し、本実施形態に係るモデルに基づく計算解によって表現される応力－ひずみ曲線図とを示す。
　以下、本発明の一実施形態について説明する。まず、応力及びひずみの相関式を導出するまでの流れを説明する。
　応力（Cauchy応力）は、以下の式（１）で表される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000005
　また、式（１）の右辺の第１項は、Cauchy応力の体積変化項であり、以下の式（２）で表される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000006
 　ここで、psは固体の圧力、太字Ｉは２階の単位テンソル、を表す。
　また、式（１）の右辺の第２項は、Cauchy応力の等積変化項であり、図１に示す一般化Ｍａｘｗｅｌｌモデルを有限変形理論に拡張し、弾性部分が超弾性体として表わされるＳｉｍｏの粘弾性モデルに基づき、定式化され、以下の式（３）で表される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000007
　また、式（３）の右辺の第１項は、弾性ユニットの平衡応力であり（図１参照）、以下の式（４）で表される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000008
 　ここで、Ｊは体積変化率、Ψiso∞はひずみエネルギー密度関数、上線付きIBは左Cauchy-Green変形テンソルの第一低減不変量（ひずみの第一不変量）、上線付きIIBは左Cauchy-Green変形テンソルの第二低減不変量（ひずみの第二不変量）、上線付きＢは左Cauchy-Green変形テンソルの低減不変量、太字Ｉは２階の単位テンソル、を表す。
　ひずみエネルギー密度関数Ψiso∞として、本発明者は、「山下義裕, 川端季雄: 補強ゴムのひずみエネルギー密度関数の近似式, 日本ゴム協会誌, 65(9), 517-528, 1992.」に開示されたひずみエネルギー密度関数（以下の式（５）’）を検討した。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000009
 　ここで、上線付きIBは左Cauchy-Green変形テンソルの第一低減不変量（ひずみの第一不変量）、上線付きIIBは左Cauchy-Green変形テンソルの第二低減不変量（ひずみの第二不変量）、ｃ1，ｃ2，ｃ3は実験により定められる定数、ｐは実験により定められる定数（ｐ＞０）、を表す。
　しかし、このひずみエネルギー密度関数では、後述する図３や図５に示されるように、実測の値との相関性は必ずしも良くない。というのも、超弾性材料（例えば粘着剤）の応力－ひずみ曲線は、上記非特許文献が対象とするカーボンブラック補強ゴムの応力－ひずみ曲線に比べ、非線形性が強いからである。
　この非線形性は、過去の運動履歴に依存する等積変化項で生じる。従って、等積変化を表す左Cauchy-Green変形テンソルの第二不変量の高次項を追加し、独立な係数を設定することで、超弾性材料の応力－ひずみ曲線をより高精度に記述することができる。そこで、ひずみエネルギー密度関数Ψiso∞として、以下の式（５）を考え出した。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000010
 　ここで、上線付きIBは左Cauchy-Green変形テンソルの第一低減不変量（ひずみの第一不変量）、上線付きIIBは左Cauchy-Green変形テンソルの第二低減不変量（ひずみの第二不変量）、ｃ1，ｃ2，ｃ3は実験により定められる定数、ｐ，ｑは実験により定められる定数（ｐ＞０，ｑ＞０）、を表す。式（５）’と比べるとわかるように、式（５）の右辺の
第４項が、追加されたひずみの第二不変量の高次項である。
　また、式（３）の右辺の第２項は、α番目の粘弾性ユニットの非平衡応力であり（図１参照）、以下の式（６）で表される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000011
 　ここで、Δｔは時間増分、ａ（θ）は時間－温度換算因子（移動因子）、ταは実験により定められる緩和時間（τα＞０）、βα∞は実験により定められる定数（βα∞＞０
）、を表す。
　一般に超弾性材料（例えば粘着剤）は、公称ひずみで数千パーセント以上の極めて大きな変形を生じる。その際の応力－ひずみ曲線は超弾性によりＳ字型に立ち上がり、粘性により速度依存性を示す。また、これらの粘性-超弾性挙動には温度依存性がある。なお、時間－温度換算則は粘弾性材料において一般に成立し、時間と温度を等価に扱えることが知られている。すなわち、粘弾性材料の温度変化を時間変化に変換することにより、温度依存性を表現することができる。本実施形態では、代表的な時間－温度換算則であるＷＬＦ（Williams-Landel-Ferry）式（以下の式（７））を用いた。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000012
 　ここで、θは弾性材料の温度、θSは基準温度（２０℃）、θgはガラス転移温度であって、材料固有の温度、ｄ1，ｄ2は実験により定められる定数、を表す。
　ところで、弾性材料の数値解析について、従来はLagrange型有限要素法が用いられてきた。しかし、Lagrange型有限要素法では超弾性材料（例えば粘着剤）の大変形挙動や剥離現象・破壊現象を取り扱うのは難しい。一方、Euler型有限要素法では、空間に固定されたメッシュを超えて物質が変形するため、任意の大変形解析が可能である。また、新たな物質境界面を容易に生成できるため、破壊解析に有利である。そこで、本実施形態では、粘着剤の粘性－超弾性に着目し、その挙動をEuler型有限要素法で解析した。
　分子レベルの微視的スケールは考慮せず、連続体として超弾性材料をモデル化すると、連続体の運動方程式は、Euler記述では以下の式（８）で表される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000013
 　ここで、ρは質量密度、v は速度ベクトル、σはCauchy応力テンソル、bは物体力ベクトル、を表す。
　次に、Euler表示における固体変形の記述法を説明する。一般に固体力学において用いられるLagrange表示の場合、物質点の変位ベクトルから各種のひずみテンソルを求め、体変形を記述する。一方、Euler表示の場合、物質点を追跡しないため、変位ベクトルから固体変形を記述できない。そこで、速度ベクトル場から固体変形を記述できるように、左Cauchy-Green変形テンソルの定義式、すなわち、以下の式（９）
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000014
 の両辺を物質時間微分することにより得られる以下の式（10）を導入する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000015
 　ここで、Ｌは速度勾配テンソル、を表す。すなわち、式（10）を用いることにより、速度ベクトル場から左Cauchy-Green変形テンソルを求めることができる。
　式（８）（運動方程式）と、式（10）（左Cauchy-Green変形テンソルの時間発展式）は、以下の式（11）のように一般化して表される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000016
 　ここで、φとｆは任意関数、ハット付きｖはメッシュ速度、を表す。すなわち、Euler表示の基礎方程式をALE(arbitrary Lagrangian-Eulerian) 表示に拡張しておく。本手法のEuler型解法では物質境界面に境界条件を付与できないため、物質境界面に境界条件を与える問題ではALE型解法を用いる。
　式（11）を時間方向に前進差分近似すれば、以下の式（12）となる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000017
　本手法では，式（12）のOperator Split法により計算する。Operator Split法の概念を図２に示す。Operator Split法では、式（12）を以下の式（13）と式（14）のように二つの式に分離する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000018
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000019
 　式（13）は時間を進める非移流ステップであり、陽的有限要素法により離散化する。なお、右上付きの＊印は非移流ステップ後の値を意味する。式（14）は時間を止めた移流ステップである。速度の移流は中央差分法により計算し、左Cauchy-Green 変形テンソルは数値安定化のために２次精度風上差分法であるMUSCL法により計算する。界面捕捉法としてはVOF(Volume of Fluid)法を採用し、VOF関数の移流方程式もMUSCL法により計算する。
　次に、式（１）～（７）によって求められる応力及びひずみの相関式の妥当性を検証するため、温度及び引張速度の異なる試験条件において、アクリル系粘着剤の一軸引張試験シミュレーションを行った。図４は、温度２０℃の試験体を速度５ｍｍ／ｍｉｎ、５０ｍｍ／ｍｉｎ及び５００ｍｍ／ｍｉｎで一軸伸長させたときの応力－ひずみ曲線をそれぞれ示している。また、図６は、温度０℃、２０℃及び４０℃の試験体を５０ｍｍ／ｍｉｎで一軸伸長させたときの応力－ひずみ曲線をそれぞれ示している。
　式（５）の代わりに式（５）’を用い、温度２０℃の試験体を速度５ｍｍ／ｍｉｎ、５０ｍｍ／ｍｉｎ及び５００ｍｍ／ｍｉｎで一軸伸長させた場合（図３）の応力－ひずみ曲線と実測の値との相関性は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000020
 であり、式（５）の代わりに式（５）’を用い、温度０℃、２０℃及び４０℃の試験体を５０ｍｍ／ｍｉｎで一軸伸長させた場合（図５）の応力－ひずみ曲線と実測の値との相関性は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000021
 であり、どちらも相関性は必ずしも良くない。
　しかし、式（１）～（７）を用い、温度２０℃の試験体を速度５ｍｍ／ｍｉｎ、５０ｍｍ／ｍｉｎ及び５００ｍｍ／ｍｉｎで一軸伸長させた場合（図４）の応力－ひずみ曲線と実測の値との相関性は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000022
 であり、式（１）～（７）を用い、温度０℃、２０℃及び４０℃の試験体を５０ｍｍ／ｍｉｎで一軸伸長させた場合（図５）の応力－ひずみ曲線と実測の値との相関性は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000023
 であり、どちらも相関性は良い。これにより、粘性と超弾性とによる速度依存性が再現されており、試験体の温度の低下による応力値の上昇を再現できていることがわかる。
　このように、本実施形態に係るモデルは、粘弾性－超弾性の物性を示す粘着剤（弾性材料）の変形を表現するモデルとして、妥当性があるモデルであることが確認できたわけである。そして、以上により、粘弾性については従来と同じようにして評価をし、超弾性については、今回提案する方法で評価をすることで、粘弾性と超弾性とを併せ持つ物性を示す弾性材料の大変形挙動をシミュレーション上で定量性よく表現することができるようになる。
　ここで、本実施形態に係るソフトウェアは、弾性要素及び粘性要素を直列に配置したＭａｘｗｅｌｌモデルに基づいて求められる応力及びひずみの相関式であって、弾性に関する項として、ひずみの不変量の高次項を導入したひずみエネルギー密度関数を含む、応力及びひずみの相関式を、応力－ひずみ曲線式として出力するためのプログラムであって、コンピュータを、応力及びひずみの相関式におけるパラメータを入力する入力部、該入力されたパラメータによって応力及びひずみの相関式を特定する特定部、及び、該特定された応力及びひずみの相関式を、応力－ひずみ曲線式として出力する出力部、として機能させるものである。
　本実施形態に係る装置は、コンピュータによって構成され、それぞれバスに接続されたＣＰＵ、ＲＯＭ、ワーキングメモリ、フレームメモリ、データ入出力装置、ハードディスク及びディスプレイを備える。ＲＯＭは、上記プログラムや各種パラメータを記憶し、ワーキングメモリは、ＣＰＵが制御を行うために必要なメモリであり、バッファやレジスタ等を含む。ＣＰＵは、ＲＯＭに記憶されたコンピュータプログラムに従って各種演算や処理を行う。データ入出力装置が上記入力部、ＣＰＵ及びＲＯＭやメモリからなる制御部が上記特定部を構成する。出力部については、応力－ひずみ曲線式によって表現される応力－ひずみ曲線をディスプレイに表示させるならば、ディスプレイが出力部を構成し、また、応力－ひずみ曲線式を外部に送信するならば、入出力装置が出力部を構成し、また、応力－ひずみ曲線式を制御部内で保有しておくならば（それを用いるアプリケーションが制御部内にインストールされていて、当該パソコン内でアプリケーションを起動させるケースなど）、制御部自体が出力部を構成する。弾性材料の設計方法は、この装置から出力される応力－ひずみ曲線に基づいて弾性材料を設計することができる。
　また、粘弾性も一緒に評価する観点から、それに関するものもプログラミングされ、装置に保有させる（コンピュータにインストールする）ようにするのが好ましい。また、本実施形態に係る装置は、出力部から出力された応力―ひずみ曲線式を印刷するための印刷装置を備えていてもよい。この印刷装置は、出力部から送信された応力―ひずみ曲線式に関する情報を有線又は無線通信によって受信し、その情報を印刷することができる。
　なお、本発明は、上記実施形態に限定されるものではなく、本発明の要旨を逸脱しない範囲で種々の変更が可能である。
　例えば、応力－ひずみ曲線式並びにそれの前提となる各種の相関式は、以上に挙げられたものに限定されるものではなく、その他の適切な近似式に基づいて各種の相関式及びそれに基づいて導出される応力－ひずみ曲線式であってもよい。

Claims (7)

  1. 　弾性要素及び粘性要素を直列に配置したＭａｘｗｅｌｌモデルに基づいて求められる応力及びひずみの相関式であって、弾性に関する項として、ひずみの不変量の高次項を導入したひずみエネルギー密度関数を含む、応力及びひずみの相関式を、応力－ひずみ曲線式として出力するためのプログラムであって、
    　コンピュータを、
    　前記応力及びひずみの相関式におけるパラメータを入力する入力部、
    　該入力されたパラメータによって前記応力及びひずみの相関式を特定する特定部、
    　及び、該特定された応力及びひずみの相関式を、応力－ひずみ曲線式として出力する出力部、
    　として機能させることを特徴とするプログラム。
  2. 　前記応力及びひずみの相関式は、Cauchy応力を太字σ、固体の圧力をps、２階の単位テンソルを太字Ｉ、体積変化率をＪ、左Cauchy-Green変形テンソルの第一低減不変量（ひずみの第一不変量）を上線付きIB、左Cauchy-Green変形テンソルの第二低減不変量（ひずみの第二不変量）を上線付きIIB、左Cauchy-Green変形テンソルの低減不変量を上線付きＢ、実験により定められる定数をｃ1，ｃ2，ｃ3、実験により定められる定数をｐ，ｑ（ｐ＞０，ｑ＞０）、時間増分をΔｔ、実験により定められる緩和時間をτα（τα＞０）、実験により定められる定数をβα∞（βα∞＞０）で表した場合、以下の式
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000001
     　で規定される請求項１に記載のプログラム。
  3. 　前記応力及びひずみの相関式は、Cauchy応力を太字σ、固体の圧力をps、２階の単位テンソルを太字Ｉ、体積変化率をＪ、左Cauchy-Green変形テンソルの第一低減不変量（ひずみの第一不変量）を上線付きIB、左Cauchy-Green変形テンソルの第二低減不変量（ひずみの第二不変量）を上線付きIIB、左Cauchy-Green変形テンソルの低減不変量を上線付きＢ、実験により定められる定数をｃ1，ｃ2，ｃ3、実験により定められる定数をｐ，ｑ（ｐ＞０，ｑ＞０）、時間増分をΔｔ、実験により定められる緩和時間をτα（τα＞０）、
    実験により定められる定数をβα∞（βα∞＞０）、弾性材料の温度をθ、基準温度（２０℃）をθS、ガラス転移温度であって、材料固有の温度をθg、実験により定められる定数をｄ1，ｄ2で表した場合、以下の式
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000002
     　で規定される請求項１に記載のプログラム。
  4. 　弾性要素及び粘性要素を直列に配置したＭａｘｗｅｌｌモデルに基づいて求められる応力及びひずみの相関式であって、弾性に関する項として、ひずみの不変量の高次項を導入したひずみエネルギー密度関数を含む、応力及びひずみの相関式を、応力－ひずみ曲線式として出力する装置であって、
    　前記応力及びひずみの相関式におけるパラメータを入力する入力部と、
    　該入力されたパラメータによって前記応力及びひずみの相関式を特定する特定部と、
    　及び、該特定された応力及びひずみの相関式を、応力－ひずみ曲線式として出力する出力部と
    　を含むことを特徴とする装置。
  5. 　弾性要素及び粘性要素を直列に配置したＭａｘｗｅｌｌモデルに基づいて求められる応力及びひずみの相関式であって、弾性に関する項として、ひずみの不変量の高次項を導入したひずみエネルギー密度関数を含む、応力及びひずみの相関式を用い、弾性材料の物性を評価することを特徴とする弾性材料の物性評価方法。
  6. 　請求項４に記載される装置から出力される応力－ひずみ曲線式に基づいて弾性材料を設計することを特徴とする弾性材料の設計方法。
  7. 　前記出力部から出力された前記応力－ひずみ曲線式を印刷するための印刷装置をさらに備える請求項４に記載の装置。
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