WO2001045459A2

WO2001045459A2 - Adaptives verfahren zur bestimmung von lautsprecherparametern

Info

Publication number: WO2001045459A2
Application number: PCT/DE2000/004511
Authority: WO
Inventors: Klaus MEERKÖTTER; Joachim Wassmuth
Original assignee: Robert Bosch Gmbh
Priority date: 1999-12-17
Filing date: 2000-12-18
Publication date: 2001-06-21
Also published as: WO2001045459A3; EP1243161A1; US20030142832A1; KR20020065578A; DE19960979A1; JP2003524952A

Abstract

Das Verfahren erlaubt die Bestimmung von Lautsprecherparametern im realen Betrieb durch eine Messung des Schwingspulenstromes (im) und enthält folgende Schritte: 1) Messung des bei Anregung des Lautsprechers mit einem bekannten Eingangssignal (ue) resultierenden Schwingspulenstromes (im); 2) Simulative Schätzung des Schwingspulenstromes für dasselbe Eingangssignal mit Hilfe eines äquivalenten elektrischen Netzwerkes und eines daraus durch Wellendigitalrealisierung abgeleiteten zeitdiskreten Modells; 3) Veränderung der Parameter im Lautsprechermodell durch vorangehende Ermittlung von Startwerten und die Minimierung des mittleren quadratischen Fehlers aus gemessenem und simuliertem Schwingspulenstrom durch ein Gradientenverfahren. Das äquivalente Netzwerk enthält eine Serienschaltung zweier Übertrager, wobei der erste Übertrager sekundärseitig eine Induktivität (Ls) und der zweite Übertrager sekundärseitig die Parallelschaltung eines Widerstandes <i>(1/r)</i>, eines Kondensators <i>(M)</i> und eines dritten Übertragers aufweist.

Description

Beschreibung

Adaptives Verfahren zur Bestimmung von Lautsprecherparametern

Technisches Gebiet

Die Erfindung betrifft ein adaptives Verfahren zur Bestimmung von Lautsprecherparametern.

Stand der Technik

Bei der Entwicklung elektroakustischer Übertragungssysteme ist es wichtig, sowohl das lineare als auch das nichtlineare Übertragungsverhalten des elektroakustischen Wandlers, also des Lautsprechers, sowohl zu kennen als auch modellieren zu können. Zum einen ist diese Modellierung notwendig, um in der Entwurfsphase den Einfluss bestimmter Bauteilparameter simulativ überprüfen zu können, zum anderen kann das Übertragungsverhalten bestehender Lautsprechersysteme nachträglich durch beispielsweise eine digitale Filterung oder auch Vorverzerrung des An- steuersignals sowohl im Hinblick auf seinen linearen als auch nichtlinearen Charakter verbessert werden. Hier dienen zeitdiskrete Implementierungen des Modells häufig als Zustandsbeobachter. Allen Anwendungen gemeinsam ist der Anspruch an das Modell, den realen Lautsprecher möglichst genau nachzubilden, was nach Festlegung des Modells das Problem zur Folge hat, die für das Modell benötigten Parameter durch Messungen an einem realem Lautsprecher zu gewinnen.

Für die Modellierung werden in der Literatur wandlernahe äquivalente elektrische Netzwerke angegeben, die jedoch zur Parameterbestimmung nicht weiter genutzt werden (H. Schurer: Linearization of Electroacoustic Transducers, Dissertation, Universität Twente Enschede, November 1997; W. Klippe!: Dynamic Measurement and Interpretation of the Nonlinear Parameters of Electrodynamic Loudspeakers, Journal of the Audio Engineering Society, Bd. 38, Nr. 12, Dezember 1990, S. 944-955; W. Kuppel: "Das nichtlineare Übertragungsverhalten elektroakustischer Wandler, Habilitationsschrift, Technische Universität Dresden, 1994). Alternativ dazu sind allgemeine Modellansätze beispielsweise in Form von Volterra- Reihenentwicklungen (Schurer, a.a.O.; A.J.M. Kaizer: Modeling of the Nonlinear Response of an Electrodynamic Loudspeaker by a Volterra Se- ries Expansion, Journal of the Audio Engineering Society, Bd. 35, Nr. 6, Juni 1987, S. 421-433), neuronalen Netzen (Johan A. Suykens; Joos P. L Vandewalle; Bart L. R. De Moor: Artificial neural networks for modelling and control of non-linear Systems, Kl u wer Academic, 1996) oder NARMAX- Modellierungen (Han-Kee Jang; Kwang-Joon Kim: Identification of loudspeaker nonlinearities using the NARMAX modeling technique, Journal of the Audio Engineering Society, Bd. 42, Nr. 1/2, 1994, S. 50-59) untersucht worden, die allerdings keine physikalische Interpretation zulassen und u.U. sehr viele Parameter benötigen. Allen bisher vorgeschlagenen Verfahren ist jedoch gemeinsam, dass auf der mechanischen bzw. akustischen Seite ein Signal wie beispielsweise die Membranauslenkung bzw. der Schalldruck gemessen werden mussten. Außerdem sind die meisten Verfahren als Offline-Verfahren bestehend aus Messung und anschließender Auswertung konzipiert. Als Messsignale kommen dabei häufig Signale zum Einsatz, die nicht immer dem realen Betrieb des Lautsprechers entsprechen, wie beispielsweise bei (J. Scott, J. Kelly, G.Leembruggen: New Method of Characterizing Drive Linearity,

Journal of the Audio Engineering Society, Bd. 44, Nr. 10, 1996, S. 864; D. Clark: Precision measurement of loudspeaker parameters, Journal of the Audio Engineering Society, Bd. 45, Nr. 3, 1997, S. 129-141). Nur ein einziges bekanntes adaptives Verfahren (W. Klippel: Adaptive Nonlinear Control of Loudspeaker Systems, Journal of the Audio Engineering Society, Bd. 46, Nr. 11 , November 1998, S. 939-954) erlaubt es, in Echtzeit die Lautsprecherparameter identifizieren zu können. Aufgrund von Parameterstreuungen innerhalb einer Produktionsserie und Parameterveränderungen, die im realen Betrieb unvermeidlich durch Alterung, Temperaturänderungen und Einbau des Lautsprechers auftreten, besteht aber Bedarf für ein adaptives Verfahren, so dass jeder Lautsprecher separat eingemessen werden kann bzw. die bereits ermittelten Parameter nachgeführt werden können.

Darstellung der Erfindung, Aufgabe, Lösung, Vorteile

Aufgabe der vorliegenden Erfindung war es, ein adaptives Verfahren zur Bestimmung von Lautsprecherparametern zur Verfügung zu stellen, mit welchem jeder Lautsprecher separat eingemessen werden kann bzw. mit dem die bereits ermittelten Parameter nachgeführt werden können, um die durch Alterung, Temperaturänderungen und/oder Einbau des Lautsprechers auftretenden Effekte erfassen zu können. Das Verfahren sollte dabei vorzugsweise ohne aufwendige mechanische Messungen wie zum Beispiel der Membranauslenkung oder des Schalldruckes und möglichst ohne künstliche Messbedingungen auskommen.

Diese Aufgabe wird durch ein Verfahren mit den Merkmalen des Anspruches 1 gelöst.

Das adaptive Verfahren zur Bestimmung der Lautsprecherparameter enthält demnach folgende Schritte:

a) Messung der Verläufe der Eingangsspannung u_e und des Schwingspulenstromes i_m des Lautsprechers,

b) Berechnung eines zur gemessenen Eingangsspannung u_e gehörenden simulierten Schwingspulenstromes i_s mit Hilfe eines elektrischen Netzwerkmodells mit veränderlichen Parametern α,

c) Adaptation der veränderlichen Parameter α des Netzwerkmodells zur Optimierung einer aus der Modellabweichung

e um ^¬

gebildeten Kostenfunktion. Die aus der Modellabweichung e gebildete Kostenfunktion ist dabei geeignet zu wählen, so dass ihre Optimierung zu einer Minimierung der Modellabweichung führt. Im allgemeinen wird die Kostenfunktion positiv definit (bzw. negativ definit) sein und dementsprechend die Optimierung in einer Minimierung (bzw. Maximierung) bestehen. Das erfindungsgemäße Verfahren verwendet als nachzubildende interne Variable des Lautsprechers den Schwingspulenstrom is- Diese Größe ist auch im realen Betrieb des Lautsprechers leicht zu ermitteln und zu überwachen. Aufwendige Messungen mechanischer Größen wie zum Beispiel der Membranauslenkung oder des Schalldruckes sind nicht erforderlich. Das Verfahren hat damit den Vorteil, dass es während des laufenden Betriebs des Lautsprechers in Echtzeit ausgeführt werden kann und somit die unverzügliche Erkennung von Parameteränderungen im Lautsprechersystem erlaubt.

Gemäß Anspruch 2 weist ein in obigem Verfahren vorzugsweise eingesetztes elektrisches Netzwerkmodell die Serienschaltung folgender Elemente auf:

a) eines Widerstandes R_e,

b) eines ersten Übertragers, der sekundarseitig durch eine Induktivität Ls abgeschlossen ist, und

c) eines zweiten Übertragers, der sekundarseitig die Parallelschaltung eines Widerstandes 1/r, eines Kondensators M und eines dritten Übertragers enthält, wobei der dritte Übertrager sekundarseitig durch eine Induktivität L_k abgeschlossen ist.

Es hat sich gezeigt, dass mit einem derartigen Modell alle wesentlichen elektrodynamischen und mechanischen Eigenschaften eines Lautsprechers abbildbar sind, wobei den Parametern des Netzwerkes eine dem Lautsprecher entsprechende physikalische Interpretation zukommt.

Nach Anspruch 3 wird vorzugsweise ein zeitdiskretes Netzwerkmodell verwendet, da sich derartige Modelle mit hoher Flexibilität auf bekannten Datenverarbeitungsgeräten (zum Beispiel Mikroprozessoren) berechnen lassen. Dabei kommt vorzugsweise ein zeitdiskretes Netzwerkmodell zur Anwendung, welches i.n Wege einer Wellendigitalrealisierung aus einem kontinuierlichen Netzwerkmodell, zum Beispiel einem Netzwerkmodell gemäß Anspruch 2, erhalten wird.

Die Adaptation der veränderlichen Parameter des Netzwerkmodells erfolgt gemäß Anspruch 4 vorzugsweise durch ein Gradientenverfahren. Ein derartiges Verfahren lässt sich einfach und mit bekannten Methoden durchführen und führt mit kontrollierbarer Sicherheit zur Auffindung eines (lokalen) Optimums der Kostenfunktion.

Dabei werden gemäß Anspruch 5 vorzugsweise durch eine Vorvermessung des Lautsprechers geeignete Startwerte für die Parameter des Netzwerkmodells ermittelt. Der Start des Netzwerkmodells mit möglichst nahe an den realen Parametern des Lautsprechers liegenden Parametern ist insbesondere bei solchen Optimierungsverfahren sinnvoll, welche ohne weitere Maßnahmen nur das dem Startwert nächstgelegene lokale Optimum finden können. Letzteres ist zum Beispiel für das Gradientenverfahren gemäß Anspruch 4 der Fall. Die genannte Vorvermessung des Lautsprechers ist dabei eine einmal durchzuführende Prozedur zur Initialisierung des Netzwerkmodelis, so dass das Netzwerkmodell im folgenden Betrieb keine weiteren aufwendigen mechanischen Messungen erfordert.

Die Kostenfuπktion kann gemäß Anspruch 6 aus der quadrierten Modellabweichung

e² = (i_m - is)²

gebildet werden, wobei diese Größe weiterhin vorzugsweise einer zeitlichen Mittelwertbildung oder einer Tiefpassfilterung (welche einen der Mittelwertbildung vergleichbaren Effekt hervorruft) unterworfen werden. Zeitliche Mittelwertbildungen haben den Vorteil, dass punktuelle Ausreißer der Modellabweichung ausgeglichen werden und dass das Adaptationsverfah- ren somit stabilisiert wird.

Kurze Beschreibung der Zeichnungen

Im folgenden wird das erfindungsgemäße Verfahren anhand eines Beispiels mit Hilfe der Figuren ausführlich erläutert. Es zeigen:

Fig. 1 das Adaptationsprinzip;

Fig. 2 den schematischen Aufbau eines Lautsprechers;

Fig. 3 ein Koppelnetzwerk;

Fig. 4 detaillierter den Aufbau des Koppelnetzwerkes;

Fig. 5 ein Netzwerk zur Nachbildung der Steifigkeit;

Fig. 6 das äquivalente Netzwerk;

Fig. 7 die Nachbildung eines Übertragers mit Leistungswellen;

Fig. 8 den Signalflussgraph eines Leistungswellenadaptors;

Fig. 9 das Wellendigitalmodell des Lautsprechers;

Fig. 10 die schematische Impedanz eines Lautsprechers;

Fig. 11 den Impedanzverlauf nach Betrag und Phase;

Fig. 12 den Messaufbau zur Vorvermessung des Lautsprechers;

Fig. 13 den Betrag der gemessenen Impedanz;

Fig. 14 den Betrag der berechneten Impedanz;

Fig. 15 den Verlauf der Steifigkeit;

Fig. 16 den Verlauf des Kraftfaktors;

Fig. 17 den Verlauf der Schwingspuleninduktivität; Fig. 18 die Bestimmung des Fehlersignals;

Fig. 19 das Tiefpassfilter zur Mittelwertbildung;

Fig. 20 die Bestimmung des Gradientensignals;

Fig. 21 den Verlauf des mittleren quadratischen Fehlers;

Fig. 22 den gemessenen und den simulierten Schwingspulenstrom;

Fig. 23 den gemessenen (dunkel) und simulierten (hell) Schwingspulenstrom;

Fig. 24 die gemessene (dunkel) und simulierte (hell) Auslenkung;

Fig. 25 die gemessene (dunkel) und simulierte (hell) Auslenkung.

Bester Weg zur Ausführung der Erfindung

Auf die grundsätzliche Notwendigkeit der Kenntnis und der Modellierung des Übertragungsverhaltens von Lautsprechern wurde eingangs bereits hingewiesen. Aufgrund von Parameterstreuungen innerhalb einer Produktionsserie und Parameterveränderungen, die im realen Betrieb unvermeidlich durch Alterung, Temperaturänderungen und Einbau des Lautsprechers auftreten, besteht dabei insbesondere Bedarf für ein adaptives Verfahren, so dass jeder Lautsprecher separat eingemessen werden kann bzw. die bereits ermittelten Parameter nachgeführt werden können. Zur Fehlersignalgewinnung sollte dabei vorzugsweise nicht eine aufwendige Auslenkungs- oder Schalldruckmessung erfolgen, sondern es ist vielmehr eine einfache Messung des Schwingspulenstroms anzustreben, der bei Signalen entsteht, die dem realen Betrieb nahe kommen (farbiges Rauschen) oder sogar reale Nutzsignale darstellen. Mit dem hier vorgestellten Verfahren ist es möglich, allein durch Messung des Schwingspuienstro- mes eine Bestimmung der Parameter des Lautsprechers 10 zu erzielen (Figur 1), indem während des Betriebes ein Fehlersignal e über einen Adaptationsalgorithmus 12 zur Veränderung der Parameter eines parallel laufenden Lautsprechermodells 11 genutzt wird. Der Adaptationsalgorithmus sorgt dabei für die Minimierung einer noch zu definierenden Kostenfunktion des Fehlersignals aus gemessenem und simulierten Schwingspulenstrom

θ — Im ~ ls-

Wesentlicher Bestandteil des Verfahrens ist das verwendete Modell. Hier wurde eine wandlernahe Beschreibung in Form eines äquivalenten elektrischen Netzwerkes erarbeitet, die eine direkte physikalische Interpretation der auftretenden Parameter und Signale ermöglicht. Aufgrund der Nichtli- nearität des Systems treten dabei sowohl auslenkungs- als auch stromabhängige Bauelemente auf. Das entstandene Netzwerk erfüllt dabei die Forderung nach Passivität, d.h., dass die gesamte im System gespeicherte oder umgesetzte Energie nicht größer als die von außen zugeführte sein darf, eine Eigenschaft, die der reale Lautsprecher offensichtlich auch erfüllt. Diese Passivität wird dadurch erzwungen, dass im Modell ausschließlich konkret passive Bauelemente Verwendung finden. Mit Hilfe einer Beschreibung des Netzwerkes durch sog. Leistungswellen lässt sich eine zeitdiskrete Nachbildung desselben, eine sog. Wellendigitalrealisie- rung, angeben, die im Vergleich zu anderen Modellierungen einige positive Eigenschaften aufweist. Zum einen erhält diese Wellendigitalbeschrei- bung die Passivität des Netzwerkes, so dass die Stabilität der zeitdiskreten Realisierung sogar unter Berücksichtigung von Wortlängenbegrenzungen und Rundungs- bzw. Überlaufoperationen, wie sie in digitalen Systemen unvermeidbar sind, gewährleistet werden kann. Durch die Verwendung der Leistungswelien als Signalgrößen wird die Stabilität auch dann nicht gefährdet, wenn, wie im vorliegenden Fall, die Bauteilparameter sich aufgrund von Auslenkungs- und Stromabhängigkeiten verändern. Gerade diese Eigenschaft macht die Wellendigitalrealisierung auch für eine Adaptation interessant. Ein weiterer Vorteil der Wellendigitalrealisierung ist die Beibehaltung der wandlernahen Beschreibung, so dass auch hier noch eine Interpretation von Parametern und Signalen möglich ist. Erwähnens- wert ist auch die Effizienz der Realisierung, da die Anzahl der Verzögerungsglieder im wese ntlichen durch die Ordnung des zu modellierenden Systems, also die Anzahl der Zustandsspeicher bestimmt wird, was bspw. bei Volterra-Reihenentwicklung oder neuronalen Netzen nicht der Fall ist und somit diese Modellierungen für Echtzeitanwendungen ausscheiden lässt. Der weitere wichtige Bestandteil des hier erläuterten Verfahrens ist der verwendete Adaptationsalgorithmus. Um eine möglichst schnelle Konvergenz zu erzielen, wird hier ein Gradientenverfahren verwendet. Aufgrund der Nichtlinearität des Systems kann dabei natürlich das Auffinden eines globalen Minimums der Kostenfunktion nicht garantiert werden. Durch Suche nach sinnvollen Startwerten für die Adaptation lässt sich dieses Problem jedoch umgehen. D.h., durch eine Vorabmessung des Lautsprechers durch ein Online-Verfahren werden diese Startwerte zunächst ermittelt, wobei sich die Vermessung eines Exemplars einer Baureihe als ausreichend erwiesen hat. Die endgültige Einmessung auf den tatsächlichen Lautsprecher in Form der beschriebenen Schwingspulenstrommessung und gleichzeitigen Adaptation der Parameter liefert dann in Echtzeit eine Schätzung der Lautsprecherparameter, die zum einen produktionstechnisch bedingte Streuungen innerhalb einer Baureihe und zum anderen betriebsbedingte Parameterveränderungen berücksichtigt. Die wesentlichen Bestandteile des Verfahrens

• elektrisches Netzwerkmodell

• zeitdiskretes Modell

• Startwertermittlung

• Adaptationsalgorithmus

werden im Folgenden eingehend erläutert.

Modellierung des Verhaltens von Lautsprechern im Tieftonbereich

Das beschriebene Verfahren wurde bisher auf Lautsprecher angewandt, die nach dem elektrodynamischen Prinzip arbeiten. Derartige Lautsprecher (Figur 2) bestehen im wesentlichen aus einer mechanisch aufgehängten Membran 20, die neben einer geringen Masse eine hohe innere Steifigkeit aufweist. Über diese Membran sollen mechanische Schwingungen (im Sinne eines idealen Kolbenstrahlers) auf die umgebende Luft übertragen werden. Die Aufhängung 21 , die wesentlich die mechanische Reibung und die Steifigkeit des Lautsprechers bestimmt, wird durch die von außen sichtbare Sicke und die weiter innenliegende Zentrierung gebildet, die jeweils mit dem möglichst stabilen Lautsprecherkorb verbunden sind.

Mit der Membran ist ein zylindrischer nichtmagnetischer Schwingspulenträger starr gekoppelt, auf den ein Kupferdraht evtl. mehrlagig gewickelt wird, der so die Schwingspule 23 bildet. Diese Schwingspule befindet sich im Luftspalt 24 eines Permanentmagneten 22. Durch die Geometrie der Anordnung entsteht im Luftspalt ein radial gerichtetes Magnetfeld, so dass die Feldlinien (im homogenen Teil des Magnetfeldes) senkrecht auf den Windungen der Schwingspule stehen. In Folge einer an den Anschlussklemmen eingeprägten elektrischen Spannung u_e wird durch den entstehenden Stromfluss durch die Spule eine Lorentz-Kraft erzeugt, die die Membran in axialer Richtung antreibt, so dass eine Auslenkung x entsteht. Wie aus Figur 2 ersichtlich ist, soll eine Auslenkung aus der Ruhelage vom Permanentmagnet weg positiv gezählt werden. Diese Membranbewegung überträgt sich auf die umgebende Luft, wobei das Ab- strahiverhalten durch eine akustische Impedanz beschrieben werden kann. Da hier nur das elektrische und mechanische Verhalten näher untersucht werden soll, bleibt die Ankopplung an den akustischen Raum zunächst unberücksichtigt.

Zur Herleitung eines äquivalenten Netzwerkmodells, das eine Beschreibung des Verhaltens eines derartigen Lautsprechers im Tiefton bereich zulässt, wird zunächst eine energetische Betrachtung des Gesamtsystems durchgeführt. Aus der Energieerhaltung folgt, dass die Änderung der im System gespeicherten mechanischen W_mech und magnetischen Energie W_magn gleich der von außen über die Anschlussklemmen zugeführten elektrischen Leistung ist, wenn zusätzlich die ohmschen Verluste auf der elektrischen Seite und die Reibungsverluste auf der mechanischen Seite berücksichtigt werden:

(1)

Dabei ist R_e der Gleichstromwiderstand der Schwingspule, auf die mechanisch die Reibungskraft F_r = r& bei einer Geschwindigkeit v = wirkt.

Um eine Verbindung zwischen den elektrischen Größen Spannung u und Strom / und den mechanischen Größen Geschwindigkeit J& und Kraft auf die Membran F herzustellen, ist ein geeignetes Koppelnetzwerk N (Figur 3) zu suchen, das zum einen ein Element zur Speicherung der magnetischen Energie der Schwingspule enthält. Somit lässt sich die Forderung nach Energiehaltung durch die Gleichung

(2) <iπ^'„,a_gn = u i t - F dr

erfüllen. Die gespeicherte Energie beschreibt man durch

(3) WΓTKI_KH " - ^"' ) = -L(:c. i)r mit (.τ. ) > ⁽>

und gewährleistet damit, dass diese eine positiv semidefinite Form des Stromes und des Ortes ist wegen

W ^gπ - O) = 0 und U _njngu(,r. 7 ) > 0 V i ≠ ⁽I.

Die dabei auftretende Größe L(x; i) wird auf Grund ihrer Definition über die Energie auch als energetische Induktivität bezeichnet. Die Ortsabhängigkeit dieser Größe rührt daher, dass bei der Bewegung der Spule sich immer nur ein Teil derselben im Polschuh befindet, wodurch andersherum betrachtet ein zylindrischer (Eisen-) Körper in die Spule hinein bzw. wieder aus ihr herausbewegt wird. Durch die Stromabhängigkeit lassen sich ggf. auftretende Magnetisierungseffekte berücksichtigen. Aus der durch Gl. (3) beschriebenen Energie ergibt sich

(5) «IT T unfi'. ij

Zum anderen muss mit dem Koppelnetzwerk für die Erhaltung des Induk^¬ tionsgesetzes Sorge getragen werden, da durch die Bewegung eines Leiters im Magnetfeld eine Spannung induziert wird. Dabei wird zunächst der gesamte die Schwingspule durchsetzende magnetische Fluss Φ(x; i) als sowohl orts- als auch stromabhängig zugelassen. Demnach kann das Induktionsgesetz durch die Gleichung do(x. i.) rk> dx do di

(6) u dt dx d/ ⁺ di ^'dt formuliert werden. Setzt man die Induktionsspannung (6) in Gl. (2) ein, so ergibt sich

Durch Vergleich von (5) und (7) erhält man _v ßo \ ,_tOL . ... .

(8) t -■- ι - -r — - — mix. ι μ

ÜT 2 σx mit de _ 1 ß _L mix. t ) ---•

(9) Θx 2 dx wodurch die Übertragung des Stromes auf die Kraft beschrieben werden kann. Der Vergleich liefert aber auch c 1 ßL

(10) Uϊ ^{~ J + !}ÜΪ als Beziehung zwischen Fluss und energetischer Induktivität. Setzt man die beiden Beziehung (9) (nach dΦ/dx aufgelöst) und (10) nun wieder in Gl. (6) ein, so ergibt sich die Spannung

die sich auch als

(12)

mit

., . dn_L(x. i)i

(13) «. i = n (x. ι ⁾Ls -γ_t

(15) n_L(x. 't ) = mui 1,_? 0

schreiben lässt. Die gewonnene Gleichung (12) lässt sich nun als Serienschaltung zweier Übertrager interpretieren, wie sie in Figur 4 dargestellt ist. Während der erste Übertrager mit dem Übersetzungsverhältnis ΠL(X;I^') : 1 sekundarseitig mit einer linearen Induktivität Ls abgeschlossen ist, und somit zur Speicherung der Energie W_magn dient, beschreibt der andere mit dem Übersetzungsverhältnis m(x;i) : 1 die Kraftkopplung Gl. (8).

Die bisherigen Zusammenhänge lassen sich noch detaillierter darstellen, wenn man den magnetischen Fluss Φ(x; i) aufteilt in

(16) φ{x< i ) = p{ ) + Ψs(x. i).

wobei Φp(x) dem durch den Permanentmagneten erzeugten Anteil entspricht. Diesem wird additiv ein orts- und stromabhängiger Anteil Φs(x; i) überlagert, der von der stromdurchflossenen Schwingspule herrührt. Mit Gleichung (10) folgt dann

so dass sich als Zusammenhang zwischen dem Fluss Φs(x; i) und der Induktivität L(x; i)

(1₈) sir- ¹ } =

angeben lässt, wenn man Φs(x;0)= 0 annimmt, d. h. nur ein Stromfiuss durch die Schwingspule erzeugt den zusätzlichen Fluss Φs- Dann gilt für die Übertragung des Stromes auf die Kraft

, . , dφ_P 1 r _τ ,

(19) m {.ϊ. t \ ^ - - + r-r- / {x. ι)d dx 2 dx J_ϋ wobei die nun auftretenden Größen direkt anschaulich interpretiert werden können. Der erste Term zur Beschreibung des Permanentmagneteinflusses wird in der Literatur als Kraftfaktor bezeichnet. Er ergibt sich als Produkt aus magnetischer Induktion ß und wirksamer Leiterlänge /, das zusammengefasst mit Bl(x) abgekürzt wird. Da der Übertragungsfaktor m(x; i) zur Gewinnung der Kraft auf der mechanischen Seite mit dem Strom / zu multiplizieren ist, lässt sich das Produkt Bl(x)i mit der resultierenden Lorentz-Kraft identifizieren. Der zweite Anteil der Kraft

1 d r

(20) F-A x- i ) = - J— L{x. t)dι

wird als Reluktanzkraft bezeichnet und ist anschaulich als aus der Änderung der magnetischen Energie resultierende Kraft zu interpretieren. Betrachtet man nun noch den Sonderfall, dass der durch die Schwingspule erzeugte Fluss ebenfalls nur orts- und nicht mehr stromabhängig ist, so vereinfacht sich die Reluktanzkraft zu

(21) F_r *.., ) = _ _______ — .

2 dx

Bisher wird diese Reluktanzkraft in der Literatur durch Einfügen einer gesteuerten Stromquelle auf der mechanischen Seite berücksichtigt.

Damit ist die Beschreibung der Kopplung zwischen elektrischer und mechanischer Seite vollständig.

Beschränkt man sich im Weiteren auf die mechanische Seite, so sind bei einer energetischen Betrachtung sowohl die in der schwingenden Masse (Membran, Schwingspule, Schwingspulenträger, Teile der Aufhängung etc.) M gespeicherte kinetische Energie als auch die aus der Steifigkeit der Aufhängung (Zentrierung, Sicke) resultierende Verformungsenergie zu

berücksichtigen

(22)

Für einen großen Arbeitsbereich lässt sich aber kein lineares Kraft-Weg- Gesetz zur Beschreibung der Rückstellkraft angeben, so dass diese in der Form

(23) F,,(x) ^ k(x) x

zu berücksichtigen ist. Um die mechanische Seite durch ein Netzwerk nachbilden zu können, ist auch hier wieder nach passiven Teilnetzwerken zu suchen. Dazu sei das Eintor aus Figur 5 betrachtet, an dessen Eingang die Membrangeschwindigkeit α& (als Spannung) und die Rückstellkraft F_k (als Strom) liegen. Durch den ersten Übertrager mit dem Übersetzungsverhältnis 1 : k(x) ist der sekundärseitige Strom identisch mit der Auslenkung x. Ähnlich wie bei der Induktivität soll auch hier wieder die gespeicherte Energie in der Form

H ^■., = F_i;{ξ)dξ = _rπ~(.r) >r^{2 f}-_k mit - > mul n [x) > 0 V x ≠ 0

(24)

darstellbar sein, was durch den zweiten Übertrager mit dem Übersetzungsverhältnis

und der sekundarseitig an diesen zweiten Übertrager angeschlossenen linearen Induktivität L_k gewährleistet wird. Beide Übertrager lassen sich natürlich zu einem mit dem Übersetzungsverhältnis

zusammenfassen. Das so gewonnene Übertragehrmodell beschreibt den korrekten Zusammenhang zwischen der Kraft F_k und der gespeicherten Verformungsenergie. Auch hier wird vielfach in der Literatur lediglich eine auslenkungsabhängige Induktivität angesetzt. Durch die Wahl der Torgrößen lässt sich dann die Speicherung der kinetischen Energie durch eine Kapazität der Größe M bewerkstelligen, auf die die Kraft

(27)

wirkt. Berücksichtigt man noch die Reibungsverluste durch eine Reibungskraft

was durch einen Widerstand der Größe 1/r nachgebildet werden kann, so ergibt sich zur Nachbildung der mechanischen Seite die Parallelschaltung dieser drei Elemente, da die eingekoppelte Kraft F gleich der Summe dieser drei mechanischen Teilkräfte

(29) F — Fι_;(x) - F_Λ] + F_r

sein muss. Insgesamt ergibt sich dann ein äquivalentes Netzwerk zur Beschreibung des Verhaltens nichtlinearer Tieftonlautsprecher, wie es in Figur 6 angegeben ist. Eingangsseitig wird dabei über eine ideale Spannungsquelle das Signal u_e eingekoppelt. Darüber hinaus werden die ohm- schen Verluste durch den Gleichstromwiderstand der Schwingspule R_e berücksichtigt.

Ausgehend von den bisherigen Betrachtungen lässt sich nun ein System von gekoppelten Differentialgleichungen aufstellen, indem man die Spannungssumme auf der elektrischen und die Kraft-(Strom-)Summe auf der mechanischen Seite bildet, so dass sich mit den Gin. (12) bzw. (13+14),

(29) und (8) insgesamt

,_{n n}, „ f l/-(:r ) 7 _^ , . dx

(30) _Ut - 7_t -I -— + ?/( .»^• } — dt dl

_/ . ,, , • . 1 .•. tiX r) , , d²x dx

(31) ßt(x}i + -r — -- _ M — + r— - k[ x)x

2 dx dl.- dt ergibt. Das hier hergeleitete etzwerkmodell besitzt gegenüber bisher bekannten Modellen den wesentl chen Vorteil, dass es aus konkret passiven Elementen besteht, d.h., jedes einzelne Bauteil verhält sich passiv. Die Posi- tivität der Bauteilwerte sichert damit die Passivität des Gesamtnetzwerkes. Bei den bisher bekannten Netzwerkmodellen kann die Passivität nicht garantiert werden, da zur Beschreibung der auch hier berücksichtigten Effekte gesteuerte Quellen eingefügt werden mussten.

Zeitdiskrete Modellierung

Leistungswellen

Als Leistungswellen bezeichnet man die Verknüpfungen zwischen der Spannung u und dem Strom / an einem Tor mit dem positiven Torwiderstand R der Form

+ i a

(32) 2v'R

wobei mit a, wie gewohnt, die einfallende und b die reflektierte Welle bezeichnet wird. Die Nachbildung der Bauelemente Kapazität und Induktivität ändert sich hierdurch im Vergleich zur Verwendung von Spannungswellen nicht (Fettweis, A.: Wave digital Filters: Theory and Practice, Proceedings of the IEEE, Bd. 74, Nr. 2, Februar 1986, S. 270-327). Die Realisierung einer widerstandsbehafteten Spannungsquelle unterscheidet sich von der Standardrealisierung lediglich durch eine Skalierung der Eingangsspannung als einfallende Welle mit dem Faktor 1/2 vfr. Ein Übertrager mit dem Übersetzungsverhältnis 1/n lässt sich mit Leistungswellen durch eine einfache Verbindung darstellen, wenn für die beiden Torwiderstände die Beziehung R₂ = n² R_? gilt, siehe Figur 7.

Die Nachbildung des Verbindungsnetzwerkes geschieht nun wieder mit Adaptoren. Die Streumatrix S_s einer π-Tor-Serienschaltung lässt sich in der Form i» :___, 1 - y_j ^T (34)

beschreiben, wenn 1 die Einheitsmatrix und γ den Vektor der Adaptor- koeffizienten bezeichnet, dessen Elemente γ,- sich über

aus den Torwiderständen R,- berechnen lassen. Für einen n-Tor- Paralleladaptor ergibt sich die Streumatrix

(36) S*' ^{= " 1 ■'} 77^{7 ■}

wobei sich die Adaptorkoeffizienten hier zu

aus den Torleitwerten G,- ergeben. Die Passivität kann für beide Adaptoren gewährleistet werden, wenn für die Adaptorkoeffizienten jeweils

(38) 7^T7 < 2 => ∑ 7; < 2

gilt. Anhand der Streumatrix wird auch deutlich, wie ein reflexionsfreies Tor erzielt werden kann. Wählt man also bei einem Serien- (Parallel-)Adaptor für das entsprechende Tor den Torwiderstand(-Ieitwert) gleich der Summe der anderen Torwiderstände(-Ieitwerte), so nimmt der Adaptorkoeffizient den Wert 1 an, und die reflektierte Welle ist unabhängig von der am selben Tor einfallenden. Die Realisierung der Streumatrix eines Serien- oder Paralleladaptors in Form eines Signalflussgraphen ist in Figur 8 dargestellt, wobei σ= 1 für den Serienadaptor und σ = -1 für den Paralleladaptor zu wählen ist.

Wellendigitalrealisierung des Lautsprechermodells

Es soll nun das unter Verwendung von Leistungswellen entstandene Di- gitalmodell des Lautsprechers erläutert werden, wie es in Figur 9 dargestellt ist.

Es beinhaltet zwei Adaptoren, wovon der erste die Serienschaltung der elektrischen Eingangsseite repräsentiert, während der zweite die Parallelschaltung auf der mechanischen Seite nachbildet, so dass man an den zugehörigen Toren die Nachbildung der Steifigkeit in Form einer Induktivität, der Masse in Form einer Kapazität und der Reibung mittels eines Widerstandes wiederfindet. Sämtliche Übertrager benötigen durch die spezielle Wahl der Torwiderstände keine separaten Realisierungen. Im einzelnen sind die Torwiderstände dann wie folgt zu wählen. Für die Schwingspuleninduktivität ist

wobei T_a wie üblich die Betriebsperiode bezeichnet. Durch Wahl von

erhält man das zur Verbindung mit dem Paralleladaptor notwendige reflexionsfreie Tor. Den Übertrager zur Kraftkopplung berücksichtigt man durch den Torwiderstand

^Λ fi»τ» - — — ^E m-\x. ι \

und wählt die verbleibenden Torwiderstände zu

^{( )} ^ - ^ IM7- *r - - V und R_k - n^'i 1 ,; .

Mit den Gleichungen (35) und (37) lassen sich dann die notwendigen Adaptorkoeffizienten bestimmen. Mit den Gleichungen (32) lassen sich an jedem Tor Spannung und Strom gemäß

VR

wiedergewinnen. Um nun die auslenkungs- und stromabhängigen Übersetzungsverhältnisse der nichtlinearen Übertrager bestimmen zu können, nutzt man diese Möglichkeit und berechnet zusätzlich zum Signalfluss die Auslenkung x und den Schwingspulenstrom /, darüber hinaus aber auch die Membrangeschwindigkeit ^ sowie die Membranbeschleunigung , so dass alle interessierenden Signale simuliert werden können. Die dafür benötigten Koeffizienten lauten

- _____ » 1

⁽⁴⁴⁾ " ^~ _\/ ^{!T ~} l _\/rß,

wobei sich das Minuszeichen aus der Spannungsorientierung am Seri- enadaptor ergibt. Die mit einem Balken versehenen Größen sind dabei als normiert und damit dimensionslos zu verstehen, d.h., sämtliche Widerstände sind mit R_t = _ft_; /lΩ zu berücksichtigen und für die Masse gilt

M = MI\kg bzw. für die Steife k = k/l(Nm) . Diese Signale lassen sich jedoch erst berechnen, wenn der gesamte Signalfluss bereits abgearbeitet wurde. Um nun zu Beginn eines Zeittaktes die Übersetzungsverhältnisse bestimmen zu können, verwendet man jeweils die im Vortakt berechneten Werte und lässt damit natürlich einen Fehler zu. Bei ausreichend hoher Betriebsrate lässt sich diese Näherung aber durchaus rechtfertigen.

Parameterbestimmunq

Um das reale Verhalten des Lautsprechers simulieren zu können, wird ein Verfahren vorgeschlagen, mit dem sich die für das Modell notwendigen Parameter bestimmen lassen. Dabei entsteht ein zweistufiges Parameterschätzverfahren, bei dem in der ersten Stufe zunächst Startwerte für das in der zweiten Stufe folgende adaptive Verfahren ermittelt werden. Diese Startwertermittlung soll hier unter Verwendung eines kleineren Lautsprechers beispielhaft erläutert werden. Als Ergebnis von Messungen konnte festgestellt werden, dass schon die Startwerte bei Vermessung von sechs baugleichen Lautsprechern so stark streuen, dass sich die Notwendigkeit für ein Verfahren ergibt, mit dem sich jeder Lautsprecher separat einmessen lässt. Dieses adaptive Verfahren wird im zweiten Abschnitt vorgestellt.

Startwertermittlunq: Linearisierung im Arbeitspunkt

Zur Startwertermittlung soll hier nun zunächst ein Weg vorgestellt werden, der vom äquivalenten Netzwerkmodell ausgeht. Wenn man unter der Annahme einer konstanten Auslenkung x_s die mechanischen Bauteile auf die elektrische Seite des Übertragers zur Kraftkopplung bringt, so gelangt man zu einer schematischen Darstellung der Lautsprecherimpedanz (Figur 10). Es sei noch einmal daraufhingewiesen, dass dieses Netzwerk nur dann in einem Arbeitspunkt Gültigkeit besitzt, wenn signalbedingte Änderungen der Auslenkung um diesen Arbeitspunkt x_a so gering sind, dass die aus- lenkungsabhängigen Bauelemente als konstant angesehen werden können. Dabei gilt für die auftretenden Bauteilgrößen

, , B/ _m , nr^J{.r_a) , ,, , M

L a i - — kT(,x„ -) ^{" •} ft{ ^l "^ra " ' r ^{U l (}- (^■"'^' ' BM r_u )

(46)

so dass sich für eine feste Auslenkung x_a rein formal die Impedanz dieses Netzwerkes zu Z^{( )}. X_a ) = R -t L,, a) Υ R{X-a ) \

ρL(x_a )R{x_a .

R_c + ρL {x_u] •-_-•

R(.r_a ) -f ι>L(x_a ) + p- Rix^Lix^Ci x,-,)

(47)

berechnen lässt, wenn R_e der Gleichstromwiderstand und L_e(x_a) die Induktivität der Schwingspule, Bl(x_a) der Kraftfaktor, M die schwingende Masse, k(x_a) die Steifigkeit und rdie Reibung der mechanischen Aufhängung ist.

Somit wird der Lautsprecher in jedem Arbeitspunkt durch sein lineares Modell angenähert. Figur 11 zeigt einen typischen Verlauf der Impedanz des hier betrachteten Lautsprechers getrennt nach Betrag und Phase.

Deutlich zu erkennen ist die Resonanzstelle um f_ns = sjkl M l(2π) , wobei dieser Frequenzbereich auch schon zur Bestimmung der Thiele-Small- Parameter (R.H. Small: Closed-Box Loudspeaker Systems, Part I: Analy- sis, Journal of the Audio Engineering Society, Bd. 20, Dezember 1972, S. 798-808) genutzt wird, da sich hier die wesentlichen Parameter eines gedämpften mechanischen Schwingsystems 2. Ordnung, wie es beim Lautsprecher vorliegt, im Verlauf der Impedanz wiederspiegeln. Der Anstieg des Betrages der Impedanz bei hohen Frequenzen ist auf die Schwingspuleninduktivität zurückzuführen.

Durch zusätzliche Einspeisung eines Gleichstromes wird nun am Lautsprecher eine konstante Auslenkung x_a erzeugt und damit ein Arbeitspunkt eingestellt. In Figur 12 ist der prinzipielle Messaufbau zu sehen, in dem über die Gleichspannungsquelle diese konstante Vorauslenkung eingestellt werden kann. Die Induktivität L dient dazu, das Messsignal von der Spanπungsquelle abzutrennen. Dazu muss ihr Wert möglichst groß sein, was durch Verwendung einer Rolle aufgewickelten, lackierten Kupferdrahtes ausreichenden Durchmessers gewährleistet wird. Ihr Einfluss konnte durch separate Messung im Nachhinein wieder herausgerechnet werden. Mit Hilfe eines nach dem Triangulationsverfahren arbeitenden Lasermessgerätes wird die Auslenkung x bzw. der Ort der Membran berührungslos gemessen, so dass das Schwingverhalten hierdurch nicht beeinträchtigt wird. Die Impedanzmessungen in jedem Arbeitspunkt sind mit dem digitalen System-Analysator DSA 2.1 durchgeführt worden, wobei durch Verwendung eines Messverstärkers MV und Wahl eines Vorwiderstandes von R_v =1 kΩ der durch das Messsignal hervorgerufene Schwingspuleπstrom soweit begrenzt wurde, dass ein Kompromiss zwischen minimaler Auslenkung um den Arbeitspunkt und Auflösungsgenauigkeit des Messsystems erzielt werden konnte. Die während der Impedanzmessung zusätzliche Auslenkung durch das Messsignal war dann mit dem Lasermessgerät nicht mehr feststellbar. Damit ist die Anforderung an das Messverfahren, dass sich die Parameter durch die Messung in einem Arbeitspunkt nicht mehr unter dem Einfluss des Messsignals ändern, gewährleistet. Die Referenzmessung der Spannung u₁ und die tatsächliche Messung der Spannung i/₂ wurden über einen Trennverstärker TV zur Gleichanteilauskopplung dem Messsystem DSA 2.1 zugeführt, welches unter Kenntnis des Vorwiderstandes R_v den Impedanzverlauf berechnete. Als Arbeitspunkt wurde alternierend eine positive und eine negative Auslenkung gewählt, um Hystereseeffekte zu vermeiden. Bei der Einstellung des Arbeitspunktes konnte mit dem Lasermessgerät ein mit dem Auge nicht zu beobachtender Kriecheffekt festgestellt werden, der sich darin zeigt, dass die Auslenkung der Membran zunächst sprungartig steigt, die resultierende Ruhelage dann aber mit einer Zeitkonstanten von mehreren Sekunden erreicht wird. Diese vermutlich viskoelastischen Effekte der Membranaufhängung sind bisher nicht Bestandteil der Modellierung und werden daher auch nicht weiter berücksichtigt. Allerdings erschweren und verlängern diese Effekte den Messablauf. Problematisch sind bei diesem Messverfahren Auslenkungen > ± 2 mm, da hierfür hohe Schwingspulenströme notwendig sind, die evtl. Einfluss auf das Schwingspulensystem haben könnten (Erwärmung, Magnetisierungseffekte).

Trägt man nun die für verschiedene Auslenkungen gemessenen Impedanzverläufe über dem Ort und der Frequenz dem Betrage nach auf, so gelangt man zu einer Darstellung gemäß Figur 13. Unterhalb sind in der x- f-Ebene die Konturlinien wiederzufinden. Positive Auslenkungen bedeuten hier eine Bewegung "nach außen", also vom Permanentmagnet weg. Deutlich zu erkennen ist die Veränderung im Resonanzbereich, was sowohl die Frequenzlage (siehe Konturdarstellung) als auch die Höhe des Resonanzmaximums anbelangt. Insbesondere fällt schon hier auf, dass keine Symmetrie um die Ruhelage herum herrscht. Diese Unsymmetrie konnte auch schon während der Messungen festgestellt werden, da für negative Auslenkungen ein höherer Konstantstrom als zur Erzielung der gleichen positiven Auslenkung nötig war. Die Einbrüche um 250 Hz sind auf Netzstörungen zurückzuführen. Für den gemessenen Lautsprecher wurde zunächst zusätzlich mit Hilfe des DSA 2.1 eine Thiele-Small- Parametermessung mit möglichst geringer Aussteuerung durchgeführt, um Schätzwerte für die linearen Parameter zu bekommen. Insbesondere lieferte eine Impedanzmessung mit Zusatzmasse auf der Membran aufgrund der resultierenden Resonanzverschiebung einen Schätzwert für die schwingende Masse M. Ebenso wurde die Reibung r und der Schwingspulenwiderstand R_e separat bestimmt, so dass sich die Werte

(48)

ergaben. Dann sind jeweils noch die drei Parameter Steifigkeit k, Kraftfaktor Bl und Schwingspuleninduktivität L_e für jede Auslenkung zu bestimmen. Dazu wurde die Impedanzfunktion (47) unter MATLAB™ in eine Optimierungsroutine eingebunden, die durch Minimierung einer Funktion des Fehlers zwischen gemessenem und berechnetem Betrag der Impedanz für jede Auslenkung jeweils diese drei Parameter bestimmt. Zur Kontrolle wurde für den Lautsprecher, dessen gemessene Impedanz in Figur 13 bereits dem Betrage nach grafisch angegeben wurden, mit den geschätzten Parametern für jede Auslenkung noch einmal die Impedanz berechnet und deren Betrag in Figur 14 dargestellt. Dabei sind lediglich geringfügige Abweichungen für große Auslenkungen festzustellen. Damit erhält man für den betrachteten Lautsprecher das Verhalten der Parameter in Abhängig- keit von jedem Arbeitspunkt bzw. jeder Auslenkung. Betrachtet sei zunächst das Verhalten der Steifigkeit k(x), wie es in Figur 15 wiedergegeben wird. Aufgetragen ε.ind jeweils die geschätzten Werte (^*) und kontinuierliche Approximation (durchgezogen) für die Schätzwerte, die weiter unten noch erläutert werden.

Hier spiegelt sich die schon erwähnte Unsymmetrie des Impedanzverlaufes wieder, was aber auch physikalisch interpretierbar ist, da die Resonanzfrequenz von der Steifigkeit abhängt, wenn man die schwingende Masse als konstant annimmt. Das Minimum der Steifigkeit liegt bei positiven Auslenkungen von etwa 0,5 mm, während sie für negative Auslenkungen stark ansteigt.

Betrachtet sei als nächstes das Verhalten des Kraftfaktors Bl(x), wie es in Figur 16 aufgetragen ist. Dieser weist eine leichte Unsymmetrie zu negativen Auslenkungen hin auf und fällt ansonsten in beide Richtungen ab, was auch den Erwartungen entspricht, da im Luftspalt die größte Flussdichte herrscht und diese an den Rändern abfällt. Insgesamt ist allerdings die relative Veränderung des Kraftfaktors für die betrachteten Auslenkungen nicht so stark, wie es bei der Steifigkeit der Fall war.

Eine etwas schwächere Auslenkungsabhängigkeit ergibt sich für die Schwingspuleπinduktivität, wie aus Figur 17 ersichtlich ist. Da nur ein eingeschränkter Frequenzbereich zur Bestimmung derselben betrachtet wurde, fällt dieser Wert um einen Faktor 2-3 größer aus als bei sonst üblichen Messungen über einen größeren Frequenzbereich.

Um die gewonnenen Ergebnisse im Lautsprechermodell nutzen zu können, müssen die Auslenkungsabhängigkeiten durch Funktionen des Ortes angenähert werden.

Bisher wurden, wie in der Literatur üblich, hierzu Parabelnäherungen genutzt, die aber für große Auslenkungen das reale Verhalten nur schlecht oder sogar ungünstig beschreiben. Bspw. ließ sich der Kraftfaktor nur für kleine Auslenkungen durch eine nach unten geöffnete Parabel beschreiben, was zur Folge hatte, dass dieser für große Auslenkungen unsinnigerweise negative Werte annehmen konnte. Tatsächlich erscheint es aber physikalisch sinnvoll, dass der Kraftfaktor von seinem maximalen Wert ausgehend für große Auslenkungen immer langsamer abnimmt, bzw. sich asymptotisch dem Wert Null nähert. Ais mögliche Funktion hierfür wurde

(49)

gewählt, wobei XQ_D eine mögliche Unsymmetrie und bo den maximalen Wert des Kraftfaktors darstellen. Für die Schwingspuleninduktivität wurde neben einer Parabel auch ein Polynom 3. Ordnung zugelassen. Der Grund hierfür iiegt in der physikalischen Motivation, dass die Schwingspule für die maximale negative Auslenkung sich komplett auf dem Polkern befindet und somit einen Maximalwert annimmt. Bewegt sich nun die Spule in Richtung Ruhelage und darüber hinweg, so wird die Selbstinduktivität irgendwann bis zu einem möglichen Minimalwert abnehmen, da die Spule bis zur maximalen positiven Auslenkung immer weiter über den Polkern herausragt. So soll als mögliche Approximation dieses Verhaltens

zugelassen werden. Ggf. reicht die Näherung = 0 jedoch aus. Für die Steifigkeit verwendet man eine einfache Parabelnäherung

da somit bisher die Unsymmetrie und der progressive Anstieg bei zunehmender Auslenkung ausreichend beschrieben werden konnten. Diese Auslenkungsabhängigkeiten sind als Funktionsverläufe in den Figuren 15, 16 und 17 als durchgezogene Kennlinien mit aufgetragen.

Adaptive Parameterschätzunq

Die oben ermittelten Ausienkungsabhängigkeiten dienen nun als Startwert für das folgende Adaptationsverfahren, d.h. die Kennlinien werden in das oben vorgestellte WD-Modell implementiert. Speist man nun das Modell und den realen Lautsprecher mit der gleichen Eingangsspannung u_Bl so kann man über einen Serienwiderstaπd (in diesem Falle von 1 Ω) den realen Schwingspulenstrom i_m messen und durch Subtraktion des zugehörigen simulierten Stromes /_s ein Fehlersignal

(52)

bilden, wie es in Figur 18 dargestellt ist. Ziel der Adaptation soll eine Anpassung des Modells 182 an den realen Lautsprecher 181 sein, so dass gefordert wird, dass der mittlere quadratische Fehler zwischen dem gemessenen und dem simulierten Schwingspulenstrom minimiert wird. Diese Anpassung wird dadurch erreicht, dass der mittlere quadratische Fehler zwischen dem gemessenen Strom im und dem durch Simulation bestimmten Strom i_s minimiert wird. Erfahrungsgemäß hat dann der Zustand des Lautsprechers (Schwingspulenstrom /^', Membranauslenkung x und Membranbeschleunigung __) und der des WD-Modells 182 näherungsweise den gleichen zeitlichen Verlauf, so dass der Zustand des Lautsprechers mit Hilfe des Modells geschätzt werden kann. Neben einer Quadrierung wird daher noch eine Tiefpassfilterung (TP) des Fehlersignals durchgeführt, so dass man mit ξ(k) einen Schätzwert für den mittleren quadratischen Fehler E{e²(k)} erhält. Für die Adaptation des WD-Modells wird als Adaptationsalgorithmus das Verfahren des steilsten Abstiegs verwendet, nach dem der zu adaptierende Koeffizientenvektor α in jedem Zeitschritt in Richtung des negativen Gradienten des mittleren quadratischen Fehlers bezüglich des Koeffizientenvektors verändert wird, d.h. gemäß der Gleichung

(53) x{k + 1 ) — a i k) - d cvii ΛV.

Dabei ist der Gradient V, der seinerseits wiederum ein vektorwertiges Signal darstellt, als partielle Ableitung des mittleren quadratischen Fehlers ξ(k) nach dem Koeffizientenvektor über

Ott (54)

zu berechnen. Die tatsächliche Veränderung der Koeffizienten lässt sich über die Diagonalmatrix diag(μ) beeinflussen, so dass es möglich ist, für jeden Koeffizienten α,- eine separate Schrittweite μ,- vorzugeben. Es sei darauf hingewiesen, dass es sich hierbei nicht um ein LMS-Verfahren handelt, das als Schätzwert für den mittleren quadratischen Fehler den tatsächlichen Fehler e(k) verwendet. Damit hat das Fehlersignal aber direkt Einfluss auf die Koeffizientenänderung, so dass zur Sicherung der Konvergenz eine sehr kleine Schrittweite μ,- gewählt werden muss. In vorliegenden Fall wirkt der geschätzte mittlere quadratische Fehler auf die Koeffizientenänderung, so dass die Schrittweite hier für jeden Koeffizienten für eine schnellere Konvergenz angepasst werden kann.

Das Tiefpassfilter

Die Tiefpassfilterung liefert dabei eine aufwandsarme, gleitende Mittelwertbildung, die die Zwischenspeicherung und Berechnung langer Datensätze erübrigt. Dabei wurde als mögliche Struktur ein Brückenwellendigi- talfilter 1. Ordnung (Figur 19) ausgewählt, bei dem sich die (3 dB-) Grenzfrequenz φ_g = tan(πfgT) über den Adaptorkoeffizienten y_Tp gemäß der Beziehung

2 ~

(55) i ^!r^S rⁱ 1 + ^

einstellen lässt. Bei einer Wahl von f_g < 1 Hz konnten in der Praxis zufriedenstellende Ergebnisse erzielt werden, da das Fehlersignal nur noch unerheblich das Verhalten des Eingangssignals aufwies.

Das Gradientenfilter

Die Berechnung eines einzelnen Gradienten

(56) V, ₌ l soll durch die Bildung des Differenzenquotienten ζ{a_l + Λα, ) - (α , ϊ

V, -, n , (57)

approximiert werden. Die zugehörige Realisierung zur Gradientenbestimmung ist in Figur 20 dargestellt, wobei das Eingangssignal u_e wie schon in Figur 18 ebenfalls dem Lautsprecher zugeführt wird, so dass der Schwingspulenstrom im gemessen werden kann. Insgesamt ist also die ursprüngliche Fehlersignalberechnung (Fig. 18) für den zu adaptierenden Koeffizienten α,- zweimal auszuführen, und zwar einmal als System mit den Nominalkoeffizienten und einmal als System bei dem nur der betrachtete Koeffizient um Δα,- verändert wird. Soll das gesamte Gradientensignal V(k) also in jedem Zeittakt bestimmt werden, so müssen insgesamt für N zu bestimmende Koeffizienten (N+1) Systeme, bestehend aus WD-Modell, Quadrierung und Tiefpassfilterung, realisiert werden. Dieser zunächst hoch erscheinende Rechenaufwand lässt sich jedoch bei Verwendung einer niedrigen Abtastrate vertreten, da zur Einmessung des Systems vorzugsweise ein farbiges Rauschssignal, dessen Bandbreite auf weinige hundert Hertz beschränkt ist, Verwendung findet.

Messerqebnisse

Der Erfolg des vorgestellten Verfahrens soll nun anhand des hier vermessenen Lautsprechers dokumentiert werden. Als Eingangssignal wurde ein auf den Bereich 20-500 Hz bandbegrenztes Rauschssignal verwendet, dem ein zweites Rauschssignal im Frequenzbereich 50-150 Hz additiv überlagert wurde, so dass das System im Bereich der Resonanzfrequenz stark angeregt wird. Der Signalpegel wurde dabei so gewählt, dass der Lautsprecher Auslenkungen bis an die Grenzen des zulässigen Arbeitsbereichs erzielt. Mit diesem ca. 15 s langen Signal wurde der Lautsprecher gespeist und der resultierende Schwingspulenstrom und zusätzlich die Membranauslenkung zur Kontrolle der Adaptationsergebnisse gemessen. Ausgehend von den oben ermittelten Startwerten wurde die Adaptation durchgeführt, bei der von der Möglichkeit Gebrauch gemacht wurde, für jeden Koeffizienten eine eigene Schrittweite μ,- einzustellen. Der Koeffizi- entenvektor α enthielt dabei alle im Modell auftretenden Bauteilwerte bis auf die schwingende Masse M, da diese über eine Thiele-Small- Parameterbestimmung mehrfach (mit verschiedenen Testmassen) bestimmt wurde. Aus den gekoppelten Differentialgleichungen (30,31) wird allerdings auch deutlich, dass nicht alle Parameter gleichzeitig bestimmt werden können, da insbesondere Gleichung (31) für verschiedene Werte von M erfüllt werden kann. Anhand des in Figur 21 aufgetragenen Fehlersignals ξ(k) lässt sich die Wirkung der Koeffizientenadaptation ersehen.

Das Fehlersignal ξ(k) steigt zunächst entsprechend der beim Tiefpass TP eingestellten Grenzfrequenz 0,5 Hz zunächst an, so dass erst ab einer ausreichenden Größe des Fehlersignals wirksame Koeffizientenänderungen hervorgerufen werden und eine Minimierung des Fehier- signals eintritt. Nach wenigen Sekunden ist dieser daher stark abgeklungen und zeigt dabei das für Gradientenverfahren typische langsame Konvergenzverhalten in der Nähe des Optimums. Betrachtet man nun den gemessenen Schwingspulenstrom i_m und den simulierten Schwingspulenstrom i_s zu Beginn (Figur 22) und am Ende (Figur 23) der Adaptation, so ist zu erkennen, dass sich durch die Adaptation Messung und Simulation kaum noch unterscheiden.

Einen ähnlich positiven Effekt erzielt man bei Betrachtung der gemessenen und simulierten Membranauslenkung (Figuren 24 und 25). D.h., obwohl das Fehlersignal auf der "elektrischen" Seite gebildet wird, erzielt man die gleiche Verbesserung auf der "mechanischen" Seite. Dies ist insbesondere deshalb wichtig, als mit dem Simulationsmodell der Systemzustand des Lautsprechers (Schwingspulenstrom, Membranauslenkung, Membranbeschleunigung) für das anschließende Kompensationsverfahren verlässlich geschätzt werden können muss.

Zusammenfassend kann somit festgestellt werden, dass ein Verfahren vorgestellt wurde, das es ermöglicht, die linearen und nichtiinearen Parameter eines Lautsprechermodells über eine Adaptation zu bestimmen. Dazu wurde zunächst ein Modell in Form eines äquivalenten elektrischen Netzwerkes entwickelt, das die wesentlichen Nichtlinearitäten in Form von auslenkungs- und stromgesteuerten Übertragern berücksichtigt. Eine zeitdiskrete Nachbildung dieses passiven Netzwerkes mit Hilfe sog. Leistungswellen liefert eine stabile Realisierung des Simulationsmodells, bei der die Stabilität auch im adaptiven Betrieb nicht gefährdet wird. Von dieser Eigenschaft wird Gebrauch gemacht, indem aus gemessenem und simulierten Schwingspulenstrom ein Fehlersignal gebildet wird und anschließend mittels eines Gradientenverfahrens die Parameter des Lautsprechermodells adaptiv so verändert werden, dass der mittlere quadratische Fehler zwischen diesen beiden Strömen minimiert wird. Für den Erfolg des Gradientenverfahrens ist dabei eine Ermittlung von Startwerten sinnvoll, ansonsten müsste durch einen anderen bspw. genetischen Adaptationsalgorithmus dafür Sorge getragen werden, dass ein globales Minimum der Fehlerfunktion angestrebt wird. Durch das Gradientenverfahren wird allerdings eine schnelle Konvergenz erzielt, die durch spezielle Wahl des Eingangssignals noch verbessert wird. Eine Adaptation anhand des realen Musiksignals ist jedoch auch möglich und bietet sich an, um die betriebsbedingten Parameterveränderungen (Alterung, Temperatur, Einbau) während des Betriebes nachzuführen. Insgesamt steht somit ein Verfahren zur Verfügung, mit dem sich im realen Betrieb durch eine einfache Strommessung die Lautsprecherparameter schätzen lassen.

Claims

Patentansprüche

1. Verfahren zur Bestimmung von Lautsprecherparametern, enthaltend folgende Schritte: a) Messung der Verläufe der Eingangsspannung u_e und des Schwingspulenstromes i_m des Lautsprechers, b) Berechnung eines zur gemessenen Eingangsspannung u_e gehörenden simulierten Schwingspulenstromes i_s mit Hilfe eines elektrischen Netzwerkmodells mit veränderlichen Parametern (α), c) Adaptation der veränderlichen Parameter ( ) des Netzwerkmodells zur Optimierung einer aus der Modellabweichung e = i_m - i_s gebildeten Kostenfunktion.

2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass das elektrische Netzwerkmodell eine Serienschaltung folgender Elemente enthält: a) eines Widerstandes (R_e), b) eines ersten Übertragers (usi), der sekundarseitig durch eine Induktivität (Ls) abgeschlossen ist, und c) eines zweiten Übertragers (us∑), der sekundarseitig die Parallelschaltung eines Widerstandes (1/r), eines Kondensators (M) und eines dritten Übertragers enthält, wobei der dritte Übertrager sekundarseitig durch eine Induktivität (L_k) abgeschlossen ist.

3. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, dass das Netzwerkmodell zeitdiskret realisiert ist, vorzugsweise durch Anwendung einer Wellendigitalrealisierung auf ein kontinuierliches Netzwerkmodell.

4. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, dass die Adaptation der veränderlichen Parameter des Netzwerkmodells durch ein Gradientenverfahren erfolgt.

Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, dass durch eine Vorvermessung des Lautsprechers geeignete Startwerte für die Parameter des Netzwerkmodells ermittelt werden.

6. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 5, dadurch gekennzeichnet, dass die Kostenfunktion aus der quadrierten Modellabweichung e² = (i_m - i_s)² gebildet wird, wobei vorzugsweise eine zeitliche Mittelwertbildung und/oder eine Tiefpassfilterung nachgeschaltet wird.