DE19960979A1

DE19960979A1 - Adaptives Verfahren zur Bestimmung von Lautsprecherparametern

Info

Publication number: DE19960979A1
Application number: DE19960979A
Authority: DE
Inventors: Klaus Meerkoetter; Joachim Wasmuth
Original assignee: Robert Bosch GmbH
Current assignee: Robert Bosch GmbH
Priority date: 1999-12-17
Filing date: 1999-12-17
Publication date: 2001-07-05
Also published as: US20030142832A1; WO2001045459A2; WO2001045459A3; EP1243161A1; KR20020065578A; JP2003524952A

Abstract

Das Verfahren erlaubt die Bestimmung von Lautsprecherparametern im realen Betrieb durch eine Messung des Schwingspulenstromes i¶m¶ und enthält folgende Schritte: DOLLAR A 1) Messung des bei Anregung des Lautsprechers mit einem bekannten Eingangssignal u¶e¶ resultierenden Schwingspulenstromes i¶m¶; DOLLAR A 2) Simulative Schätzung des Schwingspulenstromes für dasselbe Eingangssignal mit Hilfe eines äquivalenten elektrischen Netzwerkes und eines daraus durch Wellendigitalrealisierung abgeleiteten zeitdiskreten Modells; DOLLAR A 3) Veränderung der Parameter im Lautsprechermodell durch vorangehende Ermittlung von Startwerten und die Minimierung des mittleren quadratischen Fehlers aus gemessenem und simuliertem Schwingspulenstrom durch ein Gradientenverfahren. DOLLAR A Das äquivalente Netzwerk enthält eine Serienschaltung zweier Übertrager, wobei der erste Übertrager sekundärseitig eine Induktivität (L¶S¶) und der zweite Übertrager sekundärseitig die Parallelschaltung eines Widerstandes (1/r), eines Kondensators (M) und eines dritten Übertragers aufweist.

Description

Technisches Gebiet

Die Erfindung betrifft ein adaptives Verfahren zur Bestimmung von Laut sprecherparametern.

Stand der Technik

Bei der Entwicklung elektroakustischer Übertragungssysteme ist es wich tig, sowohl das lineare als auch das nichtlineare Übertragungsverhalten des elektroakustischen Wandlers, also des Lautsprechers, sowohl zu ken nen als auch modellieren zu können. Zum einen ist diese Modellierung notwendig, um in der Entwurfsphase den Einfluss bestimmter Bauteilpa rameter simulativ überprüfen zu können, zum anderen kann das Übertra gungsverhalten bestehender Lautsprechersysteme nachträglich durch beispielsweise eine digitale Filterung oder auch Vorverzerrung des An steuersignals sowohl im Hinblick auf seinen linearen als auch nichtlinearen Charakter verbessert werden. Hier dienen zeitdiskrete Implementierungen des Modells häufig als Zustandsbeobachter. Allen Anwendungen gemein sam ist der Anspruch an das Modell, den realen Lautsprecher möglichst genau nachzubilden, was nach Festlegung des Modells das Problem zur Folge hat, die für das Modell benötigten Parameter durch Messungen an einem realem Lautsprecher zu gewinnen.

Für die Modellierung werden in der Literatur wandlernahe äquivalente elektrische Netzwerke angegeben, die jedoch zur Parameterbestimmung nicht weiter genutzt werden (H. Schurer: Linearization of Electroacoustic Transducers, Dissertation, Universität Twente Enschede, November 1997; W. Klippel: Dynamic Measurement and Interpretation of the Nonlinear Pa rameters of Electrodynamic Loudspeakers, Journal of the Audio Engi neering Society, Bd. 38, Nr. 12, Dezember 1990, S. 944-955; W. Klippel: "Das nichtlineare Übertragungsverhalten elektroakustischer Wandler, Ha bilitationsschrift, Technische Universität Dresden, 1994). Alternativ dazu sind allgemeine Modellansätze beispielsweise in Form von Volterra- Reihenentwicklungen (Schurer, a. a. O.; A. J. M. Kaizer: Modeling of the Nonlinear Response of an Electrodynamic Loudspeaker by a Volterra Se ries Expansion, Journal of the Audio Engineering Society, Bd. 35, Nr. 6, Juni 1987, S. 421-433), neuronalen Netzen (Johan A. Suykens; Joos P. L. Vandewalle; Bart L. R. De Moor: Artificial neural networks for modelling and control of non-linear systems, Kluwer Academic, 1996) oder NARMAX- Modellierungen (Han-Kee Jang; Kwang-Joon Kim: Identification of loud speaker nonlinearities using the NARMAX modeling technique, Journal of the Audio Engineering Society, Bd. 42, Nr. 1/2, 1994, S. 50-59) untersucht worden, die allerdings keine physikalische Interpretation zulassen und u. U. sehr viele Parameter benötigen. Allen bisher vorgeschlagenen Verfahren ist jedoch gemeinsam, dass auf der mechanischen bzw. akustischen Seite ein Signal wie beispielsweise die Membranauslenkung bzw. der Schall druck gemessen werden mussten. Außerdem sind die meisten Verfahren als Offline-Verfahren bestehend aus Messung und anschließender Aus wertung konzipiert. Als Messsignale kommen dabei häufig Signale zum Einsatz, die nicht immer dem realen Betrieb des Lautsprechers entspre chen, wie beispielsweise bei (J. Scott, J. Kelly, G. Leembruggen: New Method of Characterizing Drive Linearity,

Journal of the Audio Engineering Society, Bd. 44, Nr. 10, 1996, S. 864; D. Clark: Precision measurement of loudspeaker parameters, Journal of the Audio Engineering Society, Bd. 45, Nr. 3, 1997, S. 129-141). Nur ein einziges bekanntes adaptives Verfahren (W. Klippel: Adaptive Nonlinear Control of Loudspeaker Systems, Journal of the Audio Engineering So ciety, Bd. 46, Nr. 11, November 1998, S. 939-954) erlaubt es, in Echtzeit die Lautsprecherparameter identifizieren zu können. Aufgrund von Para meterstreuungen innerhalb einer Produktionsserie und Parameter veränderungen, die im realen Betrieb unvermeidlich durch Alterung, Tem peraturänderungen und Einbau des Lautsprechers auftreten, besteht aber Bedarf für ein adaptives Verfahren, so dass jeder Lautsprecher separat eingemessen werden kann bzw. die bereits ermittelten Parameter nach geführt werden können.

Darstellung der Erfindung, Aufgabe, Lösung, Vorteile

Aufgabe der vorliegenden Erfindung war es, ein adaptives Verfahren zur Bestimmung von Lautsprecherparametern zur Verfügung zu stellen, mit welchem jeder Lautsprecher separat eingemessen werden kann bzw. mit dem die bereits ermittelten Parameter nachgeführt werden können, um die durch Alterung, Temperaturänderungen und/oder Einbau des Lautspre chers auftretenden Effekte erfassen zu können. Das Verfahren sollte da bei vorzugsweise ohne aufwendige mechanische Messungen wie zum Beispiel der Membranauslenkung oder des Schalldruckes und möglichst ohne künstliche Messbedingungen auskommen.

Diese Aufgabe wird durch ein Verfahren mit den Merkmalen des Anspru ches 1 gelöst.

Das adaptive Verfahren zur Bestimmung der Lautsprecherparameter ent hält demnach folgende Schritte:

a) Messung der Verläufe der Eingangsspannung u_e und des Schwings pulenstromes i_m des Lautsprechers,
b) Berechnung eines zur gemessenen Eingangsspannung u_e gehören den simulierten Schwingspulenstromes i_s mit Hilfe eines elektrischen Netzwerkmodells mit veränderlichen Parametern α,
c) Adaptation der veränderlichen Parameter α des Netzwerkmodells zur Optimierung einer aus der Modellabweichung
e = i_m - i_s
gebildeten Kostenfunktion.

Die aus der Modellabweichung e gebildete Kostenfunktion ist dabei geeig net zu wählen, so dass ihre Optimierung zu einer Minimierung der Model labweichung führt. Im allgemeinen wird die Kostenfunktion positiv definit (bzw. negativ definit) sein und dementsprechend die Optimierung in einer Minimierung (bzw. Maximierung) bestehen. Das erfindungsgemäße Ver fahren verwendet als nachzubildende interne Variable des Lautsprechers den Schwingspulenstrom i_S. Diese Größe ist auch im realen Betrieb des Lautsprechers leicht zu ermitteln und zu überwachen. Aufwendige Mes sungen mechanischer Größen wie zum Beispiel der Membranauslenkung oder des Schalldruckes sind nicht erforderlich. Das Verfahren hat damit den Vorteil, dass es während des laufenden Betriebs des Lautsprechers in Echtzeit ausgeführt werden kann und somit die unverzügliche Erkennung von Parameteränderungen im Lautsprechersystem erlaubt.

Gemäß Anspruch 2 weist ein in obigem Verfahren vorzugsweise einge setztes elektrisches Netzwerkmodell die Serienschaltung folgender Ele mente auf:

a) eines Widerstandes R_e,
b) eines ersten Übertragers, der sekundärseitig durch eine Induktivi tät L_S abgeschlossen ist, und
c) eines zweiten Übertragers, der sekundärseitig die Parallelschaltung eines Widerstandes 1/r, eines Kondensators M und eines dritten Übertragers enthält, wobei der dritte Übertrager sekundärseitig durch eine Induktivität L_k abgeschlossen ist.

Es hat sich gezeigt, dass mit einem derartigen Modell alle wesentlichen elektrodynamischen und mechanischen Eigenschaften eines Laut sprechers abbildbar sind, wobei den Parametern des Netzwerkes eine dem Lautsprecher entsprechende physikalische Interpretation zukommt.

Nach Anspruch 3 wird vorzugsweise ein zeitdiskretes Netzwerkmodell verwendet, da sich derartige Modelle mit hoher Flexibilität auf bekannten Datenverarbeitungsgeräten (zum Beispiel Mikroprozessoren) berechnen lassen. Dabei kommt vorzugsweise ein zeitdiskretes Netzwerkmodell zur Anwendung, welches im Wege einer Wellendigitalrealisierung aus einem kontinuierlichen Netzwerkmodell, zum Beispiel einem Netzwerkmodell gemäß Anspruch 2, erhalten wird.

Die Adaptation der veränderlichen Parameter des Netzwerkmodells erfolgt gemäß Anspruch 4 vorzugsweise durch ein Gradientenverfahren. Ein der artiges Verfahren lässt sich einfach und mit bekannten Methoden durch führen und führt mit kontrollierbarer Sicherheit zur Auffindung eines (loka len) Optimums der Kostenfunktion.

Dabei werden gemäß Anspruch 5 vorzugsweise durch eine Vorvermes sung des Lautsprechers geeignete Startwerte für die Parameter des Netzwerkmodells ermittelt. Der Start des Netzwerkmodells mit möglichst nahe an den realen Parametern des Lautsprechers liegenden Parametern ist insbesondere bei solchen Optimierungsverfahren sinnvoll, welche ohne weitere Maßnahmen nur das dem Startwert nächstgelegene lokale Opti mum finden können. Letzteres ist zum Beispiel für das Gradientenverfah ren gemäß Anspruch 4 der Fall. Die genannte Vorvermessung des Laut sprechers ist dabei eine einmal durchzuführende Prozedur zur Initialisie rung des Netzwerkmodells, so dass das Netzwerkmodell im folgenden Betrieb keine weiteren aufwendigen mechanischen Messungen erfordert.

Die Kostenfunktion kann gemäß Anspruch 6 aus der quadrierten Model labweichung

e² = (i_m - i_s)²

gebildet werden, wobei diese Größe weiterhin vorzugsweise einer zeitli chen Mittelwertbildung oder einer Tiefpassfilterung (welche einen der Mit telwertbildung vergleichbaren Effekt hervorruft) unterworfen werden. Zeitli che Mittelwertbildungen haben den Vorteil, dass punktuelle Ausreißer der Modellabweichung ausgeglichen werden und dass das Adaptationsverfahren somit stabilisiert wird.

Kurze Beschreibung der Zeichnungen

Im folgenden wird das erfindungsgemäße Verfahren anhand eines Bei spiels mit Hilfe der Figuren ausführlich erläutert. Es zeigen:

Fig. 1 das Adaptationsprinzip;

Fig. 2 den schematischen Aufbau eines Lautsprechers;

Fig. 3 ein Koppelnetzwerk;

Fig. 4 detaillierter den Aufbau des Koppelnetzwerkes;

Fig. 5 ein Netzwerk zur Nachbildung der Steifigkeit;

Fig. 6 das äquivalente Netzwerk;

Fig. 7 die Nachbildung eines Übertragers mit Leistungswellen;

Fig. 8 den Signalflussgraph eines Leistungswellenadaptors;

Fig. 9 das Wellendigitalmodell des Lautsprechers;

Fig. 10 die schematische Impedanz eines Lautsprechers;

Fig. 11 den Impedanzverlauf nach Betrag und Phase;

Fig. 12 den Messaufbau zur Vorvermessung des Lautsprechers;

Fig. 13 den Betrag der gemessenen Impedanz;

Fig. 14 den Betrag der berechneten Impedanz;

Fig. 15 den Verlauf der Steifigkeit;

Fig. 16 den Verlauf des Kraftfaktors;

Fig. 17 den Verlauf der Schwingspuleninduktivität;

Fig. 18 die Bestimmung des Fehlersignals;

Fig. 19 das Tiefpassfilter zur Mittelwertbildung;

Fig. 20 die Bestimmung des Gradientensignals;

Fig. 21 den Verlauf des mittleren quadratischen Fehlers;

Fig. 22 den gemessenen und den simulierten Schwingspulenstrom;

Fig. 23 den gemessenen (dunkel) und simulierten (hell) Schwing spulenstrom;

Fig. 24 die gemessene (dunkel) und simulierte (hell) Auslenkung;

Fig. 25 die gemessene (dunkel) und simulierte (hell) Auslenkung.

Bester Weg zur Ausführung der Erfindung

Auf die grundsätzliche Notwendigkeit der Kenntnis und der Modellierung des Übertragungsverhaltens von Lautsprechern wurde eingangs bereits hingewiesen. Aufgrund von Parameterstreuungen innerhalb einer Produk tionsserie und Parameterveränderungen, die im realen Betrieb unvermeid lich durch Alterung, Temperaturänderungen und Einbau des Lautspre chers auftreten, besteht dabei insbesondere Bedarf für ein adaptives Ver fahren, so dass jeder Lautsprecher separat eingemessen werden kann bzw. die bereits ermittelten Parameter nachgeführt werden können. Zur Fehlersignalgewinnung sollte dabei vorzugsweise nicht eine aufwendige Auslenkungs- oder Schalldruckmessung erfolgen, sondern es ist vielmehr eine einfache Messung des Schwingspulenstroms anzustreben, der bei Signalen entsteht, die dem realen Betrieb nahe kommen (farbiges Rau schen) oder sogar reale Nutzsignale darstellen. Mit dem hier vorgestellten Verfahren ist es möglich, allein durch Messung des Schwingspulenstro mes eine Bestimmung der Parameter des Lautsprechers 10 zu erzielen (Fig. 1), indem während des Betriebes ein Fehlersignal e über einen Ad aptationsalgorithmus 12 zur Veränderung der Parameter eines parallel laufenden Lautsprechermodells 11 genutzt wird. Der Adaptationsalgorith mus sorgt dabei für die Minimierung einer noch zu definierenden Kosten funktion des Fehlersignals aus gemessenem und simulierten Schwings pulenstrom

e = i_m - i_s.

Wesentlicher Bestandteil des Verfahrens ist das verwendete Modell. Hier wurde eine wandlernahe Beschreibung in Form eines äquivalenten elektri schen Netzwerkes erarbeitet, die eine direkte physikalische Interpretation der auftretenden Parameter und Signale ermöglicht. Aufgrund der Nichtli nearität des Systems treten dabei sowohl auslenkungs- als auch stromab hängige Bauelemente auf. Das entstandene Netzwerk erfüllt dabei die Forderung nach Passivität, d. h., dass die gesamte im System gespei cherte oder umgesetzte Energie nicht größer als die von außen zugeführte sein darf, eine Eigenschaft, die der reale Lautsprecher offensichtlich auch erfüllt. Diese Passivität wird dadurch erzwungen, dass im Modell aus schließlich konkret passive Bauelemente Verwendung finden. Mit Hilfe einer Beschreibung des Netzwerkes durch sog. Leistungswellen lässt sich eine zeitdiskrete Nachbildung desselben, eine sog. Wellendigitalrealisie rung, angeben, die im Vergleich zu anderen Modellierungen einige positi ve Eigenschaften aufweist. Zum einen erhält diese Wellendigitalbeschrei bung die Passivität des Netzwerkes, so dass die Stabilität der zeitdiskre ten Realisierung sogar unter Berücksichtigung von Wortlängenbegrenzun gen und Rundungs- bzw. Überlaufoperationen, wie sie in digitalen Syste men unvermeidbar sind, gewährleistet werden kann. Durch die Verwen dung der Leistungswellen als Signalgrößen wird die Stabilität auch dann nicht gefährdet, wenn, wie im vorliegenden Fall, die Bauteilparameter sich aufgrund von Auslenkungs- und Stromabhängigkeiten verändern. Gerade diese Eigenschaft macht die Wellendigitalrealisierung auch für eine Ad aptation interessant. Ein weiterer Vorteil der Wellendigitalrealisierung ist die Beibehaltung der wandlernahen Beschreibung, so dass auch hier noch eine Interpretation von Parametern und Signalen möglich ist. Erwähnenswert ist auch die Effizienz der Realisierung, da die Anzahl der Verzöge rungsglieder im wesentlichen durch die Ordnung des zu modellierenden Systems, also die Anzahl der Zustandsspeicher bestimmt wird, was bspw. bei Volterra-Reihenentwicklung oder neuronalen Netzen nicht der Fall ist und somit diese Modellierungen für Echtzeitanwendungen ausscheiden lässt. Der weitere wichtige Bestandteil des hier erläuterten Verfahrens ist der verwendete Adaptationsalgorithmus. Um eine möglichst schnelle Kon vergenz zu erzielen, wird hier ein Gradientenverfahren verwendet. Auf grund der Nichtlinearität des Systems kann dabei natürlich das Auffinden eines globalen Minimums der Kostenfunktion nicht garantiert werden. Durch Suche nach sinnvollen Startwerten für die Adaptation lässt sich die ses Problem jedoch umgehen. D. h., durch eine Vorabmessung des Laut sprechers durch ein Online-Verfahren werden diese Startwerte zunächst ermittelt, wobei sich die Vermessung eines Exemplars einer Baureihe als ausreichend erwiesen hat. Die endgültige Einmessung auf den tatsächli chen Lautsprecher in Form der beschriebenen Schwingspulen strommessung und gleichzeitigen Adaptation der Parameter liefert dann in Echtzeit eine Schätzung der Lautsprecherparameter, die zum einen pro duktionstechnisch bedingte Streuungen innerhalb einer Baureihe und zum anderen betriebsbedingte Parameterveränderungen berücksichtigt. Die wesentlichen Bestandteile des Verfahrens

- elektrisches Netzwerkmodell
- zeitdiskretes Modell
- Startwertermittlung
- Adaptationsalgorithmus

werden im Folgenden eingehend erläutert.

Modellierung des Verhaltens von Lautsprechern im Tieftonbereich

Das beschriebene Verfahren wurde bisher auf Lautsprecher angewandt, die nach dem elektrodynamischen Prinzip arbeiten. Derartige Lautspre cher (Fig. 2) bestehen im wesentlichen aus einer mechanisch aufge hängten Membran 20, die neben einer geringen Masse eine hohe innere Steifigkeit aufweist. Über diese Membran sollen mechanische Schwingun gen (im Sinne eines idealen Kolbenstrahlers) auf die umgebende Luft übertragen werden. Die Aufhängung 21, die wesentlich die mechanische Reibung und die Steifigkeit des Lautsprechers bestimmt, wird durch die von außen sichtbare Sicke und die weiter innenliegende Zentrierung ge bildet, die jeweils mit dem möglichst stabilen Lautsprecherkorb verbunden sind.

Mit der Membran ist ein zylindrischer nichtmagnetischer Schwing spulenträger starr gekoppelt, auf den ein Kupferdraht evtl. mehrlagig ge wickelt wird, der so die Schwingspule 23 bildet. Diese Schwingspule be findet sich im Luftspalt 24 eines Permanentmagneten 22. Durch die Geo metrie der Anordnung entsteht im Luftspalt ein radial gerichtetes Magnet feld, so dass die Feldlinien (im homogenen Teil des Magnetfeldes) senk recht auf den Windungen der Schwingspule stehen. In Folge einer an den Anschlussklemmen eingeprägten elektrischen Spannung u_e wird durch den entstehenden Stromfluss durch die Spule eine Lorentz-Kraft erzeugt, die die Membran in axialer Richtung antreibt, so dass eine Auslenkung x entsteht. Wie aus Fig. 2 ersichtlich ist, soll eine Auslenkung aus der Ru helage vom Permanentmagnet weg positiv gezählt werden. Diese Mem branbewegung überträgt sich auf die umgebende Luft, wobei das Ab strahlverhalten durch eine akustische Impedanz beschrieben werden kann. Da hier nur das elektrische und mechanische Verhalten näher un tersucht werden soll, bleibt die Ankopplung an den akustischen Raum zu nächst unberücksichtigt.

Zur Herleitung eines äquivalenten Netzwerkmodells, das eine Beschrei bung des Verhaltens eines derartigen Lautsprechers im Tieftonbereich zulässt, wird zunächst eine energetische Betrachtung des Gesamtsystems durchgeführt. Aus der Energieerhaltung folgt, dass die Änderung der im System gespeicherten mechanischen W_mech und magnetischen Energie W_magn gleich der von außen über die Anschlussklemmen zugeführten elektrischen Leistung ist, wenn zusätzlich die ohmschen Verluste auf der elektrischen Seite und die Reibungsverluste auf der mechanischen Seite berücksichtigt werden:

(1)

Dabei ist R_e der Gleichstromwiderstand der Schwingspule, auf die mecha nisch die Reibungskraft F_r = r bei einer Geschwindigkeit v = wirkt.

Um eine Verbindung zwischen den elektrischen Größen Spannung u und Strom i und den mechanischen Größen Geschwindigkeit und Kraft auf die Membran F herzustellen, ist ein geeignetes Koppelnetzwerk N (Fig. 3) zu suchen, das zum einen ein Element zur Speicherung der ma gnetischen Energie der Schwingspule enthält. Somit lässt sich die Forde rung nach Energiehaltung durch die Gleichung

dW_magn = uidt - Fdx (2)

erfüllen. Die gespeicherte Energie beschreibt man durch

und gewährleistet damit, dass diese eine positiv semidefinite Form des Stromes und des Ortes ist wegen

W_magn(x, 0) = 0 und W_magn(x, i) < 0 ∍ i ≠ 0. (4)

Die dabei auftretende Größe L(x; i) wird auf Grund ihrer Definition über die Energie auch als energetische Induktivität bezeichnet. Die Ortsabhängig keit dieser Größe rührt daher, dass bei der Bewegung der Spule sich im mer nur ein Teil derselben im Polschuh befindet, wodurch andersherum betrachtet ein zylindrischer (Eisen-)Körper in die Spule hinein bzw. wieder aus ihr herausbewegt wird. Durch die Stromabhängigkeit lassen sich ggf. auftretende Magnetisierungseffekte berücksichtigen.

Aus der durch Gl. (3) beschriebenen Energie ergibt sich

Zum anderen muss mit dem Koppelnetzwerk für die Erhaltung des Induk tionsgesetzes Sorge getragen werden, da durch die Bewegung eines Lei ters im Magnetfeld eine Spannung induziert wird. Dabei wird zunächst der gesamte die Schwingspule durchsetzende magnetische Fluss Φ(x; i) als sowohl orts- als auch stromabhängig zugelassen. Demnach kann das In duktionsgesetz durch die Gleichung

formuliert werden. Setzt man die Induktionsspannung (6) in Gl. (2) ein, so ergibt sich

Durch Vergleich von (5) und (7) erhält man

wodurch die Übertragung des Stromes auf die Kraft beschrieben werden kann. Der Vergleich liefert aber auch

als Beziehung zwischen Fluss und energetischer Induktivität. Setzt man die beiden Beziehung (9) (nach ∂Φ/∂x aufgelöst) und (10) nun wieder in Gl. (6) ein, so ergibt sich die Spannung

die sich auch als

(12)

mit

schreiben lässt. Die gewonnene Gleichung (12) lässt sich nun als Serien schaltung zweier Übertrager interpretieren, wie sie in Fig. 4 dargestellt ist. Während der erste Übertrager mit dem Übersetzungsverhältnis n_L(x; i) : 1 sekundärseitig mit einer linearen Induktivität L_S abgeschlossen ist, und somit zur Speicherung der Energie W_magn dient, beschreibt der andere mit dem Übersetzungsverhältnis m(x; i) : 1 die Kraftkopplung Gl. (8).

Die bisherigen Zusammenhänge lassen sich noch detaillierter darstellen, wenn man den magnetischen Fluss Φ(x; i) aufteilt in

ϕ(x, i) = ϕ_P(x) + ϕ_S(x, i), (16)

wobei Φ_P(x) dem durch den Permanentmagneten erzeugten Anteil ent spricht. Diesem wird additiv ein orts- und stromabhängiger Anteil Φ_S(x; i) überlagert, der von der stromdurchflossenen Schwingspule herrührt. Mit Gleichung (10) folgt dann

so dass sich als Zusammenhang zwischen dem Fluss Φ_S(x; i) und der In duktivität L(x; i)

angeben lässt, wenn man Φ_S(x; 0) = 0 annimmt, d. h. nur ein Stromfluss durch die Schwingspule erzeugt den zusätzlichen Fluss Φ_S. Dann gilt für die Übertragung des Stromes auf die Kraft

wobei die nun auftretenden Größen direkt anschaulich interpretiert werden können. Der erste Term zur Beschreibung des Permanentmagnet einflusses wird in der Literatur als Kraftfaktor bezeichnet. Er ergibt sich als Produkt aus magnetischer Induktion B und wirksamer Leiterlänge l, das zusammengefasst mit Bl(x) abgekürzt wird. Da der Übertragungsfaktor m(x; i) zur Gewinnung der Kraft auf der mechanischen Seite mit dem Strom i zu multiplizieren ist, lässt sich das Produkt Bl(x)i mit der resultie renden Lorentz-Kraft identifizieren. Der zweite Anteil der Kraft

wird als Reluktanzkraft bezeichnet und ist anschaulich als aus der Ände rung der magnetischen Energie resultierende Kraft zu interpretieren. Be trachtet man nun noch den Sonderfall, dass der durch die Schwingspule erzeugte Fluss ebenfalls nur orts- und nicht mehr stromabhängig ist, so vereinfacht sich die Reluktanzkraft zu

Bisher wird diese Reluktanzkraft in der Literatur durch Einfügen einer ge steuerten Stromquelle auf der mechanischen Seite berücksichtigt.

Damit ist die Beschreibung der Kopplung zwischen elektrischer und me chanischer Seite vollständig.

Beschränkt man sich im Weiteren auf die mechanische Seite, so sind bei einer energetischen Betrachtung sowohl die in der schwingenden Masse (Membran, Schwingspule, Schwingspulenträger, Teile der Aufhängung etc.) M gespeicherte kinetische Energie als auch die aus der Steifigkeit der Aufhängung (Zentrierung, Sicke) resultierende Verformungsenergie zu

berücksichtigen

(22)

Für einen großen Arbeitsbereich lässt sich aber kein lineares Kraft-Weg- Gesetz zur Beschreibung der Rückstellkraft angeben, so dass diese in der Form

F_k(x) = k(x)x (23)

zu berücksichtigen ist. Um die mechanische Seite durch ein Netzwerk nachbilden zu können, ist auch hier wieder nach passiven Teilnetzwerken zu suchen. Dazu sei das Eintor aus Fig. 5 betrachtet, an dessen Eingang die Membrangeschwindigkeit (als Spannung) und die Rückstellkraft F_k (als Strom) liegen. Durch den ersten Übertrager mit dem Übersetzungs verhältnis 1 : k(x) ist der sekundärseitige Strom identisch mit der Auslen kung x. Ähnlich wie bei der Induktivität soll auch hier wieder die gespei cherte Energie in der Form

darstellbar sein, was durch den zweiten Übertrager mit dem Überset zungsverhältnis

und der sekundärseitig an diesen zweiten Übertrager angeschlossenen linearen Induktivität L_k gewährleistet wird. Beide Übertrager lassen sich natürlich zu einem mit dem Übersetzungsverhältnis

zusammenfassen. Das so gewonnene Übertragehrmodell beschreibt den korrekten Zusammenhang zwischen der Kraft F_k und der gespeicherten Verformungsenergie. Auch hier wird vielfach in der Literatur lediglich eine auslenkungsabhängige Induktivität angesetzt. Durch die Wahl der Torgrö ßen lässt sich dann die Speicherung der kinetischen Energie durch eine Kapazität der Größe M bewerkstelligen, auf die die Kraft

(27)

wirkt. Berücksichtigt man noch die Reibungsverluste durch eine Reibungs kraft

F_r = r, (28)

was durch einen Widerstand der Größe 1/r nachgebildet werden kann, so ergibt sich zur Nachbildung der mechanischen Seite die Parallelschaltung dieser drei Elemente, da die eingekoppelte Kraft F gleich der Summe die ser drei mechanischen Teilkräfte

F = F_k(x) + F_M + F_r (29)

sein muss. Insgesamt ergibt sich dann ein äquivalentes Netzwerk zur Be schreibung des Verhaltens nichtlinearer Tieftonlautsprecher, wie es in Fig. 6 angegeben ist. Eingangsseitig wird dabei über eine ideale Span nungsquelle das Signal u_e eingekoppelt. Darüber hinaus werden die ohm schen Verluste durch den Gleichstromwiderstand der Schwingspule R_e berücksichtigt.

Ausgehend von den bisherigen Betrachtungen lässt sich nun ein System von gekoppelten Differentialgleichungen aufstellen, indem man die Span nungssumme auf der elektrischen und die Kraft-(Strom-)Summe auf der mechanischen Seite bildet, so dass sich mit den Gln. (12) bzw. (13 + 14), (29) und (8) insgesamt

ergibt.

Das hier hergeleitete Netzwerkmodell besitzt gegenüber bisher bekannten Modellen den wesentlichen Vorteil, dass es aus konkret passiven Ele menten besteht, d. h., jedes einzelne Bauteil verhält sich passiv. Die Posi tivität der Bauteilwerte sichert damit die Passivität des Gesamtnetzwerkes. Bei den bisher bekannten Netzwerkmodellen kann die Passivität nicht ga rantiert werden, da zur Beschreibung der auch hier berücksichtigten Ef fekte gesteuerte Quellen eingefügt werden mussten.

Zeitdiskrete Modellierung Leistungswellen

Als Leistungswellen bezeichnet man die Verknüpfungen zwischen der Spannung u und dem Strom i an einem Tor mit dem positiven Torwider stand R der Form

wobei mit a, wie gewohnt, die einfallende und b die reflektierte Welle be zeichnet wird. Die Nachbildung der Bauelemente Kapazität und Induktivi tät ändert sich hierdurch im Vergleich zur Verwendung von Spannungs wellen nicht (Fettwels, A.: Wave digital Filters: Theory and Practice, Proceedings of the IEEE, Bd. 74, Nr. 2, Februar 1986, S. 270-327). Die Realisierung einer widerstandsbehafteten Spannungsquelle unterscheidet sich von der Standardrealisierung lediglich durch eine Skalierung der Ein gangsspannung als einfallende Welle mit dem Faktor 1/2√R. Ein Übertra ger mit dem Übersetzungsverhältnis 1/n lässt sich mit Leistungswellen durch eine einfache Verbindung darstellen, wenn für die beiden Torwider stände die Beziehung R₂ = n² R₁ gilt, siehe Fig. 7.

Die Nachbildung des Verbindungsnetzwerkes geschieht nun wieder mit Adaptoren. Die Streumatrix S_S einer n-Tor-Serienschaltung lässt sich in der Form

S_S = 1 - γγ^T (34)

beschreiben, wenn 1 die Einheitsmatrix und γ den Vektor der Adaptor koeffizienten bezeichnet, dessen Elemente γ_i sich über

aus den Torwiderständen R_i berechnen lassen. Für einen n-Tor- Paralleladaptor ergibt sich die Streumatrix

S_P = -1 + γγ^T, (36)

wobei sich die Adaptorkoeffizienten hier zu

aus den Torleitwerten G_i ergeben. Die Passivität kann für beide Adaptoren gewährleistet werden, wenn für die Adaptorkoeffizienten jeweils

gilt. Anhand der Streumatrix wird auch deutlich, wie ein reflexionsfreies Tor erzielt werden kann. Wählt man also bei einem Serien- (Parallel-)Adaptor für das entsprechende Tor den Torwiderstand(-leitwert) gleich der Summe der anderen Torwiderstände(-leitwerte), so nimmt der Adaptorkoeffizient den Wert 1 an, und die reflektierte Welle ist unabhängig von der am selben Tor einfallenden. Die Realisierung der Streumatrix ei nes Serien- oder Paralleladaptors in Form eines Signalflussgraphen ist in Fig. 8 dargestellt, wobei σ = 1 für den Serienadaptor und σ = -1 für den Paralleladaptor zu wählen ist.

Wellendigitalrealisierung des Lautsprechermodells

Es soll nun das unter Verwendung von Leistungswellen entstandene Digitalmodell des Lautsprechers erläutert werden, wie es in Fig. 9 darge stellt ist.

Es beinhaltet zwei Adaptoren, wovon der erste die Serienschaltung der elektrischen Eingangsseite repräsentiert, während der zweite die Parallel schaltung auf der mechanischen Seite nachbildet, so dass man an den zugehörigen Toren die Nachbildung der Steifigkeit in Form einer Indukti vität, der Masse in Form einer Kapazität und der Reibung mittels eines Widerstandes wiederfindet. Sämtliche Übertrager benötigen durch die spezielle Wahl der Torwiderstände keine separaten Realisierungen. Im einzelnen sind die Torwiderstände dann wie folgt zu wählen. Für die Schwingspuleninduktivität ist

wobei T_a wie üblich die Betriebsperiode bezeichnet. Durch Wahl von

R_S = R_e + R_L (40)

erhält man das zur Verbindung mit dem Paralleladaptor notwendige refle xionsfreie Tor. Den Übertrager zur Kraftkopplung berücksichtigt man durch den Torwiderstand

und wählt die verbleibenden Torwiderstände zu

Mit den Gleichungen (35) und (37) lassen sich dann die notwendigen Ad aptorkoeffizienten bestimmen. Mit den Gleichungen (32) lassen sich an jedem Tor Spannung und Strom gemäß

wiedergewinnen. Um nun die auslenkungs- und stromabhängigen Über setzungsverhältnisse der nichtlinearen Übertrager bestimmen zu können, nutzt man diese Möglichkeit und berechnet zusätzlich zum Signalfluss die Auslenkung x und den Schwingspulenstrom i, darüber hinaus aber auch die Membrangeschwindigkeit

sowie die Membranbeschleunigung , so dass alle interessierenden Signale simuliert werden können. Die dafür be nötigten Koeffizienten lauten

wobei sich das Minuszeichen aus der Spannungsorientierung am Seri enadaptor ergibt. Die mit einem Balken versehenen Größen sind dabei als normiert und damit dimensionslos zu verstehen, d. h., sämtliche Wider stände sind mit R_i = R_i/1 Ω zu berücksichtigen und für die Masse gilt M = M/1 kg bzw. für die Steife k = k/1(Nm). Diese Signale lassen sich jedoch erst berechnen, wenn der gesamte Signalfluss bereits abgearbeitet wurde. Um nun zu Beginn eines Zeittaktes die Übersetzungsverhältnisse bestimmen zu können, verwendet man jeweils die im Vortakt berechneten Werte und lässt damit natürlich einen Fehler zu. Bei ausreichend hoher Betriebsrate lässt sich diese Näherung aber durchaus rechtfertigen.

Parameterbestimmung

Um das reale Verhaften des Lautsprechers simulieren zu können, wird ein Verfahren vorgeschlagen, mit dem sich die für das Modell notwendigen Parameter bestimmen lassen. Dabei entsteht ein zweistufiges Parameter schätzverfahren, bei dem in der ersten Stufe zunächst Startwerte für das in der zweiten Stufe folgende adaptive Verfahren ermittelt werden. Diese Startwertermittlung soll hier unter Verwendung eines kleineren Lautspre chers beispielhaft erläutert werden. Als Ergebnis von Messungen konnte festgestellt werden, dass schon die Startwerte bei Vermessung von sechs baugleichen Lautsprechern so stark streuen, dass sich die Notwendigkeit für ein Verfahren ergibt, mit dem sich jeder Lautsprecher separat einmes sen lässt. Dieses adaptive Verfahren wird im zweiten Abschnitt vorgestellt.

Startwertermittlung Linearisierung im Arbeitspunkt

Zur Startwertermittlung soll hier nun zunächst ein Weg vorgestellt werden, der vom äquivalenten Netzwerkmodell ausgeht. Wenn man unter der An nahme einer konstanten Auslenkung x_a die mechanischen Bauteile auf die elektrische Seite des Übertragers zur Kraftkopplung bringt, so gelangt man zu einer schematischen Darstellung der Lautsprecherimpedanz (Fig. 10). Es sei noch einmal daraufhingewiesen, dass dieses Netzwerk nur dann in einem Arbeitspunkt Gültigkeit besitzt, wenn signalbedingte Änderungen der Auslenkung um diesen Arbeitspunkt x_a so gering sind, dass die aus lenkungsabhängigen Bauelemente als konstant angesehen werden kön nen. Dabei gilt für die auftretenden Bauteilgrößen

so dass sich für eine feste Auslenkung x_a rein formal die Impedanz dieses Netzwerkes zu

berechnen lässt, wenn R_e der Gleichstromwiderstand und L_e(x_a) die Induk tivität der Schwingspule, Bl(x_a) der Kraftfaktor, M die schwingende Masse, k(x_a) die Steifigkeit und r die Reibung der mechanischen Aufhängung ist.

Somit wird der Lautsprecher in jedem Arbeitspunkt durch sein lineares Modell angenähert. Fig. 11 zeigt einen typischen Verlauf der Impedanz des hier betrachteten Lautsprechers getrennt nach Betrag und Phase. Deutlich zu erkennen ist die Resonanzstelle um f_res = √k/M/(2π), wobei dieser Frequenzbereich auch schon zur Bestimmung der Thiele-Small- Parameter (R. H. Small: Closed-Box Loudspeaker Systems, Part I: Analy sis, Journal of the Audio Engineering Society, Bd. 20, Dezember 1972, S. 798-808) genutzt wird, da sich hier die wesentlichen Parameter eines gedämpften mechanischen Schwingsystems 2. Ordnung, wie es beim Lautsprecher vorliegt, im Verlauf der Impedanz wiederspiegeln. Der An stieg des Betrages der Impedanz bei hohen Frequenzen ist auf die Schwingspuleninduktivität zurückzuführen.

Durch zusätzliche Einspeisung eines Gleichstromes wird nun am Laut sprecher eine konstante Auslenkung x_a erzeugt und damit ein Arbeitspunkt eingestellt. In Fig. 12 ist der prinzipielle Messaufbau zu sehen, in dem über die Gleichspannungsquelle diese konstante Vorauslenkung einge stellt werden kann. Die Induktivität L dient dazu, das Messsignal von der Spannungsquelle abzutrennen. Dazu muss ihr Wert möglichst groß sein, was durch Verwendung einer Rolle aufgewickelten, lackierten Kupfer drahtes ausreichenden Durchmessers gewährleistet wird. Ihr Einfluss konnte durch separate Messung im Nachhinein wieder herausgerechnet werden. Mit Hilfe eines nach dem Triangulationsverfahren arbeitenden Lasermessgerätes wird die Auslenkung x bzw. der Ort der Membran be rührungslos gemessen, so dass das Schwingverhalten hierdurch nicht be einträchtigt wird. Die Impedanzmessungen in jedem Arbeitspunkt sind mit dem digitalen System-Analysator DSA 2.1 durchgeführt worden, wobei durch Verwendung eines Messverstärkers MV und Wahl eines Vorwider standes von R_v = 1 kΩ der durch das Messsignal hervorgerufene Schwingspulenstrom soweit begrenzt wurde, dass ein Kompromiss zwi schen minimaler Auslenkung um den Arbeitspunkt und Auflösungsgenau igkeit des Messsystems erzielt werden konnte. Die während der Impe danzmessung zusätzliche Auslenkung durch das Messsignal war dann mit dem Lasermessgerät nicht mehr feststellbar. Damit ist die Anforderung an das Messverfahren, dass sich die Parameter durch die Messung in einem Arbeitspunkt nicht mehr unter dem Einfluss des Messsignals ändern, ge währleistet. Die Referenzmessung der Spannung u₁ und die tatsächliche Messung der Spannung u₂ wurden über einen Trennverstärker TV zur Gleichanteilauskopplung dem Messsystem DSA 2.1 zugeführt, welches unter Kenntnis des Vorwiderstandes R_v den Impedanzverlauf berechnete. Als Arbeitspunkt wurde alternierend eine positive und eine negative Aus lenkung gewählt, um Hystereseeffekte zu vermeiden. Bei der Einstellung des Arbeitspunktes konnte mit dem Lasermessgerät ein mit dem Auge nicht zu beobachtender Kriecheffekt festgestellt werden, der sich darin zeigt, dass die Auslenkung der Membran zunächst sprungartig steigt, die resultierende Ruhelage dann aber mit einer Zeitkonstanten von mehreren Sekunden erreicht wird. Diese vermutlich viskoelastischen Effekte der Membranaufhängung sind bisher nicht Bestandteil der Modellierung und werden daher auch nicht weiter berücksichtigt. Allerdings erschweren und verlängern diese Effekte den Messablauf. Problematisch sind bei diesem Messverfahren Auslenkungen ≧ ±2 mm, da hierfür hohe Schwingspulen ströme notwendig sind, die evtl. Einfluss auf das Schwingspulensystem haben könnten (Erwärmung, Magnetisierungseffekte).

Trägt man nun die für verschiedene Auslenkungen gemessenen Impe danzverläufe über dem Ort und der Frequenz dem Betrage nach auf, so gelangt man zu einer Darstellung gemäß Fig. 13. Unterhalb sind in der x- f-Ebene die Konturlinien wiederzufinden. Positive Auslenkungen bedeuten hier eine Bewegung "nach außen", also vom Permanentmagnet weg. Deutlich zu erkennen ist die Veränderung im Resonanzbereich, was so wohl die Frequenzlage (siehe Konturdarstellung) als auch die Höhe des Resonanzmaximums anbelangt. Insbesondere fällt schon hier auf, dass keine Symmetrie um die Ruhelage herum herrscht. Diese Unsymmetrie konnte auch schon während der Messungen festgestellt werden, da für negative Auslenkungen ein höherer Konstantstrom als zur Erzielung der gleichen positiven Auslenkung nötig war. Die Einbrüche um 250 Hz sind auf Netzstörungen zurückzuführen. Für den gemessenen Lautsprecher wurde zunächst zusätzlich mit Hilfe des DSA 2.1 eine Thiele-Small- Parametermessung mit möglichst geringer Aussteuerung durchgeführt, um Schätzwerte für die linearen Parameter zu bekommen. Insbesondere lie ferte eine Impedanzmessung mit Zusatzmasse auf der Membran aufgrund der resultierenden Resonanzverschiebung einen Schätzwert für die schwingende Masse M. Ebenso wurde die Reibung r und der Schwings pulenwiderstand R_e separat bestimmt, so dass sich die Werte

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ergaben. Dann sind jeweils noch die drei Parameter Steifigkeit k, Kraft faktor Bl und Schwingspuleninduktivität L_e für jede Auslenkung zu bestim men. Dazu wurde die Impedanzfunktion (47) unter MATLAB^TM in eine Op timierungsroutine eingebunden, die durch Minimierung einer Funktion des Fehlers zwischen gemessenem und berechnetem Betrag der Impedanz für jede Auslenkung jeweils diese drei Parameter bestimmt. Zur Kontrolle wurde für den Lautsprecher, dessen gemessene Impedanz in Fig. 13 bereits dem Betrage nach grafisch angegeben wurden, mit den geschätz ten Parametern für jede Auslenkung noch einmal die Impedanz berechnet und deren Betrag in Fig. 14 dargestellt. Dabei sind lediglich geringfügige Abweichungen für große Auslenkungen festzustellen. Damit erhält man für den betrachteten Lautsprecher das Verhalten der Parameter in Abhängigkeit von jedem Arbeitspunkt bzw. jeder Auslenkung. Betrachtet sei zu nächst das Verhalten der Steifigkeit k(x), wie es in Fig. 15 wiedergege ben wird. Aufgetragen sind jeweils die geschätzten Werte (*) und kontinu ierliche Approximation (durchgezogen) für die Schätzwerte, die weiter un ten noch erläutert werden.

Hier spiegelt sich die schon erwähnte Unsymmetrie des Impedanzverlau fes wieder, was aber auch physikalisch interpretierbar ist, da die Reso nanzfrequenz von der Steifigkeit abhängt, wenn man die schwingende Masse als konstant annimmt. Das Minimum der Steifigkeit liegt bei positi ven Auslenkungen von etwa 0,5 mm, während sie für negative Auslen kungen stark ansteigt.

Betrachtet sei als nächstes das Verhalten des Kraftfaktors Bl(x), wie es in Fig. 16 aufgetragen ist. Dieser weist eine leichte Unsymmetrie zu negati ven Auslenkungen hin auf und fällt ansonsten in beide Richtungen ab, was auch den Erwartungen entspricht, da im Luftspalt die größte Flussdichte herrscht und diese an den Rändern abfällt. Insgesamt ist allerdings die relative Veränderung des Kraftfaktors für die betrachteten Auslenkungen nicht so stark, wie es bei der Steifigkeit der Fall war.

Eine etwas schwächere Auslenkungsabhängigkeit ergibt sich für die Schwingspuleninduktivität, wie aus Fig. 17 ersichtlich ist. Da nur ein ein geschränkter Frequenzbereich zur Bestimmung derselben betrachtet wur de, fällt dieser Wert um einen Faktor 2-3 größer aus als bei sonst üblichen Messungen über einen größeren Frequenzbereich.

Um die gewonnenen Ergebnisse im Lautsprechermodell nutzen zu kön nen, müssen die Auslenkungsabhängigkeiten durch Funktionen des Ortes angenähert werden.

Bisher wurden, wie in der Literatur üblich, hierzu Parabelnäherungen ge nutzt, die aber für große Auslenkungen das reale Verhalten nur schlecht oder sogar ungünstig beschreiben. Bspw. ließ sich der Kraftfaktor nur für kleine Auslenkungen durch eine nach unten geöffnete Parabel beschrei ben, was zur Folge hatte, dass dieser für große Auslenkungen unsinni gerweise negative Werte annehmen konnte. Tatsächlich erscheint es aber physikalisch sinnvoll, dass der Kraftfaktor von seinem maximalen Wert ausgehend für große Auslenkungen immer langsamer abnimmt, bzw. sich asymptotisch dem Wert Null nähert. Als mögliche Funktion hierfür wurde

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gewählt, wobei X_0b eine mögliche Unsymmetrie und b₀ den maximalen Wert des Kraftfaktors darstellen. Für die Schwingspuleninduktivität wurde neben einer Parabel auch ein Polynom 3. Ordnung zugelassen. Der Grund hierfür liegt in der physikalischen Motivation, dass die Schwings pule für die maximale negative Auslenkung sich komplett auf dem Polkern befindet und somit einen Maximalwert annimmt. Bewegt sich nun die Spule in Richtung Ruhelage und darüber hinweg, so wird die Selbstinduk tivität irgendwann bis zu einem möglichen Minimalwert abnehmen, da die Spule bis zur maximalen positiven Auslenkung immer weiter über den Pol kern herausragt. So soll als mögliche Approximation dieses Verhaltens

L(x) = l₀ + l₁x + l₂x² + l₃x³ (50)

zugelassen werden. Ggf. reicht die Näherung l₃ = 0 jedoch aus. Für die Steifigkeit verwendet man eine einfache Parabelnäherung

k(x) = k₀ + k₁x + k₂x², (51)

da somit bisher die Unsymmetrie und der progressive Anstieg bei zuneh mender Auslenkung ausreichend beschrieben werden konnten. Diese Auslenkungsabhängigkeiten sind als Funktionsverläufe in den Fig. 15, 16 und 17 als durchgezogene Kennlinien mit aufgetragen.

Adaptive Parameterschätzung

Die oben ermittelten Auslenkungsabhängigkeiten dienen nun als Startwert für das folgende Adaptationsverfahren, d. h. die Kennlinien werden in das oben vorgestellte WD-Modell implementiert. Speist man nun das Modell und den realen Lautsprecher mit der gleichen Eingangsspannung U_e, so kann man über einen Serienwiderstand (in diesem Falle von 1 Ω) den realen Schwingspulenstrom i_m messen und durch Subtraktion des zugehö rigen simulierten Stromes i_s ein Fehlersignal

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bilden, wie es in Fig. 18 dargestellt ist. Ziel der Adaptation soll eine An passung des Modells 182 an den realen Lautsprecher 181 sein, so dass gefordert wird, dass der mittlere quadratische Fehler zwischen dem ge messenen und dem simulierten Schwingspulenstrom minimiert wird. Diese Anpassung wird dadurch erreicht, dass der mittlere quadratische Fehler zwischen dem gemessenen Strom im und dem durch Simulation be stimmten Strom i_s minimiert wird. Erfahrungsgemäß hat dann der Zustand des Lautsprechers (Schwingspulenstrom i, Membranauslenkung x und Membranbeschleunigung

) und der des WD-Modells 182 näherungswei se den gleichen zeitlichen Verlauf, so dass der Zustand des Lautsprechers mit Hilfe des Modells geschätzt werden kann. Neben einer Quadrierung wird daher noch eine Tiefpassfilterung (TP) des Fehlersignals durchge führt, so dass man mit ξ(k) einen Schätzwert für den mittleren quadrati schen Fehler E{e²(k)} erhält. Für die Adaptation des WD-Modells wird als Adaptationsalgorithmus das Verfahren des steilsten Abstiegs verwendet, nach dem der zu adaptierende Koeffizientenvektor α in jedem Zeitschritt in Richtung des negativen Gradienten des mittleren quadratischen Fehlers bezüglich des Koeffizientenvektors verändert wird, d. h. gemäß der Glei chung

α(k + 1) - α(k) - diag(µ)∇. (53)

Dabei ist der Gradient ∇, der seinerseits wiederum ein vektorwertiges Si gnal darstellt, als partielle Ableitung des mittleren quadratischen Fehlers ξ(k) nach dem Koeffizientenvektor über

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zu berechnen. Die tatsächliche Veränderung der Koeffizienten lässt sich über die Diagonalmatrix diag(µ) beeinflussen, so dass es möglich ist, für jeden Koeffizienten α_i eine separate Schrittweite µ_i vorzugeben. Es sei darauf hingewiesen, dass es sich hierbei nicht um ein LMS-Verfahren handelt, das als Schätzwert für den mittleren quadratischen Fehler den tatsächlichen Fehler e(k) verwendet. Damit hat das Fehlersignal aber di rekt Einfluss auf die Koeffizientenänderung, so dass zur Sicherung der Konvergenz eine sehr kleine Schrittweite µ_i gewählt werden muss. In vor liegenden Fall wirkt der geschätzte mittlere quadratische Fehler auf die Koeffizientenänderung, so dass die Schrittweite hier für jeden Koeffizien ten für eine schnellere Konvergenz angepasst werden kann.

Das Tiefpassfilter

Die Tiefpassfilterung liefert dabei eine aufwandsarme, gleitende Mittel wertbildung, die die Zwischenspeicherung und Berechnung langer Daten sätze erübrigt. Dabei wurde als mögliche Struktur ein Brückenwellendigi talfilter 1. Ordnung (Fig. 19) ausgewählt, bei dem sich die (3 dB-)Grenz frequenz ϕ_g = tan(πf_gT) über den Adaptorkoeffizienten γ_TP gemäß der Be ziehung

einstellen lässt. Bei einer Wahl von f₉ < 1 Hz konnten in der Praxis zufrie denstellende Ergebnisse erzielt werden, da das Fehlersignal nur noch un erheblich das Verhalten des Eingangssignals aufwies.

Das Gradientenfilter

Die Berechnung eines einzelnen Gradienten

soll durch die Bildung des Differenzenquotienten

approximiert werden. Die zugehörige Realisierung zur Gradientenbestim mung ist in Fig. 20 dargestellt, wobei das Eingangssignal u_e wie schon in Fig. 18 ebenfalls dem Lautsprecher zugeführt wird, so dass der Schwingspulenstrom im gemessen werden kann. Insgesamt ist also die ursprüngliche Fehlersignalberechnung (Fig. 18) für den zu adaptierenden Koeffizienten α_i zweimal auszuführen, und zwar einmal als System mit den Nominalkoeffizienten und einmal als System bei dem nur der betrachtete Koeffizient um Δα_i verändert wird. Soll das gesamte Gradientensignal ∇(k) also in jedem Zeittakt bestimmt werden, so müssen insgesamt für N zu bestimmende Koeffizienten (N + 1) Systeme, bestehend aus WD-Modell, Quadrierung und Tiefpassfilterung, realisiert werden. Dieser zunächst hoch erscheinende Rechenaufwand lässt sich jedoch bei Verwendung einer niedrigen Abtastrate vertreten, da zur Einmessung des Systems vor zugsweise ein farbiges Rauschssignal, dessen Bandbreite auf weinige hundert Hertz beschränkt ist, Verwendung findet.

Messergebnisse

Der Erfolg des vorgestellten Verfahrens soll nun anhand des hier vermes senen Lautsprechers dokumentiert werden. Als Eingangssignal wurde ein auf den Bereich 20-500 Hz bandbegrenztes Rauschssignal verwendet, dem ein zweites Rauschssignal im Frequenzbereich 50-150 Hz additiv überlagert wurde, so dass das System im Bereich der Resonanzfrequenz stark angeregt wird. Der Signalpegel wurde dabei so gewählt, dass der Lautsprecher Auslenkungen bis an die Grenzen des zulässigen Arbeitsbe reichs erzielt. Mit diesem ca. 15 s langen Signal wurde der Lautsprecher gespeist und der resultierende Schwingspulenstrom und zusätzlich die Membranauslenkung zur Kontrolle der Adaptationsergebnisse gemessen. Ausgehend von den oben ermittelten Startwerten wurde die Adaptation durchgeführt, bei der von der Möglichkeit Gebrauch gemacht wurde, für jeden Koeffizienten eine eigene Schrittweite µ_i einzustellen. Der Koeffizientenvektor α enthielt dabei alle im Modell auftretenden Bauteilwerte bis auf die schwingende Masse M, da diese über eine Thiele-Small- Parameterbestimmung mehrfach (mit verschiedenen Testmassen) be stimmt wurde. Aus den gekoppelten Differentialgleichungen (30, 31) wird allerdings auch deutlich, dass nicht alle Parameter gleichzeitig bestimmt werden können, da insbesondere Gleichung (31) für verschiedene Werte von M erfüllt werden kann. Anhand des in Fig. 21 aufgetragenen Fehler signals ξ(k) lässt sich die Wirkung der Koeffizientenadaptation ersehen.

Das Fehlersignal ξ(k) steigt zunächst entsprechend der beim Tiefpass TP eingestellten Grenzfrequenz 0,5 Hz zunächst an, so dass erst ab einer ausreichenden Größe des Fehlersignals wirksame Koeffizienten änderungen hervorgerufen werden und eine Minimierung des Fehler signals eintritt. Nach wenigen Sekunden ist dieser daher stark abgeklun gen und zeigt dabei das für Gradientenverfahren typische langsame Kon vergenzverhalten in der Nähe des Optimums. Betrachtet man nun den gemessenen Schwingspulenstrom i_m und den simulierten Schwingspulen strom i_s zu Beginn (Fig. 22) und am Ende (Fig. 23) der Adaptation, so ist zu erkennen, dass sich durch die Adaptation Messung und Simulation kaum noch unterscheiden.

Einen ähnlich positiven Effekt erzielt man bei Betrachtung der gemesse nen und simulierten Membranauslenkung (Fig. 24 und 25). D. h., ob wohl das Fehlersignal auf der "elektrischen" Seite gebildet wird, erzielt man die gleiche Verbesserung auf der "mechanischen" Seite. Dies ist ins besondere deshalb wichtig, als mit dem Simulationsmodell der Systemzu stand des Lautsprechers (Schwingspulenstrom, Membranauslenkung, Membranbeschleunigung) für das anschließende Kompensations verfahren verlässlich geschätzt werden können muss.

Zusammenfassend kann somit festgestellt werden, dass ein Verfahren vorgestellt wurde, das es ermöglicht, die linearen und nichtlinearen Para meter eines Lautsprechermodells über eine Adaptation zu bestimmen.

Dazu wurde zunächst ein Modell in Form eines äquivalenten elektrischen Netzwerkes entwickelt, das die wesentlichen Nichtlinearitäten in Form von auslenkungs- und stromgesteuerten Übertragern berücksichtigt. Eine zeit diskrete Nachbildung dieses passiven Netzwerkes mit Hilfe sog. Lei stungswellen liefert eine stabile Realisierung des Simulationsmodells, bei der die Stabilität auch im adaptiven Betrieb nicht gefährdet wird. Von die ser Eigenschaft wird Gebrauch gemacht, indem aus gemessenem und simulierten Schwingspulenstrom ein Fehlersignal gebildet wird und an schließend mittels eines Gradientenverfahrens die Parameter des Laut sprechermodells adaptiv so verändert werden, dass der mittlere quadrati sche Fehler zwischen diesen beiden Strömen minimiert wird. Für den Er folg des Gradientenverfahrens ist dabei eine Ermittlung von Startwerten sinnvoll, ansonsten müsste durch einen anderen bspw. genetischen Ad aptationsalgorithmus dafür Sorge getragen werden, dass ein globales Mi nimum der Fehlerfunktion angestrebt wird. Durch das Gradientenverfahren wird allerdings eine schnelle Konvergenz erzielt, die durch spezielle Wahl des Eingangssignals noch verbessert wird. Eine Adaptation anhand des realen Musiksignals ist jedoch auch möglich und bietet sich an, um die betriebsbedingten Parameterveränderungen (Alterung, Temperatur, Ein bau) während des Betriebes nachzuführen. Insgesamt steht somit ein Verfahren zur Verfügung, mit dem sich im realen Betrieb durch eine einfa che Strommessung die Lautsprecherparameter schätzen lassen.

Claims

1. Verfahren zur Bestimmung von Lautsprecherparametern, enthal tend folgende Schritte:

a) Messung der Verläufe der Eingangsspannung u_e und des Schwingspulenstromes i_m des Lautsprechers,
b) Berechnung eines zur gemessenen Eingangsspannung u_e gehörenden simulierten Schwingspulenstromes i_s mit Hilfe eines elektrischen Netzwerkmodells mit veränderlichen Parametern (α),
c) Adaptation der veränderlichen Parameter (α) des Netz werkmodells zur Optimierung einer aus der Modellabwei chung e = i_m - i_s gebildeten Kostenfunktion.

2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass das elektrische Netzwerkmodell ei ne Serienschaltung folgender Elemente enthält:

a) eines Widerstandes (R_e),
b) eines ersten Übertragers (u_S1), der sekundärseitig durch eine Induktivität (L_S) abgeschlossen ist, und
c) eines zweiten Übertragers (u_S2), der sekundärseitig die Parallelschaltung eines Widerstandes (1/r), eines Konden sators (M) und eines dritten Übertragers enthält, wobei der dritte Übertrager sekundärseitig durch eine Induktivität (L_k) abgeschlossen ist.

3. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, dass das Netzwerkmodell zeitdiskret realisiert ist, vorzugsweise durch Anwendung einer Wellendigital realisierung auf ein kontinuierliches Netzwerkmodell.

4. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, dass die Adaptation der veränderlichen Parameter des Netzwerkmodells durch ein Gradientenverfahren erfolgt.

5. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, dass durch eine Vorvermessung des Lautsprechers geeignete Startwerte für die Parameter des Netz werkmodells ermittelt werden.

6. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 5, dadurch gekennzeichnet, dass die Kostenfunktion aus der qua drierten Modellabweichung e² = (i_m - i_s)² gebildet wird, wobei vor zugsweise eine zeitliche Mittelwertbildung und/oder eine Tiefpass filterung nachgeschaltet wird.