KR20200101444A - 결상 시스템에 대한 광학 설계 방법 및 이로 설계된 광학 시스템 - Google Patents

Abstract

본 발명은 페르마의 원리로부터 도출되는 미분 방정식을 푸는 것에 의해 중심에 놓인 결상 시스템을 설계하는 방법을 제공한다. 이들 결상 시스템은 (이동가능한 또는 고정된) 구면 표면 또는 비구면 표면, 또는 이들의 조합의 시퀀스로 구성된다. 멱급수 해법은 공칭적으로 사라지는 선택된 수차 항의 개수와 동일한 미리 정의된 개수의 표면 파라미터를 계산할 수 있게 한다. 그에 부가하여, 본 방법은 임의의 광선이 각각의 개별 표면과 어디에서 교차하는지를 정확하게 기술할 수 있게 하는 매핑 함수 계수를 제공한다.

Description

결상 시스템에 대한 광학 설계 방법 및 이로 설계된 광학 시스템

본 발명은 일반적으로 결상 시스템의 광학 설계 방법의 분야에 관한 것이며, 광선 트레이스(ray trace) 관련 정보를 제공하는 광선 매핑 계수를 계산하는 것을 추가로 포함한, 광학 수차 계수를 보정 및/또는 계산하는 것 둘 다를 가능하게 하고, 본 방법을 수행하기 위한 소프트웨어에 관한 것이다. 본 방법은 구면, 비구면 또는 자유형(freeform) 표면을 결정하는 데 적합하다.

오늘날의 광학 설계는 효율적인 광선 추적 및 최적화 알고리즘의 소프트웨어 구현에 크게 의존한다. 광학 시스템의 상이한 파라미터들(예를 들어, 렌즈의 반경 및 위치)은 주어진 시야에 대한 상 품질을 측정하는 정의된 메리트 함수(merit function)를 최적화하도록 변경된다(D. P. Feder, “Automatic optical design,” Appl. Opt. 2, 1209-1226 (1963)). 이들 메리트 함수는 전형적으로 많은 국소 최소치로 "제멋대로"이며 국소적 또는 전역적 최적화 알고리즘이 우수한 해를 찾을 것이라는 보장이 없다. 따라서, 성공적이고 종종 사용되는 최적화 기반 광학 설계 전략은 (예를 들어, 특허 또는 간행물로부터) 잘 알려진 광학 시스템을 출발점으로서 선택하고 점진적 개선을 달성하는 것이다. 이러한 광학 설계 접근법은 상당한 경험, 추측 및 직관을 요구하며, 따라서 이는 때때로 "예술과 과학"이라고 지칭된다(Shannon, Robert R. “The art and science of optical design,” Cambridge University Press (1997)).

이러한 힘들고 종종 거의 재현하기 어려운 최적화 기반 광학 설계 절차를 용이하게 하거나 또는 극복하기 위해, 신속하고 최종적인 최적화를 위한 우수한 출발점을 찾기 위해 표면 또는 표면 계수의 결정론적 계산을 목표로 하는 다양한 광학 설계 접근법이 개발 및 제안되었다. 하나의 알려진 방법(및 관련 분석 방법)인, SMS(simultaneous multiple surfaces) 설계 방법은 다수의 표면 프로파일을 통해 상 평면에 완벽하게 결상되는 축상 필드 및 축외 필드의 이산 세트에 대한 일정한 광학 경로 길이 조건에 기초한다. (J. C. Mi

ano, P. Ben

tez, W. Lin, J. Infante, F. Mu

oz, and A. Santamar

a, "An application of the SMS method for imaging designs," Opt. Express 17, 24036-24044 (2009)). 결상된 필드의 개수는 전형적으로 표면의 개수와 동일하지만, 특수한 상황에서는 더 많을 수도 있다(P. Benitez, J. C. Mi

ano, M. Nikolic, J. Liu, J. Infante, F. Duerr, “Conditions for perfect focusing multiple point sources with the SMS design method” Proc. SPIE 9191, 919102 (2014)). 이들 방법은 계산될 수 있는 표면의 개수(현재 최대 6개)에 의해 제한되며, 더 많은 개수의 표면으로 가기 위한 용이한 확장성을 제공하지 않는다. (P. Benitez, J. C. Mi

ano, M. Nikolic, J. Liu, J. Infante, F. Duerr, “Conditions for perfect focusing multiple point sources with the SMS design method” Proc. SPIE 9191, 919102 (2014)). 관련 접근법이 레이저 빔 성형 시스템에 사용되었지만, 결상 시스템 설계에는 적용가능하지 않다(F. Duerr, H. Thienpont, “Optical Zoom System”, EP 3 147 697 A1). 게다가, 이들 직접 설계 방법은 초점 거리 또는 수차와 같은 통상적으로 사용되는 결상 광학계 개념 및 용어를 사용하지 않는다.

더 통상적이고 문헌으로부터 잘 알려진, 수차 이론이 결상 시스템에서 이상적인 포커싱으로부터의 광의 편차를 기술하고 정량화하는 데 사용될 수 있다. 현대 표현에서, 광선 수차

는 상 평면과의 편향된 교차점

를 시스템의 물체 변수 및 동공 변수에서의 급수 전개로서 기술한다. 특정 개수의 수차 계수를 소거할 수 있게 하는 몇 가지 개념 및 방법이 존재한다. 특정 수차가 없는 초기 설계를 계산하고 이어서 표준 최적화 기술에 의존하여 모든 수차들을 균형을 이루게 하며 최상의 전체적인 결상 성능을 달성하기 위해, 기본 아이디어는 항상 동일하다. 이러한 설계 전략은 널리 사용되고 매우 성공적이지만, 지금까지 몇몇 독특한 저차(low-order) 수차 항(aberration term)으로 제한되었다. 가우시안 또는 ABCD 행렬 광학계는 1차 수차만을 소거할 수 있게 한다(Shannon, R. R. “The art and science of optical design,” Cambridge University Press (1997)). 모든 차수들에 대해 구면 수차가 소거될 수 있는 방법이 또한 알려져 있다(J. C. Valencia-Estrada, R. B. Flores-Hern

ndez, D. Malacara-Hern

ndez, “Singlet lenses free of all orders of spherical aberration,” Proc. R. Soc. A 471, 20140608 (2015)). 1879년에 출판된 Abbe의 사인 조건(sine condition)은 물체 변수에 선형 의존성을 갖는 수차인 모든 차수의 코마(coma)를 소거하는 데 사용될 수 있다(M. Mansuripur, "Abbe's Sine Condition," Optics & Photonics News 9(2), 56-60 (1998)). 구면 수차와 코마 둘 다를 소거함으로써, 소위 무수차 시스템(aplanatic system)을 설계하는 것이 가능하다(Wassermann, G. D., and E. Wolf. "On the theory of aplanatic aspheric systems." Proceedings of the Physical Society. Section B 62.1 (1949)). Seidel의 공식은 하나의 표면에 대해 경사 광속(oblique pencil)과 주광선의 광학 경로 차이를 통해 3차 수차를 계산하는 데 사용될 수 있다(Shannon, R. R. “The art and science of optical design,” Cambridge University Press (1997)). Seidel의 공식은 3차 수차(의 일부)에 대해 보정된, 완전 구면(all-spherical) 2, 3 또는 4 요소 시스템에 대한 몇몇 닫힌 형태의 해(closed-form solution)를 도출하기 위해 사용되거나 변형되었다(D. Korsch, "Closed Form Solution for Three-Mirror Telescopes, Corrected for Spherical Aberration, Coma, Astigmatism, and Field Curvature," Appl. Opt. 11, 2986-2987 (1972), D. Korsch, "Closed-form solutions for imaging systems, corrected for third-order aberrations," J. Opt. Soc. Am. 63, 667-672 (1973), Rakich A, “Four-mirror anastigmats, part 1: a complete solution set for all-spherical telescopic systems,” Opt. Eng. 46(10), 103001 (2007)). G. Schulz는 5개의 단색 Seidel 수차가 전혀 없는 3개의 굴절면(2개의 비구면 및 1개의 구면)을 설계하는 방법을 보여주었다(G. Schulz, "Primary aberration-free imaging by three refracting surfaces," J. Opt. Soc. Am. 70, 1149-1152 (1980)). 동일 저자는 또한 4개의 렌즈로 구성된 2차 무수차 시스템을 설계할 수 있게 하는 점 방식(point wise) 연속 제작 방법을 개발하였다(G Schulz, “Higher order aplanatism,” Optics Communications 41, 315-319 (1982), Schulz, G. "Aberration-free imaging of large fields with thin pencils." Journal of Modern Optics 32, 1361-1371 (1985)). 중요하게도, 닫힌 형태의 비구면 기술(closed-form aspherical surface description)을 복구하기 위해, 획득된 점은 이어서 여전히 피팅되어야 한다. 가는 광선 다발을 추적하는 것에 기초하여, 이차 필드(quadratic field)-의존적 수차의 보정에 대한 기준이 도출되었다(Zhao C., and Burge J. H. "Criteria for correction of quadratic field-dependent aberrations." JOSA A 19, 2313-2321 (2002)). Hristov의 “Theory of Aberrations of Centered Optical Systems”은 Seidel의 수차를 소거하기 위해 구결 평면(sagittal plane) 및 자오 평면(tangential plane)에서의 등각 변환 및 행렬 변환과 구경 광선 세트에 대한 광학 축 영역에서의 근축 변환에 기초한다(Hristov, B.A. Optical Review 20, 395-419 (2013)).

줌 시스템의 경우에, 몇몇 가우시안/행렬 광학계 기반 설계 방법이 존재한다[예를 들어, Yeh M, Shiue S, Lu M, “Two-optical-component method for designing zoom system,” Opt. Eng. 34, 1826-1834 (1995), Park, SC. & Lee, “Paraxial design method based on an analytic calculation and its application to a three-group inner-focus zoom system,” Journal of the Korean Physical Society 64, 1671-1676 (2014), ] T. Kryszczy

ski and J. Mikucki, "Structural optical design of the complex multi-group zoom systems by means of matrix optics," Opt. Express 21, 19634-19647 (2013)]. 가우시안 광학계 및 Seidel의 공식은 이 공식을 각각의 개별 렌즈 모듈에 적용하여 줌 렌즈를 설계하는 데 사용되었다(Park S, Shannon R. R, “Zoom lens design using lens modules,” Opt. Eng. 35, 1668-1676 (1996)). 하나 초과의 파장이 고려되는 경우, 일차(primary)(파장, 필드 및 구경에 대한 선형 의존성) 종방향 및 횡방향 색수차를 보정하기 위한 공식이 존재한다(Shannon, R. R. “The art and science of optical design,” Cambridge University Press (1997)). 그러나 색수차에 대한 연구의 대부분은 렌즈 재료 조합을 올바르게 선택하는 방법을 다루고 있다[예를 들어, P. Hariharan, “Apochromatic lens combinations: a novel design approach,” Optics & Laser Technology 29, 217-219 (1997), B. F. Carneiro de Albuquerque, J. Sasian, F. Luis de Sousa, and A. Silva Montes, "Method of glass selection for color correction in optical system design," Opt. Express 20, 13592-13611 (2012), GE Wiese, F Dumont, “Refractive multispectral objective lens system and methods of selecting optical materials therefor,” US Patent 6,950,243 (2005), P Hariharan, “Superachromatic lens combinations,” Optics & Laser Technology 31, 115-118 (1999)].

방대한 수의 제안된 설계 방법에도 불구하고, 임의의 시스템에 대해 계산된 표면 계수의 개수와 동일한 개수의 수차 항을 소거할 수 있게 하는 어떠한 설계 방법도 없다. 지금까지, 표면의 개수는 하나의 제한 인자이며, 기존의 방법은 최대 6개의 완전 구면으로 구성된 시스템과 최대 3개의 비구면을 갖는 시스템에 대한 잠재력을 최대한 활용할 뿐이다. 일부 방법(예를 들어, ABCD 또는 Seidel의 공식)은 임의의 개수의 표면에 대해 작동하지만, 표면의 개수의 증가에 따라 스케일링되지 않는 고정된 양의 저차 수차를 제어할 수 있게만 한다. 게다가, 기존의 설계 방법 전부는, 공통으로, 전체 광학 시스템에 대해 부가 광선 추적을 수행하지 않고 광선이 각각의 개별 표면과 어디에서 교차하는지의 정보를 제공하지 않는다. 이 정보는 세 가지 주요 이유로 매우 중요하다. 첫째, 이 정보는 모든 광학 표면의 유효 구경(clear aperture)을 직접적으로 제공한다. 둘째, 표면 표현식과 함께, 이 정보는 전체 렌즈 시스템에 걸쳐 내부 전반사가 발생하지 않는다는 것을 즉각 확인할 수 있게 한다. 셋째, 두 번째 논거와 관련하여, 이 정보는 입사각을 추가로 평가할 수 있게 하며, 이는 광학 시스템의 공차와 관한 한 중요한 인자이다. 본 발명은 모든 표면에 대한 이러한 광선 교차점을 제공할 뿐만 아니라, 사용된 광학 표면의 개수에 따라 소거된 수차의 개수를 스케일링하여, 결상 설계에 대한 전체적이고 결정론적이며 완전히 확장가능한 첫 번째 접근법이 된다.

본 발명의 실시예들의 양태에 따르면, 광학 표면들을 갖는 결상 시스템을 설계하기 위한 컴퓨터 기반 방법이 제공되고(청구항 1 참조), 본 방법은 적어도 하나의 광선 수차를 공칭적으로 소거하기 위한 것이며, 본 방법은:

- 이하를 포함하는 제1 시스템 사양들을 컴퓨터에 입력하는 단계:

o 결상 시스템 파라미터들,

o 재료들의 파장 의존성,

o 광학 표면들의 유형들 및 표면 계수들의 개수,

o 동공 특성들(조리개 위치)

o 물체 공간 특성 및 상 공간 특성,

- 컴퓨터를 사용하여 페르마의 원리를 적용함으로써 제1 시스템 사양 세트를 미분 방정식 세트로 변환하는 단계,

- 도출된 미분 방정식들에 대한 멱급수 해를 찾기 위해, 컴퓨터를 사용하여 주어진 결합 차수까지 멱급수법을 사용함으로써 미분 방정식들을 대수 방정식들로 변환하는 단계

- 적어도 하나의 광선 수차 계수를 0으로 입력하는 단계 - 0으로 설정된 각각의 광선 수차 계수에 대해, 하나의 표면 계수를 미지로 선택하는 반면, 광선 수차와 표면 계수의 상기 쌍(들)은 대수 방정식들 중 적어도 하나에서 동시에 나타나야 함 -

- 이전 단계에서 수차들을 소거하기 위해 적용되지 않은 모든 표면 계수들에 대한 값들을 컴퓨터에 입력하는 단계

- 광학 표면들에 대한 적어도 하나의 표면 계수, (광선 트레이스 및 광학 표면들과의 그의 교차점 및 따라서 이들로부터의 각각의 유효 구경을 정의하는) 모든 매핑 함수 및 주어진 결합 차수까지의 수차 계수들을 계산하기 위해 대수 방정식들을 푸는 단계를 포함한다.

종속 청구항들 각각은 본 발명의 추가 실시예들을 정의한다.

본 발명은 단색 및 다색 광 둘 다를 위한 광학 줌 시스템을 포함한, 결상 시스템을 설계하기 위한 그리고/또는 자유형 또는 회전 대칭 결상 시스템을 설계하기 위한 방법을 제공한다. 이들 결상 시스템은 다수의 구면 및/또는 비구면 및/또는 자유형 렌즈들 또는 미러들, 또는 이들의 조합으로 구성될 수 있으며, 이에 의해 이들 광학 요소는 하나의 공통 축을 따라 중심을 두고 있거나(동축 정렬) 또는 공통 광학 축 없이 서로에 대해 회전된다. 이 설계 방법은 그러면 주어진 개수의 미지의 광학 표면 계수에 대해 멱급수 전개의 적어도 하나 또는 최대 개수까지의 광선 수차 항을 공칭적으로 소거할 수 있게 한다. 계산되는 표면 계수들의 개수는 공칭적으로 소거된 수차 항들의 개수와 항상 동일하다. 게다가, 임의의 비-소거된 수차 계수도 주어진 차수까지 계산될 수 있다.

본 발명의 실시예들의 방법들은 공칭적으로 일군의 수차들이 없고 획득되어야 할 요구사항을 충족시킬 수 있는 광학 설계를 사용자에게 직접적으로 제공한다. 따라서, 본 방법은 컴퓨터 프로그램에 입력된 시스템 사양들에 대해 획득될 수 있는 최상의 해결책 또는 최상의 해결책들 중 하나를 직접적으로 제공한다. 이것은 광학 설계자에게 중요한 시간 이득을 가져오고 또한 최적의 해결책이 발견됨을 사용자에게 보장한다. 게다가, 소거될 수차들을 변화시킴으로써 주어진 시스템 레이아웃에 대한 체계화된 조사를 가능하게 하고 주어진 사양들에 대해 획득된 결상 성능을 평가할 수 있다. 유리하게는, 이것은 광학 설계자가 공통적인 설계 프로세스를 간소화시킬 수 있게 하며: 특정 수차가 없는 초기 설계를 계산 및 평가하고 이어서 표준 최적화 기법에 의존하여 모든 수차들을 균형을 이루게 하며 최상의 전체적인 결상 성능을 달성할 수 있게 한다.

본 발명의 다른 양태에서, 시스템 사양들인 결상 시스템 파라미터들을 컴퓨터에 입력하는 단계는 N_s개의 광학 표면의 시퀀스를 입력하는 단계를 포함하며, 여기서 각각의 광학 표면은 광학 표면 프로파일 f_i를 갖고, 여기서 N_s개의 광학 표면의 시퀀스는 결상 시스템의 광학 축을 정의한다.

본 발명의 다른 양태에서, 시스템 사양들인 광학 표면들의 표면 계수들을 컴퓨터에 입력하는 단계는 각각의 광학 표면을 구면 또는 비구면으로 정의하는 단계를 포함하고; 여기서 각각의 광학 표면은 단일 반경 변수 r의 함수로서 표현된다.

본 발명의 다른 양태에서, 시스템 사양들인 동공 특성들을 컴퓨터에 입력하는 단계는 광학 축을 따라 동공 평면에 대한 위치를 입력하는 단계를 포함한다.

본 발명의 다른 양태에서, 시스템 사양들인 물체 공간 및 상 공간을 컴퓨터에 입력하는 단계는 광학 축을 따라 상 평면에서의 제1 상 점을 선택하는 단계를 포함한다.

본 발명의 다른 양태에서, 시스템 사양들인 동공 특성들을 컴퓨터에 입력하는 단계는 광학 축을 따라 구경 조리개에 대한 위치를 입력하는 단계를 포함하고, 여기서 구경 조리개는 입사동, 2개의 광학 표면 사이의 구경 조리개, 또는 출사동이다.

구경 조리개가 광학 표면들 중 하나와 일치하면, 상기 광학 표면의 광선 매핑 함수 좌표를 동공 좌표로 대체한다. 구경 조리개가 2개의 광학 표면 사이에 있는 경우, 선행 광학 표면으로부터 구경 조리개를 향한 방향 벡터와 구경 조리개로부터 후속 광학 표면을 향한 방향 벡터의 외적이 0임을 표현하여, 이에 의해 3개의 부가 방정식을 원래의 미분 방정식들에 추가한다. 구경 조리개가 출사동과 일치하는 경우, 마지막 표면으로부터 구경 조리개로의 방향 벡터와 조리개로부터 상 평면으로의 방향 벡터의 외적이 일치한다는 것을 표현하여, 따라서 2개의 벡터의 외적이 0이고 3개의 부가 방정식이 원래의 미분 방정식들에 추가된다. 구경 조리개가 입사동과 일치하는 경우, 물체로부터 조리개로의 방향 벡터와 조리개로부터 첫 번째 표면으로의 방향 벡터가 일치하고, 따라서 2개의 벡터의 외적이 0이며 3개의 부가 방정식이 원래의 미분 방정식들에 추가된다.

정적 시스템(고정 초점 거리)의 경우에, 사용자는 따라서 적어도 하나의 설계 파장(다색의 경우는 나중에 논의됨), 표면의 개수 및 유형(및 표면당 계수의 개수), 유한 또는 무한 거리에 있는 물체, 물체 대 상 관계(유효 초점 거리 또는 배율 또는 임의의 다른 함수 관계)를 포함하는, 물체 공간 및 상 공간, 및 동공의 위치(표면 또는 개별 구경 조리개)를 추가로 정의할 수 있다.

본 발명의 다른 양태에서, 시스템 사양들인 동공 특성들을 컴퓨터에 입력하는 단계는 동공 평면의 m_p개의 고정 동공 평면 단면 p를 선택하는 단계를 추가로 포함하고, 여기서 m_p≥1이다. 각각의 동공 평면 단면은 각도

(단, p = 1 ... m_p임)에 의해 정의된다(순서는 자오 평면, 구결 평면, 및 추가 비축 광선 평면에 대응한다). 대안의 시퀀스가 가능하다.

각각의 동공 평면 단면은, 물체 공간으로부터 나와서

에서 동공 평면 좌표를 통과하는 광선이 상 평면과 어디에서 교차하는지를 표현하는, 단일 동공 반경 변수 q_p로 추가로 정의된다.

본 발명의 다른 양태에서, 시스템 사양들인 물체 공간 및 상 공간을 컴퓨터에 입력하는 단계는 무한 거리 또는 유한 거리에 있는 물체 점을 선택하는 단계를 포함한다.

유한 거리에 있는 물체 점을 선택하는 단계는 광학 축을 따라 물체 평면에서의 물체 점을 선택하는 단계를 추가로 포함한다.

본 발명의 다른 양태에서, 컴퓨터를 사용하여 제1 시스템 사양 세트를 미분 방정식 세트로 변환하는 단계는 광학 표면들을 광선 매핑 함수들의 함수로서 표현하는 단계를 추가로 포함한다. 이들 함수는 물체 점으로부터 또는 필드각 아래에서 나와서 고정 동공 평면 단면 p를 통과하는 광선이 상기 동공 평면 단면에 대한 각각의 광학 표면과 어디에서 교차하는지를 기술한다.

광선 매핑 함수들은

로서 추가로 표현될 수 있고, 여기서 상기 동공 평면 단면에 대한 광학 표면들 f_i가 광선 매핑 함수들

의 함수로서 표현되도록, 변수 t는 물체를 정의하고 고정 동공 평면 단면 θ_p는 동공 좌표 (q_p, θ_p)를 갖는다.

본 발명의 다른 양태에서, 시스템 사양들인 결상 시스템 파라미터들을 컴퓨터에 입력하는 단계는 적어도 하나의 설계 파장에 대해 λ₀에 대해 굴절률 분포

를 각각 갖는 (N_s + 1)개의 재료의 시퀀스를 선택하는 단계를 포함한다. 물체 평면, N_s개의 광학 표면 및 상 평면의 시퀀스는 광학 경로 길이들 d_i를 갖는 (N_s + 1)개의 섹션의 시퀀스를 정의한다.

본 발명의 추가 양태에서, 컴퓨터를 사용하여 제1 시스템 사양 세트를 미분 방정식들로 변환하는 단계는, 2개의 고정 점 사이의 광학 경로 길이가 광선을 따라 극치임을 수학적으로 표현함으로써, 2개의 연속 광학 경로 길이 섹션의 각각의 쌍에 페르마의 원리를 적용하는 단계를 추가로 포함한다. 임의로, 페르마의 원리는 2개의 미분 방정식 세트를 도출하기 위해 광선 매핑 함수들의 함수로서 2개의 연속 섹션의 각각의 쌍에 적용될 수 있다.

임의의 그러나 고정 동공 평면 단면에 대한 표면 및 매핑 함수의 도입을 통해, 이 동공 평면 단면을 통한 임의의 광선의 경로가 기술될 수 있다는 이점이 있다. 페르마의 원리를 적용함으로써, 2개의 미분 방정식 세트가 도출된다. 이들 2개의 미분 방정식 세트는, 이것이 새로운 것인데, 연관된 광선 수차 급수의 x-성분 및 y-성분으로서 식별될 수 있다. 페르마의 원리가 적용되는 방식은 모든 실시예들에 걸쳐 항상 동일한다. 물체로부터 상까지의 임의의 광선 경로는 광학 경로 길이 섹션으로서 표현되고 페르마의 원리는 쌍별로 적용되어, N개의 광학 표면에 대해 N + 1개의 섹션을 가져온다. 매우 중요한 것은, 위에서 정의된 시스템 설명으로부터 미분 방정식으로의 변환이 기본 규칙을 따른다는 것이다 (A. Friedman and B. McLeod, "Optimal design of an optical lens," Archive for Rational Mechanics and Analysis 99, 147-164 (1987), B. Van-Brunt, "Mathematical possibility of certain systems in geometrical optics," JOSA A 11, 2905-2914 (1994)). 이것은, 결과적으로, 이들 방법으로 처리될 수 있는 광학 표면들의 개수에 대한 본질적인 제한이 없음을 의미한다. 이들은 본 발명의 모든 실시예들에 대해 단지 6개보다 더 많은 광학 표면을 갖는 시스템으로 쉽게 스케일링될 수 있다. 30개 초과의 표면을 가진 광학 시스템은 거의 있지 않거나 임의로 최대 50개와 같은 매우 특수한 응용에서만 있을 것이기 때문에, 광학 표면의 개수가 30개 또는 임의로 최대 50개로 제한될 수 있다고 가정한다.

본 발명의 다른 양태에서, 시스템 사양들인 물체 공간 및 상 공간을 컴퓨터에 입력하는 단계는 각각의 고정 동공 평면 단면에 대한 제2 상 점을 광학 수차들에 의해 증분되는 제1 상 점의 합으로 표현하는 단계를 포함한다. 광학 수차들은 각각의 동공 평면 단면에 대한 광선 수차 계수들의 광선 수차 급수로서 표현될 수 있다.

본 발명의 장점은 광학 수차에 대한 통상적인 접근법이 매우 중요한 표시를 제공한다는 것이다. 파면 수차인지 광선 수차 인지에 관계없이, 이들 함수는 통상적으로 고려된 변수에서 멱급수 전개로 표현된다. 이러한 힌트는 도출된 미분 방정식에 대한 상기 변수에서 멱급수 해를 찾기 위해 멱급수법을 사용하는 아이디어로 이어진다. 일반적으로, 이 해법은 모든 관련 함수들의 멱급수 표현을 미분 방정식에 대입하여 미지의 계수에 대한 점화식(recurrence relation)을 찾는다. 이것은, 광학 표면, 매핑 함수 및 실상 함수(real image function)(이상적인 물체 대 상 함수와 광선 수차 항을 더한 것)가 멱급수 전개로서 표현된다는 것을 의미한다. 무한 차수에 대한 닫힌 형태의 점화식은 전형적으로 도출될 수 없지만; 모든 관련 함수들의 유한 차수에 대해 이 해법으로 미지의 계수에 대한 결과적인 대수 방정식을 푸는 것을 가능하다. 그렇게 하는 데 있어서의 핵심 요소는 정의된 동공 평면 단면 시퀀스(도 3 내지 도 9에서의 행렬 표현 또는 시각화 참조)로 작동하는 것 및 상기 동공 평면 단면에서의 식별된 x-성분 및 y-성분에 대해 동공 평면 단면 및 광선 수차의 주어진 차수를 따르는 것이다.

N개의 표면으로 구성된 시스템에 대한 모든 표면 계수가 잘 정의되고 기지인 경우에, 제안된 유한 멱급수법은 정의된 동공 평면 단면 시퀀스에 대한 모든 미지의 매핑 함수들 및 광선 수차 계수들을 오름 차순으로 계산할 수 있게 한다. 상기 동공 평면 단면에 대해 여기서 사용된 광선 수차와 문헌으로부터의 잘 알려진 광선 또는 파면 수차 사이의 명확한 상관관계로 인해, 이들 상이한 표현 사이에서 쉽게 변환할 수 있다.

이 방법의 다른 실시예에서, 다수의 이용가능하고 아직 알려지지 않은 표면 계수가 공칭적으로 소거할 하나 이상의 동공 평면 단면(들)에서의 동일한 개수의 수차 계수를 선택하기 위해 사용된다. 임의로 이것은 본 발명의 특정 실시예들에서 선택 일관성 분포(SCD) 규칙을 따르는 것에 의해 행해질 수 있다. 선택되고 공칭적으로 소거된 수차 계수는 모든 매핑 함수, 미지의 표면 계수 및 비-소거된 수차 계수를 계산하기 위해 유한 멱급수법이 어느 차수 및 어느 동공 평면 단면에 대해 적용되는지를 정의한다.

(완전) 구면 시스템의 경우에, 이 접근법은 Newton-Raphson 알고리즘 등과 같은 표준 방법을 사용하여 풀어질 수 있는 모든 미지의 계수들의 비선형 연립 방정식을 가져온다. 부가의 비구면 계수로 인한 그리고 또한 완전 비구면 시스템의 경우에, 남아 있는 상위 차수 계산을 위해, 유한 멱급수법은 가우스 소거법 알고리즘과 같은 표준 솔버를 사용하여 풀어질 수 있는, 고려된 동공 평면 단면에서의 오름 수차 차순마다의 미지의 계수들의 선형 연립 방정식을 가져온다. 완전 비구면 시스템의 경우에, 첫 번째 수차 차수 계산만이 완전 구면 시스템에 대해 설명된 바와 같이 풀어질 수 있는 비선형 연립 방정식을 가져온다. 구면/비구면 표면과 도출된 연립 방정식의 (비)선형성 사이의 이들 관계는, 자유형 광학 표면을 포함한, 본 발명의 모든 실시예들에 대해 성립한다.

본 발명의 다른 양태에서, 시스템 사양들인 회전 대칭 광학 표면들의 표면 계수들을 컴퓨터에 입력하는 단계는 i 번째 표면에 대한 2j 차수의 표면 계수들 f_i,2j를 갖는 급수 전개로서 각각의 광학 표면 프로파일을 전개하는 단계를 포함한다.

본 발명의 다른 양태에서, 시스템 사양들인 자유형 광학 표면들의 표면 계수들을 컴퓨터에 입력하는 단계는 i 번째 표면에 대한 x에서의 j 차수 및 y에서의 k 차수의 표면 계수들 f_i,j,k를 갖는 급수 전개로서 각각의 광학 표면을 전개하는 단계를 포함한다. 이 단항식(monomial) 전개는 게다가, Zernike, Chebyshev, Forbes 등과 같은, 대안적인 자유형 표면 표현으로 변환될 수 있다.

게다가, 컴퓨터를 사용하여 제1 시스템 사양 세트를 미분 방정식들로 변환하는 단계는 광선 매핑 함수들을 광선 매핑 함수 계수들의 급수 전개로 전개하는 단계를 포함한다. 임의로, 일부 실시예들에서 시스템 사양들은 N_S개의 미분 방정식의 2개의 세트로 변환된다.

본 발명의 바람직한 실시예에서, 미분 방정식들을 푸는 단계는 매핑 함수들 및 광학 표면들의 급수 계수들을 소거된 광학 광선 수차들의 함수로서 계산하기 위해 멱급수법을 이용하여 미분 방정식들에 대한 해를 구하는 단계를 추가로 포함한다.

임의로, 일부 실시예들에서, 차수 k, l의 편도함수들을 N_s개의 미분 방정식의 2개의 세트에 적용하는 단계 - 상기 차수 k, l은 각각의 동공 평면 단면에 대한 미리 정의된 수차 행렬들을 사용하여 제공됨 - 를 추가로 포함하며, 여기서 광학 표면 계수들 및 광선 매핑 함수 계수들에 대한 연립 방정식을 도출하기 위해, 각각의 미리 정의된 수차 행렬은 서브그룹의 각각의 광학 광선 수차를 상기 동공 평면 단면에서의 광선 수차 급수 전개의 차수 k,l의 편도함수에 연관시킨다.

바람직하게는, 미분 방정식들을 푸는 단계는 광학 표면들의 계산된 계수들로부터 각각의 광학 표면의 표면 프로파일들 또는 형상들을 도출하는 단계를 추가로 포함한다.

유리하게는, 미분 방정식들을 푸는 단계는 매핑 함수들의 계산된 급수 계수들로부터 각각의 광학 요소의 유효 구경을 도출하는 단계를 추가로 포함한다.

게다가, 광학 표면들의 표면 계수들을 포함하는 시스템 사양들을 컴퓨터에 입력하는 단계는 각각의 표면을 구면 또는 비구면으로 선택하는 단계를 추가로 포함한다. 게다가, 본 방법은 각각의 표면을 단일 반경 변수

의 함수로서 표현하고 각각의 표면을 테일러 계수들 f_i,2j(단, j=1,2... 최대 10 또는 임의로 30까지이고 i = 1, 2, ... 30 또는 임의로 최대 50임)을 갖는 테일러 다항식과 같은 급수로서 전개하는 단계를 포함한다.

본 방법은 수차 항을 소거하는 데 사용되는 광학 표면 계수들이 임의의 차수(전형적으로 20차를 초과하지 않지만 임의로 일부 실시예들에서 최대 30차)까지의 테일러 멱급수 계수와 같은 멱급수 계수로서 계산될 수 있는 방법을 정의하는 (비)선형 방정식 및 해법 세트에 기초한다. 위에서 논의된 바와 같이, 표면의 개수가 30개 또는 임의로 일부 실시예들에서 최대 50개를 초과하지 않는 것으로 가정한다.

다른 양태에서, 제1 상 점을 선택하는 단계는 물체 대 상 관계를 규정하는 함수로 제1 상 점을 표현하는 단계를 추가로 포함한다. 제2 상을 표현하는 단계는 선택된 동공 평면 단면에서의 제2 상을 제1 상과 x-방향 및 y-방향에서의 광학 광선 수차들의 합으로서 표현하는 단계를 추가로 포함할 수 있고, 여기서 광학 광선 수차들은 기지의 광선 수차 전개들 및 파면 수차 전개들에 관련된다.

본 발명의 다른 양태에서, 본 방법은 적어도 2개의 설계 파장에 대해 2개 이상의 상이한 재료를 선택하는 단계를 추가로 포함한다.

다른 양태에서, 본 방법은 공칭적으로 적어도 하나의 색수차 계수를 소거하기 위해 하나의 설계 파장에 대해 적어도 2개의 상이한 재료를 선택하는 단계를 추가로 포함한다.

본 발명의 다른 양태에서, 본 방법은, 예를 들어, 하나 초과의 파장에서 단색수차를 소거하기 위해 적어도 제2 설계 파장에 대해 상기 방법을 반복하는 단계를 추가로 포함한다.

본 발명의 추가 양태에서, 시스템 사양들인 결상 시스템 파라미터들을 컴퓨터에 입력하는 단계를 포함하는 본 방법은 적어도 하나의 설계 파장 λ₀에 대한 각각의 재료의 굴절률 분포

에 의해 각각의 광학 경로 길이 d_i를 파장의 함수로서 표현하는 단계를 추가로 포함한다.

다색 설계의 경우에, 정적 및 줌 시스템 둘 다에 이용가능한 세 가지 옵션이 있는 반면, 적어도 2개의 상이한 재료(예를 들어, 플린트 유리 및 크라운 유리)가 사용된다. 첫째, 위에서 언급된 단색 방법은 어떠한 수정도 없이 직접적으로 사용되는 반면, 다색 성능은 렌즈 재료의 적합한 선택을 통해서만 제어된다. 둘째, 광학 경로 길이 섹션에서 상이한 굴절률을 가져오는 적어도 2개의 설계 파장이 정의되는 반면, 2개의 미분 방정식 세트는 각각의 설계 파장에 대한 페르마의 원리로부터 도출된다. 단색 줌 시스템과 매우 유사하게, 공칭적으로 소거할 수차 항이 이제는 고려된 설계 파장들 간에 분산된다. 매핑 함수, 수차 계수 및 표면 계수에 대한 해는 다시 말하지만, 이번에는 다중 파장에 대해, 제안된 멱급수법에 의해 획득된다. 환언하면, 이것은 각각의 정의된 설계 파장에서 선택된 단색 수차를 공칭적으로 소거하고 따라서 다색 결상 성능을 제어할 수 있게 한다.

셋째, 수차 멱급수가 단색 수차 급수를 λ의 오름 차순과 곱하여 파장에 대한 의존성을 또한 포함하도록 확장된다. 페르마의 원리가 하나의 설계 파장에 대한 단색 경우에서와 같이 적용된다. 유일한 차이점은 광학 경로 길이 섹션에서의 굴절률이 이제는, 예를 들어, 셀마이어 방정식을 통해 표현되는, λ의 함수라는 것이다. 모든 표면 계수(및 줌 구성)가 잘 정의된 경우에, 제안된 멱급수법은 정의된 동공 평면 단면 시퀀스에 대한 모든 매핑 함수 및 수차 계수(색 항을 포함함)를 오름 차순으로 계산할 수 있게 한다. 다른 실시예에서, 다수의 이용가능하고 아직 알려지지 않은 표면 계수가 공칭적으로 소거하기 위해 선택되는 적어도 하나의 색수차 계수를 갖는 동일한 개수의 수차 계수를 선택하기 위해 사용된다. 임의로, 이것은 본 발명의 색수차에 대한 확장된 SCD 규칙에 따르는 것에 의해 행해질 수 있다. 이전과 같이, 미지의 매핑 및 표면 계수는 멱급수법을 사용하여 계산될 수 있다.

본 발명의 추가 양태에서, 컴퓨터 프로그램에 입력되는 시스템 사양들은 최적화 방법을 사용하여 계산되거나 변경된다.

시스템 사양들을 컴퓨터에 입력하는 단계는 광학 축을 따라 정점 f_i,0에 의해 정의되는 적어도 하나의 광학 표면에 대한 초기 위치를 최적화 방법으로 계산하는 단계를 포함한다.

추가 양태에서, 최적화 방법은 몬테카를로 최적화이다.

저차 수차 이론(예를 들어, 가우시안 광학계 또는 Seidel의 공식)에 기초하여 시작 시스템 구성을 계산하는 것은 잘 알려진 전략이다. 그러한 설계 접근법은 계산된 시스템이 공칭적으로 이들 저차 수차가 없도록 보장한다. 다음 단계에서, 모든 수차의 균형이 이루어지는 최종 시스템 레이아웃에 도달하기 위해 공통 최적화가 사용된다.

따라서, 본 발명의 실시예들은 최종 단계로서 표준 최적화 프로세스를 이용하여 정교한 시작 시스템의 신속한 계산을 가능하게 한다. 이것은 제조성, 공차 및 조립과 같은 부가의 제품 관련 문제를 해결하는 데 사용될 수 있는 상당한 양의 시간과 노력(따라서 비용)을 절감할 수 있게 한다. 중요하게는 계산된 광선 매핑 함수와 유효 구경은 모든 광학 표면 및 상이한 필드에 대한 입사각과 같은 중요한 파라미터를 즉각적으로 평가할 수 있게 한다.

본 발명에 따른 다른 실시예에서, 본 방법은 적어도 제2 시스템 사양 세트를 컴퓨터 시스템에 입력하는 단계를 추가로 포함하며, 여기서 각각의 세트는 줌 시스템의 상이한 구성에 대응한다. 상기 적어도 제2 시스템 사양 세트는 적어도 결상 시스템 파라미터를 포함하고, 표면 계수 및 표면 정점, 동공 특성, 그리고 물체 공간 및 상 공간을 포함하고, 본 발명의 컴퓨터 기반 방법은 각각의 제2 시스템 사양 세트에 대해 실행된다.

단색 줌 시스템의 경우에, 위에서 정의된 시스템 설명 외에 적어도 2개의 줌 구성을 정의할 필요가 있으며; 각각의 줌 구성은 표면 위치 세트(상이한 줌 스테이지들 사이의 이동을 가능하게 함) 및 물체 대 상 관계(예를 들어, 2개의 줌 구성 간의 초점 거리 변경)에 의해 특징지어진다. 페르마의 원리가 이전과 같이 적용되어, 각각의 줌 구성에 대해 미분 방정식 세트, 예를 들어, 2개의 미분 방정식 세트를 가져온다. 모든 표면 계수 및 줌 구성이 잘 정의된 경우에, 제안된 멱급수법은 정의된 동공 평면 단면 시퀀스에 대한 모든 매핑 함수 및 수차 계수를 오름 차순으로 그리고 줌 구성들에 대해 동시에 계산할 수 있게 한다. 이 방법의 다른 실시예에서, 다수의 이용가능하고 아직 알려지지 않은 표면 계수가 공칭적으로 소거할 동일한 개수의 수차 계수를 선택하기 위해 사용되고 줌 구성들 간에 분산되어 있다. 임의로 이것은 줌 시스템에 대한 잘 정의된 선택 일관성 분배(SCD) 규칙을 따르는 것에 의해 행해질 수 있다. 정적 시스템과 매우 유사하게, 미지의 매핑, 표면 및/또는 수차 계수는 줌 구성에 대한 구면 및/또는 비구면 표면으로 구성된 줌 시스템에 대한 멱급수법을 사용하여 동시에 계산된다.

본 발명의 추가 양태에서, 본 방법은 복수의 광학 표면들을 포함하는 광학 시스템에서 제1 설계 파장에서 그리고 최고 차수까지 광선 수차들을 계산하기 위한 것이고, 각각의 광학 표면은 표면 계수 세트 f_i,j에 의해 정의되며, 상기 방법은

- 멱급수법을 사용하여 임의의 동공 평면 단면에 대한 모든 수차 계수들

및

을 오름 수차 차순으로 계산하는 단계,

- o 각각의 차수 및 각각의 동공 평면 단면에 대한 모든 도함수들을 대수 방정식을 도출하기 위해 미분 방정식들에, 예컨대, 2개의 미분 방정식 세트에 적용하는 것,

o 선형 연립 방정식을 푸는 것,

o 최고 차수에 도달할 때까지 각각의 단계를 반복하는 것

에 의해 각각의 수차 차수에 대한 선형 연립 방정식을 푸는 단계를 포함한다.

일 실시예에서, 본 방법은 줌 시스템의 적어도 2개의 구성에 대해 적용된다.

다른 실시예에서, 제1 설계 파장 및 제2 설계 파장에 대한 단색 수차들을 계산하기 위해 적어도 제2 설계 파장에 대해 본 방법이 반복된다.

다른 실시예에서, 본 방법은 광학 시스템의 색수차들을 추가로 계산하기 위해 적어도 하나의 설계 파장에 대한 각각의 재료의 굴절률 분포

에 의해 각각의 광학 경로 길이 d_i를 파장의 함수로서 표현하는 단계를 추가로 포함한다.

본 발명의 방법이 또한 기존의 광학 시스템에서 수차를 계산하는 데 사용될 수 있고, 여기서 광학 시스템이 정적 또는 줌 시스템일 수 있다는 것이 장점이다. 임의로 줌 시스템의 경우, 줌 시스템에 관련된 방정식이 사용될 수 있다. 계산된 수차는 또한 상이한 파장에서 평가될 수 있지만, 본 발명의 방법은 색수차의 계산을 가능하게 하기도 한다.

추가 양태에서, 본 방법은 광학 설계 프로그램과 함께 사용하기 위한 것이다.

추가 양태에서, 적어도 하나의 표면 계수에 의해 정의되는 적어도 하나의 광학 표면을 갖는 광학 요소를 제조하기 위한 방법이 제공된다. 상기 광학 요소는 적어도 하나의 광선 수차가 공칭적으로 소거되는 결상 시스템에 사용될 수 있으며, 여기서 적어도 하나의 표면 계수는 본 발명에 따른 방법에 의해 획득된다. 임의로 본 방법은 회전 대칭 시스템에 사용하기 위한 것이지만, 본 발명은 이에 제한되지 않는다.

따라서, 본 발명의 추가 양태에서, 광학 표면들을 갖는 회전 대칭 결상 시스템의 제조를 위해 수치 제어 기계용 전자 파일을 생성하기 위한 컴퓨터 기반 방법이 제공되고, 이 방법은:

- 이하를 포함하는 제1 시스템 사양 세트를 컴퓨터에 입력하는 단계:

o 결상 시스템 파라미터들,

o 파장 의존성,

o 광학 표면들의 유형들 및 표면 계수들의 개수,

o 동공 특성들(예를 들어, 조리개 위치),

o 물체 공간 및 상 공간,

- 컴퓨터를 사용하여 페르마의 원리를 적용함으로써 시스템 사양들을 미분 방정식 세트로 변환하는 단계.

- 도출된 미분 방정식들에 대한 멱급수 해를 찾기 위해, 컴퓨터를 사용하여 주어진 차수까지 멱급수법을 사용함으로써 미분 방정식들을 대수 방정식들로 변환하는 단계

- 적어도 하나의 광선 수차 계수를 0으로 입력하는 단계 - 0으로 설정된 각각의 광선 수차 계수에 대해, 하나의 표면 계수를 미지로 선택하는 반면, 광선 수차와 표면 계수의 상기 쌍(들)은 대수 방정식들 중 적어도 하나에서 동시에 나타나야 함 -

- 이전 단계에서 수차들을 소거하기 위해 적용되지 않은 남아 있는 표면 계수들에 대한 값들을 컴퓨터에 입력하는 단계

- 광학 표면들에 대한 적어도 하나의 표면 계수, 및, 광선 트레이스 및 광학 표면들과의 그의 교차점 및 따라서 이들로부터의 각각의 유효 구경을 정의하는, 모든 매핑 함수 및 주어진 차수까지의 수차 계수들을 계산하기 위해 미분 방정식들을 푸는 단계를 포함한다.

본 발명의 방법이 렌즈 또는 미러와 같은 광학 요소를 제조하기 위한 방법으로서 사용되는 것이 장점이다. 실제로, 본 방법은 결상 시스템의 광학 요소의 표면 계수를 전자 파일로 출력으로서 제공하며, 이들 표면 계수는 광학 요소의 제조를 위한 입력으로서 직접적으로 제공될 수 있다. 결상 시스템에서 구현될 때, 매핑 함수 계수를 사용하여 제조된 광학 요소는 시스템이 공칭적으로 적어도 하나의 광선 수차가 없을 수 있게 할 것이다. 따라서, 본 발명의 방법에 의해 계산되는 표면 계수는 렌즈, 미러 등의 제조 프로세스에 전자 파일로서 직접적으로 제공될 수 있다. 매핑 함수 계수는 광선 트레이스 및 광학 표면과의 이들의 교차점을 추가로 정의한다.

본 발명은 또한 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때 본 발명의 방법들 중 임의의 것을 실행하는, 컴퓨터 프로그램 제품을 제공한다.

컴퓨터 프로그램은 광학 디스크(CD-ROM 또는 DVD-ROM), 자기 디스크, 및 플래시 메모리 등과 같은 솔리드 스테이트 메모리와 같은 비일시적 신호 저장 매체에 저장될 수 있다.

본 발명에 따른 실시예들의 기술적 효과 및 장점은 본 발명에 따른 방법의 대응하는 실시예들의 것에 준용하여 대응한다.

본 발명의 실시예들의 이들 및 다른 기술적 양태 및 장점이 이제 첨부 도면을 참조하여 더 상세하게 설명될 것이다.
도 1은 물체 평면, 동공 평면 및 상 평면에서의 상이한 좌표계를 예시한다. 광학 시스템은 z-축을 따라 정렬되고, t의 함수인 물체 점은 x-축을 따라 있으며, xz-평면은 자오 평면(tangential plane)이고, yz-평면은 구결 평면(sagittal plane)이 된다.
도 2는 파면 n ₀ 으로 기술되는 물체를 상 표면 D에서 관계 T(t)에 의해 기술되는 상으로 결상하도록 되어 있는 동축 회전 대칭 광학 시스템의 일반적인 시스템 레이아웃을 도시한다.
도 3은 본 발명의 실시예들에 따른 자오 평면에서의 x-성분을 도시한다.
도 4는 본 발명의 실시예들에 따른 구결 평면에서의 x-성분을 도시한다.
도 5는 본 발명의 실시예들에 따른 구결 평면에서의 y-성분을 도시한다.
도 6은 본 발명의 실시예들에 따른 (π/ 3)-비축 광선 평면에서의 x-성분을 도시한다.
도 7은 본 발명의 실시예들에 따른 (π/ 3)-비축 광선 평면에서의 y-성분을 도시한다.
도 8은 구결 평면에서의 결합된 x-성분과 y-성분에 대한 결합 행렬을 도시한다.
도 9는 본 발명의 일 실시예에 따른, 임의의 상위 수차 차수로 쉽게 확장될 수 있는, 음영 사각형에 의한 요구된 평면 및 대응하는 흑색-글꼴 행렬 요소의 시각화를 예시한다.
도 10은 본 발명의 방법으로 획득되는 쿠크 트리플렛(Cooke triplet)의 광학 레이아웃을 도시한다.
도 11은 본 발명의 방법으로 획득되는 도 10의 쿠크 트리플렛 레이아웃과 연관된 스폿 다이어그램을 도시한다.
도 12는 본 발명에 따른 방법으로 획득되는 광각 렌즈의 광학 레이아웃을 도시한다.
도 13은 본 발명에 따른 방법으로 획득되는 도 12의 광각 렌즈와 연관된 스폿 다이어그램을 도시한다.
도 14는 본 발명에 따른 방법으로 획득되는 시스템의 고정된 최종 상 위치 및 전체 길이를 갖는 줌 렌즈의 광학 레이아웃을 도시한다.
도 15는 본 발명에 따른 방법으로 획득되는 시스템의 고정된 최종 상 위치 및 전체 길이를 갖는 줌 렌즈의 제2 광학 레이아웃을 도시한다.
도 16은 본 발명에 따른 방법으로 획득되는 도 14의 줌 렌즈와 연관된 스폿 다이어그램을 도시한다.
도 17은 본 발명에 따른 방법으로 획득되는 도 15의 제2 줌 렌즈와 연관된 스폿 다이어그램을 도시한다.
도 18은 본 발명에 따른 방법으로 획득되는 완전 비구면(all-aspherical) 헤이스팅스 트리플렛(Hastings triplet)의 광학 레이아웃을 도시한다.
도 19는 본 발명에 따른 방법으로 획득되는 헤이스팅스 트리플렛과 연관된 스폿 다이어그램을 도시한다.
도 20은 본 발명에 따른 방법으로 획득되는 헤이스팅스 트리플렛으로 획득되는 색 초점 이동(chromatic focal shift)을 예시한다.
도 21은 본 발명의 일 실시예에 따른 방법으로 획득되는 완전 자유형(all-freeform) 3 미러 결상 설계의 광학 레이아웃을 도시한다.
도 22는 본 발명에 따른 도 21의 방법으로 획득되는 완전 자유형 3 미러 결상 설계와 연관된 스폿 다이어그램을 도시한다.
도 23은 본 발명의 일 실시예에 따른 방법으로 획득되는 완전 자유형 4 미러 결상 설계의 광학 레이아웃을 도시한다.
도 24는 본 발명의 일 실시예에 따른 방법으로 획득되는 완전 자유형 3 미러 결상 설계와 연관된 스폿 다이어그램을 도시한다.

본 발명이 특정의 실시예들과 관련하여 그리고 특정 도면들을 참조하여 설명될 것이지만, 본 발명이 이들로 제한되지 않고 청구항들에 의해서만 제한된다. 설명된 도면들은 단지 개략적이며 비제한적이다. 도면들에서, 요소들 중 일부의 크기는 과장될 수 있고 예시 목적을 위해 축척대로 그려져 있지 않을 수 있다. 용어 "포함하는(comprising)"이 본 설명 및 청구항들에서 사용되는 경우, 이는 다른 요소들 또는 단계들을 배제하지 않는다. 게다가, 설명에서 그리고 청구항들에서의 용어들 제1, 제2, 제3 등은 유사한 요소들을 구별하는 데 사용되며 반드시 순차적 또는 연대적 순서를 설명하기 위한 것은 아니다. 그렇게 사용되는 용어들이 적절한 상황 하에서 상호교환가능하다는 것과 본 명세서에 설명된 발명의 실시예들이 본 명세서에 설명되거나 예시된 것 이외의 시퀀스로 동작할 수 있음이 이해되어야 한다.

본 발명은 페르마의 원리로부터 도출되는 미분 방정식을 푸는 것에 의해 (중심에 놓인) 결상 시스템을 설계하는 방법을 제공한다. 이들 결상 시스템은 (이동가능한 또는 고정된) 구면 표면, 비구면 표면 또는 자유형 표면, 또는 이들의 조합의 시퀀스로 구성된다. 멱급수 해법은 공칭적으로 사라지는 선택된 수차 항의 개수와 동일한 미리 정의된 개수의 표면 파라미터를 계산할 수 있게 하는 명확한 규칙 세트를 따른다. 그에 부가하여, 본 방법은 (예를 들어, 광선 추적을 요구하지 않으면서) 임의의 광선이 각각의 개별 표면과 어디에서 교차하는지를 정확하게 기술할 수 있게 하는 매핑 함수 계수를 제공한다.

정의

결상 시스템 파라미터는 결상 시스템의 속성을 정의하는 파라미터이다. 이들은 결상 시스템이 설계되는 적어도 하나의 파장 또는 대역폭, 광학 표면의 개수 및 유형(즉, 구면, 비구면 및/또는 자유형)을 포함한다. 광학 표면의 재료, 결상 시스템에서 광이 전파되는 매체, 각각의 또는 적어도 하나의 광학 표면의 위치(예를 들어, 표면 정점), 물체 및 상 공간, 시야, 유효 f-수(f-number) 등. 결상 시스템은 적어도 하나의 설계 파장을 위해 설계되고, 결상 시스템의 성능은 파장 의존적일 수 있으며 보통 파장 의존적이다.

광학 표면은 함수

(대칭을 갖거나 갖지 않음)로 표현될 수 있고, 이 함수는 유한 급수로 추가로 분해될 수 있으며, 급수의 각각의 항은 표면 계수에 의해 가중된다. 예를 들어, 유한 급수는 다항식 수열(polynomial sequence) 또는 절단된 멱급수 전개(truncated power series expansion)일 수 있다. 다항식 수열의 예는 일반적인 다항식 형태의 짝수차 회전 대칭 멱급수이다:

용어 동공이 본문 전체에 걸쳐 사용될 때, 통상의 기술자에 의해 문헌에 알려진 바와 같이, 이는 출사동(exit pupil)과 동등하다. 출사동과 입사동(entrance pupil)의 정의는 구경 또는 구경 조리개에 의존한다.

입사동은 물체 평면에서의 광학 축 상의 지점으로부터 보이는 바와 같은 구경 조리개의 광학 상이다. 출사동은 상 평면에서의 광학 축 상의 지점으로부터 보이는 바와 같은 구경 조리개의 광학 상이다.

동공 평면 단면은 동공 평면의 단면이고, 광학 축 z를 포함하고 광학 수차를 평가하는 데 사용될 수 있는 (각도 θ_p에 의해 특징지어지는), 제2 평면이다. 도 1은 임의의 그러나 고정된 각도 θ_p에 대한 동공 평면 단면을 예시하며, 이는 상기 고정된 각도 θ_p로 동공 평면과 교차하는 광선을 포함하는 평면에 대응한다.

동공 평면 단면은 극각(polar angle)에 대한 이하의 관계에 따라 선택할 수 있고

여기서 정수 값 m_p는 고려된 동공 평면 단면의 총 개수를 기술하고 인덱스 p는 그러면 각도 도메인 [0, π/2] 내에서 각도 θ_p를 분산시킨다. p = 1의 경우는 각도 θ_p = π = 0에 의해 주어지는 첫 번째, 소위 자오 평면에 대응한다(방향이 부호를 π로부터 0으로 바꾸지만 동일한 평면을 기술한다). p = 2에 대해, 두 번째 평면은

로 주어지며, 전형적으로 구결 평면이라고 지칭된다. 매 증분 p = 3,4,...에 대해, 각도 θ_p에 의해 정의되는 하나의 추가적인 비축 광선 평면이 추가된다.

구경 또는 구경 조리개는, 결상 시스템을 통과하는 광의 양을 제한하는, 개구부이다. 구경 또는 구경 조리개는 국소 광학 축을 따른 직경 및 위치를 갖는다. 구경 조리개의 직경은 각각의 표면에 대한 유효 구경을 정의한다. 유효 구경은 광이 통과할 광학계의 폐색되지 않는 부분을 정의한다. 이는 사양을 충족시켜야 하는 광학 컴포넌트의 직경 또는 크기이다. 일부 경우에, 조리개는 타원형 또는 직사각형 형상을 가질 수 있다.

광학 축은, 각각의 광학 표면의 곡률 중심을 통과하고 회전 대칭 광학 시스템에 대한 대칭 축과 일치하는, 물체로부터 상 공간까지의 결상 시스템에서의 가상의 선이다. 경사진 광학 요소의 경우에, 국소 광학 축은 전형적으로 축상 필드의 주광선에 의해 정의된다. 입사동 및 출사동(또는 동공)의 특성은 형상 및 크기, (예를 들어, 임의로 광학 축을 따라 있는) 그들의 위치이며, 정의에 의해, 구경 조리개의 위치 및 직경에 추가로 의존한다.

물체 공간은, 결상 시스템에 의해 결상될 실제 또는 가상 물체를 포함하는, 평면, 성형된 표면(shaped surface) 또는 체적이다. 이는 보통, 예를 들어, 제1 광학 요소의 광학 축에 수직이다. 물체는 축 상에 또는 축을 벗어나, 무한 거리 또는 유한 거리에 있을 수 있고, 실제 또는 가상일 수 있으며 점상(punctual), 펼쳐진(extended) 또는 3차원일 수 있다.

물체 점은 임의의 점일 수 있으며, 이는 물체가 펼쳐진 경우 물체에 속하거나, 물체가 점상인 경우 물체이다.

물체 평면은 유한 거리 또는 무한 거리 중 어느 하나에 있고 변수 t에 의해, 예를 들어, x-축을 따라 (t,0,z₀)로서 기술되며, 여기서 z₀은, 제각기, 광학 축을 따라 고정된 위치 또는 t의 함수(이 경우에, 물체 평면이 아니라 물체 공간임)이거나, 또는 무한 거리에 대해 방향 벡터

에 의한다. 비-회전 대칭 시스템의 경우에, 단일 변수 t는 t_x 및 t_y로 확장되어, 유한한 경우에도 (t_x, t_y, z₀)로서 그리고 무한한 경우에도 방향 벡터

으로서 확장된다.

상 평면은 결상 시스템에 의해 생성되는 상이 형성되는 평면이다. 물체 평면이 공통 광학 축에 수직이면, 상 평면이 또한 이 축에 수직일 것이다. 상은 축 상에 또는 축을 벗어나, 경사져(tilted), 무한 거리 또는 유한 거리에 있을 수 있고, 실제 또는 가상일 수 있으며 점상, 성형된 또는 3차원일 수 있다. 상이 3차원인 경우, 상 평면 대신에 상 공간의 개념이 사용된다. 상 점은 임의의 점일 수 있으며, 이는 상이 펼쳐진 경우 상에 속하거나, 상이 점상인 경우 상이다.

구면인 것으로부터의 파면의 편차는 파면 수차라고 불린다. 상 평면에서 구면 파면의 곡률 중심으로부터 광선의 교차점의 거리는 광선 수차라고 불린다. 광학 시스템에서의 수차의 존재 시에, 불완전한 상이 형성된다. 모든 수차가 0이면, 파면은 구면이고, 모든 광선은 그의 곡률 중심에 수렴하며, 완벽한 기하학적 점 상(point image)이 획득된다. 통상의 기술자가 문헌으로부터 알고 있는, 광선 수차 급수와 파면 수차 급수의 다양한 등가 표현 및 이들 사이의 변환 규칙이 존재한다(예를 들어, J.L. Rayces, “Exact Relation between Wave Aberration and Ray Aberration”, Optica Acta, 11:2, 85-88 (1964) 참조).

광선 수차 전개는 상 평면(또는 상 표면)에서의 이상적인 상 점으로부터의 실제 (추적된) 광선의 변위를 나타낸다. x-축을 따라 좌표

를 갖는 물체 점으로부터 나오는 광선의 상 평면과의 교차점은 벡터 형태

으로 쓰여질 수 있고, 여기서

는 근축 광선 교차점을 나타낸다.

의 도입은 무한히 멀리 있는 물체 평면의 경우를 쉽게 처리할 수 있게 한다. 무한히 멀리 있는 물체의 경우, t는

가 되고, 여기서

는 광학 시스템에 들어오는 평행 광선의 필드각(field angle)이다. 여기서, 엡실론

는, 제각기, 3차, 5차, 7차,...의 Buchdahl의 수차 다항식이다. 단일 또는 이중 면대칭을 갖거나 어떠한 주어진 대칭도 갖지 않는 시스템의 경우, 회전 대칭 시스템에서 존재하지 않는 부가 수차를 포함하는 유사한 전개가 존재한다.

특정 필드각 또는 점 물체에 대한 파면 수차 전개는 구면인 것으로부터의 출사동에서의 그의 파면의 편차를 나타낸다. 일반성을 잃지 않으면서, 회전 대칭 시스템의 경우에 물체가 x-축을 따라 배향될 수 있다. 파면 수차 함수는 그러면 파면 수차 계수

를 갖는

으로서 쓰여질 수 있다(V. Mahajan, “Optical Imaging and Aberrations: Ray Geometrical Optics,” SPIE press (1998)). 파면 수차 항의 차수는 i = 2l + m + n과 동일하고 회전 대칭의 경우에 항상 짝수이다. i차의 독립적인 수차 계수의 총 개수는 수식 N_i = (i + 2)/(i + 4)/8 - 1에 의해 주어진다.

모든 파면 수차가 0이면, 파면은 구면이고, 모든 광선은 그의 곡률 중심에 수렴하며, 완벽한 기하학적 점 상이 획득된다. 광학 시스템에서의 수차의 존재 시에, 불완전한 상이 형성된다. 매우 유사하게, 광선 수차는, 도 1에 예시된 바와 같이, 상 평면(상 표면)에서 이상적인 상 점으로부터의 광선의 변위를 나타낸다.

면대칭을 갖는, 또는 어떠한 주어진 대칭도 갖지 않는 시스템(이들은 본 발명의 범위 내에 포함됨)의 경우, 회전 대칭 시스템에 존재하지 않는 부가 수차를 포함하는 유사한 전개가 존재한다(예를 들어, see Richard Barakat, Agnes Houston, “The Aberrations of Non-rotationally Symmetric Systems and Their Diffraction Effects”, Optica Acta, 13:1, 1-30 (1966) 참조).

본 발명의 실시예들에 따른 방법들은 회전 대칭, 면(들) 대칭 및 비-대칭 광학 시스템에 관한 것이다. 따라서, 각자의 수차 함수가 이로써 설명된다.

본 발명의 실시예들 중 임의의 것에 따른 컴퓨터 기반 방법들 중 임의의 것의 출력은 추가적인 광학 설계 프로그램에 대한 입력이다. 본 발명의 실시예들 중 임의의 것의 출력은 달성된 설계를 정의하는 전자 파일; 즉, 설계를 구성하는 광학 요소의 형상 또는 표면일 수 있다. 본 발명의 실시예들 중 임의의 것의 출력은 광학 표면을 갖는 결상 시스템의 제조를 위해 준비된 설계의 컴포넌트를 정의하는 수치 제어 기계용 전자 파일일 수 있다. 출력은 본 발명의 실시예들의 방법들 중 임의의 것을 수행하는, 하나 이상의 프로세싱 엔진에서 실행되는, 소프트웨어를 포함하는 컴퓨터 프로그램 제품일 수 있다. 출력은 컴퓨터 프로그램 제품을 저장하는 비일시적 신호 저장 매체일 수 있다.

1.1 회전 대칭 시스템의 수차 함수

x-축을 따라 좌표

를 갖는 물체 점으로부터 나오는 광선의 상 평면과의 교차점은 벡터 형태

으로 쓰여질 수 있고, 여기서

는 근축 광선 교차점을 나타낸다.

의 도입은 무한히 멀리 있는 물체 평면의 경우를 쉽게 처리할 수 있게 한다. 무한히 멀리 있는 물체의 경우, t는

가 되고, 여기서

는 광학 시스템에 들어오는 평행 광선의 필드각이다. 엡실론은, 제각기, 3차, 5차, 7차,...의 Buchdahl의 수차 다항식이다. 문헌에서 잘 알려진, x-좌표 및 y-좌표 성분은 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

7차까지 주어져 있으며, 인덱싱된 수차 계수

및

를 갖는다. 2개의 계수 v₁(디포커스) 및 v₂(틸트)는 완전성을 위해 추가되고,

가 근축 광선 교차점을 나타내는 경우에는 0이지만, 이들 최저차 항도 여기에서 나중에 고려될 것이다.

부터

까지의 5개의 계수는, 제각기, 3차 구면 수차, 코마, 비점수차, 상면 만곡(field curvature) 및 왜곡의 계수이다.

부터

까지의 5차 수차 계수들 중 9개만이 독립적이고, 3개의 부가 관계

및

이 존재한다. 유사하게,

부터

까지의 20개의 7차 계수들 중 14개만이 독립적이고, 6개의 부가 관계가 존재한다. 임의의 상위 수차 차수는 유사한 방식으로 도출될 수 있다. 임의로 일부 실시예들에서, 광선 수차 계수는 또한 파면 수차 계수로 표현될 수 있다. 일반적으로, i차의 독립적인 광선 수차 계수의 총 개수는 수식

에 의해 주어지며, 여기서 수차 차수 i는 회전 대칭의 경우에 항상 홀수이다.

x-축을 따른 t로 기술되는 물체 점(유한 거리) 또는 필드각(무한대에 있는 물체)으로부터 나오는 광선의 교차점은 벡터 형태

으로 쓰여질 수 있고, 여기서

는 이상적인 상 점을 나타낸다. 직교 좌표에서, 벡터 성분은

으로서 주어지고, 여기서, T(t)는 상 평면 D에서 t의 함수로서 이상적인 상 점 위치를 기술한다. 가장 일반적인 경우에, 이러한 상 평면은 또한 곡면 상 표면을 기술하는 함수 D(t)일 수 있다. 광학 수차를 평가할 때, 극각에 대한 이하의 관계에 따라 선택될 수 있는 상이한 동공 평면 단면에서 그렇게 하는 것이 통상적이며

[수학식 1.1]

여기서 정수 값 m_p는 고려된 동공 평면 단면의 총 개수를 기술하고 인덱스 p는 그러면 각도 도메인 [0, π/2] 내에서 각도 θ_p를 분산시킨다. 임의로, p = 1인 경우는 각도 = π = 0에 의해 주어지는 첫 번째, 소위 자오 평면에 대응한다(방향이 부호를 π로부터 0으로 바꾸지만 동일한 평면을 기술한다). p = 2에 대해, 두 번째 평면은 = π/2로 주어지며, 전형적으로 구결 평면이라고 지칭된다. 매 증분 p + 1에 대해, 각도에 의해 정의되는 하나의 추가적인 평면이 추가된다.

θ_p에 의해 주어지는 각각의 동공 평면 단면에 대해, 이 평면의 요소인 직교 동공 좌표

는 단일 동공 변수 q_p, 즉, 자오 평면에서의 (q₁,0), 구결 평면에서의 (0,q₂), 제1 비축 광선 평면

에서의

에 의해, 또는 일반적으로

[수학식 1.2]

로서 기술될 수 있다. 임의로, 일부 실시예들에서, 이것은 주어진 값 p = 1 ...에 대한 모든 평면에 적용된다.

m_p = 3의 경우를 더 상세히 고려해보면, 광선 수차 전개의 x-좌표 성분 및 y-좌표 성분

및

는 상이한 평면에서 평가될 수 있고, 여기서 두 번째 하위 인덱스 p는 각도 θ_p에 대해 고려된 평면을 나타낸다. 자오 평면(p = 1)의 경우, 수차(여기서 x = q₁)는 이하와 같다.

자오 평면에 대한 모든 y-성분

이 대칭으로 인해 0임에 유의한다. 구결 평면(p = 2)의 경우, 수차(여기서 y = q₂)는 x-좌표 성분에 대해 이하와 같고,

y-좌표 성분에 대해 이하와 같다.

첫 번째 비축 광선 평면(p = 3)의 경우, (q₃,t)에서의 수차는 x-좌표 성분에 대해 이하와 같고

y-좌표 성분에 대해 이하와 같다.

유리하게는, 이들 3개 평면보다 더 많은 것이 고려되는 경우(m_p≥ 인 경우), 광선 수차 급수 전개의 x-좌표 성분 및 y-좌표 성분

및

를 대응하는 변수 q_p의 함수로서 표현하기 위해, (θ_p를 갖는) 모든 부가 비축 광선 평면이 동일한 방식으로 사용될 수 있다. 그러한 상이한 평면들을 사용함으로써, 원래의 광선 또는 파면 수차 계수를 결정하고 격리시킬 수 있다는 것이 본 발명의 장점이다. 이것은 바람직하게는 단일 변수 q_p(q₁ = x, q₂ = y, q₃ 등) 및/또는 t에 대한 주어진 의존성에 대한 편도함수를, q_p = t = 0에서 평가된, 대응하는 수차 성분에 적용함으로써 행해진다. 예를 들어,

은 계수

에 비례하는 반면,

은 계수

에 비례한다. 이 개념에 따라, 상이한 평면에 대한 모든 수차 계수(또는 이들의 조합)는, q_p = t = 0에서 평가된, 관련 편도함수에 의해 표현될 수 있고, 상이한 행렬로 시각화될 수 있다. 예를 들어, 여기서 열은 열 a에서의 0차부터 시작하여 열 h에서의 7차까지, x에 대한 편도함수를 나타내고, 여기서 행은 행 1에서의 0차부터 시작하여 행 8에서의 7차까지, t에 대한 편도함수를 나타낸다. 이 형식을 사용하여, 이하의 도면은 변수 q_p 및 t에 동일한 의존성을 갖는 상기 동공 평면에서의 광선 수차에 대응하는 도함수를 도시한다. 따라서, 도 3은 자오 평면에서의 x-성분과 연관된 편도함수를 도시하고, 도 4는 구결 평면에서의 x-성분에 대한 편도함수를 도시하며, 도 5는 구결 평면에서의 y-성분에 관련된 편도함수를 도시한다.

도 6는 (π/3) 비축 광선 평면에서의 x-성분에 관련된 편도함수를 도시하고, 도 7은 (π/3) 비축 광선 평면에서의 y-성분에 연관된 편도함수를 도시한다.

줄을 그어 지워진 도함수 행렬 요소는 고려된 평면에서의 각자의 수차 x-성분 또는 y- 성분이 대칭으로 인해 이들 도함수에 의존하지 않음을 나타낸다. 회색-글꼴 행렬 요소는 고려된 평면에서의 각각의 수차 x-성분 또는 y- 성분이 이들 도함수에 의존하지만, 평면 순서를 따를 때 독립적인 수차 표현식을 제공하지 않음을 나타낸다. 예를 들어,

은 코마 계수

를 제공하고, 회색 글꼴의

도 그러하며, 둘 다 x = y = t = 0에서 평가된 것이다. 구결 평면에서의 x-성분과 y-성분에 대한 기존의 행렬 요소의 중복이 없기 때문에, 2개의 행렬

와

는, 도 8에 도시된, 단일 결합 행렬

로 결합할 수 있다.

이전에 언급된 바와 같이,

은 결합된 비점수차와 상면 만곡 계수

에 비례하고, 따라서 양쪽 수차를 독립적으로 결정하기 위해 하나의 부가 평면을 고려할 필요가 있다.

가 수차

에 비례하는 것에 의해, 표현식

와

를 아는 것은, 제각기, 수차

과

를 아는 것과 동등하다. 모든 수차를 독립적으로 결정하기 위해, 1차 수차는 자오 평면만을 요구하고, 3차(Seidel) 수차는 구결 평면에서의 y-성분 및 자오 평면을 요구하며, 5차 수차는 구결 평면에서의 x-성분 및 y-성분 둘 다 및 자오 평면을 요구한다. 각각의 4개의 추가적인 수차 차수마다, 새로운 비축 광선 평면의 하나의 부가 x-성분 또는 y-성분이 요구되고, 따라서 매 8개의 새로운 차수마다, 하나의 새로운 비축 광선 평면이 요구된다. 광선 수차 차수 i와 요구된 행렬 개수 사이의 관계는

로서 주어질 수 있고, 여기서

는 x보다 작거나 같은 가장 큰 정수이다. 이러한 평면들의 시퀀스는 주어진 수차 차수 i에 대한 독립적인 수차 급수 계수의 개수 N_i = (i + 1)(i + 7)/8이 요구된 평면 및 각자의 x-성분 및 y-성분에 대한 행렬에서의 동일한 결합 차수 i의 대각선에 있는 흑색-글꼴 행렬 요소의 개수와 동일하도록 보장한다.

임의의 상위 수차 차수로 쉽게 확장될 수 있는, 음영 사각형에 의한 요구된 평면 및 대응하는 흑색-글꼴 행렬 요소의 시각화가 도 9의 행렬에 도시되어 있다.

본 발명의 실시예들에 따른 방법이 모든 수차를 독립적으로 결정할 수 있게 하기 때문에, 반대로, 이것은 모든 행렬 요소가 (q_p = t = 0에서) 그에 따라 적용되고 0으로 설정되면, 모든 관련 광선 수차 및 파면 수차도 사라진다는 것을 의미한다. 여기에서 선택된 평면 순서는 주로 전통적인 이유로 인한 것이며, 임의의 다른 순서가 매우 유사한 방식으로 도출될 수 있다. 모든 다른 평면과 비교하여, 자오 평면은 y-성분에 대한 어떠한 의존성도 없다는 점에서 고유하다. 이러한 이유는 또한 모든 수차(구체적으로는

및

)를 결정하기 위해 3차 수차가 제2 평면을 이미 요구하기 때문이다. 이 순서로, 임의의 부가 비축 광선 평면(p≥3)은 수차 차수 i = 8 * p - 17을 갖는

에서 그의 첫 번째 흑색-글꼴 행렬 요소만을 갖는다.

1.2 비-회전 대칭 시스템의 수차 함수

(1) 대칭 없음, (2) 하나의 대칭 평면, (3) 2개의 대칭 평면을 갖는 시스템의 수차 함수가 간략히 논의된다(상세한 것에 대해서는, Richard Barakat, Agnes Houston, “The Aberrations of Non-rotationally Symmetric Systems and Their Diffraction Effects”, Optica Acta, 13:1, 1-30 (1966) 참조). 어떠한 대칭도 없는 경우, (동공 좌표 및 물체 좌표에 대한) 4개의 독립 변수 (x_p,y_p,t_x,t_y)의 모든 조합이 파면 수차 급수 전개에서 요구된다.

하나의 대칭 평면의 경우에, 4개의 독립 변수의 모든 조합이 파면 수차 전개에 나타나는 것은 아니다. x-z 평면에 대한 대칭을 가정하면, 파면 수차 함수 W는, x_p 및 t_x에 대한 어떠한 추가 제한도 없이, y_p, t_y 및 y_pt_y의 부호 변화에 불변이어야만 한다.

2개의 직교 대칭 평면이 있는 경우, 4개의 독립 변수의 파면 수차 전개에 대한 추가 제한이 부과된다. x-z 평면 및 y-z 평면에 대한 대칭을 가정하면, 파면 수차 함수 W는 x_p, t_x 및 x_pt_x, 그리고 y_p, t_y 및 y_pt_y의 부호 변화에 불변이어야만 한다. 불변으로 인해, 2개의 대칭 평면의 경우에, 파면 수차 함수 W가 짝수차 항만을 포함한다는 것을 보여주는 것은 어렵지 않다. 이 진술이 다른 2개의 경우에는 성립되지 않는다.

3개의 경우 각각에 대한 알려진 파면 수차 전개로부터, 통상의 기술자는 각자의 광선 수차 전개를 도출하는 방법을 문헌으로부터 알고 있다. 회전 대칭 경우와 유사하게, 모든 독립적인 수차 계수(또는 이들의 조합)는, x_p = y_p = t_x = t_y = 0에서 평가되는, 관련된 편도함수

로 표현될 수 있다 (

에 대해서도 마찬가지임). 2개가 아닌 4개의 독립 변수로 인해, 시각화가 실현가능하지 않지만, 원칙적으로 가능하다. 유사한 이유로, 동공 평면들의 시퀀스의 사용이 원칙적으로 가능하지만, 본 발명 전체에 걸쳐 비-회전 대칭 경우들 중 임의의 것에 대해 사용되지 않을 것이다.

2.1 회전 대칭 동축 시스템에 대한 설명

본 발명이 광학 표면을 갖는 회전 대칭 결상 시스템을 설계하기 위한 컴퓨터 기반 방법에 관한 것이기 때문에, 그러한 광학 시스템이 이로써 설명된다. 이 섹션은 렌즈 기반 시스템을 다루지만, 미러 기반 시스템은 유사하게 처리될 수 있고 일부 실시예들에 포함된다.

회전 대칭, 동축, 렌즈 기반 광학 시스템은 공통 광학 축 z를 따라 정렬된 N개의 굴절 광학 요소의 시퀀스에 의해 특징지어진다. 모든 광학 표면 f_i는 회전 대칭이고, 따라서 단일 반경 변수

의 함수로 표현될 수 있으며, 여기서

가 충족된다. 표면 함수

는 가장 일반적인 다항식 형태로 2N_i차까지의 급수 계수 f_i,2j를 갖는 짝수차 멱급수로서 표현될 수 있다.

[수학식 2.1]

r의 짝수차 멱수로 된 이러한 표현은 또한 (부가 구면 표면 항을 갖는 많은 광학 설계 프로그램에서) 공통 비구면 표면 기술과 같은 다른 회전 대칭 표면 함수뿐만 아니라 다른 유형의 짝수차 함수도 사용할 수 있게 한다. (유사하게 처리될 수 있는, 여기서 코닉 상수(conic constant)를 갖지 않는) 구면 표면의 경우에, 이들 계수는 매 차수마다 나타나는 곡률 반경 R_i에 의해 기술되며, 즉

[수학식 2.2]

원점에 관한 급수 전개는 또한 필요한 경우 수학식 2.1 및 수학식 2.2에서

를

로 대체함으로써 상이한 반경방향 오프셋 r₀로 시프트될 수 있다.

게다가, 변수 t에 의해 정의되는 물체로부터 나와서 동공 좌표 (x, y)를 통과하는 광선이 지점 (ui, vi)에서 f_i와 교차하는 이러한 가장 일반적인 형태로 기술하는 x-방향 및 y-방향에서의 광선 매핑 함수

를 도입하는 것이 중요하다. 이전에 설명된 바와 같이, 상이한 동공 평면 단면이 사용되는 경우, 동공에서의 광선 위치는 단일 동공 좌표 q_p에 의해 기술될 수 있다(수학식 1.1 및 수학식 1.2 참조). 따라서, 광선 매핑 함수

를 계수

및

를 갖는 (q_p,t)의 급수 전개로서 표현하는 것으로 충분하다.

[수학식 2.3]

[수학식 2.4]

이웃하는 표면들 사이의 모든 공간(예를 들어, 공기, 유리, 플라스틱 ...으로 채워짐)은 파장 λ, 온도 등의 함수일 수 있는 굴절률에 의해 기술된다. (고정된 온도, 압력 ...에 대한) 단일 파장 λ₀만이 고려되는 경우, 이 굴절률은 스칼라 값이 되고, 이는, 달리 언급되지 않는 한, 여기에서 항상 그렇다. 도 2는 그러한 렌즈 기반 광학 시스템의 가장 일반적인 레이아웃을 예시하고, 여기서 표면

는 다항식 (비구면) 및/또는 구면 표면으로서 정의될 수 있다.

광학 시스템은, 임의의 위치에 배치될 수 있고 광학 시스템 내에 동공 평면을 정의할 수 있는, 구경 조리개 A를 포함할 수 있거나 그렇지 않을 수 있다. 예를 들어, 도 2에서, 조리개는 제1 광학 표면 전방에서 광학 시스템의 입구에 배치된다.

물체로부터 상 공간까지의 광선 경로는 (n + 1)개의 거리

에 의해 기술될 수 있는 반면, 2개의 각자의 표면 사이의 축상 거리는 그러면

에 의해 주어진다. 일반적으로, 임의의 광선 경로를 따라 2개의 각자의 교차하는 표면 사이의 거리는 피타고라스 정리에 의해 주어지며, 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

[수학식 2.5]

(i = 2 ... n)에 대해, 여기서

는 2개의 각자의 표면 사이의 스칼라 굴절률을 나타내고,

와

는 2개의 각자의 교차점을 나타낸다. 첫 번째 거리 d₁(물체로부터의 거리)와 마지막 거리 d_n+1(상까지의 거리)는 표 1에 열거된 것과 유사하게 표현될 수 있다.

무한 물체 거리(IOD)의 첫 번째 경우(1a)에서, 거리 d₁은 굴절률 n_0,1(전형적으로 공기)을 포함하고,

은 (여기서

으로서 정의되는) 필드각 t의 함수인 파면의 법선 벡터이다. 벡터

는 첫 번째 표면과의 광선의 교차점

를 나타내고,

은 입사 파면 상의 임의의 점, 예를 들어, 원점일 수 있다.

유한 물체 거리 (FOD)의 두 번째 경우(1b)에서, 거리 d₁은 굴절률 n_0,1에 의존하고, 물체 점의 위치는 (t,0,z₀)로서 주어지며, 첫 번째 표면과의 광선 교차점은 피타고라스 정리에 의해 주어진다. 여기서, t는 광학 축에 대한 각도 대신에 x-방향에서의 물체 점의 위치를 기술한다. 물체로부터의 나가는 파면 w는 구면 파면이다. 유한 물체 점은 z₀가 상수인 평면 물체 또는 z₀ = z₀(t)에 의해 기술되는 성형된 물체 표면 중 어느 하나의 일부일 수 있다.

경우 1a와 경우 1b 둘 다에서, 마지막 거리 d_n+1는 마지막 표면

상의 교차점과 고려된 동공 평면 단면에 대한 좌표

에 의해 기술되는 실상 점(real image point) 사이의 피타고라스 정리와 굴절률 n_n,n+1을 곱하는 것에 의해 주어진다. 양쪽 경우에서, 상은 상수 D인 평면에, 또는 D = D(t)인 성형된 상에 있을 수 있다. 실상은 이상적인 상 (T(t),0,D)와 x-방향 및 y-방향에서의 수차를 더한 것에 의해 주어진다.

[수학식 2.6]

함수 T = T(t)는 필드각 t(경우 1a) 또는 물체 좌표 t(경우 1b)와 상 평면 또는 상 표면에서의 대응하는 상 점 사이의 이상적인 관계를 제공한다. 예를 들어, 경우 1a에서, 상 함수

는 상 점 (T(t),0,D)에서 필드각 t를 갖는 상이한 필드의 왜곡 없는 결상에 대응한다. 경우 1b에서, 함수 T = M·t는 전형적으로 배율 M을 포함한다(실상과 도립상의 경우, M은 음수임).

위에서 설명된 광선 매핑 함수와 유사하게, 광선 수차 함수

및

의 x-성분 및 y-성분은 임의의 동공 평면 단면에 대한 변수 (q_p,t)의 급수 전개로서 표현될 수 있고,

[수학식 2.7]

[수학식 2.8]

여기서

및

은 파면 수차, Buchdahl 등과 같은 다른 알려진 표현에 정확하게 관련될 수 있는 수차 계수이다. 예를 들어, x = t = 0에 대해

의 값을 구하는 것은, Buchdahl 계수

에 비례하는,

를 제공한다. 이것은 대칭으로 인해 계수들

및

중 몇 개가 0임을 의미한다.

일부 실시예들에서, 수차 계수

및

은 "행렬 수차 계수"(MAC)에 정확하게 관련될 수 있다. 행렬 수차 계수는 도 3 내지 도 9에 도시된 행렬로부터 획득되는 계수에 대응한다. 이는 위에서 설명된 바와 같이 파면 수차, Buchdahl 또는 광선 수차 계수로 표현할 수 있다. 예를 들어, x = t = 0에 대해

의 값을 구하는 것은, Buchdahl 계수

에 비례하는 MAC인,

를 제공한다. 이것은 일부 MAC이 정의에 의해 0임을 의미한다.

표 1의 표현식은 수학식 2.5와 함께 (유한 또는 무한) 물체로부터 상 공간까지의 임의의 광선 경로를 따른 거리 d_i의 전체 시퀀스를 제공한다. 매우 유사한 방식으로 설명될 수 있는 다른 경우는, 물체 측과 상 측에서의 들어오는 파면 및 나가는 파면 둘 다가 평면 파면에 의해 기술되고, 들어오는 필드각과 나가는 필드각 사이의 관계가 경우 1a의 d₁과 유사한 방식으로 거리 d_n+1에 대해 재정의될 수 있는, 무초점계(afocal system)이다.

따라서, 본 발명의 실시예들에 따른 회전 대칭 결상 시스템을 설계하기 위한 컴퓨터 기반 방법은 여기서 위에서 설명된 바와 같이 이하를 포함하는 시스템 사양을 컴퓨터에 입력하는 단계를 포함한다:

o 결상 시스템 파라미터들,

o 재료들의 파장 의존성,

o 광학 표면들의 표면 계수들의 개수,

o 동공 특성들(조리개 위치)

o 물체 공간 및 상 공간.

결상 시스템 파라미터는, 예를 들어, 임의로 결상 시스템이 설계되는 적어도 하나의 파장 또는 대역폭, 광학 표면의 개수, 광학 표면의 유형, 광학 표면의 재료, 결상 시스템에서 광이 전파되는 매체, 각각의 또는 적어도 하나의 광학 표면의 위치, 물체 공간 및 상 공간, 시야, 유효 f-수 등 중 하나 이상 또는 전부일 수 있다.

임의의 동공 평면 단면에 대한 페르마의 원리와 미분 방정식이 이로써 설명된다:

통상의 기술자에게 알려진 바와 같이, 페르마의 원리는 2개의 고정 점 사이의 광학 경로 길이가 광선(light ray)을 따라 극치(extremum)라는 것이다. 파면 w(t) 상의 고정된 그러나 임의의 점(유한 또는 무한 물체 거리)과 두 번째 표면

상의 고정된 그러나 임의의 점을 고려한다. 파면 w로부터 나와서

를 통과하는 광선은 가산된 광학 경로 길이 d₁ + d₂가 극치이도록 되어야 한다. 경계에 있는 지점이 고정된 상태에서, d₁ + d₂에 대한 극치를 달성하기 위한 유일한 남아 있는 변수는 첫 번째(중간) 표면 상의 지점

에서의 u_1,p 또는 v_1,p 중 어느 하나이다. 페르마의 원리는 따라서 이하를 암시하며

[수학식 3.1]

[수학식 3.2]

여기서 편도함수는

가 고정되어 있음을 나타낸다. 유사한 논거에 따라, 물체로부터 상 공간까지의 모든 정의된 거리 d_i에 대해 2개의 미분 방정식 세트를 도출할 수 있다.

[수학식 3.3]

[수학식 3.4]

n개의 표면을 포함하는 광학 시스템은, 주어진 그러나 임의의 동공 평면에 대해 페르마의 원리로부터 직접적으로 도출되는, n개의 미분 방정식 D_ix 및 n개의 미분 방정식 D_iy(단, i = 1 .. n임)에 의해 기술된다.

따라서, 본 발명의 실시예들에 따른 컴퓨터 기반 방법은 컴퓨터를 사용하여 이전 단계에서 제공된 시스템 사양을, 페르마의 원리를 적용하여, 예를 들어, 동공 평면마다의 2N_s개의 미분 방정식으로 변환하는 단계를 추가로 포함한다.

본 발명의 일부 실시예들에 따른 컴퓨터 기반 방법의 다음 단계는, 임의로, 잘 정의된 SCD(Selection-Consistency-Distribution) 규칙을 사용하여 공칭적으로 사라지도록 설정될 하나 이상의 동공 평면 단면에서의 광학 광선 수차 계수의 서브그룹을 컴퓨터에 입력하는 단계를 포함한다. 이들 임의적 선택 규칙은 설명에서 추가로 설명하고 잘 정의되어 있다. 선택되고 공칭적으로 소거된 수차 계수는 모든 매핑 함수 및 미지의 표면 계수를 계산하기 위해 유한 멱급수법이 어느 차수 및 어느 동공 평면 단면에 대해 적용되는지를 정의한다.

본 발명의 일부 임의적 실시예들에 따른 컴퓨터 기반 방법의 다음 단계는, 광선 트레이스 및 광학 표면과의 그의 교차점 및 이들로부터의 각각의 유효 구경을 정의하는, 광학 표면에 대한 표면 계수 및 매핑 함수 계수를 획득하기 위해 미분 방정식을 푸는 것이다.

구경 조리개/동공 좌표:

예를 들어, 도 1에서의 조리개가 배치될 수 있는 4개의 옵션이 있다. (A1) 광학 표면들 중 하나가 시스템의 조리개로서 역할하는 것으로 되어 있는 경우, 그의 광선 매핑 함수가 수학식 1.2로부터의 동공 좌표로 대체된다. 예를 들어, i 번째 표면이 동공 조리개(pupil stop)인 경우, 수학식 3.3 및 수학식 3.4 모두에서

가

로 대체된다.

개별 구경 조리개 A가 추가되는 경우, 그의 z-좌표 z_A는 동공 평면의 위치를 정의한다. 이러한 조리개의 위치결정에 대한 3개의 옵션이 있다: (A2) 입구 조리개(entrance stop), (A3) 2개의 광학 표면 사이의 조리개, 및 (A4) 상 평면 전방의 출구 조리개(exit stop). (A2-A4) 처리는 항상 동일하다. 좌표

는 조리개에 있는 동공 평면에서의 임의의 광선의 위치를 기술한다. 매 광선이 올바른 위치

를 통과하도록 보장하기 위해, 하나의 추가적인 조건이 충족되어야 한다. 선행 요소로부터 조리개를 향한 방향 벡터와 조리개로부터 후속 요소로의 방향 벡터가 일치해야 한다. 이것을 보장하는 하나의 방법은 이들 2개의 벡터의 외적이 0인 것이다. 예를 들어, 시스템 레이아웃이 인덱스 j와 인덱스 k를 갖는 2개의 연속적인 표면 사이의 z_A에 구경 조리개를 갖는다고 가정한다. 따라서,

[수학식 3.5]

이 충족되어야 한다. 수학식 3.5는 따라서 구경 조리개 A가 2개의 표면 사이에 배치되는 시스템 레이아웃을 기술하도록 요구받는다. 수학식 3.5의 외적은, 예를 들어, 그의 3개의 성분 모두에 대해 동시에 0일 수 있다. 구경 조리개로의 및 구경 조리개로부터의 2개의 방향 벡터에 대해 동일한 논거를 사용함으로써, 나머지 시스템 레이아웃 (A2) 및 (A4)가 또한 수학식 3.5와 유사한 외적을 사용하여 도출될 수 있는 3개의 추가 수학식을 요구한다. 따라서, 개별 구경 조리개(A2 내지 A4)를 갖는 모든 시스템 레이아웃(IOD 또는 FOD)은 원래의 수학식 3.3 및 수학식 3.4에 각각 추가되는 3개의 부가 방정식을 가져온다.

대수 방정식:

본 발명에 따른 바람직한 실시예에서, 함수

및 f_i 가 주어진 동공 평면 단면에서 미분 방정식 D_ix 및 D_iy(단, i = 1 .. n이거나 i = 1 .. n + 3(추가적인 조리개의 경우)임)에 대한 해석적(analytic)이고 매끄러운(smooth) 해법이라고 가정하면, 테일러의 정리는 함수가 무한번 미분가능하고(infinitely differentiable) 수학식 2.1, 수학식 2.2, 수학식 2.3, 수학식 2.4 및 수학식 2.6에 정의된 바와 같은 멱급수 표현을 가져야 한다는 것을 암시한다. 이들 미분 방정식을 풀기 위해, 알려진 멱급수법이 이용될 수 있다. 이 방법은 급수 계수를 결정하기 위해 멱급수 표현을 미분 방정식에 대입한다. 함수

및 f_i의 계수는 주어진 그러나 임의의 동공 평면 단면, 또는 이들의 조합에 대해 이하의 수학식의 값을 구하는 것에 의해 계산될 수 있다.

[수학식 3.6]

[수학식 3.7]

이들 수학식은, 일부 실시예들에서, 아래에서 설명될 선택 규칙 세트에 따라 특정 순서로 임의적으로 값이 구해질 수 있다. 수학식 3.6 및 수학식 3.7은 대수 방정식이고, 광선 수차에 직접적으로 연계될 수 있다(또는 일부 실시예들에서 수차 행렬에 임의로 연계될 수 있음).

수학식 3.6은 주어진 동공 평면 단면에 대한 수차의 x-성분에 대응한다. 등가 행렬의 흑색-글꼴 또는 회색-글꼴 요소가 수학식 3.6에 따라 적용되는 경우, 지수 k와 지수 l을 갖는 선택된 도함수는 모든 함수의 선두 (최상위) 급수 계수를 정의한다. 선두 수차는

이고, u_i,p의 선두 계수는

이며,

의 선두 계수는

이다. 표면이 조리개로서 정의되는 경우, f_i의 선두 계수는

이다.

수학식 3.7은 주어진 동공 평면 단면에 대한 수차의 y-성분에 대응한다. 등가 행렬의 흑색-글꼴 또는 회색-글꼴 요소가 수학식 3.7에 따라 적용되는 경우, 선두 MAC는

이고, v_i,p의 선두 계수는

이며,

의 선두 계수는

이다. 그것이 조리개로서 정의되는 경우, f_i의 선두 계수는

이다.

급수 계수

과

은

과

의 동일한 대칭을 공유한다. 이것은 함수의 계수

및

가 (k, l)에 대한 그들의 동일한 인덱스를 통해 광선 매핑 함수 u_i,p 및 v_i,p의 계수에 직접적으로 연계되고 행렬 요소에 관련된다는 것을 의미한다. 따라서, 대칭으로 인해 수차 의존성에 대응하지 않는 임의의 인덱스 쌍 (k, l)은

이라는 것도 의미한다.

다른 임의적인 대체 실시예에서, 본 방법은 차수 k, l의 편도함수를 2개의 미분 방정식 세트에 적용하는 단계 - 상기 차수 k, l은 각각의 동공 평면 단면에 대한 미리 정의된 수차 행렬을 사용하여 제공됨 - 를 추가로 포함하며, 여기서 각각의 미리 정의된 수차 행렬은 서브그룹의 각각의 광학 광선 수차를 상기 동공 평면 단면에서의 광선 수차 급수 전개의 차수 k, l의 편도함수에 연관시켜, 이에 의해 광학 표면 계수 및 광선 매핑 함수 계수에 대한 연립 방정식을 도출한다.

2.2 회전 대칭 광학 시스템에 대한 해법

여기서, 해법은 비구면 및/또는 구면 표면의 시퀀스, 예를 들어, 순서를 나타내기 위해 S-A-A-S-...에 의해 기술될 수 있는 모든 렌즈 시스템에 대해 도출된다. 모든 회전 대칭 광학 시스템의 경우, 설계 프로세스는 이하의 단계를 포함한다:

결상 시스템을 경우 1a(IOD) 또는 경우 1b(FOD)로서 지정한다

모든 광학 표면의 개수, 유형, 순서 및 재료를 정의한다

비구면 표면에 대한 계수

의 개수를 정의한다

수학식 2.6에 따른 T(t), 여기서 T(t)는 클래스 C^h의 미분가능 함수이어야 하고, 여기서 h는 적용될 최고 차수 도함수이다.

표면의 개수를 정의한다

모든 표면 정점 f_i,0의 초기 위치, 물체 평면 z₀(또는 물체 표면 z₀(t))의 위치, 상 평면 D(또는 상 표면 D(t))의 위치 및 설계 파장 λ₀을 정의한다

시스템의 조리개에 대한 옵션 (A1) 내지 옵션 (A4) 중 하나를 선택한다

고려된 동공 평면 p ≥ 1의 선택된 행렬 요소의 개수 및 고려된 수차의 최고 결합 차수 o_m = (k + l) (섹션 1.1 참조)를 정의한다

표면의 개수 및 유형, 동공 평면, 조리개 옵션 (A1) 내지 (A4) 및 차수 o_m은 그러면 수학식 3.3 내지 수학식 3.7에 따라 계산되는 방정식들의 총 개수를 결정한다

완전 비구면 표면 시스템의 경우에, 적어도 하나의 광선 수차 계수를 0이도록 선택한다; 0으로 설정된 각각의 선택된 광선 수차 계수에 대해, 하나의 표면 계수를 미지로(나중에 계산되도록) 선택하는 반면, 광선 수차와 표면 계수의 상기 쌍(들)은 도출된 대수 방정식들 중 적어도 하나에서 동시에 나타나야 한다

이전 단계에서 수차를 소거하는 데 사용되지 않은 임의의 남아 있는 표면 계수(들)는 (수동으로 또는 최적화를 통해) 대수 방정식에 대한 값으로서 입력되어야 한다.

컴퓨터를 사용하여 대수 연립 방정식의 선택된 행렬 또는 행렬 요소를 풀어서 광학 표면들에 대한 적어도 하나의 표면 계수, 모든 매핑 함수 계수들, 및 주어진 차수까지의 광선 수차 계수들을 출력으로서 획득한다. 전체적인 (비)선형 연립 방정식이 풀어질 수 있다. Newton-Raphson 알고리즘 등과 같은 표준 방법을 사용하여 모든 미지의 계수에 대해 서브그룹에 대한 전체적인 결합 연립 방정식이 동시에 풀어질 수 있다.

적어도 하나의 표면이 비구면인 경우에, 대수 연립 방정식은 미지의 계수들의 비선형 부분과 선형 부분으로 나누어질 수 있으며, 이들은 이어서 연속적으로 풀 수 있는 반면, 선형 부분은 가우스 소거법(Gaussian elimination) 알고리즘 등과 같은 표준 방법을 사용하여 풀어질 수 있다.

완전 비구면 시스템의 경우에, 제1 결합 차수만이 먼저 풀어지는 비선형 시스템이 얻어지게 한다. 임의의 고려되는 1보다 높은 결합 차수는 표준 방법을 사용하여 오름 차순으로 연속적으로 풀어질 수 있는 선형 방정식이 얻어지게 한다.

3.1 회전 대칭 광학 줌 시스템에 대한 일반 설명

섹션 2에서와 같이, 그러한 광학 시스템은 공통 광학 축을 따라 정렬된 N개의 광학 요소의 시퀀스에 의해 특징지어진다. 줌 시스템에서, 표면 형상은 변경되지 않은 채로 있지만; 계수 f_i,0은 상수가 아니라 변할 수 있으며 적어도 2개의 상이한 지정된 줌 위치에 대해서는 지정될 필요가 있다. 따라서, 표면은 수학식 3.11에 의해 기술되고

[수학식 3.11]

여기서 c는 로마 숫자 I, II ...로 된 상이한 줌 구성을 나타내며, 여기서 각각의 표면의 위치

는 상이한 측방 위치

로 시프트될 수 있다. x-방향과 y-방향에서의

가 임의의 동공 평면 단면에서 급수 계수

및

을 갖는 수학식 3.12 및 수학식 3.13으로 정의된다는 것을 의미하는 줌 구성을 나타내기 위해 추가된 인덱스 c를 제외하고는, 수학식 2.3 및 수학식 2.4에서의 광선 매핑 함수의 정의가 동일하게 유지된다.

[수학식 3.12]

[수학식 3.13]

마찬가지로, 광선 수차 함수

및

는 수학식 3.14 및 수학식 3.15와 같이 각각의 줌 구성 및 동공 평면 단면에 대한 변수 (q_p,t)의 급수 전개로서 표현된다.

[수학식 3.14]

[수학식 3.15]

본 발명의 일부 실시예들(아래에서 설명됨)은 "구성 행렬 수차 계수"(CMAC)를 사용한다.

모든 거리

은 IOD 경우 또는 FOD 경우에 대해 섹션 2에서 이전과 같이 계산되고, 이번에만, 인덱스 c에 의해 표시되는, 각각의 줌 구성에 대해 계산이 반복된다. 양쪽 경우에 대해, 상은 D^c가 상수인(그러나 최종적으로 각각의 줌 구성에 대해 시프트되는) 평면에 또는 D^c = D^c(t)인 성형된 상 표면에 있을 수 있다. 실상 점은 그러면, 다시 말하지만 각각의 정의된 줌 구성에 대해, 이상적인 상 점 (T^c(t), 0, D^c)에 x-방향 및 y-방향에서의 수차 멱급수 항들을 더한 것에 의해 주어진다

[수학식 3.16]

함수 T^c = T^c(t)는 각각의 줌 구성에 대한 필드각 t(경우 1a) 또는 물체 좌표 t(경우 1b)와 상 평면 또는 상 표면에서의 대응하는 상 점 사이의 이상적인 관계를 제공한다. 예를 들어, 경우 1a에서, 상 함수

는 상이한 줌 구성이 상이한 초점 거리

에 대응하는 경우에 대응한다. 경우 1b에서, 상 함수는 상이한 줌 구성에 대한 배율 M^c를 기술할 수 있다. 섹션 2에 따르면, 추가된 인덱스 c에 의해 표시되는, 각각의 줌 구성에 대해 물체로부터 상 공간까지 미분 방정식을 계산하기 위해 페르마의 원리가 각각의 정의된 줌 구성에 섹션별로 적용될 수 있다

[수학식 3.17]

[수학식 3.18]

상이한 동공 평면 옵션 (A1 내지 A4)은 이전과 같이 처리된다. 이것은, i 번째 표면이 주어진 줌 구성에 대한 동공 조리개인 경우, 미분 방정식 3.17 및 3.18 모두에서

가

로 대체된다. 개별 구경 조리개 A가 추가되는 경우, 그의 z-좌표

는, 역시 시프트될 수 있는, 각각의 줌 구성에 대한 동공 평면의 위치를 정의한다. 3개의 개별 동공 평면 옵션 (A2 내지 A4)은 외적을 사용하여 이전과 같이 처리되어, 미분 방정식 성분 x 및 y마다 그리고 줌 구성마다 부가 방정식을 가져온다.

대수 방정식:

수차 및 함수의 급수 전개의 계수

및

는 수학식 3.19 및 수학식 3.20의 값을 구하는 것에 의해 계산될 수 있다.

[수학식 3.19]

[수학식 3.20]

수학식 3.19 및 수학식 3.20은, 이전과 같이 그러나 이제는 상이한 줌 구성에 대해, 수차 도함수 행렬에 직접적으로 연계될 수 있다. 따라서, 각각의 줌 구성에 대해, 수학식 3.19는 주어진 동공 평면 단면에서의 x-성분

에 대응하고, 수학식 3.20은 주어진 동공 평면 단면에서의 y-성분

에 대응한다. 상이한 줌 구성에 대한 추가된 인덱스 c를 제외하고는, 적용된 도함수와 상이한 함수의 선두 계수 사이의 개별 관계는 동일하게 유지된다. 이전과 같이, 대칭으로 인해 수차 의존성에 대응하지 않는 임의의 인덱스 쌍 (k, l)은

및

이 역시 사라진다는 것을 의미한다.

3.2 회전 대칭 광학 줌 시스템에 대한 해법

여기서, 본 발명에 따른 방법의 실시예를 사용하는 해법은 주어진 순서의 구면 및/또는 비구면 광학 표면의 시퀀스에 의해 기술될 수 있는 모든 줌 렌즈 시스템에 대해 도출된다. 설계 프로세스는 하기의 단계를 포함한다:

줌 시스템을 경우 1a(IOD) 또는 경우 1b(FOD)로서 지정한다

모든 광학 표면의 개수, 유형, 순서 및 재료를 정의한다

비구면 표면에 대한 계수

의 개수를 정의한다

인덱스

에 의해 기술되는 2개 이상의 줌 구성을 정의한다

수학식 3.16에 따라 이상적인 상 점 관계 T^c(t)를 정의한다. 함수 T^c(t)는 클래스 C^h의 미분가능 함수이어야 하고, 여기서 h는 적용될 최고 차수 도함수이다.

모든 줌 구성에 대한 모든 표면의 초기 위치, 즉 모든 표면 정점

, 물체 평면

(또는 물체 표면

)의 위치(들), 상 평면 D^c(또는 상 표면 D^c(t))의 위치(들) 및 설계 파장 λ₀을 정의한다

시스템의 조리개에 대한 옵션 (A1) 내지 옵션 (A4) 중 하나를 선택한다

줌 구성마다 고려된 동공 평면의 개수

, 및 고려된 수차의 최고 결합 차수

를 정의한다

표면의 개수 및 유형, 동공 평면, 줌 구성, 조리개 옵션 (A1) 내지 (A4) 및 차수

은 그러면 수학식 3.19 및 수학식 3.20에 따라 계산되는 방정식들의 총 개수를 결정한다

적어도 하나의 광선 수차 계수를 0이도록 선택한다; 0으로 설정된 각각의 선택된 광선 수차 계수에 대해, 하나의 표면 계수를 미지로(나중에 계산되도록) 선택하는 반면, 광선 수차와 표면 계수의 상기 쌍(들)은 도출된 대수 방정식들 중 적어도 하나에서 동시에 나타나야 한다

이전 단계에서 수차를 소거하는 데 사용되지 않은 임의의 남아 있는 표면 계수(들)는 (수동으로 또는 최적화를 통해) 대수 방정식에 대한 값으로서 입력되어야 한다.

마지막 단계는 컴퓨터를 사용하여 대수 연립 방정식을 풀어서 광학 표면들에 대한 적어도 하나의 표면 계수, 모든 매핑 함수 계수들, 및 주어진 차수까지의 광선 수차 계수들을 출력으로서 획득하는 것이다. 전체적인 (비)선형 연립 방정식이 표준 방법을 사용하여 모든 미지의 계수에 대해 동시에 풀어질 수 있다. 적어도 하나의 표면이 비구면인 경우에, 대수 연립 방정식은 미지의 계수들의 비선형 부분과 선형 부분으로 나누어질 수 있으며, 이들은 이어서 연속적으로 풀 수 있다. 완전 비구면 줌 시스템의 경우에, 제1 결합 차수만이 먼저 풀어지는 비선형 시스템이 얻어지게 한다. 임의의 고려되는 상위 결합 차수는 오름 차순으로 연속적으로 풀어질 수 있는 선형 방정식이 얻어지게 한다.

결과적인 계산된 광학 줌 시스템은 고려된 줌 구성에 대한 모든 광선 수차(또는 이들의 조합)가 공칭적으로 없다. (예를 들어, 상이한 초기 값에 대해) 하나 초과의 해가 존재하는 경우, 모든 해는 상이한 광학 줌 시스템에 대응하지만 공칭적으로 동일한 부과 조건을 충족시킨다.

4.1 비-회전 대칭 시스템에 대한 일반 설명

본 발명의 실시예들은 광학 표면을 갖는 비-회전 대칭 결상 시스템을 설계하기 위한 컴퓨터 기반 방법에 관한 것이고, 그러한 광학 시스템이 이로써 설명된다. 이 섹션은 렌즈 기반 또는 미러 기반 시스템을 다루고; 반사 굴절(catadioptric) 시스템도 유사하게 처리될 수 있다. 본 발명의 회전 대칭 시스템과 비-회전 대칭 시스템에 대한 방법의 공통적인 속성으로 인해, 3개의 상이한 대칭 경우: (1) 대칭 없음, (2) 하나의 대칭 평면, (3) 2개의 대칭 평면을 갖는 시스템에 대해 주요 차이점만이 여기에서 논의될 것이다.

비-회전 대칭(자유형) 광학 표면

자유형 광학 표면 f_i는 비-회전 회전 대칭이고 따라서 2개의 독립 변수, 예를 들어, x와 y의 함수로서 표현된다. 표면 z = f_i(x,y)는 x에서는 N_j 차수까지 그리고 y에서는 N_k 차수까지의 급수 계수 f_i,j,k를 갖는 수학식 4.1과 같은 단항식 멱급수로서 표현될 수 있다.

[수학식 4.1]

이러한 단항식 전개는 달리 언급될 때까지 본문 전체에 걸쳐 완전 자유형 표면에 사용되지만, 또한, Zernike, Chebyshev, Forbes 등과 같은, 다양한 다른 자유형 표현으로 변환될 수 있다. 3개의 대칭 경우는 또한 어느 계수가 존재하는지를 정의한다:

(1) 대칭 없음: 원칙적으로 모든 급수 계수가 사용될 수 있다

(2) 하나의 대칭 평면: k(x-z 평면)에서 짝수 차수만

(3) 2개의 대칭 평면: j, k(x-z 평면 및 y-z 평면)에서 짝수 차수만

광선 매핑 함수 (u_i, v_i)는 이전과 같이 임의의 광선 경로를 기술하지만, 이제는 4개의 변수에 의존하며, 즉

[수학식 4.2]

[수학식 4.3]

물체로부터 상까지의 광선 경로는 이전과 같이 거리 d₁ .. d_n+1로 표현되고, 유일한 차이점은 대칭 경우 (1) 및 대칭 경우 (2)에서의 광학 표면이 경사져 있을 수 있다는 것이다. 광학 경로 길이 섹션이

를 도입함으로써 표현되도록, 이러한 틸트가 각각의 표면 f_i에 대한 회전 행렬 R_i에 도입된다. x-z 평면 대칭에 대한 회전 행렬은 y-축을 중심으로 한 회전만을 허용하는 반면, 대칭 없음의 경우에, 3개의 축 모두를 중심으로 한 임의의 회전이 가능하다. 2개의 대칭 평면의 경우에, 가능한 회전이 없으며, 시스템은 여전히 하나의 공통 광학 z-축을 갖는다.

유한 물체의 경우에, 물체는

에 의해 주어지고, 무한 경우에 대해, 입사 평행 광선의 방향 벡터가

로서 주어진다.

일단 물체 대 상 관계가 규정되면, 모든 광학 경로 길이 섹션은 이전과 같이 피타고라스 정리 등을 사용하여 표현될 수 있다. 실상은 다시 말하지만 규정된 상과 x-방향 및 y-방향에서의 수차의 합이다.

광선 수차 함수

및

의 x-성분 및 y-성분도 이제 4개의 변수에 의존하며(섹션 1.2 참조), 즉

[수학식 4.4]

[수학식 4.5]

여기서

및

은 섹션 1.2에 따라 정의된 광선 수차 계수이고, 파면 수차 등과 같은, 대안의 알려진 표현에 정확하게 관련될 수 있다.

이전과 동일한 논거를 사용하여, 페르마의 원리가 2개의 고정 점 사이의 광학 경로 길이가 광선을 따라 극치라는 것을 수학적으로 표현함으로써 2개의 연속 광학 경로 길이 섹션의 각각의 쌍에 적용되고, 그 결과

[수학식 4.6]

[수학식 4.7]

따라서, 본 발명의 실시예들에 따른 컴퓨터 기반 방법은 컴퓨터를 사용하여 이전 단계에서 제공된 시스템 사양을, 페르마의 원리를 적용하여, 2N_s개의 미분 방정식으로 변환하는 단계를 추가로 포함한다.

구경 조리개/동공 좌표:

4개의 옵션 (A1) 내지 (A4)는 이전과 동일하게 처리된다.

(A1), i 번째 표면이 동공 조리개인 경우, 수학식 4.6 및 수학식 4.7 모두에서

가

로 대체된다. (A2) 내지 (A4) -구경 조리개로의 및 구경 조리개로부터의 2개의 방향 벡터에 대해 이전과 동일한 논거를 사용하는 반면; 상기 조리개는, 고려된 대칭 경우에 따라, 회전 행렬 R_A를 통해 역시 경사질 수 있다. 개별 구경 조리개 (A2) 내지 (A4)를 갖는 모든 시스템 레이아웃(IOD 또는 FOD)은 원래의 수학식 4.6 및 수학식 4.7에 각각 추가되는 3개의 부가 방정식을 가져온다.

대수 방정식:

이전과 같이, 도출된 미분 방정식을 풀기 위해, 알려진 멱급수법이 사용된다. 함수

및 f_i의 계수는 주어진 그러나 임의의 결합 차수에 대해 이하의 수학식의 값을 구하는 것에 의해 계산될 수 있다.

[수학식 4.8]

[수학식 4.9]

수학식 4.8 및 수학식 4.9는, 이전과 같이, 광선 수차 x-성분 및 y-성분에 직접적으로 연계될 수 있는 대수 방정식이다.

급수 계수

과

은

과

의 동일한 대칭을 공유하는 반면, 대칭으로 인해 수차 의존성에 대응하지 않는 임의의 인덱스 튜플 (j, k, l, m)도 역시

을 의미한다.

4.2 비-회전 대칭 광학 시스템에 대한 해법

여기에, 모든 비-회전 대칭 광학 시스템에 대한 해법이 요약되어 있다. 대칭 경우 (1) 대칭 없음 및 대칭 경우 (2) 하나의 대칭 평면에 대해, 적어도 하나의 광학 요소가 고려되는 대칭에 따라 z-축에 대해 경사져 있다. 2개의 대칭 평면을 갖는 대칭 경우 (3)에 대해, 적어도 하나의 광학 표면은 자유형 형상이다. 설계 프로세스는 하기의 단계를 포함한다:

결상 시스템을 경우 1a(IOD) 또는 경우 1b(FOD)로서 지정한다

대칭 경우 (1), 대칭 경우 (2) 또는 대칭 경우 (3)을 정의한다

모든 광학 표면의 개수, 유형, 순서 및 재료를 정의한다

모든 광학 표면에 대한 계수의 개수를 정의한다

규정된 상 점 관계 T_x(t_x,t_y) 및 T_y(t_x,t_y)를 정의하고, 여기서 T_x 및 T_y는 클래스 C^h의 미분가능 함수이어야 하고, 여기서 h는 적용될 최고 차수 도함수이다.

설계 파장 λ₀, 모든 표면의 초기 정점 및 최종 회전 R_i, (FOD)의 경우에 물체 평면 z₀(또는 물체 표면 z₀(t_x,t_y))의 위치 및 최종 회전 R_obj, 상 평면 D(또는 상 표면 D(t_x,t_y))의 위치 및 최종 회전 R_IMA를 정의하고, 반면에 모든 도입된 회전 행렬은 정의된 대칭 경우와 매칭한다

시스템의 조리개에 대한 옵션 (A1) 내지 (A4) 중 하나를 선택한다; (A2) 내지 (A4)의 경우에, 정의된 대칭 경우에 따라 회전 행렬 R_A를 정의한다

고려된 수차의 최고 결합 차수 o_m = (j + k + l + m)를 정의한다(섹션 1.2 참조)

표면의 개수 및 유형, 동공 평면, 조리개 옵션 (A1) 내지 (A4) 및 차수 o_m은 그러면 수학식 4.6 내지 수학식 4.9에 따라 계산되는 방정식들의 총 개수를 결정한다

적어도 하나의 독립적인 광선 수차 계수를 0이도록 선택한다; 0으로 설정된 각각의 선택된 광선 수차 계수에 대해, 하나의 표면 계수를 미지로(나중에 계산되도록) 선택하는 반면, 광선 수차와 표면 계수의 상기 쌍(들)은 도출된 대수 방정식들 중 적어도 하나에서 동시에 나타나야 한다

이전 단계에서 수차를 소거하는 데 사용되지 않은 임의의 남아 있는 표면 계수(들)는 (수동으로 또는 최적화를 통해) 대수 방정식에 대한 값으로서 입력되어야 한다.

마지막 단계는 컴퓨터를 사용하여 대수 연립 방정식을 풀어서 광학 표면들에 대한 적어도 하나의 표면 계수, 모든 매핑 함수 계수들, 및 주어진 결합 차수까지의 광선 수차 계수들을 출력으로서 획득하는 것이다. Newton-Raphson 알고리즘 등과 같은 표준 방법을 사용하여 모든 미지의 계수에 대해 전체적인 (비)선형 연립 방정식이 동시에 풀어질 수 있다.

적어도 하나의 표면이 비구면 또는 자유형인 경우에, 대수 연립 방정식은 미지의 계수들의 비선형 부분과 선형 부분으로 나누어질 수 있으며, 이들은 이어서 연속적으로 풀 수 있는 반면, 선형 부분은 가우스 소거법 알고리즘 등과 같은 표준 방법을 사용하여 풀어질 수 있다.

완전 비구면 및/또는 완전 자유형 시스템의 경우에, 제1 결합 차수만이 먼저 풀어지는 비선형 시스템이 얻어지게 한다. 임의의 고려되는 1보다 높은 결합 차수는 가우스 소거법 알고리즘 등과 같은 표준 방법을 사용하여 오름 결합 차순(ascending combined order)으로 연속적으로 풀어질 수 있는 선형 방정식이 얻어지게 한다.

5 확장된 다색 해법

지금까지, 본 발명에 따른 모든 도출된 방법은 적어도 하나의 굴절 광학 표면을 갖는 시스템의 경우에 단일 파장 λ₀만을 고려한 반면, 굴절률은 재료의 선택에 따라 스칼라 값이었다. 확장된 파장 도메인 λ = [λ₁, λ₂]이 고려되는 경우, (유리 또는 플라스틱과 같은) 렌즈의 재료의 굴절률은,

이거나, 또는 재료의 굴절률 분포라고 지칭되는, 파장의 함수로 된다. 본 발명의 실시예들 중 임의의 것에 따른 이전에 정의된 단색 광학 설계 방법의 다색 성능이 지정된 파장 도메인에 대한 설계 프로세스 동안 어떻게 고려되고 제어될 수 있는지의 3가지 가능한 방법이 있다.

5.1 다수의 렌즈 재료를 사용하여 기존의 단색 해법을 적용

이 첫 번째 가능한 해결책은 (예를 들어, 플린트 유리 및 크라운 유리와 같은) 적어도 2개의 상이한 렌즈 재료를 사용하는 것이다. 이전 섹션으로부터의 단색 설계 방법이 직접적으로 사용될 수 있고 고려된 파장 도메인 내의 어딘가의 단일 기준 파장 λ₀에서 그대로 유지될 수 있다. 이 해결책은, 적절하게 선택되는 경우, 상이한 재료에 대해 상이한 분산 관계의 잘 알려진 균형 효과를 사용한다. 시스템 설계는 그러면 다색 평가(예를 들어, 광선 추적)를 사용하여 이전에 정의된 단색 설계 방법들 중 하나를 통해 획득되며, 여기서 단색 설계 방법의 초기 값은 고려된 파장 도메인에 대해 양호한 다색 성능을 보장하도록 선택된다. 재료의 선택 및/또는 설계 방법의 초기 값은, 예를 들어, 이러한 초기 자유도의 다색 기반 최적화를 사용하여 자동화될 수 있다.

5.2 다중 파장에 대한 결합된 단색 해법

두 번째 가능한 해결책은 본 발명의 단색 설계 방법들 중 하나를 사용하고 고려된 파장 도메인 내의 적어도 2개의(그 이상의) 개별 파장

에 대해 동시에 연립 방정식을 푸는 것이다. (줌이 없는) 모든 정적 시스템의 경우, 해법은 섹션 3에 설명된 줌 시스템과 매우 유사하고, 이하를 포함한다:

다중 줌 구성 대신에, 로마 숫자 인덱스 c를 갖는 구성은 여기에서 다중 파장 구성에 대응한다. 각각의 개별 파장

에 대해, 거리

는 각각의 파장 및 상이한 재료(적어도 2개)에 대한 변경된 스칼라 값만을 포함한다. 줌 시스템과 달리, 렌즈 요소는 움직이지 않기 때문에, 모든 표면

의 원래 위치는 일정하게 유지된다. 그에 따라, 수학식 3.12 내지 수학식 3.20은, 이제 상이한 파장 구성에 대해, 동일한 방식으로 정의된다. 유일한 추가의 차이점은, 광학 시스템이 모든 고려된 파장에 대해 동일하게 작동해야 하기 때문에, 필드각 t(경우 1a) 또는 물체 좌표 t(경우 1b)와 상 평면 또는 상 표면에서의 대응하는 상 점 사이의 이상적인 관계를 제공하는 함수 T^c = T^c(t) = T(t)가 전형적으로 모든 파장 구성에 대해 동일하다는 것이다. 2개의(또는 그 이상의) 구성에 대한 그리고 구면 및/또는 비구면 광학 표면의 시퀀스에 의해 기술될 수 있는 시스템에 대한 일반 해법은 그러면 파장 구성에 대해 섹션 3.2에서 정의된 그대로 작동한다.

결과적인 계산된 광학 시스템은 각각의 고려된 파장에 대한 모든 광선 수차(또는 이들의 조합)가 공칭적으로 없다. (예를 들어, 상이한 초기 값에 대해) 하나 초과의 해가 존재하는 경우, 모든 해는 상이한 광학 시스템에 대응하지만 공칭적으로 동일한 부과 조건을 충족시킨다.

다수의 개별 파장에 대한 색수차 없는(achromatized) 줌 시스템의 경우, 해법은, 예를 들어, 2개의 윗첨자 로마자를 사용하지만 이전에 설명된 것과 동일한 논거 및 해법을 따르는 것에 의한, 섹션 3에서의 단색 줌 시스템 설계 접근법의 확장이다. 임의의 회전 및 비-회전 대칭 시스템에 대해서도 유사한 논거가 적용된다.

5.3 색수차를 포함한 해법

세 번째 가능한 해결책은 본 발명의 실시예들에 따른 방법들 중 임의의 것에서 잘 알려진 색수차 급수 전개로 적어도 하나의 굴절 표면을 갖는 시스템의 파장 의존성을 처리하는 것이다. 이전과 같이, 특정 필드각 또는 점 물체에 대한 파면 수차는 구면인 것으로부터의 출사동에서의 그의 파면의 편차를 나타내고, 이번에는 파장에도 의존한다. 일반성을 잃지 않으면서, 물체는 x-축을 따라 배향된다. 파면 수차 함수는 그러면 수차 계수

를 갖는

로서 쓰여질 수 있는 반면, 경우 o = 0은 이전에 논의된 단색 경우를 나타낸다. 모든 파면 수차가 0이면, 파면은 구면이고, 모든 광선은 그의 곡률 중심에 수렴하며, 모든 파장에 대해 완벽한 기하학적 점 상이 획득된다. 유사하게, x-방향 및 y-방향에서의 모든 광선 매핑 함수 및 수차 급수는 이제 임의의 동공 평면 단면에 대해

의 함수로서 표현되며, 즉

[수학식 8.1]

[수학식 8.2]

[수학식 8.3]

[수학식 8.4]

표면의 수학적 기술은 이전에 정의된 대로 유지된다. 모든 거리 d_i는 그에 따라, 이제 파장의 함수인 굴절률

(예를 들어, 셀마이어 방정식(Sellmeier equation) 등을 사용함)를 사용하여 표현된다. 이상적인 상 점 (T(t),0,D)는 섹션 2에서와 같이 정의되는데, 그 이유는 그것이 전형적으로 파장에 의존하지 않아야 하지만, 상 측에서의 특정 분산이 요망된다면 함수

일 수도 있기 때문이다. 섹션 2에서와 같이 페르마의 원리가 적용될 수 있어, 수학식 2.3 및 수학식 2.4와 같은 2개의 미분 방정식 세트를 가져오지만, 여기서는 표현식 8.1 내지 표현식 8.4를 사용한다. 다시 말하지만, 개별 구경 조리개/동공 평면은 외적을 사용하여 섹션 3에서 소개된 그대로 처리될 수 있다.

대수 방정식:

섹션 2에서와 유사한 논거에 따라, 수학식 8.5 및 수학식 8.6의 값을 구하는 것에 의해 임의의 동공 평면 단면에서 함수 u_i,p, v_i,p 및 f_i,j의 멱급수의 계수가 계산된다.

[수학식 8.5]

[수학식 8.6]

초기 기준 파장 λ₀은 전형적으로 파장 도메인 λ = [λ_1, λ₂] 내의 어딘가에서 선택된다.

무색 수차 차수:

원래의 수차 시퀀스

(섹션 1에서 지정된 대로 정렬됨)는 이전과 같이 기준 파장 λ₀에서의 단색 수차를 기술한다. 파장에 대한 의존성은 색수차의 고려된 차수 m마다의 부가 수차

를 통해 도입된다. λ에서의 제1 차수는 모든 요소들이 항

와 곱해지는 동일한 수차 시퀀스에 의해 기술된다. 유사하게, λ에서의 제2 차수는 모든 요소들이 항

과 곱해지는 수차 시퀀스에 대응한다. 일반적으로, λ에서의 제m 차수는, 원래의 수차 시퀀스의 모든 요소들이 항

과 곱해진다.

거의 모든 결상 시스템에 대해, 전형적으로 파장(m = 1)에 대한 선형 의존성을 갖는 몇몇 수차 계수를 보정하는 것으로 충분하다. 이 경우에, 일반 해법은 다음 2개의 서브섹션에서 주어진다. 모든 상위 차수(m ≥ 2)에 대해, 매우 유사한 방식으로, 그리고 줌 및 비-회전 대칭 시스템을 포함하여, 본 발명에서 개시된 모든 설계 방법에 대해 해법이 도출될 수 있다.

5.3.1 색수차 없는 회전 대칭 광학 시스템에 대한 일반 해법

설계 프로세스는 섹션 2로부터의 모든 정의된 단계를 포함하고, 단지 몇몇 조정이 있다: 0으로 될 수차 계수가 이제 선택된 비구면 및/또는 구면 표면에 대한 주어진 자유도수에 대해

(단, m = 0 및 1임)로부터 섹션 5.3에 따라 선택된다. 섹션 5.1 내지 섹션 5.3으로부터의 계산은 (m = 1에 대한) 색수차를 포함하도록 확장되고 수학식 8.1 내지 수학식 8.6을 사용하여 적응된다.

결과적인 계산된 광학 시스템은 공칭적으로 선택된 모든 단색 및 색 광선 수차(또는 이들의 조합)가 없다. 하나 초과의 해가 존재하는 경우, 모든 해는 공칭적으로 동일한 부과 조건을 충족시키는 상이한 광학 시스템에 대응한다.

5.3.2 색수차 없는 회전 대칭 광학 줌 시스템에 대한 일반 해법

설계 프로세스는 섹션 3.1의 설명 및 섹션 3.2로부터의 모든 정의된 단계를 포함하며 단지 몇몇 조정이 있다: 행렬 요소가 이제 선택된 비구면 및/또는 구면 표면에 대한 주어진 자유도수에 대해 섹션 3.1 및 섹션 5.3에 따라

(단, m = 0 및 1임)로부터 적어도 2개의 상이한 줌 구성에 대해 정의되고 선택된다. 수학식 8.1 내지 수학식 8.4는 (적어도 2개의) 상이한 줌 구성에 대해 윗첨자 c에 의해 확장되고, 수학식 8.5 및 수학식 8.6은 그러면 각각의 줌 구성에 대한 모든 멱급수 계수를 계산하는 데 사용될 수 있다. 섹션 7.1 내지 섹션 7.3으로부터의 계산은 그에 따라 (m = 1에 대한) 색 행렬(들)을 포함하도록 확장되고 수학식 8.1 내지 수학식 8.6을 사용하여 적응된다.

결과적인 계산된 광학 줌 시스템은 공칭적으로 각각의 고려된 줌 구성에 대해 선택된 모든 단색 및 색 광선 수차(또는 이들의 조합)가 없다. 하나 초과의 해가 존재하는 경우, 모든 해는 공칭적으로 동일한 부과 조건을 충족시키는 상이한 광학 시스템에 대응한다.

6 부가 시스템 특징

이하의 특징 및 가능한 확장이 본 발명의 모든 이전 실시예들에 적용된다.

6.1 무초점계

(초점을 갖지 않는) 무초점계는 무한대에 있는 물체에 대해 필드의 임의의 순 수렴 또는 발산을 생성하지 않고 따라서 무한대에 상을 형성하는 시스템이다. 그의 속성은 각배율 M_α 및 횡배율 M_L에 의해 기술된다. 각배율 tan(α_in)=M_αtan(α_out)은 들어오는 필드각과 나가는 필드각을 연계시키는 반면(물체 대 상 관계), 횡배율 M_L=h_in/h_out은 광학 축에 대한 물체 광선 높이와 상 광선 높이를 연계시킨다. 무초점계는 (1) 약간의 변경 및 (2) 이전에 설명된 방법에 대한 추가 조건을 부과한다.

(1) 미분 방정식을 도출할 때 무한 물체 거리에 대해 마지막 거리 d_n+1은 d₁과 동일한 방식으로 표현된다. d_n+1에서의 나가는 파면의 법선 벡터는 각배율을 통해 각도

에 의해 정의되는 들어오는 파면에 관련된다.

(2) 정의된 횡배율을 충족시키는 것은 첫 번째 표면에서의 매핑 함수 u_1,p 및 v_1,p를 마지막 표면에서의 매핑 함수 u_n,p 및 v_n,p에 관련시키는 부가 조건, 즉 (a) u_1,p = M_Lu_n,p 및 (b) v_1,p = M_Lv_n,p를 요구한다. 이 2개의 방정식이 원래의 미분 방정식에 추가되고, 이어서 이전 섹션에서 설명된 바와 같이 풀어진다.

6.2 텔레센트릭 시스템

모든 필드의 주광선이 광학 시스템의 전방에서 및/또는 후방에서 광학 축에 평행한 경우, 결상 시스템은 물체 공간 및/또는 상 공간에서 텔레센트릭(telecentric)이다. 따라서, 물체 및/또는 상은 유한 거리에 있어야 한다. 텔레센트릭 시스템은 x-성분에 대한 원래의 미분 방정식 세트에 추가되는 텔레센트릭 공간마다 하나의 부가 조건을 부과한다.

(1) 물체 공간에서: 첫 번째 표면에서의 매핑 함수는 u_1,1 = t를 충족시켜야 한다

(2) 상 공간에서: 마지막 표면에서의 매핑 함수는 u_n,1 = T(t)를 충족시켜야 한다

이러한 이유는, 모든 주광선이 동공 평면의 중심을 통과함에 따라, 동공 평면 단면의 단일 단면, 예를 들어, 자오 평면에서만 양쪽 조건이 충족되어야 하기 때문이다. 텔레센트릭 조건에 대한 방정식(들)이 원래의 미분 방정식 세트에 추가된다. 이들은 동공 변수 p_q에 의존하지 않고 물체 변수 t에만 의존하며, 따라서 왜곡과 밀접하게 관련되고 함께 처리된다. 각각의 공칭적으로 소거된 왜곡 수차에 대해 오름 차순으로, 각각의 고려된 차수에 대해 하나 또는 2개의 대응하는 표면 계수를 선택함으로써 하나의 또는 양쪽 조건을 충족시키는 것이 가능하다. 부가 방정식(들)이 원래의 미분 방정식에 추가되고, 이어서 이전 섹션에서 설명된 바와 같이 풀어진다.

6.3 미러 기반 또는 반사 굴절 결상 시스템

지금까지, 모든 굴절 광학 시스템의 경우, 조건 f_i+1(0) > f_i(0)이 요구되었다. 적어도 하나의 반사가 발생하면, 이 조건은 더 이상 필요하지 않다. 하나의 (또는 다수의) 반사 표면의 경우에, f_i(0) 값은 임의의 렌즈 미러 기반 광학 시스템의 시퀀스를 정의한다. 표면 정점 시퀀스의 변화 외에도, 미분 방정식 세트는 이전 섹션에서 설명된 바와 같이 풀어진다. 내부 전반사(TIR)가 발생하는 표면에 대해 동일한 처리가 사용될 수 있다.

6.4 홀수차 표면 계수

전형적으로 회전 대칭 표면은 r의 짝수차 표면 계수만으로 기술된다. 홀수차 표면 계수, 즉 가장 일반적인 경우에

의 도입으로, 이전 섹션에서 설명된 방법을 그에 따라 적응시키는 것이 가능하다.

6.5 설계 파라미터로서의 표면 정점

일부 경우에, 적어도 하나의 수차 항을 공칭적으로 소거하기 위해 표면 정점들 f_i,0 중 적어도 하나를 사용하는 것이 유리한 것으로 입증될 수 있다. 이것은 그에 따라 이전 섹션에서 설명된 모든 방법에 대해 적용된다.

6.6 알려진 시스템에 대한 수차 계산

일반적으로, 모든 표면 계수가 주어지면, 모든 도출된 해법은 광선 수차를 해석적으로 계산할 수 있게 한다. 반대로, 본 발명에 도시된 바와 같이, 수차를 계산할 수 있게 하는 임의의 방법이 특정 수차를 0으로 설정하고 미지의 표면 계수를 그에 따라 계산하는 데 사용될 수 있다.

N개의 굴절 표면으로 구성된 시스템에 대한 모든 표면 계수 f_i,j가 잘 정의되고 주어지는 것으로 가정하면, 제안된 멱급수법은 오름 결합 수차 차순으로 모든 (단색) 색수차 계수를 계산할 수 있게 한다. 이것은 정적 또는 줌 (비)-회전 대칭 시스템을 포함하지만 이에 제한되지 않는 모든 가능한 시스템에 적용된다.

N개의 굴절 표면으로 구성된 줌 시스템에 대한 모든 계수

가 잘 정의되고 주어지는 것으로 가정하면, 제안된 멱급수법은 모든 줌 구성에 대해, 임의의 동공 평면 단면에 대해 그리고 오름 수차 차순으로 모든 수차 계수

및

을 계산할 수 있게 한다. 색 결함(chromatic imperfection)이 섹션 5.2(상이한 파장에서의 단색 수차) 및 섹션 5.3(색수차)에 따라 평가되는 정적 및 줌 시스템에 대해 동일한 논거가 적용된다.

알려진 광학 시스템에 대한 광선 수차 계수를 계산하는 해법은 항상 완전 비구면 시스템에 대한 해법을 따른다. 모든 표면 계수가 알려져 있기 때문에(구면 및/또는 비구면), 모든 기본 행렬 요소(essential matrix element)(도 9 참조)가 차수마다 그리고 모든 요구된 평면에 대해 적용된다. 각각의 결합 수차 차수에 대한 결과적인 연립 방정식은 매핑 및 수차 계수에서 항상 선형이며, 예를 들어, 가우스 소거법을 사용하여 풀어질 수 있다. 각각의 결합 수차 차수, 최종 줌 구성 및 파장(들)에 대해, 각각의 결합 차수에 대한 대응하는 도함수가 그에 따라 에 D_i,x 및D_i,y에 적용되고, 결과적인 선형 연립 방정식이 풀어진다. 이 계산은 최대 차수 o_m(전형적으로 20 이하)에 도달할 때까지 결합 수차 차수를 증분시키면서 반복된다. 그 결과, 본 발명의 실시예들 중 임의의 것에 따라 그 차수까지의 모든 광선 매핑 함수 및 광선 수차 계수가 임의의 주어진 시스템에 대해 계산된다. 대조적으로, 종래의 직접 계산 방법은 제한된 개수의 저차 수차 계수(전형적으로 3차까지)만을 계산할 수 있다. 상위 차수의 경우, 수차 계수의 값을 계산하기 위해 광선 추적이 요구된다. 광학 시스템의 결상 품질을 추정하기 위해 또는 최적화에 대한 성능 지수(figure of merit)로서 상위 차수까지 완전히 알려진 수차가 사용될 수 있다. 게다가, 표면 계수에 대한 수차 계수의 도함수의 값을 구하는 것이 가능하며, 이는 개별 수차에 대한 상기 계수의 영향의 직접적인 척도를 제공한다.

7. 대체 실시예

대체 실시예에서, 본 발명의 방법은 차수 k, l의 편도함수를 N_s개의 미분 방정식의 2개의 세트에 적용하는 단계 - 상기 차수 k, l은 각각의 동공 평면 단면에 대한 미리 정의된 수차 행렬을 사용하여 제공됨 - 를 추가로 포함하며, 여기서 각각의 미리 정의된 수차 행렬은 서브그룹의 각각의 광학 광선 수차를 상기 동공 평면 단면에서의 광선 수차 급수 전개의 차수 k, l의 편도함수에 연관시켜, 이에 의해 광학 표면 계수 및 광선 매핑 함수 계수에 대한 연립 방정식을 도출한다.

7.1 임의의 동공 평면 단면에 대한 행렬 선택 규칙

예를 들어, 수학식 2.1 및 수학식 2.2에 따른 두 가지 일반 유형의 표면이 있다. r의 짝수차마다 하나의 급수 계수에 의해 기술되는 다항식 (비구면) 표면, 및 r의 모든 짝수차에 나타나는 단일 변수인 곡률 반경에 의해 기술되는 구면 표면. 임의의 회전 대칭 시스템은 A_AS_S로서 기술되는 이 두 유형의 표면의 조합으로 구성될 수 있고, 여기서, 인덱스 A 및 인덱스 S는, 제각기, 각각의 표면 유형의 개수를 나타낸다. 일 실시예에서, 이하의 행렬 요소 선택 규칙이 모든 행렬

및

에 적용된다:

인덱스 i 및 최고 차수 2N_i를 갖는 각각의 비구면 표면은 가용 계수 f_i,2j마다 최대 하나의 흑색-글꼴 행렬 요소를 선택할 수 있게 하며, 여기서 짝수 2j는 결합 차수와 이 행렬 요소

의 1을 더한 것과 동일해야 한다. 즉, 2j = a + b + 1이다.

(인덱스 i₀을 갖는) 하나의 비구면 표면이 조리개(A1)로서 역할하는 경우에, 이것은 가용 계수

마다 최대 하나의 흑색-글꼴 행렬 요소를 선택할 수 있게 하며, 여기서 2j = a + 1이 충족된다.

곡률 반경 R_i에 의해 기술되는 각각의 구면 표면은 최대 하나의 개별 흑색-글꼴 행렬 요소

를 선택할 수 있게 한다.

(인덱스 i₀을 갖는) 하나의 구면 표면이 조리개(A1)로서 역할하는 경우에, 이것은 최대 하나의 흑색-글꼴 행렬 요소를 선택할 수 있게 하며, 여기서 a≠0이 충족된다.

이 실시예에서, 이하의 행렬 요소 일관성 규칙이 모든 동공 평면 단면(따라서, 모든 그룹화된 행렬

)에 적용된다:

동공 평면 단면에서의 각각의 선택된 흑색-글꼴 행렬 요소

에 대해, 인덱스 (a - 2, b) 및 인덱스 (a, b - 2)를 갖는 각각의 이웃하는 흑색-글꼴 행렬 요소가, 존재하는 경우, 역시 선택되어야 한다.

본 발명의 이 추가 실시예에서, 이하의 행렬 요소 분포 규칙이 주어진 시스템 A_pS_q 및 행렬

(본 명세서에서 명시된 바와 같이 정렬됨)에 적용된다:

선택 규칙 및 일관성 규칙에 따라 자오 평면 행렬

로부터의 요소만을 선택하기 위해 최대 개수의 행렬 요소가 완전히 사용될 수 있다.

최대 개수의 행렬 요소가 정렬된 행렬들 간에 선택 규칙 및 일관성 규칙에 따라 분포될 수 있다. 이어서, 행렬

(단, p ≥ 2임)로부터의 행렬로부터의 각각의 행 및 각각의 열에 대해 선택된 행렬 요소의 최고 결합 차수 (a + b)는 선행 행렬의 각각의 각자의 행 및 열에 대한 최고 결합 차수를 초과할 수 없다.

이러한 선택 규칙, 일관성 규칙 및 분포 규칙은, 본 발명에 따른 바람직한 실시예에서, 컴퓨터 기반 방법으로 구현된다.

7.2 회전 대칭 광학 시스템에 대한 해법

여기서, 추가 해법은 A_AS_S, 예를 들어, 순서를 나타내기 위해 S-A-A-S-…에 의해 기술되는, 비구면 및/또는 구면 광학 표면의 시퀀스에 의해 기술될 수 있는 모든 렌즈 시스템에 대해 도출된다. 모든 회전 대칭 광학 시스템의 경우, 설계 프로세스는 이하의 단계를 포함한다:

결상 시스템을 무한 물체 거리(IOD)를 갖는 경우 1a 또는 유한 물체 거리(FOD)를 갖는 경우 1b로서 지정한다.

수학식 2.6에 따라 이상적인 상 점 관계 T(t)를 정의한다. 함수 T(t)는 클래스 C^h의 미분가능 함수이어야 하고, 여기서 h는 적용될 최고 차수 도함수이다.

표면 A_AS_S의 개수, 그들의 순서 및 물체로부터 상 공간까지의 재료를 정의한다.

표면 정점 f_i,0의 초기 위치, 물체 평면 z₀(또는 물체 표면 z₀(t))의 위치, 상 평면 D(또는 상 표면 D(t))의 위치 및 설계 파장 λ₀을 정의한다.

구경 조리개 또는 표면에 대한 옵션 (A1) 내지 옵션 (A4) 중 하나를 시스템의 조리개로서 선택한다.

각각의 비구면 표면에 대한 이용가능한 표면 계수 f_i,j (j = 2, 4,...)의 개수를 지정한다.

선택 규칙, 일관성 규칙 및 분포 규칙에 따라 행렬 요소를 선택한다.

표면의 개수 및 유형, 선택된 조리개 옵션 (A1) 내지 (A4) 및 행렬 요소의 선택은 그러면 수학식 3.3 내지 수학식 3.7에 따라 계산될 수 있는 대응하는 방정식들의 총 개수를 결정한다.

7.3 완전 비구면 시스템(A _A S ₀ )에 대한 일반 해법

본 발명의 일 실시예에 따른 추가의 방법은 완전 비구면 시스템에 대한 일반 해법을 제공한다.

완전 비구면 표면 시스템의 경우, 계산법은, 섹션 4에 따라 1차, 3차 ... o_m차, 최고 결합 차수 o_m = (a + b)까지의, 도함수 행렬 또는 행렬들로부터의 선택된 요소의 대각선의 차수 o_d를 따른다. 일반 해는, 이하의 계산 루틴을 반복함으로써, o_m에 도달할 때까지 o₁, o₃, ...에 대해 오름 차순(d = 1,3 ...)으로 계산된다:

(1) o_d 번째 대각선의 선택된 행렬 또는 행렬 요소가 수학식 3.6 및 수학식 3.7을 통해 CEQ에 적용되고, 표면 계수 f_i,d+1, MAC

및

및 매핑 계수

및

에 대한 비선형(d = 1) 또는 선형(d > 1) 연립 방정식을 가져온다.

(2) 모든 나타나는 MAC

및

가 0으로 설정된다. 이용가능한 표면 계수 f_i,d+1의 개수에서 선택된 행렬/행렬 요소의 개수를 빼면 초기 값으로 미리 정의될 필요가 있는 계수 f_i,d+1의 개수가 주어진다. 남아 있는 미지의 계수 f_i,d+1, u_i,p,k,l 및 v_i,p,k,l의 개수는 그러면 방정식의 개수와 동일하고, (비)선형 대수 연립 방정식이 미지의 계수 f_i,d+1, u_i,p,k,l 및 v_i,p,k,l에 대해 풀어질 수 있다.

(3) 다른 고려된 행렬들 및 평면들 중 임의의 것에서 동일한 인덱스를 갖는 회색-글꼴 행렬 요소에 대응하는 선택된 행렬 요소

(단, d = a + b임)가 있는 경우, 이들 회색-글꼴 행렬 요소가 수학식 3.6 및/또는 수학식 3.7을 통해 CEQ에 적용되고, 풀어질 수 있는 매핑 계수 u_i,p,k,l 및/또는 v_i,p,k,l에 대한 (비)선형 연립 방정식을 가져온다.

일단 최고 차수 o_m이 풀어지면, 계산 루틴이 종료된다. 선택된 행렬/행렬 요소가 모두 0으로 설정된 동일한 차수의 MAC에 직접적으로 대응하기 때문에, 결과적인 계산된 광학 시스템은 공칭적으로 이들 MAC과 연관된 모든 광선 수차(또는 이들의 조합)가 없다. (예를 들어, 상이한 초기 값에 대해) 하나 초과의 해가 존재하는 경우, 모든 해는 상이한 광학 시스템에 대응하지만 공칭적으로 동일한 부과 조건을 충족시킨다.

7.4 완전 구면 시스템(A ₀ S _S )에 대한 일반 해법

본 발명에 따른 일 실시예에서, 완전 구면 시스템에 대한 일반 해법이 이로써 설명된다.

완전 구면 표면 시스템의 경우에, 계산법은 다음과 같다:

(1) 모든 선택된 행렬 또는 행렬 요소가 수학식 3.6 및 수학식 3.7을 통해 CEQ에 적용되고, 표면 계수 R_i,

및

의 MAC 및 매핑 계수 u_i,p,k,l 및 v_i,p,k,l에 대한 제1 비선형 연립 방정식을 가져온다. 모든 나타나는 MAC

및

이 0으로 설정된다.

(2) 이용가능한 반경 R_i의 개수에서 선택된 행렬/행렬 요소의 개수를 빼면 초기 값으로 미리 정의될 필요가 있는 계수 R_i의 개수가 주어진다. 남아 있는 미지의 계수 R_i, u_i,p,k,l 및 v_i,p,k,l의 개수는 그러면 ((1)에서의) 방정식의 개수와 동일하다.

(3) 다른 고려된 행렬들 및 평면들 중 임의의 것에서 동일한 인덱스를 갖는 회색-글꼴 행렬 요소에 대응하는 선택된 행렬 요소

(단, d = a + b임)가 있는 경우, 이들 회색-글꼴 행렬 요소가 수학식 3.6 및/또는 수학식 3.7을 통해 CEQ에 적용되고, 제1 연립 방정식에 추가되는, R_i 및 매핑 계수 u_i,p,k,l 및/또는 v_i,p,k,l에 대한 제2 비선형 연립 방정식을 가져온다.

(4) 전체적인 결합된 비선형 연립 방정식은, 전형적으로 수치 솔버를 사용함으로써, 모든 미지의 계수 R_i, u_i,p,k,l 및 v_i,p,k,l에 대해 동시에 풀어질 수 있다.

(5) 결과적인 계산된 광학 시스템은 공칭적으로 선택된 및 적용된 행렬/행렬 요소를 통해 사라지는 MAC과 연관된 모든 광선 수차(또는 이들의 조합)가 없다. 하나 초과의 해가 존재하는 경우, 모든 해는 상이한 광학 시스템에 대응하지만, 공칭적으로 동일한 부과 조건을 충족시킨다.

7.5 비구면 표면과 구면 표면이 결합된 시스템(A _A S _S )에 대한 일반 해법

본 발명에 따른 다른 실시예에서, 본 발명은 비구면 표면과 구면 표면이 결합된 시스템에 대한 일반 해법을 제공한다.

"혼합된" 표면 시스템의 경우, 계산법은 섹션 7.4 및 섹션 7.5에서의 두 가지 계산법의 수정된 조합이고 다음과 같이 작동한다:

(1) 구면 표면에 대해 적어도 하나의 행렬 요소가 선택되어 있는 최고 결합 차수 o_s를 식별한다. 이 결합 차수 o_s까지의 모든 선택된 행렬 또는 행렬 요소는 그러면 선택된 행렬 또는 행렬 요소의 서브그룹을 형성한다.

(2) 이 서브그룹의 모든 요소가 수학식 3.6 및 수학식 3.7을 통해 CEQ에 적용되고, 표면 계수 R_i, f_i,j,

및

의 MAC 및 매핑 계수 u_i,p,k,l 및 v_i,p,k,l에 대한 제1 비선형 연립 방정식을 가져온다. 모든 MAC

및

이 0으로 설정된다.

(3) 이 서브그룹 내의 이용가능한 변수 R_i 및 f_i,j의 개수에서 이 서브그룹의 선택된 행렬/행렬 요소의 개수를 빼면 초기 값으로 미리 정의될 필요가 있는 계수 R_i 및/또는 f_i,j의 개수가 주어진다. 남아 있는 미지의 계수 R_i, f_i,j, u_i,p,k,l 및 v_i,p,k,l의 개수는 그러면 ((2)에서의 서브그룹에 대한) 방정식의 개수와 동일하다.

(4) 다른 고려된 행렬들 및 평면들 중 임의의 것에서 동일한 인덱스를 갖는 회색-글꼴 행렬 요소에 대응하는 서브-그룹 내의 선택된 행렬 요소

(단, d = a + b임)가 있는 경우, 이들 회색-글꼴 행렬 요소가 수학식 3.6 및/또는 수학식 3.7을 통해 CEQ에 적용되고, 제1 연립 방정식에 추가되는, R_i, f_i,j, u_i,p,k,l 및 v_i,p,k,l에 대한 제2 비선형 연립 방정식을 가져온다.

(5) 서브그룹에 대한 전체적인 결합 연립 방정식은, 전형적으로 수치 솔버를 사용함으로써, 모든 미지의 계수 R_i, f_i,j, u_i,p,k,l 및 v_i,p,k,l에 대해 동시에 풀어질 수 있다.

(6) 일단 구면 표면에 관련된 모든 행렬/행렬 요소를 포함하는 서브그룹이 풀어지면, 최종적으로 남아 있는 미지의 비구면 표면 계수는, d = o_s + 2에서 시작하여 (비구면 행렬 요소로부터의) 최대 결합 차수 o_m에 도달할 때까지, 오름 차순으로, 섹션 7.4에서 정의된 정확한 해법에 따라 계산된다.

이전과 같이, 결과적인 계산된 광학 시스템은 공칭적으로 선택된 및 적용된 행렬/행렬 요소를 통해 MAC과 연관된 모든 광선 수차(또는 이들의 조합)가 없다. 하나 초과의 해가 존재하는 경우, 모든 해는 공칭적으로 동일한 부과 조건을 충족시키는 상이한 광학 시스템에 대응한다.

본 발명에 따른 다른 실시예에서, 이 방법은 추가로, 이로써 설명된 바와 같이, 회전 대칭 광학 줌 시스템의 계산에 적용될 수 있다.

7.6 회전 대칭 광학 줌 시스템에 대한 일반 설명

섹션 2에서와 같이, 그러한 광학 시스템은 공통 광학 축 z를 따라 정렬된 N개의 굴절 광학 요소의 시퀀스에 의해 특징지어진다. 줌 시스템에서, 수학식 2.1 및 수학식 2.2에서의 표면 형상은 변경되지 않은 채로 있지만; 계수 f_i,0은 상수가 아니라 변할 수 있으며 적어도 2개의 상이한 지정된 줌 위치에 대해서는 지정될 필요가 있다. 줌 시스템의 경우에, 표면은 수학식 6.1에 의해 기술되고

[수학식 6.1]

여기서 c는 로마 숫자 I, II ...로 된 상이한 줌 구성을 나타내며, 여기서 각각의 표면의 위치

는 상이한 측방 위치

로 시프트될 수 있다. x-방향과 y-방향에서의

가 임의의 동공 평면 단면에서 급수 계수

및

을 갖는 수학식 6.2 및 수학식 6.3으로 정의된다는 것을 의미하는 상이한 줌 구성을 나타내기 위해 추가된 인덱스 c를 제외하고는, 수학식 2.3 및 수학식 2.4에서의 광선 매핑 함수의 정의가 동일하게 유지된다.

[수학식 6.2]

[수학식 6.3]

마찬가지로, 광선 수차 함수

및

는 수학식 3.14 및 수학식 3.15와 같이 각각의 줌 구성 및 동공 평면 단면에 대한 변수 (q_p,t)의 급수 전개로서 표현되고

[수학식 6.4]

[수학식 6.5]

이는 이제부터 "구성 행렬 수차 계수"(CMAC)

및

이라고 불린다.

모든 거리

은 IOD 경우 또는 FOD 경우에 대해 섹션 2에서 이전과 같이 계산되고, 이번에만, 인덱스 c에 의해 표시되는, 각각의 줌 구성에 대해 계산이 반복된다. 양쪽 경우에 대해, 상은 D^c가 상수인(그러나 최종적으로 각각의 줌 구성에 대해 시프트되는) 평면에 또는 D^c = D^c(t)인 성형된 상 표면에 있을 수 있다. 실상 점은 그러면, 다시 말하지만 각각의 정의된 줌 구성에 대해, 이상적인 상 점 (T^c(t), 0, D^c)에 x-방향 및 y-방향에서의 수차 멱급수 항들을 더한 것에 의해 주어진다

[수학식 6.6]

함수 T^c = T^c(t)는 각각의 줌 구성에 대한 필드각 t(경우 1a) 또는 물체 좌표 t(경우 1b)와 상 평면 또는 상 표면에서의 대응하는 상 점 사이의 이상적인 관계를 제공한다. 예를 들어, 경우 1a에서, 상 함수

는 상 점 (T ^c (t),0,D ^c )에서 필드각 t를 갖는 상이한 필드의 왜곡 없는 결상에 대응하고, 여기서 상이한 줌 구성은 상이한 유효 초점 거리

에 대응한다. 경우 1b에서, 상 함수

는, 예를 들어, 상이한 줌 구성에 대한 상이한 배율 M^c를 기술한다.

섹션 2에 따르면, 추가된 인덱스 c에 의해 표시되는, 각각의 줌 구성에 대해 물체로부터 상 공간까지 2개의 미분 방정식 세트를 계산하기 위해 페르마의 원리가 각각의 정의된 줌 구성에 섹션별로 적용될 수 있다

[수학식 6.7]

[수학식 6.8]

상이한 동공 평면 옵션 (A1 내지 A4)은 이전과 같이 처리된다. 이것은, i 번째 표면이 주어진 줌 구성에 대한 동공 조리개인 경우, 미분 방정식 6.7 및 6.8 모두에서

가

로 대체된다. 개별 구경 조리개 A가 추가되는 경우, 그의 z-좌표

는, 역시 시프트될 수 있는, 각각의 줌 구성에 대한 동공 평면의 위치를 정의한다. 3개의 개별 동공 평면 옵션 (A2 내지 A4)은 외적을 사용하여 이전과 같이 처리되어, 미분 방정식 성분 x 및 y마다 그리고 줌 구성마다 부가 방정식을 가져온다.

조건 방정식:

함수의 테일러 급수의 계수

및

는 적응된 선택 규칙 세트에 따라 모든 정의된 줌 구성에 대해 특정 순서로 수학식 6.9 및 수학식 6.10의 값을 구하는 것에 의해 계산될 수 있다.

[수학식 6.9]

[수학식 6.10]

수학식 6.9 및 수학식 6.10은 이제부터 "구성 조건 방정식"(CCEQ)이라고 지칭되고, 이전과 같이 그러나 이제는 상이한 줌 구성에 대해, 수차 도함수 행렬에 직접적으로 연계될 수 있다. 이는, 각각의 줌 구성에 대해, 수학식 6.9는 주어진 동공 평면 단면에서의 x-성분(행렬

)에 대응하고, 수학식 6.10은 주어진 동공 평면 단면에서의 y-성분(행렬

)에 대응한다는 것을 의미한다. 각각의 줌 구성은 섹션 1에서 정의된 바와 같이 행렬들의 시퀀스를 갖는다. 상이한 줌 구성에 대한 추가된 인덱스 c를 제외하고는, 적용된 행렬 요소와 상이한 함수의 선두 계수 사이의 개별 관계는 동일하게 유지된다. 이전과 같이, 이들 행렬을 통해 연계되지 않는 모든 급수 계수

및

은 대칭으로 인해 0이다.

7.7 행렬 선택 규칙:

섹션 2.2에서의 이전에 정의된 선택, 일관성 및 분포(SCD) 규칙 모두는 각각의 개별 줌 구성에 유효인 채로 있다. 이제, 주어진 줌 시스템 Z:A_AS_S의 구면/비구면 표면의 전체 자유도는 상이한 줌 구성들 간에 그리고 상이한 동공 평면 단면 행렬들 간에 분산될 수 있다. 각각의 지정된 줌 구성(적어도 2개)에 대해, 적어도 하나의 행렬 요소(들)가 SCD 규칙에 따라 선택될 수 있는 반면, 모든 줌 구성에 걸쳐 선택된 행렬 요소의 최대 전체 개수는 사용되는 비구면 표면 및 구면 표면의 전체 자유도에 의해 제한된다.

8. 회전 대칭 광학 줌 시스템에 대한 해법

여기서, 본 발명에 따른 방법의 실시예들을 사용하는 해법은 Z:A_AS_S, 예를 들어, 순서를 나타내기 위해 S-A-A-S-…에 의해 기술되는, 구면 및/또는 비구면 광학 표면의 시퀀스에 의해 기술될 수 있는 모든 줌 렌즈 시스템에 대해 도출된다. 모든 회전 대칭 광학 시스템의 경우, 설계 프로세스는 이하의 단계를 포함한다:

결상 시스템을 무한 물체 거리(IOD)를 갖는 경우 1a 또는 유한 물체 거리(FOD)를 갖는 경우 1b로서 지정한다.

인덱스

에 의해 기술되는 2개 이상의 줌 구성을 정의한다

수학식 6.6에 따라 이상적인 상 점 관계 T^c(t)를 정의한다. 함수 T^c(t)는 클래스 C^h의 미분가능 함수이어야 하고, 여기서 h는 적용될 최고 차수 도함수이다. IOD의 경우, 이것은, 예를 들어, 모든 정의된 줌 구성에 대해 상이한 초점 거리

일 수 있다. FOD의 경우, 이것은, 예를 들어, 모든 정의된 줌 구성에 대해 상이한 배율 M^c일 수 있다.

표면 Z:A_AS_S의 개수, 그들의 순서 및 물체로부터 상 공간까지의 재료를 정의한다.

모든 줌 구성에 대한 모든 표면의 초기 위치, 즉 모든 광학 표면 정점

, 물체 평면

(또는 물체 표면

)의 위치(들), 상 평면 D^c(또는 상 표면 D^c(t))의 위치(들) 및 설계 파장 λ₀을 정의한다.

구경 조리개 또는 표면에 대한 옵션 (A1) 내지 옵션 (A4) 중 하나를 시스템의 동공으로서 선택한다.

각각의 비구면 표면에 대한 이용가능한 표면 계수 f_i,j (j = 2,4, ...)의 개수를 지정한다.

줌 구성마다 적어도 하나의 선택된 행렬 요소를 갖는 각각의 정의된 줌 구성에 대해 섹션 2.2 및 섹션 3.1에 정의된 SCD 규칙에 따라 행렬 요소를 선택한다.

표면의 개수 및 유형, 선택된 조리개 옵션 (A1) 내지 (A4), 줌 구성의 개수 및 행렬 요소의 선택은 그러면 수학식 6.7 내지 수학식 6.10에 따라 계산될 수 있는 대응하는 방정식들의 총 개수를 결정한다.

8.1 완전 비구면 줌 시스템(Z:A _A S ₀ )에 대한 일반 해법

완전 비구면 표면 줌 시스템의 경우에, 본 발명에 따른 방법의 실시예를 사용하는 계산법은 섹션 7.4에 밀접하게 관련되고 모든 상이한 줌 구성에 대한 도함수 행렬로부터의 선택된 요소의 대각선의 차수

를 따른다. 이하의 계산 루틴을 반복함으로써, (적어도 하나의 줌 구성에 대해)

에 도달할 때까지 행렬 요소가

에 대해 오름 차순(d = 1,3 ...)으로 선택된 모든 줌 구성에 대해 일반 해가 이어서 계산된다:

(1)

번째 대각선(들)의 선택된 행렬 또는 행렬 요소가 수학식 6.9 및 수학식 6.10을 통해 CCEQ에 적용되고, 표면 계수 f_i,d+1,

및

의 CMAC 및 매핑 계수

및

에 대한 비선형(d = 1) 또는 선형(d > 1) 연립 방정식을 가져온다.

(2) 모든 나타나는 CMAC

및

이 0으로 설정된다. 이용가능한 표면 계수 f_i,d+1의 개수에서 선택된 행렬/행렬 요소의 개수를 빼면 초기 값으로 미리 정의될 필요가 있는 계수 f_i,d+1의 개수가 주어진다. 남아 있는 미지의 계수

및

의 개수는 방정식의 개수와 동일하고, (비)선형 연립 방정식이 미지의 계수

및

에 대해 풀어질 수 있다.

(3) 동일한 줌 구성에 대한 다른 고려된 행렬들 중 임의의 것에서 동일한 인덱스를 갖는 회색-글꼴 행렬 요소에 대응하는 선택된 행렬 요소

(단, d = a + b임)가 있는 경우, 이들 회색-글꼴 행렬 요소가 수학식 6.9 및/또는 수학식 6.10을 통해 CCEQ에 적용되고, 각각의 줌 구성에 대해 풀어질 수 있는 매핑 계수

및

에 대한 (비)선형 연립 방정식을 가져온다.

일단 최고 차수

에 도달하면, 계산 루틴이 종료된다. 선택된 행렬 요소가 0으로 설정된 동일한 차수의 CMAC에 직접적으로 대응하기 때문에, 결과적인 계산된 광학 줌 시스템은 공칭적으로 고려된 줌 구성에 대한 이들 CMAC과 연관된 모든 광선 수차(또는 이들의 조합)가 없다. (예를 들어, 상이한 초기 값에 대해) 하나 초과의 해가 존재하는 경우, 모든 해는 상이한 광학 줌 시스템에 대응하지만 공칭적으로 동일한 부과 조건을 충족시킨다.

8.2 완전 구면 줌 시스템(Z:A ₀ S _S )에 대한 일반 해법

완전 구면 표면 시스템의 경우에, 본 발명에 따른 방법의 실시예들을 사용하는 계산법은 섹션 7.5에 밀접하게 관련되고, 다음과 같다:

(1) 모든 선택된 행렬 또는 행렬 요소가 수학식 6.9 및 수학식 6.10을 통해 CCEQ에 적용되고, 표면 계수 R_i,

및

의 CMAC 및

및

의 매핑 계수에 대한 제1 연립 방정식을 가져온다. 모든 CMAC

및

이 0으로 설정된다.

(2) 이용가능한 반경 R_i의 개수에서 선택된 행렬/행렬 요소의 개수를 빼면 초기 값으로 미리 정의될 필요가 있는 계수 R_i의 개수가 주어진다. 남아 있는 미지의 계수

및

의 개수는 그러면 ((1)에서의) 방정식의 개수와 동일하다.

(3) 각각의 줌 구성에 대해, 다른 고려된 행렬들(상이한 동공 평면 단면들) 중 임의의 것에서 동일한 인덱스를 갖는 회색-글꼴 행렬 요소에 대응하는 선택된 행렬 요소

(단, d = a + b임)가 있는 경우, 이들 회색-글꼴 행렬 요소가 수학식 6.9 및/또는 수학식 6.10을 통해 CCEQ에 적용되고, 제1 연립 방정식에 추가되는, R_i 및 매핑 계수

및/또는

에 대한 제2 비선형 연립 방정식을 가져온다.

(4) 전체적인 결합 연립 방정식이 모든 미지의 계수

및

에 대해 동시에 풀어질 수 있다.

결과적인 계산된 광학 줌 시스템은 공칭적으로 선택된 및 적용된 행렬 요소를 통해 각각의 고려된 줌 구성에 대한 사라지는 CMAC과 연관된 모든 광선 수차(또는 이들의 조합)가 없다. 하나 초과의 해가 존재하는 경우, 모든 해는 상이한 광학 시스템에 대응하지만, 공칭적으로 동일한 부과 조건을 충족시킨다.

8.3 비구면 표면과 구면 표면이 결합된 줌 시스템(Z:A _A S _S )에 대한 일반 해법

"혼합된" 표면 줌 시스템의 경우에, 본 발명에 따른 방법의 실시예들을 사용하는 계산법 다음과 같이 작동하는 섹션 8.1 및 섹션 8.2에서의 계산법의 수정된 조합으로서 섹션 7.6에 밀접하게 관련되어 있다:

(1) 줌 구성들 중 적어도 하나에 대한 구면 표면에 대해 단일 행렬 요소가 선택되어 있는 최고 결합 차수

를 식별한다. 모든 줌 구성에 대한 이 결합 차수

까지의 모든 선택된 행렬 요소는 그러면 선택된 요소들의 서브그룹을 형성한다.

(2) 이 서브그룹의 모든 요소가 수학식 6.9 및 수학식 6.10을 통해 CCEQ에 적용되고, 표면 계수

,

및

의 CMAC 및 매핑 계수

및

에 대한 제1 비선형 연립 방정식을 가져온다. 모든 CMAC

및

이 0으로 설정된다.

(3) 이 서브그룹 내의 이용가능한 변수 R_i 및 f_i,l의 개수에서 이 서브그룹의 선택된 행렬/행렬 요소의 개수를 빼면 초기 값으로 미리 정의될 필요가 있는 계수 R_i 및/또는 f_i,l의 개수가 주어진다. 남아 있는 미지의 계수

및

의 개수는 그러면 ((2)에서의 서브그룹에 대한) 방정식의 개수와 동일하다.

(4) 각각의 줌 구성에 대해, 다른 고려된 행렬들(상이한 동공 평면 단면들) 중 임의의 것에서 동일한 인덱스를 갖는 회색-글꼴 행렬 요소에 대응하는 선택된 서브그룹 행렬 요소

(단, d = a + b임)가 있는 경우, 이들 회색-글꼴 행렬 요소가 수학식 6.9 및/또는 수학식 6.10을 통해 CCEQ에 적용되고, 제1 연립 방정식에 추가되는,

및/또는

에 대한 제2 비선형 연립 방정식을 가져온다.

(5) 서브그룹의 전체적인 결합 연립 방정식은, 전형적으로 수치 솔버를 사용하여, 모든 미지의 계수

및

에 대해 동시에 풀어질 수 있다.

(6) 일단 구면 표면에 관련된 모든 행렬 요소를 포함하는 이 서브그룹이 풀어지면, 최종적으로 남아 있는 비구면 표면 계수는,

에서 시작하여 (적어도 하나의 줌 구성에 대한 비구면 행렬/행렬 요소로부터의) 최대 결합 차수

에 도달할 때까지, 오름 차순으로, 섹션 8.1에서 정의된 정확한 해법에 따라 계산된다.

이전과 같이, 결과적인 계산된 광학 줌 시스템은 공칭적으로 선택된 및 적용된 행렬 요소를 통해 각각의 고려된 줌 구성에 대한 CMAC과 연관된 모든 광선 수차(또는 이들의 조합)가 없다. 하나 초과의 해가 존재하는 경우, 모든 해는 공칭적으로 동일한 부과 조건을 충족시키는 상이한 광학 줌 시스템에 대응한다.

예

이하의 예는, 본 발명의 실시예들에 따른 방법을 사용하여 계산된, 다양한 설계를 예시한다.

예 1: A ₀ S ₆ 쿠크 트리플렛

본 발명에 따른 방법으로 획득되는 쿠크 트리플렛의 광학 설계가 도 10에 예시되어 있다.

시스템 사양은: IOD, f_L=50mm, F/#=5, 40° FFOV, λ₀ = 587.56nm에 대해 설계됨을 포함한다.

본 발명에 따른 방법에 의해 공칭적으로 소거될 수차는 자오 평면에서의 2개의 1차 수차 및 4개의 3차 수차이다. 6개의 표면 곡률(반경)은, 예를 들어, NRM(Newton-Raphson method)을 사용하여 도출된 비선형 연립 방정식을 푸는 것에 의해 관련된 매핑 함수 계수와 함께 계산되었다.

렌즈 데이터:

도 11은 쿠크 트리플렛의 광학 레이아웃에 연관된 스폿 다이어그램을 도시한다. 통상의 기술자가 알고 있는 바와 같이, 스폿 다이어그램은 점 물체의 상의 표시를 제공한다. 수차의 부재 시에, 점 물체는 완벽한 상 점으로 수렴될 것이다. 3개의 상이한 파장 486.1 nm, 587.6 nm 및 656.3 nm에 대한 스폿 다이어그램이 도시되어 있다. 결과는 계산에 들어가는 쿠크 트리플렛에 대한 어떠한 사전 지식 없이 획득되었다. 획득된 결과는 문헌에서의 알려진 예와 매우 유사하게 동작하고 광학 설계 프로그램에서의 표준 최적화 이후에 똑같이 양호하거나 더 양호하게 동작한다.

예 2: A ₀ S ₈ 광각 렌즈

본 발명에 따른 방법으로 획득되는 광각 렌즈의 광학 설계가 도 12에 예시되어 있다.

시스템 사양은 다음과 같다: IOD, f_L=3.5mm, F/#=8, 90° FFOV, λ₀ = 587.56nm에 대해 설계됨.

본 발명의 방법에 의해 공칭적으로 소거되는 수차는 다음과 같다:

및

(단, l=1, 3, 5, 7)(자오 평면). 8개의 표면 곡률(반경)은 NRM을 사용하여 도출된 비선형 연립 방정식을 푸는 것에 의해 관련된 매핑 함수 계수와 함께 계산되었다.

렌즈 데이터:

도 13은 이 설계의 광학 레이아웃에 연관된 스폿 다이어그램을 도시한다. 3개의 상이한 파장 486.1 nm, 587.6 nm 및 656.3 nm에 대한 스폿 다이어그램이 도시되어 있다.

선택된 수차

및

은 소거할 각도 의존적 항에 중점을 두고 있다. 강조할 중요한 점은 이러한 독특한 수차 소거가 종래 기술의 직접 설계 방법들 중 어느 것으로도 달성할 수 없다는 것이다. 본 선택은 (도 13에서 보는 바와 같이) 90 °의 전체 시야에 걸쳐 매우 균형된 성능을 보장한다. 최종 단계에서, 렌즈의 속도가 증가될 수 있고(더 낮은 f-수), 광학 설계 프로그램에서의 표준 최적화는 최종 시스템 레이아웃을 제공한다. 2개의 설계 단계만으로, 시간, 노력 및 비용이 크게 감소될 수 있다.

예 3: 고정된 최종 상 위치와 시스템의 전체 길이를 갖는 A ₈ S ₀ 줌 렌즈

도 14 및 도 15는 본 발명의 일 실시예에 따른 방법으로 획득되는 고정된 최종 상 위치를 갖는 줌 렌즈의 2개의 광학 구성을 예시한다.

시스템 사양은 다음과 같다: IOD, F/#=5.6, λ₀ = 587.56nm에 대해 설계됨, 총 트랙 길이 70mm

줌 구성 1: f_L1=9.24mm

줌 구성 2: f_L2=27.72mm (3 x f_L1)

각각의 줌 구성에 대해 본 발명의 방법에 의해 공칭적으로 소거되는 수차는, 제각기, 다음과 같은 2개의 1차 수차(NRM을 사용하여 풀어지는 비선형 시스템) 및

(단, l=3, 5임)(선형 연립 방정식)이고, 그 결과 총 20개의 수차가 공칭적으로 소거된다.

렌즈 데이터 [구성 1]:

제1 줌 구성 및 제2 줌 구성의 스폿 다이어그램은 587.6 nm의 파장에 대해, 제각기, 도 16 및 도 17에 예시되어 있다. 이미 이 스테이지에서, 스폿 다이어그램은 계산의 즉각적인 결과로서 상당히 균형된 성능을 보여준다.

선택된 20개의 수차(줌 구성당 10개)는 줌 시스템에 대한 기존의 종래 기술의 직접 설계 해결책이 소거할 수 있는 것보다 훨씬 더 많은 수차이다. 소거된 수차의 개수는, 원한다면, l=7,9 ...에 대해 훨씬 더 증가될 수 있다. 계산된 해는 단일 계산법에서의 2개의 정의된 줌 스테이지에서 우수한 시작점을 제공하며, 이는 어떠한 종래 기술의 설계 방법으로도 달성할 수 없는 것이다. 최종 단계에서, 렌즈의 속도가 증가될 수 있고(더 낮은 f-수), 최종 줌 시스템 레이아웃에 도달하기 위해 광학 설계 프로그램에서의 표준 다중-구성 최적화를 사용하여 전체적인 성능이 균형될 수 있다. 간소화된 설계 프로세스는 설계 시간, 노력 및 비용을 줄일 수 있게 한다.

예 4: A ₄ S ₀ 헤이스팅스 트리플렛

도 18은 본 발명에 따른 방법의 실시예로 획득되는 헤이스팅스 트리플렛의 광학 레이아웃을 도시한다.

시스템 파라미터는 다음과 같다: IOD, f_L=20mm, F/#=2, 6° FFOV, λ₀ = 554.2nm에 대해 설계됨

본 발명의 방법에 의해 공칭적으로 소거되는 수차:

및

(단, k=1, 3, 5, 7, 9, 11)(자오 평면)이다. 24개의 표면 계수(2차 내지 12차) 전부는 비선형 시스템(1차)의 경우에 NRM을 사용하여 그리고 모든 상위 차수에 대한 선형 시스템의 경우에 가우스 소거법을 사용하여 관련된 매핑 함수 계수와 함께 계산되었다.

렌즈 데이터:

파장 486.1 nm, 587.6 nm 및 656.3 nm에 대해 본 발명으로 획득되는 광학 설계와 연관된 스폿 다이어그램은 도 19에 도시되어 있다.

도 20은 μm 단위의 파장의 함수로서 μm 단위의 초점의 시프트를 추가로 예시한다.

예 5: 자유형 표면을 갖는 3 미러 이미저

시스템 파라미터: IOD, f_L=600mm, F/#=3, 4° FFOV

모든 인덱스 쌍(j,k,l,m) ≥ 0(단, l + m ≤ 1이고 j + k + l + m ≤ 5임) 에 대해 공칭적으로 소거된 수차

및

(무수차 조건, 구면 수차 없음, x, y에서 선형 필드 의존성 없음)

(정점을 갖지 않는) 40개의 표면 계수 중에서, 38개의 계수가 관련된 매핑 함수 계수와 함께 계산되었다. 입력은 x와 y에서의 초점 거리(여기서, 600mm), 표면과 상 평면 정점 위치, 및 미러 2 상의 x와 y에서의 곡률을 포함한다.

틸트/디센터(Decenter) 값:

첫 번째 미러는 y-축을 중심으로 -16.665° 회전된다(표면 이후 후방으로 동일한 각도).

두 번째 미러는 x-방향으로 218.55 mm 만큼 디센터된다

두 번째 미러는 y-축을 중심으로 -11.237° 회전된다(표면 이후 후방으로 동일한 각도).

세 번째 미러는 x-방향으로 82.382 mm 만큼 디센터된다

세 번째 미러는 y-축을 중심으로 -1.2052° 회전된다(표면 이후 후방으로 동일한 각도)

상 평면은 x-방향으로 122.48 mm만큼 디센터된다.

상 평면은 y-축을 중심으로 0.012043° 회전된다(표면 이후 후방으로 동일한 각도)

미러 데이터:

예 6: 자유형 표면을 갖는 4 미러 이미저

시스템 파라미터: IOD, f_L=600mm, F/#=3, 6° FFOV

모든 인덱스 쌍 (j,k,l,m) ≥ 0(단, j + k + l + m ≤ 5에 대해 l + m ≤ 1이고, j + k + l + m ≤ 5에 대해 l = 2이고 m = 0이며, j + k + l + m ≤ 5에 대해 m = 2이고 l = 0임)에 대해 공칭적으로 소거된 수차

및

(정점을 갖지 않는) 56개의 표면 계수 중에서, 52개의 계수가 관련된 매핑 함수 계수와 함께 계산되었다. 입력은 x와 y에서의 초점 거리(여기서, 600mm), 표면과 상 평면 정점 위치, 및 미러 1 및 미러 3 상의 x와 y에서의 곡률을 포함한다.

틸트/디센터(Decenter) 값:

첫 번째 미러는 y-축을 중심으로 -30.462° 회전된다(표면 이후 후방으로 동일한 각도).

두 번째 미러는 x-방향으로 342.83 mm 만큼 디센터된다

두 번째 미러는 y-축을 중심으로 -39.011° 회전된다(표면 이후 후방으로 동일한 각도).

세 번째 미러는 x-방향으로 -125.76 mm 만큼 디센터된다

세 번째 미러는 y-축을 중심으로 -68.703° 회전된다(표면 이후 후방으로 동일한 각도)

네 번째 미러는 x-방향으로 322.41 mm 만큼 디센터된다

네 번째 미러는 y-축을 중심으로 -95.066° 회전된다(표면 이후 후방으로 동일한 각도).

상 평면은 x-방향으로 -285.23 mm만큼 디센터된다.

상 평면은 y-축을 중심으로 -75.153° 회전된다(표면 이후 후방으로 동일한 각도)

미러 데이터:

모든 보여진 결과는 소거할 선택된 수차에 따라 예상된 성능을 명확하게 확인해준다. 종래 기술의 설계 방법은 선형 색수차, 즉 통상의 기술자가 축상 색수차(axial chromatic aberration)라고 알고 있는

및 배율 색수차(lateral chromatic aberration)라고 알고 있는

를 확실히 소거할 수 있다. 본 발명의 방법으로 설계된 제시된 예는 상위 차수 축상 색수차에 중점을 두고서 상위 차수, 즉

및

(여기서, k = 1,3..11임)를 소거할 수 있다. 색 거동(chromatic behavior)에 대한 이러한 부가 제어는, 예를 들어, 여기에 보여진 f/2 렌즈와 같은, 고속 렌즈에서 매우 중요하다.

도 21은 본 발명의 일 실시예에 따른 방법으로 획득되는 완전 자유형 3 미러 결상 설계의 광학 레이아웃을 도시한다.

도 22는 본 발명에 따른 도 21의 방법으로 획득되는 완전 자유형 3 미러 결상 설계와 연관된 스폿 다이어그램을 도시한다.

도 23은 본 발명의 일 실시예에 따른 방법으로 획득되는 완전 자유형 4 미러 결상 설계의 광학 레이아웃을 도시한다.

도 24는 본 발명의 일 실시예에 따른 방법으로 획득되는 완전 자유형 3 미러 결상 설계와 연관된 스폿 다이어그램을 도시한다.

주목할 중요한 점은 본 발명이 균질 재료로 제한되지 않는다는 것이다. 실제로, 본 발명의 실시예들은 국소적으로 변하는 굴절률을 갖는 재료(예컨대, 경사 굴절률(gradient index) 광학 재료(GRIN))의 사용을 포함할 수 있다. 이것은 파장 의존성이 변하는 굴절률을 고려함으로써 이루어질 수 있다.

게다가, 본 명세서가 매끄럽고 균질한 표면에 대해 설명되었지만, 본 발명이 그러한 표면으로 제한되지 않는다. 실제로, 불연속 표면은 매끄러운 표면의 부분들의 세트로서 볼 수 있다. 본 방법은 이어서 각각의 매끄러운 부분에 대해 적용되어야 하고 획득된 결과들이 결합되어야 한다. 따라서, 함수

와

는 무한번 미분가능해야 하고 한 부분에 걸쳐 수학식 2.1, 수학식 2.2, 수학식 2.3, 수학식 2.4 및 수학식 2.6에 정의된 바와 같은 멱급수 표현을 가져야 하며, 테일러의 정리는 명세서 전체에 걸쳐, 예를 들어, 섹션 2에서 논의된 바와 같이, 각각의 매끄러운 부분에 적용될 수 있다.

본 발명은 또한 능동(active)인 광학 표면, 즉 (예를 들어, 액추에이터 어레이가 미러의 후면에 부착된) 상이한 형상을 가질 수 있는 광학 표면에 사용될 수 있다. 그러한 액추에이터 어레이는 일반적으로 대기에 의해 발생되는 왜곡을 보상하기 위해 적응 광학의 분야에서 변형가능한 미러에 사용되며 온도 변동, 기계적 응력, 난류풍(wind turbulence) 등으로 인한 미러의 변형을 방지하기 위해 능동 광학에서도 사용된다. 그러한 응용에서, 광학 표면의 표면 계수는 광학 시스템의 각각의 구성에 대해 상이한 값을 가질 것이고, 따라서 본 발명의 실시예들 중 임의의 것에 따른 방법이 각각의 구성에 적용될 것이다.

비구면 및/또는 구면 표면을 포함하는 시스템에서, 광학 표면의 모든 표면 계수가 계산될 수 있는 것은 아니다. 계산되는 표면 계수의 개수, 및 설계자에 의해 입력 파라미터로서 제공될 필요가 있는 최종적으로 남아 있는 계수는 고려된 광학 시스템에 의존하며, 통상의 기술자에 의해 관련 SCD-규칙으로부터 직접적으로 도출될 수 있다. 초기 값으로서 제공될 필요가 있는 표면 계수의 경우, 본 발명에 따른 방법을 적용하기 전에, 표면 계수의 초기 값을 제공하기 위해 본 발명의 실시예들과 함께 몬테카를로 최적화, 국소 또는 전역 최적화 알고리즘 또는 임의의 동등한 방법이 사용될 수 있다.

본 발명의 실시예들 중 임의의 것에 따른 추가의 양태에서, 광학 설계 프로그램은 본 발명의 방법이 적용된 후에 사용될 수 있다. 그러한 설계 워크플로는 광학 설계의 통상의 기술자에 의해 매우 일반적으로 사용된다. 초기 시스템 레이아웃은 소거할 특정 수차에 기초하여 계산되고, 다음 단계에서, 광학 설계 프로그램의 최적화가 최종 시스템 레이아웃에 도달하는 데 사용된다. 최적화의 결과는, 원래 소거된 수차는 또다시 0이 아닌 값에 도달하는 반면에, 전체 균형 효과를 위해 상위 차수 수차는 감소되는, 균형 프로세스이다. 이 방법은 많은 종래 기술의 광학 설계에서, 그러나 임의의 종래 기술의 직접 설계 방법에 따른 엄격하게 제한된 개수의 저차 수차에 대해서만 그 가치가 입증되었다. 몇몇 저차 수차에 대한 이러한 제한이 본 발명에서는 존재하지 않는다. 광학 설계 프로그램에서의 최적화와 함께, 본 발명은 먼저 우수한 시작 시스템 레이아웃을 계산하고, 둘째로, 최종 시스템 레이아웃에 도달하기 위해 시작 시스템을 최적화하기 위해, 매우 효과적이고 간소화된 워크플로를 제공한다.

이 경우에, 획득되는 표면 계수는 획득된 결과를 응용의 요구사항에 추가로 적응시키기 위해 광학 설계 프로그램에 대한 입력으로서 사용될 수 있다.

본 발명의 실시예들에 따른 컴퓨터 기반 방법은 적어도 하나의 광선 수차를 공칭적으로 소거하기 위한 회전 대칭 결상 시스템을 설계하기 위한 것이며, 이 방법은

- 설계 파장 λ₀을 선택하는 단계,

- 광학 표면들의 개수 N_s 및 시퀀스를 선택하는 단계 - 각각의 광학 표면은 프로파일 f_i를 갖고, N_s개의 광학 표면의 시퀀스는 결상 시스템의 광학 축을 정의함 -,

- 각각의 표면을 구면 또는 비구면이도록 선택하는 단계 - 각각의 표면은 단일 반경 변수 r의 함수로서 표현됨 -,

- 각도

(단, p = 1 ... m_p임)에 의해 정의되는 임의의 그러나 고정 동공 평면 단면을 선택하는 단계 - m_p는 고려될 동공 평면 단면들의 개수에 대응함 -,

- 광학 축을 따라 물체 평면에서의 물체 점을 선택하는 단계,

- 광학 축을 따라 상 평면에서의 후보 상 점을 선택하는 단계,

- 선택된 동공 평면 단면 θ_p에서의 실상 점을 광학 수차들에 의해 증분되는 후보 상 점의 합으로 표현하는 단계 - 수차들은 광선 수차 전개로서 표현됨 -,

- 물체 점으로부터 나와서 동공 평면 단면 θ_p을 통과하는 광선이 각각의 표면 f_i와 어디에서 교차하는지를 기술하는 광선 매핑 함수들의 함수로서 표면 프로파일들 f_i를 표현하는 단계,

- λ₀에서 각각의 굴절률

를 갖는 N_s개의 재료의 시퀀스를 선택하는 단계 - 물체 평면, N_s개의 광학 표면 및 상 평면의 시퀀스는 광학 경로 길이들 d_i를 갖는 (N_s + 1)개의 섹션의 시퀀스를 정의함 -,

- 2개의 고정 점 사이의 광학 경로 길이가 광선을 따라 극치임을 수학적으로 표현함으로써 N_s개의 미분 방정식의 2개의 세트를 도출하기 위해 광선 매핑 함수들의 함수로서 2개의 연속 섹션의 각각의 쌍에 페르마의 원리를 적용하는 단계,

- 광학 축을 따라 동공 평면에 대한 위치를 선택하는 단계,

- 각각의 표면 프로파일을 급수 전개로서 전개하는 단계 - 전개의 각각의 항은 광선 매핑 함수들의 함수로서 표현되는 표면 계수임 -,

- 광선 매핑 함수 계수들의 급수 전개에서 광선 매핑 함수들을 전개하는 단계,

- 광학 축을 따라 정점

에 의해 정의되는 각각의 광학 표면에 대한 초기 위치를 선택하는 단계,

- 공칭적으로 소거될 최고 수차 차수 o를 식별하는 단계 - 상기 최고 수차 차수는 수차 o까지의 수차 차수들의 서브그룹을 정의함 -,

- 선택 규칙 세트에 따라 결상 시스템에서 공칭적으로 소거될 광선 수차 계수들의 서브그룹을 선택함으로써 매핑 함수들 및 광학 표면들의 급수 계수들을 계산하기 위해 멱급수법을 이용하여 N_s개의 미분 방정식의 2개의 세트에 대한 해를 구하는 단계,

- 차수 k,l의 편도함수들을 이 서브그룹에 적용하는 단계 - 상기 차수들은 각각의 동공 평면 단면에 대한 미리 정의된 수차 행렬들을 사용하여 제공되고, 광학 표면 계수들 및 광선 매핑 함수 계수들에 대한 연립 방정식을 도출하기 위해, 각각의 미리 정의된 수차 행렬은 서브그룹의 각각의 광학 광선 수차를 상기 동공 평면 단면에서의 광선 수차 급수 전개의 차수 k,l의 편도함수에 연관시킴 -,

- 광학 표면 계수들 및 광선 매핑 함수 계수들에 대한 연립 방정식을 푸는 단계,

- 광학 표면들의 계산된 급수 계수들로부터, 각각의 광학 표면의 표면 프로파일들 및 그에 의해 각각의 유효 구경을 도출하는 단계를 포함한다.

본 발명의 실시예들에서, 상황에 따라 선형 또는 비선형일 수 있는 연립 방정식은 Newton Raphson 기법, 가우스 소거 기법(선형 시스템의 경우) 등과 같은 알려진 기법을 사용하여 풀어질 수 있다.

일 실시예에서, 이 서브그룹에 대응하는 표면 계수들의 개수에서 이 서브그룹의 미리 정의된 행렬들의 선택된 행렬 요소들의 개수를 뺀 것은 초기 값으로 미리 정의될 표면 계수들의 개수에 대응하고, 미지의 표면 및 광선 매핑 계수들의 개수는 사용될 방정식들의 개수에 대응한다.

본 발명의 다른 실시예에 따르면, 소프트웨어는 프로세싱 엔진이 본 발명의 방법들 중 임의의 것을 수행하기 위해 컴파일된 컴퓨터 프로그램 제품으로서 구현될 수 있거나 또는 Java^TM 가상 머신과 같은 인터프리터형(interpretative) 가상 머신에서 실행되도록 컴파일된다. 디바이스는 본 발명의 실시예들에 따른 방법들의 단계들 중 임의의 단계를 수행하기 위해 매체에 인코딩된 로직을 포함할 수 있다. 로직은 디스크 또는 다른 컴퓨터 판독가능 매체에 인코딩된 소프트웨어 및/또는 ASIC(application specific integrated circuit), FPGA(field programmable gate array), 또는 다른 프로세서 또는 하드웨어에 인코딩된 명령어들을 포함할 수 있다. 디바이스는 또한 CPU 및/또는 GPU 및 메모리를 포함할 것이고, CPU 및/또는 GPU는 본 발명의 소프트웨어를 실행할 수 있는 프로세싱 엔진을 갖는다.

컴퓨터 프로그램 제품은 광학 디스크(CD-ROM 또는 DVD-ROM), 디지털 자기 테이프, 자기 디스크, USB 플래시 메모리와 같은 솔리드 스테이트 메모리, ROM 등과 같은 비일시적 신호 저장 매체에 저장될 수 있다.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

적어도 하나의 광선 수차를 공칭적으로 소거하기 위해, 광학 표면들을 갖는 회전 대칭 결상 시스템을 설계하는 것.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

- 이하를 포함하는 시스템 사양들을 컴퓨터에 입력하는 것:

o 결상 시스템 파라미터들,

o 파장 의존성,

o 광학 표면들의 표면 계수들의 개수,　

o 동공 특성들

o 물체 공간 및 상 공간.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

- 컴퓨터를 사용하여 페르마의 원리를 적용함으로써 시스템 사양들을 미분 방정식 세트로 변환하는 것.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

- 선택, 일관성 및 분포 규칙 세트를 사용하여 공칭적으로 사라지도록 설정될 광학 광선 수차들의 서브그룹을 컴퓨터에 입력하는 것.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

- 광선 트레이스 및 광학 표면들과의 그의 교차점 및 이들로부터의 각각의 유효 구경을 정의하는, 광학 표면들에 대한 표면 계수들 및 매핑 함수 계수들을 획득하기 위해 미분 방정식들을 푸는 것.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

- 시스템 사양들인 결상 시스템 파라미터들을 컴퓨터에 입력하는 단계는 적어도 하나의 설계 파장 λ₀을 입력하는 단계를 포함하고 그리고/또는

- 시스템 사양들인 결상 시스템 파라미터들을 컴퓨터에 입력하는 단계는 N_s개의 광학 표면의 시퀀스를 입력하는 단계를 포함하며, 여기서 각각의 광학 표면은 광학 표면 프로파일 f_i을 갖고, 여기서 N_s개의 광학 표면의 시퀀스는 결상 시스템의 광학 축을 정의하며 그리고/또는

- 시스템 사양들인 광학 표면들의 표면 계수들을 컴퓨터에 입력하는 단계는 각각의 광학 표면을 구면 또는 비구면으로 정의하는 단계를 포함하고, 여기서 각각의 광학 표면은 단일 반경 변수 r의 함수로서 표현된다.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

- 시스템 사양들인 동공 특성들을 컴퓨터에 입력하는 단계는 광학 축을 따라 동공 평면에 대한 위치를 입력하는 단계를 포함하고 그리고/또는

- 시스템 사양들인 동공 특성들을 컴퓨터에 입력하는 단계는 동공 평면의 m_p개의 고정 동공 평면 단면 p를 선택하는 단계를 추가로 포함하고, 여기서 m_p ≥ 1이며 그리고/또는

- 여기서 각각의 동공 평면 단면은 각도

(단, p = 1 ... m_p임)에 의해 정의되고 그리고/또는

- 여기서 각각의 동공 평면 단면은, 물체 공간으로부터 나와서

에서 동공 평면 좌표를 통과하는 광선이 제1 상 평면과 어디에서 교차하는지를 표현하는, 단일 동공 반경 변수 q_p로 정의된다.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

- 여기서 시스템 사양들인 물체 공간 및 상 공간을 컴퓨터에 입력하는 단계는 무한 거리 또는 유한 거리에 있는 물체 점을 선택하는 단계를 포함하고 그리고/또는

- 여기서 유한 거리에 있는 물체 점을 선택하는 단계는 광학 축을 따라 물체 평면에서의 물체 점을 선택하는 단계를 추가로 포함한다.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

- 컴퓨터를 사용하여 시스템 사양들을 미분 방정식 세트로 변환하는 단계는 물체 점으로부터 또는 필드각 아래에서 나와서 고정 동공 평면 단면 p를 통과하는 광선이 상기 동공 평면 단면에 대한 각각의 광학 표면과 어디에서 교차하는지를 기술하는 광선 매핑 함수들의 함수로서 광학 표면 프로파일들을 표현하는 단계를 추가로 포함하고 그리고/또는

- 광선 매핑 함수들을

로서 표현하는 단계를 포함하며, 여기서 상기 동공 평면 단면에 대한 광학 표면들 f_i가 광선 매핑 함수들

의 함수로서 표현되도록, 변수 t는 물체를 정의하고 고정 동공 평면 단면 θ_p는 동공 좌표 (q_p,θ_p)를 갖는다.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

- 여기서 시스템 사양들인 물체 공간 및 상 공간을 컴퓨터에 입력하는 단계는 광학 축을 따라 상 평면에서의 제1 상 점을 선택하는 단계를 포함한다.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

- 여기서 시스템 사양들인 결상 시스템 파라미터들을 컴퓨터에 입력하는 단계는 적어도 하나의 설계 파장 λ₀에서 각각의 굴절률 분포

를 갖는 (N_s + 1)개의 재료의 시퀀스를 선택하는 단계 - 물체 평면, N_s개의 광학 표면 및 상 평면의 시퀀스는 광학 경로 길이들 d_i를 갖는 (N_s + 1)개의 섹션의 시퀀스를 정의함 - 를 포함한다.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

- 컴퓨터를 사용하여 시스템 사양들을 미분 방정식 세트로 변환하는 단계는, 2개의 고정 점 사이의 광학 경로 길이가 광선을 따라 극치임을 수학적으로 표현함으로써, N_s개의 미분 방정식의 2개의 세트를 도출하기 위해 광선 매핑 함수들의 함수로서 2개의 연속 섹션의 각각의 쌍에 페르마의 원리를 적용하는 단계를 추가로 포함한다.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

- 여기서 시스템 사양들인 물체 공간 및 상 공간을 컴퓨터에 입력하는 단계는 각각의 고정 동공 평면 단면에 대한 제2 상 점을 광학 수차들에 의해 증분되는 제1 상 점의 합으로 표현하는 단계를 포함하고, 여기서 광학 수차들은 각각의 동공 평면 단면에 대한 광선 수차 계수들의 광선 수차 급수 전개로서 표현된다.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

여기서 시스템 사양들인 광학 표면들의 표면 계수들을 컴퓨터에 입력하는 단계는 i 번째 표면에 대한 2j 차수의 표면 계수들

를 갖는 급수 전개로서 각각의 광학 표면 프로파일을 전개하는 단계를 포함한다.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

- 여기서 컴퓨터를 사용하여 시스템 사양들을 N_s개의 미분 방정식의 2개의 세트로 변환하는 단계는 광선 매핑 함수들을 광선 매핑 함수 계수들의 급수 전개로 전개하는 단계를 포함한다.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

- 여기서 미분 방정식들을 푸는 단계는 매핑 함수들 및 광학 표면들의 급수 계수들을 광학 광선 수차들의 서브그룹의 함수로서 계산하기 위해 멱급수법을 이용하여 N_s개의 미분 방정식의 2개의 세트에 대한 해를 구하는 단계를 추가로 포함하고, 그리고/또는

- 차수 k, l의 편도함수들을 N_s개의 미분 방정식의 2개의 세트에 적용하는 단계 - 상기 차수 k, l은 각각의 동공 평면 단면에 대한 미리 정의된 수차 행렬들을 사용하여 제공됨 - 를 추가로 포함하며, 여기서 광학 표면 계수들 및 광선 매핑 함수 계수들에 대한 연립 방정식을 도출하기 위해, 각각의 미리 정의된 수차 행렬은 서브그룹의 각각의 광학 광선 수차를 상기 동공 평면 단면에서의 광선 수차 급수 전개의 차수 k,l의 편도함수에 연관시키며, 그리고/또는

- 여기서 미분 방정식들을 푸는 단계는 광학 표면들의 계산된 계수들로부터 각각의 광학 표면의 표면 프로파일들을 도출하는 단계를 추가로 포함하고 그리고/또는

- 여기서 미분 방정식들을 푸는 단계는 매핑 함수들의 계산된 급수 계수들로부터 각각의 광학 표면의 유효 구경을 도출하는 단계를 추가로 포함한다.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

- 여기서 광학 표면들의 표면 계수들을 포함하는 시스템 사양들을 컴퓨터에 입력하는 단계는 각각의 표면을 구면 또는 비구면으로 선택하는 단계를 추가로 포함하고, 각각의 표면을 단일 반경 변수

의 함수로서 표현하고 각각의 표면을 테일러 계수들

(단, j=1,2... 최대 30이고 i = 1, 2, ... 50임)을 갖는 테일러 다항식으로서 전개하는 단계를 추가로 포함한다.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

- 여기서 제1 상 점을 선택하는 단계는 물체 대 상 관계를 규정하는 함수로 제1 상 점을 표현하는 단계를 추가로 포함하고, 여기서 제2 상을 표현하는 단계는 선택된 동공 평면 단면에서의 제2 상을 제1 상과 x-방향 및 y-방향에서의 광학 광선 수차들의 합으로서 표현하는 단계를 추가로 포함하며, 여기서 광학 광선 수차들은 기지의 광선 수차 전개들 및 파면 수차 전개들에 관련된다.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

- 여기서 시스템 사양들인 동공 특성들을 컴퓨터에 입력하는 단계는 광학 축을 따라 구경 조리개에 대한 위치를 입력하는 단계를 포함하고, 여기서 구경 조리개는 입사동, 2개의 광학 표면 사이의 구경 조리개, 또는 출사동이며 그리고/또는

- 여기서,

o 구경 조리개가 광학 표면들 중 하나와 일치하면, 광선 매핑 함수들에서의 상기 광학 표면의 좌표를, 상기 표면의 좌표를 동공 좌표로 대체하는 것에 의해, 대체하고

o 구경 조리개가 2개의 광학 표면 사이에 있는 경우, 선행 광학 표면으로부터 구경 조리개를 향한 방향 벡터와 구경 조리개로부터 후속 광학 표면을 향한 방향 벡터의 외적이 0임을 표현하여, 이에 의해 3개의 부가 방정식을 2개의 미분 방정식 세트 각각에 추가하며;

o 구경 조리개가 출사동과 일치하는 경우, 마지막 표면으로부터 구경 조리개로의 방향 벡터와 조리개로부터 상 평면으로의 방향 벡터의 외적이 일치한다는 것을 표현하여, 따라서 2개의 벡터의 외적이 0이고 3개의 부가 방정식이 2개의 미분 방정식 세트에 추가된다.

o 구경 조리개가 입사동과 일치하는 경우, 물체로부터 조리개로의 방향 벡터와 조리개로부터 첫 번째 표면으로의 방향 벡터가 일치하고, 따라서 2개의 벡터의 외적이 0이며 3개의 부가 방정식이 2개의 미분 방정식 세트에 추가된다.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

적어도 제2 설계 파장에 대해 본 발명의 방법을 반복하는 단계 및/또는

시스템 사양들인 결상 시스템 파라미터들을 컴퓨터에 입력하는 단계는 적어도 하나의 설계 파장 λ₀에 대한 각각의 재료의 굴절률 분포

에 의해 각각의 광학 경로 길이 d_i를 파장의 함수로서 표현하는 단계를 추가로 포함한다.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

적어도 2개의 설계 파장에 대한 적어도 2개의 상이한 재료를 선택하는 단계.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

- 하나의 색수차 계수를 공칭적으로 소거하기 위해 하나의 설계 파장에 대한 적어도 2개의 상이한 재료를 선택하는 단계.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

이 방법은 복수의 광학 표면들을 포함하는 광학 시스템에서 제1 설계 파장에서 그리고 최고 차수까지 광선 수차들을 계산하기 위한 것이고, 각각의 광학 표면은 표면 계수 세트

에 의해 정의되며, 상기 방법은

- 멱급수법을 사용하여 임의의 동공 평면 단면들에 대한 모든 수차 계수들

및

을 오름 수차 차순으로 계산하는 단계,

- o 각각의 차수 및 각각의 동공 평면 단면에 대한 모든 도함수들을 2개의 미분 방정식 세트에 적용하는 것,

o 선형 연립 방정식을 푸는 것,

o 최고 차수에 도달할 때까지 각각의 단계를 반복하는 것

에 의해 각각의 수차 차수에 대한 선형 연립 방정식을 푸는 단계

및/또는

- 상기 방법을 줌 시스템의 적어도 2개의 구성에 대해 적용하는 단계

및/또는

- 제1 설계 파장 및 제2 설계 파장에 대한 단색 수차들을 계산하기 위해 적어도 제2 설계 파장에 대해 상기 방법을 반복하는 단계

및/또는

- 광학 시스템의 색수차들을 추가로 계산하기 위해 적어도 하나의 설계 파장에 대한 각각의 재료의 굴절률 분포

에 의해 각각의 광학 경로 길이 d_i를 파장의 함수로서 표현하는 단계를 포함한다.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

최적화 방법으로 시스템 사양들을 계산하는 단계, 및/또는

광학 축을 따라 정점

에 의해 정의되는 적어도 하나의 광학 표면에 대한 초기 위치를 선택하는 단계 및/또는

최적화 방법은 몬테카를로 최적화이다.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

- 적어도 제2 시스템 사양 세트를 컴퓨터 시스템에 입력하는 단계, 여기서 각각의 세트는 줌 시스템의 상이한 구성에 대응하고, 상기 적어도 제2 시스템 사양 세트는 적어도 결상 시스템 파라미터들, 동공 특성들, 및 물체 공간 및 상 공간을 포함하며, 컴퓨터 기반 방법은 각각의 제2 시스템 사양 세트에 대해 평가된다.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

광학 표면들을 갖는 회전 대칭 결상 시스템의 제조를 위해 수치 제어 기계용 전자 파일을 생성하기 위한 컴퓨터 기반 방법으로서, 본 방법은:

- 이하를 포함하는 시스템 사양들을 컴퓨터에 입력하는 단계:

o 결상 시스템 파라미터들,

o 파장 의존성,

o 광학 표면들의 표면 계수들의 개수,　

o 동공 특성들

o 물체 공간 및 상 공간.

- 컴퓨터를 사용하여 페르마의 원리를 적용함으로써 시스템 사양들을 미분 방정식 세트로 변환하는 단계.

- 선택, 일관성 및 분포 규칙 세트를 사용하여 공칭적으로 사라지도록 설정될 광학 광선 수차들의 서브그룹을 컴퓨터에 입력하는 단계.

- 광선 트레이스 및 광학 표면들과의 그의 교차점 및 이들로부터의 각각의 유효 구경을 정의하는, 광학 표면들에 대한 표면 계수들 및 매핑 함수 계수들을 획득하기 위해 미분 방정식들을 푸는 단계, 및 광선 트레이스 및 광학 표면들과의 그의 교차점 및 이들로부터의 각각의 유효 구경을 정의하는, 광학 표면들에 대한 표면 계수들 및 매핑 함수 계수들을 포함하는 전자 파일을 출력하는 단계를 포함한다.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

적어도 하나의 표면 계수를 계산하는 동안, 적어도 하나의 광선 수차 계수,

광선들이 적어도 2개의 광학 표면과 교차하는 경우, 모든 매핑 함수 계수들, 및 주어진 차수까지의 모든 비-소거된 수차 계수들

의 공칭적 소거에 의해, 광학 축 및 적어도 2개의 광학 표면을 포함하는 회전 대칭 결상 시스템을 설계하기 위한 컴퓨터 기반 방법으로서, 본 방법은:

- 이하를 포함하는 제1 시스템 사양 세트를 컴퓨터에 입력하는 단계:

o z 방향으로 광학 축을 따라 있는 적어도 2개의(N_s ≥ 2개의) 광학 표면 및 이들의 측방 위치들의 시퀀스

o 굴절형 또는 반사형 중 어느 하나이고 구면 또는 비구면 형상을 갖는 각각의 광학 표면 - 각각의 표면 f_i는, 시스템의 총 N_c개의 아직 알려지지 않은 표면 계수와 함께, 단일 반경 변수

의 함수로서 표현됨 -

o 설계 파장 λ₀, 및 각각의 광학 표면 전후의 대응하는 굴절률들

o 유한 거리 또는 무한 거리에 있고, 유한 거리의 경우에 평평한 또는 곡면 형상을 갖는 물체

o 물체 대 상 관계를 기술하는, 물체 변수 t의 함수인 규정된 상

o 규정된 상과 광선 수차 급수 전개의 합인 실상

o 시스템의 조리개에 있는 m_p ≥ 1개의 동공 평면 - 각각의 동공 평면은, 물체로부터 나와서

에서 동공 평면을 통과하는 광선이 상 평면과 어디에서 교차하는지를 표현하는, 각도

(단, p = 1 ... m_p)에 의해 정의됨 -

o 각각의 표면을, 물체로부터 나와서 고정 동공 평면 p를 통과하는 광선이 각각의 광학 표면과 어디에서 교차하는지를 기술하는, (x, y)에서의 광선 매핑 함수들

의 함수로서 표현하는 것 - 반면에 상기 광선 매핑 함수들은 동공 변수 및 물체 변수 (q_p,t)의 급수임 -

- 2N_s개의 미분 방정식 D_i'(i'=1…2N_s)(u_i,p 방향으로 N_s 및 v_i,p 방향으로 N_s)을 도출하기 위해, 컴퓨터를 사용하여 물체, 표면 함수들 f_i, 매핑 함수들 u_i,p 및 v_i,p, 및 실상으로 표현되는 2개의 연속 광학 경로 길이 섹션의 각각의 쌍에 페르마의 원리를 적용함으로써 제1 시스템 사양 세트를 미분 방정식들로 변환하는 단계

- 동공 특성들을 정의하는 단계 -

o 조리개가 표면들

중 하나와 일치하는 경우,

에서의

및

를 조리개 위치인 (x_p,y_p)로 대체하는 단계

o 구경 조리개가 입구에, 2개의 광학 표면 사이에, 또는 출구에(상 이전에) 배치되는 경우, 구경 조리개를 향한 임의의 광선 경로를 기술하는 벡터와 구경 조리개로부터의 임의의 광선 경로를 기술하는 벡터의 외적이 0임을 표현하여, 이에 의해 이전에 도출된 미분 방정식들에 3개의 부가 방정식을 추가하여, D_i'개의 방정식(i' = 1 ... 2N_s + 3)을 얻는 단계

- 컴퓨터를 사용하여

(k,l=0,1,2,3... 이고 결합 차수들

임)의 값을 구하는 것에 의한 멱급수 해법을 사용함으로써 상기 2N_s 또는 (2N_s + 3)개의 방정식을 대수 방정식들로 변환하여, 모든 정의된 급수 계수들에 대한

또는

개의 대수 방정식을 얻는 단계

- 적어도 하나의 광선 수차 계수를 0이도록 선택하는 단계 - 0으로 설정된 각각의 수차 계수에 대해, 하나의 표면 계수를 (서브)그룹 M_c의 일부이도록 선택하는 반면, 광선 수차와 표면 계수의 상기 쌍(들) 각각은 대수 방정식들 중 적어도 하나에서 동시에 나타남 -

- 그룹 M_c의 일부가 아닌 모든 표면 계수들인, 이전 단계에서 수차들을 소거하는 데 사용되지 않은 임의의 표면(들) 계수에 대한 값들을 컴퓨터에 입력하는 단계,

- 컴퓨터를 사용하여 대수 연립 방정식을 풀어서 광학 표면들에 대한 적어도 하나의 표면 계수, 모든 매핑 함수 계수들, 및 주어진 결합 차수까지의 비-소거된 광선 수차 계수들을 출력으로서 획득하는 단계를 포함한다.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

적어도 제2 시스템 사양 세트를 컴퓨터 시스템에 입력하는 단계, 여기서 각각의 세트는 줌 시스템의 상이한 구성에 대응하고, 각각의 줌 시스템 사양 세트(c = 1,2 ...)는:

- 줌 이동들을 기술하는 모든 표면들의 측방 위치들

- 각각의 줌 구성에 대한 매핑 함수들

- 각각의 줌 구성에 대한 수차 함수들

- 각각의 줌 구성에 대한 물체의 함수인 규정된 상을 포함하며,

- 본 방법은:

- 각각의 줌 시스템 구성에 대한 2N_s개의 미분 방정식을 도출하기 위해 컴퓨터를 사용하여 2개의 연속 광학 경로 길이의 각각의 쌍에 페르마의 원리를 적용함으로써 시스템 사양들을 미분 방정식들로 변환하는 단계

- 동공 특성들을 정의하는 단계 -

o 조리개가 표면들

중 하나와 일치하는 경우,

에서의

및

를 조리개 위치인 (x_p,y_p)로 대체하고

o 구경 조리개가 배치되는 경우, 조리개를 향한 임의의 광선 경로를 기술하는 벡터와 조리개로부터의 임의의 광선 경로를 기술하는 벡터의 외적이 0임을 표현하여, 이에 의해 각각의 줌 시스템 구성에 대한 이전에 도출된 미분 방정식들에 3개의 부가 방정식을 추가함 -

- 컴퓨터를 사용하여

(단, k,l=0,1,2,3...이고 결합 차수들

임)의 값을 구하는 것에 의한 멱급수 해법을 사용함으로써 상기 2cN_s 또는 c(2N_s + 3)개의 방정식을 대수 방정식들로 변환하여, 모든 정의된 급수 계수들 및 모든 줌 시스템 구성들에 대한

또는

개의 대수 방정식을 얻는 단계

- 각각의 줌 시스템 사양에 대한 적어도 하나의 광선 수차 계수를 0이도록 선택하는 단계 - 0으로 설정된 각각의 수차 계수에 대해, 하나의 표면 계수를 (서브)그룹 M_c의 일부이도록 선택하는 반면, 광선 수차들과 표면 계수들의 상기 쌍들 각각은 대수 방정식들 중 적어도 하나에서 동시에 나타남 -,

- 이전 단계에서 수차들을 소거하는 데 사용되지 않은 임의의 표면(들) 계수에 대한 값들을 컴퓨터에 입력하는 단계 - 입력은 수동으로 또는 컴퓨터를 사용하여 행해질 수 있음 -

- 컴퓨터를 사용하여 대수 연립 방정식을 풀어서 광학 표면들에 대한 M_c의 일부인 모든 표면 계수들, 모든 매핑 함수, 및 모든 줌 시스템 구성들에 대한 주어진 결합 차수까지의 비-소거된 광선 수차 계수들을 출력으로서 획득하는 단계를 포함한다.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

컴퓨터 기반 방법, 여기서 결상 시스템의 회전 대칭성은 파괴되고, 여기서 시스템은 (1) 대칭 없음, (2) 하나의 대칭 평면, 또는 (3) 2개의 대칭 평면 중 어느 하나를 가지며, 본 방법은:

- 이하를 포함하는 시스템 사양들을 컴퓨터에 입력하는 단계:

o N_s ≥ 2개의(최대 30개의) 광학 표면의 시퀀스

o 굴절형 또는 반사형 중 어느 하나이고 구면, 비구면 또는 자유형 형상을 갖는 각각의 광학 표면 - 각각의 자유형 표면은, 시스템의 총 N_c개의 표면 계수들과 함께, 아직 알려지지 않은 멱급수 계수들 f_i,j,k(단, j,k=1,2... 최대 12이고 i=1,2,...N_s임)을 갖는 2개의 변수의 함수로서 표현됨 -

o 설계 파장 λ₀, 및 각각의 광학 표면 전후의 대응하는 굴절률들

o 유한 거리 또는 무한 거리에 있고, 유한 거리의 경우에 평평한 또는 곡면 형상을 갖는 물체

o 물체 대 상 관계를 기술하는, 2개의 물체 변수 t_x 및 t_y의 함수인 규정된 상

o 고려된 시스템 대칭성에 따라 규정된 상과 광선 수차 급수 전개의 합인 실상

o 광선 매핑 함수들

및

를 동공 변수 (x_p,y_p)와 물체 변수 (t_x,t_y)의 급수로서 표현하는 것

o 회전 행렬들(대칭 경우 (1) 또는 대칭 경우 (2)에 대해 적어도 하나)을 통해 모든 표면 위치들, 및 물체의 임의의 틸트들, 광학 표면들, 최종 구경 조리개 및 상을 표현하는 것; 반면에, 상기 회전 행렬들은 시스템 대칭성과 매칭하는 회전 축들 및 각도들을 입력함으로써 정의되며, 이는 그러면 축상 필드에 대한 주광선 경로 및 매핑 함수들의 모든 정점들을 정의함

- 2N_s개의 미분 방정식 D_i'(i' = 1 ... 2Ns)(u_i 방향으로 N_s, 및 v_i 방향으로 N_s)을 도출하기 위해, 컴퓨터를 사용하여 물체, 표면 함수들 f_i, 매핑 함수들 u_i 및 v_i, 및 실상으로 표현되는 2개의 연속 광학 경로 길이 섹션의 각각의 쌍에 페르마의 원리를 적용함으로써 시스템 사양들을 미분 방정식들로 변환하는 단계

- 동공 특성들을 정의하는 단계 -

o 조리개가 표면들

중 하나와 일치하는 경우,

에서의

및

를 조리개 위치인 (x_p,y_p)로 대체하고

o 구경 조리개가 주어진 위치에서 정의된 배향(회전 행렬)으로 배치된 경우, 구경 조리개를 향한 임의의 광선 경로를 기술하는 벡터와 구경 조리개로부터의 임의의 광선 경로를 기술하는 벡터의 외적이 0임을 표현하여, 이에 의해 이전에 도출된 D_i' 개의 미분 방정식(i' = 1 ... 2N_s + 3)에 3개의 부가 방정식을 추가함 -

- 컴퓨터를 사용하여 인덱스들 j,k,l,m,=0,1,2,3... 및 결합 차수들

(최대 11)의 모든 가능한 조합들에 대해,

의 값을 구하는 것에 의한 멱급수 해법을 사용함으로써 구경 조리개의 경우에 상기 2N_s 또는 (2N_s + 3)개의 방정식을 대수 방정식들로 변환하여, 모든 정의된 급수 계수들에 대한 대수 방정식 세트를 얻는 단계

- 적어도 하나의 광선 수차 계수를 0이도록 선택하는 단계 - 0으로 설정된 각각의 수차 계수에 대해, 하나의 표면 계수를 (서브)그룹 M_c의 일부이도록 선택하는 반면, 광선 수차와 표면 계수의 상기 쌍(들) 각각은 대수 방정식들 중 적어도 하나에서 동시에 나타남 -

- 그룹 M_c의 일부가 아닌 모든 표면 계수들인, 이전 단계에서 수차들을 소거하는 데 사용되지 않은 임의의 표면(들) 계수에 대한 값들을 컴퓨터에 입력하는 단계 - 반면에 입력은 수동으로 또는 컴퓨터를 사용하여 행해질 수 있음 -

- 컴퓨터를 사용하여 대수 연립 방정식을 풀어서 광학 표면들에 대한 적어도 하나의 표면 계수(M_c의 일부인 모든 계수들), 모든 매핑 함수 계수들, 및 주어진 결합 차수까지의 비-소거된 광선 수차 계수들을 출력으로서 획득하는 단계를 포함한다.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

컴퓨터 기반 방법으로서, 각각의 설계 파장에 대해 정의된 광선 매핑 및 광선 수차 함수들을 갖는 적어도 제2 설계 파장에 대해 상기 방법을 동시에 적용하는 단계를 추가로 포함하며, 본 방법은:

- 컴퓨터를 사용하여 각각의 설계 파장에 대한 2개의 연속 광학 경로 길이 섹션의 각각의 쌍에 페르마의 원리를 적용함으로써 시스템 사양들을 대수 방정식들로 변환하는 단계

- 설계 파장마다의 적어도 하나의 수차 계수를 0이도록 선택하여, 표면 계수들 그룹 M_c를 제공하는 단계

- 컴퓨터를 사용하여 대수 연립 방정식을 풀어서 적어도 2개의 표면(들) 계수들(M_c의 일부인 모든 계수들), 모든 매핑 함수 및 모든 설계 파장들에 대한 주어진 결합 차수까지의 비-소거된 광선 수차 계수들을 출력으로서 획득하는 단계

- 파장 변수 λ로 수차 급수 전개에 색수차 계수들을 포함시키는 단계

- 부가 급수 항

를 통해 모든 매핑 함수들에 파장 의존성을 포함시키는 단계

- 굴절률 분포

(예를 들어, 셀마이어 방정식)에 의해 각각의 광학 경로 길이 섹션을 표현하는 단계

- 컴퓨터를 사용하여 (표면 조리개 또는 구경 조리개를 갖는) 2개의 연속 광학 경로 길이 섹션의 각각의 쌍에 페르마의 원리를 적용함으로써 시스템 사양들을 미분 방정식들로 변환하는 단계

- 컴퓨터를 사용하여 상기 방정식들을 대수 방정식들로 변환하는 단계 - 멱급수 해법을 사용하는 단계는 부가 항

(단,

이고 임의로 최대 5를 가짐)를 포함시키는 단계를 포함하는 반면, 인덱스

가 결합 차수의 합산에 가산됨 -

- 수차 계수들을 공칭적으로 0이도록 선택하는 단계 - 이 단계는 적어도 하나의 단색 수차 계수(즉,

의 경우) 및 하나의 색수차 계수

를 0이도록 선택하여, 표면 계수들 그룹 M_c를 제공하는 단계를 포함하는 반면, 광선 수차 및 표면 계수의 상기 쌍들 각각은 대수 방정식들 중 적어도 하나에서 동시에 나타남 -

- 그룹 M_c의 일부가 아닌 임의의 표면(들) 계수에 대한 값들을 컴퓨터에 입력하는 단계

- 컴퓨터를 사용하여 대수 연립 방정식을 풀어서 적어도 2개의 표면 계수들(M_c의 일부인 모든 계수들), 모든 매핑 함수 계수들, 및 주어진 결합 차수까지의 비-소거된 단색 수차 계수들 및 색수차 계수들을 출력으로서 획득하는 단계를 포함한다.

소프트웨어는, 소프트웨어가 각자의 디바이스 또는 디바이스들 상에 로딩되고 마이크로프로세서들, ASIC들, FPGA들 등과 같은 하나 이상의 프로세싱 엔진 상에서 실행될 때, 이하의 기능들을 수행하도록 적응된 컴퓨터 프로그램 제품으로 구체화될 수 있다:

컴퓨터 기반 방법으로서, 여기서 수차 계수(들)를 선택하는 단계는 상기 수차 계수(들)를 0이 아닌 값으로 설정하는 단계를 포함한다. 0이 아닌 값으로 설정된 각각의 수차 계수에 대해, 하나의 표면 계수를 (서브)그룹 M_c의 일부이도록 선택하는 반면, 광선 수차와 표면 계수의 상기 쌍(들) 각각은 대수 방정식들 중 적어도 하나에서 동시에 나타난다.

위에서 언급된 소프트웨어는, 광학 디스크(CD-ROM 또는 DVD-ROM); 자기 테이프, 자기 디스크, ROM, 또는 USB 플래시 메모리 등과 같은 솔리드 스테이트 메모리와 같은, 비일시적 신호 저장 매체에 저장될 수 있다.

본 발명이 다수의 실시예들을 참조하여 위에서 설명되었지만, 이것은 본 발명을 제한하기 위해서가 아니라 예시하기 위해 이루어졌고, 본 발명의 범위는 첨부된 청구범위에 의해 결정된다. 통상의 기술자는 개별 실시예들과 관련하여 본 명세서에 개시된 특징들이, 본 발명의 범위를 벗어나지 않으면서, 동일한 기술적 효과 및 장점을 획득하기 위해 다른 실시예들의 특징들과 조합될 수 있음을 이해할 것이다.

Claims (50)

1. 적어도 하나의 표면 계수를 계산하는 동안, 적어도 하나의 광선 수차 계수,
   광선들이 적어도 2개의 광학 표면과 교차하는 경우, 모든 매핑 함수 계수들, 및
   주어진 차수까지의 모든 비-소거된 수차 계수들
   의 공칭적 소거에 의해, 광학 축 및 상기 적어도 2개의 광학 표면을 포함하는 회전 대칭 결상 시스템을 설계하기 위한 컴퓨터 기반 방법으로서,
   - 이하를 포함하는 제1 시스템 사양 세트를 컴퓨터에 입력하는 단계:
   o z 방향으로 상기 광학 축을 따라 있는 적어도 2개의(Ns ≥ 2개의) 광학 표면 및 이들의 측방 위치들의 시퀀스
   o 굴절형 또는 반사형 중 어느 하나이고 구면 또는 비구면 형상을 갖는 각각의 광학 표면 - 각각의 표면 f_i는, 상기 시스템의 총 N_c개의 아직 알려지지 않은 표면 계수들과 함께, 단일 반경 변수

   

   의 함수로서 표현됨 -
   o 설계 파장 λ₀, 및 각각의 광학 표면 전후의 대응하는 굴절률들
   o 유한 거리 또는 무한 거리에 있고, 유한 거리의 경우에 평평한 또는 곡면 형상을 갖는 물체
   o 물체 대 상 관계를 기술하는, 물체 변수 t의 함수인 규정된 상(prescribed image)
   o 상기 규정된 상과 광선 수차 급수 전개의 합인 실상(real image)
   o 시스템의 조리개에 있는 m_p ≥ 1개의 동공 평면 - 각각의 동공 평면은, 상기 물체로부터 나와서

   

   에서 상기 동공 평면을 통과하는 광선이 상 평면과 어디에서 교차하는지를 표현하는, 각도

   

   (단, p = 1 ... m_p임)에 의해 정의됨 -
   o 각각의 표면을, 상기 물체로부터 나와서 고정 동공 평면 p를 통과하는 광선이 각각의 광학 표면과 어디에서 교차하는지를 기술하는, (x, y)에서의 광선 매핑 함수들

   

   의 함수로서 표현하는 것 - 반면에 상기 광선 매핑 함수들은 동공 변수 및 물체 변수 (q_p,t)의 급수임 -
   - 2N_s개의 미분 방정식 D_i'(i' = 1...2N_s)(u_i,p 방향으로 N_s, 및 v_i,p 방향으로 N_s)을 도출하기 위해, 상기 컴퓨터를 사용하여 상기 물체, 표면 함수들 f_i, 매핑 함수들 u_i,p 및 v_i,p, 및 상기 실상으로 표현되는 2개의 연속 광학 경로 길이 섹션의 각각의 쌍에 페르마의 원리를 적용함으로써 상기 제1 시스템 사양 세트를 미분 방정식들로 변환하는 단계
   - 동공 특성들을 정의하는 단계 -
   o 상기 조리개가 상기 표면들

   

   중 하나와 일치하는 경우,

   

   에서의

   

   및

   

   를 조리개 위치인 (x_p,y_p)로 대체하고
   o 구경 조리개가 입구에, 2개의 광학 표면 사이에, 또는 출구에(상기 상 이전에) 배치되는 경우, 상기 구경 조리개를 향한 임의의 광선 경로를 기술하는 벡터와 상기 구경 조리개로부터의 임의의 광선 경로를 기술하는 벡터의 외적이 0임을 표현하여, 이에 의해 상기 이전에 도출된 미분 방정식들에 3개의 부가 방정식을 추가하여, D_i'개의 방정식(i' = 1 ... 2N_s + 3)을 얻음 -
   - 상기 컴퓨터를 사용하여

   

   (단, k,l=0,1,2,3...이고 결합 차수들

   

   임)의 값을 구하는 것에 의한 멱급수 해법을 사용함으로써 상기 2N_s 또는 (2N_s + 3)개의 방정식을 대수 방정식들로 변환하여, 모든 정의된 급수 계수들에 대한

   

   또는

   

   개의 대수 방정식을 얻는 단계,
   - 적어도 하나의 광선 수차 계수를 0이도록 선택하는 단계 - 0으로 설정된 각각의 수차 계수에 대해, 하나의 표면 계수를 (서브)그룹 M_c의 일부이도록 선택하는 반면, 광선 수차와 표면 계수의 상기 쌍(들) 각각은 상기 대수 방정식들 중 적어도 하나에서 동시에 나타남 -
   - 그룹 M_c의 일부가 아닌 모든 표면 계수들인, 상기 이전 단계에서 수차들을 소거하는 데 사용되지 않은 임의의 표면(들) 계수에 대한 값들을 컴퓨터에 입력하는 단계,
   - 상기 컴퓨터를 사용하여 대수 연립 방정식들을 풀어서 상기 광학 표면들에 대한 적어도 하나의 표면 계수, 모든 매핑 함수 계수들, 및 상기 주어진 결합 차수까지의 비-소거된 광선 수차 계수들을 출력으로서 획득하는 단계
   를 포함하는, 컴퓨터 기반 방법.
2. 제1항에 있어서, 상기 광학 표면들의 개수는 최대 30개이거나 상기 결합 차수들은 최대 19인, 컴퓨터 기반 방법.
3. 제1항 또는 제2항에 있어서, 각각의 광학 표면은 굴절형 또는 반사형 중 어느 하나이고 20차까지의 구면 또는 비구면 형상을 갖는, 컴퓨터 기반 방법.
4. 제1항 내지 제3항 중 어느 한 항 있어서, 광선 수차 급수 전개는 Buchdahl 등에 따르는, 컴퓨터 기반 방법.
5. 제1항 내지 제4항 중 어느 한 항 있어서, 시스템의 조리개에 있는 상기 m_p ≥ 1개의 동공 평면 각각은 각도

   

   (단, p = 1 ... m_p임)에 의해 자오(tangential) 광선 평면, 구결(sagittal) 광선 평면, 비축(skew) 광선 평면으로 정의되는, 컴퓨터 기반 방법.
6. 제1항 내지 제5항 중 어느 한 항 있어서, 상기 동공 특성들을 정의하는 단계는 구경 조리개를 포함하는, 컴퓨터 기반 방법.
7. 제1항 내지 제6항 중 어느 한 항 있어서, 구경 조리개가 상기 입구에 배치되는 경우, 이것은 상기 물체 이후인, 컴퓨터 기반 방법.
8. 제1항 내지 제7항 중 어느 한 항 있어서, 그룹 M_c의 일부가 아닌 모든 표면 계수들인, 상기 이전 단계에서 수차들을 소거하는 데 사용되지 않은 임의의 표면(들) 계수에 대한 값들을 컴퓨터에 입력하는 단계에서, 상기 입력은 수동으로 또는 컴퓨터를 사용하여 행해질 수 있는, 컴퓨터 기반 방법.
9. 제1항 내지 제8항 중 어느 한 항 있어서, 상기 컴퓨터를 사용하여 상기 대수 연립 방정식들을 풀어서 적어도 하나의 표면 계수를 출력으로서 획득하는 단계는 M_c의 일부인 적어도 모든 계수들을 포함하는, 컴퓨터 기반 방법.
10. 제1항 내지 제9항 중 어느 한 항 있어서, 적어도 제2 시스템 사양 세트를 상기 컴퓨터 시스템에 입력하는 단계
    를 추가로 포함하고, 각각의 세트는 줌 시스템의 상이한 구성에 대응하고, 각각의 줌 시스템 사양 세트(c = 1,2 ...)는:
    - 줌 이동들을 기술하는 모든 표면들의 측방 위치들

    

    
    - 각각의 줌 구성에 대한 매핑 함수들

    

    
    - 각각의 줌 구성에 대한 수차 함수들

    

    
    - 각각의 줌 구성에 대한 상기 물체의 함수인 규정된 상을 포함하며,
    - 상기 방법은:
    - 각각의 줌 시스템 구성에 대한 2N_s개의 미분 방정식을 도출하기 위해 상기 컴퓨터를 사용하여 2개의 연속 광학 경로 길이의 각각의 쌍에 페르마의 원리를 적용함으로써 상기 제2 시스템 사양 세트를 미분 방정식들로 변환하는 단계
    - 동공 특성들을 정의하는 단계 -
    o 상기 조리개가 상기 표면들

    

    중 하나와 일치하는 경우,

    

    에서의

    

    및

    

    를 조리개 위치인 (x_p,y_p)로 대체하고
    o 구경 조리개가 배치되는 경우, 조리개를 향한 임의의 광선 경로를 기술하는 벡터와 조리개로부터의 임의의 광선 경로를 기술하는 벡터의 외적이 0임을 표현하여, 이에 의해 각각의 줌 시스템 구성에 대한 이전에 도출된 미분 방정식들에 3개의 부가 방정식을 추가함 -
    - 상기 컴퓨터를 사용하여

    

    (단, k,l=0,1,2,3...이고 결합 차수들

    

    임)의 값을 구하는 것에 의한 멱급수 해법을 사용함으로써 2cN_s 또는 c(2N_s + 3)개의 방정식을 대수 방정식들로 변환하여, 모든 정의된 급수 계수들 및 모든 줌 시스템 구성들에 대한

    

    또는

    

    개의 대수 방정식을 얻는 단계
    - 각각의 줌 시스템 사양에 대한 적어도 하나의 광선 수차 계수를 0이도록 선택하는 단계 - 0으로 설정된 각각의 수차 계수에 대해, 하나의 표면 계수를 (서브)그룹 M_c의 일부이도록 선택하는 반면, 광선 수차들과 표면 계수들의 상기 쌍들 각각은 상기 대수 방정식들 중 적어도 하나에서 동시에 나타남 -,
    - 상기 이전 단계에서 수차들을 소거하는 데 사용되지 않은 임의의 표면(들) 계수에 대한 값들을 컴퓨터에 입력하는 단계 - 반면에 상기 입력은 수동으로 또는 컴퓨터를 사용하여 행해질 수 있음 -
    - 상기 컴퓨터를 사용하여 상기 대수 연립 방정식들을 풀어서 상기 광학 표면들에 대한 M_c의 일부인 모든 표면 계수들, 모든 매핑 함수, 및 모든 줌 시스템 구성들에 대한 상기 주어진 결합 차수까지의 비-소거된 광선 수차 계수들을 출력으로서 획득하는 단계
    를 포함하는, 컴퓨터 기반 방법.
11. 제10항에 있어서, 각각의 줌 구성에 대한 상기 물체의 함수인 상기 규정된 상은 초점 거리의 변화들을 기술하는, 컴퓨터 기반 방법.
12. 제10항 또는 제11항에 있어서, 상기 동공 특성들을 정의하는 단계는 상기 구경 조리개를 포함하는, 컴퓨터 기반 방법.
13. 제10항 내지 제12항 중 어느 한 항에 있어서, 상기 결합 차수들

    

    은 최대 19인, 컴퓨터 기반 방법.
14. 제10항 내지 제13항 중 어느 한 항에 있어서, 모든 표면 계수들은 그룹 M_c의 일부가 아닌, 컴퓨터 기반 방법.
15. 제10항 내지 제14항 중 어느 한 항에 있어서, 상기 이전 단계에서 수차들을 소거하는 데 사용되지 않은 임의의 표면(들) 계수에 대한 값들을 컴퓨터에 입력하는 단계는 그룹 M_c의 일부가 아닌 모든 표면 계수들을 포함하는, 컴퓨터 기반 방법.
16. 컴퓨터 기반 방법으로서, 결상 시스템의 회전 대칭성이 파괴되고, 상기 시스템은 (1) 대칭 없음, (2) 하나의 대칭 평면, 또는 (3) 2개의 대칭 평면 중 어느 하나를 가지며, 상기 방법은:
    - 이하를 포함하는 시스템 사양들을 컴퓨터에 입력하는 단계:
    o Ns ≥ 2개의(최대 30개의) 광학 표면의 시퀀스
    o 굴절형 또는 반사형 중 어느 하나이고 구면, 비구면 또는 자유형 형상을 갖는 각각의 광학 표면 - 각각의 자유형 표면은, 상기 시스템의 총 N_c개의 표면 계수들과 함께, 아직 알려지지 않은 멱급수 계수들 f_i,j,k(단, j,k=1,2 ... 최대 12이고 i=1,2, ... N_s임)을 갖는 2개의 변수의 함수로서 표현됨 -
    o 설계 파장 λ₀, 및 각각의 광학 표면 전후의 대응하는 굴절률들
    o 유한 거리 또는 무한 거리에 있고, 유한 거리의 경우에 평평한 또는 곡면 형상을 갖는 물체
    o 물체 대 상 관계를 기술하는, 2개의 물체 변수 t_x 및 t_y의 함수인 규정된 상
    o 고려된 시스템 대칭성에 따라 상기 규정된 상과 광선 수차 급수 전개의 합인 실상
    o 광선 매핑 함수들

    

    및

    

    를 동공 변수 (x_p,y_p)와 물체 변수 (t_x,t_y)의 급수들로서 표현하는 것
    o 회전 행렬들(대칭 경우 (1) 또는 대칭 경우 (2)에 대해 적어도 하나)을 통해 모든 표면 위치들, 및 상기 물체의 임의의 틸트들, 상기 광학 표면들, 최종 구경 조리개 및 상기 상을 표현하는 것; 반면에, 상기 회전 행렬들은 상기 시스템 대칭성과 매칭하는 회전 축들 및 각도들을 입력함으로써 정의되며, 이는 그러면 축상 필드에 대한 주광선 경로 및 상기 매핑 함수들의 모든 정점들을 정의함
    - 2N_s개의 미분 방정식 D_i'(i' = 1 ... 2Ns)(u_i 방향으로 N_s, 및 v_i 방향으로 N_s)을 도출하기 위해, 상기 컴퓨터를 사용하여 상기 물체, 표면 함수들 f_i, 매핑 함수들 u_i 및 v_i, 및 상기 실상으로 표현되는 2개의 연속 광학 경로 길이 섹션의 각각의 쌍에 페르마의 원리를 적용함으로써 상기 시스템 사양들을 미분 방정식들로 변환하는 단계
    - 동공 특성들을 정의하는 단계 -
    o 상기 조리개가 상기 표면들

    

    중 하나와 일치하는 경우,

    

    에서의

    

    및

    

    를 조리개 위치인 (x_p,y_p)로 대체하고
    o 구경 조리개가 주어진 위치에서 정의된 배향(회전 행렬)으로 배치된 경우, 상기 구경 조리개를 향한 임의의 광선 경로를 기술하는 벡터와 상기 구경 조리개로부터의 임의의 광선 경로를 기술하는 벡터의 외적이 0임을 표현하여, 이에 의해 이전에 도출된 D_i' 개의 미분 방정식(i' = 1 ... 2N_s + 3)에 3개의 부가 방정식을 추가함 -
    - 상기 컴퓨터를 사용하여 인덱스들 j,k,l,m,=0,1,2,3... 및 결합 차수들

    

    (최대 11)의 모든 가능한 조합들에 대해,

    

    의 값을 구하는 것에 의한 멱급수 해법을 사용함으로써 구경 조리개의 경우에 상기 2N_s 또는 (2N_s + 3)개의 방정식을 대수 방정식들로 변환하여, 모든 정의된 급수 계수들에 대한 대수 방정식 세트를 얻는 단계
    - 적어도 하나의 광선 수차 계수를 0이도록 선택하는 단계 - 0으로 설정된 각각의 수차 계수에 대해, 하나의 표면 계수를 (서브)그룹 M_c의 일부이도록 선택하는 반면, 광선 수차와 표면 계수의 상기 쌍(들) 각각은 상기 대수 방정식들 중 적어도 하나에서 동시에 나타남 -
    - 그룹 M_c의 일부가 아닌 모든 표면 계수들인, 이전 단계에서 수차들을 소거하는 데 사용되지 않은 임의의 표면(들) 계수에 대한 값들을 컴퓨터에 입력하는 단계 - 반면에 상기 입력은 수동으로 또는 컴퓨터를 사용하여 행해질 수 있음 -
    - 상기 컴퓨터를 사용하여 대수 연립 방정식들을 풀어서 상기 광학 표면들에 대한 적어도 하나의 표면 계수(M_c의 일부인 모든 계수들), 모든 매핑 함수 계수들, 및 상기 주어진 결합 차수까지의 비-소거된 광선 수차 계수들을 출력으로서 획득하는 단계
    를 포함하는, 컴퓨터 기반 방법.
17. 제16항에 있어서, 상기 광학 표면들의 개수는 최대 30개인, 컴퓨터 기반 방법.
18. 제16항 또는 제17항에 있어서, 각각의 광학 표면은 굴절형 또는 반사형 중 어느 하나이고 20차까지의 구면 또는 비구면 형상을 갖는, 컴퓨터 기반 방법.
19. 제16항 내지 제18항 중 어느 한 항에 있어서, 광선 수차 급수 전개는 Buchdahl 등에 따르는, 컴퓨터 기반 방법.
20. 제1항 내지 제19항 중 어느 한 항 있어서, 각각의 설계 파장에 대해 정의된 광선 매핑 및 광선 수차 함수들을 갖는 적어도 제2 설계 파장에 대해 상기 방법을 동시에 적용하는 단계
    를 추가로 포함하며, 상기 방법은:
    - 상기 컴퓨터를 사용하여 각각의 설계 파장에 대한 2개의 연속 광학 경로 길이 섹션의 각각의 쌍에 페르마의 원리를 적용함으로써 상기 시스템 사양들을 대수 방정식들로 변환하는 단계
    - 설계 파장마다의 적어도 하나의 수차 계수를 0이도록 선택하여, 표면 계수들 그룹 M_c를 제공하는 단계
    - 상기 컴퓨터를 사용하여 상기 대수 연립 방정식들을 풀어서 적어도 2개의 표면(들) 계수들(M_c의 일부인 모든 계수들), 모든 매핑 함수 및 모든 설계 파장들에 대한 상기 주어진 결합 차수까지의 비-소거된 광선 수차 계수들을 출력으로서 획득하는 단계
    를 추가로 포함하는, 컴퓨터 기반 방법.
21. 제1항 내지 제20항 중 어느 한 항에 있어서, 상기 단계들은:
    - 파장 변수 λ로 상기 수차 급수 전개들에 색수차 계수들을 포함시키는 단계
    - 부가 급수 항

    

    를 통해 모든 매핑 함수들에 파장 의존성을 포함시키는 단계
    - 굴절률 분포

    

    (예를 들어, 셀마이어 방정식)에 의해 각각의 광학 경로 길이 섹션을 표현하는 단계
    - 상기 컴퓨터를 사용하여 (표면 조리개 또는 구경 조리개를 갖는) 2개의 연속 광학 경로 길이 섹션의 각각의 쌍에 페르마의 원리를 적용함으로써 상기 시스템 사양들을 미분 방정식들로 변환하는 단계
    - 상기 컴퓨터를 사용하여 상기 방정식들을 대수 방정식들로 변환하는 단계 - 상기 멱급수 해법을 사용하는 단계는 부가 항

    

    (단,

    

    

    이고 임의로 최대 5를 가짐)를 포함시키는 단계를 포함하는 반면, 상기 인덱스

    

    가 상기 결합 차수의 합산에 가산됨 -
    - 수차 계수들을 공칭적으로 0이도록 선택하는 단계 - 상기 단계는 적어도 하나의 단색 수차 계수(즉,

    

    의 경우) 및 하나의 색수차 계수

    

    를 0이도록 선택하여, 표면 계수들 그룹 M_c를 제공하는 단계를 포함하는 반면, 광선 수차 및 표면 계수의 상기 쌍들 각각은 상기 대수 방정식들 중 적어도 하나에서 동시에 나타남 -
    - 그룹 M_c의 일부가 아닌 임의의 표면(들) 계수에 대한 값들을 컴퓨터에 입력하는 단계
    - 상기 컴퓨터를 사용하여 상기 대수 연립 방정식들을 풀어서 적어도 2개의 표면 계수들(M_c의 일부인 모든 계수들), 모든 매핑 함수 계수들, 및 상기 주어진 결합 차수까지의 비-소거된 단색 수차 계수들 및 색수차 계수들을 출력으로서 획득하는 단계
    를 추가로 포함하는, 컴퓨터 기반 방법.
22. 제1항 내지 제21항 중 어느 한 항 있어서, 수차 계수(들)를 선택하는 단계는 상기 수차 계수(들)를 0이 아닌 값으로 설정하는 단계를 포함하고, 0이 아닌 값으로 설정된 각각의 수차 계수에 대해, 하나의 표면 계수를 (서브)그룹 M_c의 일부이도록 선택하는 반면, 광선 수차와 표면 계수의 상기 쌍(들) 각각은 상기 대수 방정식들 중 적어도 하나에서 동시에 나타나는, 컴퓨터 기반 방법.
23. 제1항 내지 제22항 중 어느 한 항 있어서, 그룹 M_c의 일부가 아닌 시스템 사양들 및/또는 표면 계수들을 상기 컴퓨터에 입력하는 단계는 최적화 방법을 사용하여 자동화되는, 컴퓨터 기반 방법.
24. 제1항 내지 제23항 중 어느 한 항에 있어서, 수차 계수(들)를 선택하는 단계는 계수를 선택하지 않는 단계(빈 그룹 M_c를 선택하는 단계), 및 상기 컴퓨터를 사용하여 상기 대수 연립 방정식들을 풀어서 모든 매핑 함수 계수들 및 상기 주어진 결합 차수까지의 모든 광선 수차 계수들을 출력으로서 획득하는 단계를 포함하는, 컴퓨터 기반 방법.
25. 제1항 내지 제24항 중 어느 한 항에 따른 방법을 구현하도록 적응되는 컴퓨터 기반 시스템.
26. 광학 표면들을 갖는 회전 대칭 결상 시스템을 설계하기 위한 컴퓨터 기반 방법으로서, 상기 방법은 적어도 하나의 광선 수차를 공칭적으로 소거하기 위한 것이고, 상기 방법은:
    - 이하를 포함하는 시스템 사양들을 컴퓨터에 입력하는 단계:
    o 결상 시스템 파라미터들,
    o 파장 의존성,
    o 상기 광학 표면들의 표면 계수들의 개수,　
    o 동공 특성들
    o 물체 공간 및 상 공간,
    - 컴퓨터를 사용하여 페르마의 원리를 적용함으로써 상기 시스템 사양들을 미분 방정식 세트로 변환하는 단계.
    - 선택, 일관성 및 분포 규칙 세트를 사용하여 공칭적으로 사라지도록 설정될 광학 광선 수차들의 서브그룹을 상기 컴퓨터에 입력하는 단계.
    - 광선 트레이스 및 상기 광학 표면들과의 그의 교차점 및 이들로부터의 각각의 유효 구경을 정의하는, 상기 광학 표면들에 대한 표면 계수들 및 매핑 함수 계수들을 획득하기 위해 상기 미분 방정식들을 푸는 단계
    를 포함하는, 컴퓨터 기반 방법.
27. 제26항에 있어서, 시스템 사양들인 상기 결상 시스템 파라미터들을 상기 컴퓨터에 입력하는 단계는 적어도 하나의 설계 파장 λ₀을 입력하는 단계를 포함하는, 컴퓨터 기반 방법.
28. 제26항 또는 제27항에 있어서, 상기 시스템 사양들인 결상 시스템 파라미터들을 상기 컴퓨터에 입력하는 단계는 N_s개의 광학 표면의 시퀀스를 입력하는 단계를 포함하며, 각각의 광학 표면은 광학 표면 프로파일 f_i을 갖고, 상기 N_s개의 광학 표면의 시퀀스는 상기 결상 시스템의 광학 축을 정의하며, 그리고/또는
    시스템 사양들인 상기 광학 표면들의 상기 표면 계수들을 상기 컴퓨터에 입력하는 단계는 각각의 광학 표면을 구면 또는 비구면으로 정의하는 단계를 포함하고, 각각의 광학 표면은 단일 반경 변수 r의 함수로서 표현되며, 그리고/또는
    상기 단일 반경 변수

    

    를 추가로 표현하고 각각의 표면을 테일러 계수들

    

    (단, j=1,2... 최대 30이고 i = 1, 2, ... 50임)을 갖는 테일러 다항식으로서 전개하는, 컴퓨터 기반 방법.
29. 제26항 내지 제28항 중 어느 한 항에 있어서, 상기 시스템 사양들인 상기 동공 특성들을 상기 컴퓨터에 입력하는 단계는
    상기 광학 축을 따라 동공 평면에 대한 위치를 입력하고, 상기 동공 평면의 m_p개의 고정 동공 평면 단면 p를 선택하는 단계 - m_p ≥ 1이고, 각각의 동공 평면 단면은 각도

    

    (단, p = 1 ... m_p임)에 의해 정의됨 - 를 포함하고, 그리고/또는
    각각의 동공 평면 단면은, 상기 물체 공간으로부터 나와서

    

    에서 상기 동공 평면 좌표들을 통과하는 광선이 제1 상 평면과 어디에서 교차하는지를 표현하는, 단일 동공 반경 변수 q_p로 정의되는, 컴퓨터 기반 방법.
30. 제26항 내지 제29항 중 어느 한 항에 있어서, 시스템 사양들인 상기 물체 공간 및 상 공간을 상기 컴퓨터에 입력하는 단계는
    무한 거리 또는 유한 거리에 있는 물체 점을 선택하는 단계 - 유한 거리에 있는 물체 점을 선택하는 단계는 상기 광학 축을 따라 물체 평면에서의 물체 점을 선택하는 단계를 추가로 포함함 -, 및/또는
    상기 광학 축을 따라 상 평면에서의 제1 상 점을 선택하는 단계를 포함하고, 그리고/또는
    시스템 사양들인 상기 물체 공간 및 상 공간을 상기 컴퓨터에 입력하는 단계는 각각의 고정 동공 평면 단면들에 대한 제2 상 점을 광학 수차들에 의해 증분되는 상기 제1 상 점의 합으로 표현하는 단계를 포함하고, 상기 광학 수차들은 각각의 동공 평면 단면에 대한 광선 수차 계수들의 광선 수차 급수 전개로서 표현되는, 컴퓨터 기반 방법.
31. 제29항 또는 제30항에 있어서, 상기 컴퓨터를 사용하여 상기 시스템 사양들을 미분 방정식 세트로 변환하는 단계는 상기 물체 점으로부터 또는 필드각 아래에서 나와서 상기 고정 동공 평면 단면 p를 통과하는 광선이 상기 동공 평면 단면에 대한 각각의 광학 표면과 어디에서 교차하는지를 기술하는 광선 매핑 함수들의 함수로서 상기 광학 표면 프로파일들을 표현하는 단계를 추가로 포함하고, 그리고/또는
    상기 광선 매핑 함수들을

    

    로서 표현하는 단계를 추가로 포함하며, 상기 동공 평면 단면에 대한 상기 광학 표면들 f_i가 상기 광선 매핑 함수들

    

    의 함수로서 표현되도록, 변수 t는 상기 물체를 정의하고 상기 고정 동공 평면 단면 θ_p는 동공 좌표들 (q_p, θ_p)를 갖는, 컴퓨터 기반 방법.
32. 제26항 내지 제31항 중 어느 한 항에 있어서, 시스템 사양들인 상기 결상 시스템 파라미터들을 상기 컴퓨터에 입력하는 단계는 적어도 하나의 설계 파장 λ₀에 대한 각각의 굴절률 분포

    

    를 갖는 (N_s + 1)개의 재료의 시퀀스를 선택하는 단계 - 상기 물체 평면, 상기 N_s개의 광학 표면 및 상기 상 평면의 시퀀스는 광학 경로 길이들 d_i를 갖는 (N_s + 1)개의 섹션의 시퀀스를 정의함 - 를 포함하고, 그리고/또는
    상기 컴퓨터를 사용하여 상기 시스템 사양들을 미분 방정식 세트로 변환하는 단계는, 2개의 고정 점 사이의 광학 경로 길이가 광선을 따라 극치임을 수학적으로 표현함으로써, N_s개의 미분 방정식의 2개의 세트를 도출하기 위해 상기 광선 매핑 함수들의 함수로서 2개의 연속 섹션의 각각의 쌍에 페르마의 원리를 적용하는 단계를 추가로 포함하는, 컴퓨터 기반 방법.
33. 제26항 내지 제32항 중 어느 한 항에 있어서, 시스템 사양들인 상기 광학 표면들의 상기 표면 계수들을 상기 컴퓨터에 입력하는 단계는 i 번째 표면에 대한 2j 차수의 표면 계수들

    

    를 갖는 급수 전개로서 각각의 광학 표면 프로파일을 전개하는 단계를 포함하고, 그리고/또는
    상기 컴퓨터를 사용하여 상기 시스템 사양들을 N_s개의 미분 방정식의 2개의 세트로 변환하는 단계는 상기 광선 매핑 함수들을 광선 매핑 함수 계수들의 급수 전개로 전개하는 단계를 포함하는, 컴퓨터 기반 방법.
34. 제32항 또는 제33항에 있어서, 상기 미분 방정식들을 푸는 단계는 상기 매핑 함수들 및 상기 광학 표면들의 급수 계수들을 상기 광학 광선 수차들의 서브그룹의 함수로서 계산하기 위해 멱급수법을 이용하여 상기 N_s개의 미분 방정식의 2개의 세트에 대한 해들을 구하는 단계를 추가로 포함하는, 컴퓨터 기반 방법.
35. 제33항 또는 제34항에 있어서, 차수 k, l의 편도함수들을 상기 N_s개의 미분 방정식의 2개의 세트에 적용하는 단계 - 상기 차수들 k, l은 각각의 동공 평면 단면에 대한 미리 정의된 수차 행렬들을 사용하여 제공됨 -
    를 추가로 포함하며, 상기 광학 표면 계수들 및 상기 광선 매핑 함수 계수들에 대한 연립 방정식들을 도출하기 위해, 각각의 미리 정의된 수차 행렬은 상기 서브그룹의 각각의 광학 광선 수차를 상기 동공 평면 단면에서의 상기 광선 수차 급수 전개의 차수 k,l의 편도함수에 연관시키는, 컴퓨터 기반 방법.
36. 제35항에 있어서, 상기 미분 방정식들을 푸는 단계는 상기 광학 표면들의 계산된 계수들로부터 각각의 광학 표면의 표면 프로파일들을 도출하는 단계를 추가로 포함하고, 그리고/또는
    상기 미분 방정식들을 푸는 단계는 상기 매핑 함수들의 계산된 급수 계수들로부터 각각의 광학 표면의 유효 구경을 도출하는 단계를 추가로 포함하는, 컴퓨터 기반 방법.
37. 제30항 내지 제36항 중 어느 한 항에 있어서, 제1 상 점을 선택하는 단계는 물체 대 상 관계를 규정하는 함수로 상기 제1 상 점을 표현하는 단계를 추가로 포함하고, 상기 제2 상을 표현하는 단계는 상기 선택된 동공 평면 단면에서의 상기 제2 상을 상기 제1 상과 x-방향 및 y-방향에서의 광학 광선 수차들의 합으로서 표현하는 단계를 추가로 포함하며, 상기 광학 광선 수차들은 기지의 광선 수차 전개들 및 파면 수차 전개들에 관련되는, 컴퓨터 기반 방법.
38. 제29항 내지 제37항 중 어느 한 항에 있어서, 시스템 사양들인 상기 동공 특성들을 상기 컴퓨터에 입력하는 단계는 상기 광학 축을 따라 구경 조리개에 대한 위치를 입력하는 단계를 포함하고, 상기 구경 조리개는 입사동, 2개의 광학 표면 사이의 구경 조리개, 또는 출사동이며,
    - 상기 구경 조리개가 상기 광학 표면들 중 하나와 일치하면, 상기 광학 표면의 광선 매핑 함수 좌표들을 동공 좌표들로 대체하고,
    - 상기 구경 조리개가 2개의 광학 표면 사이에 있는 경우, 선행 광학 표면으로부터 상기 구경 조리개를 향한 방향 벡터와 상기 구경 조리개로부터 후속 광학 표면을 향한 방향 벡터의 외적이 0임을 표현하여, 이에 의해 3개의 부가 방정식을 상기 2개의 미분 방정식 세트 각각에 추가하며;
    - 상기 구경 조리개가 출사동과 일치하는 경우, 마지막 표면으로부터 상기 구경 조리개로의 방향 벡터와 상기 조리개로부터 상기 상 평면으로의 방향 벡터의 외적이 일치한다는 것을 표현하여, 따라서 2개의 벡터의 외적이 0이고 3개의 부가 방정식이 상기 2개의 미분 방정식 세트에 추가되고,
    - 상기 구경 조리개가 상기 입사동과 일치하는 경우, 상기 물체로부터 상기 조리개로의 방향 벡터와 상기 조리개로부터 첫 번째 표면으로의 방향 벡터가 일치하고, 따라서 2개의 벡터의 외적이 0이며 3개의 부가 방정식이 상기 2개의 미분 방정식 세트에 추가되는, 컴퓨터 기반 방법.
39. 제27항 내지 제38항 중 어느 한 항에 있어서, 적어도 제2 설계 파장에 대해 상기 방법을 반복하는 단계
    를 추가로 포함하고, 그리고/또는
    시스템 사양들인 상기 결상 시스템 파라미터들을 상기 컴퓨터에 입력하는 단계는 상기 적어도 하나의 설계 파장 λ₀에 대한 각각의 재료의 굴절률 분포

    

    에 의해 각각의 광학 경로 길이 d_i를 파장의 함수로서 표현하는 단계를 추가로 포함하며, 그리고/또는
    적어도 제2 시스템 사양 세트를 컴퓨터 시스템에 입력하는 단계를 추가로 포함하고, 각각의 세트는 줌 시스템의 상이한 구성에 대응하고, 상기 적어도 제2 시스템 사양 세트는 적어도 결상 시스템 파라미터들, 동공 특성들, 및 물체 공간 및 상 공간을 포함하며, 제1항 내지 제13항의 상기 컴퓨터 기반 방법은 각각의 제2 시스템 사양 세트에 대해 평가되는, 컴퓨터 기반 방법.
40. 제30항 내지 제39항 중 어느 한 항에 있어서, 시스템 사양들을 상기 컴퓨터에 입력하는 단계에서, 상기 표면 계수들 및/또는 상기 매핑 함수 계수들과 같은 상기 사양들은, 몬테카를로 최적화와 같은, 최적화 방법을 사용하여 계산되는, 컴퓨터 기반 방법.
41. 제26항 내지 제40항 중 어느 한 항에 있어서, 상기 방법은 복수의 광학 표면들을 포함하는 광학 시스템에서 제1 설계 파장에서 그리고 최고 차수까지 광선 수차들을 계산하기 위한 것이고, 각각의 광학 표면은 표면 계수 세트

    

    에 의해 정의되며, 상기 방법은
    - 상기 멱급수법들을 사용하여 임의의 동공 평면 단면들에 대한 모든 수차 계수들

    

    및

    

    을 오름 수차 차순으로 계산하는 단계,
    - o 각각의 차수 및 각각의 동공 평면 단면에 대한 모든 도함수들을 상기 2개의 미분 방정식 세트에 적용하는 것,
    o 상기 선형 연립 방정식들을 푸는 것,
    o 최고 차수에 도달할 때까지 각각의 단계를 반복하는 것
    에 의해 각각의 수차 차수에 대한 선형 연립 방정식들을 푸는 단계
    를 포함하는, 컴퓨터 기반 방법.
42. 제41항에 있어서, 상기 방법은 줌 시스템의 적어도 2개의 구성에 대해 적용되고, 그리고/또는
    제1 설계 파장 및 제2 설계 파장에 대한 단색 수차들을 계산하기 위해 적어도 제2 설계 파장들에 대해 상기 방법이 반복되고, 그리고/또는
    상기 광학 시스템의 색수차들을 추가로 계산하기 위해 상기 적어도 하나의 설계 파장에 대한 각각의 재료의 굴절률 분포

    

    에 의해 각각의 광학 경로 길이 d_i를 파장의 함수로서 표현하는 단계를 추가로 포함하는, 컴퓨터 기반 방법.
43. 제26항 내지 제42항 중 어느 한 항에 있어서, 상기 방법은 광학 설계 프로그램과 함께 사용하기 위한, 컴퓨터 기반 방법.
44. 광학 표면들을 갖는 회전 대칭 결상 시스템의 제조를 위해 수치 제어 기계용 전자 파일을 생성하기 위한 컴퓨터 기반 방법으로서,
    - 이하를 포함하는 시스템 사양들을 컴퓨터에 입력하는 단계:
    o 결상 시스템 파라미터들,
    o 파장 의존성,
    o 상기 광학 표면들의 표면 계수들의 개수,　
    o 동공 특성들
    o 물체 공간 및 상 공간,
    - 상기 컴퓨터를 사용하여 페르마의 원리를 적용함으로써 상기 시스템 사양들을 미분 방정식 세트로 변환하는 단계,
    - 선택, 일관성 및 분포 규칙 세트를 사용하여 공칭적으로 사라지도록 설정될 광학 광선 수차들의 서브그룹을 상기 컴퓨터에 입력하는 단계,
    - 광선 트레이스 및 상기 광학 표면들과의 그의 교차점 및 이들로부터의 각각의 유효 구경을 정의하는, 상기 광학 표면들에 대한 표면 계수들 및 매핑 함수 계수들을 획득하기 위해 미분 방정식들을 푸는 단계, 및 상기 광선 트레이스 및 상기 광학 표면들과의 그의 교차점 및 이들로부터의 각각의 유효 구경을 정의하는, 상기 광학 표면들에 대한 표면 계수들 및 매핑 함수 계수들을 포함하는 상기 전자 파일을 출력하는 단계
    를 포함하는, 컴퓨터 기반 방법.
45. 제1항 내지 제44항 중 어느 한 항 있어서, 상기 방법은 광학 설계 프로그램과 함께 사용하기 위한, 컴퓨터 기반 방법.
46. 제1항 내지 제24항 및 제26항 내지 제45항 중 어느 한 항에 있어서, 광학 표면들을 갖는 결상 시스템의 제조를 위해 수치 제어 기계용 전자 파일을 생성하기 위한, 컴퓨터 기반 방법.
47. 제1항 내지 제24항 및 제26항 내지 제46항의 방법들 중 어느 한 방법을 수행하는, 하나 이상의 프로세싱 엔진에서 실행되는, 소프트웨어를 포함하는, 컴퓨터 프로그램 제품.
48. 제47항의 컴퓨터 프로그램 제품을 저장하는, 비일시적 신호 저장 매체.
49. 제48항의 비일시적 신호 저장 매체를 포함하는, 컴퓨터 기반 시스템.
50. 컴퓨터 상에서 제26항 내지 제46항의 방법들 중 어느 한 방법을 구현하는, 컴퓨터 기반 시스템.

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