KR20110033094A - 마이크로 구조체들의 전자기 산란 특성들을 모델링하는 장치 및 방법, 및 마이크로 구조체들의 재구성을 위한 장치 및 방법 - Google Patents
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Abstract
전기장(E)보다는 벡터장(F)에 대한 체적 적분 방정식을 수치적으로 해결함으로써, 구조체의 전자기 산란 특성들을 계산하는 체적-적분 방법(VIM)에서 개선된 수렴이 달성된다. 벡터장(F)은 기저변환에 의해 전기장(E)과 관련될 수 있으며, 전기장(E)이 불연속성을 갖는 재료 경계들에서 연속적일 수 있다. 벡터장(F)의 컨볼루션들이 (유한 이산 컨볼루션에 따라 작용하는) 유한 로랑 규칙에 따라 컨볼루션 연산자들을 이용하여 수행되며, 이는 1D 및/또는 2D FFT(고속 푸리에 변환)들을 통해 효율적인 매트릭스-벡터곱들을 허용한다. 주기적인 구조체의 재료 및 기하학적 특성들에 따라 기저변환을 수행함으로써 벡터장(F)을 전기장(E)으로 변환하도록 가역적인 컨볼루션-및-기저변환 연산자(C)가 구성된다. 벡터장(F)에 대해 체적 적분을 해결한 후, 벡터장(F)으로부터 전기장(E)을 얻기 위해 추가적인 후처리 단계가 사용될 수 있다. 벡터장(F)은 연속적인 성분들을 필터링하기 위해 법선-벡터장(n)을 이용함으로써 전기 플럭스 밀도(D) 및 전기장(E)의 필드 성분들의 조합으로부터 구성될 수 있다. 개선된 체적-적분 방법은, 예를 들어 리소그래피 장치의 임계 치수(CD) 성능을 평가하기 위해 대상물의 근사 구조체를 재구성하는 메트롤로지 툴들에서 포워드 회절 모델 내로 통합될 수 있다.
Description
본 발명은 주기적인 구조체들의 전자기 산란 특성들의 수치 계산에 관한 것이다. 본 발명은, 예를 들어 마이크로 구조체(microscopic structure)들의 메트롤로지에서, 예를 들어 리소그래피 장치의 임계 치수(CD) 성능을 평가하는데 적용될 수 있다.
리소그래피 장치는 기판 상에, 통상적으로는 기판의 타겟부 상에 원하는 패턴을 적용시키는 기계이다. 리소그래피 장치는, 예를 들어 집적 회로(IC)의 제조 시에 사용될 수 있다. 그 경우, 대안적으로 마스크 또는 레티클이라 칭하는 패터닝 디바이스가 IC의 개별층 상에 형성될 회로 패턴을 생성하기 위해 사용될 수 있다. 이 패턴은 기판(예컨대, 실리콘 웨이퍼) 상의 (예를 들어, 한 개 또는 수 개의 다이의 부분을 포함하는) 타겟부 상으로 전사(transfer)될 수 있다. 패턴의 전사는 통상적으로 기판 상에 제공된 방사선-감응재(레지스트)층 상으로의 이미징(imaging)을 통해 수행된다. 일반적으로, 단일 기판은 연속하여 패터닝되는 인접한 타겟부들의 네트워크를 포함할 것이다. 알려진 리소그래피 장치는, 한번에 타겟부 상으로 전체 패턴을 노광함으로써 각각의 타겟부가 조사(irradiate)되는 소위 스테퍼, 및 방사선 빔을 통해 주어진 방향("스캐닝"-방향)으로 패턴을 스캐닝하는 한편, 이 방향과 평행한 방향(같은 방향으로 평행한 방향) 또는 역-평행 방향(반대 방향으로 평행한 방향)으로 기판을 동기적으로 스캐닝함으로써 각각의 타겟부가 조사되는 소위 스캐너를 포함한다. 또한, 기판 상에 패턴을 임프린트(imprint)함으로써 패터닝 디바이스로부터 기판으로 패턴을 전사할 수도 있다.
리소그래피 공정을 모니터링(monitor)하기 위해, 패터닝된 기판의 파라미터들, 예를 들어 기판 내에 또는 기판 상에 형성된 연속층들 간의 오버레이 오차를 측정하는 것이 필요하다. 리소그래피 공정 시 형성된 마이크로 구조체들을 측정하기 위해, 스캐닝 전자 현미경 및 다양한 특수 툴들의 사용을 포함한 다양한 기술들이 존재한다. 특수 검사 툴의 한가지 형태는, 기판의 표면 상의 타겟부 상으로 방사선 빔이 지향되고, 산란(scatter)되거나 반사된 빔의 특성들이 측정되는 스케터로미터(scatterometer)이다. 상기 빔이 기판에 의해 반사되거나 산란되기 전과 그 후에 상기 빔의 특성들을 비교함으로써, 기판의 특성들이 결정될 수 있다. 이는, 예를 들어 알려진 기판 특성들과 연계된 알려진 측정들의 라이브러리(library) 내에 저장된 데이터와 반사된 빔을 비교함으로써 수행될 수 있다. 스케터로미터의 2 가지 주 형태가 알려져 있다. 분광 스케터로미터(spectroscopic scatterometer)는 기판 상으로 광대역 방사선 빔을 지향하고, 특정한 좁은 각도 범위(particular narrow angular range)로 산란되는 방사선의 스펙트럼(파장의 함수로서 세기)을 측정한다. 각도 분해된 스케터로미터(angularly resolved scatterometer)는 단색 방사선 빔(monochromatic radiation beam)을 사용하고, 각도의 함수로서 산란된 방사선의 세기를 측정한다.
더 일반적으로는, 구조체들의 모델들로부터 수학적으로 예측되는 산란 거동(scattering behavior)들과 산란된 방사선을 비교할 수 있도록 유용할 것이며, 이는 예측된 거동이 실제 샘플로부터 관찰된 산란과 일치할 때까지 자유롭게 설정(set up)되고 변화될 수 있다. 불행하게도, 기본적으로 수치적 절차들에 의해 산란을 모델링하는 방식은 알려져 있지만, 특히 실시간 재구성이 요구되는 경우, 및/또는 관련된 구조체들이 1 차원에서 주기적인 간단한 구조체보다 더 복잡한 경우, 알려진 기술들의 연산 부하(computational burden)가 이러한 기술들을 비실용적이게 한다.
반도체 처리 분야에서, 주기적인 구조체들의 전자기 산란 특성들의 정확한 수치 계산들을 신속하게 수행하는 것이 바람직하다.
본 발명의 제 1 실시형태에 따르면, 구조체의 반사 계수들과 같은 전자기 산란 특성들을 계산하는 방법이 제공되고, 상기 구조체는 적어도 1 이상의 방향(x, y)으로 주기적이며, 재료 경계에서 전자기장(E)의 불연속(discontinuity)을 야기하는 상이한 특성들의 재료들을 포함하며, 상기 방법은 벡터장(F)의 근사해(approximate solution)를 결정하기 위하여, 기저변환(change of basis)에 의해 전자기장(E)과 관련되는 벡터장(F)- 벡터장(F)은 재료 경계에서 연속적임 -에 대한 체적 적분 방정식을 수치적으로 해결하는 단계를 포함한다.
벡터장(F)은 적어도 1 이상의 방향(x, y)에 대해 적어도 1 이상의 유한 푸리에 급수로 나타낼 수 있으며, 체적 적분 방정식을 수치적으로 해결하는 단계는 컨볼루션-및-기저변환 연산자(convolution-and-change-of-basis operator: C)와 벡터장(F)의 컨볼루션에 의해 전자기장(E)의 성분을 결정하는 단계를 포함할 수 있다.
본 발명의 제 2 실시형태에 따르면, 방사선에 의한 대상물의 조명으로부터 발생하는 검출된 전자기 산란 특성으로부터 대상물의 근사 구조체(approximate structure)를 재구성하는 방법이 제공되고, 상기 방법은: 적어도 1 이상의 대상물 구조체를 추정하는 단계; 적어도 1 이상의 추정된 대상물 구조체로부터 적어도 1 이상의 모델 전자기 산란 특성을 결정하는 단계; 적어도 1 이상의 모델 전자기 산란 특성과 검출된 전자기 산란 특성을 비교하는 단계; 및 비교의 결과에 기초하여 근사 대상물 구조체를 결정하는 단계를 포함하며, 상기 모델 전자기 산란 특성은 제 1 실시형태에 따른 방법을 이용하여 결정된다.
본 발명의 제 3 실시형태에 따르면, 대상물의 근사 구조체를 재구성하는 검사 장치가 제공되고, 상기 검사 장치는: 방사선으로 대상물을 조명하도록 구성된 조명 시스템; 조명으로부터 발생한 전자기 산란 특성을 검출하도록 구성된 검출 시스템; 프로세서- 상기 프로세서는 적어도 1 이상의 대상물 구조체를 추정하도록; 적어도 1 이상의 추정된 대상물 구조체로부터 적어도 1 이상의 모델 전자기 산란 특성을 결정하도록; 적어도 1 이상의 모델 전자기 산란 특성과 검출된 전자기 산란 특성을 비교하도록; 및 적어도 1 이상의 모델 전자기 산란 특성과 검출된 전자기 산란 특성 간의 차로부터 근사 대상물 구조체를 결정하도록 구성됨 -를 포함하며, 상기 프로세서는 제 1 실시형태에 따른 방법을 이용하여 모델 전자기 산란 특성을 결정하도록 구성된다.
본 발명의 제 4 실시형태에 따르면, 구조체의 전자기 산란 특성들을 계산하는 기계-판독가능한 명령어들의 1 이상의 시퀀스를 포함한 컴퓨터 프로그램 제품이 제공되고, 상기 명령어들은 1 이상의 프로세서들이 제 1 실시형태에 따른 방법을 수행하게 한다.
본 발명의 제 5 실시형태에 따르면, 구조체의 전자기 산란 특성들을 계산하는 방법이 제공되고, 상기 구조체는 적어도 1 이상의 방향(x, y)으로 주기적이며, 재료 경계에서 전자기장(E)의 불연속을 야기하는 상이한 특성들의 재료들을 포함하고, 상기 방법은 벡터장(F)의 근사해를 결정하기 위하여, 전자기장(E)과 관련되고 이와 상이한 벡터장(F)에 대한 체적 적분 방정식을 수치적으로 해결하는 단계를 포함한다.
본 발명의 제 6 실시형태에 따르면, 방사선에 의한 대상물의 조명으로부터 발생하는 검출된 전자기 산란 특성으로부터 대상물의 근사 구조체를 재구성하는 방법이 제공되고, 상기 방법은: 적어도 1 이상의 대상물 구조체를 추정하는 단계; 적어도 1 이상의 추정된 대상물 구조체로부터 적어도 1 이상의 모델 전자기 산란 특성을 결정하는 단계; 적어도 1 이상의 모델 전자기 산란 특성과 검출된 전자기 산란 특성을 비교하는 단계; 및 비교의 결과에 기초하여 근사 대상물 구조체를 결정하는 단계를 포함하며, 상기 모델 전자기 산란 특성은 제 5 실시형태에 따른 방법을 이용하여 결정된다.
본 발명의 제 7 실시형태에 따르면, 대상물의 근사 구조체를 재구성하는 검사 장치가 제공되고, 상기 검사 장치는: 방사선으로 대상물을 조명하도록 구성된 조명 시스템; 조명으로부터 발생한 전자기 산란 특성을 검출하도록 구성된 검출 시스템; 프로세서- 상기 프로세서는 적어도 1 이상의 대상물 구조체를 추정하도록; 적어도 1 이상의 추정된 대상물 구조체로부터 적어도 1 이상의 모델 전자기 산란 특성을 결정하도록; 적어도 1 이상의 모델 전자기 산란 특성과 검출된 전자기 산란 특성을 비교하도록; 및 적어도 1 이상의 모델 전자기 산란 특성과 검출된 전자기 산란 특성 간의 차로부터 근사 대상물 구조체를 결정하도록 구성됨 -를 포함하며, 상기 프로세서는 제 5 실시형태에 따른 방법을 이용하여 모델 전자기 산란 특성을 결정하도록 구성된다.
본 발명의 제 8 실시형태에 따르면, 구조체의 전자기 산란 특성들을 계산하는 기계-판독가능한 명령어들의 1 이상의 시퀀스를 포함한 컴퓨터 프로그램 제품이 제공되고, 상기 명령어들은 1 이상의 프로세서들이 제 5 실시형태에 따른 방법을 수행하게 한다.
첨부된 도면들을 참조하여, 본 발명의 다양한 실시예들의 구조 및 작동뿐 아니라, 본 발명의 또 다른 특징들 및 장점들이 아래에서 상세하게 설명된다. 본 발명은 본 명세서에 설명된 특정한 실시예들에 제한되지 않는다는 것을 유의한다. 이러한 실시예들은 본 명세서에서 단지 예시적인 목적으로만 제공된다. 당업자라면, 본 명세서에 포함된 지식들에 기초하여 추가 실시예들을 분명히 알 것이다.
본 명세서에 통합되며 명세서의 일부분을 형성하는 첨부된 도면들은 본 발명을 예시하며, 또한 설명과 함께 본 발명의 원리들을 설명하고 당업자가 본 발명을 수행하고 사용할 수 있게 하는 역할을 한다:
도 1은 리소그래피 장치를 도시하는 도면;
도 2는 리소그래피 셀 또는 클러스터를 도시하는 도면;
도 3은 제 1 스케터로미터를 도시하는 도면;
도 4는 제 2 스케터로미터를 도시하는 도면;
도 5는 스케터로미터 측정들로부터 1-차원의 주기적인 회절 격자를 재구성하는 일반적인 공정을 도시하는 도면;
도 6은 모델링된 레지스트 구조체에 대한 종래의 RCWA(rigorous coupled wave analysis), 및 본 발명의 일 실시예에 따른 VIM(volume integral method)에 대하여 처리 시간에 대한 정확성을 예시하는 그래프;
도 7은 모델링된 실리콘 구조체에 대한 것으로, 도 6에 나타낸 것과 유사한 데이터를 도시하는 도면;
도 8은 본 발명의 일 실시예에 따라 재구성될 수 있는 산란 지오메트리를 도시하는 도면;
도 9는 백그라운드(background)의 구조체를 도시하고, 적층 매질(layered medium)과 입사 필드의 상호작용을 계산하기 위한 그린 함수의 이용을 예시하는 도면;
도 10은 VIM 공식에 대응하여 선형 시스템을 해석하는 고-레벨 방법의 흐름도;
도 11은 종래에 알려진 바와 같은 VIM 공식을 이용한 업데이트 벡터들의 연산(computation)의 흐름도;
도 12는 VIM 공식을 수치적으로 해결하기 위해 연속적인 벡터장을 이용한 본 발명의 일 실시예를 도시하는 도면;
도 13은 본 발명의 일 실시예에 따른 업데이트 벡터들의 연산의 흐름도;
도 14는 본 발명의 일 실시예에 따라 VIM을 실행하기 위해, 프로그램들 및 데이터와 구성된 컴퓨터 시스템의 개략적인 형태를 도시하는 도면;
도 15는 타원 단면을 갖는 이진 격자 셀(binary grating cell)의 평면도 및 측면도;
도 16은 타원 단면을 갖는 계단식 격자 셀(staircased grating cell)의 평면도 및 측면도;
도 17은 계단식 근사에 의해 타원에 접근하는 절차를 도시하는 도면;
도 18은 기준이 되는(benchmark) 모델 구조체를 도시하는 도면;
도 19는 RCWA 결과들에 비교하여, 도 11에 참조하여 설명된 종래 방법을 이용하여 계산된 종래의 VIM 시스템의 수렴 결과들을 도시하는 도면;
도 20은 도 19에 나타낸 것과 동일한 데이터로부터 생성된 타이밍 결과들을 도시하는 도면;
도 21은 RCWA 결과들에 비교하여, 본 발명의 일 실시예에 따라 생성된 개선된 수렴 결과들을 도시하는 도면; 및
도 22는 RCWA 결과들에 비교하여, 본 발명의 일 실시예에 따라 생성된 타이밍 결과들을 도시하는 도면이다.
동일한 참조 기호들이 대응하는 요소들을 전부 식별하는 도면들에 관련하여, 아래에서 설명되는 상세한 설명으로부터 본 발명의 특징들 및 장점들을 더 이해하게 될 것이다. 도면들에서 동일한 참조 번호들은 일반적으로 동일하거나 기능적으로 유사한, 및/또는 구조적으로 유사한 요소들을 나타낸다. 요소가 처음 나타나는 도면은 대응하는 참조 번호의 맨 앞자리 수(들)에 의해 나타내어진다.
도 1은 리소그래피 장치를 도시하는 도면;
도 2는 리소그래피 셀 또는 클러스터를 도시하는 도면;
도 3은 제 1 스케터로미터를 도시하는 도면;
도 4는 제 2 스케터로미터를 도시하는 도면;
도 5는 스케터로미터 측정들로부터 1-차원의 주기적인 회절 격자를 재구성하는 일반적인 공정을 도시하는 도면;
도 6은 모델링된 레지스트 구조체에 대한 종래의 RCWA(rigorous coupled wave analysis), 및 본 발명의 일 실시예에 따른 VIM(volume integral method)에 대하여 처리 시간에 대한 정확성을 예시하는 그래프;
도 7은 모델링된 실리콘 구조체에 대한 것으로, 도 6에 나타낸 것과 유사한 데이터를 도시하는 도면;
도 8은 본 발명의 일 실시예에 따라 재구성될 수 있는 산란 지오메트리를 도시하는 도면;
도 9는 백그라운드(background)의 구조체를 도시하고, 적층 매질(layered medium)과 입사 필드의 상호작용을 계산하기 위한 그린 함수의 이용을 예시하는 도면;
도 10은 VIM 공식에 대응하여 선형 시스템을 해석하는 고-레벨 방법의 흐름도;
도 11은 종래에 알려진 바와 같은 VIM 공식을 이용한 업데이트 벡터들의 연산(computation)의 흐름도;
도 12는 VIM 공식을 수치적으로 해결하기 위해 연속적인 벡터장을 이용한 본 발명의 일 실시예를 도시하는 도면;
도 13은 본 발명의 일 실시예에 따른 업데이트 벡터들의 연산의 흐름도;
도 14는 본 발명의 일 실시예에 따라 VIM을 실행하기 위해, 프로그램들 및 데이터와 구성된 컴퓨터 시스템의 개략적인 형태를 도시하는 도면;
도 15는 타원 단면을 갖는 이진 격자 셀(binary grating cell)의 평면도 및 측면도;
도 16은 타원 단면을 갖는 계단식 격자 셀(staircased grating cell)의 평면도 및 측면도;
도 17은 계단식 근사에 의해 타원에 접근하는 절차를 도시하는 도면;
도 18은 기준이 되는(benchmark) 모델 구조체를 도시하는 도면;
도 19는 RCWA 결과들에 비교하여, 도 11에 참조하여 설명된 종래 방법을 이용하여 계산된 종래의 VIM 시스템의 수렴 결과들을 도시하는 도면;
도 20은 도 19에 나타낸 것과 동일한 데이터로부터 생성된 타이밍 결과들을 도시하는 도면;
도 21은 RCWA 결과들에 비교하여, 본 발명의 일 실시예에 따라 생성된 개선된 수렴 결과들을 도시하는 도면; 및
도 22는 RCWA 결과들에 비교하여, 본 발명의 일 실시예에 따라 생성된 타이밍 결과들을 도시하는 도면이다.
동일한 참조 기호들이 대응하는 요소들을 전부 식별하는 도면들에 관련하여, 아래에서 설명되는 상세한 설명으로부터 본 발명의 특징들 및 장점들을 더 이해하게 될 것이다. 도면들에서 동일한 참조 번호들은 일반적으로 동일하거나 기능적으로 유사한, 및/또는 구조적으로 유사한 요소들을 나타낸다. 요소가 처음 나타나는 도면은 대응하는 참조 번호의 맨 앞자리 수(들)에 의해 나타내어진다.
본 명세서는 본 발명의 특징들을 구체화하는 1 이상의 실시예들을 개시한다. 개시된 실시예(들)는 단지 본 발명을 예시한다. 개시된 실시예(들)에 본 발명의 범위가 제한되지는 않는다. 본 발명은 본 명세서에 첨부된 청구항들에 의해 정의된다.
설명된 실시예(들) 및 본 명세서에서 "하나의 실시예", "일 실시예", "예시적인 실시예" 등의 언급들은, 설명된 실시예(들)가 특정한 특징, 구조 또는 특성을 포함할 수 있지만, 모든 실시예가 특정한 특징, 구조 또는 특성을 반드시 포함하는 것은 아닐 수 있음을 나타낸다. 또한, 이러한 어구들이 반드시 동일한 실시예를 칭하는 것은 아니다. 또한, 특정한 특징, 구조 또는 특성이 일 실시예와 관련하여 설명되는 경우, 다른 실시예들과 관련하여 이러한 특징, 구조 또는 특성을 초래하는 것은 명확하게 설명되든지 그렇지 않든지 당업자의 지식 내에 있음을 이해한다.
본 발명의 실시예들은 하드웨어, 펌웨어, 소프트웨어 또는 여하한의 그 조합으로 구현될 수 있다. 또한, 본 발명의 실시예들은 기계-판독가능한 매체 상에 저장된 명령어들로서 구현될 수 있으며, 이는 1 이상의 프로세서에 의해 판독되고 실행될 수 있다. 기계-판독가능한 매체는 기계[예를 들어, 연산 디바이스(computing device)]에 의해 판독가능한 형태로 정보를 저장하거나 전송하는 여하한의 메카니즘을 포함할 수 있다. 예를 들어, 기계-판독가능한 매체는 ROM(read only memory); RAM(random access memory); 자기 디스크 스토리지 매체; 광학 스토리지 매체; 플래시 메모리 디바이스들; 전기, 광학, 음향 또는 다른 형태의 전파 신호(propagated signal)(예를 들어, 반송파, 적외선 신호, 디지털 신호 등) 등을 포함할 수 있다. 또한, 펌웨어, 소프트웨어, 루틴(routine), 및 명령어들은 본 명세서에서 소정 동작을 수행하는 것으로서 설명될 수 있다. 하지만, 이러한 설명들은 단지 편의를 위한 것이며, 이러한 동작은 사실상 연산 디바이스, 프로세서, 제어기, 또는 펌웨어, 소프트웨어, 루틴, 명령어 등을 실행하는 다른 디바이스로부터 일어난다는 것을 이해하여야 한다.
하지만, 이러한 실시예들을 더 상세히 설명하기 전에, 본 발명의 실시예들이 구현될 수 있는 예시적인 환경을 제시하는 것이 유익하다.
도 1은 리소그래피 장치를 개략적으로 도시한다. 상기 장치는 방사선 빔(B)(예를 들어, UV 방사선 또는 DUV 방사선)을 컨디셔닝(condition)하도록 구성된 조명 시스템(일루미네이터)(IL); 패터닝 디바이스(예를 들어, 마스크)(MA)를 지지하도록 구성되고, 소정 파라미터들에 따라 패터닝 디바이스를 정확히 위치시키도록 구성된 제 1 위치설정기(PM)에 연결된 지지 구조체(예를 들어, 마스크 테이블)(MT); 기판(예를 들어, 레지스트-코팅된 웨이퍼)(W)을 유지하도록 구성되고, 소정 파라미터들에 따라 기판을 정확히 위치시키도록 구성된 제 2 위치설정기(PW)에 연결된 기판 테이블(예를 들어, 웨이퍼 테이블)(WT); 및 기판(W)의 (예를 들어, 1 이상의 다이를 포함하는) 타겟부(C) 상으로 패터닝 디바이스(MA)에 의해 방사선 빔(B)에 부여된 패턴을 투영하도록 구성된 투영 시스템(예를 들어, 굴절 투영 렌즈 시스템)(PL)을 포함한다.
조명 시스템은 방사선을 지향, 성형 또는 제어하기 위하여, 굴절, 반사, 자기, 전자기, 정전기 또는 다른 형태의 광학 구성요소들, 또는 여하한의 그 조합과 같은 다양한 형태의 광학 구성요소들을 포함할 수 있다.
지지 구조체는 패터닝 디바이스를 지지, 즉 그 무게를 견딘다. 이는 패터닝 디바이스의 방위, 리소그래피 장치의 디자인, 및 예를 들어 패터닝 디바이스가 진공 환경에서 유지되는지의 여부와 같은 다른 조건들에 의존하는 방식으로 패터닝 디바이스를 유지한다. 지지 구조체는 패터닝 디바이스를 유지하기 위해 기계적, 진공, 정전기, 또는 다른 클램핑 기술들을 이용할 수 있다. 지지 구조체는, 예를 들어 필요에 따라 고정되거나 이동가능할 수 있는 프레임 또는 테이블일 수 있다. 지지 구조체는, 패터닝 디바이스가 예를 들어 투영 시스템에 대해 원하는 위치에 있을 것을 보장할 수 있다. 본 명세서의 "레티클" 또는 "마스크"라는 용어의 어떠한 사용도 "패터닝 디바이스"라는 좀 더 일반적인 용어와 동의어로 간주될 수 있다.
본 명세서에서 사용되는 "패터닝 디바이스"라는 용어는, 기판의 타겟부에 패턴을 생성하기 위해서, 방사선 빔의 단면에 패턴을 부여하는데 사용될 수 있는 여하한의 디바이스를 언급하는 것으로 폭넓게 해석되어야 한다. 방사선 빔에 부여된 패턴은, 예를 들어 상기 패턴이 위상-시프팅 피처(phase-shifting feature)들 또는 소위 어시스트 피처(assist feature)들을 포함하는 경우, 기판의 타겟부 내의 원하는 패턴과 정확히 일치하지 않을 수도 있다는 것을 유의하여야 한다. 일반적으로, 방사선 빔에 부여된 패턴은 집적 회로와 같이 타겟부에 생성될 디바이스 내의 특정 기능 층에 해당할 것이다.
패터닝 디바이스는 투과형 또는 반사형일 수 있다. 패터닝 디바이스의 예로는 마스크, 프로그램가능한 거울 어레이, 및 프로그램가능한 LCD 패널들을 포함한다. 마스크는 리소그래피 분야에서 잘 알려져 있으며, 바이너리(binary)형, 교번 위상-시프트형 및 감쇠 위상-시프트형과 같은 마스크 타입뿐만 아니라, 다양한 하이브리드(hybrid) 마스크 타입들을 포함한다. 프로그램가능한 거울 어레이의 일 예시는 작은 거울들의 매트릭스 구성을 채택하며, 그 각각은 입사하는 방사선 빔을 상이한 방향으로 반사시키도록 개별적으로 기울어질 수 있다. 기울어진 거울들은 거울 매트릭스에 의해 반사되는 방사선 빔에 패턴을 부여한다.
본 명세서에서 사용되는 "투영 시스템"이라는 용어는, 사용되는 노광 방사선에 대하여, 또는 침지 액체의 사용 또는 진공의 사용과 같은 다른 인자들에 대하여 적절하다면, 굴절, 반사, 카타디옵트릭(catadioptric), 자기, 전자기 및 정전기 광학 시스템, 또는 여하한의 그 조합을 포함하는 여하한의 타입의 투영 시스템을 내포하는 것으로서 폭넓게 해석되어야 한다. 본 명세서의 "투영 렌즈"라는 용어의 어떠한 사용도 "투영 시스템"이라는 좀 더 일반적인 용어와 동의어로 간주될 수 있다.
본 명세서에 도시된 바와 같이, 상기 장치는 (예를 들어, 투과 마스크를 채택하는) 투과형으로 구성된다. 대안적으로, 상기 장치는 (예를 들어, 앞서 언급된 바와 같은 타입의 프로그램가능한 거울 어레이를 채택하거나, 반사 마스크를 채택하는) 반사형으로 구성될 수 있다.
리소그래피 장치는 2 개(듀얼 스테이지) 이상의 기판 테이블(및/또는 2 이상의 마스크 테이블)을 갖는 형태로 구성될 수 있다. 이러한 "다수 스테이지" 기계에서는 추가 테이블이 병행하여 사용될 수 있으며, 또는 1 이상의 테이블이 노광에 사용되고 있는 동안 1 이상의 다른 테이블에서는 준비작업 단계가 수행될 수 있다.
또한, 리소그래피 장치는 투영 시스템과 기판 사이의 공간을 채우기 위해서, 기판의 전체 또는 일부분이 비교적 높은 굴절률을 갖는 액체, 예컨대 물로 덮일 수 있는 형태로도 구성될 수 있다. 또한, 침지 액체는 리소그래피 장치 내의 다른 공간들, 예를 들어 마스크와 투영 시스템 사이에도 적용될 수 있다. 침지 기술은 투영 시스템의 개구수(numerical aperture)를 증가시키는 기술로 당업계에 잘 알려져 있다. 본 명세서에서 사용되는 "침지"라는 용어는 기판과 같은 구조체가 액체 내에 담그어져야 함을 의미하는 것이라기보다는, 노광 시 액체가 투영 시스템과 기판 사이에 놓이기만 하면 된다는 것을 의미한다.
도 1을 참조하면, 일루미네이터(IL)는 방사선 소스(SO)로부터 방사선 빔을 수용한다. 예를 들어, 상기 소스가 엑시머 레이저(excimer laser)인 경우, 상기 소스 및 리소그래피 장치는 별도의 개체일 수 있다. 이러한 경우, 상기 소스는 리소그래피 장치의 일부분을 형성하는 것으로 간주되지 않으며, 상기 방사선 빔은 예를 들어 적절한 지향 거울 및/또는 빔 익스팬더(beam expander)를 포함하는 빔 전달 시스템(BD)의 도움으로, 소스(SO)로부터 일루미네이터(IL)로 통과된다. 다른 경우, 예를 들어 상기 소스가 수은 램프인 경우, 상기 소스는 리소그래피 장치의 통합부일 수 있다. 상기 소스(SO) 및 일루미네이터(IL)는, 필요에 따라 빔 전달 시스템(BD)과 함께 방사선 시스템이라고 칭해질 수 있다.
상기 일루미네이터(IL)는 방사선 빔의 각도 세기 분포를 조정하는 조정기(AD)를 포함할 수 있다. 일반적으로, 일루미네이터의 퓨필 평면 내의 세기 분포의 적어도 외반경 및/또는 내반경 크기(통상적으로, 각각 외측-σ 및 내측-σ라 함)가 조정될 수 있다. 또한, 일루미네이터(IL)는 인티그레이터(IN) 및 콘덴서(CO)와 같이, 다양한 다른 구성요소들을 포함할 수도 있다. 일루미네이터는 방사선 빔의 단면에 원하는 균일성(uniformity) 및 세기 분포를 갖기 위해, 방사선 빔을 컨디셔닝하는데 사용될 수 있다.
상기 방사선 빔(B)은 지지 구조체(예를 들어, 마스크 테이블)(MT) 상에 유지되어 있는 패터닝 디바이스(예를 들어, 마스크)(MA) 상에 입사되며, 패터닝 디바이스에 의해 패터닝된다. 상기 마스크(MA)를 가로질렀으면, 상기 방사선 빔(B)은 투영 시스템(PL)을 통과하여 기판(W)의 타겟부(C) 상에 상기 빔을 포커스한다. 제 2 위치설정기(PW) 및 위치 센서(IF)(예를 들어, 간섭계 디바이스, 리니어 인코더, 2-D 인코더 또는 용량성 센서)의 도움으로, 기판 테이블(WT)은 예를 들어 방사선 빔(B)의 경로 내에 상이한 타겟부(C)들을 위치시키도록 정확하게 이동될 수 있다. 이와 유사하게, 제 1 위치설정기(PM) 및 또 다른 위치 센서(도 1에 명확히 도시되지 않음)는, 예를 들어 마스크 라이브러리(mask library)로부터의 기계적인 회수 후에, 또는 스캔하는 동안, 방사선 빔(B)의 경로에 대해 마스크(MA)를 정확히 위치시키는데 사용될 수 있다. 일반적으로, 마스크 테이블(MT)의 이동은, 장-행정 모듈(long-stroke module: 개략 위치설정) 및 단-행정 모듈(short-stroke module: 미세 위치설정)의 도움으로 실현될 수 있으며, 이는 제 1 위치설정기(PM)의 일부분을 형성한다. 이와 유사하게, 기판 테이블(WT)의 이동은 장-행정 모듈 및 단-행정 모듈을 이용하여 실현될 수 있으며, 이는 제 2 위치설정기(PW)의 일부분을 형성한다. (스캐너와는 대조적으로) 스테퍼의 경우, 마스크 테이블(MT)은 단-행정 액추에이터에만 연결되거나 고정될 수 있다. 마스크(MA) 및 기판(W)은 마스크 정렬 마크들(M1 및 M2) 및 기판 정렬 마크들(P1 및 P2)을 이용하여 정렬될 수 있다. 비록, 예시된 기판 정렬 마크들은 지정된(dedicated) 타겟부들을 차지하고 있지만, 그들은 타겟부들 사이의 공간들 내에 위치될 수도 있다[이들은 스크라이브-레인 정렬 마크(scribe-lane alignment mark)들로 알려져 있다]. 이와 유사하게, 마스크(MA) 상에 1 이상의 다이가 제공되는 상황들에서, 마스크 정렬 마크들은 다이들 사이에 위치될 수 있다.
도시된 장치는 다음 모드들 중 적어도 1 이상에서 사용될 수 있다:
1. 스텝 모드에서, 마스크 테이블(MT) 및 기판 테이블(WT)은 기본적으로 정지 상태로 유지되는 한편, 방사선 빔에 부여되는 전체 패턴은 한번에 타겟부(C) 상에 투영된다[즉, 단일 정적 노광(single static exposure)]. 그 후, 기판 테이블(WT)은 상이한 타겟부(C)가 노광될 수 있도록 X 및/또는 Y 방향으로 시프트된다. 스텝 모드에서, 노광 필드의 최대 크기는 단일 정적 노광 시에 이미징되는 타겟부(C)의 크기를 제한한다.
2. 스캔 모드에서, 마스크 테이블(MT) 및 기판 테이블(WT)은 방사선 빔에 부여된 패턴이 타겟부(C) 상에 투영되는 동안에 동기적으로 스캐닝된다[즉, 단일 동적 노광(single dynamic exposure)]. 마스크 테이블(MT)에 대한 기판 테이블(WT)의 속도 및 방향은 투영 시스템(PL)의 확대(축소) 및 이미지 반전 특성에 의하여 결정될 수 있다. 스캔 모드에서, 노광 필드의 최대 크기는 단일 동적 노광 시 타겟부의 (스캐닝 되지 않는 방향으로의) 폭을 제한하는 반면, 스캐닝 동작의 길이는 타겟부의 (스캐닝 방향으로의) 높이를 결정한다.
3. 또 다른 모드에서, 마스크 테이블(MT)은 프로그램가능한 패터닝 디바이스를 유지하여 기본적으로 정지된 상태로 유지되며, 방사선 빔에 부여된 패턴이 타겟부(C) 상에 투영되는 동안 기판 테이블(WT)이 이동되거나 스캐닝된다. 이 모드에서는, 일반적으로 펄스화된 방사선 소스(pulsed radiation source)가 채택되며, 프로그램가능한 패터닝 디바이스는 기판 테이블(WT)이 각각 이동한 후, 또는 스캔 중에 계속되는 방사선 펄스 사이사이에 필요에 따라 업데이트된다. 이 작동 모드는 앞서 언급된 바와 같은 타입의 프로그램가능한 거울 어레이와 같은 프로그램가능한 패터닝 디바이스를 이용하는 마스크없는 리소그래피(maskless lithography)에 용이하게 적용될 수 있다.
또한, 상술된 사용 모드들의 조합 및/또는 변형, 또는 완전히 다른 사용 모드들이 채택될 수도 있다.
도 2에 도시된 바와 같이, 리소그래피 장치(LA)는 때때로 리소셀(lithocell) 또는 클러스터(cluster)라고도 칭하는 리소그래피 셀(LC)의 일부분을 형성하며, 이는 기판 상에 노광전(pre-exposure) 및 노광후(post-exposure) 공정들을 수행하는 장치를 포함한다. 통상적으로, 이들은 레지스트 층들을 증착하는 스핀 코터(spin coater: SC)들, 노광된 레지스트를 현상하는 디벨로퍼(developer: DE)들, 칠 플레이트(chill plate: CH)들 및 베이크 플레이트(bake plate: BK)들을 포함한다. 기판 핸들러 또는 로봇(RO)이 입력/출력 포트들(I/O1, I/O2)로부터 기판들을 집어올리고, 상기 기판들을 상이한 공정 장치 사이로 이동시킨 후, 리소그래피 장치의 로딩 베이(loading bay: LB)로 전달한다. 흔히, 집합적으로 트랙이라고도 하는 이러한 디바이스들은 리소그래피 제어 유닛(LACU)을 통해 리소그래피 장치를 제어하는 감독 제어 시스템(supervisory control system: SCS)에 의해 자체 제어되는 트랙 제어 유닛(TCU)의 제어를 받는다. 따라서, 스루풋과 처리 효율성을 최대화하기 위해 상이한 장치가 작동될 수 있다.
리소그래피 장치에 의해 노광되는 기판들이 올바르고 일관성있게(consistently) 노광되기 위해서는, 후속한 층들 간의 오버레이 오차, 라인 두께, 임계 치수(CD) 등과 같은 특성들을 측정하도록 노광된 기판들을 검사하는 것이 바람직하다. 오차가 검출되는 경우, 특히 검사가 동일한 뱃치(batch)의 다른 기판이 여전히 노광되도록 충분히 빠르게 행해질 수 있는 경우, 후속한 기판들의 노광에 대해 조정이 수행될 수 있다. 또한, 이미 노광된 기판은 벗겨져서(strip) - 산출량을 개선하도록 - 재가공(rework)되거나, 결점이 있다고 알려진 기판 상에 노광을 수행하는 것을 회피하도록 버려질 수 있다. 기판의 몇몇 타겟부들에만 결점이 있는 경우, 양호한 타겟부들 상에만 또 다른 노광이 수행될 수 있다.
검사 장치는 기판의 특성들을 결정하는데 사용되며, 특히 상이한 기판들 또는 동일한 기판의 상이한 층들의 특성들이 층에서 층으로 어떻게 변하는지를 결정하는데 사용된다. 검사 장치는 리소그래피 장치(LA) 또는 리소셀(LC)에 통합될 수 있으며, 또는 독립형 디바이스(stand-alone device)일 수 있다. 가장 신속한 측정들을 가능하게 하기 위해, 검사 장치는 노광 직후에 노광된 레지스트 층에서 특성들을 측정하는 것이 바람직하다. 하지만, 레지스트 내의 잠상(latent image)은 매우 낮은 콘트라스트(contrast)를 갖고 - 방사선에 노광된 레지스트의 부분과 노광되지 않은 레지스트의 부분 간의 굴절률에 있어서 매우 작은 차이만 존재하고 - 모든 검사 장치가 잠상의 유용한 측정들을 수행하기에 충분한 감도를 갖는 것은 아니다. 그러므로, 측정들은 통상적으로 노광된 기판 상에서 수행되는 제 1 단계이고, 레지스트의 노광된 부분과 노광되지 않은 부분 간의 콘트라스트를 증가시키는 노광후 베이크 단계(PEB) 이후에 수행될 수 있다. 이 단계에서, 레지스트 내의 이미지는 반-잠재적(semi-latent)인 것으로 언급될 수 있다. 또한, 현상된 레지스트 이미지의 측정들을 수행하는 것이 가능하고 - 이때, 레지스트의 노광된 부분 또는 노광되지 않은 부분 중 하나는 제거되었음 - 또는 에칭과 같은 패턴 전사 단계 이후에 수행하는 것이 가능하다. 후자의 가능성은 결점이 있는 기판의 재가공에 대한 가능성을 제한하지만, 여전히 유용한 정보를 제공할 수 있다.
도 3은 본 발명의 일 실시예에서 사용될 수 있는 스케터로미터를 도시한다. 이는 기판(W) 상으로 방사선을 투영하는 광대역(백색 광) 방사선 투영기(2)를 포함한다. 반사된 방사선은 정반사된 방사선(specular reflected radiation)의 스펙트럼(10)(즉, 파장의 함수로서 세기)을 측정하는 분광계 검출기(spectrometer detector: 4)로 통과된다. 이 데이터로부터, 검출된 스펙트럼에 의해 생성된 프로파일 또는 구조체가 처리 유닛(PU)에 의해 재구성될 수 있다. 종래의 스케터로미터들에서, 이는 RCWA(Rigorous Coupled Wave Analysis) 및 비-선형 회귀(non-linear regression)에 의해, 또는 도 3의 저부에 나타낸 바와 같은 시뮬레이션된 스펙트럼들의 라이브러리와 비교함으로써, 수행될 수 있다. 본 발명에 따른 스케터로미터에서는, 벡터 적분 방정식들이 사용된다. 일반적으로, 재구성을 위해 상기 구조체의 일반적인 형태가 공지되며, 상기 구조체가 만들어진 공정의 정보(knowledge)로부터 몇몇 파라미터들이 가정되어, 스케터로미터 데이터로부터 결정될 구조체의 몇몇 파라미터들만이 남게 된다. 이러한 스케터로미터는 수직-입사 스케터로미터 또는 경사-입사 스케터로미터로서 구성될 수 있다.
본 발명의 일 실시예와 사용될 수 있는 또 다른 스케터로미터가 도 4에 도시된다. 이 디바이스에서, 방사선 소스(2)에 의해 방출된 방사선은 렌즈 시스템(12)을 이용하여 간섭 필터(interference filter: 13) 및 편광기(17)를 통해 포커스되고, 부분 반사면(partially reflected surface: 16)에 의해 반사되며, 바람직하게는 적어도 0.9 이상 또는 더 바람직하게는 적어도 0.95 이상인 높은 개구수(NA)를 갖는 현미경 대물 렌즈(15)를 통해 기판(W) 상으로 포커스된다. 침지 스케터로미터는, 심지어 개구수가 1이 넘는 렌즈를 구비할 수도 있다. 그 후, 반사된 방사선은 산란 스펙트럼이 검출되게 하기 위해서, 부분 반사면(16)을 통해 검출기(18)로 전달된다. 검출기는 렌즈 시스템(15)의 초점 길이에 존재하는 역-투영(back-projected)된 퓨필 평면(11) 내에 위치될 수 있지만, 퓨필 평면은 그 대신에 보조 광학기(도시되지 않음)를 이용하여 검출기 상에 재-이미징될 수도 있다. 퓨필 평면은, 방사선의 반경방향 위치(radial position)가 입사각을 정의하고 각도 위치가 방사선의 방위각(azimuth angle)을 정의하는 평면이다. 검출기는 바람직하게는 기판 타겟(30)의 2-차원 각도 산란 스펙트럼이 측정될 수 있도록 2-차원 검출기이다. 검출기(18)는, 예를 들어 CCD 또는 CMOS 센서들의 어레이일 수 있으며, 예를 들어 프레임당 40 밀리초(millisecond)의 인식 시간(integration time)을 사용할 수 있다.
예를 들어, 입사 방사선의 세기를 측정하기 위해 기준 빔이 흔히 사용된다. 이를 위해, 방사선 빔이 빔 스플리터(16) 상에 입사하는 경우, 그 일부분이 빔 스플리터를 통해 기준 빔으로서 기준 거울(14)을 향하여 전달된다. 그 후, 기준 빔은 동일한 검출기(18)의 상이한 부분 상으로 투영된다.
가령 405 내지 790 nm의 범위, 또는 200 내지 300 nm와 같이 훨씬 낮은 범위에 해당하는 파장을 선택하기 위해, 간섭 필터들(13)의 일 세트가 이용될 수 있다. 간섭 필터는 상이한 필터들의 일 세트를 포함하기보다는 조절가능(tunable)할 수 있다. 간섭 필터들 대신에 격자가 사용될 수도 있다.
검출기(18)는 단파장(또는 협파장 범위)에서의 산란된 광의 세기, 다수 파장들에서의 별도 세기, 또는 파장 범위에 걸쳐 통합된 세기를 측정할 수 있다. 또한, 검출기는 횡자기(transverse magnetic)-편광 및 횡전기(transverse electric)-편광의 세기, 및/또는 횡자기-편광 및 횡전기-편광 간의 위상차를 별도로 측정할 수 있다.
광대역 광 소스(즉, 광 주파수들 또는 파장들 - 및 이에 따른 컬러들의 광범위한 광 소스)를 이용할 수 있으며, 이는 넓은 너비(etendue)를 제공하여 다수 파장들의 혼합(mixing)을 허용한다. 광대역에서의 복수의 파장들은 바람직하게는 각각 Δλ의 대역폭 및 적어도 2Δλ(즉, 대역폭의 두 배) 이상의 간격을 갖는다. 방사선의 수 개의 "소스"들은 섬유 다발(fiber bundle)을 이용하여 분할(split)되었던 연장된 방사선 소스의 상이한 부분들일 수 있다. 이러한 방식으로, 각도 분해된 산란 스펙트럼들(angle resolved scatter spectra)이 다수 파장들에서 병렬로(in parallel) 측정될 수 있다. 2-D 스펙트럼보다 더 많은 정보를 포함하는 3-D 스펙트럼(파장 및 2 개의 상이한 각도들)이 측정될 수 있다. 이는 메트롤로지 프로세스 견고성(metrology process robustness)을 증가시키는 더 많은 정보가 측정되게 한다. 이는 EP 1,628,164A에서 더 상세히 설명되며, 이는 그 전문이 본 명세서에서 인용참조된다.
기판(W) 상의 타겟(30)은 격자일 수 있으며, 이는 현상 후 바아(bar)들이 고형의 레지스트 라인들로 형성되도록 프린트된다. 바아들은 대안적으로 기판 내에 에칭될 수 있다. 이 패턴은 리소그래피 투영 장치, 특히 투영 시스템(PL)에서의 색수차들에 민감하며, 조명 대칭성 및 이러한 수차들의 존재는 프린트된 격자의 변동에서 분명히 나타날 것이다. 따라서, 프린트된 격자들의 스케터로미터 데이터가 격자들을 재구성하는데 사용된다. 라인폭 및 형상과 같은 격자의 파라미터들이 프린팅 단계 및/또는 다른 스케터로미터 공정들의 정보로부터 처리 유닛(PU)에 의해 수행되는 재구성 공정으로 입력될 수 있다.
앞서 설명된 바와 같이, 타겟은 기판의 표면 상에 있다. 이 타겟은 흔히 격자 내의 일련의 라인들 또는 2-D 어레이 내의 실질적으로 직사각형인 구조체들의 형상을 취할 것이다. 메트롤로지에 있어서 엄밀한 광학 회절 이론들의 목적은, 타겟으로부터 반사되는 회절 스펙트럼의 효과적인 계산이다. 다시 말하면, CD(임계 치수) 균일성 및 오버레이 메트롤로지에 대해 타겟 형상 정보가 얻어진다. 오버레이 메트롤로지는 기판 상의 두 층들이 정렬되는지의 여부를 결정하기 위해 두 타겟들의 오버레이가 측정되는 측정 시스템이다. CD 균일성은 단순히 리소그래피 장치의 노광 시스템이 기능하고 있는 방식을 결정하는 스펙트럼 상의 격자의 균일성 측정이다. 특히, CD 또는 임계 치수는 기판 상에 "기록"되는 대상물의 폭(예를 들어, 도 5에 나타낸 타겟의 폭)이며, 리소그래피 장치가 기판 상에 물리적으로 기록할 수 있는 한계이다.
타겟 형상(마크 형상이라고도 함)의 측정이 전형적으로 1D-주기 구조체들에 대해 수행되는 방식은 도 5를 참조하면 다음과 같다. 타겟 형상이 추정된다. 이 추정된 형상은 α(0), β(0), χ(0) 등과 같은 상이한 파라미터들로 주어진다. 이 각각의 파라미터들은, 예를 들어 각 측벽의 각도, 타겟의 최상부 높이, 타겟의 최상부에서의 폭, 타겟의 저부에서의 폭 등일 수 있다.
전형적으로, 종래의 디바이스들에서는 추정된 타겟 형상의 추정 또는 모델 회절 패턴과 같은 산란 특성들을 계산하기 위해 RCWA와 같은 엄밀한 광학 회절 방법이 사용된다. 추정 또는 모델 회절 패턴을 얻기 위해, 또는 이 대신에 추정 또는 모델 반사 또는 투과 계수들과 같은 다른 전자기 산란 특성들이 사용될 수 있다.
그 후, 방사선 빔으로 기판 상의 타겟을 조명하고 회절된 빔을 검출함으로써, 기판 상의 실제 타겟의 회절 패턴이 측정되며, 이 패턴은 타겟의 특성들에 의존할 것이다. 이 측정된 회절 패턴 및 모델 회절 패턴은 컴퓨터와 같은 계산 시스템으로 포워드(forward)된다.
그 후, 측정된 회절 패턴과 모델 회절 패턴이 비교되고, 여하한의 차이가 "메리트 함수(merit function)"로 입력된다.
회절 패턴의 형상에 소정 타겟 파라미터들의 감도를 결부시키는 메리트 함수를 이용하여, 새로운 형상 파라미터들이 추정된다. 이는 α(1), β(1), χ(1) 등과 같은 새로운 파라미터들을 갖는 도 5의 하부 형상에 더 가까운 형상을 제공할 수 있다. 이들은 원하는 정확성이 얻어질 때까지 되풀이되어 단계 1 및 단계 1 내지 5로 반복적으로 피드백될 수 있으며, 이로 인해 근사 대상물 구조체가 결정된다.
이 반복적인 공정의 연산 시간은 대부분 포워드 회절 모델(forward diffraction model)에 의해, 즉 추정된 타겟 형상으로부터 엄밀한 광학 회절 이론을 이용하여 추정된 모델 회절 패턴을 계산하는 단계에 의해 결정된다.
상이한 추정된 타겟 형상들에 대한 복수의 모델 회절 패턴들이 계산되고 단계 2에서 라이브러리 내에 저장될 수 있다. 그 후, 단계 4에서 측정된 회절 패턴이 단계 2에서 생성된 라이브러리 내의 모델 회절 패턴들과 비교된다. 일치(match)가 발견되는 경우, 일치하는 라이브러리 패턴을 생성하는데 사용된 추정된 타겟 형상이 근사 대상물 구조체로 결정될 수 있다. 그러므로, 라이브러리가 사용되고 일치가 발견되는 경우에는 반복이 요구되지 않을 수 있다. 대안적으로, 형상 파라미터들의 개략적인 세트를 결정하기 위해 라이브러리 탐색이 사용된 후, 근사 대상물 구조체를 결정하기 위해 형상 파라미터들의 더 정확한 세트를 결정하도록 메리트 함수를 이용하여 1 이상의 반복이 수행될 수 있다.
2D-주기 구조체들의 CD 재구성을 위해, 통상적으로 포워드 회절 모델에서 RCWA가 사용되지만, VIM(Volume Integral Method), FDTD(Finite-difference time-domain), 및 FEM(Finite element method)도 보고되었다.
RCWA 내에서, 스펙트럼 이산화(spectral discretization) 기법이 사용된다. 이 스펙트럼 이산화 기법의 수렴을 개선하기 위해, 소위 Li 규칙이 적용된다[3,4]. 대안적으로, 스펙트럼 이산화의 수렴[7,8]을 개선하기 위해 법선-벡터장 형식주의[6]가 사용될 수 있다.
RCWA의 주 문제들 중 하나는, 고유값/고유벡터의 잇따른 문제들이 해결되어야 하고 연쇄되기 때문에, 2D 주기 구조체들에 대해 상당량의 중앙 처리 유닛(CPU) 시간 및 메모리를 필요로 한다는 것이다. FDTD 및 FEM에 대해서도, CPU 시간이 전형적으로 너무 높다.
기존 체적 적분 방법들([2], 본 명세서에서 그 전문이 인용참조되는 미국 특허 제 6,867,866 B1 및 미국 특허 제 7,038,850 B2에서 설명됨)은 메시 개선(mesh refinement)에 대한 느린 수렴을 나타내는 전체 공간 이산화(fully spatial discretization) 기법들, 또는 증가한 수의 고조파(harmonic)들에 대한 열악한 수렴을 나타내는 스펙트럼 이산화 기법들에 기초한다. 대안예로서, 수렴을 개선하기 위해 발견적 방법(heuristic method)을 포함하는 스펙트럼 이산화 기법이 제안되었다[2].
VIM에 대해 해결되어야 하는 선형 시스템은 RCWA에 비해 훨씬 더 크지만, 이것이 반복적인 방식으로 해결되는 경우, 수 개의 벡터들의 저장과 함께 매트릭스-벡터곱만이 요구된다. 그러므로, 메모리 이용이 RCWA에 대한 것보다 전형적으로 훨씬 더 적다. 잠재적인 병목 현상(bottleneck)은 매트릭스-벡터곱 자체의 속도이다. Li 규칙들이 VIM에 적용되어야 했다면, 메트릭스-벡터곱은 수 개의 인버스 서브-매트릭스들의 존재로 인해 훨씬 더 느렸을 것이다. 대안적으로, Li 규칙들은 무시될 수 있으며, 고속 매트릭스-벡터곱에 도달하기 위해 FFT들이 사용될 수 있지만, 열악한 수렴의 문제가 남는다.
본 발명은 개선된 체적 적분 방법(VIM)의 실시예들에 관한 것이다. 본 발명의 일 실시예를 이용하면 레지스트 격자들 상의 실제적인 2D-주기 CD 재구성들이 RCWA보다 10 내지 100 배 더 빠르다는 것이 증명되었으며, 메모리 사용도 RCWA보다 10 내지 100 배 더 적다. 본 발명이 더 상세히 설명되기 전에, 본 발명에 의해 제공된 속도 개선들을 예시하는 도 6 및 도 7을 참조하여 결과들이 제시된다.
도 6은 본 발명의 일 실시예에 따른 체적 적분 방법(VIM; 604) 및 종래의 RCWA(602)에 대하여 처리 시간에 대한 정확성을 예시하는 그래프를 나타낸다. 도 6은 레지스트 구조체를 이용하여 1 차 반사 계수의 모델들의 결과들을 나타낸다. 수직축은 상대 오차(RE)이며, Rp가 평행한 편광- 전기장이 입사 평면에 평행인 경우 -에 대한 반사 계수이고, Rp *가 5자리 정확성을 달성하기에 충분한 모드들을 갖는 RCWA의 수렴된 해(converged solution)인 경우, |Rp - Rp *|/|Rp *|로 주어진다. 수평축은 중앙 처리 유닛(CPU) 시간(t, 초 단위)이며, 이는 VIM 공식에 대응하는 선형 시스템을 하나 해결하는데 걸리는 시간이다. RCWA에 대한 결과들의 그래프(602)는 그래프 604로 나타낸 본 발명의 일 실시예에 따른 VIM에 대한 결과들보다 더 큰 CPU 시간을 나타낸다. 예를 들어, 화살표(606)로 나타낸 바와 같이 10-2의 상대 오차에서 본 발명의 이 실시예에 의해 제공된 CPU 시간이 20 배 개선된다. 그러므로, 도 6은 상대 오차(또는 정확성)의 전체 범위에 걸쳐 본 발명이 하나의 해를 계산하는 CPU 시간을 감소시킬 수 있다는 것을 나타낸다. CPU 시간의 감소는 본 발명의 실질적인 적용을 위해 매우 중요하다. 전형적으로, 약 1 초에 14,000 개의 해들을 완료하는 것이 목표이다. 1 초가 도달 목표인 이유는, 이것이 생산 환경에서 웨이퍼들에 대한 계속적인 스케터로미터 측정들을 수행하는 시간이기 때문이다. 이러한 짧은 시간에 계산들을 완료함으로써, 웨이퍼 생산 공정들을 늦추지 않고 실시간 분석을 수행하는 것이 가능하다. 14,000이라는 수는 실제 형상의 추정을 위한 180 개의 산란 각도들 곱하기 변화될 모델의 파라미터들의 수(6 또는 7) 곱하기 2 개의 입사파의 독립적인 편광들 곱하기 타겟의 6 개의 비선형 해들로부터 나온다. 도 6에서의 데이터는, 아래에서 설명되는 도 21 및 도 22에 나타낸 데이터를 도출하도록 사용된 것과 동일한 데이터 설정으로부터 도출된다.
도 7은 모델링된 실리콘 구조체 및 0 차 반사 계수에 대한 것으로, 도 6에 나타낸 것과 유사한 데이터의 그래프를 나타낸다. 상대 오차의 수직축이 더 좁은 범위를 포함하고, 시간의 수평축이 더 넓은 범위를 포함한다는 것 이외에는 동일한 축선들이 사용된다. 그래프 702는 RCWA의 결과이고, 그래프 704는 본 발명의 일 실시예에 따른 VIM을 이용한 결과이다. 다시, 10-2의 상대 오차에서 화살표(706)에 의해 나타낸 바와 같이 본 발명에 의해 RCWA보다 20 배 개선된다.
도 8은 본 발명의 일 실시예에 따라 재구성될 수 있는 산란 지오메트리를 개략적으로 예시한다. z 방향으로 적층된 매질의 하부층에 기판(802)이 있다. 다른 층들(804 및 806)이 도시된다. 적층 매질의 최상부 상에 x 및 y 방향으로 주기적인 2 차원 격자(808)가 도시된다. 또한, x, y 및 z 축선들(810)이 도시된다. 입사 필드(812)는 구조체(802 내지 808)와 상호작용하고, 이로 인해 산란되어 반사 필드(814)를 발생시킨다. 따라서, 구조체는 적어도 1 이상의 방향(x, y)으로 주기적이며, 상이한 재료들 간의 재료 경계에서 입사(Einc) 및 산란(Es) 전자기장 성분들 전체를 포함하는 전자기장(Etot)의 불연속을 야기하기 위해 상이한 특성들의 재료들을 포함한다.
도 9는 백그라운드의 구조체 및 적층 매질과 입사 필드의 상호작용을 계산하는데 사용될 수 있는 그린 함수를 개략적으로 예시한다. 적층 매질(802 내지 806)은 도 8에서와 동일하게 표시된다. 또한, x, y 및 z 축선들(810)이 입사 필드(812)와 함께 도시된다. 또한, 직접 반사 필드(902)가 도시된다. 점 소스(point source: x', y', z')(904)는 필드 906을 발생시키는 백그라운드와의 그린 함수 상호작용을 나타낸다. 이 경우, 점 소스(904)가 최상층(806) 위에 있기 때문에, 806과 주변 매질의 최상부 계면으로부터 단지 하나의 백그라운드 반사(908)만이 존재한다. 점 소스가 적층 매질 내에 있는 경우, 위아래 방향들로 백그라운드 반사들이 존재할 것이다(도시되지 않음).
해결될 VIM 공식은 다음과 같다:
이 방정식에서, 입사 필드(Einc)는 입사각, 편광 및 진폭의 알려진 함수이고, Etot는 알려져 있지 않고 해가 계산될 수 있는 총 전기장이며, Jc는 콘트라스트 전류 밀도(contrast current density)이고, 
는 그린 함수(3x3 매트릭스)이며, χ는 (εr(x,y,z)/εr, bac(z) - 1)로 주어진 콘트라스트 함수- 이때 εr은 구조체의 상대 유전율이고, εr, bac는 백그라운드 매질의 상대 유전율임 -이다. χ는 격자 외부에서 0이다.
802 내지 806을 포함한 적층 매질에 대해 그린 함수 
(x, x', y, y', z, z')가 알려져 있고, 연산가능하다. 그린 함수는 xy 평면에서 컨볼루션 및/또는 모드 분해(modal decomposition)(m1, m2)를 나타내며, 
에서 z 축선을 따른 주 연산 부하는 컨볼루션들이다.
이산화를 위해, 총 전기장은 xy 평면에서 Bloch/Floquet 모드들로 확장된다. χ와의 곱셈은: (a) xy 평면에서의 이산 컨볼루션(2D FFT); 및 (b) z에서의 곱이 된다. xy 평면에서 그린 함수 상호작용은 모드당 상호작용이다. z에서의 그린 함수 상호작용은 복잡도 Ο(NlogN)로 1-차원(1D) FFT들을 이용하여 수행될 수 있는 컨볼루션이다.
xy에서 모드들의 수는 M 1 M 2 이고, z에서 샘플들의 수는 N이다.
효율적인 매트릭스-벡터곱은 복잡도 Ο(M 1 M 2 Nlog ( M 1 M 2 N))를 가지며, 저장 복잡도는 Ο(M 1 M 2 N)이다.
Ax=b에 대한 VIM 해결 방법은 크리로프 부공간법(Krylov subspace method)에 기초한 반복 솔버(iterative solver), 예를 들어 BiCGstab(1 )(Stabilized BiConjugate Gradient method)를 이용하여 수행되며, 이는 전형적으로 다음 단계들을 갖는다:
rn = b - Axn으로 잔여 오차 정의
잔여 오차를 통한 업데이트 벡터(들) vn 연산
해 업데이트: xn +l = xn + αnvn
잔여 오차 업데이트: rn +l = rn - αnAvn
도 10은 VIM 공식에 대응하는 선형 시스템을 해결하는 고레벨 방법의 흐름도이다. 이는 체적 적분을 수치적으로 해결함으로써 구조체의 전자기 산란 특성들을 계산하는 방법이다. 최고 레벨에서, 제 1 단계는 입력을 판독하는 단계 및 FFT들을 준비하는 단계를 포함한 전처리(1002)이다. 다음 단계는 해를 연산하는 단계(1004)이다. 최종적으로, 반사 계수들이 연산되는 후처리(1006)가 수행된다. 단계 1004는 도 10의 오른편에도 나타낸 바와 같이 다양한 단계들을 포함한다. 이 단계들은 입사 필드를 연산하는 단계(1008), 그린 함수들을 연산하는 단계(1010), 업데이트 벡터들을 연산하는 단계(1012), (예를 들어, BiCGstab를 이용하여) 해와 잔여 오차를 업데이트하는 단계(1014), 및 수렴에 도달한 경우를 확인하도록 테스트하는 단계(1016)이다. 수렴에 도달하지 않은 경우, 제어 루프들이 업데이트 벡터들의 연산인 단계 1012로 되돌아간다.
도 11은 종래에 알려진 체적 적분 방법을 이용하여 도 10의 단계 1012에 대응하는 업데이트 벡터들을 연산하는 단계들을 예시하며, 이는 전기장(E)에 대한 체적 적분 방정식을 수치적으로 해결함으로써 구조체의 전자기 산란 특성들을 계산하는 방법이다.
단계 1102는 4-차원(4D) 어레이에서 벡터를 재조직하는 단계이다. 이 어레이에서, 제 1 차원은 3 개의 요소(Ex, Ey, 및 Ez)를 갖는다. 제 2 차원은 m1의 모든 값들에 대한 요소들을 갖는다. 제 3 차원은 m2의 모든 값들에 대한 요소들을 갖는다. 제 4 차원은 z의 각 값에 대한 요소들을 갖는다. 따라서, 4D 어레이는 총 전기장(Ex, Ey, Ez)(m1, m2, z)의 (xy 평면에서의) 스펙트럼 표현을 저장한다. 도 11에서 단계 1102로부터 아래를 향하는 3 개의 평행한 점선 화살표들은 각 층(z)에 대해 수행되는 단계 1104 내지 단계 1110에 의한 3 개의 2D 어레이들(Ex, Ey, 및 Ez 각각에 대해 하나씩)의 처리에 대응한다. 이 단계들은 아래의 방정식(1.3)에 대응하는 콘트라스트 전류 밀도의 (xy 평면에서의) 스펙트럼 표현을 계산하기 위해, 재료 특성들과 함께 전기장(Ex, Ey, Ez)(m1, m2, z)의 (xy 평면에서의) 스펙트럼 표현의 컨볼루션을 수행한다. 상세하게는, 단계 1104가 3 개의 2D 어레이들(2 차원은 m1 및 m2에 대한 것임)을 취하는 단계를 수반한다. 단계 1106에서, 2D FFT가 3 개의 어레이들 각각에 대해 공간 도메인으로 포워드 연산된다. 단계 1108에서, 3 개의 어레이들 각각에 푸리에 표현의 절단(truncation)에 의해 필터링되는 콘트라스트 함수 χ(x,y,z)의 공간 표현이 곱해진다. 단계 1110에서, 스펙트럼 콘트라스트 전류 밀도(Jx c, Jy c, Jz c)(m1, m2, z)를 산출하는 (xy 평면에서의) 스펙트럼 도메인으로 2D FFT를 거꾸로 이용하여 컨볼루션이 연산된다. 단계 1112에서, 계산된 스펙트럼 콘트라스트 전류 밀도가 다시 4D 어레이로 배치된다.
그 후, 각 모드에 대해(즉, 동일한 시간의 z에서의 모든 샘플 지점들에 대해) 단계 1114 내지 단계 1122가 수행된다. 단계 1116으로부터 아래를 향하는 3 개의 평행한 점선 화살표들은 아래의 방정식(1.1)에서 적분항을 연산하는 단계에 대응하며, 이는 구조체와 총 전기장의 상호작용 자체로부터 일어난 콘트라스트 전류 밀도와 백그라운드의 상호작용이다. 이는 (z 방향에 대한) 스펙트럼 도메인에서의 곱셈을 이용하여, (z 방향에 대한) 공간 그린 함수와 (Jx c, Jy c, Jz c)(m1, m2, z)의 컨볼루션에 의해 수행된다.
상세하게는, 단계 1114에서 x, y 및 z 각각에 대한 3 개의 1D 어레이들로서 스펙트럼 콘트라스트 전류 밀도(Jx c, Jy c, Jz c)(m1, m2, z)가 취해진다. 단계 1116에서, (Jx c, Jy c, Jz c)(m1, m2, kz)를 생성하도록 z 방향에 대해 스펙트럼 도메인으로 3 개의 어레이들 각각에 대해 포워드로 1D FFT를 연산함으로써 컨볼루션이 시작되며, 이때 kz는 z 방향에 대한 푸리에 변수이다. 단계 1118에서, 콘트라스트 전류 밀도의 절단된 푸리에 변환에 공간 그린 함수 
의 푸리에 변환이 (z 방향에 대한) 스펙트럼 도메인에서 곱해진다. 단계 1120에서, 1D FFT가 z 방향에 대한 공간 도메인으로 거꾸로 수행된다. 단계 1122에서, z에 대한 공간 도메인에서의 백그라운드 반사들(도 9의 908 참조)이 추가된다. 그린 함수로부터의 백그라운드 반사들의 이러한 분리는 종래의 기술이며, 상기 단계는 당업자라면 이해하는 바와 같이 랭크 1 프로젝션(rank 1 projection)들을 추가함으로써 수행될 수 있다. 그 후, 각 모드가 처리됨에 따라, 계산된 총 전기장(Ex, Ey, Ez)(m1, m2, z)에 대한 업데이트 벡터들이 단계 1124에서 다시 4D 어레이로 배치된다.
다음 단계는 벡터에서 4D 어레이를 재조직하는 단계(1126)이며, 이는 각각의 1-차원 인덱스가 4-차원 인덱스와 특유하게 관련되는 역(reverse) 작업이라는 점에서 단계 1102의 "4D 어레이에서 벡터를 재조직하는 단계"와 상이하다. 최종적으로, 단계 1128에서 단계 1126으로부터 출력된 벡터가 입력 벡터로부터 감산되며, 이는 방정식(1.1)의 오른편에서의 뺄셈에 대응한다. 입력 벡터는 도 11에서 단계 1102로 들어가는 벡터이며, (Ex, Ey, Ez)(m1, m2, z)를 포함한다.
도 11에서 설명된 방법의 문제는, RCWA 결과들에 대해 도 10의 방법을 이용한 수렴의 플롯을 나타내는 도 19를 참조하여 아래에 증명되는 바와 같이, 열악한 수렴을 초래한다는 것이다. 이 열악한 수렴은 절단된 푸리에-공간 표현에 대한 전기장 및 유전율에서의 동시 점프(concurrent jump)들에 의해 야기된다. 앞서 설명된 바와 같이, VIM 방법에서 Li 역 규칙(inverse rule)은 VIM 수치 해법에서 요구되는 역 작업들의 매우 많은 수로 인해 그 복잡도가 매우 큰 연산 부하를 초래하기 때문에 수렴 문제를 극복하기에 적절하지는 않다. 본 발명의 실시예들은 Li에 의해 설명된 역 규칙의 사용에 의지하지 않고 동시 점프들에 의해 야기된 수렴 문제들을 극복한다. 역 규칙을 회피함으로써, 본 발명은 VIM 접근법에서 반복적인 방식으로 선형 시스템을 해결하는데 필요한 매트릭스 벡터곱의 효율성을 떨어뜨리지 않는다.
도 12는 VIM 공식을 수치적으로 해결하기 위해 연속적인 벡터장을 이용하는 본 발명의 일 실시예를 예시한다. 이는 벡터장(F)의 근사해를 결정하기 위하여, 기저변환에 의해 전기장(E)과 관련되는 벡터장(F)- 벡터장(F)은 1 이상의 재료 경계에서 연속적임 -에 대한 체적 적분 방정식을 수치적으로 해결하는 단계를 수반한다. 벡터장(F)은 적어도 1 이상의 방향(x, y)에 대한 적어도 1 이상의 유한 푸리에 급수로 표현되며, 체적 적분 방정식을 수치적으로 해결하는 단계는 컨볼루션-및-기저변환 연산자(C)와 벡터장(F)의 컨볼루션에 의해 전기장(E)의 성분을 결정하는 단계 및 컨볼루션 연산자(M)와 벡터장(F)의 컨볼루션에 의해 전류 밀도(J)를 결정하는 단계를 포함할 수 있다. 컨볼루션-및-기저변환 연산자(C)는 가역적이고, 적어도 1 이상의 방향(x, y)으로 구조체의 재료 및 지오메트리 특성들을 포함하며, 재료 및 지오메트리 특성들에 따라 기저변환을 수행함으로써 벡터장(F)을 전기장(E)으로 변환하도록 구성된다. 컨볼루션 연산자(M)는 적어도 1 이상의 방향(x, y)으로 구조체의 재료 및 지오메트리 특성들을 포함한다. 전류 밀도(J)는 콘트라스트 전류 밀도일 수 있으며, 적어도 1 이상의 방향(x, y)에 대한 적어도 1 이상의 유한 푸리에 급수로 표현된다. 컨볼루션들은 FFT(fast Fourier transform) 및 NTT(number-theoretic transform)를 포함한 일 세트로부터 선택된 하나와 같은 변환을 이용하여 수행된다. 컨볼루션-및-기저변환 연산자(C) 및 컨볼루션 연산자(M)는 유한한 결과를 생성하기 위해 유한 이산 컨볼루션에 따라 작용한다.
도 12는 컨볼루션-및-기저변환 연산자(C)와 벡터장(F)의 근사해의 컨볼루션에 의해 총 전기장(E)을 얻는 후처리 단계(1204)와 함께 중간 백터장(F)에 대한 VIM 시스템을 해결하는 단계(1202)를 나타낸다. 컨볼루션은 FFT(fast Fourier transform) 및 NTT(number-theoretic transform)을 포함한 일 세트로부터 선택된 하나와 같은 변환을 이용하여 수행될 수 있다. 또한, 도 12는 오른편에 VIM 시스템을 반복적으로 해결하기 위해 효율적인 매트릭스-벡터곱을 수행하는 단계(1206 내지 1216)의 개략적인 예시를 나타낸다. 이는 단계 1206에서 중간 벡터장(F)으로 시작한다. 처음 F가 설정되면, 이는 0에서 시작될 수 있다. 초기 단계 이후, F의 추정들은 반복 솔버 및 나머지에 의해 유도된다. 그 다음, z 방향으로의 각 샘플 지점에 대한 2D FFT들을 통해 중간 벡터장(F)과 컨볼루션-및-기저변환 연산자(C)의 컨볼루션을 이용하여 총 전기장(E)이 연산된다(1208). 컨볼루션-및-기저변환 연산자(C)는 중간 벡터장(F)의 기저를 총 전기장(E)의 기저로 변환하도록 구성된다. 또한, 단계 1210에서 중간 벡터장(F)과 재료 컨볼루션 연산자(M)의 컨볼루션을 이용하여 콘트라스트 전류 밀도(J)가 연산된다. 단계 1210은 2D FFT들을 통해 수행되는 컨볼루션을 이용하여 z에서의 각 샘플 지점에 대해 수행된다. 단계 1212에서, 산란된 전기장(E s)을 산출하기 위해 콘트라스트 전류 밀도(J)와 그린 함수(G) 간의 랭크-1 프로젝션들 및 컨볼루션들이 연산된다. 컨볼루션은 FFT(fast Fourier transform) 및 NTT(number-theoretic transform)을 포함한 일 세트로부터 선택된 하나와 같은 변환을 이용하여 수행될 수 있다. 단계 1214는 Einc의 근사를 얻기 위해 E로부터 2 개의 연산된 결과들(Es)을 감산한다. 단계 1202, 및 단계 1206 내지 단계 1216은 아래에서 설명되는 방정식(1.4)에 대응한다. 단계 1206 내지 단계 1216은 업데이트 벡터들을 생성하기 때문에, 후처리 단계(1204)가 총 전기장(E)의 최종 값을 생성하는데 사용된다.
총 전기장(E)을 계산하기 위하여, 별도의 후처리 단계(1204)보다는 모든 업데이트 벡터들의 합이 단계 1208에 기록될 수 있다. 하지만, 상기 접근법은 상기 방법의 저장 요건들을 증가시키는 반면, 후처리 단계(1204)는 반복적 단계들(1206 내지 1216)에 비해 저장 또는 처리 시간의 대가가 크지 않다.
도 13은 본 발명의 일 실시예에 따른 업데이트 벡터들의 연산의 흐름도이다. 도 13의 흐름도는 도 12의 오른편(단계 1206 내지 단계 1216)에 대응한다.
단계 1302에서, 벡터가 4D 어레이에서 재조직된다. 그 후, z에서의 각 샘플 지점에 대해 단계 1304 내지 단계 1318이 수행된다. 단계 1304에서, 3 개의 2D 어레이들이 4D 어레이에서 취해진다. 이 3 개의 2D 어레이들(Ft1, Ft2, Fn)(m1, m2, z)은 m1 및 m2에 대응하는 2 차원들을 각각 갖는 (아래에서 방정식(2.44)에서 설명된) 연속 벡터장(F)의 2 개의 접선 성분(Ft1, Ft2) 및 법선 성분(Fn)에 각각 대응한다. 따라서, 벡터장(F)은 적어도 1 이상의 재료 경계에 접선인 전자기장(E)의 연속 성분들을 필터링하고, 또한 적어도 1 이상의 재료 경계에 법선인 전자기 플럭스 밀도(D)의 연속 성분들을 필터링하기 위해, 법선-벡터장(n)을 이용함으로써 전자기장(E)의 필드 성분들과 대응하는 전자기 플럭스 밀도(D)의 조합으로부터 구성된다. 단계 1306에서, (Ft1, Ft2, Fn)(x, y, z)로 나타낸 3 개의 어레이들 각각에 대한 공간 도메인으로의 2D FFT의 포워드 연산(단계 1306)과 함께 (Ft1, Ft2, Fn)(m1, m2, z)로 나타낸 스펙트럼 연속 벡터장의 컨볼루션이 시작된다. 단계 1308에서, 단계 1306에서 얻어진 푸리에 변환 (Ft1, Ft2, Fn)(x, y, z)에 공간 곱셈 연산자 C(x, y, z)가 공간 도메인에서 곱해진다. 단계 1310에서, 단계 1308에서 얻어진 생성물이 역방향으로의 2D FFT에 의해 스펙트럼 도메인으로 변환된다. 그 후, 스펙트럼의 총 전기장(Ex, Ey, Ez)이 단계 1312에서 다시 4D 어레이로 배치된다. 또한, 복사물이 아래에서 설명되는 감산 단계(1322)로 보내진다.
단계 1314에서는, 단계 1306에서 얻어진 푸리에 변환 (Ft1, Ft2, Fn)(x, y, z)에 곱셈 연산자 M이 공간 도메인에서 곱해진다. 단계 1316에서, 단계 1314에서 계산된 생성물이 (Jx c, Jy c, Jz c)(m1, m2, z)로 나타낸 스펙트럼 콘트라스트 전류 밀도를 산출하도록 역방향으로의 2D FFT에 의해 스펙트럼 도메인으로 변환된다. 단계 1318에서, 스펙트럼 콘트라스트 전류 밀도가 다시 4D 어레이로 배치된다.
알려진 입사 전기장(E inc)의 근사 계산을 완료하기 위해, 도 11에서 대응하는 동일한 참조번호의 단계들을 참조하여 설명된 것과 동일한 방식으로 단계 1114 내지 단계 1122에 의하여, 백그라운드와 그린 함수의 상호작용이 각 모드(m1, m2)에 대해 계산된다.
단계 1320에서, 백그라운드의 스펙트럼 그린 함수(
)와 스펙트럼 콘트라스트 전류 밀도(J)의 결과적인 컨볼루션이 다시 4D 어레이로 배치된다. 최종적으로, 단계 1322에서 단계 1312로부터의 총 전기장에서 단계 1320의 결과를 감산함으로써 알려진 입사 전기장(E inc)의 근사 계산이 완료되고, 최종 단계 1324가 4D 어레이를 벡터에서 재조직한다. 모든 4D 어레이의 4-차원 인덱스는 벡터의 1-차원 인덱스와 특유하게 관련된다.
도 14는 본 발명의 일 실시예에 따른 방법을 실행하기 위해 프로그램들 및 데이터로 구성된 컴퓨터 시스템을 개략적으로 나타낸다. 컴퓨터 시스템은 중앙 처리 유닛(CPU: 1502), 및 프로그램의 실행 시 프로그램 명령어들(1506) 및 데이터(1508)를 저장하는데 사용되는 RAM(random access memory: 1504)을 포함한다. 또한, 컴퓨터 시스템은 프로그램의 실행 전후에 프로그램 명령어들 및 데이터를 저장하는데 사용되는 디스크 스토리지(1510)를 포함한다.
프로그램 명령어들(1506)은 고속 푸리에 변환 루틴들(1512), 매트릭스 곱셈 함수들(1514), 덧셈 및 뺄셈(1516)과 같은 다른 산술 함수들, 및 어레이 조직 함수들(1518)을 포함한다. 데이터(1508)는 VIM 시스템의 해를 계산하는 동안 사용되는 4D 어레이(1520) 및 2D 어레이들(1522)을 포함한다. 입력 및 출력을 위한 다른 종래의 컴퓨터 구성요소들은 도시되지 않는다.
도 15는 균질한 하프 공간(half space) 상의 타원 단면을 갖는 이진 격자 셀의 평면도(1502) 및 측면도(1504)를 예시한다.
도 16은 균질한 하프 공간 상의 타원 단면을 갖는 계단식 격자 셀의 평면도(1602) 및 측면도(1604)를 예시한다.
도 17은 차원마다 홀수(1706)(백색 지지체) 및 짝수(1708)(짙은/어두운 지지체) 프로젝션 연산자(projection operator)들을 도입함으로써, 횡단면에서 계단식 근사(1704)에 의해 타원(1702)에 접근하는 절차를 예시한다. 한 방향의 프로젝션 연산자와 다른 방향의 프로젝션 연산자를 곱함으로써, 격리된 박스들의 패턴이 나타난다. 이는 각각의 격리된 박스의 지지체 상에서 적절히 동작하는 연속 함수의 구성을 허용한다.
도 18은 기준이 되는 모델 구조체를 예시한다. 격자의 하나의 셀이 실리콘 기판(1802), BARC(Bottom Anti-Reflective Coating: 1804) 및 레지스트 격자 요소(1806)와 도시된다.
방사선 및 모델 파라미터들은 다음과 같다:
파장: λ = 500 nm
피치(pitch) x & y: λxλ = 500 nm x 500 nm
풋프린트(footprint): 0.15λ x 0.15λ = 75 nm x 75 nm
높이: 0.436λ = 218 nm
필링(filling): 레지스트
백그라운드: Si 상의 BARC(90 nm)
θ, φ: 8.13 °, 45 °
편광: 평행
이때, θ는 z 축선에 대한 입사각이고, φ는 입사 방사선에 대한 방위각이다.
도 19는 RCWA 계산에 대하여, 도 11을 참조하여 설명된 방법을 이용하여 계산된 종래의 VIM 시스템의 수렴 결과들을 예시한다. 도 11에서 수직축은 상대 오차(RE)이며, Rp가 평행한 편광- 전기장이 입사 평면에 평행인 경우 -에 대한 반사 계수이고, Rp *가 5자리 정확성을 달성하기에 충분한 모드들을 갖는 RCWA의 수렴된 해인 경우, |Rp - Rp *|/|Rp *|로 주어진다. 수평축은 모드들의 수(NM)이며, 이는 한 방향으로 절단된 푸리에 급수에서 항들의 수이고, 다른 방향으로 동일한 수의 모드들을 이용한다. z에서의 상이한 수의 샘플 지점들에 대응하는 수 개의 그래프들이 각각 도시된다. 그래프 1902는 2 개의 샘플 지점, 그래프 1904는 4 개의 샘플 지점, 그래프 1906은 8 개의 샘플 지점, 그래프 1908은 16 개의 샘플 지점들에 대한 것이다. 32, 164 및 128 개의 샘플 지점들에 대한 그래프들은 16 개의 샘플 지점들에 대한 그래프(1908)와 겹친다.
전형적으로, 리소그래피 공정 구조체들의 시뮬레이션에서 레지스트를 포함한 구조체들에 대해 z에서의 8 또는 16 개의 샘플 지점들이 사용되고, -N에서 +N까지의 모드 인덱스들- 이때, N = 3 또는 4 -에 대응하는 7 내지 9 개의 모드들이 사용된다. 금속 또는 실리콘과 같은 더 높은 콘트라스트 재료에 대해서는, 필드들을 적절히 설명하는데 더 많은 수의 모드들이 필요하다.
도 19에서의 모든 그래프들에 대해 큰 상대 오차들은 체적 적분 방법을 이용하는 열악한 수렴을 나타내고, 이는 앞서 언급된 전기장 및 유전율에서의 동시 점프들의 영향이다. 앞서 설명된 바와 같이, VIM 시스템에서 연산을 제한하게 되는 매트릭스 인버스들의 많은 수로 인하여, 수렴 문제를 극복하는데 Li 역 규칙을 사용하는 것은 현실적이지 않다.
도 20은 도 19에 나타낸 것과 동일한 데이터로부터 유도되는 것으로, CPU 시간(t, 초 단위)의 수직축 및 모드들의 수(NM)의 수평축을 갖는 타이밍 결과들을 나타낸다. 그래프 2002 내지 그래프 2014는 각각 z에서의 2, 4, 8, 16, 32, 64 및 128 개의 샘플 지점들에 대한 플롯들이다. x 부호들(2016)은 동일한 구조체의 RCWA 계산들에 대한 결과들이다.
도 21은 도 12 및 도 13에 관하여 앞서 설명된 방법을 이용하여 본 발명의 일 실시예에 따라 크게 개선된 수렴 결과를 나타낸다. 도 21에서의 그래프들은 도 19에서의 그래프들과 비교되어야 하며, 도 21에서의 수직 스케일이 더 큰 범위에 걸쳐 있고, 2 크기 차수(orders of magnitude)만큼 도 19에 나타낸 것보다 더 작은 상대 오차를 나타낸다는 것을 유의한다. 그래프 2102 내지 그래프 2114는 각각 z에서의 2, 4, 8, 16, 32, 64 및 128 개의 샘플 지점들에 대한 플롯들이다.
도 22는 도 12 및 도 13에 관하여 앞서 설명된 방법을 이용하여 본 발명의 일 실시예에 따라 생성된 데이터에 대한 것으로, 도 20과 동일한 축선들에 대한 타이밍 정보를 나타낸다. 그래프 2202 내지 그래프 2214는 각각 z에서의 2, 4, 8, 16, 32, 64 및 128 개의 샘플 지점들에 대한 플롯들이다. x 부호들(2216)은 동일한 구조체의 RCWA 계산들에 대한 결과들이다.
모드들의 수(NM)에 대한 CPU 시간(t)이 도 20에 나타낸 것과 유사하다는 것을 알 수 있다.
그러므로, 도 21 및 도 22는 본 발명이 체적 적분 방법을 이용하여 수치 해의 수렴을 매우 개선한다는 것을 명백하게 나타낸다.
또한, 본 발명의 실시예들은 RCWA보다 훨씬 더 적은 메모리 자원들을 필요로 한다. RCWA 저장 요건은 375*((M1*M2)2)*정밀도이다. VIM 저장 요건은 대략적으로 60*(M1*M2*N)*정밀도이다. 본 명세서에서, x에서의 모드들의 수가 M1이고, y에서의 모드들의 수가 M2이며, z에서의 샘플들의 수가 N이다. VIM에 대한 전형적인 작업 지점은 
이다.
표 1은 메모리 이용에 대해 얻어진 결과들을 나타낸다:
메모리 이용 비교
표 1의 데이터를 생성하기 위해, 다음 조건들이 사용되었다.
피치x = 피치y
M1 = M2
높이/피치 = 0.436
정밀도 = 콤플렉스 더블(complex double)
VIM: 작업 지점에서 작용함
표 1은, VIM이 전형적인 격자에 대해 RCWA보다 더 적은 저장 요구들을 갖는다는 것을 명백하게 나타낸다.
아래에서, 추가 실시예들이 설명될 것이다.
1. 도입
VIM(volume integral equation method)은 2 개의 방정식들의 일 세트로 구성된다. 제 1 방정식은 입사 필드 및 콘트라스트 전류 밀도의 항으로 총 전기장을 설명하는 적분 표현이며, 이때 콘트라스트 전류 밀도는 그린 함수와 상호작용한다: 즉, m1,m2 ∈ 
에 대해
또한, 
는 백그라운드 매질- 이는 z 방향으로 평면 성층화됨 -의 스펙트럼 그린 함수를 표시하며, e(m1,m2,z)는 xy 평면의 스펙트럼 기저에서 기록된 총 전기장 E(x,y,z)의 스펙트럼 성분을 표시하고, j(m1,m2,z)는 xy 평면의 스펙트럼 기저에서 기록된 콘트라스트 전류 밀도 J c (x,y,z)의 스펙트럼 성분을 표시한다.
제 2 방정식은 총 전기장과 콘트라스트 전류 밀도 간의 관계이며, 이는 본질적으로 구성에 존재하는 재료들에 의해 정의되는 구성적 관계이다: 즉,
이때, J c 는 콘트라스트 전류 밀도를 표시하고, ω는 각도 주파수이며, ε(x,y,z)는 구성의 유전율이고, εb(z)는 성층화된 백그라운드의 유전율이며, E는 공간 기저에서 모두 기록된 총 전기장을 표시한다. 제 2 방정식의 xy 평면에서 스펙트럼 기저로의 변환이 본 명세서의 주 포커스이다.
간단한 접근법은 [1,2]에 제안된 바와 같이, 방정식(1.2)를 스펙트럼 도메인으로 직접 변환하는 것이다: 즉,
이때, M1l 및 M2l은 스펙트럼 하부 한계이고, M1h 및 M2h는 스펙트럼 상부 한계이며, 이는 E 및 J c 의 유한 푸리에 표현을 위해 고려된다. 또한, χs(k,l,z)는 횡단(xy)면에 대한 콘트라스트 함수 χ(x,y,z)의 푸리에 계수들이다. 하지만, 스펙트럼 기저에서 필드-재료 상호작용들을 처리하는데 있어서 주요한 수치적 문제들 중 하나는, 곱의 변수들 중 하나 또는 두 표현이 (수치적 구현의 경우와 같이) 유한(또는 절단된) 푸리에 확장을 갖는 경우, 실제 공간에서 간단한 곱의 방정식이 푸리에 공간에서의 컨볼루션에 의해 항상 정확하게 재생성되는 것은 아니라는 사실이다. 더 상세하게는, 곱의 두 변수들이 소위 상보적 동시 점프(concurrent complementary jump) 조건을 보이는 경우, "역 규칙"이 "로랑 규칙(Laurent rule)"- 이는 절단된 푸리에 확장들에 대한 표준 컨볼루션임 -보다 훨씬 더 우수한 정확성 특성들을 갖는다는 것이 제시되었다. 이는 Li[3,4]에 의해 RCWA에 관련하여 2D 및 3D 필드-재료 상호작용들에 대해 더 상세히 관찰되었다.
VIM 내에서, 이 관찰들은 동일하게 관련된다. 전기장 및 콘트라스트 전류 밀도의 스펙트럼 이산화를 채택하기 때문에, 유사한 문제와 직면한다. 콘트라스트 함수 및 E에서의 점프들은 동시에 발생하지만, 콘트라스트 함수가 백그라운드에 대한 섭동(perturbing) 지오메트리의 지지체 외부에서 0이기 때문에 상보적이지는 않다. 그러므로, Li 규칙들의 이론적 설명은 신중한 해석을 필요로 한다. 또한, VIM 내에서의 또 다른 주요 문제는 역 규칙의 효율성이다. 로랑 규칙이 FFT 구현에 의한 낮은 연산 복잡도를 갖는 반면, 역 규칙은 전형적으로 전체 매트릭스-벡터곱을 초래하며, 이는 랄란느(Lalanne) [5]에 의해 제안된 근사 규칙들에 대해 [2]에서 관찰된 바와 같이 VIM의 효율성을 심각하게 떨어뜨린다. 그러므로, 스펙트럼 기저에서 정확성을 떨어뜨리지 않고 컨볼루션 구조를 유지할 수 있는 방식들을 구하는 것이 바람직하다. 이를 위해, 다음 형태의 수정된 k-공간 리프만-슈윙거(Lippmann-Schwinger) 방정식을 공식화하고 해결할 것을 제안한다: m1,m2 ∈ 
에 대해
또한, 
는 다시 백그라운드 매질의 스펙트럼 그린 함수를 표시하고, 연산자 Cε 및 연산자 Vε는 1D 및/또는 2D FFT들을 통해 효율적인 매트릭스-벡터곱을 허용하는 연산자들이다.
2. 연구조사
2.1 서론
총 전기장 및 콘트라스트 전류 밀도 간의 관계는 맥스웰 방정식 및 백그라운드 구성의 개념으로부터 유도된다. 백그라운드의 선택은 이 백그라운드에 대한 그린 함수를 발견하는 능력과 관련된다. 이에 따라, 전형적으로 백그라운드는 평면적으로 성층화된 매질과 같이 간소화된 구성이다. 따라서, 성층화가 z-방향으로 발생하고, 전체적으로 일정한 투과성을 갖는 재료들로 구성되어 유전율의 변동만을 갖는 것으로 가정할 것이다. 앙페르-맥스웰 방정식을 보면, 1차 소스가 없는 다음 식이 얻어진다:
이때, H는 자기장 강도이고, ω는 각도 주파수이며, D는 전기 플럭스 밀도이고, ε는 유전율이며, E는 전기장 강도이다.
이제, 백그라운드의 유전율을 εb로 나타내는 경우, 다음 방정식을 통해 콘트라스트 전류 밀도(J)가 정의된다:
또한, 정규화된 양(normalized quantity: q)을 다음과 같이 정의한다:
이때, χ는 콘트라스트 함수이다. 이 개념과 함께, 다음 식이 도입된다:
이때, I는 항등 연산자이다.
2.2 역 규칙에 대한 이론적 설명
p 주기를 갖는 1D 주기 함수 V(x), 및 이에 대응하는 vn,n ∈ Z인 계수들을 갖는 푸리에 급수를 고려한다. 그때, 이들 간의 관계는 다음과 같이 주어진다:
또한, 역시 p 주기를 갖는 1D 주기 함수 K(x), 및 이에 대응하는 푸리에 계수들 kn을 도입한다.
이는 푸리에 계수들 kn 및 vn의 항에서 곱 K(x)V(x)에 접근하도록 의도된다. K(x) 및 V(x)가 연속적인 주기 함수들인 경우, 푸리에 이론으로 인해 다음 식이 주어진다:
이때,
이때, K 및 V의 연속성으로 인해 급수가 놈(norm)에 수렴한다. 이 규칙은 로랑 규칙 또는 컨볼루션 규칙으로 알려져 있다. 또한, (모든 수치적 구현에서와 같이) 예를 들어 다음과 같이 틸데(tilde)로 나타내는 유한(또는 절단된) 푸리에 급수에서 K(x)V(x)의 근사가 의도되는 경우,
유한 푸리에 급수 V(x)로부터 유한 푸리에 급수에서 K(x)V(x)의 수렴 근사를 형성할 수 있는지 의문이 발생한다. 이에 따라, 다음 식과 같이 계수들 cn을 구성할 수 있다:
이때,
Li[3,4]에 의한 문서들은, 함수 V(x) 및/또는 함수 K(x)가 어디에서나 연속적인 경우 방정식(2.13)의 유한 로랑 규칙이 적용될 수 있다는 것을 증명한다. 또한, V(x)가 주기 내 제한된 수의 지점들에서 불연속적이고, K(x)는 이 지점들 부근에서 연속적인 경우, 유한 로랑 규칙이 적용된다. 이러한 상황에서, V(x) 및 K(x)가 푸리에 분해가능(Fourier factorizable)하다고 한다. 하지만, V(x) 및 K(x)가 모두 불연속적인 지점들이 존재하는 경우, 즉 함수들 V(x) 및 K(x)가 소위 동시 점프들을 갖는 경우, 유한 로랑 규칙은 열악한 근사 특성들을 갖는다.
한가지 특수한 경우에 대해, Li는 더 우수한 근사 특성들을 초래하는 역 규칙이라고 알려진 또 다른 규칙이 존재한다는 것을 보였다. 이 특수한 경우는, K(x) 및 V(x)가 동일한 지점들에서 불연속들을 갖지만, 이 불연속들이 상보적인 상황, 즉 K(x) 및 V(x)의 곱이 연속이 되도록 K(x) 및 V(x)의 불연속들이 구성되는 상황에 대해 전개된다. 규칙을 구성하기 위해, 함수 W(x) = K(x)V(x)이라는 것을 유의한다. 커널 1/K(x) 및 W(x)에 적용된 로랑 규칙이 V(x)의 계수들을 초래한다: 즉,
이때, κn은 1/K(x)의 푸리에 급수의 계수들이고, wn은 W(x)의 푸리에 급수의 계수들이다. W(x)의 연속성으로 인해, W(x)/K(x)의 유한 푸리에 급수 근사를 얻도록 유한 로랑 규칙이 적용될 수 있으며, 이는 다음과 같이 계수들 κn에 대한 토플리츠 매트릭스(T) 및 계수들 wn의 벡터를 초래한다:
이에 따라, W(x) 및 1/K(x)가 푸리에 분해가능하다. 최종적으로, 다음 식에 도달하도록 매트릭스(T)가 인버트된다:
이에 따라, "역 규칙"이라고 불린다.
2.3 2D-주기 단위 셀의 축선들을 따라 정렬된 에지들을 갖는 단일 브릭에 대한 수정된 Li 규칙들
고정된 z 위치에서의 백그라운드 매질이 일정한 구성 및 xy 평면에서 주기적인 구성의 직사각형 단위 셀 내에서의 직사각형 도메인 상에서 0이 아닌 연속 함수, 예를 들어 상수인 콘트라스트 함수를 고려한다. 또한, 직사각형 도메인은 상기 단위 셀과 동일한 방위를 갖는다고 가정한다. χ의 지지체의 형상을 정의하기 위해, 다음 식을 도입한다:
z 방향을 따라 고정된 위치에서, 이제 백그라운드에 대한 유전율 및 그 역이 다음과 같이 정의될 수 있다(재료들은 등방성이라고 가정함, 즉 유전율이 스칼라임):
이때, χc는 연속 함수 또는 상수이며, (x0,y0)는 직사각형 지지체의 중심 위치이고,
이며, 이는 조건 εr,b·εr,b -1 = 1로부터 유도된다.
이제, 다음 식과 같이 (스펙트럼 기저에서의) 임의적 필드(v)에 작용하는 유한 푸리에 공간에서의 컨볼루션 연산자들 
및 
을 도입한다:
m1 ∈ {-M1l,...,M1h} 및 m2 ∈ {-M2l,...,M2h}에 대해- 이는 2D 푸리에 계수들의 정수 인덱스들임 -,
또한, 다음 식이 주어진다:
이때, a 및 b는 각각 x 및 y 방향으로의 단위 셀의 치수들이며, x 및 y 방향으로의 펄스 함수들의 지원은 적분 구간들 내에 놓이는 것으로 가정된다.
공간 도메인에서, 정규화된 전기 플럭스 및 전기장의 x-성분들 사이에 다음 관계를 갖는다:
이는 그 스펙트럼 카운터파트(spectral counterpart)를 직접적으로 초래할 것이다:
이때, I는 항등 연산자를 나타내고, Ex 및 
상의 ~은 유한 푸리에 표현을 나타낸다. 하지만, 이 공식은 유전율 함수 및 전기장이 이 근사의 성능을 심하게 떨어뜨리는 동시 점프들을 갖는다는 사실을 완전히 무시한다. 그러므로, 이제 로랑 및 역 규칙들의 조합에 도달하도록 Li의 추론 방향(line of reasoning)[3,4]을 따를 것이다.
다음의 관계로부터 시작한다:
이로부터, (B+A+BA)=0, 즉 B=-A(I+A)-1이다. 또한, 
의 유한 스펙트럼 표현의 공간 표현을 
로서 내타내며, Py에 대해서도 유사한 방식으로 나타낸다. 이 표기법들 및 앞선 추론 방향에 따라, 다음 식에 도달한다:
이 지점에서, 곱셈 연산자 ΠΔy가 유한 로랑 규칙에 관하여 스펙트럼 카운터파트를 가지며, 이는 Py로 표시된다. 또한, Px 및 Py가 상이한 인덱스들에 작용한다는 사실로 인해, 연산자 
가 Py와 대체된다.
이는 유한 푸리에 급수의 항으로 표현된 전기장과 정규화된 전기 플럭스 간의 다음 관계를 가져온다:
이때, z 성분은 xy 평면에서 Ez가 연속적이라는 관찰로 인한 것이다. 체적 적분 방정식에 대해, 단지 총 전기장(E) 및 정규화된 콘트라스트 전류 밀도(q)만이 의도된다. 후자에 대해, 다음 식이 주어진다:
이때, 
및 χc 간의 관계가 사용되었다.
E로부터 q를 얻는 앞선 매트릭스-벡터곱에서의 역 연산자들 
및 
의 존재는 전체 체적 적분 방정식들의 매트릭스-벡터곱에 있어서 심각한 수치적 복잡도의 증가를 초래한다. 그러므로, 이들의 증가된 정확성을 떨어뜨리지 않고 이 역들을 회피하는 것이 매우 바람직하다. 그러므로, E에 대해 다음 관계를 갖는 새로운 벡터장(F)을 도입할 것이 제안된다:
이는 제 1 방정식에 대해 x 방향을 따라, 또한 제 2 방정식에 대해 y 방향을 따라 1D FFT를 통해 구현될 수 있다.
그 후, q와 F 간의 관계는 다음과 같다:
이는 xy 평면에서 2D FFT들을 통해 구현될 수 있다.
이제, E와 F 간의 관계 및 q와 F 간의 관계는 모두 유한 로랑 규칙에 따른 컨볼루션 연산자들을 가지며, 이는 1D 및 2D FFT들(의 조합)에 의해 구현될 수 있기 때문에 그 매트릭스-벡터곱들을 효율적이게 한다. 이에 따라, E 대신에 벡터장(F)에 대한 체적 적분 방정식이 해결되며, 추가 후처리 단계를 통해 방정식 (2.36) 내지 (2.38)로부터 전기장(E)이 얻어진다. 종래 절차와 비교하여 이 절차의 변화는, 이제 하나(q에 대해서만)가 아닌 두 연산(즉, E에 대한 하나와 q에 대한 하나) 및 후처리 단계가 사용된다는 것이다. 하지만, 본 발명의 실시예들에 따른 새로운 절차의 이 두 연산들은 종래 절차의 단일 연산보다 훨씬 더 효율적인 구현을 갖는다.
2.4 법선-벡터장 공식화
앞선 수정된 Li 규칙들의 설명은, FFT들을 통한 낮은 연산 복잡도가 콘트라스트 함수의 지오메트리 형태에 다소 엄격하다는 것을 나타낸다. 그러므로, FFT들이 필드-재료 상호작용 방정식들의 주 연산을 유지하는 체계를 발견하는 것이 가장 중요하다. 문서 [6]에서 적절한 시작 지점이 발견된다. 거기서 제안된 개념들 중 하나는, 유전율 함수의 지오메트리에서 에지들 및 코너들에 대응하는 격리된 지점들 또는 라인들의 가능한 제외와 함께, 어디에서든지 연속적인 보조 벡터장의 도입이다. 이는 (다른) 중간 연속 벡터장(F)이 도입되었던 앞선 부분에서의 상황과 유사하며, 이는 유한 로랑 규칙의 형태로 우수한 수렴을 갖는 컨볼루션들을 허용하였다. 하지만, 중요한 차이는 [6]이 선형 시스템을 해결하기 위해 보조 벡터장을 이용하지 않고, 그 대신 선형 시스템을 해결하는 기저로서 E를 이용한다는 것이다.
스펙트럼 도메인에서 컨볼루션들의 형태로, 연속적인 벡터장(F)에 대해 콘트라스트 전류 밀도 J(또는 q) 및 한편으로는 전기장(E)에 관한 방정식들의 일 세트를 설정하는 것이 가능하다. F가 연속적이기 때문에, 이에 대한 컨볼루션들은 유한 로랑 규칙의 형태를 취하므로 FFT들에 의해 실행될 수 있다. 이러한 방식으로, F가 시스템을 해결하는 알려지지 않은 기본(fundamental)인 방정식들의 일 세트에 도달하고, 추가적인 후처리 단계에 의해 전기장 및/또는 콘트라스트 전류 밀도가 얻어지며, 이로부터 구성의 원하는 산란 특성들, 예를 들어 반사 계수들이 유도될 수 있다.
서론의 설명으로부터, F와 J 간의 관계는 한편으로는 F, 및 다른 한편으로는 D와 E 간의 관계로부터 나타난다. [6]의 표기법에서, 개념은 다음의 관계들을 확립하기 위한 것이다:
벡터장(F)은 전기장의 필드 성분들 및 전기 플럭스 밀도의 성분들의 조합으로부터 구성된다. 재료 계면에서 경계 조건들로부터, 재료 계면들의 코너들 및 에지들에 대응하는 지점들 및 라인들의 가능한 제외와 함께, 전기장의 접선 성분들 및 전기 플럭스 밀도의 법선 성분들이 연속적이라는 것을 알 수 있다. E 및 D의 이 연속적인 성분들을 필터링하기 위해, 실수치의 법선-벡터장이 도입된다. 이 법선-벡터장 n(x,y,z)은 다음의 특성들을 갖는다:
* 모든 재료 계면에 대해 직교를 가리키고 있다.
* 공간 내의 모든 지점에서 단위 길이를 갖는다.
이 외에는, 이 벡터장을 정의하는 다른 제한 조건들이 존재하지 않지만, 연속성의 몇몇 형태와 같은 다른 특성들을 포함하는 것이 편리하다.
벡터장(n)은 연속적인 스칼라장 Dn=(n,D)- 이때, (.,.)는 스칼라곱을 표시함 -을 유도하는 전기 플럭스 밀도의 불연속적인 성분을 필터링하는데 사용될 수 있다. 또한, 법선-벡터장으로부터 2 개의 소위 접선-벡터장(t 1 및 t 2)을 발견할 수 있으며, 이는 n과 함께 3D 공간 내의 모든 지점에서 직교 기저를 형성한다. 예를 들어, 법선-벡터장(t 1)의 x 및 y 성분들인 nx 및 ny가 다음과 같이 구성될 수 있게 한다:
이때, u x 및 u y는 각각 x 및 y 방향을 따르는 단위 벡터들을 나타낸다. 최종적으로, 벡터장 t 2는 n과 t 1 간의 외적을 통해 생성된다.
접선-벡터장들은 다음과 같이 전기장의 연속 성분들을 끌어내는데 사용될 수 있다:
[6]에 따라, 이제 다음과 같이 연속적인 벡터장(F)을 구성한다:
법선-벡터장(n)은 다음과 같이 연산자 Pn의 정의를 발생시킨다:
이때, v는 임의의 3D 벡터장이다. 법선-벡터장(n)의 특성들로부터, Pn이 프로젝션 연산자이므로 멱등원이라는 것, 즉 PnPn=Pn이 관찰된다. 이와 유사하게, 다음과 같이 연산자 PT를 도입할 수 있다:
이 또한 프로젝션 연산자이다. 이제, 이 연산자들 Pn 및 PT가 벡터장(F)으로부터 방정식(2.40)에서 연산자들을 구성하기 위해 어떻게 사용될 수 있는지를 나타낼 것이다.
한편으로는 전기장과 전기 플럭스 밀도 간의 공간-도메인 관계들, 및 다른 한편으로는 벡터장(F)의 정의로부터 시작한다. 다음과 같은 식이 주어진다:
이때, Mε은 일반적으로 이방성인 유전율 텐서(ε)를 곱하는 곱셈 연산자이며, 
은 유전율 함수의 (점별) 역을 곱하는 곱셈 연산자이다.
먼저, E와 F 간의 관계를 확립한다. 그 후, 다음과 같이 주어진다:
후자의 방정식을 재배열하고, Pn의 멱등성을 사용한 후, 다음 식이 얻어진다:
이제, 앞선 방정식에서 방정식의 양측이 연산자 Pn의 범위에 속한다는 것이 관찰된다. 프로젝션 연산자들의 한가지 중요한 특성은, 프로젝션 연산자들이 그 멱등성으로 인해 그 범위 상에서 항등 연산자와 특유하게 동일시된다는 것이다. 그러므로, Pn의 범위에서 Pn의 범위까지의 맵핑으로서 왼 측을 제한하는 경우- 이는 Pn이 E에 작용하는 연산자의 양측에서 나타나기 때문에 가능함 -, 다음 식에 도달하도록 왼 측의 연산자를 인버트할 수 있다:
이때, (PnMεPn)-1은 Pn의 범위 상에서 (PnMεPn)의 역이며, 즉 (PnMεPn)-1(PnMεPn)=Pn이다. 역 연산자의 존재는 아래에서 확립될 것이다.
이에 따라, 방정식(2.40)에서의 선형 연산자 Cε가 다음과 같이 주어진다:
유사한 방식으로, 전기 플럭스 밀도와 벡터장(F) 간의 관계가 유도될 수 있다:
제 2 방정식에서, 이제 E를 제거하기 위해 방정식(2.54)를 이용할 수 있다: 즉,
이에 따라,
이 지점에서, (PnMεPn)- 1를 제외할 수 있는 모든 연산자들, 즉 Pn, PT 및 Mε이 공간 도메인에서 점별 곱셈 연산자들인 것을 아는 것이 중요하다. 또한, 유전율 프로파일에서의 점프들은 법선-벡터장에서의 (가능한) 점프들과 동일한 위치에서 발생하지 않는다. 하지만, 1 이상의 프로젝션 연산자(즉, Pn 및/또는 PT) 또는 1 이상의 재료 연산자(예를 들어, Cε 및 Mε)가 수반되는 곱에서, 동시 점프들이 발생할 수도 있다. 또한, 프로젝션 연산자들의 공간 멱등성 특성들은 유한 푸리에 급수 확장에서 유지되지 않는다. 그러므로, 모든 멱등성 특성들은 연산자들이 푸리에 도메인에서 구성되기 전에 공간 도메인에서 결정된다. 이를 달성하는 가장 간단한 방식은, 곱셈 연산자들의 각각의 조합(곱)이 다시 곱셈 연산자라는 것을 실현하는 것이다. 그러므로, 총 연산자 Cε 및 연산자 εCε에서의 각 항에 대한 단일 곱셈 연산자를 구성하여야 한다. 일단 이것이 달성되면, 공간 도메인에서의 각각의 곱셈 연산자는 스펙트럼 도메인에서의 컨볼루션 연산자가 되고, 이는 모두 연속적인 벡터장(F) 상에서 작용하기 때문에 유한 로랑 규칙에 의해 구현될 수 있다.
2.4.1 연산자 (PnMεPn)-1
이제 연산자 (PnMεPn)-1에 대해 생각해 본다. 이것이 점별 곱셈 연산자이라는 것을 나타내고, 이에 대한 표현을 유도할 것이다.
프로젝션 연산자 Pn의 정의로부터, (n,εn)이 스칼라곱이라는 사실로 인해- 이는 유전율 함수의 에너지 특성들로 인해 결코 0이 아니며, 즉 모든 가능한 전기장 E에 대한 (E,ε* E *)이 전력 밀도임 -, 다음과 같이 쉽게 유도될 수 있다:
그러므로, 스칼라장의 역이 (n,εn)-1=1/(n,εn)=ξ로 간단히 주어진다. 이에 따라,
2.4.2 등방성 경우에 대한 법선-벡터장 공식화
등방성 매질의 경우, 연산자 Mε는 스칼라 곱셈이며, 이로 인해 한편으로는 연산자들 Pn 및 PT, 및 다른 한편으로는 Mε가 대체된다. 또한, 연산자 (PnMεPn)-1=PnMl/ε=Ml /εPn이며, 이때 Ml /ε는 ε의 (스칼라) 역에 의한 곱셈이다. 이 관찰들로부터, 연산자 Cε는 다음과 같다:
또한, 연산자 εCε는 다음과 같다:
2.4.3 이진 격자에 대한 법선-벡터장 공식화
이진 격자는 그 전체 높이에 걸쳐 균일한 단면을 갖는 격자이다. z가 매질 성층화의 방향이고, 격자가 구간 z ∈ [zl,zh]에서 정의된다고 가정하면, 상기 구간 내에서 격자 구조체의 유전율 함수는 x 및 y만의 함수이다(도 15 참조). 구간 z ∈ [zl,zh]에 한정되는 z에서의 공간 이산화 또는 스펙트럼 이산화를 사용하는 경우, z 방향 전체를 따라 단위 벡터에 평행한 접선-벡터장들 중 하나가 선택될 수 있다. 법선-벡터장 및 제 2 접선-벡터장은 본질적으로 2-차원 벡터장들이며, 즉 z 방향에 수직이고 x 및 y 좌표들에만 의존한다. 일단 법선-벡터장이 결정되면, 법선-벡터장과 z 방향으로의 단위 벡터 간의 외적으로부터 제 2 접선-벡터장이 유도된다. 이에 따라, 법선 및 접선 벡터장들을 생성하는 문제는 법선-벡터장만을 생성하는 것으로 축소된다. 또한, 필드-재료 상호작용의 연산은 xy 평면에서의 2D 컨볼루션의 형태를 취하며, 이는 z 방향에 대해 분리된다. 법선-벡터장은 많은 방식들로 생성될 수 있다. RCWA와 관련하여 [7,8]에서 제안들이 주어진다.
2.4.4 예시: 등방성 이진 격자에 대한 필드-재료 상호작용 매트릭스의 계수들
x ∈ [-a/2,a/2], y ∈ [-b/2,b/2]인 직사각형 단위 셀을 고려한다. 구간 z ∈ [z0,z1]에 대해, 유전율 함수가 ε(x,y)로 주어진다. 또한, nx(x,y) 및 ny(x,y)가 법선-벡터장의 x 및 y 성분들이고, t1x(x,y)=-ny(x,y), t1y(x,y)=nx(x,y), 및 t 2=u z라 하자. 이 경우에 대해, 방정식(2.62)을 참조하면 다음과 같은 연산자 방정식이 주어진다:
이때, 컨볼루션 연산자들 C..의 계수들은 다음과 같이 주어진다:
또한, I는 항등 연산자를 나타낸다.
2.4.5 계단식 격자에 대한 법선-벡터장 공식화
격자 구조체가 성층화의 방향, 즉 z 방향으로 계단 근사에 의해 기하학적으로 접근될 수 있다(도 16 참조). 이는 z 방향으로 중복없는(disjoint) 구간들(슬라이스들)의 시퀀스가 선택되고, 이 구간들 각각에 대해 z 방향에 독립적인 유전율 함수에 의해 유전율 함수에 접근한다는 것을 의미한다. 이때, 구간들 각각에 한정되는 이산화를 이용함으로써, 이진 격자들의 시퀀스에 도달하고, 이를 위해 앞서 2.4.3 부분에서 나타낸 절차가 적용될 수 있으며, 즉 각각의 슬라이스에 대한 법선-벡터장을 생성하고 각각의 슬라이스에 대한 필드-재료 상호작용 연산자를 형성한다- 이들은 모두 본질적으로 2-차원임 -.
2.5 컨볼루션 구조체를 유지하는 수정된 Li 규칙들 및 법선-벡터장 공식화에 대한 대안예들
앞선 설명들에서, 스펙트럼 기저에서 정확성을 유지하면서 필드-재료 상호작용들에 대한 효율적인 매트릭스-벡터곱을 구성하도록 소위 k-공간 리프만-슈윙거 방정식들이 수정되었다. 이는 E로 나타낸 전기장에 대해 일대일 대응을 갖는 보조 벡터장(F)을 도입함으로써 달성되어, F가 연산된 후 거의 추가 연산들 없이 E가 얻어지게 한다. 본질적으로, 다음 형태의 방정식들의 일 세트가 유도되었다:
이때, E i는 입사 필드를 나타내고, G는 성층화된 백그라운드 매질의 그린 함수의 매트릭스 표현을 나타내며, Cε 및 (εCε)은 FFT들의 형태로 효율적인 매트릭스-벡터곱들에 대응한다.
앞선 경우에서, F와 E 간의 일대일 대응은 컴팩트(compact)하고 효율적인 형식주의를 허용한다. 하지만, 효율적인 매트릭스-벡터곱들과 함께 높은 정확성을 달성하는 다른 방식이 존재한다. 이 대안예들을 더 탐구하고 기록하는 것이 이 부분의 목적이다. 기존 형식주의는 E와 보조 벡터장(F) 간의 일대일 대응을 포기(drop)함으로써 확장될 수 있다. 이는, 예를 들어 2.5.2 부분에서 나타나는 바와 같이, 예를 들어 전기장(E)에 존재하는 것보다 더 많은 자유도를 보조 벡터장(F)에 도입하는 경우이다. 추가 측정 없이, 벡터장(F)에 대한 선형 방정식들의 결과적인 세트가 불충분하게 결정(underdetermine)될 것이며, 이에 따라 F는 유일하지 않고, 이는 전형적으로 많은 수의 반복 또는 반복 공정의 붕괴를 초래할 것이기 때문에, 전형적으로 반복 솔버들이 사용되는 경우에 바람직하지 않다. 이 상황을 극복하기 위해, F, E, 및/또는 J 간의 선형 제약들의 추가 세트가 허용된다. 이 이론적 설명을 이용하여, 다음과 같이 수정된 리프만-슈윙거 방정식들의 일반화된 세트에 도달한다:
이때, 앞선 매트릭스 방정식에서의 연산자들 각각이 예를 들어 FFT들에 의해 효율적인 매트릭스-벡터곱 구현을 허용한다.
2.5.1 랄란느에 의한 규칙들
2D 주기성을 갖는 주기 구조체들에 대하여 Li에 의해 유도된 규칙들에 앞서, 랄란느[5]는 유전율 매트릭스 Mε([5]에서 E로서 표시됨) 및 역-유전율 매트릭스의 인버스 매트릭스(Minv (ε))-1([5]에서 P-1로서 표시됨)에 대한 가중-평균 공식을 제안하였다. 이 작용 방식에 대해, 전기장(E) 및 보조 벡터장(F)의 조합이 이용될 수 있다. 후자의 벡터장은, 콘트라스트 전류 밀도(J) 또는 그 스케일된 카운터파트(q)를 연산하는 고속 매트릭스-벡터곱을 달성하기 위해 (Minv (ε))- 1와 E 간의 곱에 직면하는 지점들에 도입된다.
이때, F는 다음을 만족한다:
Mε 및 Minv (ε)는 모두 FFT들을 통해 효율적인 매트릭스-벡터곱 구현들을 갖는다.
방정식 (2.73) 및 (2.74)의 결과는 방정식 (2.72)의 형태로 더 큰 선형 시스템으로서 구현될 수 있다. 거기에서, 연산자들 I 및 G를 수반하는 방정식들의 제 1 세트가 초기 상태로 유지된다. 방정식들의 제 2 세트는 한편으로는 J 및 다른 한편으로는 E 및 F 간의 관계(2.73)를 드러내며, 즉 C11=jωα(Mε-εbI), C12=-I, 및 C13=jω(1-α)I이다. 그 후, 방정식들의 제 3 세트는 방정식 (2.74)에서와 같이 E 및 F와 관련되며, 즉 C21=-I, C22=0, 및 C23=Minv (ε)이다. 최종적으로, C31, C32, C33를 수반하는 방정식들의 최종 세트 및 오른 측의 최종 열은 존재하지 않을 것이다. 이는 벡터장(F)의 근사해를 결정하기 위해, 벡터장(F)- 이는 전자기장(E)에 관련되고, 또한 이와 상이함 -에 대한 체적 적분 방정식을 수치적으로 해결하는 단계를 포함함으로써 구조체의 전자기 산란 특성들을 계산하는 단계에서 구현될 수 있다. 본 명세서에서, 벡터장(F)은 가역적인 연산자 Minv (ε)에 의해 전기장(E)과 관련된다.
2.5.2 연쇄된 Li 규칙들
교차된 격자들에 대해, Li는 대응하는 상호작용 매트릭스가 (블록) 토플리츠 및 인버스 (블록) 토플리츠 매트릭스들의 곱들의 합들로 구성되는 경우에, 필드-재료 상호작용이 스펙트럼 기저에서 더 우수하게 캡처된다는 것을 나타내었다. (블록) 토플리츠 매트릭스들은 FFT들의 형태로 효율적인 매트릭스-벡터곱들을 허용하지만, 인버스 토플리츠 매트릭스들은 토플리츠 형태를 갖지 않는다. 그러므로, 보조 벡터장들의 개념을 확장함으로써, (블록) 토플리츠 매트릭스들의 역도 고려하는 효율적인 매트릭스-벡터곱에 도달하기 위해 제약들과 함께 추가적인 보조 필드들이 도입될 수 있다.
이진 격자에 대한 등방성 매질들의 경우를 고려한다. 그때, Li 규칙들은 횡단면, 즉 xy 평면에서의 필드 성분들에 대해서만 수정들을 필요로 한다. 단일 직사각형 블록의 경우와 유사한 상황이지만, 이제 인접할 수 있거나 인접하지 않을 수 있는 다수의 블록들 외부에서 유전율 함수가 형성된다. 특히, 유전율 함수 및 대응하는 역 유전율 함수가 다음과 같이 기록된다:
이때, Πα β는 부호 α와 연계된 전체 구간 상의 지지체를 갖는 β 방향으로의 펄스 함수이다. x 방향으로 I 구간들이 존재하고, y 방향으로 J 구간들이 존재한다. 또한, χi,j는 함수 Πi x(x)Πj y(y)의 지지체에 대한 연속적인 스칼라 함수들이고, 
이다.
전기장 및 전기 플럭스의 x 성분들에 대한 관계 Ex=ε-1Dx로부터, 다음 식이 얻어진다:
이때, Li의 추론 방향에 따르면 Πi xDx는 푸리에 공간에서 분해가능하지만, Πj yDx는 분해가능하지 않다. 함수들 Πα β은 프로젝션 연산자들로서 해석될 수 있기 때문에, 다음이 사용될 수 있다.
I는 항등 연산자이고, A i는 서로 직교인 프로젝션 연산자들 Pi와 대체되는 유한(bounded) 연산자들의 시퀀스라 하면, 연산자 
는 유한 역 
를 가지며, 이때 
이다.
증명은 대수를 구하고, 프로젝션 연산자들의 멱등성을 고려함으로써 이루어진다.
이 결과를 이용하여, 이제 다음과 같이 전기장 성분의 항으로 전기 플럭스 성분을 표현할 수 있다:
이때, A i 및 B i의 P i와의 대체 특성이 사용되었다.
유사하게, y 성분들에 대해서 다음과 같다:
이제, 전기장의 성분들에 대해 직접 작용하는 인버스 매트릭스 연산자들이 수행된 후에, 곱셈 연산자들 각각이 푸리에 분해가능하다. 이 관계들로부터, 통상의 방식으로 콘트라스트 전류 밀도를 유도할 수 있다.
앞선 관계들로부터, x 및 y 방향을 따르는 모든 구간이 역 연산자, 즉 총 I+J 역들을 야기한다는 것이 명백해진다. 이 역들 각각은, 2.3 부분에서의 단일 브릭의 경우에서와 같이 역 연산자들을 수반하는 중간 매트릭스-벡터곱에 보조 변수들(벡터장들)을 도입하는 경우에 회피될 수 있다. 이러한 방식으로, 더 많은 변수들을 대가로 FFT들의 형태에서 매트릭스-벡터곱의 효율성이 보존된다. 이는, 특히 I 및 J가 1보다 더 큰 경우인데, 이는 역들 각각이 보조 변수들의 양을 증가시켜 총 매트릭스-벡터곱의 크기를 증가시키기 때문이다.
2.5.3 Li 규칙들에서 역 연산자들의 수 감소시키기
2.5.2 부분의 결과는, 각각의 프로젝션 연산자 Πα β가 새로운 보조 벡터장을 도입한다는 것이며, 이는 이 절차를 몇몇 프로젝션 연산자들보다 더 많이 필요로 하는 지오메트리들에 대해 다소 비효율적이게 한다. 이에 따라, 이 방법의 기하학적 유연성을 떨어뜨리지 않고, 계단 방법이 초기에 도입되는 것보다 더 적은 프로젝션 연산자들과 작용하는 방식이 존재하는지 의문이 발생한다.
더 적은 프로젝션 연산자들을 수반하는 합으로서 방정식 (2.75)을 다시 기록하는데, 즉 다음의 식을 다시 기록하기 위해 주된 노력이 존재한다:
유명한 "4색 문제"가 반영되며, 이는 평탄한 맵으로 하여금 4 개의 상이한 색들로만 채색되게 하여, 맵의 2 개의 인접한 영역이 동일한 색을 갖지 않게 한다. 이 경우, 상황은 어느 정도 유사하다: 인접한 지지체를 갖는 프로젝션 투영자들이, 곱하기 함수들 
이 서로 연결되는 경계를 가로질러 연속적인 경우에만 통합될 수 있다. 일반적으로, 이러한 제약들은 지오메트리에 의해 충족되지 않는다. 그러므로, 인접한 지지체들을 갖지 않는 프로젝션 연산자들을 통합하도록 집단화(grouping)를 도입한다. 이는 통합된 프로젝션 연산자들의 지지체에 대한 곱하기 함수들 
에 일치하는 연속적인 곱셈 연산자들을 구성하게 한다.
우선 1 차원에서 이를 입증한다. x 방향으로의 (주기적인) 구간이 [0,a]로서 주어지고, 이 구간들은 세그먼트들의 결합이 주기적인 구간 [0,a]에 걸치고 세그먼트들은 이 구간을 따르는 위치에 따라 인덱스되도록 짝수의 중복없는 세그먼트들 S i i=0,...,2I로 분할되며, 즉 세그먼트 Si -1은 세그먼트 Si로 진행한다. 그때, 역 유전율 함수는 다음과 같이 기록될 수 있다:
이때, Πi(x)의 지지체는 i번째 세그먼트에 대응한다.
이제, 다음과 같은 (서로 직교인) 홀수 및 짝수 프로젝션 연산자들을 도입한다:
또한, (스칼라) 함수들 fo(x) 및 fe(x)를 도입한다. 이 함수들은 구간 [0,a] 상에서 연속적이고, 주기적인 연속성을 가지며- 즉, fo(0)=fo(a) 및 fe(0)=fe(a) -, k=1,...,I에 대해 다음을 만족시킨다:
짝수 및 홀수 프로젝션 연산자들이 인접한 지지체를 갖는 투영 연산자들과 통합되지 않는다는 사실로 인해, 예를 들어 짝수 및 홀수 프로젝션 연산자들의 지지체 외부의 세그먼트들에 대한 선형 보간을 통해 함수들 fo 및 fe이 연속적인 함수로서 구성될 수 있다. 이에 따라, 역 유전율 함수가 다음과 같이 기록될 수 있다:
이제, 이 개념이 2 차원들, 즉 격자 구조체의 횡단면으로 확장된다. 차원마다 짝수의 세그먼트들을 갖는 데카르트곱 그리드 상의 x 및 y 방향으로의 (서로 직교인) 짝수 및 홀수 프로젝션 연산자들이 도입된다. 또한, foo(x,y), foe(x,y), feo(x,y), 및 fee(x,y)로 나타내는 주기적인 도메인 [0,a]×[0,b] 상의 4 개의 주기적으로 연속적인 스칼라 함수들이 도입된다. 이 함수들은 곱해질 수 있는 프로젝션 연산자들의 지지체 외부에서 양-선형 보간들에 의해 구성될 수 있다. 절차는 도 17에서 입증된다.
그 후, 역 유전율 함수가 다음과 같이 기록될 수 있다:
이는 (색) 관련된 4 개의 2-차원 프로젝션 연산자들만이 존재한다는 것을 나타낸다.
2.5.2 부분에서 개략적으로 설명된 방법에 따라, 다음의 Li 규칙:
및 Dy와 Ey 간의 관계에 대한 유사한 표현에 도달한다.
절차를 완성하기 위해, 다음을 만족시키는 x 성분들:
및 y 성분들에 대해 유사한 관계를 갖는 2 개의 보조 필드 Fe 및 Fo가 도입된다. 이 조건들을 이용하여, 최종적으로 다음 식이 얻어지며, y 성분들에 대해 유사한 관계를 갖는다:
앞선 부분에서의 역 연산자들과는 대조적으로, F 및 E와 연계된 연산자들이 2-차원 특징을 갖는다는 것을 유의한다. 그럼에도 불구하고, 모든 연산자들은 이제 2D(또는 반복된 1D) FFT들을 통해 효율적인 매트릭스-벡터곱 구현을 갖는 곱셈 연산자들이다.
본 명세서에서는, IC 제조에 있어서 리소그래피 장치의 특정 사용예에 대하여 언급되지만, 본 명세서에 서술된 리소그래피 장치는 집적 광학 시스템, 자기 도메인 메모리용 안내 및 검출 패턴, 평판 디스플레이(flat-panel display), 액정 디스플레이(LCD), 박막 자기 헤드 등의 제조와 같이 다른 적용예들을 가질 수도 있음을 이해하여야 한다. 당업자라면, 이러한 대안적인 적용예와 관련하여, 본 명세서의 "웨이퍼" 또는 "다이"라는 용어의 어떠한 사용도 각각 "기판" 또는 "타겟부"라는 좀 더 일반적인 용어와 동의어로 간주될 수도 있음을 이해할 것이다. 본 명세서에서 언급되는 기판은 노광 전후에, 예를 들어 트랙(전형적으로, 기판에 레지스트 층을 도포하고 노광된 레지스트를 현상하는 툴), 메트롤로지 툴 및/또는 검사 툴에서 처리될 수 있다. 적용가능하다면, 이러한 기판 처리 툴과 다른 기판 처리 툴에 본 명세서의 기재 내용이 적용될 수 있다. 또한, 예를 들어 다층 IC를 생성하기 위하여 기판이 한번 이상 처리될 수 있으므로, 본 명세서에 사용되는 기판이라는 용어는 이미 여러번 처리된 층들을 포함한 기판을 칭할 수도 있다.
앞서 설명된 본 발명의 실시예들에 따른 방법들은, 도 5를 참조하여 앞서 설명된 바와 같이 방사선에 의한 대상물의 조명으로부터 발생하는 회절 패턴과 같은 검출된 전자기 산란 특성으로부터의 대상물(1D-주기에 제한되지 않음)의 근사 구조체를 재구성하는 포워드 회절 모델로 통합될 수 있다. 도 3 및 도 4를 참조하여 앞서 설명된 처리 유닛(PU)은 이 방법을 이용하여 대상물의 근사 구조체를 재구성하도록 구성될 수 있다.
이상, 광학 리소그래피와 관련하여 본 발명의 실시예들의 특정 사용예를 언급하였지만, 본 발명은 다른 적용예들, 예를 들어 임프린트 리소그래피에 사용될 수 있으며, 본 명세서가 허용한다면 광학 리소그래피로 제한되지 않는다는 것을 이해할 것이다. 임프린트 리소그래피에서, 패터닝 디바이스 내의 토포그래피(topography)는 기판 상에 생성된 패턴을 정의한다. 패터닝 디바이스의 토포그래피는 전자기 방사선, 열, 압력 또는 그 조합을 인가함으로써 레지스트가 경화되는 기판에 공급된 레지스트 층으로 가압될 수 있다. 패터닝 디바이스는 레지스트가 경화된 후에 그 안에 패턴을 남기는 레지스트로부터 이동된다.
본 명세서에서 사용된 "방사선" 및 "빔"이라는 용어는 (예를 들어, 365, 355, 248, 193, 157 또는 126 nm, 또는 그 정도의 파장을 갖는) 자외(UV) 방사선 및 (예를 들어, 5 내지 20 nm 범위 내의 파장을 갖는) 극자외(EUV) 방사선뿐만 아니라, 이온 빔 또는 전자 빔과 같은 입자 빔을 포함하는 모든 형태의 전자기 방사선을 포괄한다.
본 명세서가 허용하는 "렌즈"라는 용어는, 굴절, 반사, 자기, 전자기 및 정전기 광학 구성요소들을 포함하는 다양한 형태의 광학 구성요소들 중 어느 하나 또는 그 조합으로 언급될 수 있다.
"전자기"라는 용어는 전기 및 자기를 포괄한다.
"전자기 산란 특성들"이라는 용어는 반사 및 투과 계수들, 및 (파장의 함수로서 세기와 같은) 스펙트럼, 회절 패턴들(위치/각도의 함수로서 세기), 및 횡자기- 및 횡전기-편광의 상대 세기 및/또는 횡자기- 및 횡전기-편광 간의 위상 차를 포함한 스케터로메트리 측정 파라미터들을 포괄한다. 회절 패턴들 자체는, 예를 들어 반사 계수들을 이용하여 계산될 수 있다.
따라서, 본 발명의 실시예들은 반사 산란에 관하여 설명되지만, 본 발명은 투과 산란에도 적용가능하다.
이상, 본 발명의 특정 실시예가 설명되었지만 본 발명은 설명된 것과 다르게 실시될 수 있다는 것을 이해할 것이다. 예를 들어, 본 발명은 앞서 개시된 바와 같은 방법을 구현하는 기계-판독가능한 명령어의 1 이상의 시퀀스를 포함하는 컴퓨터 프로그램, 또는 이러한 컴퓨터 프로그램이 저장되어 있는 데이터 저장 매체(예를 들어, 반도체 메모리, 자기 또는 광학 디스크)의 형태를 취할 수 있다.
다음의 참고문헌들은 모두 본 명세서에서 그 전문이 인용참조된다.
[1] M. C. van Beurden and B. P. de Hon. Electromagnetic modelling of antennas mounted on a bandgap slab - discretisation issues and domain and boundary integral equations. In R. D. Graglia, editor, Proceedings of the International Conference on Electromagnetics in Advanced Applications ICEAA '03, pages 637-640. Politecnico di Torino, 2003.
[2] Yia-Chung Chang, Guangwei Li, Hanyou Chu, and Jon Opsal. Efficient finite-element, Green's function approach for critical-dimension metrology of three-dimensional gratings on multilayer films. J. Opt. Soc. Am. A, 23(3):638-6454, 2006년 3월.
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[6] Evgeny Popov and Michel Neviere. Maxwell equations in Fourier space: fast-converging formulation for diffraction by arbitrary shaped, periodic, anisotropic media. J. Opt. Soc. Am. A, 18(11):2886-2894, 2001년 11월.
[7] Thomas Schuster, Johannes Ruoff, Norbert Kerwien, Stephan Rafler, and Wolfgang Osten. Normal vector method for convergence improvement using the RCWA for crossed gratings. J. Opt. Soc. Am. A, 24(9):2880-2890, 2007년 9월.
[8] Peter Goetz, Thomas Schuster, Karsten Frenner, Stephan Rafler, and Wolfgang Osten. Normal vector method for the RCWA with automated vector field generation. OPTICS EXPRESS, 16(22):17295-17301, 2008년 10월.
결론
본 명세서의 요약 및 초록 부분(Summary and Abstract sectons)이 아닌, 발명의 상세한 설명 부분(Detailed Description section)이 청구항을 해석하는데 사용되도록 의도된다는 것을 이해하여야 한다. 요약 및 초록 부분은 1 이상을 설명할 수 있지만, 발명자(들)에 의해 의도된 본 발명의 모든 예시적인 실시예를 설명하지는 않으므로, 어떠한 방식으로도 본 발명 및 첨부된 청구항을 제한하지는 않는다.
이상, 본 발명은 명시된 기능들 및 그 관계들의 구현을 예시하는 기능 구성 요소(functional building block)들의 도움으로 설명되었다. 본 명세서에서, 이 기능 구성 요소들의 경계들은 설명의 편의를 위해 임의로 정의되었다. 명시된 기능들 및 그 관계들이 적절히 수행되는 한, 대안적인 경계들이 정의될 수 있다.
특정 실시예들의 앞선 설명은, 당업계의 지식을 적용함으로써, 다양한 적용들을 위해 본 발명의 일반적인 개념을 벗어나지 않고 지나친 실험 없이 이러한 특정 실시예들을 쉽게 변형하고, 및/또는 적합하게 할 수 있도록 본 발명의 일반적인 성질을 전부 드러낼 것이다. 그러므로, 이러한 응용예 및 변형예들은 본 명세서에 나타낸 교수 및 안내에 기초하여, 기재된 실시예들의 균등물의 의미 및 범위 내에 있도록 의도된다. 본 명세서에서, 어구 또는 전문 용어는 설명을 위한 것이며 제한하려는 것이 아니므로, 당업자라면 본 명세서의 전문 용어 또는 어구가 교수 및 안내를 고려하여 해석되어야 한다는 것을 이해하여야 한다.
본 발명의 범위와 폭은 상술된 예시적인 실시예들 중 어느 것에 의해서도 제한되지 않아야 하며, 다음의 청구항 및 그 균등물에 따라서만 정의되어야 한다.
Claims (52)
- 구조체의 전자기 산란 특성들을 계산하는 방법에 있어서,
상기 구조체는 적어도 1 이상의 방향으로 주기적이고, 재료 경계에서 전자기장에서 불연속을 야기하는 상이한 특성들의 재료들을 포함하며, 상기 방법은 벡터장의 근사해(approximate solution)를 결정하기 위해, 기저변환(change of basis)에 의해 상기 전자기장과 관련되는 상기 벡터장- 상기 벡터장은 상기 재료 경계에서 연속적임 -에 대한 체적 적분 방정식을 수치적으로 해결하는 단계를 포함하는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 1 항에 있어서,
상기 전자기 산란 특성들은 반사 계수들을 포함하는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 1 항 또는 제 2 항에 있어서,
상기 전자기장은 입사 및 산란 전자기장 성분들 전체를 포함하는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 1 항에 있어서,
상기 벡터장은 상기 적어도 1 이상의 방향에 대해 적어도 1 이상의 유한 푸리에 급수로 표현되고, 상기 체적 적분 방정식을 수치적으로 해결하는 단계는 컨볼루션-및-기저변환 연산자(convolution-and-change-of-basis operator)와 상기 벡터장의 컨볼루션에 의해 상기 전자기장의 성분을 결정하는 단계를 포함하는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 4 항에 있어서,
상기 컨볼루션-및-기저변환 연산자와 상기 벡터장의 컨볼루션은 FFT(fast Fourier transform) 및 NTT(number-theoretic transform)를 포함한 일 세트로부터 선택된 변환을 이용하여 수행되는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 4 항 또는 제 5 항에 있어서,
상기 컨볼루션-및-기저변환 연산자(C)는 상기 적어도 1 이상의 방향으로 상기 구조체의 재료 및 기하학적 특성들을 포함하고, 상기 재료 및 기하학적 특성들에 따라 기저변환을 수행함으로써 상기 벡터장을 상기 전자기장으로 변환하도록 구성되는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 4 항 내지 제 6 항 중 어느 한 항에 있어서,
상기 컨볼루션-및-기저변환 연산자는 유한 이산 컨볼루션(finite discrete convolution)에 따라 작용하는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 4 항 내지 제 6 항 중 어느 한 항에 있어서,
상기 체적 적분 방정식을 수치적으로 해결하는 단계는 컨볼루션 연산자와 상기 벡터장의 컨볼루션에 의해 전류 밀도를 결정하는 단계를 포함하는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 8 항에 있어서,
상기 컨볼루션 연산자와 상기 벡터장의 컨볼루션은 FFT(fast Fourier transform) 및 NTT(number-theoretic transform)를 포함한 일 세트로부터 선택된 변환을 이용하여 수행되는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 8 항 또는 제 9 항에 있어서,
상기 컨볼루션 연산자는 상기 적어도 1 이상의 방향으로 상기 구조체의 재료 및 기하학적 특성들을 포함하는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 8 항 내지 제 10 항 중 어느 한 항에 있어서,
상기 컨볼루션 연산자는 유한 이산 컨볼루션에 따라 작용하는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 8 항 내지 제 11 항 중 어느 한 항에 있어서,
상기 전류 밀도는 콘트라스트(contrast) 전류 밀도인 전자기 산란 특성 방법. - 제 8 항 내지 제 12 항 중 어느 한 항에 있어서,
상기 전류 밀도는 상기 적어도 1 이상의 방향에 대해 적어도 1 이상의 유한 푸리에 급수로 표현되는 전자기 산란 특성 방법. - 제 13 항에 있어서,
상기 체적 적분 방정식을 수치적으로 해결하는 단계는 그린 함수(Green's function) 연산자와 상기 전류 밀도의 컨볼루션에 의해 산란 전자기장을 결정하는 단계를 더 포함하는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 14 항에 있어서,
상기 그린 함수 연산자와 상기 전류 밀도의 컨볼루션은 FFT(fast Fourier transform) 및 NTT(number-theoretic transform)를 포함한 일 세트로부터 선택된 변환을 이용하여 수행되는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 1 항 내지 제 15 항 중 어느 한 항에 있어서,
상기 벡터장은 상기 적어도 1 이상의 재료 경계에 접선인 상기 전자기장의 연속적인 성분들 및 상기 적어도 1 이상의 재료 경계에 법선인 전자기 플럭스 밀도의 연속적인 성분들을 필터링하기 위해 법선-벡터장을 이용함으로써 상기 전자기장의 필드 성분들과 대응하는 전자기 플럭스 밀도의 조합으로부터 구성되는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 1 항 내지 제 16 항 중 어느 한 항에 있어서,
컨볼루션-및-기저변환 연산자와 상기 벡터장의 근사해의 컨볼루션에 의해 상기 전자기장을 결정하는 단계를 더 포함하는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 17 항에 있어서,
상기 컨볼루션은 FFT(fast Fourier transform) 및 NTT(number-theoretic transform)를 포함한 일 세트로부터 선택된 변환을 이용하여 수행되는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 방사선에 의한 대상물의 조명으로부터 발생하는 검출된 전자기 산란 특성으로부터 대상물의 근사 구조체(approximate structure)를 재구성하는 방법에 있어서:
적어도 1 이상의 대상물 구조체를 추정하는 단계;
상기 적어도 1 이상의 추정된 대상물 구조체로부터 적어도 1 이상의 모델 전자기 산란 특성을 결정하는 단계;
상기 적어도 1 이상의 모델 전자기 산란 특성과 상기 검출된 전자기 산란 특성을 비교하는 단계; 및
상기 비교의 결과에 기초하여 근사 대상물 구조체를 결정하는 단계;를 포함하고,
상기 모델 전자기 산란 특성은 구조체의 전자기 산란 특성들을 계산하는 방법을 이용하여 결정되며, 상기 구조체는 적어도 1 이상의 방향으로 주기적이고, 재료 경계에서의 전자기장에서 불연속을 야기하도록 상이한 특성들의 재료들을 포함하며, 상기 방법은 벡터장의 근사해를 결정하기 위해, 기저변환에 의해 상기 전자기장과 관련되는 상기 벡터장- 상기 벡터장은 상기 재료 경계에서 연속적임 -에 대한 체적 적분 방정식을 수치적으로 해결하는 단계를 포함하는 근사 구조체 재구성 방법. - 제 19 항에 있어서,
라이브러리(library)에 복수의 상기 모델 전자기 산란 특성들을 배치하는 단계를 더 포함하고, 상기 비교하는 단계는 상기 라이브러리의 컨텐츠들과 상기 검출된 전자기 산란 특성을 일치시키는 단계를 포함하는 근사 구조체 재구성 방법. - 제 19 항 또는 제 20 항에 있어서,
상기 적어도 1 이상의 대상물 구조체를 추정하는 단계, 적어도 1 이상의 모델 전자기 산란 특성을 결정하는 단계, 및 상기 검출된 전자기 산란 특성과 적어도 1 이상의 모델 전자기 산란 특성을 비교하는 단계를 반복하는 단계를 더 포함하고, 상기 적어도 1 이상의 대상물 구조체를 추정하는 단계는 이전의 반복에서 상기 비교하는 단계의 결과에 기초하는 근사 구조체 재구성 방법. - 대상물의 근사 구조체를 재구성하는 검사 장치에 있어서:
방사선으로 상기 대상물을 조명하도록 구성된 조명 시스템;
상기 조명으로부터 발생한 전자기 산란 특성을 검출하도록 구성된 검출 시스템; 및
프로세서- 상기 프로세서는
적어도 1 이상의 대상물 구조체를 추정하도록;
상기 적어도 1 이상의 추정된 대상물 구조체로부터 적어도 1 이상의 모델 전자기 산란 특성을 결정하도록;
상기 적어도 1 이상의 모델 전자기 산란 특성과 상기 검출된 전자기 산란 특성을 비교하도록; 및
상기 적어도 1 이상의 모델 전자기 산란 특성과 상기 검출된 전자기 산란 특성 간의 차로부터 근사 대상물 구조체를 결정하도록 구성됨 -;
를 포함하고,
상기 프로세서는 구조체의 전자기 산란 특성들을 계산하는 방법을 이용하여 상기 모델 전자기 산란 특성을 결정하도록 구성되며, 상기 구조체는 적어도 1 이상의 방향으로 주기적이고, 재료 경계에서의 전자기장에서 불연속을 야기하도록 상이한 특성들의 재료들을 포함하며, 상기 방법은 벡터장의 근사해를 결정하기 위해, 기저변환에 의해 상기 전자기장과 관련되는 상기 벡터장- 상기 벡터장은 상기 재료 경계에서 연속적임 -에 대한 체적 적분 방정식을 수치적으로 해결하는 단계를 포함하는 검사 장치. - 구조체의 전자기 산란 특성들을 계산하는 기계-판독가능한 명령어들의 1 이상의 시퀀스를 포함한 컴퓨터 프로그램 제품에 있어서,
상기 명령어들은 1 이상의 프로세서들이 구조체의 전자기 산란 특성들을 계산하는 방법을 수행하게 하며, 상기 구조체 적어도 1 이상의 방향으로 주기적이고, 재료 경계에서의 전자기장에서 불연속을 야기하도록 상이한 특성들의 재료들을 포함하며, 상기 방법은 벡터장의 근사해를 결정하기 위해, 기저변환에 의해 상기 전자기장과 관련되는 상기 벡터장- 상기 벡터장은 상기 재료 경계에서 연속적임 -에 대한 체적 적분 방정식을 수치적으로 해결하는 단계를 포함하는 컴퓨터 프로그램 제품. - 구조체의 전자기 산란 특성들을 계산하는 방법에 있어서,
상기 구조체는 적어도 1 이상의 방향으로 주기적이고, 재료 경계에서 전자기장의 불연속을 야기하도록 상이한 특성들의 재료들을 포함하며, 상기 방법은 벡터장의 근사해를 결정하기 위해, 상기 전자기장과 관련되고 이와 상이한 상기 벡터장에 대한 체적 적분 방정식을 수치적으로 해결하는 단계를 포함하는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 24 항에 있어서,
상기 벡터장은 가역적(invertible)인 연산자에 의해 상기 전자기장과 관련되는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 24 항 또는 제 25 항에 있어서,
상기 벡터장은 기저변환에 의해 상기 전자기장과 관련되고, 상기 벡터장은 상기 재료 경계에서 연속적인 전자기 산란 특성 계산 방법. - 구조체의 전자기 산란 특성들을 계산하는 방법에 있어서,
상기 구조체는 적어도 1 이상의 방향으로 주기적이고, 재료 경계에서 전자기장의 불연속을 야기하도록 상이한 특성들의 재료들을 포함하며, 상기 방법은 벡터장의 근사해를 결정하기 위해, 처리 디바이스를 이용하여 기저변환에 의해 상기 전자기장과 관련되는 상기 벡터장- 상기 벡터장은 재료 경계에서 연속적임 -에 대한 체적 적분 방정식을 수치적으로 해결하는 단계를 포함하는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 27 항에 있어서,
상기 전자기 산란 특성들은 반사 계수들을 포함하는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 27 항에 있어서,
상기 전자기장은 입사 및 산란 전자기장 성분들 전체를 포함하는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 27 항에 있어서,
상기 벡터장은 상기 적어도 1 이상의 방향에 대해 적어도 1 이상의 유한 푸리에 급수로 표현되고,
상기 체적 적분 방정식을 수치적으로 해결하는 단계는 컨볼루션-및-기저변환 연산자와 상기 벡터장의 컨볼루션에 의해 상기 전자기장의 성분을 결정하는 단계를 포함하는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 30 항에 있어서,
상기 컨볼루션-및-기저변환 연산자와 상기 벡터장의 컨볼루션은 FFT(fast Fourier transform) 또는 NTT(number-theoretic transform)를 포함한 변환을 이용하여 수행되는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 30 항에 있어서,
상기 컨볼루션-및-기저변환 연산자(C)는 상기 적어도 1 이상의 방향으로 상기 구조체의 재료 및 기하학적 특성들을 포함하고, 상기 재료 및 기하학적 특성들에 따라 기저변환을 수행함으로써 상기 벡터장을 상기 전자기장으로 변환하도록 구성되는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 30 항에 있어서,
상기 컨볼루션-및-기저변환 연산자는 유한 이산 컨볼루션에 따라 작용하는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 30 항에 있어서,
상기 체적 적분 방정식을 수치적으로 해결하는 단계는 컨볼루션 연산자와 상기 벡터장의 컨볼루션에 의해 전류 밀도를 결정하는 단계를 포함하는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 34 항에 있어서,
상기 컨볼루션 연산자와 상기 벡터장의 컨볼루션은 FFT(fast Fourier transform) 또는 NTT(number-theoretic transform)를 포함한 변환을 이용하여 수행되는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 34 항에 있어서,
상기 컨볼루션 연산자는 상기 적어도 1 이상의 방향으로 상기 구조체의 재료 및 기하학적 특성들을 포함하는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 34 항에 있어서,
상기 컨볼루션 연산자는 유한 이산 컨볼루션에 따라 작용하는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 34 항에 있어서,
상기 전류 밀도는 콘트라스트 전류 밀도인 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 34 항에 있어서,
상기 전류 밀도는 상기 적어도 1 이상의 방향에 대해 적어도 1 이상의 유한 푸리에 급수로 표현되는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 39 항에 있어서,
상기 체적 적분 방정식을 수치적으로 해결하는 단계는 그린 함수 연산자와 상기 전류 밀도의 컨볼루션에 의해 산란 전자기장을 결정하는 단계를 더 포함하는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 40 항에 있어서,
상기 그린 함수 연산자와 상기 전류 밀도의 컨볼루션은 FFT(fast Fourier transform) 또는 NTT(number-theoretic transform)를 포함한 변환을 이용하여 수행되는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 27 항에 있어서,
상기 벡터장은 상기 적어도 1 이상의 재료 경계에 접선인 상기 전자기장의 연속적인 성분들 및 상기 적어도 1 이상의 재료 경계에 법선인 전자기 플럭스 밀도의 연속적인 성분들을 필터링하기 위해 법선-벡터장을 이용함으로써 상기 전자기장의 필드 성분들과 대응하는 전자기 플럭스 밀도의 조합으로부터 구성되는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 27 항에 있어서,
컨볼루션-및-기저변환 연산자와 상기 벡터장의 근사해의 컨볼루션에 의해 상기 전자기장을 결정하는 단계를 더 포함하는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 43 항에 있어서,
상기 컨볼루션은 FFT(fast Fourier transform) 또는 NTT(number-theoretic transform)를 포함한 변환을 이용하여 수행되는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 방사선에 의한 대상물의 조명으로부터 발생하는 검출된 전자기 산란 특성으로부터 상기 대상물의 근사 구조체를 재구성하는 방법에 있어서:
처리 디바이스를 이용하여, 적어도 1 이상의 대상물 구조체를 추정하는 단계;
상기 처리 디바이스를 이용하여, 상기 적어도 1 이상의 추정된 대상물 구조체로부터 적어도 1 이상의 모델 전자기 산란 특성을 결정하는 단계;
상기 처리 디바이스를 이용하여, 상기 적어도 1 이상의 모델 전자기 산란 특성과 상기 검출된 전자기 산란 특성을 비교하는 단계; 및
상기 처리 디바이스를 이용하여, 상기 비교의 결과에 기초하여 근사 대상물 구조체를 결정하는 단계;
를 포함하고, 상기 모델 전자기 산란 특성은:
구조체의 전자기 산란 특성들을 계산하는 단계- 상기 구조체는 적어도 1 이상의 방향으로 주기적이고, 재료 경계에서 전자기장의 불연속을 야기하도록 상이한 특성들의 재료들을 포함함 -; 및
벡터장의 근사해를 결정하기 위해, 기저변환에 의해 상기 전자기장과 관련되는 상기 벡터장- 상기 벡터장은 상기 재료 경계에서 연속적임 -에 대한 체적 적분 방정식을 수치적으로 해결하는 단계;
에 의해 결정되는 근사 구조체 재구성 방법. - 제 45 항에 있어서,
라이브러리에 복수의 상기 모델 전자기 산란 특성들을 배치하는 단계를 더 포함하고, 상기 비교하는 단계는 상기 라이브러리의 컨텐츠들과 상기 검출된 전자기 산란 특성을 일치시키는 단계를 포함하는 근사 구조체 재구성 방법. - 제 45 항에 있어서,
상기 적어도 1 이상의 대상물 구조체를 추정하는 단계, 상기 적어도 1 이상의 모델 전자기 산란 특성을 결정하는 단계, 및 상기 검출된 전자기 산란 특성과 적어도 1 이상의 모델 전자기 산란 특성을 비교하는 단계를 반복하는 단계를 더 포함하고,
상기 적어도 1 이상의 대상물 구조체를 추정하는 단계는 이전의 반복에서 상기 비교하는 단계의 결과에 기초하는 근사 구조체 재구성 방법. - 대상물의 근사 구조체를 재구성하는 검사 장치에 있어서:
방사선으로 상기 대상물을 조명하도록 구성된 조명 시스템;
상기 조명으로부터 발생한 전자기 산란 특성을 검출하도록 구성된 검출 시스템; 및
프로세서- 상기 프로세서는
적어도 1 이상의 대상물 구조체를 추정하도록;
상기 적어도 1 이상의 추정된 대상물 구조체로부터 적어도 1 이상의 모델 전자기 산란 특성을 결정하도록;
상기 적어도 1 이상의 모델 전자기 산란 특성과 상기 검출된 전자기 산란 특성을 비교하도록; 및
상기 적어도 1 이상의 모델 전자기 산란 특성과 상기 검출된 전자기 산란 특성 간의 차로부터 근사 대상물 구조체를 결정하도록 구성됨 -;
를 포함하며, 상기 프로세서는:
구조체의 전자기 산란 특성들을 계산하는 단계- 상기 구조체는 적어도 1 이상의 방향으로 주기적이고, 재료 경계에서 전자기장의 불연속을 야기하도록 상이한 특성들의 재료들을 포함함 -; 및
벡터장의 근사해를 결정하기 위해, 기저변환에 의해 상기 전자기장과 관련되는 상기 벡터장- 상기 벡터장은 상기 재료 경계에서 연속적임 -에 대한 체적 적분 방정식을 수치적으로 해결하는 단계;
에 의해 상기 모델 전자기 산란 특성을 결정하도록 구성되는 검사 장치. - 컴퓨터 실행가능한 명령어들이 저장되어 있는 유형(tangible)의 컴퓨터 판독가능한 매체에 있어서:
컴퓨터 디바이스에 의해 실행되는 경우, 상기 컴퓨터 디바이스가:
구조체의 전자기 산란 특성들을 계산하는 단계- 상기 구조체는 적어도 1 이상의 방향으로 주기적이고, 재료 경계에서 전자기장의 불연속을 야기하도록 상이한 특성들의 재료들을 포함함 -; 및
벡터장의 근사해를 결정하기 위해, 기저변환에 의해 상기 전자기장과 관련되는 상기 벡터장- 상기 벡터장은 상기 재료 경계에서 연속적임 -에 대한 체적 적분 방정식을 수치적으로 해결하는 단계;
를 포함한 방법을 수행하게 하는 컴퓨터 판독가능한 매체. - 구조체의 전자기 산란 특성들을 계산하는 방법에 있어서,
상기 구조체는 적어도 1 이상의 방향으로 주기적이고, 재료 경계에서 전자기장의 불연속을 야기하도록 상이한 특성들의 재료들을 포함하며, 상기 방법은 벡터장의 근사해를 결정하기 위해, 연산 디바이스를 이용하여 상기 전자기장과 관련되고 이와 상이한 상기 벡터장에 대한 체적 적분 방정식을 수치적으로 해결하는 단계를 포함하는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 50 항에 있어서,
상기 벡터장은 가역적인 연산자에 의해 상기 전자기장과 관련되는 전자기 산란 특성 계산 방법. - 제 50 항에 있어서,
상기 벡터장은 기저변환에 의해 상기 전자기장과 관련되고, 상기 벡터장은 상기 재료 경계에서 연속적인 전자기 산란 특성 계산 방법.
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