KR20080082285A

KR20080082285A - 순차적 근사 최적 설계 장치, 방법 및 이를 구현하기 위한프로그램을 기록한 기록매체

Info

Publication number: KR20080082285A
Application number: KR1020070022949A
Authority: KR
Inventors: 최동훈; 이용빈
Original assignee: 한양대학교 산학협력단
Priority date: 2007-03-08
Filing date: 2007-03-08
Publication date: 2008-09-11
Also published as: KR100902672B1

Abstract

순차적 근사 최적 설계 장치, 방법 및 이를 구현하기 위한 프로그램을 기록한 기록매체가 개시된다. 본 발명의 바람직한 일 실시예에 의하면, 실험점을 설정하는 실험 계획부와 실험 계획부에서 설정된 실험점을 생성하는 근사 모델 생성부 및 근사 모델 생성부에서 생성된 실험점을 이용하여 신뢰 영역을 생성하는 근사 모델 관리부를 포함하되, 실험점의 설정과 생성 및 신뢰 영역의 생성을 반복하여 최적 설계를 위한 해를 결정하는 것을 특징으로 순차적 근사 최적 설계 장치가 제공된다.

본 발명에 따르면, 반응 표면법을 최적 설계에 사용하는 근사 최적 설계의 경우 설계 변수의 개수가 많아지는 경우라도 반응 표면법에 의한 모델 생성을 위해 필요한 실험점의 수가 급격히 증가하지 않아 최적 설계의 효율을 높일 수 있는 장점이 있다.

최적설계, SAO, 순차, 근사, 시뮬레이션, RSM, PQRSM

Description

순차적 근사 최적 설계 장치, 방법 및 이를 구현하기 위한 프로그램을 기록한 기록매체{Apparatus and method for design by using sequential approximate optimization(SAO) and record media recorded program for realizing the same}

도 1은 본 발명의 바람직한 일 실시예에 따른 순차적 근사 최적 설계 장치의 구성을 도시한 블록도.

도 2는 종래의 반응 표면법에 의해 순차적 근사 최적 설계를 위한 실험점을 결정하여 최적해를 결정하는 단계를 순차적으로 도시한 도면.

도 3은 본 발명에 의한 순차적 근사 최적 설계 방법에 의해 순차적 근사 최적 설계를 위한 실험점을 결정하여 최적해를 결정하는 단계를 순차적으로 도시한 도면.

도 4는 본 발명에 의한 순차적 근사 최적 설계 방법이 구현되는 순서를 도시한 순서도.

도 5는 본 발명에 의한 최적 설계 방법의 유용성을 검증하기 위한 수학적 문제(Mathematical Problems)인 목적 함수와 두 개의 구속 조건을 그래프로 예시한 도면.

도 6은 본 발명에 의한 최적 설계 방법의 유용성을 검증하기 위한 공학적 문 제(Engineering Problems)인 Two Member Frame의 중량을 최소화하면서 각 부재의 응력이 허용 응력을 넘지 않도록 하는 공학적 설계 문제를 예시한 도면.

도 7은 본 발명에 의한 최적 설계 방법의 유용성을 검증하기 위한 공학적 문제(Engineering Problems)인 기어 감속기 설계(Gear Reducer Design) 문제를 예시한 도면.

도 8은 본 발명에 의한 최적 설계 방법의 유용성을 검증하기 위한 실제적인 문제(practical problem)인 Switched Reluctance Motor(SRM) 설계를 도시한 도면.

도 9는 본 발명에 의한 최적 설계 방법의 유용성을 검증하기 위한 실제적인 문제(practical problem)인 SRM의 초기 설계와 최적 설계에서의 토크 커브를 도시한 도면.

본 발명은 최적 설계 장치, 방법 및 이를 구현하기 위한 프로그램을 기록한 기록매체에 관한 것으로서, 보다 상세하게는 순차적 근사 최적화 설계 장치, 방법 및 이를 구현하기 위한 프로그램을 기록한 기록매체에 관한 것이다.

최적 설계(Design Optimization)는 이미 설계된 부분에 따라 초기 설계 데이터를 입력하여 시뮬레이션을 수행하고 시뮬레이션의 결과 출력된 실험 데이터가 특정 기준에 적합한지 여부를 판단하여 가장 적합한 실험 데이터가 출력될 때까지 점 차 설계를 변화시켜 최적의 실험 데이터가 출력될 때 설계를 확정하는 것을 말한다.

예를 들면, 자동차의 범퍼를 설계하는 경우 먼저 설계된 범퍼로 충돌 시뮬레이션을 수행한 결과 데이터가 안전도의 기준을 만족하지 못하는 경우 범퍼의 설계를 조금씩 변화시켜 안전도를 만족하는 경우 그 때의 범퍼의 설계값으로 자동차 범퍼의 설계를 확정한다.

그러나, 하나의 물건을 설계하는 경우 부품 등의 동작 또는 주변 환경 등 다양한 변수에 따라 변화가 발생할 수 있다.

따라서, 동작하는 부품 또는 동작이나 기능에 따른 부분, 영향을 주는 주변 환경 등 각각의 분야마다 각각의 시뮬레이션 모델을 만들고 각각의 분야에 대한 변화된 설계 데이터를 입력하여 각각의 부분들의 상호 연관 관계에 따라 다시 전체 완성품의 시뮬레이션 수행의 결과 데이터를 도출하여 출력된 데이터가 최적의 데이터인지를 판단하여 설계를 확정하여야 한다.

특히, 한 부분의 변화는 구성 전체에 큰 영향을 주지만 어느 한 부분의 설계 변화로 구성 전체를 예측하기 위해서는 변화된 부분의 시뮬레이션 결과 데이터를 산출하고 변화된 부분의 시뮬레이션 결과 데이터를 이용하여 전체 시뮬레이션 데이터를 다시 도출하여야 한다.

만약, 도출된 전체 완성품의 시뮬레이션의 결과를 분석하여 타당한 결과로 수렴하지 않는 경우, 다시 시뮬레이션을 수행하여 타당한 결과로 수렴할 때까지 반복적으로 시뮬레이션을 수행하여야 한다.

이러한 순차적으로 설계 데이터를 변경하여 최적의 설계 결과를 도출하는 방법을 특히 순차적 근사 최적(SAO : sequential approximate optimization) 설계 방법이라고 한다.

이러한 순차적 근사 최적 설계 방법에서 종래에는 근사 모델 생성을 위해 반응 표면법(RSM : Response Surface Modeling)이 널리 사용되었다.

이러한 반응 표면법 은 최적 설계에 사용하는 경우 비용이 많이 소요되는 함수 해석은 실험점에서만 필요하며 수많은 함수 해석을 요구하는 최적 설계 과정은 명시적으로 수식화된 근사 모델을 사용하기 때문에 최적 설계의 효율을 높일 수 있다.

하지만 반응 표면법을 최적 설계에 사용하는 근사 최적 설계의 경우 설계 변수의 개수가 많아질수록 반응 표면법에 의한 모델 생성을 위해 필요한 실험점의 수가 급격히 증가하는 문제점이 있다.

그리고, 생성되는 모델의 응답(response)이 강한 비선형성을 띤 경우, 이차 반응 표면 모델만으로 비선형성을 정확히 예측할 수 없기 때문에 전역에서 최적의 해(解)를 찾을 가능성이 매우 낮아지는 문제점이 있다.

상기한 바와 같은 종래의 문제점을 해결하기 위해, 본 발명은 표면 반응법을 최적 설계에 사용하는 근사 최적 설계의 경우 설계 변수의 개수가 많아지는 경우라도 반응 표면법에 의한 모델 생성을 위해 필요한 실험점의 수가 급격히 증가하지 않아 최적 설계의 효율을 높일 수 있는 최적화 설계 장치, 방법 및 이를 구현하기 위한 프로그램을 기록한 기록매체를 제안하는 것이다.

또한, 생성되는 모델의 응답(response)이 강한 비선형성을 띤 경우라도 비선형성을 예측할 수 있어 전역에서 최적의 해(解)를 찾을 수 있는 최적화 설계 장치, 방법 및 이를 구현하기 위한 프로그램을 기록한 기록매체를 제안하는 것이다.

본 발명의 또 다른 목적들은 이하의 실시예에 대한 설명을 통해 쉽게 이해될 수 있을 것이다.

상기한 바와 같은 목적을 달성하기 위해, 본 발명의 일 측면에 따르면 순차적 근사 최적화 설계 장치가 제공된다.

본 발명의 바람직한 일 실시예에 따르면, 순차적 근사 최적 설계 장치에 있어서, 실험점을 설정하는 실험 계획부; 상기 실험 계획부에서 설정된 실험점을 생성하는 근사 모델 생성부; 및 상기 근사 모델 생성부에서 생성된 실험점을 이용하여 신뢰 영역을 생성하는 근사 모델 관리부를 포함하되, 상기 실험점의 설정과 생성 및 신뢰 영역의 생성을 반복하여 최적 설계를 위한 해를 결정하는 것을 특징으로 하는 순차적 근사 최적 설계 장치가 제공된다.

상기 실험 계획부는 상기 최초의 실험점 설정은 OLHD(Optimal Latin Hypercube Design) 방법을 이용하고, 그 다음 반복 단계부터는 상기 생성된 실험점 정보를 이용할 수 있다.

상기 실험 계획부는 상기 실험점의 설정을 위해 SA(Simulated Annealing) 알고리즘, CP(Columnwise-Pairwise) 알고리즘, ESE(Enhanced Stochastic Evolutionary) 알고리즘, 유전자 알고리즘 중 적어도 하나의 알고리즘을 이용할 수 있다.

상기 근사 모델 생성부는 최소 자승법 및 준-뉴튼식 중 적어도 하나를 이용하여 상기 실험 계획부에서 설정된 실험점을 생성할 수 있다.

상기 근사 모델 관리부는 신뢰 영역 알고리즘(Trust Region Algorithm)을 이용하여 신뢰 영역을 생성할 수 있다.

본 발명의 다른 측면에 의하면, 순차적 근사 최적화 설계 방법이 제공된다.

본 발명의 바람직한 일 실시예에 따르면, 순차적 근사 최적 설계 방법에 있어서, 실험점을 설정하는 단계(a); 상기 설정된 실험점을 생성하는 단계(b); 상기 생성된 실험점을 이용하여 신뢰 영역을 생성하는 단계(c); 및 상기 단계(a) 내지 (c)를 반복하여 최적 설계를 위한 해를 결정하는 단계(d)를 포함하는 것을 특징으로 하는 순차적 근사 최적 설계 방법이 제공된다.

상기 단계(a)에서 최초의 실험점 설정은 OLHD(Optimal Latin Hypercube Design) 방법을 이용하고, 그 다음 반복 단계부터는 상기 생성된 실험점 정보를 이용하여 수행될 수 있다.

상기 단계(a)는 SA(Simulated Annealing) 알고리즘, CP(Columnwise-Pairwise) 알고리즘, ESE(Enhanced Stochastic Evolutionary) 알고리즘, 유전자 중 적어도 하나의 알고리즘을 이용하여 수행될 수 있다.

상기 단계(b)는 최소 자승법 및 준-뉴튼식 중 적어도 하나를 이용하여 수행될 수 있다.

상기 단계(c)는 신뢰 영역 알고리즘(Trust Region Algorithm)을 이용하여 수행될 수 있다.

본 발명의 다른 측면에 의하면, 순차적 근사 최적화 설계 방법을 구현하기 위한 프로그램을 기록한 기록매체가 제공된다.

본 발명의 바람직한 일 실시예에 따르면, 순차적 근사 최적 설계 방법이 구현되도록, 디지털 처리 장치에 의해 실행될 수 있는 명령어들의 프로그램이 유형적으로 구현되어 있으며 디지털 처리 장치에 의해 판독될 수 있는 프로그램을 기록한 기록 매체에 있어서, 실험점을 설정하는 단계(a);

상기 설정된 실험점을 생성하는 단계(b); 상기 생성된 실험점을 이용하여 신뢰 영역을 생성하는 단계(c); 및 상기 단계(a) 내지 (c)를 반복하여 최적 설계를 위한 해를 결정하는 단계(d)를 포함하는 것을 특징으로 하는 순차적 근사 최적 설계 방법을 구현하기 위한 프로그램을 기록한 기록매체가 제공된다.

본 발명은 다양한 변경을 가할 수 있고 여러 가지 실시예를 가질 수 있는 바, 특정 실시예들을 도면에 예시하고 상세한 설명에 상세하게 설명하고자 한다. 그러나, 이는 본 발명을 특정한 실시 형태에 대해 한정하려는 것이 아니며, 본 발명의 사상 및 기술 범위에 포함되는 모든 변경, 균등물 내지 대체물을 포함하는 것으로 이해되어야 한다.

각 도면을 설명하면서 유사한 참조부호를 유사한 구성요소에 대해 사용하였다. 본 발명을 설명함에 있어서 관련된 공지 기술에 대한 구체적인 설명이 본 발명의 요지를 흐릴 수 있다고 판단되는 경우 그 상세한 설명을 생략한다.

제1, 제2 등의 용어는 다양한 구성 요소들을 설명하는데 사용될 수 있지만, 상기 구성 요소들은 상기 용어들에 의해 한정되어서는 안 된다. 상기 용어들은 하나의 구성요소를 다른 구성요소로부터 구별하는 목적으로만 사용된다.

예를 들어, 본 발명의 권리 범위를 벗어나지 않으면서 제1 구성요소는 제2 구성요소로 명명될 수 있고, 유사하게 제2 구성요소도 제1 구성요소로 명명될 수 있다.

및/또는 이라는 용어는 복수의 관련된 기재된 항목들의 조합 또는 복수의 관련된 기재된 항목들 중의 어느 항목을 포함한다.

어떤 구성요소가 다른 구성요소에 "연결되어" 있다거나 "접속되어" 있다고 언급된 때에는, 그 다른 구성요소에 직접적으로 연결되어 있거나 또는 접속되어 있을 수도 있지만, 중간에 다른 구성요소가 존재할 수도 있다고 이해되어야 할 것이다.

반면에, 어떤 구성요소가 다른 구성요소에 "직접 연결되어" 있다거나 "직접 접속되어" 있다고 언급된 때에는, 중간에 다른 구성요소가 존재하지 않는 것으로 이해되어야 할 것이다.

본 출원에서 사용한 용어는 단지 특정한 실시예를 설명하기 위해 사용된 것으로, 본 발명을 한정하려는 의도가 아니다.

단수의 표현은 문맥상 명백하게 다르게 뜻하지 않는 한, 복수의 표현을 포함한다. 본 출원에서, "포함하다" 또는 "가지다" 등의 용어는 명세서상에 기재된 특징, 숫자, 단계, 동작, 구성요소, 부품 또는 이들을 조합한 것이 존재함을 지정하려는 것이지, 하나 또는 그 이상의 다른 특징들이나 숫자, 단계, 동작, 구성요소, 부품 또는 이들을 조합한 것들의 존재 또는 부가 가능성을 미리 배제하지 않는 것으로 이해되어야 한다.

다르게 정의되지 않는 한, 기술적이거나 과학적인 용어를 포함해서 여기서 사용되는 모든 용어들은 본 발명이 속하는 기술 분야에서 통상의 지식을 가진 자에 의해 일반적으로 이해되는 것과 동일한 의미를 가지고 있다.

일반적으로 사용되는 사전에 정의되어 있는 것과 같은 용어들은 관련 기술의 문맥상 가지는 의미와 일치하는 의미를 가지는 것으로 해석되어야 하며, 본 출원에서 명백하게 정의하지 않는 한, 이상적이거나 과도하게 형식적인 의미로 해석되지 않는다.

이하, 첨부된 도면을 참조하여 본 발명에 따른 바람직한 실시예를 상세히 설명하되, 도면 부호에 관계없이 동일하거나 대응하는 구성 요소는 동일한 참조 번호를 부여하고 이에 대한 중복되는 설명은 생략하기로 한다.

먼저 도 1을 참조하여 본 발명의 바람직한 일 실시예에 따른 최적 설계 장치에 대해 살펴보기로 한다.

도 1에 도시된 바와 같이, 본 발명의 바람직한 일 실시예에 따른 최적 설계 장치는 실험 계획부(100), 근사 모델 생성부(110) 및 근사 모델 관리부(120)를 포함할 수 있다.

전술한 바와 같이, 본 발명은 순차적 근사 최적 설계 방법에서 종래의 근사 모델 생성을 위해 이용되던 반응 표면법(RSM : Response Surface Modeling)의 문제점을 해결하기 위해 종래의 반응 표면법과 다른 방법을 이용하여 순차적 근사 최적 설계 방법을 수행한다.

이하에서는 종래의 이차 반응 표면법의 하나인 PQRSM(Progressive Quadratic Response Surface Modeling)과 구별하기 위해 본 발명에 이용되는 근사 모델 생성을 위한 방법을 PQRSM+(Progressive Quadratic Response Surface Modeling Plus)라 칭하기로 한다.

본 발명에 이용될 수 있는 PQRSM+에 대해 종래의 PQRSM와 비교하여 살펴보기로 한다.

본 발명에 이용될 수 있는 PQRSM+는 크게 실험 계획 방법, 근사 모델 생성 방법 및 생성된 근사 모델의 관리 방법을 포함할 수 있으며, 실험 계획부(100), 근사 모델 생성부(110) 및 근사 모델 관리부(120)는 각각 실험 계획 방법, 근사 모델 생성 방법 및 생성된 근사 모델의 관리 방법을 수행한다.

먼저 실험 계획부(100)는 순차적으로 수행되는 최적화 단계에서 각각의 단계에서 실험점을 설정한다.

실험 계획부(100)에서 수행되는 실험 계획 방법은 첫번째 반복 단계에서는 실험 계획법으로 OLHD(Optimal Latin Hypercube Design)를 사용하며, 그 다음 반복 단계부터는 Inherited OLHD를 사용할 수 있다.

OLHD는 임의적으로 생성된 LHD(Latin Hypercube Design)가 추출된 실험점들 간에 공간적으로 상관관계가 생기는 단점을 보완하기 위해 최적 계획법과 LHD를 결합한 방법이다.

즉, 설계 영역에서 임의적으로 배치되는 실험점들을 제어함으로써 좋은 성질을 갖는 실험점 세트(Optimal design)를 구성하게 된다.

이를 위해 적절한 최적성 조건(Optimal Criteria)의 선정 및 실험점 세트의 최적화에 관한 연구가 활발히 이루어지고 있으며, 최적성 조건으로는 엔트로피(entropy), IMSE(예측의 평균제곱오차의 적분, mean squared error of prediction), Maximin distance, minimax distance, cetered-L2 discrepancy 등이 가능하나, 이에 한정되는 것은 아니다.

또한, 최적 계획법으로 LHD의 특성을 유지하며 최적화를 수행하기 위해 SA algorithm, CP algorithm, ESE algorithm, 유전자 알고리즘(GAs : Genetic Algorithms) 등이 이용될 수 있다.

Inherited LHD는 순차적 근사 최적 설계에서 이전 반복 단계의 실험점 중 이번 반복 단계의 설계 영역에 포함되는 실험점을 상속하여 기존의 정보를 최대한 이용하는 방법이다.

새로 뽑힐 실험점의 위치와 개수는 상속된 실험점위 위치와 개수에 의해 결정되며, 이 때 상속된 실험점과 새로 뽑힌 실험점은 LHD구조를 유지하도록 정하게 된다.

근사 모델 생성부(110)는 실험 계획부(100)에서 설정한 실험점을 생성한다.

근사 모델 생성부(110)에서 수행되는 근사 모델 생성 방법은 각 반복 단계에서의 OLHD및 Inherited OLHD를 사용하여 2n+1개의 실험점을 생성한다.

하지만 두 번째 반복 단계부터는 Inherited OLHD의 특성상 2n+1개 이상의 실험점을 갖게 되는 경우도 있다.

따라서 각 반복 단계의 실험점의 개수에 따라 다른 방법으로 근사 모델을 생성하게 된다.

먼저 실험점의 개수가 2n+1개보다는 많고 Full Quadratic Model을 생성하기 위해 필요한 number of saturated point 보다는 작은 경우에는 Least Square Method를 통해 Full Quadratic RS model을 직접 생성할 수 없다.

따라서 Least Square Method를 사용하여 [식 1]과 같은 Simple Quadratic Model을 생성한다.

[식 1]

여기서 k번째 반복 단계에서

이고 D _k 는 diagonal term은 이며 비대각항은 0인 n x n행렬이다.

,

라고 하면 Full Quadratic Model을 생성하기 위해 필요한 교호작용 항은 BFGS식으로 잘 알려진 준-뉴튼 식인 [식 2]를 통해 생성할 수 있다.

[식 2]

여기서 B ₀=D ₀ 이며, B _k의 비대각 요소들이 곧 Full Quadratic model의 교호작용 항이 된다.

결국 Least Square Method를 사용하여 만든 Simple Quadratic model과 준-뉴튼공식을 통해 업데이트 시키는 교호 작용항을 combine하여 [식 3]과 같은 Full Quadratic Model을 생성할 수 있게 된다.

[식 3]

실험점의 개수가 Full Quadratic Model의 Saturated Point 개수와 같거나 큰 경우에는 준-뉴튼 공식을 사용하지 않고 Least Square Method를 사용하여 직접 [식 3]과 같은 Full Quadratic RS Model을 생성한다.

다만 다음 반복 단계에서 실험점의 개수가 Full Quadratic Model을 생성하기 위해 필요한 Number of Saturated point보다 작을 경우에 대비하여 준-뉴튼 공식의 업데이트에 필요한

,

및

에 해당하는 수치를 저장해 놓는다.

위의 두 경우 모두 생성한 full quadratic model은 [식 3]을 직접 근사 최적 설계에 사용하는 것은 아니며, PQRSM+는 신뢰 영역 알고리즘을 모델 관리 기법으로 사용하며, 따라서 [식 3]에 해당하는 Full Quadratic Model을 [식 4]의 Taylor series형태로 변환한 후 근사 최적 설계에 사용할 수 있다.

[식 4]

여기서

는 이전 반복 단계의 근사 최적점을 의미하며,

는 대각 요소는

의 대각 요소와 같으며 비대각 요소는

의 비대각 요소와 같은 n x n행렬이다.

이러한 방법을 통해 단지 2n+1개의 실험점만으로 Full Quadratic Model을 생성할 수 있으며, Full Quadratic RS Model을 생성하기 위해 필요한 실험점의 수가 설계 변수의 개수가 증가함에 따라 급격히 늘어난다는 단점을 극복할 수 있다.

근사 모델 관리부(120)는 근사 모델 생성부(110)에서 생성된 실험점을 이용하여 신뢰 영역을 생성하며, 생성된 신뢰 영역에 대하여 순차적으로 실험점의 설정 및 생성을 반복함으로써 최적해를 찾게 되는 것이다.

근사 모델 관리부(120)에서 수행되는 근사 모델의 관리 방법은 신뢰 영역 알고리즘(Trust Region Algorithm)을 사용할 수 있다.

신뢰 영역 알고리즘은 유일 최적해를 갖지 않는 함수를 테일러 급수(Taylor series)에 의하여 이차 함수

로 근사화 하여 최적설계를 할 때, 뉴튼 방법이 적용될 수 없는 수치적 어려움을 극복하기 위하여 개발된 알고리즘이다.

와 비교적 잘 일치하도록

가 근사화되는 영역이

근방의

로 가정한다면 새로운 설계점

은 [식 5]와 같은 최적화 문제를 통해 결정될 수 있다.

[식 5]

위와 같은 최적화 문제를 반복적으로 푸는 방법을 신뢰 영역 알고리즘이라고 한다.

신뢰 영역 알고리즘은 근사화된 영역이 과도하게 제한되어 수렴 속도가 늦어지는 것이 방지하기 위해 감소비를 사용하여

를 적절히 조절한다.

k^th 단계의 f의 실제 감소량을 [식 6]과 같이 정의하고 이에 상응하는 예측 감소량을 [식 4]와 같이 정의하여 나타내면 [식 7]로 표시할 수 있으며, 감소비는 [식 8]과 같이 정의 할 수 있다.

[식 6]

[식 7]

[식 8]

이 때 감소비

는

에 대한

의 충실도를 측정하는 척도인데,

가 1에 가까울수록

의 충실도가 좋아지는 것을 의미한다.

부분의 전형적인 신뢰 영역 알고리즘은

에 의해 측정되는 충실도를 어느 정도로 유지시키기 위하여 적절히

를 감소시키거나 증가시킨다.

이러한 것이 신뢰 영역 알고리즘에 기반을 둔 근사 모델 관리 기법이 경험적 으로 설계 변수의 이동량을 제한하는 종래의 근사 모델 관리 기법보다 우수한 특징이다.

만약 [식 5]의 헤시언

가 근사화된 헤시언

로 대체될지라도,

가 유계(bound)만 되면, 신뢰 영역 알고리즘은 전역 수렴성(global convergence)을 보장한다.

이러한 본 발명에 의한 최적 설계 과정을 종래의 최적 설계 방법과 본 발명에 의한 최적 설계 방법을 도시한 도 2와 도 3을 참조하여 살펴보기로 한다.

도 2는 종래의 최적 설계 방법을 도시한 것이고, 도 3은 본 발명에 의한 최적 설계 방법을 도시한 것이다.

도 2와 도 3은 모두 최적 설계를 위한 최적의 해를 찾기 위해 처음 단계에서 5개의 실험점을 이용하고, 모두 4번의 과정을 수행하는 경우를 가정한 것이다.

먼저 도 2의 종래의 최적 설계 방법은 4번의 순차적 최적화 과정을 수행하는 동안 모두 20개의 실험점을 필요로 하게 된다.

반면, 도 3의 본 발명에 의한 최적 설계 방법의 경우에는 처음 단계에서 종래와 같이 5개의 실험점을 이용하나 4번의 순차적 과정을 수행하는 동안 모두 12개의 실험점만을 필요로 하게 된다.

이러한 실험점의 개수는 설계 변수가 많아지면 더욱 증가하게 되므로 종래의 최적 설계 방법에 의하면 실험점의 수가 급격히 증가되게 되는 반면, 본 발명에 의 한 최적 설계 방법의 경우에는 설계 변수가 많아지더라도 실험점의 수가 급격히 증가되지 않게 되는 것이다.

이러한 본 발명에 의한 최적 설계 장치의 구성과 본 발명에 이용되는 PQRSM+를 참조하여 이하에서는 본 발명에 의한 최적 설계 방법에 대해 도 4를 참조하여 살펴보기로 한다.

먼저 도 4에 도시된 바와 같이, 본 발명에 의한 최적 설게 방법은 먼저 실험점을 설정하고(S400), 설정된 실험점의 정보를 이용하여 실험점을 생성한다(S402).

생성된 실험점을 이용하여 신뢰 영역을 생성하여(S404), 신뢰영역 내의 해가 최적의 해인지 판단하여(S406), 최적해가 아닌 경우 단계 400 내지 단계 404의 실험점의 설정 및 생성과 신뢰 영역의 생성을 순차적으로 반복하여 최적해를 결정하게 된다.

이하에서는 이러한 실험점의 설정 및 생성과 신뢰 영역의 생성을 순차적으로 반복하여 최적해를 결정하는 본 발명에 의한 최적 설계 방법을 보다 상세하게 살펴 보기로 한다.

전술한 바와 같이 본 발명에 의한 최적 설계 방법이 수행되기 위해서는 먼저 초기 설계점과 초기 신뢰 영역을 설정한다.

설계점은 설계하고자 하는 대상의 초기 설계 데이터 값이고 초기 신뢰 영역은 설계 대상의 설계 데이터의 변경 가능한 값의 범위가 된다.

초기 신뢰 영역에서 OLHD로 2n+1개의 실험점을 생성하고 실험점에서의 실제 함수값을 계산한다.

그리고 만약 실험점의 개수가 (n+1)(n+2)/2보다 작은지 여부를 판단하여 Least Square Method(최소 자승법)를 사용하여 Simple Quadratic RS(Response Surface) Model을 생성한다.

그런 다음 Simple Quadratic RS Model의 회귀 계수를 이용하여

와

를 계산하고 첫번째 반복 단계인지 판단하여, 만약 첫번째 단계라면

로 설정하고, 전술한 [식 4]를 이용하여 목적 함수 및 제한 조건의 근사 함수를 생성하고, 근사 최적 설계를 수행한다.

그러나, 첫 번째 반복 단계가 아니라면

와

를 계산하고, [식 9]를 이용하여

를 구한 후, [식 10]을 이용하여 정규화된 근사 헤시언

를 계산하고, 전술한 [식 4]를 이용하여 목적 함수 및 제한 조건의 근사함 수를 생성하고, 근사 최적 설계를 수행한다.

한편, [식 10]에서

의 i번째 요소인 는

이다.

[식 9]

[식 10]

그러나, 만약 실험점의 개수가 (n+1)(n+2)/2보다 크거나 같은 경우라면 Least Square Method를 사용하여 Full Quadratic RS Model을 생성하고, Full Quadratic RS Model의 회귀 계수를 이용하여

와

를 계산한다.

한편, 이러한 근사 최적점에서의 함수값을 계산한 후, 전술한 [식 6] 및 [식 7]을 이용하여 실제 감소량과 예측 감소량을 계산하고, 전술한 [식 8]을 이용하여 감소비

를 계산한다.

계산 결과, 만약

이면, 근사 최적점에서의 근사화된 목적 함수는 감소하였지만, 실제 목적 함수는 감소하지 않은 것이므로, 근사 최적점은 reject시키고, 이전 근사 최적점을 신뢰 영역의 중심으로 하고, 신뢰 영역의 크기는 1/4로 감소시킨다.

그러나, 만약

또는

이면, 실제 감소량이 예측 감소량보다 작거나 큰 경우 이번 근사 최적점을 신뢰 영역의 중심으로 하고, 신뢰 영역의 크기는 1/4로 감소시킨다.

만약

또는

이면, 실제 감소량과 예측 감소량이 비슷한 경우이므로, 이 경우 이번 근사 최적점을 신뢰 영역의 중심으로 하고, 신뢰 영역의 크기는 그대로 유지시킨다.

마지막으로

이면 근사 모델이 정확한 경우이므로, 이번 근사 최적점을 신뢰 영역의 중심으로 하고, 만약 근사 최적점이 신뢰 영역의 경 계에 닿았으면 신뢰 영역의 크기를 두 배로 증가시키고, 그렇지 않은 경우에는 크기를 그대로 유지시킨다.

이러한 단계를 완료한 후 정해놓은 수렴 조건을 만족하는지 판단하여 수렴 조건을 만족하는 경우 최적화를 종료한다.

그러나 정해 놓은 수렴 조건을 만족하지 않는 경우 초기 신뢰 영역에서 OLHD로 2n+1개의 실험점을 생성하고 실험점에서의 실제 함수값을 계산하는 단계로 돌아간다.

이하에서는 본 발명에 의한 최적 설계 방법을 두 개의 수학적 문제(Mathematical Problems), 두 개의 공학적 문제(Engineering Problems) 및 하나의 실제적 문제(Practical Problem)를 해결한 예를 통해 살펴보기로 한다.

먼저 첫번째 수학적 문제는 [식 11]과 같이 수식으로 나타낼 수 있으며, 이 경우 설계 변수가 두 개이며 두 개의 구속 조건을 갖는 문제가 된다.

[식 11]

목적 함수와 두 개의 구속 조건은 도 5에 도시된 바와 같은 형상을 나타낼 수 있으며, 본 발명에 의한 최적 설계를 위한 PQRSM+ 방법과 종래의 DOT(Design Optimization Technology) 방법에 의한 해를 찾기 위한 결과는 [표 1]과 같이 표시될 수 있다.

[표 1]에서 'NF'는 Number of Function Call의 약자로 그 수치가 적을수록 효율이 높음을 의미한다.

[표 1]에서 PQRSM+가 DOT보다 향상된 해를 찾았으며, 효율도 약 38.9% 향상되었음을 확인 할 수 있다.

[표 1]

또 다른 수학적 문제는 [식 12]와 같이 나타낼 수 있으며, 설계 변수가 4개이며, 3개의 구속조건을 갖는 문제이다.

[식 12]

[표 2]는 [식 12]의 결과를 나타낸 것으로 [표 2]에 표시된 바와 같이 본 발명에 이용되는 PQRSM+는 DOT와 거의 같은 해를 찾았으며 효율은 약 68.8% 향상되었음을 확인할 수 있다.

[표 2]

이하에서는 본 발명에 의한 최적 설계 방법의 유용성을 검증하기 위해 두 개의 공학적 문제(Engineering Problems)에 대해 살펴 보기로 한다.

먼저 첫번째 공학적 문제는 도 6에 도시된 바와 같이 Two Member Frame의 중량을 최소화하면서 각 부재의 응력이 허용 응력을 넘지 않도록 하는 공학적 설계 문제를 예시한 것으로서, [식 13]과 같이 식으로 나타낼 수 있으며, 설계 변수는 각 부재 단면의 폭, 높이, 두께 등 3개이며, 구속조의 개수는 두 개이다.

이러한 [식 13]의 공학적 문제에 대한 본 발명에 이용되는 PQRSM+와 종래의 DOT에 의한 결과는 [표 3]에 표시된 바와 같다.

[표 3]에 도시된 바와 같이 PQRSM+와 DOT 모두 거의 같은 해를 찾았으며 효율은 PQRSM+가 약 42.86% 향상되었음을 확인할 수 있다.

[식 13]

[표 3]

본 발명에 의한 최적 설계 방법의 유용성을 검증하기 위한 두번째 공학적 문제(Engineering Problems)는 Gear Reducer Design(기어 감속기 설계)에 관한 문제로서 도 7에 도시된 바와 같이 기어 감속기의 감속 장치의 중량을 최소화 하는 것이 목적인 경우를 예시한 것이다.

도 7에서 기어의 굽힘 및 접촉 응력, 축의 횡방향 처짐 및 응력, 공간적 제약과 경험에 의하여 설정된 기하학적인 구속 조건 및 설계 변수 상/하한치에 대한 제한이 있다.

설계 변수는 기어의 치폭, 모듈, 피니언의 이수, 베어링1 의 사이 거리, 베어링 2의 사이 거리, 축 1의직경 및 축 2의 직경 등 모두 7개가 되며, 이에 대한 최적화 수식은 [식 14]와 같이 나타낼 수 있다.

[식 14]

[표 4]는 이러한 Gear Reducer Design 문제의 최적화 결과를 나타내고 있으며, [표 4]에 표시된 바와 같이 DOT와 PQRSM+가 모두 같은 해를 찾았으며, PQRSM+의 효율이 DOT에 비해 약 53.8% 향상되었음을 확인할 수 있다.

[표 4]

이하에서는 실제적인 문제(practical problem)로 Switched Reluctance Motor(SRM) 설계 문제에 대해 살펴보기로 한다.

SRM은 도 8에 도시된 바와 같은 단면을 가진 모터로, 구조가 간단하고 단단하며 적은 비용으로 높은 성능을 나타낸다는 장점이 있지만, 돌출된 구조 때문에 토크 리플이 심하다는 단점을 가지고 있다.

이러한 특징을 갖는 SRM을 실제 산업 현장에 적용하기 위해서는 토크 리플을 최소화 하고 평균 토크를 최대화 할 수 있어야 한다.

따라서 이러한 목적을 위해 목적 함수는 평균 토크를 최대화 하는 것으로 정하였으며, 제한 조건은 토크 리플을 20%미만으로 할 것과 최대 전류 위상 (Maximum current phase)을 6(A)이하로 할 것으로 설정하였다.

설계 변수는 Switching on Angle, Switch off Angle과 Rotor Pole Arc로 설정하였다.

설계변수의 초기치는

이며, 이러한 실제적인 문제의 해석기는 한번 해석하는데 약 30분이 소요되며, 해석기의 특성상 Response가 계단 함수의 형태를 취하므로 민감도 값에 기반한 기존의 최적화 기법으로는 그 해를 찾을 수 없는 실제적인 문제이다.

따라서 DOT를 사용한 최적화는 실행하지 않았으며, [표 5]는 SRM설계 문제의 결과이다.

[표 5]에서 목적 함수인 평균 토크가 약 79.8% 향상되었고 모든 구속 조건을 만족한 것을 확인할 수 있다.

[표 5]

도 9는 이러한 SRM의 초기 설계와 최적 설계에서의 토크 커브를 도시한 것이다.

도 9에 도시된 바와 같이 최적화된 모델의 평균 토크가 향상되었음은 물론 토크 리플이 상당히 줄었음을 확인할 수 있다.

이상에서 살펴본 바와 같이 두 개의 수학적 문제(Mathematical Problems), 두 개의 공학적 문제(Engineering Problems) 및 하나의 실제적 문제(Practical Problem)를 해결한 예를 통해 본 발명에 의한 최적 설계 방법과 종래의 최적 설계 방법인 DOT와의 비교하여 본 발명에 의한 최적 설계 방법의 정확성 및 효율성을 확인할 수 있다.

상기한 본 발명의 바람직한 실시예는 예시의 목적을 위해 개시된 것이고, 본 발명에 대해 통상의 지식을 가진 당업자라면 본 발명의 사상과 범위 안에서 다양한 수정, 변경, 부가가 가능할 것이며, 이러한 수정, 변경 및 부가는 하기의 특허청구범위에 속하는 것으로 보아야 할 것이다.

이상에서 설명한 바와 같이, 본 발명에 의한 순차적 근사 최적 설계 장치, 방법 및 이를 구현하기 위한 프로그램을 기록한 기록매체에 의하면, 반응 표면법을 최적 설계에 사용하는 근사 최적 설계의 경우 설계 변수의 개수가 많아지는 경우라도 반응 표면법에 의한 모델 생성을 위해 필요한 실험점의 수가 급격히 증가하지 않아 최적 설계의 효율을 높일 수 있는 장점이 있다.

또한, 생성되는 모델의 응답(response)이 강한 비선형성을 띤 경우라도 비선형성을 예측할 수 있어 전역에서 최적의 해(解)를 찾을 수 있는 장점이 있다.

Claims

순차적 근사 최적 설계 장치에 있어서,

실험점을 설정하는 실험 계획부;

상기 실험 계획부에서 설정된 실험점을 생성하는 근사 모델 생성부; 및

상기 근사 모델 생성부에서 생성된 실험점을 이용하여 신뢰 영역을 생성하는 근사 모델 관리부를 포함하되,

상기 실험점의 설정과 생성 및 신뢰 영역의 생성을 반복하여 최적 설계를 위한 해를 결정하는 것을 특징으로 하는 순차적 근사 최적 설계 장치.
제1항에 있어서,

상기 실험 계획부는,

상기 최초의 실험점 설정은 OLHD(Optimal Latin Hypercube Design) 방법을 이용하고, 그 다음 반복 단계부터는 상기 생성된 실험점 정보를 이용하는 것을 특징으로 하는 순차적 근사 최적 설계 장치.
제1항에 있어서,

상기 실험 계획부는,

상기 실험점의 설정을 위해 SA(Simulated Annealing) 알고리즘, CP(Columnwise-Pairwise) 알고리즘, ESE(Enhanced Stochastic Evolutionary) 알고리즘, 유전자 알고리즘 중 적어도 하나의 알고리즘을 이용하는 것을 특징으로 하는 순차적 근사 최적 설계 장치.
제1항에 있어서,

상기 근사 모델 생성부는,

최소 자승법 및 준-뉴튼식 중 적어도 하나를 이용하여 상기 실험 계획부에서 설정된 실험점을 생성하는 것을 특징으로 하는 순차적 근사 최적 설계 장치.
제1항에 있어서,

상기 근사 모델 관리부는,

신뢰 영역 알고리즘(Trust Region Algorithm)을 이용하여 신뢰 영역을 생성하는 것을 특징으로 하는 순차적 근사 최적 설계 장치.
순차적 근사 최적 설계 방법에 있어서,

실험점을 설정하는 단계(a);

상기 설정된 실험점을 생성하는 단계(b);

상기 생성된 실험점을 이용하여 신뢰 영역을 생성하는 단계(c); 및

상기 단계(a) 내지 (c)를 반복하여 최적 설계를 위한 해를 결정하는 단계(d)를 포함하는 것을 특징으로 하는 순차적 근사 최적 설계 방법.
제6항에 있어서,

상기 단계(a)에서,

최초의 실험점 설정은 OLHD(Optimal Latin Hypercube Design) 방법을 이용하고, 그 다음 반복 단계부터는 상기 생성된 실험점 정보를 이용하여 수행되는 것을 특징으로 하는 순차적 근사 최적 설계 방법.
제6항에 있어서,

상기 단계(a)는,

SA(Simulated Annealing) 알고리즘, CP(Columnwise-Pairwise) 알고리즘, ESE(Enhanced Stochastic Evolutionary) 알고리즘, 유전자 중 적어도 하나의 알고리즘을 이용하여 수행되는 것을 특징으로 하는 순차적 근사 최적 설계 방법.
제6항에 있어서,

상기 단계(b)는,

최소 자승법 및 준-뉴튼식 중 적어도 하나를 이용하여 수행되는 것을 특징으로 하는 순차적 근사 최적 설계 방법.
제1항에 있어서,

상기 단계(c)는,

신뢰 영역 알고리즘(Trust Region Algorithm)을 이용하여 수행되는 것을 특징으로 하는 순차적 근사 최적 설계 방법.
순차적 근사 최적 설계 방법이 구현되도록, 디지털 처리 장치에 의해 실행될 수 있는 명령어들의 프로그램이 유형적으로 구현되어 있으며 디지털 처리 장치에 의해 판독될 수 있는 프로그램을 기록한 기록 매체에 있어서,

실험점을 설정하는 단계(a);

상기 설정된 실험점을 생성하는 단계(b);

상기 생성된 실험점을 이용하여 신뢰 영역을 생성하는 단계(c); 및

상기 단계(a) 내지 (c)를 반복하여 최적 설계를 위한 해를 결정하는 단계(d)를 포함하는 것을 특징으로 하는 순차적 근사 최적 설계 방법을 구현하기 위한 프 로그램을 기록한 기록매체.