KR101671983B1

KR101671983B1 - 기하등가투과도를 이용한 다공성 매질의 투과도 산출방법

Info

Publication number: KR101671983B1
Application number: KR1020150142253A
Authority: KR
Inventors: 신창훈
Original assignee: 한국가스공사
Priority date: 2015-10-12
Filing date: 2015-10-12
Publication date: 2016-11-03
Also published as: WO2017065331A1

Abstract

본 발명은, 기하학적 특성 및 마찰손실특성을 고려하여 층류 유동 및 난류 유동에 대한 다공성 매질의 투과도 산출방법을 제공한다. 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 산출방법은, 다공성 매질의 공극의 공극률을 제공하는 단계; 상기 다공성 매질의 상기 공극의 수력 직경을 산출하는 단계; 상기 다공성 매질의 마찰계수를 제공하는 단계; 상기 다공성 매질의 비틀림도를 산출하는 단계; 및 상기 공극률, 상기 수력 직경, 상기 마찰계수, 및 상기 비틀림도를 이용하여 상기 다공성 매질의 투과도를 산출하는 단계;를 포함한다.

Description

기하등가투과도를 이용한 다공성 매질의 투과도 산출방법{Method of calculating permeability of porous material using geometry equivalent permeability}

본 발명의 기술적 사상은 투과도 산출방법에 관한 것으로서, 더욱 상세하게는, 기하등가투과도를 이용한 다공성 매질의 투과도 산출방법에 관한 것이다.

본 발명은 2013년도 산업통상자원부의 재원으로 한국에너지기술평가원(KETEP)의 지원을 받아 수행한 일련번호 제20132510100060호의 연구과제를 참조한다.

다공성 매질의 투과도 산정은 석유가스 개발 분야는 물론, 원자력, 생체역학, 토목, MEMS 등 다양한 분야에서 오랜 기간 많은 연구자들의 주요한 연구주제였다. 그럼에도 불구하고, 사암, 셰일, 균열 등 각기 다른 기하학적 특성과 유동조건의 변화에 따른 특성변화를 동반하는 암석지층의 투과도 산정방법은 여전히 확립되어 있지 못하다(Shin et al., 2012a).

최근, 셰일가스를 비롯하여 치밀가스(Tight Gas), 석탄층메탄가스(CBM, Coal Bed Methane) 등과 같은 비전통자원(unconventional resources)의 개발이 해당 산업은 물론 유관산업에 큰 영향을 미치고 있으며, 이러한 비전통자원의 대두에 따라 다양한 기하학적 특성을 가진 비전통자원 저류층의 특성화와 유동해석이 주요한 연구 주제로 대두되고 있다(Shin et al., 2012b).

비전통저류층의 개발은 수평시추와 수압파쇄와 같은 인공적인 지층자극법을 셰일지층이나 치밀사암과 같이 극도로 치밀한 지층에 적용하여, 지층의 유동성을 개선함으로써 달성되는 것이 일반적이다. 이는 전통적인 석유가스 저류층이 유사한 암상과 지층구조를 가져 각 국소지역의 유동도 유사한 공간적 상관성을 보이는 것에 반하여, 비전통저류층은 이방성의 불균질한 독특한 국소지역별 특성을 갖게 하는 주요한 원인이 된다. 대표적인 사례로, 셰일저류층은 치밀한 암석영역과 자연균열 영역 및 파쇄균열로 구분되는 지지체(propant)를 복합한 다공질복합 균열영역이 혼합되어 있어, 이를 일반적인 다공질유동이론으로 해석하는 경우 그 신뢰성을 담보하기 어렵다(Cipolla et al., 2010). 이에 따라, 암석학적 특성이 다른 다양한 국소지층에서 발생되는 다공질유동의 적절한 해석을 위한 투과도 산정방법의 도출이 필수적으로 요구된다. 그러나 현재까지의 많은 연구들은 주로 상대적으로 균질한 사암 저류층 등에 초점을 맞추고 있어, 관련이론을 균열과 넓은 범위의 다공성 특성이 복합되어 있는 지층으로 확장되는 것에는 한계가 있다.

본 발명의 기술적 사상이 이루고자 하는 기술적 과제는 기하학적 특성 및 마찰손실특성을 고려하여 층류 유동 및 난류 유동에 대한 다공성 매질의 투과도 산출방법을 제공하는 것이다.

그러나 이러한 과제는 예시적인 것으로, 본 발명의 기술적 사상은 이에 한정되는 것은 아니다.

상기 기술적 과제를 달성하기 위한 본 발명의 기술적 사상에 따른 다공성 매질의 투과도 산출방법은, 다공성 매질의 공극의 공극률을 제공하는 단계; 상기 다공성 매질의 상기 공극의 수력 직경을 산출하는 단계; 상기 다공성 매질의 마찰계수를 제공하는 단계; 상기 다공성 매질의 비틀림도를 산출하는 단계; 및 상기 공극률, 상기 수력 직경, 상기 마찰계수, 및 상기 비틀림도를 이용하여 상기 다공성 매질의 투과도를 산출하는 단계;를 포함한다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 투과도는 하기의 관계를 가질 수 있다.

(여기에서, k^* _GEP 는 기하학적 특성을 고려한 기하등가투과도, μ는 유체의 점도, f는 마찰계수, D_h는 수력 직경, ρ는 밀도, u는 상기 유체의 유속, φ 는 상기 다공성 매질의 공극률, T는 비틀림도이고, 윗첨자 *는 상기 다공성 매질에 관한 값들을 지칭함)

(여기에서, k^* _GEP는 기하학적 특성을 고려한 기하등가투과도, f^*는 마찰계수, Re_p ^*는 상기 다공성 매질의 레이놀즈수, φ^*는 상기 다공성 매질의 공극률, D_h ^*는 수력 직경, T^*는 비틀림도이고, 윗첨자 *는 상기 다공성 매질에 관한 값들을 지칭함)

(여기에서, k^* _GEP 는 기하학적 특성을 고려한 기하등가투과도, D_h는 수력 직경, f는 마찰계수, φ는 상기 다공성 매질의 공극률, T는 비틀림도이고, 윗첨자 *는 상기 다공성 매질에 관한 값들을 지칭하고, 아래첨자 R은 비교 매질에 관한 값들을 지칭함)

(여기에서, k^* _GEP 는 기하학적 특성을 고려한 기하등가투과도, μ는 유체의 점도, ρ는 상기 유체의 밀도, u는 상기 유체의 유속,f^*는 마찰계수, C_s 는 상기 다공성 매질의 유효 입자 모양 계수, d_m은 상기 다공성 매질의 평균 입자 직경, φ는 상기 다공성 매질의 공극률, m 은 고결 인자(cementation factor), n은 상기 다공성 매질의 비표면적 특성과 같은 기하학적 특성에 의존하는 상수이고, 윗첨자 *는 상기 다공성 매질에 관한 값들을 지칭함)

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 고결 인자(m)는 2 내지 2.7의 수치를 가질 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 n은 0 내지 1의 수치를 가질 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 수력 직경을 산출하는 단계는, 상기 다공성 매질의 상기 공극의 마찰손실에 대하여 등가의 마찰손실을 발생하는 원통형 모세관을 이용하여 이루어질 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 수력 직경은, 상기 다공성 매질의 상기 공극률, 상기 다공성 매질의 유효 입자 모양 계수 및 상기 다공성 매질의 평균 입자 직경과 관련되어 산출될 수 있고, 하기의 관계를 가질 수 있다.

(여기에서, D_h는 수력 직경, C_s 는 상기 다공성 매질의 유효 입자 모양 계수, d_m은 상기 다공성 매질의 평균 입자 직경, φ는 상기 다공성 매질의 공극률임)

본 발명의 일부 실시예들에 있어서,상기 수력 직경은, 상기 다공성 매질의 상기 공극률과 상기 공극의 비표면적과 관련되어 하기의 관계로부터 산출될 수 있고,

(여기에서, D_h는 수력 직경, V_v 는 공극의 부피, S는 공극의 표면적, S_s 는 공극의 비표면적, φ는 상기 다공성 매질의 공극률임)

상기 공극의 비표면적은 하기의 관계를 가질 수 있다.

(여기에서, S_s 는 공극의 비표면적, C_s 는 상기 다공성 매질의 유효 입자 모양 계수, d_m은 상기 다공성 매질의 평균 입자 직경, φ는 상기 다공성 매질의 공극률, n은 상기 다공성 매질의 기하학적 특성에 의존하는 상수임)

(여기에서, D_h는 수력 직경, C_s 는 상기 다공성 매질의 유효 입자 모양 계수, d_m은 상기 다공성 매질의 평균 입자 직경, φ는 상기 다공성 매질의 공극률, l 및 n은 상기 다공성 매질의 기하학적 특성에 의존하는 상수임)

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 마찰계수는 다르시(Darcy) 마찰계수가 적용될 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 공극률, 상기 수력 직경, 및 상기 마찰계수는, 상기 다공성 매질의 기하학적 특성 및 마찰손실특성을 나타내도록, 직선 원통형 유로에 대하여 도출되는 마찰계수로부터 등가 변수들로 변환될 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 비틀림도는 상기 공극률과 관련될 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 비틀림도를 산출하는 단계는 하기의 관계를 이용하여 이루어질 수 있다.

(여기에서, m 은 고결 인자임)

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 다공성 매질의 상기 공극을 유동하는 유체는 난류 유동할 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 다공성 매질은 상기 다공성 매질은 사암(sandstone), 실트, 탄산염암, 균열 암석, 다공성 생체조직, 다공성 기계부품, 또는 다공성 전자부품을 포함할 수 있다.

상기 기술적 과제를 달성하기 위한 본 발명의 기술적 사상에 따른 다공성 매질의 투과도 산출방법은, 다공성 매질의 공극의 공극률을 제공하는 단계; 상기 다공성 매질의 상기 공극의 수력 직경을 산출하는 단계; 상기 다공성 매질의 비틀림도를 산출하는 단계; 및 상기 공극률, 상기 수력 직경, 및 상기 비틀림도를 이용하여 상기 다공성 매질의 투과도를 산출하는 단계;를 포함한다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 투과도는 하기의 관계를 가질 수 있다. 이러한 투과도는 사암 지층에 대하여 적용될 수 있다.

(여기에서, K_T 는 비틀림도를 고려한 투과도, C_s 는 상기 다공성 매질의 유효 입자 모양 계수, d_m은 상기 다공성 매질의 평균 입자 직경, φ는 상기 다공성 매질의 공극률, m 은 고결 인자임)

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 다공성 매질의 상기 공극을 유동하는 유체는 층류 유동할 수 있다.

상기 기술적 과제를 달성하기 위한 본 발명의 기술적 사상에 따른 다공성 매질의 투과도 산출방법은, 다공성 매질의 공극의 공극률을 제공하는 단계; 상기 다공성 매질의 상기 공극의 수력 직경을 산출하는 단계; 상기 다공성 매질의 마찰계수를 제공하는 단계; 및 상기 공극률, 상기 수력 직경, 및 상기 마찰계수를 이용하여 상기 다공성 매질의 투과도를 산출하는 단계;를 포함한다.

(여기에서, k 는 투과도, μ는 유체의 점도, f는 마찰계수, D_h는 수력 직경, ρ는 유체의 밀도, u는 유체의 유속, φ는 상기 다공성 매질의 공극률이고, 윗첨자 *는 상기 다공성 매질에 관한 값들을 지칭함)

본 발명의 기술적 사상에 따른 다공성 매질의 투과도 산출방법은 상기 다공성 매질의 기하학적 특성 및 마찰손실특성을 나타내는 변수들을 적용하여 투과도를 산출할 수 있으며, 층류 유동 뿐만 아니라 난류 유동에 대하여도 투과도를 산출할 수 있다. 본 발명의 기술적 사상에 따른 투과도 산출방법은 보다 신뢰성 있는 투과도 분석을 가능하게 하고, 특히 마찰계수나 수력직경, 비틀림도 등 각 암석의 기하학적 특성변수를 적절히 고려할 수 있게 함으로써, 각각의 암상에 따른 공극률-투과도 상관관계를 적절히 구분하여 제시할 수 있다. 또한, 본 발명의 기술적 사상에 따른 다공성 매질의 투과도 산출방법은 치밀사암 등이나 자연균열, 파쇄균열 등과 같이 기하학적 특성이 일반적인 사암과 구분되는 지층의 분석에서 보다 효과적으로 적용될 수 있다. 또한 본 발명의 기술적 사상에 따른 다공성 매질의 투과도 산출방법은 다양한 다공성 매질에 적용될 수 있고, 예를 들어 상기 다공성 매질은 사암, 실트, 탄산염암, 균열 암석, 다공성 생체조직, 다공성 기계부품, 또는 다공성 전자부품을 포함할 수 있다.

상술한 본 발명의 효과들은 예시적으로 기재되었고, 이러한 효과들에 의해 본 발명의 범위가 한정되는 것은 아니다.

도 1은 다공성 매질의 공극 구조를 도시하는 개략도들이다.
도 2는 입자 크기에 따른 공극률을 도시하는 그래프이다.
도 3은 비표면적과 공극 크기와의 관계 및 공극률과 비표면적의 관계를 나타내는 그래프들이다.
도 4는 과립 다공성 물질을 통한 유동에 대하여 파닝 마찰 인자와 레이놀즈 수와의 관계를 나타내는 그래프이다.
도 5는 본 발명에 따른 투과도 산출방법에 의하여 얻은 공극률과 투과도 사이의 관계를 유정 (A)에서의 시추 코어의 실험결과와 비교한 그래프이다.
도 6은 본 발명에 따른 투과도 산출방법에 의하여 얻은 공극률과 투과도 사이의 관계를 유정 (B)에서의 시추 코어의 실험결과와 비교한 그래프이다.

이하, 첨부된 도면을 참조하여 본 발명의 바람직한 실시예를 상세히 설명하기로 한다. 본 발명의 실시예들은 당해 기술 분야에서 통상의 지식을 가진 자에게 본 발명의 기술적 사상을 더욱 완전하게 설명하기 위하여 제공되는 것이며, 하기 실시예는 여러 가지 다른 형태로 변형될 수 있으며, 본 발명의 기술적 사상의 범위가 하기 실시예에 한정되는 것은 아니다. 오히려, 이들 실시예는 본 개시를 더욱 충실하고 완전하게 하고, 당업자에게 본 발명의 기술적 사상을 완전하게 전달하기 위하여 제공되는 것이다.

본 연구에서는 다양한 다공성 매질의 투과도 산정에 고려되어야 하는 특성변수를 우선 조사, 규명하고자 하였으며, 이를 여러 선행연구자들이 정립한 주요 변수간의 상관관계를 도입하여, 궁극적으로 다양한 기하학적 특성을 가진 다공성 매질의 투과도 산정에 적용이 가능한 투과도 관계식으로 도출하고자 하였다. 또한, 동일한 지층에서 암석학적 조건이나 유동조건이 각기 다른 국소지역에서 각 특성변수들이 변화에 따라 투과도가 어떠한 상관관계를 가지는 지를 대비할 수 있도록 하는 것에 또 다른 중점을 두었다.

이는 선행연구들로부터 도출된 기존 방법들이, 대부분의 경우, 해당 실험의 대상이 된 특정 암석을 기반으로 상관관계식을 제시함에 따라 이들이 다양한 암석으로 확장되기에는 한계를 가지기 때문이다. 즉, 여러 선행연구의 관계식들의 대상이 된 지층들은, 실제 해석대상이 되는 다양한 지층과는 근본적인 암석학적 특성이나 유동조건에 차이가 커서 신뢰성에 한계를 가진다. 또한, 이들의 변형이나 적용을 위해서는 많은 경우, 공극 수력직경 등과 같은 핵심적인 특성변수를 다시 별도의 방법으로 결정해야 하는 문제에 봉착하게 된다.

따라서 실제 현장에서는, 취득된 시료의 투과도를 실험적 방법으로 측정하고, 이를 암석학적, 유동학적 조건이 달라지는 다른 국소지역의 투과도로 표현하는 것이 보다 현실적인 목표가 되며, 이를 위한 특성변수 상관관계의 대비가 보다 유용한 표현이 될 수 있다. 다른 측면에서, 일반적으로 사용되는 코어실험을 기반으로 한 투과도-공극률 상관관계 분석을 통해 단일의 투과도-공극률 관계를 도출하는 것은 암석학적 측면에서 부적절할 수 있다. 이는 실제의 지층이 단일의 아주 균질한 암상분포를 가지는 경우에만 타당할 수 있으나 대부분의 저류층 모델링이나 시뮬레이션 작업에서 이러한 부분은 무시되고 있다. 실제, 동일한 사암지층 내에도 광물학적 조성이나 공극구조의 차이는 상당히 발생될 수 있으며, 이에 더불어 다양한 암상분포와 지층압 조건 및 퇴적환경 등에 차이가 있는 광범위한 지층을 단일한 암석학적 특징을 갖는 것으로 가정하는 것은 부적절하다. 그러므로 각 지층의 암석학적 특징을 충분히 고려할 수 있도록, 각각의 암상에 대한 특성변수의 규명이 선행되고 투과도에 대한 각각의 상관관계가 적절히 표현되어야 한다.

균열의 경우는 FMI 로그 등 시추공 로그자료와 코어 시편분석 및 탄성파 속성 대비 등을 통해 DFN(Discrete Fracture Network) 분석과 모델링을 수행하고, 이를 기반으로 일반적인 균열의 분포와 기하학적 특성의 규명이 가능하다(Luthi and Souhaite, 1990; Cipollar, 2010). 그러나 균열의 투과도 산정에는 별도의 신뢰할 수 있는 결정방법이 현재까지 제시되고 있지 않아, 이력검증(history matching) 시뮬레이션을 기반으로 투과도를 결정하는 것이 보통이다. 이에 따라, 실제 이력검증을 기반으로 도출된 일부 사례를 살펴보면, 산출된 투과도가 지나치게 높거나 낮은 범위에 분포하는 경우, 또는 지나치게 균질하거나 반대로 불균질한 분포를 보이는 등 각 해석에서의 일관성이 부족하고 결과의 신뢰성이 높지 않은 것이 사실이다. 이는 근본적으로 자연균열은 물론, 파쇄균열과 지지체 복합균열 등에서 투과도 산정과 관련된 이론적 체계가 미흡한 것에 기인된다.

이와 더불어, 균열유동은 유동학적인 측면에서는 상대적인 수송유량이 훨씬 커서 쉽게 난류로 천이되는 특성을 가진다. 이는 균열유동뿐만 아니라, 공극이 상대적으로 큰 사암지층의 경우에도 유정 주변 등과 같이 상대적으로 큰 압력구배를 받는 경우, 유동은 쉽게 난류로 천이될 수 있어 난류영향에 대한 고려도 필수적이다. 이를 위해, 흔히 포크헤이머(Forchheimer) 관계식으로 알려진 다르시(Darcy) 관계식과는 다른 형태의 지배방정식을 사용하는 것이 일반적이나, 이는 유동방정식의 형태가 달라, 다르시 관계식을 기반으로 하는 다른 유동영역의 해석을 복합하는 측면에서 비효율적이다. 이에 따라, 본 연구에서는 앞에서 제시한 투과도의 특성변수 상관관계식 도출에 있어서, 다르시 유동 관계식을 기본 형태로 유지하면서 다양한 암석학적(기하학적) 조건과 유동학적(난류영역) 조건을 동시에 고려할 수 있는 방안을 도출하는 것에도 또 다른 중점을 두었다.

투과도의 물리학적 의미와 특성변수 검토

투과도는 다공질 유동특성을 대표하는 가장 중요한 물성이며, 다르시 관계식이나 포크헤이머 관계식의 핵심적인 특성변수 중의 하나이다. 그럼에도 불구하고, 셰일저류층과 같이 다양한 매질이 가진 각기 다른 기하학적 특성을 고려한 실제의 투과도를 제시하는 것은 매우 어렵거나, 현실적으로 거의 불가능하다. 이에 따라, 현장에서의 일반적인 투과도 산정은 실제 유정시험이나 코어실험을 기반으로 수행된다. 투과도 산정을 위한 다른 방법으로는 공극률과 같이 측정이 가능한 다른 암석물성을 기반으로 투과도를 표현하는 모델을 이용하는 방법이 있다. 역사적으로, 이러한 최초의 접근은 하젠(Hazen, 1892)에 의한 포화된 사암에 대한 투과도 측정에 대한 경험적 관계식의 도출이었다. 코제니(Kozeny, 1927) 와 카르멘(Carman, 1937, 1938, 1956)은, 코제니-카르멘(Kozeny-Carman) 관계식으로 널리 알려진, 낮은 공극 유동속도를 가진 층류 다공질 유동에 유용한, 암석 공극을 유관(tube)으로 상사한 모델을 기반으로 반경험, 반이론적 관계식을 도출한 바 있다. 패터슨(Paterson, 1983)과 왈쉬(Walsh) 와 브레이스(Brace, 1984)는 다공질을 통과하는 유동을 다른 관경을 가진 유관 꾸러미를 통과하는 유동으로 가정하는 등가 채널(channel) 모델을 도출한 바 있다. 아치도우(Achdou) 와 아젤라네다(Avellaneda, 1992)는 코제니-카르멘 모델을 보다 견고히 할 수 있는 'dc 투과도(dc-permeability)' 산정을 가능하게 할 수 있는 방법을 제안하고자 전기적 측정법(electrical measurement)을 통해 동적, 정적 투과도상의 공극 거칠기와 공극 크기분포의 영향을 분석하였다. 이상에서 언급한 것과 같은 투과도를 암석과 공극의 다양한 특성변수와 상관시키고자 하는 다양한 시도에 부가하여, 암석 입자와 광물학적 조성, 비표면적과 수포화도 및 시추정 로그 모델(Nelson, 1994) 등과 같은 많은 다른 부류의 접근도 여러 차례 시도된 바 있다.

본 연구의 목표인 투과도 특성변수 도출과 상관관계 정립을 위해서는 투과도가 가지는 물리학적 의미와 정의를 우선 살펴볼 필요가 있다. 다공성 매질이나 균열망 유동의 수송현상을 묘사하는 모델로는 크게 두 가지 부류의 모델이 존재한다(Sahimi, 2011).

첫 번째 부류로는 연속체 모델(continuum model)로, 일반적인 유동방정식으로써의 친숙함이나 사용의 편의성 덕분으로 널리 사용된다. 반면, 이 모델은 크기 척도(scale), 평균화(averaging) 및 공극 공간의 연결성(connectivity)과 관련된 현상을 표현하는데 있어서 일부 제약이 있다. 두 번째 부류로는 이산 모델(discrete or network model)을 들 수 있으며, 마이크로 영역에서의 유동현상 묘사에서 강점이 있으나 거시적 현상을 묘사하는데 한계가 있다는 단점이 있었다. 그러나, 지난 수십 년 동안 거시영역 혹은 보다 더 큰 영역의 다양한 현상을 묘사할 수 있도록 확장되어 왔다(Koch and Ladd, 1997).

본 연구에서는 다르시 관계식과의 호환성을 기본적인 목표 중의 하나로 두고 있으므로, 연속체 모델을 기반으로 한 지배방정식을 사용하여 관련검토를 진행해 나가고자 한다. 연속체 모델을 기반으로 다공질 유동의 운동량 관계식의 완전한 형태 도출을 위한 전개과정이나 기본 개념은 베어(Bear, 1975)나 부르마이스터(Burmeister, 1993) 및 카비아니(Kaviany, 1995) 등 이미 여러 선행연구자들에 의하여 제시된 바 있다. 특히, 위타커(Whitaker, 1996)는 다르시 법칙의 투과도 텐서(permeability tensor)와 포크헤이머 수정 텐서(correction tensor) 를 결정할 수 있는 체적 평균(volume averaged)된 나비에-스토크스(Navier-Stokes) 관계식을 유도한 바 있다. 루빈스테인(Rubinstein) 과 토르쿠아토(Torquato, 1989)는 조화평균 관계(ensemble-average formulation)를 활용하여 마이크로 영역에서의 다르시 법칙을 유도함으로써 투과도의 엄밀한 에너지적 표현을 도출한 바 있다. 메이(Mei) 와 아우리아울트(Auriault, 1991)는 강체 다공성 매질을 나비에-스토크스(Navier-Stokes) 관계식을 활용한 상수형 밀도를 갖는 비압축성 뉴톤 유체로 고려하여 관성력이, 비록 약하더라도, 전역적으로 보다는 지역적으로 보다 중요하다는 점을 제시한 바 있다. 아울러, 연속체 모델에서 사용되는 다공질 유동의 지배방정인 나비에-스토크스(Navier-Stokes) 방정식의 마이크로 유동영역에서의 유효성과 적용방안에 대하여 다양한 연구가 수행되었으며, 결과적으로 유로의 직경이 약 1 μm 이상 또는 Knudsen 수 '1' 이하의 유동, 즉 전통적인 사암이나 탄산염암 저류층에서는 이러한 적용이 가능한 것으로 알려져 있다(Bird, 1994; Brazzle et. al., 1998; Yan, 2003; Dongari and Agrawal, 2012).

부르마이스터(Burmeister, 1993)는 공극을 수평의 직선 원통형 모세관들로 간주하는 것으로부터, 다공성 매질을 통과하는 유체유동의 운동량 방정식 유도를 시작하였다. 공극을 통과하는 완전히 발달된 유체 유동의 x축 방향 운동량 방정식은 다음 수학식 1과 같이 표현될 수 있다. 이 식을 공극의 단면적, "A_p= φA"에 대하여 적분한 후, "dA = 2πrdr"를 곱하면 다음 수학식 2를 얻을 수 있다. 수학식 2에 층류유동을 기반으로 한 벽면전단응력 관계식을 대입하고, 이를 A_p 로 나누면, 수학식 3으로 제시된 다공질 유동의 x축 방향 보존형 운동량 방정식을 구할 수 있다. 여기서, u 는

로 정의되는 면적평균속도(area-averaged velocity)이고, u_p는

로 정의되는 공극의 평균유동속도(average pore velocity), 따라서 "u= φu_p"이다. τ_w은 층류유동을 기반으로 한 변면전단응력으로 수학식 2에 제시된 바와 같다.

도출된 수학식 3은 좌측으로부터, 좌변의 비정상항, 대류항과 우변의 압력항, 중력항, 마찰손실항 및 확산항의 총 여섯 개의 항들로 구성되어있다. 우변의 마지막 두 항이 일반적으로 각각 다르시 항과 브린크만(Brinkmann) 확산항으로 알려져 있다. 여기서, 좌변의 비정상항과 우변의 중력항은 정상상태 수평유동에 대하여서는 제거될 수 있다. 또한, 일반적인 다공질 유동 해석에서, 좌변의 대류항과 우변의 브린크만 확산항은 무시될 수 있다. 그러므로, 수학식 3은 수학식 4에 보여진 바와 같이, 다르시 관계식과 매우 유사한 형태로 재 정리될 수 있고, 투과도의 기본적인 수학적 정의가 다르시 관계식과의 비교를 통하여 수학식 5와 같이 제시될 수 있다. 여기서, 우리는 다르시 항이 벽면전단응력의 함수인 마찰손실항에 상응하는 것에 주목할 필요가 있다. 이는 다공성 매질의 투과도는 물리학적으로 벽면전단응력을 생성하는 공극의 등가단면적에 상당하며, 이에 따라 투과도는 벽면전단응력의 함수로 취급될 수 있다는 것을 의미하기 때문이다.

상기 수학식 5의 전개과정을 통해, 우리는 투과도가 가지는 기본적인 물리학적 의미와 수학적 표현 및 투과도가 벽면전단응력의 함수임을 확인할 수 있었다. 상기 수학식 5는 브루마이스터(Burmeister, 1993)를 비롯하여 여러 다른 선행연구나 문헌들에서도 제시된 바가 있으며, 층류유동을 기반으로 한 투과도의 이론적 전개에 널리 활용되었다(Bear, 1975; Kaviany, 1995; Jurgawczynski, 2007).

그럼에도 불구하고, 수학식 5가 실제 투과도 산정을 위한 관계식으로 적절히 사용되지 못하는 이유는 이상의 검토를 기반으로 크게 두 가지 원인으로부터 기인되는 것으로 요약될 수 있다. 첫째로, 수학식 5는 수학식 2의 벽면전단응력 해석을 위해, 하겐-포이쉴리(Hagen-Poiseuille) 관계식으로 불려지는 비압축성 층류유동 관계식을 도입하여 전개됨에 따라, 이를 난류유동에 확장할 수 없는 한계가 있다. 두 번째는, 수학식 5에서 투과도는 단순히 공극 단면적만의 함수로 표현되어 있고, 이때 공극 단면적은 단순히 공극률과 매질 단면적과의 곱의 형태인, φA_p 로 표현되어 있어 다양한 공극의 기하학적 특성을 충분히 표현할 수 없다. 이는 수학식 1 내지 수학식 5의 전개과정에서 가정된 수평의 직선형 원통관으로 취급될 수 있는 매우 단순한 형태의 공극을 고려하는 경우에만 적용이 가능하다. 즉, 실제 다공성 매질의 공극 구조와 형상은 매우 복잡하고, 다양한 종류와 크기의 암석입자들로 구성되어 있어, 이러한 공극들을 통과하는 유체는 유로상의 수많은 암석입자들과의 마찰저항에 의한 유동손실을 받게 된다. 뿐만 아니라, 공극 유로는 만곡(curvature)이나 비틀림(tortuosity)은 물론 분기(divergence)나 결합(conjunction) 등 다양한 기하학적 변형을 동반하게 되어, 상당한 유동손실의 증가가 동반되는 것으로 보는 것이 당연하다. 그러므로 앞서 언급된 난류유동 적용의 한계를 제외하고, 층류유동에 대하여서라도 수학식 5가 적절히 적용되기 위해서는 이러한 공극유로의 기하학적 특성변화를 적절히 등가화하여 표현할 수 있는 방법의 도출이 필수적이다.

도 1은 다공성 매질의 공극 구조를 도시하는 개략도들이다. 도 1(a)는 다양한 크기의 공극이 혼재된 형성된 일반적인 공극 구조를 도시한다. 도 1(b)는 방사형 튜브와 같이 수력학적으로 동일한 공극 형상을 가지는 공극 구조를 도시한다. 도 1(c)는 원통형 모세관과 같이 수력학적으로 동일한 공극 형상을 가지는 공극 구조를 도시한다.

본 연구에서는 이러한 부분을 고려하고자 도 1에 제시된 바와 같이 도 1(a), 도 1(b), 도 1(c) 세 가지 종류의 등가의 수력직경을 갖는 유로를 고려하였다. 도 1(a)는 사암과 같이 다양한 크기의 공극이 혼재되어 있는 일반적인 다공성 매질을 표현한 것이다. 도 1(b)는 도 1(a)의 다공성 매질과 공극률은 같으나, 도 1(a)의 복잡한 공극을 단일관으로 단순화하고 많은 방사형 주름을 가져서 동일한 평균 마찰손실을 갖는 모세관을 가정한 것이다. 도 1(c)는 동일한 유동조건에서 도 1(b)의 유로와 등가의 평균 마찰손실을 가질 수 있도록 직경을 축소하여 등가화한 원통형 모세관이다. 이 때, 실제 다공성 매질인 도 1(a)의 유로 변형(만곡, 비틀림 등)의 효과는 도 1(b)와 도 1c)에서는 유로의 길이 변화로 대응되는 것으로 가정하였다. 따라서, 세 종류의 유로는 동일한 유동조건(포텐셜)에서 등가의 마찰손실을 수반하나, 도 1(b)의 모세관은 도 1(a)와 동일한 공극률을 갖는 반면, 도 1(c)는 이 조건을 만족하지 않는다. 그러나 이러한 기하학적 특성변수의 등가화는 단지 공극직경이나 비틀림도 등 각 특성변수의 산정을 위한 수단에 국한된 것이며, 궁극적인 유동의 해석이나 투과도 상관관계에는 영향을 미치지 않는다. 결과적으로, 본 연구에서는 어떤 유동조건하에 있는 실제 다공성 매질인 도 1(a)의 유동손실을 도 1(c)와 같은 단순한 원통관 유동에 대한 직경과 비틀림도 및 마찰손실에 대한 등가의 값으로 도출할 수 있다면, 다공성 매질 도 1(a)의 유동을 등가로 해석할 수 있다는 개념에서 착안되었다. 여기서, 공극의 등가직경은 일반적으로 널리 사용되는 다공성 매질의 수력 등가직경(hydraulic diameter) 개념을 통해서 근사적으로 결정될 수 있다. 즉, 도 1(a)의 다공성 매질과 등가의 마찰손실을 동반하는 원통형 모세관, 도 1(c) 의 수력직경을 타당하게 산정하는 경우, 수학식 5는 비록 층류유동에 한정되나, 유효한 투과도를 산정할 수 있는 관계식을 구할 수 있다. 이러한 개념은 이미 선행연구에서 유사하게 시도된 바 있으며, 다공질 유동의 수력직경의 산정을 위한 대표적인 관계식으로는 카르멘(Carman, 1937)이 제안한 다공질 매질의 수력반경(hydraulic radius)의 정의가 있다. 이 정의는 일반적인 배관유동에서의 배관단면에 대한 등가 수력직경의 개념을 확장한 것으로 다공질 유동에 대하여 수학식 6과 같이 정의된다.

결과적으로, 다공성 매질의 수력직경은 수학식 6에 제시된 바와 같이 공극률과 비표면적(specific surface area)의 함수로 귀결된다. 이 때, 비표면적의 측정은 찰키(Chalky 등 ,1949) 등에 의해 제안된 통계적 방법을 비롯하여, 흡착(gas adsorption) 실험 방법과 PIA(Petrographic Image Analysis) 방법 및 NMR(Nuclear Magnetic Resonance) 계측 방법이 대표적으로 사용되고 있다. 아울러 최근, NMR 계측을 통한 실험적 연구에서 비표면적이 수포화도(S_w, S_wi)와 보다 직접적인 상관관계를 가진다는 결과도 제시된 바 있다. 또한 비표면적과 관련된 이론적인 접근으로는, 코제니(Kozeny, 1927)가 다공성 매질의 입자를 구형으로 가정하여 비표면적을 입자평균직경과 상관시켜 아래 수학식 7(a)와 같은 비표면적과 암석입자 평균크기와의 관계를 도출한 것이 대표적이다. 이 식에서, 코제니(Kozeny, 1927)는 동일한 크기의 구형 입자를 대상으로 유효 입자형상계수(C_s)로 '6'을 제시하였으나, 이는 최근의 실제 사암 등의 암편을 대상으로 한 실험적 접근을 통하여 '4.27' 이 일반적인 암석에 대하여 보다 적절한 것으로 제시하였다(Engler, 2010).

도 2는 입자 크기에 따른 공극률을 도시하는 그래프이다.

표 1은 물질에 따른 비표면적을 나타내는 표이다(Engler, 2010).

그러나 일부 최근의 연구에서는 도 2와 같이, 암석입자 평균직경과 공극률, 즉 비표면적과의 상관관계는 낮으며, 암석입자의 분급의 함수임을 주장하고 있다. 유사한 사례로, 레이크(Lake)는 각기 다른 광물학적 조성을 가진 암석들을 대상으로 비표면적 측정실험을 수행하여 표 1의 결과를 제시하였다(Engler, 2010). 이를 통해, 비표면적이 암석의 광물학적 조성에 크게 영향을 받으며, 암상 종류에 따른 공극률 변화에 반비례하는 관계를 보임을 제시한 바 있다.

도 3은 비표면적과 공극 크기와의 관계 및 공극률과 비표면적의 관계를 나타내는 그래프들이다. 도 3(a)는 랜덤 충진 시뮬레이션(random packing simulations)을 이용하여 얻은 다공 네트워크에 대하여 공극의 상자 집계 프랙탈 차원(cube counting fractal dimension)과 비표면적(specific surface area) 사이의 관계를 도시한다. 도 3(b)는 동일한 상자 집계 프랙탈 차원에서의 비표면적과 공극률 사이의 관계를 나타낸다.

또한, Lee 와 Lee(2013)는 다양한 형상과 구조를 가진 미소 실리카 겔(silica gel) 입자와 유리 구슬(glass bead)에 대한 프랙탈(fractal) 해석과 수치해석적 실험을 통해 도 3에 제시된 바와 같이 비표면적이 공극률에 반비례하는 관계를 가짐을 제시하였다. 결과적으로, 비표면적의 특성변수에 대한 다양한 이론들이 제기되어 있는 상황으로 아직까지 관련된 이론적 정립이 확고하지 않아 수학식 7(a)의 관계식을 그대로 차용하는 것에는 무리가 있는 것으로 판단된다.

이에 본 연구에서는, 비표면적의 산정은, 기본적으로는 수학식 7(a)와 같은 코제니(Kozeny, 1927)의 관계식에 기반하여 고려하되, 암석입자 평균직경 및 공극률에 각각 상관되는 형태로 표현되는 것이 보다 타당한 방안으로 판단하였다. 이에 따라, 비표면적에 대한 코제니의 관계식인 수학식 7 (a)에 공극률 항을 부가하고, 각각의 항에 지수를 도입하여, 비표면적 관계식을 수학식 7 (b)와 같이 재정의하였다. 이 때, 수학식 7 (b)의 지수들은 각 암석의 특성을 표현할 수 있는 적절한 값이 부여될 필요가 있으며, l=1 이고 n=0 인 경우는 원래의 코제니 관계식과 동일한 관계를 의미한다. 결과적으로, 공극률의 함수로 표현한 최종적인 수력직경의 관계식은 수학식 8 (a) 및 수학식 8 (b)와 같이 정리될 수 있다.

그러나 이상의 검토를 통하여, 수학식 8과 같은 수력직경의 개념을 수학식 5에 도입함에도 불구하고, 실제 다공성 매질의 투과도는 수학식 5를 통해 산출하는 결과보다 훨씬 낮은 값을 보일 것으로 추정된다. 이는 실제 다공성 매질의 공극 유동이 단면의 크기와 형상적 특성을 가질 뿐만 아니라, 내부 유로의 만곡이나 비틀림 등과 같은 유로 측면에서도 다양한 기하학적 변화를 동반하기 때문이다. 이에 대한 접근을 위하여, 본 연구에서는 카르멘(Carman, 1937)에 의하여 제시된 비틀림도(Tortuosity, T)의 개념을 도입하였다. 카르멘은 비틀어진 모세관에서 평균속도의 관계를 설명하기 위하여 비틀림도의 개념을 도입하였으며, 이 때 비틀림도에 의한 유동의 영향은 아래 수학식 9에서 보는 바와 같이 유동속도와 유동포텐셜 두 가지 인자 각각에 대하여 고려되어야 함을 증명하였고, 모세관 유동에 대한 하겐-포이쉴리 관계식에 결합하여 제시한 바 있다. 이 때,

는 임의의 방향 s에 대한 평균유속을 의미하며,

는 평균수력구배(mean hydraulic gradient)의 s 방향 성분의 절대값이고, 길이 L_e는 모세관 입구에서 출구까지의 실제 길이를, 길이 L은 모세관 입구와 출구를 직선으로 연결한 직선 길이를 의미한다(Carman, 1937).

수학식 9의 카르멘 비틀림도 개념을 본 연구에 도입하고자, 수학식 5의 단면적 평균유속, u 를 길이방향에 대한 평균유속,

로 고려하여 수학식 10에 제시된 바와 같이 상관시켰다. 결과적으로, 비틀림도를 도입한 투과도 관계식은 임의의 방향 s 에 대한 평균유속,

의 관계로 정리되어 수학식 10에 제시된 바와 같이 표현된다. 이를 다시 임의의 지점에서 s 방향의 유동속도, u_s에 대한 관계식으로 정리하면, 다음 수학식 11과 같다.

여기서, 수학식 11은 앞에서 투과도 관계를 정의한 수학식 5와 같은 기호로 표기되는 것이 상호간의 관계를 이해하고 후속 논의에서 유리하다. 이에, 수학식 11에서 비틀림도의 고려를 위하여 도입하였던, 임의 방향 s를, 투과도 관계식 전개에서 기준으로 하였던 일차원 유동방향 (x)과 일치시키고 수학식 5와 동일한 기호로 표기방법을 통일하여 정리하면, 최종적으로 아래의 수학식 12와 같이 제시될 수 있다.

결과적으로, 수학식 12는 층류유동에 대한 하겐-포이쉴리 관계식을 기반으로 투과도를 정의한 수학식 5에 비틀림도를 복합하여 정리한 투과도 관계식이다. 이 시점에서, 현재까지 검토된 투과도와 기하학적 특성변수들과의 상관관계를 한번 정리해 볼 필요가 있다. 이를 위해, 수학식 8 (a)로 도출된 공극의 수력직경 개념을 수학식 12에 도입하면, 공극 수력직경과 비틀림도를 도입한 층류유동의 투과도 특성변수 상관관계를 표현하는 수학식 13을 얻을 수 있다.

수학식 13의 투과도 정의는 흔히 코제니-카르멘(Kozeny-Carman) 관계식으로부터 도출된 투과도 관계식, 수학식 14와 동일한 관계를 표현하고 있다. 즉, 카르멘(Carman, 1937, 1938)은 코제니(Kozeny, 1927)의 비표면적 관계식으로부터 동일한 평균직경 d_m 을 갖는 구형 입자를 기준으로, 형상계수는 "C_s = 6" 의 관계로 설정하고, 히치콕(Hitchcock, 1926)의 가정을 기반으로 비틀림도를

의 관계로 도입하여 흔히 코제니-카르멘(Kozeny-Carman) 투과도 관계식으로 알려진 수학식 14를 제시한 바 있다. 이 때, 이와 동일한 형상계수와 비틀림도 관계를 수학식 13에 도입하면 아래 수학식 14와 동일한 결과를 얻을 수 있다. 결과적으로, 수학식 13과 수학식 14는 동등한 관계식으로, 수학식 13은 수학식 14를 포함하여, 층류유동에 대한 투과도 관계의 일반화된 표현으로 생각될 수 있다.

최근의 연구에서, 비틀림도는 공극률의 함수로 표현되는 것이 보다 적절한 것으로 밝혀져 있어, 수학식 14의 형태와 같이 실험이나 가정을 통해 도출된 결과 값이나 근사치를 직접 적용하기 보다는 수학식 13을 기반으로 공극률의 함수 등과 같이 일반화된 형태로 고려되는 것이 보다 합리적인 결과를 기대할 수 있다. 이러한 비틀림도의 결정 역시, 많은 선행연구자들에 의해 다양한 방법이 제안되었으나, 아치(Archie) 에 의해 정의된 지층계수(Formation Factor)와 비저항지수(Resistivity Index)의 상관을 통해 계산하는 방법이 가장 널리 활용되고 있다(Bear, 1975). 그러나 동일한 아치의 지층계수 상관관계에 기반하더라도 각 연구에서 사용되는 모세관 모델이 다름에 따라 각각 다른 다수의 비틀림도 관계식이 도출되었다. 윌리(Wyllie)와 스팽글러(Spangler, 1952)는 두 가지 관경을 갖는 모세관 모델에 기반한 수학식 15 (a) 관계를 제시한 바 있고, 코넬(Cornell) 과 카츠(Katz, 1953)는 경사 모세관 모델로 대표되는 수학식 15 (b) 관계를, 윈소이어(Winseauer 등, 1952)는 염수로 포화된 암석에 대한 계측을 통해 도출한 수학식 15 (c) 관계로 표현된 모델이 대표적이다. 이 때 각 모델의 지층계수와 비틀림도 및 공극률간의 상관관계식은 수학식 15에 정리된 바와 같고, 각각을 아치 방정식을 활용하여 정리한 비틀림도 관계식은 수학식 16과 같다.

이상의 검토를 종합하면, 공극 수력직경과 비틀림도 모두를 공극률의 함수로 표현한 층류유동의 투과도 관계식은 수학식 17과 같이 정리될 수 있고, 카르멘의 정의에 비하여 공극률에 더 큰 영향을 받는 형태로 제시됨을 알 수 있다. 이 때, 공극률의 함수로써의 비틀림도 표현은 일반적으로 가장 널리 사용되는 수학식 16 (b)를 기준으로 제시하였으나, 각 암석이나 지층의 특성에 보다 정확한 결과를 제공할 수 있는 경우에는 수학식 16 (a) 및 수학식 16 (c)식을 비롯하여 각 암석의 특성을 적절히 표현할 수 있는 다양한 관계식의 적용이 가능하다.

기하등가투과도 정의

앞 절에서, 다공질 유동관계식에 대한 이론적 검토를 통하여 층류유동의 투과도 관계식인 수학식 5를 전개하고, 공극 수력직경과 비틀림도를 공극률의 함수로 도입하여 일반화된 투과도 관계식 수학식 17을 도출하였다. 그럼에도 불구하고, 수학식 17은 여전히 실제 다공성 매질의 투과도 산정에 적용되기에는 한계를 가진다. 이는 앞에서 검토된, 수학식 5가 가지는 두 가지 한계 중, 첫 번째 요소인 난류유동으로의 확장이 불가능한 것에서 기인된다. 이의 유동학적인 측면에서의 보다 근본적인 원인은 다공성 매질 내부의 공극을 형성하는 입자들에 의한 유동저항을 적절히 표현할 수 있는 특성변수가 수학식 5와 수학식 17을 비롯한 대부분의 투과도 관계식들에 존재하지 않거나 이들의 고려가 미흡한 것에서 기인된다. 이러한 난류유동의 해석을 위해서는, 다공질 유동에 대한 차원해석이나 확장 다르시 관계식을 기반으로 한 반경험적 관계식 형태로 도출된 포크헤이머 관계식과 이를 기반으로 확장된 다양한 해석방법이 수학식 18과 같이 제안되어 있다(Muskat, 1946; Bear, 1975). 제시된 관계식들은 각각의 실험결과를 기반으로 다양한 계수나 변수 값들을 기반으로 제시되고 있으나, 기본적인 형태는 대부분이 포크헤이머 관계식의 형태를 유지하고 있다. 이는 다르시 관계식이 유속과 투과도에 대하여 일차원적인 선형 관계를 가지는 것에 반하여, 이차 등과 같은 비선형적 관계로 표현되는 특징을 보이고 있다. 결과적으로, 포크헤이머 관계식에 기반하는 관계식의 경우, 난류유동의 해석이 가능하다는 장점은 있으나, 일반적인 다르시 관계식에 기반한 해석이나 관련이론과의 연계가 어렵고, 비선형방정식 해석을 위해 관련 이론이나 수치해석 모델과 시뮬레이션 코드의 수정 등과 같은 단점도 아울러 동반하게 된다.

이에, 본 연구에서는 다르시 관계식의 기본적인 형태를 유지하면서 다공질 유동의 해석에서 난류의 영향이나 유동저항을 표현할 수 있는 방안을 도출하고자 시도하였다. 이를 위해, 본 연구에서는 앞의 수학식 1 내지 수학식 3의 전개과정에서 도출된 '투과도는 물리학적으로 벽면전단응력을 생성하는 공극의 등가단면적에 상응하며, 벽면전단응력의 함수로 취급될 수 있다'라는 검토 결과에 주목하였다. 즉, 수학식 3의 도출과정에서 수학식 2의 벽면전단응력이 층류유동관계식의 도입에 따라 층류영역에 국한된 투과도 관계식이 도출되었다면, 이를 층류영역은 물론 난류영역에도 적용이 가능한 벽면전단응력 관계식으로 대체함으로써 이러한 한계를 극복할 수 있을 것으로 판단하였다. 이러한 벽면전단응력에 대한 대표적인 이론적 접근으로는 일반적인 배관유동의 해석에서 단면의 형상에 무관하고, 층류 및 난류영역에 모두에서 유효한 아래 수학식 19에 제시된 다르시 마찰계수(friction factor) 정의를 들 수 있다(White, 2001). 역기서, 무차원 변수 f 는 배관의 유동저항에 대한 거칠기 효과를 정립한 헨리 다르시(Henry Darcy)의 이름을 따라서 다르시 마찰계수로 불린다.

다르시 마찰계수 외에 내부유동의 마찰손실에 관계된 이론적 접근으로는 팬닝(Fanning) 의 마찰계수가 있으나 두 이론은 사실상 각각 수력직경과 수력반경을 대상으로 검토된 정도의 차이 외에는 동일한 관계를 가져, 다르시 마찰계수는 단순히 팬닝 마찰계수의 4배로 취급될 수 있다(Bear, 1975).

본 연구에서는 배관유동 해석분야에서 보다 폭넓게 사용되는 다르시 마찰계수를 기준으로 후속 논의를 진행하였다. 이에 따라, 수학식 19의 다르시 마찰계수 관계식을 다공질유동의 운동량방정식인 수학식 2에 대입하고 양변을 A_p로 나누면, 수학식 2는 아래 수학식 20과 같이 정리된다. 여기서, 수학식 4의 유도과정과 동일하게, 수평의 정상상태 다공질 유동을 고려하여 비정상항과 중력항은 제거하고 대류항과 브린크만 확산항을 무시하면 수학식 20은 다시 수학식 21의 형태로 축소되고, 최종적으로 수학식 22와 같이 정리될 수 있다. 결과적으로, 수학식 22는 일반적인 배관유동의 손실수두(head loss) 관계를 나타내는 다르시-바이스바흐(Darcy-Weisbach) 관계식의 다공성 매질의 공극유동에 대한 표현으로 생각될 수 있다.

그러나 수학식 22는 수학식 5의 경우와 마찬가지로, 단순히 수평의 직선 원통형 유로에 대하여 성립되는 관계식으로, 실제 다공성 매질의 공극유동에 적용되기 위하여서는 실제 다공성 매질의 수력직경이나 비틀림도와 같은 기하학적 특성은 물론 각 매질의 고유한 마찰손실 특성을 묘사할 수 있는 특성변수의 등가관계가 표현되어야 한다. 현재 이러한 실제의 특성변수 값이나 등가치를 직접적으로 결정하는 것은 사실상 불가능하므로 이들과 등가의 값을 가진 각각의 등가변수를 가정하고, 이를 수학식 22의 단순한 원통형 유로의 경우와 구분하기 위하여, D^* _p, A^* _p, f^* 등과 같이 각 특성변수에 위 첨자 '*' 를 부가하여 수학식 23에 다시 표시하였다. 수학식 23은 앞의 수학식 5의 도출과정과 동일하게, 다르시 관계식과의 대비를 통해 아래 수학식 24와 같이 정리될 수 있다. 결과적으로, 수학식 24는 각 등가 특성변수가 제시되는 경우 층류유동과 난류유동 모두에 적용이 가능한 투과도 관계식이며, 유동영역의 변화는 물론, 각각 다른 매질의 유동손실 특성을 다르시 마찰계수를 통해 반영이 가능한 형태로 제시되었다.

이 시점에서, 도출된 수학식 24의 물리적 의미와 타당성을 확인하고 이 식이 앞에서 도출된 층류영역의 투과도 정의인 수학식 17의 특성변수와 어떠한 상관관계를 가지는지를 검토해 볼 필요가 있다. 아울러, 본 연구가 다공성 매질의 기하학적 특성이나 유동조건의 변화에 따른 투과도 특성변수의 대비 관계를 도출하는데 또 다른 목적이 있다는 점에서도 층류유동의 투과도 관계와의 대비와 검토가 필요하다. 이를 위해, 다공질 유동의 운동량관계식에 다르시 마찰계수 관계를 도입하여 도출한 수학식 21에 앞에서와 동일하게 위 첨자 '*'를 부가한 등가변수의 개념을 도입하면, 수학식 21은 수학식 25와 같이 정리될 수 있다. 여기서, 전개의 편의를 위해 임시로 정의된 변수 k'와 층류유동에 대한 다르시 마찰계수,

의 관계가 도입되었다. 또한, 층류 다르시 마찰계수 내의 유동속도 v는 단일 공극경로를 통과하는 층류유동의 속도이므로 수학식 5로 제시된 층류유동의 투과도 관계식으로 대체되었다.

수학식 25는 수학식 26에 제시된 바와 같이, 다르시 관계식의 형태를 기준으로, 층류유동의 특성변수와 등가변수가 대비되도록 정리되었다. 이 식을 다르시 관계식과 대비하여 등가투과도, k^*를 정의하고 수력직경의 개념을 적용하여 다시 정리하면, 아래 수학식 27의 등가투과도 관계식을 얻을 수 있다. 이 때, 수학식 27은 어떤 다공질 유동의 투과도를 해를 알 수 있는 층류 기준유동과의 대비 관계를 통해서 산출될 수 있고, 이때 투과도는 수력직경과 마찰계수 비에 대한 제곱근의 상관관계를 가지는 형태로 제시되었다.

여기서 다시, 수학식 27은 본 연구의 또 다른 목적인 투과도 특성변수의 대비 관계 도출이라는 측면에서, 수평의 직선 원통관에서의 층류유동과 같이 매우 단순한 기준유동뿐만 아니라, 다양한 종류의 기준유동과 대비될 수 있도록 일반화된 관계식으로 확장되는 것이 유용하다. 이에, 수학식 27을 동일한 유동조건 하에 있는 임의의 다공성 매질 '1'과 '2'에 각각 적용하고, 수학식 28과 같이 두 매질의 관계식을 대비하면, 수학식 27은 아래 수학식 29과 같이, 임의의 기준유동 투과도 특성변수와 대비된 형태의 일반화된 투과도 관계식으로 정리될 수 있다. 결과적으로, 수학식 29는 다공성 매질의 종류와 유동범위에 상관없이 두 매질의 투과도 특성변수를 대비할 수 있도록 일반화된 투과도 특성변수 대비 관계식이며, 전개과정에서 공극률이 별도의 특성변수로 분리되어 표현됨에 따라 공극률 변화 특성도 고려할 수 있게 되었다. 다시 말해, 수학식 29의 등가투과도는 다공성 매질의 종류나 유동범위에 무관하게, 코어나 로그자료로부터 획득된 기준유동의 정보를 기하학적 특성이 다른, 예를 들면 공극률이 다른, 특정지역이나 동일한 지층에서 유동포텐셜 등 유동조건이 변화되는 경우, 각 투과도 특성변수를 용이하게 상관시키거나 특정 변수의 상관관계를 파악할 수 있게 하는 점에서 유용한 관계식이다.

다른 측면에서, 수학식 29는 앞에서 다르시-바이스바흐 관계식을 기반으로 도출된 등가투과도 관계식인 수학식 24와 동등하다는 점을 주지할 필요가 있다. 이를 확인하고자, 수학식 29에서 기준유동으로 사용되었던 수평의 직선 원통형 유관의 다르시 마찰계수 관계를 다시 도입하여 전개하면 수학식 30과 같고, 이를 다공질 평균유속과 등가투과도에 대하여 정리하면 각각 수학식 31과 수학식 32를 얻을 수 있다. 결과적으로, 수학식 32는 수학식 24와 동일하므로 상기 수학식 29의 전개과정은 적절하며, 본 연구에서 도출된 두 가지 형태의 등가투과도 관계식, 수학식 24와 수학식 29는 서로 동등한 표현으로 각각의 용도에 따라 상호보완적으로 활용이 가능함을 확인할 수 있다.

다음으로, 이상의 과정을 통해서 도출된 등가투과도 관계식, 수학식 24와 등가투과도 특성변수 대비 관계식, 수학식 29를 실제의 다공질 유동의 해석에 적용하기 위해서 공극 수력직경과 비틀림도와 같은 다공질 유동의 기하학적 특성변수를 도입하고자 한다. 이 중, 등가 수력직경은 이미 두 관계식에 표현은 되어 있어, 실제 산정을 위한 적용은 앞 절에서의 층류유동의 경우와 마찬가지로 수학식 8 등의 관계를 통하여 고려될 수 있다. 그러나 다른 기하학적 특성변수인 비틀림도의 경우는 관련 특성변수가 아예 두 식에는 존재하지 않아 이에 대한 추가적인 고려가 필요하다. 비틀림도의 부가를 위한 전개과정은 앞 절의 수학식 12의 도출과정과 동일하며, 수학식 29에 비틀림도를 부가하여 정리한 등가투과도 관계식은 다음 수학식 33과 같다. 결과적으로, 수학식 33은 수학식 29에 비틀림도를 복합함으로써, 다공질유동의 유동범위에 무관하고 다양한 기하학적 특성을 모두 고려할 수 있도록 보완된 투과도 관계식이다. 여기서, 수학식 33과 같은 투과도 특성변수 대비 관계식의 형태는 각기 다른 암석과 지층의 특성변수 관계를 비교하고 상관시키는 측면에서는 유리하나, 도출된 기하등가투과도의 물리학적 의미를 검토하고 임의의 매질에 대한 투과도의 직접적 산정에는 수학식 24와 같은 일반적인 형태의 투과도 관계식이 보다 적절하다. 이에, 수학식 33에, 수학식 32의 도출을 위해 도입된 수학식 30과 수학식 31의 전개과정을 다시 적용하면 수학식 24)와 동일한 형태로 정리된 수학식 34)를 얻을 수 있다.

이상에서 다공성 매질의 유동범위에 무관하고 다양한 기하학적 특성을 고려할 수 있도록 도출한 수학식 33과 수학식 34의 등가투과도는 기하등가투과도(Geometry Equivalent Permeability, GEP)로 정의되어 수학식 35에 종합하여 제시되었다. 최종적으로, 수학식 35의 기하등가투가도 관계식은 다양한 기하학적 특성과 유동조건 하에 있는 다공질 매질의 투과도를 보다 근사하게 산정할 수 있고, 이론적 또는 실험적 방법으로 산정된 기준유동 투과도와의 대비를 통하여 다른 특성변수 범위나 유동조건에 있는 투과도의 산정에 활용될 수 있다.

기하등가투과도의 적용과 고찰

본 절에서는, 본 연구에서 제시한 기하등가투과도의 적용사례를 제시하고 유용성을 검토해 보고자, 상당한 규모의 석유 매장량이 확인된 사암 저류층을 대상으로 한 투과도 산정에 이를 적용하여, 그 결과를 현장에서 취득된 코어의 실험결과와 비교, 검토하였다. 해당 저류층은 쇄설성 사암지층이 비교적 넓고 두껍게 분포하나 다수의 셰일이 협재된 구간이 존재하고, 사암 입자크기는 중간(moderate)에서 약간 가는(slightly fine) 수준으로 분석되어 있다.

검토를 위해, 수학식 34와 수학식 35의 기하등가투과도 관계식에서, 비틀림도, T^*를 수학식 16(b)의 관계를 도입하여 치환하면, 아래 수학식 36을 얻을 수 있다. 여기서, cementation factor (m) 는 사암의 일반적인 범위인 2 ~ 2.7를 적용하면, 수학식 36은 수학식 37과 같이 정리될 수 있고, 이 때의 압력구배는 수학식 38과 같이 계산될 수 있다. 여기서, 수학식 35를 기반으로 파생되는 관계식들의 계산을 위해서는 다르시 마찰계수가 필수적으로 결정되어야 하나, 마찰계수는 다시 유속(레이놀즈 수)의 함수가 되어 단순한 계산으로는 마찰계수의 결정이 불가능하다. 또한, f^*, Re^* _p 등으로 표현된 마찰계수와 Reynold 수의 관계도 층류영역에서는 상수관계를 가져 선형적으로 취급될 수 있으나, 난류영역으로 천이가 시작되면 유동속도와 압력구배 및 수력직경의 함수가 되어 비선형적 관계를 보인다. 따라서 이들 관계식들의 해석은 유동조건과 핵심적인 특성변수들 상호의 관계를 동시에 만족하는 값들을 뉴턴(Newton) 반복법 등과 같은 비선형방정식 수치해석방법을 통해 산출하여야 한다.

이 시점에서, 마찰계수는 현재까지의 논의에서는 단순히 다르시 마찰계수를 다공질 유동의 손실을 결정하는 특성변수로만 여겨졌으나, 이 변수가 가지는 값의 적절한 범위와 타당성에 대한 검토가 필요하다. 실제, 각기 다른 광물학적 조성과 암석구조를 가진 다양한 암석은 물론이고, 자연균열이나 파쇄균열등과 같이 기하학적 특성이 크게 차이가 나는 매질들이, 동일한 또는 유사한 마찰손실 특성을 가질 가능성은 매우 낮다. 따라서 본 연구에서 대상으로 하는 사암지층에 대한 다르시 마찰계수의 산정에, 다공질 유동의 일반적인 범위보다 훨씬 높은 레이놀즈 수를 가지는 일반적인 배관유동과 같은 거시유동의 마찰계수 관계를 표현하는 무디(Moody) 선도나 콜브룩(Colebrook) 관계식, 밀러(Miller) 관계식 또는 처칠(Churchill) 관계식 등을 적용하는 것은 부적절하다.

도 4는 과립 다공성 물질(granular porous media)을 통한 유동에 대하여 패닝 마찰 인자(Fanning's friction factor)과 레이놀즈 수(Reynolds number)와의 관계를 나타내는 그래프이다(Rose, 1945).

다른 측면에서, 다공질 유동을 포함한 마이크로 스케일의 미시유동에서는 임계(critical) 레이놀즈 수가 크게 낮아지는 특성이 있어, 대부분의 미소유동은 훨씬 낮은 레이놀즈 수에서 난류영역으로 천이되는 것으로 알려져 있다(Rose, 1945; Bear, 1975; Nield and Bejan, 1992). 페이야와 리틀(Peiya and Little, 1983)와 칸들리카(Kandlikar 등, 2005) 등은 마이크로 평판채널이나 직사각형 모세관을 대상으로 표면거칠기에 따른 유동손실 실험을 수행하여, 마이크로 유동영역에서는 층류영역임에도 불구하고 표면거칠기의 영향에 따라 유동손실의 특성이 비선형적으로 크게 변화되는 특성이 있음과 단순한 직선형 모세관의 경우에도 임계 레이놀즈 수가 약 400 ~ 1500 수준으로 상당히 낮아짐을 제시한 바 있다. 로즈(Rose, 1945)와 버크 와 플러머(Burke and Plummer, 1928) 등은 다공질유동에서는 마찰계수가 일반적인 배관유동보다 훨씬 큰 값을 가지며, 임계 레이놀즈 수가 약 1~10의 범위로 크게 낮아짐을 보인 바 있다. 결과적으로, 다공질유동이나 균열유동은 일반적인 배관유동에 비해 훨씬 큰 유동손실을 동반하는 반면 임계 레이놀즈 수는 훨씬 낮은 범위를 가지며, 공극률이 큰 암석이나 균열망, 또는 압력강하가 큰 지층에서 이러한 난류의 영향은 중요한 변수가 될 수 있는 것으로 조사되었다.

이러한 조사 결과는, 다공질 유동이나 자연균열대와 같은 미시유동에서는 난류로의 천이가 매질의 기하학적 조건과 유동조건에 따라 보다 넓은 영역에서 빈번히 발생할 수 있음을 암시한다. 결과적으로, 본 연구에서 다르시 마찰계수를 기반으로 정의된 기하등가투과도의 경우, 관계식의 수정이나 보완 없이 난류영역에 대한 마찰계수만의 도입을 통해서 이러한 부분에 보다 쉽고 효과적으로 접근할 수 있어 이러한 측면에서의 장점이 크다 할 수 있다.

한편, 이의 적용을 위해서는 실험적 방법이나 수치해석 등을 통한 각각의 다공성 매질이나 균열의 기하학적 특성이 고려된 마찰선도의 작성이 우선되어야 한다. 그러나 현재 시점에서, 본 검토에서 대상으로 고려하고 있는 사암 지층이나 유사한 다공성 매질에 대한 마찰계수를 산정하거나 관련자료를 확보하는 것은 현실적으로 불가능하다. 다행히도 오래 전부터 미소유동의 마찰계수 산정과 관련된 접근과 시도는 다수의 연구가 발견되었으며, 다공성 매질에 대한 실험적 접근으로는 로즈(Rose, 1945)나 버크 와 플러머(Burke and Plummer, 1928) 등의 실험 등을 찾을 수 있고, 미소 균열과 유사한 미소평판이나 배관(micro channel or duct)에 대한 실험적 사례로는 페이야와 리틀(Peiya and Little, 1983) 및 칸들리카(Kandlikar 등, 2005) 등의 실험이 있다. 이들 중, 현재의 검토대상인 사암지층에 고려될 수 있는 가장 유사한 실험으로는 로즈(Rose, 1945)가 40% 공극률을 갖는 다공성 매질(granular porous media)을 대상으로 레이놀즈 수 변화에 따른 마찰계수와의 상관 관계를 규명한 실험을 들 수 있다.

이 때, 로즈 실험은 현재의 검토 대상과 동일한 사암지층에 대한 결과가 아니고, 공극률도 40% 수준으로 본 검토대상과는 다소 차이가 있어, 이의 차용 위해서는 별도의 검토와 보완이 필요하며, 도출된 결과에는 다소의 오차가 내재될 수 있다. 반면, 로즈의 실험을 비롯한 여러 선행연구자들이 각기 다른 실험을 통해 도출한 다공질 유동의 마찰계수 산출결과를 도시한 도 4를 살펴보면, 대부분의 실험이 작은 오차범위에서 거의 유사한 결과를 보임을 확인할 수 있다(Bear, 1975). 이는, 각각의 실험에서 사용된 매질의 종류나, 변수범위 및 유동조건에 다소의 차이가 있었음에도 불구하고, 다공성 매질의 마찰손실은 일정 오차범위 내에서 유사한 특성을 가지는 것을 암시하는 것으로 추정된다. 이에, 로즈의 마찰계수 실험결과를 임시적으로 차용하는 것은 가능한 것으로 판단하였고, 이의 기하등가관계식에의 연계 방안을 검토하였다.

우선, 로즈의 실험에서 사용된 마찰계수는 팬닝의 마찰계수인 까닭에, 로즈의 마찰선도에 도시된 팬닝의 마찰계수(f_F)는 다르시 마찰계수(f)의 1/4에 해당하는 값임을 감안하여야 한다. 임계 레이놀즈 수에 대하여서는 각 연구자들이 제시되는 기준들에 다소의 차이가 있으나, 대부분 약 1~10의 분포를 제시하고 있다(Bear, 1975). 본 검토에서는 로즈의 실험결과를 기준으로 하여 "Re_c = 4" 를 기준으로 설정하였다. 다음으로, 당초 로즈는 층류영역에 대한 팬닝 마찰계수로

의 관계를 제시하였고, 난류영역에 대하여서는,

의 관계를 제시하였다. 그러나 이는 다른 선행연구자들의 결과와 다소 차이가 있어, Bear(1975)의 문헌에서 제시된, 여러 관련연구 결과들을 종합한 것을 기준으로 하고자 약간의 수정이 필요하다. 즉, 일반적인 마찰계수 상관관계는 층류영역에서는

의 관계로, 완전발달 난류영역의 경우는

로 제시되고 있다(Bear, 1975). 이에, 본 검토에서는 난류영역에 대하여서는 로즈의 실험결과에 대한 회귀곡선(curve fitting)분석을 통해

의 다르시 마찰계수 관계를 적용하였고, 층류영역에 대한 상관관계는 선행연구자들의 결과를 종합하여,

로 설정하였다. 이때 앞에서 설정한 임계 레이놀즈 수는 '4'를 적용하면, 다공성 매질의 마찰계수 관계는 수학식 40과 같이 정리될 수 있다.

여기서, 한 가지 더 고려되어야 할 부분은 로즈의 실험이나 카르멘 등의 이론에서 사용되는 직경이 대부분 암석입자의 평균직경, d_m을 기준으로 하고 있다는 점이다. 아울러, 로즈의 실험에 사용된 레이놀즈 수도 다공성 매질의 단면적에 대한 평균유속, 즉, 다공질 시편 단면적 평균유속, u를 기반으로 하고 있어, 등가 공극의 평균유속 v를 기반으로 하고 있는 관계식과 상관시키기 위해서는 직경과 유속의 정의에 대한 별도의 변환과정이 필요하다. 이에, 입자평균직경, d_m과 단면적 평균유속, u를 기반으로 하는 수학식 40의 관계는 수학식 41과 같이 공극 수력직경, D_h와 등가 공극유속, v를 기반으로 하도록 변환되었다. 이때, 임계 레이놀즈 수는 수학식 41에 제시된 관계에 따라, 6.245로 변환하여 적용하였다.

상기의 검토를 종합하여 수학식 34와 수학식 35에 적용하면, 현재 검토의 대상으로 고려하고 있는 공극률이 다르고 유동조건이 달라질 수 있는 사암지층에 대한 기하등가투과도 관계식은 다음 수학식 42와 같이 정리될 수 있다. 이 때, 공극의 수력직경 관계는 일반화된 관계식, 수학식 8 (b)를 도입하였고, 지수 l 은 기본 값인 '1'로 고정하였으나, 지수 n은 암상에 따라 변화될 수 있어 '0'과 '1'의 두 가지 경우를 고려하였다. 여기서, 현재의 검토가 공극률이 다른 지층에 대한 투과도 관계의 규명에 있다는 측면에서, 수학식 42의 사용보다는 수학식 33과 같은 기하등가투과도 대비 관계식의 적용이 보다 용이할 수 있다. 이에, 수학식 36에서 수학식 42의 도출과 동일한 과정을 수학식 33에 적용하여 공극률의 함수로 표현된 기하등가투과도 대비 관계식인 수학식 43을 도출하였다. 이때, 비교대상이 공극률만이 다른 동일한 두 지층인 경우, 암석입자 평균직경, d_m이나 형상계수 C_s는 해석의 편의를 위해 거의 같다고 가정할 수 있어, 관련 계수항은 제거하였다. 결과적으로, 본 연구에서 도출한 기하등가투과도의 정의를 공극률의 함수로 표현한 두 가지 형태의 관계식은 각각 수학식 42와 수학식 43과 같이 도출되었다.

이 시점에서, 본 연구에서 도출한 기하등가투과도 관계식의 특징과 물리적 의미를 층류유동에 대한 투과도 관계식이나 선행연구자들의 결과와 비교, 고찰하여 보고자 한다. 이를 위해, 수학식 35에 코제니의 공극 수력직경의 개념을 도입하여 정리하면, 앞에서 층류유동의 투과도 관계식인 수학식 12를 기반으로 도출하였던 수학식 13과 카르멘의 투과도 관계식인 수학식 14와 대비될 수 있는 수학식 44를 얻을 수 있다. 이미 앞에서 검토된 바와 같이, 수학식 14의 카르멘의 투과도 관계식은 수학식 13의 층류유동 투과도 관계식에

의 관계를 적용할 때 상호 동등한 관계를 가진다. 이에 반해, 마찰계수의 개념을 도입한 수학식 44에서는 투과도가 마찰손실항

와 반비례관계로 상관되고, 이때 비틀림도의 제곱에 비례하는 관계로 표현되고 있음을 알 수 있다. 결과적으로, 본 연구의 기하등가투과도는 카르멘 등 층류유동 이론에 기반한 투과도 정의와 비교하여, 공극 수력직경의 개념은 유사한 관계로 정의되었으나 마찰손실(f^*)의 특성과 유동조건(Re^* _p)을 반영할 수 있도록 표현되었고, 이 때 수력직경(D^* _h)과 비틀림도(T^*)의 제곱에 상관되는 형태를 가지고 있다. 이는, 층류유동을 기반으로 도출된 수학식 13과 수학식 14에서 비틀림도가 투과도와 일차의 관계로 상관되는 것과는 달리, 비틀림도가 제곱에 상관되는 두드러진 특징을 보이는 결과이다.

그러므로 수학식 13과 수학식 14는 수학식 44가

의 관계가 성립되는, 즉 매우 단순화된 일반적인 수평의 직선 원통형 유로를 통과하는 층류유동의 가정에서만, 이와 동등해진다는 것을 의미한다. 현실적으로, 매우 복잡한 기하학적 특성과 유동조건을 모두 고려해야 하는 실제의 다공질 유동에서 이러한 관계는 성립될 수 없다. 부가적으로, 수학식 14의 카르멘 관계식의 상수계수, 1/180과의 직접적인 비교를 위해서, 수학식 44에 수학식 13의 도출에 적용된

의 관계를 동일하게 적용하고, 현재의 검토에 고려된 로즈의 층류유동 마찰계수 관계인,

을 도입하면, 수학식 44의 상수계수는 약 1/43910로 산출되어 두 계수 값이 매우 큰 차이를 보임을 알 수 있다. 이는 수학식 44의 투과도 관계가 카르멘의 관계식에 비교하여, 비틀림도의 제곱에 상관되는 점과 로즈 의 실험 등과 같이 실제 다공성 매질을 대상으로 산출된 훨씬 큰 손실계수를 적용할 수 있도록 변형된 것에서 기인된다. 궁극적으로, 이러한 차이는 동일한 유동조건 하에 있는 동일한 다공성 매질에 대하여, 본 연구의 기하등가투과도 관계식이 카르멘의 관계식 등에 비하여 보다 근사한 투과도를 산출하고, 공극률과 같은 특성변수 변화에 대하여서도 적절한 상관관계를 표현할 수 있게 하는 요인이다.

마지막으로, 이상의 검토를 통해서 도출된 수학식 42와 수학식 43은 현재 검토의 대상인 공극률이 다른 두 사암지층의 투과도 산정을 위해 적용되었다. 이때 수학식 42와 수학식 43은 비틀림도와 공극 수력직경의 지수 값에 따라 각 암상의 특성이 구분될 수 있어, 본 검토에서 비틀림도 지수, m 은 사암지층임을 고려하여 '2'와 '2.7'을, 공극 수력직경 지수 n 은 '0'과 '1'의 값을 각각 적용하였다. 결과적으로, 이는 현재의 검토대상인 사암지층을 총 네 가지의 암석학적 특성을 가지는 경우로 구분하여 적용한 것을 의미한다. 즉, Face A는 m=2, n=0 인 암상, Face B는 m=2, n=1 인 암상, Face C는 m=2.7, n=0 인 암상을, 그리고 Face D는 m=2.7, n=1 인 암상을 가진 것으로 가정된 것이다.

표 2는 암상에서의 Face A에 대한 GEP 평가 결과를 나타내는 표이다. 표 3은 암상에서의 Face B에 대한 GEP 평가 결과를 나타내는 표이다. 표 4는 암상에서의 Face C에 대한 GEP 평가 결과를 나타내는 표이다. 표 5는 암상에서의 Face D에 대한 GEP 평가 결과를 나타내는 표이다.

주요 결과는 표 2 내지 표 5에 걸쳐서 제시되었으며, 각각은 Face A ~ D의 특성을 가진 암석이 동일한 압력구배, 약 1.07 bar를 받을 때, 공극률이 10%와 20%로 다른 두 국소지역에 분포한 경우의 투과도를 뉴턴 반복법을 통하여 산출하여 제시한 것이다. 도출된 각각의 투과도(K_GEP)는 하겐-포이쉴리 관계식에 기반한 단순 층류유동의 투과도 관계식, 수학식 5에 의해 산출된 결과(K_HP)와는 큰 차이를 보이고 있고, 카르멘 이나 에르건(Ergun, 1952) 등의 관계식에 비하여서도 상당한 차이를 보일 것은 쉽게 짐작할 수 있다. 등가 수력직경(D_h)의 경우도 0.05 ~ 1 mm 수준으로 산출되어, 일반적인 사암지층의 공극 직경범위와 유사한 결과를 보이고 있다. 특히, 각 암석이 각각의 기하학적 특징을 반영하도록 다른 지수 값을 갖는 Face A ~ D 로 구분되어 적용됨에 따라 공극률 변화에 따른 투과도의 변화가 상당한 차이를 가짐을 볼 수 있다.

도 5는 본 발명에 따른 투과도 산출방법에 의하여 얻은 공극률과 투과도 사이의 관계를 유정 (A)에서의 시추 코어의 실험결과와 비교한 그래프이다.

도 6은 본 발명에 따른 투과도 산출방법에 의하여 얻은 공극률과 투과도 사이의 관계를 유정 (B)에서의 시추 코어의 실험결과와 비교한 그래프이다.

이러한 가정과 해석 결과의 타당성을 보다 상세히 검토하고자, 기하등가투과도 해석의 결과를 해당 사암지층의 특성을 대표하는 두 유정, Well (A)와 (B)에서 취득된 시추코어의 실험결과와 비교하여 도 5와 도 6에 도시하였다. 기하등가투과도 해석은 앞의 표 2 내지 표 5의 경우와 동일하게, 각 지층에서 10 % 공극률을 갖는 시편들의 투과도를 기준으로 이 때의 등가 수력직경을 우선 산정하였다. 이를 기준으로 앞에서 정의된 네 가지 암상의 특성관계 대비를 통하여, 각 암상들이 다른 공극률 범위에 있는 경우, 각각의 공극 수력직경과 비틀림도 변화에 따라 어떠한 투과도 변화를 보이는지를 검토하고 이를 코어 실험결과와 대비한 것이다. 이 때, 두 유정에서의 시추코어 실험자료를 살펴보면, 도 5와 도 6의 일부 구간에 도시되는 바와 같이, 투과도가 0.1 mD 수준의 매우 낮은 투과도를 갖는 구간들이 다수 나타났으며, 반면에 동일한 공극률 범위에서 수십에서 수백 mD에 달하는 매우 높은 값들도 다수 발견되었다. 해당 지층에 대한 지질보고서(geology report)에는 이 사암지층에는 셰일이 다수의 구간에 협재(interbed)되어 있으며, 사암은 중간(moderate)에서 약간 가는(slightly fine) 입자를 갖는 것으로 기술하고 있다. 따라서, 투과도가 매우 낮은 결과들은 셰일이나 실트암석이 협재된 구간에서의 분석결과로 보이고, 반대로 투과도가 매우 크게 나타나는 구간은 자연균열 등의 영향에 따른 것으로 판단되었다. 본 검토에서는 사암의 특성을 보이는 시편의 자료로만 한정하여 해석을 수행하고자, 이러한 극단적인 범위값은 검토에서 제외하였다.

도 5에 제시된 Well (A) 의 경우, 일반적인 투과도 범위는 공극률 10% 주변에서 약 '1'에서 '3' mD 수준을 보였고, 도 6의 Well (B) 의 경우는 약 '1'에서 '6' mD 정도의 범위를 보였다. 이에, 본 검토에서는 공극률 10%를 기준으로 투과도가 '1', '2' 및 '4'인 세 가지 경우에 대하여 뉴턴 반복법을 기반으로 한 수치해석을 수행하였다. 그 결과, 도 5와 도 6에 제시된 바와 같이, 두 지층에 대하여 기하등가투과도 관계식의 해석을 통해 산출된 투과도가 두 유정의 코어실험 결과와 비교적 좋은 일치를 보이고 있음을 알 수 있다. 이 분석결과를 기반으로 각 유정이 지층분포를 추정하면, Well (A) 지층의 경우는 공극률 10 % 기준 투과도 1 ~ 2 mD 범위를 갖는 Face B와 C 및 D 암상의 분포특성을 주로 보이며, Well (B)의 경우는 기준 투과도 2 ~ 4 mD 범위를 갖는 Face B 와 D 암상의 분포가 지배적으로 판단된다. 이때, 일부 해석범위를 크게 벗어나는 구간들은 이미 언급한 셰일이나 균열 등의 영향으로 짐작되고, 분석된 구간에서의 보이는 일부 정량적 오차는 현재의 검토에서 기준으로 한 10% 공극률의 투과도 값 선정의 오차에 기인된 것으로, 기준 투과도 값이나 각 지수의 조정을 통해서 보다 나은 결과의 산출은 가능하다. 결과적으로, 본 연구의 기하등가투과도 관계식이 보다 신뢰성 있는 투과도 분석을 가능하게 하고, 특히 마찰계수나 공극 수력직경, 비틀림도 등 각 암석의 기하학적 특성변수를 적절히 고려할 수 있게 함으로써, 도 5와 도 6에 대비된 바와 같이 각각의 암상에 따른 공극률-투과도 상관관계를 적절히 구분하여 제시할 수 있다는 점을 확인하였다. 나아가, 이러한 접근방법은 치밀사암 등이나 자연균열, 파쇄균열 등과 같이 기하학적 특성이 일반적인 사암과 구분되는 지층의 분석에서 보다 효과적으로 적용될 수 있을 것으로 생각된다.

표 6은 Face C와 Face D에 대한 난류유동영역들의 투과도 평가 결과들이다.

여기에 부가하여, 본 연구에서 기하등가투과도를 도출하고자 한 목적 중의 하나가 유정부근이나 균열유동 등과 같이 난류유동의 특성이 지배적인 영역이나 유동조건에 상당한 차이가 발생할 수 있는 경우에 대한 적절한 투과도 산정방법을 도출하고자 한 것이므로, 이에 대한 적용성을 검토하였다. 표 6은 표 4와 표 5에서 검토된 공극률 10 % 기준 투과도 4 mD를 갖는 Face C와 D 암상의 경우를, 각각 유동조건이 변화된 경우를 가정하여 투과도 변화를 검토하여, 정리한 도표이다. Face C의 경우는 공극의 수력직경이 상대적으로 작아서 앞에서 검토된 일반적인 압력구배(pressure difference)에서는 층류유동영역(c)에 포함되나, 유정(well bore) 인근지역 등에서의 유동조건 변화을 가정하여 상대적으로 큰 압력구배를 받는 경우로 고려하면 난류유동범위로 천이(b)될 수 있음을 보인 것이다. 이 경우 다르시 마찰손실계수는 난류범위(a)의 값이 적용되어야 하므로 수학식 41의 난류유동의 마찰관계 관계를 적용하면, 층류유동을 기준으로 계산된 투과도 보다 약 10 % 감소된 투과도를 가지는 것으로 평가되는 것을 보여주는 사례이다. 다른 경우로, 상대적으로 공극 수력직경이 큰 Face D의 경우는 일반적인 압력구배 하에서도 공극 수력직경이 충분히 커서, 이미 표 5에서 난류영역에 포함되어 있다. 그러나 표 5에 제시된 결과는 모두 수학식 41의 층류유동에 대한 마찰계수 관계를 적용한 결과로, 본 검토에서의 비교를 위하여 이를 표 6 (e)에 다시 표시하였다. 이 경우도 다르시 마찰계수는 수학식 41의 난류유동에 대한 마찰계수 관계로 치환되는 것이 적절하며, 그 해석 결과를 표 6 (d)에 제시하였다. 결과적으로, 이 경우는 상대적으로 큰 차이의 층류와 난류 마찰계수의 변화에 따라 약 40 %의 투과도 감소가 발생되고 있음을 확인할 수 있다. 단, 이러한 검토 결과는 도입, 적용된 마찰계수 등의 등가변수 값이 해당 지층을 대상으로 산정된 값이 아니므로, 그 결과에 의미가 있기 보다는 기하등가투과도의 난류유동에 대한 적용성을 검토하고자 하는 측면에서 제시된 것이다.

결과적으로, 본 연구에서 도출된 기하등가투과도 관계식은 층류유동 이론을 기반으로 도출된 선행연구의 이론들에 비하여 보다 실제의 투과도 값에 근사한 결과를 산출할 수 있음을 확인하였다. 또한, 마찰계수의 도입을 통해 각 암석의 기하학적 특성 및 유동조건에 대한 고려가 가능하다는 점과 기존의 포크헤이머 관계식을 기반으로 한 난류유동 해석에 비하여 적용의 편리성과 활용성 측면에서 유리한 점이 있음도 아울러 확인하였다.

결 론

본 연구에서는 일반적인 지층은 물론, 균열이나 다공질 복합균열 등 다양한 기하학적 특성을 갖는 지층에서 발생되는 다공질 유동의 적절한 해석을 위해, 각 지층의 기하학적 특성과 유동조건의 변화를 적절히 반영할 수 있는 투과도 산정방법의 도출을 목적으로 관련된 조사와 검토를 시행하였다. 이를 위해 선행연구에도 도출된 투과도 특성변수들과 각 변수들간의 상관관계를 조사하였고, 이를 기반으로 투과도 특성변수 상관관계식을 도출하고자 하였다. 이를 통해, 선행연구에서 도출된 투과도 관계식들이 한계를 가지는 이유는 크게 두 가지에 기인된 것으로 분석되었다. 우선, 투과도 관계식의 도출을 위한 핵심적인 인자인 벽면전단응력의 해석에 비압축성 층류유동 관계식을 도입함으로써, 이를 난류유동으로 확장할 수 없는 한계가 발생하였다. 다음으로, 공극의 크기나 형상 및 유로 길이 등 기하학적 특성변수에 대한 충분한 고려가 부족하고 각 변수들의 상관관계를 적절히 표현하는데 한계가 있음을 확인하였다.

이에 본 연구에서는, 투과도에 영향을 미치는 기하학적 특성변수을 적절히 상관시키고, 이들의 해석에 적합한 다양한 이론을 분석, 도입하고자 하였다. 또한, 다공질유동의 운동량방정식의 벽면전단응력항을 다르시 마찰계수를 도입하여 치환함으로써, 유동영역에 제한을 받지 않은 투과도 관계를 도출하고자 시도 하였다. 이는 난류영역으로 유동범위가 확장되더라고 다르시 관계식을 기본 형태로 유지할 수 있어, 일반적인 다공질유동과의 연계성이나 도출된 관계식의 적용성을 높이는 장점을 가진다. 결과적으로, 본 연구에서는 다공성 매질의 유동범위에 무관하고 다양한 기하학적 특성을 고려할 수 있는 기하등가투과도 관계식을 성공적으로 도출하여, 수학식 35)로 제시하였다. 이 때, 기하등가투과도는 카르멘 등 층류유동 이론에 기반한 투과도 정의와 비교하여, 공극 수력직경의 개념은 유사한 관계로 정의되었으나 마찰손실(f^*)의 특성과 유동조건(Re^* _p)을 반영할 수 있도록 표현되었고, 수력직경(D^* _h)과 비틀림도(T^*)의 제곱에 상관되는 형태로 제시되었다. 이는, 층류유동을 기반으로 도출된 수학식 13이나 카르멘 관계식인 수학식 14에서 비틀림도가 투과도와 일차의 관계로 상관되는 것과는 달리, 비틀림도가 제곱에 상관되는 두드러진 특징을 가진다.

마지막으로, 본 연구에서 도출된 기하등가투과도 관계식의 적용사례를 제시하고 유용성을 검토하고자, 두 개의 유정에서의 코어실험 결과가 확보된 사암 저류층을 대상으로 투과도 해석을 수행하여 그 결과를 비교, 검토하였다. 이 때, 마찰손실의 산정에 대한 추가적인 검토를 수행하였으며, 본 연구에서는 로즈(Rose, 1945)의 실험을 통해 도출된 마찰계수 관계를 적절히 변형하여 도입하였다. 이를 통해, 본 연구의 기하등가투과도 관계식이 보다 신뢰성 있는 투과도 분석을 가능하게 하고, 특히 마찰계수나 공극 수력직경, 비틀림도 등 각 암석의 기하학적 특성변수를 적절히 고려할 수 있게 함으로써, 도 5와 도 6에 대비된 바와 같이 각각의 암상에 따른 공극률-투과도 상관관계를 적절히 구분하여 제시할 수 있음을 확인하였다. 나아가, 이러한 점은 치밀사암 등이나 자연균열, 파쇄균열 등과 같이 기하학적 특성이 일반적인 사암과 구분되는 지층의 분석에서 보다 효과적일 것으로 판단되었다.

요 약

본 연구는 다양한 기하학적 특성을 갖는 지층에서 발생되는 다공질 유동의 적절한 해석을 위해, 각 지층의 기하학적 특성과 유동조건의 변화를 반영할 수 있는 투과도 관계식의 도출을 목적으로 수행되었다. 선행연구에서 도출된 다양한 투과도 관계식들을 조사하고, 다공질유동의 운동량방정식을 기반으로 층류유동 투과도의 정의와 물리학적 의미 및 적용 한계를 조사하였다. 다음으로, 투과도에 영향을 미치는 기하학적 특성변수를 투과도와 적절히 상관시키고자 관련된 분석과 이론의 전개를 시도하였다. 이 때, 다공질유동 운동량방정식의 벽면전단응력항을 다르시 마찰계수를 도입하여 치환함으로써, 유동범위에 제한을 받지 않는 투과도 관계식을 도출하고자 하였다. 결과적으로, 본 연구에서는 다공성 매질의 다양한 기하학적 특성과 유동조건의 변화를 적절히 고려할 수 있는 기하등가투과도(GEP) 관계식을 성공적으로 도출하였다. 또한, 이를 코어실험 결과와 비교하여, 본 기하등가투과도 관계식이 보다 신뢰성 있는 결과를 산출하고, 특히 기하학적 특성변수를 적절히 고려할 수 있게 하며, 난류영역으로 유동조건이 변화되는 경우에도 적절히 확장이 가능함을 확인하였다.

상술한 바와 같은 연구를 기반으로 하여, 본 발명의 기술적 사상에 따른 다공성 매질의 투과도 산출방법은 하기와 같이 구현될 수 있다.

본 발명의 일 실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 산출방법은, 다공성 매질의 공극의 공극률을 제공하는 단계; 상기 다공성 매질의 상기 공극의 수력 직경을 산출하는 단계; 상기 다공성 매질의 마찰계수를 제공하는 단계; 상기 다공성 매질의 비틀림도를 산출하는 단계; 및 상기 공극률, 상기 수력 직경, 상기 마찰계수, 및 상기 비틀림도를 이용하여 상기 다공성 매질의 투과도를 산출하는 단계;를 포함한다.

본 발명의 다른 실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 산출방법은, 다공성 매질의 공극의 공극률을 제공하는 단계; 상기 다공성 매질의 상기 공극의 수력 직경을 산출하는 단계; 상기 다공성 매질의 비틀림도를 산출하는 단계; 및 상기 공극률, 상기 수력 직경, 및 상기 비틀림도를 이용하여 상기 다공성 매질의 투과도를 산출하는 단계;를 포함한다.

본 발명의 다른 실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 산출방법은, 다공성 매질의 공극의 공극률을 제공하는 단계; 상기 다공성 매질의 상기 공극의 수력 직경을 산출하는 단계; 상기 다공성 매질의 마찰계수를 제공하는 단계; 및 상기 공극률, 상기 수력 직경, 및 상기 마찰계수를 이용하여 상기 다공성 매질의 투과도를 산출하는 단계;를 포함한다.

상기한 본 발명의 기술적 사상은 또한 컴퓨터에서 판독 가능한 저장 매체에 컴퓨터가 읽을 수 있는 코드로서 구현하는 것이 가능하다. 컴퓨터에서 판독 가능한 저장 매체는 컴퓨터 시스템에 의하여 판독 가능한 데이터가 저장되는 모든 종류의 저장장치를 포함한다. 컴퓨터에서 판독 가능한 저장 매체의 예로는 ROM, RAM, CD-ROM, DVD, 자기 테이프, 플로피디스크, 광데이터 저장장치, 플래시 메모리 등이 있으며, 또한 캐리어 웨이브(예를 들어 인터넷을 통한 전송)의 형태로 구현되는 것도 포함한다. 또한 컴퓨터에서 판독 가능한 저장 매체는 네트워크로 연결된 컴퓨터 시스템에 분산되어, 분산방식으로 컴퓨터에서 판독 가능한 코드가 저장되고 실행될 수 있다. 여기서, 저장 매체에 저장되는 프로그램 또는 코드라 함은 특정한 결과를 얻기 위하여 컴퓨터 등이 정보처리능력을 갖는 장치 내에서 직접적 또는 간접적으로 사용되는 일련의 지시 명령으로 표현된 것을 의미한다. 따라서, 컴퓨터라는 용어도 실제 사용되는 명칭에 여하를 불구하고 메모리, 입출력장치, 연산장치를 구비하여 프로그램에 의하여 특정의 기능을 수행하기 위한 정보처리능력을 가진 모든 장치를 총괄하는 의미로 사용된다.

상기 저장 매체는, 다공성 매질의 공극의 공극률을 제공하는 단계; 상기 다공성 매질의 상기 공극의 수력 직경을 산출하는 단계; 상기 다공성 매질의 마찰계수를 제공하는 단계; 상기 다공성 매질의 비틀림도를 산출하는 단계; 및 상기 공극률, 상기 수력 직경, 상기 마찰계수, 및 상기 비틀림도를 이용하여 상기 다공성 매질의 투과도를 산출하는 단계;를 포함하는 다공성 매질의 투과도 산출방법을 컴퓨터에서 수행시킬 때, 상기 각 단계들을 수행하도록 하는 프로그래밍된 명령을 저장할 수 있다. 또한, 선택적으로(optionally), 상기 저장 매체는 상기 실제 패턴들의 붕괴를 방지하도록 상기 설계 패턴을 보정하는 단계를 수행하도록 하는 프로그래밍된 명령을 더 저장 할 수 있다.

이상에서 설명한 본 발명의 기술적 사상이 전술한 실시예 및 첨부된 도면에 한정되지 않으며, 본 발명의 기술적 사상을 벗어나지 않는 범위 내에서 여러 가지 치환, 변형 및 변경이 가능하다는 것은, 본 발명의 기술적 사상이 속하는 기술분야에서 통상의 지식을 가진 자에게 있어 명백할 것이다.

기호설명(NOMENCLATURE)

A: Sectional Area, A_p=φA,

C: Coefficient for each Special Relation Forchheimer Inertial Coefficient,

D, d: Diameter,

D_h: Hydraulic Diameter,

h_f: Friction Loss Head,

L: Length,

F: Formation Factor. Function,

f: Friction Factor,

g: Gravity,

g_x: Gravity in x-direction,

J: Fluid Potential in Forchheimer Equation,

k: Permeability,

L: Length,

P: Pressure, Perimeter,

q: Flow Rate,

R: Radius,

r: Radius, Position in r-direction,

S: Specific Surface Area,

T: Tortuosity, Tortuosity Coefficient,

t: Time,

u: Average Flow Velocity through a Cross Section of Porous Media, Average Flow Velocity in x-direction,

u_f: Flow Velocity through a Path,

V: Laminar Flow Velocity, Volume,

v: Average Flow Velocity, Flow Velocity through a Pore,

x,y,z: Position in x,y,z-direction,

α: Conversion Factor between Hydraulic and Mean Matrix Diameter,

μ: Viscosity,

ρ: Density,

τ_w: Shear Stress at Wall,

Φ: Porosity,

ψ: Fluid Potential, Pressure Gradient,

Super-Script

l: Exponential Value of Shape Factor,

m: Exponential Value of Porosity,

n: Cementation Factor,

*: Equivalent Value,

-: Average Value,

Super-Script

e: Equivalent, Real,

F: Fanning's Value,

f: Friction, Fluid,

h: Hydraulic,

k: Permeability,

m: Matrix,

P: Porous Media,

p: Pore,

R: Reference Value,

S: Solid, Shape,

T: Tortuosity,

v: Void,

참고문헌(References)

Achdou, Y. and Avellaneda, M., 1992, "Influence of pore roughness and pore-size dispersion in estimating the permeability of a porous medium from electrical measurements," Physics of Fluids A: Fluid Dynamics 4, pp. 2651-2673.

Bear, J., 1975, Dynamics of fluids in porous media, American Elservier Pub. INC., p. 27-194.

Bird, G. A., 1994, Molecular gas dynamics and the direct simulation of gas flows, Oxford Engineering Science, Oxford University Press, London.

Brazzle, J., Papautsky, I. and Frazier, A. B., 1998, "Fluid coupled metallic micromachined needle arrays," Proc . of the 20 ^th Annual Int . Conf ., IEEE Engineering in Medicine and Biology Society 20(4), Hongkong, Oct 29 - Nov 1, pp. 1837-1840.

Burmeister, L. C., 1993, Convective heat transfer, 2nd ed., John Wiley and Sons, p. 44-51.

Burke, S. P. and Plummer, W. B., 1928, "Gas flow through packed columns," Ind . Eng . Chem . 20, pp. 1196-1200.

Carman, P. C., 1937, "Fluid flow through granular beds," J. Soc . Chem . Ind., Vol. 15, pp. 150-166.

Carman, P. C., 1938, "The determination of the specific surface of powders," J. Soc . Chem . Ind ., Vol 57, pp. 225-234.

Carman, P. C., 1956, "Flow of gases through porous media, Butterworths Scientific Publications, London.

Chalky, J. W., Cornfield, J. and Park, H., 1949, "A method of estimating volume-surface ratio," Science, 110, pp. 295-297.

Cipolla, C. L., Williams, M. J., Weng, X., Mack, M. and Maxwell, S., 2010, "Hydraulic fracture monitoring to reservoir simulation: maximizing value," SPE ATCE 2010, SPE 133877.

Cornel, D. and Katz, D. L., 1953, "Flow of gases through consolidated porous media," J. Soc . Chem . Ind ., Vol. 45, pp. 2145-2152.

Dongari, N. and Agrawal, A., 2012, "Modelling of Navier-Stokes equations for high Knudsen number gas flows," Int . J. of Heat and Mass Transfer, Vol. 55, pp. 4352-4358.

Engler, T. W., 2010, Fluid flow in porous media, Petroleum Engineering 524, New Mexico Tech., New Mexico, USA, p. 2.1-2.36.

Ergun, S., 1952, "Fluid flow through packed columns," Chemical Engineering Progress Vol. 48, No. 2, pp. 89-94.

Hazen, A., 1892, Some physical properties of sands and gravels , with special reference to their use in filtration, 24 ^th Annual Rep., Massachusetts State Board of Health, Vol. 24, USA, pp. 539-556.

Hitchcock, J., 1926, "The sie of pores in collodion," Gen. Physiol ., Vol. 9, No. 6, pp. 755-762.

Jurgawczynski, M., 2007, Predicting absolute and relative permeabilities of carbonate rocks using image analysis and effective medium theory. Ph. D. thesis, Univ. of London, Imperial College, p. 21-27.

Kandlikar, S. G., Schmit, D., Carrano, A. L. and Taylor, J. B., 2005, "Characterization of surface roughness effects on pressure drop in single-phase flow in minichannels," Phys. Fluids, Vol. 17, No. 10.

Kaviany, M., 1952, Principles of heat transfer in porous media, 2^nd Ed., Springer. USA.

Koch, D. L. and Ladd, A. J. C., 1997, "Moderate Reynolds number flows through periodic and random arrays of aligned cylinders," J. Fluid Mech . Vol. 349, pp. 31-66.

Kozeny, J., 1927, "Ueber kapillare leitung des wassers im boden. Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften in Wien," Vol. 136, pp. 271-306.

Lee, B.H. and Lee, S. K., 2013, "Effects of specific surface area and porosity on cube counting fractal dimension, lacunarity, confifurational entropy, and permeability of model porous networks: Random packing simulations and NMR micro-imaging study," J. Hydrology, Vol. 496, pp. 122-141.

Luthi, S. M. and Souhaite, P., 1990, "Fracture apertures from electrical borehole scans," Geophysics, Vol. 55, pp. 821-833.

Mei, C. C. and Auriault, J. L., 1991, 'The effect of weak inertia on flow through a porous medium," J. Fluid Mech ., Vol. 222, pp. 647-663.

Muskat, M., 1946, The flow of homogeneous fluids through porous media, McGraw-Hill Inc., USA.

Nelson. P. H., 1994, "Permeability-porosity relationships in sedimentary rocks," The Log Analyst, Vol. 35, No. 3, pp. 38-62.

Nield, D. A. and Bejan, A., 1992, Convection in porous media, Springer-Verlag, New York, USA, pp. 1-19.

Paterson, M. S., 1983, "The equivalent channel model for permeability and resistivity in fluid-saturated rock―A re-appraisal," Mechanics of Materials, Vol. 2, pp. 345-352.

Peiya, W. and Little, W. A., 1983, "Measurement of friction factors for the flow of gases in very fine channels used for micro-miniature Joule-Thomson refrigerators," Cryogenics, Vol. 23, No. 5, pp. 273-277.

ose, H. E., 1945, "An investigation into the laws of flow of fluids through beds of granular material," Proc . Inst . Mech . Eng ., 153, pp. 141-148.

Rubinstein, J. and Torquato, S., 1989, "Flow in random porous media: Mathematical formulation, variational principles, and rigorous bounds," J. Fluid Mech ., Vol. 206, pp. 25-46.

Sahimi, M., 2011, Flow in porous media and fractured rock, 2nd ed., Wiley, USA.

Shin, C. H., Lee, S. M., Kwon, S. I., Park, D. J. and Lee, Y. S., 2012a, "A Classification and a Survey on the Core Technology for Shale Gas Development," J. Korean Society for Geosystem Eng ., Vol. 49, No. 3, pp. 395-410.

Shin, C. H., Lee, Y. S., Lee, J. H., Jang, H. C. and Baek, Y. S., 2012b, "Global Distribution of Shale Gas and its Industrial Trend," J. Korean Society for Geosystem Eng ., Vol. 49, No. 4, pp. 571-589.

Walsh, J. B. and Brace, W. F., 1984, "The effect of pressure on porosity and the transport properties of rock," J. Geophysical Research, Vol. 89(B11), pp. 9425-9431.

Whitaker, S., 1996, "The Forchheimer equation: A theoretical development," Transport in Porous Media, Vol. 25, pp. 27-61.

White, F. M., 2001, Fluid dynamics, 4th ed., McGraw-Hill, USA, p. 325-404.

Winseauer, W. O., Shearin, H. M., Masson, P. H. and Williams, M., 1952, "Resistivity of brine saturated sands in relation to pore geometry," Bull. Amer. Ass. Petrol. Geol ., Vol. 36, pp. 235-277.

Wyllie, M. R. and Spangler, M. B., 1952, "Application of electrical resistivity measurements to problems of flid flow in porous media," Bull. Amer. Ass. Petrol. Geol . Vol. 36, pp. 359-403.

Yan, F., 2003, Numerical simulations of high Knudsen number gas flows and microchannel electrokinetic liquid flows, Ph.D. thesis, Drexel Univ. USA.

Claims

다공성 매질의 공극의 공극률을 제공하는 단계;
상기 다공성 매질의 상기 공극의 수력 직경을 산출하는 단계;
상기 다공성 매질의 마찰계수를 제공하는 단계;
상기 다공성 매질의 비틀림도를 산출하는 단계; 및
상기 공극률, 상기 수력 직경, 상기 마찰계수, 및 상기 비틀림도를 이용하여 상기 다공성 매질의 투과도를 산출하는 단계;
를 포함하는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.
제 1 항에 있어서,
상기 투과도는 하기의 관계를 가지는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.

(여기에서, k^* _GEP 는 기하학적 특성을 고려한 기하등가투과도, μ는 유체의 점도, f는 마찰계수, D_h는 수력 직경, ρ는 밀도, u는 상기 유체의 유속, φ는 상기 다공성 매질의 공극률, T는 비틀림도이고, 윗첨자 *는 상기 다공성 매질에 관한 값들을 지칭함)
제 1 항에 있어서,
상기 투과도는 하기의 관계를 가지는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.

(여기에서, k^* _GEP는 기하학적 특성을 고려한 기하등가투과도, f^*는 마찰계수, Re_p ^*는 상기 다공성 매질의 레이놀즈수, φ^*는 상기 다공성 매질의 공극률, D_h ^*는 수력 직경, T^*는 비틀림도이고, 윗첨자 *는 상기 다공성 매질에 관한 값들을 지칭함)
제 1 항에 있어서,
상기 투과도는 하기의 관계를 가지는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.

(여기에서, k^* _GEP는 기하학적 특성을 고려한 기하등가투과도, D_h는 수력 직경, f는 마찰계수, φ는 상기 다공성 매질의 공극률, T는 비틀림도이고, 윗첨자 *는 상기 다공성 매질에 관한 값들을 지칭하고, 아래첨자 R은 비교 매질에 관한 값들을 지칭함)
제 1 항에 있어서,
상기 투과도는 하기의 관계를 가지는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.

(여기에서, k^* _GEP 는 기하학적 특성을 고려한 기하등가투과도, μ는 유체의 점도, ρ는 상기 유체의 밀도, u는 상기 유체의 유속,f^*는 마찰계수, C_s 는 상기 다공성 매질의 유효 입자 모양 계수, d_m은 상기 다공성 매질의 평균 입자 직경, φ는 상기 다공성 매질의 공극률, m 은 고결 인자(cementation factor), n은 상기 다공성 매질의 기하학적 특성에 의존하는 상수이고, 윗첨자 *는 상기 다공성 매질에 관한 값들을 지칭함)
제 5 항에 있어서,
상기 고결 인자(m)는 2 내지 2.7의 수치를 가지는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.
제 5 항에 있어서,
상기 n은 0 내지 1의 수치를 가지는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.
제 1 항에 있어서,
상기 수력 직경을 산출하는 단계는, 상기 다공성 매질의 상기 공극의 마찰손실에 대하여 등가의 마찰손실을 발생하는 원통형 모세관을 이용하여 이루어지는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.
제 1 항에 있어서,
상기 수력 직경은, 상기 다공성 매질의 상기 공극률과 상기 공극의 비표면적과 관련되어 하기의 관계로부터 산출되고,

(여기에서, D_h는 수력 직경, V_v 는 공극의 부피, S는 공극의 표면적, S_s 는 공극의 비표면적, φ는 상기 다공성 매질의 공극률임)
상기 공극의 비표면적은 하기의 관계를 가지는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.

(여기에서, S_s 는 공극의 비표면적, C_s 는 상기 다공성 매질의 유효 입자 모양 계수, d_m은 상기 다공성 매질의 평균 입자 직경, φ는 상기 다공성 매질의 공극률, n은 상기 다공성 매질의 기하학적 특성에 의존하는 상수임)
제 1 항에 있어서,
상기 수력 직경은, 상기 다공성 매질의 상기 공극률, 상기 다공성 매질의 유효 입자 모양 계수 및 상기 다공성 매질의 평균 입자 직경과 관련되어 산출되고, 하기의 관계를 가지는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.

(여기에서, D_h는 수력 직경, C_s 는 상기 다공성 매질의 유효 입자 모양 계수, d_m은 상기 다공성 매질의 평균 입자 직경, φ는 상기 다공성 매질의 공극률, l 및 n은 상기 다공성 매질의 기하학적 특성에 의존하는 상수임)
제 1 항에 있어서,
상기 마찰계수는 다르시(Darcy) 마찰계수가 적용된, 다공성 매질의 투과도 산출방법.
제 1 항에 있어서,
상기 공극률, 상기 수력 직경, 및 상기 마찰계수는, 상기 다공성 매질의 기하학적 특성 및 마찰손실특성을 나타내도록, 직선 원통형 유로에 대하여 도출되는 마찰계수로부터 등가 변수들로 변환된, 다공성 매질의 투과도 산출방법.
제 1 항에 있어서,
상기 비틀림도는 상기 공극률과 관련된, 다공성 매질의 투과도 산출방법.
제 1 항에 있어서,
상기 다공성 매질의 상기 공극을 유동하는 유체는 난류 유동하는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.
제 1 항에 있어서,
상기 다공성 매질은 사암, 실트, 탄산염암, 균열 암석, 다공성 생체조직, 다공성 기계부품, 또는 다공성 전자부품을 포함하는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.
다공성 매질의 공극의 공극률을 제공하는 단계;
상기 다공성 매질의 상기 공극의 수력 직경을 산출하는 단계;
상기 다공성 매질의 비틀림도를 산출하는 단계; 및
상기 공극률, 상기 수력 직경, 및 상기 비틀림도를 이용하여 상기 다공성 매질의 투과도를 산출하는 단계;
를 포함하는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.
제 16 항에 있어서,
상기 투과도는 하기의 관계를 가지는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.

(여기에서, K_T 는 비틀림도를 고려한 투과도, C_s 는 상기 다공성 매질의 유효 입자 모양 계수, d_m은 상기 다공성 매질의 평균 입자 직경, φ는 상기 다공성 매질의 공극률, m 은 고결 인자임)
제 16 항에 있어서,
상기 다공성 매질의 상기 공극을 유동하는 유체는 층류 유동하는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.
삭제
삭제