KR101671982B1

KR101671982B1 - 비틀림 수력직경을 이용한 다공성 매질의 투과도 산출방법

Info

Publication number: KR101671982B1
Application number: KR1020160073847A
Authority: KR
Inventors: 신창훈
Original assignee: 한국가스공사
Priority date: 2016-06-14
Filing date: 2016-06-14
Publication date: 2016-11-03

Abstract

본 발명은, 기하학적 특성 및 마찰손실특성을 고려하여 층류 유동 및 난류 유동에 대한 다공성 매질의 투과도 산출방법을 제공한다. 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 산출방법은, 다공성 매질의 공극의 공극률을 제공하는 단계; 상기 다공성 매질의 상기 공극의 수력 직경을 산출하는 단계; 상기 다공성 매질의 마찰계수를 제공하는 단계; 상기 다공성 매질의 비틀림도를 산출하는 단계; 상기 수력 직경과 상기 비틀림도를 이용하여 비틀림도의 함수인 비틀림 수력 직경을 산출하는 단계; 및 상기 공극률, 상기 비틀림 수력 직경, 상기 마찰계수, 및 상기 비틀림도를 이용하여 상기 다공성 매질의 투과도를 산출하는 단계;를 포함한다.

Description

비틀림 수력직경을 이용한 다공성 매질의 투과도 산출방법{Method of calculating permeability of porous material using tortuous hydraulic diameter}

본 발명의 기술적 사상은 투과도 산출방법에 관한 것으로서, 더욱 상세하게는, 비틀림 수력직경을 이용한 다공성 매질의 투과도 산출방법에 관한 것이다.

본 발명은 2013년도 산업통상자원부의 재원으로 한국에너지기술평가원(KETEP)의 지원을 받아 수행한 일련번호 제 20132510100060호의 연구과제를 참조한다.

다공성 매질의 투과도 산정은 석유가스 개발 분야는 물론, 원자력, 생체역학, 토목 등 다양한 학문 분야에서 오랜 기간 주요한 연구주제였다. 그럼에도 불구하고, 다양한 종류의 암석이나 균열, 생체 세포 등 각 매질의 기하학적 특성을 적절히 고려할 수 있고, 층류는 물론 난류를 포함한 모든 유동영역에 적용될 수 있는 일반화된 투과도 산정 방법은 확립되어 있지 못하다(Sahimi, 2011).

최근, 셰일가스를 필두로 치밀가스(Tight Gas), 석탄층메탄가스(CBM, Coal Bed Methane) 등과 같은 비전통자원(unconventional resources)의 개발이 활발하여 해당 산업은 물론 유관산업에 큰 영향을 미치고 있다. 대표적인 비전통저류층인 셰일저류층은 치밀한 셰일 암석과 자연균열 및 지지체를 복합한 수압파쇄 균열 등이 혼합되어 있어, 이를 일반적인 다공질유동 이론으로 해석하는 것에는 한계가 있다(Cipolla et al., 2010). 그러므로, 지지체(propant)가 복합된 수압파쇄 균열을 비롯한 다양한 매질의 기하학적 특성을 고려할 수 있고, 유동영역에 상관없이 적용될 수 있는 투과도 해석방법 도출이 절실하다(Shin et al., 2012a).

다공질 유동의 유동학적 관계는 일반적으로 다르시(Darcy) 관계식이나 포크헤이머(Forchheimer) 관계식 등으로 대표되고 있다. 그러나 이들 관계식은 유량과 투과도의 단순한 비례관계를 제시할 뿐, 투과도를 지배하는 특성변수나 그들의 상관관계를 제시하고 있지는 못하다. 이에 따라, 투과도는 실험을 통해 직접 측정되거나, 공극률 등과의 대비를 통해 근사적으로 추정되는 것이 일반적이다. 결과적으로, 이는 대상 저류층의 다양한 종류의 암석에 대한 수많은 실험의 수행을 요구하게 되어, 현실적으로 상당한 비용과 시간소비를 요구하게 된다. 특히, 지지체가 복합된 수압파쇄 균열의 경우는 지지체 분포특성의 규명과 실험모델의 구현 및 투과도 실험 모두가 매우 어렵고 까다로운 작업이다. 아울러, 특정 공극률과 지지체 분포 및 유동조건에 대한 실험이 수행된 경우에도, 다른 기하학적 조건이나 유동조건에 대한 또 다른 실험의 수행이 요구되는 것이 현실이다. 나아가, 수압파쇄 균열은 생산의 경과에 따른 지층의 응력분포 변화에 따라 점차적으로 균열이 닫히거나 지지체가 함몰 또는 파쇄되어 공극률이나 간극과 같은 기하학적 제원의 변화가 동반된다. 이는 수압파쇄 균열의 투과도 변화로 직접 연계되며, 그 영향이 상당히 중대한 것으로 알려져 있다(Shin et al., 2012b). 이와 더불어, 수압파쇄 균열은 주로 생산정의 인근에 분포하여 높은 압력구배를 받고 대량의 유체를 수송하는 역할을 하게 된다. 이에 따라, 생산초기 균열을 통과하는 유동은 흔히 비-다르시(Non-Darcy) 효과로 불리는 난류유동의 특성을 보이고, 생산량의 감소에 따라 점차적으로 층류유동으로 천이되게 된다. 결과적으로, 수압파쇄 균열의 투과도 산정을 위해서는 1) 보다 엄밀한 투과도 특성변수 정의와 상관관계가 규명되어야 하며, 2) 난류와 층류 유동영역 모두에 적용할 수 있고, 3) 균열 닫힘에 따른 기하학적 변화에 동반된 투과도 변화를 고려할 수 있는 새로운 투과도 관계식의 도출이 절실히 요구된다.

본 발명의 기술적 사상이 이루고자 하는 기술적 과제는 기하학적 특성 및 마찰손실특성을 고려하여 층류 유동 및 난류 유동에 대한 비틀림 수력직경을 이용한 다공성 매질의 투과도 산출방법을 제공하는 것이다.

그러나 이러한 과제는 예시적인 것으로, 본 발명의 기술적 사상은 이에 한정되는 것은 아니다.

상기 기술적 과제를 달성하기 위한 본 발명의 기술적 사상에 따른 다공성 매질의 투과도 산출방법은, 다공성 매질의 공극률을 제공하는 단계; 상기 다공성 매질의 수력 직경을 산출하는 단계; 상기 다공성 매질의 마찰계수를 제공하는 단계; 상기 다공성 매질의 비틀림도를 산출하는 단계; 상기 수력 직경과 상기 비틀림도를 이용하여 비틀림도의 함수인 상기 다공성 매질의 비틀림 수력 직경을 산출하는 단계; 및 상기 공극률, 상기 비틀림 수력 직경, 상기 마찰계수, 및 상기 비틀림도를 이용하여 상기 다공성 매질의 투과도를 산출하는 단계;를 포함한다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 수력 직경은 상기 비틀림도와 하기의 관계를 가질 수 있다.

(여기에서, D_hT는 비틀림 수력 직경, D_h는 비틀림도를 고려하지 않은 수력 직경, T는 비틀림도임)

(여기에서, D_hT는 비틀림 수력 직경, D_h는 비틀림도를 고려하지 않은 수력 직경, L은 다공성 매질의 직선길이, L_e는 내부 공극유로의 길이, S는 비표면적, Φ는 다공성 매질의 공극률임)

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 마찰계수는 상기 비틀림도의 함수일 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 마찰계수는 상기 비틀림도와 하기의 관계를 가질 수 있다.

(여기에서, f_vT는 비틀림도의 함수로서 유속 v에 대한 마찰계수, f_uT는 비틀림도의 함수로서 유속 u에 대한 마찰계수, f_u는 비틀림도를 고려하지 않은 마찰계수, T는 비틀림도, D_hT는 비틀림 수력 직경, ρ는 밀도, ΔP/L_e은 내부 공극유로 길이에 대한 압력구배, v는 내부 공극 유로를 통한 유체의 유속, u는 유체의 유속, ΔP/L은 다공성 매질의 직선 길이에 대한 압력구배, Φ는 다공성 매질의 공극률임)

(여기에서, f_uT는 비틀림도의 함수로서 유속 u에 대한 마찰계수, f_u는 비틀림도를 고려하지 않은 마찰계수, L은 다공성 매질의 직선길이, L_e는 내부 공극유로의 길이, T는 비틀림도, D_hT는 비틀림 수력 직경, ρ는 밀도, ΔP/L은 다공성 매질의 직선길이에 대한 압력구배, v는 내부 공극 유로를 통한 유체의 유속, u는 유체의 유속, ΔP/L은 직선 길이에 대한 압력구배, Φ는 다공성 매질의 공극률임)

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 투과도는 상기 비틀림도의 함수인 상기 마찰계수와 상기 비틀림도의 함수인 레이놀즈 수를 포함하여 구성될 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 투과도는 하기의 관계를 가질 수 있다.

(여기에서, k_GEPT 는 비틀림도를 고려한 기하등가투과도, v는 내부 공극 유로를 통한 유체의 유속, D_hT는 비틀림 수력 직경, Φ는 다공성 매질의 공극률, T는 비틀림도, f_vT는 비틀림도의 함수로서 유속 v에 대한 마찰계수, Re_vT는 비틀림도의 함수로서 유속 v에 대한 레이놀즈 수임)

(여기에서, k_GEPT 는 비틀림도를 고려한 기하등가투과도, u는 유체의 유속, D_hT는 비틀림 수력 직경, f_uT는 비틀림도의 함수로서 유속 u에 대한 마찰계수, Re_vT는 비틀림도의 함수로서 유속 u에 대한 레이놀즈 수임)

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 투과도는 상기 비틀림도의 함수인 레이놀즈 수를 포함할 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 투과도는 상기 비틀림도와 하기의 관계를 가지는 레이놀즈 수를 포함할 수 있다.

(여기에서, Re_vT는 비틀림도의 함수로서 유속 v에 대한 레이놀즈 수, Re_uT는 비틀림도의 함수로서 유속 u에 대한 레이놀즈 수, Re_u는 비틀림도를 고려하지 않은 레이놀즈 수, T는 비틀림도, ρ는 밀도, v는 내부 공극 유로를 통한 유체의 유속, u는 유체의 유속, D_hT는 비틀림 수력 직경, μ는 유체의 점도임)

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 투과도는 상기 비틀림도와 하기의 관계를 가지는 가질 수 있다.

(여기에서, Re_uT는 비틀림도의 함수로서 유속 u에 대한 레이놀즈 수, Re_u는 비틀림도를 고려하지 않은 레이놀즈 수, T는 비틀림도, ρ는 밀도, u는 유체의 유속, D_hT는 비틀림 수력 직경, μ는 유체의 점도임)

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 비틀림도는 다공성 매질의 내부 공극유로 길이를 고려할 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 비틀림도는 하기의 관계를 가질 수 있다.

(여기에서, T 는 비틀림도, L은 상기 다공성 매질의 직선 길이, L_e는 상기 다공성 매질의 내부 공극유로의 길이임)

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 다공성 매질 내의 유체의 유속은, 상기 비틀림 수력 직경, 상기 비틀림도의 함수인 상기 마찰계수, 및 상기 비틀림도의 함수인 레이놀즈 수에 대한 함수로 표현될 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 다공성 매질 내의 유체의 유속은 하기의 관계를 가질 수 있다.

(여기에서, u는 유체의 유속, μ는 유체의 점도, D_hT는 비틀림 수력 직경, Φ는 다공성 매질의 공극률, T는 비틀림도, v는 내부 공극 유로를 통한 유체의 유속, f_vT는 비틀림도의 함수로서 유속 v에 대한 마찰계수, Re_vT는 비틀림도의 함수로서 유속 v에 대한 레이놀즈 수, ΔP/L은 직선 길이에 대한 압력구배임)

(여기에서, u는 유체의 유속, μ는 유체의 점도, D_hT는 비틀림 수력 직경, Φ는 다공성 매질의 공극률, T는 비틀림도, u는 유체의 유속, f_uT는 비틀림도의 함수로서 유속 u에 대한 마찰계수, Re_uT는 비틀림도의 함수로서 유속 u에 대한 레이놀즈 수, ΔP/L은 직선 길이에 대한 압력구배임)

(여기에서, k_GEP 는 기하등가투과도, D_hT는 비틀림 수력 직경, f_uT는 비틀림도의 함수인 마찰계수, Re_uT는 비틀림도의 함수인 레이놀즈 수이고, 아래 첨자 "1"은 제1 모델이고, 아래 첨자 "2"는 제2 모델임)

(여기에서, k_GEP 는 기하등가투과도, D_hT는 비틀림 수력 직경, f는 마찰계수, Re_uT는 비틀림도의 함수인 레이놀즈 수, T는 비틀림도, Φ는 상기 다공성 매질의 공극률이고, 아래 첨자 "1"은 제1 모델이고, 아래 첨자 "2"는 제2 모델임)

(여기에서, k_GEP 는 기하등가투과도, D_hT는 비틀림 수력 직경, 아래 첨자 "1"은 제1 모델이고, 아래 첨자 "2"는 제2 모델임)

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 공극률은 40% 이상 60% 이하의 범위의 수치를 가질 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 공극률의 범위 내에서 f_uT Re_uT 는 156 내지 171 범위의 수치를 가질 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 공극률, 상기 수력 직경, 및 상기 마찰계수는, 상기 다공성 매질의 기하학적 특성 및 마찰손실특성을 나타내도록, 직선 원통형 유로에 대하여 도출되는 마찰계수로부터 등가 변수들로 변환될 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 수력 직경을 산출하는 단계는, 상기 다공성 매질의 상기 공극의 마찰손실에 대하여 등가의 마찰손실을 발생하는 원통형 모세관을 이용하여 이루어질 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 마찰계수는 다르시(Darcy) 마찰계수가 적용될 수 있다.

본 발명의 기술적 사상에 따른 다공성 매질의 투과도 산출방법은 상기 다공성 매질의 기하학적 특성 및 마찰손실특성을 나타내는 변수들을 적용하여 투과도를 산출할 수 있으며, 층류 유동 뿐만 아니라 난류 유동에 대하여도 투과도를 산출할 수 있다. 본 발명의 기술적 사상에 따른 투과도 산출방법은 보다 신뢰성 있는 투과도 분석을 가능하게 하고, 특히 마찰계수나 수력직경, 비틀림도 등 각 암석의 기하학적 특성변수를 적절히 고려할 수 있게 함으로써, 각각의 암상에 따른 공극률-투과도 상관관계를 적절히 구분하여 제시할 수 있다. 특히, 다공성 매질의 마찰계수와 비틀림 수력직경을 새롭게 정의하여 다공질 유동의 특성 변수 상관관계를 규명할 수 있는 기하등가투과도 관계식을 성공적으로 제시할 수 있다. 이를 기반으로 다공성 유동에 적용할 수 있는 일반화된 다르시 마찰유동 관계식으로 확장할 수 있다. 또한, 수압파쇄균열에 대한 전산유체해석을 수행하여 본 발명에서 도출된 관계식들이 유효함을 확인하고 적용사례를 제시할 수 있다.

또한, 본 발명의 기술적 사상에 따른 다공성 매질의 투과도 산출방법은 치밀사암 등이나 자연균열, 파쇄균열 등과 같이 기하학적 특성이 일반적인 사암과 구분되는 지층의 분석에서 보다 효과적으로 적용될 수 있다. 또한 본 발명의 기술적 사상에 따른 다공성 매질의 투과도 산출방법은 다양한 다공성 매질에 적용될 수 있고, 예를 들어 상기 다공성 매질은 사암, 실트, 탄산염암, 균열 암석, 다공성 생체조직, 다공성 기계부품, 또는 다공성 전자부품을 포함할 수 있다.

상술한 본 발명의 효과들은 예시적으로 기재되었고, 이러한 효과들에 의해 본 발명의 범위가 한정되는 것은 아니다.

도 1은 선행 연구 및 본 발명에서 사용된 각각의 물질에 대한 등가 유동모델들이다.
도 2는 셰일 구조에서의 구형 입자들로 채워진 단순 균열을 가정한 세가지 분석 모델들을 도시한다.
도 3은 CFD 시뮬레이션으로부터 평균 속도 0.0822 m/s에서의 세가지 단순 균열 모델의 압력 등고선(pressure contours) 및 유선들(streamlines)을 도시한다.
도 4는 CFD 시뮬레이션, 코제니-카르멘 분석, 및 GEP 분석의 투과도를 비교한 그래프이다.

이하, 첨부된 도면을 참조하여 본 발명의 바람직한 실시예를 상세히 설명하기로 한다. 본 발명의 실시예들은 당해 기술 분야에서 통상의 지식을 가진 자에게 본 발명의 기술적 사상을 더욱 완전하게 설명하기 위하여 제공되는 것이며, 하기 실시예는 여러 가지 다른 형태로 변형될 수 있으며, 본 발명의 기술적 사상의 범위가 하기 실시예에 한정되는 것은 아니다. 오히려, 이들 실시예는 본 개시를 더욱 충실하고 완전하게 하고, 당업자에게 본 발명의 기술적 사상을 완전하게 전달하기 위하여 제공되는 것이다.

이에 본 연구에서는, 투과도에 영향을 미치는 특성변수를 적절히 규명, 보완하고자 선행연구자들의 주요 이론을 먼저 조사, 검토하였다. 다음으로, 다양한 매질의 기하학적 특성을 고려할 수 있고 유동조건의 변화에 상관없이 적용이 가능한 투과도 관계식을 도출하고자, 다공성 매질의 마찰계수와 수력직경을 새롭게 정의하여 이를 기반으로 한 기하등가투과도 (GEP, Geometry Equivalent Permeability) 관계식을 도출하였다. 이후, 도출된 특성변수의 정의와 관계식들의 유효성을 검증하고 적용사례를 제시하고자, 지지체가 복합된 단순한 수압파쇄 균열에 대한 CFD 해석을 수행하여 그 결과를 비교, 검토하였다.

투과도 관계식과 특성변수 조사 및 검토

투과도에 대한 선행연구자들의 이론적 접근방법으로는 공극률과 같이 상대적으로 쉽게 측정이 가능한 다른 암석물성을 기반으로 투과도를 유추하는 방법이 대표적이다(Nelson, 1994). 역사적으로, 이러한 최초의 접근은 하젠(Hazen, 1892)에 의한 포화된 사암에 대한 투과도 측정에 대한 경험적 관계식의 도출이었다. 이후, 코제니(Kozeny, 1927) 와 카르멘(Carman, 1937, 1938, 1956)은, 코제니-카르멘(Kozeny-Carman) 관계식으로 널리 알려진, 암석 공극을 유관(tube)으로 상사한 모델을 기반으로 한 관계식을 제시한 바 있다. 또한, 패터슨(Paterson, 1983)과 왈쉬(Walsh)와 브레이스(Brace, 1984)는 다공질을 통과하는 유동을 다른 관경을 가진 유관 꾸러미를 통과하는 유동으로 가정하는 등가 채널(channel) 모델을 도출한 바 있다. 그 밖에도 아치도우(Achdou)와 아젤라네다(Avellaneda, 1992)는 코제니-카르멘 모델을 보다 견고히 할 수 있는 'dc 투과도(dc-permeability)' 산정 방법을 제안하고자 전기적 측정법(electrical measurement)을 통해 동적, 정적 투과도상의 공극 거칠기와 공극 크기 분포의 영향을 분석하였다. 이상에서 언급한 것과 같은 투과도를 암석과 공극의 다양한 특성변수와 상관시키고자 하는 다양한 시도에 부가하여, 암석 입자와 광물학적 조성, 비표면적과 수포화도 및 시추정 로그 모델(Nelson, 1994) 등과 같은 많은 다른 부류의 접근도 여러 차례 시도된 바 있다. 다른 측면에서, 투과도의 물리학적 의미와 수학적 기본 관계식 및 이들의 확장에 대한 접근 역시, 여러 선행연구자들에 의하여 제시된 바 있다(Bear, 1975; Burmeister, 1993; Kaviany, 1995). 루빈스테인(Rubinstein) 과 토르쿠아토(Torquato, 1989)는 조화평균 관계(ensemble-average formulation)를 활용하여 마이크로 영역에서의 다르시 법칙을 유도함으로써 투과도의 엄밀한 에너지적 표현을 도출하였다. 또한, 위타커(Whitaker, 1996)는 다르시 법칙의 투과도 텐서(permeability tensor)와 포크헤이머 수정 텐서(correction tensor)를 결정할 수 있는 체적 평균(volume averaged)된 나비에-스토크스(Navier-Stokes) 관계식을 유도한 바 있다. 메이(Mei) 와 아우리아울트(Auriault, 1991)는 강체 다공성 매질을 상수 밀도를 갖는 비압축성 뉴톤 유체로 고려하여 관성력이, 전역적으로 보다는 비록 약하더라도 지역적으로 더 중요하다는 점을 제시한 바 있다.

가장 기본적인 투과도 정의의 도출과정을 살펴보면, 다공성 매질의 공극을 수평의 직선 원통형 모세관으로 등가모델화 하고, 다공질 유동의 운동량 방정식을 전개하는 것에서 시작되었다 (Bear, 1975; Burmeister, 1993; Kaviany, 1995). 선행연구에서 도입된 공극을 통과하는 완전히 발달된 유체 유동의 x축 방향 운동량 방정식은 수학식 1과 같이 표현될 수 있다. 이 식을 공극의 단면적, "A_p= ΦA"에 대하여 적분한 후, "dA = 2πrdr"를 곱하면 수학식 2를 얻을 수 있다. 수학식 2에 층류유동을 기반으로 한 벽면 전단응력 관계식을 대입하고, 이를 A_p 로 나누면, 수학식 3으로 제시된 다공질 유동의 x축 방향 보존형 운동량 방정식을 도출할 수 있다. 여기서, 여기서, u 는

로 정의되는 면적평균속도(area-averaged velocity)이고, u_p는

로 정의되는 공극의 평균유동속도(average pore velocity) 이다. 이때, τ_w은 층류유동을 기반으로 한 변면전단응력으로 수학식 2에 제시된 바와 같다(Burmeister, 1993). 수학식 3은 좌측으로부터, 좌변의 비정상항, 대류항과 우변의 압력항, 중력항, 마찰손실항 및 확산항의 총 여섯 개의 항들로 구성되어있다. 우변의 마지막 두 항은 각각 다르시 항과 브린크만(Brinkmann) 확장항으로 알려져 있다. 여기서, 좌변의 비정상항과 우변의 중력항은 정상상태 수평유동에 대하여서는 제거될 수 있고, 일반적인 다공질 유동 해석에서, 좌변의 대류항과 우변의 브린크만 확산항은 영향이 매우 작아 무시될 수 있다. 결과적으로, 수학식 3은 수학식 4에 보여진 바와 같이, 다르시 관계식과 매우 유사한 형태로 정리될 수 있고, 다르시 관계식과의 비교를 통하여 투과도의 기본적인 수학적 정의가 수학식 5와 같이 제시되었다(Bear, 1975; Burmeister, 1993; Kaviany, 1995).

위의 전개과정에서, 우리가 주지해야 할 것은 다르시 항의 도출이 벽면 전단응력에 기인된 마찰손실항에서 비롯된다는 점이다. 이는 물리학적 관점에서, 투과도는 다공질 유동의 벽면 전단응력이 전달되는 공극유로의 등가단면적을 표현하는 것을 의미하며, 결과적으로 투과도가 벽면 전단응력의 함수가 됨을 알 수 있다. 수학식 5의 전개과정은 브루마이스터(Burmeister, 1993)를 비롯하여 여러 다른 선행연구나 문헌들에서 제시된 것으로, 층류유동을 기반으로 한 투과도의 이론적 검토와 확장에 널리 활용되었다(Bear, 1975; Kaviany, 1995; Jurgawczynski, 2007). 그럼에도 불구하고, 수학식5가 실제의 투과도 산정을 위한 관계식으로 널리 사용되지 못하는 이유는 크게 두 가지 원인으로부터 기인된 것으로 추정할 수 있다. 우선, 수학식 5는 수학식 2의 벽면 전단응력 해석을 위해, 하겐-포이쉴리(Hagen-Poiseuille) 관계식으로 알려진 비압축성 층류유동 관계식을 도입함에 따라, 이를 난류유동에 적용할 수 없다는 한계를 가진다. 다음으로, 수학식 5에서 투과도는 단순히 공극률과 매질 단면적과의 곱의 형태인, ΦA_p 로 표현되어 있는데, 이는 다공성 매질의 공극률에 대한 매우 단순한 정량적 관계만을 만족할 뿐, 실제 공극의 다양한 기하학적 특성이나 및 유동학적 특성을 전혀 반영할 수 없다. 다시 말해, 수학식 5는 이의 전개과정에서 도입된 수평의 직선형 원통관으로 완전히 근사화 될 수 있는 매우 단순한 형태의 공극의 층류유동에 대하여서만 적용이 가능하다.

실제 다공성 매질을 구성하는 입자는 다양한 광물조성과 크기분포 및 불균질성 등을 가진 덕분에, 이들로 구성된 다공질 공극유로는 만곡(curvature)이나 비틀림(tortuosity)은 물론 분기(divergence)나 모임(conjunction) 등과 같은 매우 복잡한 구조적, 기하학적 특성을 가진다. 이러한 다공성 매질의 기하학적 특성들은, 유동조건의 천이에 따른 난류효과에 의한 유동 저항에 부가하여, 유체의 마찰손실에 직접적인 영향을 미치는 핵심적인 요소이다. 결과적으로, 수학식 5의 투과도 기본정의는 이상적인 유동모델을 기반으로 한 투과도의 물리적 개념을 제시하는 측면에서만 의미가 있으며, 실제로는 대상 다공성 매질의 이상적인 투과도 최대값으로 간주 될 수 있다. 코제니(Kozeny, 1927)는 이러한 다공성 매질의 기하학적 특성에 따른 유동손실을 정량적으로 고려하고자, 공극률과 비표면적(specific surface area)의 함수로 정의된 다공성 매질의 수력직경(hydraulic diameter)을 수학식 6과 같이 제시하였다. 여기에 코제니(Kozeny, 1927)는 아래 수학식 7과 같이, 다공성 매질의 입자를 구로 가정하여 비표면적을 입자 형상계수와 평균직경의 함수로 제시하였다. 코제니(Kozeny, 1927)는 이 식의 도출과정에서 동일한 크기의 구형 입자를 대상으로 유효 입자형상계수(C_s)로 '6을 제시하였으나, 이는 실제 사암 등의 암편을 대상으로 한 최근의 실험적 접근을 통하여 사암과 같은 일반적인 다공질 암석에 대하여서는 '4.27' 이 보다 적절한 것으로 제시되었다(Engler, 2010). 결과적으로, 수학식 7의 관계를 수학식 6에 도입하여 표현한 최종적인 수력직경의 관계식과 이를 수학식 5에 적용한 코제니의 투과도 관계식은 수학식8과 같이 정리될 수 있다.

코제니의 수력직경을 도입함에도 불구하고, 대부분의 실제 다공성 매질의 투과도는 수학식 8로 제시된 투과도 값보다 훨씬 낮은 값을 보일 것이다. 이는 실제의 다공질 유동이 수력직경과 같은 공극 단면적의 영향뿐만 아니라, 공극유로의 만곡이나 비틀림 등과 같은 유로의 기하학적 영향에도 크게 의존하기 때문이다. 코제니(Kozeny, 1927)는 이러한 유로변화의 영향을 고려하고자, 비틀림도(Tortuosity, T)를 최초로 정의하고 이를 압력구배항에 도입한 관계식, 수학식 9를 제시한 바 있다(Carman, 1937). 이후, 카르멘(Carman, 1937)은 코제니의 비틀림도는 압력구배항은 물론, 유속항에도 같이 고려되어야 타당함을 주장하고 수정한 관계식, 수학식 10을 제시하였다. 다시 말해, 카르멘은 비틀림도에 의한 영향을 압력구배와 유동속도 모두에 고려하여, 소위 코제니-카르멘(Kozeny-Carman) 관계식으로 널리 알려진 수학식 10의 관계식을 최종적으로 제시하였다. 여기서, 비틀림도의 정의는 관련 이론을 사용하는 선행연구자들에 따라 몇 가지 정의가 혼재되어 사용되고 있으며(Bear, 1975), 혼돈을 피하기 위해서, 본 연구에서는 코제니에 의해서 최초로 제시된 수학식 10의 정의를 사용하였다. 결과적으로, 카르멘이 수정하여 제시한 투과도의 정의는 수학식8의 코제니의 투과도 정의에 비틀림도를 곱하는 형태가 되고, 수력직경의 정의를 다시 도입하면 수학식 11과 같이 정리될 수 있다. 이 때, 다르시 관계식은 수학식 11의 투과도 정의를 도입함으로써 수학식 12와 같이 수정되어 제시될 수 있다.

수학식 11의 도출과정을 종합하면, 코제니-카르멘 관계식은 층류유동 이론을 기반으로 도출된 수학식 5의 투과도 기본 정의에 코제니의 수력직경과 비틀림도의 개념을 복합하여 정의된 것임을 알 수 있다. 코제니-카르멘 관계식은 많은 선행연구들의 이론적 기반으로 사용되었으며, 이 때 수학식 13과 같은 형태로 보다 널리 알려져 있다(Carman, 1937; Bear, 1975; Carrier, 2003). 수학식 13은 수학식 7에 제시된 코제니(Kozeny, 1927)의 비표면적 관계식에 동일한 평균직경 d_m 을 갖는 구형입자를 가정하여 형상계수 관계는 C_S = 6으로 설정하고, 비틀림도는 히치콕(Hitchcock)의 가정을 기반으로

의 관계를 수학식 11에 대입한 것이다(Carman, 1937). 그러나 최근의 많은 연구에서, 비틀림도는 공극률의 함수로 표현되는 것이 보다 적절한 것으로 밝혀져 있어, 공극률을 기반으로 한 비틀림도 산정 방안이 보다 유용할 수 있다(Bear, 1975). 또한, 다공질 수력직경의 도출에 요구되는 비표면적 계측 역시, 찰켓(Chalket et al. ,1949) 등에 의해 제안된 통계적 방법을 비롯하여, 흡착(gas adsorption) 실험 방법과 PIA(Petrographic Image Analysis) 방법 및 NMR(Nuclear Magnetic Resonance) 계측 등 다양한 방법들이 제안되어 있다. 따라서, 코제니-카르멘 관계식의 적용은 수학식 13의 상수계수를 가지는 형태보다 수학식 11의 원형을 활용하는 것이 결과의 신뢰성이나 다양한 매질에 대한 적용성 측면에서 보다 바람직하다.

다공성 매질의 마찰계수와 수력직경에 기반한 기하등가투과도 정의

코제니-카르멘 관계식은 현재까지 제시된 투과도 관계식들 중 가장 널리 사용되고 있는 식 중의 하나로 여러 후속연구의 이론적 기반이 되고 있다. 그럼에도 불구하고, 코제니-카르멘 관계식은 실제의 다공성 매질이 갖는 다양한 기하학적 특성 반영에는 여전히 한계를 가지고 있다. 이는 코제니-카르멘 식이 다공질 유동의 특성을 수령직경과 비틀림도 및 공극률의 함수로만 표현하고 있고, 이들 변수만으로 실제 다공질 입자의 거칠기, 배열구조, 크기분포, 이방성, 불균질성 등과 같이 유동손실에 영향을 미치는 모든 기하학적 특성을 고려하는 것은 불가능하기 때문이다. 예를 들어, 불규칙하고 형상의 변화가 많으며 다양한 입자크기 분포를 가진 다공성 매질과 상대적으로 단순하고 균질한 입자 분포를 가진 두 매질이 만약 같은 비표면적과 공극률을 가진 경우를 가정하여 보자. 코제니-카르멘 관계식은 두 매질의 입자 표면 거칠기나 구조적 특징은 배제하고 동일한 비표면적과 공극률에 기반하여 동일한 수력직경과 비틀림도를 산정하게 되어, 결과적으로 동일한 투과도 값을 산출하게 될 것이다. 물론 이는 적절치 않으며, 궁극적으로, 투과도는 공극률과 비틀림도, 수력직경은 물론, 각 매질의 유동손실에 영향을 미치는 다양한 기하학적 특성을 적절히 고려할 수 있는 형태로 표현되어야 한다.

유동모델의 측면에서, 코제니-카르멘 관계식은 다공질 유동을 등가의 수력직경과 비틀림도를 갖는 모세관다발을 통과하는 층류유동 모델로 가정한 것이다. 이 때, 공극의 기하학적 특성을 반영하기 위하여 수력직경의 정의에 공극률과 입자 평균직경 및 형상계수를 변수로 도입하였다. 이와 같은 수력직경의 정의와 유동모델의 가정으로 투과도의 핵심변수인 등가 공극유로의 단면적 산정은 가능하나, 입자의 구조와 배열, 거칠기 등에 좌우되는 유동저항 특성의 고려는 여전히 부족하다. 더욱이 모든 유동손실 요소를 개별적으로 측정하거나 정량적으로 평가하는 것은 현실적으로 매우 어려우며, 이를 통합하여 고려할 수 있는 특성변수의 규정과 도입이 절실하다. 따라서 투과도 관계식은 보다 쉽고 보편적인 방법으로 측정이 가능하고 유동손실과 관련된 다양한 인자를 통합적으로 고려할 수 있는 새로운 특성변수를 기반으로 제시될 필요가 있다. 궁극적으로 이를 비롯한 모든 투과도 특성변수를 포함한 일반화된 형태로 도출될 필요가 있다.

이를 위해, 본 연구에서는 수학식 1 내지 수학식 3의 전개과정에서 도출된 "투과도는 물리학적으로 벽면 전단응력을 생성하는 공극의 등가단면적에 상당하며, 벽면 전단응력의 함수로 취급될 수 있다"라는 검토 결과에 주목하였다. 그 중에서 특히, 벽면 전단응력항의 처리를 위해 하겐-포이쉴리 관계식으로 알려진 층류 배관유동 관계식을 도입하였고, 이에 따라 도출된 관계식은 층류유동에만 유효함을 상기하였다. 이는 역으로, 다공질 유동의 운동량관계식 전개에서 벽면 전단응력항을 층류영역에서만 유효한 하겐-포이쉴리 관계식이 아니라, 난류영역에도 확장적용이 가능한 수학식 14의 다르시 마찰계수 관계식을 도입함으로써 이러한 한계를 극복할 수 있음을 의미한다. 다시 말해, 본 연구에서는 코제니-카르멘 관계식과 같은 기존의 투과도 관계식이 하겐-포이쉴리 관계식과 같은 일반적인 배관유동의 이론을 기반으로 도출되었듯이, 유동영역과 기하학적 특성에 무관하게 배관유동의 유동손실을 표현할 수 있는 다르시 마찰계수 관계를 다공질 유동해석에 도입하는 방안을 모색하고자 하였다. 결과적으로, 본 연구에서는 다공질 유동의 기하학적 특성과 유동영역 변화에 따른 유동손실을 적절히 고려할 수 있게 하고자 수학식 14에 제시된 다르시 마찰계수(Darcy's friction factor, f) 정의를 도입하였다. 이 때, Darcy 마찰계수 외에도 내부유동의 마찰손실을 기술한 이론적 접근으로는 패닝(Fanning)의 마찰계수가 있다(Bear, 1975; Muskat, 1946). 그러나 두 이론은 각 관계식이 각각 수력직경과 수력반경을 대상으로 정의되는 차이만 있어, 다르시 마찰계수는 단순히 패닝 마찰계수의 4배로 취급될 수 있으므로, 본 연구에서는 다르시 마찰계수를 기준으로 이후의 검토를 진행하였다.

도 1은 선행 연구 및 본 발명에서 사용된 각각의 물질에 대한 등가 유동모델들이다.

이 시점에서, 선행연구에서 다공질 유동의 이론적 해석을 위해 제안된 등가 유동모델을 전체적으로 정리, 비교하면 다음 도 1과 같이 요약될 수 있다. 수력직경과 마찰계수의 정의를 통해 표현되는 대표적인 유동으로는, 도 1의 (A)에 제시된 동심관 유동을 비롯하여, 평판, 사각, 삼각채널 및 타원 형태의 배관유동을 들 수 있다. 한 예로, 도 1의 모델 (A)는 원래 (A-I) 형태인 동심관을 대상으로, 배관 유로의 수력직경과 마찰계수 - 레이놀즈 수 관계(f Re)를 정의함으로써, (A-II)와 같은 원통형 배관유동으로 등가 표현할 수 있다. 다시 말해, 다양한 기하학적 단면 형상을 가진 배관유동의 해석은 각 유로의 수력직경과 마찰계수 정의를 통하여 등가의 유동모델로 표현하는 것으로 달성될 수 있고, 이러한 방법은 배관유동 해석분야에서 매우 보편적이고 널리 활용되고 있다. 사실상 이러한 개념은 수학식 5의 투과도 기본정의를 도출하는 REV(Representative Elementary Volume) 모델에서도 이미 도입되어 있다(Burmeister, 1993). 즉, 도 1의 B에 제시된 바와 같이, 다양한 크기, 형상과 구조를 갖는 고체입자로 구성된 다공성 매질은 가장 단순하게는 동일한 공극부피를 갖도록 설정된 등가 공극직경, D_p를 가진 직선 원통형 모세관으로 등가 표현될 수 있다. 결과적으로, 수학식 5의 투과도 기본정의는 이러한 가장 단순하고 이상적인 유동모델을 기반으로 도출된 것으로, 결과적으로 해당 공극률에 대한 투과도의 최대값을 산출하게 되는 것이다.

코제니와 카르멘은 유동모델 (B)가 지나치게 단순함에 따른 한계를 극복하고자, 다공성 매질에 대한 수력직경(D_h)의 개념을 새롭게 도입하고 비틀림도(T)의 정의를 추가한 도 1의 (C) 유동모델을 제안하였다. 여기서, 공극유로를 통과하는 유체의 실제 속도는 모델(B)의 등가 공극직경(D_p)에 비해 훨씬 작은 수력직경과 비틀림도 도입에 따라 증가된 유로길이에 의해 크게 증가된 속도인, u_e를 가지게 됨에 주의가 필요하다. 이해의 편의를 위해, 표1의 (C) 모델을 매질의 직선길이(L)가 아닌 내부 공극유로의 길이(L_e)를 기준으로 펴서 표현하면 도 1의 (D)와 같다. 결과적으로, 코제니와 카르멘은 도 1의 (D) 유동모델을 제시하였으나, 이를 통해 각 매질 유로의 기하학적 특성을 모두 표현하기에는 여전히 한계가 있다. 이에 본 연구에서는 도 1의 마지막에 제시된 다수의 주름을 가진 원통형 모세관을 가정한 유동모델, 모델 (E)를 제안하였다. 이는 기본적으로는 수력직경과 비틀림도 개념에 기반한 코제니-카르멘 관계식의 유동모델, (D) 모델과 동일한 개념을 가지나, 거칠기와 같은 공극의 기하학적 특성에 따른 추가적인 유동손실을 고려하고자 다수의 주름을 부가하여 제시된 모델이다.

예를 들어, 어떤 특정한 유동조건에서 동일한 유동손실(투과도)을 보인 두 종류의 다공성 매질을 가정하여 보자. 하나는 도 1의 (D)로 가정될 수 있는 이상적인 구형의 동일한 입자크기로 구성된 매질이고, 다른 하나는 도 1의 (E)로 대표될 수 있는 불균질하고 다양한 크기 및 이방성이 큰 입자로 구성된 매질이다. 만약, 우연히 어떤 특정 공극률과 유동조건에서 동일한 평균유속과 압력손실이 발생한다면 두 매질의 투과도는 이 조건에서 동일한 것으로 평가된다. 그러나 두 매질이 다른 동일한 공극률이나 유동조건에 존재하는 경우에, 이 새로운 조건하에서 두 매질의 투과도가 동일한 결과를 보일 가능성은 매우 낮다. 이는 각 매질 유로의 기하학적 특성 차이에 따라 각각이 갖는 유동손실(마찰저항)의 특성이 다르기 때문으로, 이러한 유동손실 특성을 반영하기 위하여서는 기존의 수력직경의 개념에 더하여 마찰계수라는 별도의 특성변수를 도입할 필요가 있다. 결과적으로, 본 연구에서는 다공성 매질의 유동모델로 다수의 주름을 가진 원통형 모세관을 제안하고, 이의 적절한 해석과 표현을 위하여 등가 수력직경과 비틀림도는 물론 마찰계수의 개념을 추가적으로 도입하고자 시도하였다.

마찰계수의 도입을 위해, 수학식 14의 다르시 마찰계수 정의를 다공질유동의 운동량방정식인 수학식 2에 대입하고 양변을 A_p로 나누면, 수학식 2는 아래 수학식 15와 같이 정리될 수 있다. 이 때, 수학식 4의 유도과정과 동일하게, 수평의 정상상태 다공질 유동을 가정하여 비정상항과 중력항을 제거하고 대류항과 브린크만(Brinkmann) 확산항을 무시하면 수학식 15는 다시 수학식 16의 형태로 축약되고, 이를 다공질 유동에 대한 마찰계수로 정리하면 수학식 17을 도출할 수 있다. 여기서, 수학식 17은 일반적인 배관유동의 손실관계를 나타내는 다르시-바이스바흐 관계식과 동일한 형태를 가짐을 알 수 있고, 이에 따라 수학식 17은 다르시-바이스바흐 관계식의 다공질 유동에 대한 표현으로 생각될 수 있다. 다음으로, 수학식 17의 공극유로 직경(D_p)과 유속(v) 및 압력구배(dP/dx)는 도 1의 (D)와 (E) 모델에 대하여, 수학식 17의 우측에 제시된 바와 같이, 코제니의 수력직경과 비틀림도 고려에 따라 수정된 코제니와 카르멘의 압력구배와 유속으로 대체될 수 있다. 이들 변수를 수학식 17의 마찰계수 관계식에 대입하여 정리하면, 다공질 유동의 다르시 마찰계수(f, Friction Factor of Porous Flow)를 정의한 관계식, 수학식 18을 얻을 수 있다. 여기서, 수학식 18을 일반적인 배관유동의 다르시-바이스바흐 관계식과 비교하면, 다공성 매질의 수력직경(D_h)과 평균유속(u) 및 직선길이 압력구배(P/L)를 기본 항으로 하여, 공극률(Φ)과 비틀림도(T)가 부가된 형태를 가진다. 요약하면, 수학식 18은 일반적인 방법으로 계측이 가능한 다공질 유동의 물리량을 바탕으로 산출된 마찰계수를 기반으로 다양한 매질의 손실특성을 표현할 수 있는 관계식이다. 이는 기존의 이론들이 상수계수를 기반으로 하거나, 측정이 어렵거나 신뢰도가 낮은 물리량을 기반으로 투과도를 표현함에 따라 적용 대상에 제한을 받거나 신뢰성에 한계를 갖는 것을 극복할 수 있는 방법이다.

본 연구에서는 상기에서 도 1의 (E-III) 모델을 기반으로 한 다공질 유동의 마찰계수 정의를 수학식 18과 같이 도출하였다. 이 때, 도출된 마찰계수는 원래의 다공성 매질, 즉 도 1의 (C-I) 과 동일한 유동학적 상관관계를 가져야 한다. 그러므로, 도 1의 (C-I) 유동을 표현하는 일반적인 관계식인 다르시 관계식과 (E-III) 모델에 대한 마찰계수를 동일한 압력구배 조건에 대하여 수학식 19와 같이 연립하면, 수학식 20의 관계식을 도출할 수 있다. 이를 다시, 마찰계수(f)와 레이놀즈 수(Re)의 함수로 정리하면 다음 수학식 21의 형태로 정리될 수 있다. 여기서, 수학식 21의 (b)식은 도 1의 (E-III)모델에 제시된 등가의 공극유로 관점에서의 마찰계수(f)와 Reynolds 수(Re_ue)의 관계를 바탕으로 표현된 관계식임을 주지할 필요가 있다. 결과적으로, 수학식 21은 본 연구에서 다공성 매질의 다양한 기하학적 특성과 유동범위에 무관하게 적용이 가능하도록 다르시 마찰계수의 도입을 통해 새롭게 도출한 투과도 관계식으로 다른 투과도 정의와 구분하기 위해 기하등가투과도(GEP, Geometry Equivalent Permeability) 관계식으로 명명하였다.

본 연구에서는 선행연구에서 제안된 다공성 매질의 수력직경과 비틀림도의 개념에 다공질 유동에 대한 다르시 마찰계수의 개념을 도입하여, 수학식 18의 다공질 유동의 마찰계수와 수학식 21의 기하등가투과도 관계식을 제시하였다. 도출된 관계식들은 이미 널리 알려진 관계식들을 바탕으로 엄밀한 수학적 전개를 통하여 도출하였기 때문에 이들의 유효성은 충분하다 할 수 있다. 그러나 이를 다시 한번 확인하고, 관계식을 구성하는 특성변수들의 관계를 검토하여 보고자, 코제니-카르멘 관계식과의 비교를 수행하였다. 이를 위해, 코제니-카르멘 유동모델인 모델(D)에 기반한 등가 공극유로의 관점에서의 마찰계수(f)와 레이놀즈 수(Re_v) 관계로 표현된 수학식 21의 (b)를 기본 관계식으로 도입하였다. 이 식에 수학식 13의 코제니-카르멘 관계식 유도과정과 동일하게, 코제니의 수력직경 정의와 카르멘이 비틀림도의 계산을 위해 도입한 히치콕의 가정을 도입하면 수학식 22를 얻을 수 있다. 수학식 22에 다시, 코제니가 적용한 입자 형상계수 관계 C_S = 6 을 도입하고, 원통형 유로(모세관)에 대한 층류유동의 마찰계수와 레이놀즈 수 조합인 f Re_v = 64 를 적용하면 수학식 23을 얻을 수 있다. 여기서, 수학식 23은 코제니-카르멘 관계식이 동일한 크기의 구형입자로 구성된 다공성 매질의 층류유동에 적용되는 경우에 대한 표현인 수학식 13과 동일한 것을 확인할 수 있다.

결과적으로, 본 연구에서 도출된 수학식 21의 기하등가투과도 정의가 적절함을 상기의 비교를 통하여 추가적으로 검증하였다. 이는 역으로, 코제니-카르멘 관계식은 원통형 층류유동을 기준으로 한 마찰계수와 레이놀즈 수 관계 (f Re_v = 64)를 정의될 수 있는 특정한 유동에만 한정되어 적용이 가능한 관계식임을 의미하는 결과이다. 실제의 배관유동은 유로의 형상, 표면의 거칠기 및 유로의 축소나 확대 등의 유로의 구조적 변화에 따라 상당히 다양한 유동손실 특성을 갖는다(White, 2001). 유동학적으로 이러한 내부유동의 손실특성을 표현하는 가장 대표적인 방법이 수력직경과 마찰계수의 관계를 기반으로 하는 것이다. 즉, 수력직경이 유동저항을 받는 유로의 표면적을 정량적으로 표현하는 것이라면 마찰계수와 레이놀즈 수 관계는 유동저항의 강도를 정량적으로 표현하는 것으로 이들의 조합을 통해서 유동손실이 적절히 표현될 수 있다. 상대적으로 단순한 기하학적 특성을 갖는 일반적인 유관인 평판, 삼각채널, 동심관 등의 유동학적 해석도 수력직경은 물론 각각의 마찰손실에 대한 정량적 표현이 필수적으로 요구된다. 하물며, 훨씬 복잡한 기하학적 특성을 갖는 다공성 매질의 유동학적 표현이 수력직경만으로 표현되기는 매우 어려우며, 다공질 유로의 비틀림도는 물론 마찰계수를 고려할 수 있도록 표현되는 것이 필수적이다. 결론적으로, 본 연구에서는 마찰계수와 레이놀즈 수 관계를 기반으로 한 기하등가투과도 관계식을 도출함으로써 다공성 매질의 기하학적 특성을 반영하고 유동영역에 무관한 새로운 투과도 산정방법을 제시한 것이다.

그러나 여기서, 수학식 21의 기하등가투과도 관계식의 도출에도 불구하고, 관련된 특성변수에 대하여 중요하게 검토되어야 할 사항이 하나 더 있다. 본 연구에서 다공질 유동의 마찰계수를 도입하고자 한 근본적인 이유는 각 다공성 매질이 가지는 유동학적 특성을 매질의 수력직경과 연계하여 보다 적절히 특성화하고자 함이었다. 이를 위해서는, 수학식 21에서 f_u Re_u 로 표현되는 마찰계수와 레이놀즈 수 관계가 각 다공성 매질에 대하여서는 고유한 상수 값으로 특정될 수 있어야 한다. 예를 들어, 일반적으로 층류영역에 대한 원통형 배관의 다르시 마찰계수와 레이놀즈 수 관계는 '64'이고, 사각형 채널은 약 '57', 삼각형 채널은 '51' 등과 같이 각각의 고유한 상수 값을 가진다. 아울러, 각각은 동일한 형상의 유로에 대하여서는 층류영역에서는 물론, 유로의 크기가 변화하는 경우에도 변함이 없이 동일한 상수 값으로 유지되어, 수력직경의 차이에 따라서만 유량이 변화하게 된다. 이러한 개념을 다공질 유동에 차용하면, 어떤 특정한 다공질 유동의 f_u Re_u 관계도 층류영역에서는 다공질 유로(수력직경)의 크기변화에 무관하게 동일한 상수 값을 가져야 하며, 공극률 등의 기하학적 특성의 부분적 변화에 대하여서도 동일한 종류의 매질은 유사한 값으로 유지되어야 한다. 그러나 수학식 17과 수학식 18로 제시된 마찰계수 정의를 살펴보면, 코제니의 수력직경 정의를 기반으로 한 마찰계수 관계는 이러한 관계를 만족시키기에 어려움이 있음을 짐작할 수 있다. 이는 수학식 18을 구성하는 수력직경의 정의가 공극률과 비틀림도와 서로 엄밀히 상관되지 못하여 이러한 관계를 만족할 수 없기 때문이다.

수학식 18의 도출과정을 다시 살펴보면, 수학식 18은 수학식 16으로 도출된 다공질 유동의 마찰계수 관계에 수학식 17에 제시된 코제니의 수력직경 정의와 압력구배 관계 및 카르멘이 비틀림도를 도입하여 수정한 유속관계를 적용하여 도출된 결과식이다. 관련된 도출이력을 살펴보면, 우선 코제니가 다공성 매질의 수력직경을 정의하고 비틀림도의 개념을 새롭게 제안하여 압력구배항을 변형하였다. 이후, 카르멘은 코제니의 비틀림도 개념을 압력구배항은 물론 유속항에도 추가적으로 적용하여 코제니-카르멘 관계식을 제시하였다. 결과적으로, 코제니와 카르멘은 다공성 매질에 대한 비틀림도 개념을 유속항과 압력구배항에 성공적으로 도입하였으나, 이때 수력직경의 정의도 공극률은 물론 비틀림도와도 엄밀히 상관되어야 함에도 불구하고 비틀림도 도입에 따른 수력직경에 대한 새로운 정의는 제시하지 못하였다. 이에, 본 연구에서는 다공성 매질의 수력직경을 비틀림도와 상관시켜 변형한 새로운 정의를 제시하고, 이를 통해 수학식 18과 수학식 21로 제시된 다공성 매질의 마찰계수 및 등가투과도 관계식의 완결성을 제고하고자 시도하였다.

도 1의 (C), (D) 혹은 (E)로 제시된 유동모델을 살펴보면, 비틀림도의 증가는 등가 공극유로의 길이 증가를 의미하고, 대상 매질의 공극률은 변화될 수 없으므로 그 결과는 수력직경의 변화로 귀결되어야 한다. 그러므로, 다공성 매질의 비틀림도는 코제니와 카르멘이 제시한 것과 같이 유동의 속도와 압력구배와 상관됨은 물론 수력직경과도 상관되어야 한다. 결과적으로, 다공성 매질의 비틀림도를 고려한 수력직경(D_hT)은 공극률과 비틀림도 및 수력직경의 기본적인 상관관계로부터 수학식 24와 같이 제시될 수 있다. 다시 말해, 다공질 유동의 등가 유동모델(모델 B 그리고 수학식 24의 기호 Φ1)인 직선형 원통관에서의 공극률(Φ = A_h L/V_b)은 비틀림도 변화를 고려하는 모델(모델 C, D, E 그리고 수학식 24의 기호 Φ2)에 적용되는 경우에도 동일한 공극률(Φ = A_hT L_e/V_b)로 유지되어야 하므로, 이러한 관계를 통하여 수학식 25의 수력직경(D_hT)이 도출되었다. 본 연구에서, 수학식 25는 다공성 매질의 비틀림도를 고려하여 새롭게 정의된 수력직경으로, 일반적인 수력직경과 구분하기 위해서 '비틀림 수력직경(D_hT, Tortuous Hydraulic Diameter)'으로 명명하였다.

예를 들어, 상기 비틀림 수력직경(

) 정의에 포함된 다공성 매질의 수력직경(

) 정의에 있어, 수학식 6, 수학식 7, 및 수학식 8 등과 같은 코제니 수력직경, 이를 변형한 형태 및 기타 기존에 공개된 수력직경을 적용하여 비틀림 수력직경을 산정하는 경우에는 다음과 같다.

이에 따라, 마찰계수 정의에 관한 수학식 17은 수학식 25의 관계를 기반으로 다시 수정되어야 한다. 다공성 매질의 유동학적 관점에서의 마찰계수 정의인 '다공질 유동의 마찰계수(f, Friction Factor of Porous Flow)'의 최종적인 정의를 수학식 26과 같이 도출할 수 있다. 이때, 다공성 매질의 거시적 관점(매질을 통과하는 겉보기 유속)에서의 매질의 평균유속(u)과 매질의 직선길이당 압력강하(P/L)를 기준으로 한 겉보기 마찰계수가 정의될 수 있다. 본 연구에서는, 이를 별도로 '다공성 매질의 마찰계수(f_uT) (Friction Factor of Porous Media)'로 정의하여 다공질 공극유로들의 평균 유속(v)을 기반으로 한 유동의 마찰계수(f_vT)와 구분하고 보다 실용적인 접근을 위한 새로운 특성변수로 제시하였다. 마찰계수에 더불어, 다공질 유동특성 규명에 필수적인 인자는 레이놀즈 수이다. 따라서, 수학식 25의 비틀림 수력직경 정의를 다시 도입하면, 다공질 유동에 대한 레이놀즈 수는 수학식 27과 같이 정의될 수 있다.

다음으로, 비틀림 수력직경을 기반으로 한 다공성 매질의 마찰계수와 레이놀즈 수의 관계를 수학식 28과 같이 정리하면, 다공질 유동의 특성변수 상관관계를 엄밀하고 다공질 유동에 확장적용이 가능하게 일반화된 다르시-바이스바흐 마찰유동 관계식(Darcy - Weisbach 관계식)인 수학식 28을 도출할 수 있다. 마지막으로, 최종적인 기하등가투과도 관계식의 도출하고자 수학식 20의 도출과정과 동일하게 수학식 27을 다르시-바이스바흐 관계식과 상관시키면 최종 기하등가투과도 관계를 표현하는 수학식 29를 얻을 수 있다.

결과적으로, 수학식 28의 (b)는 일반적인 배관유동에서의 다르시 마찰유동 관계식과 동일한 형태를 가짐을 알 수 있다. 이는 동일한 기하학적 특성을 가진 배관 또는 매질에 대하여 f_uT Re_uT의 형태로 제시된 다르시 마찰계수 - 레이놀즈 수 관계가 고유한 상수 값을 가지게 됨을 의미한다. 다시 말해, 본 연구에서 도출한 수학식 28은 다공질 유동으로도 확장 적용이 가능한 일반화된 마찰유동 관계식으로 어떤 다공성 매질 또는 배관의 유동손실특성을 고유한 f_uT Re_uT 값과 D_hT 로 특정할 수 있다. 이는 투과도와 같은 다공질 유동특성을 지배하는 특성변수를 추가적으로 제시하고 각각의 정의와 상관관계를 엄밀하게 제시하였다는 점에서 의의가 있다. 예를 들어, 공극률과 비표면적 등이 알려진 경우는, 다공질 유동해석에서 다양하게 요구되는 수력직경이나 f_uT Re_uT 값 및 투과도 등의 변수가 근사적으로 추정될 수 있다. 나아가, 동일한(유사한) 매질에서 공극률과 같은 기하학적 특성변수나 유동조건이 변화되는 경우에도 투과도 변화를 근사하게 산정할 수 있는 이론적 기반을 제공한 것도 의미가 크다. 이러한 활용이 가능한 것은 근본적으로 수학식 28과 수학식 29가 유로의 크기변화는 물론, 유동영역에 무관하게 대상 매질의 유동손실 특성을 표현할 수 있는 'f_uT Re_uT' 관계를 기반으로 하기 때문으로, 기하등가투과도 적용을 통한 투과도 산정과정은 다음 장에서 적용사례 검토를 통하여 제시하고자 한다.

CFD 시뮬레이션을 통한 기하등가투과도 관계식들의 유효성 및 적용성 검토

도 2는 셰일 구조에서의 구형 입자들로 채워진 단순 균열을 가정한 세가지 분석 모델들을 도시한다. (a)는 50% 공극 모델이고, (b)는 40% 공극 모델이고, (c)는 60% 공극 모델이다.

도 3은 CFD 시뮬레이션으로부터 평균 속도 0.0822 m/s에서의 세가지 단순 균열 모델의 압력 등고선(pressure contours) 및 유선들(streamlines)을 도시한다. (a)는 50% 공극 모델이고, (b)는 40% 공극 모델이고, (c)는 60% 공극 모델이다.

본 장에서는 본 연구에서 도출된 다공성 매질의 마찰계수, 비틀림 수력직경 및 기하등가투과도 관계식을 기반으로 한 다공질 유동의 특성변수 산정과 상관관계 규명 방안을 수압파쇄 균열에 대한 적용사례를 통해 제시하고자 하였다. 이를 위해, 지지체가 복합된 단순한 평판형태의 수압파쇄 균열을 가상하고, 지지체 밀도변화에 따른 공극률 변화와 압력구배 차이에 따른 유동특성 변화에 대한 전산유체역학(CFD, Computational Fluid Dynamics) 해석을 수행한 후, 동일한 대상에 대한 기하등가투과도 해석결과를 비교 검토하였다. 수압파쇄균열 해석모델은 도 2에 제시된 바와 같이 평행한 두 평판 사이에 매끈한 구형 구슬들을 채워 세 가지의 다른 공극률을 가지도록 구성하였다. 이 때, 동일한 종류의 매질(암상, 파쇄균열)에서의 공극률 변화와 유동영역 천이에 따른 영향만을 검토하고자 입자 배열과 분포 및 크기는 최대한 유사하게 유지되도록 설정하였다. 도 2과 같이, 두 평행 평판 사이에 동일한 직경을 가진 구형 입자로 채원진 공극률 50%의 다공성 매질을 기준 균열모델(a)로 하고, 크고 작은 세 가지 구형 입자로 채워진 공극률 40%의 균열모델(b)와, 모델(a)와 동일한 크기의 구형 입자가 성기게 채워져 공극률이 60%인 균열모델(c)의 세 가지 모델로 구분하였다. 두 평행 평판의 제원은 가로, 세로 길이가 1 mm (L)× 1 mm (W)로 동일하고, 상부와 하부의 두 평판은 수직으로 0.1 mm (H) 간격을 갖는 것으로 세 모델에서 모두 같다. 그러나, 평판 내부에 채워진 구형 입자의 크기와 수량은 각각 다르게 설정하여 각 모델의 공극률 조건을 만족하게 하였다. 모델(a)의 경우는 0.098 mm 단일 직경 구슬이 100개로, 공극률 50%인 것을 가정한 기준모델이며, 모델(b)의 경우는 직경 0.098 mm 가 100개, 0.048 mm 가 162개 및 0.014 mm가 324 개로, 총 세 종류의 구슬이 사용된 공극률 40% 모델이고, 모델(c) 는 기준모델과 동일한 0.098 mm 단일 직경 구슬이 81개 사용되어 공극률이 60%인 모델로 설정되었다.

대상 유체는 본 연구가 셰일가스 저류층에 주안점을 두고 있는 점을 감안하여 기체상태의 순수 메탄으로 가정하였으며, 밀도는 0.6679 kg/s, 점성은 0.00001087 kg/ms로 설정하였다. CFD 모델링과 해석은 Ansys - Fluent 상용 CFD 시뮬레이션 소프트웨어를 기반으로 정상상태(steady state) 해석을 수행하였으며, 해석 격자의 크기가 마이크로미터 수준으로 매우 작은 까닭에 DNS(Direct Numerical Simulation) 해석방법을 도입하였다. 이 때, 마이크로 스케일에서의 표면 거칠기 고려에 대한 이론적 정립이 현재까지는 불완전하여 적절한 모델을 사용할 수 없으므로, 본 해석에서는 고체입자 및 평판의 표면은 완전히 매끄럽고 등온상태인 것으로 가정하였다. 2차의 상류도식 공간차분 (2nd Order Upwind Spatial Discretization Scheme)을 적용하였고, 압력-속도 상관도식(Pressure-Velocity Coupling Scheme)으로는 SIMPLE 방법을 사용하였다. CFD 해석은 공극률이 다른 세 종류의 수압파쇄 균열모델에 대하여 다섯 가지의 유량조건을 동일하게 부가하여, 층류에서 난류영역에 이르는 다섯 가지 레이놀즈 수 범위에 대하여 수행되었다. 도 3은 평균유속 0.0822 m/s인 유량조건에 있는 경우에 대한 각 모델의 CFD 해석 결과로, 해당 모델의 유동양상에 대한 이해를 돕기 위해 각각의 압력과 유선 및 유속분포를 도시한 것이다.

표 1은 공극률 50%의 기준 모델 (a)의 CFD 시뮬레이션 및 GEP 분석결과들이다.

수압파쇄 균열모델에 대한 해석결과의 고찰과 기하등가투과도 적용방안 검토를 위해, 본 검토의 기준모델인 공극률 50%의 모델(a)의 해석결과를 먼저 검토하여 보자. 모델(a)에 대한 주요 CFD 해석 결과는 표 1의 좌측 부분에 제시되어 있고, 이에 대한 기하등가투과도 해석결과는 표의 우측부분에 구분하여 제시하였다. CFD 해석을 통하여 해당 매질에 다섯 종류의 질량유량이 흐를 때의 각각의 압력강하를 먼저 도출하였고, 이를 기반으로 각 해석케이스의 투과도를 다르시 관계식을 활용하여 계산하였다. 다음으로, 본 연구에서 도출된 기하등가투과도 관계식 해석을 위해서는 대상 매질에 대한 비틀림 수력직경 기반의 다르시 마찰계수와 레이놀즈 수 관계, f_uT Re_uT 가 필수적으로 산정되어야 한다. 이를 위해, 본 검토에서는 기준매질로 선정된 공극률 50%의 모델(a)에 대한 CFD 해석 결과를 활용하였다. 향후, 실제 현장에서의 해석을 위해서는, 최소한 하나 이상의 기준 매질(지층)에 대한 f_uT Re_uT 가 실험적 혹은 해석적 방법을 통하여 산출되는 것이 필수적이다. 만약, 이러한 기준 값을 산정할 수 없는 경우라면, 해당 매질과 유사한 매질 혹은 인근 지역의 지층에 대한 기존 실험 및 해석 결과를 활용하여 근사적 추정을 수행할 수 있다.

수학식 28 혹은 수학식 29에 제시된 바와 같이, 기하등가투과도 관계식에 기반한 투과도 산정을 위해서 요구되는 또 하나의 필수적인 인자는 대상 매질의 비틀림 수력직경, D_hT이다. 비틀림 수력직경은 코제니가 정의한 기본적인 다공성 매질의 수력직경 정의에 비틀림도를 복합한 것이므로 일반적인 수력직경 계산을 위한 관계식을 활용하여 도출할 수 있다. 기본적인 다공성 매질의 수력직경 정의는 수학식 6과 같고 이를 구형입자를 대상으로 정의한 것은 수학식 8에 제시된 바가 있다. 본 해석에서는 이들 정의를 도입하고자 (a), (b), (c) 각 모델에 대한 공극 체적(V_p), 입자 표면적(E_S) 등을 계산하고, 각 모델의 비표면적과 비틀림 수력직경을 산출하여 표 2에 정리하였다. (이 때, 각 모델의 표면적(E_b) 계산은 매질 내부의 입자 표면적은 물론 상하부 평판을 포함하여 산출하였고, 입자 평균직경의 산출을 위한 입자 형상계수, C_S 는 구형을 기준으로 하여 코제니 관계식과 동일하게 '6'으로 설정하였다.)

표 2는 각각의 모델에 대한 비틀림 수력직경을 포함하는 기하학적 변수들이다.

최종적인 비틀림 수력직경의 계산을 위해서는 수학식 25에 제시된 바와 같이 도출된 기본 수력직경 정의에 비틀림도 관계가 부가되어야 한다. 카르멘은 당시에 대상 매질에 대한 비틀림도를 히치콕의 가정을 기반으로,

의 관계를 적용하였다. 그러나 최근의 연구에서, 비틀림도는 공극률의 함수로 표현되는 것이 보다 적절한 것으로 밝혀져 있으며, 최근까지 많은 선행연구자들에 의한 다양한 방법이 제안되어 있다. 그 중, 아치(Archie)에 의해 정의된 지층계수(Formation Factor)와 비저항지수(Resistivity Index)의 상관을 통해 계산하는 방법이 가장 신뢰받는 대표적인 방법으로, 제안된 비틀림도 관계식은 수학식 30에 제시된 것과 같다(Bear, 1975). 이에, 본 해석에서도 수학식 30의 정의를 도입하였고, 고결인자(cementation factor, m) 값으로는 본 검토에 고려된 지지체 입자가 사암입자와 크기가 유사하고, 미고결 상태로 설정된 점을 감안하여, m = 2 로 설정하였다. 결과적으로 본 해석의 비틀림도는 T = Φ 의 관계로 귀결되며, 이는 카르멘(Carman, 1937)이 적용사례로 도입하였던 공극률 40% 매질에 대한 히치콕의 가정과도,

의 관계로, 동일한 결과를 보여 적절한 것으로 판단되었다.

마지막으로, 표 2에서 도출된 각 공극률 모델에 대한 비틀림 수력직경에 기반하여, 각 모델의 각 해석케이스에 대한 레이놀즈 수, Re_uT 가 계산될 수 있다. 또한, CFD 해석을 통해 산출된 압력구배, 유속 등의 유동변수들과 연계하면, 본 해석의 기준모델인 공극률 50%의 모델(a)의 마찰계수, f_uT 를 수학식 26을 통해서 도출할 수 있다. 모델(a)의 각 해석조건에 대한 f_uT Re_uT 와 f_u Re_u 해석 결과는 표 1의 우측 부분에 제시되어 있으며, 투과도는 산출된 f_uT Re_uT 와 f_u Re_u 를 기반으로 각각 수학식 29과 수학식 21을 통해서 다시 계산될 수 있다. 여기서, 재산정된 투과도가 CFD 해석과 동일한 결과를 가지는 것은 당연하며, 단지 수행된 계산을 검증하고 각 특성변수간의 상관관계 성립을 확인하기 위해서 제시되었다. 오히려, 여기서는 산출된 f_uT Re_uT 와 f_u Re_u 값이 다공질 유동의 층류 영역(Re_uT ≤ 1)에서는 거의 일정한 각각의 상수로 유지된다는 점에 주목할 필요가 있다. 역으로, 이는 균열 모델(a)의 임계 레이놀즈 수가 대략 Re_uT ~1의 범위에 있음을 짐작하게 하는 것으로, 여러 선행연구에서 제시된 다공질 유동의 임계 레이놀즈 수와 유사한 범위에 있음을 알 수 있다(Rose, 1945; Bear, 1975; Nield & Bejan, 1992).

이상의 공극률 50%의 기준모델에 대한 검토과정을 통하여, 수학식 25와 수학식 26을 기반으로 다공질 유동의 핵심적인 특성변수인 비틀림 수력직경과 이를 기반으로 한 마찰계수와 레이놀즈 수의 상관관계가 적절히 규명될 수 있고, 수학식 28 또는 수학식 29을 통해서 투과도가 적절히 산정될 수 있음을 확인하였다. 다음으로는 해석대상 매질의 공극률이 변화되는 경우, 즉 유사한 종류의 입자 형상과 분포 특성을 가지나 공극률이 다른 경우에 대한 적용방안을 검토하고자 하였다. 이는 수압파쇄 균열이 생산기간의 경과에 따른 지층응력 변화로 점차적으로 닫히는 경우나, 주변 암석의 경도가 낮아져 지지체가 함몰되는 경우 등을 가상한 것이다. 도 2에서 보듯이, 모델(b)와 (c)는 모델(a)와 입자의 형상과 배열 구조가 거의 유사하나 공극률이 다른 경우를 가상한 모델이다. 모델(b)는 공극률의 감소를 위해서는 내부에 작은 두 종류의 구형입자를 추가한 경우이며, 모델(c)는 모델(a)와 동일한 크기의 입자를 가지나 공극률 증가를 달성하고자 구슬의 수량을 줄여 배치한 모델이다. 실제 수압파쇄 균열의 지지체 분포나 일반적인 다공성 매질의 입자분포는 본 모델들에 비하여 구조적으로 훨씬 복잡할 것이다. 그러나, 오히려 이러한 복잡성 덕분으로 동일한 종류의 실제 매질(지층, 파쇄균열)은 입자의 크기, 형태, 배열 등과 같은 공극 구조는 오히려 높은 유사성을 가질 것이므로, 공극률 등이 변화하는 경우에도 기하학적 특성의 변화는 극단적이지 않아 이러한 접근은 실제 매질에 대하여서도 충분히 유효할 것으로 생각된다.

표 3은 공극률 40%의 기준 모델 (b)의 CFD 시뮬레이션 및 GEP 분석결과들이다.

표 4는 공극률 60%의 기준 모델 (c)의 CFD 시뮬레이션 및 GEP 분석결과들이다.

표 3은 공극률 40%의 모델(b)에 대한 CFD 해석과 기하등가투과도 해석 결과를 정리한 것이고, 표 4는 공극률 60%의 모델(c)의 해석 결과를 정리한 것이다. 표 3와 표 4의 좌측 부분은 두 모델의 각 유량조건에 대한 CFD 해석 결과를 정리한 것이고, 우측 부분은 모델(a)의 경우와 동일한 과정을 통하여 각 해석케이스에 대한 비틀림 수력직경과 마찰계수 - 레이놀즈 수 관계 등을 산출하여 제시한 것이다. 아울러, 수학식 29로 제시된 기하등가투과도 관계식을 적용한 각 모델의 유량조건에 대한 투과도의 산정 결과를 각 표의 우측에 제시하였다. 여기서, 층류영역에 대한 각 해석모델의 유동손실을 표현하는 f_uT Re_uT 관계가 모델(a)에서 165, 모델(b)는 169, 모델(c)는 157로, 각 모델간에 10~20% 수준의 상당한 공극률 변화를 동반함에도 불구하고 거의 일정하게 유지되고 있음을 확인할 수 있다. 이 때, GEP 관계식을 기반으로 산정된 투과도는 공극률 차이에 따른 각 유사 모델간의 약간의 기하학적 특성 차이에 따라 2~3% 수준의 미미한 차이는 나타나나, 도출된 f_uT Re_uT 관계가 유사한 모델에 대하여 유사하게 유지됨을 확인하기에는 충분한 결과를 보였다. 반면, 다공질 유동의 마찰계수와 Reynolds 수 관계인, f_u Re_u 는 층류영역에서 203에서 268까지 약 30% 이상 크게 변화되고 있는 점을 주목할 필요가 있다. 이는, 수학식 21으로 제시된 기하등가투과도의 최초 정의가 코제니 수력직경을 기반으로 함에 따라, 공극률에 대한 비틀림도와 수력직경의 관계를 엄밀히 만족시키지 못한 것에 기인된 것이다. 결과적으로, 본 연구에서는 일반적인 배관유동의 f Re 기반의 유동해석 기법을 다공질 유동해석에 확장, 적용하고자 f_uT Re_uT 관계에 기반한 기하등가투과도 관계식 및 관련 특성변수 정의와 관계식들을 성공적으로 도출하였다. 또한, 새롭게 정의된 f_uT Re_uT 가 유사한 매질에 대하여 고유한 상수로 적절히 특정되어짐을 본 CFD 검토를 통하여 확인하였다.

이상의 논의를 바탕으로, 모델(a)의 기준매질과 유사한 기하학적 특성을 가진 모델(b)와 (c)의 f_uT Re_uT 는 모델(a)와 유사한 값으로 유지되는 것으로 가정될 수 있다. 따라서, 모델(b)와 (c)의 기하등가투과도는 모델(a)의 f_uT Re_uT 값인 약 165를 준용하고, 각 모델의 공극률 변화에 따른 비틀림 수력직경 변화만을 수학식 25로 별도로 계산하여 복합하면, 표 3와 표 4에 제시된 기하등가투과도 산정 결과를 도출할 수 있다. 이 때, 모델(b)와 (c)의 해석과 같이 동일한 또는 유사한 매질에 대하여 공극률 등이 변화된 경우를 고려하는 기하등가투과도의 계산을 위해서는 수학식 29를 수학식 31과 같이 변형하여 사용하는 것이 편리하다. 즉, 동일한 매질이 기하학적 혹은 유동학적으로 다른 조건 1과 조건 2의 상태에 있는 경우를 가정하여, 수학식 29를 기반으로 두 조건에 대한 기하등가투과도 관계식을 서로 연립하면 수학식 31을 얻을 수 있다. 예를 들어, 수학식 31은 본 검토의 기준모델인 모델(a)를 조건 1의 경우로 두고 해석 대상인 모델(b)를 조건 2의 경우로 하면, 수학식 31은 모델(a)를 기준으로 모델(b)의 투과도를 계산할 수 있는 기하등가투과도 대비 관계식이 된다. 여기서 다시, 수학식 31은 동일한(유사한) 매질에 대하여서는 f_uT Re_uT 관계가 동일(유사)하게 유지되어야 하므로 최종적으로 수학식 32와 같이 정리될 수 있다.

수학식 32를 기반으로 한 모델(b)와 (c)에 대한 기하등가투과도 해석결과는 최종적으로 표 3과 표 4의 우측부분에 제시된 바와 같다. 이 때, k_GEP와 k_GEP _{_old} 는 각각 f_uT Re_uT 와 f_u Re_u 값을 기반으로 산출된 결과이며 괄호 안의 숫자는 CFD 해석결과와의 오차를 표기한 것이다. 결과적으로, 본 연구에서 새롭게 정의된 비틀림 수력직경을 도입하여 제시된 f_uT Re_uT 기반의 k_GEP 결과가 k_GEP _{_old} 에 비하여 훨씬 근사한 결과를 보이고 있음을 확인할 수 있다.

도 4는 CFD 시뮬레이션, 코제니-카르멘 분석, 및 GEP 분석의 투과도를 비교한 그래프이다.

도 4는 본 검토에서 수행된 모든 해석 모델과 유량조건에 대한 CFD 해석 결과(k)와 기하등가투과도 해석(GEP) 및 수학식 13의 코제니-카르멘 관계식을 통한 해석(Carman) 결과를 종합하여 제시한 것이다. 도 4에서, 실선은 CFD 해석, 굵은 점선은 기하등가투과도 해석결과, 가는 점선은 코제니-카르멘 관계식 해석결과를 의미한다. 공극률 50%의 모델(a)는 기준 모델인 관계로, 당연히 CFD와 GEP 해석이 동일한 투과도 값을 제시하고 있고, 공극률이 40%로 감소된 모델(b)에 대한 기하등가투과도(k_GEP) 해석결과는 CFD 해석결과와 비교하여, 층류영역에서는 약 2% 수준, 난류영역을 포함한 전체 영역에서 최대 14%의 오차 수준을 보였다. 공극률이 60%로 기준모델에 비하여 약 10%의 증가된 모델(c)의 경우는 층류영역에서는 약 5% 수준, 난류영역에서는 최대 22%의 오차를 보이는 것으로 나타났다. 결과적으로, 기하등가투과도 관계식은 층류영역에서는 매우 좋은 해석결과를 산출하나, 난류영역에서는 오차가 다소 증가되고 있음을 알 수 있다. 그러나 최대 오차를 발생시키는 유동영역의 압력구배가 단위길이(1m) 당 각각 약 650 bar 와 1300 bar라는 비현실적으로 높은 압력조건에서의 해석 결과이다. 이러한 점을 감안하면 실제 지층의 압력범위에서의 오차는 훨씬 작아서 실현 가능한 난류영역에서 기하등가투과도 관계식은 10% 내외의 비교적 좋은 결과를 산출하는 것으로 나타났다. 본 장에서는 수압파쇄 균열에 대한 전산유체해석을 수행하여 본 연구에서 도출된 특성변수의 정의와 관계식들이 유용함을 확인하고 이들의 적용사례를 적절히 제시하였다.

결 론

최근의 셰일저류층 개발과 관련하여, 주요한 연구 주제로 대두되는 수압파쇄 균열의 투과도 산정을 위해서는 다공성 매질의 기하학적 특성을 적절히 고려할 수 있고 층류 및 난류 유동영역에 모두 적용이 가능한 새로운 투과도 관계식의 도출이 절실히 요구된다. 이에, 본 연구에서는 일반적인 배관유동의 해석을 위해 널리 사용되는 다르시 마찰계수와 레이놀즈 수 관계(f Re)를 기반으로 한 다르시 마찰유동 관계식을 다공질 유동해석에 확장하여 적용할 수 있는 방안을 도출하고자 시도하였다. 이를 위하여, 코제니와 카르멘의 선행연구를 기반으로 다공성 매질의 마찰계수(f_uT)와 비틀림 수력직경(D_hT)을 새롭게 정의하고, 이들을 기반으로 한 기하등가투과도(k_GEP) 관계식을 도출하였다. 마지막으로, 이들은 본 연구에서 목표하였던 바와 같이 다공질 유동에 확장, 적용이 가능한 일반화된 다르시 마찰유동 관계식으로 제시되었다. 이는, 본 연구가 다공질 유동의 특성변수 정의와 상관관계를 엄밀히 제시함으로써 마찰계수와 레이놀즈 수 관계, 즉 f_uT Re_uT 에 기반한 투과도 관계식을 성공적으로 도출하였음을 의미한다.

다음으로, 본 연구에서 도출된 관계식들의 유효성을 검증하고 실제 기하등가투과도 적용사례를 제시하고자 지지체가 복합된 수압파쇄 균열모델들에 대한 전산유체역학(CFD) 해석을 수행하였다. 이를 통해, 본 연구에서 도출된 비틀림 수력직경 기반의 다르시 마찰계수와 레이놀즈 수 관계인, f_uT Re_uT 가 유사한 매질에 대하여서는 유사한 값으로 유지됨을 확인하였다. 이에 반하여, 기존의 코제니의 수력직경 정의에 기반한 다공질유동의 마찰계수와의 관계인 f_u Re_u 는 이러한 관계를 만족하지 않는 것도 아울러 확인하였다. 또한, 공극률이 변화하는 각 모델에 대한 CFD 해석은 f_uT Re_uT 관계를 기반으로 비틀림 수력직경과의 상관관계를 규정한 기하등가투과도 관계식의 해석 결과와 좋은 일치를 보였다. 이는 본 연구에서 새롭게 도출된 비틀림 수력직경과 다공성 매질의 마찰계수 정의가 다공질 유동특성을 적절히 표현할 수 있고, 이에 기반한 기하등가투과도 관계식이 공극률과 같은 기하학적 특성이나 유동조건이 변화되는 경우에도 적절히 활용될 수 있음을 보여주는 것이다.

결론적으로, 본 연구에서는 다공성 매질의 마찰계수와 비틀림 수력직경을 새롭게 정의하여 다공질 유동의 특성변수 상관관계를 규명할 수 있는 기하등가투과도 관계식을 성공적으로 도출하였다. 이를 기반으로, 일반적인 배관유동의 해석에 널리 사용되는 다르시 마찰유동 관계식을 다공질 유동에 적용할 수 있는 일반화된 다르시 마찰유동 관계식으로 적절히 확장하여 제시하였다. 마지막으로, 수압파쇄 균열에 대한 전산유체해석을 수행하여 본 연구에서 도출된 정의와 관계식들이 유효함을 확인하고 적용사례를 적절히 제시하였다. 참고적으로, 본 연구에서 도출된 관계식들은 다른 종류의 암석과 지층은 물론 생체조직이나 다공성 필터, 원자로 등 다양한 기하학적 특성을 가진 여러 종류의 다공질 유동 해석에 널리 활용될 수 있을 것으로 기대된다.

요 약

셰일저류층 내 수압파쇄 균열의 투과도는 광구의 생산성 분석이라는 측면에서 매우 중요하다. 수압파쇄 균열은 기하학적 제원이 크고, 높은 압력구배를 받는 까닭에 파쇄균열을 통과하는 유량도 상대적으로 크다. 또한 생산기간 동안의 지층응력의 변화에 따른 균열의 기하학적 조건 변화에 따라 투과도는 지속적으로 변화하게 된다. 이에, 수압파쇄 균열의 기하학적 변화와 생산정 주변의 높은 압력구배에 따른 비 다르시 효과를 고려할 수 있는 새로운 투과도 산정방법의 도출이 매우 절실하다. 본 연구에서는 코제니와 카르멘의 선행연구를 기반으로 다공성 매질의 마찰계수와 수력직경의 새로운 정의를 도출하였다. 이들 정의는 기하등가투과도(GEP) 관계식으로 변환되고, 다르시 방정식과 연계를 통해 다공질 유동에 확장이 가능한 다르시 마찰유동 관계식으로 통합되어 제시되었다. 결과적으로, 도출된 관계식들은 다양한 기하학적 특성 및 특성변화를 고려할 수 있고 유동영역에 무관하게 적용될 수 있는 효과적인 투과도 산정이 가능할 것으로 기대된다. 도출된 관계식들의 유효성을 검증하고 적용방안을 검토하기 위하여, 몇몇 크기의 구슬로 채워져 공극률이 40%와 50%, 60%로 설정되는 단순한 수압파쇄 균열모델을 대상으로, 일련의 전산유체역학(CFD) 시뮬레이션을 수행하였다. 그 결과, CFD 와 GEP 해석의 차이는 층류영역의 공극률 40% 모델의 경우 약 2%, 공극률 60% 모델에서 약 5% 수준의 오차를 보였고, 실현 가능한 난류영역에서는 대략 10% 수준의 오차를 보이는 것으로 제시되었다. 부가적으로, 코제니-카르멘 관계식을 통한 비교, 검토도 시행함으로써, 본 연구에서 도출된 관계식들이 유효하고 훨씬 근사한 결과를 도출함을 확인하였다. 결론적으로, 본 연구에서는 다공성 매질의 마찰계수와 비틀림 수력직경을 새롭게 정의하고, 이를 기반으로 한 새로운 투과도 산정방법인 기하등가투과도 관계식과 다공성 매질에 확장이 가능한 일반화된 다르시 마찰유동 관계식을 성공적으로 제시하였다.

상기 공극률, 상기 수력 직경, 및 상기 마찰계수는, 상기 다공성 매질의 기하학적 특성 및 마찰손실특성을 나타내도록, 직선 원통형 유로에 대하여 도출되는 마찰계수로부터 등가 변수들로 변환될 수 있다.

상기 수력 직경을 산출하는 단계는, 상기 다공성 매질의 상기 공극의 마찰손실에 대하여 등가의 마찰손실을 발생하는 원통형 모세관을 이용하여 이루어질 수 있다.

상기 마찰계수는 다르시(Darcy) 마찰계수가 적용될 수 있다.

상기 다공성 매질은 다양한 공극률을 가진 물질을 포함할 수 있고, 예를 들어 사암, 실트, 탄산염암, 균열 암석, 다공성 생체조직, 다공성 기계부품, 또는 다공성 전자부품을 포함할 수 있다.

상술한 바와 같은 연구를 기반으로 하여, 본 발명의 기술적 사상에 따른 다공성 매질의 투과도 산출방법은 하기와 같이 구현될 수 있다.

본 발명의 일 실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 산출방법은, 다공성 매질의 공극의 공극률을 제공하는 단계; 상기 다공성 매질의 상기 공극의 수력 직경을 산출하는 단계; 상기 다공성 매질의 마찰계수를 제공하는 단계; 상기 다공성 매질의 비틀림도를 산출하는 단계; 상기 수력 직경과 상기 비틀림도를 이용하여 비틀림도의 함수인 비틀림 수력 직경을 산출하는 단계; 및 상기 공극률, 상기 비틀림 수력 직경, 상기 마찰계수, 및 상기 비틀림도를 이용하여 상기 다공성 매질의 투과도를 산출하는 단계;를 포함한다.

상기한 본 발명의 기술적 사상은 또한 컴퓨터에서 판독 가능한 저장 매체에 컴퓨터가 읽을 수 있는 코드로서 구현하는 것이 가능하다. 컴퓨터에서 판독 가능한 저장 매체는 컴퓨터 시스템에 의하여 판독 가능한 데이터가 저장되는 모든 종류의 저장장치를 포함한다. 컴퓨터에서 판독 가능한 저장 매체의 예로는 ROM, RAM, CD-ROM, DVD, 자기 테이프, 플로피디스크, 광데이터 저장장치, 플래시 메모리 등이 있으며, 또한 캐리어 웨이브(예를 들어 인터넷을 통한 전송)의 형태로 구현되는 것도 포함한다. 또한 컴퓨터에서 판독 가능한 저장 매체는 네트워크로 연결된 컴퓨터 시스템에 분산되어, 분산방식으로 컴퓨터에서 판독 가능한 코드가 저장되고 실행될 수 있다. 여기서, 저장 매체에 저장되는 프로그램 또는 코드라 함은 특정한 결과를 얻기 위하여 컴퓨터 등이 정보처리능력을 갖는 장치 내에서 직접적 또는 간접적으로 사용되는 일련의 지시 명령으로 표현된 것을 의미한다. 따라서, 컴퓨터라는 용어도 실제 사용되는 명칭에 여하를 불구하고 메모리, 입출력장치, 연산장치를 구비하여 프로그램에 의하여 특정의 기능을 수행하기 위한 정보처리능력을 가진 모든 장치를 총괄하는 의미로 사용된다.

상기 저장 매체는, 다공성 매질의 공극의 공극률을 제공하는 단계; 상기 다공성 매질의 상기 공극의 수력 직경을 산출하는 단계; 상기 다공성 매질의 마찰계수를 제공하는 단계; 상기 다공성 매질의 비틀림도를 산출하는 단계; 상기 수력 직경과 상기 비틀림도를 이용하여 비틀림도의 함수인 비틀림 수력 직경을 산출하는 단계; 및 상기 공극률, 상기 비틀림 수력 직경, 상기 마찰계수, 및 상기 비틀림도를 이용하여 상기 다공성 매질의 투과도를 산출하는 단계;를 포함하는 다공성 매질의 투과도 산출방법을 컴퓨터에서 수행시킬 때, 상기 각 단계들을 수행하도록 하는 프로그래밍된 명령을 저장할 수 있다. 또한, 선택적으로(optionally), 상기 저장 매체는 상기 실제 패턴들의 붕괴를 방지하도록 상기 설계 패턴을 보정하는 단계를 수행하도록 하는 프로그래밍된 명령을 더 저장 할 수 있다.

이상에서 설명한 본 발명의 기술적 사상이 전술한 실시예 및 첨부된 도면에 한정되지 않으며, 본 발명의 기술적 사상을 벗어나지 않는 범위 내에서 여러 가지 치환, 변형 및 변경이 가능하다는 것은, 본 발명의 기술적 사상이 속하는 기술분야에서 통상의 지식을 가진 자에게 있어 명백할 것이다.

기호설명(NOMENCLATURE)

A: Cross Sectional Area, A_p=ΦA,

C: Coefficient or Factor,

C_S: Shape Factor,

C₁: Carman's Sectional Shape Factor,

D, d: Diameter,

D_h: Hydraulic Diameter,

E: Surface Area,

E_S: E on Solid,

F: Formation Factor,

f: Friction Factor,

g: Gravity,

g_x: Gravity in x-direction,

h: Loss Head,

h_f: Friction Loss Head,

k: Permeability,

L: Length,

L_e: Real Flow Path Length,

P: Pressure,

q: Flow Rate,

R, r: Radius,

R_h: Hydraulic Radius,

Re: Reynolds Number,

S: Specific Surface Area,

S_S: S on solid,

s: Surface Area of Effective Pores,

T: Tortuosity,

t: Time,

u: Average Porous Flow Velocity,

u_e: Fluid Velocity through a Pore Path,

u_f: Flow Velocity through a Flow Path,

V: Volume,

V_S: Volume on Solid,

v: Average Flow Velocity through a Pore,

x,y,z: Position in x,y,z-direction,

α: Conversion Factor between Hydraulic and Matrix values,

μ: Viscosity,

ρ: Density,

τ: Shear Stress,

τ_w: Shear Stress at Wall,

Φ: Porosity,

Super-Script

m: Cementation Factor,

Sub-Script

b: bulk,

e: Real, Pore Equivalent,

f: Fluid flow, Friction,

GEP: Geometry Equivalent Permeability,

H, h: Hydraulic,

h_T: Tortuous Hydraulic,

m: Matrix,

Name, Number: Defined State or Case Number or Name,

old: Previous Definition,

GEP_old: Previous Definition of GEP,

p: Pore, Porous,

S: Solid, Shape,

T: Tortuosity, Tortuous,

u: Average Porous Flow Velocity,

u_T: u based on D_hT

v: Average Flow Velocity of Pore Paths in a Porous Medium

v_T: v based on D_hT

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Claims

다공성 매질의 공극률을 제공하는 단계;
상기 다공성 매질의 수력 직경을 산출하는 단계;
상기 다공성 매질의 마찰계수를 제공하는 단계;
상기 다공성 매질의 비틀림도를 산출하는 단계;
상기 수력 직경과 상기 비틀림도를 이용하여 비틀림도의 함수인 상기 다공성 매질의 비틀림 수력 직경을 산출하는 단계; 및
상기 공극률, 상기 비틀림 수력 직경, 상기 마찰계수, 및 상기 비틀림도를 이용하여 상기 다공성 매질의 투과도를 산출하는 단계;
를 포함하는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.
제 1 항에 있어서,
상기 수력 직경은 상기 비틀림도와 하기의 관계를 가지는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.

(여기에서, D_hT는 비틀림 수력 직경, D_h는 비틀림도를 고려하지 않은 수력 직경, T는 비틀림도임)
제 1 항에 있어서,
상기 수력 직경은 상기 비틀림도와 하기의 관계를 가지는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.

(여기에서, D_hT는 비틀림 수력 직경, D_h는 비틀림도를 고려하지 않은 수력 직경, L은 다공성 매질의 직선길이, L_e는 내부 공극유로의 길이, S는 비표면적, Φ는 다공성 매질의 공극률임)
제 1 항에 있어서,
상기 마찰계수는 상기 비틀림도의 함수인, 다공성 매질의 투과도 산출방법.
제 1 항에 있어서,
상기 마찰계수는 상기 비틀림도와 하기의 관계를 가지는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.

(여기에서, f_vT는 비틀림도의 함수로서 유속 v에 대한 마찰계수, f_uT는 비틀림도의 함수로서 유속 u에 대한 마찰계수, f_u는 비틀림도를 고려하지 않은 마찰계수, T는 비틀림도, D_hT는 비틀림 수력 직경, ρ는 밀도, ΔP/L_e은 내부 공극유로 길이에 대한 압력구배, v는 내부 공극 유로를 통한 유체의 유속, u는 유체의 유속, ΔP/L은 다공성 매질의 직선 길이에 대한 압력구배, Φ는 다공성 매질의 공극률임)
제 1 항에 있어서,
상기 마찰계수는 상기 비틀림도와 하기의 관계를 가지는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.

(여기에서, f_uT는 비틀림도의 함수로서 유속 u에 대한 마찰계수, f_u는 비틀림도를 고려하지 않은 마찰계수, L은 다공성 매질의 직선길이, L_e는 내부 공극유로의 길이, T는 비틀림도, D_hT는 비틀림 수력 직경, ρ는 밀도, ΔP/L은 다공성 매질의 직선길이에 대한 압력구배, v는 내부 공극 유로를 통한 유체의 유속, u는 유체의 유속, ΔP/L은 직선 길이에 대한 압력구배, Φ는 다공성 매질의 공극률임)
제 1 항에 있어서,
상기 투과도는 상기 비틀림도의 함수인 상기 마찰계수와 상기 비틀림도의 함수인 레이놀즈 수를 포함하여 구성된, 다공성 매질의 투과도 산출방법.
제 1 항에 있어서,
상기 투과도는 하기의 관계를 가지는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.

(여기에서, k_GEPT 는 비틀림도를 고려한 기하등가투과도, v는 내부 공극 유로를 통한 유체의 유속, D_hT는 비틀림 수력 직경, Φ는 다공성 매질의 공극률, T는 비틀림도, f_vT는 비틀림도의 함수로서 유속 v에 대한 마찰계수, Re_vT는 비틀림도의 함수로서 유속 v에 대한 레이놀즈 수임)
제 1 항에 있어서,
상기 투과도는 하기의 관계를 가지는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.

(여기에서, k_GEPT 는 비틀림도를 고려한 기하등가투과도, u는 유체의 유속, D_hT는 비틀림 수력 직경, f_uT는 비틀림도의 함수로서 유속 u에 대한 마찰계수, Re_vT는 비틀림도의 함수로서 유속 u에 대한 레이놀즈 수임)
제 1 항에 있어서,
상기 투과도는 상기 비틀림도의 함수인 레이놀즈 수를 포함하는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.
제 1 항에 있어서,
상기 투과도는 상기 비틀림도와 하기의 관계를 가지는 레이놀즈 수를 포함하는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.

(여기에서, Re_vT는 비틀림도의 함수로서 유속 v에 대한 레이놀즈 수, Re_uT는 비틀림도의 함수로서 유속 u에 대한 레이놀즈 수, Re_u는 비틀림도를 고려하지 않은 레이놀즈 수, T는 비틀림도, ρ는 밀도, v는 내부 공극 유로를 통한 유체의 유속, u는 유체의 유속, D_hT는 비틀림 수력 직경, μ는 유체의 점도임)
제 1 항에 있어서,
상기 투과도는 상기 비틀림도와 하기의 관계를 가지는 레이놀즈 수를 포함하는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.

(여기에서, Re_uT는 비틀림도의 함수로서 유속 u에 대한 레이놀즈 수, Re_u는 비틀림도를 고려하지 않은 레이놀즈 수, T는 비틀림도, ρ는 밀도, u는 유체의 유속, D_hT는 비틀림 수력 직경, μ는 유체의 점도임)
제 1 항에 있어서,
상기 비틀림도는 다공성 매질의 내부 공극유로 길이를 고려한, 다공성 매질의 투과도 산출방법.
제 1 항에 있어서,
상기 비틀림도는 하기의 관계를 가지는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.

(여기에서, T 는 비틀림도, L은 상기 다공성 매질의 직선 길이, L_e는 상기 다공성 매질의 내부 공극유로의 길이임)
제 1 항에 있어서,
상기 다공성 매질 내의 유체의 유속은, 상기 비틀림 수력 직경, 상기 비틀림도의 함수인 상기 마찰계수, 및 상기 비틀림도의 함수인 레이놀즈 수에 대한 함수로 표현되는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.
제 1 항에 있어서,
상기 다공성 매질 내의 유체의 유속은 하기의 관계를 가지는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.

(여기에서, u는 유체의 유속, μ는 유체의 점도, D_hT는 비틀림 수력 직경, Φ는 다공성 매질의 공극률, T는 비틀림도, v는 내부 공극 유로를 통한 유체의 유속, f_vT는 비틀림도의 함수로서 유속 v에 대한 마찰계수, Re_vT는 비틀림도의 함수로서 유속 v에 대한 레이놀즈 수, ΔP/L은 직선 길이에 대한 압력구배임)
제 1 항에 있어서,
상기 다공성 매질 내의 유체의 유속은 하기의 관계를 가지는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.

(여기에서, u는 유체의 유속, μ는 유체의 점도, D_hT는 비틀림 수력 직경, Φ는 다공성 매질의 공극률, T는 비틀림도, u는 유체의 유속, f_uT는 비틀림도의 함수로서 유속 u에 대한 마찰계수, Re_uT는 비틀림도의 함수로서 유속 u에 대한 레이놀즈 수, ΔP/L은 직선 길이에 대한 압력구배임)
제 1 항에 있어서,
상기 투과도는 하기의 관계를 가지는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.

(여기에서, k_GEP 는 기하등가투과도, D_hT는 비틀림 수력 직경, f_uT는 비틀림도의 함수인 마찰계수, Re_uT는 비틀림도의 함수인 레이놀즈 수이고, 아래 첨자 "1"은 제1 모델이고, 아래 첨자 "2"는 제2 모델임)
제 1 항에 있어서,
상기 투과도는 하기의 관계를 가지는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.

(여기에서, k_GEP 는 기하등가투과도, D_hT는 비틀림 수력 직경, f는 마찰계수, Re_uT는 비틀림도의 함수인 레이놀즈 수, T는 비틀림도, Φ는 상기 다공성 매질의 공극률이고, 아래 첨자 "1"은 제1 모델이고, 아래 첨자 "2"는 제2 모델임)
제 1 항에 있어서,
상기 투과도는 하기의 관계를 가지는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.

(여기에서, k_GEP 는 기하등가투과도, D_hT는 비틀림 수력 직경, 아래 첨자 "1"은 제1 모델이고, 아래 첨자 "2"는 제2 모델임)
제 1 항에 있어서,
상기 공극률은 40% 이상 60% 이하의 범위의 수치를 가지는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.
제 21 항에 있어서,
상기 공극률의 범위 내에서 f_uT Re_uT 는 156 내지 171 범위의 수치를 가지는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.
제 1 항에 있어서,
상기 공극률, 상기 수력 직경, 및 상기 마찰계수는, 상기 다공성 매질의 기하학적 특성 및 마찰손실특성을 나타내도록, 직선 원통형 유로에 대하여 도출되는 마찰계수로부터 등가 변수들로 변환된, 다공성 매질의 투과도 산출방법.
제 1 항에 있어서,
상기 수력 직경을 산출하는 단계는, 상기 다공성 매질의 상기 공극의 마찰손실에 대하여 등가의 마찰손실을 발생하는 원통형 모세관을 이용하여 이루어지는, 다공성 매질의 투과도 산출방법.
제 1 항에 있어서,
상기 마찰계수는 다르시(Darcy) 마찰계수가 적용된, 다공성 매질의 투과도 산출방법.