KR20200098420A

KR20200098420A - 공극규모 시뮬레이션을 이용한 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법

Info

Publication number: KR20200098420A
Application number: KR1020200015872A
Authority: KR
Inventors: 신창훈; 김정균; 이태엽
Original assignee: 한국가스공사
Priority date: 2019-02-11
Filing date: 2020-02-10
Publication date: 2020-08-20
Also published as: KR102357108B1

Abstract

본 발명은, 공극규모 시뮬레이션을 이용한 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법을 제공한다. 본 발명의 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법은, 입자들의 배열에 의하여 다공성을 갖는, 다공성 매질 모델을 제공하는 단계; 상기 다공성 매질 모델에 대한 균열높이를 포함한 기하학적 변수를 도출하는 단계; 상기 다공성 매질 모델에 대한 유체의 입구 유속을 설정하는 단계; 및 상기 균열높이와 상기 입구 유속에 대한 공극규모 시뮬레이션을 수행하여 투과도를 도출하는 단계;를 포함한다.

Description

공극규모 시뮬레이션을 이용한 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법{Method of calculating permeability variation of porous material using pore-scale simulation}

본 발명의 기술적 사상은 다공성 매질 내의 유동 해석방법에 관한 것으로서, 더욱 상세하게는, 공극규모 시뮬레이션을 이용한 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법에 관한 것이다.

본 발명은 산업통상자원부의 재원으로 한국에너지기술평가원(KETEP)의 지원을 받아 수행한 에너지자원융합원천기술개발사업 일련번호 제 20132510100060호 및 제 20172510102150호의 연구과제를 참조한다.

다공질 유동은 열전달, 정제, 정압, 감압, 인공장기, 지하수, 원자력 및 지열 발전, 온실가스 저장기술 및 석유와 가스 생산 등과 같은 다양한 산업 분야에서 널리 나타나고 있다. 특히, 수압파쇄지층의 수압파쇄균열의 두께 감소와 상관된 투과도 변화의 신뢰성 있는 예측은 셰일가스와 타이트(tight) 가스 저장영역, 그리고 지열 발전 플랜트, 그리고 온실가스 저장 산업 등에 있어서 매우 중요한 인자로 알려져 있다. 예를 들어, 지속적인 유체의 생산에 따른 공극 압력의 감소는 셰일가스 저장영역의 개별 수압파쇄균열의 간극을 지속적으로 감소시키는 것으로 알려져 있다. 이러한 변화 양상은 실제 셰일가스 수압파쇄균열 뿐만 아니라, 타이트가스에서부터 전통적인 유전이나 가스전에 이르기까지 다양한 종류의 저장영역에서 발견되고 있다. 따라서 이들은 저장영역의 종류와 상관없이 최적의 석유가스 생산에 있어서 가장 핵심적인 인자임이 밝혀진 바 있다. 이에 따라 기하학적 조건의 변화에 따른 투과도 변화는, 체계적으로 분석되고 정량화되어서 신뢰성 있는 생산 예측이나 경제성 있는 광구의 관리에 필수적이다. 이러한 다공질 유동 해석에는 수치해석의 경우를 포함해서 다르시(Darcy) 방정식이나 포르츠하이머(Forchheimer) 방정식이 일반적으로 사용된다.

그러나, 이러한 방정식들은 유량과 압력 강화에 단순한 관계를 제공하여 다르시 유동 영역에 대한 투과도 또는 다르시 유동 영역과 비다르시 유동 영역에 대한 투과도를 각각 제공할 뿐이며, 상세한 투과도 변화의 상관관계, 기하하적 변화로부터 출발되는 상세한 투과도 변화에 대한 상관관계를 제시하지는 못하는 한계가 있다. 따라서 실제 코어(core)시편을 활용한 많은 실험들이나, 실제 현장에서의 생산 로깅(logging) 실험이 투과도 변화를 예측하기 위해서는, 모든 예측되는 기하학적인 변화 조건에 대하여 시행되어야만 하며, 이에 따라 비용과 시간과 막대한 수고를 요구하게 된다. 더 나아가, 이들은 실험적으로 또는 이론적으로 투과도 변화를 예측하는 데 있어서 상당한 한계를 가진다.

첫째, 자연상태의 어떠한 암석도 동일한 공극 구조를 가지지 않는다. 실제 동일한 지층으로부터 추출된 암석들이 동일한 암석 물성을 가지고 있는 경우에도, 예를 들어 동일한 공극률과 비표면적, 및 입자의 크기와 형상, 암석물성들이 동일한 경우에도, 실제 내부 입자의 크기와 형상, 종류들이 완전하게 동일하여 각 공극 내부의 경로와 구조가 동일하지 않다. 따라서 이와 같은 동일한 종류의 가족 암석코어 시편들을 대상으로 한 투과도 값들도 동일하지 않다. 물론 이는 최초의 공극 구조가 개별 암석들에서 다르기 때문이다. 이러한 한계는 기하학적인 조건들이 변화하는 경우에는 훨씬 더 심해진다. 이들은 사실상 측정 기구의 민감도와 방법 또는 실험과정 중에서 발생될 수 있는 시편의 파손이라든지 변형 오염 등과 같은 손상에 의해서 더욱더 문제될 수도 있다. 이상적으로, 이들을 모두 엄밀히 측정하기 위해서는 수백 개의 동일한 시험용 암석코어시편들이 필요하다. 그 이유는 다양한 응력조건, 압력 조건, 유체성분들에 대한 일련의 실험이 필요하기 때문이다. 그러나 이것들은 현실적으로 불가능하다.

둘째, 이들이 가능하다고 하더라도 공극규모(pore-scale) 즉 공극 수준의 마이크로 미터 수준의 공극 내부의 유동특성들, 즉 실제 공급 유동 경로의 유속 구조 등을 직접적으로 측정하는 것도 불가능하다. 이는 극도로 복잡한 공극 구조와 천문학적인 숫자의 개별 입자들 사이를 형성한 공극들은 사실상으로 완벽하게 규명된다는 것은 불가능하기 때문이다.

결과적으로 비틀림도 라고 하는 실제 공극 유로는 이와 같은 실험적인 방법 또는 생산시험 등을 통해서는 결코 특성화되거나 규명될 수 없다. 더 나아가 이런 공극구조들은 매우 작을 뿐만 아니라, 실제로는 암석들에 의해서 둘러싸여져 있기 때문에 일반적으로 우리가 사용할 있는 레이저라든지 핫 와이어와 같은 장치들로서는 실질적인 측정이 불가능하다.

본 발명의 기술적 사상이 이루고자 하는 기술적 과제는 공극규모 시뮬레이션을 이용한 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법을 제공하는 것이다.

그러나 이러한 과제는 예시적인 것으로, 본 발명의 기술적 사상은 이에 한정되는 것은 아니다.

상기 기술적 과제를 달성하기 위한 본 발명의 기술적 사상에 따른, 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법은, 입자들의 배열에 의하여 다공성을 갖는, 다공성 매질 모델을 제공하는 단계; 상기 다공성 매질 모델에 대한 균열높이를 포함한 기하학적 변수를 도출하는 단계; 상기 다공성 매질 모델에 대한 유체의 입구 유속을 설정하는 단계; 및 상기 균열높이와 상기 입구 유속에 대한 공극규모 시뮬레이션을 수행하여 투과도를 도출하는 단계;를 포함한다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 투과도를 공극률 및 전체 부피와 상관되는 방정식으로부터 산출된 투과도와 비교하는 단계;를 더 포함할 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 투과도를 하기의 식에서 산출된 투과도와 비교하는 단계;를 더 포함할 수 있다.

여기에서, k는 투과도이고, V_f는 상기 매질의 전체 부피, Φ는 공극율, m은 지수계수이다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 지수계수(m)는 1.5 내지 1.9 범위일 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 지수계수(m)는 3.6 내지 4.0 범위일 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 투과도를 비표면적 및 전체 부피와 상관되는 방정식으로부터 산출된 투과도와 비교하는 단계;를 더 포함할 수 있다.

여기에서, k는 투과도이고, V_f는 상기 매질의 전체 부피, S_S는 비표면적, m은 지수계수이다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 지수계수(m)는 1.3 내지 1.7 범위일 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 지수계수(m)는 1.1 내지 1.5 범위일 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 다공성 매질 모델은 동일한 크기의 입자들이 배열된 단순한 정규 다공성 매질 모델로 구성될 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 입자들은 45 μm 내지 55 μm 범위의 반경을 가질 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 다공성 매질 모델은, 0.4 mm 내지 0.5 mm 범위의 상기 균열높이를 가지고, 35.9% 내지 45.2% 범위의 공극률을 가질 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 입구 유속은 0.00001 m/s 내지 0.75 m/s 범위일 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 다공성 매질 모델은 다른 크기의 입자들이 배열된 복잡한 정규 다공성 매질 모델로 구성될 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 다른 크기의 입자들은 서로 엇갈리게 배열될 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 입자들은 30 μm 내지 55 μm 범위의 반경을 가질 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 다공성 매질 모델은, 0.4 mm 내지 0.5 mm 범위의 균열높이를 가지고, 13.3% 내지 21.8% 범위의 공극률을 가질 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 입구 유속은 1 μm/s에서 0.1 m/s 범위일 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 기하학적 변수는 균열높이, 공극 부피, 고상표면적, 비표면적, 공극률, 코즈니 수력 직경, 및 총 격자수 중 적어도 어느 하나를 포함할 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 입자들은 매끈한 표면과 등온성을 가질 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 다공성 매질 모델은, 상기 균열높이가 증가됨에 따라 공극률이 증가될 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 유체는 물을 포함할 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 공극규모 시뮬레이션을 수행하는 단계에서, 총 격자수는 6200만개 내지 1억1300만개 범위일 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 공극규모 시뮬레이션을 수행하는 단계에서, 균질하게 분포된 10 만개 내지 25 만개의 유선 점들을 기반하여 수행함으로써 상기 유체의 유선분포를 도출할 수 있다.

본 발명의 일부 실시예들에 있어서, 상기 유체의 입구 유속이 증가함에 따라, 상기 유체의 상기 유선분포는 다르시 유동 영역으로부터 비다르시 유동 영역으로 변화할 수 있다.

기하학적 조건의 변화에 따른 지층의 투과도 변화는 다양한 산업 분야에서 많은 관심을 받고 있다. 그러나 실용적이고 신뢰할 수 있는 투과도 산정방법은, 다공성 매질의 매우 복잡한 입자 형상과 마이크로 미터 스케일이 공극 경로에 대한 신뢰할 수 있는 실험 기구와 방법 들이 미비함에 따라, 아직까지도 제시되고 있다. 이에 따라, 본 발명의 기술적 사상에 의하며, 핵심 기하변수들의 상관관계 규명에 초점을 두고, 기하 조건의 변화에 따른 투과도 변화 양상을 조사하기 위하여, 공극규모 시뮬레이션 기법을 도입하였다. 두 종류의 공극규모 시뮬레이션 모델들로서, 다섯 종류의 단순구조 모델과 네 종류의 복잡구조 모델을 예시적으로 도입하였고, 기하학적 조건변화에 따른 투과도 변화를 조사하기 위하여 활용하였다. 결과적으로 투과도 변화와 상관되는 기하학적 변수들, 즉 공극률, 비표면적, 및 전체 부피에 관한 핵심적인 상관관계가 성공적으로 제시되었다. 특히, 비표면적과 공극률이 전체 체적의 변화와 상관되어 각각 두 가지의 실용적인 투과도 변화양상에 대한 함수로 표현될 수 있음이 유도되었고, 또한 공극규모 시뮬레이션 모델들을 통하여 검증되었다. 결과적으로, 기하학적 변화를 동반하는 다양한 종류의 다공질 유동에 대하여 유도된 관계식들의 신뢰도가 아울러 검증되었다. 이들 중에서, 비표면적과의 상관관계를 통한 기하학적 조건변화에 따른 투과도 변화의 양상이 더욱 더 효과적임을 발견하였고, 이들은 공극률의 함수만으로 표현될 수 없음을 확인하였다.

상술한 본 발명의 효과들은 예시적으로 기재되었고, 이러한 효과들에 의해 본 발명의 범위가 한정되는 것은 아니다.

도 1은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법에서, 단순한 정규 다공성 매질에서의 공극규모 시뮬레이션 모델을 나타낸다.
도 2는 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법에서, 단순한 정규 다공성 매질에서의 공극규모 시뮬레이션 모델에 대한 기하학적 변수를 나타낸다.
도 3 내지 도 5는 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법에서, 단순한 정규 다공성 매질에서의 평균 모델의 유속 분포를 나타낸다.
도 6은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법에서, 단순한 정규 다공성 매질에서의 공극규모 시뮬레이션 모델 각각에 대한 레이놀드수, 압력강하, 및 투과도를 나타낸다.
도 7은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법에서, 단순한 정규 다공성 매질에서의 공극규모 시뮬레이션 모델 각각에 대한 투과도 변화를 나타낸다.
도 8은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법에서, 단순한 정규 다공성 매질에서의 공극규모 시뮬레이션 모델 각각에 대한 투과도 오차를 나타낸다.
도 9는 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법에서, 단순한 정규 다공성 매질에서의 공극규모 시뮬레이션 모델 각각에 대한 레이놀드수에 대한 투과도의 관계를 나타내는 그래프이다.
도 10 및 도 11은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법에서, 복잡한 정규 다공성 매질에서의 공극규모 시뮬레이션 모델을 나타낸다.
도 12는 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법에서, 복잡한 정규 다공성 매질에서의 공극규모 시뮬레이션 모델에 대한 기하학적 변수를 나타낸다.
도 13 내지 도 16는 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법에서, 복잡한 정규 다공성 매질에서의 평균 복잡 모델의 유속 분포를 나타낸다.
도 17은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법에서, 복잡한 정규 다공성 매질에서의 공극규모 시뮬레이션 모델 각각에 대한 레이놀드수, 압력강하, 및 투과도를 나타낸다.
도 18은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법에서, 복잡한 정규 다공성 매질에서의 공극규모 시뮬레이션 모델 각각에 대한 투과도 변화를 나타낸다.
도 19는 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법에서, 복잡한 정규 다공성 매질에서의 공극규모 시뮬레이션 모델 각각에 대한 투과도 오차를 나타낸다.
도 20은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법에서, 복잡한 정규 다공성 매질에서의 공극규모 시뮬레이션 모델 각각에 대한 레이놀드수에 대한 투과도의 관계를 나타내는 그래프이다.
도 21은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법을 도시하는 흐름도이다.

이하, 첨부된 도면을 참조하여 본 발명의 바람직한 실시예를 상세히 설명하기로 한다. 본 발명의 실시예들은 당해 기술 분야에서 통상의 지식을 가진 자에게 본 발명의 기술적 사상을 더욱 완전하게 설명하기 위하여 제공되는 것이며, 하기 실시예는 여러 가지 다른 형태로 변형될 수 있으며, 본 발명의 기술적 사상의 범위가 하기 실시예에 한정되는 것은 아니다. 오히려, 이들 실시예는 본 개시를 더욱 충실하고 완전하게 하고, 당업자에게 본 발명의 기술적 사상을 완전하게 전달하기 위하여 제공되는 것이다. 본 명세서에서 동일한 부호는 시종 동일한 요소를 의미한다. 나아가, 도면에서의 다양한 요소와 영역은 개략적으로 그려진 것이다. 따라서, 본 발명의 기술적 사상은 첨부한 도면에 그려진 상대적인 크기나 간격에 의해 제한되지 않는다.

최근의 수치해법과 컴퓨터 성능의 발전에 따라, 공극규모 모델에 대한 직접수치해법인 공극규모 시뮬레이션(PSS, Pore Scale Simulation)을 적용한 몇몇의 연구들이 최근 보고되고 있다. 상기 공극규모 시뮬레이션은, 그 자체가 가지는 매우 복잡한 격자계와 마이크로미터 스케일의 천문학적으로 많은 격자계를 해석할 때의 수렴한계나 고비용 등 수치적 한계에도 불구하고, 위에서 언급된 한계를 해결하는 대안이 될 수 있다. 원래 매질의 기하학적 구조를 지속적으로 유지하면서, 공극간극유속, 압력강하 및 유선분포 등과 같은 핵심적인 물성들이 신뢰성 있게 분석될 수 있다.

본 발명의 기술적 사상은, 공극규모 시뮬레이션을 도입하여, 공극율, 비표면적 및 전체 부피 변화와 같은 일반적인 기하학적 물성을 기반하여 투과도 변화의 상관관계를 도출하는 것이다. 상기 기하학적 물성들은 매우 쉽게 일반적으로 측정될 수 있다. 그리고 도출된 투과도 상관관계는 두 가지 종류의 공극규모 시뮬레이션 시리즈 모델들에 적용되어 투과도 변화를 예측하는 데 활용될 수 있다. 이때, 두 가지 종류의 시리즈 모델은 다섯 개의 단순한 구조 및 네 개의 매우 복잡한 구조를 가진 모델들이며 이들은 기하학적 변화를 동반한다.

기하학적 조건변화에 따른 투과도 변화의 산정

일반적인 선행연구의 주류는, 공극률과 같은 매우 쉽게 측정되는 암석 물성들로부터 다공질 유동 관계식들이나 암석의 투과도의 물리학적인 접근에 대한 이론적인 해석을 하는 것이었다. 코즈니-카르만 방정식(Kozeny-Carman equation), 어건 방정식(Ergun equation) 또는 이들을 기반한 다른 수정 방정식들이 여전히 이와 같은 투과도 산정에 널리 사용되고 있다. 포르츠하이머(Forchheimer)는 비선형적 효과를 설명하기 위한 일반화된 유동방정식을 제시하였다. 수나다(Sunada)는 일차원적인 비선형유동방정식 포르츠하이머(Forchheimer) 방정식과 유사한 형태를 가진 일차원 비선형유동방정식을 레이놀즈 수와 마찰계수의 경험적 상관관계를 통하여 제시하였다. 그러나 아직까지도 기압 조건이 변화하는 경우에 대한 일반화되고 실용적인 이론적 해석 방법은 제시되지 못하고 있다.

최근에 신(Shin)은, 레이놀즈 수(Re)와 재정의된 마찰계수(f) 사이의 상관관계에 기반한 마찰등가투과도(FEP, friction equivalent permeability)의 정의를 제시하고, 이를 통하여 일반화된 다르시의 마찰유동 관계식을 제시하였다. 이들은 기존의 관련 이론들을 복합하여 하기의 수학식 1 과 같다.

이들 관계식들로부터, 투과도는 기본적으로는 공극률(Φ), 수력 직경(D_h), 및 비틀림도(T)에 기반하여 상관되어짐을 알 수 있다. 이때, 다공성 매질의 특성 매개변수(fRe^* _Dh)는 기하학적 변화에 무관하게 각각의 매질에 대해 적용되는 고유 상수임이 또한 증명될 수 있다. 상기 특성변수는 마찰등가투과도(FEP) 방법에서 고유 상수로 정의되며, 개별적인 다공성 매질의 마찰유동특성을 대표할 수 있다. 물론 이런 마찰유동특성은 각 매질입자들의 기하학적 형상이나 공극 유로의 구조적 특성에 의하여 결정된다. 따라서 동일한 매질이 다른 기하학적 조건에 있는 경우에는, 해당 고유 상수들이 투과도 변화의 상관관계에서 제외될 수 있다. 이는 상술한 바와 같이 수학식 1의 마찰등가투과도(FEP) 관계식을 도입할 때, 개별 공극의 기하학적 형상이나 구조적 특성이 제거될 수 있음을 의미한다. 물론 이는 동일한 매질이 기하학적 변화를 거치는 경우에 한정된다.

이를 위해서, 같은 유속 조건 하에서, 공극 압력이 변화됨에 따라 기하학적 조건이 달라진 상태에는 동일한 종류의 두 상태의 다공성 매질을 가정할 수 있다. 이때 두 종류의 다양성 매질은, 초기에는 기하학적으로 완전히 동일하였으나 유체의 생성됨에 따라 발생되는 균열 두께의 변화에 따라 변화된다고 가정할 수 있다. 수학식 1로부터 다른 기하학적 조건에 있는 두 매질의 두 매질간의 투과도 변화는 하기의 수학식 2와 같다.

이때, 다공성 매질의 마찰 유동 특성을 대표하는 특성 매개변수(fRe^* _Dh)는 이와 같은 동종의 매질에 대해 같은 유동 조건하에서는 동일한 상수이다. 따라서 수학식 2는 코즈니의 수력 직경 정의에 의해 하기의 수학식 3과 같이 정의될 수 있다. 이에 따라, 투과도 변화는 공극률(Φ), 비표면적(S_s), 및 비틀림도(T)와 같은 세가지 기하학적 물성들의 함수로 정의될 수 있다.

또한, 공극률은, 하기의 수학식 4에 제시된 바와 같이, 비표면적과 수력 직경의 정의에 의해 비표면적의 함수로 직접적으로 고려될 수 있고, 상관될 수 있다.

결과적으로 수학식 3은, 하기의 수학식 5에 제시된 바와 같이, 각 매질의 전체 부피와 비틀림도와 함께 상관되는 공극률과 비표면적에 대한 각각의 지수 방정식으로 정리될 수 있다.

반면, 라브리드(Labrid)는, 투과도 변화가 공극률의 변화에 대해서만 상수계수로 지수적으로 비례한다고 하는 하기의 수학식 6과 같은 관계식을 제시하였다.

사실상, 상기 라브리드 방정식은 공극률과 투과도 상관관계를 정의하는 데 있어서 일반적인 현장 적용에 있어서 가장 널리 쓰이는 방정식 중의 하나이다. 이는 매우 단순한 형태를 가지는 것에도 기인한다. 상기 방정식은 하기에 제시되는 결과들의 비교와 검증에 활용될 수 있다. 이런 관점에서 상기 수학식 5의 비틀림도에 관련된 항은 실제 적용 시에 거의 결정될 수 없으므로 제거할 필요가 있다.

아키(Archie)는 지층계수, 지층 지수를 다공성 매질의 비저항을 기반으로 하여 정리하였다. 코넬(Cornell)과 카츠(Katz)는 비틀림도와 지층 지수, 경사 모세관, 큐브 모델을 기반한 지층 지수 상관관계를 제시했다.

따라서, 비틀림도는, 하기의 수학식 7에 주어진 것 같이, 공극률의 함수로만 표현될 수 있다. 이런 관계식 들을 도입하면, 상기 수학식 5는 수학식 7과 같이 매우 실용적이고 실제 응용에 있어서 훨씬 쉬운 방정식의 형태로 단순화될 수 있다.

마지막으로, 수학식 7은, 하기의 수학식 8과 같이, 공극률의 함수로 정리되거나, 또는 하기의 수학식 9과 같이, 비표면적의 함수로 정리될 수 있다. 물론 이들은 지수(n)을 1로 정의한 경우임에 유의한다.

결과적으로, 기하학적 조건변화에 따른 투과도 변화는 전체 부피의 변화에 동반된 각각 공극률과 비표면적의 지수함수관계를 통하여 산정될 수 있고, 상기 수학식 8과 상기 수학식 9에 나타나 있다. 여기서 지수계수(m)은 각 매질의 비틀림도 특성을 표현하는 특별한 상수로 결정되어야 한다. 이는 압력의 차이 또는 두 가지 기하학적 조건에서의 투과도의 차이를 필요로 한다. 물론 이러한 차이는 동일한 유동조건에서 다른 기하학적 조건하에 있는 상태의 경우이다. 다만, 이와 같이 지수계수가 결정된 이후에는 어떠한 기하학적 조건에 있는 투과도 변화도 상기 수학식 8과 상기 수학식 9를 통해서 결정되어질 수 있다. 이는 다르시 유동 영역과 비다르시 유동 영역 모두에서 만족될 수 있다.

기하학적 변화를 수반한 단순한 정규 다공성 매질의 공극규모 시뮬레이션

공극규모 시뮬레이션 해석을 위해, 마이크로 미터 스케일의 공극 구조를 가지는 다섯 개의 다공성 매질 모델을 도입한다. 이들은 균열의 간극 축소와 유사하게, 점진적으로 가늘어지는 모델로서 축소되도록 가정한다. 이후에, 공극규모 시뮬레이션 해석을 통하여 유속조건의 상승에 따른 각 유동영역에서의 투과도 변화를 분석하였다.

도 1은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법에서, 단순한 정규 다공성 매질에서의 공극규모 시뮬레이션 모델을 나타낸다.

도 1을 참조하면, 상기 단순한 정규 다공성 매질(simple structured porous medium)에서의 "Thickest" 모델에 대한 기하학적 수압파쇄가 상측에 도시되어 있고, 다섯 개의 모델에 대한 기하학적 파쇄균열이 하측에 도시되어 있다.

수평의 평행한 미소 평판의 길이, 폭, 높이는 각각 4 mm, 4 mm, 0.5 mm 로 가정한다. 지지체 입자로서 각각 0.102 mm의 직경을 가진 완전한 구형의 균질한 구슬들이 총 7900개가 배열된다. 상기 구슬(즉, 입자)는 45 μm 내지 55 μm 범위의 반경을 가질 수 있다. 구슬의 원래 직경은 평판에 의해서 잘린 부분이나 인접한 구슬들의 중첩되는 부분들을 제외한 것이다. 이들은 균열 내의 지지체들의 엇갈린 분포를 흉내 내어서 두 평판 사이에 위치된다.

초기의 0.5 mm 균열높이를 가지는 45.2% 공극 모델이 가장 두꺼운 모델로서 정의되고, "Thickest" 모델로 지칭한다. 다음으로 두꺼운 모델인 "Thicker" 모델은 0.475 mm의 균열높이를 가진다. 이어서, 평균 모델인 "Base" 모델은 0.45 mm의 균열높이를 가진다. 이때, 각 매질 내의 구슬들은 균열높이가 변화됨에 따라 단순하고 균질하게 인접한 구슬들이나 벽으로 축소되는 것으로 가정한다. 더불어, 얇은 모델인 "Thinner" 모델은 0.425 mm의 균열높이를 가지며, 가장 얇은 모델인 "Thinnest" 모델은 0.4 mm의 균열높이 및 35.9% 공극률을 가진다.

도 2는 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법에서, 단순한 정규 다공성 매질에서의 공극규모 시뮬레이션 모델에 대한 기하학적 변수를 나타낸다.

도 2를 참조하면, 기본 기하변수로서 균열높이(h), 공극 부피(V_p), 고상표면적(A_s), 비표면적(S_s), 공극률(Φ), 코즈니 수력 직경(D_h) 및 총 격자수(cell count)가 나타나 있다. 여기에서, 비표면적(S_s)은 각각의 모델에서 고체 부분의 전체 표면적과 전체 부피의 비율로부터 산출될 수 있다.

모든 시뮬레이션 모델에 0.00001 m/s로부터 0.75 m/s까지의 총 13개의 다른 입구 유속조건들이 적용되었다. 유속(u)는 각 입구 단면에 대하여 수직으로 정의되었고, 각각의 경우는 유동 방향인 X 축과 평행하게 설정되었다. 도 1의 우측 상단에 나타난 바와 같이, 종합하면 총 65개의 공극규모 시뮬레이션 경우가 다섯 개의 다른 균열높이와 총 13개의 입구 유속 조건에 의하여 정의되었다. 이와 같은 기하와 유속조건 외의 다른 모든 조건은 모든 경우에 동일하다. 유체는 순수한 물로서 표준밀도 998.2 kg/m³, 점도 0.001003 kg/ms 로 각각 가정되었다.

모든 모델들의 고체벽면이나 표면들은 완전하게 매끈하고 등온인 것으로 가정되었다. 전산유체역학(Computational Fluid Dynamics, CFD) 모델링과 시뮬레이션은 정상상태 유동조건하에서 엔시스사의 플루언트(Ansys-fluent) 상용소프트웨어를 활용하여 수행되었다. 이때 기본적인 수렴 기준은 운동량 방정식과 연속 방정식 모두에서의 잔차(residual)가 10^-8 이하로 설정되었다. 그러나 이러한 기준은 두 개의 가장 빠른 유속 조건 경우에 대해서는 수렴성의 문제 때문에 일부 완화가 되었다. 즉 0.5 m/s 에서는 10^- ⁷ 로, 0.75 m/s 조건에서는 10^-6으로 완화되었고, 실질적으로 1 m/s를 넘어서는 경우에는 상기 수치해석은 수렴하기가 어려웠다. 비정렬 삼각뿔 격자 시스템(unstructured tetrahedral grid system)의 최종적인 총 격자수(Cell count)는 대략 1억1300만개 내지 6200만개였다. 상기 총 격자수는 도 1과 도 2)에 제시되어 있다. 이러한 값들은 다른 격자 해상도에서 해상도에 대한 시행착오법을 통하여 규명되어졌다. 50%, 75%, 100%, 125%, 150%, 및 200%의 총 격자수 경우들이 초기의 가장 두꺼운 모델과 가장 얇은 모델들에 기반하였고, 컴퓨터 시스템의 활용 가능한 한계를 고려했다. 2차 오더의 상류 스킴(upwind scheme)과 심플(SIMPLE) 방법이 공간차분(spatial discretization)과 압력유속 커플링에 적용되었다.

도 3 내지 도 5는 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법에서, 단순한 정규 다공성 매질에서의 평균 모델의 유속 분포를 나타낸다.

여기에서, 도 3은 X-Z 평면에서 0.00001 m/s의 입구 유속의 경우이고, 도 4는 X-Z 평면에서 0.01 m/s의 입구 유속의 경우이고, 도 5는 X-Z 평면에서 0.75 m/s의 입구 유속의 경우이다.

도 3 내지 도 5를 참조하면, 상기 평균(Base) 모델의 유선분포는 균질하게 분포된 10 만개의 유선 점들(streamline seeds)에 기반하며, 세 가지 다른 유동조건 대한 상기 평균 모델의 유선분포가 제시되어 있다. 이로부터 다르시 유동 영역으로부터 비다르시 유동 영역에 이르는 전반적인 유동양상의 변화를 관찰할 수 있다.

도 3을 참조하면, 부드럽고 연속적인 유동이 전체 공극 부피에 나타나고 있다.

도 4를 참조하면, 상기 유동에 미세한 변화들이 확인된다. 이러한 변화는 유동 경로 부피의 약간의 감소, 그리고 유동의 국부적인 불연속성 등에 기인한다.

도 5를 참조하면, 유동단절과 와류구조들을 포함한 유동의 불안정성과 불규칙성은 계속되는 속도의 증가, 완전한 난류영역이 관찰되는 때까지 계속됨을 알 수 있고, 따라서, 비다르시 유동 영역으로 고려될 수 있다.

도 6은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법에서, 단순한 정규 다공성 매질에서의 공극규모 시뮬레이션 모델 각각에 대한 레이놀드수, 압력강하, 및 투과도를 나타낸다.

도 6을 참조하면, 공극규모 시뮬레이션 모델 각각에 대하여 산출된 레이놀드수, 압력강하, 및 투과도가 나타나있다. 참고로, "u"는 각각의 모델에서 평균 내부 유동 속도이고, 단위는 m/s이다. "Re_u"는 ρuD_h/μ 로 계산되는 레이놀드수이다. "△P"는 각각의 모델에서의 입구 표면과 출구 표면 사이의 압력 차이이고, 단위는 Pa이다. "k"는 다르시 식으로부터 산출된 투과도이고, 단위는 Darcy이다.

도 7은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법에서, 단순한 정규 다공성 매질에서의 공극규모 시뮬레이션 모델 각각에 대한 투과도 변화를 나타낸다.

도 7을 참조하면, 상기 수학식 6, 상기 수학식 8, 및 상기 수학식 9에 의하여 산출된 각각의 투과도 변화가 나타나 있다. 참고로, k_Eq(6)는 수학식 6에 의하여 산출된 투과도이고, k_Eq(8)는 수학식 8에 의하여 산출된 투과도이고, k_Eq(9)는 수학식 9에 의하여 산출된 투과도이다.

도 8은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법에서, 단순한 정규 다공성 매질에서의 공극규모 시뮬레이션 모델 각각에 대한 투과도 오차를 나타낸다.

도 8을 참조하면, 도 6의 투과도와 도 7의 투과도를 비교하여 산출된 오차들이 나타나 있다. 즉, 상기 공극규모 시뮬레이션을 수행하여 도출한 투과도(도 6에 표시됨)를 상기 수학식 6, 수학식 8, 및 수학식 9에 의하여 산출된 투과도들(도 7에 표시됨)과 각각 비교하여, 상기 오차들을 산출하였다. 참고로, ε_Eq(6)는 상기 수학식 6에 의한 투과도 오차이고, ε_Eq(8)는 상기 수학식 8에 의한 투과도 오차이고, ε_Eq(9)는 상기 수학식 9에 의한 투과도 오차이다. 상기 수학식 8 및 상기 수학식 9에 의한 오차에 비하여, 상기 수학식 6에 의한 오차가 더 큼을 알 수 있다.

도 9는 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법에서, 단순한 정규 다공성 매질에서의 공극규모 시뮬레이션 모델 각각에 대한 레이놀드수에 대한 투과도의 관계를 나타내는 그래프이다.

도 9를 참조하면, 상기 수학식 6 ("k_Phi" 로 표시됨), 상기 수학식 8 ("k_FEP_Phi" 로 표시됨) 및 상기 수학식 9 ("k_FEP_Ss" 로 표시됨)의 마찰등가투과도(FEP) 관계식들에 의해 산출된 투과도 변화의 관계가 원래의 해석 결과와 비교되어 나타나 있다.

상기 수학식 6, 상기 수학식 8, 및 상기 수학식 9를 활용하여 투과도 변화를 산정하기 위해서는, 상기 수학식 6, 상기 수학식 8, 및 상기 수학식 9에 있는 각각의 특정 지수계수(m)를 먼저 결정할 필요가 있다. 이들 특정 지수계수들은 두 가지 다른 기하학적 조건 그리고 임의로 선정된 유속조건에 대한 단순한 변화해석을 통해서 결정될 수 있다. 가장 두꺼운 모델인 "Thickest" 모델과 평균 모델인 "Base" 모델이 압력강하나 투과도 변화에 대하여 유속이 0.0001m/s인 경우를 활용하기로 한다. 도출된 계수들로서, 상기 수학식 6의 지수계수(ω)는 약 0.2186일 수 있다. 상기 수학식 8의 공극율에 대한 지수계수(mφ)는, 예를 들어 1.5 내지 1.9 범위일 수 있고, 예를 들어, 약 1.7일 수 있다. 상기 수학식 9의 비표면적에 대한 지수계수(m_ss)는, 예를 들어 1.3 내지 1.7 범위일 수 있고, 예를 들어, 약 1.514 일 수 있다. 부가하여, 다른 기하학적 조건으로부터 선택되는, 다르시 유동 영역에서부터 비다르시 유동 영역에 대한 선택된 모델에서의 투과도 변화가 다른 모델들의 값들을 추정하기 위해서는 측정되어야 한다. 여기에서 다른 모델들의 값들은 도 9에 나타난 다른 네가지 모델들의 투과도 변화이다. 여기서 "Thickest" 모델의 해석 결과는 측정된 투과도 변화로서 기준 데이터로 가정하였다. 결과적으로, 모든 해석 결과들, 즉 13개의 투과도 변화와 다르시 유동 영역으로부터 비다르시 유동 영역으로 이르는 해석 결과들은 상기 "Thickest" 모델의 모든 공극규모 시뮬레이션 해석 결과와 원 포인트 데이터, 즉 유속 0.0001 m/s 에서의 단일 투과도 값으로 도 9의 큰 녹색 표식으로 표기된 평균 모델의 원 포인트 데이터는 이와 같은 투과도 산정을 위한 기준 데이터로 사용되었다. 총 14개의 투과도 값들이 알려지거나 또는 측정된 값으로 정의되었다. 측정된 기준 데이터, 즉 나머지 모델들과 조건들 도 9의 나머지 모델과 조건들의 투과도 변화를 51개의 투과도 변화를 위한 기준 데이터로 가정되었다. 결과적으로, 기하학적 조건변화에 대한 투과도 변화는 상기 수학식 6, 상기 수학식 8, 및 상기 수학식 9의 투과도 변화 관계와 이와 같이 결정되거나 또는 측정된 특정 지수계수 그리고 기준 데이터로부터 산정될 수 있다.

상기 수학식 6, 상기 수학식 8, 및 상기 수학식 9를 기반으로 산정된 모든 결과는 공극규모 시뮬레이션 해석으로부터 도출된 실제의 투과도와 매우 우수한 일치를 나타낸다. 도 9에 나타난 바와 같이, 대략 10%의 공극률 변화와 300%의 투과도 변화를 동반하는 가장 큰 두께 축소의 경우인 "Thinnest" 모델에서의 오차는 일정 부분 증가되는 것을 볼 수 있으나, 도 7 내지 도 9에 나타난 바와 같이, 모든 오차는 상당히 낮은 수준임을 알 수 있다. 또한, 유속의 증가에 대한 투과도 변화는, 유동영역인 다르시 유동 영역에서 비다르시 유동 영역으로 변했음에도 불구하고, 모든 산정된 모든 모델들에서 상당히 좋은 결과를 보이고 있다. 여기에서, 비표면적과 전체 부피에 기반한 상기 수학식 9의 결과가, 회색 점선으로 표시된 바와 같이, 가장 정확한 투과도 예측을 나타내고 있다. 공극률과 전체 부피에 기반한 상기 수학식 8의 경우는, 청색 점선으로 표시된 바와 같이, 비교적 우수하게 일치하는 결과를 나타나며, 특히 상기 라브리드 방정식에 비해서 훨씬 더 일치하는 결과를 나타냄을 알 수 있다. 상기 라브리드 방정식은 상수 계수에 기반한 상기 수학식 6의 공극률의 함수로 정의되어 있고, 적색 실선으로 표시되어 있다. 결과적으로, 본 발명의 기술적 사상에 따른 투과도 변화의 상관관계는 기하학적 조건변화를 동반하는 다공질유동 해석에 있어서 상당히 신뢰할 수 있는 방법으로 사용될 수 있음을 확인할 수 있다. 또한, 비표면적과 전체 부피의 관계에 기반한 투과도 변화 관계가, 공극 관계에 기반한 관계식들에 비하여, 기하학적 조건변화에 따른 투과도 변화의 문제에 있어서 더 좋은 결과를 보임을 알 수 있다.

기하학적 변화를 수반한 복잡한 정규 다공성 매질의 공극규모 시뮬레이션

이하에서는, 총 65개의 공극규모 시뮬레이션 경우가 13개의 다른 입구 유속(inlet velocity) 조건과 5개의 균열높이 모델들을 활용한 결과를 분석하기로 한다. 이들은 기하학적 조건변화에 따른 투과도 변화를 확인하기 위함이다. 보다 복잡한 구조를 가진 다공성 모델들, 예를 들어 다른 지지체의 크기와 배열, 그리고 훨씬 작은 공극부피(pore volume)를 통해서 실제 다공성 매질과 매우 유사한 경우로서, 상술한 투과도 관계식의 일관성과 활용성을 확인하기 위함이다. 이들을 위해서 또 다른 4가지 종류의 다공성 매질 모델, 즉, 복잡한 모델(complex models)을 추가적으로 도입하여, 엇갈린 격자 구조를 가진 3가지 다른 크기의 지지체 입자들(즉, 구슬)로 구성되고, 5층의 구조를 가진 것으로 가정하였다.

도 10 및 도 11은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법에서, 복잡한 정규 다공성 매질에서의 공극규모 시뮬레이션 모델을 나타낸다.

도 10을 참조하면, 상기 복잡한 정규 다공성 매질(complex structured porous medium)에서의 복잡한 수력 파괴 모델(기본 공극규모 시뮬레이션 모델)의 세 가지의 다른 크기의 구슬들의 다섯 층들이 배제된 상태의 기하학적 형상이 나타나 있다. 상기 구슬의 총수는 28160개이다. 우측 상단에는 공극 경로 구조를 더 자세하게 관찰하기 위하여 확대되어 있다.

도 11을 참조하면, 복잡한 기본 모델을 포함하는 세 가지의 다른 크기의 구슬들로 구성된 다섯 층의 기하학적 형상이다. 우측 상단에는 서로 엇갈리게 배열된 세 가지 구슬들을 더 자세하게 관찰하기 위하여 확대되어 있다. (A)의 반경은 51 μm이고, (B)의 반경은 30 μm이고, (C)의 반경은 55 μm이다.

기본적으로 0.5 mm의 균열높이의 21.8%의 공극률을 가진 모델이 가장 두꺼운 모델로서 정의되고, "Thickest" 모델로 지칭한다. 이 모델은 앞서의 기준 데이터로서 "베이스데이터", 즉, 다른 균열 간극 모델들의 투과도 예측을 위해 필요한 베이스데이터를 제공하기 위한 기준 모델로 정의하기로 한다. 다음으로 두꺼운 모델인 "Thicker" 모델은 0.475 mm의 균열높이를 가진다. 이어서, 평균 모델인 "Base" 모델은 0.45 mm의 균열높이를 가진다. 이때 각각의 구슬들은 각 매질 내에서 단순하고 균질하게 인근(adjacent) 구슬과 벽면으로 축소된 것으로 가정한다. 부가하여 가장 얇은 모델인 "Thinnest" 모델은 0.4 mm의 균열높이를 가지며, 상기 수학식 6, 상기 수학식 8, 및 상기 수학식 9의 특정 지수계수를 각각 결정하기 위한 원 포인트 데이터로서, 즉 0.00001 m/s 유속에서의 단일 투과도 값을 가지는 원 포인트 데이터로 선정한다.

도 12는 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법에서, 복잡한 정규 다공성 매질에서의 공극규모 시뮬레이션 모델에 대한 기하학적 변수를 나타낸다.

도 12를 참조하면, 기본 기하학적 변수로서 균열높이(h), 공극 부피(V_p), 고상표면적(A_s), 비표면적(S_s), 공극률(Φ), 코즈니 수력 직경(D_h) 및 총 격자수(cell count)가 나타나 있다. 여기에서, 비표면적(S_s)은 각각의 모델에서 고체 부분의 전체 표면적과 전체 부피의 비율로부터 산출될 수 있다. 기본 수렴 조건은 운동량 방정식과 연속 방정식 모두에서 10^-8 이하로 설정된다.

유속(u)은 입구 단면, 즉 Y-Z 평면에 대하여 수직이고, 유동 방향인 X 축에 대하여 평행한 것으로 설정된다. 이는 도 10의 우측 하단을 참조한다. 이때, 1 μm/s에서 0.1 m/s까지의 총 10개의 입구 유속 조건이 초기에 부과되었고, "Thinnest" 모델을 제외한 모든 시뮬레이션 모델에 적용된다. 반면, 상기 "Thinnest" 모델에서는 6개의 유속 조건들이 적용되며, 그 이유는 상기 "Thinnest" 모델의 경우에는 매우 작은 공극과 극심한 유속변화, 유동상황 변화에 따른 수렴성 문제가 급격히 증가하기 때문이다. 유체 물성이나 경계조건, 수치해석 조건과 방법, 비정렬 삼각뿔 격자 시스템 활용 등과 같은 기타의 해석 조건은 단순한 정규 다공성 매질의 경우와 동일하다.

도 13 내지 도 16는 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법에서, 복잡한 정규 다공성 매질에서의 평균 복잡 모델의 유속 분포를 나타낸다.

여기에서, 도 13은 1 μm/s 조건에서 X-Y 평면의 경우이다. 도 14는 X-Z 평면에서 1 μm/s의 입구 유속의 경우이고, 도 15는 X-Z 평면에서 0.01 m/s의 입구 유속의 경우이고, 도 16은 X-Z 평면에서 0.1 m/s의 입구 유속의 경우이다.

도 13을 참조하면, 복잡한 모델의 기준인 평균 모델인 상기 "Base" 모델의 유선분포는, 균질하게 분포된 25만 개의 유선 점들(streamline seeds)에 기반하고, 세 가지의 다른 유속 조건에서의 유선분포가 나타나 있다. 이는 전반적인 유속 변화 양상을 보여주기 위함이다. 전반적인 복잡한 모델에서 유속변화 양상은 상술한 단순한 정규 다공성 매질에서의 경우와 상당히 유사함을 알 수 있다.

도 14를 참조하면, 부드럽고 연속적인 유동이 전체 공극 부피에서 나타나고 있다.

도 15를 참조하면, 다르시 유동 영역에서 비다르시 유동 영역으로 변화하는 유동의 천이특성이 나타나고 있다.

도 16을 참조하면, 전체적으로 분포된 강한 와류 구조가 나타나고, 이는 비다르시 유동 영역으로 고려될 수 있다.

도 17은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법에서, 복잡한 정규 다공성 매질에서의 공극규모 시뮬레이션 모델 각각에 대한 레이놀드수, 압력강하, 및 투과도를 나타낸다.

도 17을 참조하면, 공극규모 시뮬레이션 모델 각각에 대하여 산출된 레이놀드수, 압력강하, 및 투과도를 나타나있다. 참고로, "u"는 각각의 모델에서 평균 내부 유동 속도이고, 단위는 m/s이다. "Re_u"는 ρuD_h/μ 로 계산되는 레이놀드수이다. "△P"는 각각의 모델에서의 입구 표면과 출구 표면 사이의 압력 차이이고, 단위는 Pa이다. "k"는 다르시 식으로부터 산출된 투과도이고, 단위는 Darcy이다.

도 18은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법에서, 복잡한 정규 다공성 매질에서의 공극규모 시뮬레이션 모델 각각에 대한 투과도 변화를 나타낸다.

도 18을 참조하면, 상기 수학식 6, 상기 수학식 8, 및 상기 수학식 9에 의하여 산출된 각각의 투과도 변화가 나타나 있다. 참고로, k_Eq(6)는 수학식 6에 의하여 산출된 투과도이고, k_Eq(8)는 수학식 8에 의하여 산출된 투과도이고, k_Eq(9)는 수학식 9에 의하여 산출된 투과도이다.

도 19는 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법에서, 복잡한 정규 다공성 매질에서의 공극규모 시뮬레이션 모델 각각에 대한 투과도 오차를 나타낸다.

도 19를 참조하면, 도 17의 투과도와 도 18의 투과도를 비교하여 산출된 오차들이 나타나 있다. 즉, 상기 공극규모 시뮬레이션을 수행하여 도출한 투과도(도 17 에 표시됨)를 상기 수학식 6, 수학식 8, 및 수학식 9에 의하여 산출된 투과도들(도 18 에 표시됨)과 각각 비교하여, 상기 오차들을 산출하였다. 참고로, ε_Eq(6)는 상기 수학식 6에 의한 투과도 오차이고, ε_Eq(8)는 상기 수학식 8에 의한 투과도 오차이고, ε_Eq(9)는 상기 수학식 9에 의한 투과도 오차이다. 상기 수학식 8 및 상기 수학식 9에 의한 오차에 비하여, 상기 수학식 6에 의한 오차가 더 큼을 알 수 있다.

도 20은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법에서, 복잡한 정규 다공성 매질에서의 공극규모 시뮬레이션 모델 각각에 대한 레이놀드수에 대한 투과도의 관계를 나타내는 그래프이다.

도 20을 참조하면, 상기 수학식 6 ("k_Phi" 로 표시됨), 상기 수학식 8 ("k_FEP_Phi" 로 표시됨) 및 상기 수학식 9 ("k_FEP_Ss" 로 표시됨)의 마찰등가투과도(FEP) 관계식들에 의해 산출된 투과도 변화의 관계가 원래의 해석 결과와 비교되어 나타나 있다.

상술한 바와 같이, 특정 지수계수들을 결정할 필요가 있다. 가장 두꺼운 모델인 "Thickest 모델과 가장 얇은 모델인 "Thinnest" 모델이 각각 유속이 0.00001m/s인 경우를 활용하기로 한다. 도출된 계수들로서, 상기 수학식 6의 지수계수(ω)는 약 0.04741 일 수 있다. 상기 수학식 8의 공극율에 대한 지수계수(mφ)는, 예를 들어 3.6 내지 4.0 범위일 수 있고, 예를 들어, 약 3.799 일 수 있다. 상기 수학식 9의 비표면적에 대한 지수계수(m_ss)는, 예를 들어 1.1 내지 1.5 범위일 수 있고, 예를 들어, m_ss는 약 1.3047이다. 여기서 상기 "Thickest" 모델의 공극규모 시뮬레이션에서 해석결과는 측정된 투과도 변화로 투과도 값으로 가정한다.

종합하면, 도 20에 황색으로 크게 표시된 "Thinnest" 모델의 해석 결과와 적색으로 크게 표시된 "Thinnest" 모델이 "원 포인트 데이터"로서 선정하여, 이들을 투과도 산정을 위한 기준 데이터로 활용한다. 결과적으로, 기하하적 조건변화에 따른 투과도 변화는 이로부터 주어진 관계식을 활용하여 산정될 수 있다.

상기 수학식 6, 상기 수학식 8, 및 상기 수학식 9와 결정된 특정 지수계수와 선정된 베이스데이터로부터, 도 20에 도시된 바와 같이 적색 점선으로 표시된 상기 수학식 6의 라브리드 방정식으로부터 생산된 데이터는 일치하지 않는 결과를 나타내고 있다. 이는 원래의 기대와는 다른 결과이며, 이것은 기하학적 조건변화에 따른 투과도 변화가 다공성 공극률의 함수만이 아닌 것으로 분석된다.

반면, 상기 수학식 8과 상기 수학식 9는 지속적으로 성장해 좋은 결과를 보여주고 있음을 도 18 내지 도 20에서 확인할 수 있다. 구체적으로, 상기 "Thinnest" 모델의 경우에도 약 40% 공극률, 1860%의 투과도 변화를 보이고 있다.

특히, 비표면적과 전체 부피와의 상관관계를 포함하고 있는 상기 수학식 9는 모든 모델에 있어서 매우 우수한 결과를 보여주고 있다. 결론적으로, 상기 수학식 8과 상기 수학식 9의 투과도 변화관계가 다양한 종류의 다공질 유동 해석에서, 특히, 기하학적 조건변화를 동반하는 경우에 매우 유용하고 신뢰성 있게 활용될 수 있음을 알 수 있다. 나아가, 기하학적 조건변화에 따른 투과도 변화는 공극률의 단일 함수이기보다는, 전체 부피변화와 비표면적 변화의 함수로 상관되는 것이 적절할 것으로 분석된다.

도 21은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법(S100)을 도시하는 흐름도이다.

도 21을 참조하면, 상기 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법(S100)은, 입자들의 배열에 의하여 다공성을 갖는, 다공성 매질 모델을 제공하는 단계(S110); 상기 다공성 매질 모델에 대한 균열높이를 포함한 기하학적 변수를 도출하는 단계(S120); 상기 다공성 매질 모델에 대한 유체의 입구 유속을 설정하는 단계(S130); 및 상기 균열높이와 상기 입구 유속에 대한 공극규모 시뮬레이션을 수행하여 투과도를 도출하는 단계(S140);를 포함한다.

상기 투과도를 공극률 및 전체 부피와 상관되는 방정식으로부터 산출된 투과도와 비교하는 단계;를 더 포함할 수 있다. 상기 투과도를 하기의 식에서 산출된 투과도와 비교하는 단계;를 더 포함할 수 있다.

여기에서, k는 투과도이고, V_f는 상기 매질의 전체 부피, Φ는 공극율, m은 지수계수이다. 상기 지수계수(m)는 1.5 내지 1.9 범위일 수 있다. 상기 지수계수(m)는 3.6 내지 4.0 범위일 수 있다.

상기 투과도를 비표면적 및 전체 부피와 상관되는 방정식으로부터 산출된 투과도와 비교하는 단계;를 더 포함할 수 있다. 상기 투과도를 하기의 식에서 산출된 투과도와 비교하는 단계;를 더 포함할 수 있다.

여기에서, k는 투과도이고, V_f는 상기 매질의 전체 부피, S_S는 비표면적, m은 지수계수이다. 상기 지수계수(m)는 1.3 내지 1.7 범위일 수 있다. 상기 지수계수(m)는 1.1 내지 1.5 범위일 수 있다.

상기 다공성 매질 모델은 동일한 크기의 입자들이 배열된 단순한 정규 다공성 매질 모델로 구성될 수 있다. 상기 입자들은 45 μm 내지 55 μm 범위의 반경을 가질 수 있다. 상기 다공성 매질 모델은, 0.4 mm 내지 0.5 mm 범위의 상기 균열높이를 가지고, 35.9% 내지 45.2% 범위의 공극률을 가질 수 있다. 상기 입구 유속은 0.00001 m/s 내지 0.75 m/s 범위일 수 있다.

상기 다공성 매질 모델은 다른 크기의 입자들이 배열된 복잡한 정규 다공성 매질 모델로 구성될 수 있다. 상기 다른 크기의 입자들은 서로 엇갈리게 배열될 수 있다. 상기 입자들은 30 μm 내지 55 μm 범위의 반경을 가질 수 있다. 상기 다공성 매질 모델은, 0.4 mm 내지 0.5 mm 범위의 균열높이를 가지고, 13.3% 내지 21.8% 범위의 공극률을 가질 수 있다. 상기 입구 유속은 1 μm/s에서 0.1 m/s 범위일 수 있다.

상기 기하학적 변수는 균열높이, 공극 부피, 고상표면적, 비표면적, 공극률, 코즈니 수력 직경, 및 총 격자수 중 적어도 어느 하나를 포함할 수 있다. 상기 입자들은 매끈한 표면과 등온성을 가질 수 있다. 상기 다공성 매질 모델은, 상기 균열높이가 증가됨에 따라 공극률이 증가될 수 있다. 상기 유체는 물을 포함할 수 있다.

상기 공극규모 시뮬레이션을 수행하는 단계에서, 총 격자수는 6200만개 내지 1억1300만개 범위일 수 있다. 상기 공극규모 시뮬레이션을 수행하는 단계에서, 균질하게 분포된 10 만개 내지 25 만개의 유선 점들을 기반하여 수행함으로써 상기 유체의 유선분포를 도출할 수 있다. 상기 유체의 입구 유속이 증가함에 따라, 상기 유체의 상기 유선분포는 다르시 유동 영역으로부터 비다르시 유동 영역으로 변화할 수 있다.

이상에서 설명한 본 발명의 기술적 사상이 전술한 실시예 및 첨부된 도면에 한정되지 않으며, 본 발명의 기술적 사상을 벗어나지 않는 범위 내에서 여러 가지 치환, 변형 및 변경이 가능하다는 것은, 본 발명의 기술적 사상이 속하는 기술분야에서 통상의 지식을 가진 자에게 있어 명백할 것이다.

기호설명(NOMENCLATURE)

A: Area,

A_s: Solid Surface Area,

D: Diameter,

D_h: Hydraulic Diameter,

f: Friction Factor,

h: Height, Fracture Height (Aperture), Permeability,

k, k_FEP: Friction Equivalent Permeability (FEP),

L: Length,

L_e: Actual Path Length,

M: Proportional Coefficient,

P: Pressure,

△P: Pressure Gradient,

Re: Reynolds Number,

S: Surface Area,

S_S: Specific Surface Area,

T: Tortuosity,

u: Intrinsic Velocity, Average Flow Velocity through a Medium,

V: Volume,

V_p: Pore Volume,

V_f: Rock (Bulk) Volume,

v: Interstitial Velocity, Average Flow Velocity though Actual Paths,

x, y, z: Position in X-, Y-, and Z-direction (Axis),

μ: Viscosity,

ρ: Density,

σ: Stress,

△σ: Pressure Gradient,

Φ: Porosity,

Super- & Sub-Script

*: Pseudo, ~ based on the Tortuosity in a Laminar-flow Condition,

h: Hydraulic,

i: Initial Exponential Coefficient,

m, m_Φ: m for Equation (8),

m, m_ss: m for Equation (9),

n: Unique Constant Exponent Value of Hydraulic Diameter of a Medium,

p: pore,

P: Pore Pressure,

S: Specific Surface, Solid,

u: Intrinsic Velocity, Average Flow Velocity through a Medium,

v: Interstitial Velocity, Average Flow Velocity though Paths, Vertical,

w: Exponential Coefficient of Labrids' Equation,

참고문헌(References)

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Claims

입자들의 배열에 의하여 다공성을 갖는, 다공성 매질 모델을 제공하는 단계;
상기 다공성 매질 모델에 대한 균열높이를 포함한 기하학적 변수를 도출하는 단계;
상기 다공성 매질 모델에 대한 유체의 입구 유속을 설정하는 단계; 및
상기 균열높이와 상기 입구 유속에 대한 공극규모 시뮬레이션을 수행하여 투과도를 도출하는 단계;를 포함하는, 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법.
제 1 항에 있어서,
상기 투과도를 공극률 및 전체 부피와 상관되는 방정식으로부터 산출된 투과도와 비교하는 단계;를 더 포함하는, 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법.
제 1 항에 있어서,
상기 투과도를 하기의 식에서 산출된 투과도와 비교하는 단계;를 더 포함하는, 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법.

여기에서, k는 투과도이고, V_f는 상기 매질의 전체 부피, Φ는 공극율, m은 지수계수이다.
제 3 항에 있어서,
상기 지수계수(m)는 1.5 내지 1.9 범위인, 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법.
제 3 항에 있어서,
상기 지수계수(m)는 3.6 내지 4.0 범위인, 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법.
제 1 항에 있어서,
상기 투과도를 비표면적 및 전체 부피와 상관되는 방정식으로부터 산출된 투과도와 비교하는 단계;를 더 포함하는, 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법.
제 1 항에 있어서,
상기 투과도를 하기의 식에서 산출된 투과도와 비교하는 단계;를 더 포함하는, 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법.

여기에서, k는 투과도이고, V_f는 상기 매질의 전체 부피, S_S는 비표면적, m은 지수계수이다.
제 7 항에 있어서,
상기 지수계수(m)는 1.3 내지 1.7 범위인, 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법.
제 7 항에 있어서,
상기 지수계수(m)는 1.1 내지 1.5 범위인, 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법.
제 1 항에 있어서,
상기 다공성 매질 모델은 동일한 크기의 입자들이 배열된 단순한 정규 다공성 매질 모델로 구성된, 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법.
제 10 항에 있어서,
상기 입자들은 45 μm 내지 55 μm 범위의 반경을 가지는, 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법.
제 10 항에 있어서,
상기 다공성 매질 모델은, 0.4 mm 내지 0.5 mm 범위의 상기 균열높이를 가지고, 35.9% 내지 45.2% 범위의 공극률을 가지는, 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법.
제 10 항에 있어서,
상기 입구 유속은 0.00001 m/s 내지 0.75 m/s 범위인, 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법.
제 1 항에 있어서,
상기 다공성 매질 모델은 다른 크기의 입자들이 배열된 복잡한 정규 다공성 매질 모델로 구성된, 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법.
제 14 항에 있어서,
상기 다른 크기의 입자들은 서로 엇갈리게 배열된, 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법.
제 14 항에 있어서,
상기 입자들은 30 μm 내지 55 μm 범위의 반경을 가지는, 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법.
제 14 항에 있어서,
상기 다공성 매질 모델은, 0.4 mm 내지 0.5 mm 범위의 균열높이를 가지고, 13.3% 내지 21.8% 범위의 공극률을 가지는, 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법.
제 14 항에 있어서,
상기 입구 유속은 1 μm/s에서 0.1 m/s 범위인, 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법.
제 1 항에 있어서,
상기 기하학적 변수는 균열높이, 공극 부피, 고상표면적, 비표면적, 공극률, 코즈니 수력 직경, 및 총 격자수 중 적어도 어느 하나를 포함하는, 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법.
제 1 항에 있어서,
상기 입자들은 매끈한 표면과 등온성을 가지는, 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법.
제 1 항에 있어서,
상기 다공성 매질 모델은, 상기 균열높이가 증가됨에 따라 공극률이 증가되는, 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법.
제 1 항에 있어서,
상기 유체는 물을 포함하는, 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법.
제 1 항에 있어서,
상기 공극규모 시뮬레이션을 수행하는 단계에서, 총 격자수는 6200만개 내지 1억1300만개 범위인, 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법.
제 1 항에 있어서,
상기 공극규모 시뮬레이션을 수행하는 단계에서, 균질하게 분포된 10 만개 내지 25 만개의 유선 점들을 기반하여 수행함으로써 상기 유체의 유선분포를 도출하는, 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법.
제 24 항에 있어서,
상기 유체의 입구 유속이 증가함에 따라, 상기 유체의 상기 유선분포는 다르시 유동 영역으로부터 비다르시 유동 영역으로 변화하는, 다공성 매질의 투과도 변화 산출방법.