KR20230162208A - 겉보기 유효 직경 기반 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법 - Google Patents

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Abstract

본 발명은, 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도를 정밀하게 예측할 수 있는 이용한 겉보기 유효 직경 기반 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법을 제공한다. 상기 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법은, 다공성 매질을 제공하는 단계; 상기 다공성 매질의 복수의 지점에서 제1 공극률과 제1 투과도를 각각 취득하는 단계; 상기 제1 공극률 및 상기 제1 투과도를 이용하여 제1 겉보기 유효 직경을 산출하는 단계; 상기 제1 공극률과 상기 제1 겉보기 유효 직경의 제1 상관 관계, 상기 제1 투과도와 상기 제1 겉보기 유효 직경의 제2 상관 관계, 및 상기 제1 공극률과 상기 제1 투과도의 제3 상관관계를 수립하는 단계; 및 상기 상관 관계들을 이용하여, 상기 다공성 매질의 기하학적 변화에 의하여 변화된 제2 공극률에 대한 제2 투과도를 예측하는 단계;를 포함한다.

Description

겉보기 유효 직경 기반 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법{Method of estimating permeability of porous material under geometric condition changes using suferficial effective diameter}
본 발명의 기술적 사상은 다공성 매질 내의 유동 해석방법에 관한 것으로서, 더욱 상세하게는, 겉보기 유효 직경을 기반으로 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법에 관한 것이다.
본 발명은 산업통상자원부의 재원으로 한국에너지기술평가원(KETEP)의 지원을 받아 수행한 에너지자원융합원천기술개발사업 일련번호 제 20132510100060호 및 제 20172510102150호의 연구과제를 참조한다.
일반적인 석유/가스전의 개발과 생산과정에서 마찰유동해석 및 투과도의 산정은 석유와 가스의 생산량 및 더 나아가 매장량에 가장 직접적인 영향을 미치는 핵심인자이다. 특히, 최근 미국과 캐나다를 중심으로 한 셰일가스나 치밀오일의 개발은 생산초기 2~3년 내의 기하학적 변화가 커서, 이에 따른 투과도 변화 및 생산성 변화가 매우 급격하고, 불확실성이 커서 궁극적인 석유가스 개발 및 생산 사업의 경제성을 좌우하게 된다.
투과도는 공극률과의 상관관계, 예를 들어 거듭제곱형 방정식 기반의 상관관계로 가정되어 예측되는 것이 일반적이다. 그러나, 이러한 거듭제곱형 방정식은 태생적으로, 낮은 공극률 범위와 복잡한 공극 구조를 갖는 실제의 저류암석에서는 급격한 변화 기울기를 가지는 특성이 있으므로, 실제 석유가스전에 적용되는 경우 신뢰도 및 정확도가 크게 저하된다. 이와 같이, 동일한 유정에서 생산에 따른 신뢰도 제약은 물론, 동일 광구 또는 지층 주변의 다른 생산 유정에 대한 확장에도 적절한 응용(보간) 방법이 제시되기 어려워 실제 석유가스전 개발에서의 신뢰성 있는 응용에도 한계가 있는 것이 사실이다.
본 발명의 기술적 사상이 이루고자 하는 기술적 과제는 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도를 정밀하게 예측할 수 있는 겉보기 유효 직경 기반 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법을 제공하는 것이다.
그러나 이러한 과제는 예시적인 것으로, 본 발명의 기술적 사상은 이에 한정되는 것은 아니다.
상기 기술적 과제를 달성하기 위한 본 발명의 기술적 사상에 따른, 겉보기 유효 직경 기반 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법은, 다공성 매질을 제공하는 단계; 상기 다공성 매질의 복수의 지점에서 제1 공극률과 제1 투과도를 각각 취득하는 단계; 상기 제1 공극률 및 상기 제1 투과도를 이용하여 제1 겉보기 유효 직경을 산출하는 단계; 상기 제1 공극률과 상기 제1 겉보기 유효 직경의 제1 상관 관계, 상기 제1 투과도와 상기 제1 겉보기 유효 직경의 제2 상관 관계, 및 상기 제1 공극률과 상기 제1 투과도의 제3 상관관계를 수립하는 단계; 및 상기 상관 관계들을 이용하여, 상기 다공성 매질의 기하학적 변화에 의하여 변화된 제2 공극률에 대한 제2 투과도를 예측하는 단계;를 포함한다.
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 제2 투과도를 예측하는 단계는, 상기 제1 상관관계를 이용하여, 상기 제2 공극률에 대한 제2 겉보기 유효 직경을 산출하는 단계; 및 상기 제2 상관관계를 이용하여, 상기 제2 겉보기 유효 직경에 대한 상기 제2 투과도를 산출하는 단계;를 포함할 수 있다.
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 제1 공극률, 상기 제1 투과도, 및 상기 제1 겉보기 유효 직경은 하기의 식을 만족할 수 있다.
Figure pat00001
(여기에서, k는 투과도, φ는 공극률, De는 유효 직경, T는 수력 비틀림도, 는 겉보기 유효 직경임)
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 제1 겉보기 유효 직경은 하기의 식을 만족할 수 있다.
Figure pat00003
(여기에서, 는 겉보기 유효 직경, De는 유효 직경, T는 수력 비틀림도, Dh는 수력 직경, 및 ξ는 마찰률임)
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 유효 직경은 하기의 식을 만족할 수 있다.
Figure pat00005
(여기에서, De는 유효 직경, Dh는 수력 직경, T는 수력 비틀림도, ξ는 마찰률임)
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 마찰률은 하기의 식을 만족할 수 있다.
Figure pat00006
(여기에서, fv는 v에 대한 마찰 인자, Rev는 v에 대한 레이놀드 수, fe는 ve에 대한 마찰 인자, Ree는 ve에 대한 레이놀드 수, v는 내부 유속, ve는 유효 내부 유속, 임)
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 fe 및 상기 Ree는 하기의 식을 만족할 수 있다.
Figure pat00007
(여기에서, De는 유효 직경, ρ는 유체 밀도, v는 내부 유속, △P는 압력 차이, Le은 실제 공극 유동 길이, μ는 유체 점도임)
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 내부 유속과 상기 유효 내부 유속은 하기의 식을 만족할 수 있다.
Figure pat00008
(여기에서, v는 내부 유속, Dh는 수력 직경, μ는 유체 점도, fv는 v에 대한 마찰 인자, Rev는 v에 대한 레이놀드 수, △P는 압력 차이, L은 다공성 매질 길이, ve는 유효 내부 유속, De는 유효 직경, fe는 ve에 대한 마찰 인자, Ree는 ve에 대한 레이놀드 수, Le은 실제 공극 유동 길이임)
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 제1 투과도는 하기의 식을 만족할 수 있다.
Figure pat00009
(여기에서, k는 투과도, Dh는 수력 직경, φ는 공극률, T는 수력 비틀림도, v는 내부 유속, fv는 v에 대한 마찰 인자, Rev는 v에 대한 레이놀드 수, 및 ξ는 마찰률임)
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 제1 공극률에 대한 상기 제1 겉보기 유효 직경의 상기 제1 상관 관계는 2차함수의 상관관계를 가질 수 있다.
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 제1 투과도에 대한 상기 제1 겉보기 유효 직경의 상기 제2 상관 관계는 멱함수의 상관관계를 가지고, 상기 제1 공극률에 대한 상기 제1 투과도의 상기 제3 상관 관계는 멱함수의 상관관계를 가질 수 있다.
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 제1 공극률과 제1 투과도를 측정하는 단계는, 하기의 식들을 만족하는 조건 하에서 이루어질 수 있다.
Figure pat00010
(여기에서, △Pφ는 압력 차이, vφ는 내부 유속, CdP 는 압력 차이 상수, Cv는 내부 유속 상수임)
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 제1 공극률은 13.4% 내지 47.4% 범위를 가지고, 상기 제1 투과도는 0.0073 Darcy 내지 18.3 Darcy 범위를 가질 수 있다.
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 제1 공극률과 상기 제1 겉보기 유효 직경의 제1 상관 관계에 대하여 2차 함수 보간법을 수행하여, 상기 다공성 매질의 패밀리 매질에 대한 공극률과 겉보기 유효직경의 패밀리 매질 상관 관계를 취득할 수 있다.
상기 기술적 과제를 달성하기 위한 본 발명의 기술적 사상에 따른, 겉보기 유효 직경 기반 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법은, 다공성 매질을 제공하는 단계; 상기 다공성 매질에 대한, 입자들의 배열에 의하여 다공성을 갖는, 다공성 매질 모델을 제공하는 단계; 상기 다공성 매질 모델에 대한 공극규모 시뮬레이션을 수행하여, 공극률, 투과도 및 겉보기 유효 직경을 산출하는 단계; 상기 공극률과 상기 겉보기 유효 직경의 제4 상관관계, 상기 투과도와 상기 겉보기 유효 직경의 제5 상관관계, 및 상기 공극률과 상기 투과도의 제6 상관관계를 수립하는 단계; 및 예측 대상 다공성 매질의 공극률로부터 상기 제4 상관관계를 이용하여 상기 겉보기 유효 직경을 산출하고, 상기 예측 대상 다공성 매질의 상기 겉보기 유효 직경으로부터 상기 제5 상관관계를 이용하여 상기 예측 대상 다공성 매질의 투과도를 예측하는 단계;를 포함한다.
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 공극규모 시뮬레이션이 각각 수행하는 단계는, 상기 다공성 매질 모델의 제1 방향 및 상기 제1 방향에 수직인 제2 방향에 대하여 상기 공극규모 시뮬레이션을 각각 수행하여, 상기 제1 방향 및 상기 제2 방향에 대하여, 상기 공극률, 상기 투과도, 및 상기 겉보기 유효 직경을 각각 산출하고, 상기 제4 상관관계를 수립하는 단계는, 상기 제1 방향 및 상기 제2 방향에 대한 상기 제4 상관관계를 각각 수립하고, 상기 제5 상관관계를 수립하는 단계는, 상기 제1 방향 및 상기 제2 방향에 대한 상기 제5 상관관계를 각각 수립하고, 상기 제6 수립하는 단계는 상기 제1 방향 및 상기 제2 방향에 대한 상기 제6 상관관계를 각각 수립할 수 있다.
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 제1 방향에 대한 상기 제4 상관관계와 상기 제2 방향에 대한 상기 제4 상관관계의 평균에 해당되는 제4 기준 상관관계를 수립하고, 상기 제1 방향에 대한 상기 제5 상관관계와 상기 제2 방향에 대한 상기 제5 상관관계의 평균에 해당되는 제5 기준 상관관계를 수립하고, 상기 제1 방향에 대한 상기 제6 상관관계와 상기 제2 방향에 대한 상기 제6 상관관계의 평균에 해당되는 제6 기준 상관관계를 수립할 수 있다.
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 제4 기준 상관관계에 대하여 2차 함수 보간법을 수행하여, 상기 제4 상관관계를 상기 공극률의 변화에 대하여 확장하여 복수로 더 수립할 수 있다.
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 다공성 매질 모델은, 동일한 크기의 입자들이 배열된 단순 다공성 매질 모델로 구성되고, 상기 입자들은 45 μm 내지 55 μm 범위의 반경을 가지고, 상기 단순 다공성 매질 모델은, 0.4 mm 내지 0.5 mm 범위의 상기 균열높이를 가지고, 36% 내지 47.5% 범위의 공극률을 가질 수 있다.
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 다공성 매질 모델은, 다른 크기의 입자들이 배열된 복잡 다공성 매질 모델로 구성되고, 상기 다른 크기의 입자들은 서로 엇갈리게 배열되고, 상기 입자들은 30 μm 내지 55 μm 범위의 반경을 가지고, 상기 복잡 다공성 매질 모델은, 0.4 mm 내지 0.5 mm 범위의 균열높이를 가지고, 13.3% 내지 22.6% 범위의 공극률을 가질 수 있다.
본 발명에 따른 겉보기 유효 직경 기반 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법에서는, 다공성 매질의 유효직경(effective diameter of porous media)를 새롭게 정의하고, 종래의 코즈니의 수력 비틀림도(hydraulic tortuosity) 개념을 복합하여, 다공성 매질의 등가유동모델을 정의하였다. 이를 통해, 내부마찰유동해석의 가장 핵심적인 특성변수인 다르시 마찰계수와 레이놀드 수 및 마찰상수 등 다공질 마찰유동 특성을 엄밀하게 결정할 수 있다. 따라서 이러한 등가유동모델에 기반한 특성변수는 향후 다양하고 실용적인 관련 해석 및 엔지니어링 분야에 활용될 수 있다.
더불어, 본 발명은 과거 투과도가 일반적으로 공극률의 거듭제곱함수로 상관되어 해석되는 것을 개량하여, 투과도를 겉보기 유효 직경(Superficial Effective Diameter)에 기반하여 정의하고, 상기 겉보기 유효 직경은 공극률의 이차함수로 정의될 수 있다는 새로운 이론을 제시함으로써, 투과도 변화해석의 신뢰성을 강화하고 확장성을 개선할 수 있는 기법을 제시하였다. 특히, 기하학적 변화와 압력변화와 내부유속(interstitial flow velocity)의 상관관계에 대한 근사적 관계식을 도출함으로써 향후 관련 현장의 개발 및 사업의 진행에 있어서 경제성 및 안정성 확보에 상당한 역할이 기대된다.
본 발명에서 제시된 유효직경 기반의 등가유동모델과 이를 확장한 겉보기 직경기반 관계식은 저류유동에 대한 완전히 엄밀한 이론적 상관관계를 제시하였고, 단순한 평행이동 방법에 기반한 겉보기 직경의 보간방법을 제시하여 그 활용성이 한층 강화되었다. 특히, 기하학적 변화와 압력변화와 내부유속(interstitial flow velocity)의 상관관계에 대한 근사적 관계식을 제시하였다.
이에 따라, 본 발명의 이론을 실제 유가스전(특히 셰일/치밀지층)의 개발/생산에 적용할 경우, 보다 신뢰성과 확장성이 높은 결과를 기대할 수 있다. 특히 석유/가스의 매장량 산정, 최적 유정개발 방안 및 적정한 생산설비 투자 및 운영비 산정이 가능하여 관련 사업의 경제성 제고와 기술적 위상 강화에 기여할 수 있을 것으로 기대된다.
상술한 본 발명의 효과들은 예시적으로 기재되었고, 이러한 효과들에 의해 본 발명의 범위가 한정되는 것은 아니다.
도 1은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법에서, 원기둥형 매질에 기반하는 수력 변수 및 유효 변수들을 나타내는 개략도이다.
도 2는 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법에서, 공극규모 시뮬레이션을 위한 단순 다공성 매질 모델을 나타낸다.
도 3은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법에서, 공극규모 시뮬레이션을 위한 복잡 다공성 매질 모델을 나타낸다.
도 4는 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법에서, 상기 단순 다공성 매질 모델의 공극규모 시뮬레이션을 수행하기 위한 주요 기하학적 형상 정보를 나타내는 표이다.
도 5는 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법에서, 평판 모델의 주요 공극규모 시뮬레이션 결과가 나타난 표이다.
도 6은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법에서, 상기 복잡 다공성 매질 모델의 공극규모 시뮬레이션을 수행하기 위한 주요 기하학적 형상 정보를 나타내는 표이다.
도 7 및 도 8은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법에서, 단순 다공성 매질 모델에 대한 공극규모 시뮬레이션 결과로부터 도출된 유선 분포를 나타낸다.
도 9 및 도 10은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법에서, 복잡 다공성 매질 모델에 대한 공극규모 시뮬레이션 결과로부터 도출된 유선 분포를 나타낸다.
도 11 내지 도 13은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법에서, 다공성 매질 모델에 대한 공극규모 시뮬레이션 결과로부터 도출된 도출된 유선 분포를 확대하여 나타낸다.
도 14는 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법에서, 공극규모 시뮬레이션 결과로부터 도출된 변수들을 나타내는 표이다.
도 15 내지 도 27은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법에서, 공극규모 시뮬레이션으로부터 얻은 변수들의 상관관계들을 나타내는 그래프들이다.
도 28은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법에서, 내부 유속에 대한 압력 차이 상수와 내부 유속 상수를 나타내는 표이다.
도 29 및 도 30은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법을 도시하는 흐름도이다.
이하, 첨부된 도면을 참조하여 본 발명의 바람직한 실시예를 상세히 설명하기로 한다. 본 발명의 실시예들은 당해 기술 분야에서 통상의 지식을 가진 자에게 본 발명의 기술적 사상을 더욱 완전하게 설명하기 위하여 제공되는 것이며, 하기 실시예는 여러 가지 다른 형태로 변형될 수 있으며, 본 발명의 기술적 사상의 범위가 하기 실시예에 한정되는 것은 아니다. 오히려, 이들 실시예는 본 개시를 더욱 충실하고 완전하게 하고, 당업자에게 본 발명의 기술적 사상을 완전하게 전달하기 위하여 제공되는 것이다. 본 명세서에서 동일한 부호는 시종 동일한 요소를 의미한다. 나아가, 도면에서의 다양한 요소와 영역은 개략적으로 그려진 것이다. 따라서, 본 발명의 기술적 사상은 첨부한 도면에 그려진 상대적인 크기나 간격에 의해 제한되지 않는다.
환경친화적 운용과 경제적으로 유용한 산업적 응용들, 예를 들어 지하수, 석유, 및 가스 생산 및 정화필터들, 세라믹 멤브레인들, 및 금속 폼(foam) 물질들의 개발과 같은 응용들에 대하여, 다공성 매질과 관련된 마찰 유동 특성의 중요성이 증가되고 있다. 여기에서, 투과도 특성은 탄화수소 회수, 탄소 포집 및 지질학적 격리, 핵폐기물 처리, 탄화물 저장 촉진, 지하수 오염 복원 등과 관련하여 더 환경친화적인 운용과 경제적으로 유용함을 보증하는 중요한 요소이다.
셰일 가스 및 치밀 오일(tight oil) 형성에서, 생산 유정들과 주입 유정들은 형성 응력의 변화에 기여할 수 있는 유량 변화들 및 공극 부피(구멍) 변화를 고려하여 설계되어야 한다. 왜냐하면, 각각의 형성물에서 유체를 생산함에 따라 구멍 또는 투과도가 계속하여 변화되기 때문이다. 탄소포집 보관 및 핵폐기물 처리에 있어서, 형성 응력이 변화됨에 따라 투과도는 증가되고, 이와 같이 증가된 투과도는 각각의 형성물에서 지하수 또는 유체를 통하여 이산화탄소 또는 방사능 물질들의 운동을 유도할 수 있다. 따라서, 투과도 및 투과도의 변화에 대한 평가 또는 예측은 유체 주입 또는 생산에 의하여 야기되는 미래의 형성 응력의 변화를 파악하기에 중요한 요소이다.
원칙적으로, 투과도(k)는 측정된 압력 차이(△P)와 표면상의(apparent) 유속(u)에 기반한 다르시 방정식을 통하여 결정되고, 상기 다르시 방정식은 수학식 1에 나타나 있다.
Figure pat00011
상기 수학식 1에서, u는 유속, k는 투과도, μ는 유체 점도, △P는 압력 차이, L은 다공성 매질 길이, Dh는 수력 직경, fu 는 u에 대한 마찰 인자, Ru 는 u에 대한 레이놀드 수, ρ는 유체 밀도이다.
다른 방식으로서, 하기의 수학식 2에 나타난 바와 같이, 수력 직경과 수력 비틀림도를 포함하는 기하학적 변수들에 기반하는 코즈니-카르만 방정식을 적용할 수 있다. 여기에서, 수력 직경(Dh)은 Dh = 4φ/Ss 의 관계식으로 나타낼 수 있다. 수력 비틀림도(T)는 실제 공극 유동경로(Le)에 대한 다공성 매질의 길이(L)의 비율로 정의되고, 따라서 T = L/Le 의 관계식으로 나타낼 수 있다.
Figure pat00012
상기 수학식 2에서, u는 유속, φ는 공극률, μ는 유체 점도, Dh는 수력 직경, CK는 코즈니 상수, △P는 압력 차이, L은 다공성 매질 길이, Le은 실제 공극 유동 길이, T는 수력 비틀림도, v는 내부 유속, kC는 카르만 투과도, SS는 비표면적, Dm은 입자 직경, CS는 단면의 형상 상수, Rh는 수력 직경이다.
그러나 실제적으로 수력 비틀림도(T)는 신뢰성있는 방식으로 정확히 결정할 수 없다. 왜냐하면, 상기 수력 비틀림도가 실제로는 측정불가한 평균 내부(interstitial) 유속(v)으로부터 산출하거나 또는 매우 복잡하고 눈에 보이지 않는 미세 유동경로들로부터 산출하기 때문이다. 이러한 문제를 해결하기 위하여, 전기전도도, 확산율, 및 수력 비틀림도에 대한 공극률의 함수들로서 상관관계들이 다양하게 제안되었다. 또한, 수력 비틀림도 데이터는 유효 전도도, 음파전달, 및 투과도의 실험측정결과로 평가하였다. 입자 형상, 정렬, 균일성, 및 경로 구조와 같은 요소들에 의존하여, 수력 비틀림도 수치들은 1.7 내지 4 범위로 보고된 바 있다. 매우 작은 대표적 요소 부피를 이용한 스토크(Stokes) 유동 분석과 인장(tensorial) 수력 비틀림도에 기반한 새로운 시도들에 의하여, 수력 비틀림도는 공극률의 함수이면서 또한 공극의 기하학적 구조의 함수임을 알려졌다. 그러나, 이러한 시도들은 수 백 미터에서 수 킬로미터에 이르는 범위의 길이를 가지는 이종 및 복잡한 공극 구조를 가지는 실제 지하 형성물들에 대해 실제로 응용하는 경우에는, 충분히 정밀하지 않고 범용적이지 않은 한계가 있다.
또한, 투과도 및 투과도 변화들을 분석하기 위하여, 코즈니 상수(CK)가 제공될 필요가 있다. 그러나, 상기 코즈니 상수를 결정하는 것은 용이하지 않으며, 지난 연구들에서 광범위한 문제점이 제기되고 있다. 카르만(Carman)의 연구에 따르면, 균일한 구형체를 가지는 충전층들(packed bed)에서는 상기 코즈니 상수가 4.8 ± 0.3 이었다. 에르곤(Ergun)의 연구에 따르면, 블레이크-코즈니(Blake-Kozeny) 상수가 150 의 값을 가진다고 제안되었다. 주(Xu)와 유(Yu)의 연구에 따르면, 솔리드 바들을 가지는 균일한 다공성 매질에서 투과도를 결정하기 위한 분석적 표현을 제안하였다. 또한, 공극률에 따른 코즈니 상수의 변화에 대하여, 헤지스(Heijs)와 로우(Lowe)는 진흙과 무질서한 배열의 구형체들에 대하여 연구하였고, 감라트(Gamrat)는 일직선으로 스태거링(staggering) 정렬을 가지는 2차원 원기둥에 대하여 연구하였고, 카리미안(Karimian)과 스트라트만(Straatman)은 금속 폼(foam) 구조에 대하여 연구하였고, 리우(Liu)와 황(Hwang)은 섬유질 다공성 매질에 대하여 연구하였다. 일부 연구자들은 코즈니 상수에 고정된 수치를 사용하는 것을 제안하였고, 다른 연구자들은 코즈니 상수와 공극률 사이의 관계를 정립하였다.
그러나, 상기 코즈니 상수는 수력 비틀림도와 직접적으로 관련되므로, 이러한 방법들은 실제 응용에서는 충분히 정밀하지 않다. 또한, 공극률, 쓰로트(throat) 크기에 대한 공극의 비율, 기하학적 구조, 크기, 입자의 균일성, 공극 구조의 주기성과 등방성 등과 같은 다양한 파라미터들은 수력 비틀림도 수치를 결정함에 있어서 중요한 요소이다.
상술한 바와 같이, 코즈니-카르만 방정식은 투과도 특성에 대하여 유용한 모델들 중 하나이다. 그러나, 코즈니 상수(CK)와 수력 비틀림도(T) 등과 같은 측정불가한 변수들 때문에, 상기 코즈니-카르만 방정식의 적용은 한계가 있다.
반면, 형성 응력에서의 변화들에 기인하고, 다양한 공극률을 기반하여, 투과도(k)는 공극률의 멱함수(φ)로 나타낼 수 있다. 예를 들어 k= αφβ 의 식으로 표현될 수 있고, 여기에서 α와 β는 상수이다. 이러한 멱함수 상관관계는 실제 응용들에서 광범위하게 사용될 수 있다. 투과도 변화를 분석하는 경우에, 공극률이 사용할 수 있고 정의될 수 있는 변수이므로, 상기 멱함수 상관관계가 실제 응용에 적용될 수 있다.
그러나, 실제로는, 이러한 관계는 실험적 물질들과 같이 매우 특별한 경우들에 한정되고, 실제 복잡한 형성물들에 대하여 신뢰성있는 결과들을 보증하지 못할 수 있다. 투과도 변화는 각각의 현장 운용 계획에서 주요하게 고려하여야 할 요소이고, 현장의 전체 수명에 대하여 최적으로 유용한 설계를 보증하는 주된 요소이다. 따라서, 결정불가능한 코즈니 상수 및 수력 비틀림도에 의하여 야기되는 상술한 한계들을 극복하기 위하여, 결정가능한 변수들을 사용하여 정의되는 더 범용적이고 정밀한 상관관계들이 연구되어야 하고, 제안될 필요가 있다.
따라서, 본 발명에 따르면, 투과도 변화에 대한 분석을 수행하기 위하여 실제로 결정가능한 변수들만을 포함하는 코즈니-카르만 방정식을 제안한다. 여기에서, 측정불가한 변수들을 치환하면서 비원형 도관들의 통상적인 점성유동 이론을 적용하여, 다공성 매질의 유효 비틀림도, 유효 직경 및 겉보기 직경을 정의하였다. 이어서, 측정불가한 변수들을 유효 변수들로 대체하여 코즈니-카르만 방정식을 개선하였다. 투과도 변화에 관련된 주요한 기하학적 변수들의 상관관계들을 공극규모 시뮬레이션(pore-scale simulation, PSS) 방법을 이용하여 분석하였다. 상기 PSS는 13.4% 내지 47.4%의 넓은 범위의 공극률과 0.0073 Darcy 내지 18.3 Darcy의 투과도를 가지는 20 종류의 다공성 매질 모델들의 두 가지 형태를 기반으로 하였다. 최종적으로, 투과도 및 공극률 변화들에 대한 겉보기 직경의 상관관계들을 제안하였고, 투과도 변화에 대한 분석을 위하여 더 일반적으로 적용될 수 있다.
여기에서, 겉보기 직경의 주요한 함수적 관점이 공극률 변화들과 함께 발견되었고, 예를 들어 2차함수 상관관계들, 각각의 유동경로에 대한 평행 이동, 및 낮은 공극률 범위들에서의 덜 민감한 변화들이 있다. 결과적으로, 본 발명은 겉보기 직경과 공극률 변화들의 2차함수 상관관계들을 이용하여 투과도 변화들을 더 정확하고 일반적으로 평가하는 방법을 제공할 수 있다.
이하에서는 유효 비틀림도 및 겉보기 유효 직경을 설명하기로 한다.
코즈니 방정식은 수학식 3a 및 수학식 3b에 나타나 있다.
Figure pat00013
상기 수학식 3에서, vs는 겉보기 유속, u는 유속, φ는 공극률, Dh는 수력 직경, μ는 유체 점도, CK는 코즈니 상수, △P는 압력 차이, L은 다공성 매질 길이, Le은 실제 공극 유동 길이, v는 내부 유속, T는 수력 비틀림도, kK 는 코즈니 투과도, SS는 비표면적, fv는 v에 대한 마찰 인자, Rev는 v에 대한 레이놀드 수, ρ는 유체 밀도, ξ는 마찰률, fu는 u에 대한 마찰 인자, Reu는 u에 대한 레이놀드 수, k는 투과도이다.
상기 수학식3은 그래뉼라 베드(granular bed)가 평행하고 균일한 채널들과 동일한 물질로 가정한 후에, 블레이크(Blake)에 의하여 수정된 다르시 방정식의 압력 기울기를 수력 비틀림도 개념으로 치환한 것이다. 여기에서, 균일하지만 비원형 단면들의 채널들을 통한 유선(streamline) 거동의 일반 법칙을 기반으로, 코즈니 상수는 상수로서 정의되었다. 이것은 마찰률(friction ratio)(ξ) 값에 두 배로 대응되고, 원기둥에 대한 비원형 단면의 층류(laminar) 마찰상수(fvRev) (fvRev = 64)의 비율로서, 정상(normal) 파이프들의 점성유동 동역학에 사용된다. 즉, 마찰률은 ξ = fvRev/64 로 정의되고, 코즈니 상수(CK=2ξ)의 절반이다. 따라서, 수학식 3a에서의 코즈니 내부 유속의 관계는 수학식 3c와 같이 층류 마찰상수(fvRev)의 함수로 변형시킬 수 있다. 이어서, 수학식 3c의 모든 내부 유속 항에서 코즈니 수력 비틀림도 정의를 일관되게 치환하여 수학식 3d를 얻을 수 있다. 이는 수학식 1의 다르시 방정식과 정확하게 일치한다.
이어서, 카르만은 수력 비틀림도 정의를 수학식 3a의 겉보기 유속 항(vs)에 추가로 적용한 수학식 2의 코즈니-카르만 방정식을 제안하였다. 이어서, 현재까지 다공성 유동 분석의 기초 방정식으로서 적용하였다.
그럼에도 불구하고, 수학식 3에서는 코즈니 상수(CK) 및 수력 비틀림도(T)와 같은 두 개의 결정불가능한 변수들이 존재한다. 또한, 코즈니 수력 비틀림도가 부적절하게 치환된 것으로 보이고, 그 이유는 카르만은 (vs) ≡ u/(φT)와 같이, 겉보기 유속에서 코즈니 수력 비틀림도 정의를 치환하였기 때문이다. 이것은 수학식 2에서 u=φvT2 과 같이 비물리적 관계를 제공하게 된다. 유속은 유동경로 길이에 비례하고, 길이 제곱에 비례하지 않는다. 즉, vs/v ≠ L2/Le 2 이다. 여기에서, 내부 유속 (및 압력 차이)의 추가적인 증가는 코즈니-카르만 방정식에서 수력 비틀림도 제곱 항을 대신하여 코즈니 상수(마찰률)를 적용하여 고려될 수 있다. 또한, 코즈니 수력 비틀림도 정의는 유속 및 내부 유속 사이의 상관 관계이고, 즉 v=u/(φT)이고, 겉보기 속도가 아니고, 즉 vs/v =u/φ ≠ u/(φT) 이다.
따라서, 본 발명에서는 실제 유동경로 길이(Le)의 함수로서, 코즈니 방정식에서 내부 유속을 재정의하였다. 결과적으로, 다공성 매질의 유효 직경(De)은 수력 비틀림도(T) 및 마찰률(ξ)의 함수로서 정의되고, 수학식 4a에 나타난 바와 같이 De = Dh/(T ξ)0.5 로 정의된다. 이는 다양한 공극 경로 때문에 정상 도관들과는 약간 다르다.
Figure pat00014
상기 수학식 4에서, De는 유효 직경, Dh는 수력 직경, T는 수력 비틀림도, ξ는 마찰률, ve는 유효 내부 유속, μ는 유체 점도, fe는 ve에 대한 마찰 인자, Ree는 ve에 대한 레이놀드 수, △P는 압력 차이, Le은 실제 공극 유동 길이, v는 내부 유속, fv는 v에 대한 마찰 인자, Rev는 v에 대한 레이놀드 수, L은 다공성 매질 길이, ρ는 유체 밀도, k는 투과도, φ는 공극률, 는 겉보기 유효 직경, u는 유속이다.
통상적인 점성유동 분석에서, 유효 직경(De)은 동등한 원기둥의 층류 마찰상수(feRee=64)를 가지는 비원형 파이프의 보정된 수력 직경으로 정의된다. 보정된 레이놀드 수(Ree)는 주어진 압력 차이(ΔP)에 대하여 유효 직경(De) 및 내부 유속(v)을 기반으로 정의된다. 이러한 일반적인 개념 외에도, 각각의 방향에서 매우 다른 공극 측면들과 구불구불한 경로 구조에 기인한 유동 방향들에서의 간단한 변화들을 가지는 매우 다른 유동 측면을 논리적으로 고려하기 위하여, 수력 비틀림도 개념을 수학식 4a에 적용하였다. 이어서, 투과도는 유효 직경을 기반으로 수학식 4b에 다시 정의되었고, 수학식 2b의 카르만 투과도 정의와 동일하지만, 다만 수력 직경이 유효 직경으로 치환되었다. 여기에서 원기둥의 경우 CK=2 이다.
여기에서, 겉보기 유효 직경()은 원기둥형 마찰상수를 가지고 매질 길이(L)를 따라 동일한 압력 차이를 가지는 다른 유형의 유효 직경에 의하여, 겉보기 유속(vs≠v)를 기반하여 추가적으로 정의되었다. 그럼에도 불구하고, 결정불가능한 내부 유속에 의하여, 유효 직경은 미지의 마찰률(ξ)의 함수로 남는다. 여기에서, 본 발명에서는 유효 직경을 결정가능한 수력 직경(Dh)의 함수로서 정의하고자 한다.
이하에서는, 공극률 및 수력 직경 등과 같이 결정가능한 변수들과 관련되는 유효 비틀림도(Te *)를 정의한다. 따라서, "특수 수력 원기둥 모델(special hydraulic cylinder model)"은 윗첨자 "*"로 표시하기로 한다. 여기에서, 유효 직경은 수력 직경과 동일하고, 동일한 압력 차이로 가정하기로 한다. 즉, ΔP* = ΔP에서 De * = Dh 이다. 따라서, Le * ≠ Le 이고, ve * ≠ ve 이며, 그 이유는 feRee ≡ 64 이기 때문이다.
여기에서, 특수 수력 원기둥 모델의 내부 유속(ve *)은 원래의(original) 다공성 매질을 통하여 지나는 내부 유속(v)과 동일하지 않다. 왜냐하면, 다공성 매질의 실제 공극 길이는 똑바른 원기둥이 아니기 때문이다. 따라서, 상기 특수 모델의 유동경로 길이(Le *)는 원래의 다공성 매질의 유동경로 길이(Le)와는 다를 수 있다. 즉, Te * = L/Le * = 1/ξ* ≠ T 이다.
결과적으로, 수학식 5에 나타난 바와 같이, 동일한 압력 차이 조건에서, 즉 ΔP* = ΔP 에서, 특수 수력 원기둥 모델을 통하여 지나는 수력 내부 유속(ve * ≠ ve)을 기반하여, 유효 비틀림도가 정의될 수 있다.
Figure pat00017
상기 수학식 5에서, ve *는 특수 모델의 수력 내부 유속, De는 유효 직경, μ는 유체 점도, fe 는 ve *에 대한 마찰 인자, Re 는 ve *에 대한 레이놀드 수, △P는 압력 차이, Le *은 특수 모델의 유동경로 길이, Dh는 수력 직경, vs는 겉보기 유속, 는 겉보기 유효 직경, u는 유속, φ는 공극률, T는 수력 비틀림도, Te *은 유효 비틀림도, k는 투과도, SS는 비표면적, ξ는 마찰률, ξ*은 특수 마찰률이다.
도 1은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법에서, 원기둥형 매질에 기반하는 수력 변수 및 유효 변수들을 나타내는 개략도이다.
도 1을 참조하면, 다공성 매질에서의 공극의 직경, 길이, 유속에 대하여 도시되어 있다. 상기 다공성 매질에 대하여, 직경(D)에 대하여 다공성 매질 길이(L) 및 표면상의 유속(u)이 나타나있다. 수력 직경(hydraulic diameter)(Dh)에 대하여 특수 원기둥 모델의 유동경로 길이(Le *) 및 특수 원기둥 모델의 수력 유속(hydraulic velocity)(ve *)이 나타나있다. 유효 직경(true effective diameter) (De)에 대하여 Le은 실제 공극 유동 길이(Le) 및 내부 유속(interstitial velocity)(v)이 나타나있다. 겉보기 유효 직경(superficial effective diameter)()에 대하여 다공성 매질 길이(L) 및 겉보기 유속(superficial velocity)(vs)이 나타나있다.
도 1에 도시된 바와 같이, 원래의 다공성 매질의 변수들과 각각의 유동 모델에서 주요한 변수들을 비교하였다. 하기의 수학식 5a에 나타난 바와 같이, 각각의 유속(ve *, vs)은 동일한 표면상의 유속(u)에 대한 각각의 정의들에 관련되고, 수력 및 유효 변수들 사이의 상관관계들은 수학식 5에 따라 얻을 수 있다. 특히, 수학식 4에 정의된 유효 직경(De) 및 겉보기 유효 직경()은 유효 비틀림도를 사용한 수력 직경과 관련된다. 또한, 수학식 4b의 투과도(k)는 수학식 5b에 나타난 바와 같이 유효 비틀림도(Te *)의 함수로서 형성되고, 이는 수학식 2b에서 카르만 투과도(kC)와 유사한 형태를 나타낸다.
수학식 2b의 카르만 투과도(kC = Dh 2φT2/16CK)와 수학식 4b의 투과도(k = De 2φT2/32)를 비교하면, 수학식 4b의 투과도(k)는 수력 직경(Dh)이 유효 직경(De)으로 치환된 유일한 상이점이 있다. 또한, 수학식 2b의 카르만 투과도(kC = Dh 2φT2/16CK)와 수학식 5b의 투과도(kC = Dh 2φTe *2/32)를 비교하면, 수력 비틀림도(T)가 유효 비틀림도(Te *)로 치환된 유일한 상이점이 있다.
여기에서, 특수 마찰률(ξ*)은 균일한 수력 모델들 내에서만 경로 길이(Le *)에 정확하게 비례한다. 여기에서 균일한 수력 모델들은 특수 수력 원기둥 모델과 같이 균일하고 똑바른 유동경로들을 가진다. 즉, Te * = 1/ξ* 이고, CK = 2 에서 Te */ξ* = Te *2 이다. 따라서, 코즈니-카르만 방정식에서 수력 비틀림도(T)는 유효 비틀림도(Te *)를 사용하여 재정의 되어야 하고, 특수 수력 원기둥 모델을 기반하여 정의된다. 왜냐하면, 실제 물질의 마찰률(ξ)이 실제적으로 뒤틀리고 불균일한 공극 경로의 경로 길이(Le)에 정확히 비례하지 않기 때문이다. 즉, T ≠ 1/ξ 이고, Te *2 ≠ T2 이다.
상술한 내용은 두 가지 유형의 20 종류의 다공성 매질 모델들을 기반한 공극규모 시뮬레이션 분석들을 이용하여 하기에 분석하기로 한다. 결과적으로, 유효 비틀림도 또는 유효 직경을 이용하여 코즈니-카르만 방정식이 개선됨을 증명할 수 있다. 여기에서, 유효 변수들은 더 정밀하고 범용적인 투과도 변화 분석들의 다른 정의가능한 주요 변수들로서 유도된다.
이하에서는, 유효 변수들의 투과도 상관관계들을 설명하기로 한다.
공극구멍 변화들에 의하여 야기된 투과도 변화에 관련된 정의가능한 주요 변수들을 검증하기 위하여 수학식 3 내지 수학식 5의 투과도 정의들이 사용된다. 수학식 3에 기반하면, 공극률(φ), 수력 직경(Dh), 수력 비틀림도(T), 및 코즈니 상수(CK = 2ξ, 즉 마찰상수 비율)가 투과도(kK = Dh 2φT2/16CK)의 정의가능한 주요 변수들이 된다. 수학식 4에는 유효 직경(De = Dh/(T ξ)0.5) 및 겉보기 직경( = DeT = Dh(T/ ξ)1/2)이 정의되어 있다. 수학식 5에는 수력 비틀림도와 코즈니 상수와 같은 결정불가능한 변수들을 치환하여 유효 비틀림도(Te *)가 정의되어 있다. 따라서, 유효 변수들(Te *, De, )은 공극률(φ)과 투과도(k)와 관련된 수력 변수들(T 및 Dh)을 따라서 검증되어야 한다.
따라서, 두 가지 유형의 20 종류의 다공성 매질 모델들을 사용한 공극규모 시뮬레이션 분석들이 투과도 변화에 대한 정의가능한 주요 변수들의 주요 상관관계들 및 함수적 측면을 검증하도록 수행되었다.
도 2는 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법에서, 공극규모 시뮬레이션을 위한 단순 다공성 매질 모델을 나타낸다.
도 2를 참조하면, 공극규모 시뮬레이션을 위한 상기 단순 다공성 매질 모델이 도시되어 있다. 상기 단순 다공성 매질 모델은, 미세 그리드 격자들을 이용하여 구축하였고, 스태거링(staggering) 배열들에서의 5 층을 가지는 다층의 3차원(3D) 형상이 나타나 있다. 상기 단순 다공성 매질 모델은 동일한 크기의 입자(구슬)들이 배열된 형상을 가지며, 예를 들어 각각의 유동 방향에 대하여 0.102 mm의 균일한 직경을 가지는 구형 구슬 1975개가 배열된다. 상기 구슬(즉, 입자)는 45 μm 내지 55 μm 범위의 반경을 가질 수 있다. 구슬의 원래 직경은 평판에 의해서 잘린 부분이나 인접한 구슬들의 중첩되는 부분들을 제외한 것이다. 즉, 구슬들은 평판들(plates)과 인접 구슬의 중첩에 의하여 절단되어 표시될 수 있다. 이들은 균열 내의 지지체들의 엇갈린 분포를 흉내내어 두 평판 사이에 위치된다.
좌측 상단에는 상기 단순 다공성 매질 모델의 "base 모델"의 기하학적 구조가 나타나있다. 우측에는 다섯 가지 모델들의 X-Z 평면에서의 구멍 감소(aperture reduction)에 대한 기하학적 비교가 나타나있다. (A)는 초기의 0.5 mm 균열높이(h)를 가지는 "thickest 모델"이고, (B)는 0.475 mm의 균열높이를 가지는 "thick 모델"이고, (C)는 0.45 mm의 균열높이를 가지는 "base 모델"이고, (D)는 0.425 mm의 균열높이를 가지는 "thin 모델"이고, (E)는 0.4 mm의 균열높이를 가지는 "thinnest 모델"이며, 각각의 모델은 5층의 다중층을 가진다. 각 모델에서의 구슬들은 균열높이가 변화됨에 따라 단순하고 균질하게 인접한 구슬들이나 벽으로 축소되는 것으로 가정한다. 상기 단순 다공성 매질 모델은, 0.4 mm 내지 0.5 mm 범위의 상기 균열높이를 가질 수 있고, 36% 내지 47.5% 범위의 공극률을 가질 수 있다.
좌측 하단에는 각각의 유동 방향에 대한 상기 단순 다공성 매질 모델의 두 가지 유형이 도시되어 있다. 좌측 상단에 도시된 상기 단순 다공성 매질 모델에서 청색 영역은 청색 방향으로의 X-방향 유동 모델이고, 적색 영역은 적색 방향으로의 Y-방향 유동 모델이다. 여기에서, 상기 단순 다공성 매질 모델에 각각 두 개의 수직의 유동 방향들(X 및 Y)을 도입하였고, 이는 수력 비틀림도의 영향에 의한 방향성 공극 경로와 관련된 다양한 유동 형상을 평가하기 위함이다.
도 3은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법에서, 공극규모 시뮬레이션을 위한 복잡 다공성 매질 모델을 나타낸다.
도 3을 참조하면, 공극규모 시뮬레이션을 위한 상기 복잡 다공성 매질 모델이 도시되어 있다. 상기 복잡 다공성 매질 모델은, 미세 그리드 격자들을 이용하여 구축하였고, 스태거링(staggering) 배열들에서의 5 층을 가지는 다층의 3차원(3D) 형상이 나타나 있다. 상기 복잡 다공성 매질 모델은 다른 크기의 입자들이 배열된 형상을 가지며, 상기 다른 크기의 입자들은 서로 엇갈리게 배열될 수 있다. 상기 입자들은 30 μm 내지 55 μm 범위의 반경을 가질 수 있다.
예를 들어 상기 복잡 다공성 매질 모델은 3 가지 다른 크기의 구슬들(beads)을 포함하여 구성됨으로써, 더 밀집되고 더 실제적인 모델들을 나타낼 수 있다. 이러한 복잡 다공성 매질 모델은 13.4% 내지 47.4%의 넓은 범위의 공극률과 0.0073 Darcy 내지 18.3 Darcy 범위의 투과도를 나타내는 경우를 광범위하게 분석하기 위하여 설정하였다.
좌측 상단에는 상기 복잡 다공성 매질 모델의 "base 모델"의 기하학적 구조가 나타나있다. 총 28,160개의 세가지 다른 크기의 미세 구슬들은 제외되어 도시되어 있다. 우측에는 다섯 가지 모델들의 X-Z 평면에서의 구멍 감소(aperture reduction)에 대한 기하학적 비교가 나타나있다. (A)는 초기의 0.5 mm 균열높이(h)를 가지는 "thickest 모델"이고, (B)는 0.475 mm의 균열높이를 가지는 "thick 모델"이고, (C)는 0.45 mm의 균열높이를 가지는 "base 모델"이고, (D)는 0.425 mm의 균열높이를 가지는 "thin 모델"이고, (E)는 0.4 mm의 균열높이를 가지는 "thinnest 모델"이며, 각각의 모델은 5층의 다중층을 가진다. 상기 단순 다공성 매질 모델은, 0.4 mm 내지 0.5 mm 범위의 상기 균열높이를 가질 수 있고, 13.3% 내지 22.6% 범위의 공극률을 가질 수 있다.
좌측 중단에는 복잡 공극 구조를 더 상세하게 나타내기 위한 확대도가 도시되어 있다. 좌측 상단에는 스태거링 배열을 가지는 세가지 구슬 크기들이 도시되어 있고, (a) 구슬은 51 μm, (b) 구슬은 30 μm, (c) 구슬은 55 μm의 반경을 가진다.
좌측 하단에는 각각의 유동 방향에 대한 복잡 다공성 매질 모델의 두 가지 유형이 도시되어 있다. 좌측 상단에 도시된 복잡 다공성 매질 모델에서 청색 영역은 청색 방향으로의 X-방향 유동 모델이고, 적색 영역은 적색 방향으로의 Y-방향 유동 모델이다. 여기에서, 상기 복잡 다공성 매질 모델에 각각 두 개의 수직의 유동 방향들(X 및 Y)을 도입하였고, 이는 수력 비틀림도의 영향에 의한 방향성 공극 경로와 관련된 다양한 유동 형상을 평가하기 위함이다.
도 2 및 도 3을 참조하면, 상기 단순 다공성 매질 모델과 상기 복잡 다공성 매질 모델이 각각 X-방향과 Y-방향에 대하여 각각 5 종류이므로, 총 20 경우의 공극규모 시뮬레이션 모델을 구축할 수 있다. 상기 단순 다공성 매질 모델과 상기 복잡 다공성 매질 모델은 각각 다섯 개의 공극 배치 및 두 개의 유동 방향들(X 및 Y)을 조합하게 되어, 각각 10 종류로 분류될 수 있다.
이하에서는, 상기 단순 다공성 매질 모델의 더 상세한 기하학적 형상들, 숫자 설정들, 및 평가에 대하여 설명하기로 한다.
상기 단순 다공성 매질 모델에서는, 원형의 다중층 3차원 다공성 매질을 단순한 구조의 형상으로 가정한다. 일 군의 평판들은 길이 4 mm x 폭 4 mm x 높이 0.5 mm 의 치수를 가지고, 동일한 구형 구슬들의 5 층으로 채워져 있다. 원형 모델로부터, 유동 방향을 X-방향과 Y-방향으로 구분하여 두 가지 유형을 설정한다.
도 4는 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법에서, 상기 단순 다공성 매질 모델의 공극규모 시뮬레이션을 수행하기 위한 주요 기하학적 형상 정보를 나타내는 표이다.
도 4를 참조하면, 상기 단순 다공성 매질 모델의 균열높이(h), 비표면적(SS), 공극률(φ), 수력 직경(Dh) 및 격자수(Cell count)가 나타나 있다.
상기 (A)의 "thickest 모델"은 각각의 방향에 대하여 길이 4 mm x 폭 1 mm x 높이 0.5 mm 의 기하학적 치수를 가지도록 상기 원형(original) 모델에서 정의된다. 유사하게, (B)의 "thick 모델"은 0.475 mm의 높이를 가지고, (C)의 "base 모델"은 0.45 mm의 높이를 가진다. 수직 방향의 응력 변화에 의하여 구멍 축소가 발생하므로, 각각의 매질의 상기 구슬들은 인접한 구슬들과 벽에 단순하고 균일하게 삽입되는 것으로 가정한다. (D)의 "thin 모델"은 0.425 mm의 높이를 가지고, (E)의 "thinnest 모델"은 0.4 mm의 높이를 가진다. 다른 그리드 해상도를 이용하여 각각의 모델의 미구조 4면체 그리드 시스템들의 최종 미세 격자수를 확인하였다.
유체는 순수한 액상 물로 가정하였고, 998.2 kg/m3의 밀도와 0.001003 kg/ms 점성을 가지는 것으로 가정하였다. 모든 모델들의 고체벽면이나 표면들은 완전하게 매끈하고 등온인 것으로 가정되었다. 즉, 상기 입자들은 매끈한 표면과 등온성을 가질 수 있다.
표면상의 유속(u)은 0.1 mm/s이고, Y-Z 평면 및 X-Z 평면에서의 두개의 수직 주입부에 수직으로 설정하고, 도 2에 도시된 X 및 Y의 각각의 유동방향에 대하여 정렬한다. 여기에서, 0.1 mm/s 조건이 다르시 유동 규칙을 충족함을 확인하기 위하여, 0.01 mm/s 조건을 추가로 시행하였다.
정리하면, 엔시스사의 플루언트(Ansys-fluent) 상용 소프트웨어를 이용하여 정상 상태(steady state) 유동 조건 하에서 총 20 가지의 상기 단순 다공성 매질 모델에 대한 공극규모 시뮬레이션을 수행하였다. 상기 20 가지는 5 개의 다른 구슬 배열, 두 개의 다른 유동 속도들 및 두 개의 다른 방향들을 조합한 것이다. 상술한 것 외의 기하학적 조건들과 유동 조건들은 모든 경우에 동일하였다. 기본 수렴 기준은 모든 수학식에서 10-8 미만의 잔차(residual)로 설정하였다. 2차 오더의 상류 스킴(second-order upwind scheme) 및 심플(SIMPLE) 방법이 공간차분(spatial discretization)과 압력유속 커플링에 각각 적용되었다.
여기에서, 적용된 미세 그리드 시스템, 숫자 설정들 및 유동 조건들을 "평판 모델"을 이용하여 먼저 수행한 공극규모 시뮬레이션을 통하여 검증하였다. 상기 평판 모델은 길이 x 폭이 4 mm x 1 mm 의 치수를 가지는 수평방향으로 평행 평판들로 구성된다. 이는 원형의 상기 단순 다공성 매질 모델과 동일하지만, 목표하는 공극규모 시뮬레이션을 위한 평판 모델의 레이놀드 수들을 동일한 차수로 형성하기 위하여 높이는 10배 작다. 즉 높이는 0.05 mm 이고, 측면 비율은 0.0125이다.
도 5는 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법에서, 평판 모델의 주요 공극규모 시뮬레이션 결과가 나타난 표이다.
도 5를 참조하면, 유속(V), 압력차이(ΔP), 레이놀드 수(Re), 및 마찰상수(fRe)가 나타나 있다. 하겐-포아죄유(Hagen-Poiseuille) 방정식으로부터 산출된 압력 차이들과 층류 유동 조건하의 공극규모 시뮬레이션 결과의 압력 차이들을 비교하여, 상기 단순 다공성 매질 모델의 공극규모 시뮬레이션 결과의 수치적 타당성을 검토하였다. 사각형 덕트의 측면 비율 변화들에 따른 마찰상수(fRe)의 선형 회귀분석에 의하면 평판 모델의 마찰상수(fRe) 값이 약 92.4일 경우에, 비교에 의한 차이는 약 0.5%이었다.
이하에서는, 상기 복잡 다공성 매질 모델의 더 상세한 기하학적 형상들, 숫자 설정들, 및 평가에 대하여 설명하기로 한다.
도 6은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법에서, 상기 복잡 다공성 매질 모델의 공극규모 시뮬레이션을 수행하기 위한 주요 기하학적 형상 정보를 나타내는 표이다.
도 6을 참조하면, 상기 복잡 다공성 매질 모델의 균열높이(h), 비표면적(SS), 공극률(φ), 수력 직경(Dh) 및 격자수(Cell count)가 나타나 있다.
도 3에 도시된 바와 같이, 상기 복잡 다공성 매질 모델에서, 평행한 평판들은 다섯 개의 다른 구멍들에 대하여 스태거드 배열들로 세 가지 다른 크기의 구형 구슬들이 다섯 개 층으로 채워져 있다. 여기에서, 상기 단순 다공성 매질 모델과 유사하게 두 가지 방향 유동 조건들(X 및 Y)이 정의된다.
상기 "Base" 모델에 대하여 각각의 유동 방향에 대하여 0.001 mm/s의 속도 조건을 결합하여 다르시 유동 규칙을 검토한 후에, 입력 유속은 0.01 mm/s로 설정하였다. 기본 수렴 기준은 모든 수학식에서 10-7 미만의 잔차로 설정하였다. 상기 복잡 다공성 매질 모델에 대한 다른 유동 조건들 및 공극규모 시뮬레이션을 위한 설정은 상기 단순 다공성 매질 모델과 동일하게 설정하였다. 최소 표면적 및 최대 표면적 및 격자 부피와 같은 그리드 해상도는 축소되므로 여러 모델들에 대하여 변화되었다.
하기의 도 14에 나타낸 바와 같이, 공극규모 시뮬레이션 결과들로부터 평균 내부 유속(v) 및 압력 차이(ΔP) 등과 같은 초기 변수들을 직접적으로 취득하고, 이어서, 각각의 공극규모 시뮬레이션에 대하여 200,000 개의 균일하게 분포된 유선 점들(streamline seeds)을 기반하여 수행함으로써, 상기 유체의 유선 분포를 도출하였다.
도 7 및 도 8은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법에서, 단순 다공성 매질 모델에 대한 공극규모 시뮬레이션 결과로부터 도출된 유선 분포를 나타낸다.
도 7을 참조하면, 상기 단순 다공성 매질 모델에 대한 공극규모 시뮬레이션 결과로서, 상기 "Base 모델"에 대하여 0.1 mm/s의 표면상의 유속(u)에서의 X-방향의 유동 조건에 따른 유선 분포가 나타나 있다. 상기 유선 분포는 아래로부터 세번째 층과 네번째 층 사이에서 절단하여 나타낸 것이다.
도 8을 참조하면, 상기 단순 다공성 매질 모델에 대한 공극규모 시뮬레이션 결과로서, 상기 "Base 모델"에 대하여 0.1 mm/s의 표면상의 유속(u)에서의 Y-방향의 유동 조건에 따른 유선 분포가 나타나 있다. 상기 유선 분포는 아래로부터 세번째 층과 네번째 층 사이에서 절단하여 나타낸 것이다.
도 9 및 도 10은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법에서, 복잡 다공성 매질 모델에 대한 공극규모 시뮬레이션 결과로부터 도출된 유선 분포를 나타낸다.
도 9를 참조하면, 상기 복잡 다공성 매질 모델에 대한 공극규모 시뮬레이션 결과로서, 상기 "Base 모델"에 대하여 0.01 mm/s의 표면상의 유속(u)에서의 X-방향의 유동 조건에 따른 유선 분포가 나타나 있다. 상기 유선 분포는 아래로부터 두번째 층과 세번째 층 사이에서 절단하여 나타낸 것이다.
도 10을 참조하면, 상기 복잡 다공성 매질 모델에 대한 공극규모 시뮬레이션 결과로서, 상기 "Base 모델"에 대하여 0.01 mm/s의 표면상의 유속(u)에서의 Y-방향의 유동 조건에 따른 유선 분포가 나타나 있다. 상기 유선 분포는 아래로부터 두번째 층과 세번째 층 사이에서 절단되어 나타낸 것이다.
도 11 내지 도 13은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법에서, 다공성 매질 모델에 대한 공극규모 시뮬레이션 결과로부터 도출된 도출된 유선 분포를 확대하여 나타낸다.
도 11 내지 도 13에서, 좌측은 X-Y 평면의 중앙부에 대한 유선 분포를 나타내고, 우측은 X-Z 평면의 중앙부에 대한 유선 분포를 나타낸다.
도 11을 참조하면, 상기 단순 다공성 매질 모델에 대한 공극규모 시뮬레이션 결과로서, 상기 "Base 모델"에 대하여 0.1 mm/s의 표면상의 유속(u)에서의 X-방향의 유동 조건에 따른 유선 분포가 확대되어 나타나 있다.
도 12를 참조하면, 상기 복잡 다공성 매질 모델에 대한 공극규모 시뮬레이션 결과로서, 상기 "Base 모델"에 대하여 0.01 mm/s의 표면상의 유속(u)에서의 X-방향의 유동 조건에 따른 유선 분포가 확대되어 나타나 있다.
도 13을 참조하면, 상기 단순 다공성 매질 모델에 대한 공극규모 시뮬레이션 결과로서, 상기 "Base 모델"에 대하여 0.01 mm/s의 표면상의 유속(u)에서의 Y-방향의 유동 조건에 따른 유선 분포가 확대되어 나타나 있다.
도 7 내지 도 13을 참조하면, 상기 단순 다공성 매질 모델의 공극규모 시뮬레이션 결과에 비하여, 상기 복잡 다공성 매질 모델의 공극규모 시뮬레이션 결과가 마찰이 더욱 많이 발생되고, 따라서 유동이 복잡한 형상임을 알 수 있고, 이러한 결과는 상기 복잡 다공성 매질 모델에서 유동경로가 반복적으로 좁고 뒤틀려 구성되기 때문으로 분석된다.
도 14는 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법에서, 공극규모 시뮬레이션 결과로부터 도출된 변수들을 나타내는 표이다.
도 14를 참조하면, 상기 단순 다공성 매질 모델(simple case)에 대하여는 표면상의 유속(u)이 0.1 mm/s에 대하여 X-방향 및 Y-방향에 대한 변수들이 나타나있고, 상기 복잡 다공성 매질 모델(complex case)에 대하여는 표면상의 유속(u)이 0.1 mm/s에 대하여 X-방향 및 Y-방향에 대한 변수들이 나타나있다. 전체 공극규모 시뮬레이션의 결과는 20 가지이다.
상기 공극규모 시뮬레이션 결과로부터, 평균 내부 유속(v) 및 압력 차이(ΔP)를 취득하였다. 여기서, 평균 내부 유속(v)은 공극규모 시뮬레이션 결과로부터 길이 평균 유선 속도(length averaged streamline velocity)로부터 취득할 수 있다.
이어서, 상기 수학식 3을 이용하여, 수력 비틀림도(T), 마찰률(ξ), 및 투과도(k) 등과 같은 파생 변수를 산출하였다. 이어서, 수학식 4 및 수학식 5을 이용하여, 유효 직경(De)과 겉보기 유효 직경() 및 유효 비틀림도(Te *)를 산출하였다.
분석 결과, 실제적이고, 불균일하고 뒤틀린 공극 경로들에서 수력 비틀림도(T)는 마찰률의 역수(1/ξ)에 대하여 정확히 비례하지 않음을 알 수 있다. 즉, T ≠ 1/ξ ≠ 1/ξ* 이고, Te *2 ≠ T2 이다. 따라서, 유효 직경 또는 유효 비틀림도를 이용하여 변형한 수학식 4(b) 및 수학식 5(b)는 코즈니-카르만 방정식의 개선된 정의로 적절한 것으로 분석된다.
네 가지 유형의 각각의 5 종류의 공극규모 시뮬레이션 분석에 대한 투과도 변화 상관관계들을 공극률, 수력 직경, 및 수력 비틀림도 등과 같은 각각의 기하학적 변수에 대한 멱함수로서 각각의 결정 계수(R-스퀘어 값, R2)와 함께 분석하였다.
도 15 내지 도 27은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법에서, 공극규모 시뮬레이션으로부터 얻은 변수들의 상관관계들을 나타내는 그래프들이다.
도 15를 참조하면, 공극률(Porosity)과 측정된 투과도(Permeability) 사이의 상관관계가 나타나있다. 공극율과 투과도 사이에는 멱함수적 상관관계가 있음을 알 수 있다. 여기에서, 방향성 유동 각각의 변화 경향은 공극율에 대한 하나의 함수로서 표현될 수 있다. 따라서, 각각의 유동경로들에 대하여 투과도는 공극률에 대한 각각의 멱함수로 정의될 수 있다.
구체적으로, X-방향에 대하여 단순 다공성 매질 모델(Simple case in X-dir)은 y=958.8165x5.2922 의 멱함수 상관관계를 나타내고, 복잡 다공성 매질 모델(Complex case in X-dir)은 y=15185.8925x7.1393 의 멱함수 상관관계를 나타낸다. 또한, X-방향에 대하여 상기 단순 다공성 매질 모델의 결과와 상기 복잡 다공성 매질 모델을 통합하면, y=1689.9x5.9163 의 멱함수 상관관계를 나타낸다. Y-방향에 대하여 상기 단순 다공성 매질 모델(Simple case in Y-dir)은 y=387.9776x5.9163 의 멱함수 상관관계를 나타내고, 상기 복잡 다공성 매질 모델(Complex case in Y-dir)은 y=119.7497x2.8096 의 멱함수 상관관계를 나타낸다. 또한, Y-방향에 대하여 상기 단순 다공성 매질 모델의 결과와 상기 복잡 다공성 매질 모델을 통합하면, y=357.06x3.4263 의 멱함수 상관관계를 나타낸다. 여기에서, 상기 멱함수 상관관계들에서 x는 공극률, y는 투과도를 나타낸다.
그러나, 더욱 실제적인 물질들에 해당되는 낮은 공극률과 수력 비틀림도를 가지는 영역에서는, 즉, 복잡 다공성 매질 모델에서는, R2 값들이 상대적으로 낮게 나타나므로, 투과도의 공극률에 대한 멱함수적 상관관계가 더욱 민감함을 알 수 있다. 또한, 공극률에 대한 투과도 변화의 일반적인 경향이 관찰되지 않았다.
도 16을 참조하면, 측정된 투과도(Permeability)와 수력직경(Hydraulic Diameter) 사이의 상관관계가 나타나있다. 도 15에 비하여, R2 값들이 감소되었고, 투과도에 대한 수력 직경의 상관관계가 일반적인 경향으로서 나타나지 않음을 알 수 있다.
도 17을 참조하면, 측정된 투과도(Permeability)와 수력 비틀림도(Hydraulic Tortuosity) 사이의 상관관계가 나타나있다. 투과도와 수력 비틀림도의 상관관계에서는 R2 값들의 감소가 상당한 수준으로 더 복잡하게 나타남을 알 수 있다. 특히, 더욱 실제적인 물질들에 해당되는 낮은 공극률과 수력 비틀림도를 가지는 영역에서는, 즉, 복잡 다공성 매질 모델에서는, R2 값들의 감소가 두드러짐을 알 수 있다. 따라서, 수력직경이나 수력 비틀림도와 같은 수력 변수들은 투과도 변화들에 유일하게 관련되지 않고, 유용한 상관관계들을 얻을 수 없는 것으로 분석된다.
이어서, 유효 비틀림도(Te *) 및 유효 직경(De)을 기반으로 하는 멱함수적 상관관계들이 도 18 내지 도 21에 나타나 있다.
도 18을 참조하면, 측정된 투과도(Permeability)와 유효 비틀림도(Effective Tortuosity) 사이의 상관관계가 나타나있다. 도 19를 참조하면, 공극률(Porosity)과 유효 비틀림도(Effective Tortuosity) 사이의 상관관계가 나타나있다. 도 20을 참조하면, 측정된 투과도(Permeability)와 유효 직경(Effective Diameter) 사이의 상관관계가 나타나있다. 도 21을 참조하면, 공극률(Porosity)과 유효 직경(Effective Diameter) 사이의 상관관계가 나타나있다.
도 18 내지 도 21을 참조하면, 각각의 유동 방향에 대한 일반적인 상관관계들이 나타나지 않음을 알 수 있다. 그러나, 공극률 상관관계들로부터 얻은 경우에 비하여, 더 밀접하고 더 뒤틀린 경우의 유효 비틀림도를 기반한 각각의 멱함수적 상관관계들이 더 높은 R2 값을 나타냄을 알 수 있다. 또한, 도 18에 나타난 바와 같이, 공극률의 함수로서 유효 비틀림도의 선형 변화 경향이 높은 R2 값을 가짐을 알 수 있다. 이러한 경향으로부터, 투과도 변화는 유효 비틀림도의 멱함수(즉, k = α(Te *)β)로 더 정밀하게 정의될 수 있고, 또는 선형 공극률 관계(즉, k = α(γφ+δ)β)와 결합될 수 있다. 반면, 도 20 및 도 21에 나타난 바와 같이, 유효 직경(De)에 대하여는 어떠한 경향이나 상관관계를 나타내지 못하는 것으로 분석된다.
이러한 결과로부터, 수력직경(Hydraulic Diameter), 수력 비틀림도(Hydraulic Tortuosity), 유효 비틀림도(Effective Tortuosity), 및 유효 직경(De)은 투과도(Permeability) 전체 범위에 대하여 유효한 상관관계를 도출하기 어려운 것으로 분석된다. 또한, 유효 비틀림도(Effective Tortuosity), 및 유효 직경(De)과 공극률(Porosity) 전체 범위에 대하여 유효한 상관관계를 도출하기 어려운 것으로 분석된다.
이어서, 투과도와 공극률 변화들에 대한 겉보기 유효 직경()의 상관관계들을 분석하였고, 도 22 및 도 23에 나타난 바와 같이 몇 가지 흥미로운 측면들을 발견하였다.
도 22를 참조하면, 측정된 투과도(Permeability)와 겉보기 유효 직경(Superficial Effective Diameter) 사이의 상관관계가 나타나있다. 단순 다공성 매질 모델과 복잡 다공성 매질 모델에 대하여, 각각의 유동 방향에서 투과도와 겉보기 유효 직경의 상관관계가 매우 높은 R2 값들을 가지는 동일한 멱함수 회귀곡선을 나타냄을 알 수 있다.
구체적으로, X-방향에 대하여 단순 다공성 매질 모델(Simple case in X-dir)은 y=1.0823E-05x4.0541E-01 의 멱함수 상관관계를 나타내고, 복잡 다공성 매질 모델(Complex case in X-dir)은 y=1.1130E-05x4.3078E-01 의 멱함수 상관관계를 나타낸다. 또한, X-방향에 대하여 상기 단순 다공성 매질 모델의 결과와 상기 복잡 다공성 매질 모델을 통합하면, y=1.0602E-05x4.1582E-01 의 멱함수 상관관계를 나타낸다. Y-방향에 대하여 상기 단순 다공성 매질 모델(Simple case in Y-dir)은 y=1.3274E-05x3.5692E-01 의 멱함수 상관관계를 나타내고, 상기 복잡 다공성 매질 모델(Complex case in Y-dir)은 y=1.3258E-05x3.2327E-01 의 멱함수 상관관계를 나타낸다. 또한, Y-방향에 대하여 상기 단순 다공성 매질 모델의 결과와 상기 복잡 다공성 매질 모델을 통합하면, y=1.3330E-05x3.5452E-01 의 멱함수 상관관계를 나타낸다. 여기에서, 상기 멱함수 상관관계들에서 x는 투과도, y는 겉보기 유효 직경을 나타낸다.
각각의 유동 방향에 대한 회귀곡선들은 서로 매우 밀접하게 위치하였고, 매우 유사하고 평행한 기울기를 가졌다. 따라서, 매우 다른 다공성 매질 모델들에 대하여 거의 동일한 기울기가 나타남에 따라, 투과도 변화는 겉보기 유효 직경과 더 일반적인 상관관계를 가짐을 알 수 있다.
도 23을 참조하면, 공극률(Porosity)과 겉보기 유효 직경(Superficial Effective Diameter) 사이의 상관관계가 나타나있다. 단순 다공성 매질 모델과 복잡 다공성 매질 모델에 대하여, 각각의 유동 방향에서 공극률과 겉보기 유효 직경의 상관관계가 매우 높은 R2 값들을 가지는 동일한 2차함수 회귀곡선을 나타냄을 알 수 있다.
구체적으로, X-방향에 대하여 단순 다공성 매질 모델(Simple case in X-dir)은 y=1.15E-05x2 + 1.29E-04x - 2.95E-05 의 2차함수 관계를 나타내고, 복잡 다공성 매질 모델(Complex case in X-dir)은 y=8.22E-05x2 + 2.74E-05x - 3.80E-06 의 2차함수 관계를 나타낸다. 또한, X-방향에 대하여 상기 단순 다공성 매질 모델의 결과와 상기 복잡 다공성 매질 모델을 통합하면, y=1.68E-04x2 + 2.53E-06x - 1.24E-06 의 2차함수 관계를 나타낸다. Y-방향에 대하여 상기 단순 다공성 매질 모델(Simple case in Y-dir)은 y=7.30E-05x2 + 5.19E-05x - 3.05E-06 의 2차함수 관계를 나타내고, 상기 복잡 다공성 매질 모델(Complex case in Y-dir)은 y=3.02E-04x2 - 4.26E-05x + 1.07E-05 의 2차함수 관계를 나타낸다. 또한, Y-방향에 대하여 상기 단순 다공성 매질 모델의 결과와 상기 복잡 다공성 매질 모델을 통합하면, y=9.39E-05x2 + 4.62E-05x + 1.78E-06 의 2차함수 관계를 나타낸다. 여기에서, 상기 멱함수 상관관계들에서 x는 공극률, y는 겉보기 유효 직경을 나타낸다.
겉보기 유효 직경은 공극률에 대한 2차함수로서, 매우 높은 R2 값들을 가지는 것을 알 수 있다. 또한, 각각의 유동 방향에 대하여 통합된 두 개의 회귀 곡선의 형상들은 매우 유사하고 거의 평행함을 알 수 있다.
도 24를 참조하면, 겉보기 직경에 기반하여 산출한 투과도(Permeability)와 겉보기 유효 직경(Superficial Effective Diameter) 사이의 상관관계가 나타나있다.
도 24를 참조하면, 도 22에서 상술한 바와 같이 X-방향에 대하여 상기 단순 다공성 매질 모델의 결과와 복잡 다공성 매질 모델을 통합하여 도출한 y=1.0602E-05x4.1582E-01 의 멱함수 상관관계 및 Y-방향에 대하여 상기 단순 다공성 매질 모델의 결과와 복잡 다공성 매질 모델을 통합하여 도출한 y=1.3330E-05x3.5452E-01 의 멱함수 상관관계가 나타나 있다.
상기 X-방향에 대한 데이터와 상기 Y-방향에 대한 데이터를 내삽 평균(Interpolated mean)함으로써, 투과도와 겉보기 유효 직경 사이의 기준 함수(reference function)의 상관관계를 도출할 수 있다. 상기 기준 함수는 y=1.1969E-05x3.7972E-01 의 멱함수 상관관계를 가짐을 알 수 있다. 따라서, 신뢰성있는 겉보기 유효 직경이 제공된 경우에는, 변화되는 투과도는 상기 기준 함수(평균)를 이용하여 근사시킬 수 있다.
예를 들어, 유정의 미래의 투과도로서 24 Darcy로 표시된 투과도는 주어진 겉보기 직경으로부터 예측될 수 있다. 그러나, 실제로, 미래의 겉보기 직경은 결정될 수 없고, 그 이유는 수학식 5a의 겉보기 직경의 관계( = De T = Dh Te *)가 결정에 도움이 될 수 있다고 하여도, 코즈니 상수와 수력 비틀림도를 예측할 수 없기 때문이다.
도 25를 참조하면, 공극률(Porosity)과 겉보기 유효 직경(Superficial Effective Diameter) 사이의 상관관계가 나타나있다.
도 25를 참조하면, 도 23에서 상술한 바와 같이 X-방향에 대하여 상기 단순 다공성 매질 모델의 결과와 복잡 다공성 매질 모델을 통합하여 도출한 y=1.8331E-04x2 - 1.2257E-05x 의 2차함수 관계 및 Y-방향에 대하여 상기 단순 다공성 매질 모델의 결과와 복잡 다공성 매질 모델을 통합하여 도출한 y=7.0942E-05x2 + 6.0073E-05x 의 2차함수 관계가 나타나 있다. 여기에서, 실제 상황에서 공극률이 0이면 투과도가 0이 되므로, 상기 X-방향 및 Y-방향에 대한 2차함수들은 절편이 0인 2차함수로서 표현한 것이다.
상기 X-방향에 대한 데이터와 상기 Y-방향에 대한 데이터를 내삽 평균(Interpolated mean)함으로써, 공극률과 겉보기 유효 직경 사이의 기준 함수의 상관관계를 도출할 수 있다. 상기 기준 함수는 y=1.2736E-04x2 + 2.3925 E -05x 의 2차함수 상관관계를 가짐을 알 수 있다.
도 25의 공극률과 겉보기 유효 직경의 상관관계들로부터, 주어진 공극률에 대하여 미래의 겉보기 직경들을 결정할 수 있고, 더 나아가 투과도를 결정할 수 있는 가능성을 제공한다. 공극률에 대한 겉보기 유효 직경의 평행한 2차함수 거동들은 평균 변화 곡선을 나타내기에 사용될 수 있다. 따라서, 공극률에 대한 겉보기 유효 직경 상관관계를 사용하여, 미래의 기하학적 변화들에 대하여 변화되는 투과도를 예측될 수 있다. 여기에서, 더 실제적인 낮은 공극률 범위들에 대하여 상술한 투과도의 멱함수적 상관관계에 비하여, 겉보기 유효 직경의 2차함수 거동이 더 정밀한 상관관계들을 제공할 수 있다. 낮은 공극률 범위에서의 변화 기울기들은 멱함수적 곡선들에 비하여 덜 민감할 수 있고, 더 구분될 수 있다. 또한, 평행 이동 거동은 패밀리(family) 매질(및 동일한 형성물에서의 유동 방향 변화들)에 대한 투과도 및 그 변화에 대한 상관관계들을 결정하기에 더 유리할 수 있다. 겉보기 직경 상관관계들은 멱함수적 투과도-공극률 상관관계들에 비하여 더 정확하고 더 용이하게 얻을 수 있다.
도 26을 참조하면, 공극률(Porosity)과 겉보기 유효 직경(Superficial Effective Diameter) 사이의 확장된 상관관계들이 나타나있다.
도 26을 참조하면, 도 25에 도시된 공극률과 겉보기 유효 직경의 상관관계를 다른 패밀리 물질들 또는 동일한 형성물에서의 다른 유정들, 즉 유동경로가 변화되는 경우에 대하여 내삽 방식 또는 외삽 방식으로 용이하게 확장된 것을 나타낸다.
실제 현장에서, 두 개 이상의 형성 응력 조건 하에서 코어 테스트 또는 생산 검층(production logging) 테스트를 통하여, 기준 유정의 공극률 및 투과도를 미리 얻을 수 있다. 이어서, 측정된 데이터를 기반으로 수학식 4b를 사용하여 각각의 겉보기 유효 직경을 계산함으로써, 공극률에 대한 겉보기 유효 직경의 기준 함수로서 2차함수적 상관관계를 얻을 수 있다. 상기 기준함수는, y=1.2736E-04x2 + 2.3925E-05x 의 2차함수 상관관계를 가짐을 알 수 있다.
따라서, 동일한 형성물에 대한 미래의 투과도 변화들은 기준 함수 곡선을 이용하여 예측할 수 있다. 동일한 또는 패밀리 형성물들의 다른 유정에 대하여, 상기 기준 함수 곡선을 2차함수 보간법(interpolation or extrapolation)을 다양한 2차함수 곡선을 얻을 수 있다. 여기에서, 수학식 4b를 이용하여, 각각의 목표 유정의 각각의 초기 공극률 및 투과도 값들을 기반한 겉보기 직경의 각각의 초기 값을 계산할 수 있다.
삼각형으로 표시된 최상단의 곡선(Extended Uniform에 해당함)은, y=1.4524E-05x2 + 9.6221E-05x 의 2차함수 상관관계를 나타내고, 또한, 거의 선형의 경향을 보인다. 이는 물질의 공극 구조가 매우 균일하고 똑바르게 형성됨을 의미한다.
반면, 사각형으로 표시된 최하단의 곡선(Extended Complex에 해당함)은, y=2.3918E-04x2 - 4.8417E-05x 의 2차함수 상관관계를 나타내고, "20%" 공극률에서 약 "0" 다르시를 나타낸다. 이는 매우 복잡하고 불균일하고 뒤틀린 공극 구조를 가지는 것으로 분석된다.
상기 2차함수 보간법을 설명하면 다음과 같다. 상기 기준 함수의 2차항 계수 1.2736E-04와 상기 "Extended Uniform" 곡선의 2차항 계수를 1.4524E-05을 합한 후에 2로 나누어 평균을 구하면, Y-방향 곡선의 2차항 계수인 7.0942E-05가 된다. 또한, 상기 기준 함수의 1차항 계수 2.3925E-05와 상기 "Extended Uniform" 곡선의 1차항 계수를 9.6221E-05을 합한 후에 2로 나누어 평균을 구하면, Y-방향 곡선의 1차항 계수인 6.0073E-05가 된다.
상기 기준 함수의 2차항 계수 1.2736E-04와 상기 "Extended Complex" 곡선의 2차항 계수를 2.3918E-04을 합한 후에 2로 나누어 평균을 구하면, X-방향 곡선의 2차항 계수인 1.8331E-04가 된다. 또한, 상기 기준 함수의 1차항 계수 2.3925E-05와 상기 "Extended Complex" 곡선의 1차항 계수를 -4.8417E-05을 합한 후에 2로 나누어 평균을 구하면, X-방향 곡선의 1차항 계수인 -1.2257 E-05가 된다.
이와 같이, 2차함수 보간법을 반복하여 수행하면, 모든 유전에서의 초기 공극률-투과도 관계를 기준으로 선정된 그래프를 통하여, 해당 유정의 기하학적 변화에 대한 투과도를 추정할 수 있다.
도 27를 참조하면, 공극률(Porosity)과 투과도(Permeability) 사이의 상관관계가 나타나있다. 상응하는 겉보기 유효 직경들을 이용하여 공극률에 대한 투과도의 멱함수적 상관관계 곡선들을 생성할 수 있다. 도 27은, 종래의 연구에서 광범위하게 허용된, 공극률 변화에 대한 투과도의 멱법칙 거동을 나타낸다. 황색 원들로 표시된 기준 함수(reference function)는 y=507.57x4.1559 의 멱함수 상관관계를 나타낸다. 삼각형으로 표시된 최상단의 곡선(Extended Uniform에 해당함)은 y=349.95x3.0783 의 멱함수 상관관계를 나타낸다. 사각형으로 표시된 최하단의 곡선(Extended Complex에 해당함)은 y=47747x10.318 의 멱함수 상관관계를 나타낸다. 여기에서, 상기 멱함수 상관관계들에서 x는 공극률, y는 투과도를 나타낸다.
이하에서는, 공극률 변화들에 따른 함수의 변화 형태를 설명하기로 한다.
도 28은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법에서, 내부 유속에 대한 압력 차이 상수와 내부 유속 상수를 나타내는 표이다.
도 28을 참조하면, 공극의 기하학적 구조의 변화에 대한 두 가지 흥미로운 측면이 나타나 있다. 여기에서, 압력 차이 상수(CdP)와 내부 유속 상수(Cv)는 수학식 6과 같이 정의된다.
Figure pat00026
상기 수학식 6에서, △Pφ는 압력 차이, vφ는 내부 유속, CdP 는 압력 차이 상수, Cv는 내부 유속 상수이다.
상기 수학식 6에서, 상기 압력 차이 상수와 내부 유속 상수가 상수로 간주될 수준으로 거의 변화가 없으면, 즉, CdP = △Pφ ≒ 상수, 및 Cv = v φ0.5 ≒ 상수이면, 투과도의 실제 변화를 예측하기에 용이하게 된다. 수학식 6에 나타난 바와 같이, 압력 차이들은 패밀리 물질에 대하여 상수(CdP(A))와 공극률(φ) 만으로 구성된 함수이고, 내부 유속(vφ)은 다른 상수(Cv)와 공극률(φ) 만으로 구성된 함수이다. 도 28의 결과들로부터, 단순 다공성 매질 모델 및 복잡 다공성 매질 모델과 X-방향 및 Y-방향을 조합하여 구성한 모델에서, 내부 유속(vφ)이 변화되어도, 압력 차이 상수(CdP)와 내부 유속 상수(Cv)는 거의 상수에 가까운 균일한 값을 나타냄을 알 수 있다. 여기에서 내부 유속은, "thickest 모델", "thick 모델", "base 모델", "thin 모델", 및 "thinnest 모델"에 대응하여 변화된다.
상기 수학식 6은 비교적 짧은 기간 또는 유정에 변화가 작은 경우에, 한정적으로 참고적으로 활용이 가능하다. 실제 현장에서의 측정 결과는 오차가 매우 커서, 데이터의 유효성을 검토하는 것이 중요하고, 이 경우 수학식 6의 관계는 데이터 유효성 검증 혹은 매우 근사적인 추정을 위하여 활용될 수 있다.
본 발명의 기술적 사상에 따라 도출된 겉보기 직경의 이차함수관계를 활용하여, 실제 저류층의 생산특성에 적용하고자 하는 경우에, 예를 들어 실제현장에서 도 24 또는 도 25의 공극률과 겉보기 유효 직경의 관계를 도시하기 위하여 최초의 생산데이터를 측정할 때에, 실제현장에서의 측정값은 수 km 길이의 방대하고 복잡한 석유/가스 저류지층의 특성상 정확한 데이터를 측정이 어려운 경우가 상당히 발생할 수 있다. 이러한 경우, 측정된 데이터의 신뢰성, 도 24 또는 도 25에 사용가능한 데이터 유효성을 판단할 수 있는 방안이 필요할 수 있다. 이때 상기 수학식 6의 관계가 데이터의 유효성 판단에 유용하게 활용될 수 있다.
참고적으로, 도 24와 도 25는 도 2의 단순 다공성 매질 모델과 각 매질의 기본적인 구조는 유지한 채, 지층(높이)의 축소에 따른 부스러기 입자들을 고려한 도 3의 복잡 다공성 매질 모델으로의 형상 변화를 통합적으로 적용이 가능한 모델이다.
반면, 이러한 "절편이 '0'인 2차 함수관계"를 적용하기 위해서는 최소한 2개 이상의 지점에 대한 실제 측정 또는 예측 데이터가 필요하며, 공극률의 변화가 충분이 클 경우에만 신뢰할 수 있는 결과를 얻을 수 있다는 제약이 따른다. 따라서 실제현장에서 측정된 데이터를 활용하여 2차함수 관계를 도출하고자 할때, 측정된 값들이 타당하고 신뢰할 수 있는 데이터인지에 대한 검증(최소한의 경향성 검토)가 필요하다.
이때, 상기 수학식 6b는 상당히 유용한 판단근거로 활용될 수 있을 것으로 기대된다. 아울러, 내부 유속도 근사적으로 추정이 가능하므로, 정확한 유속값을 아는 경우는 기하학적 변화에 대한 추정의 방법으로, 혹, 정확한 유속을 모르는 경우에도 유속의 변화에 대한 가늠을 할 수 있는 기준으로 활용이 가능하다.
더불어, 만약 추가적인 데이터의 측정이 불가능한 경우는 단순히 수학식 6의 관계를 통하여, 기하학적(공극률) 변화에 따른 압력(투과도)와 유속의 변화 특성에 대한 근사적 산정이 가능하다. 도 28에 제시된 바와 같이, 수학식 6b의 관계는 부스러기 입자에 의한 추가적인 변화(복잡한 경우)는 적절히 고려하지 못하는 것으로 보이나, 동일한 매질이 단순히 지층응력변화에만 따른 기하학적 변화 (공극률감소)의 경우에는 상당히 유용한 정보를 제공할 것으로 기대된다.
이는 오랜 기간의 지층변화에는 적용의 신뢰성이 낮으나 비교적 작은 기하학적 변화(짧은기간)의 경우에는 역시 유용한 정보를 제공할 것으로 추정된다. 따라서 최초의 측정값 (압력과유속)만을 가지고 있는 경우는 수학식 6를 통하여 단기적인 기하학적 변화에 따른 물리량의 변화는 근사적 추정이 가능할 것으로 생각된다.
이상과 같이, 투과도 변화 분석들에 대하여 잔존하는 정의가능한 주요 변수들을 유추하고, 더 정밀하고 범용적인 상관관계들을 얻기 위하여, 코즈니-카르만 방정식을 이용하였다. 다공성 매질의 유효 비틀림도와 유효 직경이 유도되었고, 유효 변수들을 이용하여 코즈니-카르만 방정식을 개선하였다. 이어서, 다양한 다공성 매질 모델들에 대한 공극규모 시뮬레이션 분석들을 통하여 각각의 정의가능한 주요 기하학적 변수의 상관관계들을 분석하였다. 공극률에 대한 변화된 투과도 및 겉보기 직경 상관관계들로부터, 공극률이 투과도를 정량적으로 좌우하는 가장 주요한 특성임을 확인하였고, 수력 비틀림도는 정성적인 차이(변화 형상들)를 표시하는 다른 주요한 특성임을 확인하였다. 상관관계들은 각각의 물질에 대한 공극율의 유일한(sole) 함수로 정의될 수 있다. 그러나, 그들의 각각의 변화 기울기들은 각각의 유동 방향 (경로 구조들)에 의하여 특정되었다.
최종적으로, 본 발명은 공극률 변화에 대한 겉보기 직경의 몇 가지 중요한 함수적 측면을 발견하였고, 예를 들어 2차함수 상관관계들, 각각의 유동경로에 대한 평행 이동, 낮은 공극률 범위들에서 덜 민감한 변화들이다. 결과적으로, 본 발명에 따르면, 투과도 변화들은 공극률 변화들에 대한 겉보기 직경의 2차함수 상관관계들을 이용하여 더 정확하고 일반적으로 예측할 수 있다.
현장에서 하나의 유정에 대하여 적어도 두 개의 지점에서 측정하면, 절편이 0인 2차 함수를 통하여 겉보기 유효직경을 통하여 공극률에 따른 투과도를 예측할 수 있다. 이러한 방식으로 향후 적어도 20년간 세일 가스의 생산량을 예측할 수 있다.
또한, 현장에서 제1 유정의 2차 함수 거동을 계산한 후, 근처의 제2 유정의 경우 제1 유정과 지층이 동일하다는 가정하에, 제2 유정도 제1 유정의 2차 함수 거동과 동일하다는 예측이 가능할 수 있다.
도 29 및 도 30은 본 발명의 일실시예에 따른 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법(S100)을 도시하는 흐름도이다.
도 29를 참조하면, 상기 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법(S100)은, 다공성 매질을 제공하는 단계(S110); 상기 다공성 매질의 복수의 지점에서 제1 공극률과 제1 투과도를 각각 취득하는 단계(S120); 상기 제1 공극률 및 상기 제1 투과도를 이용하여 제1 겉보기 유효 직경을 산출하는 단계(S130); 상기 제1 공극률과 상기 제1 겉보기 유효 직경의 제1 상관 관계, 상기 제1 투과도와 상기 제1 겉보기 유효 직경의 제2 상관 관계, 및 상기 제1 공극률과 상기 제1 투과도의 제3 상관관계를 수립하는 단계(S140); 및 상기 상관 관계들을 이용하여, 상기 다공성 매질의 기하학적 변화에 의하여 변화된 제2 공극률에 대한 제2 투과도를 예측하는 단계(S150);를 포함한다.
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 제2 투과도를 예측하는 단계는, 상기 제1 상관관계를 이용하여, 상기 제2 공극률에 대한 제2 겉보기 유효 직경을 산출하는 단계; 및 상기 제2 상관관계를 이용하여, 상기 제2 겉보기 유효 직경에 대한 상기 제2 투과도를 산출하는 단계;를 포함할 수 있다.
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 제1 공극률, 상기 제1 투과도, 및 상기 제1 겉보기 유효 직경은 하기의 식을 만족할 수 있다.
Figure pat00027
(여기에서, k는 투과도, φ는 공극률, De는 유효 직경, T는 수력 비틀림도, 는 겉보기 유효 직경임)
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 제1 겉보기 유효 직경은 하기의 식을 만족할 수 있다.
Figure pat00029
(여기에서, 는 겉보기 유효 직경, De는 유효 직경, T는 수력 비틀림도, Dh는 수력 직경, 및 ξ는 마찰률임)
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 유효 직경은 하기의 식을 만족할 수 있다.
Figure pat00031
(여기에서, De는 유효 직경, Dh는 수력 직경, T는 수력 비틀림도, ξ는 마찰률임)
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 마찰률은 하기의 식을 만족할 수 있다.
Figure pat00032
(여기에서, fv는 v에 대한 마찰 인자, Rev는 v에 대한 레이놀드 수, fe는 ve에 대한 마찰 인자, Ree는 ve에 대한 레이놀드 수, v는 내부 유속, ve는 유효 내부 유속, 임)
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 fe 및 상기 Ree는 하기의 식을 만족할 수 있다.
Figure pat00033
(여기에서, De는 유효 직경, ρ는 유체 밀도, v는 내부 유속, △P는 압력 차이, Le은 실제 공극 유동 길이, μ는 유체 점도임)
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 내부 유속과 상기 유효 내부 유속은 하기의 식을 만족할 수 있다.
Figure pat00034
(여기에서, v는 내부 유속, Dh는 수력 직경, μ는 유체 점도, fv는 v에 대한 마찰 인자, Rev는 v에 대한 레이놀드 수, △P는 압력 차이, L은 다공성 매질 길이, ve는 유효 내부 유속, De는 유효 직경, fe는 ve에 대한 마찰 인자, Ree는 ve에 대한 레이놀드 수, Le은 실제 공극 유동 길이임)
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 제1 투과도는 하기의 식을 만족할 수 있다.
Figure pat00035
(여기에서, k는 투과도, Dh는 수력 직경, φ는 공극률, T는 수력 비틀림도, v는 내부 유속, fv는 v에 대한 마찰 인자, Rev는 v에 대한 레이놀드 수, 및 ξ는 마찰률임)
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 제1 공극률에 대한 상기 제1 겉보기 유효 직경의 상기 제1 상관 관계는 2차함수의 상관관계를 가질 수 있다.
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 제1 투과도에 대한 상기 제1 겉보기 유효 직경의 상기 제2 상관 관계는 멱함수의 상관관계를 가지고, 상기 제1 공극률에 대한 상기 제1 투과도의 상기 제3 상관 관계는 멱함수의 상관관계를 가질 수 있다.
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 제1 공극률과 제1 투과도를 측정하는 단계는, 하기의 식들을 만족하는 조건 하에서 이루어질 수 있다.
Figure pat00036
(여기에서, △Pφ는 압력 차이, vφ는 내부 유속, CdP 는 압력 차이 상수, Cv는 내부 유속 상수임)
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 제1 공극률은 13.4% 내지 47.4% 범위를 가지고, 상기 제1 투과도는 0.0073 Darcy 내지 18.3 Darcy 범위를 가질 수 있다.
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 제1 공극률과 상기 제1 겉보기 유효 직경의 제1 상관 관계에 대하여 2차 함수 보간법을 수행하여, 상기 다공성 매질의 패밀리 매질에 대한 공극률과 겉보기 유효직경의 패밀리 매질 상관 관계를 취득할 수 있다.
도 30을 참조하면, 상기 다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법(S200)은, 다공성 매질을 제공하는 단계(S210); 상기 다공성 매질에 대한, 입자들의 배열에 의하여 다공성을 갖는, 다공성 매질 모델을 제공하는 단계(S220); 상기 다공성 매질 모델에 대한 공극규모 시뮬레이션을 수행하여, 공극률, 투과도 및 겉보기 유효 직경을 산출하는 단계(S230); 상기 공극률과 상기 겉보기 유효 직경의 제4 상관관계, 상기 투과도와 상기 겉보기 유효 직경의 제5 상관관계, 및 상기 공극률과 상기 투과도의 제6 상관관계를 수립하는 단계(S240); 및 예측 대상 다공성 매질의 공극률로부터 상기 제4 상관관계를 이용하여 상기 겉보기 유효 직경을 산출하고, 상기 예측 대상 다공성 매질의 상기 겉보기 유효 직경으로부터 상기 제5 상관관계를 이용하여 상기 예측 대상 다공성 매질의 투과도를 예측하는 단계(S250);를 포함한다.
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 공극규모 시뮬레이션이 각각 수행하는 단계는, 상기 다공성 매질 모델의 제1 방향 및 상기 제1 방향에 수직인 제2 방향에 대하여 상기 공극규모 시뮬레이션을 각각 수행하여, 상기 제1 방향 및 상기 제2 방향에 대하여, 상기 공극률, 상기 투과도, 및 상기 겉보기 유효 직경을 각각 산출하고, 상기 제4 상관관계를 수립하는 단계는, 상기 제1 방향 및 상기 제2 방향에 대한 상기 제4 상관관계를 각각 수립하고, 상기 제5 상관관계를 수립하는 단계는, 상기 제1 방향 및 상기 제2 방향에 대한 상기 제5 상관관계를 각각 수립하고, 상기 제6 수립하는 단계는 상기 제1 방향 및 상기 제2 방향에 대한 상기 제6 상관관계를 각각 수립할 수 있다.
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 제1 방향에 대한 상기 제4 상관관계와 상기 제2 방향에 대한 상기 제4 상관관계의 평균에 해당되는 제4 기준 상관관계를 수립하고, 상기 제1 방향에 대한 상기 제5 상관관계와 상기 제2 방향에 대한 상기 제5 상관관계의 평균에 해당되는 제5 기준 상관관계를 수립하고, 상기 제1 방향에 대한 상기 제6 상관관계와 상기 제2 방향에 대한 상기 제6 상관관계의 평균에 해당되는 제6 기준 상관관계를 수립할 수 있다.
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 제4 기준 상관관계에 대하여 2차 함수 보간법을 수행하여, 상기 제4 상관관계를 상기 공극률의 변화에 대하여 확장하여 복수로 더 수립할 수 있다.
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 다공성 매질 모델은, 동일한 크기의 입자들이 배열된 단순 다공성 매질 모델로 구성되고, 상기 입자들은 45 μm 내지 55 μm 범위의 반경을 가지고, 상기 단순 다공성 매질 모델은, 0.4 mm 내지 0.5 mm 범위의 상기 균열높이를 가지고, 36% 내지 47.5% 범위의 공극률을 가질 수 있다.
본 발명의 일실시예에 있어서, 상기 다공성 매질 모델은, 다른 크기의 입자들이 배열된 복잡 다공성 매질 모델로 구성되고, 상기 다른 크기의 입자들은 서로 엇갈리게 배열되고, 상기 입자들은 30 μm 내지 55 μm 범위의 반경을 가지고, 상기 복잡 다공성 매질 모델은, 0.4 mm 내지 0.5 mm 범위의 균열높이를 가지고, 13.3% 내지 22.6% 범위의 공극률을 가질 수 있다.
이상에서 설명한 본 발명의 기술적 사상이 전술한 실시예 및 첨부된 도면에 한정되지 않으며, 본 발명의 기술적 사상을 벗어나지 않는 범위 내에서 여러 가지 치환, 변형 및 변경이 가능하다는 것은, 본 발명의 기술적 사상이 속하는 기술분야에서 통상의 지식을 가진 자에게 있어 명백할 것이다.
기호설명(NOMENCLATURE)
C: Constant,
CK: Kozeny Constant,
CS: Shape Constant of Cross Section,
D: Diameter,
Dm: Grain D,
Dh: Hydraulic D,
De: Effective D,
: Superficial De,
f: Friction Factor,
fv: f defined by True v,
k: Permeability,
Figure pat00038
L: Medium Length,
Le: Actual Flow Length,
P: Pressure,
△P: Pressure Difference,
Re: Reynolds Number,
Rev: Re defined for v,
Rh: Hydraulic Radius (Dh: = 4Rh),
S: Surface Area,
SS: Specific Surface Area,
T: Tortuosity (T=L/Le),
Te *: Effective T,
u: Apparent Flow Velocity through a Medium,
v: True Internal Velocity though Real Pores,
vs = u/φ : Superficial v for Straight Path,
x, y, z: Directions & Axes in x-, y-, and z-directions,
ξ: Friction Ratio,
Figure pat00039
μ: Fluid Viscosity,
ρ: Fluid Density,
φ: Porosity,
Super- Script & Sub-Script
C: Carman, kC : Carman's k,
e: Real (Le), Effective (De, Te *, ve, feRee),
h: Hydraulic (Dh),
K: Kozeny, kK : Kozeny's k , fK : Kozeny's f,
s: Superficial (vs=u/φ), Specific (SS),
u: Apparent Medium Flow Velocity,
v: Average Interstitial Flow Velocity,
<Special Hydraulic Cylinder Model>
*:
Figure pat00040
Figure pat00041
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Claims (20)

  1. 다공성 매질을 제공하는 단계;
    상기 다공성 매질의 복수의 지점에서 제1 공극률과 제1 투과도를 각각 취득하는 단계;
    상기 제1 공극률 및 상기 제1 투과도를 이용하여 제1 겉보기 유효 직경을 산출하는 단계;
    상기 제1 공극률과 상기 제1 겉보기 유효 직경의 제1 상관 관계, 상기 제1 투과도와 상기 제1 겉보기 유효 직경의 제2 상관 관계, 및 상기 제1 공극률과 상기 제1 투과도의 제3 상관관계를 수립하는 단계; 및
    상기 상관 관계들을 이용하여, 상기 다공성 매질의 기하학적 변화에 의하여 변화된 제2 공극률에 대한 제2 투과도를 예측하는 단계;를 포함하는,
    다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법.
  2. 제 1 항에 있어서,
    상기 제2 투과도를 예측하는 단계는,
    상기 제1 상관관계를 이용하여, 상기 제2 공극률에 대한 제2 겉보기 유효 직경을 산출하는 단계; 및
    상기 제2 상관관계를 이용하여, 상기 제2 겉보기 유효 직경에 대한 상기 제2 투과도를 산출하는 단계;를 포함하는,
    다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법.
  3. 제 1 항에 있어서,
    상기 제1 공극률, 상기 제1 투과도, 및 상기 제1 겉보기 유효 직경은 하기의 식을 만족하는,
    Figure pat00042

    (여기에서, k는 투과도, φ는 공극률, De는 유효 직경, T는 수력 비틀림도, 는 겉보기 유효 직경임)
    다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법.
  4. 제 3 항에 있어서,
    상기 제1 겉보기 유효 직경은 하기의 식을 만족하는,
    Figure pat00044

    (여기에서, 는 겉보기 유효 직경, De는 유효 직경, T는 수력 비틀림도, Dh는 수력 직경, 및 ξ는 마찰률임)
    다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법.
  5. 제 3 항에 있어서,
    상기 유효 직경은 하기의 식을 만족하는,
    Figure pat00046

    (여기에서, De는 유효 직경, Dh는 수력 직경, T는 수력 비틀림도, ξ는 마찰률임)
    다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법.
  6. 제 4 항에 있어서,
    상기 마찰률은 하기의 식을 만족하는,
    Figure pat00047

    (여기에서, fv는 v에 대한 마찰 인자, Rev는 v에 대한 레이놀드 수, fe는 ve에 대한 마찰 인자, Ree는 ve에 대한 레이놀드 수, v는 내부 유속, ve는 유효 내부 유속, 임)
    다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법.
  7. 제 6 항에 있어서,
    상기 fe 및 상기 Ree는 하기의 식을 만족하는,
    Figure pat00048

    (여기에서, De는 유효 직경, ρ는 유체 밀도, v는 내부 유속, △P는 압력 차이, Le은 실제 공극 유동 길이, μ는 유체 점도임)
    다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법.
  8. 제 6 항에 있어서,
    상기 내부 유속과 상기 유효 내부 유속은 하기의 식을 만족하는,
    Figure pat00049

    (여기에서, v는 내부 유속, Dh는 수력 직경, μ는 유체 점도, fv는 v에 대한 마찰 인자, Rev는 v에 대한 레이놀드 수, △P는 압력 차이, L은 다공성 매질 길이, ve는 유효 내부 유속, De는 유효 직경, fe는 ve에 대한 마찰 인자, Ree는 ve에 대한 레이놀드 수, Le은 실제 공극 유동 길이임)
    다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법.
  9. 제 1 항에 있어서,
    상기 제1 투과도는 하기의 식을 만족하는,
    Figure pat00050

    (여기에서, k는 투과도, Dh는 수력 직경, φ는 공극률, T는 수력 비틀림도, v는 내부 유속, fv는 v에 대한 마찰 인자, Rev는 v에 대한 레이놀드 수, 및 ξ는 마찰률임)
    다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법.
  10. 제 1 항에 있어서,
    상기 제1 공극률에 대한 상기 제1 겉보기 유효 직경의 상기 제1 상관 관계는 2차함수의 상관관계를 가지는,
    다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법.
  11. 제 1 항에 있어서,
    상기 제1 투과도에 대한 상기 제1 겉보기 유효 직경의 상기 제2 상관 관계는 멱함수의 상관관계를 가지고,
    상기 제1 공극률에 대한 상기 제1 투과도의 상기 제3 상관 관계는 멱함수의 상관관계를 가지는,
    다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법.
  12. 제 1 항에 있어서,
    상기 제1 공극률과 제1 투과도를 측정하는 단계는,
    하기의 식들을 만족하는 조건 하에서 이루어지는,
    Figure pat00051

    (여기에서, △Pφ는 압력 차이, vφ는 내부 유속, CdP 는 압력 차이 상수, Cv는 내부 유속 상수임)
    다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법.
  13. 제 1 항에 있어서,
    상기 제1 공극률은 13.4% 내지 47.4% 범위를 가지고,
    상기 제1 투과도는 0.0073 Darcy 내지 18.3 Darcy 범위를 가지는,
    다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법.
  14. 제 1 항에 있어서,
    상기 제1 공극률과 상기 제1 겉보기 유효 직경의 제1 상관 관계에 대하여 2차 함수 보간법을 수행하여, 상기 다공성 매질의 패밀리 매질에 대한 공극률과 겉보기 유효직경의 패밀리 매질 상관 관계를 취득하는,
    다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법.
  15. 다공성 매질을 제공하는 단계;
    상기 다공성 매질에 대한, 입자들의 배열에 의하여 다공성을 갖는, 다공성 매질 모델을 제공하는 단계;
    상기 다공성 매질 모델에 대한 공극규모 시뮬레이션을 수행하여, 공극률, 투과도 및 겉보기 유효 직경을 산출하는 단계;
    상기 공극률과 상기 겉보기 유효 직경의 제4 상관관계, 상기 투과도와 상기 겉보기 유효 직경의 제5 상관관계, 및 상기 공극률과 상기 투과도의 제6 상관관계를 수립하는 단계; 및
    예측 대상 다공성 매질의 공극률로부터 상기 제4 상관관계를 이용하여 상기 겉보기 유효 직경을 산출하고, 상기 예측 대상 다공성 매질의 상기 겉보기 유효 직경으로부터 상기 제5 상관관계를 이용하여 상기 예측 대상 다공성 매질의 투과도를 예측하는 단계;를 포함하는,
    다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법.
  16. 제 15 항에 있어서,
    상기 공극규모 시뮬레이션이 각각 수행하는 단계는,
    상기 다공성 매질 모델의 제1 방향 및 상기 제1 방향에 수직인 제2 방향에 대하여 상기 공극규모 시뮬레이션을 각각 수행하여, 상기 제1 방향 및 상기 제2 방향에 대하여, 상기 공극률, 상기 투과도, 및 상기 겉보기 유효 직경을 각각 산출하고,
    상기 제4 상관관계를 수립하는 단계는, 상기 제1 방향 및 상기 제2 방향에 대한 상기 제4 상관관계를 각각 수립하고,
    상기 제5 상관관계를 수립하는 단계는, 상기 제1 방향 및 상기 제2 방향에 대한 상기 제5 상관관계를 각각 수립하고,
    상기 제6 수립하는 단계는 상기 제1 방향 및 상기 제2 방향에 대한 상기 제6 상관관계를 각각 수립하는,
    다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법.
  17. 제 16 항에 있어서,
    상기 제1 방향에 대한 상기 제4 상관관계와 상기 제2 방향에 대한 상기 제4 상관관계의 평균에 해당되는 제4 기준 상관관계를 수립하고,
    상기 제1 방향에 대한 상기 제5 상관관계와 상기 제2 방향에 대한 상기 제5 상관관계의 평균에 해당되는 제5 기준 상관관계를 수립하고,
    상기 제1 방향에 대한 상기 제6 상관관계와 상기 제2 방향에 대한 상기 제6 상관관계의 평균에 해당되는 제6 기준 상관관계를 수립하는,
    다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법.
  18. 제 17 항에 있어서,
    상기 제4 기준 상관관계에 대하여 2차 함수 보간법을 수행하여, 상기 제4 상관관계를 상기 공극률의 변화에 대하여 확장하여 복수로 더 수립하는,
    다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법.
  19. 제 15 항에 있어서,
    상기 다공성 매질 모델은,
    동일한 크기의 입자들이 배열된 단순 다공성 매질 모델로 구성되고,
    상기 입자들은 45 μm 내지 55 μm 범위의 반경을 가지고,
    상기 단순 다공성 매질 모델은, 0.4 mm 내지 0.5 mm 범위의 상기 균열높이를 가지고, 36% 내지 47.5% 범위의 공극률을 가지는,
    다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법.
  20. 제 15 항에 있어서,
    상기 다공성 매질 모델은,
    다른 크기의 입자들이 배열된 복잡 다공성 매질 모델로 구성되고,
    상기 다른 크기의 입자들은 서로 엇갈리게 배열되고,
    상기 입자들은 30 μm 내지 55 μm 범위의 반경을 가지고,
    상기 복잡 다공성 매질 모델은, 0.4 mm 내지 0.5 mm 범위의 균열높이를 가지고, 13.3% 내지 22.6% 범위의 공극률을 가지는,
    다공성 매질의 기하학적 변화에 따른 투과도 예측방법.
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Experimental flow in various porous media and Experimental flow in various porous media and Experimental flow in various porous media and Experimental flow in various porous media and *

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