KR100899003B1 - 하천의 주흐름 유속분포를 결합한 종분산계수의 산정을통해 오염물의 거동을 해석하는 방법 - Google Patents

Abstract

본 발명은 하천의 주흐름 유속분포를 결합한 종분산계수의 산정을 통해 오염물의 거동을 해석하는 방법에 관한 것으로, (a) 해석 대상 하천의 유속과 수심, 하폭 및 횡분산계수를 포함하는 하천정보를 조사·저장하는 단계와; (b) 하천의 특성에 따라 다변화하는 주흐름의 횡분포를 모사할 수 있고, 현장유속자료를 통해 검증되는 주흐름의 횡분포식을 선택하는 단계와; (c) 상기 단계(b)에서 선택된 주흐름의 횡분포식과 종분산계수를 산정하기 위한 삼중적분식을 이용하여 종분산계수를 구하는 단계 및 (d) 상기 단계(a)에서 저장된 하천의 유속과 상기 단계(c)에서 구한 종분산계수를 입력자료로 하여 하천 내에서 오염물의 농도인 수치해를 수치모형을 구축하여 구하는 단계로 구성됨으로써, 주흐름의 횡분포가 종분산에 미치는 영향을 정량적으로 파악할 수 있을 뿐만 아니라, 1차원 오염확산 해석시에 중요한 매개변수인 종분산계수를 보다 정확히 산정함으로써 오염물의 거동 해석에 유용하게 활용될 수 있어, 취수장 운영·수질 예경보 시스템 개발 등에 기초적인 정보를 제공하는 효과가 있다.

Description

하천의 주흐름 유속분포를 결합한 종분산계수의 산정을 통해 오염물의 거동을 해석하는 방법 {METHOD FOR ANALYZING POLLUTANT BEHAVIOR THROUGH PREDICTION OF THE LONGITUDINAL DISPERSION COEFFICIENT BASED ON THE VELOCITY PROFILE OF THE PRIMARY FLOW IN A RIVER}

본 발명은 하천의 주흐름 유속분포를 결합한 종분산계수의 산정을 통해 오염물의 거동을 해석하는 방법에 관한 것으로, 보다 상세하게는 주흐름의 횡분포가 종분산에 미치는 영향을 정량적으로 파악할 수 있을 뿐만 아니라, 1차원 오염확산 해석시에 중요한 매개변수인 종분산계수를 보다 정확히 산정함으로써 오염물의 거동 해석에 유용하게 활용될 수 있어, 취수장 운영·수질 예경보 시스템 개발 등에 기초적인 정보를 제공하는, 종분산계수의 산정을 통해 오염물의 거동을 해석하는 방법에 관한 것이다.

일반적으로, 하천 오염확산 해석시 종분산계수를 결정하는 방법에는 추적자 실험을 통해 취득한 농도 자료를 이용하는 관측법(observation method)과 농도자료가 없는 경우 기본 수리량을 바탕으로 분산계수를 가늠하는 추정법(prediction method)으로 크게 나눌 수 있는데, 이런 추정법에는 분산을 발생시키는 전단류의 물리적 메카니즘을 고려하여 이론적으로 분산계수를 유도하는 이론식(theoretical equation)과 다수의 실험자료를 바탕으로 회귀분석을 통해 분산계수를 취득하는 경험식(empirical equation)으로 분류할수 있다. 하지만, 이론식의 난해함을 경험적 방법론으로 간략화한다거나, 이론적 배경에 바탕을 둔 경험식을 개발하기도 하므로, 두 가지 방법론은 상충되기 보다는 상호 보완적인 관계에 있다.

한편, 종분산계수를 이론적으로 추정하는 방법은 Elder(1959)에 의해 처음으로 제안되었는데, Elder는 주흐름의 횡분포는 균일하고 연직분포가 로그함수라는 가정하에 종분산계수를 산정하였지만, 실제 자연하천은 수심에 비해 하폭이 매우 커서 주흐름의 연직분포보다는 횡분포가 종분산에 지배적인 영향을 미친다.

따라서, Fischer 등(1979)은 주흐름의 횡분포를 고려하여 종분산계수를 산정하였고, 이는 지금까지도 범용적으로 사용되고 있지만, Fischer 등의 결과도 주흐름의 횡분포를 구체적인 함수로 표현하지 않았기 때문에 특정 하천에 적용시 많은 오차가 발생하기도 하는 문제점이 있었다.

본 발명은 상기와 같은 문제점을 해결하기 위해 안출된 것으로, 본 발명의 목적은 하천에 유입된 오염물의 거동을 1차원으로 해석시에, 종분산에 지대한 영향을 미치면서 하천의 특성에 따라 다변화하는 주흐름의 횡분포를 적절히 반영하여 보다 정확하면서 이론적 정합성을 갖는 종분산계수를 사용함으로써 오염물의 거동 해석에 유용하게 적용되는 방법을 제공하는 데 있다.

상기와 같은 목적을 달성하기 위하여, 본 발명은 (a) 해석 대상 하천의 유속과 수심, 하폭 및 횡분산계수를 포함하는 하천정보를 조사·저장하는 단계와; (b) 하천의 특성에 따라 다변화하는 주흐름의 횡분포를 모사할 수 있고, 현장유속자료를 통해 검증되는 주흐름의 횡분포식을 선택하는 단계와; (c) 상기 단계(b)에서 선택된 주흐름의 횡분포식과 종분산계수를 산정하기 위한 삼중적분식을 이용하여 종분산계수를 구하는 단계 및 (d) 상기 단계(a)에서 저장된 하천의 유속과 상기 단계(c)에서 구한 종분산계수를 입력자료로 하여 하천 내에서 오염물의 농도인 수치해를 수치모형을 구축하여 구하는 단계로 구성되는 것을 특징으로 하는 하천의 주흐름 유속분포를 결합한 종분산계수의 산정을 통해 오염물의 거동을 해석하는 방법을 제공한다.

이상에서 살펴본, 본 발명인 하천의 주흐름 유속분포를 결합한 종분산계수의 산정을 통해 오염물의 거동을 해석하는 방법은 주흐름의 횡분포가 종분산에 미치는 영향을 정량적으로 파악할 수 있을 뿐만 아니라, 1차원 오염확산 해석시에 중요한 매개변수인 종분산계수를 보다 정확히 산정함으로써 오염물의 거동 해석에 유용하게 활용될 수 있어, 취수장 운영·수질 예경보 시스템 개발 등에 기초적인 정보를 제공하는 효과가 있다.

상기와 같이 구성된 본 발명의 바람직한 실시예를 상세히 설명하면 다음과 같다.

우선, 본 발명에 따른 종분산계수를 산정하기 위해 하천의 특성에 따라 다변화하는 주흐름의 횡분포를 모사할 수 있는 식을 적절히 선택해야 한다.

한편, 하천에서 주흐름의 연직분포는 이론적 접근을 통해 로그함수형태임이 널리 알려진 사실이지만, 주흐름의 횡분포는 복잡한 흐름 메카니즘 때문에 이론적으로 단순한 형태의 분포식을 만들어내기가 까다롭다.

따라서, 지금까지는 주로 이론식 대신 경험식 위주로 횡분포식이 제안되어왔는데, 그 대표적인 사례가 다음의 식이다.

여기서, u 는 수심평균유속, U 는 단면평균유속, a ₁,b ₁ 은 회귀상수, y _c 는 하폭의 중앙을 기준으로 하는 무차원 횡방향 좌표, W 는 하폭이다.

상기 수학식 1은 4차 다항식에 지수함수를 곱한 형태로 사행구간에서 편향되는 횡분포도 비교적 적절히 재현할 수 있는 장점이 있으나, 수학식 1은 하상경사가 급해 첨두치가 높은 횡분포는 잘 구현하지 못하는 단점이 있다.

따라서, 본 발명에서는 편향되는 분포 뿐만 아니라 첨두가 높은 분포도 잘 재현할 수 있는 식으로 확률밀도함수의 하나인 베타분포(beta distribution, 수학식 2)를 주흐름의 횡분포식으로 선택한다.

여기서, α,β 는 확률밀도함수의 매개변수이고, Γ(.)는 감마함수, y'는 좌안에서부터의 무차원 횡방향 좌표이다.

다음으로, 수학식 2의 타당성을 현장유속자료를 통해 검증할 필요가 있는데, 도 1은 상기 수학식 1, 2와 실측된 현장유속자료의 비교결과를 나타낸 도면으로, 도 1에서 알 수 있듯이, 주흐름의 횡분포가 어떤 모양(포물선 형태, 편평한 형태, 첨두가 높은 형태, 편향이 심한 형태)이든 간에 수학식 2는 수학식 1에 비해 유속분포를 잘 재현하고 있다.

본 발명에서 수학식 2의 적용시, 횡방향 전체에 걸친 유속자료가 있어야만 매개변수인 α,β 를 산정할 수 있지만, 매개변수를 결정하는 하나의 방법으로서, 최대유속과 그 유속이 발생하는 횡방향 지점을 안다면 다음의 수학식 3으로 α,β 를 역추정할 수 있다.

여기서, y'_max 는 최대유속이 발생하는 지점, u _max 는 최대유속이다.

그 다음으로, 본 발명에서는 종분산계수의 이론식을 유도하기 위해, Fischer(1979) 등에 의해 제안된, 종분산계수를 산정하기 위한 다음의 삼중적분식을 이용한다.

여기서, K 는 종분산계수, A 는 단면적, h 는 수심, ε _t 는 횡분산계수, u' 는 단면평균유속에 대한 수심평균유속의 편차이다.

상기 u' 를 Taylor 전개로 변형할 때, 수학식 2를 이용하면 다음의 수학식 5와 같다.

나아가, 수심(h)를 일정하다고 가정하고 상기 수학식 5를 수학식 4에 대입하 여 삼중적분을 수행하면 수학식 6과 같은 종분산계수식이 유도된다.

여기서, H 는 단면평균수심, U _* 는 전단유속,

는 삼중적분의 결과치로 다음의 수학식 7과 같이 표현된다.

여기서, S₁,S₂,S₃,S₄,S₅ 는 각각 다음과 같다.

하폭, 수심, 전단유속, 평균유속과 같은 기본 수리량은 기지의 값이므로, 종분산계수는 상기 수학식 7에서 알 수 있듯이 α,β의 함수로 표현된다. 따라서, 유속의 횡분포를 좌우하는 α,β에 의해 종분산이 결정됨을 알 수 있고, 수학식 3에 의해 α,β를 결정한다면 임의의 지점의 최대유속과 그 위치만으로 종분산계수를 산정할 수 있다.

도 2는 본 발명에 따른 종분산계수(수학식 6)와 관측한 종분산계수 및 타 연구자들이 개발한 종래의 종분산계수의 비교결과를 나타낸 도면으로, 도 2에서 알 수 있듯이 본 발명에 따른 종분산계수가 종래의 종분산계수에 비해 관측치에 잘 근접하는 우월한 결과를 보여준다.

본 발명에 따른 상기 종분산계수는 하천에서 오염확산을 1차원으로 해석시 유용하게 사용될 수 있고, 국내의 경우 하천실무에서 보다 간편한 해석을 위해 하폭방향의 오염혼합이 완료된 것을 가정한 다음의 수학식 8과 같은 1차원 이송분산 방정식을 지배방정식으로 이용한다.

여기서, C 는 임의의 시간과 위치에서의 오염물의 농도, U 는 단면평균유속, K 는 종분산계수이다.

이 때, U 와 앞서 기술한 방법으로 결정된 모형의 매개변수인 종분산계수 K 가 입력자료로 들어가고, 상기 수학식 8은 결국 미지수가 C 하나이므로 편미분방정식을 풀 수 있게 된다.

그러나, 상기 수학식 8을 복잡한 경계조건을 갖는 Domain(일반 자연하천)에 적용하여 농도 C 를 해석적으로 구하기란 불가능하므로 수치모형을 구축하여 통상 근사해(수치해)를 얻어야 한다.

따라서, 본 발명에서 수치해를 얻기 위한 방법으로 통상적인 유한차분법(Finite Difference Method, FDM)과 유한요소법(Finite Element Method, FEM)을 활용할 수 있을 것이다.

참고로, 상기 유한차분법은 지배방정식인 편미분 방정식을 Taylor series를 이용하여 차분 방정식으로 근사시켜 수치해를 구하는 방법으로, 보다 직접적으로 해를 구할 수는 있으나, 복잡한 Domain에 적용하기에는 어려움이 많고, 유한요소법은 대상 Domain을 유한 개의 영역(요소)으로 분할하여 이 영역을 대표하는 접점(node)을 정한 다음, 이 접점의 지배방정식을 연립 1차 방정식에 근사시켜 푸는 방법으로 요소분할을 잘게 할수록 연립할 방정식이 많아져 계산용량이 커지는 단점 이 있으나, 복잡한 지형에도 유연하게 대처할 수 있다는 장점이 있다.

도 1 은 주흐름의 횡분포식과 실측된 현장유속자료의 비교결과를 나타낸 도면.

도 2 는 본 발명에 따른 종분산계수와 관측치 및 종래의 종분산계수의 비교결과를 나타낸 도면.

도 3 은 본 발명에 따른 종분산계수 산정을 통해 오염물의 거동을 해석하는 일실시예를 나타낸 흐름도.

Claims (2)

1. 종분산계수의 산정을 통해 하천에서의 오염물의 거동을 해석하는 방법에 있어서,

   (a) 해석 대상 하천의 유속과 수심, 하폭 및 횡분산계수를 포함하는 하천정보를 조사·저장하는 단계와;

   (b) 하천의 특성에 따라 다변화하는 주흐름의 횡분포를 모사할 수 있고, 현장유속자료를 통해 검증되는 주흐름의 횡분포식을 선택하는 단계와;

   (c) 상기 단계(b)에서 선택된 주흐름의 횡분포식과 종분산계수를 산정하기 위한 삼중적분식을 이용하여 다음의 수학식을 도출하여 종분산계수를 구하는 단계

   

   (여기서, H 는 단면평균수심, U _* 는 전단유속, U 는 단면평균유속, W 는 하폭,

   

   ,

   

   

   ,

   ε _t 는 횡분산계수, α,β 는 확률밀도함수의 매개변수이고, Γ(.)는 감마함수임), 및

   (d) 상기 단계(a)에서 저장된 하천의 유속과 상기 단계(c)에서 구한 종분산계수를 입력자료로 하여 하천 내에서 오염물의 농도인 수치해를 수치모형을 구축하여 구하는 단계로 구성되는 것을 특징으로 하는 하천의 주흐름 유속분포를 결합한 종분산계수의 산정을 통해 오염물의 거동을 해석하는 방법.
2. 제 1 항에 있어서,

   상기 단계(b)에서 선택된 주흐름의 횡분포식은

   

   (여기서, u 는 수심평균유속, U 는 단면평균유속, α,β 는 확률밀도함수의 매개변수, Γ(.)는 감마함수, y'는 좌안에서부터의 무차원 횡방향 좌표임)이고, 상기 단계(c)에서 종분산계수를 산정하기 위한 삼 중적분식은

   

   (여기서, K 는 종분산계수, A 는 단면적, h 는 수심, ε _t 는 횡분산계수, u' 는 단면평균유속임)이며, 상기 단계(d)에서 오염물의 농도를 구하는 지배방정식은

   

   인 것을 특징으로 하는 하천의 주흐름 유속분포를 결합한 종분산계수의 산정을 통해 오염물의 거동을 해석하는 방법.

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