KR101106548B1 - 텐서형 와점성계수를 가진 2차원 하천흐름모형을 이용하여 천수흐름을 해석하는 방법 - Google Patents

텐서형 와점성계수를 가진 2차원 하천흐름모형을 이용하여 천수흐름을 해석하는 방법 Download PDF

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Abstract

본 발명은 텐서형 와점성계수를 가진 2차원 하천흐름모형을 이용하여 천수흐름을 해석하는 방법에 관한 것으로, 중력가속도(g), 기준선으로부터 하상까지의 거리(H), 조도계수(n), 직교좌표계에서의 x 방향과 y 방향으로의 난류의 발생 정도를 나타내는 와점성계수(νxx , νyy) 및 직교좌표계와 일치하지 않는 방향으로의 난류 형성 정도를 나타내는 와점성계수(νxy , νyx)가 입력자료로 입력장치에 의해 메인 메모리에 입력되고, 중앙처리장치가 상기 입력자료들과 일정한 수학식들에 유한요소법이 적용되어 수치모형화된 메인 메모리 내의 프로그램을 이용해 일정한 수학식들을 만족하는 임의의 시간과 위치에서의 수심(h)과 종방향 유속(u) 및 횡방향 유속(v)을 산출함으로써, 수평 2차원 평면 내에서 4개의 방향성을 가지는 와점성계수를 도입하고 텐서형 와점성계수에 근거한 2차원 유한요소모형을 적용하여 다양한 흐름 조건에서 복잡한 유속구조를 보다 정확히 재현할 수 있는 효과가 있다.

Description

텐서형 와점성계수를 가진 2차원 하천흐름모형을 이용하여 천수흐름을 해석하는 방법 {Method for analyzing shallow water flow using the two-dimensional river flow model with tensor-type eddy viscosity}
본 발명은 텐서형 와점성계수를 가진 2차원 하천흐름모형을 이용하여 천수흐름을 해석하는 방법에 관한 것으로, 보다 상세하게는 수평 2차원 평면 내에서 4개의 방향성을 가지는 와점성계수를 도입하고 텐서형 와점성계수에 근거한 2차원 유한요소모형을 적용하여 다양한 흐름 조건에서 복잡한 유속구조를 보다 정확히 재현할 수 있으며, 특히 사행성이 두드러진 국내 하천에서의 주흐름 분포 및 주흐름방향이 급격히 바뀌는 수로에서의 원심력에 의한 횡방향 유속 분포, 편수위 현상 해석 및 퇴적부와 침식부에 대한 세밀한 분석이 가능하도록 하여 정확도와 적용성 및 신뢰성이 개선된 텐서형 와점성계수를 가진 2차원 하천흐름모형을 이용하여 천수흐름을 해석하는 방법에 관한 것이다.
일반적인 하천, 하구 및 연안 영역에서는 수심에 비해 폭이 매우 넓으므로 종방향 유속과 횡방향 유속을 수심방향으로 평균한 유속으로 흐름을 해석하는 천수 근사가 널리 이용된다.
천수방정식은 3차원 연속방정식과 운동량 보존방정식을 시간과 수심에 관하여 적분하면 얻을 수 있는데, 이 적분과정에는 비압축성 유체, 정수압 및 부시네스크(Boussinesq) 근사, 와점성계수의 도입, 운동학적 자유수면 경계조건(KFSBC)과 바닥에서의 무활조건, 밀도의 성층현상을 무시한 순압성 조건, 수평방향 차원이 연직방향에 비해 매우 크다는 천수흐름 조건 등 다양한 가정 및 근사가 포함되어 있다.
천수 흐름 특성을 수학적 모형으로 표현한 이러한 천수방정식은 질량보존방정식과 운동량 보존방정식으로 구성되며 3개의 편미분 방정식으로부터 수치모형화하여 지형자료, 경계조건 및 매개변수를 입력하면 수심, 종방향 유속, 횡방향 유속을 구할 수 있으므로, 천수방정식의 해는 위어, 댐 및 교량과 같은 수리 구조물을 계획하고 설계하는데 있어서 수리학적 거동을 해석하는데 이용되며 사행, 여울과 소 및 난류 분포 등에 의한 침식과 퇴적을 예측하는 데에 활용될 수 있다. 또한, 구해진 유속장은 오염 확산 및 유사 이송 문제를 해석하기 위한 입력자료로 활용되며 생태모형에서는 어류 서식의 적합도를 산정하는 기본 자료인 유속과 수심 정보를 제공하는 데에도 사용되고, 홍수범람모형 구성을 위한 기본 해석엔진으로 활용되기도 한다.
여기서, 운동량 보존방정식의 와점성항은 점성계수의 등방성과 이방성에 따라 일반형과 텐서형으로 구분되는데, 일반형 와점성계수는 난류점성개념을 도입해 레이놀즈(Reynolds) 전단응력이 평균유속경사와 비례한다고 근사하는 과정에서 비례상수를 단일한 값으로 설정하므로 유체의 밀도나 유속의 크기, 흐름 조건 등에 의한 방향성을 무시하여 주흐름방향이 직교좌표계와 일치하는 경우를 제외하고는 실제 하천에서의 흐름특성을 정확히 예측하기 어렵다. 기존의 국내외 2차원 지표수 해석 상용모형에서는 이러한 와점성항의 이방성을 무시하고 일반형 와점성계수로 유체의 흐름을 해석하여 주흐름 방향이 변하거나 직교좌표계와 일치하지 않는 방향으로 흐름이 가속된 경우 유속구조를 제대로 모의하지 못하므로 실제 자연하천에서의 흐름 거동과 상당한 차이를 나타낸다.
본 발명은 상기와 같은 문제점을 해결하기 위해 안출된 것으로, 본 발명의 목적은 수평 2차원 평면 내에서 4개의 방향성을 가지는 와점성계수를 도입하고 텐서형 와점성계수에 근거한 2차원 유한요소모형을 적용하여 다양한 흐름 조건에서 복잡한 유속구조를 보다 정확히 재현할 수 있으며, 특히 사행성이 두드러진 국내 하천에서의 주흐름 분포 및 주흐름방향이 급격히 바뀌는 수로에서의 원심력에 의한 횡방향 유속 분포, 편수위 현상 해석 및 퇴적부와 침식부에 대한 세밀한 분석이 가능하도록 하여 정확도와 적용성 및 신뢰성이 개선된, 텐서형 와점성계수를 가진 2차원 하천흐름모형을 이용하여 천수흐름을 해석하는 방법을 제공하는 데 있다.
상기와 같은 목적을 달성하기 위하여, 본 발명은 중력가속도(g), 기준선으로부터 하상까지의 거리(H), 조도계수(n), 직교좌표계에서의 x 방향과 y 방향으로의 난류의 발생 정도를 나타내는 와점성계수(νxx , νyy) 및 직교좌표계와 일치하지 않는 방향으로의 난류 형성 정도를 나타내는 와점성계수(νxy , νyx)가 입력자료로 입력장치에 의해 메인 메모리에 입력되고, 중앙처리장치가 상기 입력자료들과 다음의 수학식들에 유한요소법이 적용되어 수치모형화된 메인 메모리 내의 프로그램을 이용해 다음의 수학식들, 즉,
(a)
Figure 112009079609688-pat00001
,
(b)
Figure 112009079609688-pat00002
및
(c)
Figure 112009079609688-pat00003
을 만족하는 임의의 시간과 위치에서의 수심(h)과 종방향 유속(u) 및 횡방향 유속(v)을 산출하는 것을 그 기본 특징으로 한다.
이상에서 살펴본, 본 발명인 텐서형 와점성계수를 가진 2차원 하천흐름모형을 이용하여 천수흐름을 해석하는 방법은 수평 2차원 평면 내에서 4개의 방향성을 가지는 와점성계수를 도입하고 텐서형 와점성계수에 근거한 2차원 유한요소모형을 적용하여 다양한 흐름 조건에서 복잡한 유속구조를 보다 정확히 재현할 수 있으며, 특히 사행성이 두드러진 국내 하천에서의 주흐름 분포 및 주흐름방향이 급격히 바뀌는 수로에서의 원심력에 의한 횡방향 유속 분포, 편수위 현상 해석 및 퇴적부와 침식부에 대한 세밀한 분석이 가능하도록 하여 정확도와 적용성 및 신뢰성이 개선되고, 여울과 소를 정확히 예측하여 어류 및 수생 생태계의 서식환경을 개선할 수 있는 효과가 있다.
상기와 같이 구성된 본 발명의 바람직한 실시예를 첨부된 도면을 참조하면서 상세히 설명하면 다음과 같다.
도 1 은 사행수로 실험장치 평면도 및 수치모의를 위한 지형격자망을 나타낸 도면이고, 도 2 는 와점성계수 형태에 따른 사행수로의 등유속도 및 유속벡터도를 나타낸 도면이며, 도 3 은 사행수로의 만곡 정점부에서의 유속 비교를 나타낸 도면이고, 도 4 는 직사각형 수로에서의 와점성계수에 따른 유속 및 유선 분포를 나타낸 도면이며, 도 5 는 다이아몬드형 수로에서의 유속 비교를 나타낸 도면이고, 도 6 은 원형 수로에서의 유속 비교를 나타낸 도면이다.
밀도차나 온도차에 의해 수체 상부와 하부에 성층 현상(vertical stratification)이 생기는 경우나 수심이 급격히 깊어지는 만(bay)에서 발생하는 순환류(circulation)나 잔차류(residual circulation)가 존재하는 경우를 제외하면 일반적인 하천, 하구 및 연안 영역에서는 수심에 비해 폭이 매우 넓으므로 종방향 유속과 횡방향 유속을 수심방향으로 평균한 유속으로 흐름을 해석하는 천수 근사(shallow water approximation)가 널리 이용된다.
이와 같은 천수 흐름 특성을 수학적 모형으로 표현한 천수방정식(shallow water equation)은 다음의 수학식 1의 질량보존방정식과 수학식 2 및 수학식 3의 운동량 보존방정식으로 구성되며 3개의 편미분 방정식으로부터 임의의 시간과 위치에서의 수심, 종방향 유속, 횡방향 유속을 구할 수 있다.
Figure 112009079609688-pat00004
Figure 112009079609688-pat00005
Figure 112009079609688-pat00006
상기 수학식 1 내지 수학식 3에서 h는 수심, u 와 v 는 각각 종횡방향 수심평균 유속, g 는 중력가속도, n 은 하상 및 벽면의 거칠기 정도를 나타내는 조도계수, H 는 기준선으로부터 하상까지의 거리, νT 는 와점성계수를 나타낸다. 수학식 2 및 수학식 3을 텐서로 나타내면 다음의 수학식 4와 같다.
Figure 112009079609688-pat00007
여기서, 아래첨자 i 와 j 는 각각 1과 2의 값을 가지며 동일한 첨자가 연속해서 위치하는 경우 x1 과 x2 의 합을 의미한다.
상기 수학식 4에 포함된 와점성계수(νT)는 수평 2차원 평면 내에서 존재하는 방향성을 무시하고 동일하게 정의된 등방성(isotrope) 물성이므로 다음의 수학식 5와 같이 4개의 방향성을 가지는 이방성(anisotropy) 텐서형 와점성계수(νij)를 도입한다.
Figure 112009079609688-pat00008
상기 수학식 5의 아래첨자 i 와 j 에 1, 2의 값을 대입하여 풀어 쓰면 다음의 수학식 6 및 수학식 7과 같다.
Figure 112009079609688-pat00009
Figure 112009079609688-pat00010
상기 수학식 6 및 수학식 7에서 텐서형 와점성계수의 νxx 와 νyy 성분은 직교좌표계에서의 x 방향과 y 방향으로의 난류의 발생 정도를 나타내는 계수이며, νxy 및 νyx 는 직교좌표계와 일치하지 않는 방향으로의 난류 형성 정도를 나타내는 계수이다. 텐서 이론에 따르면 νxy 와 νyx 는 같은 값을 가지므로 본 발명에서는 νxx , νxy 및 νyy 의 세 가지 와점성계수로 텐서형 와점성계수를 표현한다.
텐서형 와점성계수를 가지는 운동량 보존방정식인 상기 수학식 6 및 수학식 7과 일반형 와점성계수를 가지는 운동량 보존방정식인 상기 수학식 2 및 수학식 3을 비교해 보면 와점성계수가 1개(νT)에서 4개(νxx ,νxy ,νyx ,νyy)로 증가한 것 을 확인할 수 있다.
실제 자연 현상에서는 유체의 밀도나 유속의 크기, 흐름 조건 등에 따라 와점성계수의 크기나 방향성이 매우 다르므로 방향성을 무시한 등방성 와점성계수만을 도입한 일반형 와점성계수를 가지는 운동량 보존방정식은 적용성에 한계가 있는 것으로 알려져 있다.
한편, 천수방정식은 자연하천의 수평방향 흐름을 표현하는 편미분방정식으로 특정 경계조건 및 흐름조건에서는 해석해를 가지지만 이는 한 방향 유속만을 고려한 해이며 라플라스 변환을 통해 해석해를 유도하는 과정에서 많은 가정을 하였기 때문에 복잡한 지형을 가지는 하천에서 해석해를 이용한 흐름 거동 해석은 매우 제한적이다. 따라서 근사적인 해를 구하기 위해 다양한 수치해석 기법이 존재한다. 가장 오랜 역사를 지니는 유한차분법(Finite difference method)의 경우 정형격자망(structured grid)에서는 매우 효과적이고 적용이 쉬우나 하천과 같은 복잡한 경계를 가진 경우 직교 곡선격자망을 적용해야 한다. 그러나 이를 생성하기 위해서는 많은 시간과 노력이 요구되며 직교성이 부족한 격자망을 생성시켰을 경우에는 수치계산의 정확성도 떨어진다. 또 격자점에서 종속변수가 정의되기 때문에 검사체적의 각 변을 통과하는 흐름률의 보존을 물리적으로 맞추기가 어려운 경향이 있다. 유한체적법(Finite volume method)의 경우 유체 이송의 연속성이 잘 보존되고 천이류 해석이나 마름/젖음 현상을 다루는데 장점이 있으나 계산시간이 오래 걸려서 격자수가 많은 영역에서는 실용적이지 못한 단점이 있다. 반면 유한요소법은 삼각형이나 사각형을 조합한 비정형격자망(unstructured grid)의 채택이 자유롭기 때문에 흐름경계가 복잡한 하천에서 상대적인 장점이 있다. 또한 지형 적응형 격자(adaptive mesh)를 사용하여 격자의 크기나 노드수, 해의 정확도 등을 최적화 할 수 있는 장점이 있다. 또한 다양한 노이만(Neumann) 경계조건에 매우 직접적이고 용이하게 적용할 수 있으며 탄탄한 수학적 기반을 근거로 한 수치기법이므로 오차, 수렴, 해의 정확도 등에 관한 수학적 분석이 가능한 장점도 있다.
즉, 유한요소법은 절점이 아닌 요소에 기초하기 때문에 다양한 보간함수를 채택하면 요소 내부의 절점에 대하여 정확한 수치해를 얻을 수 있다. 따라서 본 발명에서는 하천, 해안 등 자연수체에서 발생하는 천수흐름을 정확하고 효과적으로 해석하기 위해 유한요소모형을 텐서형 와점성계수를 가지는 운동방정식에 적용하여 해석하는 방법을 채택하기로 한다.
다음으로, 본 발명에서는 다음의 수학식 8 내지 수학식 17의 과정을 통하여 천수흐름을 기술하는 텐서형 와점성계수를 가지는 운동량 보존방정식과 연속방정식을 수치 모형화한다. 주요 미지수인 유속 및 수심을 u 로 대표하면 시간(t)과 공간(x,y) 변수에 따라 다음의 수학식 8과 같이 근사할 수 있다.
Figure 112009079609688-pat00011
여기서, 아래첨자 j 는 격자점의 위치를 의미하며, Nj 은 j 지점에서의 요소의 형상과 차수에 따라 결정되는 형상함수이고,
Figure 112009079609688-pat00012
는 수학적으로 근사된 해를 의미한다.
상기 수학식 8을 지배방정식인 수학식 1과 수학식 6 및 수학식 7에 대입하면 근사된 값이므로 0이 아닌 잔차식 R(u h) (수학식 9)를 얻을 수 있다.
Figure 112009079609688-pat00013
갈라킨(Galerkin)법에 의한 가중잔차법을 이용하여 상기 수학식 9의 내적을 취하면 다음의 수학식 10과 같이 잔차식에 형상함수를 곱한 식의 요소 내부 영역에서의 적분이 0이 된다.
Figure 112009079609688-pat00014
여기서, Ω는 요소의 내부 영역을 의미한다.
운동량 보존방정식이 2차 편미분 방정식이므로 와점성항에 그린(Green) 정리를 이용하여 약형(weak form)으로 바꾸고, 각 요소별 격자점에 관한 적분식의 형태로 나타내면 질량보존방정식과 x, y방향 운동량 보존방정식은 각각 다음의 수학식 11 내지 수학식 13으로 표현된다.
Figure 112009079609688-pat00015
Figure 112009079609688-pat00016
Figure 112009079609688-pat00017
상기 수학식 11 내지 수학식 13에서
Figure 112009079609688-pat00018
,
Figure 112009079609688-pat00019
및
Figure 112009079609688-pat00020
은 수심, 종방향 유속 및 횡방향 유속의 시간미분을 의미하며, Ωe 는 개별 요소의 영역을 나타내고, n 은 각 요소에 포함되어 있는 격자점의 갯수이다.
상기 수학식 11 내지 수학식 13은 다음의 수학식 14와 같이 간단히 표현할 수 있다.
Figure 112009079609688-pat00021
여기서, M 은 질량행렬(mass matrix), K 는 강성행렬(stiffness matrix),
Figure 112009079609688-pat00022
은 유속 및 수심의 시간미분벡터를 의미한다.
세타(Theta)법을 이용하여 상기 수학식 14의 시간 미분항을 차분하고, 불규칙한 지형 경계를 반영하기 위해 다음의 수학식 15와 같이 임의의 격자점(i)에서의 법선벡터의 x 방향 성분 nx 과 y 방향 성분 ny 으로 구성된 회전행렬 T (rotation matrix)을 도입한다.
Figure 112009079609688-pat00023
상기 수학식 11 내지 수학식 13을 회전된 좌표계로 바꾸어 주기 위해 운동량 보존방정식에 T 를 곱하고 변수를 u = T T u T 로 치환하면 다음의 수학식 16으로 표현된다.
Figure 112009079609688-pat00024
여기서, T T 은 상기 수학식 15에 표시한 회전행렬의 전치행렬이며, θ 는 시간미분항을 차분하는 과정에서 도입한 음해정도를 조정하는 값이고, u T ,n 과 u T ,n+1 은 각각 현재 시간과 다음 시간에서의 유속 및 수심값을 의미한다.
상기 수학식 16의 강성행렬(K)은 이송항에 의한 비선형항을 포함하므로 뉴튼 -랩슨(Newton-Raphson)법에 의해 자코비안(Jacobian)행렬을 구하면 다음의 수학식 17과 같이 선형화된 대수방정식이 구성된다. 결국 상기 수학식 1, 수학식 6 및 수학식 7로부터 임의의 시간과 위치에서의 수심, 종방향 유속, 횡방향 유속을 해석적으로 구하기가 어려우므로 상기 수학식 8 내지 수학식 17에서처럼 유한요소법을 적용해 수치모형화하고 수치해를 얻게 되는데, 상기 수치모형은 최종적으로 컴퓨터로 수행하기 위해 프로그램 언어(Fortran 등)를 통해 직접 알고리즘을 코딩한 프로그램이고, 이러한 프로그램은 다음의 수학식 17이 포함되면서 컴퓨터의 메인 메모리 내에 저장되어 컴퓨터의 중앙처리장치가 입력장치에 의해 메인 메모리에 입력된 입력자료들(지형자료, 경계조건 및 와점성계수를 포함한 매개변수)과 상기 프로그램을 이용하여 임의의 시간과 위치에서의 수심, 종방향 유속, 횡방향 유속을 산출하게 되는 것이다.
Figure 112009079609688-pat00025
여기서, Δtn 는 시간계산간격,
Figure 112009079609688-pat00026
는 다음 시간에서의 유속 및 수심을 구하기 위해 가정 및 계산된 임시적 변수이며, ΔuT , ΔvT 및 Δh 는 유속 및 수심변수의 변화량이다.
상기 수학식 17의 행렬의 성분은 다음의 수학식 18 내지 수학식 28과 같다.
Figure 112009079609688-pat00027
Figure 112009079609688-pat00028
Figure 112009079609688-pat00029
Figure 112009079609688-pat00030
Figure 112009079609688-pat00031
Figure 112009079609688-pat00032
Figure 112009079609688-pat00033
Figure 112009079609688-pat00034
Figure 112009079609688-pat00035
Figure 112009079609688-pat00036
Figure 112009079609688-pat00037
여기서, Ni 는 형상함수의 행 방향 성분, Nj 는 형상함수의 열 방향 성분,
Figure 112009079609688-pat00038
는 형상함수의 행 방향 성분의 x방향 편미분값,
Figure 112009079609688-pat00039
는 형상함수의 행 방향 성분의 y방향 편미분값,
Figure 112009079609688-pat00040
는 형상함수의 열 방향 성분의 x방향 편미분값,
Figure 112009079609688-pat00041
는 형상함수의 열 방향 성분의 y방향 편미분값,
Figure 112009079609688-pat00042
는 하천바닥의 x방향 편미분값,
Figure 112009079609688-pat00043
는 하천바닥의 y방향 편미분값, uk 는 다음 시간에서의 x방향 유속을 구하기 위한 임시적 변수, vk 는 다음 시간에서의 y방향 유속을 구하기 위한 임시적 변수, hk 는 다음 시간에서의 수심을 구하기 위한 임시적 변수이다.
본 발명에서 개발한 수치모형에서는 상기 수학식 18 내지 수학식 28의 적분을 가우스(Gauss) 구적법을 이용하여 수행하고, n=3 인 경우는 삼각요소망, 4인 경우는 사각요소망에 해당하여 지형에 따라 삼각망과 사각망을 혼용하여 사용할 수 있도록 코드를 작성한다.
또한, 상기 수학식 17의 대수방정식 해는 프론탈 기법을 이용하여 구한다. 한편, 일반형 와점성계수를 적용한 경우에는 와점성항에 해당하는 상기 수학식 19 및 수학식 20의 와점성계수가 νxx ,νxy ,νyx ,νyy 가 아닌 하나의 값인 νT 로 표현된다.
나아가, 본 발명에서 개발한 수치모형을 도 1(a)와 같은 폭 1 m, 중심각 150˚, 사행도 1.52인 두 개의 만곡부를 가지는 직사각형 단면 사행수로에 적용하여 만곡부에서의 횡방향 유속 분포를 분석하고, 초당 50개의 유속 측정이 가능한 micro-ADV 장치를 이용하여 실측한 수리실험 케이스 중 만곡부 내외측에서의 횡방향 유속차가 가장 두드러진 특정 케이스를 선정하여 일반형 와점성계수를 적용한 경우와 텐서형 와점성계수를 적용한 경우를 수리실험결과와 비교하여 모형의 검증을 실시해 보면 다음과 같다.
도 1(a)의 수리실험장치를 유한개의 요소와 격자로 구분하여 각 격자점에서의 결과값을 도출하기 위해 도 1(b)와 같이 요소수 448개, 격자수 513개의 사각형 유한요소망을 구축하고, 아래 표 1에 제시된 수치모의 조건과 같이 60 liter/sec의 유량과 30 cm의 수심을 입력조건으로 설정하며 조도계수의 경우 차우(Chow, 1973)에 제시된 페인트칠 된 매끄러운 철인 경우의 거칠기 정도인 0.013으로 한다.
Figure 112009079609688-pat00044
도 2는 와점성계수의 형태에 따른 사행수로에서의 등유속도 및 유속벡터도를 도시한 것이다.
일반형 와점성계수를 적용하는 경우 와점성계수를 등방성으로 가정하므로 상온의 정류된 실험수로인 점을 감안하여 νT = 8×10-3 ㎡/s을 입력하고, 텐서형 와점성계수를 적용하는 경우 실험수로가 사행도가 크고 주흐름 방향과 직교좌표계가 이루는 각도가 연속적으로 변화하므로 νxx = 8×10-3, νxy = 10-3, νyy = 8×10-3 ㎡/s을 입력한다. 여기서 입력되는 와점성계수는 천수흐름을 잘 표현할 수 있도록 반복적으로 조정하여 선택하여야 한다.
텐서형 와점성계수를 적용한 도 2(b)의 경우 첫 번째와 두 번째 만곡부에서 내측의 유속이 외측에 비해 40 % 정도 빠르게 분포하며 수로 전체에 걸친 유속분포는 두 만곡부의 중심을 기준으로 대칭적이나 일반형 와점성계수를 적용한 도 2(a)의 경우 만곡부에 접근하기 전의 유속이 빠르게 분포하고 유속분포도 비대칭적임을 알 수 있다.
첫 번째 만곡부(S4)와 두 번째 만곡부(S9)에서 수치모의된 횡방향 유속분포값을 실측자료와 비교하여 도 3에 도시하였다. 여기서 b 는 수로의 폭이며 y 는 수로의 좌안에서 우안으로 횡방향을 따라서 정의된 좌표계이다. 텐서형 와점성계수를 사용한 경우 실측값과 매우 유사한 횡방향 유속분포를 보이며 최대와 최소 유속의 범위가 잘 일치한다. 하지만 일반형 와점성계수를 사용한 경우 만곡부 내외측의 유속차를 크게 왜곡하며 y/b = 0.5 인 지점에서의 평균적인 유속이 일치하는 정도의 결과만을 보임을 알 수 있다.
더불어, 상기에서 검증된 텐서형 와점성계수를 가지는 운동량 보존방정식에 근거한 2차원 유한요소모형을 단면확대수로, 다이아몬드형 수로 및 원형 수로에 적용하여 일반형 와점성계수를 사용한 경우와 비교해 보면 다음과 같다.
도 4는 상기 표 1의 단면이 급격히 확대되는 직사각형 수로의 수치모의 조건을 입력하여 와점성계수에 따른 유속 및 유선 분포를 도시한 것이다.
상류단 경계면을 삼등분하고 중앙 부분에만 유속을 입력하며, xy 및 yx 방향의 와점성계수를 각각 10-4 ㎡/s, 10-5 ㎡/s 및 10-6 ㎡/s로 변화시켜 유속 분포와 유체의 각 점에서 속도벡터의 접선을 연결한 유선을 나타내었다. xy 및 yx 방향의 와점성계수가 가장 큰 10-4 ㎡/s로 도 4(b)의 경우 최외곽에 표시된 유선이 하류까지 도달하고 입력유속이 0인 근처에서 매우 미약한 와류가 관찰된다. 하지만 xy 및 yx 방향의 와점성계수가 10-1 ㎡/s 만큼 감소한 도 4(a)의 경우 최외곽에 표시된 유선이 입력 유속이 0인 방향으로 회전하고 회전부 근처에서 도 4(b)에 비해 매우 커진 와류가 발생하였다. 와점성계수가 가장 작은 νxy = 10-6 ㎡/s로 도 4(c)의 경우 이와 같은 최외곽 유선의 회전이 더욱 두드러졌다. 와류의 강도와 정도는 수온에 의한 유체의 밀도, 종횡방향 유속 경사 및 흐름 조건에 따라 매우 다양한 형태로 발생하므로 텐서형 와점성계수로 이와 같은 난류 발생 정도를 보다 정밀하게 재현할 수 있음을 확인할 수 있다.
도 5는 다이아몬드형 수로에서 일반형 와점성계수를 적용한 경우와 텐서형 와점성계수를 적용한 경우의 유속분포를 도시한 것이다.
도 5(a)와 같이 600개의 사각요소망과 726개의 격자를 이용하여 지형을 구축하고, 경계조건으로는 0.2 ㎥/s의 유량과 1.0 m의 수심을 입력한다. 도 5(b)는 운동량 보존방정식에 νT = 10-5 ㎡/s 의 일반형 와점성 계수를 입력하여 얻어진 유속장으로 초기의 직선구간을 지나 135˚의 각도를 이루며 꺽이는 지점에서 내측의 유속이 외측에 비해 빠르게 나타나지만 다이아몬드 형상의 외측 꼭지점에서 최소유속이 발생하고 꼭지점을 전후하여 최대유속이 발생하여 실제 물리현상을 잘 반영하지 못함을 알 수 있다. 반면 텐서형 와점성계수를 적용한 도 5(c)의 경우 와점성계수의 xy성분과 yx성분을 작게 입력하여 수로의 방향이 바뀌는 부분에서 흐름의 분리가 더욱 잘 발생하게 모의를 수행하였기 때문에 직교좌표계와 45˚의 각도를 이루는 다이아몬드형상부분에서 원심력의 효과를 고려한 정확한 유속분포를 나타내며 다이아몬드의 꼭지점 부분에서 내측의 유속이 외측에 비해 빠르게 분포함을 잘 재현하고 있다.
도 6은 원형 수로에서 일반형 와점성계수를 적용한 경우와 텐서형 와점성계수를 적용한 경우의 유속분포를 도시한 것이다.
도 6(a)와 같이 1,790개의 사각요소망과 1,980개의 격자를 이용하여 지형을 구축하고, 상기 표 1에 제시된 바와 같이 경계조건으로는 0.06 ㎥/s의 유량과 0.3 m의 수심을 입력하며, 조도계수가 작은 값을 가지는 경우 내외측 유속차가 크게 발생하지 않으므로 0.05로 한다. 도 6(b)는 일반형 와점성계수인 νT = 10-6 ㎡/s 의 점성계수값을 입력하여 얻어진 유속장으로 원형수로의 전체에 걸쳐 내외측의 유속차가 발생하지 않고 균일한 흐름을 나타내는 반면 텐서형 와점성계수를 적용한 도 6(c)의 경우 와점성계수의 xy성분과 yx성분을 작게 입력하여 직교좌표계와 경사진 방향으로 흐름의 분리가 더 잘 이루어지며 주흐름방향이 연속해서 변하는 원형수로에서 원심력의 효과를 반영하여 내측의 유속이 외측에 비해 30 %정도 빠르게 나타남을 알 수 있다.
도 1 은 사행수로 실험장치 평면도 및 수치모의를 위한 지형격자망을 나타낸 도면.
도 2 는 와점성계수 형태에 따른 사행수로의 등유속도 및 유속벡터도를 나타낸 도면.
도 3 은 사행수로의 만곡 정점부에서의 유속 비교를 나타낸 도면.
도 4 는 직사각형 수로에서의 와점성계수에 따른 유속 및 유선 분포를 나타낸 도면.
도 5 는 다이아몬드형 수로에서의 유속 비교를 나타낸 도면.
도 6 은 원형 수로에서의 유속 비교를 나타낸 도면.

Claims (2)

  1. (A) 중력가속도(g), 기준선으로부터 하상까지의 거리(H), 조도계수(n), 직교좌표계에서의 x 방향과 y 방향으로의 난류의 발생 정도를 나타내는 와점성계수(νxx , νyy) 및 직교좌표계와 일치하지 않는 방향으로의 난류 형성 정도를 나타내는 와점성계수(νxy , νyx)가 입력자료로 입력장치에 의해 메인 메모리에 입력되는 단계와;
    (B) 중앙처리장치가 상기 입력자료들과 다음의 수학식들에 유한요소법이 적용되어 수치모형화된 메인 메모리 내의 프로그램을 이용해 다음의 수학식들, 즉,
    (a)
    Figure 112011057660246-pat00045
    ,
    (b)
    Figure 112011057660246-pat00046
    및
    (c)
    Figure 112011057660246-pat00047
    을 만족하는 임의의 시간과 위치에서의 수심(h)과 종방향 유속(u) 및 횡방향 유속(v)을 산출하는 단계로 구성되는 것을 특징으로 하는 텐서형 와점성계수를 가진 2차원 하천흐름모형을 이용하여 천수흐름을 해석하는 방법.
  2. 제 1 항에 있어서,
    상기 단계(B)에서 상기 수치모형화된 프로그램은 다음의 수학식, 즉,
    Figure 112011057660246-pat00048
    (여기서,
    Figure 112011057660246-pat00049
    ,
    Figure 112011057660246-pat00050
    ,
    Figure 112011057660246-pat00051
    ,
    Figure 112011057660246-pat00052
    ,
    Figure 112011057660246-pat00053
    ,
    Figure 112011057660246-pat00054
    ,
    Figure 112011057660246-pat00055
    ,
    Figure 112011057660246-pat00056
    ,
    Figure 112011057660246-pat00057
    ,
    Figure 112011057660246-pat00058
    및
    Figure 112011057660246-pat00059
    )이 포함되고 메인 메모리 내에 저장되어 중앙처리장치가 입력장치에 의해 메인 메모리에 입력된 입력자료들 (지형자료 (Ωe 는 개별요소의 영역, Ni 는 형상함수의 행 방향 성분, Nj 는 형상함수의 열 방향 성분,
    Figure 112011057660246-pat00060
    는 형상함수의 행 방향 성분의 x방향 편미분값,
    Figure 112011057660246-pat00061
    는 형상함수의 행 방향 성분의 y방향 편미분값,
    Figure 112011057660246-pat00062
    는 형상함수의 열 방향 성분의 x방향 편미분값,
    Figure 112011057660246-pat00063
    는 형상함수의 열 방향 성분의 y방향 편미분값,
    Figure 112011057660246-pat00064
    는 하천바닥의 x방향 편미분값,
    Figure 112011057660246-pat00065
    는 하천바닥의 y방향 편미분값), 매개변수 (νxx 는 와점성계수의 x방향 성분, νyy 는 와점성계수의 y방향 성분, νxy 는 와점성계수의 xy방향 성분, νyx 는 와점성계수의 yx방향 성분, n2 은 조도계수의 제곱값), 중력가속도(g), 회전행렬(T), 회전행렬의 전치행렬(T T), 계산시간간격(Δtn), 시간미분항의 음해정도(θ), 다음 시간에서의 유속 및 수심을 구하기 위해 가정 및 계산된 임시적 변수(
    Figure 112011057660246-pat00066
    ), x방향 유속의 변화량(ΔuT), y방향 유속의 변화량(ΔvT), 수심의 변화량(Δh), 현재 시간에서의 유속 및 수심 벡터(u T,n), 다음 시간에서의 x방향 유속을 구하기 위한 임시적 변수(uk), 다음 시간에서의 y방향 유속을 구하기 위한 임시적 변수(vk), 다음 시간에서의 수심을 구하기 위한 임시적 변수(hk) )과 상기 프로그램을 이용하여 임의의 시간과 위치에서의 수심(h)과 종방향 유속(u) 및 횡방향 유속(v)을 산출하는 것을 특징으로 하는 텐서형 와점성계수를 가진 2차원 하천흐름모형을 이용하여 천수흐름을 해석하는 방법.
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