KR101064564B1 - 하천의 기본수리량을 활용한 종분산계수의 산정을 통해 1차원 오염물 분산거동 해석방법 - Google Patents

Abstract

본 발명은 하천의 기본수리량을 활용한 종분산계수의 산정을 통해 1차원 오염물 분산거동 해석방법에 관한 것으로, (a) 해석 대상 하천의 유속과 단면적을 포함하는 하천정보를 조사·저장하는 단계와; (b) 차원해석을 통해 자연하천에서 수집이 용이한 기본 수리량만으로 종분산에 영향을 주는 무차원 인자들을 선정하여 종분산계수 경험식을 도출하는 단계와; (c) 종분산계수의 산정에 필요한 경험식 개발을 위해 국내외 일정개수의 자연하천에서 일정개수의 지점의 하천수리량 자료(유속, 수심, 하폭, 종분산계수)를 수집·저장하되, 상기 수집된 하천수리량 자료 중의 종분산계수는 추적방법으로 결정되는 단계와; (d) 상기 단계(c)에서 수집된 자료와 결정된 종분산계수를 바탕으로 Robust회귀법을 통해 상기 단계(b)에서의 종분산계수 경험식으로부터 일정한 수학식을 도출하여 종분산계수 추정치를 구하는 단계, 및 (e) 상기 단계(a)에서 저장된 하천의 유속과 단면적 및 상기 단계(d)에서 구한 종분산계수를 입력자료로 하여 하천 내에서 오염물의 농도인 수치해를 수치모형을 구축하여 구하는 단계로 구성됨으로써, 경제성과 효율성을 고루 갖추고 있으면서, 실측된 종분산계수가 없는 사용자에게 기본적인 수리인자 정보만을 가지고 간편하게 종분산계수를 추정하여 거리 혹은 시간변화에 대한 오염물질의 농도변화를 수치모형으로 직접 표현하여 오염물질의 거동해석에 유용하게 활용될 수 있다.

Description

하천의 기본수리량을 활용한 종분산계수의 산정을 통해 1차원 오염물 분산거동 해석방법 {Method for analyzing one-dimensional dispersion behavior of pollutant through estimation of the longitudinal dispersion coefficient using the basic hydraulic data in a river}

본 발명은 하천의 기본수리량을 활용한 종분산계수의 산정을 통해 1차원 오염물 분산거동 해석방법에 관한 것으로, 보다 상세하게는 경제성과 효율성을 고루 갖추고 있으면서, 실측된 종분산계수가 없는 사용자에게 기본적인 수리인자 정보만을 가지고 간편하게 종분산계수를 추정하여 거리 혹은 시간변화에 대한 오염물질의 농도변화를 수치모형으로 직접 표현하여 오염물질의 거동해석에 유용하게 활용되게 함으로써, 취수장 운영·수질 예경보 시스템 개발 등에 기초적인 정보를 제공하는, 하천의 기본수리량을 활용한 종분산계수의 산정을 통해 1차원 오염물 분산거동 해석방법에 관한 것이다.

실제하천에서는 사행, 하안에 발달하는 사수역 혹은 저장대, 그리고 웅덩이와 여울구조와 같은 하상의 불규칙성 등이 존재하여 유속구조가 흐름방향을 따라 불균일하고 2차류가 발달하는 등 복잡한 형태를 갖게 되어 이로 인한 오염물질의 이송 및 분산과정이 매우 복잡하게 된다.

이러한 자연하천에 사고 등으로 인한 오염물질의 유입이 발생할 경우, 시간 및 공간적 오염물질 거동을 해석하는 방법으로는 수치해석, 현장실험, 그리고 실험실 실험 등이 있는데, 현장실험(field analysis)이나 실험실 실험(hydraulic analysis)의 경우는 자연현상에 가장 근접한 결과나 양상을 확인할 수 있으나 수치모형에 비해 고가의 예산과 물량이 필요하게 되며, 또한 다양한 조건에 대하여 실험을 수행하여 비교하기가 매우 어려운 실정인데 반해, 수치실험(numerical analysis)은 보다 경제적이면서도 현상을 분석하기에 적용성이 높고 반복적인 실험을 통해서 결과나 그 양상을 정확하게 확인할 수 있다.

자연하천에 오염물질의 유입이 발생한 경우에 대한 시간 및 공간적 양상을 해석하기 위해 Taylor(1954)에 의해 개발된 1차원 이송-확산모형이 널리 사용되고 있는데, 1차원 이송-확산모형을 자연하천에 적용하여 오염물질의 농도를 예측할 때 부딪치는 가장 중요하고도 어려운 문제는 적절한 종분산계수의 산정이다.

이러한 종분산계수를 이론적으로 결정하는 방법은 Taylor(1954)에 의해 처음으로 제시되었고 Elder(1959)에 의해 확장된 바 있다. Elder(1959)는 1차원 분산해석을 위해 주흐름의 연직분포를 로그분포로 가정하여 종분산계수를 이론적으로 도출하였으며, 그가 개발한 식은 이론적 배경을 가지면서도 간단한 상수로 표현되어 종분산계수 산정에 범용적으로 사용되고 있다.

그러나, 지금까지 하천 및 수로 내에서의 분산계수 산정방법은 흐름과 확산거동이 복잡한 자연하천에서의 종확산을 대표하지 못하고 실제 현상과는 다소 차이 를 보이며, 그 차이 또한 공식에 따라 매우 다른 양상을 보이므로 이들을 사용하여 자연하천의 확산특성을 예측할 경우 부정확한 결과를 초래하는 단점이 있어, 다양한 하천의 지형조건 및 수리조건에도 적용 가능한 범용적인 종분산계수 경험식을 제공하는 것이 필요하게 되었다.

본 발명은 상기와 같은 문제점을 해결하기 위해 안출된 것으로, 본 발명의 목적은 분산실험이 수행되지 않아서 종분산계수 실측치를 구할 수 없는 하천의 확산거동을 예측하기 위하여 이송-확산모형을 적용할 필요가 있는 경우에 사용할 수 있도록 비교적 수집이 용이한 수리량 자료로부터 종분산계수를 산정할 수 있는 경험식을 활용함으로써 오염물의 거동 해석에 유용하게 적용되는 방법을 제공하는 데 있다.

상기와 같은 목적을 달성하기 위하여, 본 발명은 (a) 해석 대상 하천의 유속과 단면적을 포함하는 하천정보를 조사·저장하는 단계와; (b) 차원해석을 통해 자연하천에서 수집이 용이한 기본 수리량만으로 종분산에 영향을 주는 무차원 인자들을 선정하여 종분산계수 경험식을 도출하는 단계와; (c) 종분산계수의 산정에 필요한 경험식 개발을 위해 국내외 일정개수의 자연하천에서 일정개수의 지점의 하천수리량 자료(유속, 수심, 하폭, 종분산계수)를 수집·저장하되, 상기 수집된 하천수리량 자료 중의 종분산계수는 추적방법으로 결정되는 단계와; (d) 상기 단계(c)에서 수집된 자료와 결정된 종분산계수를 바탕으로 Robust회귀법을 통해 상기 단계(b)에서의 종분산계수 경험식으로부터 일정한 수학식을 도출하여 종분산계수 추정치를 구하는 단계, 및 (e) 상기 단계(a)에서 저장된 하천의 유속과 단면적 및 상기 단계(d)에서 구한 종분산계수를 입력자료로 하여 하천 내에서 오염물의 농도인 수치해를 수치모형을 구축하여 구하는 단계로 구성되는 것을 특징으로 하는 하천의 기본수리량을 활용한 종분산계수의 산정을 통해 1차원 오염물 분산거동 해석방법을 제공한다.

이상에서 살펴본, 본 발명인 하천의 기본수리량을 활용한 종분산계수의 산정을 통해 1차원 오염물 분산거동 해석방법은 경제성과 효율성을 고루 갖추고 있으면서, 실측된 종분산계수가 없는 사용자에게 기본적인 수리인자 정보만을 가지고 간편하게 종분산계수를 추정하여 거리 혹은 시간변화에 대한 오염물질의 농도변화를 수치모형으로 직접 표현하여 오염물질의 거동해석에 유용하게 활용되게 함으로써, 취수장 운영·수질 예경보 시스템 개발 등에 기초적인 정보를 제공하는 효과가 있다.

본 발명은 종분산계수의 산정을 위한 새로운 경험식 개발을 위해 우선 차원해석을 통해 자연하천에서의 종분산에 지대한 영향을 주는 무차원 인자들만 정리하여 종분산계수를 유도하면 다음의 수학식 1과 같다.

여기서, K 는 종분산계수, h 는 평균수심, U* 는 전단유속, f 는 임의의 함수, U 는 흐름방향 평균유속, W 는 하폭이다.

다음으로, 상기 수학식 1을 회귀분석을 통한 경험식 개발을 위해 다음의 수학식 2와 같은 멱함수의 곱으로 가정한다.

여기서, α, β, γ 는 회귀상수들이다.

그 다음으로, 본 발명에서는 종분산계수의 산정을 위한 경험식 개발을 위해 국내외 26개 하천의 59개 지점의 하천수리량 자료 및 종분산 자료를 수집하고 추적방법을 이용하여 각 지점의 종분산계수를 결정하였다. 한편, 본 발명에서 사용된 자료는 다음의 표 1과 같고, 수집된 자료인 표 1에서의 a가 표시된 부분은 개발된 경험식의 유도에 사용한 35점이고, 나머지는 경험식 검증에 사용한 24점의 자료이다.

상기 표 1에서 경험식 개발과 검증에 사용되는 각각의 자료의 분류는 무작위로 분류하되 경험식 개발과 검증에 사용한 두 개의 자료군의 불일치율 분포가 유사하도록 분류한 것이고, 표 1에 제시된 종분산계수는 추적방법에 의해 결정된 것으로서 추적방법에 사용되는 수학식은 다음의 수학식 3과 같다. 참고로, 회귀식의 유도에 사용되는 자료는 검증에 사용할 수 없으므로 유도에 사용되는 자료와 검증에 사용되는 자료는 분리해서 사용하여야 하며, 본 발명에서는 경험식 개발에 사용되는 자료의 수가 검증에 사용되는 자료의 수보다 많도록 분리하여 보다 자연하천의 분산특성이 잘 반영된 경험식이 개발될 수 있도록 한다.

여기서, x₁, x₂ 는 각각 상류 및 하류지점의 좌표,

,

는 각각 상류 및 하류지점에서 농도분포곡선의 도심(centroid)이 이동하는데 걸리는 시간, C(x₁,τ)는 x₁지점에서 시간이 τ일 때의 농도분포, C(x₂,t)는 x₂지점에서 시간이 t일 때의 농도분포, 그리고 종분산계수 K 는 상기 수학식 3에 의해서 계산된 하류지점 농도분포와 실측된 농도분포의 평균자승추정오차(least square error)가 가장 작은 값으로 결정한다.

본 발명에서 사용된 상기 표 1의 종분산계수를 결정하기 위한 추적방법은 혼합구간(mixing length) 이후의 상, 하류 2개 지점에서 실측된 농도분포가 있는 경우에 상류지점의 시간에 따른 농도분포를 추적하여 하류지점의 시간에 따른 농도분포를 예측하는 방법인데, 상류지점의 시간에 따른 농도분포를 초기 입력조건으로 하여 이를 상기 수학식 3에 대입하고 적분하면, 하류지점의 시간에 따른 농도분포를 구할 수 있고, 이렇게 구한 계산치를 하류지점에서 실측된 시간에 따른 농도분 포와 비교하여 두 농도분포가 가장 일치하는 종분산계수를 선정하는 방법이다.

즉, 임의의 종분산계수를 초기값으로 설정하고 실측된 상류지점의 농도분포와 함께 상기 수학식 3에 대입하여 하류지점의 농도분포를 계산하고, 그 계산된 하류지점의 농도분포1과 동일 지점에서의 실측된 하류지점의 농도분포 간의 오차1을 산정하되, 종분산계수 초기값으로 종래의 연구결과를 이용하게 되면 종분산계수의 실측치는 종래의 연구결과값을 크게 벗어나지 않으므로 계산시간을 단축할 수 있다. 그리고, 상기 오차1보다 계산된 하류지점의 농도분포와 동일 지점에서의 실측된 하류지점의 농도분포 간의 오차2...오차n을 계속적으로 감소시킬 수 있도록 종분산계수를 일정한 방향성을 가지고 반복적으로 조정하여 그에 대응하고 상기 수학식 3을 만족하는 하류지점의 농도분포2...하류지점의 농도분포n을 계속적으로 계산하고, 종분산계수를 일정한 방향성을 가지고 조정하여 계산된 하류지점의 농도분포n+1과 동일 지점에서의 실측된 하류지점의 농도분포 간의 오차n+1이 상기 오차n 보다 역으로 증가하면 계산을 중지하며, 오차가 최소가 되는 순간인 오차n이 산정되도록 하는 종분산계수를 추적방법에 의한 실측치로 설정하게 된다. 여기서는 통상적인 비선형 다중회귀법 중 하나인 Gauss-Newton법을 이용하여 하류지점에서 계산 농도분포와 실측 농도분포 간의 오차를 제곱한 평균치가 최소가 되게끔 종분산계수를 iteration하여 조정함이 바람직하다.

만일 혼합구간 이후 구간에서 두 개 이상의 지점에서 농도분포가 측정되었다면, 하천을 대표하는 종분산계수를 구하는 방법은 혼합구간 이후의 모든 측정지점 구간에 대해서 종분산계수를 구하고, 이렇게 구해진 종분산계수를 평균하는 방법이 있는데, 이러한 방법으로 구해진 종분산계수는 하천을 대표하는 것으로 보기 힘들기 때문에 혼합구간 이후의 최상류 지점에서 수집된 시간에 따른 농도분포와 최하류 지점에서 수집된 2개의 시간에 따른 농도분포자료만을 이용하여 종분산계수를 구하는 방법으로 하천의 대표 종분산계수를 결정한다.

경험식 개발을 위해 상기 수집된 수리량 자료와 상기 추적방법을 통해 결정된 종분산계수 35점을 바탕으로 Robust회귀법을 통해 상기 수학식 2의 회귀상수들을 결정하면 다음의 수학식 4와 같은 최종 경험식이 도출된다.

한편, 일반적인 회귀식의 경우 최소자승법(least square method)을 사용하여 잔차(residual)의 제곱합을 최소화하는 방식이나 이 최소자승법은 잔차에 제곱을 하기 때문에 이상점(outlier)의 영향이 매우 커지게 되는 단점이 있어, 본 발명에서의 회귀분석은 상기에서 살펴본 바와 같이 Robust 회귀법을 사용하는데, 이 Robust 회귀법은 이중제곱 가중치를 이용하는 것으로서 먼저 가중최소자승법을 사용하여 회귀분석을 수행한 이후 수정잔차를 계산하여 이상점의 영향을 최소화시킬 수 있도록 한 방식으로, 본 발명에서는 매트랩(Matlab)을 이용하여 회귀분석을 수행함이 바람직하다. 즉, 본 발명에서 사용한 Robust 최적화방법의 계산순서는 먼저 최소제곱법으로 구해진 종분산계수 추정치를 초기치로 가정하고 이를 이용하여 척도추정량을 구하여 잔차를 최소화하는 Robust 종분산계수 추정치를 계산하며, 이렇 게 구한 Robust 종분산계수 추정치를 다시 초기치로 가정하여 위와 같은 과정을 반복하여 Robust 잔차가 0이 되는 최적 종분산계수 추정치를 구하는 방법으로 계산이 완료된다.

더불어, 상기 개발된 경험식을 검증하기 위해 표 1의 검증 자료 24점을 이용하여 상기 수학식 4와 기존 연구들 중 비교적 거동이 우수한 경험식(McQuivey와 Keefer 공식, 1974; Liu 공식, 1977; Iwasa와 Aya, 1991)을 비교한 결과를 도 2에 나타내었다.

도 2에서 알 수 있듯이, 본 발명에서 제안된 경험식을 이용한 결과 무차원 종분산계수의 추정치와 추적방법에 의한 실측치가 잘 일치하고 있음을 알 수 있으나, 기존 연구들의 경험식은 전반적으로 종분산계수를 과대 혹은 과소산정하는 경향을 보인다.

따라서, 본 발명에서 개발한 경험식은 정확한 종분산계수 추정에 효율적임을 알 수 있는데, 이는 기존의 경험식에 비하여 많은 양의 현장실험 자료를 사용하여 경험식을 유도하였을 뿐만 아니라, 이론적 고찰을 통하여 물리적으로 의미있는 수리량자료를 모두 경험식에 포함시켰기 때문이다. 또한 Robust 최적화방법을 사용하여 비선형 회귀식을 유도함으로서 회귀해에 나쁜 영향을 미칠 수 있는 이상점의 효과를 극소화시킨 것도 본 발명에서 개발한 경험식의 우수성에 크게 이바지 하였다고 볼 수 있다.

본 발명에서는 종분산계수 추정값을 정량적으로 비교하기 위하여 도 3과 같은 종분산계수 추정치를 종분산계수 실측치로 나눈값에 로그(log)를 취하는 방법으 로 불일치율을 계산하는 방법을 제안한다. 이 때 불일치율이 0이면 추정치는 실측치와 완전히 일치하는 것이며, 0보다 크면 종분산계수를 과대산정하는 것이고 0보다 작으면 종분산계수를 과소산정하는 것이다.

이 방법은 추정공식의 추정치를 정량적으로 비교하는데 활용될 수 있으며, 이 때 정확도는 불일치율의 범위가 -0.3에서 0.3 사이에 있는 자료점의 전체 갯수에 대한 비율을 구하는 것으로 추정공식의 정확도를 판단하는데 활용될 수 있다.

나아가, 자연하천의 오염물질의 분산과정을 해석하기 위해서는 정교한 3차원 혹은 2차원해석모형을 적용하는 것이 바람직하지만 이는 상당한 노력과 시간이 요구되고, 대부분의 하천에서 수심방향 및 횡방향의 혼합은 종방향의 혼합에 비해 빠르게 이루어지므로 1차원 이송-분산모형을 이용하게 되면 오염물의 분산현상을 효율적으로 해석할 수 있다.

현재까지 국내의 경우 하천해석 실무에서 하폭방향의 혼합이 완료된 것을 가정하여 1차원 종분산 모형을 적용하는 것이 일반적이므로, 본 발명에서는 오염물의 거동을 해석하기 위해 다음의 수학식 5와 같은 1차원 이송-분산 방정식을 지배방정식으로 이용한다.

여기서, C 는 임의의 시간과 위치에서의 오염물의 농도, U 는 종방향 평균유속, A 는 하천 단면적, K 는 종분산계수, t 는 시간, 그리고 x 는 종방향 거리이 다.

이 때 평균유속 U 및 단면적 A 그리고 앞서 기술한 방법으로 결정된 모형의 매개변수인 종분산계수 K 가 입력자료로 들어가고, 상기 수학식 5는 결국 미지수가 C 하나이므로 편미분방정식을 풀 수 있게 된다.

그러나, 상기 수학식 5를 복잡한 경계조건을 갖는 Domain(일반 자연하천)에 적용하여 농도 C를 해석적으로 구하기란 불가능하므로 수치모형을 구축하여 통상 근사해(수치해)를 얻어야 한다.

따라서, 본 발명에서 수치해를 얻기 위한 방법으로 통상적인 유한차분법(Finite Difference Method, FDM)과 유한요소법(Finite Element Method, FEM)을 활용할 수 있을 것이다.

참고로, 상기 유한차분법은 지배방정식인 편미분 방정식을 Taylor series를 이용하여 차분 방정식으로 근사시켜 수치해를 구하는 방법으로, 보다 직접적으로 해를 구할 수는 있으나, 복잡한 Domain에 적용하기에는 어려움이 많고, 유한요소법은 대상 Domain을 유한 개의 영역(요소)으로 분할하여 이 영역을 대표하는 접점(node)을 정한 다음, 이 접점의 지배방정식을 연립 1차 방정식에 근사시켜 푸는 방법으로 요소분할을 잘게 할수록 연립할 방정식이 많아져 계산용량이 커지는 단점이 있으나, 복잡한 지형에도 유연하게 대처할 수 있다는 장점이 있다.

상기에서는 본 발명에 대한 특정의 바람직한 실시예를 도시하고 설명하였으나, 본 발명은 상술한 실시예에만 한정되는 것은 아니고, 본 발명이 속하는 기술분야에서 통상의 지식을 가진 자라면 본 발명의 기술적 요지를 벗어남이 없이 다양하 게 변경시킬 수 있을 것이다.

도 1 은 본 발명에 따른 종분산계수의 산정을 통해 1차원 오염물 분산거동을 해석하는 일실시예를 나타낸 흐름도.

도 2 는 본 발명에 따른 종분산계수의 경험식에 의한 추정치와 추적방법에 의한 실측치의 비교결과를 나타낸 도면.

도 3 은 본 발명에 따른 종분산계수 추정치 결과와 기존에 제안된 추정치 결과의 불일치율과 정확도를 비교하여 나타낸 도면.

Claims (4)

1. 종분산계수의 산정을 통해 하천에서의 오염물 분산거동을 해석하는 방법에 있어서,

   (a) 해석 대상 하천의 유속과 단면적을 포함하는 하천정보를 조사·저장하는 단계와;

   (b) 차원해석을 통해 자연하천에서 수집이 용이한 기본 수리량, 즉 평균수심 h와 전단유속 U*와 흐름방향 평균유속 U 및 하폭 W 만으로 종분산에 영향을 주는 무차원 인자들, 즉 W/h와 U/U*을 선정하여 다음의 종분산계수 경험식을 도출하는 단계와;

   

   (여기서, α, β, γ 는 회귀상수들임)

   (c) 종분산계수의 산정에 필요한 경험식 개발을 위해 국내외 일정개수의 자연하천에서 일정개수의 지점의 하천수리량 자료, 즉 평균수심 h와 전단유속 U*와 흐름방향 평균유속 U와 하폭 W 및 종분산계수 K를 수집·저장하되, 상기 수집된 하천수리량 자료 중의 종분산계수는 추적방법으로 결정되며,

   상기 추적방법은 다음의 수학식

   

   (여기서, x₁, x₂ 는 각각 상류 및 하류지점의 좌표,

   

   ,

   

   는 각각 상류 및 하류지점에서 농도분포곡선의 도심(centroid)이 이동하는데 걸리는 시간, C(x₁,τ)는 x₁지점에서 시간이 τ일 때의 농도분포, C(x₂,t)는 x₂지점에서 시간이 t일 때의 농도분포, K 는 종분산계수, U 는 종방향 평균유속)으로 계산된 하류지점 농도분포와 실측된 농도분포의 평균자승추정오차(least square error)가 가장 작은 값이 되는데 이용된 종분산계수가 결정되는 단계와;

   (d) 상기 단계(c)에서 수집된 자료와 결정된 종분산계수를 바탕으로 Robust회귀법을 통해 상기 단계(b)에서의 종분산계수 경험식으로부터 다음의 수학식을 도출하여 종분산계수 추정치를 구하는 단계

   

   (여기서, K 는 종분산계수, h 는 평균수심, U* 는 전단유속, U 는 흐름방향 평균유속, W 는 하폭임), 및

   (e) 상기 단계(a)에서 저장된 하천의 유속과 단면적 및 상기 단계(d)에서 구한 종분산계수를 입력자료로 하여 하천 내에서 오염물의 농도인 수치해를 수치모형을 구축하여 구하되, 상기 수치모형의 지배방정식은

   

   (여기서, C 는 임의의 시간과 위치에서의 오염물의 농도, U 는 종방향 평균유속, A 는 하천 단면적, K 는 종분산계수, t 는 시간, 그리고 x 는 종방향 거리)인 단계로 구성되는 것을 특징으로 하는 하천의 기본수리량을 활용한 종분산계수의 산정을 통해 1차원 오염물 분산거동 해석방법.
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