KR101094237B1 - 시간분리기법을 이용하여 하천에서 오염물질 종분산과정을 해석하는 방법 - Google Patents

시간분리기법을 이용하여 하천에서 오염물질 종분산과정을 해석하는 방법 Download PDF

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Abstract

본 발명은 시간분리기법을 이용하여 하천에서 오염물질 종분산과정을 해석하는 방법에 관한 것으로, (a) 수로를 격자모형으로 구성하고 이러한 수로에 순간주입된 선오염원의 초기농도 Co 와 혼합시간 tm 가 입력자료로 입력되어 저장되는 단계와; (b) 일정한 수학식을 만족하는 유속의 횡방향 분포가 격자별로 계산되어 저장되는 단계와; (c) 상기 단계(a)의 초기농도 Co 가 할당된 격자가 상기 단계(b)의 격자별 유속과 혼합시간 tm 의 곱에 의해 계산된 거리만큼 이동되어 종방향 이송이 완료되는 단계와; (d) 상기 단계 (c)의 종방향 이송이 완료된 후 횡방향 분산까지 모두 완료되는 상태를 나타내기 위해 격자모형의 각 열마다 농도의 평균값이 재할당되어 농도분포가 격자별로 저장되는 단계, 및 (e) 종방향 이송이 수로의 모의영역의 경계에 도달할 때까지 상기 재할당된 농도분포를 가지는 격자들이 다시 격자별 유속과 혼합시간 tm 의 곱에 의해 계산된 거리만큼 이동되고 횡방향 분산에 의해 농도의 평균값이 할당되어 농도분포가 저장되는 단계로 구성됨으로써, 오염물질 혼합의 물리적 과정을 정확하게 설명할 수 있기 때문에 좀 더 신뢰성 있는 해석결과를 낼 수 있는 효과가 있다.

Description

시간분리기법을 이용하여 하천에서 오염물질 종분산과정을 해석하는 방법 {Method for analyzing a longitudinal dispersion mechanism of pollutant in a river using time-splitting method}
본 발명은 시간분리기법을 이용하여 하천에서 오염물질 종분산과정을 해석하는 방법에 관한 것으로, 보다 상세하게는 하천의 종방향 유속분포에 따른 이송과 횡방향 혼합의 결합에 의한 분산과정을 가시적으로 나타낼 수 있고, 오염물질 혼합의 물리적 과정을 정확하게 설명할 수 있기 때문에 좀 더 신뢰성 있는 해석결과를 낼 수 있으며, 이러한 해석결과를 바탕으로 종분산계수를 산정하여 하천의 평균 수리량 자료만을 포함하고 있는 종분산계수 추정식을 제안함으로써 일반적인 하천에 효율적으로 적용할 수 있는, 시간분리기법을 이용하여 하천에서 오염물질 종분산과정을 해석하는 방법에 관한 것이다.
전단류란 3차원 흐름이 존재하는 수로에서 단면 내 위치에 따라 서로 다른 유속을 갖는 흐름을 말하며, 일반적인 하천에서의 물의 흐름은 전단흐름으로 분류된다. 전단류 분산은 유속차에 의한 흐름방향의 전단이송과 횡방향 난류확산의 결합작용에 의한 오염물질의 퍼짐 현상이라 할 수 있다. 따라서 전단흐름이 존재하는 경우, 단면 전체에서 모두 같은 유속을 가지는 흐름과는 다른 분산특성을 가진다. 이를 해석하기 위해 많은 연구자들이 이송-분산 방정식을 수학적 또는 수치적 방법을 통해 해를 구하고 공학적 문제 해결에 적용하기 위한 연구를 수행해 왔다.
한편, 1950년대 초 Taylor (1953, 1954)가 층류 및 난류에서의 전단류 분산(shear flow dispersion)에 관한 이론을 처음 발표한 이래, Taylor의 이론은 개수로 및 자연하천에서의 오염물질의 분산 메커니즘을 해석하는데 적용되어 왔다. 이후 하천에서의 오염물질 이동을 지배하는 방정식인 1차원 종분산 방정식의 수치해에 대해 다양한 Eulerian-type 방법을 적용하는 연구가 수행되었으며, 이송-확산 방정식의 이송과정을 제대로 반영하기 위하여 Lagrangian-type 방법이 사용되기도 하였다. 또한, Eulerian방법과 Lagrangian방법의 장점을 이용하는 Euler-Lagrangian방법에 대한 연구가 활발히 수행되어, 이송만을 지배하는 이송방정식과 분산만을 지배하는 분산방정식을 분리하고 다양한 보간방법을 적용한 수치해석 연구결과가 제시되었다. Taylor 이론을 이용하여 유도된 1차원 종분산 방정식은 다음의 수학식 1과 같다(Fischer 등, 1979).
Figure 112010015962918-pat00001
여기서
Figure 112010015962918-pat00002
는 단면 평균 농도, U 는 단면평균유속, K 는 종분산계수, x 는 종방향 좌표, t 는 시간이다. 오염물질 덩어리가 순간적으로 한 지점에 유입된 경우에 대한 상기 수학식 1의 해석해는 다음의 수학식 2와 같다.
Figure 112010015962918-pat00003
여기서
Figure 112010015962918-pat00004
은 단면적 당 질량이다.
자연하천에서 오염물질의 농도분포 예측에 1차원 종분산모형을 이용하는 경우 적절한 종분산계수의 선택이 중요한 과제로 대두된다. 특히 분산특성이 알려지지 않은 하천에 있어서는 종분산계수는 실험식 또는 경험식을 통해 추정하게 된다. Fischer (1966, 1968)는 하폭 대 수심비가 충분히 크고 하폭방향으로 유속분포가 존재하는 하천에 대해 종분산계수를 다음의 수학식 3과 같이 유도하였다.
Figure 112010015962918-pat00005
여기서 A 는 단면적, W 는 하폭, Dt 는 횡방향 분산계수, h 는 수심, u' 은 수심평균유속 u와 단면평균유속 U와의 편차, y 는 하폭방향 좌표이다. Fischer는 상기 수학식 3의 각 변수에 대해 단면평균값을 이용한 무차원화를 통해 다음의 수학식 4와 같이 좀더 간단한 형태의 종분산계수식을 유도하였다.
Figure 112010015962918-pat00006
여기서 W1 은 특성폭 (characteristic length)이며, I 는 무차원 삼중적분항,
Figure 112010015962918-pat00007
은 유속편차의 크기를 나타내는 유속편차강도(Intensity of Velocity Deviation; IVD)의 제곱으로서 다음의 수학식 5와 같이 정의된다.
Figure 112010015962918-pat00008
Fischer 는 상기 수학식 4에 몇 가지 가정을 도입하여 다음의 수학식 6과 같이 간단한 형태의 종분산계수 식을 제안하였다.
Figure 112010015962918-pat00009
여기서 H 는 단면평균 수심, U* 는 전단유속이다.
이후에도 Liu (1977), Iwasa와 Aya (1991), Seo와 Cheong (1998), Deng 등 (2001) 등 많은 연구자들이 이론적 혹은 실험적 연구를 통해 다양한 형태의 종분산계수식을 제안하였다.
그러나, 이러한 종분산계수 추정식들은 특정한 하천이나 흐름조건에 제한적으로 사용이 되므로, 광범위한 적용에는 부적합한 경우가 많다. 또한, 하천에서 오염물질의 종분산과정을 설명하기 위한 기존의 해석방법은 전단류 분산이론에 대한 물리적 고려 없이 수학적 풀이에 기초한 방법이 주를 이뤄왔다. 이러한 해석법은 이송-분산 방정식에 대한 수치적 해를 구하는 것에만 치중하여 실제의 물리적 현상에 대한 이해를 간과할 수 있다.
따라서, 자연하천에 유입된 오염물질의 분산과정에 대한 물리적 현상을 직관적으로 이해하고 이를 통해 분산현상을 보다 개념적으로 설명할 수 있는 모형의 개발과 이론적 접근을 통해 일반적으로 적용가능하며 일관성 있고 신뢰도 높은 추정값을 제공하는 추정식의 개발이 필요한 실정이고, 이에 본 발명은 시간분리기법을 이용한 종분산해석 모형을 제안하고, 이 모형에 의한 해석 결과와 이론적 수치해와의 비교를 통해 새로운 종분산계수 추정식을 제안하고자 한다.
본 발명은 상기와 같은 문제점을 해결하기 위해 안출된 것으로, 본 발명의 목적은 시간분리기법을 이용하여 전단류 분산 이론을 보다 물리적 관점에서 해석하는 수치모형을 제안하고, 이를 2차원 개수로에 적용하여 얻은 해석결과를 이용해 종분산계수를 산정하고 이를 통하여 새로운 종분산계수 추정식을 제안하는, 시간분리기법을 이용하여 하천에서 오염물질 종분산과정을 해석하는 방법을 제공하는 데 있다.
상기와 같은 목적을 달성하기 위하여, 본 발명은
(a) 수로를 일정 개수의 행(lane)과 종방향 거리가 △x로 나누어진 격자모형으로 구성하고 이러한 수로에 순간주입된 선오염원의 초기농도 Co 와 혼합시간 tm 가 입력자료로 입력되어 저장되는 단계와;
(b) 다음의 수학식이 포함된 메인 메모리 내의 프로그램을 이용해 다음의 수학식을 만족하는 유속의 횡방향 분포가 격자별로 계산되어 저장되는 단계와;
Figure 112010015962918-pat00010
(여기서 γ 는 비례상수, W 는 하폭,
Figure 112010015962918-pat00011
, Hc 는 수로중심에서의 수심, y 는 하폭방향 좌표이다.)
(c) 상기 단계(a)의 초기농도 Co 가 할당된 격자가 메인 메모리 내의 프로그램을 이용해 상기 단계(b)의 격자별 유속과 혼합시간 tm 의 곱에 의해 계산된 거리만큼 이동되어 종방향 이송이 완료되는 단계와;
(d) 상기 단계 (c)의 종방향 이송이 완료된 후 메인 메모리 내의 프로그램을 이용해 횡방향 분산까지 모두 완료되는 상태를 나타내기 위해 격자모형의 각 열마다 농도의 평균값이 재할당되어 농도분포가 격자별로 저장되는 단계, 및
(e) 종방향 이송이 수로의 모의영역의 경계에 도달할 때까지 메인 메모리 내의 프로그램을 이용해 상기 재할당된 농도분포를 가지는 격자들이 다시 격자별 유속과 혼합시간 tm 의 곱에 의해 계산된 거리만큼 이동되고 횡방향 분산에 의해 농도의 평균값이 할당되어 농도분포가 저장되는 단계로 구성되는 것을 특징으로 한다.
이상에서 살펴본, 본 발명인 시간분리기법을 이용하여 하천에서 오염물질 종분산과정을 해석하는 방법은 하천의 종방향 유속분포에 따른 이송과 횡방향 혼합의 결합에 의한 분산과정을 가시적으로 나타낼 수 있고, 오염물질 혼합의 물리적 과정을 정확하게 설명할 수 있기 때문에 좀 더 신뢰성 있는 해석결과를 낼 수 있으며, 이러한 해석결과를 바탕으로 종분산계수를 산정하여 하천의 평균 수리량 자료만을 포함하고 있는 종분산계수 추정식을 제안함으로써 일반적인 하천에 효율적으로 적용할 수 있는 효과가 있다.
도 1 은 이송-분산 분리모형의 기본적인 개념을 나타낸 도면.
도 2 는 이송-분산 분리모형에 의한 수치모의를 나타낸 도면.
도 3 은 이송-분산 분리모형의 흐름도.
도 4 는 단면형상계수에 따른 유속분포형태를 나타낸 도면.
도 5 는 이송-분산 분리모형에 의한 수치모의결과를 나타낸 도면.
도 6 은 이송-분산 분리모형과 1차원 종분산모형의 해석해와의 비교를 나타낸 도면.
도 7 은 종분산계수와 혼합시간 간의 관계를 나타낸 도면.
도 8 은 종분산계수와 유속편차강도 간의 관계를 나타낸 도면.
도 9 는 현장실측 자료를 이용한 종분산계수 추정값 비교를 나타낸 도면.
도 10 은 하폭 대 수심 비에 따른 불일치율 비교를 나타낸 도면.
상기와 같이 구성된 본 발명의 바람직한 실시예를 첨부된 도면을 참조하면서 상세히 설명하면 다음과 같다.
본 발명에 이용되는 이송-분산 분리모형(Advection-Dispersion Splitting Model, ADSM)은 Taylor의 이론을 물리적 관점에서 해석하는 수치모형이다. 본 모형은 2차원 개수로에 유입된 오염물질이 종방향 전단류 이송과 횡방향 분산의 결합효과에 의해 종방향으로 퍼지는 현상을 설명하고자 한 것이다. 이송-분산 분리모형의 개념은 아래에 수학식 7에서 제시한 2차원 이송-분산 방정식으로부터 유도된다.
Figure 112010015962918-pat00012
여기서 C 는 수심평균 농도, x 는 종방향 좌표, y 는 하폭방향 좌표, u 는 종방향 수심평균 유속성분, v 는 횡방향 수심평균 유속성분, h 는 수심, t 는 시간, Dl 은 종방향 분산계수, Dt 는 횡방향 분산계수이다. 여기서 횡방향 이송 및 종방향 분산을 무시하면 다음의 수학식 8과 같은 식이 유도된다.
Figure 112010015962918-pat00013
본 발명에서 제안하는 이송-분산 분리모형에서는 종방향 이송과 횡방향 분산이 서로 독립적이고 시간적으로 분리되어 순차적으로 진행되는 것으로 가정한다. 이러한 시간분리(time-split) 기법을 이용하여 x 방향으로 수심이 일정한 경우에 대한 상기 수학식 8을 종방향 이송식과 횡방향 분산식으로 분리하면 다음의 수학식 9와 같이 나타낼 수 있다.
Figure 112010015962918-pat00014
여기서 Cm 은 전 시간의 농도이며 Cf 는 종방향 이송만이 완료된 후의 농도, Cm+1 은 종방향 이송 후 횡방향 확산까지 모두 완료된 후의 농도분포이다. 시간 △t1 과 △t2 는 이송시간과 분산시간을 나타내는 것으로서, 이송시간과 분산시간의 합이 전체 혼합시간(△tm)이 된다. 이송시간이 분산시간보다 매우 큰 것으로 가정했기 때문에, △t1 은 △tm 과 거의 같으며, △t2 는 거의 0에 가까운 것으로 가정한다.
본 발명에서 제안하는 이송-분산 분리모형의 경우 상기 수학식 9를 직접 차분화하는 종래의 유한차분법과는 달리 수학식 9의 과정을 물리적으로 해석하여 이를 수치해석하는 방법이다. 이송-분산 분리모형의 기본적인 개념은 도 1과 같다. 전단 흐름을 가지는 수로에 오염물질이 일정한 농도를 가지는 선 오염원 형태로서 순간적으로 주입되는 것으로 가정한다. 우선 정해진 혼합시간 tm 동안 종방향 이송만이 일어나는데, 이 때 오염물질은 횡방향 위치에 따라 서로 다른 유속에 의해 이동된다. 이럴 경우, 도 1에 도시한 바와 같이, 오염물질은 종방향으로 분리되게 된다. 종방향 이송이 완료된 후 횡방향 분산이 순간적으로 발생하여 횡방향의 농도경사를 완전히 제거시키게 된다. 그 결과, 선 형태였던 오염원은 전단류의 유속차만큼 종방향으로 분산되어 더 넓은 띠를 형성하게 된다. 궁극적으로 횡방향으로 평균된 오염물질의 농도분포를 살펴보면 종방향으로 퍼짐이 발생하는 것을 알 수 있는 것이다. 이 과정이 반복되어 오염물은 결과적으로 종방향으로 넓게 퍼지게 된다. 이송-분산 분리모형에서는 유속의 절대크기뿐 아니라 전단흐름에 따른 유속편차 및 혼합시간 등이 종방향 분산에 영향을 미치는 것임을 알 수 있다. 따라서 본 발명에서는 오염물질의 물리적 이송-혼합과정에 대한 해석을 바탕으로 수치해석적 방법을 통해 오염물질의 종분산과정을 해석하고자 한다.
상기의 이송-분산 분리모형을 도 2와 같은 전단 흐름을 가지는 직선수로에 적용한다. 이 수로를 여러 개의 행(lane)으로 나누고, 또한 종방향 거리를 △x 로 나누어 격자모형으로 구성함으로써 연속적인 물리적 현상을 이산적 형태로 나타낼 수 있게 한다. 여기에 흐름방향 유속의 횡방향 분포가 정해지면, 각 행마다 서로 다른 유속이 할당된다. 순간주입된 선오염원의 초기농도는 C0 로 주어지고, 주입위치 외의 나머지 영역에서의 초기농도는 모두 0으로 주어진다.
첫 번째 단계에서는 혼합시간 tm 동안 전단류 이송이 발생하는데 이에 따라 초기농도값이 할당된 격자가 주어진 유속과 혼합시간 tm 의 곱에 의해 계산된 거리만큼 이동하게 된다. 두 번째 단계에서는 종방향 이송이 완료된 후, 횡방향 분산에 의해 오염물질이 횡방향으로 완전히 혼합되므로, 각 열마다 평균값이 재할당되게 된다. 다음 시간 단계에서 재할당된 농도분포를 가지는 격자들이 다시 전단이송되고, 횡방향 분산에 의해 평균값이 할당되면서 계속 종방향으로 넓게 퍼지는 결과를 나타내게 된다. 따라서 혼합시간이 한 번 경과할 때마다 종축에 대한 단면평균 농도분포
Figure 112010015962918-pat00015
분포를 구할 수 있게 된다. 이러한 반복적인 과정을 컴퓨터로 계산하기 위하여 구성한 수치모형에 대한 흐름도를 도 3에 도시하였다. 모의대상영역으로 하폭 대 수심비가 충분히 큰 가상적인 직선수로를 선정하였는데, 곡선수로의 경우에는 적절한 유속분포와 격자구성이 이루어져야 적용 가능할 것으로 판단된다.
본 발명에서는 하폭 대 수심 비가 매우 큰 직선하천에 적합한 것으로 알려진 Deng 등 (2001)의 유속분포식을 적용한다. Deng 등 (2001)은 하폭 대 수심 비가 매우 큰 하천에서는 각각의 수심방향 부단면(vertical)들에 대해 Manning 공식이 성립함을 가정하여, 하상형상에 따른 유속분포를 다음의 수학식 10과 같이 제안하였다.
Figure 112010015962918-pat00016
여기서 γ 는 비례상수, W 는 하폭, β 는 단면형상계수로서 Deng 등 (2001)은 다음의 수학식 11과 같이 제안하였다.
Figure 112010015962918-pat00017
여기서 W 는 하폭, Hc 는 수로중심에서의 수심이다.
단면형상계수에 따른 다양한 유속분포를 도 4에 도시하였다. 본 발명에서 제안한 이송-분산 분리모형에서 혼합시간 tm 의 적절한 산정이 매우 중요하다. 본 발명에서는 차원해석을 통해 혼합시간을 다음의 수학식 12와 같이 정의하거나 적용하고자 하는 영역의 수리 및 지형조건을 고려하여 혼합시간을 선택할 수 있다.
Figure 112010015962918-pat00018
여기서 α 는 비례상수,
Figure 112010015962918-pat00019
는 단면평균 횡방향 분산계수이다.
상기 일련의 반복적인 수치모의의 수행은 이를 컴퓨터로 수행하기 위해 프로그램 언어를 통해 직접 알고리즘을 코딩한 프로그램에 의해 이루어지는데, 이를 다시 상세히 설명하면 다음과 같다.
첫째로, 수로를 일정 개수의 행(lane)과 종방향 거리가 △x로 나누어진 격자모형으로 구성하고 이러한 수로에 순간주입된 선오염원의 초기농도 Co 와 혼합시간 tm 가 입력자료로 입력되어 저장된다.
둘째로, 상기 수학식 10이 포함된 메인 메모리 내의 프로그램을 이용해 수학식 10을 만족하는 유속의 횡방향 분포가 격자별로 계산되어 저장된다.
세째로, 상기의 초기농도 Co 가 할당된 격자가 메인 메모리 내의 프로그램을 이용해 상기의 격자별 유속과 혼합시간 tm 의 곱에 의해 계산된 거리만큼 이동되어 종방향 이송이 완료된다.
네째로, 상기의 종방향 이송이 완료된 후 메인 메모리 내의 프로그램을 이용해 횡방향 분산까지 모두 완료되는 상태를 나타내기 위해 격자모형의 각 열마다 농도의 평균값이 재할당되어 농도분포가 격자별로 저장된다.
마지막으로, 종방향 이송이 수로의 모의영역의 경계에 도달할 때까지 메인 메모리 내의 프로그램을 이용해 상기 재할당된 농도분포를 가지는 격자들이 다시 격자별 유속과 혼합시간 tm 의 곱에 의해 계산된 거리만큼 이동되고 횡방향 분산에 의해 농도의 평균값이 할당되어 농도분포가 저장되는 것이다.
상기 이송-분산 분리모형의 검증을 위한 모의대상영역은 하폭 10 m, 길이 2000m의 가상의 직선하천으로 가정한다. 하폭 대 수심 비가 충분히 크므로 2차원 흐름으로 가정하며 유속분포는 상기에서 제시한 단면형상계수에 따른 유속분포식(수학식 10)을 사용한다. 모의조건은 다음의 표 1과 같고, 이송-분산 분리모형에 의한 모의결과를 도 5에 도시하였다.
Figure 112010015962918-pat00020
도 5에서 볼 수 있듯이, 이송-분산 분리모형의 단면평균농도분포는 시간이 경과할수록 1차원 종분산 모형의 해석해에 의한 농도분포와 비슷한 양상을 보이는 것을 알 수 있다. 모의 초기에는 진행방향으로 약간 왜곡된 형태를 가지다가 곧 대칭형태를 가지게 되고, 이후 대칭형태를 유지하면서 최고농도가 점점 낮아진다. 주입 이후 대칭형태가 되기까지의 구간, 즉 초기구간은 유속분포에 따라 약간의 차이는 있으나 혼합시간의 대략 5 -10 배 정도가 된다.
이송-분산 분리모형에 의한 모의결과와 1차원 종분산모형의 해석해를 비교하여 도 6에 도시하였다. 도 6에 나타난 바와 같이, 오염물질 주입 후 시간이 경과할수록 농도분포곡선의 전반적인 형태 및 최대농도의 위치와 값 등에서 두 모형이 서로 거의 일치함을 알 수 있다. 따라서 본 발명에서 제안한 이송-분산 분리모형은 전단류 분산에 대한 Taylor 이론을 잘 표현하고 있음을 나타낸다.
다음으로, 본 발명에서는 1차원 종분산모형의 종분산계수를 산정하기 위하여 1차원 종분산 모형의 해석해에 의한 농도분포를 이송-분산 분리모형의 해석결과에 일치시킴으로써 종분산계수를 구한다. 자료적합 방법으로는 비선형최소자승법(Nonlinear square error(NLSE) method)의 일종인 Gauss-Newton 법을 사용한다. 이 방법을 통해 이송-분산 분리모형의 결과와 해석해를 비교하여 오차의 제곱이 최소가 될 때의 종분산계수를 계산한다. 그 다음으로 다양한 조건에서의 종분산계수를 산정한 후 각 변수들과 종분산계수와의 관계를 밝혀 종분산계수 추정식을 구하게 된다. 이송-분산 분리모형에서 종분산계수의 산정에 영향을 미치는 인자는 혼합시간, 평균유속의 크기, 유속 편차강도 등인데, 유속편차강도는 정량적인 형태로 나타낼 수 있으며 단면형상계수 β 를 변화시켜 다양한 값의 유속편차강도를 얻을 수 있다. 다음의 표 2에 모의 조건 및 산정된 종분산계수를 나타내었다.
Figure 112010015962918-pat00021
Figure 112010015962918-pat00022
본 발명에서는 산정된 종분산계수와 각 변수들과의 관계를 선형회귀분석을 이용하여 규명한다. 도 7 및 도 8에 종분산계수와 혼합시간, 종분산계수와 유속편차강도 간의 관계를 나타내었다.
도 7에서 종분산계수는 혼합시간과 선형관계를 가짐을 알 수 있는데, 이는 본 발명의 이송-분산 분리모형에서 혼합시간은 종방향 이송이 횡방향 확산에 대해 지배적인 정도를 나타내게 되는데, 혼합시간이 클수록 전체 분산거동에 있어 종방향 이송의 영향이 더 지배적이며 그만큼 종방향 분산이 증가하는 것으로 나타나게 됨을 의미한다. 도 8에서 종분산계수는 유속편차강도의 제곱에 비례하는 것으로 나타나는데, 유속편차강도는 전단류의 특성을 대표하는 인자로서, 이것이 클수록 오염물질이 종방향으로 분리되는 효과가 크므로 오염물질의 종방향 퍼짐도 증대되게 되는 것으로 판단된다.
이상의 결과에 근거하여 종분산계수와 혼합시간, 유속편차강도의 관계를 다음의 수학식 13과 같이 나타낼 수 있다.
Figure 112010015962918-pat00023
여기서
Figure 112010015962918-pat00024
는 비례상수,
Figure 112010015962918-pat00025
은 유속편차강도의 제곱, tm 은 혼합시간이다. 상기 수학식 13에 수학식 12를 대입하면, Fischer가 제안한 상기 수학식 4의 형태가 됨을 알 수 있다. 이 때 비례상수
Figure 112010015962918-pat00026
는 무차원 삼중적분항 I 에 관계된 항임을 유추할 수 있고, 이는 비례상수
Figure 112010015962918-pat00027
가 유속분포형태 즉 하폭 대 수심 비나 단면형상계수 등과 관련되어 있음을 알 수 있다. 본 발명에서는
Figure 112010015962918-pat00028
를 다음의 수학식 14와 같이 표현한다.
Figure 112010015962918-pat00029
여기서 W 는 하폭, H 는 단면평균 수심, a,b 는 회귀상수들이다.
상기 수학식 14를 수학식 13에 대입하면 종분산계수는 다음의 수학식 15와 같이 유도된다.
Figure 112010015962918-pat00030
상기 표 2에 수록한 인자 및 종분산계수 자료에 회귀분석을 실시하여 상기 수학식 15의 a, b 를 다음의 수학식 16과 같이 구하였다.
Figure 112010015962918-pat00031
상기 수학식 15에 수학식 12 및 수학식 16을 대입하여 정리하면, 무차원 종분산계수 추정식은 다음의 수학식 17과 같이 유도된다.
Figure 112010015962918-pat00032
이 때, 횡분산계수는 다음의 수학식 18과 같은 경험식을 이용하였다.
Figure 112010015962918-pat00033
대부분의 하천자료에서는 횡방향 유속분포를 취득하기 어려우므로 이 경우에는 유속편차강도를 단면평균유속으로 나타낼 필요가 있다. 본 발명에서는 상기 표 2에 수록한 단면평균유속 및 유속편차강도 자료를 이용하여 다음의 수학식 19와 같은 관계식을 유도하였다.
Figure 112010015962918-pat00034
상기 수학식 19를 수학식 17에 대입하면 다음의 수학식 20과 같은 식이 유도된다.
Figure 112010015962918-pat00035
상기 수학식 20의 종분산계수 추정식을 검증하기 위하여 Godfrey와 Frederick (1970), Yotsukura 등 (1970), McQuivey와 Keefer (1974), Nordin와 Sabol (1974), Rutherford (1994) 등의 문헌자료에서 38개의 실측자료를 취득하였다(표 3 참조). 실측자료의 유속, 하폭 등의 자료를 상기 종분산계수 추정식에 대입하여 계산된 종분산계수 값을 실측된 종분산계수, 기존의 종분산계수식에 의해 계산된 종분산계수 등과 비교하였다. 기존의 식으로는 Seo와 Cheong (1998)과 Deng 등 (2001)에 의해 제안된 식을 선택하였다. Seo와 Cheong (1998) 공식은 차원해석 및 실험자료를 사용하여 유도되었으며, Deng 등 (2001) 공식은 이론적 연구를 통하여 제안된 식으로 여타 다른 연구자들이 제안한 식보다 더 우수함이 검증된 바 있다.
Figure 112010015962918-pat00036
Figure 112010015962918-pat00037
표 3에 실험자료 및 계산결과를 수록하였고, 비교결과를 도 9에 도시하였다. 본 발명에서 제안된 식은 전체적으로 실측치와 일치하는 경향을 보이고 있는 반면, 기존의 식들은 다소 과대평가하는 경향이 있다. 좀더 정량적인 분석을 위해서 불일치율을 계산하였다. 불일치율은 다음의 수학식 21과 같이 정의된다.
Figure 112010015962918-pat00038
여기서 Ke 는 제안한 식으로부터 추정한 종분산계수, Km 은 실제 측정된 종분산계수이다.
불일치율이 0이면 실측치와 계산치가 완전히 일치하며, 0보다 크면 과대평가, 0보다 작으면 과소평가를 의미하게 된다. 도 10에 하폭 대 수심 비에 따른 불일치율을 도시하였는데, 본 발명에서 제안한 추정식, 수학식 20은 하폭 대 수심 비가 작은 하천에 대해서는 비교적 적절한 값을 추정하였으나 하폭 대 수심 비가 50 이상의 하천에 대해서는 다소 불일치율이 증가하는 경향을 보이고 있음을 알 수 있다.
상기에서는 본 발명에 대한 특정의 바람직한 실시예를 도시하고 설명하였으나, 본 발명은 상술한 실시예에만 한정되는 것은 아니고, 본 발명이 속하는 기술분야에서 통상의 지식을 가진 자라면 본 발명의 기술적 요지를 벗어남이 없이 다양하게 변경시킬 수 있을 것이다.

Claims (2)

  1. (a) 수로를 일정 개수의 행(lane)과 종방향 거리가 △x로 나누어진 격자모형으로 구성하고 이러한 수로에 순간주입된 선오염원의 초기농도 Co 와 혼합시간 tm 가 입력자료로 입력되어 저장되는 단계와;
    (b) 다음의 수학식이 포함된 메인 메모리 내의 프로그램을 이용해 다음의 수학식을 만족하는 유속의 횡방향 분포가 격자별로 계산되어 저장되는 단계와;
    Figure 112010015962918-pat00039

    (여기서 γ 는 비례상수, W 는 하폭,
    Figure 112010015962918-pat00040
    , Hc 는 수로중심에서의 수심, y 는 하폭방향 좌표이다.)
    (c) 상기 단계(a)의 초기농도 Co 가 할당된 격자가 메인 메모리 내의 프로그램을 이용해 상기 단계(b)의 격자별 유속과 혼합시간 tm 의 곱에 의해 계산된 거리만큼 이동되어 종방향 이송이 완료되는 단계와;
    (d) 상기 단계 (c)의 종방향 이송이 완료된 후 메인 메모리 내의 프로그램을 이용해 횡방향 분산까지 모두 완료되는 상태를 나타내기 위해 격자모형의 각 열마다 농도의 평균값이 재할당되어 농도분포가 격자별로 저장되는 단계, 및
    (e) 종방향 이송이 수로의 모의영역의 경계에 도달할 때까지 메인 메모리 내의 프로그램을 이용해 상기 재할당된 농도분포를 가지는 격자들이 다시 격자별 유속과 혼합시간 tm 의 곱에 의해 계산된 거리만큼 이동되고 횡방향 분산에 의해 농도의 평균값이 할당되어 농도분포가 저장되는 단계로 구성되는 것을 특징으로 하는 시간분리기법을 이용하여 하천에서 오염물질 종분산과정을 해석하는 방법.
  2. 삭제
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