KR100978786B1

KR100978786B1 - 베이지안 회귀분석을 이용한 수위-유량 관계곡선의불확실성 분석방법

Info

Publication number: KR100978786B1
Application number: KR1020080037612A
Authority: KR
Inventors: 김상욱; 정은성; 이길성
Original assignee: 재단법인서울대학교산학협력재단
Priority date: 2008-04-23
Filing date: 2008-04-23
Publication date: 2010-08-30
Also published as: KR20090111976A

Abstract

본 발명은 베이지안 회귀분석을 이용한 수위-유량 관계곡선의 불확실성 분석방법에 관한 것으로, (a) 참값의 매개변수가 정해진 수위-유량 관계곡선식으로부터 주어진 수위 내에서 일정 개수의 수위를 균일분포로 무작위적으로 발생시킨 후 유량을 산정하거나, 실제 수위-유량자료를 측정하는 단계와; (b) 매개변수 추정 이전의 수위-유량 관계곡선식인

(여기서, y는 유량(m³/sec), x는 수위(m), a,b,c는 매개변수)에서 영유량 수위인 b 는 황금비분할법에 의해 추정하고, a와 c 는 상기 단계(a)의 수위-유량과 일정한 수학식을 이용하여 생성된 β를 기초로 매트랩(Matlab)과 통계프로그램을 이용한 베이지안(Bayesian) 회귀분석에 의해 매개변수(a,c)당 각각 일정 개수의 추정치를 구하는 단계 및 (c) 상기 단계(b)에서 구한 매개변수(a,c)당 일정 개수의 추정치로부터 평균값, 상한값과 하한값을 구해 불확실성을 표현하는 단계로 구성됨으로써, 수위-유량 관계곡선식의 매개변수를 추정하는 데 있어서 잔차의 특성이 등분산적인 경우에 일반 회귀분석보다 불확실성을 감소시켜 주고, 잔차의 특성이 비등분산적인 경우에도 확정정인 결론을 필요로 하거나 불확실성의 측면의 결과를 필요로 하는 경우 모두 합리적으로 사용될 수 있는 효과가 있다.

Description

베이지안 회귀분석을 이용한 수위-유량 관계곡선의 불확실성 분석방법 {METHOD FOR IDENTIFYING UNCERTAINTY IN FITTING RATING CURVE WITH BAYESIAN REGRESSION}

본 발명은 베이지안 회귀분석을 이용한 수위-유량 관계곡선의 불확실성 분석방법에 관한 것으로, 보다 상세하게는 수위-유량 관계곡선식의 매개변수를 추정하는 데 있어서 선형성, 정규성 등의 가정이 필요없고 자료의 개수에 크게 영향을 받지 않는 베이지안(Bayesian) 회귀분석을 이용함으로써, 잔차의 특성이 등분산적인 경우에 일반 회귀분석보다 불확실성을 감소시켜 주고, 잔차의 특성이 비등분산적인 경우에도 확정정인 결론을 필요로 하거나 불확실성의 측면의 결과를 필요로 하는 경우 모두 합리적일 수 있는 베이지안 회귀분석을 이용한 수위-유량 관계곡선의 불확실성 분석방법에 관한 것이다.

하천의 유량 산정시, 직접적인 측정에 의해 얻어진 유량자료와 수위-유량 관계곡선(stage-discharge curve, rating curve)에 의해 산정된 유량자료는 모두 불확실성을 포함하고 있다.

직접적인 측정에 의해 얻어진 유량자료는 주로 측정 시 발생하는 계측기의 오차나 목측 시 발생하는 오차에 의해 불확실성이 발생하는 반면, 수위-유량 관계곡선을 이용하여 유량을 산정하는 경우에는 이들 외에도 수위-유량 관계곡선식의 매개변수를 추정하는 과정에서 발생하는 오차로 인해 많은 불확실성이 발생된다.

그러나 직접 측정에 의한 유량자료의 획득은 시간과 비용이 많이 소요되므로 일반적으로 수위를 먼저 측정하고 기 작성된 수위-유량 관계곡선을 이용하여 유량을 산정하는 일이 많으므로, 수위-유량 관계 곡선식의 작성 시 발생하는 불확실성을 정확하게 산정하는 것은 유량의 정확성 및 불확실성의 규명을 위한 기본적인 과정이라 할 수 있다.

한편, 국내 또는 해외에서 흔히 사용되고 있는 수위-유량 관계곡선식 중 가장 보편적인 것은 Lambie가 제시한 다음의 수학식 1과 같은 비선형 관계식이다.

여기서, y는 유량(m³/sec)이며 x는 수위(m), a,b,c는 수위와 유량관계를 이용하여 추정되어져야 하는 매개변수들이다.

수위와 유량의 측정값은 필연적으로 오차를 포함하고 있는데, 주로 측정기기, 측정방법 등으로 인해 발생한다. 직접 측정의 경우 측정된 유속, 수심이 최종적인 유량에 미치는 영향을 정량화하면서 특히 단면 변화에 따른 유량의 변화가 가장 큰 오차의 원인이 되고, 특히 위와 같은 수위-유량 관계식을 이용하는 경우에도 관계식의 매개변수 추정과정에서 발생되는 오차도 중요한 요인으로 작용된다.

수위-유량 관계곡선식을 이용하여 유량을 산정하는 경우에는 관계식의 매개변수들을 추정해야하는데, 일반적으로 로그선형 회귀분석(linear regression)이 이용된다.

이때 정확한 회귀 계수의 추정을 위해서는 회귀모형을 구성하는 잔차(residual)의 특성을 분석해야한다. 즉 일반 최소자승법(ordinary least square, 이하 'OLS'라 함)을 사용하기 위해서는 잔차가 등분산성(homoscedasticity)을 만족해야하며 그렇지 않은 경우는 다른 방법을 사용해야 한다.

특히 대부분의 수위-유량 관계에 있어서 유량이 증대함에 따라 오차가 증가되는 비등분산성(heteroscedasticity) 경향이 있으므로, 선형 회귀분석을 수행하는 경우 회귀잔차의 특성에 따라 회귀모형의 정확성이 크게 영향을 받을 수 있음을 주의하여 매개변수를 추정해야 한다.

일반적으로 일반최소자승법(OLS)에 의한 회귀분석을 이용하여 곡선식의 매개변수를 추정한 이후에는 수위-유량 관계곡선식의 불확실성을 산정하기 위해 종래에는 허쉬(Herschy, 1980)가 제안한 표준오차와 t 분포를 이용하여 전체오차 또는 개별오차를 사용하는 방법을 사용하며, 국내에서도 일반적으로 이 방법을 사용하여 수위-유량 관계곡선식의 불확실성이 분석되고 있지만, t 분포와 표준오차를 이용하여 불확실성을 산정하는 경우에는 오차의 정규성(normality), 선형성(linearity)등을 기본가정으로 사용하므로, 이를 만족시키지 않을 경우 산정된 불확실성의 범위가 과대 추정될 수 있으며, 또한 자료의 개수가 작은 경우 불확실성 추정에 큰 오차가 포함되어질 수 있다.

본 발명은 상기와 같은 문제점을 해결하기 위해 안출된 것으로, 본 발명의 목적은 수위-유량 관계곡선식의 매개변수를 추정하는 데 있어서 선형성, 정규성 등의 가정이 필요없고 자료의 개수에 크게 영향을 받지 않는 베이지안(Bayesian) 회귀분석을 이용함으로써, 잔차의 특성이 등분산적인 경우에 일반 회귀분석보다 불확실성을 감소시켜 주고, 잔차의 특성이 비등분산적인 경우에도 확정정인 결론을 필요로 하거나 불확실성의 측면의 결과를 필요로 하는 경우 모두 합리적일 수 있는 베이지안 회귀분석을 이용한 수위-유량 관계곡선의 불확실성 분석방법을 제공하는 데 있다.

본 발명의 다른 목적은 특정자료의 개수가 작은 경우에 베이지안(Bayesian) 회귀분석은 회귀분석 시 필요한 가정들과 자료의 개수에 대한 제한이 필요 없으므로 합리적으로 사용될 수 있는 베이지안 회귀분석을 이용한 수위-유량 관계곡선의 불확실성 분석방법을 제공하는 데 있다.

상기와 같은 목적을 달성하기 위하여, 본 발명은 (a) 참값의 매개변수가 정해진 수위-유량 관계곡선식으로부터 주어진 수위 내에서 일정 개수의 수위를 균일분포로 무작위적으로 발생시킨 후 유량을 산정하거나, 실제 수위-유량자료를 측정하는 단계와; (b) 매개변수 추정 이전의 수위-유량 관계곡선식인

(여기서, y는 유량(m³/sec), x는 수위(m), a,b,c는 매개변수)에서 영유량 수위인 b 는 황금비분할법에 의해 추정하고, a와 c 는 상기 단계(a)의 수위-유량과 일정한 수학식을 이용하여 생성된 β를 기초로 매트랩(Matlab)과 통계프로그램을 이용한 베이지안(Bayesian) 회귀분석에 의해 매개변수(a,c)당 각각 일정 개수의 추정치를 구하는 단계 및 (c) 상기 단계(b)에서 구한 매개변수(a,c)당 일정 개수의 추정치로부터 평균값, 상한값과 하한값을 구해 불확실성을 표현하는 단계로 구성되는 것을 특징으로 하는 베이지안 회귀분석을 이용한 수위-유량 관계곡선의 불확실성 분석방법을 제공한다.

이상에서 살펴본, 본 발명인 베이지안 회귀분석을 이용한 수위-유량 관계곡선의 불확실성 분석방법은 수위-유량 관계곡선식의 매개변수를 추정하는 데 있어서 선형성, 정규성 등의 가정이 필요없고 자료의 개수에 크게 영향을 받지 않는 베이지안(Bayesian) 회귀분석을 이용함으로써, 잔차의 특성이 등분산적인 경우에 일반 회귀분석보다 불확실성을 감소시켜 주고, 잔차의 특성이 비등분산적인 경우에도 확정정인 결론을 필요로 하거나 불확실성의 측면의 결과를 필요로 하는 경우 모두 합리적일 수 있으며, 특정자료의 개수가 작은 경우에도 베이지안(Bayesian) 회귀분석은 회귀분석 시 필요한 가정들과 자료의 개수에 대한 제한이 필요 없으므로 합리적으로 사용될 수 있는 효과가 있다.

상기와 같이 구성된 본 발명의 바람직한 실시예를 첨부된 도면을 참조하면서 상세히 설명하면 다음과 같다.

도 1 은 회귀모형의 매개변수 추정방법의 비교분석을 위한 통계적 실험의 수행을 위해 등분산케이스의 경우 발생된 유량과 수위-유량 관계곡선, 일반최소자승법(OLS)에 의한 회귀분석의 잔차를 나타낸 도면이고, 도 2 는 회귀모형의 매개변수 추정방법의 비교분석을 위한 통계적 실험의 수행을 위해 비등분산케이스의 경우 발생된 유량과 수위-유량 관계곡선, 일반최소자승법(OLS)에 의한 회귀분석의 잔차를 나타낸 도면이며, 도 3 은 등분산케이스와 비등분산케이스에 대한 수위-유량 관계곡선의 평균에 대한 유량과 이에 따른 불확실성을 산정한 결과를 나타낸 도면이고, 도 4 는 본 발명에 따른 수위-유량 관계곡선의 불확실성 분석방법의 실제 적용성을 확인하기 위한 대상유역인 안양천 유역도와 선정된 지점을 표시한 도면이며, 도 5 는 도 4에서 선정된 각 지점으로부터 얻어진 유량측정성과 자료의 잔차특성을 알아보기 위하여 잔차도를 작성하여 나타낸 도면이고, 도 6 은 도 4에서 선정된 각 지점에 대해 일반최소자승법(OLS)과 베이지안(Bayesian) 회귀분석에 의해 추정된 결과를 이용하여 각 지점에 대한 수위-유량 관계곡선의 불확실성을 나타내는 결과를 나타낸 도면이다.

상기에서 살펴보았듯이, 일반적으로 수위-유량 관계 곡선식은 수학식 1이 이용되는데, 여기서 b는 유량이‘0’인 수위를 나타내는 매개변수로서 도해적방법이나 통계적 방법을 이용하여 추정하거나 가정하여 사용될 수 있다.

상기 수학식 1의 매개변수들을 추정하기 위해 실무에서 사용되는 방법은 주로 곡선식의 양변에 로그를 취하여 선형 회귀식을 구성한 후 일반최소자승법(OLS)을 적용하는 것이다. 이때 영유량 수위 b를 정확하게 측정하기는 어려우므로 다양한 기법에 의해 결정할 수 있다.

본 발명에서 영유량 수위는 황금비분할법을 이용하여 추정하는데, 격자탐색법의 일종인 이러한 황금비분할법에서 최적의 영유량 수위를 나타내는 b값은 회귀분석 오차가 가장 적을 때의 값이고 이는 하한값에서 상한값까지 0.01씩을 증가시켜 회귀분석을 실시 후 가장 큰 결정계수(coefficient of determination)를 얻을 때이며, 상기 황금비분할법은 일반적인 사항이므로 여기서는 상세한 설 명을 생략하기로 한다.

더불어, 수위-유량 관계 곡선식의 또 다른 문제로서 곡선식의 구간에 따른 분리가 필요한 경우가 있다.

즉, 하천에서의 흐름은 저수위에서는 단면통제(section control)를 받을 수 있고 고수위에서는 하도통제(channel control)를 받게 되어 수위-유량 관계 곡선식이 변화하게 된다.

또한, 자연하천에서 단면통제를 받는 유량관측지점은 쉽게 찾기 힘들므로 작은 하천이나 인공 수로 내에 흐르는 유량을 측정하는데 흔히 사용되는 파샬플륨(Parshall flume)과 인공구조물을 설치하게 되는데, 저수위의 곡선식은 단면통제가 확실하지 않을 경우 하상 수생식물의 성장, 하상의 변동 등으로 인해 중·고수위 곡선식보다 오차가 크다고 할 수 있고, 대부분의 중·고수위 곡선식은 대수지에서 선형으로 나타낼 수 있으며 이러한 통제를 고려하여 수위에 따라 곡선식을 분할할 수 있지만, 본 발명은 불확실성 측면에서 기존 방법과 베이지안(Bayesian) 회귀분석 방법의 차이점, 장점 및 단점에 중심을 둔 것이므로, 수위-유량 관계곡선식의 분리는 없는 것으로 가정한다.

따라서, 본 발명인 베이지안(Bayesian) 회귀분석을 이용한 수위-유량 관계곡선의 불확실성 분석방법에서는 우선 정규성이나 선형성의 가정을 사용하지 않고도 불확실성의 범위를 합리적으로 나타내는 베이지안(Bayesian) 회귀분석을 이용하여 수위-유량 관계곡선식의 매개변수를 다음과 같이 추정한다.

즉, 베이즈의 정리는 A가 먼저 발생하고 그 후에 B가 발생하는 두 개의 사건 A, B가 서로 종속적일 경우 A의 사건에 의해 B 사건의 확률이 달라진다는 것인데, 베이즈의 정리를 수식으로 나타내면 수학식 2와 같고, 여기서 각각의 확률 사건을 연속 확률밀도함수(probability density function)로 나타내면 베이즈의 정리는 수학식 3과 같이 표현될 수 있다.

상기 수학식 3에서 좌변의

는 사후분포(posterior distribution), 우변 분자의

는 사전분포(prior distribution)라 명명되며, 우변의 분모는 상수로서 주변분포(marginal distribution)이고, 우변 분자의

는 발생할 수 있는 모든 가능성을 고려한 우도함수(likelihood function)이다. 분석하고자 하는 자료를 나타낼 수 있는 회귀모형이 결정되면 이로 부터 우도함수를 유도할 수 있고, 적절한 사전분포를 부여함으로써 사후분포로부터 확률밀도함수의 매개변수를 추출하고 매개변수의 불확실성을 탐색할 수 있다.

베이지안(Bayesian) 방법을 이용한 매개변수의 추정은 매개변수를 미지의 상수로 간주하는 것이 아니라 미지의 난수로 간주하게 됨으로써 추정의 관심이 되는 매개변수의 불확실성의 정도를 확률 모형을 이용하여 표현할 수 있게 된다. 결국 베이지안(Bayesian) 방법을 이용한 매개변수의 추정은 자료로부터 얻은 매개변수에 대한 정보와 매개변수에 대한 과거의 경험 또는 주관을 사전분포로 표현함으로써 보다 정확한 매개변수의 불확실성에 대한 탐색에 그 목적이 있다고 할 수 있다.

베이지안(Bayesian) 회귀분석은 최소자승법을 회귀분석에 적용하는 과정에서 확률적 개념을 이용하는 것으로부터 시작된다. 즉 이는 최소자승법에 의해 표현되는 회귀분석모형의 오차를 평균 0과 분산 σ²을 가지는 각각의 정규분포(normal distribution)에 대한 조건부확률을 이용하여 표현할 수 있다고 가정하는 것이고 이를 수식으로 나타내면 다음의 수학식 4와 같다.

여기서, σ²은 오차ε의 분산이며, N은 정규분포를 의미한다.

그러므로 설명변수와 회귀계수가 주어지는 경우 이에 대한 종속변수의 조건부 확률은 최소자승법의 특성과 상기 수학식 4를 이용하여 다음의 수학식 5로 나타 낼 수 있으며, 수학식 5에서 z=y-Xβ 로 놓고 발생할 수 있는 모든 경우를 나타내는 우도함수(likelihood function)을 구하면 다음의 수학식 6과 같다.

단, 여기서 β는 최종적으로 추정해야 하는 회귀식에서의 회귀계수로서 β=[a,c]이다.

여기서, y와 X는 각각 로그로 치환된 유량과 수위를 나타내고, β는 회귀계수인 a, c이며, σ²은 오차의 분산이며, L은 우도함수를 나타낸다.

연속분포에 대한 베이즈의 정리를 주어진 변수 β와 σ²에 대하여 다시 표현하면 다음의 수학식 7과 같이 표현할 수 있으며, 수학식 7에서 π(β,σ²)가 사전분포이고 분모인 주변확률분포는 적분하여 임의의 상수로 표현될 수 있다.

상기 수학식 7에서 사전분포를 적절히 선정하는 것은 베이지안(Bayesian) 방법을 이용하여 회귀분석을 수행하는데 있어서 가장 중요한 부분이라 할 수 있다.

사전 분포는 크게 자료에 기반한 사전분포와 자료에 기반하지 않은 사전분포로 구분할 수 있는데, 본 발명에서 적용되는 회귀분석의 경우에는 회귀계수들에 대한 자료에 기반한 사전분포를 각 대상 지점별로 구축하는 것이 불가능하다.

자료에 기반한 사전분포를 구성하기 위해서는 인근 유량자료로부터 분석하고자 하는 지점의 사전분포를 유도할 수 있으나, 회귀분석의 경우에는 회귀계수에 대한 인근 자료를 이용할 수가 없어 자료에 기반한 사전분포를 사용하는 것이 불가능하므로 본 발명에서는 소렌슨과 지아노라(Sorensen and Gianola)(2002. 정량적 유전학에서의 우도, 베이지안 그리고 엠씨엠씨방법(Likelihood, Bayesian, and MCMC methods in Quantitative Genetics))가 제안한 다음의 수학식 8과 같은 균일분포를 사용하였는데, 이와 같은 균일분포는 회귀계수에 대한 사전정보를 전혀 알 수 없다는 것을 반영한 것으로써 사전분포가 모형의 분산에만 관련되어짐을 나타낸 것이다.

앞서 언급한 바와 같이 주변분포는 적분하여 상수가 되므로, 제안된 우도함수와 사전분포를 이용하여 상기 수학식 7을 나타내면 다음의 수학식 9와 같다.

여기서, n은 자료의 개수이다.

수식의 전개를 쉽게 하기 위하여 β=[β₀,β₁]인 경우만을 고려하고, 이를 다시 행렬표기로 나타내면 다음의 수학식 10과 같다.

상기 수학식 10을 수학식 9에 대입하면 다음의 수학식 11로 정리될 수 있으며, 수학식 11이 균일분포가 적용된 베이지안(Bayesian) 회귀분석을 위한 수식이라 할 수 있고, 수학식 11의 우변의 전항을

로 표기하고 후항을

로 간략화하면 최종적인 수식은 다음의 수학식 12와 같이 정리될 수 있다.

또한 매개변수 α, γ를 가지는 역감마분포(inverse gamma distribution)는 다음의 수학식 13으로 나타낼 수 있다.

상기 수학식 13에서

로 두면, 수학식 12의 우변의 전항은 다음의 수학식 14과 같이 역감마분포를 따르는 것을 알 수 있으며, 후항은 다음의 수학식 15와 같이 정규분포를 따르는 것을 알 수 있다.

여기서, σ²은 오차의 분산, n은 자료의 개수, y와 X는 각각 로그치환된 유량과 수위, IG와 N은 각각 역감마분포와 정규분포를 나타내는 약어, s²은 표준오차,

은 일반최소자승법(OLS)을 이용하여 추정한 매개변수이다.

그러므로 구하고자 하는 회귀계수 β를 추정하기 위해서는 먼저

을 자료로부터 산정한 후 이 값들을 이용하여 상기 수학식 14로부터 σ²을 생성하고, 생성된 σ²을 이용하여 상기 수학식 15로부터 최종적으로 β를 생성시킴으로서 회귀계수를 얻을 수 있으며 이로부터 회귀계수의 평균추정치와 원하는 유의수준에서의 신뢰구간을 산정할 수 있다.

반면, 상기 베이지안(Bayesian) 방법과 기존의 t 분포를 사용하여 불확실성을 산정하는 방법을 비교하여 장단점과 적용성을 파악하기 위해 t 분포를 이용한 불확실성의 산정방법을 간략히 살펴보면 다음과 같다.

즉, 수위-유량 관계곡선의 불확실성을 결정하기 위해서는 대수변환을 통해서 얻어진 관계식으로부터 표준오차(S _e, 수학식 16)와 t 분포를 이용하여 주어진 신뢰구간에 대한 전체오차를 산정하는 방법과 개별적인 수위에 대한 오차를 산정하는 방법을 고려할 수 있고, 표준오차는 다음의 식을 이용하여 산정할 수 있으며, 95% 신뢰구간에서 전체오차(0.95S _e)와 개별적인 오차(2S _mr)는 다음의 수학식 17과 수학식 18을 이용하여 산정할 수 있다.(국제표준화기구(ISO) 1100-2 (1998)."수위-유량관계곡선의 결정." 개수로에서 유체흐름의 측정 2편("Determination of the stage-discharge relationship." Measurement of liquid flow in open channels-Part2))

여기서, Q 는 측정된 유량, Q _c 는 회귀식 등에 의해 산정된 예측유량, N은 자료의 개수, α는 유의수준, p 는 자유도를 나타내며, x와 b는 각각 수위와 영유량 수위이다.

상기 식에서 95% 신뢰구간의 평균에 대한 전체오차를 나타내는 0.95S _e와 개별적인 수위에 대한 오차를 나타내는 2S _mr을 산정하는데 있어서 t 분포를 이용하는데, 비켈과 독섬(Bickel and Doksum)(1977. 수리통계학의 기본이해와 주요 주제( Mathematical Statistics: Basic Ideas and Selected Topics))은 이와 같은 방법을 이용한 오차 하한 추정값과 상한 추정값은 자료의 개수가 감소함에 따라 과대 추정되는 경향이 있음을 제시한 바 있고, 또한 전체오차를 나타내는 0.95S _e는 측정 자료가 없는 수위-유량 관계곡선의 외삽구간에서 S _e가 일정하다는 가정 하에 회귀식의 예측유량만 있으면 유량의 상한 및 하한 추정치를 산정할 수 있지만, 수위에 따른 개별적인 오차를 산정하는 2S _mr은 측정된 자료가 있어야만 계산이 가능하므로 수위-유량 관계곡선식에서 자료가 없는 외삽구간의 경우 상한 및 하한 추정치를 산정할 수 없는 단점을 가지고 있다.

다음으로, 베이지안(Bayesian) 회귀분석방법이 수위-유량 관계곡선식의 매개변수 추정과 유량의 불확실성을 합리적으로 나타내는지를 확인하기 위하여 참값을 알고 있는 수위-유량 관계곡선식으로부터 무작위적인 오차를 가하여 매개변수를 다시 추정하고 불확실성을 산정하는 통계적 실험을 수행한 후, 기존 방법과의 장단점을 비교하기 위해 t 분포를 사용하여 불확실성을 산정하는 방법의 결과와 베이지안(Bayesian) 방법의 결과를 비교하면 다음과 같다.

일반적으로 일반최소자승법(OLS)은 회귀잔차의 등분산가정이 만족되는 경우와 만족되지 않는 경우를 나누어 회귀모형의 매개변수 추정방법에 따른 결과를 비교할 필요가 있다.

이론적으로 일반최소자승법(OLS)을 사용한 회귀분석과 베이지안(Bayesian) 회귀분석의 경우 등분산가정만 만족되면 각 방법의 평균에 대한 유량 산정결과는 거의 유사한 결과로 산정되어야하며, 그렇지 않을 경우에는 각 방법의 평균에 대한 유량 산정결과부터 다른 결과를 보여야 한다.

또한 불확실성 측면에서 95% 신뢰구간에 해당되는 하위 2.5% 추정치와 상위 97.5% 추정치에 대한 유량 산정결과는 각 방법의 결과를 통해 비교되어질 필요가 있으며, 이를 이용하여 일반최소자승법(OLS)을 이용한 회귀분석과 베이지안(Bayesian) 회귀분석의 장점과 단점을 파악할 수 있으므로, 본 발명에서는 실제 유량자료를 이용한 수위-유량 관계곡선식의 추정이전에 참값을 알고 있는 매개변수의 값을 이용하여 각 방법의 비교분석을 위한 통계적 실험을 먼저 수행한다.

참값이 정해진 수위-유량 관계곡선식은 다음의 수학식 19와 같다. 단, 영유량 수위는 황금비분할법에 의해 사전에 -0.2로 추정하였으며, 수위-유량 관계곡선식의 분리는 없는 것으로 가정한다.

주어진 수위 내에서 50개의 수위를 균일분포로부터 무작위적으로 발생시킨 후 수위-유량 관계식으로부터 유량을 산정하고, 또한 등분산성의 경우와 비등분산성의 경우에 해당되는 유량을 생성하기 위해서 등분산케이스의 경우는 분산이 0.4로 일정한 정규분포로부터 난수를 발생시키고, 비등분산케이스의 경우는 분산이 0.1부터 0.4까지 0.06만큼 변화하도록 하여 정규분포로부터 난수를 발생시켜 각각의 발생된 오차를 유량에 포함하여 오차가 등분산 또는 비등분산적인 유량을 각각 발생시킨다.

도 1의 (a)와 (b)는 상기 수학식 19를 이용하여 등분산케이스의 경우 발생된 유량과 수위-유량 관계곡선, 그리고 일반최소자승법(OLS)에 의한 회귀분석의 잔차를 나타낸 것이고, 도 2의 (a)와 (b)는 상기 수학식 19를 이용하여 비등분산케이스의 경우 발생된 유량과 수위-유량 관계곡선, 그리고 일반최소자승법(OLS)에 의한 회귀분석의 잔차를 나타낸 것인데, 잔차도에서 보면 등분산케이스의 경우 잔차는 골고루 퍼져 있는데 반해서 비등분산케이스의 경우에는 몇 점을 제외하고는 유량이 증가할수록 잔차가 증가되는 트럼펫 형상을 나타내는 것을 볼 수 있다.

본 발명에서는 영유량 수위는 추정대상에서 제외하여 -0.2로 고정하고, 상기 수학식 1의 a와 c만을 추정대상으로 하여 일반최소자승법(OLS)을 이용한 회귀분석과 베이지안(Bayesian) 회귀분석을 각각 수행한다.

한편, 일반최소자승법(OLS) 회귀분석은 복잡한 통계적 절차를 컴퓨터로 분석해주는 자료분석 응용프로그램인 사회과학 응용통계패키지(SPSS)를 이용하여 수행하고, 베이지안(Bayesian) 회귀분석은 수치해석 및 자료처리를 위한 공학용 소프트웨어인 매트랩(Matlab)과 통계프로그램의 일종인 R을 이용한다. 특히, 베이지안(Bayesian) 회귀분석을 위해서는 각 추정대상 매개변수 당 10,000개씩을 샘플링하며, 초기 불안정한 추정값을 제외하기 위하여 처음 1,000개의 샘플링된 추정값은 제외하고 베이지안(Bayesian) 평균값 및 상하한값을 추정한다. 즉 burn-in=1,000로 간주하여 알고리즘을 수행한다.

등분산케이스의 경우에는 회귀계수를 이용하여 각 수위에서 유량을 산정하여 계산한 측정유량과 모의유량사이의 결정계수가 일반최소자승법(OLS)의 경우 0.9576, 베이지안(Bayesian) 회귀분석의 경우 0.9654로 높은 결정계수가 계산되고, 비등분산케이스의 경우에는 일반최소자승법(OLS)의 경우 0.8592, 베이지안(Bayesian) 회귀분석의 경우 0.9245로 등분산케이스에 비해 일반최소자승법(OLS)의 경우 낮은 결정계수가 산정된다.

상기의 방법으로 다음의 표 1은 등분산케이스에 대한, 표 2는 비등분산케이스에 대한 일반최소자승법(OLS)을 이용한 회귀분석과 베이지안(Bayesian) 회귀분석에 의한 회귀계수의 95% 신뢰구간에 대한 추정결과를 비교한 것이고, 단, c의 경우 지수항으로서 유량산정에 대한 영향이 크므로 유효숫자를 증가시켜 나타낸 것이다.

즉, 등분산케이스의 경우 두 방법에 의한 회귀계수의 추정치 a는 다소 과소추정되었고, c는 다소 과대추정된 것을 알 수 있는데, 이는 참값에 포함된 오차가 회귀분석의 추정과정에서 발생시킨 오차로 판단된다.

또한 상기 표 1을 보면, 일반최소자승법(OLS)의 추정결과와 베이지안(Bayesian) 회귀분석의 평균에서의 추정결과는 거의 유사하게 나타나는 것을 알 수 있었으나, 불확실성을 나타내는 상한값과 하한값의 추정오차가 베이지안(Bayesian) 회귀분석의 경우 일반최소자승법(OLS)보다 작게 산정되어 불확실성 측면에서 베이지안(Bayesian) 회귀분석이 일반최소자승법(OLS)에 의한 회귀분석보다 우수한 결과를 보임을 알 수 있다.

비등분산케이스의 경우에도 마찬가지로 평균에 있어서는 큰 차이를 나타내지 않았으나, 일반최소자승법(OLS)에 의한 추정결과는 특히 불확실성 측면에서 등분산케이스 보다 훨씬 증가된 범위를 보여준 반면 베이지안(Bayesian) 회귀분석의 결과는 오차의 특성이 비등분산적인 경우에도 불확실성이 크게 증가되지 않는 것을 확인할 수 있다.

위와 같은 결과로부터 일반최소자승법(OLS)에 의한 회귀분석과 베이지안(Bayesian) 회귀분석은 평균에 의한 확정적인 값만을 이용할 경우 큰 차이를 보이지 않아 분석절차가 비교적 간단한 일반최소자승법(OLS)에 의한 회귀분석을 수행하는 것이 유리할 수 있다는 결론을 얻을 수 있으나, 불확실성 측면에서 상한과 하한을 함께 추정해야 하는 경우에는 베이지안(Bayesian) 회귀분석에 의한 불확실성의 산정결과가 일반최소자승법(OLS)에 비해 훨씬 감소되어 표현됨을 알 수 있고, 이러한 현상은 오차가 비등분산적인 경우에 두드러지게 발생하는 것을 알 수 있다.

따라서, 불확실성의 측면에서는 일반최소자승법(OLS)에 의한 회귀분석보다 베이지안(Bayesian) 회귀분석이 훨씬 감소된 불확실성을 나타낼 수 있어 유리하다는 결론을 얻을 수 있는 것이다.

회귀계수의 불확실성 측면에서 얻은 결과는 수위-유량 관계곡선에서 나타나는 불확실성에 대한 결과라기보다는 회귀분석 과정에서 발생하는 일반최소자승법(OLS) 회귀분석과 베이지안(Bayesian) 회귀분석의 차이에 대한 비교평가라고 할 수 있으므로, 수위-유량 관계곡선에서 나타나는 불확실성을 비교평가하기 위해서는 일반최소자승법(OLS)의 평균결과로부터 유량을 산정한 후 전체오차인 0.95S _e와 개별적인 오차인 2S _mr을 산정하고 이 결과를 베이지안(Bayesian) 회귀분석결과로부터 얻은 유량과 비교할 필요가 있다.

도 3은 등분산케이스(도3a)와 비등분산케이스(도3b)에 대한 수위-유량 관계곡선의 평균에 대한 유량과 이에 따른 불확실성을 산정한 결과를 나타낸 것이며, 측정유량이 존재하는 수위까지의 S _e가 변하지 않는 것을 가정하여 수위-유량 관계곡선의 외삽구간까지 0.95S _e를 산정하였다.

등분산케이스의 경우 평균에 대한 일반최소자승법(OLS)과 베이지안(Bayesian) 회귀분석 결과는 거의 일치하는 곡선으로 추정되고 상기 수학식 18의 2S _mr에 의한 불확실성 산정결과는 베이지안(Bayesian) 회귀분석에 의한 불확실성 산정 결과보다 약간 증가되어 산정되는 것을 알 수 있으나, 개별적인 오차를 나타내는 2S _mr에 의한 불확실성 산정결과는 측정유량이 존재하는 구간까지만 불확실성을 산정할 수 있기 때문에 불확실성이 크게 증가되어 지는 유량이 큰 구간에서의 비교는 불가능하다. 또한 상기 수학식 17의 0.95S _e에 의한 불확실성의 산정결과는 유량이 증대됨에 따라 베이지안(Bayesian) 회귀분석에 의한 불확실성보다 훨씬 증가된 불확실성을 나타내는 것을 알 수 있다.

비등분산케이스의 경우에도 평균에 대한 결과부터 다소 차이가 나는 것을 알 수 있는데, 특히 유량이 증대됨에 따라 일반최소자승법(OLS)의 결과는 유량을 과대추정하고 있음을 알 수 있고, 또한 불확실성 측면에서 2S _mr과 0.95S _e에 의한 산정결과 모두 등분산케이스에 비하여 불확실성을 크게 증가시켜 표현하고 있음을 알 수 있다.

그 다음으로, 이상의 결과에 대한 실제 적용성을 확인하고 상기 통계적 실험의 결과가 실제 유량측정성과를 이용해서도 유사한 결과를 나타내는지 확인하기 위하여 안양천 유역의 안양, 고척교, 시흥, 학의천 출구, 목감천 출구의 5개 지점에서의 유량자료를 이용하여 개발된 모형을 적용해 보면 다음과 같다.

선정된 지점의 유량 측정성과 중 일부는‘수문조사연보’의 유량 측정성과를 이용하고, 일부는‘안양천 유역의 물순환 건전화 기술개발’에서 측정된 수위 및 유량자료를 사용한다.

표 3은 각 지점의 자료의 개수 등에 대한 특징을 나타낸 것이며, 자료의 개수에 따른 적용결과를 분석하기 위하여 자료의 개수에 대한 차이가 있는 지점을 선정하여 개발된 모형을 적용하고, 도 4는 안양천 유역도와 선정된 지점을 표시한 것이다.

잔차도를 비교분석 전에 알아봄으로써 등분산특성인 지점과 비등분산특성 지점을 구분하여 적용결과를 비교할 수 있고 이에 따른 결과를 얻을 수 있을 것이므로, 일반최소자승법(OLS) 회귀분석과 베이지안(Bayesian) 회귀분석의 비교를 위한 절차 이전에 선정된 각 지점으로부터 얻어진 유량측정성과 자료의 잔차특성을 알아보기 위하여 잔차도를 작성하여 나타낸 것이 도 5이다.

얻어진 잔차도를 보면 안양지점의 경우 뚜렷한 트렘펫 형태의 잔차도로써 비등분산성이 존재하는 것을 알 수 있으며, 안양 외에도 고척교, 시흥 지점 등 자료의 개수가 많은 지점에서는 비등분산성이 일정 정도 존재하는 것을 알 수 있고, 학의천과 목감천은 잔차의 특성이 등분산적이다라고 할 수 있는데, 이 지점에서도 자료의 개수가 증가한다면 잔차의 특성도 비등분산적으로 바뀌어 질 것으로 예측할 수 있어 대부분의 수위-유량 관계곡선에서는 유량이 증가함에 따라 오차가 증가되는 형태를 가지는 비등분산적인 특성을 가지는 것을 확인할 수 있다.

적용과정에서도 상기의 통계적 실험과 같은 조건을 사용하여 일반최소자승법(OLS) 회귀분석과 베이지안(Bayesian) 회귀분석을 수행한다.

즉, 수위-유량 관계곡선식의 분리는 실무적으로 필히 고려해야 하는 문제이지만 본 발명은 두 가지 방법의 불확실성 측면의 비교평가에 초점을 맞춘 것이므로 수위-유량 관계곡선식을 분리하지 않고 한 개의 식으로 추정한다.

또한, 베이지안(Bayesian) 회귀분석을 위한 샘플링 개수 및 초기 추정치의 제거수도 통계실험과 마찬가지로 각각 10,000개와 1,000개로 통일하여 적용을 수행하고, 다음의 표 4는 각 지점의 수위 유량 관계곡선식을 추정한 추정결과이며, 여기서 영유량 수위는 통계적실험과 같은 방법인 황금비분할법을 이용하여 미리 추정하여 사용하고, 두 가지 추정방법으로는 a와 c만 추정한다.

결국, 상기 표 4는 통계적 실험결과와 유사한 결과를 나타내는 것을 알 수 있다. 즉 일반최소자승법(OLS)과 베이지안(Bayesian) 회귀분석의 평균에 대한 결과는 거의 유사하게 추정되어지지만, 불확실성을 나타내는 상한과 하한 추정치는 일반최소자승법(OLS) 회귀분석보다 베이지안(Bayesian) 회귀분석이 보다 우수하게 결과를 산정하게 됨을 알 수 있다.

또한 비등분산적 특성이 강했던 안양, 시흥 등의 지점에서 특히 베이지안(Bayesian) 회귀분석에 의한 불확실성의 산정결과가 많이 감소된 범위를 보여주는 것을 알 수 있다.

도 6은 이렇게 추정된 결과를 이용하여 각 지점에 대한 수위-유량 관계곡선에 대한 불확실성을 나타내는 결과를 나타낸 것인데, 도 6a는 안양, 도 6b는 고척교, 도 6c는 시흥, 도 6d는 학의천, 도 6e는 목감천 지점에 관한 것이며, 불확실성의 산정은 통계적 실험의 결과 표시와 마찬가지로 2S _mr과 0.95S _e에 의한 불확실성 산정결과와 베이지안(Bayesian) 회귀분석에 의한 불확실성의 산정결과를 함께 도시한 것이다.

도시결과를 보면 비등분산성이 강하게 나타났던 안양지점을 제외한 모든 지점에서 일반최소자승법(OLS)과 베이지안(Bayesian) 회귀분석의 평균에 대한 유량은 거의 유사하게 산정됨을 알 수 있으며, 불확실성 측면에서는 베이지안(Bayesian) 회귀분석에 의한 산정결과가 가장 불확실성을 감소시켜 나타냄을 알 수 있다.

특히 자료의 개수가 감소됨에 따라 전체적인 오차를 나타내는 0.95S _e는 크게 증가되는 것을 알 수 있으며, 시흥과 학의천의 결과로부터 약 40개의 유량 측정성과는 있어야 어느 정도 감소된 형태의 불확실성을 산정하게 됨을 알 수 있다.

또한, 불확실성 측면에서 대부분의 실측 자료들은 베이지안(Bayesian) 회귀분석의 하한과 상한 추정값 사이에 존재함으로써 베이지안(Bayesian) 회귀분석 결과가 실측 자료가 가지는 불확실성을 가장 합리적이고도 감소시켜 나타냄을 확인할 수 있다.

상기에서는 본 발명에 대한 특정의 바람직한 실시예를 도시하고 설명하였으나, 본 발명은 상술한 실시예에만 한정되는 것은 아니고, 본 발명이 속하는 기술분야에서 통상의 지식을 가진 자라면 본 발명의 기술적 요지를 벗어남이 없이 다양하게 변경시킬 수 있을 것이다.

도 1 은 회귀모형의 매개변수 추정방법의 비교분석을 위한 통계적 실험의 수행을 위해 등분산케이스의 경우 발생된 유량과 수위-유량 관계곡선, 일반최소자승법(OLS)에 의한 회귀분석의 잔차를 나타낸 도면.

도 2 는 회귀모형의 매개변수 추정방법의 비교분석을 위한 통계적 실험의 수행을 위해 비등분산케이스의 경우 발생된 유량과 수위-유량 관계곡선, 일반최소자승법(OLS)에 의한 회귀분석의 잔차를 나타낸 도면.

도 3 은 등분산케이스와 비등분산케이스에 대한 수위-유량 관계곡선의 평균에 대한 유량과 이에 따른 불확실성을 산정한 결과를 나타낸 도면.

도 4 는 본 발명에 따른 수위-유량 관계곡선의 불확실성 분석방법의 실제 적용성을 확인하기 위한 대상유역인 안양천 유역도와 선정된 지점을 표시한 도면.

도 5 는 도 4에서 선정된 각 지점으로부터 얻어진 유량측정성과 자료의 잔차특성을 알아보기 위하여 잔차도를 작성하여 나타낸 도면.

도 6 은 도 4에서 선정된 각 지점에 대해 일반최소자승법(OLS)과 베이지안(Bayesian) 회귀분석에 의해 추정된 결과를 이용하여 각 지점에 대한 수위-유량 관계곡선의 불확실성을 나타내는 결과를 나타낸 도면.

Claims

수위-유량 관계곡선의 불확실성을 분석하는 방법에 있어서,

(a) 참값의 매개변수가 정해진 수위-유량 관계곡선식으로부터 주어진 수위 내에서 일정 개수의 수위를 균일분포로 무작위적으로 발생시킨 후 유량을 산정하거나, 실제 수위-유량자료를 측정하는 단계와;

(b) 매개변수 추정 이전의 수위-유량 관계곡선식인
(여기서, y는 유량(m³/sec), x는 수위(m), a,b,c는 매개변수)에서 영유량 수위인 b 는 황금비분할법에 의해 추정하고, a와 c 는 상기 단계(a)의 수위-유량과 다음의 수학식을 이용하여 생성된 β를 기초로 매트랩(Matlab)과 통계프로그램을 이용한 베이지안(Bayesian) 회귀분석에 의해 매개변수(a,c)당 각각 일정 개수의 추정치를 구하는 단계 및

,

(여기서, σ²은 오차의 분산, n은 자료의 개수, y와 X는 각각 로그치환된 유량과 수위, IG와 N은 각각 역감마분포와 정규분포를 나타내는 약어, s²은 표준오차,
은 일반최소자승법(OLS)을 이용하여 추정한 매개변수, β는 회귀계수인 a, c)

(c) 상기 단계(b)에서 구한 매개변수(a,c)당 일정 개수의 추정치로부터 평균값, 상한값과 하한값을 구해 불확실성을 표현하는 단계로 구성되는 것을 특징으로 하는 베이지안 회귀분석을 이용한 수위-유량 관계곡선의 불확실성 분석방법.
제 1 항에 있어서,

(d) 매개변수 a와 c 는 상기 단계(a)의 수위-유량을 기초로 사회과학 응용통계패키지(SPSS)를 이용한 일반최소자승법(OLS) 로그선형 회귀분석에 의해 매개변수(a,c)의 평균값을 구하는 단계와;

(e) 다음의 수학식을 이용하여 전체오차(0.95S _e)와 개별적인 오차(2S _mr)의 상한값과 하한값을 구해 불확실성을 표현하는 단계와;

,

(여기서, 표준오차
, Q 는 측정된 유량, Q _c 는 회귀식 등에 의해 산정된 예측유량, N은 자료의 개수, α는 유의수준, p 는 자유도, x와 b는 각각 수위와 영유량 수위)

(f) 상기 단계(c)와 단계(e)의 불확실성의 산정 결과를 비교하는 단계가 추가로 포함되는 것을 특징으로 하는 베이지안 회귀분석을 이용한 수위-유량 관계곡선의 불확실성 분석방법.
제 1 항에 있어서,

상기 단계(a)의 수위-유량 관계에 있어 잔차가 등분산성을 만족하는 경우와 그렇지 않은 경우로 구분하여 불확실성을 표현하는 단계로 구성되는 것을 특징으로 하는 베이지안 회귀분석을 이용한 수위-유량 관계곡선의 불확실성 분석방법.