JPS6379186A - 曲線をアンチアライアジングするための装置および方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 発明の背景 発明の分野 ツクプロセッサ、かつ特定にはビデオディスプレイ上の
ベクトルの弧状かつ円形線図をアンチアライアジング（
ａｎｔｌ−ａｌｌａｓｌ＋ｇ　）するための方法および
装置に関するものである。

先行技術の説明 ビデオディスプレイは、画素と呼ばれる均一に間隔をあ
けられたディスクリートな場所の複数個の行および列を
含む。画素は１つまたはそれ以上の電子ビームにより照
らされ、それは画素の境界を規定するマスクにおける穴
を介して指示される。

ディスプレイ上にベクトル、すなわち直線を引くために
、線の終点Ｘ、　、Ｙ、およびＸ２、Ｙ２がグラフィッ
クプロセッサに送られる。プロセッサは、フォーリ・ア
ンド・ヴアンダム（Ｆｏｌａｙ　＆ＶａｎＤａｍ）によ
る「相互作用コンピュータグラフィックの基本（Ｆｕｎ
ｄａｍｅｎｔａｌｓ　ｏｒＩｎｔｅｒａｃｔｉｖｅ　Ｃ
ｏＩＩＩｐｕｔｏｒ　Ｇｒａｐｈｌｃｓ　）　Ｊで述べ
られるプレゼンハム（Ｂｒｃｓｃｎｈａｍ　）ラインア
ルゴリズムのような適当なアルゴリズムを用いてベクト
ルにより交差されたすべての画素の場所を同定する。も
し所望のベクトルが１対の画素の中心間を通過し、かつ
それゆえにそのいずれの中心にも交差しないならば、ア
ルゴリズムはベクトルのセンターラインに最も近接した
画素の場所を同定しかつ予め定められた強度までその画
素を照らすために用いられる信号を発生する。選択され
た画素は、ベクトルのセンターラインの上または下のい
ずれであってもよい。

画素の中心がディスプレイ上のベクトルにより交差され
る画素の数は、ディスプレイ上のベクトルの勾配が変化
するにつれ変化し、そのため観察者に対してベクトルの
傾斜が変化するにつれてディスプレイ上のベクトルは多
少ジグザグであるように思われる。アライアジングと呼
ばれるこの効果は、低ずぎるためにその特定の信号の適
確な再構成が不可能である周波数で信号をサンプリング
する効果に類似する。

これまで、照らされた画素の強度を選択的に制御するこ
とによりビデオディプレイ上のべりトルのジグザグの外
観、すなわちアライアジングを減じるように多くの提案
がなされてきた。典型的には、強度はセンターラインか
らの画素の距離に反比例する。このような−提案では、
画素ディザ−と呼ばれる方法が採用される。

画素ディザ−では、画素の強度がディスプレイの表面に
入射するのを可能にされる電子ビームフラックスの量を
制御することにより制御される。

画素境界がマスクにおける穴の境界により規定されるこ
とを想起すると、１００％の画素強度は電子ビームが穴
の中心に向けられるとき達成される。

もしビームの５０％がマスクにより阻止されるように操
作の間′：ｕ子ビームがオンにされるならば、そのとき
画素強度は５０％まで減じられる。同様に、もしビーム
の７５％がマスクにより阻止されるならば、そのとき画
素強度は２５％まで減じられ、以下同様である。

画素ディザ−の不利な点は、それがアンチアライアジン
グベクトルに対してのみ用いられかつアンチアライアジ
ングの弧および円に対しては用いられないことであり、
電子ビームを制御するために必要な電子回路を作るのに
費用がかかりかつビデオディスプレイ上に表示されたべ
り！・ルがビットマツプにストアされ得ないことである
。

他の方法では、ビデオディスプレイ上のベクトルのジグ
ザグの外観、すなわちアライアジングを減じるために画
素の強度がベクトルのセンターラインからの距離に反比
例するベクトルにより交差された画素の行°または列の
いずれかにおける１つではなく２つの画素を照らすこと
が提案されてきた。たとえば、論文「グレイスケールデ
ィスプレイのためのフィルタ端縁（Ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ
　Ｅｄｇｅｓ　ｒｏｒＧｒａｙ−３ｃａｌｅ　Ｄｉｓｐ
ｌａｙｓ　）　Ｊ　、：ｌ　ンビューターグラフィック
ス（Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｇｒａｐ）＋Ｉｃｓ　）　、１
９８１年８月、１頁ないし５頁において、グブタ（Ｇｕ
ｐｔａ）およびスプラウル（Ｓｐｒｏｕｌｌ　）はグレ
イスケールディスプレイを改良するために１対の画素Ｔ
、およびＳＩがベクトルのセンターラインからの距離ｄ
ｌおよびｄ２に反比例する強度までオンにされることを
提案する。距離ｄ１およびｄ２は以下の方程式から計算
される、すなわち ｄｌ＝　ｔ　ｃｏｓ　ａ　　　　　　　　　　　　　（
１）ｄ２＝　ａ　ｃｏｓα　　　　　　　　　　　　（
２）となり、ここでは ｄ、およびｄ２はベクトルに垂直方向のベクトルからの
Ｔ、およびＳｌの距離であり、ｔおよびＳはプレゼンハ
ムアルゴリズムにより決定されたベクトルのセンターラ
インからのＴ１およびＳ、の垂直方向の距離であり、か
つα−ベクトルにより交差された画素の行に関するベク
トルの角度、である。

距離ｄ、およびｄ２が計算された後、画素Ｔ１およびＳ
ｌの強度がそれに反比例される。

グブタおよびスブラウルの提案の不利な点は、難であり
かつ時間の浪費であることである。さらに、それらは「
バーバーポール（ｂａｒｂｅｒ−ｐｏｌｅ　）　Ｊ効果
を生じることになり、すなわち曲線のセンターラインに
沿った画素の強度が変化し、ねじれた感じを与えること
になる。

発明の要約 上記に鑑みて、この発明の主たる目的はビデオディスプ
レイ上に生じられたベクトル、弧および円をアンチアラ
イアジングするための新規な方法および装置である。

上記の目的に従って、プレゼンハムアルゴリズムで用い
られる複数個の線形依存方程式が書き直され、かつその
後複数個の線形依存信号を発生するために用いられる。

信号の各々は複数個の画素の１つおよび曲線のセンター
ラインからのその画素の距離に対応し、かつ前記距離の
大きさの機能である強度でその画素を照らすために用い
られる。

曲線はベクトル、弧、円またはその任意の組合わせを含
んでもよい。

ベクトルをアンチアライアジングするために用いられる
この発明の多くの実施例では、ベクトルのセンターライ
ンからの画素の距離が以下の一般方程式により画素が置
かれる範囲の各々に対応する信号を発生するために前記
ベクトルからの複数個の距離範囲の各々のものと比較さ
れる。

ｄ、≦ｄ≦ｄ（３） ｍ工ｎ　　　　　　　　　　　ｍａｘ となり、ここでは ｄ−センターラインからの画素の距離 ｄ　　　Ｓｄヵよ、−Ｎ−０，１，２・・・、１５であ
ｎ）喝ｒす る形態Ｎ／１６の数であり、かつセンターラインからの
各範囲の最小距離および最大距離に対応する。

たとえば、もしベクトルのセンターラインからの画素の
距離が前記センターラインからの第１の距離範囲内にあ
るならば、画素は第１の予め定められた強度で照らされ
る。しかしもし前記センターラインからの画素の距離が
前記センターラインからの第２の距離範囲内にあるなら
ば、画素は第２の予め定められた強度で照らされる。代
わりに、もし第１のおよび第２の距離範囲が部分的に重
複しかつ前記センターラインからの前記画素の前記距離
が前記距離範囲の前記重複部分内にあるならば、前記画
素は前記第１の予め定められた強度で照らされる。しか
しもし前記センターラインからの前記画素の前記距離が
前記非重複距離範囲内にあるならば、そのとき前記画素
は前記第２の予め定められた強度で照らされる。

ベクトルをアンチアライアジングするために用いられる
上記の実施例の１つでは、短比較器方法と呼ばれ、方程
式（３）が以下の形態を有する、すなわち となり、ここではｄｘ　＝　ｍａｘ　（ａｂｓ　（ｘ２
−Ｘ１１　ｔａｂｓ　（Ｙ２−Ｙｌｌ　］であり、かつ
Ｄは決定するため にプレゼンハムアルゴリズムで 用いられる内部誤差ファクタで ある。

ベクトルをアンチアライアジングするために用いられる
上記の他の実施例では、長比軸型方法と呼ばれ、それは
方程式（５）よりも大きい精度を与えかつ各画素ごとに
ｄｘ＋Ｄをｄ　ｘ　／　ｇで割ったものを避けるが、そ
のダイナミック範囲に対してより大きい演算論理ユニッ
トを必要とし、方程式（３）が以下の形態を有する、す
なわちとなる。

ベクトルをアンチアライアジングするために用いられる
上記のさらに他の実施例では、方程式（５）よりも大き
い精度を与えるがダイナミック範囲の付加的ビットを必
要とし、方程式（３）が以下の形態を有する、すなわち となる。

ベクトルをアンチアライアジングするために用いられる
この発明のさらに他の実施例では、各画素が以下の方程
式により決定されるベクトルのセンターラインからのそ
の距離に反比例する強度で照らされる。

弧または円をアンチアライアジングするために用いられ
る、この発明の多くのさらなる実施例の各々では、弧ま
たは円のセンターラインからの各画素の距離が範囲の各
々に対応する信号を発生するために複数個の距離範囲の
各々のものと比較され、その範囲内で画素がベクトルを
アンチアライアジングするために上記のように置かれる
。

類比軸型方法と呼ばれる、これらの実施例の第１のもの
では、弧のセンターラインの内側および外側の画素に対
して方程式（３）が以下の形態を有する、すなわち となり、かつ となり、ここではＲ−弧または円の半径ａｂｓ（Ｄ）は
範囲ｅ［０，２Ｒコを それぞれ有する。

長比軸型方法と呼ばれる、弧または円をアンチアライア
ンングするために用いられる他の実施例では、弧のセン
ターラインの内側および外側の画素に対して方程式（３
）が以下の形態を有する、すなわち となり、かつ となる。

方程式（９ａ）および（９ｂ）を解く際に、除算は実際
必要ではなくかっＮ１．ｎｌ、、ｌＲおよびＮｒｎよｌ
Ｒの最Ｊ二位ビットのみが比較器で用いられる。

弧または円をアンチアライアジングするために用いられ
るこの発明のさらに１山の実施例では、各画素が以下の
式により決定される弧または円のセンターラインからの
その距離に反比例する強度で照らされる。

工　＝並団銀工　　　　　　　（１ｏ）Ｓ　　　　　Ｒ
ＩＢ ａｂｓでＤ） 工し　−ＲＩＢ　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　（１１１各々の実施例では、ベクトル、弧ま
たは円のセンターラインからの画素の距ｔ１１１をｉｌ
算するために独立方程式の代わりに線形依存方程式が用
いられるので、計算しかつ各画素の強度を設定するのに
必要な時間および装置が先行の既知の方法および装置で
必要なものからかなり減じられる。

この発明の上記のおよび他の目的、特徴ならびに利点は
、添付の図面の以下の詳細な説明から明らかになる。

発明の詳細な説明 第１図を参照すると、この発明に従って複数（Ｎ）個の
比較器回路１−１ないし１−Ｎ、バス２を中央処理装置
（ＣＰＵ）３に結合するための手段を有する実距離信号
バス２、題数個のＡＮＤゲー１−４−１ないし４−Ｎ、
１ｌｌｉ数個のメモリプレーン５−１ないし５−Ｎを含
むビットマツプ、およびアドレスバス６が設けられる。

−比較器回路１−１ないし１−Ｈの各々では、第１の比
較器１０、第２の比較器１１、第１の基準ｗ、１２、’
Ａ　２　ノ基ＭＡＲ１３オヨヒＡ　Ｎ　Ｄ　’ｆ−ト１
４が設けられる。比較器１０および１１の第１の入力は
、実距離信号バス２に結合される。比較器１０の第２の
入力は、基準源１２に結合される。

比較器１１の第２の入力は、基準源１３に結合される。

比較器１０および１１の出力は、ＡＮＤゲート１４の第
１のおよび第２の人力に結合される。

ＡＮＤゲート１４の出力は、ＡＮＤゲート４−１ないし
４−Ｎのうちの１個の第１の入力に結合される。ＡＮＤ
ゲート４−１ないし４−Ｈの第２の人力は、書込み可能
化パルス源ＷＥに結合される。

ＡＮＤゲー！−４−１ないし４−Ｈの各々のものの出力
は、メモリプレーン５−１ないし５−Ｎのうちの１個の
書込み可能化人力ＷＥに結合される。

メモリプレーン５−１ないし５−Ｈのアドレスラインは
、“アドレスバス６に結合される。

第２図を参照すると、複数個の正方形で表１つされた複
数個の画素が示され、各正方形の中心は各画素の中心を
表わす。画素に重畳されかつその行に関して角度αで延
在してベクトルが示され、そのセンターラインは２０で
表わされる。センターライン２０の各側には、複数個の
破線２１．２２．２３および２４が与えられる。ライン
２１ないし２４はセンターライン２０からの距離範囲を
表わし、そこでは各距離範囲が量ｄい、ｎおよびｄ　ｒ
）’Ｔ、ａ’／により規定される。たとえば第２図では
、２つの距離範囲はライン２１ないし２４で表わされる
。

第１の範囲は、センターライン２０からライン２２まで
でありかつセンターライン２０からライン２３までであ
る。第２の範囲は、ライン２２からライン２１までであ
りかつライン２３からライン２４までである。この例で
は第１の範囲に対して、センターライン２０がｄｍｉｎ
で表わされ、かつライン２２および２３はｄｎ’ＬＬ’
／で表わされる。同様に第２の範囲では、ライン２２お
よび２３がｄｍｉｎで表わされかつライン２１および２
４がｄ　ｒＶ、ａ、で表イつされる。

また第２図で示されるように、複数個の対の黒丸マーク
３０および白丸マーク３１が与えられ、それは正方形で
表わされる画素の成るものの中心に置かれる。このよう
な対の画素の各々は、センターライン２０上の特定の位
置に相関する。この位置は、多対における両方の画素を
介して延在するラインにより規定される。以下でさらに
述べられるように、前記ラインに沿ったセンターライン
からの画素のうちの１個の距離はプレゼンハムアルゴリ
ズムにおけるＱｓにより規定される。前記ラインに沿っ
た前記センターラインからの他の画素の距離は、プレゼ
ンハムアルゴリズムにおけるＤｔにより規定される。黒
丸マーク３０は、１００％の強度まで照らされた画素を
表わす。白丸マーク３１は、より低い強度、たとえば黒
丸マーク３０で表わされた画素の強度の６０％まで照ら
された画素を表わす。１００％の強度まで照らされた画
素のすべてはライン２０ないし２３により規定された距
離範囲内になり、かつ６０％の強度まで照らされた画素
のすべてはライン２１と２２と２３と２４により規定さ
れた距離範囲内になることが注１」される。

センターライン２０からのその距離に比例して画素の強
度を変化させることにより、もし上記の対の画素の各々
における唯一の画素が照らされたならば現われる、セン
ターライン２０で表わされるベクトルの明らかなジグザ
クが減じられることが認められる。ベクトルのこの外観
の平滑化が、アンチアライアジジグと呼ばれる。

再度第１図を参照すると、動作においてＣＰＵ３は各画
素に対してセンターライン２０からのその画素の距離ｄ
に対応する数を与える。ＣＰＵ３はまた、センターライ
ン２０の上および下の距離範囲の各々に対して１対の数
ｄいｉｎおよびｄアユ８を与える。数ｄｒｒ１１ｇ　お
よびｄ　ｒｎａＫは、各範囲におけるセンターライン２
０からの最小距離および最大距離を規定する。各範囲の
境界ｄｌＴ１１ｏおよびｄ　ｍ、ｚ）ｔはそれから、レ
ジスタ１２および１３に置かれ、かつ比較器１０および
１１の第２の入力に与えられる。比較器１０および１１
の第１の入力は、実距離ｄに対応する数を受取る。比較
器１０および１１では、実距離ｄが範囲境界の各々と比
較される。もし距１４ｄが最小範囲の距離ｄｍｉｌ’ｌ
より大きいかまたはそれに等しいならば、比較器１０は
ＡＮＤゲート１４の第１の人力に信号を出力する。

もし距離ｄが最大範囲の距離ｄヨ１により小さいかまた
はそれに等しいならば、比較器１１はＡＮＤゲート１４
の第２の人力に信号を出力する。もしＡＮＤゲート１４
の両方の入力が活性状態であるならば、ＡＮＤゲート１
４は信号Ｃを出力する。

信号Ｃは条件が満たされたことを示し、かつＡＮＤゲー
ト４−１ないし４−Ｈの対応するものを可能化する。可
能化されたＡＮＤゲート４−１ないし４−Ｎはそれから
、その出力で書込み可能化パルスＷＥを与え、かつメモ
リブレーン５−１ないし５−Ｎの対応するものにパルス
ＷＥを与える。

ＣＰＵ３がベクトルのセンターラインからの画素の距離
範囲および実距ＦｉＩ　ｄの境界を発生すると同時に、
ＣＰＵ３はまたアドレスバス６によりメモリブレーン５
−１ないし５−Ｎに与えられる、メモリブレーン５−１
ないし５−Ｎの各々における画素のアドレスを生じる。

画素のアドレスがメモリブレーンのすべてに与えられた
状態で、ピッｉ・は書込み可能化パルスが与えられるメ
モリブレーンにおいてのみそのアドレスでストアされる
。

この発明の一実施例では、メモリブレーンの各々は予め
定められた強度レベルを割当てられる。

ビデオリフレッシュの間、もしメモリブレーンにおける
画素の場所が上記のように信号Ｃにより設定されるなら
ば、そのメモリブレーンはそれに割当てられた予め定め
られた強度ををする画素を生じる。

この発明の他の実施例では、各画素の強度が、所与の書
込み可能化パルスに応答して信号Ｃにより設定された多
くのメモリブレーンにより決定される。たとえば、もし
第２図で表わされた距離範囲の両方に対する最小境界が
センターライン２０を含みかつライン２２および２１で
表わされた最大境界が対の比較器回路１−１ないし１−
Ｈのうちの２個における基準として用いられるならば、
境界２０ないし２２および２３により規定された距離範
囲内の画素に対して２個のＣ信号が生じられ、また唯一
の条件信号Ｃがライン２１．２２および２３．２４によ
り規定された境界内にあるその画素に対して生じられる
ことが認められる。このように、強度の非常に細かい口
盛は重痩基弗距離範囲を有する多数の対の比較器を用い
ることにより得られ得ることがわかる。

第３図を参照すると、センターラインが４０で示された
円または弧のセグメント、センターライン４０の内側お
よび外側の複数個のライン４１．４２．４３および４４
で表わされた複数個の距離範囲、およびセンターライン
の外側および内側の半径方向のラインにそれぞれ置かれ
た画素ＳおよびＴの中心を規定する複数個の対の黒丸マ
ークおよび白丸マークが示される。ライン４０ないし４
４は、距離範囲の最小ｄｒ１．ｌ（。および距離範囲の
最大ｄ　ｍ２ＬＷを規定する。

動作において、ＣＰＵ３はセンターラインからの各画素
の半径方向の距１ｉｉ１ｕ　ｄに対応する数および数ｄ
ｍｉｌ’ｌおよびｄｒｌ、１ケを生じる。これらの数が
比較され、かつ第２図のベクトルに関して上で述べられ
たように画素の強度を制御するために条件信号Ｃ４ない
しＣＭが生じられる。

さらに以下で述べられるようにこの発明の付加的実施例
では、ベクトル、弧または円のセンターラインからの各
画素の距、ｌ１ｌｄは画素の強度が距離ｄに反比例する
ように画素の強度を制御するために直接に用いられる。

画素の強度が比較分析により決定される第１図の装置の
動作に関する上記の説明および画素の強度が曲線のセン
ターラインからのその距離ｄに反比例するこの発明の代
わりの実施例から、直線または弧状の曲線のセンターラ
インからの実Ｈ距１！Ｉ！ｄの計算が最小限の計算およ
び装置と一致する最大の精度でなされなければならない
ことが認められる。

上記のグプタおよびスブラウルにより用いられる、三角
関数を含む独立式からの各画素に対して、曲線のセンタ
ーラインからの距離ｄを計算する困難でかつ時間のかか
る動作を避けるために、プレゼンハムラインアルゴリズ
ムで用いられる方程式の変更が与えられる。以下の説明
かられかるように、各画素に対する距離ｄは上記のベク
トルならびに弧の捕間法および装置の両方において用い
るために腹数個の線形依存方程式から計算される。

１、　ベクトル補間法 周知のように、プレゼンハムアルゴリズムは曲線のセン
ターラインに最も近接したあらゆる対の画素に対してセ
ンターラインへのその距離を計算する。これらの距離は
Ｓおよびｔであり、ｓ　＋　ｔ　＝　１　　　　　　　
　　　（１２）（Ｓ−七ｌｄｘ、＝Ｄ　　　　　　　　
　Ｃ１：１）Ｓｒｆ−Ｇ［０，１］ ｄｘ　Ｍｍａｘ　［ａｂｓ（ｘｌ−ｘｌ）、　ａｂｓ　
ｆｙ２−ｙ１１］およびＤは決定するためにアルゴリズ
ムて用いられる内部誤差ファクタである。

式（１２）および（１３）を書き直すと、以下の式が得
られる、すなわち ｓ　＝　］ｓ（１＋Ｄ／ａｘ）　　　　　　　　　（１
４）ｔ　＝　１１（１−Ｄ／ｄｘ）　　　　　　　　　
（１５１となる。Ｓ、ｔ　　ｅ［０，１］かツｓ　＋　
ｔ　−１テあるので、Ｄはｄｘと同じオーダの大きさを
有するということになる、すなわち Ｄ＝（ｓ−七）ｃｉｘ＝１１−２し、ｄｘ　　　　　　
　　　　（１６１となる。

（１５）および（１６）から ａｂｓＤ　＝　ｄｘ−ａｂｓ（１−２ｔ）≦ｄｘ　　　
　　（１７１となる。

第１図の装置に関して上で述べられたように、もしセン
ターラインからの距離ｄが以下の一般方程式により規定
されるように予め定められた範囲内にあるならば、画素
は予め定められた強度まで強くなる。

ｄ、　≦ｄ≦ｄｍａ　Ｘ １ｎ となり、ここでは”ｍ；、、１＋　　ｄｍａｙはＮ−０
，１゜２・・・、１５である形態−の数である。

１ら 方程式（１８）はそのとき以下のように書き直され得る
。

Ｎ　、　≦１６（１≦Ｎ　　　　　　　　　　　　　　
（１９）ｍｉｎ　　　　　　　　　　　　ｍａＸｄをＳ
またはｔのいずれかと置換するとＮｍ１ｎ≦１６　ｘ　
＋５（１±Ｄ／ｄｘｌ≦ＮｍａＸ（２ｏ）となり、これ
は以下の式に等しい。

Ｎ、≦８（１±Ｄ／ｃｌｘ）≦Ｎ ｍｘｎ　　　　　　　　　ｍａｘ　　　　　　　　（２
１）方程式（２１）から、一般方程式（１８）が以下の
ように上記の装置で用いるために３つの異なる形態で書
き直され得る。

１．１　　類比軸型方法 ここではＮｍ＋１．ｌ＋　Ｎｍａｒ−０，１，・・・、
１５である。各画素に対して、値ｄｘ＋Ｄが計算されか
つ予め計算された定数ｄ　ｘ　／　８で除算される。そ
のとき結果はＮ。、っおよびＮつ、に対して、２個の４
ビツト比較器たとえば第１図の比較器１０および１１を
用いて比較される。

類比軸型方法は、４ビツト比較器のみが必要であるとい
う利点を有し、かつ整数除ｐ　ｄ　ｘ　／　８が比較の
精度を減じかつｃｔｍａが定数である場合、除算ｄｘｆ
Ｄ／ｃｔがあらゆる画素に対して実行されなければなら
ないという不利な点を有する。

１．２　長比軸型方法 式ｄ　ｘ　／　８をなくするために方程式（２２）を書
き直すと、以下の方程式が得られる、すなわちとなり、
ここでは（ｄｘ＋Ｄ）／２が２ｄｘ／２−ｄｘの範囲を
有する。

長比軸型方法の利点は、値（Ｎｘｄｘ）／１６が４ビッ
トの右シフトにより初期設定で一度予め計算され、精度
の損失のみがＮ７゜ｘｄｘ／１６およびＮい、Ｌ、ｘｄ
ｘ／１６の右シフト動作における４個の最下位ビットで
ありかつｄｘ＋Ｄ／２の右シフト動作における１個の最
下位ビットであることである。長比軸型方法の不利な点
は、必要なダイナミック範囲を維持するために類比軸型
方法でｄを計算するのに所要である以上のビットがＡＬ
Ｕで所要であることである。

長比軸型方法はまた、以下の例で示されるように４ビツ
ト比較器の代わりに５ビツト比較器を用いることにより
類比軸型方法の改良として用いられ得る。

ｄｘ−１０、Ｄ−２、Ｎい１゜−３およびＮ２、−１で
あると仮定しよう。類比軸型方法を与えることにより以
下の式が得られる、すなわちとなり、ここでは右に３ビ
ツトをシフトされた１０（＋　ｏ’ｌ　−１０１０（２
）が０００１およびＮ　ｒ７１ｉｎ　−００１１（２）
、Ｎヮ、−１１０１（２）を生じる。００１１（ｚ）＜
　１１００（２）＜　１１０１（ｚ）であるので、画素
は境界の内側となる。

５ビツト比較器を用いて長比軸型方法を与えることによ
り以下の式が得られる、すなわち６ｘ＋Ｄ　　　　１２ 一＝　−＝　６−０１１０．０（２，（２５＋３　Ｘ　
１０　　１１１”（２１ 子＝丁；Ｔ呵００１．１（２，（２６＋Ｎ　　　ｄＸ　
　　　　　　　　　　　　　　’　　　１００１００Ｏ
００１０＝１３ｘｌＯ＝１３０　　＝　　　　　　（２
１（２７１となり、ここでは右に４ビツトシフトされた
３０（４ｏ）　−１１１１０（２）が０００１．１を生
じ、かつ右に４ビツトシフトされた１　３０（＋　ｏ）
−１０００００１０（２１が１０００．　０（２）を生
じ、かつ０００１．１　　　（０１１０，０・１０００
．０（２）（２）　　　　　　　　１２＋ となる。明らかに５ビツト比較器を用いる長比軸型方法
は、類比軸型方法がむしろ不充分に近似し、ある。他方
で長比軸型方法は、 ００ＯＮ−１（２１”　１．５（□。１　より　”１６
皿鴫、　８７５　（１゜）に近似する。

上記の説明から、長比軸型方法が構成に・おいて２つの
乗算のみを必要とし、かつより正確には最小量の除算を
採用しかつＮＸｄｘの３個の最下位ビットのみおよびｄ
ｘ±Ｄの１個の最下位ビットのみに影響を与えるので類
比軸型方法に関して、より迅速であることがわかる。さ
らに、もしｎ個のブレーン、すなわちｎ対の比較器が用
いられるならば理論上ｎ個の可能な強度の組合わせが存
在することが注目されるべきである。しかしながら、１
個の画素につき２個の比較器を用いて、ｎ＋１個の可能
な強度の組合わせのみが減少するようにオーダされ得る
。

１．３　逆距離方法 逆距離方法は単に、４ビツトの精度で多対の画ｊ区以 素に対する値　　　　を計算するのみである。４２、．
７ｇ 個のビットプレーンにおける強度の１６個のレベルのコ
ード化として４個のビットを翻訳することにより、強度
Ｉは Ｉ　　＝　１６＋１−ｓｌ　　　　　　　　　　　　（
２８１Ｓ 工’　　−１６（１−七）　　　　　　　　　　　　　
　　　　　（２９１し に等しくなり、または方程式（１４）および（１５）か
ら に等しくなる。

逆距離方法は、強度の１６個の可能なレベルを生じると
いう利点を有する。それは、各画素に対する除算を必要
とし、整数除算ｄｘ／８のため不正確であり、かつ順に
不快なねじれ効果を生じる、センターラインに沿った変
数強度を生じるという事実を補償するようにカラールッ
クアップテーブルの利用を必要とするという不利な点を
有する。

さらに、ビットブレーンの数の、４から８までの増加は
任意の余分の情報を付加せず、生じられ得る強度の１６
個のレベルのみがさらに存在し、かつ一致する強度ベク
トルを生じるのに必要な補正がカラールックアップテー
ブルで実現される標塾ガンマ浦正と同じでなくてもよい
。

２、　弧（円）捕間法 再度第３図を参照すると、半径方向の距離Ｓで弧の周囲
の外側にある任意の所与の点Ｓ、　−（Ｘ＋、Ｙ＋）に
対して、 Ｘ、　＋Ｙ、　　　−ｆＲ＋ｓｌ　　　−＞　　Ｘ、＋
Ｙ、　　−Ｒ−（Ｒ＋ｓｌ　　−Ｒ−５（２Ｒ＋ｓ）、
　　　　　　　　＜３１＋と書かれ得て、ここではＲ−
弧の半径である。

ｓ＜＜２ＲかつＸｌ　２＋Ｙ、　２−Ｒ２ｍＤ　Ｃプレ
ゼンハムアルゴリズムの内部誤差）であるので、と書か
れ得る。アンチアライアジジグするだめの他の候補であ
る点Ｔ１は、円の内側の距離ｔに位置される。Ａがライ
ン５ＩＴＩの、円周との交差を含む場合、そのとき となるが、 ｓａｔ　　　　Ｉ ＴｉＡ　：　ｔ　＝）　　−Ｅ−＝　Ｈ−＝＞　ｓ＋ヒ
＝　１　＝、＞ｔ　＝　１−ｓである。

ゆえに 、２０７、Ｖ　Ｄ＝ａｂｓ＋Ｄ）　＝＞　ｔ　ｚ　１−
　些皿匹Ｒ に対して ヒ＝　１−−　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（３４１Ｒ となる。

実際、プレゼンハムアルゴリズムにより捕間される点（
Ｘ、、Ｙ、）は理想円周の内側と外側との間で振動し、
すなわち ２２２く Ｘ、　＋Ｙ、　−Ｒ＞　Ｏ＝＞　Ｄ　＞　Ｏ，＋３５）
１　　　　工 となる。この問題は ａ）＋５（Ｄｌ　、　　　　　　　　　＋３６）　−Ｒ および ｔ−１−些担匹　　　　　　　（３７）Ｒ を作ることにより解決される。

上記のベクトル捕間法の場合のように、どれが主画素で
ありかつどれがアンチアライアジジグの候補であるかを
同定する必要はない。必要なことのすべては、比較器が
用いられるとき基準値ｄ□ｒＶおよびｄｍａｒとＳおよ
びｔを比較し、またはもし以下のように逆距離方法が用
いられるならば強度Ｉｓ　＝１６　（１−ｓ）　、Ｉ７
　＝１６　（１ｔ）をπ１算することである。

Ｎ、　≦１６ｃｌ≦Ｎ　　　　　　　　　　　　　　（
３８１ｍ１ｎ　　　　　　　　　　　ｍａｘ Ｎ　、　　＜　１６　　Ｘ　ａｂ５（Ｄ）≦Ｎｍ１ｎ　
　　　　　２Ｒｍａｘ　　　　　　　　（３９’２．１
　短比較器方法 Ｎ、　　＜捜ゴ丑、Ｎ ｍ１ｎ　　　Ｒ／８　　　　ｍａｘ　　　　　　　　　
　　　（４１’Ｎ、　≦２二弗■吐、Ｎ ｍ、ｎ　　　　Ｒ７Ｂ　　　　　＋ｎａｘ　　　　　　
　　　　　（４２）ａｂｓｆＤｌ　　（：　［０，２Ｒ
］ ２．２　　長比較器方法 １、　＝　１６（１−ｓｌ　＝　１６１１−虫工（＝町
千皿　（４５）上記の説明から、実際除算が必要でない
ので弧をアンチアライアジジグするために長比較器方法
が好ましいかもしれないことが明らかである。実際、Ｎ
ｒｒｌｌ、、ｌｘＲおよびＮ□ユ。×Ｒの最上位ビット
のみが維持されかつ３個の最下位ビットが単に無視され
る。

この発明のいくつかの実施例が上で述べられたが、この
発明の精神および範囲を逸脱することなく様々な修正が
そこになされてもよい。たとえば、比較器回路を含む例
示の実施例は２つの距離範囲に関して述べられる。しか
しながら、距離範囲の任意の数Ｎは比較器の同じ数を用
いて利用されてもよいことが企図されている。このため
、この発明の範囲は例示された実施例に制限されないが
前掲の特許請求の範囲を参照することにより決定される
ことが意図されている。

【図面の簡単な説明】

第１図は、この発明による一般化された複合比較器回路
のブロック図である。 第２図は、ベクトルが重畳されたビデオディスプレイ上
の画素の表示である。 第３図は、弧が重畳されたビデオディスプレイ上の画素
の表示である。 図において、１は比較器回路、２，６はバス、３はＣＰ
Ｕ、４．１４はＡＮＤゲート、５はメモリブレーン、１
０．１１は比較器、１２．１３は基学源である。 特許出願人　アドバンスト・マイクロ・ディバＦＩＧ、
３ 手続補正書く方式） ％式％ １、事件の表示 昭和６２年特許願第９０６１２号 ２、発明の名称　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　９′曲線をアンチアライアジジグするため
の装置および方法３、補正をする者 事件との関係　特許出願人 住　所　アメリカ合衆国、カリフォルニア州、サニイベ
イルビイ・オウ・ボックス・３４５３、ｌ−ンブソン・
ブレイス、９０１名　称　アドバンスト・マイクロ・デ
ィバイシズ・インコーホレーテッド代表者　トーマス・
ダブリュ・アームストロング、４１代理人 住　所　大阪市東区平野町２丁目８番地の１　平野町八
千代ビル昭和６２年６月３０日 ６、補正の対象 願書の１、発明の名称の欄、４．特許出願人の代表者の
欄、明細書の発明の名称の欄、委任状および訳文 ７、補正の内容 （１）　願書、委任状および訳文については別紙の通り
。 （２）　明細書の発明の名称の欄にｒ　７ｍ　’ｆＡ　
妄アンチアライアジジグ（ａｎｔｉ−ａｌｉａｓｉｎｏ
）するためのＭｋおよび９？ＦＡｒとあるをｒａ６１’
！アンチアライアジングするための衰りおよびガｌ」に
補正する。 以上

Claims (28)

【特許請求の範囲】
1. （１）複数個の画素を有するビデオディスプレイ上でセ
   ンターラインを有する曲線をアンチアライアジングする
   方法であって、 複数個の線形依存信号であって、前記曲線の前記センタ
   ーラインに沿った複数個の位置の各々のもので前記曲線
   の前記センターラインに最も近接した対応する数の前記
   複数個の画素の場所をそれぞれ同定し、かつ前記同定さ
   れた画素の各々の、前記曲線の前記センターラインから
   の距離にそれぞれ対応する、そのような複数個の線形依
   存信号を発生する段階と、 前記信号に応答して、前記曲線の前記センターラインに
   沿った前記位置の各々で前記曲線の前記センターライン
   からの前記画素の距離に対応する予め定められた強度で
   前記同定された画素の各々を照らす段階とを含む、曲線
   をアンチアライアジングする方法。
2. （２）前記同定された画素の各々の前記予め定められた
   強度が複数個の予め定められた強度のうちの１個を含み
   、前記複数個の予め定められた強度の各々のものが前記
   センターラインからの予め定められた距離範囲に対応す
   る、特許請求の範囲第１項に記載の方法。
3. （３）前記複数個の予め定められた強度の各々が、前記
   強度が対応する前記予め定められた距離範囲に比例する
   予め定められた大きさを含む、特許請求の範囲第２項に
   記載の方法。
4. （４）前記センターラインに最も近接した前記距離範囲
   に対応する前記予め定められた強度の前記予め定められ
   た大きさが１００パーセントであり、かつその各々が対
   応する前記センターラインからの前記距離範囲が増加す
   るにつれて前記他の予め定められた強度の各々の前記大
   きさが減少する、特許請求の範囲第３項に記載の方法。
5. （５）前記予め定められた強度が前記曲線の前記センタ
   ーラインからの前記画素の前記距離に反比例する、特許
   請求の範囲第１項に記載の方法。
6. （６）前記照明段階が、 前記センターラインからの前記同定された画素の各々の
   距離を、前記センターラインからの予め定められた最小
   距離に対応する第１の数および前記センターラインから
   の予め定められた最大距離に対応する第２の数と比較す
   る段階を含み、前記第１のおよび前記第２の数が前記セ
   ンターラインからの予め定められた距離範囲を規定し、
   さらにもし前記同定された画素の前記センターラインか
   らの前記距離が前記予め定められた距離範囲内にあるな
   らば、前記予め定められた強度まで前記同定された画素
   を照らす段階を含む、特許請求の範囲第１項に記載の方
   法。
7. （７）前記照明段階が、 もし前記画素の前記センターラインからの前記距離が前
   記予め定められた距離範囲内にあるならば、前記センタ
   ーラインに関して前記同定された画素の場所に対応する
   場所でメモリにビットをストアする段階を含む、特許請
   求の範囲第６項に記載の方法。
8. （８）前記予め定められた強度が方程式 Ｉ＝（ｄｘ±Ｄ）／（ｄｘ／Ｋ） ここでは ｄｘ＝ｍａｘ［ａｂｓ（Ｘ＿２−Ｘ＿１）、ａｂｓ（Ｙ
   ＿２−Ｙ＿１）］ Ｄ＝ブレゼンハムアルゴリズムにおける内部誤差ファク
   タ Ｋ＝定数 による大きさＩを含む、特許請求の範囲第５項に記載の
   方法。
9. （９）前記センターラインからの前記画素の各々の前記
   距離が距離ｄを含み、前記最小距離が距離ｄ＿ｍ＿ｉ＿
   ｎを含み、かつ前記最大距離が距離ｄ＿ｍ＿ａ＿ｘを含
   み、かつ前記比較段階が方程式 ｄ＿ｍ＿ｉ＿ｘ≦ｄ≦ｄ＿ｍ＿ａ＿ｘ により前記ｄ＿ｍ＿ｉ＿ｎおよび前記ｄ＿ｍ＿ａ＿ｘと
   前記ｄを比較する段階を含む、特許請求の範囲第６項に
   記載の方法。
10. （１０） ｄ＝（ｄｘ±Ｄ）／（ｄｘ／Ｋ） ｄ＿ｍ＿ｉ＿ｎ＝Ｎ＿ｍ＿ｉ＿ｎ ｄ＿ｍ＿ａ＿ｘ＝Ｎ＿ｍ＿ａ＿ｘ ｄｘ＝ｍａｘ［ａｂｓ（Ｘ＿２−Ｘ＿１）、ａｂｓ（Ｙ
    ＿２−Ｙ＿１）］ Ｄ＝ブレゼンハムアルゴリズムにおける内部誤差ファク
    タ Ｘ＿１、Ｘ＿２、Ｙ＿１、Ｙ＿２＝曲線の終点を規定 Ｋ＝定数 Ｎ＿ｍ＿ｉ＿ｎ、Ｎ＿ｍ＿ａ＿ｘ＝整数 である、特許請求の範囲第９項に記載の方法。
11. （１１） ｄ＝（ｄｘ±Ｄ）／Ｋ ｄ＿ｍ＿ｉ＿ｎ＝（Ｎ＿ｍ＿ｉ＿ｘｄｘ）／Ｍ ｄ＿ｍ＿ａ＿ｘ＝（Ｎ＿ｍ＿ａ＿ｘｄｘ）／Ｍ ｄｘ＝ｍａｘ［ａｂｓ（Ｘ＿２−Ｘ＿１）、ａｂｓ（Ｙ
    ＿２−Ｙ＿１）］ Ｄ＝ブレゼンハムアルゴリズムにおける内部誤差ファク
    タ Ｘ＿１、Ｘ＿２、Ｙ＿１、Ｙ＿２＝曲線の終点を規定 Ｋ、Ｍ＝定数 Ｎ＿ｍ＿ｉ＿ｎ、Ｎ＿ｍ＿ａ＿ｘ＝整数 である、特許請求の範囲第９項に記載の方法。
12. （１２） ｄ＝〔２Ｒ−ａｂｓ（Ｄ）〕／（Ｒ／Ｋ）またはｄ＝〔
    ａｂｓ（Ｄ）〕／（Ｒ／Ｋ） ｄ＿ｍ＿ｉ＿ｎ＝Ｎ＿ｍ＿ｉ＿ｎ ｄ＿ｍ＿ａ＿ｘ＝Ｎ＿ｍ＿ａ＿ｘ Ｒ＝弧の半径 Ｄ＝ブレゼンハムアルゴリズムにおける内部誤差ファク
    タ ａｂｓ（Ｄ）∈［０、２Ｒ］ Ｋ＝定数 Ｎ＿ｍ＿ｉ＿ｎ、Ｎ＿ｍ＿ａ＿ｘ＝整数 である、特許請求の範囲第９項に記載の方法。
13. （１３） ｄ＝２Ｒ−ａｂｓ（Ｄ）またはｄ＝ａｂｓ（Ｄ） ｄ＿ｍ＿ｉ＿ｎ＝（Ｎ＿ｍ＿ｉ＿ｎＲ）／Ｋ ｄ＿ｍ＿ａ＿ｘ＝（Ｎ＿ｍ＿ａ＿ｘＲ）／Ｋ Ｒ＝弧の半径 Ｄ＝ブレゼンハムアルゴリズムにおける内部誤差ファク
    タ ａｂｓ（Ｄ）∈［０、２Ｒ］ Ｋ＝定数 Ｎ＿ｍ＿ｉ＿ｎ、Ｎ＿ｍ＿ａ＿ｘ＝整数 である、特許請求の範囲第９項に記載の方法。
14. （１４）前記曲線が弧を含み、かつ前記予め定められた
    強度が方程式 Ｉ＿ｓ＝〔２Ｒ−ａｂｓ（Ｄ）〕／（Ｒ／Ｋ） Ｉ＿ｔ＝〔ａｂｓ（Ｄ）〕／（Ｒ／８） ここでは　Ｒ＝弧の半径 Ｄ＝ブレゼンハムアルゴリズムにおける内部誤差ファク
    タ ａｂｓ（Ｄ）∈［０、２Ｒ］ Ｋ＝定数 により前記弧の外側の画素に対して強度Ｉ＿ｓおよび前
    記弧の内側の画素に対して強度Ｉ＿ｔを含む、特許請求
    の範囲第５項に記載の方法。
15. （１５）複数個の画素を有するビデオディスプレイ上で
    センターラインを有する曲線をアンチアライアジングす
    るための装置であって、 複数個の線形依存信号であって、前記曲線の前記センタ
    ーラインに沿った複数個の位置の各々のもので前記曲線
    の前記センターラインに最も近接した対応する数の前記
    複数個の画素の場所をそれぞれ同定し、かつ前記同定さ
    れた画素の各々の、前記曲線の前記センターラインから
    の距離にそれぞれ対応するそのような複数個の線形依存
    信号を発生するための手段と、 前記信号に応答して、前記曲線の前記センターラインに
    沿った前記位置の各々で前記曲線の前記センターライン
    からの前記画素の距離に対応する予め定められた強度で
    前記同定された画素の各々を照らすための手段とを含む
    、曲線をアンチアライアジングするための装置。
16. （１６）前記同定された画素の各々の前記予め定められ
    た強度が複数個の予め定められた強度のうちの１個を含
    み、前記複数個の予め定められた強度の各々のものが前
    記センターラインからの予め定められた距離範囲に対応
    する、特許請求の範囲第１５項に記載の装置。
17. （１７）前記複数個の予め定められた強度の各々が、前
    記強度が対応する前記予め定められた距離範囲に比例す
    る予め定められた大きさを含む、特許請求の範囲第１６
    項に記載の装置。
18. （１８）前記センターラインに最も近接した前記距離範
    囲に対応する前記予め定められた強度の前記予め定めら
    れた大きさが１００パーセントであり、かつその各々が
    対応する前記センターラインからの前記距離範囲が増加
    するにつれて前記他の予め定められた強度の各々の前記
    大きさが減少する、特許請求の範囲第１７項に記載の装
    置。
19. （１９）前記予め定められた強度が前記曲線の前記セン
    ターラインからの、前記画素の前記距離に反比例する、
    特許請求の範囲第１５項に記載の装置。
20. （２０）前記照明手段が、 前記センターラインからの前記同定された画素の各々の
    距離を前記センターラインからの予め定められた最小距
    離に対応する第１の数および前記センターラインからの
    予め定められた最大距離に対応する第２の数と比較する
    ための手段を含み、前記第１のおよび前記第２の数が前
    記センターラインからの予め定められた距離範囲を規定
    し、さらに もし前記同定された画素の前記センターラインからの前
    記距離が前記予め定められた距離範囲にあるならば、前
    記予め定められた強度まで前記同定された画素を照らす
    ための手段を含む、特許請求の範囲第１５項に記載の装
    置。
21. （２１）前記照明手段が、 もし前記画素の前記センターラインからの前記距離が前
    記予め定められた距離範囲内にあるならば、前記センタ
    ーラインに関して前記同定された画素の場所に対応する
    場所でメモリにビットをストアするための手段を含む、
    特許請求の範囲第２０項に記載の装置。
22. （２２）前記予め定められた強度が方程式 Ｉ＝（ｄｘ±Ｄ）／（ｄｘ／Ｋ） ここでは ｄｘ＝ｍａｘ［ａｂｓ（Ｘ＿２−Ｘ＿１）、ａｂｓ（Ｙ
    ＿２−Ｙ＿１）］ Ｄ＝ブレゼンハムアルゴリズムにおける内部誤差ファク
    タ Ｋ＝定数 による大きさＩを含む、特許請求の範囲第１９項に記載
    の装置。
23. （２３）前記センターラインからの前記画素の各々の前
    記距離が距離ｄを含み、前記最小距離が距離ｄ＿ｍ＿ｉ
    ＿ｎを含み、かつ前記最大距離が距離ｄ＿ｍ＿ａ＿ｘを
    含み、かつ前記比較手段が方程式 ｄ＿ｍ＿ｉ＿ｎ≦ｄ≦ｄ＿ｍ＿ａ＿ｘ により前記ｄ＿ｍ＿ｉ＿ｎおよび前記ｄ＿ｍ＿ａ＿ｘと
    前記ｄを比較するための手段を含む、特許請求の範囲第
    ２０項に記載の装置。
24. （２４） ｄ＝（ｄｘ±Ｄ）／（ｄｘ／Ｋ） ｄ＿ｍ＿ｉ＿ｎ＝Ｎ＿ｍ＿ｉ＿ｎ ｄ＿ｍ＿ａ＿ｘ＝Ｎ＿ｍ＿ａ＿ｘ ｄｘ＝ｍａｘ［ａｂｓ（Ｘ＿２−Ｘ＿１）、ａｂｓ（Ｙ
    ＿２−Ｙ＿１）］ Ｄ＝ブレゼンハムアルゴリズムにおける内部誤差ファク
    タ Ｘ＿１、Ｘ＿２、Ｙ＿１、Ｙ＿２＝曲線の終点を規定 Ｋ＝定数 Ｎ＿ｍ＿ｉ＿ｎ、Ｎ＿ｍ＿ａ＿ｘ＝整数 である、特許請求の範囲第２３項に記載の装置。
25. （２５） ｄ＝（ｄｘ±Ｄ）／Ｋ ｄ＿ｍ＿ｉ＿ｎ＝（Ｎ＿ｍ＿ｉ＿ｎｄｘ）／Ｍ ｄ＿ｍ＿ａ＿ｘ＝（Ｎ＿ｍ＿ａ＿ｘｄｘ）／Ｍ ｄｘ＝ｍａｘ［ａｂｓ（Ｘ＿２−Ｘ＿１）、ａｂｓ（Ｙ
    ＿２−Ｙ＿１）］ Ｄ＝ブレゼンハムアルゴリズムにおける内部誤差ファク
    タ Ｘ＿１、Ｘ＿２、Ｙ＿１、Ｙ＿２＝曲線の終点を規定 Ｋ、Ｍ＝定数 Ｎ＿ｍ＿ｉ＿ｎ、Ｎ＿ｍ＿ａ＿ｘ＝整数 である、特許請求の範囲第２３項に記載の装置。
26. （２６） ｄ＝〔２Ｒ−ａｂｓ（Ｄ）〕／（Ｒ／Ｋ）またはｄ＝〔
    ａｂｓ（Ｄ）〕／（Ｒ／Ｋ） ｄ＿ｍ＿ｉ＿ｎ＝Ｎ＿ｍ＿ｉ＿ｎ ｄ＿ｍ＿ａ＿ｘ＝Ｎ＿ｍ＿ａ＿ｘ Ｒ＝弧の半径 Ｄ＝ブレゼンハムアルゴリズムにおける内部誤差ファク
    タ ａｂｓ（Ｄ）∈［０、２Ｒ］ Ｋ＝定数 Ｎ＿ｍ＿ｉ＿ｎ、Ｎ＿ｍ＿ａ＿ｘ＝整数 である、特許請求の範囲第２３項に記載の装置。
27. （２７） ｄ＝２Ｒ−ａｂｓ（Ｄ）またはｄ＝ａｂｓ（Ｄ） ｄ＿ｍ＿ｉ＿ｎ＝（Ｎ＿ｍ＿ｉ＿ｎＲ）／Ｋ ｄ＿ｍ＿ａ＿ｘ＝（Ｎ＿ｍ＿ａ＿ｘＲ）／Ｋ Ｒ＝弧の半径 Ｄ＝ブレゼンハムアルゴリズムにおける内部誤差ファク
    タ ａｂｓ（Ｄ）∈［０、２Ｒ］ Ｋ＝定数 Ｎ＿ｍ＿ｉ＿ｎ、Ｎ＿ｍ＿ａ＿ｘ＝整数 である、特許請求の範囲第２３項に記載の装置。
28. （２８）前記曲線が弧を含み、かつ前記予め定められた
    強度は方程式 Ｉ＿ｓ＝〔２Ｒ−ａｂｓ（Ｄ）〕／（Ｒ／Ｋ） Ｉ＿ｔ＝〔ａｂｓ（Ｄ）〕／（Ｒ／８） ここでは　Ｒ＝弧の半径 Ｄ＝ブレゼンハムアルゴリズムにおける内部誤差ファク
    タ ａｂｓ（Ｄ）∈［０、２Ｒ］ Ｋ＝定数 により前記弧の外側の画素に対して強度Ｉ＿ｓおよび前
    記弧の内側の画素に対して強度Ｉ＿ｔを含む、特許請求
    の範囲第１９項に記載の装置。