JPS62222718A

JPS62222718A - エラ−訂正方法

Info

Publication number: JPS62222718A
Application number: JP61066528A
Authority: JP
Inventors: Koji Asaba; 浅場　康次
Original assignee: Denso Ten Ltd
Current assignee: Denso Ten Ltd
Priority date: 1986-03-25
Filing date: 1986-03-25
Publication date: 1987-09-30

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】〔産業上の利用分野〕本発明はリードソロモン符号の２シンボルエラー訂正方
法に関し、シンドロームを用いず、剰余多項式の各係数
からエラーロケーションおよびエラーの大きさを求めて
訂正を行なおうとするものである。

〔従来の技術〕

コンパクトディスク（ＣＤ）やデジタルオーディオテー
フ責ＤＡＴ）ではＧＦ（２８）上のリードソロモン符号
を採用している。データ（音楽情報）は８ビット単位に
まとめられ、これはシンボルと称せられる。符号長ｎ、
情報符号長ｋ、符号間距離ｄ　（単位は全てシンボル）
のリードソロモン符号は（ｎ、に、ｄ）　リードソロモ
ン符号と呼ばれる。こ＼でｄ＝ｎ−に＋ｌである。ＣＤ
では（３２，２８，５）　リードソロモン符号が用いら
れるので、以下ではこれを例にする。

リードソロモン符号の生成多項式Ｇ　（ｘｉは次式で定
義される。

こ−でＸは複数ピント２値数を多項式表現した場合の各
有効桁を表わす数（例えば該２値数が１０１１００１な
らｘ６　　＋ｘ　４　　＋　Ｘ３　　＋　１となる）、
αはガロア体の乗算の基本となる元（原始元）でα＝（
ＯＯＯＯＯＱＩＯ）と定義される。αの数値の若干を挙
げると８＝ α＝　（００００００１０）　　α　　（０００１１１
０１）α２＝　（０００００１００）　　α９＝　（０
０１１１０１０）α３＝　（００００１０００）　　　
：”０ α　＝　（０００００００１） α　＝　（１０００００００）　　α　＝αであり、α
２５５　　で最初に戻る巡回符号である。αとＸは等し
く、α−Ｘ、α　−ｘ２　　、・・・・・・である。

（３２，２８，５）符号では前記生成多項式シまＧ（ｘ
ｌ＝　　（ｘ＋１）（ｘ＋α）　　（ｘ＋α２　）（ｘ
＋αハ＝ｘ＋ｃｘ　　ｘ　　＋ｃｘ　　ｘ　　＋ｃｔ　
　ｘ＋ａ６・・・・・・（２）となる。データによる多項式Ｍ　（ｘｉがこ＼でＷｉは
各情報データシンボルで表わされるとき、Ｍ（ｘ）をＧ（ｘ）で割り、余りＲ
（ｘ）を求めてＭ（に）の後につなげば次式のリードソ
ロモン符号多項式（記録又は送信データ）Ｕ（ｘ）が得
られる。

Ｕ　（ｘ）　＝　Ｍ　（ｘ）　＋　Ｒ（ｘｌ　　　　　
　　　　　　　・・・・・・（３１勿論Ｕ（ｘｌ＝Ｑ（
ｘ）　・Ｇ（ｘ）である（即ちＵ　（ｘｌはＧ　（ｘｉ
で割り切れる）。

この符号をベクトル表現とした場合の演算のために、生
成行列ＣｆＸ）を求めることができる。これにはｘ’　
（ｉ　＝　３１　、　３０．　・・・・・−４）をＧ（
ｘ）で割った余りを行ベクトルとして上から順に並べ、
左側に２８Ｘ２８の単位行列をつければよい。演算はＵ
＝Ｍ−Ｉｆ（による。今、受信符号Ｖ　（ｘ）をＶ　（ｘ）　＝　Ｕ
　（ｘｌ　＋　Ｅ　（ｘ）としく　Ｅ　［Ｘ）は誤り多
項式、即ち受信符号は送信符号に誤りを加えたもの）、
生成多項式Ｇ（ｘ）で割って余りＳ　（ｘ）が出たとす
ると、Ｖ　［ｘ）　＝　Ｑ　（ｘｉ　−Ｇ　（ｘ）　＋　Ｓ　
（ｘ）　　　　　　　　−＝　（４１＝Ｑ（ｘ）（ｘ＋
１）　　（ｘ＋ｃｒ）　　（ｘ＋α２　）（ｘ＋α　）
＋５（ｘ）となる。こ＼でＸに１．α、α２．α３を代入するとＧ
（ｘ）はそれぞれＯになる（本例のようなｍｏｄ２の加
算では同じものの和はＯ）となるので、が得られる。５
ｏ＝Ｓｓをシンドロームと呼ぶ。

Ｅ　（ｘｌ　＝　ＯであればＳ　（ｘｌ　＝　０であり
、５Ｏ−３３＝０である。５ｏ＝３３＝１であると、そ
の１である桁がエラーである。Ｖ（ｘ）をベクトル表現
して（５）式の計算を行なう場合の行列旧を考えるに、
とおくと、となる。行列旧をパリティ検査行列という。このＨを用
いれば、（６）式よりシンドロームＳｏ〜Ｓ３を算出す
ることができる。

前記のようにＵ（ｘ）＝　ＱｆＸ）　・Ｇ（ｘｌであり
、Ｖ　（ｘｌ　＝Ｕ　（ｘｌ　＋　Ｅ　（ｘｌであるか
ら（４）式よりＥ　（ｘ）　＝　Ｓ　（ｘ）であり、（
５）式は次のように書き換えることができる。

今Ｖ　（ｘｌのｉ番目とｊ番目のシンボルＷｉ、　Ｗｊ
に誤りがあり、その誤りの大きさがＥｉ、　　Ｅｊであ
るとすると＜２Ｍ誤り）、Ｅ（ｘｌ＝ｘ’　　Ｅｉ＋ｘｊＥｊ　　　　　　　　　
　−”・（９）と書ける。（８１，（９１式よりの４元連立方程式が得られる。こ−でα゛　、α１をエ
ラーロケーション数と呼ぶ。

〔発明が解決しようとする問題点〕

従来、リードソロモン符号の２シンボルエラー訂正を行
なう場合、（６）式より得られたシンドロームから００
式の４つの式を全て満足するα１　、αＪ。

Ｅｉ、　Ｅｊの組合せを探し出し、エラーロケーション
αｉ、αｊ及びエラーの大きさＥｉ、　Ｅｊを決定して
いた。例えばピーターソンの方法ではα１　、α１を２
次方程式％式％の１艮として求める。σ１．σ２は５ＩＩ＝ＳＩＳ２Ｓ
、＋５ａＳ２とおくとσ＋＝Ｓ目　／ＳＩ３゜σ２＝Ｓ
１２／ＳＩ３であり、α４　はσ１＋α　−σ２／αｋを満たすｋ　（０＜ｋ＜３１）を見つけることで求めら
れる（ｊ＝ｋ）。α５　が求まるとα’　　、　Ｅｉ。

Ｅｊは α’　　＝σ（＋α’　、Ｅｊ＝　（α’　　Ｓｏ＋Ｓ
＋）／σ＋Ｅｉ＝Ｓｏ＋Ｅｊとして得られる。しかしながらこの演算は複雑であり、
多大の時間を要する。本発明はか＼る点を改善し、高速
な訂正動作を可能にしようとするものである。

〔問題点を解決するための手段〕

本発明のエラー訂正符号は、符号列ｖ（ｘ）を生成多項
式〇　（ｘ）で割って剰余多項式Ｒ（ｘ）を求める第１
のステップと、エラーロケーションαｉ、αｊおよびエ
ラーの大きさＥｉ、　Ｅｊを含む、剰余多項式Ｒ（ｘｌ
の各項の係数より、エラーシンボルはＯ次項として１シ
ンボルエラー化し、そのエラーシンボルのロケーション
および大きさを、次いで前記Ｏ次項のエラーの大きさを
求める第２のステップと、符号列Ｖ（ｘ）を巡回させて
各項を順次Ｏ次項とし、この巡回させた符号列に対し、
生成多項式で割った剰余多項式を求め、その各項の係数
より、前記第２のステップによる処理でエラーロケーシ
ョンおよびエラーの大きさを求める第３のステップと、
得られたエラーロケーション及びエラーの大きさにより
符号列Ｖ　（ｘ）を訂正する第４のステップとを有する
ことを特徴とするものである。

〔作用〕

受信符号列Ｖ　（ｘｌを、シンボルＷｎ、符号長ｎ＝３
２のＶ（ｘ）＝Ｗ　　ｘ”’　　＋Ｗ　　Ｘ３０　＋−・・
・−＋Ｗ＋　ｘ＋Ｗ。

３Ｉ　　　　　　　　　　３０・・・・・・　ｑｌ）とし、そしてこれを前記（２）式で表わされる生成多項
式〇　（ｘｌで割ってＶ　（ｘｌ　＝　Ｑ　（ｘ）・Ｇ　（ｘ）　＋　Ｒ（ｘ
）なる剰余多項式Ｒ＜ｘ＋が得られたとし、Ｒ（ｘ）＝
ｒ　３　Ｘ３＋ｒ　２　Ｘ２＋ｒ　＋　ｘ＋ｒ　ｏ・・
−（１３とおくと、次式で示されるように、各項の係数
ｒ３〜ｒｏの値にも前述のエラーロケーションおよびエ
ラーの大きさについての情報が入っており、このＲ（ｘ
ｉを用いることによりエラー訂正が可能である。こ−で
２シンボルエラーの時ｒ３〜ｒｏはｒ　３　＝ｃｘ　　
（Ｅｉ　（ｃｒ＋　ｌ）（α＋　ｌ）（α＋　１）ｊｊ
−１ｊ−２＋Ｅｊ（α＋１）（α　＋１）（α　＋１））ｒ２＝α
”’（Ｅｆ（α’＋ｌ）（α　＋ｌ）（α　＋１）＋Ｅ
ｊ（ｃＸＪ＋１）（αＪ−１＋１）（αＪ−３＋１））
ｒ　＋　＝ａ：１５８（Ｅｉ　（ｉ＋　１　）（Ｑ’　
”＋　１）（α’　”＋　１）＋Ｅｊ（α＋１）　（α
　＋１）（α　＋１））ｒａ＝ｃｘ　　（Ｅｉ（ｃｒ　
　＋１＞（α　＋１）（α　＋１）＋Ｅｊ（α”＋１）
　　（α’−”＋１）（α”’＋１））・・・・・・０
３で表わされる。今ｉ＝０即ちシンボルエラーが受信符号
列Ｖ　（ｘｌの０次項Ｗｏにあったとすると、α１＋１
であるから（功式のｒ３〜ｒｌのＥｉの項はＯになり、
ｒ３〜ｒ１はＥｊの項でのみ表わされることになり、■
シンボルエラーの訂正の方法をとることが可能になる。

１シンボルエラーの訂正は比較的簡単であり、上記の場
合ｒ３〜ｒｌの比ｊｌｊ−２ｊ−１ α５６（α　＋１）（α　＋１）：　（α　＋１）ｊ−
３２ｊ２ｊ−３（α　＋１）：α（α　＋１）（α　＋１）・・・・・
・（１φ のパターンよりα３　を求めることができる。α１が求
まれば、これを上記ｒ３．ｒ’２．ｒｌのいずれかの式
に代入してエラーの大きさＥｊを求めることができ、更
にαｊ　　、　Ｅｊをｒｏの式に代入すればＥｉを求め
ることができ、２シンボルエラー（シンボルＷａとα１
　で指定されるシンボルＷ）訂正可能である。なおエラ
ーロケーションαはエラーシンボルを示すものであり、
エラーの大きさＥはシンボル内エラービットを示すもの
である。

一方、リードソロモン符号は巡回符号の一種であるので
、受信符号列Ｖ　（ｘｌをｍ次だけシフトさせたｘｍＶ
［ｘｌも同様に符号列として扱うことが可能である。今
ｍ＝２２４とすると前記０１）式はＸｍＶ（ｘ）−Ｖ　
３１　　Ｘ２５５＋Ｗ３０　ｘ２５４＋−−−−−・＋
Ｗ　＋　ｘ”２５＋　Ｗ　ａ　Ｘ２”　　　　　・・・
・・・Ｖｙｅとなるが、ＸはＧＦ（２８）上の元である
からＸ−１であり、０９式はｘ”　ｖ（ｘｌ＝ｗ　３０　ｘ２５４＋−・・−＋Ｗ　
ｌ　ｘ２２５＋　Ｗ　ｏ　ｘ　　＋　Ｗ　３　Ｉ＝・・
・・ｔ、１＄となる。即ちＸ３１がエラーシンボルであ
ったとしても００式ではＸ３１はＸの０次項であり、前
記の、シフト前のＷｏが０次項であったときの方法によ
ってエラー訂正が可能である。

以下同様で、０９式にＸを乗じるとＷ２ＯがＯ次項、そ
れにまたＸを乗じるとＸ２９が０次項、・・・・・・と
なり、上記方法でエラー訂正が可能で、こうしてエラー
ロケーションがどこであっても検出、訂正が可能である
。

〔実施例〕

第１図に本発明の実施例回路を示す。３は除算器、４は
コンＩ−ローラ、５は演算器（ガロイックロジック　ユ
ニット）、６はＲＯＭ、７はバッファメモリである。受
信符号列Ｖ　（ｘ）はシンボル（８ビット）毎に高次（
Ｗ　３　、の項）側より入力端１へ入力する。スイッチ
２はａ側に倒れており、従って各シンボルは順次除算器
３に入力する。除算器３は第２図に示す構成を有し、受
信符号列Ｖ　（ｘｌを生成多項式〇　（ｘ）で割る機能
を有する。Ｖ　（ｘ）は前記（１９式で表わされ、そし
てＧ　（ｘｌは前記（２）式で示され、設定器のα　、
α　、α　　、α　は（２）式のそれである。加算器、
乗算器、レジスタともに４個あり、図示の如（結線され
る。

この除算器の動作の概要は次の如くである。入力端から
はＶ　（ｘｌの各シンボルが順次入力し、４シンボル入
ったところでレジスタの内容はＲ３がＷ３ｘ”　、　Ｒ
２がＸ３０Ｘ３°、Ｒ１がＷ　２ｇ　Ｘ２９、Ｒ。

がＷ２ＢＸ　　になる。除算ではこれをＧ　（ｘｌ　＝
　ｘ’　＋α７５Ｘ３＋α２４９ｘ２＋α７８ｘ＋α６
　で割るが、この際Ｘ　がＸ３１ｘ　　に等しくなるよ
うにするので商の最初の項はＸ３１Ｘ２７である。そし
てこのＸ３１Ｘ　とα　Ｘ　、α　Ｘ　、α　ｘ、　　
α　の各種が乗算器Ｍ３．Ｍ２．Ｍｌ、ＭＯで求められ
、加算器Ａ３．Ａ２．ＡＩ、ＡＯにおいてＸ３０ｘ。

Ｗ　２ｇ　Ｘ２９．　Ｗ　２．Ｂ　Ｘ２８．　Ｗ　２７
　Ｘ２７との差（ｍｏｄ２では加算＝減算）が求められ
、その差がレジスタＲ３，Ｒ２，Ｒ１，ＲＯヘセントさ
れる。商の次の項は（ｘ３０−α７５Ｗ３１）Ｘ２６テ
あり、これとα７５　ｘ３　　、α２４９　ｘ２　　、
α７８ｘ、α６の各種が乗算器Ｍ３〜ＭＱで求められ、
加算器Ａ３〜Ａｌ１１においてレジスタＲ２，Ｒ１，Ｒ
Ｏの内容および新しく入力した１シンボルＷ２６ｘ２６
との差が求められ、該差がレジスタＲ３，Ｒ２，Ｒ１，
ＲＯにセットされる。以下同様であり、最後は（３２回
シフトすると）商が立たなくなり、このときのレジスタ
Ｒ３〜Ｒｏの内容がｒ３〜ｒｏである。

こうして除算器３に剰余多項式の各係数ｒ３〜ｒ。

が得られる。

係数ｒ３〜ｒｏは前記０３式で表わされ、エラーシンボ
ルがＯ次項Ｗｏにあったとすると前記手順でα１　を、
更にＥｊ、　　Ｅｉを求めることができる。

エラーシンボルはＷ３１項かも知れないが、これに対し
てはＶ　（ｘｌを２５５−３１＝２２４回シフトしてＷ
３１項をＯ次項にし、上記方法をとればよい。これは、
Ｖ　（ｘｌを２２４回シフトする代りに、スイッチ２を
ｂ側に倒して入力が常にＯになるように除算器３による
演算を２２４回繰り返してもよい。更にこれは、コント
ローラ４及び演算器５を用いて簡単に行なうことができ
る。即ち、Ｖ　（ｘｌをＧ（ｘ）で割った余りＲ（ｘｌ
の係数「３〜ｒｏと、ｘ２２４Ｖ（ｘ）をＧ　（ｘｌで
割った余りＲ’ｆＸ）の係数ｒｌ’〜ｒｏ′との間には
次の関係式が成立つ。

・・・・・・αη そこで一旦、除算器３のレジスタに残ったｒ３〜ｒｏを
コントローラ４に取り込み、演算器５で上記　式の計算
を行ない、ｒｓ′〜ｒｏ’を求める。

こ＼で演算器５は、ＣＦ（２８）上の任意の元の乗除算
および加算を行なう。また（１７）式の係数α１５９゜
α　、・・・・・・はＲＯＭ６などに格納しておく。

エラーロケーションを求めるには除算器３の各レジスタ
に係数ｒ３′〜ｒｏ′をセットし、スイッチ２はｂ側に
倒し、演算器５を用いて比ｒ３′：ｒ２’：ｒｌ′を求
める。ＲＯＭ６には比ｒ３′：ｒ２’：ｒｌ′　とエラ
ーロケーションとの関係を示すデータを予め書込んでお
き、演算器５で求めた比ｒ３’：　　　’：ｒｌ′に一
致するエラー０ケーシヨンα　を探す。α　が得られた
らＥｊ。

α’　　、　Ｅｉを求めバッファメモリ７に蓄えておい
た符号列Ｖ　（ｘｌの該当シンボルに加算器８でＥｉ、
　Ｅｊを加算しく排他オアをとる）、エラー訂正を行な
う。

もし一致するエラーロケーションα１がなければ除算器
３の各レジスタを１回シフト動作させ、上記比を求める
等の一連の処理を行なう。この処理はエラーロケーショ
ン検出、エラー訂正、が行なわれるまで繰り返し、３２
回繰り返しても一致するエラーロケーションが見付から
ない場合は３シンボル以上のエラー（これは訂正不能）
と判断する。

以上ではＧＦ（２８）上の元を符号とする（３２．２８
．５）のリードソロモン符号を例にして説明したが、本
発明は一般のリードソロモン符号のみならず、巡回符号
であれば応用可能である。

〔発明の効果〕

本発明によれば、リードソロモン符号の２シンボルエラ
ー訂正のアルゴリズムを、１シンボルエラー訂正のアル
ゴリズムに帰着させることができ、従って訂正動作を高
速化することができる。シンドロームは求めず、剰余多
項式の係数から、１シンボルエラーに帰着させてエラー
ロケーション及びエラーの大きさを求める。この際シフ
トを行なうが、シフト前の前記係数とシフト後のそれと
の関係を予め求めておき、演算よりシフト後の該係数を
求めるようにすると、処理を一層高速化することができ
る。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明の実施例を示すブロック図、第２図は除
算器の構成を示すブロック図である。図面で３は除算器、８はエラー訂正を行なう加算器であ
る。

Claims

【特許請求の範囲】

（１）符号列Ｖ（ｘ）を生成多項式Ｇ（ｘ）で割って剰
余多項式Ｒ（ｘ）を求める第１のステップと、エラーロケーションαｉ、αｊおよびエラーの大きさＥ
ｉ、Ｅｊを含む、剰余多項式Ｒ（ｘ）の各項の係数より
、エラーシンボルは０次項として１シンボルエラー化し
、そのエラーシンボルのロケーションおよび大きさを、
次いで前記０次項のエラーの大きさを求める第２のステ
ップと、符号列Ｖ（ｘ）を巡回させて各項を順次０次項とし、こ
の巡回させた符号列に対し、生成多項式で割った剰余多
項式を求め、その各項の係数より、前記第２のステップ
による処理でエラーロケーションおよびエラーの大きさ
を求める第３のステップと、得られたエラーロケーショ
ン及びエラーの大きさにより符号列Ｖ（ｘ）を訂正する
第４のステップとを有することを特徴とする巡回符号の
エラー訂正方法。
（２）第３のステップにおける剰余多項式の各項の係数
は、巡回前のそれと巡回後のそれとの間の予め求めてお
いて関係式により演算して求めることを特徴とする特許
請求の範囲第１項記載のエラー訂正方法。