JPS61249088A - 図形塗りつぶし方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 Ａ、産業上の利用分野 この発明はＣＲＴ　（陰極線管）、デジタル・プロッタ
、マトリクス・プリンタ等デジタル表示装置上に円弧ま
たは楕円曲線を描く曲線発生装置に関し、とくに塗りつ
ぶし処理を行う場合に最適となるようにしたものである
。

Ｂ、開示の概要 走査変換塗りつぶし方法に適した円弧または楕円曲線の
発生方法が開示される。変形ＤＤＡ法が導き出され、こ
の変形ＤＤＡ法により、走査線と曲線との交点が単一の
点で表わされる。

Ｃ０従来技術 ラスク型表示装置を例に考える。従来、塗りつぶされた
図形をラスク型表示装置で表示する場合には、まず対象
となる図形の輪郭線を描き、画面表示用のメモリの内容
を読み出しながら、図形の内部（塗られ多べき領域）と
外部（塗られない領域）とを判別し、塗りつぶすという
方法がよく行なわれてきた。このような手法はたとえば
特開昭５６−１４２５８５号に記載されてｂする。この
方法では逐一メモリの内容を読み出す必要があることか
ら、処理に時間がかかる。またすでに画面上に書き込ま
れている内容に大きく依存するため、他の図形に邪魔さ
れて、思うように塗りつぶしが行えないといったことが
起こる。

また別の手法としては「走査変換Ｊ　　（ＳｃａｎＣｏ
ｎｖｅｒｓｉｏｎ）と呼ばれるものが知られてし）る。

走査変換については「対話式コンピュータ・グラフィッ
クスの原理Ｊ　　（Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ　ｏｆ　Ｉｎ
ｔｅｒａｃｔｉｖｅＣｏｍｐｕｔｅｒ　Ｇｒａｐｈｉｃ
ｓＪ第２版、ダブリュー・エム・ニューマン（ｗ、　Ｍ
、　Ｎｅｗｍａｎ）著、マグロ−ヒル社。

１９７９年、Ｐｐ２３２〜２４３に記載がある。

この手法では、対象となる図形と画面を構成する走査線
との交点をすべて求め、得られた交点の奇偶ペアの間を
塗りつぶすものである。第２図はこれを模式的に示す。

この手法では対象となる図形の幾何学的性質を積極的に
利用することにより、画面表示用メモリの内容とは無関
係に塗りつぶしを行うことができ、処理速度も向上する
。走ｎ換方法では精度を保ちつつ、いかに効率よく交点
計算を行うかが大きな鍵となる。

この発明は１円および楕円の走査変換に関するもので、
円弧の発生手法に新しい考え方を導入し、従来存在した
精度上の問題を解消したものである。

さて指定された中心および半径をもつ円（楕円であれば
中心と長径、短径が指定される）を正確に描くために、
これまで三角関数等の関数計算を必要としない、効率的
な方法がいくつか提案されている。

その１つは始点から終点まで増分的に点を移動させてい
き、所望の線分を得るものである。増分的な点の移動と
は、たとえば１つの画素から、これに隣接する画素のう
ち０度、９０度、１８０度および２７０度の角度位置に
あるものの任意の１つに移動することをいう。これは４
画素連結という。０度、４５度、９５度、・・・・３１
５度の角度位置にある隣接画素に移行させてもよい。こ
れを８画素連結という。次回に移行すべき画素を選定す
る際には何らかのテストを行って２つまたは３つの隣接
画素を候補として絞り込む。そして候補点の各々と実際
の線分との間の距離を求め、これが一番小さくなる候補
点を最終的に選定する。このような手法はリュー・イー
・プレゼンハム（Ｊ。

Ｅ、　Ｂｒｅｓｅｎｈａｍ）の「円弧の増分デジタル表
示用線形アルゴリズム」、コミュニケーションズ・オブ
・エイ・シー・エム（Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ　
ｏｆ　ＡＣＭ）　２０　（２）　、１９７７年２月ｐｐ
１００〜１ｏ６に記載されている。円および楕円を走査
変換により塗りつぶす際にも、このような方法の基本的
な考え方を適用できるけれども、ただ単にそれを流用し
ただけでは、以下に述べるような精度上の問題が生じる
。

たとえば四画素連結で円を発生した場合、第３図のよう
な点列を得る。いまＸ軸上の点ｘ＝ｒから反時計回りに
点列を発生し、それらを利用しながら塗りつぶしを行う
ことを考える。走査変換の場合は第２図からも分るとお
り、各走査線についてただ一つの点が順次発生されれば
十分であるから、一走査線上に連なる複数の点が発生し
た際に、どの１点を選びだすかが問題となる。例えばｙ
座標値が変化した時の点を選ぶと、第４図にあるような
黒い点が選ばれ（二重丸の点は、一走査線上の点の数を
つねに偶数に保つためのもので、ｙ方向の変分の符号を
見ながら、別途付は加えてやる必要がある）、最終的に
同図のような真円からは程遠い、いびつな円が得られる
。もし対象となる図形が、縦方向につぶれた楕円であれ
ばあるほど、その影響はさらに顕著なものとなる（第６
図）。

ここで円のもつ対称性に着目し、実際に発生する点列は
例えば第１象限（四分円）に属するものだけとし、他の
象限での値は、単に第一象限の値の符号を反転すること
で得るものとすれば（点列を発生するすぐそばから点の
ペアが得られ、これらの間を塗りつぶすことができるの
で、処理時間の短縮にもつながる）１図形の対称性はひ
とまず保たれるものの、縦方向に偏平した円が出力され
てしまう（第５図）。

いずれ、にしても、上記の方法では問題の根本的な解決
手段にはなり得ず、精度の高い円および楕円の走査変換
を行うには、新たな工夫が必要である。結果として円と
走査線との交点に最も近い点が、順次一つずつ求められ
るような方法が最適で接的に求めようとすると、平方根
の計算が必要になる。　円を簡便に発生させる他の手法
としてはＤＤＡ　（デジタル・ディファレンシャル・ア
ナライザ）法が知られている。前掲ｒ対話式コンピュー
タ・グラフィックスの原理Ｊ、ＰＰ２７〜２８に記載が
ある。ここではＤＤＡについて簡単に触れておくことに
する。

第７図において、半径ｒの円の周上の１点Ｐｋ（ｘｋ、
　ｙｋ）が求まっているとする。この点ＰｋからΔθだ
け反時計廻り方向に進んだ円周上の点Ｐｋ＋ｌ　”ｋ＋
１’　”ｋ＋１）番士Ｘｋ＋１”ｒ　Ｃｏｇ　　（θ÷
Δθ）＝ｒｃｏｓ　　θｃｏｓΔθ−ｒ　ｓｉｎθｓｉ
ｎΔθ＝ｘｃｏｓΔθ−ｙ　ｓｉｎΔθ　旧直１）ｋ　
　　　　　　　　　ｋ ｙｋｉｔ＝ｒｓｉｎ　　（θ＋Δθ） ：ｒＳｉｎθＣＯＳΔθ十ｒ　ｃｏｓθｓｉｎΔθ”：
ｌ’　ＣＯ８Δθ＋ｘ　　ｓｉｎΔθ　　０００．（２
）ｋ　　　　　　　　　　　ｋ となる。

ここでΔθを微小角度とすると、ｃｏｓΔ０４１、ｓｉ
ｎΔθ〜Δθとなる。さらに、Δθ＝ｅ＝２−”（ｍは
正の整数）とおけば式（１）および（２）はＸ　ｋ＋１
”　Ｘ　ｋ１９１　ｋ”　”　（３）１に＋１＝Ｖｋ＋
ｅＸｋ””Ｃ４） ただＬ２”−１＜ｒ＜２” となる。しかしこれらの式をそのまま用いると発散して
しまうので式（４）の”ｋ＋１に置き換えｘｋ÷１＝　
ｘ　ｋ−ｅ　ｙｋ　＋＋　＋＋　（５）ｙ　　　＝ｙ　
　　＋ｅｘ　　”（６）ｋ＋１ｋｋ を得る６式（５）および（６）から真円の値が得られる
ことが確かめられている。

ところでこのＤＤＡの手法を走査変換に適用することに
ついてもすでに提案がなされている（特開昭５９−２０
６８８４号公報）、シかしこの場合にも１本の走査線と
曲線との交点に一連の点が発生してしまうので、上述の
増分的デジタル表示と同様の開運が生じる。特開昭５９
−２０６８８４号にはこの点について何ら記載がない。

Ｄ０発明が解決しようとする問題点 この発明は以上の事情を考慮してなされたものであり、
走査変換に最適で、しかも三角関数や平方根の計算を必
要とすることなく円弧または楕円曲線を発生することが
できる曲線発生方法を提供することを目的としている。

Ｅ１問題点を解決するための手段 この発明では以上の目的を達成するために、ＤＤＡの漸
化式を変更して同一走査線上に連続した点列が発生する
のを防ぐようにしている。

具体的にはつぎの漸化式（７）および（８）または（９
）および（ｌＯ）に基づいて円についての点列を得るよ
うにしている。

ｙｋ＋１＝ｙｋ＋１　　　　　　　　・・・・（７）”
ｋ＋１：”ｋ　　’に＋１”ｋ　　　　””（８）ｙｋ
＋１”ｙｋ　　’　　　　　　　　　・・・・（９）Ｘ
　ｋ＋１　＝＝　Ｘ　ｋ＋　Ｖ　ｋ＋１７　Ｘ　ｋ”　
”　（１０）ただしに＝０、１，２・・・・ なお走査変換により直線的に塗りつぶしを行う方向をＸ
軸とし、これと直交する方向をｙ軸とした。

Ｆ０作用 ここでは上述の漸化式（７）および（８）の意味につい
て考えよう。

先に触れた従前のＤＤＡの漸化式（３）、（４）、（５
）および（６）をもう一度考える。

”ｋ＋１＝　Ｘｋ−ｅ　ｙ　ｋ”　”　（３）ｙｋ＋１
＝ｙｋ＋＋ｘｋ　＋団（４） ”ｋ＋１＝Ｘｋ　ａｙｋ　　・−、、（５）ｙｋ＋１：
’ｋ　＋’　ｘｋ＋１　　°−−−（６）式（３）、　
（４）から明らかなようにベクトル（Ｘｋ＊ｚ、ｙｋや
、）はベクトル（ｘｋ、　ｙｋ）に微小ベクトル（ｅｙ
ｋ、ｅｘｋ）を加えたものである。そして微小ベクトル
（−ｅ　ｙｋ、　ｅ　ｘｋ）はベクトル（ｘｋ、ｙｋ）
と直角である。したがって式（３）および（４）で得ら
れる点列は発散してしまう。式（５）および（６）はこ
の発散を解消したものである。すなわち。

式（５）および（６）を行列で表わすとつぎのようにな
る。

この式（１１）により生成される点列は真円を描くこと
が明らかである。このことについてはたとえばディー、
コーエン（Ｃｏｈａｎ、　Ｄ）氏の「線型差分曲線」　
（バーバード大学、１９６９年）を参照されたい。

ところで式（６）でｙ軸方向の増分を１とした場合、す
なわち走査線１本につき１つ点を発生させたい場合、問
題がある。すなわち増分を１とするためにｅ　Ｘ　ｋＨ
ｚ　＝　’とすると式（５）がｘ　　　＝ｘ　　−ｙ　
　／ｘｋ＋１ に＋１　　　　ｋ　　　　　ｋ となり、Ｘｋ＋１を得るのにＸｋ＊ｔが必要となり不合
理であるからである。

この発明では式（３）のｙｋをｙｋ＊１で置きかえたつ
ぎの式に基礎を置いている。

！　ｋ＋１　＝＝　Ｘ　ｋｅ　Ｖ　ｋ＋１　　　　”　
”　（１２）ｙｋ＋１　＝　ｙｋ＋　ｅ　ｘｋ”　”　
（１３）この式を行列で表わすと であるから真円が描かれることはもちろんである。

そしてこれらの式（１２）および（１３）でｙ軸方向の
増分を１とするためｅｘｋ＝１とすれば１式（６）、（
７）以上から明らかなように式（６）、（７）は走査線
との交点に１つづつ点をプロットしながら真円を描くこ
とができるものであることがわかる。

なお、式（６）、　（７）は反時計廻り方向に円をプロ
ットする式であり、式（８）、（９）は時計廻り方向に
円をプロットするものである。このことについては説明
を要しないであろう。

なお、実際に円を描く場合にはその中心が原点にあると
はかぎらないので平行移動を行う必要がある。また楕円
の場合には長径および短径に応じてスケール変換を別途
行う必要がある。

Ｇ、実施例 以下この発明を円の塗りつぶしに適用した一実施例につ
いて第１図、第８図〜第１２図を参照しながら説明しよ
う、この実施例では第９図に示すように円の中心（ｘｃ
、　ｙｃ）を通る走査線上の画素を点ｐｓからＰｇにい
たるまで塗りつぶし、以降上方向および下方向に隣接す
る走査線上の画素を順次塗りつぶしていくようにしてい
る。これを第１０図に示す。具体的には第１１図に示す
ように所望の白土の点ｐｓを決定したのち、円の対称性
を利用して点Ｐｇ、　ＰＧ’　、　Ｐａ’　を求める。

そしてｐｓ〜Ｐｇ間およびｐｓ’〜Ｐｇ’間の画素を塗
りつぶすのである。なお、この実施例の説明のうえで用
いる記号は第１１図に示されている。

さて第８図はこの実施例で用いるパーソナル・コンピュ
ータ・システムの概要を示す。このシステムは日本ＩＢ
Ｍ（株）のＩ　ＢＭ５５５０とすることができる。第８
図においてデータバス１にはＣＰＵ２、キーボード３、
フロッピ・ディスク４、ＣＲＴディスプレイ５．主スト
レージ６、リフレッシュ・バッファ７等が接続されてい
る。キーボード３、フロッピ・ディスク４．ＣＲＴディ
スプレイ５のそれぞれとデータバス１との間にはインタ
ーフェースとしてキーボード・インターフェース８．フ
ロッピ・ディスク・コントローラ９、ＣＲＴディスプレ
イ・コントローラ１０が設けられている。この図におい
てはアドレスバス、コントロールバス、ｇｏｓ等は省略
されている。

ＣＲＴディスプレイ５はたとえば１５インチ・モノクロ
ーム型のものであり、１０２４Ｘ７６８ドツトを約０．
２２ｍ１のスポットで表示することができる。リフレッ
シュ・バッファ７は１０２４ｘ７６８ドツトの全点アド
レス可能グラフィック・モードをサポートする容量を有
している。このリフレッシュ・バッファ７はＣＰＵ２お
よびＣＲＴディスプレイ・コントローラ１０によりアド
レス可能であり、ＣＰＵアドレスによりグラフィック・
データをリフレッシュ・バッファ７に書き込み、またリ
フレッシュ・バッファ７の内容を読み出すことができる
。ＣＲＴディスプレイ・コントローラ１０はＣＲＴディ
スプレイ５用の垂直同期信号および水平同期信号に応じ
てリフレッシュ・バッファ７をアクセスし、その内容を
ＣＲＴディスプレイ５に表示する。

この実施例の方法はたとえばアプリケーション・プログ
ラムのパッケージ・ディスクとして提供される。ディス
ク・オペレーティング・システムの管理のもとにこのパ
ッケージ・ディスクをフロッピ・ディスク４にロードす
ると、このプログラムが主ストレージ６に転送され、そ
ののち実行される。この実施例の方法は第１図に詳細に
示されている。

なお、この例では所望の円０に沿う点ｐｓを求めるに際
し、半径ｒを同一とし、かつ中心を原点（。、。）とす
る円Ｏ′に沿う点（ｘ、ｙ）を変形ＤＤＡで求め、この
のち平行移動を行ってｐｓを得るようにしている。ｐｓ
にしたがってさらにｐ。、ｐｓ’およびｐ、′を求める
ことができることはもちろんである。

第１図においてキーボード３を用い、塗りつぶしを行う
円の中心（ｘｃ、　ｙｃ）および半径ｒをキーボード３
を介して入力する。そうするとこのデータＸｃ、　ｙｃ
およびｒが主ストレージ６に転送される（ステップ１１
）、こののち円０′上の点Ｃｘ、ｙ）およびカウンタＣ
がそれぞれ（ｒ、０）および０に初期化される（ステッ
プ１２）、増分開始点をＸ軸上の点（ｒ、ｏ）としてい
るので半径データをそのまま初期値データに用いること
ができる。、Ｘ軸またｙ軸上にない円Ｏ′の点、を増分
開始点とすると、その初期値データを得るのに平方根の
計算が必要となり、煩雑である。

こののちステップ１３で中心（ＸＣ，ｙｃ）を通る走査
線と円Ｏとの交点ｐｓおよびｐ。（第９図）についての
データＶｃ、ＸｃＸ’およびｒ＋ｘｃをそれぞれｙｙ、
ｘｓおよびｘｅに代入する。つぎにステップ１４で点（
ｘｓ、　ｙｃ）〜（Ｘｓ、　ｙｃ）の間の画素に対応す
るリフレッシュ・バッファ７のロケーションに塗りつぶ
しデータを書き込む０以上で第９図の一走査線上の塗り
つぶし動作が終了する。以降、この走査線の上または下
方向に隣接する走査線について走査変換を行っていく。

すなわち、ステップ１５においてカウンタＣおよび円０
′上の点のｙ座標ｙをそれぞれ＋１増分し、さらに円０
′上の点のＸ座標Ｘをｘ　−ｙ　／　ｘで代入する。こ
ののちステップ１６１’ｙｙ、ｘｓおよびＸ。にそれぞ
れｙ＋ｙｃｅ　ｘｃ−（ｘ）および（ｘ）＋ＸＣを代入
する。なお（Ｘ〕はＸの整数部を示す。この操作が＋１
増分後の走査線と円０との交点ｐｓおよびｐ６を求める
ためのものであることは明らかである。つぎにステップ
１７で増分後の走査線についての塗のつぶしを行う。す
なわち点ｐｓ　（ｘｓ、　ｙ　ｙ）〜点ｐａ　（Ｘｓ、
ｙｙ）の間の画素に対応するリフレッシュ・バッファ７
のロケーションに塗りつぶしデータを書き込む。

こののちステップ１８および１９で点ｐｓ’〜点Ｐａ’
の間の塗りつぶしを行う。すなわち線分ｐｓｐｅは線分
ＰＧ’　Ｐａ’　とＸ軸について軸対称であるから、ｙ
ｙにＶｃ−１を代入すればよい（ステップ１８）。この
のちステップ１９でステップ１７と同様の塗りつぶしを
行う。

以上のステップ１５〜１９はカウンタＣがｒ−１と等し
くなるまで繰り返される（ステップ２０）。

カウンタＣがｒ−１に等しくなると、ステップ２１およ
び２２が実行され、そののち動作が終了する。ステップ
２１および２２ではそれぞれ（ｒ＋ｙｃ、　ＸＯ）およ
び（ｙｃ　　ｒ、Ｘｃ）に対応するリフレッシュ・バッ
ファ７のロケーションに塗りつぶしデータが資き込まれ
る。こうして第１２図に丸印で示すような円０に沿う点
のプロットが行われるとともに、同一走査線上で対をな
すプロットの間の塗りつぶしが行われる。この塗りつぶ
した円の表示がＣＲＴディスプレイ５で行われることは
もちろんである。

つぎに第１３図〜第１５図を参照してこの発明を楕円の
塗りつぶしに適用した実施例について説明しよう。この
実施例で塗りつぶすものは第１４図に示すような楕円で
ある。尚第１３図において第１図と対応する箇所には第
１図の参照数字に１００を加えた数字を付し、以下では
第１図と異なる部分についてのみ説明を加えることとす
る。

第１３図においてキーボード３を介して入力されたデー
タすなわち中心（ｘｃ、　ｙｃ）および長径ａ、短径す
が読み込まれる（ステップ１１１）。

ステップ１１３ではこれに応じてｙｙ、ｘｓおよびｘｅ
にそれぞれｙｃ、　）Ｃｃ−ａおよびａ＋ｘｃが代入さ
れる。

またステップ１１６ではｘｃ−ａ傘（ｘ／ｂ）およびａ
　”　（ｘ／ｂ）＋ｘｃがそれぞれＸ９及びｘｅに代入
される。

さらにステップ１２１および１２２では点（ｂ＋’／ｃ
、ｘｃ）および（ｙｃ　　ｂ、ｘｃ）に対応するリフレ
ッシュ・バッファ７のロケーションに塗りつぶしデータ
が書き込まれる。

第１３図に示すシーケンスにより第１５図に示すような
楕円が得られ、この内部が塗りつぶされる。

なお以上の実施例においては単に円および楕円を全体的
に塗りつぶすことについて説明したが、第１６図に示す
ようなパイ・チャートを塗りつぶすこともできる。この
場合にはその間を塗りつぶす走査線上の奇偶ペアについ
てテーブルをつくり、このテーブルに基づいて塗りつぶ
しデータをリフレッシュ・バッファに書き込んでいけば
よい。た・とえば走査線ＬＳと円Ｏとの交点をこの発明
の方法で得、また直線ＬＬと走査線ＬＳとの交点を任意
の手法たとえばプレゼンハム法で得、このデータをテー
ブルにストアしておけばよい。外観形状を楕円とするノ
５イ・チャートも同様にして得ることができることはも
ちろんである。

Ｈ０発明の詳細 な説明したようにこの発明によれば極めて精度の高い円
および楕円を発生させることができ、しかも走査線と曲
線との交点は１つの点として決定されるので、すなわち
交点が一連の点列として表わされることがないので、走
査変換に最適である。さらに平方根や三角関数の演算を
必要とせず、短時間で円および楕円の発生を行える。

【図面の簡単な説明】

第１図はこの発明を円の塗りつぶした適用した一実施例
を示すフローチャート、第２図〜第７図は従来例を説明
するための図、第８図は第１図例を実行するのに用いる
システムの概略を示すブロック図、第９図〜第１２図は
第１図例を説明するための図、第１３図はこの発明を楕
円の塗りつぶしに適用した他の実施例を示すフロチャー
ト、第１４図および第１５図は第１３図例を説明するた
めの図、第１６図は第１図例の変形例を説明するための
図である。 １・・・・データバス、２・・・・ＣＰＵ、５・・・・
ＣＲＴディスプレイ、６・・・・主ストレージ、７・・
・・リフレッシュ・バッファ、１０・・・・ＣＲＴディ
スプレイ・コントローラ。 出願人　　インターナショナル・ビジネス・マシーンズ
・コーポレーション 復代理人　　弁理士　　澤　　１）　俊　　夫第６図 第９図 ！ 第１６図

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 始点（ｘ＿０、ｙ＿０）から始まる一連の点であつて、
   原点を中心とする円弧に沿うもの（ｘ＿ｋ、ｙ＿ｋ）（
   ただしに＝０、１、２、・・・・、ｘ＿ｋ≠０）をｙ＿
   ｋ＿＋＿１＝ｙ＿ｋ＋１ ｘ＿ｋ＿＋＿１＝ｘ＿ｋ−ｙ＿ｋ＿＋＿１／ｘ＿ｋまた
   は ｙ＿ｋ＿＋＿１＝ｙ＿ｋ−１ ｘ＿ｋ＿＋＿１＝ｘ＿ｋ＋ｙ＿ｋ＿＋＿１／ｘ＿ｋの漸
   化式に基づいて順次生成するステップと、上記ステップ
   で生成した一連の点の座標を変換して任意の座標を中心
   とする円弧または楕円曲線を生成するステップとを有す
   ることを特徴とする円弧または楕円曲線の発生方法。