JPH0944473A - 有限要素法による偏微分方程式解析手法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【構成】物体の周りの要素分割と解析対象となる空間全
体の要素分割を別々に行い、重複している要素につい
て、未知ベクトルの一方から他方の要素への内挿と、支
配法方程式を組み合わせることにより偏微分方程式を解
く方法。 【効果】各領域の間で要素分割の整合性をとる必要がな
いため、入力工数が少なくなり、また要素の歪みを小さ
くできるので解析精度が向上する。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は偏微分方程式解析手法に
係り、特に、複雑な構造物が複数個空間に存在している
場合について、入力データ作成が容易でかつ解析精度の
良い有限要素法による偏微分方程式解析手法に関する。

【０００２】

【従来の技術】従来の有限要素法による偏微分方程式解
析手法は節点に、ベクトル変数の場合三次元では三成分
の未知数を置く流体解析によく用いられるノーダルエレ
メント型の有限要素法では、図２に示すような要素を重
ねて解く方法が知られている（参考文献１）。しかし、
この方法では、電磁場解析で良く用いる辺上に未知数が
定義され、辺の向によりベクトルの方向を定める辺要素
型(エッジエレメント)有限要素法にはこのままでは適用
できない。そのため、従来の辺要素型有限要素法では入
力工数の増大や物体の周りにできる要素と空間要素との
間を無理に接続することから来る要素の歪みによる計算
精度が低下する欠点があった。

【０００３】

【発明が解決しようとする課題】本発明の目的は、従来
の辺要素型有限要素法が有していた上記欠墾を解消し、
入力工数が少なくかつ計算精度の良い辺要素型有限要素
法による偏微分方程式解析手法を提供することにある。

【０００４】

【課題を解決するための手段】辺要素型有限要素法で偏
微分方程式を解く場合、でき上がった連立方程式が特異
にならないようにするため、隣接要素は必ず辺を共有す
る必要がある。このため、二つの形状の異なる構造物の
間を接続する場合、要素形状が両方の物体形状に合わせ
るためかなり歪んでしまう。このため、辺要素では、要
素内の辺に沿った方向を基底ベクトルとする辺要素で
は、基底ベクトルの独立性が崩れるため、計算精度が悪
化する。このような問題点を解消する方法は、部分的に
要素が重なることを許容し、重なった部分のデータを互
いに渡すことにより連立方程式が特異にならないように
することにより、要素の歪みを少なくすることができ、
要素の歪みから来る解析誤差を低減できる。

【０００５】

【作用】図３に作用原理を示す。図のように空間を要素
１と要素２に分け、各々互いに重複するように要素分割
を行う。要素１の境界上のベクトル５は要素２の内部の
ベクトル８を用いて内挿し、要素１の境界値として用
い、要素２の境界上のベクトル６は要素１の内部のベク
トル５を用いて内挿し、要素２の境界値として用いる。
内挿されたベクトルの方向は、境界値として用いる辺要
素の方向とは一致しない。そこで、辺要素の成分を取り
出すため、辺の方向ベクトル（未知数の定義のしかたに
応じて辺の共変ベクトル又は反変ベクトルを用いる）と
内挿したベクトルとの内積をとる。これにより、辺に沿
ったベクトルの成分を得る。このようにして、要素１と
要素２との間をデータで結びつけることにより、連立方
程式は正則となり解析対象である空間の方程式の解を得
ることができる。

【０００６】

【実施例】図１に本発明による非定常計算の場合のフロ
ーチャートを示す。データ入力後、辺要素のインデック
スを作成する。その後、各要素ごとに要素積分を実行し
要素毎に方程式を解くための係数行列を作成する。次
に、非定常計算の時間を進めるルーチンに入る。ここで
は、物体が移動する場合を考慮して、物体の周りに作る
要素も物体と共に移動する。そのため各時刻毎に新しい
位置での各要素間の位置関係を調べ、重なっている要素
を判定する。重なっている要素については、支配方程式
から未知数を計算するか、内挿により未知数を計算する
かに分類する。その後、重複要素での内挿計算用の辺の
座標及び、その座標値に対応する重複相手の要素内無次
元座標を計算する。次に、要素毎の行列から係数行列を
合成するルーチンに入る。通常の要素については、要素
毎の行列から係数行列を合成するが、内挿計算用要素に
ついては次式を組み込む。記号等については図４を参照
のこと。今要素１と要素２が重なっている状態を考え
る。辺要素による有限要素法では、要素内の未知ベクト
ルＡは通常各辺上の共変成分Ａ_j と辺の反変基底ベクト
ル

【０００７】

【外１】

【０００８】を用いて次のように表せる。

【０００９】

【数１】

【００１０】ここで、Ｎ_j は辺要素の形状関数である。
要素２の辺ｍ上に有る未知ベクトルＡの共変成分Ａ_m は
辺ｍの共変基底ベクトルｅ_m との内積をとることにより
表せる。

【００１１】

【数２】 Ａ_m＝Ａ・ｅ_m …（数２） ところで、要素１の内の未知ベクトルは辺ｍの無次元座
標が分れば、数１により書ける。従って、

【００１２】

【数３】

【００１３】を係数行列に組み込む。ここで、Ａ及びＮ
の上付き添え字は要素１及び要素２を表す。

【００１４】係数行列の組み込みが終わった後、連立方
程式を解き、未知ベクトルの解を得る。計算時間が終了
するまで上記時間更新のルーチンを繰り返す。図５及び
図６は本手法を適用したときの要素分割の状況を示した
ものである。図５はコイル９と鉄心１０の斜視図、図６
は空間１１の分割を含めたコイルと鉄心の分割状況を示
したものである。図６のように鉄心は矩形，コイルは環
状型を示しており、従来の分割法ではコイルと空間の接
続を連続させるためかなり要素形状が変形することが予
想されるが、本手法では、空間とコイルの要素は別々に
分割されており、ほとんど要素の歪みはない。このた
め、解析精度を良くすることができる。

【００１５】以上説明したように、本実施例によれば、
辺要素の歪みを小さくすることができ、解析精度を向上
させる効果がある。また、移動物体を取り扱う場合、空
間要素を作り直すことなく計算を進めることができるた
め、各時刻毎の要素積分を省略でき計算時間を短くでき
る。

【００１６】図７は本発明の第２の実施例である。構成
は第１の実施例とほぼ同じであるが、全体の係数行列作
成部分を時間更新サイクルの前に置いてあるところが異
なる。作用はほぼ第１の実施例と同様であるが、係数行
列の作成は一度ですむため計算時間が短い効果がある。

【００１７】図８は本発明を定常問題に適用した第３の
実施例である。構成はほぼ第２の実施例と同じである
が、時間更新のルーチンがない点が異なっている。作用
はほぼ第２の実施例と同様であるが、時間更新のルーチ
ンがないので定常問題や周波数依存の問題などに適して
いる。

【００１８】

【発明の効果】本発明によれば、空間に張る要素と、物
体周辺に張る要素との間に整合性をとる必要がないた
め、入力データ作成に要する時間を短縮できると共に、
要素形状が歪まないため辺要素の計算精度が向上する。

【００１９】また、互いにディリクレ型境界条件で各領
域間をつないでいるため、安定な解が得られる。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の実施例のフローチャート。

【図２】従来法の説明図。

【図３】本発明の原理の説明図。

【図４】式に用いた記号の説明図。

【図５】本発明を適用した要素分割の斜視図。

【図６】本発明を適用した要素分割の断面図。

【図７】本発明の第２の実施例の断面図。

【図８】本発明の第３の実施例の断面図。

【符号の説明】

１，２…要素、３，４…境界、５，６…境界上ベクト
ル、７，８…領域内ベクトル、９…コイル、１０…鉄
心、１１…空間、１２…要素、１３…節点、１４…要素
が重なり合っている部分。

Claims (3)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】ベクトル変数を未知数とする偏微分方程式
   を解くため、空間を要素分割し、前記空間に於ける未知
   ベクトルを要素の辺上に配置し、その方向を辺の向で代
   表する辺要素を用いる有限要素法において、解析対象と
   なる空間を有限要素で分割する際、各々の物体を含む物
   体の周りの部分空間と全体の空間を各々別々に要素分割
   し、各々の部分空間の一部が互いに重なり合うことを特
   徴とする有限要素法による偏微分方程式解析手法。
2. 【請求項２】請求項１において、全体の空間と物体の周
   りの部分空間との解の連続性を保証する方法として、物
   体の周りの部分空間の境界を構成する要素、及び、全体
   の空間と物体の周りの部分空間と重なり合う部分の全体
   空間側の要素の値を互いに対応する位置の相手側の内挿
   値を与える手段を有する有限要素法による偏微分方程式
   解析手法。
3. 【請求項３】請求項２において、互いの内挿値を与える
   手段としてディリクレ型境界条件として取り扱う有限要
   素法による偏微分方程式解析手法。