JPH08508838A - 有限要素法の新しい解析法及び解析器 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 有限要素モデルと偏微分方程式による解析と処理システムのための方法と装置を提供する。装置は並列処理とモデルの部品への分割の能力を含む。方法はメモリまたはデータベースに記憶された部品から組み立てられるモデルを可能とする。モデルは分けられた部分システムのパッケージのインターフェースを通して組合わせて形成される。システムは一度に完全なモデリに関するデータを必要としない。この解析は処理時間と記憶容量の削減を実現させる。

Description

【発明の詳細な説明】 有限要素の新しい解析法及び解析器 【産業上の利用分野】 本発明は、変微分方程式を解くための分割法とその装置、また、並列やトポロ ジー処理により線形システムを解くための分割手法を用いたて物理現象を解析す るための有限要素モデルに関する。 【従来の技術】 従来の機構においては、弾性構造、熱伝導、熱変換、流体移動、電磁流体解析の ような物理現象を計算機上で数値的に解析を行うには、物理系を変微分方程式で 表し数値解析をおこなう有限要素法（ＦＥＭ）が、最も幅広い計算機志向の工学 的ツールである。 大規模計算機特にスーパーコンピュータの発展により、有限要素法は、大規模 構造やシステムの現象を解析するためには非常に有効的な技術と成ってきており 、その応用範囲は増大し続けている。ＦＥＭは、先ず始めに構造解析として用い られたが、今日では生産システムや物理システムのような多くのシステムの設計 と解析に用いいられている。 有限解析法においては、一つの解析システムは、多くのノードによって構成さ れる数値的要素群により構成されていると仮定する。そして、これらの要素は同 時方程式のよって表され、それを解くことにより解析される。この同時方程式に よって表されるシステムは、要素数が増大するにしたがい、計算時間や記憶容量 が増大する。数学的な主要の研究は、この記憶の要求を減少させることであった が、彼等の努力にもかかわらず、現在まではこれらの要求に答えることができな いできた。２次元又は３次元領域でのＦＥＭの解析においても、メッシュまたは 要素と呼ばれる小さな領域に分割され、しかも、変微分方程式の線形近似方程式 が境界を規定する点（節点）に割り振られた変数の関係として表される。例えば 、各節点に対しする関係を表す線形方程式を用いて、一つの要素は以下に示す離 散 化方程式（例えば弾性解析においては、この式を釣合の式と呼ぶ）によって表さ れる。 ［Ｋq］・［ｕq］＝［ｆq］ （1） ただし、記号ｑは、ｑ番目の要素を示し｛ｑ＝1,2,....,n:ｎはシステムに含ま れる全要素数を示す｝、また、［Ｋq］は定数行列、［ｆq］は各節点での境界条 件により得られる定数ベクトル、［ｕq］は未知変数ベクトルを示す。 次に、解析対象物の全系の離散化方程式は、このように求めた各要素に対する 離散化方程式の関係をまとめて、以下に示す（2）式として表される。 ［Ｋ］・［ｕ］＝［ｆ］ （2） ここで［Ｋ］は定数行列、［ｆ］は定数ベクトルであり［ｕ］は未知変数ベク トルである。（2）式の解は、行列［Ｋ］の逆行列［Ｋ］-1を求めることにより 未知変数ベクトル［ｕ］に関して解くことが出来る。この解は物理現象の解析結 果を与えることになる。 ＦＥＭ技術の中で解くことを必要とする離散化方程式は、しばしば大規模で複 雑な構造をとなり、計算機で処理を行うには計算機のメモリー容量や処理回数の 制約により大きな規模の定数行列［Ｋ］を解くことが困難となる。 しかしながら、この大規模な［Ｋ］行列は、行列を構成する要素のなかで、非ゼ ロの要素が全体の要素に比べ少ないスパース行列だり、更に、非ゼロ要素が行列 の対角上に帯状の構成となる帯状対角行列を構成している。 これらの構造の行列を解くため多くの方法やシステムがＦＥＭの応用の過程で提 案されてきている。それらは、大別すると二つの方向（直接法と反復法）に分類 される。 直接法は離散化方程式の解を直接的に求める解析手法であり、計算誤差内で有 限回の演算で正しい解が得られることが保証されるが、直接法は場合によっては 有限回の繰り返し処理では解を得られないことがある。それゆえに、一般的には 直接法が離散化方程式の解法に適しているものとして、離散型方程式の非ゼロ要 素のスパース性を考慮したガウス消去法、ＬＵ分解法、行列［Ｋ］の帯行列を用 いたコレスキー・バンドマトリックス法やスカイライン法、解析対象物の幾つか の部分に分割して扱うウェーブ・フロント法やサブストラクチャー（領域分割） 法などが提案された。 ２つ目の反復法は、初期値を与えて繰り返し処理により近似的に正確な解に近 づけることにより求める手法である。この方法の主手法としては、共役勾配法が 上げられる。この反復手法は、繰り返しにより近似解に近い近似解を求める手法 であり、ある回数で解を得る保証がない。 直接法は、従来のノーマン型計算機を用いて、逐次的な処理によりる線形シス テムの解析器として用いられ、高速と処理削減をはかるべく研究がなされてきた のであるが、最近の研究は、益々増大化する行列［Ｋ］と高速化処理の要求によ り、並列計算機を用いた並列処理により、処理速度と処理領域の削減をはかる方 向に進み始めた。その視野から領域分割法が、直接法としてだけでなく反復法に おける並列計算として有効な手法として注目されはじめた。 最近並列処理に適した二つの手法が提案された。１つは解析的な手法であり、 C.FarhatとE.Wilsonによる並列構造法であり、もう一つは領域分割法と呼ばれる 反復法である。並列構造法は、スパース行列構造の特徴を利用している。即ち、 行列は、分割した部分領域で表される対角ブロックとその部分領域間の関係を表 わす縁ブロックの２つの構造（ＢＢＤ行列と呼ぶ）で表わすことができることに より、各対角ブロックは並列的に個別にＦＥＭの処理が可能となり、直接法によ ると個別に処理された各部分領域ブロックが結合部ブロックに等価的に縮約され 、この縮約された行列を処理することにより正確な解を得ることができる。 領域分割法は、２種類の手法を用いた反復分散処理手法である。それは各対角 ブロックに対してはノーマル方向法を、また結合部ブロックには共役勾配法が用 いられる。即ち、個別に処理された各部分領域ブロックが個々の部分領域の結合 の境界条件の整合を共役勾配法等のより反復処理によりおこなわせることで正確 な解に近づけることにより、解析全体として各部分領域が並列的・分散的に処理 を行うことを可能としている。しかし、解析対象物の規模が増大し要素数も増す と、計算処理が大幅な時間がかかるのみならず巨大な記憶容量を有する中型以上 のコンピュータが必要となること、また部分領域が増大すると、その接合ブロッ クによる行列の規模や反復処理回数も増大し、解を得ることが困難となる等、巨 大システムの解析は、従来の種々の手法により行なうことが困難であった。 また、行列［Ｋ］の構造を非ゼロ要素による最小対角バンド幅構造や対角要素 を除き最大ゼロ要素対角バンド幅構造を生成し、これをもちいてガウス消去法に より、並列またはパイフライ・プロセッサを用いた並列マルチプロセッサ・アー キテクチャを実現するための種々の方法も幾つか提供されている。これらの方法 も構造に大きく依存し、従来の方法におけると同様に問題が生じている。 【発明の概要】 本発明の目的は、物理システムを解析するための有限要素法（ＦＥＭ）に基ずく 有効的な方法とその装置を提供することにある。 新しく提供する技術は、有限要素法を用いて解析するために必要とするメモリー 容量や計算処理問題を有効的に減少させる。 提供する発明は、ＯＮ法を有限要素法に適用することにある。このＯＮ法は、線 形システム解析において、システム全体の知識を必要せずに任意の知識だけでシ ステムを解く新しい手法である。この新しい手法を有限要素法の一部に用いる。 この適用は、現在用いられている有限要素法の解析技術と異なったものとなる。 この違いは、既存の技術では、先ず境界条件を設定しシステム全体の方程式を求 め、この方程式を解く手順となっているが、ＯＮ法による技術は、各部分要素群 の数学的なモデルを作成し、それらの境界条件を設定し、部分要素群の状態を決 めていく手順となっていることにある。ＯＮ法は、一連のPartially solved sys tem（ＰＳＳ）を生成しながら解法していく。 最初のＰＳＳは、Ｎ次元線形方程式の最初の線形式の中から解かれた変数を抽 出して等号記号の左側に置き、解かれていない変数と定数を右側に置くことによ り得られる。次に、ｉ番目のＰＳＳは、Ｎ次元線形方程式の中からトポロジー的 に任意のｉ番目の線形方程式が選ばれ、この方程式に対して、既に抽出された解 かれた変数群と定数を（i-1）番目のＰＳＳの左側に、解かれていない変数群を （i-1）番目のＰＳＳの右側に加えることにより得られる。この過程の最後は、 線形方程式の全ての変数は解かれてしまう結果、最後のＰＳＳは右側の解かれて いない変数は存在しない。それゆえにＮ番目のＰＳＳはシステムの全ての解を与 える。ＰＳＳの中で左側の解かれた変数を内部変数、又左側の解かれていない変 数を外 部変数と呼ぶＯＮ法は、Ｎ次元線形方程式で表される物理システムを解析装置に 代入することにより実行される。 システムの解を求めた後は、制御パラメータ（ＰＳＳの外部変数）を物理的な 値として与えることにより、物理システムを制御することができる。これは、一 般的に線形方程式のシステム解が物理システムの動作条件を決めるのに用いられ ることによる。 最初のＰＳＳを求める前に、最後のＰＳＳを得るまでに必要とされる時間を減 少されるために、線形方程式の生成において構成する変数のＰＳＳの選択順番を 計算処理最小になるようなオーダリングをおこなうことができる。更に、ＰＳＳ の形を上三角実行形で行うことも、全体のＰＳＳ処理速度の削減となる。 複雑な物理システムは、非常に大きな規模の線形方程式によって、モデリングさ れることが一般に行われる。これら複雑なモデリングのためには、コンピュータ の処理容量や処理時間の制約を受ける。ところが、ＯＮ法は如何成る時もシステ ム全体の知識（関係）を必要としないので、ＯＮ法にシステムの分割手段を持込 むことで、極端に複雑で大規模な物理システムをも従来の計算機での制約内で扱 うことが可能となる。物理システムのモデリングのなかで、物理システムは、幾 つもの部分システムに分割することは可能であり、また、分割した方が扱いやす い。それ故に、ＯＮ法をこの分割された各部分システムに対し適用する。最終的 に得られた各部分システムの最後のＰＳＳは、外部変数が存在し、その外部変数 は、他の部分システムの内部変数として求まる。そこで、全ての部分システムの 外部変数に対し、これらの外部変数で構成される内部変数で作られるＰＳＳの関 係式を抽出し、これらにより、構成された第二システムを形成する。この第二シ ステムに対して、ＯＮ法を適用し、第二ＰＳＳを求める。これにより外部変数だ けのＰＳＳを構成することができる。この最後のＰＳＳには、この第二システム での外部変数を含まない。又第二システムも幾つかの部分システムに分れて扱う ことができ、第二システムの部分システム化がなされたときは、第一システムと 同様に各部分システムに対して、ＰＳＳを形成することができ、この各部分シス テムに対する外部変数を用いて、各ＰＳＳの内部変数から、この外部変数に対応 した式を抽出して、新しい第三システムを生成することができる。この様に各シ ステムに対し、外部変数に関する新しいシステムを次々に生成して行くことがで きる。最後のシステムのＰＳＳには外部変数は含まれない。それ故に、この最後 のＰＳＳは解かれたシステムとなる。この解かれた最後のシステムのＰＳＳの内 部変数を、その前に生成されたシステムの外部変数に代入することで、代入され たシステムは解かれたシステムとなる。この過程を第一のシステムまで繰り返し 行うことで、物理システムの全ての変数は解かれたことになる。更に部分システ ムに分割する前又は後に、処理速度減少の最適に成るように、外部変数のＰＳＳ 構成の順番を決めることをもこのシステム分割処理の大切な過程として含む。 この手法は最規模な線形方程式として表されるシステムに有効的に適用するこ とができ、特に有限要素法への適用が有効的である。より具体的に表現すると、 この提供する発明は、この分割技術を用いており、複雑なシステムをより簡単な 部分システム群として表すことが可能となる。 ＯＮ法を適用しての分割法が複雑な物理システムに適用された時は、システム は幾つかの部分システム群、これらを部品（パーツ）と呼ぶ、に分割される。Ｏ Ｎ法が各部品に適用されれ、最終的にＰＳＳが生成される。このＰＳＳの左側の 解かれた変数群（これらを内部ノードと呼ぶ）と右側の解かれない変数群（これ らを外部端子ノードと呼ぶ）によれ構成されている。別の視野からみると、この 部品の内部ノードの中の幾つかのノードは、他の幾つかの部品の外部ノードと直 接に関係しているものが存在する。この直接関係している内部ノードを他の関係 しない内部ノードと区別し、それぞれを、内部端子ノードと内部ノードとに区別 して呼ぶことにする。 分割法の最も大切な法則は、部品が内部端子ノードと外部端子ノードだけの関 係で表されることである。これによって表された部品は、新しく生成される次の 第二システムに対応している。各部品は、集積回路部品と類似したインターファ イス端子ノード群をもつ。このインターファイス端子ノード群を端子部品システ ム（ＴＰＳ）と呼ぶことにする。もし、インターファイス端子部品が他の幾つか の部品のインターファイス端子ノードと直接繋がれているならば、この繋がれた 外部端子と内部端子に関する変数群は、ＯＮ法により得られるＰＳＳにより解か れる。それゆえに、全ての部品が各部品のインターファイス端子を自由に結合す ることで一つのシステムとして組み立てられるならば、全ての外部変数は解かれ た状態になり、そのあとに、各部品の内部変数を解かれた外部変数を代入するこ とで、全ての内部変数が解かれることになる。 この発明の目的は物理または造形システムの解析のための装置を提供すること であり、この解析は、物理または造形システムを有限要素モデルまたは偏微分モ デルとし、このモデルにＰＳＳを適用して行なうものであり、このＰＳＳは如何 成る時でも完全なシステム全体としての知識を要求せずに線形方程式を解いてい く手法であり、物理的データ、境界条件データや解析すべきモデリングシステム を要素群をどの様に分割するかの情報データのような入力装置；得られた解析結 果をどのように画像として出力するための表示装置；ソルバー（ａ）装置；これ は以下の装置で構成される；ノード生成部（解析の為のモデルシステム上にノー ドを配置し、そのノードにノード番号Ｋを与える），要素生成部（配置されたノ ード番号Ｋのノードに直接関係する要素群をこのモデルシステム上に生成し、生 成した要素に要素番号を与える。この生成は要素形のデータにより行われる）； 要素方程式生成部（上で生成した各要素に対して要素方程式を生成する）；記憶 部（生成された要素方程式を生成順に記憶する）；ノード方程式生成部（生成さ れ記憶部に記憶された要素方程式群からノード番号Ｋに関する要素方程式だけを 抽出しＫノード方程式として生成する）；ＰＳＳ生成部（Ｋノード方程式とＫノ ードに対する制約条件を基礎となるＰＳＳの中に配置する）；ＰＳＳ実行部；記 憶部（ＰＳＳを記憶する）から構成されている。 発明の別の目的は、さらに物理又は造形システムに対し、線形，非線形システ ム、動的なシステム、時間依存システムとして扱い有限要素モデル、または、偏 微分モデルとして扱いＰＳＳで解析する方法と装置を含む。 この発明は、非ゼロ要素を多く含む大規模行列や対角帯行列のソルバーやＰＳＳ によるＬＵ分割ガウス消去法のソルバーや誤差評価部を含む。 この発明は、物理または造形システムの解析のための方法を提供するものであ り、物理または造形システムを有限要素モデルまたは偏微分モデルとし、このモ デルにＰＳＳを適用して行なう方法であり、物理的データ、境界条件データや解 析すべきモデリングシステムを要素群をどの様に分割するかの情報データのよう な入力過程（ａ）；解析の為のモデルシステム上にノードを配置する過程（ｂ） 、そのノード群にノード番号を与える過程（ｃ）、ノード群からＫノード番号を 選ぶ過程（ｄ），選ばれたＫノードに直接関係する要素群だけをこのモデルシス テ ム上に生成する過程（ｅ）、生成した要素に要素番号を与える過程（ｆ）、上で 生成した各要素に対して要素方程式を生成する過程（ｇ）；生成された要素方程 式を生成順に記憶する過程（ｈ）、生成され記憶部に記憶された要素方程式群か らノード番号Ｋに関する要素方程式だけを抽出しＫノード方程式として生成する 過程（ｉ）、Ｋノード方程式とＫノードに対する制約条件を基礎となるＰＳＳの 中に配置する過程（ｊ）、ＰＳＳ方程式の解を見出す過程（ｋ）、ＰＳＳを記憶 する過程（ｌ）、もしＫノードが最後のノードでないと過程（ｄ）戻り過程（ｍ ）まで繰り返し処理を行なわせるか、そうでないと仕事を終わらせるかを判断す る過程（ｍ）、それからこの過程の終わりに解析結果を出力する。 発明の別の目的は、ＯＮ法によるＰＳＳにより、トポロジー的な解析とそれによ る境界条件の効果の伝播状態の解析を提供する。 発明の別の目的は、有限要素モデルを幾つかの部品に分割すことで、インターフ ァース端子付き部品を提供する。 発明の別の目的は、有限要素モデルにおいて、類似したインターファース端子 付き部品１つで表すことができるパッケジを提供する。さらなる発明の目的は、 部品やパッケジを並列処理または階層型並列処理実行させる技術を提供する。１ つの視野から、ノード配置や番号付けの過程は、最適な配置とトポロジカルなノ ード選択の過程をも含まれる。 別の視野から、この方法には、解析システムを、三角構造、四角構造、４面体 構造、六面体構造、アイソパラメトリック構造等に分割し要素の生成を行うに際 し最適構造の要素生成過程を含む。 別の視野から、要素方程式の生成過程に、新たに生成して要素方程式を記憶場 所に記憶し、必要でなくなった要素方程式は記憶場所から消去する過程を含む。 別の視野から、ノード方程式の生成過程で、記憶場に記憶された要素方程式か らＫ番目の要素方程式を選択する過程を含む。 別の視野から、ノード方程式ＰＳＳ方程式の中に組込む過程で、ＰＳＳの中に ノード方程式を配置するしかとして、ノード方程式のなかで、既に解かれた変数 をＰＳＳの左側に又、解かれていない変数と定数を右側に配置する；任意のＫ番 目のノード方程式からＫ番目のＰＳＳを生成する過程を含む。 別の視野から、基本的なＰＳＳ方程式のＯＮ法処理には、ＰＳＳの解かれた変 数に対する係数行列を縮小、削減することで、ＬＵ行列や単位行列への処理を行 う過程を含む。 別の視野から、トポロジー的な解析とそれによる境界条件の効果の伝播状態の 解析処理の過程では、各処理過程（Ｋが１からＮまでを取る過程）での各ＰＳＳ の定数ベクトルの値を用いることで境界状態の伝播を示す過程を含む。 別の視野から、発明の方法は更に解析システムを分割し、インターファース端 子付き部品を生成する過程を含む。 この発明は、新しい解析技術と新しい解析装置として総括することができる。 この新しい解析装置は大きなシステムを小型の計算機でＯＮ法のＰＳＳと有限要 素法でのＴＰＳの構造的な技術を用いて解析することができる。 ＰＳＳの使用は、トポロジーな部分的な解法装置であり、解く段階では解析シ ステム全体の知識は必要でなく解析を行うことができ、部品またはパッケジが容 易に構成可能である。 ＴＰＳは容易に構成でき、しかも、ラジオ装置や電気回路装置のように、一つ のシステムにこの部品群を組み立てることが簡単にでき、この組み立てにおいて 並列処理や階層型並列処理を行うことで高速な組み立て処理を可能とする。 また、ＴＰＳは部品やパッケージ群をデータベース化することで容易に扱うこと が出来るという新しいデータ処理技術を提供する。もし、部品やパッケージが計 算システムの中で一種のデータとして構成されるならば、ＴＰＳは自由にこれら のデータを用いて、任意の類似システムまたは異なったシステムを組み立てるこ とが可能となる。このことは、物質、流体、電磁場ように異なった特性を持った 物理的なシステムをも一緒にモデル化することができる。また、このことは、解 析対象のモデルの一部を修正をも、ＴＰＳのデーダベースの修正部分の交換だけ で簡単に行うことを可能とする。 この発明を応用することができる特殊な物理構造はこの中に描かれる。スチー ルの梁のような弾性構造物に対する偏位や応力解析を含む。この装置は、入力装 置、部品生成装置、１個またはそれ以上のソルバー装置、記憶装置と出力装置群 により構成されている。 提供する発明は、付随する図を伴う以下の詳細な記述から明らかにされる。 【図の簡潔な記述】 図１ａは、線形方程式で表されるシステムであり、 図１ｂは、図１ａで示される線形方程式システムの行列表示であり、 図１ｃは、図１ａで示される線形方程式システムのダイグラフ表示であり、 図２ａ−２ｃは，ＯＮ法の各処理過程を示し、 図３ａ−３ｆは，図１ａの線形方程式システムに図２ａ−２ｃのＯＮ法の適用過 程を示し、 図４は，ダイグラフ表示であり、 図５は，図１ａの線形方程式システムのリンク表として示す、 図６ａ−６ｄは，図１ａの線形方程式システムをＯＮ法による上三角化の説明を 示し、 図７ａ−７ｂは，図１ａの線形方程式システムのオーダリングを説明するために 用いるダイグラフであり、 図８は，オーダリングされた後のリンク表から再構成された図１ａの線形方程式 システムであり、 図９は，ＯＮ法を実行するための装置の最初の具体化であり、 図１０は，ＯＮ法を実行するための装置の第２番目の具体化であり、 図１１ａ−１１ｂは，ＯＮ法による分割処理の過程を示し、 図１２ａ−１２ｇは，線形方程式のシステムに対してのＯＮ法による分割処理の 過程を示し、 図１３ａ−１３ｃは，ＯＮ法による分割処理行う装置の三つの具体化であり、 図１４は，ＯＮ法による多重階層分割処理の過程を示し、 図１５ａ−１５ｂは，ＯＮ法による並列処理装置の２つの具体化であり、 図１６Ａは，新しい有限要素モデル（ＮＦＥＭ）のｐｓｓ生成過程のブロックダ イアグラムを示し、 図１６Ｂは，新しい有限要素モデル（ＮＦＥＭ）の逐次処理によるＴＰＳ生成過 程のブロックダイアグラムを示し、 図１６Ｃは，ＮＦＥＭの階層並列処理によるＴＰＳ生成過程のブロックダイアグ ラムを示し、 図１７Ａは，図１６Ａの装置を用いた時のＮＦＥＭのＰＳＳ生成の流れを示し、 図１７Ｂは，図１６Ｂの装置を用いた時のＮＦＥＭの逐次処理によるＴＰＳ生成 の流れを示し、 図１７Ｃは，図１６Ｃの装置を用いた時のＮＦＥＭの階層並列処理によるＴＰＳ 生成の流れ図を示し、 図１８は，三角要素に分割した領域の１例を描いたダイアグラムであり、 図１９は，多くの節点で構成された一つの要素例を描いたダイアグラムであり、 図２０は，三角要素に分割したスチールの梁のような物理物体に対し、図１６Ａ の解析装置の中で図１７Ａの処理手順により、ＮＦＥＭの解析を描いたダイアグ ラムであり、 図２１Ａ−Ｅは，図２０で示される例に対しＮＦＥＭの中でＯＮ法の各処理手順 を示し、 図２１Ｆは，図６ｆの結果との比較の中で図２０で示される例での従来のＦＥＭ で得られた結果を示し、 図２２は，図２０で示される例を発明した方法により解析した結果の概要を表す 、 図２３は，図２０で示される例をインターフェイス端子付き部品として分割した 状態を描いたダイアグラムを示し、 図２４Ａは，図２０で示される物理的な物体に対し、ｋ番目のインターフェイス 端子付き部品Ｔｋを描いたダイアグラムを示し、 図２４Ｂは，図２０で示される物理的な物体に対し、ｋ番目の部晶Ｐｋとインタ ーフェイス端子付き部品Ｔｋが付いた端子部品Ｔｃｋを描いたダイアグラムを示 し、 図２５は、インターフェイス端子付き部品Ｔｋの具体化を示し、 図２６は，Ｐ番目のパッケジ構造の具体化を示し、 図２７は，Ｊ番目のインターフェイス端子付き部品ＴＪの具体化を示し、 図２８は，Ｊとｋ番目のインターフェイス端子付き部品の結合によって生成され る新しいインターフェイス端子付き部品Ｔkjを示し、 図２９は，多くの部品を階層並列処理によって組合わせ結合してゆく状態を示し 、 図３０は，図２０に示される物体を３つの部品と２つのインターフェイス端子部 品として分割した状態を示す、 図３１は，各部品に属する外部端子ノードに対するインターフェイス端子ノード 番号の対応表ダイアグラムを示し、 図３２Ａ−Ｃは，ＴＰＳとしての図１５の中に示される３つの部品の内部と外部 端子変数の関係を示すダイアグラム表であり、 図３３は，図３０に示される２つの部品Ｔ２とＴ３の内容を１つのパッケージの 端子変数の関係としてしめしたダイアグラム表であり、 図３４Ａは，２つの部品Ｔ１とＴ２の結合処理によって得られた新しい部品Ｐ１ ２のダイアグラム表であり、 図３４Ｂは，２つの部品Ｐ１２から作られた新しいインターフェイス端子部品Ｔ １２のダイアグラム表であり、 図３５は，２つの部品Ｔ１２とＴ３の結合処理によって得られた新しい部品Ｐ１ ２３のダイアグラム表であり、 図３６は，ノード間の関係をダイアグラムとして示した。 【発明の詳細な記述】 発明の原理と装置は以下に示す記述によって詳細に述べる。この記述の前にＯ Ｎ法の概要を提供する発明の理解の助けとなる。 【ＯＮ法】 【ＯＮ法の概略】 ＯＮ法は線形連立方程式を解く一種の方法である。この技術によってこの式を解 く基本的な方法を以下に示す。 大切な基本式（決定方程式）は次の式で与えられる。 Ａd・ｘd ＝ Ａu・ｘu＋ Ｂ ここで ｘd： 解かれた変数 ｘu： 解かれていない変数 Ｂ ： 定数 Ａd： 解かれた行列 Ａu： 解かれていない行列 状態はこの式を用いて各ノードで解かれる。先（ｋ−１）ノードに対し上基本式 が形成されたとする。次いで、Ａd行列を単位行列に変換する。そして次の式と して書き換える。 ｘdk-1 ＝ Ａuk-1・ｘuk-1＋ Ｂk-1 （2） これを（ｋ−１）−ＰＳＳ（parcially solving Sysytem）と呼ぶことにする。 次いで、ｋノードに選び、このノードに関して他のノードとの関係を式として求 め、これを（ｋ−１）−ＰＳＳの中に含める。そして（）の決定方程式から以下 のｋ−ＰＳＳが求められる。 ｘdk ＝ Ａuk・ｘuk＋ Ｂｋ （3） もし、このＰＳＳ形成を全てのノードに行うと、全てのノードに対する状態を解 くことができることになる。従来の解析技術は、始めに全てのノードの関係を式 で表し、それから、この表された方程式を解くという手順で状態の解を求めてき た。ＯＮ法は、独創性な新しい解法であるので、この処理過程を以下に示す。 Step（0-1）解析システムの中で要素を生成するためのノードを生成する。 Step（0-2）ノードを解析システムに配置する。 Step（0-3）各ノードに対して、解く順序番号を与える。 次いで、以下の Step（1）からStep（6）までの処理をｎ回（ｎは全てのノー ド数）繰り返す。 Step（1）任意のノードｊを選ぶ。ただし、ｊはノード番号１からんｎまでの順 番とする。 Step（2）解析対象システムからノードｊと直接関係している要素を生成する。 Step（3）ノードｊと直接関係している全ての要素から、式を生成する。これを 要素方程式と呼ぶ。 Step（4）これら要素方程式からｊノードにかんする式群だけを選びだす。これ をノード方程式と呼ぶ。 Step（5）ＯＮ法により、基本方程式を用いてこのノード方程式を書き換える。 Step（6）ＰＳＳの中にこのノード方程式を代入し、最後に新しいＰＳＳを式（ ）から生成する。 Step（0-4）全てのノードがＰＳＳに取り込まれたとき、解析処理は終了する。 各ステップでのより詳細な記述を以下に述べる。 【ＯＮ法の詳細な記述】 ＯＮ法の詳細な記述は、本発明を理解するうえで有効である。図１ａは、提供 したＯＮ法と呼ぶ発明を説明するために用いる線形方程式の一例を示す。図１ｂ は図１ａの線形方程式系の行列表示である。図１ｃは図１ａの線形方程式系をダ イグラフで表したものである。これらの図は、更に検討される。ＯＮ法の各ステ ップは図２ａ〜２ｃに示し、図３ａ〜３ｆで例にそって説明する。 図２ａの中に示したように、スッテプＳ1では、Ｎ次元方程式系の各式の中か ら一つの内部変数が選ばれる。ステップＳ1での各式に対し選択された内部変数 は、順番に囲い込まれる。各次の式に対して、選ばれた内部変数はこれらの前に 選ばれたものとは異なるものである。図３ａは、図１ａの中の式群で構成される 系のステップＳ1を説明している。与えられた式に対しての内部変数の選定の後 残された変数は、外部変数と呼ぶ。 スッテプＳ2において、最初のPartially solved System（ＰＳＳ）は行列式 形式のそれぞれの線形式の左側の選ばれた内部変数を単位ベクトル化することで 以下の様に形成することができる。 ｘd＝Ａu＊ｘu＋ｂ （４） ここで ｘdとｘuはそれぞれ内部と外部変数ベクトルであり、Ａuはｘuベクトル の係数行列である。ｂはｘd変数の係数ベクトルである。図２ｂは図２ａのＳ１ ブロクック送致の最初の線形式にたいするＰＳＳを得るための２つのステップ過 程をしめす。 Ｓ'1ステップにおいて、最初のＰＳＳの形式は、最初の式の選ばれた内部変数 を形式の左側に置き、外部変数と定数ｂを形式の右側に置くようにして作られる 。もし選ばれた内部変数の定数が存在しないならば、Ｓ'2のステップで全ての式 は選ばれた内部変数の係数を得るために内部変数の係数によって分割される。こ の処理による、最初のＰＳＳの生成は完了する。 図３ｂは、図１ａの線形式形の最初の式に対し適用するためのＳ'1ステップを 説、名している。図３ｂの説明のなかで、内部変数係数は１の値にする。このこ とは、ステップＳ'2の実行を省くことになる。図３ｂ−３ｆの中の式群はＯＮ法 の理解を簡単にするために行列表示で表している。 ＯＮ法のＳ3ステップにおいて、第２番目に生成するＰＳＳは図２ｃ示めされ る。ステップＳ'3では、第２の内部変数の式が最初に生成されたＰＳＳ上に組込 まれる。ステップＳ'4では、新たに選ばれた内部変数がＰＳＳの左側に、また外 部変数と定数はＰＳＳの右側に組込まれる。今はｘ1とｘ2は内部変数であり、こ れらの変数はＰＳＳの左側に置かれなくてはならない。図３ｃは図１aの例の式 に対してこれらのステップの過程を示している。ステップＳ'5の中では、内部の 係数行列が良く知られた技術であるガウス消去法による単位行列への変換を示し ている。このことは、ｉ番目の線形式をＰＳＳの形成においては、選ばれた内部 変数の係数を１にし、しかも、１から、（ｉ−１）番目までの既に選ばれた式に おいて、ｉ番目で選ばれた内部変数を含む変数の係数をゼロとし、しかも、ｉ番 目の式の変数の中で１から（ｉ−１）式のそれぞれで選ばれた内部変数に対応す る変数の係数をゼロにする操作を行うことである。このステップは図２ｄのなか で、図３ａの例によって示す。 図２ａのステップＳ4では、図２ｃのＳ'3−Ｓ'5のステップで３番目、４番目 ・・第Ｎ番目のＰＳＳを繰り返し生成する。最後のＮ番目のＰＳＳは、ｘd＝ｂ を得る。図３ａ−３ｆの例では、４番目のＰＳＳが最後のＰＳＳである。図３ ｅと３ｆは、それぞれ図３ａの線形式形例の３番目と４番目（最後）のＰＳＳを 示す。最後のＰＳＳは線形式群の解となる。 【スパース行列のメモリー、マネージメント】 線形方程式は一般に以下の行列表示で表される。 Ａ・ｘ＝ｂ． 全ての式の表現は、行列Ａを構成する行列要素に関するデータと定数ｂのデー タが必要である。しかしながら、ガウス消去法と異なり任意の段階では、システ ムの全情報の知識はＯＮ法では必要としない。 スパース行列は幾つかの行列要素はゼロであり、スパース行列の有効的な表現 はダイグラフである。ダイグラフは線形システムをＯＮ法の装置の記憶容量の中 に格納するフラフ表現による方法である。 ダイグラフでは、ゼロ係数は消去され、記憶容量とメモリー、マネージメント 回数を削減させる。ダイグラフＧ＝（Ｖ，Ｅ）が、図４に示される。ダイグラフ Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）は、バルテクスと呼ばれるｖ要素群（これは線形方程式の変数を 表す）とエッジと呼ばれるＥ群（これは、バルテックス間の関係で定義される） で構成される。エッジｅＥ（ｕ，ｖ）はボルテクスＶの入力エッジを示す。もし ｕ＝ｖであるならば、エッジは自己ループである。図４の中に、一つのエッジは ２ののバルテックスを結ぶ矢によって表される。エッジにはウエイトｗ（ｕ，ｖ ）が付けられ、これにより２つのバテックス関係として規定される。図１ｃは図 １ａの線形方程式系のダイグラフである。 ａiを図１ｂの行列のｉ行ｊ列での要素を表すとする。図１ａで示される線形 方程式に対して、ｉ＝１，２，．．．，ｎに対しａ１≠０であることによりロス なしと仮定できる。ｘ＝（ｘ1，ｘ2，．．．，ｘn）を変数群とし、図１ａ−１ ｃではｎ＝４である。 １≦ｉでｊ≦ｎであるｉとｊのペアーに対し、もしa1≠０であるならば変数ｘ１ は変数ｘ1とトポロジー的に関係している。各ｉに対しa1≠０ならば、全ての変 数ｘはそれ自身とトボロジー的に関係しており、図１ｃの自己ループとして表さ れる。行列Ａに対する全てのトポロジー的な関係は、以下のようなダイグラフＧ （Ａ）＝（ｘ，Ｅ（Ａ））によって表される：各変数ｘはバルテックスＶ1で表 される。もし変数ｘ１がトポロジー的に別の変数ｘ１と関係していると、ｅｄｇ ｅ（Ｖ1，Ｖj）εＥ（Ａ）はウートｗ（Ｖ1，Ｖj）＝−ａ1によって作られる。 ダイグラフは各バルテックスに対しそれそれが自己ループを持つことに注意。 ベクトルｂの非ゼロ定数表すために、各非ゼロ定数ｂk（k＝１からｎ）に対し 、ソースに対するバルテックスｓkが作られる。各ｓｋεＳに対し、ウェートｗ （ｓk，ｘk＝ｂkが作られる。それ故に、ダイグラフＧ（Ｖ，Ｅ）＝Ｇ（ＡＵｂ ）であり、Ｖ＝ｘＵＳでＥ＝Ｅ（Ａ）ＵＥ（ｂ）となる。 ［スパース行列のメモリーへの格納］ メモリーの中にスパース行列を格納するにおいて、ダイグラフとして表されるリ ンク化されたリンク表によってなされる。図１ｃのダイグラフは図５で示される リンク表として記憶される。この表はゼロ係数の記憶を削減させる。スパース行 列の記憶において、バルテックスが選ばれリンク表のヘッターに選ばれる。図５ のなかで、ｘ1、ｘ2、ｘ3とｘ4は線形方程式を表す４つのリンク表のヘッダーで ある。ヘッダーとして各々のバルテックスが選ばれることにより、各ヘダー／バ ルテックスが式の内部変数であるためにＯＮ法のステップＳ1が実行される。各 ヘダーはバルテックス、．．，変数の係数の自己ループウエイトとして格納する 。 各ヘッダーは、バルテックスの入力エッジーを表すセルとしてリンクされる。 １つのセルはバルテックスに対する入力エッジは、入力エッジのウエイトや別の セルへのポインターを形成することによる変数を示す。図５の中で、最初のヘッ ダーｘ1は変数ｘ3からの別の入力エッジへのポイントする変数ｘ2からの入力エ ッジを表すセルに対するポインターである。変数ｘからの入力エッジは、変数ｘ 4から入力エッジへのポイントであり、変数ｘ4からの入力エッジはソースバルテ ックスＳ1（内部変数ｘ1の定数ｂ）からの入力エッジをボイントする。ＯＮ法は それ故にリンク表上によって実行される。 【デンス行列】 僅かのあるいはゼロ係数のないデンス行列において、行列形式で線形方程式を 記憶することは最も有効的な方法である。しかしながら、ＯＮ法は完全な行列を 要求しないので、上で記述した手法を用いる。 【上三角インプリメンション】 内部変数の係数行列を単位行列に変換する代りに、上三角法を用いて実行タイ ムを削減することができる。上三角化法では、内部変数係数行列の主対角を争位 に変換する。しかしながら、係数行列の下二角領域だけは、ゼロとなるために操 作される。それゆえ、最後のＰＳＳだけがｘnとしての解を与える、次いで、残 された変数の解を得るためにバクソルブが必要となる。図６ａ−６ｄは図１ａの 線形方程式に対してのＯＮ法での上三角化インプリメンションを示している。図 ６ａは２回目のＰＳＳを完成させるためのスッテプＳ'4の揉作である図３ｃと同 様である。図６ｂのなかでは、内部変数の係数行列は、上で述べた上三角インプ リメンションによる操作を行ったものである。図６ｄは、４番目と最後のＰＳＳ が、上三角インプリメンションによって生成されている。図６ｄの中で、ｘ４だ けの解が求められる。バックソルビングが必要であり、ｘ4の値を上の式に代入 しｘ3の値が求められ、さらにバックソルビングを続けることのより、ｘ2とｘ1 の値が得られる。 上三角インプリメンションは処理時間を削減するが、メモリー空間を多く用い るので処理時間とのトレードオフの関係にある。上三角の代りに下三角インプリ メンションも可能である。それゆえ上三角か下三角インプリメンションかの選択 は非ゼロとゼロ係数の構成に依存してなされる。 【オーダリング】 処理時間は更にオーダリングによって削減することができる。オーダリングは 線形方程式システム順序付ける処理であり、最初とそして次のＰＳＳ群は処理時 間最小にする順序付けによって構成されている。オーダリングは図１ｃのダイグ ラフによって行うことがデキル。オーダリングを理解するためには、in-degree の概念を理解することが先ず必要である。in-degreeは前もって順序付けされた 外部変数からの入力エッジ数の削減された外部変数からパルテックスに入力する エッジの数である。即ち、in-degreeは、線形方程式の外部変数から既にオーダ リングされた線形方程式の内部変数の数を引いた数である。 図１Ｃの中で、オーダリングが初めて始められる時は、外部変数は前もって順 序付けさていない。ｘ2、ｘ3とｘ4からの３つの入力エジーが存在するので、ｘ1 のin-degreeは３である。ｘ2のin-degreeは、ｘ1、ｘ3とｘ4からの３つの入力エ ジーが存在するので、３である。ｘ3のin-degreeは、ｘ3とｘ4からの２つの入力 エジーが存在するので、２である。ｘ4のin-degreeは、ｘ3からの１つの入力エ ジーが存在するので、１である。 線形方程式の中で最も小さなin-degreeはｘ4であるので、これが最初の式とし てまたｘ4を内部変数としてオーダリングされる。内部変数ｘである式は図１ｃ のダイグラフで表され図５のリンク表で表される。 次いでのオーダリング処理は残された変数ｘ1、ｘ2とｘ3に対して行われる。 図７ａは、残された変数のin-degreeの求める計算のに可視的な助けとして使わ れる。ｘ1の1n-degreeは２であり、この値は、ｘ2、ｘ3とｘ4からの３つの入力 エジーに対し、既に選ばれたｘ4からの１つの入力エッジを引いた数として求め られる。図７ａに示されるように、ｘ4からのエッジとバルテックスは選択され ていることにある。ｘ1の入力エッジの数は、ｘ2とｘ3からの２つである。それ ゆえ、ｘ1に対するin-degreeは２となる。同様にｘ2のin-degreeは２であり、ｘ 3のin-degreeは１となる。それゆえ、ｘ3が残された変数の最も小さなin-degree を持ち、内部変数としてｘ3が線形方程式システムの次の式としてオーダリング される。ｘ3が内部変数である式として図１ｃのダイグラフで既に表され、図５ のなかでリンク表として表される。 図７ｂの中に示されるように、２つの残された変数ｘ1とｘ2のin-degreeは 、共に１の数となる。最後の２つのｘ1とｘ2の式であり、これは同じ数を持つの で次の内部変数は任意に選ぶことができる。図８は、上のin-degreeによるオー ダリング過程を通して得られたオーダリングされたジステムを示している。図８ で示される方程式システムはリンク表から再構成さる線形式の形を表している。 【ＯＮ法のハードウェア化】 図９はＯＮ法の実行のための装置である。装置は一般的な目的のプロセッサー 、あるいは物理システム５０と関連したプロセッサーである。図９の装置は提供 した特許のプログラム化できるインプリメンションであり、hardwiredの考えが 現在の詳細な表現に基づいた技術のなかでは巧妙な手法であることは明らかであ る。 図９の中で、プロセッサー１００は物理的システム５０からシステム状態変数 記号１１０を受け取る。例えば資源資材環境又は電気回路など。前処理は受け取 ったシステム状態変数に基づいたある種の前処理を行う。例えば、物理システム をシステム状態変数によって作られた線形システムとしてモデリングや、上で述 べたような線形式システムの式のオーダリングなどである。前処理１００は、現 在の発明物の操作としては要求する必要はない。 前処理１００は処理したデータを出力し、メモリー１３０の中に上で述べたよ うなデータとして格納する。プロセッサー１６０は、プロセッサー１００の関数 を実行する能力を持ち、プロセッサー１００のための要求を削減する。制御部１ ４０はメモリー１３０を管理し、数値ロジック装置（ＡＬＵ）１５０を操作しメ モリー１３０のなかでの線形式のＯＮ法を実行させる。物理システム５０を表す 線形式のシステムの解がプロセッサー１００に出力される。そこで、前処理１０ ０は物理システムの制御パラメータを設定し、制御パラメータをシステム制御記 号１２０を出力することで物理システムを制御する。 ＯＮ法は制御と解析の２つの主要な分野への適用ができる。制御系や資源資材 などにＯＮ法を用いたとき、前処理１００は物理システム５０を制御するために システムは制御記号１２０を出力する、種々の資源の資材を適当な場所に生成す るなど。解析例えば電気回路解析等のためのＯＮ法を用いる時は、ＯＮ法は、物 理システムが特殊の設計内で処理できるかを決めるために、前処理１００または 利用者によって用いられることが出来る物理システムの操作条件を決めるために 実行する。図１０は解析能力をもつＯＮ法を用いた装置について説明をおこなっ ている。 ＯＮ法は図９と１０で示される簡単な一般的な計算機例えばＮＥＣ9800などを 用いて遂行することができるので、大規模な線形方程式によって表される物理シ ステムに対し、更に有効的な並列処理装置を図１３ａ−１３ｃと１５ａ−１５ｂ に示す。これらは、ＯＮ法の分割処理に関する次の記述の中で述べる。 【ＯＮ法の分割処理】 ＯＮ法に分割処理は図１１ａ−１１ｂと１２ａ−１２ｇによって述べられる。 スッテプ１１においてＮ次元方程式システムは幾つかの部分システムに分けられ る。各部分システムの中の線形方程式が利用者の要求や線形方程式数や処理時間 の制約や他のハードの制約などによって規定される。例として、図１２ａに示す ように１２個の方程式システムを１つの部分システムが４個の方程式に成るよう に３つの部分システム分割する。 スッテプ１２のなかでＯＮ法は部分システムの線形方程式にたいして実行される 。ＯＮ法を部分システム１に適用した結果を図１２ｂに示す。図１２ｃはＰＳＳ を グラフ的形式で表したものである。図１２ｃの中で、四角で囲まれた表の左側に 示される変数は図１２ｂで示される式の内部変数を示し、上部に示される変数は 外部変数と定数ｂを示す。この四角の中の値は外部変数と定数ｂの係数を表す。 図１ｄは部分システム１−３に対してＯＮ法を適用して得られら結果を示す。 スッテプ１３において、各線形方程式に対して最後のＰＳＳによる外部変数が繰 り返し計算を行うこと無く得られる。これらの外部変数はｘ4、ｙ2、ｙ3、ｙ4、 ｚ2とｚ3である。これらの外部変数のそれぞれに対し、外部変数が非ゼロ係数を もつ内部変数である各部分システムの最後のＰＳＳのなかの線形方程式がスッテ プ１４で定義される。それゆえ、スッテプ１５では、線形方程式の第二のシステ ムがステップ１４で得られた線形方程式によって形成される。図１２ｄの上で得 られた外部変数が非ゼロ係数を持つ内部変数である部分システムの最後のＰＳＳ のなかの線形式を図１２ｅは示す。スッテプ１６では、ＯＮ法が第二の線形シス テムに対して適用される。図１２ｆはその結果を示す。スッテプ１７では、スッ テプ１６で得られた結果をスッテプ１１で得られた部分システムの線形式の解を 得るためにステップ１２のＰＳＳの中に代入する。そしてＮ次元方程式全ての解 を得ることになる。図１２ｇは図１２ａの線形式の３つの部分システムの中の解 かれていない変数の解を示したものである。ステップ１７の処理をバックソルブ ングと呼ぶ。 更に上の分割処理は、卓越した技術によって改善される。Ｎ次元方程式は、部 分システムに分ける分けかたに対してのダーダリングが考えられる。また、分け られた部分システムの中の方程式に対しても最適なオーダリングが考えられる。 また、上三角化などの処理速度を削減する解法も当然適用される。 【分割処理のハードウー化】 ＯＮ法のハイドウェー化に関して以前述べたように、分割処理化のハードウェ ー化図９と１０で示し、検討したように簡単である。しかし、多くの好ましい方 法は図１３ａ−１３ｃで示されるような並列処理の能力もちいることである。図 １３ｃの中で、前処理１００は図９の中で線形方程式システムを部分システムに 分ける追加処理に類似しの処理となる。物理システム５０は、部分的な物理シス テムから成り立っているとしてと見なしても良い。前処理の代りに、各々の部分 的な物理システムはそのシステム状態変数を直接にステッジ１のプロセサー１６ ０に出力することができる。ステージ１のプロッサー１６０は前処理１００によ って割り当てられた部分システムの方程式にＯＮ法を適用することができる。ス テージ１のプロセッサーはステージ２のプロセッサー１６０と交信を行いながら 、ステップ１４の確定した式を、ステージ２のプロセッサー１６０に出力する。 スタージ２のプロセッサー１６０は確定した式によるシステムに対しＯＮ法を適 用し、ステージ１のプロセッサーにその解を戻す。ステージ１のプロセッサーは 、スタージ２のプロセッサーからの解を用いて、物理システム５０のモデリング としての線形方程式システムの解を完成させる。図１３ａの中では、物理システ ム５０に対し、分割処理を適用した結果がスタージ２のプロセッサー１６０から プリプロセッサー１００に出力されることを示している。プリプロセッサー１０ ０は、それゆえにシステム制御信号１２０を物理システム５０に出力し、あるい は処理状態条件を出力する。 更に上の分割処理は、種々の変更により提供した発明を具体化させることがで きる。例えば、スタージ２のプロセッサー１６０は確定した線形方程式システム を解いた後に、部分システムの方程式を各ステージ１００のプロセッサーから確 定した線形式を入力し、そこでそれらを解くことなどである。 さらに、解の交換は、スタージ１の各プロセッサー１６０によって出力するこ との制約は必要がなく、スタージ１の各プロセッサー１６０によってプリプロセ ッサー１００が行うことも可能となる。 加えるに、スタージ２のプロセッサー１６０を用いる代りに、ステップ１４の 方程式の確定にスタージ１のプロセッサー１６０の１つが、図１３ｂで示される ようなＯＮ法の適用を行うことも可能である。更に、記号前処理１００の代りに 、図１３ｃで示されるようなスタージ１の各プロセッサー１６０対応させて用い ることができる。図１３ａ−１３ｃの並列処理を組合わせての適用が、ユーザの 要求に合った最適処理の遂行を成就させることができる。 【階層型分割処理】 分割処理の歩みは、上に述べた２つのステージ処理だけには限らない。分割処 理は、物理システムを表すために用いる線形方程式の規模により、利用者が要求 する処理速度や記憶容量などにより、多くの処理方法が考えられる。 図１４は多層型分割手法の過程を示したものである。ステップＴ1で確定した線 形方程式の数は、利用者の要求に基づいて予め決められた数に以下に決められる 。もし確定した線形方程式の数が予め決められた数以下であるならば、制御をス テップＴ３へと進める。ステップＴ３では、分割処理のステップ１５−１７が実 行され、階層分割処理として線形方程式の最後のシステムがＯＮ法で解かれ、階 層形分割処理が為されている間に生成された各部分システムは後退代入処理がな される。もし沢山の確定式を予め決めらてた数よりも大きいときは、そのときは 制御はステップＴ４に進む。ステップＴ４では、確定した線形方程式システムが Ｎより少ない部分システムの数になるように分ける。そして制御は、確定方程式 の部分システムのためにステップＴ１に戻す。 更に上の階層形分割処理の変更は、技術の発展によってより有効なのもとなる 。線形方程式システム、又は確定した線形方程式システムが部分システムに分け られる前に変数の順序付けを行うことができる。また、線形方程式を幾つ化の部 分システムに分割した後に、分割された部分システムを構成する線形方程式、又 は確定方程式に対しても順序付けを行うことができる。 【階層型分割処理のハードウェア化】 階層型分割処理のハードウェア化は、図９、１０と１３ａ−１３ｃに関して前 に述べられそして示されるように行なわれる。しかしながら、最も望ましいもの は図１５ａ−１５ｂで示されるような階層型並列処理を実現することである。図 １５ａは階層型並列処理を除いて図１３ａに類似している。図１５ｂは、階層段 階多くのプロセサー１６０を必要としることで行われることを除いて、図１３ｂ に対応している。並列処理の段階で分割処理の各ステージは厳密には必要がない などは技術の発展によって可能となる。 並列処理の多くの過程は、運用実行時に決められたり、利用者が決たりできる。 図１５ａと１５ｂの並列処理の具体化は、利用者の要求に合った操作の実行を実 現するために両方を合せて行うこともできる。更に、分割処理のハードウェア化 に関して上で述べた変更は、階層型分割処理のハードウェア化にも同様に適用す ることができる。 上で述べたように、新規な方法と発明の装置はＯＮ法におけるＰＳＳの技術 と分割法のＴＰＳの技術の２種類の基本的な技術を含んでいる。提供した発明の 具体化として３つの実際的な例が、以下の３つの章の中で述べられる。 【有限要素法】 【ＯＮ法におけるＰＳＳ処理の最初の実施例】 最初の実施例としてのＯＮ法におけるＰＳＳのための装置を図１６Ａに示す。 この装置は基本的には入力装置０１、出力装置０２と解析装置１０の３つの処理 装置によって構成される。図１６Ａの装置において、ＮＦＥＭのための解析処理 の手順が図１７Ａの流れ図に対応し、図１６Ａの装置の中の処理ブロックの番号 と図１７Ａの流れ図のコラムの番号と対応する。 この流れ図と図１６Ａの処理ブロックを参照することで、ＯＮ法を用いたＰＳ Ｓの発明装置と方法が以下により詳細に述べられる。 先ず最初の過程０１で、データが入力装置０１から入力される。これらのデー タは、解析対象物の物理的なパラメータ例えば構造の寸法や形、性質、特徴等や 境界条件データなどである。これらのデータは勿論シュミューション物体をメッ シあるいは要素に如何に分割するかの決める情報を含むみ、これらは入力データ 部０１でおこなわれる。次のステップ１１で、節点生成部１１で入力データに基 づいて逐次的に節点ｋを設定され、１つのノードＫが選択される。この添字Ｋは 選択されたノード番号を示す。最初のノードはｎｏｄｅ１として選ばれ、Ｋは１ から順に連続したノードとなるように表される。次のステップ１２は要素生成部 １２によって行われ、物体をデータ形の設計に基づいて分割する前に選ばれたｎ ｏｄｅ１に関わりの在る要素だけが生成される。それゆえに、生成された要素の みが要素番号が付けられる。次のステップ１３は要素方程式生成部１３によって 遂行され、上で生成された全ての要素に対し要素方程式と呼び線形方程式を生成 する。要素方程式は変微分方程式にもとづいており、１つの要素が構成するノー ド群によって作られる。要素方程式はメモリー部１８の中に格納される。次のス テップ１４は、ノード方程式生成部１４によって行われ、メモリー部１８の中に 格納されている要素方程式の中からＫノードに関係した方程式だけを全て抽出し て、Ｋノード関する線形方程式を生成する。これを我々はノード方程式と呼ぶ。 次のステップ１６はノード方程式とＫノードの境界条件とを、基本構造としての ＰＳＳの形としてブロック１５で成形する。次のステップ１７はステップ１６で 成形した基本的なＰＳＳ方程式の解を求める。この方程式はメモリーブロック１ ９に格納される。次のステップ１９は、判定部１９においてノードＫの条件を評 価する。もしＫノードが最後のノードでないならば次のステップはブロック１１ のステップ１１に戻りステップ１６まで続けの処理が行われる。もしＫノードが 最後のノードであるならば、次のステップは解析装置（ａ）１０を終わり出力ブ ロック０２に入りシュミュレーション処理を終わる。 更に、シュミュレーションの結果は、ＯＮ法で示した発明の装置や方法によっ ても得ることができる。 本発明の生成部の詳細な説明を以下に示す。 （ａ）【要素生成】 ＮＦＥＭの最初の主要なステップは、対象物の要素に分割することである。要 素分割には、幾つかの分割が存在し、その代表的なものとしは、２次元空間での 三角形要素、四角形要素や３次元空間での六面体要素、四面体要素、アイソパラ メトリック要素等である。一般的な分割技術は、これらの特定の構造が与えられ られた場合自動的に対象節点に関しての分割を行なう。 たとえば図１８で示される解析対象物１００は、対象物を８個の記号１から記 号８までで表わされる三角形要素として分解され、節点は、節点１０１から節点 １０９までの９個で表わされる。節点１０１から図１７Ａの流れ図にそって処理 がなされてきたとすると、いま節点１０５（ここでは節点ｋと記す）の処理段階 での要素生成は、要素１から要素５までの５個の要素は既に生成されているの（ 例えば節点１０１では１、節点１０２では２と３、節点１０３では４、節点１０ ４では５の要素が生成される）で、新たに決める節点ｋ１０５を構成要素にもつ まだ生成されていない２つの要素６と要素７が生成される。もし節点１０６が選 ばれるならば、要素８が生成される。節点１０７、１０８と１０９が決められた 後は、任意の要素に対し更なる節点を生成することはできない。 （ｂ）【要素方程式生成】 各節点が２次元座標で与えられるとすると、このときの各節点は２変数で表さ れる。例えば、図１９のように１つのｊ要素１１５がｍ個の節点で構成されてい るとする。要素を構成する各変数は線形関係で表されるとすると、この要素ｊの 関係式は、２ｍ次元の連立方程式として（５）式で与えられ、これを要素方程式 と呼ぶことにする。 Ａｑj・Ｘj＝Ｂj （５） 但し、Ｘjは［ｘ1，ｘ2，・・・，ｘk，・・，ｘm］Ｔ ベクトルであり、 その中の要素変数ｘkは［ｘ1k，ｘ2k］Ｔのスカラ変数であり、定数係数Ａｑjは Rank［２ｍ］の行列であり、Ｂjは要素ｊを構成する各節点群の要素ｊに対する 境界条件より得られる定数ベクトルである。 この式は、ｊ要素を構成するｍ個の節点を表す変数ベクトルｘi（i=1,〜,m） に関しての関係式であり、各節点変数ｘiは２次元により２つの変数ｘ1i、ｘ2i で表わされる。このｊ要素１１５の関係式の中で構成節点ｋ１１６の変数ｘkに 対する関係式（５）式は、この関係式の中からｘkに関しての式を抽出すること により（６）式として表わされる。 ただし、ａqjkhは行列Ａqjの（k,h）要素行列を示す。 ここで得られた要素方程式は、図１８の記憶部18に記憶する。 例えば図１８の対象物１００において、この要素方程式は、新たに生成された 要素６よ要素７に対し（６）式を用いて要素方程式が生成され、これらは記憶部 １８に記憶する。 （ｃ）【節点方程式の生成】 節点ｋを構成節点に持つ全ての要素群ｇ（g:1,・・・,nj）の中からｘkに関して の（６）式を抽出し、以下の（７）式で示すようにこれらを加え合わせなければ ならない。 即ち、 と表される。これを行列表示で表し直すと Ａｑk・ｘk＝Ａｑk・Ｘk＋Ｂk （８） ただし、Ｘkは［ｘ1，・・，ｘg，・・，ｘnk］Ｔベクトルである。この式 を節点方程式と呼ぶことにする。たとえば、この関係式をＦＥＭの見地から図１ ８をみると、対象構造物１００の８個の構成要素中の節点ｋ１０５が関与する要 素は、記号２、記号３、記号４、記号５、記号６、記号７で示される６つの三角 形 要素であるので、記憶部１８に記憶されているこれらの６つの要素方程式の中か らｘkに関する式を抽出し、それらを加え合せることによりｋ節点に対しの（８ ）式が得られる。 （ｄ）【ＯＮ法のＰＳＳ基本式に節点方程式と境界条件の組込】 ノード方程式と境界条件をＰＳＳ基本式に組み込む原理は以下に述べる詳細な 記述で明確にされる。 ＰＳＳの基本式は、（９）式として与えられる。但し、Ｘdkは既に決まってい る変数ベクトル、Ｘukはまだ定まらない変数ベクトル、Ａukはその２つのベクト ルの間の関係を表わす［ｍｘｎ］次元行列、Ｂは定数ベクトルである。 Ａdk・Ｘdk＝Ａuk・Ｘuk＋Ｂk （９） この基本式はＮＦＥＭの各節点毎の離散化方程式に適用する。各節点での状態 が次々と決められる。上の線形方程式ＯＮ法によって解かれる。 ノード方程式と境界条件を一つのＰＳＳ基本式の中に如何に組み込むかの説明 を以下に示す。 まず、k-1節点までのＰＳＳ基本式（１０）式が形成されたとする。 Ｘdk-1＝Ａuk-1・Ｘuk-1＋Ｂk-1 （１０） ただし、Ａuk-1行列は［Ａu1,Ａu2,Ａu3,・・・,Ａu(n-k+1)］要素によって 構成された行列であり、Ｘdk-1とＸuk-1ベクトルはそれぞれ［X1,X2,・・・,X(k-1) ］Tと［Xk,X(k+1),・・・,Xn］Ｔ要素をもつベクトル変数である。次いで、ノード 方程式（８）の形成はＰＳＳの基本式（１１）式として再形成される。式（１１ ）のなかで、Ａk2とＡk1行列は［ａlk,ａ2k,ａ3k,・・・,ａ(k-1)k］と［ａkk,ａ(k +1)k,ａ(k+2)k・・・,ａnk］；ａ1k,ａ2k,ａ3k,・・・,ａkk,・・・ａnkは２次元ベクター であり、1,2,・・・nkはノード番号である。ＸkLは［X(n+1),X(n+2),・・・,X(n+m)］ Ｔ 要素をもつベクトル変数であり、また各要素は、n+1,n+2,・・・,n+mノード番 号にたいする２次元ベクトルである。 Ａk2・Ｘdk-1＝Ａk1・Ｘuk-1＋Ａukk・ＸkL＋ｂk （１１） ｋ番めのノード方程式（１１）は、ＰＳＳ基本式（９）式の中に組み込むと、 ｋ番目のＰＳＳ基本式（１２）式が生成される。 Ａdk・Ｘdk＝Ａuk・Ｘuk＋Ｂk （１２） ただし、Ａ'uk-1とＡk1'は［Ａu2,Ａu3,・・・,Ａu(n-k+1)］と［ａ(k+1)k,ａ(k+ 2)k・・・,ａnk］の要素で構成された行列であり、ＸdkとＸukは［Ｘdk-1，Xk］ Ｔと［X(k+1),・・・,Xn,ＸkL］Ｔによって構成されるベクトル変数であり、行列Ａ dkのII記号はk次元の単位行列であり、ａkkは式（１１）の中のＸkの係数行列で ある。もし変数ＸkがＸuk-1の中に含まれずＸkLに含まれるならば、Ａu1ベクト ルは全てゼロ要素となる。 ＰＳＳ基本式に節点方程式を組み込むには、節点方程式（８）式を（１１）式 形式で表わし直しＯＮ法の基本式の中に組み込まなければならない。 ＯＮ法のＸdとＸuの変数の中に（８）式の各項をおさめるためには、この（８） 式に関与する各節点に対して、既に決定されているかどうかを知ことが必要があ り、 例えば、図１８の解析対象物１００にけるｋ番目の節点１０５（ｋは５採る） が処理されて、選択された節点１０５を記号（＃）で表し既に決定されている変 数ベクトルＸdに含まれる変数に対する節点を示し、既に決定されている節点１ ０１、１０２、１０３、１０４は記号（＄）で表し、未決定状態である節点１０ ６、１０７、１０８を記号（＼）で表す。そして、まだ生成されていない節点を 記号（＊）で表す。k-1番目（１０４）のＰＳＳ基本式（１０）のなかで、決定 された変数ベクトルＸdk-1は決定された節点１０１、１０２、１０３に対する変 数ｘ101、ｘ102、ｘ103、ｘ104により成っている。ノード方程式（８）は６個の 三角形要素群により作られており、ノード方程式（１１）の中で節点１０５によ る変数ｘ105をこれらの要素は含んでいる。未決定変数ベクトルＸuLは式（１１ ）のなかの未決定節点１０８に対する変数ｘ108によって構成されている。 ｋ番目（１０５）のＰＳＳ基本式（１２）は、ＰＳＳの基本式（１１）にノード 方程式（１１）を組み込み、その組み込まれた式のＸuk-1の未決定変数ｘ105を 式（１２）の決定された変数Ｘdkの決定変数に移すことにより生成される。 （ｅ）【ＰＳＳ基本式の決定】 決定技術は以下に示す方法による。ｋ番目のＰＳＳ基本式（１３）は、式（１ ２）のＡdkを単位行列とすることで決定できる。この単位行列化は多くの方法が あるが、Ａdk行列は非ゼロ要素が少ないので非常に簡単な方法で行うことができ る。それゆえ、ｋ番目の基本ＰＳＳ方程式は以下の（１３）式の基本式として表 され、これらの式は図１６Ａの記憶部１９のなかに格納される。 Ｘdk＝Ａuk'・Ｘuk＋Ｂk' （１３） （ｆ）【条件判定】 逐次解法処理を続けるかどうかの判定は以下の条件によって制御される。もしｋ 番目の節点が最後でないならば要素を生成する初期のステップにもどり、そうで ないと解析した結果を出力して全ての処理を終了する。 例えば、図１８の解析対象物１００の節点の記号（＼）を全て記号（＄）に変え て行くことにより解析対象物の節点を全て記号（＄）に変えたとき各要素の状態 が決まり処理が終了することになるので、節点ｋ１０５が決定された後は、節点 ｋ１０５の記号（＃）を記号（＄）に変え、次の節点１０６を図１７Ａの流れ図 にそって新たに節点１０９を生成し、節点記号（＼）にし、要素８を生成し、要 素８の要素方程式を生成し、節点１０６を決定し節点記号（＼）を記号（＄）に 変えて再び判定部１７に戻る。 次いで、まだ図１８の節点１０７、節点１０８、節点１０９が記号（＼）であ るが、これらの処理には新たな要素生成がないので、記憶部１８に記憶されてい る要素方程式から関連する式を抽出することにより節点方程式を生成し、各節点 を決め全ての記号（＼）を記号（＄）にかえることにより、判定部１７により処 理の終了とする判定を生成させることにより、解析処理は終了する。 （ｇ）【本発明の具体的な実施例】 本発明の具体的な実施例として、図２０の２次元弾性体モデル１３０の解析方 法を以下に説明する。解析の対象構造として固体モデル１３０は木柱、鋼鉄性梁 またはそれに類似するものでる。図２０−２２によって説明すると、図２０に示 す通り、鋼鉄性梁130は２２個の節点と２０個の三角形要素に分割され解析され る。この鋼鉄性梁は横１０ｍ、縦２ｍで構成される。境界条件は、この梁の両側 端に設けられ、辺Ａ−Ａ'に外力２が加えられ、辺Ｂ−Ｂ'は固定される。このシ ステムの実証が弾性構造体として取り扱われる。この発明の方法によってこの梁 を解析した結果は、従来の手法と同じ結果を与えるが、効率は従来より優れてい る。図２０−２２は外力が鋼鉄の梁のような固体構造の上を伝搬してゆくときの 変形状態の伝搬を説明している。 図２０−２２をさらに詳細に説明する。解析物１３０の横（ｘ軸）と縦（ｙ軸 ）は１０と２の長さであり、それそれが（ｘ、ｙ）軸座標を持つ。境界条件は外 力Ｆ1はＡ−Ａ'記号のｙ軸にそって懸けられ、別の側の端は固定される。解析物 １００にそっての任意の場所での変形と応力現象は図１６Ａで示される装置と図 １７Ａの流れ図にそって解析される。図２０の解析体１３０中では、２２個の節 点は、Ｎ1，Ｎ2，．．．．，Ｎ21，Ｎ22の記号で表される。これらの節点により 、２０個の三角形要素（解析体に示される番号１，２，...，１９，２０）にス テップ１２によって分割される。節点と要素番号の付けかたは、図２０に示され る外力によって作用された側から順に番号が付けられる。ｉ番の節点の変位Ｘi は二次元変数ｘi，ｙiによって構成される。 ＰＳＳの各ステップは、図１７Ａの流れずにそって行われる。最初に、解析物１ ３０の節点Ｎ1がステップ１１で選ばれる。そしてＮ1に対する１つの要素（ａ） がステップ１２によって別の節点Ｎ2とＮ3を生成することにより生成される。要 素（ａ）の要素方程式がステップ１３で生成される。そしてブロック１８の記憶 部に格納する。ノード方程式がステップ１４で要素（ａ）の要素方程式だけによ り形成される。次の１５ステップの組み立ては他の式がまだ存在しないので必要 がない。図１１Ａの流れ図の最後のステップにおいて、節点Ｎ1に対するＰＳＳ 基本式（１４）が得られる。節点Ｎiに対して、Ｘiは二変数成分ｘiとｙiの変位 変数ベクトルである。（ｉ＝１，２，３） Ｘd1＝Ａu1・Ｘu1＋Ｂ1 （１４） ただし、Ｘd1はｘ1に等しく［x1，y1］の要素からなる。またＸu1は未決 定変数であり［X2,X3］の要素からなり、また［x2,y2,x3,y3］Ｔとなる。また定 数行列Ａu1と定数ベクトルＢ1は以下のような値となる。 この式を図２１Ａのように表形式で示す。 次いで節点２（結果は図２１Ｄに示す）、節点３（結果は図２１Ｃに示す）、節 点４（結果は図２１Ｄに示す）、・・、節点１２（結果は図２１Ｅに示す）と節 点の番号順にＯＮ法の基本式形式で処理を行なっていき、最後の節点２２で（１ ６）式 Ｘd22＝Ｂ22 （１６） となり、Ａu22行列が存在しなくなりＢ22の値がＸd22の値となり、最終的な変位 Ｘd22（結果は図２１Ｆに示す）を得ることができる。 （ｈ）【結果の評価】 図２０の中に示される同じ弾性固体モデル１３０に対してＦＥＭの従来のコレ スキーーバンド法で解析をおこなった。この方法の結果を図２１Ｇに示す。発明 の処理の図２１Ｆの結果と図２１Ｅで得られた結果は一致している。しかし、発 明の方法は少ない計算処理時間や記憶容量でより有効的なものである。特に重要 なことは、発明の方法は部品における解析という先行技術と全く異なる手法とな っていることである。 ＰＳＳによって描かれた評価に対し、Ａu行列とＢベクトルの大きさは最大［ ５×４４］の容量を要求するだけである。コレスキーーバンド法の要求する容量 は、この方法の二倍である。もし、未決定変数ベクトルＸuk（ｋは１から２１ま でである）はゼロ要素ベクトル成しており、１２式は以下の１７式のようになる 。 Ｘdk＝Ｂk （１７） 選択された変数ベクトルに等しいこの定数Ｂkは、選ばれた節点の上の外力Ｆ1 の効果によるものである。各部分的な解法処理の結果は、図２２ｂに記された図 によって示される。重ね書きされた各々は、各節点でＡ−Ａ’の端での外力によ って生じた偏位の状態を表している。図２２ｂの結果は、発明の方法によって従 来の方法で実現できるよりも非常な速さで求められる。なぜならは、本方法が一 回であるのに対し、従来の方法では２２回の計算回数によってしか求めることが できないことによる。 提供した発明は、ＦＥＭの解析において大幅に必要とされる記憶容量や処理時 間を削減できる簡単でしかも有効的な方法と装置である。提供した発明のＯＮ法 は、弾性構造解析と同様に熱伝導解析、熱流体解析、流れ解析や電磁場解析など の物理現象の他の数値処理に適用することができる。 この方法は、強力な新しいＦＥＭを提供し、コンピュータ指向の工学ツールと して用いることができる。 ここで梁１３０に用いられる処理の要約を再び示す。この要約は図３６のモデ ルを用いておこなう。各ステップで行われる処理は図１６Ａのブロックダイアゲ ラムにそって説明をおこなう。この図３６で、記号 からまでは要素を表し 、○は未決定変数のノードを、●は決定変数のノードを、◎はいま決めようとし ている変数のノードと×はまだカタログされていない変数を示す。 ステップ（0-1）ノードの配置。 解析物のノード配置は解析物の形と境界条件によって異なる。ここでは、そ れらが既に配置されたものとして与える（図３６の１から９の数字によって与え る）。 ステップ（0-2）要素の分割。 前段階の決定として要素の分割を如何にするかである。ここでは、特殊の構 造としてではなく、一般的な場合として与えられる。 ステップ（0-3）ノード番号付け。 解析を始める最初のノードから解析が行われる順に連続な番号が付けらる。 このノード順は解析をおこなうのには大切なものである。ここでは、図３６の構 造にそってトポロジー的に付けられている。 ステップ（1）ノードの選定。 解析はノード番号１から始め、ノード順に以下に示す処理が行われる。ここ で我々はＪ番目（５番目）のノードに着目する。 ステップ（2）新しい要素の生成。 図３６のノードＪが選ばれ、新しい要素からが生成され、図３６の実線 としてマッピングされる。このためにはノード８が新しい変数として導入される 。 ステップ（3）要素方程式の生成。 ここでは要素方程式が新しい要素（と）が新しいマッピングにより生成 される。 ステップ（4）ノード方程式の生成。 図３６のノードＪは五つの要素--、、、とに接している。ノード ｊに関係した要素方程式は、これら要素の全ての式から得られる、一緒にして一 つのノード方程式として生成する。 ステップ（5）決定方程式の中に繰込む。 ここで上で得られたノード方程式はＯＮ法を用いて書き換えられる。この書 き換えは、以下のようにおこなう。 図３６のなかで、記号●はすでに決定されたおり、記号○はまだ未決定状態で ある。そこで、記号○に対応する変数をＸuに、記号●に対応する変数はＸdに配 置する。 ステップ（6）ＯＮ法の決定。 ＯＮ法のノード方程式形式をＯＮ法の基礎表記の形にインストールする。こ れは基本方程式１２式の形で表される。ＯＮ法は、この形を１３式の形にかえる 。 ステップ（0-4）決定の終わり。 記号○の全てのノードが記号●の変ったとき、全システムの状態が決定される 。 （２）【分割法におけるＴＰＳとしての具体的な実施例２】 次いで、以下に新規な対象物の部分分割による部品化とその端子化の方法及び 解析装置の実施例を図１６Ｂに示す。解析装置は、七つの主要な装置部から作ら れている。即ち、図１６Ｂの入力部０３、出力部０５、対象物の部品生成部０４ 、解析器（ｂ）２０と解析器（ｃ）３０、解析器（ｄ）４０と記憶装置２４等で ある。 図１６Ｂの装置によって、ＮＦＥＭの解析処理が図１７Ｂの流れ図に沿って実行 される。ただし、図１６Ｂの装置の中の幾つかの処理部の番号と図１７Ｂの流れ 図のステップの番号とは対応している。 図１７Ｂの流れ図と１６Ｂのブロックダイアグラムを用いながら、分割法と してのＴＰＳに対して、第２の方法と発明の装置について詳細に述べる。 先ず操作者により、入力データ部０３で最初のステップ０３が入力データを入 力することから始まる。また、解析対象物の構造の位置 寸法等の物理的データ とそれに対する境界データ、対象物の部品化のためのデータや部品化された各部 分の分割構造データが次いで入力される。 次のステップ０４で、部品生成部０４で対象物は幾つかに分割され部品が生成 され、それらはＫ番目の部品番号が付けられる（ここでＫは１からｍまで取る： ｍは分割された数である）。 次のステップ１０で、図１６Ａで示される解析器（ａ）１０の全てのステップ を行うことで内部節点の全ての状態が決められる。ただし、内部変数はＫ番目の 部品の中の内部端子節点を含む。 解析器（ａ）１０で、ステップ１１は部品の中の節点を整理し、節点番号を付 け、節点を計算するための選ぶ。ステップ１２は選ばれた節点に関して要素だけ を生成し、それに要素番号をつる。ステップ１３は生成された要素から要素方程 式を生成し、それらを記憶部１８に格納する。ステップ１４は記憶部１８の中に 記憶されているこれら要素方程式から、節点ｉに関しての節点方程式を生成する 。ステップ１５は生成された節点方程式をＰＳＳの基本構造に合うように修正す る。ステップ１６は修正されたＰＳＳ方程式を解析する、そして図１６Ａ記憶装 置１９に記憶する。ステップ１７は節点が最後の節点であるかないかを判定する 。これらは前に述べている。 図１６Ｂの中のインタフェイス端子部品生成としてのステップ２１は、内部端 子変数と外部端子変数の間の関係を明確にし各部品のインタフェイス端子を生成 する。もし、インターフェイス端子部品と類似のグループが存在するならば、パ ッケージ生成部２２のステップ０４とステップ２２で類似部品グループのための パッケジを生成しする。全ての部品やパッケージは記憶装置２４に記憶させる。 もし全ての部品やパッケジが完全に生成さてたならが、部品組み立て部でのステ ップ２５は、部品やパッケジのインタフェイス端子を解析する元の構造物に復元 するために結合する。組み立て処理はＰＳＳや後退代入技術によってインタフェ イス端子変数状態を決めることができる。次の解析器（ｄ）２６でのステップ２ ６は外部端子変数の値を各部品でのＰＳＳ方程式に代入することにより各部品尾 内部変数の状態をきめる。次のステップ終了部２７は出力部０５に入りシュミュ レーション処理を終了する。それゆえに、ここで示したようにシュミュレーショ ンの結果は発明の第２の方法とＴＰＳに基づく装置によって得られる。 本発明の生成部の詳細な説明を以下に示す。 （ａ）【部品の生成】 部品生成０４においては、ＦＥＭとして解析対象物を幾つかの部分（部品）に 分割する。解析対象物の構造としては、二次元長方形構造やそれらを幾つも組み 合わした３次元構造など多様な構造が存在する。ここでは、解析対象物を例えば 簡単に２次元長方形構造として、それを如何に端子付き部品とするかについて示 す。図２３のような２次元長方形構造のシステム１５０を与える。ここで、シス テムを任意の大きさ（ここでは、ｉ，ｋ，ｊ，ｈの４つの部分システムに）に分 割し、この部分システムに他の部品と接続する接続端子をつけてｉ，ｋ，ｊ，ｈ の４つ部品として図２３のように表す。たとえば、部品ｋ153は、部品ｉ152と部 品ｊ154の二つの部品と結合するので、この２の部品との間に接続する端子155を 図２３のように付ける。全ての部品に対しても同様の接続端子が付けられる。 ＦＥＭ解析の見地から図２４Ａに示す部品ｋ160（図２３153に対応する）の構 造に着目すると、この部品ｋは多くの要素群とその要素群を構成する節点群とか らなり、これを構成する節点は、他の部品と全く関係しない節点群である内部節 点161（ｘok変数ベクトル）、他の部品と関連する節点群である内部端子162（Ｘ tki変数ベクトル）と他の部品に属する節点群である外部端子163（ｘtik変数ベ クトル）との３つの節点群によって構成する。ここで、図２３の隣接する部品ｉ 152との関係で部品ｋ153の端子をみると、部品ｉ152も部品ｋ153、も同じ構造の 外部端子155が付けられる。その状態で端子化を行なうことは、端子構成要素群 の関係を２回も求めることになり、処理の無駄となる。そこで端子構成要素群15 5の処理を１回ですませるために、接続端子群を別に扱うことも考えられる。そ のために、部品ｋ152と部品ｉ153に共通な端子155を図２４Ｂに示す端子部品Ｔi k165（外部端子変数と内部端子変数の関係として表わされる）と外部端子を持た ない部品166と区別して部品群を生成することもできる。 （ｂ）【部品の端子化生成】 端子の要素構造が三角形要素で構成されているとし、図２４Ａのような構造と して１つの部品ｋ160は、生成されているとすると、この部品の外部端子163を構 成する要素を含めて図１６Ｂの解析器ａ10によりＯＮ法を用いて処理を行なうと 、（１８）式のように求められる。 ｘdk＝Ａukp・ｘuk＋Ｂk （１８） ただし、ｘuk＝［ｘtik,ｘtjk］Ｔ、ｘdk＝［ｘok,ｘtki,ｘtkj］Ｔ この式は決定変数ベクトルｘdkは、内部節点による内部変数ベクトルｘok161と 内部端子節点による内部端子変数ベクトルｘtki162とｘtkj、未決定変数ベクト ルｘukは、他の部品の節点である外部端子変数ベクトルｘtik163とｘtjｋとして 表わされる。この式において、変数ベクトルｘdkの中からｘtki162とｘtkjベク トルだけを抽出し、（１９）式 ｘdtk＝Ａutk・ｘutk＋Ｂtk （１９） ただし、 ｘdtk＝［ｘtki,ｘtkj］Ｔ と表わす。この式は図２７として表わされ、ＦＥＭにおける部品ｋの端子化（図 ２７）を生成する。この式でＢkベクトルは、部品ｋの節点群の境界条件より得 られる。 ｘdtk＝Ａutjk・ｘtik＋Ａutjk・ｘtjk＋Ｂk （２０） （ｃ）【部品のパッケージ化生成】 部品のパッケージ化生成部（図１７Ａ）においては、解析対象物が同じ構造や 僅かに異なる構造を持つ健品群で構成されている時に稼働する。このような場合 が解析対象物には多く見られる。例えば、建物の部品としての何本かの柱，壁や 窓等のように、同じもの又は類似の部品を組合せて作られるシステムが多く存在 する。そこで、この同じ物や類似の物を統一して１つのパッケージとして構成す ることにすのであるが、異なる境界条件の下での同じ構造の部品や類似の部品を まとめて１つのパッケージで表わすことが必要となる。それ故に、このパッケー ジ化は、種々の類似の部品を求める処理を節約できるので、計算容量と計算処理 時間の大幅な短縮を計ることができるだけでなく、汎用性をもつ部品として保存 しておき、再度利用することも可能となる。そこで、部品のパッケージ化の生成 について以下に検討を行なう。 部品のパッケージ化は、まずどの様な部品がパッケージ化できるか調べ、パケ ージ化できる部品群において共通でない要素を抽出し、それらを調整用節点とし て付加する。この付加するものとして、部品の内部節点の異なる場合は内部調整 節点（ｘup変数）、部品により境界条件が異なる場合は境界条件の入力源を変数 ｘcpに取り、外部端子数が異なる場合は、最大限の外部端子を設定することによ り、新しいパッケージ部品を生成する。この生成されたパッケージ部品は、部品 の端子化生成と同様に以下に示す処理により端子化を行なう。パッケージ部品ｐ の基本式は、一つの端子付き部品の関係を表わす式（１９）式をもちいて（２１ ）式のような一般的な式として表わし直す。 ｘdp＝Ａup・ｘtup＋Ｃcp・ｘcp＋Ｃb・ｘbp （２１） ｘdp−［ｘop，ｘtp］Ｔ この式の状態を図２６に表わし、これをパッケージの基本構造180とする。 図２６におけるパッケージｐは、パッケージ化される部品群の内部節点変数ｘ op181と内部端子変数ｘtp182と部品群を調整する節点変数群ｘcp182と部品群内 の境界条件調整としての入力源変数ｘbp184と部品の外部端子変数群ｘtup185で 構成される。 （ｄ）【パッケージがらの部品化生成】 パッケージからの部品化生成部22は、各部品での具体的な境界条件や数値をこ のパッケージに与えることで求めることができる。ここで、任意のパッケージｐ が、（２１）式のように求まったとすると、パッケージｐからの類似な部品ｋの 部品化は、（２１）式を構成するベクトルの外部端子変数ｘtup、内部端了変数 ｘop、内部調整変数ｘcp、境界条件の入力源変数ｘbpに具体的な値が代入し、ベ クトルｘdpから内部端子ｘtpをｘdtkとし抽出することによる（２２）式の形式 に作り替えることがでる。 ｘdtk＝Ａupk・ｘtupk＋（Ｃcpk・ｘcpk＋Cbpk・ｂk） −Ａutk・ｘtk＋Ｂtk （２２） 図１０と１１の実施例において図２５で示したＫ番目の端子化部品170は図２ ６のパッケジ１８０からを生成することができる。 （ｅ）【部品の組み立て】 部品の組み立て部は、既に得られた部品の組み立てを以下に詳細に説明する。 さて、部品ｋ同様にして得られた別の部品ｊとの結合を行なう。部品ｊの端子 の関係式は、以下の（１８）式と（１９）式と同様に（２３）式と（２４）式で 与えられ、 ｘdj＝Ａujp・ｘuj＋Ｂj （２３） ｘuj＝［ｘtkj，ｘthj］Ｔ ｘdj＝［ｘoj,ｘtjk,ｘtjh］Ｔ ｘdtj＝Ａutj・ｘutj＋Ｂtj ＝Ａutjk・ｘtkj＋Ａutjk・ｘthj＋Ｂj （２４） ただし、ｘdtj＝［ｘtjk,ｘtjh］Ｔ その時の端子間の関係は図２７に示される。ここで（２０）式と（２４）式に着 目し、この２つの式をまとめてＯＮ法の基本式で表し直すと、 Ａdtkj・ｘdtkj＝Ａutkj・ｘutkj＋Ｂtkj （２５） ｘdkjt＝［ｘtki,ｘtkj,ｘtjk,ｘtjkh］Ｔ ｘdkjt＝［ｘtki,ｘtjh］Ｔ Ｂtkj＝［Ｂtk,Ｂtj］Ｔ と表される。 （２５）式をＯＮ手法を用いてＡdtkj行列を単位行列にする。そのｘdtkjからｘ tkiとｘtjhに対応する変数を抽出し、（２６）式として表わす。 ｘdtkj＝Ａutkj'・ｘutkj＋Ｂtkj' （２６） ただし、ｘdtkj＝［ｘtki,ｘtjh］Ｔ この式は、図２７の状態を表す。この図の構造は、図２５の構造と同じになって いる。このことは、部品ｋ170と部品ｊ190の組み合せは、部品ｋ170の外部端子 ｘtkj171と部品ｊ190の内部端子ｘtjk172を結合し、それら部品の残りの外部端 子ｘtik163とｘtjh193を新しい外部端子とする新しい部品ｋｊ191を作り出した ことになる。このように部品の結合は、多くの部品を自由に結合する場合でも同 様に行なうとができる。これらの式による部品の組み立ては、基本的には２つの 部品を１つの部品として、次々に部品を取り込んで大きな部品として組み立てて いく（逐次組立て法と呼ぶ）ことを前提としている。しかし、組み立てには、組 み立てる目的によって幾つかの方法が存在する。 例えば１つの方法として、多くの部品の組み立てに於いて、可能な２つの部品の 組み立てを同時に並列的に行なうことを考える。この組み立ては、図２９のよう に、階層型並列組み立て処理が可能となる。この組立て方を、階層型組立て法と よぶことにする。これについては実施例３においてその処理の方法について説明 する。 （ｆ）【各部品の内部変数の決定】 全ての部品は、各部品のインタフェース端子を自由に結合して１つのシステム を作り上げるならば、全ての外部変数状態は既に求められた外部変数ベクトルを 式（２４）と式（１９）に代入することで決められる。線形方程式１８の最初の システムは各部品の各式（１８）に解かれた外部変数ベクトルを代入する後退代 入処理により状態を決定することができる。 （ｇ）【本発明の具体的な実施例２】 本発明の具体的な実施例２（検討項目２）を以下に示す。 本発明の端子付き部品の解析装置（図１６Ｂ）の図１７Ｂのフロー図に沿って の具体的な実施例として、既に実施例１で用いたと同じ弾性構造物１３０に対す る外力による変位の解析について説明する。 この構造物130は、部品生成部により第３０図に示す３つの部品１（201）,部 品２（202）,部品３（203）と２つの端子部品１；204、端子部品２；205を生成 する。この時の各端子部品の節点番号と部品の内部節点番号の対照表を第１６図 に作成する。この表の中の節点番号は図３０に示される番号の位置の節点に対応 させると、各節点を２次元で表わすとすると、その節点ｋの座標を（ｘｋ，ｙｋ ）で表わされ、（１９）式の端子変数を以下のように対応する。 ｘt12＝ｘt21＝［ｘ101,ｙ101,ｘ102,ｙ102,ｘ201,ｙ201,ｘ202,ｙ202］Ｔ ｘt23＝ｘt32＝［ｘ203,ｙ203,ｘ204,ｙ204,ｘ301,ｙ301,ｘ302,ｙ302］Ｔ 次いで、図１７Ｂの流れ図に沿って解析器ｂ２０を用い、各部品の端子化生成 を行なう。これらの部品生成は、式（１９）の行列ＡutkとベクトルＢtk表示の よって表される。インタフェース端子部品４０１、４０２と４０３を表す行列Ａ utkとベクトルＢtkの各要素の値は、図３２Ａ、図３２Ｂと図３２Ｃの各表によ って表される。これらの表は、図２４でのものと同じ表現である。 部品のパッケージ化生成に関しては、部品４０２と部品４０３は同じ構造とな っている。ただし、部品４０２と部品４０３を図３０で比較すると節点数が異な るように思われるが、部品４０３での固定節点はｘ軸ｙ軸共に変形しないので、 この節点は端子化の過程では処理する必要がないことによる。 そこで、この２つの部品は１つのパッケージとして表わされ、このＡutkは図 ３３Ａに示される。これより生成した行列には、図３３Ｂと図３３Ｃの表の中の 全ての要素が含まれている。式（２２）の中の調整変数ベクトル ｘtp，ｘdp， ｘutk，ｘdtkは以下の様に与える。 部品４０２に対しては、 ｘtp＝［ｘtp1,ｙtp1,ｘtp2,ｙtp2,ｘtp3,ｙtp3,ｘtp4,ｙtp4］Ｔ ｘdp＝［ｘd1，ｙdp1,ｘdp2,ｙdp2,ｘdp3,ｙdp3,ｘdp4,ｙdp4］Ｔ ｘut2＝［ｘ101,ｙ101,ｘ102,ｙ102,ｘ301,ｙ301,ｘ302,ｙ302］Ｔ ｘdt2＝［ｘ201,ｙ201,ｘ202,ｙ202,ｘ203,ｙ203,ｘ204,ｙ204］Ｔ 部品４０３のに対しては ｘtp＝［ｘtp1,ｙtp1,ｘtp2,ｙtp2,ｘtp3,ｙtp3,ｘtp4,ｙtp4］Ｔ ｘdp−［ｘd1，ｙdp1,ｘdp2,ｙdp2,ｘdp3,ｙdp3,ｘdp4,ｙdp4］Ｔ ｘut2＝［ｘ203,ｙ203,ｘ204,ｙ204,0,0，0,0］Ｔ ｘdt2＝［ｘ301,ｙ301,ｘ302,ｙ302,0,0,0,0］Ｔ ２つのインタファース端子部品４０２と４０３はこのパッケージから生成する ことができる。 次いで、部品の組立て部２５においては、この３つの部品を部品番号順に逐次 組立てを行なうことにすると、先づ部品４０１と部品４０２の組立ては、部品４ ０１に対し部品４０２に対して新しい図３４ａの部品12を生成し、この部品12に 対し新しい部品12の端子化を行ない得られた結果を図３４ｂに示す。この形成さ れた図３４ｂの部品12の端子と図３４ｃの部品３の端子を組合わせるて、同様に して新しい部品123を生成し得られた結果として図３５ａを得る。この部品123を 構成する節点の変数は、それらが数値としてだけで表わされることにより、この 端子の変位の状態を解析できたことになる。 最後に、各部品の全ての節点の状態を定めるために、図１６ｂの解析器ｄ40の部 品内の状態決定生成部21により、図３５ａの部品123で得られた端子変数値を部 品12の図３４ａ図で示される外部端子の変数ｘuに代入することにより部品12の 節点の未決定変数の値を図３５ｂで全て得られる。 ここで得られた値を、部品１、部品２と部品３の外部端子変数それぞれに代入 するとで、これらの部品の構成節点の値が定まる。 部品１に関しては ｘ1=-0.002235 ｙ1=0.037214 ｘ2=0.002146 ｙ2=0.037201 ｘ3=-0.002208 ｙ3=0.031688 ｘ4=0.002129 ｙ4=0.031676 ｘ5=-0.002138 ｙ5=0.026272 ｘ6=0.002068 ｙ6=0.026259 *ｘ7=-0.002024 *ｙ7=0.021074 *ｘ8=0.001963 *ｙ8=0.021062 部品２に関しては *ｘ1=-0.001866 *ｙ1=0.016205 *ｘ2=0.001815 *ｙ2=0.016192 ｘ3=-0.001664 ｙ3=0.011773 ｘ4=0.001622 ｙ4=0.011761 *ｘ5=-0.001419 *ｙ5=0.007888 *ｘ6=0.001386 *ｙ6=0.007876 部品３に関しては *ｘ1=-0.001130 *ｙ1=0.004659 *ｙ2=0.001107 *ｙ2=0.004647 ｘ3=-0.000797 ｙ3=0.002196 ｘ4=0.000784 ｙ4=0.002183 ｘ5=-0.000421 ｙ5=0.000607 ｘ6=0.000416 ｙ6=0.000594 ｘ7= 0.000000 ｙ7=0.000000 ｘ8=0.000000 ｙ8=0.000000 と求められる。ただし、記号*は外部端子として既に求められている値を示す。 これらの値は、既に実施例１の具体的な図２１Ｅのモデルで求めた値は図２１Ｆ の値と一致する。 以上の過程により、本発明が提供するＦＥＭにおける部品化解析器が、解析対象 物を構成する全ての節点の変位の値を与えることを示した。 （３）【階層並列処理における分割法ＴＰＳの実施例３】 第三の実施例として階層並列処理分割法による端子部品装置（ＴＰＳ）として 図１６Ｃに示す。部品化とその端子化の方法及び解析装置は、基本的には六つの 処理部によって構成されている。即ち、図１６ｃの入力部03、出力部05、対象物 の部品生成部04、ソルバー（ｂ）デバイス50、ソルバー（ｃ）デバイス60、ソル バー（ｄ）デバイス70である。図１６Ｃの解析装置において、ＦＥＭを解析する 処理は図１７Ｃに示される流れ図にそって実行される。処理は、図１７Ｃに示さ れるように主に二つの並列処理過程５０、７０と一つの階層型並列処理過程６０ をもつ。図１６Ｃで示される装置の各処理ブロックの数字は、図１７Ｃの流れ図 の中の各処理コラムの番号に対応する。図１６Ｃの処理ブロックを参照し、流れ 図に従いことにより、第三番目の発明の階層型並列法によるＴＰＳ実施例とその 装置のより詳細な記述を以下に行う。 先ず操作者により、入力部03を介して処理過程３が、解析対象部品の分割構造 や数等の物理的データが入力される。次いで、部品生成部04で対象物のを幾つか に分割し部品を生成する。 さらに、解析器ｂ50により、各部品に対し以下に示すような並列処理が行われ る：物理データ、境界条件データ、要素の形や数データや部品の外部端子や内部 端子ノードデータなどの情報が入力される。次いで、インタフェース端子部品が 生成される。これらはパッケージ部品の生成も含む。次の過程６０は前進代入過 程と後退代入過程における階層並列処理時におけるインターフェース端子部品の 組み立て処理とそれを通しての解析処理が行われる。最後の過程７０は並列処理 による各部品で内部状態を解析し、その解析された結果を出力する。 ここで提供した技術は、従来の有限要素法に対しての解析技術とは異なる新し い解析技術である。この技術は解析対象物を構成する各ノードをトポロジー的に 解析処理してゆくことができるので、境界条件がどの様に解析対象物を伝搬して いくかをかを解析できる。このことは従来ののもではできない。しかも、解析処 理は非常に少ない記憶容量で高速処理で実行できる。また従来は不可能であった 並列的にインターフェース処理を行うことをも可能とした。このインターフェー スを生成することは、解析システムを幾つかの部品に分割し、分割された部品で たの部品と分断された部分をインターフェースとする。そして、これらの部品ご とに解析し、最後に再び互いの部品のインターフェース端子を結びあわせること で最後に元の解析物になるように部品の組み立てをおこなう。 ＴＰＳによる階層型並列処理を用いた本発明の装置と方法のこの具体化として の実施結果は、短時間で得られた。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (81)指定国 ＥＰ(ＡＴ，ＢＥ，ＣＨ，ＤＥ， ＤＫ，ＥＳ，ＦＲ，ＧＢ，ＧＲ，ＩＥ，ＩＴ，ＬＵ，Ｍ Ｃ，ＮＬ，ＰＴ，ＳＥ)，ＯＡ(ＢＦ，ＢＪ，ＣＦ，ＣＧ ，ＣＩ，ＣＭ，ＧＡ，ＧＮ，ＭＬ，ＭＲ，ＮＥ，ＳＮ， ＴＤ，ＴＧ)，ＡＵ，ＢＢ，ＢＧ，ＢＲ，ＢＹ，ＣＡ， ＣＮ，ＣＺ，ＦＩ，ＧＥ，ＨＵ，ＪＰ，ＫＥ，ＫＧ，Ｋ Ｐ，ＫＲ，ＫＺ，ＬＫ，ＬＶ，ＭＤ，ＭＧ，ＭＮ，ＭＷ ，ＮＯ，ＮＺ，ＰＬ，ＲＯ，ＲＵ，ＳＤ，ＳＩ，ＳＫ， ＴＪ，ＴＴ，ＵＡ，ＵＺ，ＶＮ

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 Ｉ請求： １．有限要素モデリング、又は偏微分モデリングのための分割法に基づく端子部 品システム（ＴＰＳ）を適用された線形システムによって、物理的又は生産物シ ステムを分析するための装置 モデリングシステムを入力部品の分割数と形の情報データを受け取る入力装置 モデリングシステムを情報データによっての部品数に分割する部品生成装置 各部品のためのソルバー（ａ） 解析物にノード群を配置し、それらを解析するための一つのノードを選び、ｋ番 めのノードとして番号をつけるノード生成ブロック 選ばれたｋノードに関係する全ての要素だけを、形データの設計よて解析物をか ら分けることにより生成しそれらの要素に番号付けをおこなう要素生成ブロック 上で生成された要素群から要素方程式を生成する要素方程式生成ブロック 集めるとは、選ばれたノードに関係する要素方程式を集めることである。 集められた要素方程式を格納する記憶ブロック ｋノードにおけるノード方程式を、記憶ブロックの中の要素方程式からこのｋノ ードに関する要素方程式だけを選びだすことにより生成するブロック ｋノードに関してのノード方程式と境界条件によりＰＳＳ基本式として整理する ＰＳＳ形成ブロック ＰＳＳ決定ブロック ＰＳＳ基本式を格納する記憶ブロック ｋノードが最後のノードであるかを判定する判定ブロック 各処理部品を解析するソルバー（ｂ）装置 各部品に対してインターフェイス端子部品を生成する装置 類似の部品群を一つのパッケジとして生成するための装置 パッケジからインターフェイス端子部品を生成する装置 分割する前のシステムを表すシステム方程式を作るためにインターフェイス端子 部品を組み立てるためのソルバー（ｃ）装置 各処理部品を解析するためのソルバー（ｄ）装置 インターフェイス端子ノードの状態を決定し、後退代入技術によって全てのノー ドの状態を決定する装置 各処理部品のＰＳＳ基本式を格納する記憶装置 得られたシミュレーション結果を表示するための表示装置 ２．請求１の装置は、物理的または生産されたシステムを線形方程式または非線 形方程式によって解析するための装置を言い、動的なシステムまたは時間依存シ ステムに端子部品システム（ＴＰＳ）、有限要素モデリングまたは変微分モデリ ングに適用することによって操作することを含む ３．請求１の装置は、さらに非線形システムに対してその解が予め決めておいた 誤差範囲になるまでの繰り返し処理装置を含む、また非ゼロ要素または非ゼロな 帯状対角要素をもつ大規模行列を解くための装置をも含む ４．請求１は、各処理部品の並列処理をおこなう装置をも含む ５．有限要素モデリング、または変微分モデリングによって、物理的又は生産物 システムを分析するための方法、これは各ステップで構成される； （a）モデリングシステムを部品に分割する数と形の情報データを入力する （b）情報データによってモヂリングシステムを分割し、部品を生成する （c）入力データの情報によって解析されるシステムのノードを配列する （d）配列されたノードに番号を付ける （e）解析するノードとしてｋノードを選ぶ、ただし、ｋは最初に選ばれたノ ードは１とし、続いてのノードは増加してゆく （f）モデリングシステムデータ内の選択されたｋ番めのノードに関係する要 素だけを生成する （g）生成された要素の番号づけ （h）生成された全ての要素に対し変微分方程式に基づく要素方程式の生成 （i）要素方程式をメモリーに格納する （j）メモリーの中に格納された要素方程式からｋノードに関するノード方程 式を要素方程式だけを選びだすことによりノード方程式を生成する （k）ノード方程式と境界条件によりＰＳＳ基本式を形成する （l）ＰＳＳ基本式の解を求める （m）ＰＳＳ基本式の解をメモリーに入れる （n）もし、ｋノードが最後のでないとステップ（b）にもどり、（b）から（m ）までｋが最後の番号まで繰り返す、その結果シミユレーション過程が終わり、 解析した結果を出力するなどの条件によって選択する処理状態を判定する （o）解析物を分割し端子部品を生成する （p）ソルバー（b）により端子部品からインターフェイス端子部品を生成する （q）類似部品を集めることによりパッケージを生成する （r）パッケージからインターフェイス端子部品を生成する （s）ソルバー（c）によってインターフェイス端子部品を組合わせて元のシス テムを復元する （t）インターフェイス端子部品のノードを決定し、次いで各部品の全てのノ ード状態を後退代入により決める （u）各処理部品のＰＳＳ基本式をメモリーに格納する （v）物理システムの物理的特徴を出力する ６．請求５によって記載した方法は、モデリングシステムを分割する過程で、物 理的に類似のものは同じグループ部品として生成する部品生成過程を含む ７．請求５の中で記載した方法は、さらに以下の過程をも含む：端子部品が３種 類のベクトル変数群で構成されている部品のためのＰＳＳ基本式を生成する、他 の部品のインターフェイス・ノードと独立している内部変数群、インターフェイ ス端子変数群と他の部品のインターフェイスノードと結合される外部端子変数群 と直接結び付ける内部端子変数群を含む；そしてまた端子部品からインターフェ イス端子無しの部品の生成のために、インターフェイス端子部品の生成を含む端 子部品生成を含む ８．請求７に記載した方法は、さらに並列処理と並列的に端子部品を生成する生 成手法を含む ９．請求７に記載した方法は、以下に示す処理によりインターフェイス端子部品 生成をおこなう：インターフェイス端子部品のために、ＰＳＳ基本式の未決定変 数から外部端子変数を、ＰＳＳの決定された変数から内部端子変数を選択する； インターフェイス端子部品の内部端子変数と外部端子変数間の関係を求める；そ して境界条件による定数ベクトルをも含む １０．請求９の中で要求した方法は以下に示す処理によってパッケージ部品生成 を含む；各部品が互いに構造的に類似性をもつどうかを調べ、類似の部品を１つ のパッケージ部品としてグルーピングし、このグルーピングされた部品群の中で 僅かに異なるノードや境界状態を類似部品の調整用として新しいノードをパッケ ージに加える；請求５の（d）と（q）の繰り返し過程；端子部品が三種類のベク トル変数群、他の部品のインターフェイス・ノードから独立である内部変数グル ープ、インターヘイス端子変数と直接的に結合している内部端子変数グループベ クトルと他の部品のインターフェイス・ノードと結合された外部端子変数群ベク トルである；インターフェイス端子部品の生成；とパッケージのメモリーへの記 憶 １１．請求７の記述された方法は、パッケージの中に類似の部品群に調整可能な 変数を固定値として設定することによりバッケージから端子部品を生成すること を含む １２．請求７の記述された方法は元のシステムを復元するためにインタフェース 端子部品を組み立てる処理過程を含む：ｉ番の部品の内部端子と他のｊ番の外部 端子とをインタフェース端子を通して結び付ける；ｉ番の部品の外部端子とｊ番 の部品の内部端子を互いにインタフェース端子を通して結び付ける；ＰＳＳ技術 を用いて結合された端子群に関する変数だけを決定する；そしてｉ番とｊ番イン ターフェイス部品を結合による新しいインターフェイス端子部品を生成する。 １３．請求１２の記述による方法は、新たなインターフェイス端子部品を順番に 生成する過程を含む １４．請求１２の記述による方法は、並列処理によって実行される新しいインタ ーフェイス端子部品の生成過程を含む １５．請求１２の記述による方法は、階層型処理によって新たに生成されるイン ターフェイス部品の生成処理を含む １６．請求７の記述による方法は、後退代入処理を通して決定された外部端子変 数ベクトルをインタフェース端子部品の外部変数に代入し決定した外部ベクトル を各部品のＰＳＳ基本式の対応する変数に代入する各部品の内部変数ベクトルを 決定する過程を含む １７．請求５の記述による方法は以下の処理による部品の生成過程を含む：部品 は互いに分離され独立に生成される；生成された部品をメモリーに記憶または部 品のデータベースとしてメモリーデスクに記憶する；そして処理時間の消費なし で記憶装置から直接部品を呼び戻す １８．請求１と異なった沢山の物理システムを統合することによる複合システム を分析することができる装置を含む １９．請求１８は、構造体、流体システム、力学システムや電気システムなどか ら選ばれた複数の異なった複合システムを含む ２０．請求１８は非線形解析、過渡現象解析、動的現象解析、時間領域解析や相 関解析などを解析する手法の一つとして用いられる有限要素モデリングあるいは 偏微分方程式を含む