JPH0793569A - 線描画方法及び装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【目的】 グラフィック・ディスプレイ上で、幅１の直
線及び円弧を高速で描くこと。 【構成】 現在点から、Ｘ座標のみを１つ増分した点
と、Ｙ座標のみを１つ増分した点の両方について、幅１
の線を規定する輪郭線ｆ１とｆ２の間にあるかどうかを
判断する。もし、Ｘ座標のみを１つ増分した点が輪郭線
ｆ１とｆ２の間にあるなら、その点をプロットし、次の
ピクセルとして選択する。そうではなく、もし、Ｙ座標
のみを１つ増分した点が輪郭線ｆ１とｆ２の間にあるな
ら、その点をプロットし、次のピクセルとして選択す
る。そのどちらも輪郭線ｆ１とｆ２の間にないなら、Ｘ
座標とＹ座標の両方を１増分した点をプロットし、次の
ピクセルとして選択する。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】この発明は、ラスタ・スキャン・
グラフィック・ディスプレイなどの、ピクセルを任意の
座標点で個別にプロット可能なディスプレイに、コンピ
ュータの演算処理によって線を描くための方法及び装置
に関し、特に、１以上の幅をもつ太線を高速に描くため
の方法及び装置に関するものである。

【０００２】

【従来の技術】従来より、コンピュータ・ディスプレイ
上で、線を描くための様々な方法が知られている。その
うちの代表的な方法として、ブレゼンハム (Bresenham)
のアルゴリズムとよばれるものがある。この技法は、任
意の勾配の直線、あるいは円弧の描画を、実数（不動小
数点数）を使用することなく、整数の範囲での加算、引
算、およびシフト演算のみで実現し、それゆえに高速で
あり、また、線上の各点の座標を一旦格納するためのテ
ーブルなしいメモリ領域も必要でない、という点で画期
的であった。

【０００３】一方、グラフィック・ディスプレイ上の線
の描画において、１ピクセル以上の幅をもつ太線を描き
たいという要望がある。なぜなら、太線は、細線より
も、視覚的に明瞭であり、より好都合には、太線を少し
ずつずらして描画することにより、より太い線を描いた
り、特定の領域を効率的に充填することが可能になるか
らである。

【０００４】しかし、上記ブレゼンハム・アルゴリズム
を、太線の描画に適用することは、原理的に不可能であ
る。なぜなら、ブレゼンハム・アルゴリズムは本質的に
幅ゼロの線の描画しかできないからである。さらに述べ
るなら、太い直線について、この分野の当業者の要求す
る基準として、その太い直線の輪郭を引いてみたとき、
その輪郭内に収まるすべてのピクセルを、結果の描画さ
れる太線が含んでいなくてはならない、ということがあ
る。ブレゼンハム・アルゴリズムを重ねて適用しても到
底このような基準を満たすことは不可能であり、輪郭内
に描かれないピクセルの抜けを生じてしまう。

【０００５】そこで、従来技術においても、太線の直線
あるいは円弧を効率的に描くために、以下に示すように
さまざまな技法が開示されている。

【０００６】先ず、特開昭６３−１４２８６号公報は、
円の内側に円の中心をずらしながら同一半径の円弧を描
画させ、これを繰り返すことにより太線円を描くアルゴ
リズムを開示する。

【０００７】また、特開昭６３−１８０１８２号公報
は、輪郭線座標情報と太め図形輪郭線座標情報から、任
意図形の太め輪郭線を描画してから内部を塗りつぶすこ
とにより、高速に太め描画を行うことを可能ならしめる
ことを開示する。

【０００８】さらに、特開昭６３−２８２５８３号公報
は、幅付きラインの中心線と幅情報の他に、１点だけの
外枠の座標情報を追加することにより、幅付きラインの
高速表示を可能にすることを開示する。

【０００９】さらに、特開平２−３５５８０号公報は、
線指定データ及び線幅データを記憶し、線の幅がその線
幅データに対応するようにキャラクタ全体の輪郭を移動
させ、アウトライン・データをビット・データに変換す
ることにより、線幅を正規の値にすることを開示する。

【００１０】さらに、特開平２−２０８６９４号公報
は、太線描画要素データを作成し、太線描画要素データ
をフレームバッファ上でビットマップ・データとして描
画線方向に合成し、一定線幅の太線を描画することによ
り、一定線幅の太さの線を描画可能にする。

【００１１】またさらに、特開平４−１３７１８７号公
報は、上部ビット範囲と中部ビット範囲と下部ビット範
囲とを求めて複数のビットをまとめて処理することによ
り、描画速度が正確な太さのある線を描くことを可能な
らしめることを開示する。

【００１２】しかし、これらの太線描画技法は、浮動小
数点演算や、描画した点の座標データなどをメモリ中の
テーブルに順次格納しておく処理を必要とし、従って膨
大な演算能力を要するので、最近の高性能のプロセッサ
を以てしても描画速度が相当に低速にならざるを得な
い。

【００１３】

【発明が解決しようとする課題】この発明の目的は、実
質的に整数演算のみを利用して、高速で太線を描画する
方法及び装置を提供することにある。

【００１４】この発明の他の目的は、実質的に整数演算
のみを利用して、高速で、幅１の直線を描画する方法及
び装置を提供することにある。

【００１５】この発明のさらに他の目的は、実質的に整
数演算のみを利用して、高速で、幅１の円弧を描画する
方法及び装置を提供することにある。

【００１６】この発明のさらに他の目的は、実質的に整
数演算のみを利用して、高速で、幅１の楕円弧を描画す
る方法及び装置を提供することにある。

【００１７】

【課題を解決するための手段】上記の目的は、直線の太
線の場合、次のような処理によって達成することができ
る。

【００１８】描画しようとする太線の上限のラインと、
描画しようとする太線の下限のラインを画定する段階。
これらは、描画すべき太線の開始点と終了点が所与であ
ることから、これらの開始点と終了点を結ぶ直線の方程
式を求め、太線のＹ軸方向の幅をＷとしたとき、この直
線のＹ軸切片を、±Ｗ／２だけオフセットすることによ
って求めることができる。本発明は、Ｗ＝１の場合に対
応する。

【００１９】次に、開始点から、終了点に近づくように
Ｘ軸に沿う座標値を１つだけ変化させた第１のピクセル
と、開始点から、終了点に近づくようにＹ軸に沿う座標
値を１つだけ変化させた第２のピクセルとに着目し、こ
れら２つのピクセルと、上記上限のラインと、上記下限
のラインとの位置関係を判定する。このとき、次のよう
な場合があり得る。 (a) 第１のピクセルが、太線の範囲内にある場合：この
場合、次のピクセルとして第１のピクセルを選択する。 (b) 第１のピクセルが、太線の範囲内になく、第２のピ
クセルが太線の範囲内にある場合：この場合、次のピク
セルとして第２のピクセルを選択する。 (c) 上記(a)と(b)の両方が不可の場合、Ｘ軸とＹ軸の両
方について座標値をともに１だけ変化させた、斜め方向
の第３のピクセルを次のピクセルとして選択する。 このようにして選択された次のピクセルをプロットし
て、該次のピクセルを基準として上記第１のピクセル及
び第２のピクセルを求め、これについて、上記と同様に
太線の範囲内にあるかどうかの判断を行うことにより、
プロットすべき、該次のピクセルのさらに次のピクセル
を決定する。このような処理を、最終点がプロットされ
るまで、続ける。

【００２０】本発明の更なる特徴によれば、ピクセルが
太線の範囲内にあるかどうかの判断も、実質的な整数演
算で実現することができる。

【００２１】本発明の更なる特徴によれば、輪郭線が円
弧または楕円の場合にも、上記のピクセル選択技法を適
用することができ、以て、実質的に整数演算により、幅
１の円弧または楕円も、高速に描くことが可能である。

【００２２】

【実施例】

１．背景技術 １−１．ブレゼンハムの直線 図１に、ブレゼンハムの直線のプロットを示す。ブレゼ
ンハムの直線描画アルゴリズムは、実質的に整数演算に
よって直線の描画を可能ならしめた点で、画期的なもの
であった。この描画のためのアルゴリズムは、最早周知
であるので、詳細には説明しないが、図１において、Ｘ
軸座標が１つずつ増加するようにプロット点が選択され
てゆくものと仮定すると、プロットすべき次の点は、整
数演算される特定のパラメータの値に基づき、Ｘ軸座標
のみを１だけ増加させるか、Ｘ軸座標とＹ軸座標の両方
を１だけ増加させるかのどちらかを選択される。

【００２３】１−２．幅をもつ直線 ブレゼンハムの直線描画アルゴリズムは、十分に高速で
あり、ラスタ・スキャン・グラフィック・ディスプレイ
において、単に直線を描画するだけの目的なら、十分に
実用的である。しかし、図２に示すような幅１の直線を
描画することは、ブレゼンハムの直線描画アルゴリズム
は、不可能である。このことを、幅をもつ直線の定義に
基づき例証すると、次のとおりである。すなわち、幅を
もつ直線において、描画すべき始点と終点を結び、この
線を中心として、幅Ｗ（この場合、Ｗ＝１）の長方形の
輪郭を定める。すると、幅１の直線は、(a) 始点と終点
をプロットすること、(b) 定められた長方形の輪郭線上
と、輪郭線の内部にあるピクセルを全てプロットするこ
と、という条件を満たすものである。ここで、図２のピ
クセルＰ1とＰ2に着目すると、Ｐ2は、Ｐ1に対して直上
の関係にあることが見て取れる。しかし、図１では、あ
るピクセルの直上のピクセルは、決してプロットされる
ことがない。このことから、ブレゼンハムの直線描画ア
ルゴリズムは、原理的に、幅のある直線の描画に適用で
きないことが理解されよう。

【００２４】２．ハードウェア構成 次に、本発明を実施するためのハードウェアの構成の例
を、図３を参照して説明する。図３において、描画用チ
ップ１は、メイン・プロセッサ（図示しない）からの描
画命令を受け取って、実際の描画のためのピクセル・デ
ータを発生するものである。例えば、直線を描くため
に、メイン・プロセッサは、単に、描くのが直線である
という指令と、直線の始点と、直線の終点のデータのみ
を描画用チップ１に渡すと、描画用チップ１は、その始
点と終点を結ぶ各々のピクセルの座標点の値を発生し、
ディスプレイのＡＰＡ（全点アドレス可能）メモリの座
標点に対応するピクセルをプロットする。

【００２５】描画用チップ１の内部を図式的に示すと、
プロセッサからの命令／データを受け取るインターフェ
ース・ロジック回路１ａと、専用ＣＰＵ１ｂと、本発明
に係る描画アルゴリズムをハード・ワイヤド・ロジック
で実装したロジック回路１ｃと、本発明に係る描画アル
ゴリズム以外の描画機能を総称的に含めたロジック回路
１ｄと、ディスプレイのＡＰＡとの間でデータをやり取
りするためのディスプレイ・バスに対するインターフェ
ース機能を与えるインターフェース・ロジック回路１ｄ
とからなっている。尚、ロジック回路１ｃとロジック回
路１ｄとは、実際は個別に分離されて実装されている訳
ではなく、説明の便宜上、図示のブロック図構成として
示されていることを理解されたい。

【００２６】Ｖ１〜Ｖ４は、ディスプレイのＡＰＡメモ
リの異なるプレーン毎に用意されたビデオ・チップであ
り、各々個別のＡＰＡメモリＭ１〜Ｍ４に接続され、描
画用チップ１から受け取ったピクセル・データをＡＰＡ
メモリに書き込むのみならず、ＡＰＡメモリからピクセ
ル・データを読み取ったり、ピクセル・データに対して
演算を施したり、異なるプレーン間でピクセル・データ
を移動したりする機能を有する。

【００２７】ロジック回路３は、Ｖ１〜Ｖ４からの、４
つのプレーンに亘るピクセル・カラー・データをマージ
して、表示のため、ロジック回路４に渡す。ロジック回
路４は、プログラマブル・ロジック・アレイ（ＰＬＬ）
及びディジタル・アナログ変換機能（ＤＡＣ）を有し、
ピクセル・カラー・データをアナログ・データとして、
表示のため、ラスタ・スキャン・ディスプレイ５に提供
する。

【００２８】尚、図３に示すハードウェア構成は、本発
明を実施するための構成の一例にすぎないので、これ以
上の詳細な説明は省略する。本発明の実施はこのような
構成に限定されるものではないことに留意されたい。す
なわち、発明者による実験によれば、このようなハード
ウェア構成でなく、汎用のプロセッサの上で、ソフトウ
ェア的に本発明を実現しても、実用的には十分な程度の
高速で、幅を有する線を描くことができた。

【００２９】３．本発明の原理 次に、図４以下を参照して、本発明の原理を説明する。
図４において、今、右上がりの直線ｆを引いてみる。す
ると、この直線の方程式は、一般的に、ｙ＝（Δｙ／Δ
ｘ）ｘ＋ｂとあらわされる。この式で、（Δｙ／Δｘ）
は、勾配である。この直線上の同一でない任意の２点
（Ｘ1,Ｙ1)及び（Ｘ2,Ｙ2)（但し、Ｘ2 ＞Ｘ1)により、
Δｘ＝Ｘ2−Ｘ1、Δｙ＝Ｙ2−Ｙ1と想定している。ｂ
は、切片である。この式を変形して、

【００３０】

【数１】ｆ（ｘ，ｙ）＝ｙ・Δｘ−ｘ・Δｙ−ｂ・Δｘ

【００３１】という方程式を作ってみると、ある点（ｘ
0,ｙ0）が直線ｆに乗っていれば、明らかにｆ（ｘ0，ｙ
0）＝０であり、一方、点（ｘ0,ｙ0）が直線ｆよりも上
にあれば、ｆ（ｘ0，ｙ0）＞ ０であり、さらに、点
（ｘ0,ｙ0）が直線ｆよりも下にあれば、ｆ（ｘ0，ｙ
0）＜ ０であることが、簡単な計算により確かめられ
る。

【００３２】次に、図５において、ｆ１を、幅のある線
の上限の輪郭線の（上記ｆと同様の）方程式、ｆ２を幅
のある線の下限の輪郭線の方程式である、と仮定する。
すると、あるピクセルを、幅のある線としてプロットす
べきことの必要条件は、ｆ１≦０且つｆ２≧０であるこ
とが見て取れる。

【００３３】次に、図６を参照して、始点（Ｘs，Ｙs）
から終点（Ｘe，Ｙe）まで、本発明に従い、幅１の線を
直線を引く処理について説明する。図６において、ｆ
は、始点（Ｘs，Ｙs）と終点（Ｘe，Ｙe）を結ぶ直線の
方程式、ｆ１は上限の輪郭線、ｆ２は下限の輪郭線であ
る。

【００３４】先ず、Δｘ＝Ｘe−Ｘs、Δｙ＝Ｙe−Ｙsと
すると、数１で示したように、ｆ（ｘ，ｙ）＝ｙ・Δｘ
−ｘ・Δｙ−ｂ・Δｘであるが、ｆ（Ｘs，Ｙs）＝ｆ
（Ｘe，Ｙe）＝０をｂについて解くと、ｂ・Δｘ＝Ｙs
・Ｘe−Ｙe・Ｘs＝Ｙs・Ｘe−Ｙs・Ｘs＋Ｙs・Ｘs−Ｙe
・Ｘs＝Ｙs・Δｘ−Ｘs・Δｙよって、

【００３５】

【数２】ｆ（ｘ，ｙ）＝ｙ・Δｘ−ｘ・Δｙ−（Ｙs・
Δｘ−Ｘs・Δｙ）

【００３６】すると、ある正の定数Ｎによって、ｆ１＝
ｆ−Ｎ、ｆ２＝ｆ＋Ｎとあらわされることになる。ｆ１
とｆ２をこのような式であらわすとき、ｆとｆ１、及び
ｆとｆ２のｙ切片の差は、Ｎ／Δｘであらわされる。こ
こで、切片が、Δｘで割った値であらわされるのは、数
１において、その定数項が、−ｂ・Δｘのように、Δｘ
を掛けたものになっているからである。

【００３７】さて、始点（Ｘs，Ｙs）と終点（Ｘe，Ｙ
e）を結ぶ長さＬを、

【数３】Ｌ＝（（Ｘe−Ｘs）²＋（Ｙe−Ｙs）²）^1/2

【００３８】によって、求める。ここで留意すべきであ
るのは、このＬの計算は、浮動小数点演算が必要である
けれども、本発明によれば、これ以降のピクセルの座標
点を求めるための計算は、実質的に整数演算だけで済ん
でしまうことである。

【００３９】こうしてＬを求めると、直角三角形の相似
に基づき、次のような比例式が成立する。

【００４０】

【数４】Ｌ：Δｘ＝２Ｎ／Δｘ：Ｗ

【００４１】この比例式から、Ｎ＝ＷＬ／２という式が
求められる。尚、本発明では、Ｗ＝１であるとして説明
を行う。よって、Ｎ＝Ｌ／２となる。尚、数３の演算結
果に示されるように、Ｌは、浮動小数点数であり、従っ
てＮも浮動小数点数であるが、後述するように、Ｎは、
整数値に対して値の大小を比較される値なので、以下で
は、小数点以下は切り捨てて整数値として扱ってよい。

【００４２】始点（Ｘs，Ｙs）を座標変換により原点
（０，０）にずらすと、上限及び下限のグラフは、図７
に示すように簡略化される。このように簡略化しても一
般性は失わないことは明らかである。

【００４３】以上の準備のもとで、本発明に従い、幅１
の直線を描画するために、どのようにしてプロットすべ
きピクセルの座標点を求めるか、について、図８以下を
参照して説明する。

【００４４】図８において、Ｐ＝（ｘ，ｙ）を出発点と
する。すると、本発明の基本的な着想に従うと、Ｐ
（ｘ，ｙ）に対して、ｙを１だけインクリメントした点
Ａ＝（ｘ，ｙ＋１）と、ｘを１だけインクリメントした
点Ｂ＝（ｘ＋１，ｙ）の両方について、上限の輪郭線ｆ
１と下限の輪郭線ｆ２の間にあるかどうかが判定され
る。図５によれば、ｆ１とｆ２の間にある、という条件
は、ｆ１≦０且つｆ２≧０であるけれども、一方、図６
から明らかなように、出発点は、必ずｆ１とｆ２の間に
あるので、Ａ＝（ｘ，ｙ＋１）については、ｆ１≦０で
あるかどうか、Ｂ＝（ｘ＋１，ｙ）については、ｆ２≧
０であるかどうかについて判定すればよいことが分か
る。このとき、Ａが範囲内にある（場合１）、Ａが範囲
内になくＢが範囲内にある（場合２）、ＡもＢもどちら
も範囲内にない（場合３）、という３つの場合がある。
尚、ＡとＢのどちらが範囲内にあるか判定するのに、先
ずＡの方を調べ次にＢの方を調べてもよいし、先ずＢの
方を調べ次にＡの方を調べても、どちらでもよい。とい
うのは、幅１の線においては、ＡもＢも範囲内にある、
ということはありえないからである。

【００４５】場合１：図９に、場合１の例を示す。図９
以下では、ｙを１だけインクリメントした点Ａ＝（ｘ，
ｙ＋１）を（Ｘａ，Ｙａ）、ｘを１だけインクリメント
した点Ｂ＝（ｘ＋１，ｙ）を（Ｘｂ，Ｙｂ）であらわ
す。さらに、判定用のパラメータとして、ｆ１（Ｘａ，
Ｙａ）の値をｄ１、ｆ２（Ｘｂ，Ｙｂ）の値をｄ２とす
る。これらの値は、Ｐ＝（ｘ，ｙ）を出発点とした時点
で既に計算されている。図９の例では、ｆ１（Ｘａ，Ｙ
ａ）＜０、すなわち点Ａがｆ１よりも下にあるので、点
Ａがプロットされるとともに、次のピクセルとして選択
される。

【００４６】点Ａが新たなピクセルとして選択されたこ
とに応答して、その新たに選択されたピクセルに対し
て、更に次に進むべきピクセルを判定するために、上記
ｆ１（Ｘａ，Ｙａ）及びｆ２（Ｘｂ，Ｙｂ）に対応する
値を求める。ところが、点Ａは、図８の点Ｐに対して、
ｙ座標値を１だけインクリメントしたものであるから、
この新たに選択されたピクセルに対応する上記判定用パ
ラメータは、ｆ１（Ｘａ，Ｙａ＋１）、及びｆ２（Ｘ
ａ，Ｙａ＋１）となる。しかし、これらの計算は、数１
に戻って計算し直す必要はない。すなわち、数１を参照
すると、ｙを１だけ増分することは、ｆの値をΔｘだけ
増加させることに等しく、ｘを１だけ増分することは、
ｆの値をΔｙだけ減少させることに等しい。よって、ｆ
１＝＝ｆ１＋Δｘ、ｆ２＝ｆ２＋Δｘ、のように判定用
のパラメータが更新される。

【００４７】場合２：図１０に、場合２の例を示す。こ
の場合、ｆ１（Ｘａ，Ｙａ）＞０なので、点Ａは失格で
あり、一方、ｆ２（Ｘｂ，Ｙｂ）＞０であることから、
点Ｂは合格である。よって、点Ｂが次のピクセルとして
選択される。ところが、点Ｂは、図８の点Ｐに対して、
ｘ座標値を１だけインクリメントしたものであるから、
この新たに選択されたピクセルに対応する上記判定用パ
ラメータは、ｆ１（Ｘａ＋１，Ｙａ）、及びｆ２（Ｘａ
＋１，Ｙａ）となる。そして、既に説明したように、ｆ
１（Ｘａ＋１，Ｙａ）＝ｆ１−Δｙ、ｆ２（Ｘａ＋１，
Ｙａ）＝ｆ２−Δｙ、と計算することができる。

【００４８】場合３：図１１に、場合３の例を示す。こ
の場合、ｆ１（Ｘａ，Ｙａ）＜０なので、点Ａは失格で
あり、一方、ｆ２（Ｘｂ，Ｙｂ）＜０であることから、
点Ｂも失格である。よって、本発明に従えば、ｘ座標と
ｙ座標をともに１だけ増分させた点Ｃが次の点として選
択されてプロットされ、点Ｃは、図８の点Ｐに対して、
ｘ座標値及びｙ座標値をともに１だけインクリメントし
たものであるから、この新たに選択されたピクセルに対
応する上記判定用パラメータは、ｆ１（Ｘａ＋１，Ｙａ
＋１）、及びｆ２（Ｘａ＋１，Ｙａ＋１）となる。そし
て、既に説明したように、ｆ１（Ｘａ＋１，Ｙａ＋１）
＝ｆ１＋Δｘ−Δｙ、ｆ２（Ｘａ＋１，Ｙａ＋１）＝ｆ
２＋Δｘ−Δｙ、と計算することができる。

【００４９】図１２には、本発明の方法に従い、原点
（０，０）から、幅１の直線を描くようにピクセルを順
次プロットする様子が示されている。このようにしてピ
クセルを順次プロットし、終点である（Ｘe,Ｙe)がプロ
ットされると、直線の描画が終了する。

【００５０】４．幅１の直線描画動作のフローチャート 以下、上記した本発明に従う幅１の直線描画動作のフロ
ーチャートを示す。当技術分野の当業者なら、このフロ
ーチャートに従い、Ｃ、ＰＡＳＣＡＬ、Ｃ＋＋、ＢＡＳ
ＩＣなどの任意のコンピュータ・プログラミング言語に
より、コンピュータ上で、本発明の幅１の直線描画動作
を行うプログラムを容易に実現できるはずである。ある
いは、ハードワイヤード・ロジックで、このフローチャ
ートと等価な論理をＬＳＩに実現することも容易であろ
う。

【００５１】図１３のフローチャートを参照すると、ス
テップ１３０２では先ず、Δｘに、定数として、終点の
ｘ座標から始点のｘ座標を引いた値が格納され、さら
に、Δｙに、定数として、終点のｙ座標から始点のｙ座
標を引いた値が格納される。また、Ｎという定数に、始
点から終点までの長さＬの半分の値が格納される。尚、
このような定数を使用する意味は、図６に関連して説明
済みである。本発明に従えば、浮動小数点演算を要する
のは、この長さＬを求める段階だけで、後は、整数演算
のみで処理を勧めることが可能である。

【００５２】ステップ１３０４では、変数ｘに、始点の
ｘ座標が格納され、変数ｙに、始点のｙ座標が格納され
る。これによって、現在の点（ｘ，ｙ）が始点にセット
される。さらに、次の点を決定するための判定用のパラ
メータ変数として、ｆ１に−Ｎ＋Δｘ−１が格納され、
ｆ２にＮ−Δｙが格納される。これらの値ｆ１、ｆ２の
意味は、図６に関連して説明したとおりである。

【００５３】ｆ１に−Ｎ＋Δｘ−１を格納する意味は、
図６を参照して説明される。すなわち、図６によれば、

【数５】ｆ１（ｘ，ｙ）＝ｙ・Δｘ−ｘ・Δｙ−（Ｙs
・Δｘ−Ｘs・Δｙ）−Ｎ

【００５４】であって、ｆ１は、現在の点の直ぐ上のピ
クセルに対応する判定用パラメータであるので、初期的
には、ｆ１（ｘ，ｙ）＝ｆ１（Ｘs,Ｙs＋１）。これを
計算すると、ｆ１＝−Ｎ＋Δｘ しかし、上記のｆ１は、これに対して−１という項を余
分に含んでいる。そのような項は、後のステップ１３１
０のｆ１＞０という比較演算を、ｆ１≧０で代替するた
めに付加される。これは、ある特定のハードワイヤド論
理回路では、ｆ１＞０よりもｆ１≧０の方が高速に処理
できるからである。しかし、一般的には、ｆ１＝−Ｎ＋
Δｘとし、ステップ１３１０の比較演算をｆ１＞０に置
き換えても差し支えないであろう。

【００５５】同様に、

【数６】ｆ２（ｘ，ｙ）＝ｙ・Δｘ−ｘ・Δｙ−（Ｙs
・Δｘ−Ｘs・Δｙ）＋Ｎ

【００５６】であって、ｆ２は、現在の点の直ぐ右のピ
クセルに対応する判定用パラメータであるので、初期的
には、ｆ２（ｘ，ｙ）＝ｆ２（Ｘs＋１,Ｙs） これを計算すると、ｆ２＝Ｎ−Δｙ

【００５７】ステップ１３０６では、現在の点である
（Ｘs,Ｙs)のピクセルがプロットされる。次に、ステッ
プ１３０８では、ｆ２≧０かどうかが判断され、もしそ
うなら、ｆ１の値を調べることなく、図１０の場合に対
応することが決定される。というのは、現在の点（ｘ，
ｙ）が、図１０のｆ１とｆ２の間にあるとき、ｆ２≧
０、すなわち、（ｘ＋１，ｙ）の点がｆ１とｆ２の間に
あるなら、ｆ１の値によって調べるべき（ｘ，ｙ＋１）
の点は、描く線の幅が１であることにより、最早、ｆ１
とｆ２の間にはあり得ないからである。ステップ１３０
８が肯定的であると、ステップ１３１２に進み、図１０
に示されているようにｆ１とｆ２からそれぞれΔｙが引
かれるとともに、ｘ座標が１だけ増分された点が次の点
として選択される。

【００５８】ステップ１３０８でｆ２≧０が成立しない
と、ステップ１３１０でｆ１≧０かどうかが決定され
る。この判断が否定的であると、ｆ１＜０、ｆ２＜０と
いう条件が成立しているみことになるから、図９の場合
に対応する。このとき、処理は、ステップ１３１４に進
み、図９に示すように、ｆ１とｆ２とにそれぞれΔｘが
加えられ、ｙ座標が１だけ増分された点が次の点として
選択される。

【００５９】ステップ１３０８の判断が肯定的である
と、処理は、ステップ１３１６に進む。この場合、ｆ１
≧０且つｆ２＜０が成立しているから、図１１の場合に
対応する。このとき、図１１に示すように、ｆ１とｆ２
とにそれぞれΔｘ−Δｙが加えられ、ｘ座標及びｙ座標
が１だけ増分された点が次の点として選択される。

【００６０】ステップ１３１８では、ステップ１３１
２、１３１４または１３１６で新しく選ばれた点（ピク
セル）がプロットされ、次に、ステップ１３２０では、
今プロットしたばかりの点が終点であるかどうかが判断
される。そして、もしそうであるなら、処理は終了し、
そうでないなら、ステップ１３０８の、ｆ２≧０かどう
かの判断に戻る。

【００６１】尚、図１３のフローチャートは、Ｘs＜Ｘe
且つＹs＜Ｙeという前提の下で記述されているが、本発
明は、このような条件に制約されるものではなく、図１
３のフローチャートを次のように変更することにより、
ＸsとＸe、ＹsとＹeの大小関係に拘らず幅１の直線を描
くように拡張可能である。

【００６２】すなわち、先ず、Ｘの値の絶対値を与える
関数ＡＢＳ（Ｘ）＝｜Ｘ｜と、Ｘの符合を与える関数Ｓ
ＧＮ（Ｘ）を定義する。ＳＧＮ（Ｘ）の値は、Ｘ≧０な
ら１、Ｘ＜０なら−１である。そうして、図１３のステ
ップ１３０２で、ΔＸ：＝ＡＢＳ（Ｘe−Ｘs）、ΔＹ：
＝ＡＢＳ（Ｙe−Ｙs）と変更する。さらに、ステップ１
３０２で、ｓｘ：＝ＳＧＮ（Ｘe−Ｘs）、ｓｙ：＝ＳＧ
Ｎ（Ｙe−Ｙs）を求める。

【００６３】次に、ステップ１３１２、１３１４及び１
３１６におけるｘ：＝ｘ＋１を、ｘ：＝ｘ＋ｓｘ、ｙ：
＝ｙ＋１を、ｙ：＝ｙ＋ｓｙと変更する。以上の変更
で、ＸsとＸe、ＹsとＹeの大小関係に拘らず幅１の直線
を描くことができるようになる。

【００６４】５．幅１の円弧の描画 円の方程式は、ｘ²＋ｙ²＝ｒ²である。この円に沿って
幅１の円を描こうとする場合を考える。

【００６５】すると、外側の輪郭の方程式は、

【数７】ｆ1（ｘ，ｙ）＝ｘ²＋ｙ²−（ｒ＋０．５）²と
なり、内側の輪郭の方程式は、

【数８】ｆ2（ｘ，ｙ）＝ｘ²＋ｙ²−（ｒ−０．５）²と
なる。

【００６６】このとき、ｆ1（ｘ，ｙ）≧０は、点
（ｘ，ｙ）が、描こうとする幅１の円の外側の輪郭の外
側にあること（すなわち、ピクセルをプロットしない）
を示し、ｆ1（ｘ，ｙ）＜０且つｆ2（ｘ，ｙ）≧０は、
点（ｘ，ｙ）が、描こうとする幅１の円上に乗っている
こと（すなわち、ピクセルをプロットする）を示し、ｆ
2（ｘ，ｙ）＜０は、点（ｘ，ｙ）が、描こうとする幅
１の円の内側の輪郭のに乗っていること（すなわち、ピ
クセルをプロットしない）を示す。

【００６７】次に、第１象限において、本発明の技法を
用いて（ｒ，０）の点から反時計回りに、（０，ｒ）の
点まで、４分の１の円弧を描く場合について、図１４を
参照して説明する。この場合、明らかに、ｘの座標値は
単調減少であり、ｙの座標値は単調増加となる。従っ
て、ピクセルの進み方は、次の３通りが考えられる。

【００６８】(i) ｘの座標値が１つ減少 (ii) ｙの座標値が１つ増加 (iii) ｘの座標値が１つ減少し、且つｙの座標値が１つ
増加

【００６９】この実施例では、処理を簡略化するため
に、(i)と(ii)のどちらかのみを選択し、(iii)の場合
は、考慮しないものとする。しかし、当技術分野の通常
の知識を有する技術者なら、以下の説明から、(iii)の
場合を考慮した処理も、想定することができるはずであ
る。さて、図面を参照して、実際の円弧描画動作につい
て説明すると、１つのピクセルをプロットした後、次の
プロットすべきピクセルを選択する方針は、次のとおり
である。 (a) 現在のピクセルの直上のピクセルは、外側の輪郭線
ｆ１よりも下にあるか。

【００７０】もしそうなら、次のピクセルとして直上の
ピクセルを選択し、それをプロットする。 (b) (a)での判定の結果が否定的であるなら、次のピク
セルとして、現在のピクセルの左側のピクセルを選択す
る。しかし、これを直ちにプロットするのではなく、そ
の位置が、内側の輪郭線ｆ２よりも上にあるかどうかを
判定し、もしそうなら、プロットし、そうでないならプ
ロットしない。このような余分な判定を行うのは、図１
４の点Ｐ3のような場合があるからである。この場合、
直上のピクセルＰxは、外側の輪郭線ｆ１よりも上にあ
るので、直上のピクセルを次のピクセルとして選択する
ことができず、従って左側のピクセルを選択するが、こ
れは、幅１の円弧の内部にない点なので、プロットして
はならないのである。尚、ここでは、現在のピクセルの
直上のピクセルについて先ず判定し、次に現在のピクセ
ルの左側のピクセルについて判定しているが、ピクセル
の左側のピクセルの方を先に判定してもよい。というの
は、幅１の円弧では、現在のピクセルの直上のピクセル
と現在のピクセルの左側のピクセルの両方が範囲内に含
まれることはあり得ないからである。

【００７１】図１４において、点Ｐ0から始まって、こ
のような方針で順次、Ｐ1〜Ｐ10とピクセルのプロット
が進むことが理解されよう(但し、Ｐ3、Ｐ6、Ｐ8は、ｆ
２の内側に位置するため、実際にはプロットされな
い）。 (c) ｘ座標の値が０に到達し、且つｙ座標の値がｒに到
達した段階で、描画を完了する。

【００７２】 ６．幅１の円弧描画の処理のフローチャート 説明の便宜上、（ｘ，ｙ）＝（０，−ｒ）から、（ｘ，
ｙ）＝（ｒ，０）まで、幅１の１／４の円弧を描く場合
を考える。このため、図１４を、原点を中心に９０゜時
計方向に回転したような図を考慮されたい。すると、Ｐ
0の点の座標は、（０，−ｒ）となる。また、ｘ軸座標
とｙ軸座標は逆になる。これを図１５として示す。

【数９】ｆ1（ｘ，ｙ）＝ｘ²＋ｙ²−（ｒ＋０．５）²

【００７３】であり、この場合、ｆ１は、開始点の直ぐ
右のピクセルに対する判定パラメータであるので、初期
的には、ｆ１＝ｆ１（１，−ｒ）＝−ｒ−０．２５ しかし、ｆ１を整数として定義するため、これは、−ｒ
で置き換えてよい。というのは、外側の輪郭線に対して
は、輪郭線上の点はプロットしないものとすると、ｆ１
＜０が、ピクセルをプロットするための必要条件であ
る。そして、ｆ１よりも０．２５大きい値について、０
より小さいという条件が成立しているなら、ｆ１そのも
のについても０より小さいという条件が成立するからで
ある。

【００７４】一方、ｆ２は、次の式で与えられている。

【数１０】 ｆ２（ｘ，ｙ）＝ｘ²＋ｙ²−（ｒ−０．５）²

【００７５】であり、この場合、ｆ２は、開始点そのも
のに対する判定パラメータであるので、初期的には、ｆ
２＝ｆ２（０，−ｒ）＝ｒ−０．２５しかし、ｆ２を整
数として定義するため、これは、ｒ−１で置き換えてよ
い。というのは、内側の輪郭線に対しては、輪郭線上の
点はプロットするものとすると、ｆ２≧０が、ピクセル
をプロットするための必要条件である。そして、ｆ２よ
りも０．７５小さい値について、０以上という条件が成
立しているなら、ｆ２そのものについても０以上という
条件が成立するからである。

【００７６】以上のことを考慮して、図１６のステップ
１５０２では、ｆ１の初期値であるｆ１＿ｉｎｉｔに−
ｒが格納され、ｆ２の初期値であるｆ２＿ｉｎｉｔにｒ
−１が格納される。

【００７７】次に、ｆ１とｆ２の増分について考慮す
る。一般的に、ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ²＋ｙ²−ｒ²という式
について、ｘの座標値を１つ増加させることは、ｘにｘ
＋１を代入することを意味する。すると、簡単な計算に
より、ｆ（ｘ＋１，ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）＋２ｘ＋１ 従って、ｘの座標値が１つ減少することは、ｆに、２ｘ
＋１を加えることを意味する。同様に、ｆ（ｘ，ｙ＋
１）＝ｆ（ｘ，ｙ）＋２ｙ＋１ 今は、プロット開始点として、（ｘ，ｙ）＝（０，−
ｒ）を考えているので、ｆ１及びｆ２の増分の初期値
は、それぞれ、−２＊ｒ＋１と、１である。これらの値
が、それぞれ、ｉｎｃｙ＿ｉｎｉｔと、ｉｎｃｘ＿ｉｎ
ｉｔに格納される。

【００７８】ステップ１５０４では、ｘ及びｙに、開始
点の座標がセットされるとともに、ｘ方向のカウンタｃ
ｔ＿ｘと、ｙ方向のカウンタｃｔ＿ｙに、ｒがセットさ
れる。ｃｔ＿ｘは、次に選択されるピクセルの座標がｘ
方向に１つ変化する度に１だけデクリメントされ、ｃｔ
＿ｙは、次に選択されるピクセルの座標がｙ方向に１つ
変化する度に１だけデクリメントされる。ステップ１５
１６で、これらのカウンタがともにゼロになったとき
に、描画処理が完了するようになされている。

【００７９】ステップ１５０４ではさらに、ｆ１にｆ１
＿ｉｎｉｔがセットされ、ｆ２にｆ２＿ｉｎｉｔがセッ
トされる。これらのｆ１及びｆ２は、図１３に示した直
線を描くためのフローチャートにおけるｆ１及びｆ２に
対応する働きを有する変数である。

【００８０】またさらに、ステップ１５０４では、ｉｎ
ｃｙにｉｎｃｙ＿ｉｎｉｔが格納されるとともに、ｉｎ
ｃ１ｘにｉｎｃｘ＿ｉｎｉｔ＋２が格納される。ｉｎｃ
ｙは、ｆ１、ｆ２の増分の共用である。ｉｎｃ１ｘは、
ｆ１の増分に使用される。ここで、＋２という項が存在
するのは、図１５において、ｆ１に対して比較される点
Ｐ1は、ｆ２に対して比較すべき点Ｐzよりも、ｘ座標が
１つ進んでいる。このｘ座標が１つの先行が、＋２であ
る。ｉｎｃ２ｘには、ｉｎｃｘ＿ｉｎｉｔが格納され
る。ｉｎｃ２ｘは、ｆ２の増分に使用される。

【００８１】ステップ１５０６では、ｆ２≧０かどうか
が判断される。もしｆ２≧０なら、（ｘ，ｙ）で示され
るピクセルを直ちにプロットする。この段階で、ｆ１の
値の判断を待つことなく直ちにプロットしてよい理由
は、後のステップ１５１０でｆ１≧０と判断されたと
き、すなわち、ｘ方向に１つ増分した点が円の外側の輪
郭から外に外れていると判断されたとき、ステップ１５
１４で、ｘ座標を１つ増分した点でなく、ｙ座標を１つ
増分した点が次のピクセルとして選択され、以て、ｆ１
＜０の条件を満たすように軌道修正されるからである。

【００８２】ステップ１５０６で、ｆ２≧０の判断が否
定的であるなら、ステップ１５０９で、（ｘ，ｙ）の点
をオフにする、すなわち、画面の背景色をプロットす
る。あるいは、ステップ１５０９は特に設けず、単にス
キップしてもよい。ｆ２≧０の判断が否定的になる場合
に該当するのは、図１５では、Ｐ3、Ｐ6及びＰ8であ
る。

【００８３】ステップ１５１０では、現在のピクセルに
対してｘ軸座標を１つインクリメントした点（図１５に
おいて）が、ｆ１よりも内側にあるかどうかが判断され
る。ｆ１≧０であると、すなわち、現在のピクセルに対
してｘ軸座標を１つインクリメントした点がｆ１よりも
外側にあると、ステップ１５１４に進む。この場合に
は、ｆ１、ｆ２ともｉｎｃｙだけ増分し、ｉｎｃｙ自体
も２つ増加する。それは、

【数１１】 ｆ１（ｘ，ｙ）＝ｘ²＋ｙ²−（ｒ＋０．５）² ｆ２（ｘ，ｙ）＝ｘ²＋ｙ²−（ｒ−０．５）²

【００８４】において、ｆ１（ｘ，ｙ＋１）＝ｆ１
（ｘ，ｙ）＋２ｙ＋１且つｆ２（ｘ，ｙ＋１）＝ｆ２
（ｘ，ｙ）＋２ｙ＋１であり、よって、ｉｎｃｙ＝２ｙ
＋１従って、ｙが１つ増加する毎に、ｉｎｃｙも２ずつ
増加するからである。このような像分量自体の増加は、
ｘ軸方向に関連しても同様である。ステップ１５１４で
はさらに、新しいピクセルを指定するためにｙが１だけ
増分され、それに伴って、ｃｔ＿ｙが１だけデクリメン
トされる。これは、図１５では、例えば、Ｐ2からＰ3に
進む処理に対応する。

【００８５】ステップ１５１０で、ｆ１≧０の判断が否
定的であると、すなわち、ｆ１＜０であると判断される
と、図１５で、例えば、Ｐ1からＰ2に進むように、次の
ピクセルが選択される。すると、処理はステップ１５１
２に進み、ｆ１にｉｎｃ１ｘが加算されるとともに、ｆ
２にｉｎｃ２ｘが加算される。ステップ１５１４とステ
ップ１５１２を比較すると、ステップ１５１４では、ｆ
１とｆ２が足並みを揃えてｉｎｃｙだけ増分されるのに
対し、ステップ１５１２では、ｆ１の増分は、ｆ２の増
分よりも２大きい。この理由は、ステップ１５０４に関
連して説明したように、ｆ１は、ｆ２よりも常にｘ座標
が１大きい点を参照しているからである。このための処
置が、ｉｎｃ２ｘ：＝ｉｎｃ１ｘ、ｉｎｃ１ｘ：＝ｉｎ
ｃ１ｘ＋２である。ステップ１５１０ではさらに、新し
いピクセルを指定するためにｘが１だけ増分され、それ
に伴って、ｃｔ＿ｘが１だけデクリメントされる。

【００８６】ステップ１５１６では、ｃｔ＿ｘ及びｃｔ
＿ｙがともにゼロに達したかどうかが判断され、もしそ
うなら、処理を終了し、そうでなければ、ステップ１５
０６の判断ブロックに戻る。

【００８７】図１６のフローチャートは、図１５に示す
ように、ｘ軸及びｙ軸の両方に沿って座標値が増分する
ように、１／４円弧を描く場合に対応する（すなわち、
第４象限）が、これは、勿論、任意の象限に拡張可能で
ある。例えば、図１４に示す第１象限に対応させるな
ら、変更を要するのは、 (i) 開始点を、ｘ：＝Ｘr＋ｒ、ｙ：＝Ｙrとする。 (ii) ｘ：＝ｘ＋１のところを、ｙ：＝ｙ−１に置き換
える。 (iii) ｙ：＝ｙ＋１のところを、ｘ：＝ｘ＋１に置き換
える。

【００８８】第２象限なら、 (i) 開始点を、ｘ：＝Ｘr、ｙ：＝Ｙr＋ｒとする。 (ii) ｘ：＝ｘ＋１のところを、ｘ：＝ｘ−１に置き換
える。 (iii) ｙ：＝ｙ＋１のところを、ｙ：＝ｙ−１に置き換
える。

【００８９】第３象限なら、 (i) 開始点を、ｘ：＝Ｘr−ｒ、ｙ：＝Ｙrとする。 (ii) ｘ：＝ｘ＋１のところを、ｙ：＝ｙ−１に置き換
える。 (iii) ｙ：＝ｙ＋１のところを、ｘ：＝ｘ＋１に置き換
える。

【００９０】何れにしても、ｆ１、ｆ２を変化させ、ｆ
１≧０、ｆ２≧０判断を行う処理は、象限に依存しない
ことが理解されよう。

【００９１】さらにまた、部分的な円弧を描くなら、開
始点を指定するとともに、ｃｔ＿ｘ、ｃｔ＿ｙの値を、
ｒよりも小さい値に設定すればよい。

【００９２】７．幅１の楕円弧 幅１の楕円弧の描画は、本質的には、図１４におけるｆ
１及びｆ２の円方程式を、楕円の方程式に置き換えるだ
けでよい。

【００９３】さて、図１７を参照すると、第１象限にお
けるｘ軸との交点が（ａ，０）であり、ｙ軸との交点が
（０，ｂ）である楕円が示されている。このような楕円
の方程式は、次のとおりである。

【数１２】ｘ²／ａ²＋ｙ²／ｂ²＝１

【００９４】従って、幅１の楕円の線の外側の輪郭の方
程式ｆ１と、内側の輪郭の方程式ｆ２は、図１７に示す
とおりになる。先ず、ｆ１において、両辺に（ａ＋０．
５）²（ｂ＋０．５）²を掛け、さらに、０．５という項
が整数になるように両辺を１６倍し、左辺から右辺を引
くと、ｆ１は、次のように変形される。

【数１３】４（２ｂ＋１）²ｘ²＋４（２ａ＋１）²ｙ²−
（２ａ＋１）²（２ｂ＋１）²

【００９５】これを、ｄ１（ｘ，ｙ）とおく。ｆ２に同
様の変形を施すと、

【数１４】４（２ｂ−１）²ｘ²＋４（２ａ−１）²ｙ²−
（２ａ−１）²（２ｂ−１）²

【００９６】これを、ｄ２（ｘ，ｙ）とおく。すると、
図１６の幅１の円弧を描くためのフローチャートにおけ
るｆ１をｄ１で、ｆ２をｄ２で置き換えることにより、
図１６のフローチャートを、幅１の楕円弧を描くための
フローチャートに拡張することができる。

【００９７】そこで、以下、図１８及び図１９のフロー
チャート、及び図１７の楕円の図を参照して、幅１の楕
円弧を描く処理を説明する。図１７で、（０，−ｂ）か
ら（０，ａ）まで１／４の楕円弧を描くものとする。

【００９８】ステップ１８０２では、ｄ１＿ｉｎｉｔ＝
ｄ１（０，−ｂ）、ｄ２＿ｉｎｉｔ＝ｄ２（０，−ｂ）
によって、ｄ１及びｄ２の初期値をそれぞれ求める。

【００９９】さらに、

【数１５】ｄ１（ｘ＋１，ｙ）＝ｄ１（ｘ，ｙ）＋４
（２ｂ＋１）²（２ｘ＋１） ｄ１（ｘ，ｙ＋１）＝ｄ１（ｘ，ｙ）＋４（２ａ＋１）
²（２ｙ＋１） ｄ２（ｘ＋１，ｙ）＝ｄ２（ｘ，ｙ）＋４（２ｂ−１）
²（２ｘ＋１） ｄ２（ｘ，ｙ＋１）＝ｄ２（ｘ，ｙ）＋４（２ａ−１）
²（２ｙ＋１）

【０１００】よって、ｄ１のｘ方向及びｙ方向の増分関
数を、それぞれ、ｉｎｃ１ｘ（ｘ，ｙ）及びｉｎｃ１ｙ
（ｘ，ｙ）、ｄ２のｘ方向及びｙ方向の増分関数を、そ
れぞれ、ｉｎｃ２ｘ（ｘ，ｙ）及びｉｎｃ２ｙ（ｘ，
ｙ）、とすると、

【数１６】 ｉｎｃ１ｘ（ｘ，ｙ）＝４（２ｂ＋１）²（２ｘ＋１） ｉｎｃ１ｙ（ｘ，ｙ）＝４（２ａ＋１）²（２ｙ＋１） ｉｎｃ２ｘ（ｘ，ｙ）＝４（２ｂ−１）²（２ｘ＋１） ｉｎｃ２ｙ（ｘ，ｙ）＝４（２ａ−１）²（２ｙ＋１）

【０１０１】そこで、ステップ１８０２では、ｉｎｃ１
ｘ＿ｉｎｉｔ＝ｉｎｃ１ｘ（０，−ｂ）、ｉｎｃ１ｙ＿
ｉｎｉｔ＝ｉｎｃ１ｙ（０，−ｂ）、ｉｎｃ２ｘ＿ｉｎ
ｉｔ＝ｉｎｃ２ｘ（０，−ｂ）及びｉｎｃ２ｙ＿ｉｎｉ
ｔ＝ｉｎｃ２ｙ（０，−ｂ）が計算され、初期値として
値が格納される。

【０１０２】ステップ１８０４では、ｘ及びｙに、それ
ぞれ、開始点の座標であるＸr及びＹr−ｂが格納され
る。ここで、ｉｎｃ１ｘ（ｘ，ｙ）のｘ座標を１増分し
たときの増加量をｄ＿ｉｎｃｌ１ｘ、ｉｎｃ１ｙ（ｘ，
ｙ）のｙ座標を１増分したときの増加量をｄ＿ｉｎｃ１
ｙ、ｉｎｃ２ｘ（ｘ，ｙ）のｘ座標を１増分したときの
増加量をｄ＿ｉｎｃ２ｘ、ｉｎｃ２ｙ（ｘ，ｙ）のｙ座
標を１増分したときの増加量をｄ＿ｉｎｃ２ｙと定義す
ると、ｄ＿ｉｎｃ１ｘ、ｄ＿ｉｎｃ１ｙ、ｄ＿ｉｎｃ２
ｘ及びｄ＿ｉｎｃ２ｙの各々は、ステップ１８０４に示
すとおりとなる。

【０１０３】ステップ１８０４ではさらに、変数ｄ１
に、ｄ１＿ｉｎｉｔにｉｎｃ１ｘ＿ｉｎｉｔを加えた値
が格納される。これは、ｄ１（図１７ではｆ１として示
されている）に対して位置を比較される点が、現在の点
（初期的にはＰ0)に対してｘ座標を１増分させた点であ
るからである。また、変数ｄ２に、ｄ２＿ｉｎｉｔにｉ
ｎｃ２ｙ＿ｉｎｉｔを加えた値が格納される。これは、
ｄ２（図１７ではｆ２として示されている）に対して位
置を比較される点が、現在の点（初期的にはＰ0)に対し
てｙ座標を１増分させた点であるからである。

【０１０４】またさらに、ステップ１８０４では、ｉｎ
ｃ１ｘに、ｉｎｃ１ｘ＿ｉｎｉｔにｄ＿ｉｎｃ１ｘを加
えた値が格納される。ｄ＿ｉｎｃ１ｘが追加されるの
は、上記ｄ１について述べたのと同じ理由である。ｉｎ
ｃ１ｙには、単に、ｉｎｃ１ｙ＿ｉｎｉｔが格納され
る。ｉｎｃ２ｘには、単に、ｉｎｃ１ｙ＿ｉｎｉｔが格
納される。ｉｎｃ２ｙには、ｉｎｃ２ｙ＿ｉｎｉｔにｄ
＿ｉｎｃ２ｙを加えた値が格納される。ｄ＿ｉｎｃ２ｙ
が追加されるのは、上記ｄ２について述べたのと同じ理
由である。

【０１０５】図１９に移行して、ステップ１９０２で
は、ｄ２≧０かどうかが判断される。ｄ２≧０であると
は、図１７において、現在のピクセルから、ｘ座標を１
だけ増分させた点が、内側の輪郭線ｆ２よりも、外側に
あることを意味する。そして、もしそうなら、ステップ
１９０６で、（ｘ，ｙ）に対応するピクセルがプロット
され、そうでないなら、ステップ１９０４で、（ｘ，
ｙ）に対応するピクセルが背景色にプロットされるか、
または、単に何もプロットしない。この意味で、ステッ
プ１９０４は、省略してもよい。

【０１０６】ステップ１９０８では、ｄ１≧０かどうか
が判断される。ｄ１≧０であるとは、現在のピクセルか
ら、ｘ座標を１だけ増分させた点が、外側の輪郭線ｆ１
よりも、外側にあることを意味する。もしそうなら、現
在のピクセルから、ｘ座標を１だけ増分させた点は、幅
１の楕円弧の範囲内にないので、次のピクセルとして選
択されるべきでなく、従って、ｙ：＝ｙ＋１が行われ
て、現在のピクセルから、ｙ座標を１だけ増分させた点
の方が、ピクセルとして選択される。このｙ座標の増分
に伴い、ｄ１には、ｉｎｃ１ｙが加算され、ｄ２には、
ｉｎｃ２ｙが加算され、さらに、次の処理に備えて、増
分量であるｉｎｃ１ｙ自体がｄ＿ｉｎｃ１ｙだけ増分さ
れ、ｉｎｃ２ｙ自体が、ｄ＿ｉｎｃ２ｙだけ増分され
る。さらに、ｙ方向の増分カウンタｃｔ＿ｙが１つデク
リメントされる。

【０１０７】ステップ１９０８でｄ１≧０の判断が否定
的であると、それは、現在のピクセルから、ｘ座標を１
だけ増分させた点が、外側の輪郭線ｆ１よりも内側にあ
ることを意味し、よって、ｘ：＝ｘ＋１が行われて、現
在のピクセルから、ｘ座標を１だけ増分させた点を次の
ピクセルとして選択される。このｘ座標の増分に伴い、
ｄ１には、ｉｎｃ１ｘが加算され、ｄ２には、ｉｎｃ２
ｘが加算され、さらに、次の処理に備えて、増分量であ
るｉｎｃ１ｘ自体がｄ＿ｉｎｃ１ｘだけ増分され、ｉｎ
ｃ２ｘ自体が、ｄ＿ｉｎｃ２ｘだけ増分される。さら
に、ｘ方向の増分カウンタｃｔ＿ｘが１つデクリメント
される。ステップ１９１０では、カウンタｃｔ＿ｘ及び
カウンタｃｔ＿ｙがともにゼロかどうかが判断され、も
しそうなら、処理は終了し、そうでないなら、ステップ
１９０２の判断ステップに戻る。

【０１０８】尚、図１８及び図１９のフローチャート
は、第４象限に楕円弧を描く処理に関連して説明した
が、上記円弧の場合に説明したのと同様の変更を加える
ことによって、任意の象限に幅１の楕円弧を描くように
することができる。

【０１０９】

【発明の効果】以上説明したように、本発明の１つの特
徴によれば、幅１の直線を、実質的に整数演算のみによ
って、ブレゼンハム・アルゴリズムによるのと同等の速
度でプロットすることが可能ならしめられる。幅１の直
線は、ブレゼンハム・アルゴリズムによって描かれた直
線よりも、明瞭で表示品質に優れるので、本発明によっ
て、幅１の直線を、実質的に整数演算のみによって描く
ことができることは、様々なグラフックス・アプリケー
ションにとって、非常に意義が大きいと思われる。

【０１１０】さらに、従来より、円弧を描くためのブレ
ゼンハム・アルゴリズムは周知で、これによれば、実質
的に整数演算のみによって、円弧を描くことが可能であ
る。しかし、直径を１ずつ異ならせた同心的な複数の円
を描くことによって円の内部を充填しようとすると、ブ
レゼンハム・アルゴリズムで描かれた円弧だと、どうし
ても斑状に、円の内部で埋め尽くせないピクセルが生じ
てしまう。幅１の円弧だと、直径を１ずつ異ならせた同
心的な複数の円によって、円の内部を完全に充填するこ
とが可能である。よって、表示品質上、幅１の円弧はメ
リットが大きいが、従来の方法では、幅１の円弧は、複
雑な平方根計算を含む極めて計算量の多い低速な処理で
描くよりなく、ＣＰＵの速度によっては、殆ど許容し難
い低速でしか幅１の円弧を描くことができなかった。と
ころが、本発明の別の特徴によれば、幅１の円弧を、実
質的に整数演算のみによって、高速で描くことが可能な
らしめられる。実際、同一ハードウェア構成で発明者ら
が実験したところ、従来の方法よりも数十倍乃至１００
倍程度も、本発明の幅１の円弧描画方法の方が高速であ
った。

【図面の簡単な説明】

【図１】 ブレゼンハム・アルゴリズムによって描かれ
る直線のピクセルをプロットした図である。

【図２】 幅１の直線のピクセルをプロットした図であ
る。

【図３】 本発明を実施するためのハードウェア構成の
ブロック図である。

【図４】 特定の直線に対する、上下の範囲を判定する
処理を示す図である。

【図５】 特定の点が、幅のある直線の上限ｆ１と下限
ｆ２の間にあることを判定する処理を示す図である。

【図６】 幅１の線に対応する、上限ｆ１と下限ｆ２を
決定する処理を示す図である。

【図７】 幅１の線に対応する、上限ｆ１と下限ｆ２を
決定する処理を示す図である。

【図８】 開始点Ｐに対して、次に進むべき点を決定す
るために、上限ｆ１と下限ｆ２の間にあるかどうかを調
べるべき点Ａ及びＢを示す図である。

【図９】 本発明に従い、現在の点（ｘ，ｙ）に対し
て、次の点を選ぶ処理を示す図である。

【図１０】 本発明に従い、現在の点（ｘ，ｙ）に対し
て、次の点を選ぶ処理を示す図である。

【図１１】 本発明に従い、現在の点（ｘ，ｙ）に対し
て、次の点を選ぶ処理を示す図である。

【図１２】 本発明に従い、順次ピクセルをプロットす
る処理を示す図である。

【図１３】 本発明に従い、幅１の直線を描く動作の処
理フローチャートである。

【図１４】 本発明に従い、幅１の円弧を描く処理を示
す図である。

【図１５】 本発明に従い、幅１の円弧を描く処理を示
す図である。

【図１６】 本発明に従い、幅１の円弧を描く動作の処
理フローチャートである。

【図１７】 本発明に従い、幅１の楕円弧を描く処理を
示す図である。

【図１８】 本発明に従い、幅１の楕円弧を描く動作の
処理フローチャートである。

【図１９】 本発明に従い、幅１の楕円弧を描く動作の
処理フローチャートである。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (72)発明者 森 昌也 神奈川県大和市下鶴間1623番地14 日本ア イ・ビー・エム株式会社 大和事業所内 (72)発明者 高柳 和則 神奈川県大和市下鶴間1623番地14 日本ア イ・ビー・エム株式会社 大和事業所内

Claims (10)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】ピクセルを任意の座標点で個別にプロット
   可能なディスプレイに、コンピュータの演算処理によっ
   て、幅１の直線を描画する方法であって、(a) 線を描
   くべき始点（Ｘe,Ｙe）と終点（Ｘs,Ｙs）を指定する段
   階と、(b) 上記始点（Ｘe,Ｙe）と上記終点（Ｘs,Ｙ
   s）を結ぶ直線の方程式Ｆに基づき、該直線の方程式Ｆ
   に平行であって、描くべき上記幅１の直線の上方の輪郭
   線Ｆ１及び下方の輪郭線Ｆ２を決定する段階と、(c)
   上記始点（Ｘe,Ｙe）を現在の点（Ｘ,Ｙ）にセットする
   段階と、(d) 上記ディスプレイ上の上記現在の（Ｘ,
   Ｙ）に対応するピクセルをプロットする段階と、(e)
   上記現在の点（Ｘ,Ｙ）から、上記終点（Ｘs,Ｙs）に近
   づくようにＸ軸成分のみを１だけ変更した点（Ｘ1,Ｙ
   1）と、上記現在の点（Ｘ,Ｙ）から、上記終点（Ｘs,Ｙ
   s）に近づくようにＹ軸成分のみを１だけ変更した点
   （Ｘ2,Ｙ2）の両方の点について、上記輪郭線Ｆ１と上
   記輪郭線Ｆ２の間の領域内に収まるかどうかを決定し、 もし上記（Ｘ1,Ｙ1）が上記領域内に収まるなら、上記
   （Ｘ1,Ｙ1）を現在の点（Ｘ,Ｙ)にセットして、上記段
   階(d)に戻る段階と、(f) もし上記（Ｘ1,Ｙ1）が上記領
   域内に収まらず、且つ上記（Ｘ2,Ｙ2）が上記領域内に
   収まるなら、上記（Ｘ2,Ｙ2）を現在の点（Ｘ,Ｙ)にセ
   ットして、上記段階(d)に戻る段階と、(g) もし、上記
   （Ｘ1,Ｙ1）の上記（Ｘ2,Ｙ2）のどちらも上記領域内に
   収まらないなら、上記現在の点（Ｘ,Ｙ）から、上記終
   点（Ｘs,Ｙs）に近づくように、Ｘ軸成分とＹ軸成分の
   両方をともに１だけ変更した点を現在の点（Ｘ,Ｙ)にセ
   ットして、上記段階(d)に戻る段階と、(h) 現在の点
   （Ｘ,Ｙ)が上記終点（Ｘs,Ｙs）に到達するまで、上記
   段階(d)乃至段階（g)を繰り返す段階を有する、線描画
   方法。
2. 【請求項２】ピクセルを任意の座標点で個別にプロット
   可能なディスプレイに、コンピュータの演算処理によっ
   て、幅１の直線を描画する方法であって、(a) 線を描
   くべき始点（Ｘe,Ｙe）と終点（Ｘs,Ｙs）を指定する段
   階と、(b) 上記始点（Ｘe,Ｙe）と上記終点（Ｘs,Ｙ
   s）を結ぶ直線の方程式Ｆに基づき、該直線の方程式Ｆ
   に平行であって、描くべき上記幅１の直線の上方の輪郭
   線Ｆ１及び下方の輪郭線Ｆ２を決定する段階と、(c)
   上記始点（Ｘe,Ｙe）を現在の点（Ｘ,Ｙ）にセットする
   段階と、(d) 上記ディスプレイ上の上記現在の（Ｘ,
   Ｙ）に対応するピクセルをプロットする段階と、(e)
   上記現在の点（Ｘ,Ｙ）から、上記終点（Ｘs,Ｙs）に近
   づくようにＸ軸成分のみを１だけ変更した点（Ｘ1,Ｙ
   1）と、上記現在の点（Ｘ,Ｙ）から、上記終点（Ｘs,Ｙ
   s）に近づくようにＹ軸成分のみを１だけ変更した点
   （Ｘ2,Ｙ2）の両方の点について、上記輪郭線Ｆ１と上
   記輪郭線Ｆ２の間の領域内に収まるかどうかを決定し、 もし上記（Ｘ2,Ｙ2）が上記領域内に収まるなら、上記
   （Ｘ2,Ｙ2）を現在の点（Ｘ,Ｙ)にセットして、上記段
   階(d)に戻る段階と、(f) もし上記（Ｘ2,Ｙ2）が上記領
   域内に収まらず、且つ上記（Ｘ1,Ｙ1）が上記領域内に
   収まるなら、上記（Ｘ1,Ｙ1）を現在の点（Ｘ,Ｙ)にセ
   ットして、上記段階(d)に戻る段階と、(g) もし、上記
   （Ｘ1,Ｙ1）の上記（Ｘ2,Ｙ2）のどちらも上記領域内に
   収まらないなら、上記現在の点（Ｘ,Ｙ）から、上記終
   点（Ｘs,Ｙs）に近づくように、Ｘ軸成分とＹ軸成分の
   両方をともに１だけ変更した点を現在の点（Ｘ,Ｙ)にセ
   ットして、上記段階(d)に戻る段階と、(h) 現在の点
   （Ｘ,Ｙ)が上記終点（Ｘs,Ｙs）に到達するまで、上記
   段階(d)乃至段階（g)を繰り返す段階を有する、 線描画方法。
3. 【請求項３】ピクセルを任意の座標点で個別にプロット
   可能なディスプレイに、コンピュータの演算処理によっ
   て、幅１の円弧を描画する方法であって、(a) 線を描
   くべき始点（Ｘe,Ｙe）と終点（Ｘs,Ｙs）を指定する段
   階と、(b) 上記始点（Ｘe,Ｙe）と上記終点（Ｘs,Ｙ
   s）を結ぶ円弧の方程式Ｆを決定する段階と、(c) 上記
   円弧の方程式Ｆに同心的であって、描くべき上記幅１の
   円弧の上方の輪郭線Ｆ１及び下方の輪郭線Ｆ２を決定す
   る段階と、(d) 上記始点（Ｘe,Ｙe）を現在の点（Ｘ,
   Ｙ）にセットする段階と、(e) 上記現在の点が上記輪
   郭線Ｆ１と上記輪郭線Ｆ２の間の領域内に収まるかどう
   かを決定し、もし収まるなら、上記ディスプレイ上の上
   記現在の（Ｘ,Ｙ）に対応するピクセルをプロットする
   段階と、(f) 上記現在の点（Ｘ,Ｙ）から、上記終点
   （Ｘs,Ｙs）に近づくようにＸ軸成分のみを１だけ変更
   した点（Ｘ1,Ｙ1）と、上記現在の点（Ｘ,Ｙ）から、上
   記終点（Ｘs,Ｙs）に近づくようにＹ軸成分のみを１だ
   け変更した点（Ｘ2,Ｙ2）の両方の点について、上記輪
   郭線Ｆ１と上記輪郭線Ｆ２の間の領域内に収まるかどう
   かを決定し、もし上記（Ｘ1,Ｙ1）が上記領域内に収ま
   るなら、上記（Ｘ1,Ｙ1）を現在の点（Ｘ,Ｙ)にセット
   して、上記段階(e)に戻る段階と、(g) もし上記（Ｘ1,
   Ｙ1）が上記領域内に収まらず、且つ上記（Ｘ2,Ｙ2）が
   上記領域内に収まるなら、上記（Ｘ2,Ｙ2）を現在の点
   （Ｘ,Ｙ)にセットして、上記段階(e)に戻る段階と、(h)
   もし、上記（Ｘ1,Ｙ1）の上記（Ｘ2,Ｙ2）のどちらも
   上記領域内に収まらないなら、上記（Ｘ1,Ｙ1）点を現
   在の点（Ｘ,Ｙ)にセットして、上記段階(e)に戻る段階
   と、(i) 現在の点（Ｘ,Ｙ)が上記終点（Ｘs,Ｙs）に到
   達するまで、上記段階(e)乃至段階（h)を繰り返す段階
   を有する、 円弧描画方法。
4. 【請求項４】ピクセルを任意の座標点で個別にプロット
   可能なディスプレイに、コンピュータの演算処理によっ
   て、幅１の円弧を描画する方法であって、(a) 線を描
   くべき始点（Ｘe,Ｙe）と終点（Ｘs,Ｙs）を指定する段
   階と、(b) 上記始点（Ｘe,Ｙe）と上記終点（Ｘs,Ｙ
   s）を結ぶ円弧の方程式Ｆを決定する段階と、(c) 上記
   円弧の方程式Ｆに同心的であって、描くべき上記幅１の
   円弧の上方の輪郭線Ｆ１及び下方の輪郭線Ｆ２を決定す
   る段階と、(d) 上記始点（Ｘe,Ｙe）を現在の点（Ｘ,
   Ｙ）にセットする段階と、(e) 上記現在の点が上記輪
   郭線Ｆ１と上記輪郭線Ｆ２の間の領域内に収まるかどう
   かを決定し、もし収まるなら、上記ディスプレイ上の上
   記現在の（Ｘ,Ｙ）に対応するピクセルをプロットする
   段階と、(f) 上記現在の点（Ｘ,Ｙ）から、上記終点
   （Ｘs,Ｙs）に近づくようにＸ軸成分のみを１だけ変更
   した点（Ｘ1,Ｙ1）と、上記現在の点（Ｘ,Ｙ）から、上
   記終点（Ｘs,Ｙs）に近づくようにＹ軸成分のみを１だ
   け変更した点（Ｘ2,Ｙ2）の両方の点について、上記輪
   郭線Ｆ１と上記輪郭線Ｆ２の間の領域内に収まるかどう
   かを決定し、もし上記（Ｘ1,Ｙ1）が上記領域内に収ま
   るなら、上記（Ｘ1,Ｙ1）を現在の点（Ｘ,Ｙ)にセット
   して、上記段階(e)に戻る段階と、(g) もし上記（Ｘ1,
   Ｙ1）が上記領域内に収まらず、且つ上記（Ｘ2,Ｙ2）が
   上記領域内に収まるなら、上記（Ｘ2,Ｙ2）を現在の点
   （Ｘ,Ｙ)にセットして、上記段階(e)に戻る段階と、(h)
   もし上記（Ｘ1,Ｙ1）の上記（Ｘ2,Ｙ2）のどちらも上
   記領域内に収まらないなら、上記（Ｘ2,Ｙ2）点を現在
   の点（Ｘ,Ｙ)にセットして、上記段階(e)に戻る段階
   と、(i) 現在の点（Ｘ,Ｙ)が上記終点（Ｘs,Ｙs）に到
   達するまで、上記段階(e)乃至段階（h)を繰り返す段階
   を有する、 円弧描画方法。
5. 【請求項５】ピクセルを任意の座標点で個別にプロット
   可能なディスプレイに、コンピュータの演算処理によっ
   て、幅１の直線を描画する方法であって、(a) 線を描く
   べき始点（Ｘe,Ｙe）と終点（Ｘs,Ｙs）を、Ｘe＜Ｘs且
   つＹe＜Ｙsであるように指定する段階と、(b) ΔＸ＝Ｘ
   e−Ｘs及び、ΔＹ＝Ｙe−Ｙsを計算する段階と、(c) 始
   点（Ｘe,Ｙe）と終点（Ｘs,Ｙs）の間の長さの半分の値
   Ｎを計算する段階と、(d) 変数ＸにＸsを格納するとと
   もに、変数ＹにＹsを格納する段階と、(e) 変数ｆ１
   に、−Ｎ＋ΔＸ−１を格納するとともに、変数ｆ２に、
   Ｎ−ΔＹを格納する段階と、(f) 座標点（Ｘ，Ｙ）をプ
   ロットする段階と、(g) ｆ２≧０かどうかを決定し、も
   しそうなら、ｆ１からΔＹを減算し、ｆ２からΔＹを減
   算し、Ｘを１だけ増分する段階と、(h) ｆ２≧０でない
   なら、ｆ１≧０かどうかを決定し、もしそうでないな
   ら、ｆ１にΔＸを加算し、ｆ２にΔＸを加算し、Ｙを１
   だけ増分する段階と、(i) 上記段階(h)でｆ１≧０であ
   ると決定されたなら、ｆ１にΔＸ−ΔＹを加算し、ｆ2
   にΔＸ−ΔＹを加算し、Ｘ及びＹをともに１増分する段
   階と、(j) 座標点（Ｘ，Ｙ）をプロットする段階と、
   (k) 上記座標点（Ｘ，Ｙ）が、上記終点（Ｘs,Ｙs）に
   到達するまで、上記段階(g)乃至(j)を繰り返す段階を有
   する、 線描画方法。
6. 【請求項６】ピクセルを任意の座標点で個別にプロット
   可能なディスプレイと、演算処理手段をもち、該演算処
   理手段の演算出力によって、該ディスプレイに、幅１の
   直線を描画する装置であって、(a) 線を描くべき始点
   （Ｘe,Ｙe）と終点（Ｘs,Ｙs）の値を、記憶する第１の
   手段（このとき、Ｘe＜Ｘs且つＹe＜Ｙs）と、(b) ΔＸ
   ＝Ｘe−Ｘs及び、ΔＹ＝Ｙe−Ｙsを計算しその結果の値
   を記憶する第２の手段と、(c) 始点（Ｘe,Ｙe）と終点
   （Ｘs,Ｙs）の間の長さの半分の値Ｎを計算しその結果
   の値を記憶する第３の手段と、(d) 座標点の値Ｘ及びＹ
   のための格納領域と、変数ｆ１及びｆ２のための格納領
   域を用意する第４の手段と、(e) 上記ｆ１に、−Ｎ＋Δ
   Ｘ−１を格納するとともに、上記ｆ２に、Ｎ−ΔＹを格
   納する第５の手段と、(f) 座標点（Ｘ，Ｙ）をプロット
   する第６の手段と、(g) ｆ２≧０かどうかを決定し、も
   しそうなら、ｆ１からΔＹを減算し、ｆ２からΔＹを減
   算し、Ｘを１だけ増分する第７の手段と、(h) ｆ２≧０
   でないなら、ｆ１≧０かどうかを決定し、もしそうでな
   いなら、ｆ１にΔＸを加算し、ｆ２にΔＸを加算し、Ｙ
   を１だけ増分する第８の手段と、(i) 上記(h)の手段が
   ｆ１≧０であると決定したことに応答して、ｆ１にΔＸ
   −ΔＹを加算し、ｆ2にΔＸ−ΔＹを加算し、Ｘ及びＹ
   をともに１だけ増分する第９の手段と、(j) 上記座標点
   （Ｘ，Ｙ）が、上記終点（Ｘs,Ｙs）に等しいことを決
   定する第１０の手段と、(k) 上記Ｘ及びＹに、それぞ
   れ、Ｘe及びＹeを設定し、上記第６の手段によって上記
   ディスプレイの座標点（Ｘ，Ｙ）をプロットし、上記第
   ７乃至第９の手段によってＸ及びＹの値を更新しつつ、
   上記座標点（Ｘ，Ｙ）が、上記終点（Ｘs,Ｙs）に到達
   するまで、上記第６の手段によって上記ディスプレイの
   座標点（Ｘ，Ｙ）のプロットを続けるように制御する第
   １１の手段とを具備する、 線描画装置。
7. 【請求項７】ピクセルを任意の座標点で個別にプロット
   可能なディスプレイに、コンピュータの演算処理によっ
   て、幅１の楕円弧を描画する方法であって、(a) 線を
   描くべき始点（Ｘe,Ｙe）と終点（Ｘs,Ｙs）を指定する
   段階と、(b) 上記始点（Ｘe,Ｙe）と上記終点（Ｘs,Ｙ
   s）を結ぶ楕円弧の方程式Ｆを決定する段階と、(c) 上
   記楕円弧の方程式Ｆに同心的であって、描くべき上記幅
   １の楕円弧の上方の輪郭線Ｆ１及び下方の輪郭線Ｆ２を
   決定する段階と、(d) 上記始点（Ｘe,Ｙe）を現在の点
   （Ｘ,Ｙ）にセットする段階と、(e) 上記現在の点が上
   記輪郭線Ｆ１と上記輪郭線Ｆ２の間の領域内に収まるか
   どうかを決定し、もし収まるなら、上記ディスプレイ上
   の上記現在の（Ｘ,Ｙ）に対応するピクセルをプロット
   する段階と、(f) 上記現在の点（Ｘ,Ｙ）から、上記終
   点（Ｘs,Ｙs）に近づくようにＸ軸成分のみを１だけ変
   更した点（Ｘ1,Ｙ1）と、上記現在の点（Ｘ,Ｙ）から、
   上記終点（Ｘs,Ｙs）に近づくようにＹ軸成分のみを１
   だけ変更した点（Ｘ2,Ｙ2）の両方の点について、上記
   輪郭線Ｆ１と上記輪郭線Ｆ２の間の領域内に収まるかど
   うかを決定し、もし上記（Ｘ1,Ｙ1）が上記領域内に収
   まるなら、上記（Ｘ1,Ｙ1）を現在の点（Ｘ,Ｙ)にセッ
   トして、上記段階(e)に戻る段階と、(g) もし上記（Ｘ
   1,Ｙ1）が上記領域内に収まらず、且つ上記（Ｘ2,Ｙ2）
   が上記領域内に収まるなら、上記（Ｘ2,Ｙ2）を現在の
   点（Ｘ,Ｙ)にセットして、上記段階(e)に戻る段階と、
   (h) もし、上記（Ｘ1,Ｙ1）の上記（Ｘ2,Ｙ2）のどちら
   も上記領域内に収まらないなら、上記（Ｘ1,Ｙ1）点を
   現在の点（Ｘ,Ｙ)にセットして、上記段階(e)に戻る段
   階と、(i) 現在の点（Ｘ,Ｙ)が上記終点（Ｘs,Ｙs）に
   到達するまで、上記段階(e)乃至段階（h)を繰り返す段
   階を有する、 楕円弧描画方法。
8. 【請求項８】ピクセルを任意の座標点で個別にプロット
   可能なディスプレイに、コンピュータの演算処理によっ
   て、幅１の楕円弧を描画する方法であって、(a) 線を
   描くべき始点（Ｘe,Ｙe）と終点（Ｘs,Ｙs）を指定する
   段階と、(b) 上記始点（Ｘe,Ｙe）と上記終点（Ｘs,Ｙ
   s）を結ぶ楕円弧の方程式Ｆを決定する段階と、(c) 上
   記楕円弧の方程式Ｆに同心的であって、描くべき上記幅
   １の楕円弧の上方の輪郭線Ｆ１及び下方の輪郭線Ｆ２を
   決定する段階と、(d) 上記始点（Ｘe,Ｙe）を現在の点
   （Ｘ,Ｙ）にセットする段階と、(e) 上記現在の点が上
   記輪郭線Ｆ１と上記輪郭線Ｆ２の間の領域内に収まるか
   どうかを決定し、もし収まるなら、上記ディスプレイ上
   の上記現在の（Ｘ,Ｙ）に対応するピクセルをプロット
   する段階と、(f) 上記現在の点（Ｘ,Ｙ）から、上記終
   点（Ｘs,Ｙs）に近づくようにＸ軸成分のみを１だけ変
   更した点（Ｘ1,Ｙ1）と、上記現在の点（Ｘ,Ｙ）から、
   上記終点（Ｘs,Ｙs）に近づくようにＹ軸成分のみを１
   だけ変更した点（Ｘ2,Ｙ2）の両方の点について、上記
   輪郭線Ｆ１と上記輪郭線Ｆ２の間の領域内に収まるかど
   うかを決定し、もし上記（Ｘ1,Ｙ1）が上記領域内に収
   まるなら、上記（Ｘ1,Ｙ1）を現在の点（Ｘ,Ｙ)にセッ
   トして、上記段階(e)に戻る段階と、(g) もし上記（Ｘ
   1,Ｙ1）が上記領域内に収まらず、且つ上記（Ｘ2,Ｙ2）
   が上記領域内に収まるなら、上記（Ｘ2,Ｙ2）を現在の
   点（Ｘ,Ｙ)にセットして、上記段階(e)に戻る段階と、
   (h) もし、上記（Ｘ1,Ｙ1）の上記（Ｘ2,Ｙ2）のどちら
   も上記領域内に収まらないなら、上記（Ｘ2,Ｙ2）点を
   現在の点（Ｘ,Ｙ)にセットして、上記段階(e)に戻る段
   階と、(i) 現在の点（Ｘ,Ｙ)が上記終点（Ｘs,Ｙs）に
   到達するまで、上記段階(e)乃至段階（h)を繰り返す段
   階を有する、 楕円弧描画方法。
9. 【請求項９】ピクセルを任意の座標点で個別にプロット
   可能なディスプレイに、コンピュータの演算処理によっ
   て、幅１の円弧を描画する方法であって、(a) 線を描く
   べき始点（Ｘe,Ｙe）と終点（Ｘs,Ｙs）を指定する段階
   と、(b) ΔＸに、Ｘe−Ｘsの絶対値を格納するととも
   に、ΔＹに、Ｙe−Ｙs絶対値を格納する段階と、(c) Ｘ
   e−Ｘs≧０ならｓｘに１を格納し、そうでないならｓｘ
   に−１を格納する段階と、(d) Ｙe−Ｙs≧０ならｓｙに
   １を格納し、そうでないならｓｙに−１を格納する段階
   と、(e) 始点（Ｘe,Ｙe）と終点（Ｘs,Ｙs）の間の長さ
   の半分の値Ｎを計算する段階と、(f) 変数ＸにＸsを格
   納するとともに、変数ＹにＹsを格納する段階と、(g)
   変数ｆ１に、−Ｎ＋ΔＸ−１を格納するとともに、変数
   ｆ２に、Ｎ−ΔＹを格納する段階と、(h) 座標点（Ｘ，
   Ｙ）をプロットする段階と、(i) ｆ２≧０かどうかを決
   定し、もしそうなら、ｆ１からΔＹを減算し、ｆ２から
   ΔＹを減算し、Ｘにｓｘを加える段階と、(j) ｆ２≧０
   でないなら、ｆ１≧０かどうかを決定し、もしそうでな
   いなら、ｆ１にΔＸを加算し、ｆ２にΔＸを加算し、Ｙ
   にｓｙ増分する段階と、(k) 上記段階(j)でｆ１≧０で
   あると決定されたなら、ｆ１にΔＸ−ΔＹを加算し、ｆ
   2にΔＸ−ΔＹを加算し、Ｘにｓｘを加えるとともにＹ
   にｓｙを加える段階と、(l) 座標点（Ｘ，Ｙ）をプロッ
   トする段階と、(m) 上記座標点（Ｘ，Ｙ）が、上記終点
   （Ｘs,Ｙs）に到達するまで、上記段階(i)乃至(l)を繰
   り返す段階を有する、 線描画方法。
10. 【請求項１０】ピクセルを任意の座標点で個別にプロッ
    ト可能なディスプレイと、演算処理手段をもち、該演算
    処理手段の演算出力によって、該ディスプレイに、幅１
    の直線を描画する装置であって、(a) 線を描くべき始点
    （Ｘe,Ｙe）と終点（Ｘs,Ｙs）の値を、記憶する第１の
    手段と、(b) Ｘe−Ｘsの絶対値をΔＸに格納し、Ｘe−
    Ｘsの符号をｓｘに格納し、Ｙe−Ｙsの絶対値をΔＹに
    格納し、Ｙe−Ｙsの符号をｓｙに格納する第２の手段
    と、(c) 始点（Ｘe,Ｙe）と終点（Ｘs,Ｙs）の間の長さ
    の半分の値Ｎを計算しその結果の値を記憶する第３の手
    段と、(d) 座標点の値Ｘ及びＹのための格納領域と、変
    数ｆ１及びｆ２のための格納領域を用意する第４の手段
    と、(e) 上記ｆ１に、−Ｎ＋ΔＸ−１を格納するととも
    に、上記ｆ２に、Ｎ−ΔＹを格納する第５の手段と、
    (f) 座標点（Ｘ，Ｙ）をプロットする第６の手段と、
    (g) ｆ２≧０かどうかを決定し、もしそうなら、ｆ１か
    らΔＹを減算し、ｆ２からΔＹを減算し、Ｘにｓｘを加
    える第７の手段と、(h) ｆ２≧０でないなら、ｆ１≧０
    かどうかを決定し、もしそうでないなら、ｆ１にΔＸを
    加算し、ｆ２にΔＸを加算し、Ｙにｓｙを加える第８の
    手段と、(i) 上記(h)の手段がｆ１≧０であると決定し
    たことに応答して、ｆ１にΔＸ−ΔＹを加算し、ｆ2に
    ΔＸ−ΔＹを加算し、Ｘにｓｘを加えるとともにＹにｓ
    ｙを加える第９の手段と、(j) 上記座標点（Ｘ，Ｙ）
    が、上記終点（Ｘs,Ｙs）に等しいことを決定する第１
    ０の手段と、(k) 上記Ｘ及びＹに、それぞれ、Ｘe及び
    Ｙeを設定し、上記第６の手段によって上記ディスプレ
    イの座標点（Ｘ，Ｙ）をプロットし、上記第７乃至第９
    の手段によってＸ及びＹの値を更新しつつ、上記座標点
    （Ｘ，Ｙ）が、上記終点（Ｘs,Ｙs）に到達するまで、
    上記第６の手段によって上記ディスプレイの座標点
    （Ｘ，Ｙ）のプロットを続けるように制御する第１１の
    手段とを具備する、 線描画装置。