JPH04227563A - 制御装置 - Google Patents

制御装置

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JPH04227563A
JPH04227563A JP3134501A JP13450191A JPH04227563A JP H04227563 A JPH04227563 A JP H04227563A JP 3134501 A JP3134501 A JP 3134501A JP 13450191 A JP13450191 A JP 13450191A JP H04227563 A JPH04227563 A JP H04227563A
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JP
Japan
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resource allocation
linear programming
polytope
constraint
objective function
Prior art date
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JP3134501A
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English (en)
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Narendra K Karmarkar
カーマーカー，ナレンドラ　クリシュナ
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AT&T Corp
Original Assignee
American Telephone and Telegraph Co Inc
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Publication date
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Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】
【０００１】
【技術分野】本発明は線形計画法モデルを用いて物理的
資源を被制御システムに割当てる制御装置に係る。
【０００２】
【発明の背景】資源割り当てに関する決定の需要が技術
及び産業上の広い領域、例えば、電話伝送システムにお
ける伝送設備の割り当て、工場における製品の混合の制
御、産業設備の展開、在庫管理等において存在する。こ
の背景においては、資源の割り当ては、通常、特定の技
術上あるいは産業上の結果を達成することを目的とする
特定の技術あるいは産業資源の展開を意味する。
【０００３】資源割り当てに関する決定は、通常、割り
当てに関しての制約を受ける。資源は常に全体としての
限界があり、さらに、特定の資源の特定の用途へ有効性
にも限界がある。例えば、電気通信システム内の総通信
量には限界があり、また、通信システム内の個々のリン
クの通信搬送能力にも限界がある。資源の個々の特定の
割り当ては、それと関連する。“ペイオフ”、つまり、
その割り当てのコストあるいは割り当て利得（例えば、
利益）を持つ。従って、全ての資源を全ての制約が満足
され、同時に、ペイオフを最大化、つまり、コストを最
小化あるいは利益を最大化するように割り当てる問題が
ある。
【０００４】割り当て決定問題を解くための１つの方法
は線形計画法モデルと呼ばれる。このモデルは複数の可
能な割り当て、それらの制約、及びそれらのコストある
いは利益の間の定量的関係を表わす複数の線形式から成
る。全ての関係がそれぞれ未知の割り当て値の定数係数
倍の総和が定数以上又は以下となるとき線形であると呼
ばれる。勿論、多くの資源割り当て問題は、このような
線形関係によって表わすことはできず、この関係内に未
知数の高次のべきあるいは他の非線形性を含むと線形計
画法によって解くことが困難である。
【０００５】上で議論される資源割り当ての問題は現実
の物理システム内で発生する現実の物理問題であること
に注意する。この物理問題を線形計画法モデルによって
ほぼ定量的に表わすことが可能であるが、このモデルの
目的は物理システムを構成あるいは動作するために現実
に使用されるべき最適値を提供することにある。先行技
術による典型的な方法においては、これら数学モデルが
無線アンテナを構成するためあるいはゴム成形工程を制
御するために式を使用して物理システムを特性化するの
に使用された。
【０００６】一時期においては、多くの資源割り当ての
問題が人の直感及び経験に頼って解かれた。最近では、
人のこれら意志決定を助ける目的で、定量的手段、例え
ば、統計、モデル化、グラフ及び線形計画法などが使用
されている。例えば、製造工場は、販売需要を満足し、
同時に製造及び在庫コストを最小化できるように製造計
画及び在庫レベルを管理するために線形計画法モデルを
使用する。同様に、通信システムは、線形計画法モデル
を使用して、総需要が満足され、伝送リンクが過負荷と
なることなく、さらに伝送コストが最小化されるように
電話通信を伝送設備網を通じて方路する。
【０００７】周知の最もよく知られているこの割り当て
問題を解くための線形計画法モデルはシンプレックス法
と呼ばれる。この方法は、１９４７年にジョージＢ．ダ
ンジグ（Ｇｅｏｒｇｅ　Ｂ．　Ｄａｎｚｉｇ）によって
発明されたもので、ジョージ　　Ｂ．ダンジグ（Ｇｅｏ
ｒｇｅ　Ｂ．　Ｄａｎｚｉｇ）著、プリンストン　　ユ
ニバーシィティ　　プレス（Ｐｒｉｎｃｅｔｏｎ　Ｕｎ
ｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｐｒｅｓｓ）、ニュージャージ州プ
リンストン、１９６３年出版の〔線形計画法及びその拡
張（Ｌｉｎｅａｒ　Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　ａｎｄ　
Ｅｘｔｅｎｓｉｏｎｓ）　〕において説明されている。 シンプレックス法においては、第１のステップにおいて
、１つの初期実行可能割り当て値が開始ポイントとして
選択される。これは場合によっては元のモデルの変形で
あるもう１つの線形計画法モデルを使用して行なわれる
。ここで、実行可能な割り当て値とは、全ての制約を満
足するが、最適値であることは知られてない割り当て値
を指す。その後、最適化されるべき関数（目的関数と呼
ばれる）を向上させる一連の新たな割り当て値が同定さ
れる。このプロセスが、最適割り当て値により近い新た
な仮設的割り当て値を選択することによって反復される
。 この反復プロセスは現仮説的割り当て値がもはや向上を
示さなくなった時点において停止される。
【０００８】このシンプレックス法は、図１の線形計画
法モデルの略図からより明確に理解できる。図２には複
数の小面、例えば、小面１１を持つ凸面のポリトープ１
０が示される。ポリトープ１０の個々の小面は線形計画
法モデル内の制約関係式の１つの部分をグラフ的に代表
する。つまり、個々の線形制約はポリトープ１０の空間
内の１つの平面を定義し、この平面の部分がポリトープ
１０の小面を形成する。ポリトープ１０はポリトープ１
０の表面上の任意の２点を結ぶ線がポリトープ１０内に
存在するという意味において凸面である。ポリトープ１
０は説明の目的から三次元多角形として示されるが、実
際には、線形計画法モデルのポリトープは未知の割り当
て値の数に等しい次元、より厳密には、不等制約関係の
数から等制約関数の数を引いた数に等しい数の次元を持
つ超空間内に含まれる。ポリトープはこの超空間をポリ
トープ１０の実行可能領域とポリトープ１０の外側の実
行不能な領域に分ける。
【０００９】線形計画法モデルの最適資源割り当て値は
ポリトープ１０の頂点の所に存在することは周知である
。モデルによっては、ポリトープ１０のエッジあるいは
小面全体が最適割り当て値を表わし、従って、複数の頂
点が最適となる。シンプレックス法による思想によると
、ポリトープの隣接する頂点が次々と同定される。ここ
で、（それぞれが割り当て値の新たな実行可能なセット
を表わす）個々の新たな頂点は、目的関数によって測定
した場合、前の割り当て値よりも最適ポイント２１に近
くなるように選択される。図２においては、シンプレッ
クス法は、最初に頂点１２を同定し、次に、頂点から頂
点（１４から２０）を経路１３に沿って進み、最適ポイ
ント２１に到達する。つまり、このシンプレックス法は
、ポリトープ１０の表面上を移動するように制約され、
さらに、ポリトープ１０の１つの頂点１２から隣接する
頂点（例えば、１４）に移動するように制約される。千
、万あるいは億の単位の変数を含む大きな線形計画法問
題においては、ポリトープの頂点の数がこれに対応して
、場合によっては、指数的に増加する。経路１３の長さ
は、平均して、変数の数と比例して増加する。さらに、
ポリトープの形状が最適頂点に達するまでに頂点の非常
に多くが通過されるようないわゆる“最悪ケース”の問
題が存在する。
【００１０】シンプレックス法によって線形計画法モデ
ルを解くのに必要とされる平均計算時間が少なくともモ
デル内の制約の数の２乗に比例して増加する。中程度の
サイズの割り当て問題の場合でも、計算に時間がかかり
過ぎモデルが実際には使用できない場合がある。つまり
、最適割り当て値が計算される前に制約が変化したり、
あるいはモデルを使用して割り当てを最適化するのに必
要な計算時間があまりにも大きく、適当なコストにてこ
れを（例えば、コンピュータによって）達成することが
困難となる場合がある。通常、最適の割り当てを、“リ
アルタイム”にて、つまり、進行中のプロセス、システ
ムあるいは装置の制御を連続的に制御するのに十分に高
速で行なうことは不可能である。
【００１１】線形計画法モデルに挑戦する第２の方法は
楕円法と呼ばれ、１９７０年にソ連のＮ．Ｚ．ショア（
Ｎ．Ｚ．Ｓｈｏｒ）によって発明され、ドックレディ　
　アカデミア　　ノーク（Ｄｏｋｌａｄｙ　Ａｋａｄｅ
ｍｉｉａ　Ｎａｕｋ）ＳＳＳＲ　　２４４：Ｓ、ページ
１０９３−１０９６、１９７９年（２０ソビエト　　マ
スマティクス　　ドックレディ）（Ｓｏｖｉｅｔ　Ｍａ
ｔｈｅｍａｔｉｃｓ　Ｄｏｋｌａｄｙ）１、ページ１９
１−９４、１９７６年に翻訳）に発表のＬ．Ｇ．カチャ
ン（Ｌ．Ｇ．Ｋｈａｃｈｉｙａｎ）　の論文〔線形計画
法の多項式アルゴリズム（Ａ　Ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ　
Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｉｎ　Ｌｉｎｅａｒ　Ｐｒｏｇｒ
ａｍｍｉｎｇ）〕において説明されている。楕円法にお
いては、図３のポリトープ３０が中心点３２を持つ楕円
３１によって包囲される。楕円３１の中心点３２がそれ
がポリトープ３０の内側に存在するか外側に存在するか
チェックされる。図３に示されるように、点３２がポリ
トープ３０の外側である場合は、平面３３がポリトープ
３０の小面に平行に中心点３２を通って点３２がその小
面を含む制約の反対側（外側）にくるように描かれる。 次に、楕円３１のどちらの半分がポリトープ３０を含む
か決定される。図３においては、楕円３０の上側半分で
ある。
【００１２】次に第２の少し小さな中心点３５を持つ楕
円３４が楕円３１の上側半分の回りに描かれる。再び、
中心点３５がそれがポリトープ３０の内側に存在するか
外側に存在するかチェックされる。これが図３に示され
るように外側に位置する場合は、上記のプロセスが中心
点がポリトープ３０の内側にくるまで反復される。包囲
楕円の中心点がポリトープ３０の内側にくると、中心点
を通る平面が目的関数の方向と垂直に描かれ、ポリトー
プ３０が２つに切断される。次にポリトープ３０のどち
ら側が最適ポイント３６を含むか決定される。最適ポイ
ント３６を含むポリトープ３０の半分の回りにもう１つ
の楕円が描かれ、この中心を通るもう１つの平面が描か
れ、どちらの半分が最適ポイント３６を含むかテストさ
れ、これが繰り返される。このプロセスが中心点が最適
ポイント３６とほぼ一致するまで反復される。次に中心
点の座標が、最適モデルを表わすのに使用されたナンバ
リング系の精度の範囲内でポイント３６によって表わさ
れる最適に割り当て値のきっちりした値に“丸め”られ
る。
【００１３】概念的には非常に単純であるが、楕円法は
シンプレックス法と比較してほとんどの線形計画法モデ
ルに対して問題を解くのに長時間を要する。その理由に
ついてはオペレーション　　リサーチ（Ｏｐｅｒａｔｉ
ｏｎｓ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ）、Ｖｏｌ．２９、Ｎｏ．　
６（１９８１年）、ページ１０３９−１０９１にＲ．Ｇ
．ブランド（Ｒ．Ｇ．Ｂｌａｎｄ）　らによって発表の
論文〔楕円法：調査（Ｔｈｅ　Ｅｌｌｉｐｓｏｉｄ　Ｍ
ｅｔｈｏｄ：Ａ　Ｓｕｒｖｅｙ）　〕において議論され
ている。
【００１４】線形計画法モデルを解くための新たなより
効率的な方法あるいは手順が必要である。例えば、合衆
国電話網を通じでの長距離市外電話通話の最適経路指定
は全てが関連するコスト及び制約を持つ非常に多数の可
能なリンクと関与する。特定の問題の解決は、適当な時
間内に解決されることが必要である。つまり、この解が
最適値を使用して経路指定を実際に行なうのに十分に短
時間に得られることが必要である。本発明はこのタイプ
の問題を解決することを目的とする。
【００１５】
【発明の要約】本発明の一例としての実施態様によると
、最適資源の割り当てが先行技術による最も優れた資源
割り当て手順によって可能な速度よりかなり速く達成さ
れる。より具体的には、本発明の原理を使用することに
よって、幾つかの線形計画法モデルは“リアル　　タイ
ム”にて、つまり、システムあるいは装置をほぼ連続的
に制御するのに十分な速度にて解くことが可能となる。 他の資源割り当て問題も十分に速く解くことが可能で、
従来の線形計画法アプローチでは経済的に不可能である
と考えられたものが、経済的に十分に可能となる。さら
に、割り当て問題の規模があまりにも大きく線形計画法
では可能であるとは考えられなかったような問題も本発
明による線形計画法アプローチを使用して効率的に解く
ことが可能である。
【００１６】これらを達成するための後に詳細に説明の
手順は図１のポリトープ５０を考案することによって理
解できる。ポリトープ５０は、図２及び図３のポリトー
プ１０及び２０と同様に、制約の平面に対応する複数の
小面、これら平面の交点に対応する複数のエッジ、及び
これらエッジの交点に対応する複数の頂点を持つ。ポリ
トープ５０の表面上の個々のポイント及びポリトープ５
０の内側の個々のポイントは資源の実行可能な割り当て
、つまり、全ての関連するコスト及び制約を満足する１
つの割り当て値を代表する。個々の座標は割り当ての値
の大きさを表わす。
【００１７】本発明によると、ポリトープ５０の内側の
ポイント５１が開始割り当てポイントとして選択される
。次に最適割り当てポイント５３に向って軌道に沿って
連続的に５２、５５及び５６へと進む。個々のステップ
のサイズはシンプレックス法のように隣接する頂点の空
間によって制限されないため、より大きなサイズのステ
ップが可能であり、より少ないステップ回数ですみ、従
って最適割り当て値を同定するのに必要な時間が短縮さ
れる。
【００１８】より具体的には、ポリトープ５０の内側の
任意にあるいは計画的に選択された割り当てポイント５
１が開始ポイントとして使用される。線形性及び凸面性
を保持するように割り当て変数を線形的に変化させるこ
とによって、線形計画法モデル内の変数が開始ポイント
が実質的に変形されたポリトープの中心となり、全ての
小面が中心からほぼ等距離となるように変換される。こ
の等距離化手順は正規化、センタリング、等距離正規化
、正規化変換あるいはセンタリング変換と呼ばれる。 目的関数の傾斜（最降下傾斜の方向）の負の方向に沿っ
て（ポリトープの内側から出るのを回避するため）ポリ
トープの境界によって制約される距離だけ移動すること
によって次の割り当てポイントが選択される。最後に、
新たな割り当てポイントに関して、この割り当てポイン
トを元の変数に戻すため、つまり、元のポリトープの空
間に戻すために逆変換が行なわれる。変換された新たな
ポイントを新たな開始ポイントとして、全プロセスが反
復される。
【００１９】個々のステップはポリトープの表面上の周
囲方向でなく、ポリトープ内の径方向であるため、最適
ポイントに収束するためのステップの数が非常に少なく
てすむ。選択された内側のポイントが最適ポイントに十
分に近くなる、つまり、問題が最初に提起された精度の
範囲内になると、最適ポイントがその値を元の問題の精
度に“丸め”、最適解を含む制約（小面）を同定するこ
とによって、あるいは先行技術において使用できる任意
の他の停止基準を使用して同定される。
【００２０】本発明の主要な利点は資源割り当て変数の
値が得られる速度にある。本発明によると、現在シンプ
レックス法及び楕円法によって提供されるよりも最適資
源割り当ての計算が効率的となるばかりでなく、はじめ
て、資源を“リアル　　タイム”にて割り当てることが
現実に可能となる。本発明はさらに、従来、先行技術に
よる方法では時間がかかり過ぎて実現が不可能だった大
きなシステムの資源割り当ても可能とする。
【００２１】資源を“リアル　　タイム”にて、つまり
、進行中のプロセスを動的に制御するのに十分な高速に
割り当てることが可能となると、製造あるいは加工プロ
セス、ナビゲーションプロセス、電話の経路指定プロセ
スを環境（制約）の変化に応じて資源を連続的に再割り
当てすることによって最適に制御することが可能となる
。 これに加えて、現実的な時間の範囲内では制御が不可能
なような非常に大きなシステムの資源割り当ても本発明
の教示を使用することによって高速度にて制御すること
が可能となる。
【００２２】
【実施例の説明】まず最初に新たに開発された線形計画
法モデルによる最適資源割り当て方法に関して説明し、
その後、この方法の技術上及び産業上の資源の割り当て
システム、装置及び手順への応用について説明する。
【００２３】線形計画法モデルは形式的には最大化ある
いは最小化されるべき目的関数、及び許可可能な割り当
てに対する物理的制約を表わす複数の制約関係の形式を
とる。これら制約はある物理システム内に実際に存在す
る物理的制約と可能なかぎり正確に対応し、あるいはこ
れらを可能な限り正確に表わしている。標準のベクトル
表記法においては、典型的な線形計画法モデルは以下の
ように表わされる。つまり、
【数１】
【００２４】ここでｃ＝（ｃ１、ｃ２、・・・、ｃｎ）
はコスト係数のベクトルを表わし、スーパースクリプト
Ｔはマトリックス転置操作を表わし、ｘ（ｘ１、ｘ２、
・・・、ｘｎ）は割り当て値のベクトルを表わし、ｎは
割り当て値の数を表わし、Ａ＝（ａ１１、ａ１２、・・
・、ａｉｊ、・・・、ａｍｎ）は制約係数のｍ×ｎマト
リックスを表わし、ｂ＝（ｂ１、ｂ２、・・・、ｂｍ）
はｍ個の定数のベクトルを表わし、そしてＬ＝（１１、
１２、・・・、１ｎ）及びＵ＝（ｕ１、ｕ２、・・・、
ｕｎ）はそれぞれｘの値の下限及び上限を表わす。典型
的にはｘの要素の値（割り当て値）は負でない値と制約
されるが、その他の制限も可能である。全ての目的関数
及び全ての制約関係は単純な代数操作によってこの形式
に整理することができる。例えば、“より大きいか等し
い”制約は、制約マトリックスに人為的な“余り”変数
を加えることによって、“等しい”制約に変えることが
できる。同様に“より小さいか等しい”制約は人為的な
“不足”変数を加えることによって“等しい”制約に変
えることができる。これら方法は先行技術において周知
である。
【００２５】本発明によると、シンプレックス法及び楕
円法の両方の欠点が、線形計画法モデルにて資源の割り
当てを行なう全く異なる方法を使用することによって克
服される。シンプレックス法においては、ｘの複数の要
素ｘｉのどれが最適ｘ内の境界（ｘｉ＝０）の所にある
か、一度にｘの１要素づつ推測し、このアルゴリズムが
ｘの割り当て要素の最適セットが得られるまで継続され
る。本発明によると、厳密に実行可能（ポリトープの内
側）、つまり、Ａｘ＝ｂ及びＬ＜ｘ＜Ｕであるｘの要素
が選択される。ここで、“厳密に実行可能”とは、全て
の制約を満足するが、境界値と等しくない値のつまりポ
リトープの内側を意味する。次にｘの要素に関して変数
の線形変化がなされ境界付近のｘの要素に対応する変換
された変換要素の単位変化が境界からさらに離れたｘ要
素に対応する変化された変数要素より元の変数において
小さな変化を与えるようにされる。このプロセスは、正
規化、センタリング、等距離正規化、正規化変換あるい
はセンタリング変換と呼ばれる。次に新たな変数内の最
傾降下の方法が決定され、元の変数のステップ方向に反
映される。このステップはｘの新たな要素も実行可能、
つまり、Ｌｉ＜ｘｉｎｅｘｔ　＜Ｕｉが保持されること
が保証されるような方向及び規模にとられる。
【００２６】上に説明の手順が図４に要約される。図４
に示されるごとく、最初に、ボックス１６０において、
線形計画法モデルが作成される。次に、ボックス１６１
において、実行可能な開始転ｘｓｔａｒｔ　が選択され
、ボックス１６２において、現反復ｘｃｕｒｒがボック
ス１６２内の開始点ｘｓｔａｒｔ　にセットされる。こ
の実行可能な開始点を選択するための技術に関しては後
に説明される。図４の点線のボックス１６３内に含まれ
る残りの部分は本発明による手順の反復部分である。
【００２７】図４の反復手順１６３は以下のステップか
ら構成される。つまり、ｘの要素の実行可能な反復値が
与えられると： １）ボックス１６４において、限界に対して現反復値を
正規化させる変数の変換が選択され； ２）ボックス１６５において、新たな変数内の最傾降下
方向が計算され、この方向が元の変数に反映され；３）
ボックス１６６において、計算された方向にｘの要素の
新たな反復値も実行可能に保持される大きさだけステッ
プされ； ４）判定ボックス１６７において、目的関数に大きな向
上が観察されない場合は、この手順が終端される。一方
、向上が観察される場合は、ボックス１６９において、
新たな反復値ｘｎｅｘｔが現反復値ｘｃｕｒｒにセット
され、ボックス１６４に戻り、ステップ（１）から（４
）が反復される。
【００２８】この反復手順を停止する方法は、プライマ
ル線形プログラミング（ＬＰ）モデル及びデュアルＬＰ
モデルの両方を同時に解くことによって行なわれる。プ
ライマル　　モデルは
【数２】 ここで、制約は多次元空間で凸ポリトープそして目的関
数はその多次元空間でコストベクトルｃとして表現され
る。
【００２９】これら２つのモデルは同一の最適目的関数
値を持つが、この反復手順はこれら最適値に反対の方向
からアプローチする。こうすることによって、これら最
適値は単に現プライマル目的関数値と現デュアル目的関
数値との間の差即ちデュアリティ・ギャップが十分に小
さくなるように選択することによって所望通り近くまで
接近できる。他の停止方法も先行技術において知られて
おり、これら他の方法を使用することもできる。
【００３０】本発明による方法は“厳密に実行可能”即
ちポリトープの内点を経由する移動でありポリトープの
表面の移動を伴なうことも、あるいは隣接する頂点の間
隔によってステップサイズを制約されることもない。こ
のため本発明による方法は、最適ポイントに直接に少な
いステップで移動することが可能である。本発明による
方法は、殆ど全てのＬＰモデルに対してシンプレックス
法及び楕円法と比較して速度が速いという長所を持つだ
けでなく、この長所はモデルのサイズ（変数の数）が大
きくなると、さらに顕著となる。つまり、線形計画法モ
デルをリアルタイムにて使用するのに十分に速く解くこ
とが可能となる。例えば、問題の変化が速い場合、速度
が遅いと解が得られた時に既にそれが妥当でなく使用で
きなくなっており、適切な対応ができない場合がある。 さらに、本発明によると、シンプレックス法あるいは楕
円法によってはコスト面において問題が生じるような大
きな線形計画法モデル（非常に多数の変数を含むモデル
）を解くことも可能である。
【００３１】本発明による手順の１つの重要な特徴は、
上のステップ（１）において、変数の変換を選択するこ
とである。この変数の変換は対角スケール　　マトリッ
クスＤによってｘ’＝Ｄ−１ｘとして表わすことができ
るアファインスケーリングである。現反復値を全ての境
界からほぼ等しい距離に置くための正規化機能を遂行す
るためには、ｘｉ　がＬｉ　あるいはＵｉ　に近いとき
、Ｄのｉ番目の対角要素の値が小さくなることが要求さ
れる。Ｄのｉ番目の対角要素に対する選択は、
【数３】 である。ここで、ｘｃｕｒｒはｘの現反復値を表わす。 即ち、Ｄは変換された制約−変換されたポリトープの中
心、即ち境界の各々から等しい距離にｘｃｕｒｒを置く
ようなアファインスケーリングマトリックスである。境
界が非常に大きな値である場合、あるいはｘが正あるい
は負の方向に限界を持たない場合でも、Ｄｉｉに、例え
ば、以下のように適当な限界を与えることが必要である
。
【数４】 Ｄの幾つかの要素を複数の反復に対して固定することも
可能である。これは特に、要素があまり変化しない、あ
るいは対応するｘ要素が限界から遠く離れて位置する場
合に行なわれる。
【００３２】次に反復値に対する探索方向は以下によっ
て与えられる。
【外１】
【数５】 ここで、Ｉは単位マトリックス（主対角要素が全て１で
ある）を表わし、スーパスクリプトＴは転置マトリック
ス（行と列の入れかえ）を表わす。演算の上で最も困難
な操作はマトリックス積の逆転であるが、この目的には
近似法あるいは増分変化法が使用される。
【００３３】新たな反復の値は以下のように表わすこと
ができる。
【数６】 ここで、αはｐによって指定される方向へのステップの
規模を表わす。この新たな反復値ｘｎｅｘｔを実行可能
に保つ即ちポリトープの内点であるためには、αは最も
近い限界までの距離より短かいことが要求される。最も
簡単な方法は、以下のように、最も近い限界までの距離
の分数βだけステップする方法である。
【数７】 ここでβの値は１以下であることが要求される。
【００３４】上の説明の方法は厳密に実行可能な開始点
、つまり、ポリトープの内側のポイントを必要とする。 この点は状況によっては簡単に同定できるが、通常、可
能な領域が存在するか否かさえも知られてない。 予備ステップにおいて、この方法を使用して、その線形
計画法モデルに対して解が存在するか調べられ、存在す
ることが決定された場合は、実行可能な開始点の値が決
定される。先行技術においては、これはフィジビリティ
　　プロブレムと呼ばれ、通常、この解から出発して資
源割り当ての最適値を見つけることを目的に線形計画法
モデルの解が求められる。
【００３５】本発明によると、さらに上に説明の手順の
変形が線形計画法モデルに対するこのフィジビリティ　
　プロブレムを解くのに使用される。シンプレックス法
においては、これは制限関係式に人為的な不足あるいは
余り変数を加え、またシンプレックス法自体を使用して
これら人為変数の総和があるセットの割り当て値に対し
てゼロにすることができるか調べることによって行なわ
れる。ゼロにできない場合は、この問題は実現不能であ
り、従って、解くことは不可能である。この総和がゼロ
にできる場合は、この目的を達成する割り当て値が開始
点として使用される。結果として、新たな目的関数がこ
の制約関係とともに、つまり、人為変数の総和を最小に
するという制限条件とともに使用される。
【００３６】類似の方法が本発明のフィジビリティ　　
プロブレムを解くのに使用される。実現可能な開始点が
開始点として必要であるため、新たな目的関数がこれを
達成するように設計される。具体的には、その線形計画
法モデルが、個々のステップにおいて、実行不可能な割
り当て値の限界からの距離を最小化するように解かれた
場合、このフィジビリティ　　プロブレムの解から得ら
れる割り当て値は厳密に実現可能であり、従って、主手
順に対する開始ポイントとして使用することができる。 つまり、このフィジビリティ　　プロブレムは以下のよ
うに記述することができる。
【数８】
【００３７】この手順に対する開始点は制約条件Ａｘ＝
ｂを満足させるｘの任意の値であり得る。もう１つの開
始手順がＡＣＭシンポジュウム会議録、計算の理論に関
して、（Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ＡＣ
Ｍ　Ｓｙｍｐ．ｏｎ　Ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕ
ｔｉｎｇ）、１９８４年４月３０日に本出願人によって
発表の論文〔線形計画法に対する新たな多項式タイムア
ルゴリズム（Ａ　Ｎｅｗ　Ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ−Ｔｉ
ｍｅ　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒ　Ｌｉｎｅａｒ　Ｐ
ｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ）〕において説明されている。
【００３８】ｘｃｕｒｒがアファインスケーリングされ
た制約式空間−ポリトープでより中心化される限り、対
角スケール　　マトリックスＤの変形が可能である。同
様に、次の反復が実行可能であるかぎり、つまり、ポリ
トープの内側に含まれる限り、αの値に対して多くの異
なる値が可能である。
【００３９】本出願人による上記の論文に説明される手
順においては、演算回数が多項式で表わされそれにより
計算速度を速める提案が示されている。この論文におい
て議論される変数の変換は現反復ｘｃｕｒｒが単位シン
プレックスの重心に置かれる射影変換である。問題が最
初、以下のように再記述される。つまり、
【数９】 反復値ｘｎｅｘｔがポリトープの内点を維持するような
改良ステップをとる際、以下のように定義される“潜在
関数”を参照することができる。
【００４０】
【数１０】
【００４１】上の論文においては、演算上の困難さが式
（８）を以下の特別の形式によって表わされることにな
る射影変換によって軽減されるのである。
【数１１】 この式（１０）は、下記の式（１１）による射影変換を
行った結果による射影空間での式（８）の表現である。
【００４２】式（１０）の特別の形式に再記述された問
題は図５に要約される手順によって解かれる。この形式
にて記述されるモデルでは、適当なスケーリングマトリ
ックスは現反復値自体の値、つまり、Ｄｉｉ＝ｘｉｃｕ
ｒｒ　となる。さらに、この問題が計算を簡単にするた
めにΣｘｉ＝１の条件を有する単位シンプレックスの問
題に変換される。
【００４３】より具体的には、図５に示されるように、
ボックス６０において、線形計画法問題が式（８）のよ
うな標準の形式にて作成される。ボックス６１において
、ポリトープの内側の開始点ｘｓｔａｒｔ　が選択され
る。 通常これは上の説明の実現可能性の決定との関連で行な
われる。ｘｓｔａｒｔ　の初期現反復値ｘｃｕｒｒとし
て使用して次の反復値ｘｎｅｘｔを生成するための手順
が図５の流れ図の残りの部分６８内に要約される。これ
は以下のステップから成る。
【００４４】１．　　ｉ番目の対角要素が（Ｄｉｉ＝ｘ
ｉｃｕｒｒ　）ある対角スケール　　マトリックスＤを
選択する。この選択によって、以下の関係式によって表
わされる変数ｘ′への射影変換が決定される。
【数１２】 及び ｘ’１＋ｎ　＝１−ｅＴｘ’１．．ｎ ここで、ｘ’１．．ｎ　　は（ｎ＋１）ベクトルｘ’の
最初のｎ個の要素を表わす。この射影変換は単位シンプ
レックスへの直交変換とも考えることができ、従って、
正規化あるいはセンタリングを達成する。ボックス６２
はこの正規化変換を要約する。
【００４５】２．　　現在単位シンプレックスの重心に
射影されている現反復値から変換目的関数の最降下方向
の変換制約空間のゼロ空間への投影であるｐ’を計算す
る。この方向は以下によって与えられる。
【数１３】 である。この計算は図５のボックス６３に示される。
【００４６】３．　　α（α＞０）の値を（ｘ’ｎｅｘ
ｔ：＝ｘ’ｃｕｒｒ＋αｐ’）が実行可能、つまり、（
ｘ’ｎｅｘｔ＞０）となり、射影変換された潜在関数ｇ
（ｘ’）が減少される（好ましくは最小化される）よう
に選択する。ここでは、潜在関数ｇ（ｘ’）＝ｆ（Ｔ（
ｘ’））であり、ここで
【数１４】 である。Ｔ−１は射影変換の関数とすると、Ｔは逆変換
の関数であるこのステップが図５のボックス６６に示さ
れる。
【００４７】４．　　｛ｘｎｅｘｔ＝Ｔ（ｘ’ｎｅｘｔ
）｝を計算する。ここで、Ｔは式（１４）によって与え
られる。これが図５のボックス６７に示される。
【００４８】図５の点線のボックス６８の反復手順が完
結すると、判定ボックス６９において、周知の任意の上
に説明の基準を含む停止基準が加えられる。ボックス６
９においてこの停止基準が満足された場合は、手順は完
結し、終端ボックス７０において停止する。ボックス６
９において、停止基準が満足されない場合は、ボックス
７１において、計算された次の反復値ｘｎｅｘｔが現反
復ｘｃｕｒｒの代わりに使用され、ボックス６２におい
て、次の反復が開始される。
【００４９】図６にはプロセス８０を制御するプロセス
制御システムが示される。プロセス８０は、電話通信シ
ステム、製造プロセス、ナビゲーション　　プロセス、
あるいは最適化されるべき任意の他の産業上あるいは技
術上のプロセスであり得る。コスト　　レジスタ８１が
リード８２上に被制御プロセス８０内の資源のさまざま
な可能の割り当てに対する単位コストを表わすコスト　
　データを受信する。このコスト　　データはレジスタ
８１にコンピュータ端末、あるいはこれらコストを動的
に決定する別個のプロセスから入力される。このコスト
　　データは通常は比較的に緩やかに変化するが、必要
であれば、入力リード８２を介してこのデータを更新で
きるように設計されている。解の値にゼロでない限界（
式（１）のＬ及びＵ）が存在する場合は、これら限界も
、コスト　　データと同様に、レジスタ８１と類似のデ
ータ入力レジスタによってＬＰコントローラ８５に与え
ることが必要である。
【００５０】同様に、リミット　　レジスタ８３が個々
の特定の資源の割り当てに対する総合的な物理限界を表
わす指標を格納するために提供される。これは限界も同
様に比較的に静的ではあるが、リード８４を介してコン
ピュータ端末あるいは別個の限界決定プロセスからレジ
スタ８３に入力することもできる。レジスタ８１及び８
３の出力が線形計画法（ＬＰ）コントローラ８５に加え
られ、図４あるいは図５の流れ図に要約されるプロセス
が遂行される。ＬＰコントローラ８５は、好ましい実施
態様においては、図４あるいは図５の流れ図を実行する
プログラムを格納するプログラム内蔵デジタル　　コン
ピュータから構成される。コントローラ８５はさらに、
図４あるいは図５の手順を遂行するために設計された有
線回線の複合体、この手順を並列処理する能力を持つ複
数の並列プロセッサ、あるいはこの目的のためにプログ
ラムされた複数のプログラム内蔵線形アレイを使用して
実現することもできる。
【００５１】複数の制約センサ８６、８７、・・・８８
が複数の制約関係に対する制約係数を動的に検出するた
めに提供される。制約センサ８６−８８は被制御プロセ
ス８０の制約関係に影響を与えるような環境の変化に応
答してプロセス８０の制御を行なう。個々の制約センサ
８６−８８は対応する変化（Δ）検出器８９、９０、・
・・９１を持つが、これは対応する個々のセンサ８６−
８８の出力の変化を感知する。個々の検出器８９−９１
からの変化指標信号は変化バス９２に加えられ、従って
、ＡＮＤゲート９３に加えられる。さらにＡＮＤゲート
９３にはＬＰコントローラ８５からリード９４を介して
手順の実行の終了を示す信号が加えられる。センサ８６
−８８からの出力はそれぞれ検出器８９−９１を介して
コントローラ８５に加えられる。
【００５２】動作において、センサ８６−８８の出力が
コントローラ８５によって式（１）の制約マトリックス
Ａの係数として使用される。レジスタ８１内のコスト　
　データが式（１）内のコスト　　ベクトル（ｃ）とし
て使用され、レジスタ８３内の制限データが式（１）の
制限ベクトル（ｂ）として使用される。これら入力を与
えられると、ＬＰコントローラ８５は図４あるいは図５
の手順を遂行し、制御レジスタ９５、９６、・・・９７
にデジタルによる解の値（ｘ’ｓ）を提供する。レジス
タ９５−９７内の値は次にプロセス８０を制御するのに
使用される。
【００５３】図６のＬＰコントローラ８５は図４あるい
は図５の非常に高速の手順を使用するため制御値が非常
に短時間にレジスタ９５−９７に与えられる。さらに、
制約が変化すると、これら変化はセンサ８６−８８によ
って感知され、検出器８９−９１によって検出され、一
部、起動ＡＮＤゲート９３によって使用される。図４あ
るいは図５の手順が終了すると、ＬＰコントローラ８５
は制御信号を生成し、これらをレジスタ９５−９７に送
り、また同時に、ＡＮＤゲート９３に延びるリード９４
上に起動信号を生成し、ＡＮＤゲート９３の起動を達成
する。次にこのプロセスが反復される。
【００５４】問題の繁雑さの程度（センサ８６−８８に
よって感知される制約の数）及びプロセス８０の安定性
に応じて、この方法によってプロセス８０をさらに頻繁
にあるいは少ない頻度で制御することが可能である。環
境要因の変化の速度がセンサ８６−８８によってＬＰコ
ントローラ８５の動作速度より遅い場合は、プロセス８
０を連続的に制御することが可能である。環境の変化の
速度が速くなると、制御プロセスに粗さが導入されるが
、この場合でも、平均的にはプロセス８０のほぼ最適動
作を達成することができる。環境変化の経歴を与えるこ
とによって、センサ８６−８８の出力の将来の変化の方
向及び規模を予測する予測機能を検出器８９−９１に組
み込むことも可能である。
【００５５】本発明が応用できる電気通信分野における
典型的なタイプの問題がベル　　システム　　テクニカ
ル　　ジャーナル（Ｔｈｅ　Ｂｅｌｌ　Ｓｙｓｔｅｍ　
Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ　ｊｏｕｒｎａｌ）　、Ｖｏｌ．６
０、Ｎｏ．８、１９８１年１０月に掲載の２つの論文に
おいて説明されている。Ｇ．Ｒ．アッシュ（Ｇ．Ｒ．Ａ
ｓｈ）らによる〔自動経路指定ネットワークの設計及び
最適化（Ｄｅｓｉｇｎ　ａｎｄ　Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉ
ｏｎ　ｏｆ　Ｎｅｔｗｏｒｋｓ　ｗｉｔｈ　Ｄｙｎａｍ
ｉｃ　Ｒｏｕｔｉｎｇ）〕（ページ１７８７）は、一般
的な公衆電話経路指定問題を扱い、一方、同様に、Ｇ．
Ｒ．アッシュ（Ｇ．Ｒ．Ａｓｈ）らによる論文〔動的経
路指定のサービス及びリアルタイム制御（Ｓｅｒｖｉｃ
ｉｎｇ　ａｎｄ　Ｒｅａｌ−Ｔｉｍｅ　Ｃｏｎｔｒｏｌ
　ｏｆ　Ｎｅｔｗｏｒｋｓ　ｗｉｔｈ　Ｄｙｎａｍｉｃ
　Ｒｏｕｔｉｎｇ）〕（ページ１８２１）は通信負荷の
予測エラーに起因するアイドル容量の最小化の補助的問
題を扱う。ここにこの両方の論文を参考のために挿入す
る。
【００５６】図７の略図に示されるごとく、合衆国電話
網は多量の電話交換ポイントを相互接続する非常に複数
の伝送設備を含む。電話網のある部分から発信される電
話呼は伝送設備を通じてその電話網の他の部分内の特定
の電話機に接続されることが要求される。この伝送設備
内の個々のリンクはそれと関連するコスト、並びに、最
大容量制約を持つ。個々の交換ノードの所で発生する通
信量がもう１つの変数となる。電話網は全ての呼を最も
コストの安い経路を通じて正しい着信先に接続し、同時
に、容量制約を冒さないことが要求される。電話網制御
システムにおいては、この目的関数はさまざまな伝送リ
ンクの全てを通じて通信を接続するためのコストの総和
、つまり、ｃはコスト制約、そしてｘはリンク負荷とな
る。制約係数（ａｉｊ）は（越えることのできない）伝
送ラインの容量、及び（処理されるべき）通信負荷を表
わす。図６の一般システムと同様に、正の値のリンク負
荷のみが可能である（ｘｉ　≧０）。
【００５７】より具体的には、電話経路指定システムは
、Ｇ．Ｒ．アッシュ（Ｇ．Ｒ．Ａｓｈ）　らによる論文
のように以下の線形計画モデルにて表わすことができる
。
【数１５】
【数１６】
【００５８】このタイプのＬＰモデルを解くためのシス
テムが図８に示される。図８は電話網１００に対する経
路フォーミュレーションのための反復ループを示す。図
８の装置は電話網１００内のポイント、例えば、１０４
、１０５の間の最短（最も経済的）な経路を見つける。 許容ブロッキングが想定され（あるいは実際のブロッキ
ングがボックス１０６において測定され）、ルータ１０
７は経路１０１、１０２、１０３を候補経路（経路シー
ケンス）に形成する。ルータ１０７はさらに提供される
負荷の個々のユニットに対してその経路内の個々の経路
に対して提供される通信の流れの割合を計算する。 ここで、この通信負荷がボックス１０９によって継続的
に提供される。線形計画法コントローラ１０８は次に全
体の電話網を通じての経路のコストを最小にするように
通信流を候補経路に割り当てる。線形計画法コントロー
ラ１０８からの出力は最適経路プランであり、これが経
路指定テーブル１１０によって個々のリンク上の通信の
流れを制御するのに使用される。
【００５９】図８の電話経路指定装置は電話機網を継続
してあるいは定期的に制御するために使用される。つま
り、図４及び図５の手順が非常に高速であるため図８の
装置を使用して需要に変化がある場合あるいはリンクの
使用状態に変化がある場合に電話網を動的に制御するこ
とが可能である。
【００６０】この電話経路指定問題に対する解は個々の
伝送リンク上に置かれるべき最適通信負荷を与え、従っ
て、全ての電話呼に対する最適経路指定を与えることが
わかる。さらに、合衆国電話網は非常に多数のこのよう
なリンクを含むため、解の実際の使用においては、この
問題を解くために要求される時間が非常に重要となる。 通信負荷の変化、リンクの出力及びリンク　　コストの
全てが最適割り当てに影響を与える。従って、経路指定
制御を問題自体が大きく変化する前に提供することが必
要である。この点、自己学習法が助けとなるが、とくに
未経験（予測不能）の負荷を扱う場合には、より高速の
線形計画法が非常に有効となる。
【００６１】本発明によるこの新たな手順が有効に使用
できる他の問題に産業プロセスの制御、顧客サービス要
員の展開、商業製品の製造するための原料の配合、精油
製品の混合、複数のユーザへのコンピュータ資源の割り
当て及びその他の多くが含まれる。個々のケースにおい
て、コスト（あるいは利益）係数が測定あるいは決定さ
れ、制約限界が決定され、これら決定変数の全てのこれ
ら制約への寄与が測定あるいは決定される。個々のケー
スにおけるこの手順の実行の結果として、現実の状況に
採用された場合に最適プロセスあるいは最適装置を与え
るようなセットの制御パラメータが決定される。
【００６２】殆んどの現実の線形計画法問題に関与する
マトリックスは散在マトリックスであるが、この散在マ
トリックス法も図４及び図５内の探索方向ｐを評価する
のに使用できることに注意する。
【００６３】本発明はこの新規の方法の変数及び制約に
て線形的に表わすことができる現実の技術上及び産業シ
ステムにおける資源の最適割り当てを決定するための装
置への応用にかかわる。つまり、プロセス、機械、工場
等の性能を最適化するために資源をいかに割り当てるか
を決定するための手段に関する。
【図面の簡単な説明】
【図１】線形計画法問題の最適資源割り当て値を決定す
るための本発明による方法を図式的に示す。
【図２】線形計画法モデルの最適資源割り当て値を決定
するための先行技術によるシンプレックス法を図式的に
示す。
【図３】線形計画法問題の最適資源割り当て値を決定す
るための先行技術による楕円法を図式的に示す。
【図４】本発明による線形計画法の全般の流れ図を示す
。
【図５】本発明の最適割り当て値を決定するために射影
変換を使用する別のバージョンの詳細な流れ図を示す。
【図６】資源割り当て値を制御するために図４あるいは
図５の方法を使用する資源割り当てシステムのブロック
図を示す。
【図７】本発明が使用される電話通信経路指定問題を略
図にて示す。
【図８】本発明に従って構成され図４あるいは図５の方
法を使用する電話経路指定装置の全般ブロック図を示す
。
【符号の説明】
８０　　被制御プロセス ８１　　コストレジスタ ８３　　制御レジスタ ８５　　ＬＰコントローラ ９０、９１　　検出器

Claims (3)

    【特許請求の範囲】
  1. 【請求項１】　　線形計画法モデルを用いて物理的資源
    を被制御システムに割当てる制御装置であって、該シス
    テムにおける物理的資源の実行可能割当てを規定する線
    形計画法モデルを記述する該システム動作上での物理的
    制約と目的関数とを決定する手段、厳密に実行可能であ
    る仮の物理的資源割当てを選択する手段、該仮の物理的
    資源割当てを該制約に関して規準化しそして該目的関数
    により指定される方向に該仮の物理的資源割当てを変更
    して該仮の物理的資源割当てを改良することをくり返す
    手段、及び最も改良された物理的資源割当てに従って該
    被制御システムに物理的資源を割当てる手段とからなる
    制御装置。
  2. 【請求項２】　　請求項１に記載の制御装置において、
    該制御装置は蓄積プログラム型コンピュータを含み、該
    コンピュータは該決定された物理的制約を多次元空間に
    おける凸ポリトープ（ｐ）、そして該決定された目的関
    数を該多次元空間におけるマストベクトル（Ｃ）で表わ
    す線形計画法モデルとしてメモリに記述し、該メモリに
    記述されている該凸ポリトープと該コスト・ベクトルを
    参照して、 （１）該ポリトープの内部の位置にある資源割当て開始
    ポイント（ｘｃｕｒｒ）　を選定し、 （２）該開始ポイントのアファイン・スケーリングされ
    たものが該ポリトープのアファイン・スケーリングされ
    たもの（Ｐ’）において幾何的により中心化されるよう
    なアファイン・スケーリング（Ｄ）を決定し、（３）該
    アファイン・スケーリングされたポリトープに投影され
    たアファイン・スケーリングされたコスト・ベクトルに
    依存して決められた方向（ｐ）に該開始ポイントを該ポ
    リトープ内で進めた次のポイント（ｘｎｅｘｔ）　を求
    め、そして （４）該次のポイントが所定の評価基準に適合したとき
    、該次のポイントを最適資源割当てを表すものとし、適
    合しないとき該次のポイントによって開始ポイントを更
    新して該（１）〜（３）の手順をくりかえすことにより
    前記選択する手段と前記くり返す手段とを実現している
    ことを特徴とする制御装置。
  3. 【請求項３】　　請求項１に記載の制御装置において、
    該制御装置は蓄積プログラム型コンピュータを含み、該
    コンピュータは該決定された制約を制約式（Ａｘ＝ｂ，
    Ｌ≦ｘ≦Ｕ；ＡＴ　ｕ≦ｃ）および該決定された目的関
    数を目的関数（ｃＴ　ｘ；ｕＴ　ｂ）でもって規定され
    る線形計画法モデルとしてメモリに記述し、該メモリに
    記述されている該制約式と該目的関数を参照して、（１
    ）該制約式において厳密に実行可能である開始資源割当
    てを選定し、 （２）アファイン・スケーリングされた開始資源割当て
    がアファイン・スケーリングされた制約式に関し、より
    厳密に実行可能であるようなアファイン・スケーリング
    （Ｄ）を決定し；そして （３）　　該アファイン・スケーリングされた制約式に
    投影されたアファイン・スケーリングされた目的関数の
    最大降下方向に依存して決められた方向（ｐ）に該開始
    資源割当てを次の資源割当て（ｘｎｅｘｔ）へと、該制
    約式に関し厳密に実行可能な範囲内で改良し、該次の資
    源割当てがより最適であるようにすることで前記選択す
    る手段と前記くり返す手段とを実現していることを特徴
    とする制御装置。
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