JPH03201073A - Ｎｕｒｂｓデータ変換方法及び装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 Ａ、産業上の利用分野 この発明は、コンピュータ・グラフィックス、特にパラ
メトリック・サーフェスを評価およびレンダリングする
装置及び方法に関するものである。

Ｂ、従来技術及びその課題 ］ンピュータ・テクノロジの評価は、コンピュータによ
って作成されるグラフィカル情報の表現に適用される技
巧を凝らしたテクニカル・アートの創作に依存している
。このテクニカル・アートは、コンピュータ・グラフィ
・／リスと呼ばれている。近年、サイエンティフィック
・アプリケーション及びエンジニアリング・アプリケー
ションへの３次元コンピュータ・グラフィックスの使用
が、リアリスティツタなイメージが要求されるに従って
、拡大してきている。

最近のコンピュータ・グラフィックス・デイスプレィは
、ライン、マーカ、ポリゴンのほかに、パラメトリック
・サーフェスのようなより一般的な　ジオメトリツク・
プリミティブをサポートしている。しかし、コンピュー
タ・グラフィックス・ディスプレイ・システムにおける
そのようなパラメトリック・サーフェスを評価及びレン
ダリングするのに現在用いられている方法は、多くの場
合非能率的であり、複雑で大規模な外部コントロール・
ロジックを必要とする。

パラメトリック・サーフェスはｂ−スプライン・フオー
ムで表すことができ、過去においては、他者がｂ−スプ
ライン・フオームからパラメトリンク・サーフェスを評
価及びし・ンダリングしまうと試みたことが知られてい
る。例えば、従来のＣＡＤ／ＣＡＭアプリケーションは
、データベースに蓄積されたｂ−スプライス・サーフェ
ス・フオーム・データよりはむしろ、ホスト・コンピュ
ータのデータベースに蓄積されているオブジェクトを形
成するポリゴンを送出することによってグラフィックス
・ワークステーションを使用している。

この手法によれば、ホスト・コンピュータは、スプライ
ン・サーフェスをフラット・ポリゴンに分解し、ポリゴ
ンをグラフィック・ワークステーションに送り、通常の
処理を行った後、表示させている。この手法は非能率的
であり、ｂ−スプラインの多くの魅力的な性質を利用で
きない。

１９８７年ｌＯ月３０日出願の米国特許出願第０７／１
１５．４６５号明細書は、非一様有理ｂ−スプライン（
ＮＵＲＢ　Ｓ　：ｎｏｎ−ｕｎｉｆｏｒｍ　ｒａｔｉｏ
ｎａｌ　ｂ−ｓｐｌｉｎｅ）サーフェスを、次の処理の
ためにＢｅｚｉｅｒパッチに分解する並列パイプライン
・サーフェス処理システムを開示している。バッチ・ア
プローチによるこの処理は、分解ステップのための演算
リソースを必要とし、スクリーンにレンダされたサーフ
ェスにアーティファクト（例えば、ピンホールあるいは
リップ）を発生させる危険性がある。

公知の従来技術はいずれも、パラメトリック・サーフェ
スの評価及びレンダリングに、ＮＵＲＢＳデータを全く
利用していない。したがって、効率的、正確かつ迅速に
、パラメトリック・サーフェスを表すＮＵＲＢＳデータ
を評価及びレンダリングする方法及び装置が要求されて
いる。既に提案されている３次元グラフィックスに対す
るＰＨｒ　Ｇ　Ｓ　（Ｐｒｏｇｒａｍｍｅｒ’ｓ　Ｈｉ
ｅｒａｒｃｈｉｃａｌ　Ｉｎｔｅｒａｃｔｉｖｅ　Ｇｒ
ａｐｈｉｃｓ　５ｔａｎｄａｒｄ）　Ｐ　Ｌ　Ｕ　Ｓ標
準は、ＮＵＲＢＳによるサーフェスの定義をサポートし
ており、したがって前述の要求は、ますます太き（なっ
てく　る。

Ｃ１課題を解決するための手段 本発明の原理によれば、直交するｕ、ｖパラメトリック
座標に沿って延在するサーフェスを、■パラメータのテ
サレイシゴンにより定められる一連のストリップに分割
するサーフェス評価システムを提供することにより、前
記必要性は満たされ、多くの利点が実現される。各スト
リップは、現在の値すなわちトップ値と、前の値すなわ
ちボトム値とからなる２つの連続するＶパラメータ値に
より特徴づけられる。各ストリップのトップは、続くス
トリップのボトムとなる。グラフィックス・コントロー
ル・プロセッサは、サーフェスの各Ｖスパンに対しＶパ
ラメータをどのようにテサレイトするかを決定し、各ス
トリップのトップ、ボトムに沿ったＶ依存度とＶ導関数
を評価する。各ストリップのトップ及びボトムに対して
得られた斉次座標及びＶ導関数は、４つの並列浮動小数
点プロセッサに送られる。グラフィックス・コントロー
ル・プロセッサは、ストリップの各Ｕスパンに対しＵパ
ラメータをどのようにテサレイトするかを決定し、一連
のＵパラメータ値を浮動小数点プロセッサに送る。各Ｕ
パラメータ値に対し、並列に動作する浮動小数点プロセ
ッサは、トップ及びボトム座標のＵ依存度と、これら座
標のＵ導関数と、対応するＶ導関数のＵ依存度とを評価
する。

得られた値は、次段の浮動小数点プロセッサに連続的に
送られる。この浮動小数点プロセッサは、これら値を１
組のジオメトリツク座標と１対のポイントに関連する頂
点ベクトルとに変換する。各Ｕパラメータに対し、ニガ
のポイントの一方はストリップのトップにあり、他方は
ストリップのボトムにある。２つの連続する対は、後で
行うレンダリングのための４辺ポリゴンを定める。上述
の処理は、サーフェスの続くストリップのそれぞれに対
し繰り返し行われる。

この発明によれば、グラフィック・コントロール・プロ
セッサは、初期Ｖスパンを定めるｋｖ行のコントロール
・ポイントを格納するために、ｋｖ個の行及びＮｕ個の
列（ｋｖはＶパラノー５階数であり、ＮｕはＵパラメー
タ次元である〉を有するＦＩＦ○コントロール・ポイン
ト・スタックを採用している。連続するＶスパンは、続
く個々の行のコントロール・ポイントをＦＩＦＯのトッ
プにロードすることにより定められる。続く各Ｖスパン
は、対応する連続行のコントロール・ポイントと、直前
のｋｖ−１個の行によって定められる。

またこの発明によれば、サーフェスの初期のＵスパンは
、ＦＩＦＯスタックの最初のｋｕ個の列によって定めら
れ、続く各Ｕスパンは、対応する続く列と、直前のｋｕ
−１個の列とによって定められる。

さらにこの発明によれば、グラフィックス・コントロー
ル・プロセッサは、コントロール・ポイント・データを
モデリング座標からビュー座標に変換し、変換された座
標に重みＷを乗算して、斉次座標を得る。

この発明の好適な実施例では、Ｃｏｘ−ＤｅＢｏｏｒプ
ロセスに従って評価を行う。並列浮動小数点プロセッサ
の１つは、評価された各Ｕパラメータ・ポイントに対し
重み出力を与え、次段の浮動小数点プロセッサは、重み
の逆数を計算し、得られた逆数に残る３つの並列浮動小
数点プロセッサの出力を乗算する。クリッピング・プロ
セッサ及びフレーム・バッファを、次段の浮動小数点プ
ロセッサの出力に直列に接続し、パイプライン処理的に
動作させることができる。

この発明のＮＵＲＢＳに基づくパラメトリック・サーフ
ェスを評価及びレンダリングする方法及び装置は、高性
能、良好な数値安定性、コストの有効性、高速及び精度
、既に提供されているＰＨＩＧＳ　　ＰＬＵＳ標準との
コンパチビリティ、データ冗長性の排除、レンダリング
されたサーフェスにおけるピンホールあるいはリップの
ようなアーティファクトを避けること、各サーフェスを
表すために選択されたポリゴンの組を、サーフェスの瞬
時表示要求に合致するように最適化することのできるト
ラパーサル・タイム・テサレイションの可能性を含む多
くの効果を提供する。さらに、この発明は、コンピュー
タ・グラフィックス・ディスプレイ・システムが、低階
数のＮＵＲＢＳを用いて複雑なサーフェスを構成する能
力５　ローカル・コントロール、凸閉包、座標変換及び
有効なデータ圧縮に対する分散に重みを用いて２次サー
フェスを正確にレンダリングする能力を含む、ＮＵＲＢ
Ｓの固有の特性及び利点を十分に利用することを可能に
する。

Ｄ、実施例 この発明は、高性能を達成するために、並列パイプライ
ン・プロセッサを用いて、非一様有理す一スプライン（
ＮＵＲ，ＢＳ）に基づくパラメトリック・サーフェスの
シェーブラド像を作成するシステムに関するものである
。関連する用語及び数学的表現については、文献”Ａｎ
　Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　ｔ。

５ｐｌｉｎｅｓ　ｆｏｒ　Ｕｓｅ　ｉｎ　Ｃｏｍｐｕｔ
ｅｒ　Ｇｒａｐｈｉｃｓ　＆　Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　Ｍ
ｏｄｅｌｌｉｎｇ”　ｂｙ　Ｒ，１１，Ｂａｒｔｅｌｓ
、Ｊ、Ｃ，Ｂｅａｔｔｙ。

ａｎｄ　Ｂ、Ａ、　Ｂａｒｓｋｙ　（Ｍｏｒｇａｎ　Ｋ
ａｕｆｍａｎ、　１９８７）を参照されたい。

簡単に言うと、非一様有理ｂ−スプライン（ＮＵ　Ｒ，
Ｂ　Ｓ　）は、パラメトリック・サーフェスを表すのに
用いられるパラメトリック関数のクラスである。ＮＵＲ
ＢＳサーフェスは、折り曲げたり、伸ばしたり、捻じっ
たりして３次元形状を形成することのできる２次元矩形
サーフェスにより構成される。

第１図のうち下側の図は、ｘ、ｙ、ｚ座標空間における
パラメトリック・サーフェスＳを示す図である。第１図
の上側の図は、同一サーフェスＳの内部パラメトリック
座標を示している。

ＮＵＲＢＳサーフェスは、サーフェスの一方のエツジか
ら他方のエツジへ動くに従って単調増加するパラメトリ
ック座標（Ｕ、Ｖ）に基づいている。これらのパラメト
リック座標は、ジオメトリツク座標（ｘ、ｙ、ｚ）に加
えられる。したがって、サーフェスに対し、 ｘ＝Ｘ　（ｕ、ｖ） ｙ＝Ｙ　（ｕ、ｖ） ｚ＝Ｚ　（ｕ、ｖ） ただし、Ｕｍｉｎ≦Ｕ≦Ｕｍａｘ Ｖｍｉｎ≦Ｖ≦Ｖｍａｘ が戒り立つ。

パラメトリック・サーフェスはζ単純多項式によって定
義することもでき、このようなパラメトリック多項式関
数は、対応するＮＵＲＢＳ関数で正確に表すことができ
る。

ＮＵＲＢＳサーフェスは、有理形式あるいは非有理形式
によって定義できる。非有理形式では、次式のパラメト
リック座標の多項式関数Ｘ　（ｕ、　Ｖ）　＝　：ｆｆ
　Ｅ　Ｃ，１ｊｕ’Ｖ’１−ＯＪｓｌｌ Ｙ　（ｕ、　ｖ）　＝、’Ｅ、　、”ｆ：、。ｙｉｊｕ
’Ｖ’Ｚ　（ｕ、　Ｖ）　＝、）：　Ｅ　Ｃ，ｉｊｕ’
Ｖ’息ｌｌＯｊｌｌＯ を評価することによって、ＮＵＲＢＳサーフェスの各成
分（ｘ、ｙ、ｚ）を定義することができる。

有理形式では、 で表される重みと呼ばれる追加の関数が存在する。

この場合、ジオメトリツク座標は、 Ｘ　（ｕ、ｖ）＝ＷＸ　（ｕ、ｖ）／Ｗ　（ｕ、Ｖ）Ｙ
　（ｕ、ｖ）＝ＷＹ　（ｕ、ｖ）／Ｗ　（ｕ、ｖ）Ｚ　
（ｕ、ｖ）＝ＷＺ　（ｕ、ｖ）／Ｗ　（ｕ、ｖ）のよう
に多項式の比で定義される。ここに、ｗＸ（ｕ、ｖ）、
ＷＹ　（ｕ、ｖ）、ＷＺ　（ｕ、ｖ）は、非有理の場合
のＸ　（ｕ、ｖ）、Ｙ　（ｕ、ｖ）、Ｚ（ｕ、ｖ）を特
定する多項式に類似している。

各ＮＵＲＢＳは、パラメトリック座標の最大ベキ数に相
当する次数ｍｕ及びｍｖと、ｎ＋ｕ＋１及びｍｖ＋１に
等しく、かつ、次数ｍｕ及びｍｖの多項式において直線
的に独立な項の数にそれぞれ相当する階数ｋｕ及びにν
によって、特徴づけることができる。したがって例えば
、２次関数ａｘ２＋ｂｘ＋ｃは、次数２及び階数３を有
する。

ＮｔＪＲＢＳ関数は、それぞれがジオメトリツク座標の
制限された範囲に対してのみ有効である多数組の係数に
よって表すことができる。したがって、１つのサーフェ
スは、それぞれが異なる多項式によって表される１組の
パッチに分割できる。

第１のパッチは、ｕ０〜ｕ１のパラメトリック値Ｕと、
ｖ０〜ｖ１のパラメトリック値Ｖとによって定められ、
サーフェスのこの部分の座標は、多項式 ％式％ によって定義される。

第２のパッチは、ｕ１〜ｕ２のパラメトリック値ｕと、
Ｖｏ％Ｖ１　のパラメトリック値Ｖとによって定められ
、この部分の座標は、多項式によって定義される。以下
同様にして、定義される。

ＮＵＲＢＳは、コントロール・ポイント、重み。

ノット・ベクトルにより決定される。コントロール・ポ
イントは、サーフェスの形状に１次コントロールを与え
る。サーフェスは、Ｎｕ　Ｘ　Ｎｖマトリクスのコント
ロール・ポイントを有している。ここで、ＮｕはＵパラ
メータの階数ｋｕより大きいかまたは等しくなければな
らず、ＮｖはＶパラメータの階数ｋｖよりも大きいか等
しくなければならない。サーフェスは、１セツトのパッ
チにより構成され、各ハツチはＮｕ　Ｘ　Ｎｖマトリク
スのコントロール・ポイントの中のｋｕ　Ｘ　ｋｖのサ
ブセットにより定められる。

Ｎｕ　Ｘ　Ｎｖコントロール・ポイント・マトリクスは
、サーフェスの全体形状を定めるが、サーフェスは通常
これらのコントロール・ポイントを通過しない。

重み値は、ＮＵＲＢＳサーフェスの有理形式を定めるの
に用いられる。有理形式では、重み（Ｗ）は、コントロ
ール・ポイントの座標（ｘ、　　ｙ＋　　ｚ）のそれぞ
れに関係している。重みと座標とは結合され、斉次座標
（ｗｘ、ｗｙ、ｗｚ、ｗ）を形成する。この斉次座標は
、４つのパラメトリック多項式関数ＷＸ　（ｕ、ｖ）、
ＷＹ　（ｕ、ｖ）、ＷＺ（ｕ、ｖ）、Ｗ　（ｕ、ｖ）の
組に対するコントロール・ポイントを定める。その結果
として得られるジオメトリツク座標は、 Ｘ　（ｕ、ｖ）＝ＷＸ　（ｕ、ｖ）／Ｗ　（ｕ、ｖ）Ｙ
　（ｕ、ｖ）＝ＷＹ　　（ｕ、ｖ）／Ｗ　（ｕ、ｖ）Ｚ
　　（ｕ、ｖ）＝ＷＺ　　（ｕ、ｖ）／Ｗ　（ｕ、ｖ）
の比により定義される。

重みは、正であり、かつ、０より大きいことが要求され
る。重みの値は、通常ｌに近く、もし重みがすべて等し
ければ、有理形式は非有理形式に変化する。

サーフェスに対するノット・ベクトルは、パラメトリッ
ク座標（ｕ、ｖ）のパラメータ空間の分割を定めている
。サーフェスは、各パラメトリック座標（ｕ、ｖ）に対
するノット・ベクトル及び一連のスパンを有している。

Ｎｕ個のコントロール・ポイントを有するＵ階数（ｋｕ
）のノット・ベクトルはＮｕ　＋　ｋｕ個の成分を有し
、ＮＶコントロール・ポイントを有するＶ階数（ｋｖ）
のノット・ベクトルはＮｖ＋ｋｖ個の成分を有している
。各ベクトルの最初及び最終のノット値は、この発明で
は用いられないが、標準ＰＨＴＧＳ＋により必要とされ
る。

サーフェスにおける各スパンは、２ｍ個の連続ノット値
に依存する。ここに、ｍ＝ｋｕ−１またはｋｖ＝１であ
り、ｋｕはサーフェスのＵ階数であり、ｋｖはサーフェ
スのＶ階数である。これらのノット値は、２つのグルー
プに分けられる。すなわち、−方のグループはスパンに
先行するｍ個のノット値を有し、他方のグループはスパ
ンに後続するｍ個のノット値を有している。例えば、ｋ
ｕ＝４ならば、各スパンに対し６個のノット値、すなわ
ちスパンの荊の３個のノット値とスパンの後の３個のノ
ット値とが存在する。ｂ−スプラインが−様または非一
様であれば、ノット値が決定される。ノ・ント値が−様
な間隔の値をとるならば（例えば、０゜１．２．３とい
うように）、結果は一様り−スプラインである。非一様
ｂ−スプラインに対しては、ノット値を不規則間隔で分
離することができ、ノット値はノット・ベクトルにおけ
るように（１０，０゜１．２．１．５．１．５．２．７
．９．０）繰り返す。

この明細書では、ＮＵＲＢＳという用語は総称的に用い
られており、非有理（重みは１に等しくセットされる）
及び−様ｂ−スプラインの特殊なケースを包含すること
を意味している。

以下、この発明の好適な実施例を説明する。

この発明の原理に基づいて構成されるサーフェス評価及
びレンダリング・システム１０を、第２図に示す。この
システムは、 （１）システム・メモリ１２ （２）グラフィックス・コントロール・プロセッサ１４
及びローカル・メモリ１５；バイブライン処理的に動作
する。

（３）並列に配置された４個のプロセッサ１６ｘ、　１
６ｙ。

１６、ｚ、　１６ｗのグループ１６ （４）並列の浮動小数点プロセッサに接続された浮動小
数点プロセッサ１８ （５）クリッピング・プロセッサ２０ （６）フレーム・バッファ２２ システム・メモリ１２は、各パラメトリック・サーフェ
スに関するデータを格納している。データは、有理また
は非有理となり得るサーフェス・タイプ；未定義のテサ
レイション・パラメータに対しＯ３または定義されたテ
サレイション・パラメータに対し１とすることのできる
サーフェス・ステータス・フラグ；　２〜ｋｍａｘ　（
ｋｍａｘは、種々のプロセッサによりサポートされる最
大階数）の範囲内の整数であるＵ階数（ｋｕ）及びＶ階
数（ｋｖ）　　；ｋｕ″−Ｎｕｍａｘ及びｋｖ　〜Ｎｖ
ｍａｘ　　（Ｎｕｍａｘ及びＮｖｍａｘは、グラフィッ
クス・コントロール・プロセッサ１４に関連するローカ
ル・メモリ１５によりサポートされる最大値）の範囲内
の整数であるＵ次元（Ｎｕ）およびＶ次元（Ｎｖ）；ｕ
ノット値（ｕ（１）−ｕ　（Ｎｕ＋ｋＵ））；Ｕテサレ
イション・パラメータ（ｄ　ｕ　（１）・・・ｄｕ（Ｎ
ｕ−ｋｕ＋１））　ｉ　Ｖノット値（ｖ（１）−ｖ（Ｎ
ｖ＋ｋｖ））　　；　ｖテサレイション・パラメータ（
ｄｖ（１）−ｄｖ（Ｎｕ−ｋｖ＋１））；Ｎ９行または
データ・レコードよりなるコントロール・ポイント・マ
トリクス、ここで各データレコードは、ｉ＝１〜Ｎｕに
対しＮｕ組の座標（Ｘｉ。

Ｙｉ、　Ｚｉ、旧）を含む；である。

この発明における前記データの使用については、第１３
図を参照すれば、最も良く理解できるであろう。第１３
図は、Ｕ座標方向に連続するＵスパンと、■座標方向に
連続するＶスパンとを有するパラメトリック・サーフェ
スを示している。サーフェスは、それぞれがトップ・エ
ッジとボトム・エッジとを有するストリップにテサレイ
トされる。トップ・エッジ及びボトム・エッジは、連続
するＶパラメータ・ポイント（パラメータ・インタバル
（ｄｖ）で分離される）に対する斉次座標ｗｘ、ｗｙ、
ｗｚ、ｗのＶ依存度の評価により取り出される。各スト
リップは、続くｕスパンのそれぞれに対し連続するＵパ
ラメータ・ポイント（パラメータ・インタバル（ｄｕ）
で分離される）にテサレイトされる。

グラフィックス・コントロール・プロセッサ１４は、シ
ステム・メモリ１２に格納されているデータを読み取り
、システム・メモリにデータを書き込むことができる。

グラフィックス・コントロール・プロセッサ１４は、ま
た、第２図に２方向の矢印で示すように、ローカル・メ
モリ１５にデータを書き込み、ローカル・メモリからデ
ータを読み取ることができる。グラフィックス・コント
ロール・プロセッサは、コントロール・ポイント・デー
タを、モデリング座標からビュー座標に変換し；各バッ
チがビジプルであるか否かを決定し；各Ｖスパンに対す
るＶパラメトリック座標をテサレイトし、一連の離間さ
れたＶパラメータ・ポイント（Ｖ）を生成する、パラメ
トリック座標インタバル（Ｄｖ）を決定し；変換コント
ロール・ポイント・データを斉次座標（ｗｘ、ｗｙ、ｗ
ｚ、ｗ）に変換し；Ｕ座標方向にサーフェスを完全に横
切って延在し、初期Ｖパラメータ・ポイント及び連続Ｖ
パラメータ・ポイントによりＶ座標において区切られた
ストリップに対し、それぞれ、一連のＮｕボトム座標及
びＮｕボトム導関数と、一連のＮｕ）ツブ座標及びＮｕ
トエツＶ導関数を与えるｗｘ、ｗｙ。

ｗｚ、ｗの■依存度を評価し；Ｕパラメトリック座標を
テサレイトし、ストリップの各Ｕスパンに対し一連の離
間されたＵパラメータ・ポイントＰＣを生成する、パラ
メトリック座標インタバル（Ｄｕ）を決定し；より詳細
に後述するように、４個の並列浮動小数点プロセッサ１
６ヘコマンド及びデータを送る。。

プロセッサ１６ｘ、　１６ｙ、　１６ｚ、　１６−は、
各Ｕパラメータ・ポイントＰＣに対する、斉次−座標ｗ
ｘ、ｗｙ、ｗｚ、ｗの各１つの、トップ座標及びボトム
座標のＵ依存度と、対応する■導関数トップ座標及びボ
トム座標のＵ依存度とを含む４つのｂ−スプライン関数
を独立して、同時に、かつ同期して評価する。各座標に
対する、トップ及びボトム座標と、トップ及びボトムＵ
導関数と、トップ及びボトムＶ導関数とを含む評価を、
ストリップの各Ｕパラメータ・ポイントＰＣに対する各
プロセッサ１６ｘ、　１６ｙ、　１６ｚ、　ｌｈから、
浮動小数点プロセッサ１８に連続して与える。プロセッ
サ１８は、ｗ　（ｕ。

■）の逆数を計算し、トップ座標及びボトム座標のそれ
ぞれに、この逆数を乗算し、対応するジオメトリツク座
標を決定し、対応するＵ及びｖｌ関数を決定し、各Ｕパ
ラメトリック・ポイントＰＣに対するストリップ・ポイ
ントとストリップ・ボトム・ポイントのジオメトリツク
Ｕ及びＶ接線を決定する。Ｕ及びＶ接線と、頂点法線の
大きさとのクロス乗積をとることによって頂点法線を演
算する。連続するＵパラメータ・ポイントＰＣの各組に
対する、座標及び頂点法線は、３次元ポリゴンを定め、
プロセッサ１８によってクリッピング・プロセッサ２０
へ送られる。クリッピング・プロセッサでは、３次元ポ
リゴンは既知のように処理される（すなわち、クリッピ
ング・プロセッサは現在の３次元ビュウイング・ウィン
ドウに対してポリゴンをクリップし、クリップされたエ
ツジに沿って頂点法線を補間し、頂点法線を単位ベクト
ルに変換する）。クリッピング・プロセッサは、ウィン
ドウ内に残るポリゴンのどの部分に対しても、一連の３
次元法線座標及び正規化頂点法線を、フレーム・バッフ
ァ２２へ送る。フレーム・バッファ２２は、従来の方法
で、コンピュータ・グラフィックス・デイスプレィのモ
ニタ・スクリーン（図示せず）上のサーフェスを、レン
ダリングする。

次に、この発明の詳細な説明する。システム・メモリ１
２は、２〜４　Ｍｂｙｔｅ　（またはそれ以上）のラン
ダム・アクセス・メモリ（ＲＡＭ）を備えることができ
る。このシステム・メモリ１２は、少なくともＩパラメ
トリック・サーフェスに対するデータを保持できなけれ
ばならず、ＮＵＲＢＳサーフェスを含む、種々のグラフ
ィックス・エレメント、すなわちプリミティブ及びアト
リビュートよりなるデイスプレィ・リストを有している
。グラフィックス・コントロール・プロセッサ１４は、
浮動小数点乗算器、乗算器に対するアキュムレータとし
て用いることもできる浮動小数点加算器、シーケンサ、
少なくとも３２にコード・メモリをアクセスする機能、
少なくとも３２にデータ・メモリをアクセスする機能、
３２個の整数レジスタ、浮動小数点演算のための３２個
のレジスタを有している。

プロセッサ１４は、Ｗｅｉｔｅｋ　ｏｆ　５ｕｎｎｙｖ
ａｌｅ、　Ｃａ１ｉｆｏｒｎｉａから市販されている１
０ＭＨｚ　Ｗｅｉｔｅｋチップセッ）　（ＸＬ−８１３
６プログラマブ）Ｌｔ−’ｙ−ケンサ、ＸＬ−３１３２
浮動小数点プロセッサ・ユニット、ＸＬ−８１３７整数
プロセシング・ユニット、これらは−緒に動作する）に
よって構成できる。

ローカル・メモリ１５は、グラフィックス・コントロー
ル・プロセッサ１４によりスクラッチ・エリアとして使
用される１ブロツクのランダム・アクセス・メモリ（Ｒ
ＡＭ）である。ローカル・メモリに蓄積されるデータ値
の最大数は、４　Ｎｍａｘ　（ｋ＋ｓａｘ＋　７　）で
ある。ここに、Ｎｍａｘは、最大次元（Ｎｕ及びＮｖ）
であり、ｋｍａｘは最大階数（ｋｕ及びｋｖ）である。

各浮動小数点プロセッサ１６ｘ、　１６ｙ、　１６ｚ、
　１６ｚ。

１６ｗ、　１８は、３２ビット浮動小数点性能を有する
■ＬＳＩプロセッサとすることができる。各プロセッサ
は、浮動小数点乗算器、乗算器に対しアキュムレータと
しても用いられる浮動小数点加算器、単一シーケンサ、
マイクロコードのためのＲＡＭ、インタフェースへの入
力及び出力のためのＦＩＦＯ、データを蓄積するための
６４個のレジスタを有している。浮動小数点プロセッサ
は、当業者間では周知である。１９８９年３月２８日出
願の米国特許出願第３３１，０２１号明細書は、この発
明におけるように、効果的な並列及び／またはパイプラ
インによる相互接続のための特殊な人出力ＦＩＦＯを設
ける技術を開示している。クリッピング・プロセッサ２
０及びフレーム・バッファ２２は、それぞれ、多数の類
似プロセッサと、適切な性能を与える構成とを有するこ
とができる。

第３図は、この発明のサーフェス評価システムの一般的
な動作を説明するためのフローチャートである。−船釣
に、ＮＵＲＢＳサーフェスがシステム・メモリ１２のデ
イスプレィ・リストにあれば、グラフィックス・コント
ロール・プロセッサ１４は、データを読み取り、ローカ
ル・メモリ及び／またはレジスタに格納する（ステップ
２４）。コントロール・ポイント・マトリクスの行をシ
ステム・メモリ１２から読み取り、グラフィックス・コ
ントロール・プロセッサ１４で変換し、グラフィックス
・コントロール・プロセッサのローカル・メモリ内のＦ
　Ｉ　Ｆ　Ｏ（ｆｉｒｓｔ　１ｎ−ｆｉｒｓｔ　ｏｕｔ
）スタック（ｋｖ行×Ｎｕ列）に格納する（ステップ２
６）。これを、１つのＶスパンに対し十分な行がスタッ
クに格納されるまで繰り返す。成るＶスパンに対するコ
ントロール・ポイント・スタックの各列内の個々の座標
に対する値を、対応する重みで乗算して、斉次座標（ｗ
ｘ、ｗｙ、ｗｚ、ｗ）を生成する（ステップ２８）。次
に、斉次座標を、現在のＶパラメトリック・ポイントに
基づいて評価する。■スパンの各列内の各コントロール
・ポイントの座標に対し、上記評価が終了すると、一連
のトップ座標及びトップＶ導関数が生成される。前のス
トリップのトップ値はコピーされ、現在のストリップに
対するトップ座標及び導関数の値として用いられる（ス
テップ３０）。

現在のストリップの各Ｕスパンに対し、１組のＵノット
と、各座標（ｗｘ、ｗｙ、ｗｚまたはＷ）に対する複数
組のトップ及びボトム座標と導関数は、４個の並列プロ
セッサ１６のそれぞれ１つに送られる。各プロセッサ内
では、４つのｂ−スプライン（トップ座標、トップＶ導
関数、ボトム座標。

ボトムＶ導関数）は、連続するＵパラメータ・ポイント
ＰＣに対して評価され、ストリップ内の各Ｕパラメータ
・ポイントに対し、トップ及びボトム座標と、トップ及
びボトムＵ導関数と、トップ及びボトムＶ導関数に対す
る値を結果として得る（ステップ３２）、各Ｕパラメー
タ・ポイントＰＣに対する各評価後の結果は、プロセッ
サ１８に送られる。プロセッサ１８では、各座標から重
みを評価し、頂点ジオメトリツク座標、頂点、Ｕ及びＶ
接線を決定し、これからストリップの各Ｕパラメトリッ
ク・ポイントＰＣに相当する１対のストリップのトップ
及びボトム・ポイントに対する頂点法線を決定する。２
つの連続するＵパラメータ・ポイントに対する頂点はポ
リゴンを定める（ステップ３４）。プロセッサ１８から
の頂点情報は、クリッピング・プロセッサ２０へ送られ
る。クリッピング・プロセッサは、ポリゴンを従来の方
法でクリップしくステップ３６）、結果をフレーム・バ
ッファ２２へ送る（ステップ３８）。

サーフェスの初期ｕスパンは、ＦＩＦＯスタックのコン
トロール・ポイント・データの最初のｋｕ個の列により
定められる。次のＵスパンは、すぐその後に続（ｋｕ−
１個の列と共に、続く列のそれぞれによって定められる
。

現在のストリップの各Ｕスパンが評価された後に、トッ
プ座標及び導関数は、次のストリップのトップ座標及び
導関数にコピーされ、パラメータ・ポイントＶが更新さ
れ、フローは新しいストリフプの評価に戻る。これは、
現在のＶスパン及び次のＶスパンに対するパラメータ・
ポイント■のすべての値に対して繰り返される。続くｖ
スパンのそれぞれは、コントロール・ポイント・マトリ
クスの続く行をＦＩＦＯコントロール・ポイント・スタ
ックのトップにロードすることにより定められる。上述
したようなＮＵＲＢＳデータの特定の処理は、この発明
の多くの利点を与える。

グラフィックス・コントロール・プロセッサ１４の特定
の動作、及びサーフェス評価システム１０の他のプロセ
ッサの動作を、第４Ａ〜第４Ｊ図、第５図、第６図にフ
ローチャートに示し、以下詳細に説明する。

第４Ａ図において、前述したサーフェス・データをシス
テム・メモリ１２から読み取り（ステップ５２）、グラ
フィックス・コントロール・プロセッサ１４のレジスタ
及び／またはローカル・メモリ１５に記憶する。サーフ
ェス・タイプ及びステータス・フラグを、レジスタに記
憶する。■パラノー５階数（ｋｕ）　、　　ｕ次元（Ｎ
ｕ）　、　Ｕｍｉｎ、　Ｌｌｍａｘ、　　ｖパラノー５
階数（ｋｖ）、ｖ次元（Ｎｖ）　、　Ｖａｉｎ、　Ｖｍ
ａｘを、グラフィックス・コントロール・プロセッサ（
ＧＣＰ）内のレジスタ及びローカル・メモリに記憶する
（ステップ５４）。Ｕノット値、Ｕテサレイション・パ
ラメータ、Ｖノット（直、■テサレイション・パラメー
タ、コントロール・ポイント・マトリクスを、グラフィ
ックス・コントロール・プロセッサのローカル・メモリ
に記憶する（ステップ５６）。ローカル・メモリには、
Ｕテサレイション・パラメータ及びＵノット値が１つの
ベクトルとして記憶される。このベクトルは、それぞれ
Ｎ２ワードを有する２つの行を保持するのに十分な容量
を有している。ここに、Ｎ２はローカル・メモリによっ
てサポートされる最大Ｕ次元（例えば６４）に等しい。

第１行は、すべてのＵテサレイション・パラメータ及び
ｋｕ個のノット植を含んでいる。

次表は、Ｕテサレイション及びＵノツト・ベクトルを示
す。この表において５、行はヘクトル内の行を示し、ポ
ジショ ンを示している。

一丘−，ポジション １ ンは特定の行内のロケーショ ー値− ａｕ（１） ■ Ｎｕ−ｋｕ＋１ ｄＵ（２） ｄＵ（Ｎｕ−ｋｕ＋１） ｕ　（ｋｕ） ＩＩ（ｋｕ＋１） ｕ（ｋｕ＋Ｎｕ） デスクリプジョン 第１ｕテサレイシヨン ・パラメータ 第２ｕテサレイシヨン ・パラメータ 最終Ｕテサレイシゴン ・パラメータ 第１ｕノツト（使用せず） 第２ｕノツト Ｕノット数ｋｕ Ｕノット数ｋｕ＋　１ 最終Ｕノット この表は、また、■テサレイション・パラメータ及びＶ
ノット値に対し真を保持している。次表は、■テサレイ
ション及びＶノット・ベクトルを示す。

一丘一　ポジション　　−逼− １１ｄＶ（１） ２　　　　　　　ｄＶ（２） Ｎｖ−ｋｖ＋１ ｄＶ（Ｎｖ−ｋｖ＋１） ■（１） ■（２） ｖ　（ｋｖ） ｖ（ｋｖ＋１） ｖ（ｋｖ＋Ｎｖ） 一゛スクｉプション 第１ｖテサレイシヨン ・パラメータ 第２ｖテサレイシヨン ・パラメータ 最終Ｖテサレイション ・パラメータ 第１ｖノツト（使用せず） 第２ｖノツト Ｖノット数ｋｖ Ｖノット数ｋｖ＋１ 最終Ｖノット 第４Ａ図において、次のステップは、グラフィックス・
コントロール・プロセッサ内のステータス・フラグを調
べることである（ステップ５８）。

ステータス・フラグは、コントロール・ポイント・マト
リクスの各Ｕスパンに対しＵテサレイション・パラメー
タが計算されたか否かを識別するために用いられる。ス
テータス・フラグが０ならば、これらｄＵ値を計算する
必要がある（ステップ６０）。

コントロール・ポイント・マトリクスの各Ｕスパンに対
し、テサレイション・パラメータを計算するのに必要な
ステップは、第５図のフローチャートによって最も良く
理解できるであろう。このフローチャートは、第４図の
ステップ６０　（ｄＵの計算）を詳細に示している。

テサレイション（ｔｅｓｓｅｌｌａｊｉｏｎ）は、曲面
をフラット・ポリゴンで近似できる領域へ分割する処理
である。

Ｕテサレイション・パラメータの計算は、サーフェスの
Ｕ階数（ｋｕ）で定まるＵスパン内のポイント数に依存
する、第７Ａ図及び第７Ｂ図に示すように、Ｕ階数（ｋ
ｕ）のサーフェスは、１個のＵスパン当りｋｕ個のコン
トロール・ポイントと、Ｎｖ個のコントロール４・ポイ
ントの各行に対してｋｕ　−１個のセクションとを有し
ている。ｋｕ個のコントロール・ポイントは、２個のエ
ンド・ポイントと、ｋｕ−２個のインターメディエイト
・ポイントより構成される。したがって、ｋｕ＝３なら
ば、ｄＵ＝　１ａｘｌ　＋　１ａｙｌ　＋　ｌａｚを生
成する２個のセクションと１個のインターメディエイト
・ポイントが存在する。ｋｕ−４ならば、ｄＵ＝　ｌａ
ｘ　　＋　ｌｂｘ　　＋ ａｙｌ＋１ｂｙｌ＋ １ａｚｌ＋ｌｂｚ を生成する３個のセクションと、２個のインターメディ
エイト・ポイントが存在する。ここに、ｄＵはベクトル
ａ及びｂの長さの和における境界である。

第５図において、各Ｕスパンに対するすべてのＵテサレ
イション・パラメータは、最初に０に初期化しなければ
ならない（ステップ３５０）、これは、ｄｕ　（ｕｃｏ
ｕｎｔ）　＝　Ｏにセットすることにより行われる。こ
こに、スパンの数であるＮｕ−ｋｕ＋１に対しｕｃｏｕ
ｎｔ＝　ｌである。次に、特定のｄＵ計算に用いられる
コントロール・マトリクス内の現在のデータ行を表すｖ
ｃｏｕｎｔと呼ばれるレジスタを、Ｏにセットシ（ステ
ップ３５２）、その直後に、ｌだけ更新する（ステ・ン
ブ３５４）。次に、コントロール・ポイント・マトリク
スから行（ｖｃｏｕｎｔ）を読み取る（ステップ３５６
）。次に、ｕｃｏｕｎ　ｔと呼ばれるレジスタをＯにセ
ットしくステップ３５８）、その直後に１だけ更新する
（ステップ３６０）。この例では、ｕｃｏｕｎｔは、特
定のｄＵ計算に用いられるコントロール・ポイント・マ
トリクス内の特定のデータ列を表している。

次に、Ｕスパンの初めを示すＵ、をｕｋｎｏｔ　　（ｕ
ｃｏｕｎｔ＋ｋｕ　　ｌ）にセットし、Ｕスパンの終わ
りを示すＵ２をｕｋｎｏｔ　　（ｕｃｏｕｎｔ＋ｋｕ）
にセットする（ステップ３６１）。

これらの初期ステップが完了した後、次のステップは、
有効なＵスパンがあるか否かを判断することである（ス
テップ３６２）。Ｕスパンは、Ｕｌ　　＜Ｕｍａｘ Ｕｚ　　＞Ｕｍｉｎ Ｕ２　　＞　Ｕ＋ ならば有効である。ここに、Ｕ、及びＵ２は、前のステ
ップで与えられた値に等しく　、Ｕｍａｘ及びＵｓｉｎ
の値は、システム・メモリから読み取られ、グラフィッ
クス・コントロール・プロセッサ内のレジスタ及びロー
カル・メモリに記憶されている。

Ｕスパンが無効ならば、ライン３６４を経てステップ３
７６　　（ｕｃｏｕｎｔ＝Ｎｕ−ｋｕ＋　１か？）に進
み、次のＵスパンにスキップする。Ｕスパンが有効なら
ば、最大Ｕテサレイション・パラメータ（ｄＵ）　（７
）計算が続けられる（ステップ３６６）。

この時点で、ｄＵテサレイション・パラメータ（−時的
にｄと称する）は、Ｘ（ｎ、　ｖｃｏｕｎｔ）＋　Ｙ（
ｎ。

ｖｃｏｕｎｔ）　、　Ｚ（ｎ、　ｖｃｏｕｎｔ）　＋　
Ｗ（ｎ、　ｖｃｏｕｎｔ）に基づいて計算される。ここ
に、ｎは、ｖｃｏｕｎ　ｔの多値に対し、ｕｃｏｕｎｔ
〜ｕｃｏｕｎｔ＋ｋｕ　−１の範囲にある。例えば、ｋ
ｕ＝　３　、　ｖｃｏｕｎｔ＝　１　、　ｕｃｏｕｎｔ
＝　ｌならば、ｄはｓ　ＸＩＩ＋　　ｙＩＩ＋　　ＺＩ
ｌ＋　　Ｗ目；　ＸＺｌ＋　　ｙ！Ｉ＋　　Ｚ２１＋ｗ
、、　；　Ｘ３＋＋　　）’！ｌ＋　　Ｚｆｆｌ＋　　
Ｗ：ｌＩで表されるコントロール・ポイントの値に基づ
いて計算される。次に、ｄの計算値は、ｄＵ　（ｕｃｏ
ｕｎｔ）と比較される（ステップ３６８）。ｄがｄＬｌ
　（ｕｃｏｕｎｔ）により表される値より大きければ、
ｄＵ　（ｕｃｏｕｎｔ）はｄに等しくなるようにセット
され（ステップ３７０）、グラフィックス・コントロー
ル・プロセッサのローカル・メモリに記憶される（ステ
ップ３７２〉。

次に、ｕｃｏｕｎｔが、Ｕスパンの数であるＮｕ−ｋｕ
＋１に等しいか否かが判断される（ステップ３７６）。

等しくなければ、フローはライン３７８を経てステップ
３６０　　（ｕｃｏｕｎｔを更新する）に戻る。等しけ
れば、成る行の各Ｕスパンに対する最大Ｕテサレイショ
ン・パラメータを調べる。次に、ｖｃｏｕｎ　ｔを、コ
ントロール・ポイント・マトリクスの行の数に相当する
Ｎｖと比較する（ステップ３８０）。ｖｃｏｕｎｔがＮ
ｖに等しくなければ、ライン３８２を経てステップ３５
４　　（ｖｃｏｕｎｔをインクリメントする）に戻り、
新しい行のＵスパンに対し上記テサレイション処理を繰
り返す。ｖｃｏｕｎ　ｔがＮｖに等しければ、Ｕテサレ
イション・パラメータのベクトルは、コントロール・ポ
イント・マトリクスの各Ｕスパンに対スル最大値ｄＵを
含む。次に、コントロール・ポイント・マトリクスに対
するポインタをリセットし、第４Ａ図のステップ６２　
（ｖｃｏｕｎｔを初期化する）に戻る（ステップ３８４
）。

再び第４Ａ図において、ｖｃｏｕｎｔはＯに初期化され
（ステップ６２）、次にコントロール・ポイント（ｃＴ
ＲＬ　　ＰＴＳ）の１行が、グラフィックス・コントロ
ール・プロセッサ１４によりシステム・メモリ１２から
読み取られる。これらのコントロール・ポイントは、モ
デリング座標からビュー座標（ｘ、　　ｙ＋　　ｚ）に
変換される（ステップ６４）。この変換は、従来の方法
により、ｘ、ｙ、ｚ座標を所望なように平行移動し、回
転し、スケールする処理である。この処理に用いられる
変換マトリクスは、グラフィックス・コントロール・プ
ロセッサに予めロードされている。

変換処理が終了した後、変換座標をローカル・メモリの
スタックに格納する。このスタックは、Ｎｕ列及びｋｖ
行のデータを保持するのに十分な容量を有し、ファース
トイン・ファーストアウト（ＦＩＦＯ）的に動作する。

コントロール・ポイントの１行が格納された後のこのス
タックの説明については、第８Ａ図を参照されたい。次
に、グラフィックス・コントロール・プロセッサは、ｖ
ｃｏｕｎｔが階数（ｋν）より小さいか否かを判断する
（ステップ７０）。ｖｃｏｕｎｔかにνより小さければ
、ライン７２を経てステップ６４（コントロール・ポイ
ントの１行を読み込め）に戻る。ｖｃｏｕｎ　ｔがｋｖ
以上であれば、これは、■スパンに対する十分なデータ
行がコントロール・ポイント・スタックに格納されたこ
とを示している。次に、■スパンの始まりである■ｃを
ｖｋｎｏｔ　　（ｖｃｏｕｎｔ）に等しくなるようにセ
ットしくステップ７４）　、ｖスパンの終わりである■
２を、ｖｋｎｏｔ　　（ｖｃｏｕｎｔ＋　１　）に等し
くなるようにセットする（ステップ７６）。

次に、■スパンが有効であるか否かを判断する（ステッ
プ７８）。■スパンは、 ■Ｉ＜ｖＩｌａｘ Ｖｚ　　＞Ｖｍｉｎ Ｖ、＞Ｖ。

ならば有効である。ここに、■１及びｖ２は、前のステ
ップで与えられた値に等しく、Ｖ＋＋ａｘ及びＶ＋ｎｉ
ｎの値は、システム・メモリから前に読み取られて、グ
ラフィックス・コントロール・プロセッサ内のレジスタ
及びローカル・メモリに記憶されている。

■スパンが無効ならば、次のＶスパンに続くために、ラ
イン８０を経て第４Ｆ図のステップ２８０（ｖｃｏｕｎ
ｔ＜Ｎｖか）に行く。■スパンが有効ならば、各パッチ
に対する最小及び最大座標が決定される。

パッチは、ｋｕ列及びｋｖ行によって決定される。した
がって、例えばｋｕ＝　３　、　ｋｖ＝　４なら、パッ
チはコントロール・ポイント・スタック内の１２個のロ
ケーションすなわち“ボックス”によって決定される。

このようなパッチの説明については、第８Ｂ図を参照さ
れたい。パッチに対して最小及び最大座標を計算するに
は、コントロール・ポイント・スタックの各列に対する
最小及び最大座標を、最初に決定しなければならない（
第４Ａ図のステップ８２）、得られる結果の値は、（ｘ
ｍｉｎ（ｉ）、　ｙ輪１ｎ（ｉＬ　ｚｍｉｎ（ｉ）、　
ｖｓｂｌ（ｉ））、または（ｘ＋ｗａｘ（ｉ）、　ｙｓ
ａｘ（ｉ）、　ｚｍａｘ（ｉ）、　Ｑｍｉｎ（ｉ））の
いずれかに相当するストーレッジ内に蓄積された行内に
配置される。なお、ｉは現在の列である。

コントロール・ポイント・スタックの各列に対する最小
及び最大座標を決定するためには、１つの列のＸ、ｙま
たは２の多値を、同一列内のＸ。

ｙまたは２の残りの値と比較しなければならない。

例えば、コントロール・ポイント・スタックが、次のよ
うな２列４行を有するならば、 第　１　列　　　　　　　第２列 次に、第１列内の最小及び最大Ｘ値を決定するために、
その列（Ｘ　１１．Ｘ　＋！＋　　Ｘ　１３＋　　Ｘ　
＋４）内のすべてのＸ値を、互いに比較する。その結果
得られた最小値は、Ｘ＋ｌｌ１ｎ（ｉ）に格納され、最
大値はＸ５ａｘ（ｉ）に格納される。ｙ及び２の最小値
及び最大値を決定するのに同じ手順を用いる。その結果
は、ｙｍｉｎ（ｉ）、　ｙｍａｘ（ｉ）、　ｚｍｉｎ（
ｉ）、　ｚｍａｘ（ｉ）にそれぞれに格納される。しか
し、Ｗ座標の最小及び最大値を計算する必要はない。し
たがって、Ｗｅｉｉｎ（ｉ）及びＷｍａｘ（ｉ）に相当
する記憶エリアは、ｖｓｂｌ（ｉ）及びＱｍｉｎ（ｉ）
にそれぞれリザーブされている。この時点で、レジスタ
ｖｓｂｌ（ｉ）の多値は、０に初期化され、レジスタＱ
ｗｉｎ（ｉ）の多値はＯに初期化される。これらレジス
タについては、後に詳述する。

列内の各座標に対する最小及び最大値の決定から得られ
る結果は、各Ｕスパンに対する最小及び最大値を見つけ
るのに用いられる（ステップ８４）。

例えば、列数（Ｎｕ）が９に等しい各列に対するＸ座標
の最小値の計算が、ｘｍｘｎｌ、　Ｘ１１１ｎ２＋Ｘｌ
１１ｎ３＋　Ｘ１ｌｉｎ４．　ｘｍｉｎ５．　ｘ＋＊ｉ
ｎ６．　ｘｍｉｎ’Ｌ　ｘｍｉｎ８．　ｘｍｉｎ９のよ
うな結果の列を生成するならば、Ｕスパンに対する最小
値は、 Ｘｍ１ｎ（Ｓ）　＝Ｘｍｉｎ（ｉ）の最小値ここにｉ＝
ｓ　Ｎｓ＋ｋｕ−１ ｓ　＝　１〜Ｎｕ　　ｋｕ＋　１ のように計算される。Ｎｏ−ｋｕ＋１はＵスパンの数で
あり、ｋｕはサーフェスのＵ階数である。したがって、
Ｎｕ−９，ｋｕ＝３ならば、Ｕスパンの数は７に等しく
、最初のＸｍ１ｎ値は、Ｘｍ１ｎ１．　Ｘｍ１ｎ２．　
Ｘｍ１ｎ３　（この時点においてこの例では、５＝１（
したがってｓ＋ｋｕ　　１＝３）、及び、ｉは行の第１
〜第３列に関連するｌ〜３の範囲にある）を比較するこ
とに決定される。この比較の結果得られる値は、ローカ
ル・メモリ内のそのロケーションに値を置き換えている
Ｘｍ１ｎ（ｓ）に記憶される。同じ手順が、最大値を見
つけるために行われるが、結果はＸｍａｘ　（ｓ）に記
憶される。この処理がすべての座標（’Ｘ＋　　ｙ、Ｚ
）及びすべてのＵスパンに対して終了すると、結果は現
在のＶスパン内の各バッチに対する最小及び最大座標に
なる。

次に、ｕｃｏｕｎ　ｔを１に初期化する（ステップ８６
）。

次に、各パッチに対して決定されたばかりの最小値及び
最大値との間で、ウィンドウ境界に対する比較を行う（
第４Ｂ図のステップ８８）。これらがオーバラップする
ならば（ステップ９０）　、ｖｓｂｌ（ｕｃｏｕｎｔ）
と称される前述のレジスタと、ｖｉｓと称されるステー
タス・レジスタにおけるビットとが、１に初期化される
（ステップ９２．９４）。次に、法線しきい値口５ｉｎ
（ｕｃｏｕｎｔ）が計算される（ステップ９６）。Ｑｍ
ｉｎ値に必要なストーレッジは早めに記憶されている。

Ｑｎｉｎは、 Ｑａ＋１ｎ（ｓ）　＝　（ｅ・（ｘｍａｘ（ｓ）−ｘｍ
ｉｎ（ｓ））”＋（ｙｍａｘ（ｓ）−ｙｍｉｎ（ｓ））
”　＋（ｚｍａｘ（ｓ）−ｚｍｉｎ（ｓ））”））”の
ように計算される。ここに、Ｓは１〜Ｎｕ−ｋｕ＋１　
　（ｕスパンの数）を表しており、ｅは１０−’＝０゜
００００１のような小さな値であり、これは座標及び法
線ベクトルの計算に用いられる浮動小数点数の精度を表
している。

次に、ｕｃｏｕｎｔをＵスパンの数Ｎｕ−ｋｕ＋１と比
較する（ステップ９８）。これらが等しくなければ、ｕ
ｃｏｕｎ　ｔを１だけインクリメントしくステップ１０
０）、ライン１０２を経てステップ８８（ｕスパン（ｕ
ｃｏｕｎｔ）に対する最小と最大とを比較する）。ステ
ップ９８において等しければ、ｖｉｓを０と比較する（
ステップ１０４）。ｖｉｓ＝ｏならば、パッチの全列は
ビジプルでなく、ライン１０５を経て第４Ｆ図のステッ
プ２８０　　（ｖｃｏｕｎ　ｔ　＜　Ｎｖか）に進む。

ｖｉｓが０に等しくないならば、１以上のパッチがビジ
プルであり、処理が続けられる。

次に、ステータス・フラグをＯと比較する（ステップ１
０６）。ステータス・フラグは、■テサレイション・パ
ラメータが計算されたか否かを識別する。ステータス・
フラグが０に等しくないならば、■テサレイション・パ
ラメータが決定され、ステップ１１２　　（Ｄｖを計算
する）にスキップする。５ｔａｔＵＳ＝Ｏなら、テサレ
イション・パラメータｄＶが計算され、グラフィックス
・コントロール・プロセッサのローカル・メモリに記憶
される（ステップ１１０）。

■テサレイション・パラメータを計算するのに必要なス
テップは、第６図のフローチャートにより良く理解でき
るであろう。このフローチャートは、第４Ｂ図のステッ
プ１１０　　（ｄＶを計算する）を詳細に示している。

第６図において、フローチャートは、全Ｖスパンに対す
る最大Ｖテサレイション・パラメータを計算するのに必
要なステップを示している。この最大ｄＶ値を計算する
には、以下のステップが実行される。まず初めに、ｄＶ
及びｕｃｏｕｎｔをＯに初期化しくステップ３８６．３
８８）　、その直後にｕｃｏｕｎｔをｌだけインクリメ
ントする（ステップ３９０）。

次に、■テサレイション・パラメータを、ｘ　（ｕｃｏ
ｕｎｔ、　ｖｃｏｕｎｔｌ）ｙ　（ｕｃｏｕｎｔ、　ｖ
ｃｏｕｎｔｌ）ｚ　（ｕｃｏｕｎｔ、　ｖｃｏｕｎｔｌ
）ｗ　（ｕｃｏｕｎｔ、　ｖｃｏｕｎｔｌ）に基づいて
計算する（ステップ３９２）。ここに、νＣｏｕｎｔ＝
　１−ｋｖであり、■はサーフェスの階数である。この
計算の結果は、ｄと称されるレジスタに格納される。次
に、ｄをレジスタｄＶに格納されている値と比較する（
ステップ３９４）。ｄがｄＶより大きければ、ｄＶはｄ
に等しくなるようにセットされる（ステップ３９６）。

ｄがｄＶ以下であれば、ｕｃｏｕｎ　ｔがコントロール
・ポイント・マトリクスの列の数であるＮｕに等しいか
否かを判断する（ステップ３９８）。これらが等しくな
ければ、ライン４００を経てステップ３９０　　（ｕｃ
ｏｕｎｔを１だけインクリメントする）に戻る。ｕｃｏ
ｕｎ　ｔがＮｕに等しければ、ｄＶ　（ｕｃｏｕｎＯは
ｄＶに等しくなるようにセットされる（ステップ４０２
）。この時点では、ｄＶ　（ｕｃｏｕｎｔ）は、全Ｖス
パンに対する最大Ｖテサレイション・パラメータを含ん
でいる。そして、第４Ｂ図のステップ１１２　　（Ｄｖ
を計算する）に進む。

第４Ｂ図において、次のステップは、■パラメトリック
座標インタバルであるＤｖを計算することである。Ｄｖ
は、グラフィックス・コントロール・プロセッサによっ
て、 Ｄｖ＝　（Ｖｚ　　Ｖ＋）　／Ｎｖｓｔｅｐのように計
算される（ステップ１１２）。ここに、Ｎｖｓ　ｔｅｐ
は、 （ａ）スクリーン（ビクセル）座標／データ座標の比に
等しいスケールＳを計算する、 （ｂ　）　ｄｖ　（ｖｃｏｕｎｔ−ｋｖ＋　１　）にＳ
を乗じてｄＶ’を生成する、デバイス座標であるピクセ
ル・ユニットにｄｖ　（ｖｃｏｕｎｔ−ｋｖ＋　１　）
を変換する、（ｃ　）　Ｎｖｓｔｅｐ＝ｎ＋ａｘ（１＋
　Ｉｎｔ　５ｑｒｔ（ｄｖ’）を計算する、 によって決定される。

■パラメトリック座標インタバルを計算した後、■スパ
ンの開始及び終了が、Ｖｍｉｎ及びＶｍａｘによってセ
ットされる境界の外側にないようにするために、■、及
びＶ２を次のように調整する。Ｖｍｉｎが■、とｖ２と
の間にあるならば、ＶｌはＶｍｉｎに等しくなるように
セットされ、Ｖ＋ｍａｘが■１と■２との間にあるなら
ば、Ｖ２はＶｍａｘに等しくなるようにセットされる。

次に、最初のＶスパンの開始を表すｖｆｌａｇと称され
るレジスタ、及びＶインタバル・ループを出るときを表
すｖｌａｓｔを称されるレジスタを、０に初期化する（
第４Ｃ図のステップ１１６．１１８）。次に、現在のＶ
パラメータ・ポイントＶを、■スパンの始まりであるｖ
Ｉに等しくなるようにセットしくステップ１２０〉、ｕ
ｃｏｕｎ　ｔをＯに初期化する（ステップ１２２）。次
に、ｖｃｏｕｎｔを１だけインクリメントする（ステッ
プ１２４〉。

初期化が終了した後に、グラフィックス・コントロール
・プロセッサは、■パラメータ・ポイント■の現在の値
に対し、斉次座標（ｗｘ、ｗｙ。

ｗｚ、ｗ）のＶ依存度を評価する。斉次座標を得るため
には、ｘ、ｙ、ｚの多値を、対応する重みＷの値で乗算
する。したがって、ｘ（ｕｃｏｕｎｔ、　ｖｃｏｕｎｔ
）＋ｙ（ｕｃｏｕｎｔ、　ｖｃｏｕｎｔ）、　ｚ（ｕｃ
ｏｕｎｔ、　ｖｃｏｕｎｔ）は、ｗ（ｕｃｏｕｎｔ、　
ｖｃｏｕｎｔ）により乗算される（ステップ１２６）。

好適な実施例では、Ｃｏｘ−ＤｅＢｏｏｒ　（またはＤ
ｅＣａｓｔｅｌｊａｕ）プロセスとして当業者に知られ
ているプロセスを、評価に用いる。このプロセスは、コ
ントロール・ポイントの成分量の直線補間を実行する。

Ｖの多値に対し全体でｋｖ（ｋｖ　−１−）　／　２個
の補間を実行する。

このアルゴリズムを説明するために、ｋｖ＝４であるサ
ーフェスについての例を示す。第９Ａ図は、ｋｖコント
ロール・ポイントに対するＸ座標を示している。第９Ａ
図において、ｋｖ＝４であり、スパンはノット値Ｖ、で
始まりノット値ｖ２で終了する。Ｖｌ及びＶｚは、ｖｋ
ｎｏｔ（ｖｃｏｕｎｔ）及びｖｋｎｏｔ（ｖｃｏｕｎｔ
＋　１　）にそれぞれ位置するＶノット及びテサレイシ
ョン・ベクトルにおける値に等しい。

■はパラメータ・ポイントであり、スパンの前に３個の
ノット値（Ｖ　ｚ、Ｖ　３＋　ｖａ　）があり、スパン
の後に３個のノット値（Ｖ　５．　Ｖ　６．　Ｖ　Ｔ）
がある。

６個のノット値■２〜Ｖ、は、それぞれＶｃｏｕｎ　ｔ
ｋｖ＋　２　、　ｖｃｏｕｎｔ−ｋｖ＋　３　、　ｖｃ
ｏｕｎｔ、　ｖｃｏｕｎｔ＋１　。

ｖｃｏｕｎｔ＋　２　、　ｖｃｏｕｎｔ＋ｋｖ　−１で
のノット・ベクトル内のノット値を示している。

第９Ｂ図は、補間される各部分の始まりを示す前ノット
（ｖ２．ｖ３．ｖ４）の配置を示し、第９Ｃ図は、補間
される各部分の終わりを示す後ノット（Ｖ　Ｓ＋　Ｖ　
ｂ、Ｖ　７　）の配置を示している。したがって、補間
は、ｖｔ　＆ｖｓとの間、ｖ：ｌとｖ６との間、ｖ４と
ｖ７との間で行われる。

Ｃｏｘ−Ｄｅｂｏｏｒのアルゴリズムは、上述した変数
を次式に用いている。以下の例は、７階数、ｋｖ＝４の
サーフェスに対するものである。

ｆ＋　＝　（（Ｖｓ　　Ｖ）Ｘｚ＋　（Ｖ　　Ｖ２）Ｘ
Ｉ２）／　（Ｖ、−Ｖ、） ｆｚ　＝　（（Ｖ６　　Ｖ）ｘＢ＋　（ｖ　　Ｖ：＋）
Ｘ＋ｆｆ）／（Ｖ、−Ｖ、） ｆｚ　＝　（（Ｖ７　　Ｖ）　Ｘ１１＋　（Ｖ　　Ｖｌ
）　Ｘ１４）／　（Ｖ、−Ｖｌ） これら３つの式は、ｋｖ＝４であるサーフェスに対する
直線補間の第１段階で用いられる。補間は、３つのポイ
ントを作成するために、ｖ２とＶ、との間、ｖ３と■６
との間、■４とＶ、との間で行われる。これら３つのポ
イントを、第９Ｄ図にＯで囲って示す。補間の第２段階
は、ノット値の再配置を必要とする。この段階では、３
つのポイントしかもっていないので、ノットｖ３〜ｖｂ
を必要とするだけである。ノットｖ：ｌ＋　ｖ４は、新
しい前ノットであり、ｖＳｒ　ｖｈは新しい後ノットで
ある。次の２つの式は、ｋν＝４であるサーフェスに対
する直線補間の第２段階の間に用いられる。

ｆ＋　＝　（（ｖｓ　　ｖ）ｒ＋＋　（Ｖ　　Ｖ３）ｆ
ｚ　）／　（Ｖ、−Ｖ、） ｆｔ　＝　（（Ｖ＆　　ｖ）ｆｚ＋　（Ｖ　　Ｖｌ）ｆ
ｚ　）／　（Ｖ、−Ｖ、） 補間は、２つのポイントを作成するために、■。

とＶ、との間、ｖ４とＶ、との間で行われる。これら２
つのポイントは、第９Ｅ図に○で囲んで示している。

この補間は、導関数を計算するのに用いられる接線をも
作成する。接線を得るために、Ｂでの値からＡでの値を
減算する。Ａ、Ｂは第９Ｅ図に禾されている。

補間の最終段階では、再びノット値の再配置を必要とす
る。この段階では、２つのポイントしかもっていないの
で、ノットｖ４及びｖｓを必要とするだけである。次式
は、サーフェス上のポイントのＸ座標を作成するのに用
いられる。

ｆ　（ｖ）＝　（（ｖｓ　　ｖ）ｒ、＋　（Ｖ−Ｖ４）
ｆｚ　）／　（Ｖ、−Ｖ、） このポイントは、第９Ｆ図にＯで囲って示す。

接線の計算を含む上述のアルゴリズムは、ＷＸ。

ｗｘｖ、　　ｗｙ、　　ｗｙｖ、　　ｗｚ、　　ｗｚｖ
、　　ｗ、　　ｗｖ（ＶはＶ導関数を示している）を作
成するために、グラフィックス・コントロール・プロセ
ッサ内の各座標（ｗｘ、ｗｙ、ｗｚ、ｗ）上で実行され
る（第４Ｃ図のステップ１２８）。

ｗｘ、ｗｙ、ｗｚ、ｗの評価後、結果として得られるポ
イント及び導関数は、トップ座標ＴＣ（第４Ｄ図のステ
ップ１３０〉及びトップＶ導関数ＴＶＤ　（ステップ１
３２）としてＶインタバル・スタックに格納される。Ｖ
インタバル・スタックは、２行と８×Ｎ２までの幅とを
有している。ここにＮ２は、グラフィックス・コントロ
ール・プロセッサのローカル・メモリによりサポートさ
れる最大Ｕ次元（例えば６４）である。スタックのトッ
プ行はトップ座標ＴＣ及びトップＶ導関数ＴＶＤを有し
、次行はボトム座標ＢＣ及びボトムＶ導関数ＢＶＤを有
−している。■インタバル・スタックの説明は、第１０
Ａ図を参照されたい。

１列のｗｘ、ｗｙ、ｗｚ、ｗに対する評価が終了した後
に、ｕｃｏｇｎ　ｔをＵ次元Ｎｕと比較する（第４Ｄ図
のステップ１３４）。ｕｃｏｕｎｔがＮｕに等しくなけ
れば、ライン１３５を経て第４Ｃ図のステップ１２４（
ｕｃｏｕｎｔをインクリメントする）に戻り、コントロ
ール・ポイント・スタックの各列内のすべての要素が評
価されるまで評価処理を続ける。各列内のすべての要素
が評価されると、ｕｃｏｕｎ　ｔはＮｕに等しくなり、
ストリップのトップ・エッジが定められる。トップ・エ
ッジ及びボトム・エッジを有するストリップについては
、第１３図を参照されたい。

次に、ｖｆｌａｇをＯと比較する（ステップ１３６）。

ｖｆｌａｇがＯに等しければ、それは最初のスパンの開
始であり、ライン１３８を経て第４Ｆ図のステップ２５
８（ｖｆｌａｇ　＝　１　）ヘスキップする。実行され
る次のステップが、取り出されたトップ座標及びＶ導関
数のみならず、この時点ではまだ取り出されていないボ
トム座標及び■導関数をも必要とするので、前記スキッ
プが必要となる。ｖｆｌａｇがＯに等しくないならば、
トップおよびボトム座標及びＶ導関数が計算され、処理
が続けられる。この時点では、ストリップはすでに定め
られている。第１３図を参照されたい。

次に、コマンド°“パラメトリック・サーフェスをスタ
ート及び階数（ｋｕ）が各並列浮動小数点プロセッサ１
６に送られる（ステップ１４０．１４２）。

次に、ｋｕ−１個のＵノットがグラフィックス・コント
ロール・プロセッサのローカル・メモリから読み取られ
て、各並列浮動小数点プロセッサへ送られる（ステップ
１４４）。各プロセッサ内では、これらＵノットをスタ
ックに格納する。各スタックは、２ｋｕ−２行のデータ
を保持するに十分な容量を有し、ファーストイン・ファ
ーストアウト（ＦＩＦＯ）的に動作する。各並列プロセ
ッサ内のノット・スタックの説明については、第１１図
を参照されたい。第１１図の各スタックは、格納された
ばかりのｋｕ−１個のＵノットを示している。

次に、ｕｃｏｕｎｔはＯに初期化され（ステップ１４６
）、コマンド“サーフェス・スパンをスタート”が各並
列浮動小数点プロセッサに送られる（ステップ１４８）
。次に、ｕｃＯｕｎ　ｔは１だけインクリメントされ（
ステップ１５０）、Ｕ階数（ｋｕ）及びＵノット（ｋｕ
十ｕｃｏｕｎｔ　−１）が、各浮動小数点プロセッサ１
６に送られる（ステップ１５２）。各並列浮動小数点プ
ロセッサ１６がＵノット値を受け取ると、この値は前述
したように各プロセッサのスタックに格納される（ステ
ップ１５４）。

次に、各座標（ｘ、ｙ、ｚ、ｗ）に対し、■インタバル
・スタックの列（ｕｃｏｕｎｔ）内の、対応するトップ
座標、トップＶ導関数、ボトム座標、ボトムＶ導関数が
、グラフィックス・コントロール・プロセッサから対応
する浮動小数点プロセッサに送られる（ステップ１５６
）。例えば、Ｘ座標に対応する情報はプロセッサ１６ｘ
に送られ、Ｘ座標に対応する情報はプロセッサ１６ｙに
送られる等である。データが対応するプロセッサにより
受け取られると、プロセッサは、データをスタックに格
納する（ステップ１５Ｂ）。このデータ・スタックは、
４列幅及びｋｕ行の深さを有し、ＦＩＦＯ的に動作する
。■データ行が格納された後の、各プロセッサ内の各ス
タックの状態は第１１図を参照されたい。

次のステップは、ｕｃｏｕｎｔがｋｕより小さいか否か
を決定するステップである（第４Ｅ図のステップ１６０
）。小さいならば、Ｕスパンは終了せず、ライン１６１
を経て第４Ｄ図のステップ１５０　　（ｕｃｏｕｎｔを
インクリメント）へ戻り、さらに多くのデータを各並列
プロセッサに送る。ｕｃｏｕｎｔ；５（ｋｕ以上ならば
、Ｕスパンは終了する。

Ｕスパンが終了した後、Ｕｌをｕｋｎｏｔ　（ｕｃｏｕ
ｎｔ）に等しくなるようにセットしくステップ１６２）
、Ｕｓをｕｋｎｏｔ　（ｕｃｏｕｎｔ＋　ｌ　）に等し
くなるようにセットする（ステップ１６４）。

次のステップでは、Ｕスパンが有効か否かを決定する（
ステップ１６６）。Ｕスパンは、Ｕ、＜Ｕｍａｘ Ｕ、　　＞Ｕｍｉｎ Ｕ　！　＞　Ｕ　１ ならば、有効である。ここに、Ｕｌ及びＵ２は、前のス
テップで与えられた値に等しく　、　Ｌｌｍａｘ及びＬ
ｌｎ＋ｉｎはローカル・メモリに前に記憶されている値
に等しい。Ｕスパンが無効であるならば、ライン１６Ｂ
を経て第４Ｆ図のステップ２５５　　（ｕｃｏｕｎｔ＜
Ｎｕか）に進み、次のＵスパンを処理する。Ｕスパンが
有効なら、ｖｓｂｌ　（ｕｃｏｕｎｔ−ｋｕ＋　１　）
を１と比較する（ステップ１７０）。１に等しくなけれ
ば、Ｕスパンはビジプルでなく、ライン１７１を経て再
びステップ２５５　　（ｕｃｏｕｎＬをインクリメント
）へ進む。

１に等しければ、Ｑｍｉｎ　（ｕｃｏｕｎｔ−ｋｕ＋　
１　）を各並列プロセッサに送る（ステップ１７２）。

各並列プロセッサ１６がＱｓｉｎを受け取ると、Ｑｍｉ
ｎをプロセッサ１８に送る（ステップ１７４）。プロセ
ッサ１８は、Ｑｍｉｎをレジスタに格納する。

次に、Ｕパラメトリック座標インタバルＤｕは、グラフ
ィックス・コントロール・プロセッサ内で、口ｕ＝　　
（Ｕｚ−Ｕ、）　　／Ｎｕｓｔｅｐのように計算される
（ステップ１７６）。ここに、Ｎｕｓ　ｔｅｐは、 （ａ）スクリーン（ビクセル）座標／データ座標の比に
等しいスケールＳを計算する、 （ｂ　）　ｄＵ　（ｕｃｏｕｎｔ−ｋｕ＋　１　）を、
ビクセル・ユニットに変換する。ビクセル・ユニットハ
、ｄｌＪ　（ｕｃｏｕｎｔ−ｋｕ＋　１　）にＳを乗じ
てｄＵ’を生成するデバイス座標である、 （ｃ　）　Ｎｕｓｔｅｐを計算する、Ｎｕｓｔｅｐ＝Ｍ
ａｘ（１，１ｎｔｓｑｒｔ　（ｄｕ’　）　）である、 によって決定される。

Ｕパラメトリック座標インタバルが計算された後、Ｕス
パンの初め及び終わりがＵ＋ｗｉｎ及びＵｍａｘによっ
て設定される境界の外側にないことを確保するために、
Ｕｌ及びＵ２を次のように調整する。

（ステップ１７８）。ｔｌｍｉｎがＵｌとＵ２との間に
あれば、Ｕ＋　はＵｍｉｎに等しくなるように設定され
、ＵｍａｘがＵｌとＵ２との間にあれば、Ｕ２はＵｍａ
ｘに等しくなるように設定される。

次に、コマンド“パラメトリック・サーフェスを評価せ
よ”が、各並列プロセッサ１６に送られる（ステップ２
００）。並列プロセッサがこのコマンドを受け取ると、
プロセッサは同じコマンドをプロセッサ１８に送る（第
４Ｇ図のステップ２０６）。プロセッサ１８は、一連の
ポリゴンの開始を指示する、ｖｆｌａｇ＝ｏ及びＰＲＥ
Ｖ　＝　Ｎ０ＮＢをセットする（ステップ２０８．２１
０）。これらの動作が実行されている間、グラフィック
ス・コントロール・プロセッサは動作し続ける。第４Ｅ
図のライン２０２は、グラフィックス・コントロール・
プロセッサにおいて動作が実行されると同時に、他のプ
ロセッサにおいても動作が実行されることを示している
。次に、グラフィックス・コントロール・プロセッサは
、４階数（ｋｕ）を、各並列浮動小数点プロセッサに送
る（ステップ２１２〉。

次に、ＰＣと称されるレジスタが、最初のＵパラメトリ
ック・ポイントを示すＵｌに等しくなるようにセットさ
れる（ステップ２１４）。ＰＣは、各並列プロセッサに
送られる（ステップ２１６）。

並列プロセッサ１６ｘ、　１６ｙ、　１６ｚ、　１６ｗ
及び次段のプロセッサ１８で行われる動作は、第４Ｈ図
のフローチャートにより理解できるであろう。第４Ｈ図
のフローチャートにおけるタスクは、グラフィックス・
コントロール・プロセッサの動作と同ｌに行われる。こ
れは、第４Ｅ図にライン２１８によって示されている。

プロセスのこの段階では、トップ及びボトム座標及びＶ
導関数より成るストリップが存在している。このストリ
ップは、サーフェスの全長に対しＵ座標方向に延在し、
連続する２個のＶパラメトリック・ポイントにより■座
標において境界が定められている。次のステップは、ｂ
−スプライン関数を評価することである。ｂ−スプライ
ン関数は、ストリップ、すなわち続くｕスパンのそれぞ
れに対する連続Ｕパラメータ・ポイントに基づく、トッ
プ座標、トップＶ導関数、ボトム座標、ボトムＶ導関数
を定義している。第１３図は、ストリップと、連続する
Ｕ個のインタバルに分割された連続Ｕスパンを示してい
る。

第４Ｈ図において、並列浮動小数点プロセッサがパラメ
ータ・ポイント（ＰＧ）を受け取った後は、各プロセッ
サは、コントロール・ポイント座標の組（ｗｘ、ｗｙ、
ｗｚ、ｗ）の１つ−の要素に対し、ｂ−スプライン関数
の評価を開始する（ステップ２２４）。例えば、第１の
並列浮動小数点プロセッサ１６ｘは、Ｘ座標に対する評
価を行い、第２並列浮動小数点ポイント・プロセッサ１
６ｙは、Ｘ座標に対する評価を行う等である。すべての
４個の並列浮動小数点プロセッサは、それぞれの座標を
同時に評価する。各座標に対し、各プロセッサは、４つ
のｂ−スプライン関数、すなわちトップ座標。

トップ導関数、ボトム座標、ボトムＶ導関数を評価する
。これら４つのｂ−スプライン関数から、上述した値に
加えて、トップＵ導関数及びボトムＵ導関数を含む６個
の値が生成される。

前述したＣａｘ−ＤｅＢｏｏｒアルゴリズムは、４つの
ｂ−スプライン関数のそれぞれを評価するのに用いられ
ている。トップ及びボトムＵ導関数は、トップ及びボト
ムＶ導関数と同様に計算される。すなわち、トップ及び
ボトムＵ導関数は、トップ及びボトム座標から導き出さ
れる。

各並列プロセッサからの６つの値は、同時にプロセッサ
１８に送られる（ステップ２２６）。これらの値は、１
組ノドツブ座標（ＴＷＸ、　ＴＷＹ、　ＴＷＺ、　ＴＷ
）と、１組のトップＵ導関数（ＴＷＸＵ、　ＴＷＹＵ、
　ＴＷＺＵ、　ＴＷＵ）と、１組ノドツブＶ導関数（Ｔ
ＷＸＶ、　ＴＷＹＶ、　ＴＷＺＶ。

ＴＷＶ）と、１組のボトム座標（ＢＷＸ、　ＢＷＹ、　
ＢＷＺ、　ＢＷ）と、ＩＭのボトムＵ導関数（ＢＷＸＵ
、　ＢＷＹＵ、　ＢＷＺＵ。

ＢＷｔｌ）と、１組のボトムＶ導関数（ＢＷＸＶ、　Ｂ
ＷＹＶ、　ＴＷＺＶ、　ＴＷＶ）とを含んでいる。

前述したように各組の座標及び導関数を受けると（ステ
ップ２２７）、プロセッサ１８は種々のステップを実行
する。まず初めに、ＴＷ＝　１　／ＴＷを計算し、この
値を、それぞれトップ座標及び導関数に対するライト頂
点座標及びライト頂点接線の連続する計算に用いる（ス
テップ２２９）。

トップ・ライト頂点座標は、 ＴＲＸ　　＝ＴＷＸ　−ＴＷ ＴＲＹ　　＝ＴＷＹ−Ｔ賀 ＴＲＺ　　＝ＴＷＺ　−ＴＷ のように計算されている。したがって、トップ座標ＴＣ
＝　（ＴＲＸ、　ＴＲＹ、　ＴＲＺ）となる。

トップ・ライト頂点Ｕ接線は、 ＴＲＸＵ　＝　（ＴＷＸ［Ｉ　−ＴＲＸ　−ＴＷＯ）　
ＴＷＴＲＹＵ　＝　（ＴＷＹＵ　−ＴＲＹ　−ＴＷＵ）
　ＴＷＴＲＺＵ　＝　（ＴＷＺＵ　−ＴＲＺ　−ＴＷｔ
ｌ）　ＴＷのように計算される。

トップ・ライト頂点Ｖ接線は、 ＴＲＸＶ　＝　（ＴＷＸＶ　−ＴＲＸ　−ＴＷＶ）ＴＷ
ＴＲＹＶ＝　（ＴＷＹＶ−ＴＲＹ　・ＴＷＶ）ＴＷＴＲ
ＺＶ＝（ＴＷＸＶ　−ＴＲＺ　−ＴＷＶ）　ＴＷのよう
に計算される。

次に、トップ・ライト頂点法線を、対応するトップＵ及
びＶ接線のクロス乗積をとることによって計算する（ス
テップ２３０）。例えばＴＮＸ　　＝ＴＲＹＵ　−ＴＲ
ＺＶ−ＴＲＺｔｌ　−ＴＲＹＶＴＮＹ　＝ＴＲＺＵ　−
ＴＲＺＶ−ＴＲＸＵ　−ＴＲＺＶＴＮＺ　　＝ＴＲＸＵ
　−ＴＲＹＶ−ＴＲＹＵ　−ＴＲＸＶのように計算され
るーしたがって、サーフェス法線ペクト／Ｉ／ＴＮ−（
ＴＮＸ、　ＴＮＹ、　ＴＮＺ）となる。

次に、頂点法線の大きさを、 ↑ＭＰ　＝ＴＮＸ　　−ＴＮＸ＋ＴＮＹ　　−ＴＮＹ＋
ＴＮＺ　　−ＴＮＺのように、Ｘ＋）’＋Ｚ座標の２乗
の和をとることによって計算する。

次に、ＴＭＰの値を、Ｑｍｉｎと比較する（ステップ２
３１）。Ｔ？ＩＰがＧｍ１ｎより小さければ、レジスタ
のビットをフェイル（ｆａｉｌ）にセットする（ステッ
プ２３２）。ＴＭＰがＱｎ＋ｉｎ以上であれば、ビット
をバスに等しくなるようにセットする（ステップ２３３
）。

次に、他のバスまたはフェイルを生成するために、ボト
ム値に対し上述の手順を操り返す。■＝１／Ｂ−を計算
し、ボトム・ライト頂点座標を、ＢＲＸ　＝ＢＷに・Ｂ
Ｗ ＢＲＹ　　＝ＢＷＹ　−ＢＷ ＢＲＺ　　＝ＢＷＺ　−ＢＷ のように計算する（第４１図のステップ２３４）、した
がッテ、ボトム座標ＢＣ＝　（ＢＲＸ、　ＢＲＹ、　Ｂ
ＲＺ）となる。

次に、ボトム・ライト頂点Ｕ接線を、 ＢＩ？ＸＩＩ　＝　（ＢＷＸＩＩ　−ＢＲＸ　−ＢＷＬ
Ｉ）　ＢＷＢＲＸＹ　＝　（ｔＶＹＵ　−ＢＲＹ　−Ｂ
ＷＬＩ）　ＢＷ’　ＢＲＸＺ　＝　（ＢＷＺｔｌ　−Ｂ
ＲＺ　−ＢＷＵ）　ＢＷのように計算する。

ボトム・ライト頂点Ｖ接線は、 ＢＲＸＶ　＝　（ＢＷＸＶ　−ＢＲＸ　−ＢＷＶ）　Ｂ
ＷＢ！？ＹＶ　＝　（ＢＷＹＶ　−ＢＲＹ　−ＢＷＶ）
　ＢＷＢＲＺＶ　＝　（ＢＷＺＶ　−ＢＲＺ　−ＢＷＶ
）　ＢＷのように計算される。

次に、対応するボトムＵ及びＶ接線のクロス乗積をとる
ことによって、ボトム・ライト頂点法線を計算する（ス
テップ２３５〉。例えばＢＮＸ　＝ＢＲＹＵ　−ＢＲＺ
Ｖ−ＢＶＺｔｌ　−ＢＲＹＶＢＮＹ　＝ＢＲＺＩＩ　・
ＢＲＺＶ−ＢＲＸｔｌ　・ＢＲＺＶＢＮＺ　　＝ＢＲＸ
Ｕ　−ＢＲＹＶ−ＢＲＹＵ　−ＢＲＸＶのように計算さ
れる。したがって、サーフェス法線ペクト７１／ＢＮ＝
　（ＢＮＸ、　ＢＮＹ、　ＢＮＺ）となる。

次に、ＢＭＰの値を、口＋ｍｉｎと比較する（ステップ
２３６）。ＢＭＰが口１ｌｉｎより小さければ、レジス
タのビットをフェイルにセットする（ステップ２３７）
。ＢＭＰが口ｌｌｌｌｎ以上であれば、ビットをバスに
等しくなるようにセットする（ステップ２３Ｂ）。

次に、上述のテストの２つの結果及びＰＲＥＶの値に基
づいて、２つのベクトルＶｌ及びｖ２に、特定の値を割
り当てる。これらベクトルの値は、現在の法線ベクトル
のトップ及びボトムが法線しきい値テストに失敗したな
らば使用されるように、蓄積される。次表は、成る条件
の下で、Ｖｌ、Ｖ２、ＰＲＥＢがセットされる状態を示
している。トップ（Ｔｏｐ）はサーフェス法線ベクトル
のトップを示し、ボトム（Ｂｏ　ｔ　ｔｏｍ）はサーフ
ェス法線ベクトルのボトムを示し、ＰＲＥＶはＰＲＨＶ
の現在の値を示し、コピー（ｃｏｐｙ）は成る条件の下
で何がコピーされるかを示し、蓄積（Ｓａｖｅ）は■１
及びｖ２に何が蓄積されるかを示し、セラ）　（Ｓｅｔ
）はＰＲＥＶが成る条件の下でどのようにセットされる
かを示している（ステップ２３９）。

次に、ｖｆｌａｇのステータスを調べる（ステップ２４
０）。ｖｆｌａｇがＯに等しければ、ｖｆｌａｇは１に
等しくなるようにセットされ（ステップ２４１）、ステ
ップ２４５（より多くのデータを待て）にスキップする
。ｖｆｌａｇがＯに等しければ、ボトム座標ＢＣ。

ボトム法線ＢＮ、　　トップ座標ＴＣ，）ツブ法線ＴＮ
は、クリッピング・プロセッサ２０に送られる（ステッ
プ２４２）。続いて、コマンド“ポリゴンの終了゛が送
られる（ステップ２４３）。クリッピング・プロセッサ
は、いくつかの動作を実行する。これらのステップは、
プロセッサ１８で実行されるワークと同時に実行される
。これを、第４Ｉ図にライン２４６で示す。

クリッピング・プロセッサにおける動作は、第４Ｊ図に
より理解されるであろう。クリッピング・プロセッサは
、現在の３次元ビュウイング・ウィンドウに対し、プロ
セッサ１８から丁度受け取ったポリゴンをクリップし、
クリップされたエツジに沿って頂点法線を補関し、得ら
れた頂点法線を通常の方法で単位ベクトルに変換する（
ステップ２４７）。

次に、クリッピング処理が終了した後に、元のポリゴン
のどこか一部がビュウイング・ウィンドウ内に残ると、
プロセッサ１８はコマンド“’３ｄポリゴンをシェーデ
ィングでレンダせよ”をフレーム・バッファ２２に送る
。プロセッサ１８は、また、得られた頂点座標及び頂点
法線を送る（ステップ２４８）。

次に、フレーム・バッファはポリゴンのシェーブラド像
を生成する（ステップ２４９）。

クリッピング・プロセッサ及びフレーム・バッファで動
作が実行されている間、プロセッサ１８は処理をし続け
る。プロセッサ１８がコマンド“°ポリゴンの終了”を
クリッピング・プロセッサ２０に送った後は、クリッピ
ング・プロセッサ２０はより多くのデータを待つことに
なる（ステップ２４４）。次に、より多くのデータが到
来すると、プロセッサ１８はコマンド“ポリゴンをスタ
ート”を、続いてトップ座標（ＴＣ）、）ツブ法線（Ｔ
Ｎ）　、ボトム座標（ＢＣ）　、ボトム法線（ＢＮ）を
クリッピング・プロセッサに送る（ステップ２４５）。

次に、第４Ｈ図のステップ２２７（プロセッサ１８はデ
ータを受け取る）に戻り、データがなくなるか、あるい
はプロセッサ１８がなんらかのコマンドを受け取るまで
、処理が繰り返される。

再び第４Ｅ図において、並列浮動小数点プロセッサ１６
及び他のプロセッサにおいて評価及び他の処理が実行さ
れている間、グラフィックス・コントロール・プロセッ
サ１４は、パラメトリック・ポイントを計算し続ける。

第４Ｅ図のステップ２２０で、ＰＣはＤｕだけインクリ
メントされる。次に、ｐｃをＵ２と比較しくステップ２
２２）、ｐｃがＵ２より小さければ、各並列浮動小数点
プロセッサにｐｃが送られる。ＰＣが０２以上であれば
、ＰＣはＵ２に等しくなるようにセットされ（第４Ｆ図
のステップ２５２）、各並列プロセッサに送られる。こ
の値が並列浮動小数点プロセッサに送られ評価された後
は、成るＵスパンに対してすべてのＵパラメータが評価
される０次のステップで、多くのＵスパンがあるか否か
を決定する（ステップ２５５）。ｕｃｏｕｎ　ｔがＮｕ
より小さければ、多くのＵスパンが存在し、ライン２５
７を経て第４Ｄ図のステップ１５０に戻る。ｕｃｏｕｎ
ｔがＮｕに等しければ、多くのＵスパンは存在しない。

この時点で、ｖｆｌａｇを１にセットする（ステップ２
５８）、これは、状態が現在のＶスパンの開始状態にな
いことを示している。次に、■インタバル・スタックの
値をブツシュ・ダウンする（スタック２６０）。このス
タックは、前述したように、Ｕ次元（Ｎｕ）の各ｘ、ｙ
、ｚ、ｗ座標に対するトップ座標、トップＶ導関数、ボ
トム座標、ボトムＶ導関数を格納している。この時点で
のＶインタバル・スタックについては、第１０Ｂ図を参
照されたい。

この時点で、トップ座標及び導関数の全体は、対応する
ボトム値に等しい。

次に、■パラメトリック・インタバルをＤｖだけインク
リメントして（ステップ２６２）、Ｖｔと比較する（ス
テップ２６８）。■がｖ２より小さければ、次のＶイン
タバルが評価され、ストリップの他のトップ・エッジを
生威し、ライン２７０を経て第４０図のステップ１２２
　　（ｕｃｏｕｎｔをインクリメントする）に戻る。■
が■２以上ならば、ｖｌａｓｔを判断する（ステップ２
７２）。ｖｌａｓｔが１に等しくなければ、Ｖはｖ２に
等しくなるようにセットされる（ステップ２７４）、ｖ
ｌａｓｔがｌに等しければ、これはＶインタバル・ルー
プの終わりを示しくステップ２７６）、ライン２７８を
経てステップ１２２　　（ｕｃｏｕｎｔをインクリメン
トする）に戻る。ステップ２７２でｖｌａｓｔが１に等
しければ、ｖｃｏｕｎ　ｔをＮｖと比較する（ステップ
２８０）。ｖｃｏｕｎ　ｔがＮｖより小さければ、次の
Ｖスパンを評価し、ライン２８２を経て第４Ａ図のステ
ップ６４（コントロール・ポイントの１行を読み込む）
に戻る。ｖｃｏｕｎｔがＮｖ以上であれば、コマンド“
パラメトリック・サーフェスを終了せよ”を、各並列浮
動小数点プロセッサ１６に送る（ステップ２８４）。

次のステップは、ステータス・フラグのチエツクである
（ステップ２８６）。ステータス・フラグが０に等しけ
れば、すべてのＵ及びＶテサレイション・パラメータを
、グラフィックス・コントロール・プロセッサのローカ
ル・メモリー（ＬＭ）からシステム・メモリ（ＳＭ）ヘ
コピーする（ステップ２８８．２９０）。次に、ステー
タス・フラグを１に更新しくステップ２９２）、システ
ム・メモリに記憶する（ステップ２９４）。これは、ｄ
Ｕ及びｄＶパラメータ値がすでに計算されており、この
サーフェスが再び評価およびレンダリングされても、再
計算されないことを示している。ステータス・フラグが
Ｏに等しくなければ、もはやいかなる動作も実行されな
い。

以上で、並列及びパイプライン処理プロセッサを用いて
、非一様有理ｂ−スプライン（ＮＵＲＢＳ）に基づくパ
ラメトリック・サーフェスの評価及びレンダリング方法
及び装置について説明した。

プロセッサを並列及びバイブライン処理的に使用するこ
とにより、サーフェスを従来技術に比べてより高速に評
価しレンダリングすることが可能となった。また、この
発明による方法は、データ冗長性を排除し、データの効
率的処理を可能にした。

ＮＵＲＢＳは、その固有の特性の故に、多くの利点を与
え、この発明は、これらの利点を十分に利用している。

ＮＵＲＢＳ−によれば、サーフェスをパッチ・アレイに
分割することが可能になる。

各パッチは、異なるパラメトリック多項式の組によって
表される。ＮＵＲＢＳサーフェスの隣接パッチを記述す
るパラメトリック多項式は、特定の連続度を与えている
。連続度を、滑らかなサーフェスあるいはシャープなコ
ーナを有するサーフェスを潜函できるように制御するこ
とができる。連続スパンを特定の連続度にマツチさせる
能力は、複雑なサーフェスの構成が低階数のＮＵＲＢＳ
を用いる多くのポイントを通過することを可能にする。

この特性は、評価コストが高くなり数値的に不安定な高
次関数を避けることを可能にするので極めて価値がある
。

口゛−カル・コントロールは、ＮＵＲＢＳの１つの特徴
である。ＮＵＲＢＳは、コントロール・ポイント、重み
、ノット・ベクトルで規定されるので、全部のパッチに
作用することなくコントロール・ポイントを移動するこ
とによって、サーフェスのパッチを変更することが可能
である。階数がｋｕ及びｋｖのサーフェスに対する各コ
ントロール・ポイントは、ｋｕ　Ｘ　ｋｖまでのパッチ
に作用する。

凸閉包特性は、さらに他の利点を与える。ＮＵＲＢＳサ
ーフェスは、それらのコントロール・ポイントの凸閉包
内に含まれている。凸閉包は、最小の凸ポリゴン（２次
元の場合）あるいは−組のポイントを含む最小凸条面体
（３次元の場合）である。サーフェスの各パッチは、そ
のパッチを規定するｋｕ　Ｘ　ｋｖコントロール・ポイ
ントの凸閉包内に存在しなければならない。この特徴は
、ポイントを評価することなく、ＮＵＲＢＳサーフェス
のサイズ及びロケーションを評価し及びサイズ及びロケ
ーションに境界を設定することを可能にする。

これは、トリビアル・リジェクション・テスト（ｔｒｉ
ｖｉａｌ　ｒｅｊｅｃｔｉｏｎ　ｔｅｓｔｉｎｇ　）に
は特に重要である。換言すれば、凸閉包が現在のスクリ
ーンとオーバラップしなければ、サーフェスは評価され
ず、リジェクトされる。このことは、複雑な情景または
対象の小さな部分の詳細なビューに対してユーザがズー
ムインするときに、システムの性能に大きな影響を与え
る。サーフェスの評価がリジェクトされなければ、凸閉
包はサーフェスが評価されるポイントを規定するのに用
いることができる。これは、パラメトリック関数を評価
するのに数台のプロセッサが用いられるパイプライン化
アーキテクチャに最も有用であり、評価のためのポイン
トを選択するプロセッサは、この評価の結果はアクセス
しない。

コントロール・ポイントに関連する重みは、柱体、錐体
１球のような幾何形状を含む２次曲面の正確な表示を与
える。これは、これらの種類のサーフェスはジオメトリ
ツク・モデリングに対し主要なものであるので、特に重
要な効果である。

この発明の他の効果は、サーフェスを表すのに用いられ
るポリゴンの頂点よりはむしろコントロール・ポイント
を用いることによって、変換を行うことができることで
ある。通常、コントロール・ポイントの数はポリゴン頂
点の数より少ないので、この方法は経済的である。また
、変換されたコントロール・ポイントは、前述した凸閉
包特性に基づくトリビアル・リジェクションに用いるこ
とができる。

この発明で用いられる評価技術は、コントロール・ポイ
ントを直接使用している。その結果、フォワード・ディ
ファレンス（ｆｏｒｗａｒｄ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ）
法に基づく方法のような他の方法に比べて、セットアツ
プ・コストが低くなる。補間式はＮＵＲＢＳ関数の数値
安定性を与え、また各ポイントは独立に演算されるので
、各スパンにわたり計算が行われる場合の累積エラーが
存在しない。したがって、サーフェス上の最終ポイント
は、最初のポイントと同様に正確であり、各スパンは次
のスパンに最大精度でマツチする。これにより、サーフ
ェスの表示は、バッチ境界でのホールや他のエラーを有
さないことが保証される。

この発明で用いられるテサレイション技術、すなわち各
サーフェスを単一のエンティティとしてシステマティッ
クにテサレイトすることは、サーフェス内のピンホール
（孤立した消失ビクセル）またはリップ（消失ピクセル
の連続）の生成を避ける。

さらに、トラパーサル・タイム・テサレイションと共に
ＮＵＲＢＳ形式を用いることは、スクリーン上で更新さ
れる１秒あたりの非常に多数のオブジェクトを生成する
。ポリゴンをファイルし得る速度に匹敵する速度で、サ
ーフェスを評価しポリゴンに変換することができるので
、変換されたポリゴンをシステム・メモリ、マス・スト
レージあるいは他のいずれかに、蓄積する必要がない。

スクリーンが更新される毎に、各サーフェスはポリゴン
に変換される。変換された各ポリゴンは、シェーディン
グ、ライティング、陰面消去が行われ、廃棄される。こ
のことは、各サーフェスを表すのに選ばれたポリゴンの
組を、サーフェスの各インスタンスの瞬時的条件に合致
するように最適化することのできる、トラパーサル・タ
イム・テサレイションを有することを可能にする。

ＮＵＲＢＳサーフェスは、非常にコンパクトなデータ構
成を形成するので、従来のポリゴン・データに比べて、
データ転送レートがかなり改善され、システム・リソー
スを良好に利用でき、より複雑なグラフィックスをサポ
ートすることを可能にする。例えば、オブジェクトをＮ
ＵＲＢＳで表すのに必要なデータ量は、同じオブジェク
トをポリゴンで表すのに必要とされるデータ量よりも１
０〜１００倍小さい。これらの利点は、ＮＵＲＢＳデー
タをオリジナルな形式で処理することにより保持され、
またこの発明のスパン・シェアリング・データ・シーケ
ンシング・アプローチにより高められる。

Ｅ１発明の効果 以上から明らかなように、ＮＵＲＢＳに基づいてバッチ
・サーフェスを評価しレンダリングする方法及び装置は
、高性能、良好な数値安定性、トラパーサル・タイム・
テサレイション、コストの有効性、高速性及び精度、サ
ーフェスに対する十分な制御、対話型３次元グラフィッ
クス用に既に提供されているＰＨＩＧＳ　　ＰＬＵＳ標
準とのコンパチビリティ、データ冗長性の排除を含むな
どの多くの利点を有している。

【図面の簡単な説明】 第１図は、ｘ、ｙ、ｚ座標空間およびパラメトリック空
間におけるＮＵＲＢＳサーフェスを示す図である。 第２図は、この発明の原理に従って構成されたサーフェ
ス評価及びレンダリングの構成要素及び接続を示すブロ
ック線図である。 第３図は、この発明のサーフェス評価装置の一般的な動
作を示すフローチャートである。 第４Ａ図〜第４Ｇ図は、この発明の原理に基づくサーフ
ェス評価装置の動作を示すフローチャートである。 第４Ｈ図〜第４Ｊ図は、この発明に基づく並列浮動小数
点プロセッサ及びこれらに接続されたプロセッサの動作
を示すフローチャートである。 第５図は、Ｕテサレイション・パラメータを計算する動
作を示すフローチャートである。 第６図は、■テサレイション・パラメータを計算する動
作を示すフローチャートである。 第７Ａ図及び第７Ｂ図は、この発明に用いられるテサレ
イシ褒ン・パラメータをどのように計算するかを理解す
るのに参考となる図である。 第８Ａ図及び第８Ｂ図は、種々の動作段階でのコントロ
ール・ポイント・スタックを示す図である。 第９Ａ図〜第９Ｆ図は、この発明に好適に用いられるＣ
ｏｘ−ＤｅＢｏｏｒの評価方法の適用を示す図である。 第１０Ａ図及び第１０Ｂ図は、種々の動作段階でのＶイ
ンタバル・スタックを示す図である。 第１１図は、各並列プロセッサ内のＵノット・スタック
を示す図である。 第１２図は、各並列プロセッサ内の、トップ及びボトム
座標と導関数とを含むデータ・スタックを示す図である
。 第１３図は、この発明の原理に基づき、Ｕ及びＶ座標に
沿ったテサレイションを示すパラメトリック・サーフェ
スの図である。 １０・・・・・サーフェス評価及びレンダリング装置 １２・・・・・システム・メモリ １４・・・・・グラフィックス・コントロール・プロセ
ッサ １５・・・・・ローカル・メモリ

Claims (20)

【特許請求の範囲】
1. （１）パラメトリック・サーフェスを表すＮＵＲＢＳデ
   ータを、後で行うコンピュータ・グラフィックス・ディ
   スプレイ・システムのスクリーン上でのレンダリングの
   ためのポリゴンの頂点のジオメトリック座標と関連サー
   フェス法線ベクトルとに変換する方法であり、サーフェ
   スは、Ｎｕをｕ座標方向における次元、ｋｕをｕ座標方
   向における階数としたとき、Ｎｕ−ｋｕ＋１個の連続す
   るｕスパン分ｕパラメトリック座標方向に延在する第１
   のエッジと、Ｎｖをｕ座標方向に直交するｖ座標方向に
   おける次元、ｋｖをｖ座標方向における階数としたとき
   、Ｎｖ−ｋｖ＋１個の連続するｖスパン分ｖパラメトリ
   ック座標方向に延在する第２のエッジとを有し、サーフ
   ェスの全体形状が、コントロール・ポイントのＮｖ行×
   Ｎｕ列マトリクスにより規定される、ＮＵＲＢＳデータ
   変換方法であって、 （ａ）前記マトリクスの最初の連続ｋｖ行×Ｎｕ列のコ
   ントロール・ポイントに対するビュー座標の組を、初期
   ｖスパンに対するすべてのコントロール・ポイントを含
   むように、ｋｖ行×Ｎｕ列のコントロール・ポイント・
   スタックに格納するステップと、 （ｂ）ビュー座標を斉次座標に変換し、初期ｖパラメー
   タ・ポイント及び続くｖパラメータ・ポイントに対する
   前記スタックの各列における座標の組のｂ−スプライン
   関数を評価して、前記初期ｖパラメータ・ポイント及び
   続くｖパラメータ・ポイントによってｖ座標において区
   切られ、ｕ座標方向にサーフェスに沿いフルに延在する
   第１ストリップに対し、それぞれ、一連のＮｕ個のボト
   ム座標及びＮｕ個のボトムｖ導関数と、一連のＮｕ個の
   トップ座標及びＮｕ個のトップｖ導関数とを得るステッ
   プと、 （ｃ）第１ストリップの連続するｕスパンのそれぞれに
   対して、連続ｕパラメータ・ポイントでのトップ座標、
   トップｖ導関数、ボトム座標、ボトムｖ導関数のｂ−ス
   プライン関数を評価して、トップ及びボトム座標のｕ依
   存度、トップ及びボトムｕ導関数、及び前記連続ｕパラ
   メータ・ポイントのそれぞれに対するトップ及びボトム
   ｖ導関数のｕ依存度の値を得るステップと、 （ｄ）評価ステップ（ｃ）により得られた値を、ジオメ
   トリック座標の組と、各ｕパラメータ・ポイントに対す
   る前記ストリップのトップ・ポイント及びボトム・ポイ
   ントに対する頂点法線とに変換し、各ｕパラメータ・ポ
   イントに対する前記トップ・ポイント及びボトム・ポイ
   ントは、直後のｕパラメータ・ポイントに対するトップ
   ・ポイント及びボトム・ポイントと共に、後にレンダリ
   ングされる４辺ポリゴンを定めるステップと、 （ｅ）前記初期ｖスパンの後続ｖパラメータ・ポイント
   に対してステップ（ｂ）〜（ｄ）を繰り返し、サーフェ
   スの連続ｖスパンに対してステップ（ａ）〜（ｄ）を繰
   り返すステップと、 を含むＮＵＲＢＳデータ変換方法。
2. （２）ストリップのトップ座標及びトップｖ導関数を、
   直後のストリップに対する前記評価ステップ（ｃ）にお
   けるボトム座標及びボトムｖ導関数として用いる請求項
   １記載のＮＵＲＢＳデータ変換方法。
3. （３）サーフェスの初期ｕスパンを前記スタックのｋｕ
   個の列により定め、連続するｕスパンのそれぞれを続く
   列及び直前のｋｕ−１個の列により定め、サーフェスの
   初期ｖスパンを前記マトリクスの最初のｋｖ個の連続行
   により定め、連続するｖスパンのそれぞれを前記マトリ
   クスの対応する続く行及び直前のｋｖ−１個の行により
   定め、 前記スタックを、ファーストイン・ファーストアウト行
   式に動作し、 前記マトリクスの対応する連続行を、連続するｖスパン
   のそれぞれに対する前記スタックのトップに格納するス
   テップをさらに含む請求項２記載のＮＵＲＢＳデータ変
   換方法。
4. （４）前記マトリクスのコントロール・ポイントを、モ
   デリング座標で表し、各コントロール・ポイントは、モ
   デリング座標に関連した重みｗを有する請求項３記載の
   ＮＵＲＢＳデータ変換方法であって、 コントロール・ポイント・モデリング座標をビュー座標
   に変換するステップと、 コントロール・ポイントの変換座標に関連重みを乗算し
   て、新しい座標を各コントロール・ポイントに対する斉
   次座標の組に変換するステップと、各ｖスパンに対する
   ｖパラメトリック座標インタバルを計算し、これからｖ
   スパンに対する前記ｖ座標インダバルだけ離間されてい
   る一連のｖパラメータ・ポイントを生成するステップと
   、をさらに含むＮＵＲＢＳデータ変換方法。
5. （５）ストリップの各ｕスパンに対するｕパラメトリッ
   ク座標インタバルを計算し、これから前記ｕスパンに対
   する前記ｕインダバルだけ離間されている一連のｕパラ
   メータ・ポイントを生成するステップと、 ４個の並列浮動小数点プロセッサで前記評価ステップ（
   ｃ）を実行し、各プロセッサは、ｗｘ、ｗｙ、ｗｚ、ｗ
   の座標の組のうちのそれぞれ１つの座標に対するｂ−ス
   プライン関数を同時に評価するステップと、 をさらに含む請求項４記載のＮＵＲＢＳデータ変換方法
   。
6. （６）前記変換ステップ（ｄ）が、 前記評価ステップ（ｃ）で得られた値から重みｗを除去
   して、ｕパラメータ・ポイントのそれぞれに対する前記
   ストリップのトップ・ポイント及びボトム・ポイントに
   対して、ジオメトリック座標の組とｕ接線とｖ接線とを
   生成するステップと、前記トップ・ポイント及びボトム
   ・ポイントのそれぞれに対して、ｕ接線とｖ接線とのク
   ロス乗積をとることにより頂点法線を計算するステップ
   と、 前記頂点法線の大きさを計算するステップと、を含む請
   求項５記載のＮＵＲＢＳデータ変換方法。
7. （７）前記評価ステップ（ｂ）及び（ｃ）が、Ｃｏｘ−
   ＤｅＢｏｏｒのプロセスを用いる請求項６記載のＮＵＲ
   ＢＳデータ変換方法。
8. （８）各トップ及びボトム・ポイントでの頂点法線の大
   きさを法線しきい値と比較し、前記大きさが前記しきい
   値より小さい場合には、そのポイントでの頂点法線ベク
   トルを、隣接ポイントでの法線ベクトルで置き換えるス
   テップをさらに含む請求項７記載のＮＵＲＢＳデータ変
   換方法。
9. （９）各ｖスパン内の各ｕスパンのビジビリティを決定
   するステップをさらに含む請求項８記載のＮＵＲＢＳデ
   ータ変換方法。
10. （１０）現在の３次元ビューイング・ウィンドウに対し
    て前記ステップ（ｄ）の各ポリゴンをクリッピングする
    ステップと、 クリップされたエッジに沿って頂点法線を補間するステ
    ップと、 補間された頂点法線を、後で行うレンダリングのための
    単位ベクトルに変換するステップと、をさらに含む請求
    項９記載のＮＵＲＢＳデータ変換方法。
11. （１１）トリムされていないパラメトリック・サーフェ
    スを表すＮＵＲＢＳデータを、後で行うコンピュータ・
    グラフィックス・ディスプレイ・システムのスクリーン
    上でのレンダリングのためのポリゴンの頂点のジオメト
    リック座標と関連サーフェス法線ベクトルとに変換する
    方法であり、サーフェスは、Ｎｕをｕ座標方向における
    次元、ｋｕをｕ座標方向における階数としたとき、Ｎｕ
    −ｋｕ＋１個の連続するｕスパン分ｕパラメトリック座
    標方向に延在する第１のエッジと、Ｎｖをｕ座標方向に
    直交するｖ座標方向における次元、ｋｖをｖ座標方向に
    おける階数としたとき、Ｎｖ−ｋｖ＋１個の連続するｖ
    スパン分ｖパラメトリック座標方向に延在する第２のエ
    ッジとを有し、サーフェスの全体形状が、コントロール
    ・ポイントのＮｕ行×Ｎｕ列マトリクスにより規定され
    る、ＮＵＲＢＳデータ変換方法であって、 サーフェスを連続する平行なストリップにテサレイトす
    るステップを含み、各ストリップは、ボトムｖパラメー
    タ値に位置するボトム・エッジ及びトップｖパラメータ
    値に位置するトップ・エッジを有し、これらエッジは、
    サーフェスを完全に横切りｕ座標方向に延在し、ストリ
    ップのトップ・エッジは直後のストリップのボトム・エ
    ッジに一致し、各ｖスパンは多数のこのようなストリッ
    プを有し、 連続するｕパラメータ値で各ストリップの各ｕスパンを
    テサレイトして、ストリップのトップ・エッジ上の一方
    のポイントとボトム・エッジ上の他方のポイントとから
    成り、前記ｕパラメータ値の各々と関連する１対のポイ
    ントを定めるステップと、 ｂ−スプライン評価によって、各ポイント対の各ポイン
    トに対するジオメトリック座標及びサーフェス法線ベク
    トルを決定し、ストリップの各ポイント対及びストリッ
    プの直後のポイント対が、後で行うレンダリングのため
    のポリゴンの頂点を定めるステップと、 を含むＮＵＲＢＳデータ変換方法。
12. （１２）ジオメトリック座標及び表面法線ベクトルを決
    定するステップを、サーフェスの１つのエッジに一致す
    るボトム・エッジを有する最初のストリップに沿った連
    続するｕパラメータ値で、次に、連続するストリップの
    それぞれのｕパラメータ・ポイントで実行し、 各ｖスパンに対するｖパラメータ・インタバルを決定し
    、これにより前記ｖパラメータ・インタバルで離間され
    ている一連のｖパラメータ値を生成するステップと、 各ストリップの各ｕスパンに対するｕパラメータ・イン
    タバルを決定し、これにより前記ｕパラメータ・インタ
    バルで離間されている一連のｕパラメータ値を生成する
    ステップと、 をさらに含む請求項１１記載のＮＵＲＢＳデータ変換方
    法。
13. （１３）サーフェスの全体形状が、コントロール・ポイ
    ントのＮｕ行×Ｎｕ列マトリクスによって定められる請
    求項１２記載のＮＵＲＢＳデータ変換方法であって、 ジオメトリック座標及びサーフェス法線ベクトルの決定
    ステップが、 ストリップのボトムｖパラメータ値で、前記マトリクス
    のｋｖ行の各列におけるコントロール・ポイントについ
    てのｂ−スプライン関数を評価することによって、特定
    ｖスパンのストリップのボトム・エッジに対する一連の
    ボトム座標及びボトムｖ導関数を決定するステップを含
    み、前記ｋｖ行は前記特定ｖスパンに関連しており、 ストリップのトップｖパラメータ値で、前記特定のｖス
    パンに関連した前記ｋｖ行の各列におけるコントロール
    ・ポイントについてのｂ−スプライン関数を評価するこ
    とによって、前記ストリップのトップ・エッジに対する
    一連のトップ座標及びトップｖ導関数を決定するステッ
    プと、 ストリップの連続するｕスパンのそれぞれに対する連続
    するｕパラメータ値で、トップ座標、トップｖ導関数、
    ボトム座標、ボトムｖ導関数のｂ−スプライン関数を評
    価して、トップ及びボトム座標のｕ依存度、トップ及び
    ボトムｕ導関数、及び前記連続するｕパラメータ値のそ
    れぞれに対するトップ及びボトムｖ導関数のｕ依存度の
    値を得るステップと、前記評価ステップにより得られた
    値を、各ｕパラメータ値に対するストリップのトップ・
    ポイント及びボトム・ポイントに対するジオメトリック
    座標の組及び頂点法線に変換するステップと、を含むＮ
    ＵＲＢＳデータ変換方法。
14. （１４）パラメトリック・サーフェスを表すＮＵＲＢＳ
    データを、後で行うコンピュータ・グラフィックス・デ
    ィスプレイ・システムのスクリーン上でのレンダリング
    のためのポリゴンの頂点のジオメトリック座標と関連サ
    ーフェス法線ベクトルとに変換する装置であり、サーフ
    ェスは、Ｎｕをｕ座標方向における次元、ｋｕをｕ座標
    方向における階数としたとき、Ｎｕ−ｋｕ＋１個の連続
    するｕスパン分ｕパラメトリック座標方向に延在する第
    １のエッジと、Ｎｖをｕ座標方向に直交するｖ座標方向
    における次元、ｋｖをｖ座標方向における階数としたと
    き、Ｎｖ−ｋｖ＋１個の連続するｖスパン分ｖパラメト
    リック座標方向に延在する第２のエッジとを有し、サー
    フェスの全体形状が、コントロール・ポイントのＮｖ行
    ×Ｎｕ列マトリクスにより規定される、ＮＵＲＢＳデー
    タ変換装置であって、レンダリングされるパラメトリッ
    ク・サーフェスを表し、前記マトリクスの各制御ポイン
    トに対するモデリング座標及び関連重みｗを含むＮＵＲ
    ＢＳデータを格納する第１のメモリ手段と、コントロー
    ル・ポイント・モデリング座標をビュー座標に変換し、
    変換座標を斉次座標に変換し、連続するｖパラメータ値
    で、前記斉次座標のｂ−スプライン関数を評価して、現
    在のｖパラメータ値に対するトップ座標及びトップｖ導
    関数と、直前のｖパラメータ値に対するボトム座標及び
    ボトム導関数を得るグラフィックス・コントロール・プ
    ロセッサ手段と、 前記グラフィックス・コントロール・プロセッサ手段か
    らデータ及びコマンドを受け取り、連続するｕパラメー
    タ値で、座標毎に、トップ及びボトム座標とトップ及び
    ボトムｖ座標とのｂ−スプライン関数を同時に評価して
    、トップ及びボトム座標のｕ依存度、トップ及びボトム
    ｕ導関数、前記連続するｕパラメータ値のそれぞれに対
    するトップｖ導関数のトップ及びボトムｕ依存度の値を
    得る複数の並列浮動小数点プロセッサと、 前記複数の並列浮動小数点プロセッサによって、得られ
    た値を受け取り、これら値を、ジオメトリック座標の組
    と、レンダリングされるポイントの頂点に対する頂点法
    線とに変換する他の浮動小数点プロセッサと、 を有するＮＵＲＢＳデータ変換装置。
15. （１５）前記グラフィックス・コントロール・プロセッ
    サ手段と、前記複数の浮動小数点プロセッサと、前記他
    の浮動小数点・プロセッサとが、パイプライン処理的に
    動作する請求項１４記載のＮＵＲＢＳデータ変換装置。
16. （１６）前記複数の並列浮動小数点・プロセッサは、そ
    れぞれが前記各ｕパラメータ値に対する重みを表す出力
    を与える４個のプロセッサを有し、前記他の浮動小数点
    プロセッサは、前記複数の並列浮動小数点・プロセッサ
    のうちの１つのプロセッサの出力の逆数を、他のプロセ
    ッサの出力に乗算する、 請求項１５記載のＮＵＲＢＳデータ変換装置。
17. （１７）前記並列浮動小数点プロセッサ及びグラフィッ
    クス・コントロール・プロセッサ手段は、評価のために
    Ｃｏｘ−ＤｅＢｏｏｒのプロセスを用い、前記複数の浮
    動小数点プロセッサの出力を、前記他の浮動小数点プロ
    セッサに連続的に与える請求項１６記載のＮＵＲＢＳデ
    ータ変換装置。
18. （１８）前記グラフィックス・コントロール・プロセッ
    サ手段に関連し、ｖスパンを定めるマトリクスのコント
    ロール・ポイントにｋｖ行を収容するｋｖ行×Ｎｕ列を
    有するＦＩＦＯコントロール・ポイント・スタックをさ
    らに有し、 前記グラフィックス・コントロール・プロセッサ手段は
    、前記マトリクスの続く行のそれぞれを、サーフェスの
    続くｖスパンのそれぞれを定める前記スタックを頂部に
    ロードする請求項１７記載のＮＵＲＢＳデータ変換装置
    。
19. （１９）前記グラフィックス・コントロール・プロセッ
    サ手段は、 各ｖスパンに対するｖパラメトリック座標インタバルを
    決定し、これらから前記ｖインタバルにより離間される
    一連の連続ｖパラメータ値を生成し、 各ｕスパンに対するｕパラメトリック座標インタバルを
    決定し、前記ｕインタバルにより離間される一連の連続
    ｕパラメータ値を生成する、請求項１８記載のＮＵＲＢ
    Ｓデータ変換装置。
20. （２０）前記他の浮動プロセッサの出力に直列に接続さ
    れ、パイプライン処理的に動作するクリッピング・プロ
    セッサ及びフレーム・バッファをさらに有する請求項１
    ９記載のＮＵＲＢＳデータ変換装置。