JPH01248280A - 自由曲面作成方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 以下のｌｌ１１序で本発明を説明する。

Ａ産業上の利用分野 Ｂ発明の概要 Ｃ従来の技術 り発明が解決しようとする問題点（第６図〜第８図） Ｅ問題点を解決するための手段（第１図〜第４図）Ｆ作
用（第４図） Ｇ実施例 （Ｇ１）四辺形パッチ接続の原理（第９図）（Ｇ２）第
１の実施例（第１図〜第４図）（Ｇ３）第２の実施例（
第５図） （Ｇ４）他の実施例 Ｈ発明の効果 Ａ産業上の利用分野 本発明は自由曲面作成方法に関し、例えばＣＡＤ　（ｃ
ｏｍｐｕｔｅｒ　ａｉｄｅｄ　ｄｅｓｉｇｎ）、又はＣ
Ａ　Ｍ　（ｃｏｍｐｕｔｅｒ　ａｉｄｅｄ　ｍａｎｕｆ
ａｃｔｕｒｉｎｇ）などにおいて、自由曲面をもった形
状を生成する場合に通用して好適なものである。

Ｂ発明の概要 本発明は、枠組み空間に所定のベクトル関数で表される
パッチを張ることにより自由曲面を作成するようになさ
れた自由曲面作成方法において、互いに離間する２つの
パッチについて、その定義領域を解除して交点列を求め
、当該交点列に基づいて互いに接続された新しい２つの
パッチを作成するようにしたことにより、デザイナが煩
雑な手間を要することなく容易に離間した２つのパッチ
を接続することができる。

Ｃ従来の技術 例えばＣＡＤの手法を用いて自由曲面をもった物体の形
状をデザインする場合（ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ｒ＠ｏｄ
ｅ１ｉｎｇ）　、一般にデザイナは、曲面が通るべき３
次元空間における複数の点（これを節点と呼ぶ）を指定
し、当該指定された複数の節点を結ぶ境界曲線網を所定
のベクトル関数を用いてコンピュータによって演算され
ることにより、いわゆるワイヤフレームで表現された曲
面を作成する。かくして境界曲線によって囲まれた多数
の枠組み空間を形成することができる（このような処理
を以下枠組み処理と呼ぶ）。

かかる枠組み処理によって形成された境界曲線網は、そ
れ自体デザイナがデザインしようとする大まかな形状を
表しており、各枠組み空間を囲む境界曲線を用いて所定
のベクトル関数によって表現できる曲面を補間演算する
ことができれば、全体としてデザイナがデザインした自
由曲面（２次関数で規定できないものをいう）を生成す
ることができる。ここで各枠組み空間に張られた曲面は
全体の曲面を構成する基本要素を形成し、これをパッチ
と呼ぶ。

従来この種のＣＡＤシステムにおいては、境界曲線網を
表現するベクトル関数として、計算が容易な例えばベジ
ェ（Ｂｅｚｉｅｒ）式、Ｂ−スプライン（Ｂ−Ｓｐｌｉ
ｎｅ）式でなる３次のテンソル積が用いられており、例
えば形状的に特殊な特徴がないような自由曲面を数式表
現するには最適であると考えられている。

すなわち形状的に特殊な特徴がないような自由曲面は、
空間に与えられた点をｘｙ平面上に投影したとき、当該
投影された点が規則的にマトリクス状に並んでいること
が多く、この投影点の数がｍｘｎで表されるとき、当該
枠組み空間を３次のベジェ式で表される四辺形パッチを
用いて容易に張ることができることが知られている。

しかしこの従来の数式表現は、形状的に特徴がある曲面
（例えば大きく歪んだ形状をもつ曲面）に適用する場合
には、パッチ相互間の接続方法に困難があり、高度な数
学的演算処理を実行する必要があるため、コンピュータ
による演算処理が複雑かつ膨大になると共に、演算時間
が長大になる問題があった。

この問題を解決する方法として、隣合う枠組み空間の共
有境界について、接平面連続の条件を満足するような内
部の制御点を求め、当該内部の制御点によって決まる自
由曲面を表すベクトル関数によって、自由曲面でなるパ
ッチを張る方法が提案されている（特願昭６０−２７７
４４８号、特願昭６０−２９０８４９号、特願昭６０−
２９８６３８号、特願昭６１−１５３９６号、特願昭６
１−３３４１２号、特願昭６１−５９７９０号、特願昭
６１−６４５６０号、特願昭６１−９６３６８号、特願
昭６１−６９３８５号）。

Ｄ発明が解決しようとする問題点 このような接続方法によって、例えば第６図に示すよう
に、節点ｐ　、　、　７％７　ｐ　、　４、Ｐ　２＋　
”’　Ｐ　２４％　Ｐ　ｆｆｌ〜Ｐ３４、ｐ　４．　、
　ｐ　、　４によって枠組みされた枠組み空間に、四辺
形パッチＳ　（ｕｎ　ＶＩ　ＩＡ　〜Ｓ　（ｕｎ　ｖｌ
　ＩＣ１Ｓ　（ｕｎ　ｖｌ　ＫＡ〜Ｓ　＋ＩＩＩ　Ｖｌ
　ｔｃ　、Ｓ　（Ｉｌｌ　Ｖｌ　３Ａ〜Ｓ　（ｕｎ　ｖ
）　３Ｃを張ることにより、全体として自由曲面を形成
しようとする場合、各パッチに対して所定の範囲で定義
されたパラメータＵ及びＶによって座標を指定し得るベ
クトル関数を用いる。

例えば四辺形パッチＳ　（ＬＩＴ　Ｖｌ　ｌ　Ａ　”　
Ｓ　（ＩＩＩ　Ｖｌ　ｙｃとして、次式 ％式％） ＝（１ｕｎｕＥ）’・（Ｉ　　　Ｖ＋ＶＦ）３Ｐ（００
１・・・・・・　（１） のように、３次のベジェ式で表されるベクトル関数Ｓ（
。＋Ｖｌ　を用いる場合、各四辺形パッチの定義領域は
、パラメータＵ及びＶを ０≦Ｕ≦１　　　　　　　　　　・・・・・・（２）０
≦Ｖ≦１　　　　　　　　　　・・・・・・（３）のよ
うに０〜ｌの領域に限定する手法が用いられており、こ
れにより、第６図において四辺形パッチＳ（０＋　ｖｌ
　ｔＭで示すように、パラメータがＵ＝Ｏ１ｕ＝１、ｖ
＝ｏ、ｖ＝１によって表される境界曲線において、隣接
するパッチと接平面連続の条件を満足するような内部の
制御点を決めることにより、互いに隣接するパッチを滑
らかに接続して行（ことができる。

ところがこのような手法を用いて自由曲面を形成しよう
とする場合、デザイナが枠組み処理をした際に、隣合う
２つのパッチ間に四辺形パッチが張られていないような
空間が残ったような場合に、当該離間した空間にパッチ
を挿入する必要があるが、実際上当該挿入パッチを形成
するデザイン上の手間が煩雑な問題がある。

例えば第７図又は第８図に示すように、節点Ｐ　（ｏｏ
）Ｐ　−Ｐ　（３３１ｐによって囲まれた枠組み空間上
に形成された第１の四辺形パッチＳ　、ｕ、　Ｖ）　、
と、節点Ｐ、。。＋　ｏ　＝　Ｐ　ｔｓ３．ｏによって
囲まれた枠組み空間に張られた第２の四辺形パッチＳ　
（ｕｎ　ｖｌ。間の空間に挿入パッチを張る必要がある
場合、実際上デザイナはデザイン情報として与えられて
いる節点Ｐ　（＋１０１　Ｆ　””　Ｐ　（３１）−及
びＰ　（００）　ｏ　”’−Ｐ　（ｘｓ）ｏに基づいて
全く新たな曲面を形成しなければならないために、極め
て煩雑なデザイン的な作業が必要となる。

本発明は以上の点を考慮してなされたもので、互いに離
間している２つのパッチがパラメータの定義領域におい
てもっている位置情報を有効に利用することにより、−
段と簡易な手法によって挿入パッチを張ることができる
ようにした自由曲面作成方法を提案しようとするもので
ある。

Ｅ問題点を解決するための手段 かかる問題点を解決するため本発明においては、枠組み
処理によって境界曲線で囲まれた多数の枠組み空間を形
成し、枠組み空間に所定のベクトル関数で表されるパッ
チＳ　（ｕｎ　ｖ）を張ることにより自由曲面を作成す
るようになされた自由曲面作成方法において、互いに離
間した第１及び第２のパッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ　Ｐ及び
Ｓ　（ｕｎ　ｖ、。を表すベクトル関数の定義領域の制
限を解除して第１及び第２のパッチＳ（。、Ｖ）、及び
Ｓ　（ｕｎ　Ｖ）。を表すベクトル関数の交点列・・・
・・・Ｐ　ＮＥＷ（−１１、Ｐ　ＭＥＷ（−１１、Ｐ　
Ｎ−０、ＰＮｃｗ＋、ｐｓｔｗｔ・・・・・・を求め、
この交点列に基づいて境界曲線を生成し、この境界曲線
を共有境界ＣＯＭ　Ｆ。とじて接続された２つの新しい
パッチＳ（ｕ、ｖｌ　ＰＮ及びＳ　（ｕｎ　Ｖ）。８を
作成するようにする。

Ｆ作用 互いに離間した第１及び第２のパッチ５（ｌｌ＋　ｖｌ
　Ｐ及びＳ　（ｕｎ　ｖｌ。の定義領域の制限を解除し
て交点列を求めるようにしたことにより、デザイナは離
間した２つのパッチＳ（ｕｎ　ｖ）　Ｐ及びＳ、よ＋　
ｖｌ　０間に新たなパッチをデザインし直すような煩雑
な手間を要することなく、容易に接続された新しい２つ
のパッチＳ　Ｔｕ＋　ｖ）　ＰＮ及びＳ　（ｕ、　ｖ）
　ＯＮを形成すること力くできる。

Ｇ実施例 以下図面について、本発明の一実施例を詳述する。

（Ｇ１）四辺形パッチ接続の原理 枠組み処理された四辺形枠組み空間の境界を表す境界曲
線、及び各四辺形枠組み空間に張られるパッチを次式 ％式％） のように、３次のベジェ式でなるベクトル関数Ｓ　（ｕ
＋ｖｌ　を用いて表現する。（４）弐において、Ｐ、。

。、は、第９図に示すように、隣合う２つの伜組み空間
に張られた曲面、すなわち第１の四辺形パッチ５（Ｉｌ
ｌ　Ｖ）　＋及び第２の四辺形パッチＳ　ｆｕ＋　ｖｌ
　ｚが共に保有している境界（これを共有境界と呼ぶ）
の一端の位置を表す位置ベクトルでなり、他端の位置ベ
クトルＰ、。１．と、第１のパッチＳ　ＩＩｌ＋　Ｙ）
　１の位置ベクトルＰ、３゜ｌＩ、Ｐ（３゜、と、第２
のパッチＳ　＋ｕ＋　ｖｌ　ｔの位置ベクトルＰ　ｐｏ
、ｔ　、Ｐ　＋ｘｓ＋ｚと共に、枠組み処理の際に指定
される節点を構成する。

かくして、第１及び第２のパッチＳ　（ｕ＋　ｖ□及び
５ｆｕｒ　ｖｌ　２がそれぞれ節点Ｐ　（００）　　Ｐ
　（：ｌＯ）　Ｉ　−Ｐ　＋３３１１　　　Ｐ　（。３
１Ｐ（。。）及びＰ（。。ＩＰＣ３゜、２ｐｆ３゜２−
Ｐ、。：１ｌＰＣ０゜、の４つの境界曲線によって囲ま
れていることが分かる。

これらの境界曲線のうち節点Ｐ、。。、及びＰ、。３゜
間の境界曲線は共有境界ＣＯＭを構成し、２つの制御点
Ｐ、。５．及びＰ、。ｔ、によって３次のベジェ式を規
定している。

これに対して、第１のパッチｓ　（ｕ＋　ｖｌ　、の節
点Ｐ、。。、及びＰｆｆｆ。１５間の境界曲線、Ｐｌｆ
ｆ。、１及びＰＣ１ｆｆ＋＋間の境界曲線、Ｐ　＋３３
１１及びＰ　（６３１間の境界曲線は、それぞれ２つの
制御点（Ｐ（１゜）１、ＰＴＺＯ）ｌ）、（Ｐｕ。ｌ　
％　Ｐ　＜ｚｔｘ　）、（Ｐ　、ｚｓ＋　Ｉｓ　Ｐ　（
Ｉｓ＋　＋　）によって規定されている。

また、　第２のパッチＳ　＋ｕ、　ｖ）　ｚの節点Ｐ１
０゜、及びＰ（１０１ｇ間の境界曲線、Ｐ　（１０１！
及びＰ（！：ｎｚ間の境界曲線、Ｐ　＜３３１　Ｚ及び
Ｐ、。３．間の境界曲線は、それぞれ２つの制御点Ｐ　
（＋ｔｏ＋ｚ　％　Ｐ　（２０１２）、（Ｐ　ｔ３１）
ｔ　％　Ｐ　ｔｘｔ）ｚ　）　ｓ　　（Ｐ　（ｔ３）ｔ
　％Ｐ（１：１１２）によって規定されている。

また、（４）式において、　Ｅ及びＦはＵ方向及びＶ方
向のシフト演算子で、　パッチＳ　（ｕ＋　Ｖ）　１及
びＳ（ｕ＋　ｖｌ　Ｚ上の位置ベクトルで表される制御
点Ｐ　Ｔｉ＋ｊｌ　に対して次式、 Ｅ　′Ｐ　ｎ＝）＝　Ｐ　＜五・ｌ　ｊｌ（ｔ、ｊ＝ｏ
、ｌ、２）　　・・・・・・（５）Ｆ　　’　Ｐ　ｆｉ
　ｊｌ　＝　Ｐ　ｆｉ　　ｊ・１）（ｉ、ｊ＝０．１．
２）　　　・・・・・・　（６）の関係をもつ。

ここで、Ｕ及びＶはＵ方向及びＶ方向のバラメークで、
次式 ％式％（７） で表すように、０〜１の間を変化する。かくして第９図
に示すように、　第１及び第２のパッチＳ（ｕ＋　Ｖ）
　Ｉ及びＳ　（Ｕ＋　Ｖ）　２に対してそれぞれ節点Ｐ
（。。、から横方向にＵ軸をとり、　かつ縦方向にＶ軸
をとった座標（ｕ、ｖ）を用いてパッチ５ｊｕｔ　ｖｌ
　＋及びＳ　ｔＩｌｌ　Ｖｌ　ｚ内の自由曲面上の座標
を表すことができる。

このようにしてパラメータＵ及びＶについて、０〜１を
定義領域とする２つのパッチＳ　（Ｉｌｌ　ｖ、Ｉ及び
Ｓ　＜ｕ、ｖ□を共有境界ＣＯＭにおいて滑らかに接続
するには、接平面連続の条件を満足するような制御辺ベ
クトルａｏ　〜ａｘ　、ｂｌ　〜ｂ２　、Ｃｏ−Ｃ１を
求めることにより実現される。

共有境界Ｃ０Ｍ上の全ての点において接平面連続の条件
が成り立つためには、　第１のパッチｓ　、ｕ、　ｖｌ
　、のＵ方向の接線ベクトルと、第２のパッチＳ　（ｕ
＋　ｖｌ　ｔにおけるＵ方向の接線ベクトルと、第１の
パッチＳ　（ｕ＋　ｖｌ　ｌのＶ方向の接線ベクトルと
が、同一平面上にあることが必要であり、これを実現す
るためには次式 ％式％（９） の条件を満足させるようにパラメータを設定すれば良い
。

ここで、λ　（Ｖ）、μ（Ｖ）、ν　（Ｖ）はスカラ関
数で、これを λ（ｖ）−（１ｖ）＋　ｖ　　　　　　・・・・・・（
１０）ｐ　（ｖ）＝　ｔｃ　＋（１ｖ）十Ｋ　２Ｖ　　
　＋・＋＋　（１１）ν（Ｖ）＝η、（１−Ｖ）２ ＋（η、＋η＝０１−ｖ）・Ｖ＋η　ｖｌ・・・・・・
（１２） に選定する。

そこで（１０）弐〜（１２）式を（９）式に代入し、そ
の結果（９）式が成り立つように未知数に３、に２及び
η３、η２を選定すると共に、内部の制御点ＰＬＩＩ）
ｔ　ｓ　Ｐｏｚ、ｔ　、Ｐ（＋ｕｚ　、Ｐｎｔ）ｔを表
す制御辺ベクトルａ　ｌ　、ａ　ｚ及びｃ、、ｃχを選
定すれば、接平面連続の条件を満足しながら、２つのパ
ッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ　＋及びＳ（ｕ、ｖｌ　ｔを接続
することができることになる。

（Ｇ２）第１の実施例 第１の実施例は、　第７図に示したように、互いに離間
した２つの四辺形パッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ　Ｐ及びＳ　
（Ｕ＋　Ｖ）　Ｑを接続しようとするもので、この実施
例の場合、一方のパッチＳ０．い、は例えばそのＶ方向
のパラメータについての定義領域０≦■≦１を解除した
とき、第２図において破線で示すように、■方向のパラ
メータを０≦Ｖ≦１の範囲で変化させたとき、他方のパ
ッチＳ　（ｕｎ　ＩＴ）。上に交点をもつような曲面を
もっているものとする。

自由曲面作成装置の中央処理装置（ＣＰ　Ｕ）は第１図
（Ａ）〜（Ｃ）に示す接続処理プログラムＲＴＯを実行
することにより、　第２図〜第４図に示す手法によって
互いに離間する２つのパッチＳ　ｆｕｒ　Ｎ　Ｐ及びＳ
　ｔｕ、　ｖｌ　ｏを接続する。

なお、第２図〜第４図において、パッチＳ　ｌｕ＋　ｖ
ｌ　Ｐ及びＳ　（ｕｎ　ｖｌ　Ｑについてのパラメータ
Ｕ、■をそれぞれ、ｕ、　、ｖｐ及び■。、ｕＱのよう
に添字を付して示す。

すなわちＣＰＵはステップＳＰＩ　　（第１図（Ａ））
において、パッチＳ　（ｇ、　ｖ）　ｐ及び５（ｕｖ　
ｖｌ　０間に１つの交点を求めるために、パッチＳ　（
ｕｎ　ＶＩ　Ｐ及びＳ　（ｕｎ　ｖｌ。上の任意の１点
として、Ｕ、　＝Ｏ，Ｓ　　　　　　　　　　　　・・
・・・・（１３）ｖ、　＝０．５　　　　　　　　　　
　　・・・・・・（１４）ｕｏ　＝ｏ、　５　　　　　
　　　　　−”・（１５）ｖｏ＝０．５　　　　　　　
　　　　・・・・・・（１６）で表される点Ｐ　ＦＤＰ
及びＰ　ＦＩＩＱを選定する。

因にこの処理は、第２図に示すように、第１及び第２の
パッチＳ　（Ｕ＋　ｖ、　、及びＳ　（ｕｎ　ｖ１ｏ上
に、次式３式％（１７） で表される基準点Ｐ　ＦＯＰ及びＰｒｎｏをパッチの中
心点に設定したことを意味し、ＣＰＵはその座標値ｕ、
　＝０．５　、ｖ−−０，５、ｕ−−０，５、Ｖ、＝０
．５を初期値として次のステップＳＰ２以降の処理を実
行することにより、第１のパッチＳ　（ｕ、ｖ）　Ｐを
表す３次のベジェ式のうち、基準点ＰＦＤＰを通る曲線
と、第２のパッチＳ　ｆｕｒｖ）。の基準点ＰＦ１１０
を通る曲線との交点ＰＭｔＷ。（第２図）を線形連立方
程式を解く演算を繰り返すことにより求める。

すなわちステップＳＰ２において、パッチＳ（ｕｎ　Ｖ
）　Ｆ及びＳ　（ｕ、ｖｌ。が同一になる点を次式３式
％（１９） から求める。

ここで初期値ｕＰｓＶＰ及びｕｏ　、ＶＱの点における
接線ＬＰ及びＬＯ（第３図）の交点ＰＬ、。

を考え、基準点Ｐ　ＦＤＰ及びＰＦＩ、。から交点ＰＬ
４゜までのＵ方向及び■方向の距離を変数Δｕ７、ΔＶ
、及びΔｕ０、Δｖ０とすれば、交点ＰＬＰＧについて
次式 ％式％） が成り立ち、この式から次式 ａ　（Ｓ　（ｕｎ　ｖｌ　ｒ　　Ｓ　（ｕｎ　ｖｌ　ｏ
）ａ（ｕｐ、ＶＰ％　　ｕＱｓ　　ｖＱ）・（ΔｕＦｓ
　　ΔＶＰ、　　ΔｕｏｓＡＶＱ）−（Ｓ　＋−，ｖ、
ｒ　　Ｓ　（−、ｖｌＧ）　　　　−−（２１）のよう
な線形方程式を作ることができる。

（２１）式はヤコビアンマトリクスで、次式＝　　　　
（Ｓ　　（−、ｖＩＰ　　　　　Ｓ　　（−、ｖ）Ｇ）
　　　　　　　　−・”　　　（２２）のようにΔｕｐ
、Δｖ７、Δｕｇ、Δｖ０についての線形連立方程式と
して表すことができる。

そこでＣＰＶは、続くステップＳＰ２において、（２０
）式を解くため、（２２）式で表されるヤコビアンマト
リクスを作ることにより、ΔｕＰ、Δｖｐ、ΔｕＱ、Δ
Ｖｏについて線形連立方程式を作る。

（２２）式の第１項は次のように表すことができる。

すなわち第１の四辺形パッチＳ（ｕｎ　ｖｌ　Ｆは、（
１）式について上述したように、次式 Ｓ　（ＩＩＩ　ＶＩ　Ｆ ＝（１ｕ　＋　ｕ　Ｅ）３（ｌ　　ｖ　＋　ｖ　Ｆ）３
Ｐ　（ＯＯＩＦ・・・・・・（２３） ＥＰ、■１Ｐ＝　Ｐ　ｆｉｌｌ　Ｊ、ｒ　　　　　　・
・・・・・（２４）Ｆ　Ｐ　＋ｉ、＋＋ｐ＝　Ｐ　（１
＝。＋ｌＦ　　　　　・・・・・・（２５）のように３
次のベジェ式によって表すことができるから、これをＵ
方向のパラメータｕ、で偏微分すれば ・（１−ｖｌｖＦ）３（Ｅ−１）Ｐｔ。。、２・・・・
・・（２６） のように、　第１のパッチＳ　（ｕ、　ｖ）　Ｆを表す
制御点Ｐ　（ｉｊ）ｐによって表現することができると
共に、次式 ％式％（００） のように、　制御点間の位置関係を表すベクトルＡＴｉ
ｊ）Ｐによって表現することができる。

そこで（２３）式を次式 Ｓ　ｔｕ、　Ｎ　Ｐ ３（１−ｕ）ｕ”、ｕ３）］ って表せば、（２７）式を展開することによりａ　Ｓ　
（ｕｎ　ｖｌ　ｐ ｕ２ のように、制御点間の位置関係を表すベクトルＡ、。ｏ
＋　ｐ　−Ａ　ｔｚｚ＋　ｐによって表すことができる
。

同様にして（２２）式の第２項に含まれている偏微分の
式は、 ｖｐ ・（１ｖ＋ｖＦ）ｔ（Ｆ　　１）Ｐｔｏｏ＋ｐ・・・・
・・（３１） のように制御点Ｂ１８４１．によって表現し得ると共に ｖｐ −（ｌ　　−ｖ　　十　ｖ　　Ｆ）２Ｂ　　（ＯＩＩＩ
Ｐ・・・・・・　（３２） Ｂ　＋１ＪＩＰ＝　Ｐ　（ｉ　　ｊ４１＋Ｐ　　Ｐ　ｔ
ｔｊｌＦ（ｉ＝ｏ、　■、　２）　　　・・・・・・　
（３３）のように、制御点間の位置関係を表すベクトル
Ｂ（ｉｊ）Ｆによって表すことができる。

このようにするとき、　第１の四辺形パッチＳ　（ｕ＋
　ＩＴ）　ｒはＶ方向のパラメータｖ、を基準にしてＳ
　（ｕ＋　ｖ）　Ｆ のように展開することができ、その偏微分式はａＳ　（
Ｉｌ＋　ｖｌ　Ｆ Ｖｐ のように展開することができる。

（２２）式の第１項及び第２項について第１の四辺形パ
ッチＳ　（ｕ＋　Ｖｌ　ｒについて上述した関係は、（
２２）式の第３項及び第４項について第２の四辺形パッ
チＳ　（ｕ、　Ｖ）　Ｑにおいても同様に成り立ち得る
。

すなわち第２の四辺形パッチＳ（ｕ＋ｖｌ。はＳ　ｆｕ
＋　Ｖ）。

＝（１ｕ＋ｕＥ）３（Ｉ　　ＶｌＶＦ）’ＰＣ００１゜
・・・・・・（３６） Ｅ　Ｐ　（ｉ　ｊｌ。＝Ｐ（１，１４，。　　　　　　
・・・・・・　（３７）Ｆ　Ｐ（ｉ　ｊｌ。＝Ｐ（五　
ｊ□、　　　　　　・・・・・・　（３８）のように３
次のヘジエ式で表し得るので、そのＵ方向のパラメータ
ｕｐについての偏微分式は・（１−ｖ　＋　ｖ　Ｆ）”
Ａ　（００）。

・・・・・・（３９） Ａ　Ｉ＋　ｓ）Ｑ　＝　Ｐ　Ｌ直・＋１ｒｏＰ＜、ｊ）
Ｑ（＋＝０、■、２）　　・・・・・・（４０）のよう
に表現できることから Ｓ　（ＬＩ＋　Ｖ）。

３（１−ｕ）ｕ”、　ｕ３Ｊ ａ　Ｓ　（ｕｐ　ｖ）　。

ａｕ。

＝　［３（１−ｕ）”、６（１ｕ）ｕ、３ｕ２］のよう
に第２の四辺形パッチＳ　（ｕ＋ｖ□を表す制御点Ｂ。

ｊｌＱと、制御点間の位置関係を表すベクトルＡ。ｊ、
。を用いた展開式を得ることができる。

■方向のパラメータｖ０についても同様にして、・（１
−ｖ　＋　ｖ　Ｆ）”Ｂ　（００１０・・・・・・（４
３） Ｂ　（ｉｊｌ。＝Ｐｉｉｊ。１１０　　Ｐ（ｉｊ）Ｑ（
ｉ＝ｏ、　　１、２）　　　・・・・・・　（４４）の
ように偏微分式を表現することができることにより、 Ｓ　（ｕｐ　Ｖ）。

３（１−Ｖ）Ｖ２、ｖ３　］ ａ　Ｓ　（ｕ＋　ｖｌ　Ｇ ａｖ。

＝（３（１−Ｖ）”、６（１−Ｖ）Ｖ、３Ｖｔ）のよう
な展開式を得ることができる。

このようにしてＣＰＵはステップＳＰ２において（２２
）式のように、第１及び第２の四辺形パッチＳ　（ｕ＋
　ｖｌ　ｐ及びＳ（ｕ、ｖｌＱのＵ方向、■方向の変数
Δｕｐ、ΔＶ、及びΔｕＱを含む線形連立方程式によっ
て交点ＰＬＰＱを求めるための式を作ることができるが
、（２２）式は４つの未知数ΔｕＰ、ΔＶ。

及びΔｕＱｓΔＶ、を含む３つの方程式（すなわちｘ、
ｙ、ｚ方向の方程式）になるので、その解は不定になる
。

これを解（ためＣＰＵは次のステップＳＰ３において次
式 ％式％ のように変数ΔｕＰ、Δｖｐ及びΔｕＱ、ΔｖＱの２乗
和の式Ｒが最小になる条件式を立てる。

続いてＣＰＵはステップＳＰ４において第１及び第２の
パッチＳ（ｕ＋　ＶＩ　Ｐ及びＳ　（Ｉｌｌ　Ｖ）。に
ついてのパラメータｕｐ、Ｖデ及びｕＱｓＶＯが０から
１までの間に入らなくても良いことを条件として（４７
）式の解を求める。

かくして第６図に示すように、　第１のパッチＳ　＋ｕ
、　ｖｌ　ＰのＵ方向のパラメータＵ、がその本来の定
義領域（（２）式）から外れて１より大きい位置（第２
の四辺形パッチＳ　（ｔｌｎ　ｖｌ　Ｑ上の点ＰＨｔｗ
ｏ近傍の位置）にあることを表すような解が得られたと
き、これを正しい解として採用する。

もちろんｕＦ、’Ｐ及びｕ＠、ＶＱがその本来の定義領
域（すなわち０から１までの値）であることを表す解が
得られたときにも、ＣＰＵはこれを正しい解として採用
する。

実際上ＣＰＵは次のようにして（４７）式を最小にする
ような偏差ΔｕＰ、ΔＶ、及びΔｕ、、ΔＶ、を求める
。

すなわち（２２）式を次式 ＫＵ＝Ｖ　　　　　　　　　　　　・・・・・・（４８
）とお（ことにより、３行４列のヤコビアンマトリクス
Ｋを用いて表現したとき、Ｕ及びＶは・・・・・・　（
５０） になる。そこで Ｕ＝ＫＴＷ　　　　　　　　　町・・（５１）と置くと
、（４８）式は ＫＫ”Ｗ＝Ｖ　　　　　　　　　制・・（５２）のよう
に表すことができ、ＫＫ’の項が３行３列の正方マトリ
クスになる。

（５２）弐をＷについて解いて（５１）式に代入すれば
、未知数Ｕが得られ、これが（４７）式を最小にするよ
うな解になっている。

ＣＰＵは、次のステップＳＰ５において次式１式％ 変数ΔｕＰ、Δｖ２及びΔｕＱ、ΔｖＱの絶対値の和が
近似許容範囲εより小さくなったか否かの判断をし、否
定結果が得られたとき上述のステップＳＰ２に戻って再
度線形化演算を実行する。

このときＣＰＵは第１及び第２のパッチＳ　（ｕｎ　ｖ
□及びＳ　ｆｕ＋ｖｌ。のパラメータＵ及びＶの初期値
としてｕ２＋Δｕｐ　、Ｖｐ＋ΔＶ、及びｕ０＋Δｕ０
、■、＋Δｖ０を（２０）式に代入することにより、さ
らに小さい変数Δｕｐ、ΔＶ、及びΔｕＱ、Δ■。を求
める演算を繰り返す。

かくしてＣＰＵがステップ５Ｐ２−３Ｐ３−３Ｐ４−３
Ｐ５−３Ｐ２のループを通じて繰り返し演算をした結果
、ステップＳＰ５において肯定結果が得られると、この
ことは、初期＋ｔｕｕＦ　＝　０．５、Ｖ、＝０．５、
ｕａ−０，５、Ｖ、＝０．５についての第１の交点を求
める演算が処理したことを意味する。

ＣＰＵはステップＳＰ６に移って第１及び第２の四辺形
パッチＳ　ｆｕ＋　ｖｌ　Ｐ及びＳ　（ｕｎ　ｖｌ。に
初期設定した座標（ｕｒ＝０．５、ｖ、＝０．５）及び
（ｕ。

＝０．５、Ｖ、＝０．５）に代えて、所定の距離δだけ
シフトした座標（ｕｒ＝ｕｐ　＋６、Ｖ、＝Ｖ。

−■、＝δ）及び（ｕｏ＝ｕ、＋δ、ｖｏ　＝Ｖ。

＋δ）を初期設定してこの第２の座標について再度第２
の交点を求める演算を実行する準備をする。

続いてＣＰＵはステップＳＰ７において第１及び第２の
交点を求めたか否かの判断をし、否定結果が得られたと
き上述のステップＳＰ２に戻って、当該新たに設定した
初期値について交点ｐ、□。を求めるような演算を繰り
返す。

やがてステップＳＰ７において肯定結果が得られると、
ＣＰＵはステップＳＰ８に移って（第１図（Ｂ））第１
及び第２の交点に対するパラメータｕｐ　、ｖ、及びｕ
　Ｏ％　Ｖ　Ｑのうち、差が最大のパラメータを選定し
てステップＳＰ９に移って当該選定したパラメータだけ
について所定量例えば０．１ずつ加算又は減算すること
により、パラメータを変更して行くような処理を実行す
る。

ここでステップＳＰ８において第１及び第２の交点に対
するパラメータの差が最大のパラメータを選定したこと
は、第１及び第２の四辺形パッチ上の初期値の座標を移
動した際に、最も大きい変化が生ずるパラメータである
ことを意味している。

そしてステップＳＰ９において当該選定したパラメータ
について所定量例えば０．１ずつパラメータを加算又は
減算することは、第５図に示すように初期値に対応する
交点ｐ　Ｎｔｗｏから当該選定したパラメータの方向に
所定量ずつ座標を移動させることにより、当該パラメー
タが属する面上に０．１間隔で交点列Ｐ、ｌＥＭいＰ□
０・・・・・・及びＰ□Ｗ（−１１、ＰＮＩＩＩ＋−２
＋　・・・・・・を形成して行くことを意味している。

かかる交点列を求める処理においてＣＰＵは、ステップ
５ＰＩＯにおいて選定パラメータが０及び１間に入らな
くなったとき、パラメータをＯ又は１に戻すような演算
を実行すると共に、ステラ７’５Ｐ１１において選定パ
ラメータ以外の他の３つのパラメータについてヤコビア
ンマトリクスを計算し、当該３つのパラメータの変化分
を演算し、続くステップ５Ｐ１２において当該演算結果
に基づいて他の３つのパラメータを修正する。

続いてＣＰＵは、ステップ５Ｐ１３において修正量が所
定値より小さくなったか否かの判断をし、否定結果が得
られたとき上述のステップ５ＰＩＯに戻ってさらにパラ
メータを引き戻す処理を実行する。

これに対して肯定結果が得られるとくこのことは修正処
理が終了したことを意味する）、ＣＰＵはステップ５Ｐ
１４に移って選定パラメータが０又はｌになったか否か
の判断をする。

ここで否定結果が得られると、このことは未だ交点列が
パラメータの終点にまで到達していないことを意味して
おり、このときＣＰＵは上述のステップＳＰ９に戻って
パラメータの変更処理を実行する。

これに対して肯定結果が得られると、このことは交点列
の生成が終了したことを意味しており、このときＣＰＵ
はステップ５Ｐ１５に移って当８亥選定パラメータがＯ
から１までの範囲で交点が求まったか否かの判断をする
。

ここで否定結果が得られると、ＣＰＵは上述のステップ
ＳＰ９に戻って再度パラメータの変更処理を実行する。

これに対して肯定結果が得られると、このことは交点列
の生成処理が終了したことを意味し、このときＣＰＬＩ
はステップ５Ｐ１６に移って交点列を始点から終点まで
揃え直した後ステップ５ＰＩ７　（第１図（Ｃ））に移
る。

ＣＰＵはこのステップ５Ｐ１７において、第１及び第２
の四辺形パッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ　Ｆ及びＳ　（ｕｎ　
Ｖｌ。上の始点及び終点における共通接線方向ベクトル
を求めた後、ステップ５Ｐ１８において交点列をベジェ
曲線により最小２乗法により近位演算し、このときステ
ップ５Ｐ１７において求めた共通接線方向ベクトルの長
さを求める。

続いてＣＰＵはステップ５Ｐ１９において第１及び第２
のパッチＳ　ｆｕｒ　ｖ、Ｐ及びＳ　（ｕｎ　Ｖ）。上
の交点の始点及び終点間の差の大きい方のパラメータで
それぞれパッチＳ　（ｕ、Ｖｌ）　ｐ及びＳ　（ｕｎ　
Ｉｌｌ。を、くラメータカットする。

かくして残ったパッチを、上述のステップ５Ｐ１８で求
めたベジェ曲線を使ってカットし、これにより第４図に
示すように、　新しいパッチＳ　（ｕｎ　９１　ＰＮ及
び５（Ｉｌｌ　Ｖ）　ＯＮを生成する。

か（してＣＰＵはステップ５Ｐ２１から当該接続処理プ
ログラムを終了する。

以上の構成によれば、互いに離間している２つのパッチ
間を接続するような自由曲面を生成するにつき、　パッ
チＳ　＋Ｉｌｌ　ｖｌ　ｐについてのパラメータの定義
領域を拡張することにより、一方のパッチＳ　（Ｉｌｌ
　Ｖ、Ｐが他方のパッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ。と交点をも
つようにすることができ、　この交点を基準にして求め
た交点列に基づいて２つのパッチＳ（。＋ｖｌ−及び　
　　　′Ｓ　（ｕｎ　ｖ）。についての境界曲線を求め
るようにしたことにより、容易に２つのパッチＳ　（ｕ
ｎ　ＩｌＪ　Ｐ及びＳ　ｆａｔ　Ｖｌ。間を接続してな
る新しいパッチＳ　（ｕ、ｖｌ　ＰＮ及びＳ　（ｕ　＋
　ｖ　）ｏ　ｓを生成し直すことができる。

（Ｇ３）第２の実施例 第２図〜第４図との対応部分に同一符号を付して示す第
５図は第２の実施例を示すもので、第８図に示すような
態様で離間した２つのパッチＳ　ｌｕ＋　ｖｌ　Ｆ及び
Ｓ　（ｕｎ　ｖｌ　ａを接続する。

この場合ＣＰＵは第１図（Ａ）のステップＳＰ４におい
て、第１及び第２のパッチのパラメータについて、その
本来の定義領域（０〜１）の制限を解除してパッチＳ　
（ｕｎ　ＶＩ　Ｆ及びＳ　ｆｕ＋ｖ□の交点を求めた場
合に、　当該交点がパッチＳ　（ａ＋　ＩＴ）　Ｆ又は
Ｓ（。＋ｖｌ。以外の空間において交点Ｐｓｉｈａを有
し、この交点ＰＭ！Ｗ。を基準として交点列ＰＭＥＷい
ｐｓｔｗｔ・・・・・・及びＰ　）ｌｔｗ＋−ｎ　、Ｐ
Ｎｔｌ、１（−ｎ　・・・・・・を形成する。

それ以外の処理は、第１図（Ａ）〜（Ｃ）について上述
したと同様にして実行することにより、交点列・・・・
・・ＰＮｔｗｔ−ｔｌ、ＰＮｔｗｔ−ｔｌ　、ＰＮｔｗ
。、ＰＮｔｗｔ、Ｐ□１・・・・・・に基づいて形成さ
れた共有境界ｃＯＭを有する新しい２つのパッチｓ　ｆ
ｕｎ　ＶＩ　ＰＮ及びＳ　（ＩｌＪ　Ｖｌ。、を生成す
ることができる。

（Ｇ４）他の実施例 （１１上述の実施例においては、枠組み空間に３次のベ
ジェ式で表されるパッチを張る場合について述べたが、
数式の次数はこれに躍らず４次以上にしても良い。

（２）上述の実施例においては、ベジェ式によって表さ
れるパッチを張るようにした場合について述べたが、こ
れに限らず、スプライン式、クーンズ（Ｃｏｏｎｓ）式
、フオーガソン（Ｐｕｒｇａｓｏｎ）式などの他のベク
トル関数を用いるようにしても良い。

Ｈ発明の効果 上述のように本発明によれば、互いに離間した２つのパ
ッチ間を接続するにつき、当該２つのバツチのパラメー
タの定義領域を解除して交点列を求め、当該交点列に基
づいて境界曲線を形成し、当該境界曲線によって接続さ
れた２つの新しいパッチを形成するようにしたことによ
り、離間した２つのパッチ間をオペレータに煩雑な作業
負担をかけることなく容易に接続し得る。

【図面の簡単な説明】

第１図（Ａ）〜（Ｃ）は本発明による自由曲面作成方法
の一実施例を示すフローチャート、第２図はその交点列
の形成方法を示す斜視図、第３図は初期値から交点を得
る方法の説明に供する路線図、第４図は接続された新し
いパッチを示す斜視図、第５図は第２の実施例の説明に
供する斜視図、第６図は枠組み空間上に張られたパッチ
の説明に供する路線図、第７図及び第８図は離間した２
つのパッチのり、様を示す斜視図、第９図は互いに接続
された２つのパッチの制御点を示す路線図である。 Ｓ　（ｏｒ　Ｖｌ　Ｐ、Ｓ　（ｕ＋　ｖｌ　Ｑ・・・・
・・離間している２つのパッチ、Ｓ　（ｕ＋　ｖ＋　Ｐ
Ｍ　％　Ｓ　ｆｕ＋　Ｖｌ　ａｌｌ・・・・・・接続さ
れた新しいパッチ、Ｐ　ＦＤＰ　％　Ｐ　ＦＤＩＩ・・
・・・・基準点、Ｐｓｔｗ＜−ｚ＋　　、Ｐ、４Ｅｗ＋
−＋＋　　、Ｐｎｔｗｏ、Ｐｓｉｗ＋、ＰＮＥ＄１２・
・・・・・交点。

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 枠組み処理によつて境界曲線で囲まれた多数の枠組み空
   間を形成し、上記枠組み空間に所定のベクトル関数で表
   されるパッチを張ることにより、自由曲面を作成するよ
   うになされた自由曲面作成方法において、 互いに離間した第１及び第２のパッチを表すベクトル関
   数の定義領域の制限を解除して上記第１及び第２のパッ
   チを表すベクトル関数の交点列を求め、上記交点列に基
   づいて境界曲線を生成し、上記境界曲線を共有境界とし
   て接続された２つの新しいパッチを作成することを特徴
   とする自由曲面作成方法。