JP7645484B2

JP7645484B2 - 情報処理方法及び情報処理装置

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Publication number: JP7645484B2
Application number: JP2020181457A
Authority: JP
Inventors: 紀成田口; 正知乾; 昭雄田中; 克則下村
Original assignee: Ibaraki University NUC; Core Concept Technologies Inc
Current assignee: Ibaraki University NUC; Core Concept Technologies Inc
Priority date: 2020-10-29
Filing date: 2020-10-29
Publication date: 2025-03-14
Anticipated expiration: 2040-10-29
Also published as: JP2022072158A

Description

本技術は、３Ｄシステム間で使用されるデータを生成する情報処理方法及び情報処理装置に関する。

従来、製品設計→金型設計→ＮＣ（数値制御）データ作成→シミュレーション→機械加工の一連の工程により、製品が製造される。製品設計及び金型設計は、例えば３ＤＣＡＤ（3D Computer Aided Design）と呼ばれるソフトウェアを用いて作成され、ＮＣ（数値制御）データ作成は、３ＤＣＡＭ（3D Computer Aided Manufacturing）と呼ばれるソフトウェアを用いて作成される。

また、シミュレーションは、ＣＡＥ（Computer Aided Engineering）と呼ばれるソフトウェアを用いて流体計算、構造計算などが行われる。ＣＡＥでは、有限要素法などの数値解析手法が用いられ、３ＤＣＡＤや３ＤＣＡＭで扱う曲面とは根本的に異なるデータを扱う。

３ＤＣＡＤ、３ＤＣＡＭ、及びＣＡＥ（以降、まとめて３Ｄシステムと呼ぶ。）では、３Ｄシステムのデータの表現方法が異なること、保証している精度が異なることなどが原因で、３Ｄシステム間のデータ変換でトラブルが発生することがある。３Ｄシステムは、製造業のほとんどの分野で設計製造の基本的なツールとなっており、データ変換によるトラブル対応・コミュニケーション・データ修正には膨大な工数がかかるため、生産性を阻害する大きな要因になっている。

３Ｄシステム間のデータ変換のための仕組みとして、米国国家規格協会(ＡＮＳＩ)のＩＧＥＳや国際標準化機構(ＩＳＯ)のＳＴＥＰがあり、形式的には３Ｄシステム間の変換の仕組みは存在する。また、３ＤＣＡＤモデルを三角または四角の多角ポリゴンデータに変換すると共に、三角または四角の曲面への変換により、少ないデータ量のポリゴンデータとする３ＤＣＡＤデータの近似方法も存在する（例えば、特許文献１参照。）。

しかしながら、上述したデータの変換や近似では、３Ｄシステム間の形状の表現の違いや保証している精度の違いまでを補完することはできず、３Ｄシステム間のデータ連携を円滑化することはできない。

国際公開第２００５／０６６８５２号

本技術は、このような従来の実情に鑑みて提案されたものであり、３Ｄシステム間のデータ連携を円滑化することができる情報処理方法及び情報処理装置を提供する。

本願発明者は、鋭意検討の結果、三角形頂点の座標値と、三角形頂点の法線ベクトルとを含む三角形の集合体を用いて、位相情報を有する三角多面体である微分多面体モデルを生成することにより、前記課題を解決できることを見出した。

すなわち、本技術に係る情報処理方法は、三角形頂点の座標値と、三角形頂点の法線ベクトルとを含む三角形の集合体を用いて、三角形の辺を接続した稜線を抽出し、稜線両端の頂点の座標値と、稜線左側及び稜線右側の三角形と、稜線左側両端及び稜線右側両端の法線ベクトルとを含む位相情報を有する微分多面体モデルを生成する。

また、本技術に係る情報処理装置は、三角形頂点の座標値と、三角形頂点の法線ベクトルとを含む三角形の集合体を用いて、三角形の辺を接続した稜線を抽出し、稜線両端の頂点の座標値と、稜線左側及び稜線右側の三角形と、稜線左側両端及び稜線右側両端の法線ベクトルとを含む位相情報を有する微分多面体モデルを生成する。

また、本技術に係るプログラムは、三角形頂点の座標値と、三角形頂点の法線ベクトルとを含む三角形の集合体を用いて、三角形の辺を接続した稜線を抽出し、稜線両端の頂点の座標値と、稜線左側及び稜線右側の三角形と、稜線左側両端及び稜線右側両端の法線ベクトルとを含む位相情報を有する微分多面体モデルを生成する処理をコンピュータに実行させる。

また、本技術に係る微分多面体モデルは、稜線両端の頂点の座標値と、稜線左側及び稜線右側の三角形と、稜線左側両端及び稜線右側両端の法線ベクトルとを含む位相情報を有する。

本技術によれば、位相情報を有する三角多面体である微分多面体モデルを用いることにより、ＣＧソフトウェアとの高い親和性を得ることができ、３Ｄシステム間のデータ連携を円滑化することができる。また、微分多面体モデルにより、曲面の滑らかさを容易に表現することができ、３Ｄシステム間の形状の表現の違いや保証している精度の違いを補完することができる。

図１は、本実施の形態に係る情報処理方法を示すフローチャートである。図２は、従来の共通データとＣＡＤとの関係を示す図である。図３は、微分多面体モデルとＣＧとの関係を示す図である。図４は、本実施の形態に係る情報処理方法を実現するコンピュータ装置の構成を示すブロック図である。図５は、三角形のエッジを接続して曲面を構成する微分多面体モデルの生成処理を説明するための図である。図６は、微分多面体モデルの位相情報を説明するための図である。図７は、微分多面体モデルの生成処理で使用される三角形情報のデータ構造例を示す図である。図８は、微分多面体モデルの生成処理で使用される稜線情報のデータ構造例を示す図である。図９は、微分多面体モデルの生成処理で使用される頂点情報のデータ構造例を示す図である。図１０は、微分多面体モデルの生成処理で使用される点情報のデータ構造例を示す図である。図１１は、微分多面体モデルの生成処理で使用されるエッジ情報のデータ構造例を示す図である。図１２は、微分多面体モデルの生成処理を示すフローチャートである。図１３は、生成工程（Ｓ３３）における頂点の結合処理を説明するための図である。図１４は、生成工程（Ｓ３３）における稜線の抽出処理を説明するための図である。図１５は、細分割処理における頂点コピー処理を説明するための図である。図１６は、細分割処理における稜線の分割処理を説明するための図である。図１７は、細分割処理における三角形の細分割処理を説明するための図である。図１８は、三角形頂点の法線ベクトルを用いた細分割を説明するための図である。図１９は、パラメトリック曲面における測地線を説明するための図である。図２０は、空間測地線を説明するための図である。図２１は、Ｎ（ｔ）測地線を求める方法を説明するための図である。図２２は、Ｎ（ｔ）測地線で２点間を結ぶ測地線Ｃ（ｔ）を求める方法を説明するための図である。図２３は、Ｎ（ｔ）測地線の長さＬを調整したときを説明するための図である。図２４は、［０，１］区間を写像する一階微分可能な関数Ｔ（ｔ）を説明するための図である。図２５は、ｘ＝１／２、ｙ＝ｈのときの傾きがｄである関数を説明するための図である。図２６は、（ｈ，ｄ）の値の範囲を説明するための図である。図２７は、（ｈ，ｄ）の値に対する２－２スプライン関数の形の例を示す図である。図２８は、Ｐ１（０，０）、Ｐ２（１／２，１）、Ｐ３（１，０）のときの２－２スプライン関数の形の例を示す図である。図２９は、多項式曲面の細分割による誤差評価を説明するための図である。図３０は、３ＤＣＡＤにおけるソリッドモデルの表現方法を説明するための図である。図３１は、曲面の三角形分割を説明するための図である。図３２は、曲面の境界部分の処理を説明するための図である。図３３は、平面の判定を説明するための図である。図３４は、円柱の判定を説明するための図である。図３５は、円錐の判定を説明するための図である。図３６は、トーラス面を説明するための図である。図３７は、トーラス面の判定を説明するための図である。図３８は、最小矩形を説明するための図である。図３９は、回転面の判定を説明するための図であり、ＸＹ平面に平行な平面群を示す図である。図４０は、回転面の判定を説明するための図であり、ＸＹ平面に平行ではない平面群を示す図である。

以下、本技術の実施の形態について、図面を参照しながら下記順序にて詳細に説明する。
１．情報処理方法
２．微分多面体モデルの生成処理
３．微分多面体モデルの曲面属性付与処理
４．微分多面体モデルの細分割処理

＜１．情報処理方法＞
図１は、本実施の形態に係る情報処理方法を示すフローチャートである。図１に示すように、本実施の形態に係る情報処理方法は、３ＤＣＡＤモデルを入力する入力工程（Ｓ１）と、３ＤＣＡＤモデルから三角形の集合体モデルに変換する変換工程（Ｓ２）と、三角形の集合体モデルを用いて、三角形の辺を接続した稜線を抽出し、微分多面体モデルを生成する生成工程（Ｓ３）とを有する。

入力工程（Ｓ１）では、３ＤＣＡＤと呼ばれるソフトウェアを用いて仮想の３次元空間上に作成された、縦、横、奥行きのある立体的な形状である３ＤＣＡＤモデルを入力する。３ＤＣＡＤは、ＳＴＬ（Standard Triangulated Language）出力可能であるものが好適である。ＳＴＬは、３Ｄプリンタの標準データ形式であり、データ形式が単純であるため、３Ｄシステム間でもトラブルなく入出力ができる。なお、ＳＴＬは、「StereoLithography」と呼ばれることもある。

変換工程（Ｓ２）では、ＣＡＤモデルから、三角形頂点の座標値と、三角形頂点の法線ベクトルとを含む三角形の集合体モデルに変換する。この集合体モデルは、ＳＴＬを出力する際に頂点の法線ベクトルをＣＡＤデータから計算して付加した法線ベクトル付きＳＴＬモデルである。法線ベクトル付きＳＴＬモデルは、プログラムにより、例えば３次多項式で表される曲面から指定の精度で出力される。法線ベクトル付きＳＴＬモデルは、倍精度浮動小数点数の精度で出力されることが好ましい。

生成工程（Ｓ３）では、三角形の集合体モデルを用いて、三角形の辺を接続した稜線を抽出し、稜線両端の頂点の座標値と、稜線左側及び稜線右側の三角形と、稜線左側両端及び稜線右側両端の法線ベクトルとを含む位相情報を有する微分多面体モデルを生成する。ここで、位相情報とは、要素間の関係を示す情報を意味する。

微分多面体モデルは、単純で意味が明確なデータ表現であり、曲面の滑らかさを表現でき、かつソリッドモデルの位相情報を表現することができる。また、微分多面体モデルは、三角形メッシュモデルのポリゴンモデルであり、ＣＧ（Computer Graphics）用のデータ形式であるｏｂｊ形式に変換することができる。よって、微分多面体モデルを用いることにより、３Ｄシステム間のデータ連携を円滑化することができる。また、ＣＧソフトウェアとの高い親和性を得ることができ、曲面の滑らかさを容易に表現することができる。

また、微分多面体モデルは、三角多面体の各頂点に法線ベクトルを有するため、後述するように、測地線を用いて各頂点に微分幾何の構造を導入することができる。例えば、三角形を細分割することにより、収束する先の曲面を得ることができる。最終的な曲面上に稠密な点群を逐次的に求めることができ、その頂点に微分値を定義することができる。

図２は、従来の共通データとＣＡＤとの関係を示す図であり、図３は、微分多面体モデルとＣＧとの関係を示す図である。図２に示すように、３Ｄシステム間のデータ変換のための仕組みとして、米国国家規格協会(ＡＮＳＩ)のＩＧＥＳや国際標準化機構(ＩＳＯ)のＳＴＥＰがあるが、３Ｄシステム間の形状の表現の違いや保証している精度の違いまでを補完して変換することまでは行うことができない。また、ＳＴＬは、接続関係を表す位相情報が含まれておらず、曲面の滑らかさを表現することが難しい。

一方、図３に示すように、微分多面体モデルは、ＣＧ用のデータ形式であるｏｂｊ形式に変換可能であり、また、ＣＧソフトウェアから出力されたｏｂｊ形式も、微分多面体モデルに変換可能である。微分多面体モデルとｏｂｊ形式とは親和性が高いため、データ変換におけるトラブルの発生を防ぐことができる。また、微分多面体モデルは、ＣＧソフトウェアで曲面の滑らかさを表現することができるため、３ＤＣＡＤに代わってＣＧソフトウェアを設計製造に活用することができる。

また、微分多面体モデルは、本件発明者のＧＰＵ（Graphics Processing Unit）による３ＤＣＡＭカーネル（ＧＰＵ－ＣＡＭ）を用いることができる（例えば、特許第３５３５４４２号、及び特許第３７９２５８４号を参照。）。３ＤＣＡＭカーネルは、形状をＳＴＬで読み込んで処理することができ、ＧＰＵによる高速計算処理を実現し、デクセルデータ形式を使ってオフセット処理を安定して行うことができる。

［ハードウェア構成］
図４は、本実施の形態に係る情報処理方法を実現するコンピュータ装置の構成を示すブロック図である。図４に示すように、コンピュータ装置１は、プログラムの実行処理を行うＣＰＵ（Central Processing Unit）１１と、演算処理を行うＧＰＵ（Graphics Processing Unit）１２と、ＣＰＵ１１により実行されるプログラムを格納するＲＯＭ（Read Only Memory）１３と、プログラムやデータを展開するＲＡＭ（Random Access Memory）１４と、ユーザにより各種の入力操作を受ける操作入力部１５と、プログラムやデータを固定的に保存するストレージ１６と、データを入出力する入出力インターフェース１７とを備える。

ＣＰＵ１１は、前述の情報処理が可能であり、三角形の集合体モデルを用いて、三角形の辺を接続した稜線を抽出し、微分多面体モデルを生成する。また、ＣＰＵ１１は、例えばストレージ１６に記録されているコンピュータ数の数値計算プログラムを読み出し、ＲＡＭ１４に展開して実行することにより、各ブロックの動作を制御する。

ＧＰＵ１２は、ビデオメモリ（ＶＲＡＭ）を有し、ＣＰＵ１１から要求に応じて描画処理及び計算処理が可能である。ＲＯＭ１３は、例えば読み込みのみ可能な不揮発性メモリであり、コンピュータ装置１が有する各ブロックの動作に必要な定数等の情報を記憶する。ＲＡＭ１４は、揮発性メモリであり、動作プログラムの展開領域としてだけでなく、コンピュータ装置１が有する各ブロックの動作において出力された中間データ等を一時的に記憶する格納領域としても用いられる。

操作入力部１５は、コンピュータ装置１に対して入力操作を行う際に用いられるユーザインタフェースである。操作入力部１５は、ユーザの入力操作に応じて前述の情報処理の実行または停止等の命令をＣＰＵ１１に対して出力する。

ストレージ１６は、ＲＡＭ１４に展開される前述の情報処理プログラムなどを記録する。なお、ストレージ１６としては、ＨＤＤ（Hard disk drive）、ＳＳＤ（Solid State Drive）、光学ドライブなどを用いることができる。入出力インターフェース１７は、ＧＰＵ１２によって生成した画像を表示装置に出力することが可能である。

このようなハードウェア構成において、前述の情報処理方法は、ＣＰＵ２１、ＧＰＵ２２、ＲＯＭ２３、ＲＡＭ２４、ＣＰＵ２１などにより実行されたソフトウェアの連携によって実現することができる。また、ソフトウェアプログラムは、光ディスクや半導体メモリなどの記録媒体に記憶させて配布する他に、インターネットなどを経由してダウンロードさせる構成としてもよい。

＜２．微分多面体モデルの生成処理＞
以下、微分多面体モデルを生成する生成処理について、図面を参照しながら詳細に説明する。

図５は、三角形のエッジを接続して曲面を構成する微分多面体モデルの生成処理を説明するための図である。図５に示すように、三角形の集合モデルでは、頂点を点と定義し、辺をエッジ(edge)と定義する。そして、エッジ同士が一致していたときは同一の線であるとして、それを稜線(ridge)と定義し、稜線の両端点は頂点(vertex)と定義する。

図６は、微分多面体モデルの位相情報を説明するための図である。図６に示すように、微分多面体モデルは、三角形情報（double_stl）、稜線情報（ridge_info）、及び頂点情報（vertex_info）で構成されるバイナリデータである。微分多面体モデルの生成処理は、三角形情報を入力し、稜線情報及び頂点情報を出力するとともに、三角形情報を更新する。

また、図７は、微分多面体モデルの生成処理で使用される三角形情報のデータ構造例を示す図である。三角形情報は、入力時において、三角形ＩＤ毎に、３つの頂点座標値（P1, P2, P3）と、３つの頂点の法線ベクトル（N1, N2, N3）とを含む三角形テーブルである。位相情報を構築する際は、三角形情報は、三角形ＩＤ毎に、エッジテーブルの３つのエッジＩＤを含む。位相情報構築後、エッジテーブルの３つのエッジＩＤは、稜線テーブルの３つの稜線ＩＤ（R1_id, R2_id, R3_id）に置き換えられる。なお、位相情報構築後は、頂点座標値及び法線ベクトルは使用しなくてもよい。これらは、稜線情報を使用することができる。

図８は、微分多面体モデルの生成処理で使用される稜線情報のデータ構造例を示す図である。稜線情報は、稜線ＩＤ毎に、稜線のタイプ（type）と、頂点テーブルの始終点の頂点ＩＤ（Vs_id, Ve_id）と、三角形テーブルの左右の三角形ＩＤ（Tl_id, Tr_id）と、左右始終点における法線ベクトル（Nsl, Nel, Nsr, Ner）とを含む稜線テーブルである。稜線のタイプは、例えば、０：滑らかな稜線、１：滑らかではない稜線が挙げられる。稜線が滑らか否かは、両側の三角形に所定以上の角度があるか否かで判別することができ、法線ベクトルを用いて判別することができる。

図９は、微分多面体モデルの生成処理で使用される頂点情報のデータ構造例を示す図である。頂点情報は、頂点ＩＤ毎に、頂点座標値（V）を含む頂点テーブルである。また、頂点情報は、頂点を共有する点の数（n）などの他の情報を含んでいてもよい。また、位相情報を構築する際は、頂点情報は、頂点ＩＤ毎に、エッジの始終点数（numEs, numEe）と、エッジの始終点が頂点になっているエッジのインデックス（Es_index, Ee_index）とを含む。

図１０は、微分多面体モデルの生成処理で使用される点情報のデータ構造例を示す図である。点情報は、位相情報を構築する際に使用され、点ＩＤ毎に、頂点座標値（x, y, z）を含む点テーブルである。

図１１は、微分多面体モデルの生成処理で使用されるエッジ情報のデータ構造例を示す図である。エッジ情報は、位相情報を構築する際に使用され、エッジＩＤ毎に、点テーブルの始終点の点ＩＤ（Ps_id, Pe_id）と、三角形テーブルの所属する三角形ＩＤ（T_id）と、始終点における法線ベクトル（Nsl, Nel, Nsr, Ner）とを含むエッジテーブルである。

なお、図７～１１に示すデータ構造例は、ウィングドエッジ（winged-edge）構造を参照したものであるが、これに限られるものではなく、例えばハーフエッジ（Half-edge）構造を参照したものであってもよい。

図１２は、微分多面体モデルの生成処理を示すフローチャートである。図１２に示すように、微分多面体モデルの生成処理は、三角形の集合体モデルを読み込む読込工程（Ｓ３１）と、集合体モデルから縮退した三角形を削除する削除工程（Ｓ３２）と、微分多面体モデルを生成する生成工程（Ｓ３３）とを有する。

読込工程（Ｓ３１）では、三角形頂点の座標値と、三角形頂点の法線ベクトルとを含む三角形の集合体モデルを読み込む。三角形の集合体モデルは、ＳＴＬを出力する際に頂点の法線ベクトルをＣＡＤデータから計算して付加した法線ベクトル付きＳＴＬモデルであり、図７に示すような三角形情報である。

削除工程（Ｓ３２）では、三角形の集合体モデルから所定値以下のエッジの長さを持つ三角形を削除する。三角形の集合体モデルから所定値以下のエッジの長さを持つ三角形を削除した後、微分多面体モデルを生成することにより、微分多面体モデルのデータ量を抑制することができる。また、不都合の起こり易い三角形を削除することで処理を安定化させることができる。

図１３は、生成工程（Ｓ３３）における頂点の結合処理を説明するための図であり、図１４は、生成工程（Ｓ３３）における稜線の抽出処理を説明するための図である。生成工程（Ｓ３３）では、先ず、三角形頂点を点とし、２点間距離が所定以下の点をグループ化して頂点とし、頂点に属する点の座標値の平均値を頂点の座標値とする頂点の再構成を行う。頂点の再構成は、三角形の点の集まりと考え、所定距離以下の点をグループ化して頂点を求める。点の数が巨大になることを想定して、空間分割をして点の小グループに分割し、小グループ間での２点間の距離を求め、所定距離以下の点をグループ化して頂点とする。

具体的には、三角形情報から三角形の点を集めてリストアップし、図１０に示すような点情報である点テーブルを作成する。次に、点が存在する領域を小領域に分割し、点を領域に区分けし、領域内に存在する点間の距離が所定値以下のグループに分類して頂点とする。また、図１３に示すように、点が複数の頂点に属する場合、頂点を結合する。そして、頂点に属する点の平均値を頂点の座標値とし、頂点情報を作成する。これにより、細分割を繰り返し行うことによる頂点の増大を抑制することができる。

次に、三角形情報のエッジをリストアップし、図１１に示すようなエッジ情報を作成するとともに、三角形のエッジ情報及び頂点に接続するエッジ情報を頂点情報に追加する。そして、図１４に示すように頂点毎にエッジの始点と終点とが一致しているかどうかを判別し、一致している場合、稜線として稜線ＩＤを取得し、稜線情報の領域を確保し、稜線情報の各項目を設定する。最後に、三角形情報のエッジＩＤを稜線ＩＤに置き換え、微分多面体モデルを生成する。

このような微分多面体モデルによれば、ＣＧ用のデータ形式であるｏｂｊ形式に変換可能であり、ＣＧソフトウェアに微分多面体モデルを導入することにより、曲面の滑らかさを表現することができるため、３ＤＣＡＤに代わってＣＧソフトウェアを設計製造に活用することができる。

＜３．微分多面体モデルの細分割処理＞
以下、微分多面体モデルを細分割する細分割処理について、図面を参照しながら詳細に説明する。微分多面体モデルの細分割処理は、頂点コピー処理、稜線の分割処理、及び三角形の分割処理の３つの処理で実行され、微分多面体モデルの稜線両端の頂点の法線ベクトルを用いて空間測地線を生成し、空間測地線の中間点に頂点及び法線ベクトルを追加して２本の稜線を生成する。細分割処理を繰り返すことにより、その極限として曲面上に稠密に存在する点群を生成することができる。すなわち、微分多面体は、パラメトリック曲面や代数方程式の解のような曲面ではなく、ある曲面上の稠密な点と法線ベクトルの集合であるといえる。

図１５は、細分割処理における頂点コピー処理を説明するための図である。細分割後では、頂点はもとのデータに追加になるので、もとの頂点テーブルをコピーして、その後ろに新しい頂点を追加する。新しい頂点は、稜線の中間位置の点であるため、新しい頂点の数は「もとの頂点の数＋稜線の数」になる。新しい頂点は、稜線を２分割するときに追加する。

図１６は、細分割処理における稜線の分割処理を説明するための図である。稜線は、始終点と法線ベクトルを使って空間測地線を生成し、その中間点を頂点に追加し、２つの新しい稜線を生成する。新しい稜線を生成するときには、新しい三角形のＩＤが不明であり、また、新しく生成する三角形も稜線が不明である。このため、元の稜線を分割して新しく生成した稜線を連番で記録する稜線分割（Ridge_sub_division）構造体を使用する。この稜線分割構造体は稜線を分割した際に生成する。

図１７は、細分割処理における三角形の細分割処理を説明するための図である。新三角形１～４を生成する際に、元の三角形の稜線は、稜線分割構造体を使って、新しい稜線ＩＤを得て境界線にする。また、新稜線１～３も新規に稜線ＩＤを生成する。

図１８は、三角形頂点の法線ベクトルを用いた細分割を説明するための図であり、図１９は、パラメトリック曲面における測地線を説明するための図であり、図２０は、空間測地線を説明するための図である。

図１８に示すように、三角形の各辺に空間測地線を用いて曲線を生成する。空間測地線は、三角形の頂点において、付加された法線ベクトルに垂直であって、曲線の各点における曲率方向と法線ベクトルを補間したベクトルが平行になるような曲線である。

図１９に示すようなパラメトリック曲面における測地線と同じ概念であるが、元になる曲面が存在しないので、図２０に示すように、最初に２つの頂点に付加された法線ベクトルを補間することで曲面の法線ベクトルの代わりにして空間測地線を求める。

測地線は、もともとは曲面があって２点間を結ぶ最短距離を測地線という。曲面をＳ（ｕ，ｖ）として、ｕｖ空間上の曲線を（ｕ（ｔ），ｖ（ｔ））とすると、曲面上の曲線Ｃ（ｔ）＝Ｓ（ｕ（ｔ），ｖ（ｔ））が測地線である条件は、Ｃ（ｔ）における曲率がＳ（ｕ（ｔ），ｖ（ｔ））における法線ベクトルに平行であることである。法線ベクトルの関数Ｎ（ｔ）が与えられたときに、同じパラメータｔに対して曲線Ｃ（ｔ）の曲率ベクトルがＮ（ｔ）に平行であるような曲線Ｃ（ｔ）を空間上の測地線とする。法線ベクトル関数をガイドとして生成できる測地線という。以降、これをＮ（ｔ）測地線と呼ぶ。

Ｎ（０）＝Ｎ_１、Ｎ（Ｌ）＝Ｎ_２となるＮ（ｔ）関数を求め、Ｃ（０）＝Ｐ_１、Ｃ（Ｌ）＝Ｐ_２となる場合に２点間を結ぶ測地線が存在するという。Ｐ_１に対してＰ_２の位置はＸ，Ｙ，Ｚ軸方向に選択できるため３つの自由度がある。そのため、空間測地線を一意的に決定するパラメータが３つ必要である。この３つのパラメータは、測地線の方向、測地線の長さ、及び、２－２スプライン関数を決定するパラメータｈである。これらの３つのパラメータを、Ｐ_１から出発した測地線がＰ_２に到着するように調整する。

図２１は、Ｎ（ｔ）測地線を求める方法を説明するための図である。点Ｐ_０とＮ（０）に垂直なベクトルＶを決めると、点Ｐ_０をとおり点Ｐ_０で接線ベクトルＶを持つようなＮ（ｔ）測地線が１つに決まる。このＮ（ｔ）測地線を構成する方法について説明する。ｄｔを固定してＮ_ｉ＝Ｎ（ｉ＊ｄｔ）とする。

点Ｐ_０でＶ方向にｄｔ移動した点を点Ｐ_１とする。Ｐ_０、Ｐ_１を通りＮ_１に平行な平面上で、Ｐ_１を通りＮ_１に平行な直線に対してＰ_１の線対称の点をＰ_２とする。この処理を繰り返してＰ_ｉを順次求めていく。ｄｔ->０にすると、求めるＮ（ｔ）測地線を一意的に求めることができる。

図２２は、Ｎ（ｔ）測地線で２点間を結ぶ測地線Ｃ（ｔ）を求める方法を説明するための図である。図２２に示すように、Ｃ（０）＝Ｐ_１、Ｃ（Ｌ）＝Ｐ_２、Ｎ（０）＝Ｎ_１、Ｎ（Ｌ）＝Ｎ_２を満たし、ＬはＰ_１からＰ_２間の測地線の長さである。
Ｐ_１における接線ベクトルの方向Ｖは３６０°の方向が選べるので、自由度は１である。Ｎ（ｔ）として最初に考えられる関数は、Ｎ_１とＮ_２とを線形で結ぶ関数である。また、Ｎ（ｔ）測地線の長さＬは、微調整ができるため、自由度は１である。

図２３は、Ｎ（ｔ）測地線の長さＬを調整したときを説明するための図である。図２３に示すように、Ｎ（ｔ）測地線の長さＬが長いと曲線Ａのようになり、Ｌが短いと曲線Ｂのようになる。あと１つの自由度がないと、安定的にＰ_１、Ｐ_２、Ｎ_１、Ｎ_２を指定して測地線をえることはできない。そこで、線形ベクトル補間関数に関して工夫をすることにより、自由度を１加える。

Ｎ_１とＮ_２とを線形で結ぶ関数を、α（ｔ）Ｎ_１＋β（ｔ）Ｎ_２とすると、α（ｔ）、β（ｔ）は、それぞれ下記式（１）（２）にて具体的に求めることができる。

ここで、ＬはＮ（ｔ）測地線の長さであり、θはＮ_１とＮ_２の角度である。

図２４は、［０，１］区間を写像する一階微分可能な関数Ｔ（ｔ）を説明するための図である。式（１）及び式（２）のｔ／Ｌに注目すると、この値は［０，１］区間の値である。そこで、図２４に示すように、［０，１］区間を写像する一階微分可能な関数Ｔ（ｔ）を用いることにより、この関数の選定に対して１自由度を与えることができる。

図２５は、ｘ＝１／２、ｙ＝ｈのときの傾きがｄである関数を説明するための図である。０≦ｘ≦１/２の区間の関数を下記式とし、１／２≦ｘ≦１の区間の関数を下記式とする。
ｙ＝ａ_１ｘ^２＋ｂ_１ｘ＋ｃ_１，（０≦ｘ≦１/２）
ｙ＝ａ_２ｘ^２＋ｂ_２ｘ＋ｃ_２，（１／２≦ｘ≦１）

端点の条件から、ｃ_１＝０、ｃ_２＝１－ａ_２－ｂ_２である。また、ｘ＝１／２、ｙ＝ｈのときの傾きがｄであるから、それぞれ下記式となる。
ｙ＝（２ｄ－４ｈ）ｘ^２＋（４ｈ－ｄ）ｘ，（０≦ｘ≦１/２）
ｙ＝（４－４ｈ－２ｄ）ｘ^２＋（３ｄ＋４ｈ－４）ｘ＋（１－ｄ），（１／２≦ｘ≦１）

この関数が単調増加であるためには、ｈ≧０であり、ｄ≧０であり、ｙ’（０）≧０、かつｙ’（１）≧０である。ｙ’（０）＝４ｈ－ｄ、ｙ’（１）＝２(４－４ｈ－２ｄ)＋（３ｄ＋４ｈ－４）＝４－４ｈ－ｄであるから、ｄ≦４ｈ、ｄ≦－４ｈ＋４となる。

図２６は、（ｈ，ｄ）の値の範囲を説明するための図である。図２６に示すように、ｄ≦４ｈ、ｄ≦－４ｈ＋４の領域の（ｈ，ｄ）の値で決まる、一階微分連続なスプライン関数を２－２スプライン関数と呼ぶ。

図２７は、（ｈ，ｄ）の値に対する２－２スプライン関数の形の例を示す図である。図２７（Ａ）は（ｈ，ｄ）＝（１／２，１）、図２７（Ｂ）は（ｈ，ｄ）＝（１／２，２）のとき、図２７（Ｃ）は（ｈ，ｄ）＝（１／４，１）のとき、図２７（Ｄ）は（ｈ，ｄ）＝（０，０）のとき、図２７（Ｅ）は（ｈ，ｄ）＝（１／２，０）のとき、図２７（Ｆ）は（ｈ，ｄ）＝（１，０）のとき、図２７（Ｇ）は（ｈ，ｄ）＝（３／４，１）のとき、図２７（Ｈ）は（ｈ，ｄ）＝（１／４，１／２）のとき、図２７（Ｉ）は（ｈ，ｄ）＝（１／８，１／２）のときの２－２スプライン関数の形を示す。

図２８は、Ｐ１（０，０）、Ｐ２（１／２，１）、Ｐ３（１，０）のときの２－２スプライン関数の形の例を示す図である。このようにＰ１→Ｐ２→Ｐ３のルートを通る直線を中間線と呼ぶ。このｈを決定すると中間線上のｄが決定される。（ｈ，ｄ）に対応する２－２スプライン曲線が決定するので、これを［０，１］間の写像として使用する。

また、ｘ＝１／２、ｙ＝ｈのときの傾きがｄである関数を長さＬに拡張したときの関数は、それぞれ下記式となる。
Ｙ＝（２ｄ－４ｈ）Ｘ^２／Ｌ＋（４ｈ－ｄ）ｘ，（０≦Ｘ≦１/２）
Ｙ＝（４－４ｈ－２ｄ）Ｘ^２／Ｌ＋（３ｄ＋４ｈ－４）Ｘ＋（１－ｄ）Ｌ，（１／２≦Ｘ≦１）

［微分多面体モデルの細分割処理の誤差評価］
図２９は、多項式曲面の細分割による誤差評価を説明するための図であり、図２９（Ａ）は、双曲二次曲面（ｚ＝ｘ^２－ｙ^２；－０．５≦ｘ≦０．５、－０．５≦ｙ≦０．５）をｘ、ｙに関して０．０５の格子状の点で分割してポリゴン近似した図であり、図２９（Ｂ）は、図２９（Ａ）のポリゴンについて、法線ベクトルを使って３回細分割した図であり、図２９（Ｃ）は、細分割したポリゴンに対して元の双曲二次曲面との誤差を評価したグラフである。このグラフを見ると、法線ベクトルを使って３回細分割した場合の誤差が０．００００２以下になっており、０．０５の格子状の点で分割してポリゴン近似したよりも３桁以上小さい誤差になっていることが分かった。以上より、３ＤＣＡＤにおける曲面をある程度の許容誤差で三角形に近似し、複数回細分割を繰り返すことによって近似精度を向上できることが分かった。

＜４．微分多面体モデルの曲面属性の付与処理＞
次に、微分多面体モデルの曲面属性の付与処理について説明する。本実施の形態では、微分多面体モデルの曲面上の三角形頂点と、三角形頂点の法線ベクトルとを用いて、平面、円柱面・円錐面、トーラス面・球面、回転面の順に判定し、微分多面体モデルに曲面属性を付与する。これにより、設計の効率化や省力化を図ることができる。

図３０は、３ＤＣＡＤにおけるソリッドモデルの表現方法を説明するための図である。ソリッドモデルにおけるＢ－rｅｐs法（境界表現法）では、隣接する曲面は曲線で隣接している。曲面はＢスプライン曲面で表現している。Ｂスプライン曲面は、ｕｖパラメータで表されるパラメトリック曲面であり、基本的には４辺形である。これを曲面上の曲線でトリムして一般の曲面を表現する方法が現在の３ＤＣＡＤにおけるソリッドモデルの表現方法である。この方法では、ソリッドを構成する曲面間に隙間が発生する。

図３１は、曲面の三角形分割を説明するための図であり、図３１（Ａ）は、３ＤＣＡＤモデルの曲面を示し、図３１（Ｂ）は、３ＤＣＡＤモデルの曲面を三角形多面体で近似した微分多面体モデルを示す。図３１（Ｂ）に示すように、微分多面体モデルは、３ＤＣＡＤモデルの曲面を指定の誤差で近似しており、三角形の頂点は、曲面上に正確に存在し、頂点における法線ベクトルは、３ＤＣＡＤモデルの曲面の法線ベクトルを正確に表している。すなわち、三角形上の点を曲面に投影したときの距離は、指定の誤差範囲内であることが保証されている。

図３２は、曲面の境界部分の処理を説明するための図であり、図３２（Ａ）は、３ＤＣＡＤモデルの境界部分を示し、図３２（Ｂ）は、３ＤＣＡＤモデルの境界部分を三角形多面体で近似した微分多面体モデルを示す。図３２（Ａ）に示すように、曲面を接続する曲線は、両側の曲面上に指定誤差内で存在している。

曲面の境界は、曲面ではなく、境界線に投影し、境界線上の点を使用する。ただし、法線ベクトルは、境界線上の点を曲面に投影した点における法線ベクトルを使用する。これにより、曲面間の隙間を完全に除去することができる。また、曲面を三角形分割する際の境界部分は、境界線上の点を使用する。これにより、曲面の接続部分の境界線を正確に一致させることができる。

図３２（Ｂ）に示すように、微分多面体モデルは、３ＤＣＡＤモデルの各曲面を指定の誤差で近似している。３ＤＣＡＤモデルの所定の曲面を分割した三角形は、同一のグループに所属する。三角形の各頂点における法線ベクトルは、３ＤＣＡＤモデルの曲面の法線ベクトルを使用する。曲面内の三角形の各頂点における法線ベクトルは、３ＤＣＡＤモデルの曲面の法線ベクトルと同一となるが、境界部分における法線ベクトルは、３ＤＣＡＤモデルの曲面と異なる曲面の法線ベクトルを使用するため、異なる可能性がある。

［平面］
図３３は、平面の判定を説明するための図である。図３３に示すように、平面は、複数の三角形で構成され、各三角形の頂点は、法線ベクトルを持っている。平面の判定は、法線ベクトルの方向が同じ向きである場合、その曲面を平面であるとする。

［円柱・円錐］
図３４は、円柱の判定を説明するための図であり、図３４（Ａ）は、法線ベクトルが所定の平面に平行な場合の曲面を示し、図３４（Ｂ）は、所定の平面に平行な平面群と曲面の断面群との形状を示す。図３４（Ａ）に示すように、円柱も、複数の三角形で構成され、各三角形の頂点に法線ベクトルを持っている。

円柱の判定は、図３４（Ａ）に示すように、法線ベクトルが所定の平面に平行な場合において、図３４（Ｂ）に示すように、所定の平面に平行な平面群と曲面の断面群との形状が円弧である場合、その曲面を円柱であるとする。

図３５は、円錐の判定を説明するための図であり、図３５（Ａ）は、法線ベクトルが円錐面の中心軸のベクトルと同じ角度である場合の曲面を示し、図３５（Ｂ）は、法線ベクトルと円錐面の中心軸のベクトルとの角度を示し、図３５（Ｃ）は、中心軸ベクトルに垂直な平面群と曲面の断面群との形状を示す。

図３５（Ａ）に示すように、円錐も、複数の三角形で構成され、各三角形の頂点に法線ベクトルを持っている。曲面が円錐面の一部であるとすると、法線ベクトルは、円錐面の中心軸のベクトルと同じ角度になる。２つの法線ベクトルが独立であれば（同じ方向でなければ）、２つの法線ベクトルと同じ角度になるベクトルは向きを除けば一意的に決まる。図３５（Ｂ）に示すように、すべての法線ベクトルに対して同じ角度をなすベクトルを円錐面の中心軸ベクトルとする。

円錐の判定は、図３５（Ａ）に示すように、法線ベクトルが円錐面の中心軸のベクトルと同じ角度である場合において、図３４（Ｃ）に示すように、中心軸ベクトルに垂直な平面群と曲面の断面群との形状が円弧である場合、且つその円弧の半径が線形である場合、その曲面を円錐であるとする。

［トーラス面・球面］
図３６は、トーラス面を説明するための図である。図３６に示すように、トーラス面は、点を中心に円を回転して生成する曲面である。曲面上の点において法線ベクトルは回転中心点を中心とする半径Ｒ１の円を向く方向になっている。この性質を利用して曲面がトーラス面の一部かどうかを判定することができる。曲面がトーラス面の一部であるとし、曲面を近似する三角形の頂点を法線ベクトル方向にＲ２だけ移動すると、その点は回転中心点を中心とする半径Ｒ１の円上に存在する。

図３７は、トーラス面の判定を説明するための図であり、図３７（Ａ）は、トーラス面部分の最小矩形の体積の関数Ｖ（Ｒ）で表現される曲面を示し、図３７（Ｂ）は、Ｖ（Ｒ）＝０となるＲに対して曲面の点をＲ移動した点群を示す。また、図３８は、最小矩形を説明するための図である。

トーラス面部分に対して、各頂点の法線ベクトル方向にＲ移動した曲面を求める。トーラス曲面も、複数の三角形で構成され、各三角形の頂点に法線ベクトルを持っている。トーラス面部分の最小矩形の体積をＶとすると、ＶはＲの関数とみなすことができる。トーラス面である場合、適当なＲによってＶ（Ｒ）＝０となる。図３８に示すように、最小矩形とは、形状を包含する直方体のことである。様々な直交座標系を設定して物体を包含する最小の直方体を求めることで、その中の最小の直方体として求めることができる。

トーラス面の判定は、Ｖ（Ｒ）＝０となるＲに対して曲面の点をＲ移動した点群を求め、点列が同一の円上にある場合、曲面をトーラス面の部分面であるとする。同様に、球面の判定は、点列が一点に収束する場合、曲面を球面であるとする。

［回転面］
図３９は、回転面の判定を説明するための図であり、ＸＹ平面に平行な平面群を示す図である。図４０は、回転面の判定を説明するための図であり、ＸＹ平面に平行ではない平面群を示す図である。

図３９及び図４０に示すように、曲面をいろいろな方向から平行な平面群で断面を求める。回転面の判定は、断面群がすべて円弧である場合に、曲面を回転面であるとする。

１１ＣＰＵ、１２ＧＰＵ、１３ＲＯＭ、１４ＲＡＭ、１５操作入力部、１６ストレージ、１７入出力インターフェース

Claims

三角形頂点の座標値と、三角形頂点の法線ベクトルとを含む三角形の集合体を用いて、三角形の辺を接続した稜線を抽出し、稜線両端の頂点の座標値と、稜線左側及び稜線右側の三角形と、稜線左側両端及び稜線右側両端の法線ベクトルとを含む位相情報を有する微分多面体モデルを生成する処理と、
前記微分多面体モデルの稜線両端の頂点の法線ベクトルを用いて、法線ベクトルに垂直であって、曲線の各点における曲率方向と法線ベクトルを補間したベクトルが平行になる曲線である空間測地線を生成し、該空間測地線の中間点に頂点及び法線ベクトルを追加して２本の稜線を生成し、三角形を細分割する処理と
をコンピュータが実行する情報処理方法。
前記微分多面体モデルの曲面上の三角形頂点と、三角形頂点の法線ベクトルとを用いて、平面、円柱面・円錐面、トーラス面・球面、回転面の順に判定し、微分多面体モデルに曲面属性を付与する請求項１記載の情報処理方法。
前記微分多面体モデルの稜線両端の頂点の法線ベクトルの関数Ｎ（ｔ）が与えられたときに、同じパラメータｔに対して曲線Ｃ（ｔ）の曲率ベクトルが前記関数Ｎ（ｔ）の法線ベクトルに平行であるような曲線Ｃ（ｔ）を空間上のＮ（ｔ）測地線とし、該Ｎ（ｔ）測地線を一意的に求めて空間測地線を生成し、該空間測地線の中間点に頂点及び法線ベクトルを追加して２本の稜線を生成し、三角形を細分割する請求項１又は２記載の情報処理方法。
前記三角形の集合体モデルから所定値以下の辺の長さを持つ三角形を削除した後、前記微分多面体モデルを生成する請求項１乃至３のいずれか１項に記載の情報処理方法。
前記三角形頂点を点とし、２点間距離が所定以下の点をグループ化して頂点とし、頂点に属する点の座標値の平均値を頂点の座標値とした後、前記微分多面体モデルを生成する請求項１乃至４のいずれか１項に記載の情報処理方法。
三角形頂点の座標値と、三角形頂点の法線ベクトルとを含む三角形の集合体を用いて、三角形の辺を接続した稜線を抽出し、稜線両端の頂点の座標値と、稜線左側及び稜線右側の三角形と、稜線左側両端及び稜線右側両端の法線ベクトルとを含む位相情報を有する微分多面体モデルを生成し、
前記微分多面体モデルの稜線両端の頂点の法線ベクトルを用いて、法線ベクトルに垂直であって、曲線の各点における曲率方向と法線ベクトルを補間したベクトルが平行になる曲線である空間測地線を生成し、該空間測地線の中間点に頂点及び法線ベクトルを追加して２本の稜線を生成し、三角形を細分割する情報処理装置。
三角形頂点の座標値と、三角形頂点の法線ベクトルとを含む三角形の集合体を用いて、三角形の辺を接続した稜線を抽出し、稜線両端の頂点の座標値と、稜線左側及び稜線右側の三角形と、稜線左側両端及び稜線右側両端の法線ベクトルとを含む位相情報を有する微分多面体モデルを生成する処理と、
前記微分多面体モデルの稜線両端の頂点の法線ベクトルを用いて、法線ベクトルに垂直であって、曲線の各点における曲率方向と法線ベクトルを補間したベクトルが平行になる曲線である空間測地線を生成し、該空間測地線の中間点に頂点及び法線ベクトルを追加して２本の稜線を生成し、三角形を細分割する処理と
をコンピュータに実行させるプログラム。