JP7196029B2 - パラメータ設計方法およびフィードバック制御方法 - Google Patents

Description

本発明は、フィードバック制御を行うコントローラのパラメータを設計する方法、および、この方法を用いて設計されたパラメータが設定されたコントローラを用いるフィートバック制御方法に関する。

実用的なフィードバック制御系には、様々な性能が必要である。具体的には、安定性、外乱抑制性、構造のシンプルさ、適応性、ハードウェアでの実現可能性、設計の容易さ、メンテナンスの容易さ等である。制御系としては、ＰＩＤ制御、ロバスト制御、適応制御、モデル予測制御等があるが、それぞれの制御系には長所短所があり、万能ではない。

ＰＩＤ制御は、構造がシンプルであり、テーブルルックアップ等により適応機能を持たせることができ、高性能であるがメンテナンスが難しいハードウェア（産業用パソコン等）だけでなく、性能に限界があるがメンテナンスが容易な汎用のＤＣＳ（Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｓｙｓｔｅｍ）、ＰＬＣ（Ｐｒｏｇｒａｍｍａｂｌｅ Ｌｏｇｉｃ Ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ）等のハードウェアで容易に実現可能である。また、パラメータが少なく、制御を試行しながら人手により現場調整することも可能である。一方で、構造が簡単なため、性能に限界があることもある。

さらに、ＰＩＤ制御の性能を改善するため、位相進み補償、位相遅れ補償、位相進み遅れ補償が付加される場合がある。しかし、これらの調整指針は定量的に、必ずしも明確ではない。また、制御対象がモデル化されていないとき、実際の応答を見ながら調整することとなる。

ロバスト制御の１つであるＨ∞制御は、周波数領域で指定したロバスト安定性および外乱抑制性を有するコントローラを設計することができる。モデルが不確かさを含めて精確であれば、ＰＩＤ制御系と比べて、試行錯誤の回数を少なくした上で、高性能なコントローラを設計可能である。しかし、構造が複雑となり、次数が高いコントローラとなり、また、コントローラ内での極零相殺を生じる場合もある。そして、高精度な演算が可能なハードウェアを必要とする場合がある。さらに、適応性を持たせることが難しい。加えて、汎用的なコントローラのハードウェアでの実現が難しい。

Ｈ∞制御として、例えば、非特許文献１は、スラブ連続鋳造機の湯面レベルをＨ∞制御する技術を開示している。

村上晃、他４名、 "連続鋳造機湯面レベルのＨ∞制御"、［ｏｎｌｉｎｅ ］、神戸製鋼所技報／Ｖｏｌ．４８ Ｎｏ．２（Ｓｅｐ．１９９８）、ｐ．５４－５７、［令和１年６月３日検索］、インターネット〈ＵＲＬ：https://www.kobelco.co.jp/technology-review/pdf/48_2/054-057.pdf

実用的でロバストで適応的な制御系の設計で生じている問題を例示する。Ｈ∞制御等のロバスト制御の設計では、以下の通りである。次数が高くなる。リカッチ不等式や線形行列不等式を解く等の専用の特殊なアルゴリズムが必要となる。極零相殺があるため数値的に不安定化しやすく高性能なハードウェアが必要となる（単精度浮動小数点数の演算では不十分で、倍精度浮動小数点数の演算が必要となる等）。適応が難しい。

実際には、高次のコントローラを、専用のソフトウェアで計算して求め、高性能な制御ハードウェアを用いて、制御を行っていた。また、適応については、Ｈ∞制御のコントローラを複数用意し、制御中にコントローラを切り換えるという手法を用いていた。

一方、実プロセスで適用されているのは主にＰＩＤ制御系であるが、次の問題があった。ＰＩＤ制御ではロバスト性を考慮した設計が難しい。また、ＰＩＤ制御のみでは、制御の自由度が少なく、制御能力に限界がある場合があった。また、制御性の限界が分かりにくい。すなわち、パラメータ調整の限界なのか、まだ調整代があるのかが分からなかった。

本発明の目的は、ロバスト安定性と外乱抑制特性を有するフィードバック制御系のコントローラを容易に設計できるパラメータ設計方法、および、この設計方法で設計されたパラメータが設定されたコントローラを用いるフィードバック制御方法を提供することである。

本発明の第１局面に係るパラメータ設計方法は、ＰＩＤ制御部、および、前記ＰＩＤ制御部とは別に設けられたフィルタ部を備え、制御対象をフィードバック制御するコントローラにおいて、前記コントローラのパラメータを設計する方法であって、前記制御対象の伝達関数および前記コントローラの伝達関数を基にして定められ、ロバスト安定性および外乱抑制特性を含む混合感度問題について、制御を行う周波数を含む周波数領域を離散化して得られた複数の周波数毎に、前記混合感度問題の制約条件を設定する設定工程と、前記制約条件での前記混合感度問題を最適化手法によって解くことにより、前記ＰＩＤ制御部および前記フィルタ部のそれぞれのパラメータにより構成される前記コントローラのパラメータを決定する決定工程と、を備える。

ＰＩＤ制御部は、ＰＩＤ制御を実行する部分である。ＰＩＤ制御部が実行する制御は、少なくともＰ制御を含む制御とする。すなわち、Ｉ制御やＤ制御がない制御（Ｉ制御やＤ制御のゲインが０で、実質的にＩ制御やＤ制御がない制御を含む。）でもよい。例えば、Ｐ制御、ＰＩ制御、ＰＤ制御、ＰＩＤ制御のいずれでもよい。また、比例先行型、微分先行型等であってもよい。さらに、ＰＩＤ制御部は不完全微分を備えていてもよいし、ノイズ除去用のフィルタを備えていてもよい。制御を行う周波数は、例えば、デジタル制御では、周波数０からナイキスト周波数までとなる。フィルタ部は、ゲインおよび位相を調整する機能を有する。例えば、２次のフィルタ部（２次の有理式からなるフィルタ部）が挙げられる。混合感度問題を最適化手法によって解くとは、例えば、混合感度問題を構成する重み関数（例えば、式（１２））に含まれる所定の変数（変数Ｋ_Ｗ１Ｈ）で示される評価関数（例えば、式（１６））の最小値を、混合感度問題等の制約条件（例えば、式（１８）（１９））の下、求めることである。

本発明の第１局面に係るパラメータ設計方法は、以下の利点を有する。

（１）ＰＩＤ制御部とフィルタ部の実装が可能な装置（例えば、ＤＣＳ、ＰＬＣ）にパラメータが実装可能となり、特殊なハードウェアが不要となる。

（２）Ｈ∞制御と比べて、次数が少なくなる。また、極零相殺を生じないので、高精度な演算が不要である（例えば、倍精度浮動小数点数の演算が不要で、単精度浮動小数点数で十分である）。

（３）Ｈ∞制御では、リカッチ方程式や線形行列不等式のソルバ等の専用ソフトウェアが必要であるが、本発明の第１局面に係るパラメータ設計方法では、専用ソフトウェアが不要であり、汎用的な非線形最適化ソフトを利用できる。

（４）ロバスト安定性と外乱抑制特性を指定できる。

（５）ＰＩＤ制御とフィルタの組み合わせなので、現場調整が可能である。また、従来の古典制御の調整ノウハウ（例：位相進み・遅れ補償のノウハウ。）を利用できる。

（６）ＰＩＤ制御では、制御性能が十分でないことがある（例えば、制御対象が振動系）。ＰＩＤ制御部とは別にフィルタ部を、コントローラに追加することにより、コントローラの自由度が増え、高い性能のコントローラが得られる。

以上により、本発明の第１局面に係るパラメータ設計方法によれば、ロバスト安定性と外乱抑制特性を有するフィードバック制御系のコントローラを容易に設計できる。

上記構成において、前記制御対象は、連続鋳造機であり、制御量が湯面レベルである。

この構成は、制御対象の一例を規定する。制御対象はこれに限らず、例えば、振動系でもよい。

本発明の第２局面に係るフィードバック制御方法は、本発明の第１局面に係るパラメータ設計方法で設計された複数の前記コントローラのそれぞれのパラメータを予め記憶する記憶工程と、前記記憶工程で記憶された、複数の前記コントローラのそれぞれのパラメータの中からパラメータを補間により決定し、前記制御対象を前記フィードバック制御する前記コントローラのパラメータに設定することにより、前記コントローラを変更する変更工程と、を備え、前記変更工程は、前記コントローラの制御特性が連続的に変化するように、前記コントローラが変更される。

なお、「補間により決定」するとは、パラメータをテーブル値として記憶し、線形補間等の補間により求めることをいう。さらに、応答曲面のようにパラメータを関数近似し、その関数を用いて決定すること等の、同等の処理を含むものとする。すなわち、パラメータを連続的に変更可能なコントローラであり、そのパラメータの連続的な値を決定できればよい。

本発明の第２局面に係るフィードバック制御方法は、本発明の第１局面に係るパラメータ設計方法で設計された複数のコントローラのそれぞれのパラメータを基にしている。制御対象の状態や外乱の状態によっては、一つのコントローラだけでは十分に対応できないことがある。そこで、制御対象の状態や外乱の状態を考慮して、制御特性が異なる複数のコントローラを用意し、状況に応じて、コントローラを変更する。具体的には、構造が固定された複数のコントローラのパラメータをテーブルに記憶しておき、テーブルルックアップと補間という簡易な手法によりコントローラを連続的に変更することができる。従って、ロバスト安定かつ適応的なフィードバック制御を、汎用的な制御（ＰＩＤ制御とフィルタ）で実現でき、また、ＤＣＳ、ＰＬＣ等の汎用的なハードウェアで実現できる。これらにより、本発明の第２局面に係るフィードバック制御方法は、連続鋳造機の湯面レベル制御に適用できる。また、連続鋳造機以外のモデル化可能な他の設備にも適用が可能である。

コントローラの制御特性が連続的に変化するように、コントローラが変更されるので、制御量や操作量の変動が生じないようにすることができる。

制御対象が連続鋳造機であり、制御量が湯面レベルの場合、鋳造された鋳片の表面傷が減少するので、表面研削の作業が減少する。また、パウダの巻き込みが減少するので、最終製品である鋼板等の品質が向上する。

本発明によれば、ロバスト安定性と外乱抑制特性を有するフィードバック制御系のコントローラを容易に設計できるパラメータ設計方法、および、この設計方法で設計されたパラメータが設定されたコントローラを用いるフィードバック制御方法を提供することができる。

実施形態に係るフィードバック制御方法が適用されるフィードバック制御系のブロック図である。 連続鋳造機の模式図である。 図１に示すコントローラのブロック図である。 Ｈ∞コントローラにおける一般的な混合感度問題を解いて求められたＨ∞コントローラのボード線図と周波数整形結果を示すグラフである。 ＰＩＤ制御部および２次のフィルタ部を備えるコントローラにおける一般的な混合感度問題を解いて求められたパラメータが設定されたコントローラのボード線図と周波数整形結果を示すグラフである。 実施形態に係るコントローラの設計方法のフローチャートである。 ＰＩＤ制御部および１次のフィルタ部を備えるコントローラにおける一般的な混合感度問題を解いて求められたパラメータが設定されたコントローラのボード線図と周波数整形結果を示すグラフである。 ＰＩＤ制御部および２次のフィルタ部を備えるコントローラにおける２－Ｄｉｓｋ混合感度問題を解いて求められたパラメータが設定されたコントローラのボード線図と周波数整形結果を示すグラフである。 求められた各パラメータ（Ｋ_Ｐ、Ｔ_Ｉ、ａ_１、ａ_２、ｂ_１、ｂ_２）とＫ_ｆ／Ａとゲインタイプ（Ｈ、Ｍ、Ｌ）との関係を示すテーブル、および、テーブル上でのコントローラの変化の例を示す図である。 パラメータＫ_Ｐの補間方法の例を示す図である。 図９Ａに示す各パラメータ（Ｋ_Ｐ、Ｔ_Ｉ、ａ_１、ａ_２、ｂ_１、ｂ_２）のテーブルの数値をグラフにした図である。 適応のシミュレータの概要を示す図である。 例４のコントローラ１について、適応のシミュレーションをした場合の設定条件１～３と結果１～２を示すグラフである。 例４のコントローラ１について、適応のシミュレーションをした場合の結果３～８を示すグラフである。 他の制御系のテスト時における、切り換え時の変動の例を示す図である。 求められた各パラメータ（Ｋ_Ｐ、Ｔ_Ｉ、ａ_１、ａ_２、ｂ_１、ｂ_２）とＫ_ｆ／Ａとゲインタイプ（Ｈ、Ｍ、Ｌ）との関係を示すテーブル、および、テーブル上でのコントローラの変化のもう１つの例を示す図である。 例４のコントローラについて、図１１Ｄに示す条件で適応のシミュレーションをした場合の設定条件１～３および結果１～２を示すグラフである。 例４のコントローラについて、図１１Ｄに示す条件で適応のシミュレーションをした場合の結果３～８を示すグラフである。 例４のコントローラの適応動作のフローチャートである。

以下、図面に基づいて本発明の実施形態を詳細に説明する。各図において、同一符号を付した構成は、同一の構成であることを示し、その構成について、既に説明している内容については、その説明を省略する。

図１は、実施形態に係るフィードバック制御方法が適用されるフィードバック制御系１００のブロック図である。フィードバック制御系１００は、コントローラ１と制御対象２とを備える。制御対象２の制御量（出力）ｙがネガティブフィードバックされ、目標値ｒと制御量ｙの偏差ｅがコントローラ１に入力される。コントローラ１は、偏差ｅを基にして操作量ｕを算出し、出力する。制御対象２には操作量ｕが入力される。なお、比例先行型や微分先行型等の場合は、偏差ｅではなく、制御量ｙを基にして、操作量ｕの一部が計算されることもある。

制御対象２は、例えば、連続鋳造機２００である。図２は、連続鋳造機２００の模式図である。連続鋳造機２００は、溶鋼を鋳型２３に注ぎ込み、側面が凝固した溶鋼を鋳型２３から引き抜いて長尺なスラブを製造する装置である。連続鋳造機２００は、タンディッシュ２１と、ノズル２２と、鋳型２３と、複数組のロール２４とを備え、この順で上流側から下流側へ配設されている。

タンディッシュ２１は、取鍋（不図示）から溶鋼が流れ込み、溶鋼から所定の介在物を除去する装置である。介在物は、浮上して分離することで除去される。タンディッシュ２１の底壁には、貫通口が形成されており、そこに、ノズル２２が取り付けれている。

鋳型２３は、ノズル２２を介して、タンディッシュ２１から溶鋼が流れ込み、溶鋼を冷やして所定の形の鋼を形成する装置である。鋳型２３は、水冷されており、鋳型２３に接触した溶鋼は、その外側から凝固されて相対的に薄肉の凝固シェルを形成し、所定の形の鋼が形成される。

ロール２４は、鋳型２３から鋼を所定の速度で引き抜きつつ、鋼を支持する装置である。ロール２４は、鋼の両面それぞれに接するように配設された２個１組で、鋳型２３の次段に、上流側から下流側へ沿って所定の間隔を空けて複数配設される。複数組のロール２４は、鋳造方向（引き抜き方向）が垂直方向から水平方向へ向くように、配設される。

連続鋳造機２００は、スライドバルブ３１と、アクチュエータ３２と、渦流センサ３３と、を備え、鋳型２３内の溶鋼の湯面レベルを制御する。渦流センサ３３は、鋳型２３内の溶鋼の湯面レベル（図中のＬｅｖｅｌ。なお、制御には鉛直上向きを正とした高さに変換した値を湯面レベルとして用いている。）を計測する。渦流センサ３３が計測した湯面レベルは、制御量ｙとして出力される。制御量ｙと目標値ｒの偏差ｅがコントローラ１に入力される。コントローラ１は、操作量ｕを算出し、アクチュエータ３２に出力する。なお、比例先行型や微分先行型等の場合、制御量ｙがコントローラ１に入力される場合があることは、既述の通りである。アクチュエータ３２は、スライドバルブ３１を操作量ｕだけ操作する。なお、コントローラが速度型の場合、アクチュエータ３２は、操作量ｕの微分や差分を操作することとなる。

図３は、図１に示すコントローラ１のブロック図である。コントローラ１は、ＰＩＤ制御部１１と、フィルタ部１２と、を備える。フィルタ部１２は、ＰＩＤ制御部１１とは別に設けられている。ＰＩＤ制御部１１に偏差ｅが入力され、ＰＩＤ制御部１１の出力がフィルタ部１２に入力される。フィルタ部１２の出力が操作量ｕとなる。なお、比例先行型や微分先行型等の場合、制御量ｙが、ＰＩＤ制御部１１に入力される場合があることは、既述の通りである。

例えば、ＰＩＤ制御部１１が、ＰＩＤ制御を実行する場合の伝達関数Ｋ_ＰＩＤ（ｓ）の例を示すと以下の通りである。以降の説明では、この構造のＰＩＤ制御部を用いることとする。なお、式（１）を実行するＰＩＤ制御部は、本来、「ＰＩＤ制御部」の１形態であり、「式（１）の構造のＰＩＤ制御を行うＰＩＤ制御部」と表記すべきである。しかし、長い表記となるため、以降も、「ＰＩＤ制御部」と表記することとする。なお、Ｋ_ＰＩＤ（ｓ）は、ＰＩＤ制御部１１の伝達関数であり、コントローラ１の伝達関数Ｋ（ｓ）ではない。コントローラ１の伝達関数Ｋ（ｓ）は、後で説明する（式（１５））。

本例のＰＩＤ制御部１１の基本的なパラメータは、Ｋ_Ｐ（比例ゲイン）、Ｔ_Ｉ（積分時間）、Ｔ_Ｄ（微分時間）である。ηは、不完全微分のための係数であり、０．１とされることが多い。なお、式(１)を変形すると、次のようになる。

定数ゲインを比例ゲイン、積分器のゲインを積分ゲイン、微分器のゲインを微分ゲインとすれば、比例ゲインはＫ_Ｐであり、積分ゲインはＫ_Ｐ／Ｔ_Ｉであり、微分ゲインはＫ_Ｐ・Ｔ_Ｄとなる。

フィルタ部１２は、ＰＩＤ制御部１１に付加してコントローラ１を構成する部分である。ＰＩＤ制御では、十分な制御性能が得られない場合に、ゲインや位相を細かく調整する機能を有する。例えば、振動系の制御対象２の場合、ＰＩＤ制御では制御が難しいことがある。このようなとき、フィルタ部１２を追加し、例えば、特定の周波数のコントローラゲインを大きくすることで、振動を抑制できるようになることがある。あるいは、別の例としては、特定の周波数のコントローラゲインを小さくすることで、振動により制御が不安定化することを防止できることがある。フィルタ部１２のパラメータの値によって、フィルタ部１２は、例えば、位相進み補償器になったり、位相遅れ補償器になったりする。

制御対象２は、実施形態において、伝達関数Ｐ（ｓ）で表わされているものとする。むだ時間を含んでいてもよい。

感度関数Ｓ（ｓ）、準相補感度関数Ｒ（ｓ）は、次のように定義される。これらの関数は、Ｋ（ｓ）およびＰ（ｓ）を用いて定義されており、混合感度問題で扱われる。

また、加法的な不確かさをΔ（ｓ）とすると、制御対象２の伝達関数Ｐ（ｓ）は、次のように表すことができる。

ここで、Ｐ_０（ｓ）は、公称の制御対象２である。

混合感度問題について説明する。重み関数をＷ_１Ｈ（ｓ）、Ｗ_２Ｈ（ｓ）とする。なお、添え字のＨは、ハイゲインタイプのコントローラ１を設計するための重み関数であることを示す。

Ｈ∞制御の混合感度問題は、以下のように示される。ここで、感度関数、準相補感度関数、後で用いる相補感度関数内のＰ（ｓ）には、Ｐ_０（ｓ）を代入して用いる。以下のいずれの混合感度問題においても同様である。

これは、公知のリカッチ不等式や線形行列不等式のソルバ（Ｔｈｅ ＭａｔｈＷｏｒｋｓ，Ｉｎｃ．の「Ｒｏｂｕｓｔ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｔｏｏｌｂｏｘ」（登録商標））のｈｉｎｆｓｙｎ関数等を用いて解くことができる。

なお、実施形態では、加法的な不確かさを扱っているが、乗法的な不確かさを扱ってもよい。この場合、混合感度問題では、感度関数Ｓ（ｓ）と相補感度関数Ｔ（ｓ）を扱うこととなる。重み関数をＷ_１Ｈ’（ｓ）、Ｗ_２Ｈ’（ｓ）とする。

ここで、式（６）又は（７）の混合感度問題を、実施形態では「一般的な混合感度問題」と呼び、２－ｄｉｓｋ問題と区別する。２－ｄｉｓｋ問題の場合、制約条件は次のいずれかとなる。

実施形態において、「混合感度問題」とは、式（６）～（９）のいずれかを制約条件に含む問題をいうものとする。混合感度問題は、最適化手法を用いて解かれる。これについて、具体例で示す。制御対象２を、連続鋳造機２００とする。

ここで、Ｐ_０（ｓ）は式（５）の構成要素であり、Ｔ_ＳＣはステッピングシリンダ時定数であり、Ｌ_ＳＣはステッピングシリンダむだ時間であり、Ｋ_ｆは流量係数であり、Ａは鋳型断面積であり、Ｔ_ＣＤはレベル計時定数であり、Ｌ_ＣＤはレベル計むだ時間である。図２を参照して、ステッピングシリンダはアクチュエータ３２であり、鋳型断面積は鋳型２３の断面積であり、レベル計は渦流センサ３３である。

Ｔ_ＳＣ＝０．２、Ｔ_ＣＤ＝０．３、Ｌ_ＳＣ＝０．１、Ｌ_ＣＤ＝０．１２とする。Ｋ_ｆ、Ａは、鋳造条件により変化し、その範囲は、０．６＜Ｋ_ｆ／Ａ＜２．１である。まず、本例では、ハイゲインタイプのコントローラ１の１つ目として、次の場合を考える。

重み関数は、次のように設定する。後述の評価関数で示されるように、重み関数Ｗ_１Ｈ（ｓ）の変数Ｋ_Ｗ１Ｈが最大化すべき値となる。

変数Ｋ_Ｗ１Ｈをなるべく大きくすることで、外乱抑制性を最大化できることになる。

なお、時定数とむだ時間がすべて、±２０％変化するものとして、不確かさΔ（ｓ）を計算する。不確かさΔ（ｓ）は、式（５）を構成する。非特許文献１に記載のように、後述の重みＷ_２Ｈ（ｓ）、Ｗ_２Ｍ（ｓ）、Ｗ_２Ｌ（ｓ）は、高周波域でΔ（ｓ）を覆うように、設定する。

比較例として、Ｈ∞コントローラの設計方法を説明する。一般的な混合感度問題を解くことにより、Ｈ∞コントローラが求められる。このとき、Ｈ∞コントローラの構造は自動的に定まり、指定することはできない。図４は、一般的な混合感度問題を解いて求められたＨ∞コントローラのボード線図と周波数整形結果を示すグラフである。Ｈ∞コントローラは、低周波でゲインが大きく、高周波側の０．１［Ｈｚ］近傍でほぼ一定のゲインになっており、基本的にはＰＩ制御であることが分かる。さらに高周波側の１．０［Ｈｚ］近傍ではゲインが下がり、フィルタを付加した形になっていると解釈できる。特許第３０９１０６１号に開示されているように、一般的な混合感度問題である式（６）を解く方法により、Ｈ∞コントローラを求めると次のようになる。

極と零点を比較することにより、次のことがわかる。

ｚＨ１_１，２とｐＨ１_２，３が、極零相殺を生じている。

ｚＨ１_３とｐＨ１_４が、極零相殺に近い。

ｚＨ１_４とｐＨ１_５が、極零相殺に近い。

ｚＨ１_{１０，１１}とｐＨ１_{１１，１２}が、極零相殺を生じている。

極零相殺に近いことを極零相殺に含めると、６個の極零相殺があることが分かる（ｚＨ１_１，２とｐＨ１_２，３、ｚＨ１_{１０，１１}とｐＨ１_{１１，１２}はそれぞれ２個の極零相殺である）。この場合、１３次のコントローラのうち、少なくとも６次分は除くことができ、７次のコントローラでＨ∞コントローラを近似することができると考えられる。実際には、残りの７次の中にも影響が小さい極や零点が含まれているため、さらに低次のコントローラで、Ｈ∞コントローラを近似できると考えられる。

実施形態では、コントローラ１の構造を、ＰＩＤ制御部１１にフィルタ部１２を付加した形に固定し、Ｈ∞コントローラに近い性能を達成することを考える。ここで、構造が固定とは、可変パラメータの値のみが異なることを言うものとする。例えば、伝達関数１／（２・ｓ＋１）と、１／（３・ｓ＋１）とは、可変パラメータをＴとして、構造が１／（Ｔ・ｓ＋１）で固定である。一方、伝達関数１／（２・ｓ＋１）と、ｓ／（３・ｓ＋１）とは、分子が１とｓで異なっており、固定ではない。なお、近似の方法として、平衡実現による低次元化の手法もあるが、必ずしも、ＰＩＤ制御部１１のように固定の構造のコントローラが得られないため、採用しない。

実施形態のパラメータ設計方法は、ＰＩＤ制御部１１およびフィルタ部１２を備えるコントローラ１のパラメータの設計方法である。この設計方法として、以下の例１～例３がある。

例１：ＰＩＤ制御部＋２次のフィルタ部、混合感度
コントローラ１をＰＩＤ制御部１１＋２次のフィルタ部１２で近似することを考える。位相進み遅れ補償は、１次の有理式×１次の有理式となっていることが多いが、実施形態では、さらに範囲が広い２次の有理式としている。１次の有理式であっても、位相進み・遅れ補償のパラメータを決めるには、試行錯誤、再調整が必要であるが、実施形態では、２次の有理式であっても、モデルに基づき、試行錯誤、再調整なく、最適化によりパラメータを求める。例１のコントローラ１の伝達関数Ｋ（ｓ）を、以下に示す。

伝達関数Ｋ（ｓ）は、式１に示すＰＩＤ制御部１の伝達関数Ｋ_ＰＩＤ（ｓ）と、２次のフィルタ部１２の伝達関数とにより構成される。ＰＩＤ制御部１１のパラメータは３個（Ｋ_Ｐ、Ｔ_Ｉ、Ｔ_Ｄ）であり、フィルタ部１２のパラメータは４個（ａ_１、ａ_２、ｂ_１、ｂ_２）である。コントローラ１のパラメータとして、これら７個のパラメータを決定する必要がある。コントローラ１は線形式ではない。ロバスト安定性と外乱抑制性とのバランスを取る必要があり、これらのパラメータの決定は難しい。フィルタ部１２が１次の場合でも、５個のパラメータ（Ｋ_Ｐ、Ｔ_Ｉ、Ｔ_Ｄ、ａ_１、ｂ_１）を決定する必要がある。かつ、安定性を維持したうえで、外乱抑制帯域をできるだけ大きくして、湯面レベル変動を小さくし、鋳片品質の向上等を図りたいというニーズを満たす必要がある。

周波数をｆ_ｍｉｎ（＝０．００１）［Ｈｚ］から、ｆ_ｍａｘ（＝１０）［Ｈｚ］まで、対数的に等間隔なＮ_ω（＝２００）点の、周波数の変数ｆ_ｉ（ｉ＝１，・・・，Ｎ_ω）を得る。ここで、デジタル制御を行う場合、制御を行う周波数は、０からナイキスト周波数であるが、本例では、サンプリング周期を０．１［ｓ］とする。したがって、周波数は、０［Ｈｚ］からナイキスト周波数の５［Ｈｚ］までとなる。下限については、周波数を対数的に等間隔とするので０とすることはできないことから、小さな値０．００１［Ｈｚ］としている。また、上限については、ナイキスト周波数近傍で大きい値の１０［Ｈｚ］としている。さらに、ｆ_ｉに、２πを乗じ、角周波数の変数ω_ｉ（ｉ＝１，・・・，Ｎ_ω）を得る。

最小化すべき評価関数は次のように設定した。重み関数のゲインを可能な限り大きくして、外乱抑制の周波数帯域を最大化する評価関数としている。変数Ｋ_Ｗ１Ｈは、式（１２）で説明している。

次に、各角周波数での制約条件を求める。上述の混合感度問題のノルム制約は次のようになる。

ここで、σ（）は、最大特異値を示す。

最適化計算時の精度を担保するため、次のように、ｄＢに変換した制約条件を得る。

ここで、ＰＩＤ制御部１１のパラメータは、ネガティブフィードバックにするために、それぞれ、Ｋ_ｐ＞０、Ｔ_Ｉ＞０、Ｔ_Ｄ≧０が必須となる制約がある。さらに、この最適化問題は非凸で、局所解に陥る場合もあるため、収束しやすくするために、各変数に次のような制約条件を設けた。なお、Ｋ_ｐ＞０、Ｔ_Ｉ＞０、Ｔ_Ｄ≧０の必須の制約以外の制約は、局所解に陥いる場合を避けるために便宜的に設けたものであり、必須ではない。例えば、本例の多スタート局所探索法では、最適化時に試す初期値の数を増やせば、便宜的な制約なしで、最適解を得ることができる。

なお、最後の２式は、フィルタ部１２の減衰係数に制限を加えるものである。すなわち、最後の２式は零点や極が振動的になりにくく、かつ、虚軸に近づきにくい領域で最適値を探索するために設けている。

また、本例では、最適化手法については、多スタート局所探索法を用い、初期値については、初期値を複数点で試し、局所解に陥らないような、次の初期値からの最適化結果を採用した。

最適化問題は、式（１６）の評価関数を、式（１８）、（１９）の制約条件の下、最小値を求める形となる。

なお、最適化問題を大域的最適化問題として解く場合、混合感度問題の制約とＰＩＤパラメータの制約とを除いた制約条件の設定は、大域的最適化に含めたり、不要であったりする。理由は、実施形態では、多スタート局所探索法の一種を用いており、混合感度問題の制約とＰＩＤパラメータの制約とを除いた制約条件は、局所探索での収束が容易になるように便宜的に設けたものだからである。

局所探索の部分は、公用の非線形最適化手法を用いる（Ｔｈｅ ＭａｔｈＷｏｒｋｓ，Ｉｎｃ．の「Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ Ｔｏｏｌｂｏｘ」（登録商標）のｆｍｉｎｃｏｎ関数）。次の結果を得た。

ＰＩＤ制御部１１は、微分時間Ｔ_Ｄが０であり、実質的にＰＩ制御となっていることが分かる。図５は、ＰＩＤ制御部１１および２次のフィルタ部１２を備えるコントローラ１における一般的な混合感度問題を解いて求められたパラメータが設定されたコントローラ１のボード線図と周波数整形結果を示すグラフである。ここでのパラメータは、式（２１）に示すパラメータである。ＰＩ制御＋２次のフィルタのため、次数は３次であるが、ほぼＨ∞コントローラと同性能のコントローラ１が得られていることが分かる。

ＰＩＤ制御部１１＋２次のフィルタ部１２の構造に固定されたコントローラ１を、モデルを用いて、調整でなく計算によって求めることができている。

実施形態に係るコントローラ１（例１および後で説明する例２、例３のコントローラ１）の設計方法について簡単に説明する。この設計方法には、実施形態に係るパラメータ設計方法が含まれる。図６は、実施形態に係るコントローラ１の設計方法のフローチャートである。この中には、実施形態に係るパラメータの設計方法が含まれる。まず、設計者は、制御対象２の伝達関数Ｐ（ｓ）（上述のように、Ｐ_０（ｓ）をＰ（ｓ）として用いる。）を設定する（Ｓ１）。次に、設計者は、ＰＩＤ制御部１１およびフィルタ部１２の構造を決定する（Ｓ２）。次に、設計者は、評価関数を設定する（Ｓ３）。次に、設計者は、制約条件を設定する（Ｓ４）。最後に、設計者は、コンピュータを用いて大域的最適化問題を解く（Ｓ５）。上述したように、処理Ｓ５により、コントローラ１のパラメータが決定される。

例２：ＰＩＤ制御部＋１次のフィルタ部、混合感度
次に、１次のフィルタ部１２の例を示す。ここで、ＰＩＤ制御部１１のパラメータは、ネガティブフィードバックにするために、それぞれ、Ｋ_Ｐ＞０、Ｔ_Ｉ＞０、Ｔ_Ｄ≧０が必須となる制約がある。さらに、この最適化問題は非凸で、局所解に陥る場合もあるため、収束しやすくするために、各変数に次のような制約条件を設けた。ここで、ａ_２、ｂ_２については、値を０にする制約を設けて、最適化計算を行っている。なお、Ｋ_Ｐ＞０、Ｔ_Ｉ＞０、Ｔ_Ｄ≧０が必須となる制約以外の制約は、局所解に陥る場合を避けるために便宜的に設けたものであり、必須ではない。例えば、本例の多スタート局所探索法では、最適化時に試す初期値の数を増やせば、便宜的な制約なしで、最適解を得ることができる。

また、初期値については、初期値を複数点で試し、局所解に陥らないような、次の初期値からの最適化結果を採用した。

この１次フィルタの場合について、式（１６）の評価関数を、式（１８）、（２２）の制約条件の下、最適化して、次の結果を得た。

図７は、ＰＩＤ制御部１１および１次のフィルタ部１２を備えるコントローラ１における一般的な混合感度問題を解いて求められたパラメータが設定されたコントローラ１のボード線図と周波数整形結果を示すグラフである。ここでのパラメータは、式（２４）に示すパラメータである。ＰＩ制御＋１次のフィルタのため、次数は２次である。図７では分かりにくいが（図７を拡大すれば分かる）、図５（ＰＩ制御＋２次のフィルタを実行するコントローラ１）と比較して、感度関数Ｓが低周波側にある。これにより、ＰＩ制御＋２次のフィルタを実行するコントローラ１や、Ｈ∞コントローラよりも外乱抑制性能が低いことが分かる。設計の自由度が十分でないためと考えられる。

例３：ＰＩＤ制御部＋２次のフィルタ部、２－ｄｉｓｋ
次に、２－ｄｉｓｋ問題の例を示す。この例では、混合感度問題の制約がより緩和されるので、外乱抑制の帯域が広がる。また、１入出力系の場合、特異値を計算する必要がないという利点がある。コントローラ１をＰＩＤ制御部１１＋２次のフィルタ部１２で近似することを考えるのは上述の場合と同じである。評価関数も、上述の場合と同じである。

次に、各角周波数での制約条件を求める。上述の混合感度問題と違い、２－ｄｉｓｋ問題の制約は次のようになる。

最適化計算時の精度を担保するため、次のように、ｄＢに変換した制約条件を得る。

ここで、ＰＩＤ制御部１１のパラメータは、ネガティブフィードバックにするために、それぞれ、Ｋ_Ｐ＞０、Ｔ_Ｉ＞０、Ｔ_Ｄ≧０が必須となる制約がある。さらに、この最適化問題は非凸で、局所解に陥る場合もあるため、収束しやすくするために、各変数に次のような制約条件を設けた。なお、Ｋ_Ｐ＞０、Ｔ_Ｉ＞０、Ｔ_Ｄ≧０が必須となる制約以外の制約は、局所解に陥る場合を避けるために便宜的に設けたものであり、必須ではない。最適化時に試す初期値の数を増やせば、便宜的な制約なしで、最適解を得ることができる。

また、初期値については、初期値を複数点で試し、局所解に陥らないような、次の初期値からの最適化結果を採用した。

最適化問題は、式（１６）の評価関数を、式（２６）、（２７）の制約条件の下、最小値を求める形となる。

局所探索の部分は、公用の非線形最適化手法を用いて（Ｔｈｅ ＭａｔｈＷｏｒｋｓ，Ｉｎｃ．の「Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ Ｔｏｏｌｂｏｘ」（登録商標）のｆｍｉｎｃｏｎ関数）、最適化して、次の結果を得た。

微分時間Ｔ_Ｄが０でない値となっている。図８は、ＰＩＤ制御部１１および２次のフィルタ部１２を備えるコントローラ１における２－Ｄｉｓｋ混合感度問題を解いて求められたパラメータが設定されたコントローラ１のボード線図と周波数整形結果を示すグラフである。ここでのパラメータは、式（２９）に示すパラメータである。図８では分かりにくいが（図８を拡大すれば分かる）、図５と比較して、感度関数Ｓが高周波側にあり、外乱抑制性能が高いことが分かる。

但し、０．２［Ｈｚ］近傍の操作量ｕのゲインは大きくなっており、操作量飽和は生じやすくなっていることが分かる。次に説明する「例４：適応」では、この例は用いない。

例４：適応
例１のコントローラ１（ＰＩＤ制御部１１＋２次のフィルタ部１２）において、制御対象２（連続鋳造機２００）の変化等に対応させることを考える。構造を固定しているので、後述するように、コントローラ１の制御特性を連続的に変化させることが可能となる。

制御対象２において、Ｋ_ｆ／Ａが、０．６から２．１まで、０．１刻みで設計する。また、例１の説明では、ハイゲインタイプのコントローラ１を設計したが、これよりも、ゲインが低いタイプであるミドルゲインタイプおよびローゲインタイプのコントローラ１も設計する。従って、設計するゲインタイプは３種類ある。よって、設計するコントローラ１は４８個となる。これを、下記の表で示す。ハイゲインタイプは「Ｈ」で示し、ミドルゲインタイプは「Ｍ」で示し、ローゲインタイプは「Ｌ」で示す。

制御対象２のゲインが２倍以上変化するため、１つのコントローラ１では性能が劣化したり、不安定化したりすることが考えられる。公用のＰＩＤ制御では、テーブルにＰＩＤのパラメータを書き込んでおき、制御対象２や外乱の変化に応じてＰＩＤのパラメータを変更する場合がある。今回、コントローラ１のパラメータをテーブル化しておき、制御対象２や外乱の変化に応じて、パラメータを連続的に変化させることを考える。パラメータを連続的に変化させることにより、コントローラ１の制御特性を連続的に変化させることとなる。

Ｋ_ｆ／Ａが、０．６から２．１まで、０．１刻みで、例１と同様に設計を行う（なお、０．６の場合は例１で設計済み。）。

既に、Ｈ１は計算しているので、Ｈ２～Ｈ１６は、式（１０）のＫ_ｆ／Ａを変更して、例１と同様に計算して、例１のコントローラ１を得ることができる。

次に、ミドルゲインタイプのＭ１～Ｍ１６については、重み関数と評価関数を次のように設定して、最適化を行う。後述の評価関数で示されるように重み関数Ｗ_１Ｍ（ｓ）の変数Ｔ_Ｗ１Ｍが最小化すべき値となる。なお、Ｗ_２Ｍ（ｓ）は、Ｗ_２Ｈ（ｓ）と同じである。

ミドルゲインタイプの、最小化すべき評価関数は次のように設定した。Ｔ_Ｗ１Ｍを可能な限り小さくし、結果として、重み関数Ｗ_１Ｍ（ｓ）のゲインを大きくすることで、外乱抑制の周波数帯域を最大化する評価関数としている。

さらに、ローゲインタイプのＬ１～Ｌ１６については、重み関数と、最小化すべき評価関数とを、次のように設定して、最適化を行う。後述の評価関数で示されるように、重み関数Ｗ_１Ｌ（ｓ）の変数Ｔ_Ｗ１Ｌが最小化すべき値となる。

ローゲインタイプの評価関数は次のように設定した。Ｔ_Ｗ１Ｌを可能な限り小さくし、結果として、重み関数Ｗ_１Ｌ（ｓ）のゲインを大きくすることで、外乱抑制の周波数帯域を最大化する評価関数としている。

以上のようにして、上記表に示す４８個のコントローラ１のそれぞれのパラメータが求められる。４８個のコントローラ１は、構造が共通であるが、パラメータが異なり、制御特性が異なる。本例では、ここでの制御特性は、Ｋ_ｆ／Ａの値とゲインタイプ（Ｈ、Ｍ、Ｌ）の組み合わせで定まる。

図９Ａは、求められた各パラメータ（Ｋ_Ｐ、Ｔ_Ｉ、ａ_１、ａ_２、ｂ_１、ｂ_２）とＫ_ｆ／Ａとゲインタイプ（Ｈ、Ｍ、Ｌ）との関係を示すテーブルの図である。Ｔ_Ｄは０なので省略されている。このテーブルは、コントローラ１の記憶部に予め記憶されている。上記表に示す４８個のコントローラ１は、構造が共通であり、パラメータを変えることにより、これらのコントローラ１が実現される。具体的に説明する。ゲインタイプがＨ、かつ、Ｋ_ｆ／Ａが０．６で特定されるパラメータ（Ｋ_Ｐ、Ｔ_Ｉ、ａ_１、ａ_２、ｂ_１、ｂ_２）が、コントローラ１において補間により選択されることにより（コントローラ１に設定）、コントローラ番号Ｈ１のコントローラ１が実現される。

例４のコントローラ１は、その制御特性（Ｋ_ｆ／Ａの値とゲインタイプの組み合わせ）を連続的に変化させる。ここで、Ｈ１６はハイゲインタイプのＫ_ｆ／Ａ＝２．１の場合であり、Ｍ３はミドルゲインタイプのＫ_ｆ／Ａ＝０．８の場合となる。

連続的にコントローラ１を変化させる場合、図９Ａの表から補間により求める必要がある。本例では、Ｔｈｅ ＭａｔｈＷｏｒｋｓ，Ｉｎｃ．の「Ｓｉｍｕｌｉｎｋ」（登録商標）の「ｎ－Ｄ Ｌｏｏｋｕｐ Ｔａｂｌｅ」ブロックを用い、このブロックの設定として、テーブルの次元数を「２」とし、内挿法として「線形の点と勾配」を用いればよい。

なお、この「ｎ－Ｄ Ｌｏｏｋｕｐ Ｔａｂｌｅ」と同等の手法を、ＤＣＳやＰＬＣで実現する際のロジックは次のようになる。今、ゲインタイプ１．４、Ｋ_ｆ／Ａ＝０．７２とする。ここで、ゲインタイプはＨを１、Ｍを２、Ｌを３としているものとする。すなわち、ゲインタイプ１．４は、０．４：０．６の比率でＨとＭの間にあることとなる。Ｋ_ｆ／Ａ＝０．７２は、０．０２：０．０８＝０．２：０．８の比率でコントローラ＊２と＊３（＊はＨ、Ｍ、Ｌのいずれかを示す。）の間にあることを示す。このときの、Ｋ_ｐの補間方法を図９Ｂで示す。

求めるべきＫ_ｐの値は、
Ｈ２（ゲインタイプ＝１、Ｋ_ｆ／Ａ＝０．７）の０．９２８、
Ｈ３（ゲインタイプ＝１、Ｋ_ｆ／Ａ＝０．８）の０．８４５、
Ｍ２（ゲインタイプ＝２、Ｋ_ｆ／Ａ＝０．７）の０．４３５、
Ｍ３（ゲインタイプ＝２、Ｋ_ｆ／Ａ＝０．８）の０．３９６、
の間にある。

まず、ＴＭＰ１をＨ２とＭ２を０．４：０．６に内分する点にとる。この点でのＫ_ｐの値は、（０．４×０．４３５＋０．６×０．９２８）＝０．７３１となる。

次に、ＴＭＰ２をＨ３とＭ３を０．４：０．６に内分する点にとる。この点でのＫ_ｐの値は、（０．４×０．３９６＋０．６×０．８４５）＝０．６６５となる。

次に、ＲＥＳＵＬＴを、ＴＭＰ１とＴＭＰ２を０．２：０．８に内分する点にとる。この点でのＫ_ｐの値は、（０．２×０．６６５＋０．８×０．７３１）＝０．７１８となる。このＲＥＳＵＬＴの値が、補間により得られるＫ_ｐの値となる。

Ｔ_Ｉ、ａ_１、ａ_２、ｂ_１、ｂ_２についても、同様に補間により値を得ることができる。

ここで、この補間のロジックと、Ｔｈｅ ＭａｔｈＷｏｒｋｓ，Ｉｎｃ．の「Ｓｉｍｕｌｉｎｋ」（登録商標）の「ｎ－Ｄ Ｌｏｏｋｕｐ Ｔａｂｌｅ」ブロックの補間のロジックとは、厳密には同一でなく誤差が存在する可能性もあるが、Ｋ_ｐ等の値は、後で図１０Ａに示されるように滑らかな曲面であるので、誤差は小さいものと考えられる。

各パラメータを連続的に変化させることで、コントローラ１の制御特性を連続的に変化させることができる。図１０Ａは、図９Ａに示す各パラメータ（Ｋ_Ｐ、Ｔ_Ｉ、ａ_１、ａ_２、ｂ_１、ｂ_２）のテーブルの数値をグラフにした図である。各グラフは、３次元で示されており、第１軸がＫ_ｆ／Ａを示し、第２軸がゲインタイプ（Ｈ、Ｍ、Ｌ）を示し、第３軸がパラメータを示す。

適応的に例４のコントローラ１を動作させることを考える。図９Ａの破線矢印に示すように、まず、ゲインタイプはＨのままで、制御対象２のＫ_ｆ／Ａを２．１から０．６まで、連続的に減少させる。次に、ゲインタイプをＨ→Ｍ→Ｌと連続的に変更する。これは、例えば、鋳造速度を減少させ、その後、例えば、コントローラゲインを下げるためにゲインタイプを変更する場合に該当する。

このとき、コントローラ１は、Ｋ_ｆ／Ａの値に応じて、Ｈ１６、Ｈ１５、Ｈ１４、・・・、Ｈ２、Ｈ１と連続的に変化していく。コントローラ１のパラメータであるＫ_Ｐ、Ｔ_Ｉ、Ｔ_Ｄ、ａ_１、ａ_２、ｂ_１、ｂ_２は、上述のテーブルから読み込み、補間により計算する。

続いて、ゲインタイプをＨ→Ｍ→Ｌは、Ｈを１．０、Ｍを２．０、Ｌを３．０と数値に置き換えて、１．０から３．０まで連続的に変化させている。このとき、Ｋ_ｆ／Ａは０．６である。コントローラ１のパラメータであるＫ_Ｐ、Ｔ_Ｉ、Ｔ_Ｄ、ａ_１、ａ_２、ｂ_１、ｂ_２は、同様に、上述のテーブルから読み込み、補間により計算する。

以上説明したコントローラ１の動作を方法の観点から見ると、以下の記憶工程と変更工程を備える。記憶工程は、構造が共通で制御特性が異なる４８個（複数）のコントローラのそれぞれのパラメータ（例えば、図９Ａ）を、コントローラの記憶部に予め記憶させる。変更工程は、記憶工程で記憶された、４８個のコントローラのそれぞれのパラメータの中からパラメータを補間により決定し、制御対象２をフィードバック制御するコントローラ１のパラメータに設定することにより、コントローラ１を変更する。変更工程では、コントローラ１の制御特性が連続的に変化するように、コントローラ１が変更される。

コントローラ１は、連続鋳造機２００のフィードバック制御中に、Ｋ_ｆ／Ａの値とゲインタイプ（実数）の値に基づき、制御特性を連続的に変化させる。

一例として、Ｋ_ｆ／Ａをサンプリング周期ごとに計算し、Ｋ_ｆ／Ａに対応したコントローラ番号（実数）を採用することが考えられる。また、ゲインタイプ（実数）については、アクチュエータが飽和しそうなときに、ゲインタイプをローゲイン側に変更することが考えられる。これらは、ＰＩＤ制御＋フィルタの制御系の上位系（なお、ソフト的に上位の意味であり、実際の演算はＰＩＤ制御部＋フィルタ部と同じＤＣＳやＰＬＣの内部で行ってよい。）で行われる。すなわち、コントローラ番号とゲインタイプの決定方法は、上位系で行われることとなるが、本実施例では、コントローラ番号は、計算されたＫ_ｆ／Ａに基づいて変更し、ゲインタイプは、与えることとしている。なお、Ｋ_ｆ／Ａの値を計算する方法は、以下の文献に記載された式（６）を用いればよい。

村上他、“連続鋳造機湯面レベルのＨ∞制御”、システム制御情報学会誌、Ｖｏｌ．１０、Ｎｏ．１１、ｐｐ．６０７－６１５、１９９７
図１０Ｂに、適応のシミュレータの概要を示す。シミュレーション条件として、まずＫ_ｆ／Ａの変更を指定する。ここで、Ｋ_ｆ／Ａは、上位系で精確に計算できているものとして、図９Ａのパラメータテーブルに入力する。ゲインタイプは、上位系で設定されているものとして指定する。また、レベル外乱を印加する。なお、このシミュレータは、線形化された偏差系となっている。本来非線形な制御対象である連続鋳造機の動特性を、動作点回りで線形化するとともに、鋳造速度・ＴＤ重量・鋳型幅の変更により生じる湯面レベル変動を、特許第６１０８９２３号の方法によりフィードフォワードにより補償されているものとしている。このシミュレータを用いて、シミュレーションを行う。

図１１Ａは、例４のコントローラ１について、適応のシミュレーションをした場合の設定条件１～３と結果１～２を示すグラフである。図１１Ｂは、例４のコントローラ１について、適応のシミュレーションをした場合の結果３～８を示すグラフである。図９Ａ及び図１０Ａにおいて、破線矢印のようにテーブル内の場所を変化していく場合である。ＰＩＤ制御部１１だけでなく、フィルタ部１２も適応することにより、Ｈ∞制御と同等の性能を実現し、さらに、適応機能を有している。コントローラを非特許文献１に記載のように、例えばＨ１６からＨ１５へと、連続的にでなく、ステップ状に切り換えた場合、従来は、切り換え時のレベル変動が大きい場合には、過渡応答により、制御量である湯面レベルｙや操作量ｕが一時的に大きくなる場合があった。

ここで、参考のために、図１１Ｃに、他制御系でテスト時の例を示す。実施形態とは別の対象に対して、従来技術の非特許文献１の方法を、テスト的に適用した場合の結果である。上から、コントローラ番号（整数）、ゲインタイプ（整数）、制御量である湯面レベル、スライドバルブ開度である。なお、スライドバルブ開度は、アクチュエータの一次遅れとむだ時間分の違いがあるが、低周波領域では、ほぼ操作量と同じ動作となる。

Ｍ４のＨ∞コントローラが、時刻４０[s]でＨ４のＨ∞コントローラに切り換えられ、時刻９３[s]にＭ４のＨ∞コントローラに切り換えられた場合である。９３[s]にＨ４からＭ４のＨ∞コントローラに切り換えられた結果、湯面レベルや開度（アクチュエータの動特性の違いを除けば、操作量に相当する。）の変動が大きくなっていることがわかる。なお、図１１ＣのＭ４、Ｈ４コントローラは他制御系のために別に設計したＨ∞コントローラであり、実施形態に記載のＨ∞コントローラや非特許文献１のＨ∞コントローラとは制御特性が異なっているが、定性的には同じ傾向を示すと考えている。すなわち、切り換えを伴う制御の場合、切り換え直後の過渡応答により、制御量や操作量の一時的な変動を生じる場合があった。

一方、図１１Ａおよび図１１Ｂの本シミュレーション結果例では、制御量ｙの変動や操作量ｕの変動は生じていない。これについて、以下、詳しく説明する。

図１１Ａおよび図１１Ｂを参照して、このシミュレーションは、設定条件１～設定条件３の下で実行される。設定条件１を示すグラフは、横軸が時間ｔを示し、縦軸がＫ_ｆ／Ａを示す。ｔ＝５０～８０秒において（３０秒間）、Ｋ_ｆ／Ａを２．１から０．６まで連続的に減少させる。Ｋ_ｆ／Ａの減少は、ＴＤ重量（タンディッシュ２１内の溶鋼の重量）の減少、鋳造速度Ｖ_Ｃの減速等に相当する。

設定条件２を示すグラフは、横軸が時間ｔを示し、縦軸がゲインタイプ（Ｈ、Ｍ、Ｌ）を示す。ｔ＝１００～１３０秒において（３０秒間）、コントローラ１を、ハイゲインタイプ、ミドルゲインタイプ、ローゲインタイプに連続的に変化させる。

設定条件３を示すグラフは、横軸が時間ｔを示し、縦軸が湯面レベルに対する外乱を示す。この外乱は、周期４秒、振幅１０ｍｍのサイン波である。外乱としては、評価のために、最も制御しにくい４秒周期として、レベル変動が大きくなるようにしている。理由は、従来の切り換え制御の場合、切り換える瞬間にレベル変動が大きいときに、一時的なレベル変動が生じやすかったからである。

シミュレーションの結果を結果１および結果２に示す。結果１を示すグラフは、横軸が時間ｔを示し、縦軸が制御量の湯面レベルを示す。結果３～８に示すように、パラメータＫ_Ｐ、Ｔ_Ｉ、Ｔ_Ｄ、ａ_１、ａ_２、ｂ_１、ｂ_２が連続的に変化することにより、コントローラ１の制御特性が、連続的に変化しているので、コントローラ１の制御特性を段階的に変化させる場合（例えば、コントローラ番号Ｈ１６のコントローラ１を、Ｈ１５やＭ１６に切り換える場合）に生じることがある過渡応答による湯面レベルの一時的な変動が生じていない。

結果２を示すグラフは、横軸が時間ｔを示し、縦軸が操作量を示す。結果３～８に示すように、パラメータＫ_Ｐ、Ｔ_Ｉ、Ｔ_Ｄ、ａ_１、ａ_２、ｂ_１、ｂ_２が連続的に変化することにより、コントローラ１の制御特性が連続的に変化しているので、コントローラ１の制御特性を段階的に変化させる場合に生じる操作量の一時的な変動が生じていない。操作量変動を小さくできるので、アクチュエータが飽和しにくくなる。

図１１Ｄのようにコントローラ１を変化させた場合について、別条件で実行されたもう１つのシミュレーション結果を、図１１Ｅおよび図１１Ｆに示す。１つ目の例と比べて、設定条件１と設定条件２のＫ_ｆ／Ａとゲインタイプを変化させる時間を、ともに、ｔ＝５０～１００秒の５０秒間と変更した点が異なるのみである。図１１Ａおよび図１１Ｂと同様に、パラメータＫ_Ｐ、Ｔ_Ｉ、Ｔ_Ｄ、ａ_１、ａ_２、ｂ_１、ｂ_２が、連続的に変化し、安定に、急激な湯面レベルや操作量変動がなく、制御できていることが確認できる。

図１１Ａおよび図１１Ｂ、並びに、図１１Ｅおよび図１１Ｆに示すシミュレーションだけでは、適応させた場合の安定性は理論的に保証されているわけではないが、フィードバック制御系１００の応答に比べて適応の速度が遅い場合等には、安定に適応できることが期待される。実際に、シミュレーション結果においても、安定に制御されており、実用上は問題ないことが確認できる。

コントローラ１の構造が固定されており、かつ、コントローラ１がテーブルからパラメータを読み込むことにより、コントローラ１の制御特性が連続的に変化するので、適応が容易になっている。また、Ｈ∞制御の場合と比べて、パラメータが少なく、極零相殺のような数値演算上不安定になりやすい部分がないことも安定に適応できる理由の１つと考えられる。なお、本実施形態には記載していないが、別のシミュレーション結果において、変数の型を倍精度浮動小数点数から単精度浮動小数点数に変更しても、安定に適応動作ができることが確認できている。

さらに、コントローラ１の制御特性を連続的に変化させているため、コントローラを切り換えた場合のように、制御量ｙや操作量ｕがコントローラ１の切り換え時に一時的に大きくなる場合があるという問題も発生していない。

実施形態の例４に係るコントローラ１の適応動作のフローチャートを簡単に説明する。図１２は、これを示すフローチャートである。このフローチャートは、１サンプリング周期を示し、サンプリング周期ごとに繰り返される。操作量ｕの出力を、速度型とすれば、手動操作等とのバンプレス切り換えが可能である。

コントローラ１は、コントローラ１を決定するための情報を読み込む（Ｓ１１）。情報は、Ｋ_ｆ／Ａの値とゲインタイプ（１以上３以下の実数）である。「１」は、ゲインタイプＨに対応し、「２」は、ゲインタイプＭに対応し、「３」は、ゲインタイプＬに対応する。

コントローラ１には、処理Ｓ１２で決定したパラメータが設定され、制御量ｙと目標値ｒの偏差ｅが入力される（Ｓ１３）。そして、コントローラ１は、偏差ｅを基にして、操作量ｕを算出し（Ｓ１４）、制御対象２に出力する（Ｓ１５）。なお、既述のように偏差ｅだけでなく、制御量ｙを用いる場合もある。

なお、コントローラ１がデジタル機器で実現される場合、ＰＩＤ制御部１１＋フィルタ部１２は、公知の手法により、離散化される。これには、例えば、差分が用いられたり、双一次変換が用いられたりする。前者は、ｚ^－１を遅延演算子、ΔＴをサンプリング周期として、差分［ｓ＝（１－ｚ^－１）／ΔＴ］を代入して離散化する。後者は、双一次変換［ｓ＝２／ΔＴ・（１－ｚ^－１）／（１＋ｚ^－１）］を代入して離散化する。

実施形態では、局所的な非線形最適化手法（逐次２次計画法等）に多スタート局所探索法の一種を用いているが、最適化手法は、遺伝アルゴリズム（ＧＡ）、粒子群最適化法（ＰＳＯ）、焼きなまし法（ＳＡ）等の他の大域的最適化手法でもよい。また、フィルタ部１２は２次（１次の場合を含む）の例を示しているが、３次以上であってもよい。

ＰＩＤ制御部１１の伝達関数は、式（１）に限らない。ＰＩＤ制御部１１の伝達関数の他の例として、例えば、以下の３つがある。

これらの伝達関数は、以下の文献から引用している。

宮崎誠一、他１名、“パソコンで学ぶ自動制御の実用学”、ＣＱ出版株式会社、１９９１年発行、ｐ．１１４
以上、今回開示された実施形態はすべての点で例示であって制限的なものではないと考えられるべきである。本発明の範囲は上記した説明ではなくて特許請求の範囲によって示され、特許請求の範囲と均等の意味及び範囲内でのすべての変更が含まれることが意図される。

１ コントローラ
２ 制御対象
１１ ＰＩＤ制御部
１２ フィルタ部
２１ タンディッシュ
２２ ノズル
２３ 鋳型
２４ ロール
３１ スライドバルブ
３２ アクチュエータ
３３ 渦流センサ
１００ フィードバック制御系
２００ 連続鋳造機

Claims (3)

1. ＰＩＤ制御部、および、前記ＰＩＤ制御部とは別に設けられたフィルタ部を備え、制御対象をフィードバック制御するコントローラにおいて、前記コントローラのパラメータを設計する方法であって、
   前記制御対象の伝達関数および前記コントローラの伝達関数を基にして定められ、ロバスト安定性および外乱抑制特性を含む混合感度問題について、制御を行う周波数を含む周波数領域を離散化して得られた複数の周波数毎に、前記混合感度問題の制約条件を設定する設定工程と、
   前記制約条件での前記混合感度問題を最適化手法によって解くことにより、前記ＰＩＤ制御部および前記フィルタ部のそれぞれのパラメータにより構成される前記コントローラのパラメータを決定する決定工程と、を備える、パラメータ設計方法。
2. 前記制御対象は、連続鋳造機であり、制御量が湯面レベルである、請求項１に記載のパラメータ設計方法。
3. 請求項１または２に記載のパラメータ設計方法で設計された複数の前記コントローラのそれぞれのパラメータを予め記憶する記憶工程と、
   前記記憶工程で記憶された、複数の前記コントローラのそれぞれのパラメータの中からパラメータを補間により決定し、前記制御対象を前記フィードバック制御する前記コントローラのパラメータに設定することにより、前記コントローラを変更する変更工程と、を備え、
   前記変更工程は、前記コントローラの制御特性が連続的に変化するように、前記コントローラが変更される、フィードバック制御方法。

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