JP6847321B2 - 低複雑度組織符号化器を用いた送信データの誤り訂正方法及びシステム - Google Patents

Description

本出願は一般に誤り訂正に関し、特には、極符号（Ｐｏｌｏａｒ ｃｏｄｅ）を用いたデータ送信における誤り訂正のための低複雑度組織符号化器を提供することに関する。

現代のデジタルデータ送信（無線電話技術、無線データ送信、プレーヤへの光ディスク送信、音楽データを受信する音楽プレーヤ、など）においては、ソース符号化器が効率のために送信するデータを圧縮し、チャネル符号化器がその圧縮データを受信してそこに冗長度を加え、送信チャネルにおけるノイズに対するデータを保護している。チャネルの他端にある受信器（「シンク（ｓｉｎｋ）」と呼ばれることもある）が符号化されたデータを受信して、チャネル復号器を用いてチャネル符号化の逆を実行し、その後にソース符号化の逆を行うソース復号器が続く。復号された情報は、次いでシンクにより、例えば光ディスクプレーヤ又は音楽プレーヤ又は電話受信器によって音声として再生され、あるいは受信器によってその他の使用及び／又は格納が行われる。

本原理は、受信器においてエラーからの回復のチャンスを向上させるために意図的に導入された冗長度を含み得るデータ送信のためのチャネル符号化に焦点を当てる。チャネル符号化は典型的には、「データ語」と称する通信すべきデータ片を、「符号語」を生成する変換を介して送信することにより作用する。符号語は、元となるデータ語よりもエラーに対してより保護され、したがって、データ語よりも送信により適している。本目的に関しては、行列を用いてデータ語を乗算する線形ブロック符号化器をこの目的のために使用していると言ってよい。これは、必要とされる演算量に関して十分に「低複雑度」でありつつ、ノイズから生じるビットエラー率（ＢＥＲ）などのエラー率で一般的に表現されるノイズに対して、（絶対的とは言わないまでも）顕著な保護を提供するといった、許容範囲のトレードオフを達成可能だからである。受信信号のＢＥＲを低減するより複雑な符号化方式は、期待するデータ送信速度を得るためには非常に多くの計算を必要とし実用性が乏しい。

新しいタイプの線形ブロック符号である極符号は、チャネル容量を達成可能であること、つまり、送信チャネルの全容量を活用可能なようにデータの符号化が可能であることにより、古い符号を改善するものである。チャネル分極とは、対称的容量Ｉ（Ｗ）を有する２元入力離散無記憶チャネルＷが与えられたとして、Ｎが大きくなるほど合成チャネルの部分Ｉ（Ｗ）が完全に近くなり、その一方でチャネルの残りの部分はほぼ無価値となるように、ＷのＮ個の独立したコピーから、Ｎ個の２元入力チャネルＷ_Ｎ ^（ｉ）、１≦ｉ≦Ｎ、の第２の組を合成可能である事実を示す。この考えのもとに構築される符号を、極符号と呼ぶ。非組織極符号化器は、入力データ語ｄと固定語ｂを集めて変換入力語ｕとし、それに変換行列Ｇを掛けて、符号語ｘすなわちｘ＝ｕＧとすることによって極符号化を達成する。

極符号に使用される変換行列Ｇは、クロネッカー積に基づいており、その次元は所望のチャネル比又は容量に対して適切となるように確立される。極符号化は本質的には、変換入力語ｕの要素の内のいくつかを選択してデータ語ｄを搬送し、その一方で変換入力語の要素の残りの部分を「凍結する」（符号化に使用しない）ことに相当する。データ語ｄを搬送するように選択される変換入力語の要素は、実効的にチャネル分極によって生成される相対的に良好なチャネルを「見る」ものであり、凍結されるｂの要素は相対的に悪いチャネルを「見る」。参照により本明細書に組み込まれ、本出願のファイル履歴に含まれる、Ｅ．Ａｒｉｋａｎによる論文“Ｃｈａｎｎｅｌ Ｐｏｌａｒｉｚａｔｉｏｎ：Ａ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ Ｃａｐａｃｉｔｙ−Ａｃｈｉｅｖｉｎｇ Ｃｏｄｅ ｆｏｒ Ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ Ｂｉｎａｒｙ−Ｉｎｐｕｔ Ｍｅｍｏｒｙｌｅｓｓ Ｃｈａｎｎｅｌｓ，”ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．Ｉｎｆ．Ｔｈｅｏｒｙ，ｖｏｌｕｍｅ５５，ｐａｇｅｓ３０５１−３０７３（Ｊｕｌ ２００９），［Ａｒｉｋ１］は、極符号を導入して、チャネル分極の実行及び「良好」なチャネルのみを使用してノイズの存在下でのデータを信頼性良く送信する方法を記述している。極符号は実際の適用に関心を集め、その性能の向上のために複数の方法が提案されてきた。

極符号化性能の強化のために提案された方法の１つが組織符号化［Ａｒｉｋ２］である。極符号の組織符号化にはいくつかの利点がある。第１に、［Ａｒｉｋ２、Ｌｉ］に示されるように、極符号のビットエラー率（ＢＥＲ）性能を改善する。第２に、［Ａｒｉｋ２］で指摘され、［Ｗｕ］で詳細に検討されたように、「ターボ状」の極符号の構築が可能である。第３に、極符号の組織符号化は、［Ｆｅｎｇ、Ｍｏｈａ］にあるように、ハイブリッド自動再送要求（ＨＡＲＱ）方式の方法開発にも有益に適用されてきた。低複雑度で極符号の組織符号化を実行する再帰的方法が［Ａｒｉｋ３］に開示された。組織極符号化のための［Ａｒｉｋ３］における再帰原理を利用する特定の方法が、［Ｃｈｅｎ、Ｓａｒｋ１、Ｓａｒｋ２、Ｖａｎｇ］に出現した。

標準化団体内での極符号化に関する最近の研究である、［Ｈｕａｗ１］、［Ｈｕａｗ２］、［Ｈｕａｗ３］、［Ｉｎｔｅｌ］などでは、既存の極符号の組織符号化方法とは互換性のない、特定の変形を提案している。これらの研究では、本目的に関して重要な２つの主要な変形が提案されている。第１に、受信器でのリスト復号器の性能を向上させるために、通常は巡回冗長検査（ＣＲＣ）の形の、特定の量の冗長度がデータに挿入される［Ｔａｌ、Ｈｕａｗ１、Ｈｕａｗ２、Ｉｎｔｅｌ］。第２に、極符号の長さ及び比を所望の値に合わせる方法として、「パンクチャリング」が適用される［Ｈｕａｗ３、Ｗａｎｇ］。これらの「データ検査」及び「パンクチャリング」の上記の方法は、極符号の非組織符号化の枠内で提案された。

［Ａｒｉｋ１］ Ｅ． Ａｒｉｋａｎ， "Ｃｈａｎｎｅｌ Ｐｏｌａｒｉｚａｔｉｏｎ： Ａ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ Ｃａｐａｃｉｔｙ−Ａｃｈｉｅｖｉｎｇ Ｃｏｄｅｓ ｆｏｒ Ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ Ｂｉｎａｒｙ−Ｉｎｐｕｔ Ｍｅｍｏｒｙｌｅｓｓ Ｃｈａｎｎｅｌｓ，" ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ， ｖｏｌ． ５５， ｎｏ． ７， ｐｐ． ３０５１‐３０７３， Ｊｕｌ． ２００９． ［Ａｒｉｋ２］ Ｅ． Ａｒｉｋａｎ， "Ｓｙｓｔｅｍａｔｉｃ Ｐｏｌａｒ Ｃｏｄｉｎｇ，" ＩＥＥＥ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ Ｌｅｔｔｅｒｓ， ｖｏｌ． １５， ｎｏ． ８， ｐｐ． ８６０‐８６２， Ａｕｇ． ２０１１． ［Ａｒｉｋ３］ Ｅ． Ａｒｉｋａｎ， "Ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｓｙｓｔｅｍ ｆｏｒ ｅｒｒｏｒ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｉｎ ｔｒａｎｓｍｉｔｔｉｎｇ ｄａｔａ ｕｓｉｎｇ ｌｏｗ ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ ｓｙｓｔｅｍａｔｉｃ ｅｎｃｏｄｅｒ，" Ｕ．Ｓ． Ｐａｔｅｎｔ Ｎｏ． ８，３４７，１８６ Ｂ１， ０１−Ｊａｎ−２０１３． ［Ｃｈｅｎ］ Ｇ． Ｔ． Ｃｈｅｎ， Ｚ． Ｚｈａｎｇ， Ｃ． Ｚｈｏｎｇ， ａｎｄ Ｌ． Ｚｈａｎｇ， "Ａ Ｌｏｗ Ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ Ｅｎｃｏｄｉｎｇ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ Ｓｙｓｔｅｍａｔｉｃ Ｐｏｌａｒ Ｃｏｄｅｓ，" ＩＥＥＥ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ Ｌｅｔｔｅｒｓ， ｖｏｌ． ２０， ｎｏ． ７， ｐｐ． １２７７‐１２８０， Ｊｕｌ． ２０１６． ［Ｆｅｎｇ］ Ｂ． Ｆｅｎｇ， Ｑ． Ｚｈａｎｇ， ａｎｄ Ｊ． Ｊｉａｏ， "Ａｎ Ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ Ｒａｔｅｌｅｓｓ Ｓｃｈｅｍｅ Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ Ｅｘｔｅｎｄｉｂｉｌｉｔｙ ｏｆ Ｓｙｓｔｅｍａｔｉｃ Ｐｏｌａｒ Ｃｏｄｅｓ，" ＩＥＥＥ Ａｃｃｅｓｓ， ｖｏｌ． ＰＰ， ｎｏ． ９９， ｐｐ． １‐１， ２０１７． ［Ｈｕａｗ１］ Ｒ１−１７０９９９５， Ｐｏｌａｒ ｃｏｄｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ， Ｈｕａｗｅｉ， ＨｉＳｉｌｉｃｏｎ， ３ＧＰＰ ＴＳＧ ＲＡＮ ＷＧ１ ＮＲ Ａｄ−Ｈｏｃ＃２， Ｑｉｎｇｄａｏ， Ｃｈｉｎａ， ２７ｔｈ − ３０ｔｈ Ｊｕｎｅ ２０１７ ［Ｈｕａｗ２］ Ｒ１−１７０９９９６， Ｐａｒｉｔｙ ｃｈｅｃｋ ｂｉｔｓ ｆｏｒ Ｐｏｌａｒ ｃｏｄｅ， Ｈｕａｗｅｉ， Ｈｉ Ｓｉｌｉｃｏｎ， ３ＧＰＰ ＴＳＧ ＲＡＮ ＷＧ１ ＮＲ Ａｄ−Ｈｏｃ＃２， Ｑｉｎｇｄａｏ， Ｃｈｉｎａ， ２７ｔｈ − ３０ｔｈ Ｊｕｎｅ ２０１７． ［Ｈｕａｗ３］ Ｒ１−１６７２０９， Ｐｏｌａｒ ｃｏｄｅ ｄｅｓｉｇｎ ａｎｄ ｒａｔｅ ｍａｔｃｈｉｎｇ， Ｈｕａｗｅｉ， ＨｉＳｉｌｉｃｏｎ， ３ＧＰＰ ＴＳＧ ＲＡＮ ＷＧ１ Ｍｅｅｔｉｎｇ ＃８６， Ｇｏｔｈｅｎｂｕｒｇ， Ｓｗｅｄｅｎ， Ａｕｇｕｓｔ ２２ｎｄ − ２６ｔｈ， ２０１６ ［Ｉｎｔｅｌ］ Ｒ１−１７１１３４７， Ｓｉｍｐｌｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ ＣＲＣ ｄｅｓｉｇｎ ｆｏｒ Ｐｏｌａｒ ｃｏｄｅｓ， Ｉｎｔｅｌ Ｃｏｒｐｏｒａｔｉｏｎ， ３ＧＰＰ ＴＳＧ ＲＡＮ ＷＧ１ Ｍｅｅｔｉｎｇ ＮＲ−Ａｄｈｏｃ＃２， Ｑｉｎｇｄａｏ， Ｐ． Ｒ． Ｃｈｉｎａ， ２７−３０ Ｊｕｎｅ ２０１７． ［Ｍｏｈａ］ Ｍ． Ｓ． Ｍｏｈａｍｍａｄｉ， Ｉ． Ｂ． Ｃｏｌｌｉｎｇｓ， ａｎｄ Ｑ． Ｚｈａｎｇ， "Ｓｉｍｐｌｅ Ｈｙｂｒｉｄ ＡＲＱ Ｓｃｈｅｍｅｓ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｓｙｓｔｅｍａｔｉｃ Ｐｏｌａｒ Ｃｏｄｅｓ ｆｏｒ ＩｏＴ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，" ＩＥＥＥ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ Ｌｅｔｔｅｒｓ， ｖｏｌ． ＰＰ， ｎｏ． ９９， ｐｐ． １‐１， ２０１７． ［Ｓａｒｋ１］ Ｇ． Ｓａｒｋｉｓ， Ｐ． Ｇｉａｒｄ， Ａ． Ｖａｒｄｙ， Ｃ． Ｔｈｉｂｅａｕｌｔ， ａｎｄ Ｗ． Ｊ． Ｇｒｏｓｓ， "Ｆａｓｔ Ｐｏｌａｒ Ｄｅｃｏｄｅｒｓ： Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ａｎｄ Ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ，" ＩＥＥＥ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｎ Ｓｅｌｅｃｔｅｄ Ａｒｅａｓ ｉｎ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ， ｖｏｌ． ３２， ｎｏ． ５， ｐｐ． ９４６‐９５７， Ｍａｙ ２０１４． ［Ｓａｒｋ２］ Ｇ． Ｓａｒｋｉｓ， Ｉ． Ｔａｌ， Ｐ． Ｇｉａｒｄ， Ａ． Ｖａｒｄｙ， Ｃ． Ｔｈｉｂｅａｕｌｔ， ａｎｄ Ｗ． Ｊ． Ｇｒｏｓｓ， "Ｆｌｅｘｉｂｌｅ ａｎｄ Ｌｏｗ−Ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ Ｅｎｃｏｄｉｎｇ ａｎｄ Ｄｅｃｏｄｉｎｇ ｏｆ Ｓｙｓｔｅｍａｔｉｃ Ｐｏｌａｒ Ｃｏｄｅｓ，" ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ， ｖｏｌ． ６４， ｎｏ． ７， ｐｐ． ２７３２‐２７４５， Ｊｕｌ． ２０１６． ［Ｔａｌ］ Ｉ． Ｔａｌ ａｎｄ Ａ． Ｖａｒｄｙ， "Ｌｉｓｔ ｄｅｃｏｄｉｎｇ ｏｆ ｐｏｌａｒ ｃｏｄｅｓ，" ｉｎ ２０１１ ＩＥＥＥ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ （ＩＳＩＴ）， ２０１１， ｐｐ． １‐５． ［Ｖａｎｇ］ Ｈ． Ｖａｎｇａｌａ， Ｙ． Ｈｏｎｇ， ａｎｄ Ｅ． Ｖｉｔｅｒｂｏ， "Ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｆｏｒ Ｓｙｓｔｅｍａｔｉｃ Ｐｏｌａｒ Ｅｎｃｏｄｉｎｇ，" ＩＥＥＥ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ Ｌｅｔｔｅｒｓ， ｖｏｌ． ２０， ｎｏ． １， ｐｐ． １７‐２０， Ｊａｎ． ２０１６． ［Ｗａｎｇ］ Ｒ． Ｗａｎｇ ａｎｄ Ｒ． Ｌｉｕ， "Ａ Ｎｏｖｅｌ Ｐｕｎｃｔｕｒｉｎｇ Ｓｃｈｅｍｅ ｆｏｒ Ｐｏｌａｒ Ｃｏｄｅｓ，" ＩＥＥＥ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ Ｌｅｔｔｅｒｓ， ｖｏｌ． １８， ｎｏ． １２， ｐｐ． ２０８１‐２０８４， Ｄｅｃ． ２０１４． ［Ｗｕ］ Ｄ． Ｗｕ， Ａ． Ｌｉｕ， Ｙ． Ｚｈａｎｇ， ａｎｄ Ｑ． Ｚｈａｎｇ， "Ｐａｒａｌｌｅｌ ｃｏｎｃａｔｅｎａｔｅｄ ｓｙｓｔｅｍａｔｉｃ ｐｏｌａｒ ｃｏｄｅｓ，" Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ Ｌｅｔｔｅｒｓ， ｖｏｌ． ５２， ｎｏ． １， ｐｐ． ４３‐４５， Ｎｏｖ． ２０１５．

上記の刊行物を、参照により本明細書に援用する。

しかしながら、ここで理解されるように、引用した研究で提案されたデータ検査及びパンクチャリングは、極符号の構造を歪ませ、また既存の極符号の組織符号化方法を適用できなくする。

本原理では、期待されるデータ送信環境において適切に動作可能であるように計算の複雑度を低くしたまま、チャネル容量の活用を最大化し、ノイズ耐性を最大化するために、非組織符号化に比べて付随する性能低下がない様に送信信号にデータ検査を挿入可能とする極符号の組織符号化器が望ましいことが強く認識される。

データ検査付きの組織極符号化器は、送信のために極符号化される情報を含む入力データｄを受信して修正データｄ’を生成するデータマッパと、その修正データｄ’を符号化して、座標Ｓのあるサブシーケンスに対してＸ_Ｓ＝ｄとなるように符号語ｘを生成する変換行列Ｇを実装する非組織極符号化器とを含む。非組織符号化操作は、データ語ｄとは独立の固定語ｂに対してｕ_Ｆ＝ｂを満足する項ｕ_Ｆと、データ語ｄとは独立の固定語である逆パンクチャ語に対する項ｕ_Ｔ＝ｔと、修正データｄ’を搬送する、ｕ_Ｉ＝ｄ’である項ｕ_Ｉと、修正データから導かれるチェック語を搬送する、チェック生成器関数fによるｕＣ＝ｆ（ｄ’）であり、厳密に非ヌルである項ｕＣと、を含む変換入力ｕによって特徴づけられる。変換入力ｕに対応するのは、ｚ＝ｕＧで与えられる変換出力ｚであり、これはデータ語ｄとは独立の固定語であるパンクチャ語ｐに対してｚ_Ｐ＝ｐを満足するパンクチャド項ｚ_Ｐ、データｄを搬送し、ｚ_Ｊ＝ｄである項ｚ_Ｊ、及び冗長シンボルとして作用する項ｚ_Ｒを含む。ここで、符号語ｘはｘ＝Ｚ_Ｑで変換出力に関係し、Ｑ＝（Ｊ，Ｒ）はパンクチャド項Ｐの補集合である。変換行列Ｇ、入力分割（Ｆ，Ｃ，Ｉ，Ｔ）及び出力分割（Ｐ，Ｊ，Ｒ）は、Ｇ_Ｉ，Ｐ＝０、Ｇ_Ｃ，Ｐ＝０、Ｇ_Ｆ，Ｐ＝０となるように選択され、Ｇ_Ｔ，Ｐは可逆であって好ましくはチェック生成器関数ｆがアフィン関数あり、Ｇ_Ｉ，Ｊが可逆であり、Ｇ_Ｃ，Ｊ＝０かつＧ_Ｆ，Ｊ＝０であるように選択される。

以下の詳細な説明の前に、本発明文書で使用される特定の語句の定義を説明しておくことが有利であろう。用語「結合する」及びその派生語は、２つ以上の要素間において、それらの要素が互いに物理的に接触しているか否かに拘わらず、任意の直接的または間接的に通信することを指す。用語「送信する」、「受信する」及び「通信する」は、それらの派生語と共に、直接及び間接の通信を包含する。用語「含む」、「備える」は、それらの派生語と共に、限定なしの包含を意味する。用語「又は」は包括的であって、及び／又はを意味する。語句「関連する」はその派生語と共に、含む、その中に含まれる、相互接続する、内包する、内包される、接続する、結合する、連通可能である、協働する、挟む、並置する、近接する、結ばれる、有する、所有する、関係する、などを意味する。用語「コントローラ」は、少なくとも１つの動作を制御する任意の装置、システムまたはその一部を意味する。そのようなコントローラは、ハードウェアに実装されてもよいし、ソフトウェア及び／又はファームウェアのいずれか又は両方とハードウェアの組み合わせに実装されてもよい。任意の特定のコントローラに関する機能は、ローカル又はリモートを問わず、集中化されても、分散されてもよい。「少なくとも１つの」という句は、アイテムのリストと共に使用される場合、リストされたアイテムの１つ以上の異なる組み合わせが使用可能であって、かつリスト内の１つのアイテムのみが必要とされ得ることを意味する。例えば、「Ａ、Ｂ及びＣの内の少なくとも１つ」は、次の組合せ：Ａ、Ｂ、Ｃ、ＡとＢ、ＡとＣ、ＢとＣ、並びにＡ、Ｂ及びＣの任意のものを指す。

さらに、以下で述べる様々な機能は、１つ以上のコンピュータプログラムによって実装若しくはサポートすることが可能である。そのそれぞれはコンピュータ可読プログラムコードで形成され、かつコンピュータ可読媒体に具体化される。用語「アプリケーション」及び「プログラム」は、１つ以上のコンピュータプログラム、ソフトウェアコンポーネント、命令セット、手順、関数、オブジェクト、クラス、インスタンス、関連データ、又は適切なコンピュータ可読プログラムコードへの実装に適合したそれらの一部を指す。「コンピュータ可読プログラムコード」という語句は、ソースコード、オブジェクトコード及び実行可能コードを含む任意のタイプのコンピュータコードを含む。「コンピュータ可読媒体」という語句は、読み出し専用メモリ（ＲＯＭ）、ランダムアクセスメモリ（ＲＡＭ）、ハードディスク装置、コンパクトディスク（ＣＤ）、デジタルビデオディスク（ＤＶＤ）又はその他の任意のタイプのメモリなどの、コンピュータによってアクセス可能な任意のタイプの媒体を含む。「非一時的」コンピュータ可読媒体は、一時的な電気信号又は他の信号を送信する、有線、無線、光、又は他の通信リンクを除外する。非一時的コンピュータ可読媒体には、データを永続的に格納可能な媒体、及び書き換え可能光ディスク又は消去可能なメモリデバイスなどの、データを格納して後でオーバライト可能な媒体が含まれる。

その他の特定の語句の定義は本開示を通じて提供される。当業者であれば、ほとんどでないとしても多くの場合には、そのような定義は、そのように定義された語句の以前及び未来の使用法に適用されることを理解するであろう。

本開示及びその利点をより完全に理解するために、次に添付の図面に併せて以下の説明を参照する。そこでは同様の参照番号は同様の部品を表す。

誤り訂正の実施形態がデータ送信における低複雑度の組織符号化器を使用する、本開示の実施形態による通信システムを示す。 本開示の実施形態に使用可能な、データ検査付きの非組織符号化器の簡略図である。 本開示の実施形態に使用可能な、データ検査付きの組織符号化器の簡略図である。 本開示の実施形態による非組織極符号化器の図である。 本開示の実施形態によるデータ検査付きの組織極符号化器の図である。 変換入力語ｕが掛け算されて変換出力ｚを生成する、すなわちｚ＝ｕＧである、極変換行列Ｇを示す図である。 本開示の実施形態による、組織符号化器に分割が組み込まれたデータマッパを示す図である。 本開示による、データ送信に低複雑度組織符号化器を用いた誤り訂正の実行が可能な、無線ネットワーク例を示す図である。 本開示による、データ送信に低複雑度組織符号化器を用いた誤り訂正の実行が可能な、ユーザ装置のネットワーク例を示す図である。 本開示による、データ送信に低複雑度組織符号化器を用いた誤り訂正の実行が可能な、エンハンストＮｏｄｅＢ（ｅＮＢ）ネットワークの一例を示す図である。

以下で議論する図１〜図９Ｂ及び本特許文書における本開示の原理の説明に使用される様々な実施形態は、説明のためだけのものであり、いずれにおいても本開示の範囲を制限するものとみなしてはならない。当業者であれば本開示の原理は任意の適切に構成された通信システムにおいて実行可能であることが理解されるであろう。

符号化理論において確立された慣習にしたがって本明細書においては、システムにおけるデータ語、パリティ語及び符号語が有限体Ｆ_ｑでのベクトルとして表される。ここでｑは体における元の数を表す。体の元（スカラー）は、Ｆ_ｑに含まれるａとして表される。体のベクトルはＦ_ｑ ^Ｎに含まれるａとして表される。ここでＮはベクトルの長さを表す。表記ａ_ｉはベクトルａのｉ番目の座標を表す。長さＮのベクトルの元は、整数０，１，…，Ｎ−１でインデックス付けする慣習を使用する。したがって、Ｆ_ｑ ^Ｎに属するベクトルはその元を用いて（ａ_０，…，ａ_Ｎ−１）又は（ａ_ｉ：０≦ｉ≦Ｎ−１）又はとして表される。体の行列は、Ｆ_ｑ ^Ｍ×Ｎに属するＡとして大文字で表され、ここでＭはＡの行の数、Ｎは列の数を表す。表記ａ_ｉ，ｊは、Ａのｉ行ｊ列の元を表す。Ｍ行Ｎ列の行列の元は整数の対（ｉ，ｊ）、０≦ｉ≦Ｍ−１，０≦ｊ≦Ｎ−１、によってインデックス付けされる。したがって、Ｆ_ｑ ^Ｍ×Ｎに属する行列Ａは、その元によって（ａ_ｉ，ｊ：０≦ｉ≦Ｍ−１，０≦ｊ≦Ｎ−１）として表される。行列ＡのサイズはＡの元の数で定義される。したがって、Ｍ行Ｎ列の行列のサイズはＭＮである。すべてが０のベクトル及びすべてが０の行列は０と表記される。

与えられたベクトルの部分ベクトル又は与えられた行列の部分行列が考慮されることも多い。そのような部分ベクトル又は部分行列を特定するために、タプル（与えられたインデックス集合に対する個別のインデックスの順序付けられたリスト）が使用され、Ｉ、Ｊなどで表される。タプルＩの元の数は、｜Ｉ｜で表される。

例えば、ａ＝（ａ_０，ａ_１，ａ_２，ａ_３）でＩ＝（１，３）であれば、ａ_Ｉ＝（ａ_１，ａ_３）であり、Ｉ＝（３，１）であればａ_Ｉ＝（ａ_３，ａ_１）である。同様の表記が行列及びその部分行列に適用される。例えば、

であれば、

である。一般に、ベクトルａ＝（ａ_０，ａ_１，ａ_２，…，ａ_Ｎ−１）に対して、｛０，１，…，Ｎ−１｝のｋタプルがＩ＝（ｉ_１，ｉ_２，…，ｉ_ｋ）であれば、ａ_Ｉは部分ベクトル（ａ_ｉ１，ａ_ｉ２，…，ａ_ｉｋ）を表す。同様に、Ｎ行Ｎ列の行列

に対して、｛０，１，…，Ｍ−１｝のｍ−タプルＩ＝（ｉ_１，ｉ_２，…，ｉ_ｍ）、｛０，１，…，Ｎ−１｝のｎ−タプルＪ＝（ｊ_１，ｊ_２，…，ｊ_ｎ）であれば、表記ＡＩ，Ｊは部分行列

を表す。

タプル（Ｉ_１，Ｉ_２，…，Ｉ_ｎ）のタプルは、各インデックス０≦ｉ≦Ｎ−１がタプルＩ_ｊの１つかつ唯１つのみに属し、かつ各タプルＩ_ｊの各元がインデックス集合｛０，１，…，Ｎ−１｝に属する場合には、インデックス集合｛０，１，…，Ｎ−１｝の分割と呼ばれる。｛０，１，…，Ｎ−１｝の各分割（Ｉ_１，Ｉ_２，…，Ｉ_ｎ）は、それぞれのベクトルａ＝（ａ_０，ａ_１，ａ_２，…，ａ_Ｎ−１）をｎ個の（共通部分を持たない）部分ベクトルａ_Ｉｉ、１≦ｉ≦ｎに分割する。同様に、｛０，１，…，Ｍ−１｝の、分割（Ｉ_１，Ｉ_２，…，Ｉ_ｍ）と、｛０，１，…，Ｎ−１｝の分割（ｊ_１，ｊ_２，…，ｊ_ｎ））の各ぺアは、行インデックス集合｛０，１，…，Ｍ−１｝と列インデックス集合｛０，１，…，Ｎ−１｝のそれぞれの行列Ａをｍ×ｎ個の（共通部分を持たない）部分行列Ａ_{Ｉｉ，Ｊｊ}、１≦ｉ≦ｍ、１≦ｊ≦ｎ、に分割する。

Ｆ_ｑ ^Ｍに属する行ベクトルａとＦ_ｑ ^Ｍ×Ｎに属する行列Ａとの積は、ａＡと表記される。Ｆ_ｑ ^ｍ×ｒに属する行列ＡとＦ_ｑ ^ｋ×ｌに属する行列Ｂという２つの行列のクロネッカー積は、

と定義される。これはｍｋ行ｒｌ列の行列である。行列Ｃは、

であれば、行列ＡとＢのクロネッカー積に因数分解されるという。行列Ａのｎ次のクロネッカー冪は、ｎ≧２に対して

として再帰的に定義される。ここで、

である。

符号化操作は、データ語、パリティ語及び符号語のベクトル表示の様々な変換を含む。「変換」という用語は、以下においては、線形ベクトル空間変換を指すように使用される。変換は行列で表される。以下においては変換は通常、特定の行列表示と共に引用される。例えば、「変換Ｇ」は、特定の基準のもとで行列Ｇによって表される変換を指す。

０≦ｉ≦２^ｎ−１の範囲の整数ｉに対してｂ_ｎ−１ｂ_ｎ−２…ｂ_０は、すべての０≦ｍ≦ｎ-１に対してｂ_ｍが０又は１であり、かつ

である場合に、ｉの二進展開である。範囲０≦ｉ、ｊ≦２^ｎ−１にある任意の２つの整数ｉ、ｊに対して、

という表記は、ｉの二進展開ｂ_ｎ−１ｂ_ｎ−２…ｂ_０、ｊが二進展開ｂ’_ｎ−１ｂ’_ｎ−２…ｂ’_０よりもすべての０≦ｍ≦ｎ−１に対してｂ_ｍ≧ｂ’_ｍであるという意味で、支配することを示すために使用される。数１０と「ｉがｊを支配する」という表現は、同じ意味に使用される。０から２^ｎ−１の範囲の整数の集合において

という関係は、「半順序」を定義する。それは、
反射性：すべてのｉに対して

反対称性：個別のｉとｊに対して

及び推移性：

を有する。数１１に示される関係は、

という意味で、（「全順序」に対する）「半順序」である。例えば、１４（２進数で１１１０）も７（２進数で０１１１）も他方を支配しない。

極符号化に関して重要な特別の種類の変換は、

である。ここで

であり、

はＦのｎ次のクロネッカー冪である。よく知られている［Ａｒｉｋ１］特性が、

を二進展開の間の支配関係に関連付ける。もし

であればその場合にのみ、

である。ここで、行および列は０から番号が付けられる。したがって、インデックスは、０≦ｉ，ｊ≦２^ｎ−１の範囲の値をとる。一例としてｎ＝３であれば、

であり、

が偽であるので、

であり、すべての０≦ｊ≦７に対して

であるので、

である。

本原理に関して重要な変換

の基本的性質として、Ａ＝（ａ_１，ａ_２，…，ａ_ｋ）などのｋ個の（個別の）座標の任意のタプルに対して、部分行列

は可逆である。これは、Ａの元が昇順、すなわちａ_１＜ａ_２＜…ａ_ｋである場合、対角成分が１の下三角行列であるかどうかを観察することで理解できる。Ａが昇順でない場合、Ａの座標が昇順となっているタプルＡ^〜を考慮すればよい。

と

は列と行の置換の違いだけであるので、他方が可逆であれば、またその場合にのみこれは可逆である。

変換

の第２の基本的性質は、任意の２つのタプルＡ＝（ａ_１，ａ_２，…，ａ_ｋ）とＢ＝（ｂ_１，ｂ_２，…，ｂ_ｍ）とに対して、Ａの元ａ_ｉのいずれの元もＢの元ｂ_ｊのいずれの元を支配しない場合に限り、部分行列

がすべて０の行列に等しい。すなわち、すべての１≦ｉ≦ｋ及び１≦ｊ≦ｍに対して、

である場合に限り

である。

このことを念頭において、まず図１を参照すると、通信システム１０が示されており、そこでは本開示の実施形態による、送信データにおける低複雑度組織符号化器を使用する誤り訂正システムの実施形態が使用可能である。図に示すように、通信システム１０には送信システム２０が含まれ、これが入力データを受信し、受信したデータを符号化して変調し、その符号化して変調したデータを伝送媒体３０に送信する。さらに、システム１０は受信システム４０を含み、これが伝送媒体３０から受信したデータを受信し、復調し、復号する。

本原理は様々な送信システム及び媒体に適用される。例えば無線通信システムにおいては、伝送媒体３０は典型的には空間又は大気であり、この場合通信システム１０は無線通信システムである。そのような実施形態において、送信システム２０及び受信システム４０のそれぞれは、送信器１５０と受信器１６０にそれぞれ結合するアンテナを含む。ただし、本開示の他の実施形態は有線通信システムで実装されて、その場合、伝送媒体３０は送信システム２０を受信システム４０へ接続するケーブルまたはワイヤであってよい。本開示の実施形態はまた、記憶システムに実装されてもよい。その場合、伝送媒体３０は磁気テープ、ハードディスク装置、光ディスク装置、固体素子メモリ、又は別の記憶媒体であってもよい。

当業者には明らかであるように、入力データ１１０は普通通りに送信システム２０に入力されて、その後受信システム４０に送信される。ソース符号化器１２０は入力データ１１０を圧縮して、送信すべきデータ量を削減する。ソース符号化器１２０からのデータ出力は次に、チャネル符号化器１３０によって符号化される。これは以下で詳細を述べるような構成となる。そのように符号化することにより、送信すべきデータは、伝送媒体３０を通って送信される間に導入され得る誤りに対してより堅牢となる。本原理によれば、チャネル符号化器１３０が組織符号化器を実装する。そのような符号化の後、データは変調器１４０で変調されて、伝送媒体３０を介して受信システム４０へ送信するために送信器１５０へ提供される。送信器１５０は、情報を伝送媒体３０を通って送信可能な信号へ変換するタスクを有する。例えば、送信器１５０は、伝送媒体３０が放送電波である場合、アンテナを有する無線周波数（ＲＦ）の無線送信器であってよい。あるいは送信器１５０は、光ファイバケーブルに光を送信するレーザ装置であってもよい。

受信システム４０は一般に伝送媒体３０からの信号を受信して、それらを復調、復号して出力データ１９５を抽出する。より具体的には、受信システム４０の受信器１６０は、送信システム２０からの信号を受信して、その信号を復調器１７０へ送り、そこで受信信号を復調する。復調された信号は次にチャネル復号器１８０に送られ、そこで送信データの推定値としての復号データが生成される。その後、復号されたデータはソース復号器１９０に送られて、データを圧縮解除（及び任意で検証）する。復調器１７０、チャネル復号器１８０及びソース復号器１９０は、変調器１４０、チャネル符号化器１３０、及びソース符号化器１２０がそれぞれ行った操作の逆を、ノイズの影響及び他のシステムの非理想特性による制限を受けて遂行することは容易に理解されるであろう。いずれにしても、通信システム１０が適切に設計され、かつその設計パラメータ内で操作される場合には、抽出される出力データ１９５は、入力データ１１０に高い信頼性で一致するはずである。

本原理によれば、送信システム２０の各構成部品１２０、１３０、１４０、１５０、並びに受信システム４０の各構成部品１６０、１７０、１８０、１９０は電気回路を備え、それ自身の個別の半導体チップで実装されて、様々なチップが図１のシステムに従って相互に通信する。あるいは、１つの半導体チップが送信システムのすべて又は複数の構成要素を担い、第２の半導体チップが受信システムのすべて又は複数の構成要素を担ってもよい。そのようなチップは、本明細書で説明するような論理ゲート回路を実装してもよい。さらには、電子回路を備え、ハードウェアで実装された（任意選択でソフトウェア又はファームウェアで実装された）論理にアクセスする、デジタル信号プロセッサ（ＤＳＰ）などのプロセッサが、送信システム２０及び（別のプロセッサ上の）受信システム４０のそれぞれの、１つ以上の構成要素の機能を実行してもよい。ソフトウェアが（デジタル論理及びアナログ信号処理電気回路の形のハードウェアに加えて）プロセッサの実行の一部を構成する場合、ソフトウェアは、これに限るものではないが、ディスクを基本とする記憶媒体又は固体素子記憶装置などのコンピュータ可読記憶媒体上に格納され、ＤＳＰなどの機械が論理に従う方法のステップを実行するようになっていてもよい。いずれにしても、チャネル符号化器１３０が半導体チップ上に実装されている場合、チップ回路が本明細書の説明に従う組織符号化器を規定する符号化回路を確立する。同様に、チャネル符号化器１３０が、ハードウェアで構成された論理（あるいは、任意選択的に、ソフトウェアで構成されたハードウェア論理の論理プログラミング）にアクセスするプロセッサによって実装されている場合、論理付きのプロセッサが、本明細書に従う組織符号化器を規定する回路を確立する。上記の実装の組み合わせが使用されてもよい。

図２には、データ検査付きの非組織符号化器２００が示されており、これはデータ（あるいは等価で「データ語」）ｄ２０１を受信して、それを符号語ｘ２０２に変換する。データ検査付きの非組織符号化器２００は、冗長度（又は「チェック」）生成器ｆ２１０を含み、これがデータｄを入力として受け取って、出力としてチェック語ｃ２０３を生成する。チェック語ｃ２０３は、データｄの関数ｃ＝ｆ（ｄ）で計算される非ヌルのシンボルシーケンスの形式を有する。これは余分の冗長度を提供して受信器での復号器におけるより信頼性の高い判定に利用可能である。符号化器入力アセンブラ２２０が、データｄ２０１とチェック語ｃ２０３とを結合させて符号化器入力ｖ２０４とする。符号化器２３０が符号化器入力ｖ２０４を受信して符号語ｘ２０２を生成する。符号化器２３０が関数ｇを実行して、符号化器入力ｖ２０４（したがってデータｄ２０１とチェック語ｃ２０３）が符号語ｘ２０２と所定の関数（例えば演算又は論理）関係満たすようにする。データ検査付きの非組織符号化器２００は、データｄ２０１が符号語ｘ２０２の一部として透明に見えることを保証しないという点において非組織的である。いくつかの応用において、符号語ｘ２０２の一部は「パンクチャリング」されて、すなわちチャネルに送信されない場合がある。パンクチャリングは、符号語の長さを特定の値に調節することを主眼とする。本原理は、チェック語２０３を導入するデータ検査がある場合のみならず、パンクチャリングが適用される場合にも当てはまる。

図３を参照すると、データ検査付きの組織符号化器３００は、図２のデータ検査付き非組織符号化器２００の組織バージョンである。データ検査付き組織符号化器３００はデータｄ３０１を受信してそれを符号語ｘ３０２に変換する。符号語ｘ３０２はシンボルのシーケンスであり、座標Ｓのある部分シーケンスに対してｘ_Ｓ＝ｄであるという意味で、データｄ３０１を透過的に含む。データ検査付き組織符号化器３００は、データマッパ３１０とデータ検査付き非組織符号化器３２０を含む。データマッパ３１０は、データｄ３０１を修正データｄ’３０３にマッピングする。修正データｄ’３０３は、図２に示すタイプの非組織符号化器２００である、データ検査付き非組織符号化器３２０によって受信される。非組織符号化器３２０は修正データｄ’３０３を処理して、符号語ｘ３０２を生成する。

本開示によって対処される１つの問題は、データ検査付き非組織符号化器をデータ検査付き組織符号化器に変えるデータマッパの構築である。そのようなデータマッパを直接実行することは、符号化プロセスの一部として冗長度が含まれるために、ひどく複雑となり得ることに留意されたい。本明細書に記載の原理は、本開示の主題の主たる適用領域である極符号の場合に対するそのようなデータマッパを実装する低複雑度の方法の開発を目指す。

図４は非組織極符号化器４００であって、本開示の実施形態によるデータ検査とパンクチャリング付きの極符号化器である。非組織極符号化器４００は、図２の非組織符号化器２００の特別の例であり、極符号の特別の場合に関してより詳細に示す。

非組織極符号化器４００には、処理ブロックとしてチェック生成器４１０、変換入力アセンブラ４２０、極変換Ｇ４３０及びパンクチャ器４４０が含まれる。これらの処理ブロックは、データｄ４０１、符号語ｄ４０２、固定語ｂ４０３、チェック語ｃ４０４及び逆パンクチャ語ｔ４０５を含む、シンボル（信号）の複数のシーケンスに作用する。

非組織極符号化器４００が、入力としてデータｄ４０１を受信して、出力として符号語ｘ４０２を生成する。

固定語ｂ４０３は、データｄ４０１とは独立のシンボルの固定パターンである。

チェック生成器４１０は、ｃ＝ｆ（ｄ）の演算によってデータｄ４０１からチェック語ｃ４０４を計算する。ここで、ｆはデータｄ４０１とは独立の関数である。

逆パンクチャ語ｔ４０５はデータｄ４０１とは独立のシンボルの固定パターンである。

変換入力アセンブラ４２０がデータｄ４０１、固定語ｂ４０３、チェック語ｃ４０４及び逆パンクチャ語ｔ４０５を受信して、変換入力ｕ４０６を生成する。変換入力アセンブラ４２０による多重化操作は入力分割（Ｆ，Ｃ，Ｉ，Ｔ）によって特徴づけられ、これは極変換Ｇ４３０の入力ベクトルのインデックス集合｛０，１，…，Ｎ−１｝の分割である。変換入力アセンブラ４２０は、分割（Ｆ，Ｃ，Ｉ，Ｔ）にしたがって、ｕ_Ｆ＝ｂ、ｕ_Ｃ＝Ｃ、ｕ_Ｉ＝ｄ、及びｕ_Ｔ＝ｔとなるように変換入力ｕ４０６をアセンブルする。

極変換Ｇ４３０は、「極変換行列Ｇ」で表される変換操作を実行する。ここで、本原理Ｇのもっとも一般的な形は、ある正の整数Ｎに対する、Ｎ行Ｎ列の任意の可逆行列である。ただし、本原理は以下で述べるように、Ｇが特定の構造を有する場合にのみ、低複雑度で適用可能である。

本開示では、変換行列Ｇの行と列を、本原理の提示における表記の便宜のためにのみ、整数｛０，１，…，Ｎ−１｝によってラベル付けする規則を用いることに留意されたい。本原理の実際の実施形態においてはこれに代わるラベル付けの規則を使用し得ることは明らかであろう。

本開示の好適な実施形態において、極変換行列Ｇ４３０は、それぞれがＧのサイズよりも小さい複数の行列のクロネッカー積で与えられる。その結果、再帰的計算方法を用いることにより低複雑度での変換計算を可能とする。

変換行列が

の形式を有する場合には、好適な実施形態はその利点を以って適用可能である。ここで、Ａは置換行列であり、Ｆ_１は第１のカーネル変換、Ｇ_１は第１段変換、Ｂは置換行列であり、第１のカーネル変換Ｆ_１は１より大きいサイズを有し、かつ第１段変換Ｇ_１は変換Ｇのサイズより小さいサイズである。本原理の好適な実施形態の一般的な選択は、ＡとＢを恒等置換とすることである。

本原理の最も好適な実施形態の第１のタイプは、変換行列が

である。ここで

であり、すべての変換操作が二元体で行われる。この場合、行と列の数は２の累乗Ｎ＝２^ｎに制限される。（符号語の長さを２の累乗以外の整数値に設定するためにパンクチャリングの必要性が生じる。本開示は、データの組織符号化と組み合わせた特定のパンクチャリング方法のやり方を説明する。）

本原理の最も好適な実施形態の第２のタイプは、変換行列が

の形式を有する。ここでＡ又はＢは、［Ａｒｉｋ１］で定義されるような「ビット反転」置換である。

極変換Ｇ４３０は、入力として変換入力ｕ４０６をとり、変換出力ｚ４０７を生成する。変換出力ｚ４０７は、関数関係ｚ＝ｕＧによって変換入力ｕ４０６に関係する。変換出力ｚ４０７は、パンクチャ器４４０によって処理される。パンクチャ器４４０は出力分割（Ｐ，Ｑ）によって特徴づけられ、出力分割（Ｐ，Ｑ）は、極変換Ｇ４３０の範囲空間におけるベクトルのインデックス集合｛０，１，…，Ｎ−１｝の分割である。

符号語ｘ４０２は、ｘ＝ｚ_Ｑと置くことによって変換出力ｚ４０７から得られ、これは項ｚ_Ｐのパンクチャリングに対応する。

［Ｗａｎｇ、Ｈｕａｗ３］におけるような、パンクチャリングのいくつかの形式、及び本原理の好適な実施形態においては、パンクチャリング操作には、形式の制約ｚ_Ｐ＝ｐが含まれる。ここで、ｐはデータｄ４０１とは独立の固定語である。非組織符号化器４００は、逆パンクチャ語ｔ４０５をｐの関数として計算し、ｚ_Ｐ＝ｐの代わりに制約ｕ_Ｔ＝ｔで置き換えることによって、そのような制約を許容する。

図５を参照すると、データ検査とパンクチャリング付きの組織極符号化器５００が示されている。組織極符号化器５００は、極符号化にカスタマイズされた、図３のタイプの組織極符号化器であり、図４のタイプの非組織極符号化器を組織極符号化器に変えるように構成可能である。

組織符号化器５００は、データマッパ５１０とデータ検査とパンクチャリング付きの非組織符号化器５２０を含む。非組織極符号化器５２０は、図４のデータ検査とパンクチャリング付きの非組織極符号化器などの非組織極符号化器である。

データマッパ５１０がデータｄ５０１を受信してそれを修正データｄ’５０３に変換する。これが次に，非組織極符号化器５２０によって入力として受信されて、符号語ｘ５０２に符号化される。組織極符号化器５００はｘ_Ｓ＝ｄのような固定タプルＳがあるという意味で組織的である。

以下で説明する本原理の実施形態は、与えられた非組織極符号化器５２０を、適切なデータマッパ５１０を構築することにより非組織符号化器５２０の構造を変えることなく、図５の組織極符号化器に変えることを目的とする。

本規則の特定の実施形態を提示する前に、データマッパ５１０と非組織符号化器５２０の間の関係の数学的解析の実行により、基礎をなす原理を説明する。この解析は、組織極符号化器５００の実用的な実行を可能とする十分条件を明らかとする。

以下の組織極符号化器５００の解析において、非組織極符号化器５２０は図４に示すタイプの非組織極符号化器４００であり、かつ図４の表記がこの解析全体を通じて使用されることを仮定する。図４では、パンクチャ器は分割（Ｐ，Ｑ）を使用し、解析においてはこの分割はタプルＱを２つの（非結合の）タプルＪとＲに分離することにより分割（Ｐ，Ｊ，Ｒ）に改良される。

解析に関しては、符号化操作は以下の制約の下で実行されることに留意されたい。第１に、変換関係：
ｚ＝ｕＧ （１）
がある。
第２に、変換入力は以下のような様々な部分から組み立てられる。
ｕ_Ｔ＝ｔ （２）
ｕ_Ｉ＝ｄ’ （３）
ｕ_Ｃ＝ｃ＝ｆ（ｄ） （４）
ｕ_Ｆ＝ｂ （５）
第３に、データが変換出力
ｚ_Ｊ＝ｄ （６）
の一部として現れるという組織符号化の制約がある。
最後に、本原理の好適な実施形態は
ｚ_Ｐ＝ｐ （７）
の形の制約をパンクチャリング操作に課す。ここで、ｐはデータｄとは独立の固定パターンである。式（１）から（７）のシステムは、Ｎである自由度よりも方程式の数が多いという意味で、優決定系を構成する。ただし、本原理の好適な実施形態においては、式（２）と式（７）は、ｔがｐの関数であるとすれば実際には同一の制約を表す。したがって、分割（Ｆ，Ｃ，Ｉ，Ｔ）と（Ｐ，Ｊ，Ｒ）とを適切に選択すれば、式（２）から式（７）を同時に満足することは可能である。本開示は、式（１）から式（７）の制約下において、組織符号化を可能とする分割の選択方法を記述する。

本原理をより完全に議論するために、変換関係式（１）を以下の形に書き換えることが有効である。
ｚ_Ｐ＝ｕ_ＴＧ_Ｔ，Ｐ＋ｕ_ＩＧ_Ｉ，Ｐ＋ｕ_ＣＧ_Ｃ，Ｐ＋ｕ_ＦＧ_Ｆ，Ｐ （８）
ｚ_Ｊ＝ｕ_ＴＧ_Ｔ，Ｊ＋ｕ_ＩＧ_Ｉ，Ｊ＋ｕ_ＣＧ_Ｃ，Ｊ＋ｕ_ＦＧ_Ｆ，Ｊ （９）
ｚ_Ｒ＝ｕ_ＴＧ_Ｔ，Ｒ＋ｕ_ＩＧ_Ｉ，Ｒ＋ｕ_ＣＧ_Ｃ，Ｒ＋ｕ_ＦＧ_Ｆ，Ｒ （１０）
式（８）〜式（１０）は、入力分割（Ｆ，Ｃ，Ｉ，Ｔ）と出力分割（Ｐ，Ｊ，Ｒ）の下で、変換出力の各項への変換入力の各項の影響を示す。以下で述べるように、式（２）から式（１０）を検査することで設計ルールの数が現れる。これらの設計ルールは、本原理の数学的基礎を形成する。

設計ルール０：Ｇ_Ｉ，Ｐ＝０、Ｇ_Ｃ，Ｐ＝０、Ｇ_Ｆ，Ｐ＝０かつＧ_Ｔ，Ｐが可逆となるように、変換行列Ｇと入力分割（Ｆ，Ｃ，Ｉ，Ｔ）と出力分割（Ｐ，Ｊ，Ｒ）を選ぶ。

注：設計ルール０は、式（２）、（７）、（８）から容易にわかるように、ｐとｔが、関係ｐ＝ｔＧ_Ｔ，Ｐ及びｔ＝ｐ（Ｇ_Ｔ，Ｐ）^−１により、互いに１対１の関係にあることを保証する。

設計ルール１：設計ルール０を満たすことに加え、チェック生成器式（４）が
ｕ_Ｃ＝ｕ_ＩＥ＋ｅ （１１）
の形のアフィン関数であり、また（Ｇ_Ｉ，Ｊ＋ＥＧ_Ｃ，Ｊ）が可逆行列であるように、変換行列Ｇ、入力分割（Ｆ，Ｃ，Ｉ，Ｔ）及び出力分割（Ｐ，Ｊ，Ｒ）を選択する。

注：設計ルール１の下では、式（２）〜式（７）及び式（９）から、
ｄ’＝（ｄ−ｔＧ_Ｔ，Ｊ−ｅＧ_Ｃ，Ｊ−ｂＧ_Ｆ，Ｊ）（Ｇ_Ｉ，Ｊ＋ＥＧ_Ｃ，Ｊ）^−１ （１２）
となる。式（１２）は、図５のデータマッパ５１０として使用可能なデータマッパを定義する。この可能性は、本原理の第１の実施形態として以下で検討する。

組織極符号化器５００の第１の実施形態
第１の実施形態は、設計ルール１が満たされることを仮定する。この実施形態のデータマッパ５１０は式（１２）に基づき、これを簡単な形に書き換えると次のようになる。
ｄ’＝ｄＤ＋ａ （１３）
ここで、Ｄ＝（Ｇ_Ｉ，Ｊ＋ＥＧ_Ｃ，Ｊ）^−１であり、ａ＝（−ｔＧ_Ｔ，Ｊ−ｅＧ_Ｃ，Ｊ−ｂＧ_Ｆ，Ｊ）（Ｇ_Ｉ，Ｊ＋ＥＧ_Ｃ，Ｊ）^−１である。行列Ｄとベクトルａは、データｄから独立である。したがって、これらは事前に計算可能であって、データマッピング操作の式（１３）は、データｄのアフィン変換の計算から成る。

この実施形態では、式（１３）によって修正データｄ’を取得した後、非組織符号化器５２０の代わりに任意の取得可能な非組織符号化器を使用して組織極符号化を完了可能である。非組織符号化器が入手できない場合、あるいは既存の非組織符号化器の代替として、式（２）〜式（５）に従って変換入力ｕ４０６をアセンブルし、式（１）に従って変換出力ｚ４０７を計算することにより、非組織符号化器５２０を実現可能である。変換出力ｚ４０７が入手可能となると、ｘ＝ｚ_Ｑとすることで符号語ｘ４０２が得られる。ここで、Ｑ＝（Ｊ，Ｒ）はパンクチャドインデックスＰの補集合である。

第１の実施形態は、データマッパが式（１３）により実行可能であることを示すことにより、主として概念実証目的に役立つ。実際の適用では、式（１３）に現れる行列Ｄが計算の複雑度を軽減するために利用可能の構造を何も持たない場合があり、第１の実施形態は複雑すぎる可能性がある。ｄＤの直接計算は、含まれる行列のサイズのオーダの計算の複雑度を有する。これは長さＮの符号に対してはＮ^２のオーダになり得る。第１の実施形態の改良において、計算の複雑度を実行可能なレベルにまで引き下げるために、変換行列Ｇに更なる構造が課される。

設計ルール２：変換行列Ｇ、入力分割（Ｆ，Ｃ，Ｉ，Ｔ）、出力分割（Ｐ，Ｊ，Ｒ）が、設計ルール０を満たすほかに、Ｇ_Ｉ，Ｊが可逆、Ｇ_Ｃ，Ｊ＝０、かつＧ_Ｆ，Ｊ＝０であるように選択される。

注：設計ルール２の下で、式（１３）は
ｄ’＝ｄ（Ｇ_Ｉ，Ｊ）^−１−ｔＧ_Ｔ，Ｊ（Ｇ_Ｉ，Ｊ）^−１ （１４）
のように簡略化される。式（１４）は代替データマッパを定義し、これを本原理の第２の実施形態に検討する。

組織極符号化器５００の第２の実施形態
第２の実施形態は、検討するシステムが設計ルール２に合致することを仮定する。この実施形態は式（１４）に基づくデータマッパを使用する。その他の組織符号化操作は、第１の実施形態と同様にして完了可能である。

式（１４）の直接計算は、実用的な目的からするとまだ複雑すぎる。以下で述べる本原理の第３の実施形態は、第２の実施形態の計算を、変換Ｇに存在し得る構造をうまく利用することを目的として異なる形で編成する。これは、式（１４）のように行列（Ｇ_Ｉ、Ｊ）^−１に直接作用することが、そのような構造を簡単に利用できない場合において、有効であることがわかる。

組織極符号化器５００の第３の実施形態
第３の実施形態は、第２の実施形態の計算方法を改良し、本原理の最も好適な実施形態を構成する。

行列

を考える。
行列Ｇ^〜はＧの行と列を置換することで得られる：
Ｇ^〜＝ＡＧＢ^Ｔ （１６）
ここで、ＡとＢは置換行列である。Ｇが可逆であると仮定すれば、Ｇ^〜もまた可逆であって、直接計算によって証明できるように、
（Ｇ^〜）^−１＝ＢＧ^−１Ａ^Ｔ （１７）
である。そして置換行列の逆はその転置行列に等しいことに留意されたい。

設計ルール２の下で行列Ｇ^〜は上三角の形式

を有する。
可逆上三角行列は、これもまた上三角行列である逆行列を有することは周知である。したがって、Ｇ^〜の逆行列は

の形を有する。ここで、「＊」は一般的な部分行列であって、その具体的な形は本目的に対して何ら意味を持たない。式（１９）は、Ｇ_Ｔ，ＰとＧ_Ｉ，Ｊの逆行列の存在を仮定することに留意されたい。これは設計ルール２により真であることが保証される。

第３の実施形態は以下のデータマッパを備える。データマッパ５１０の好適な実施形態は、
１）データｄ５０１を入力として受信する
２）ｗ_Ｐ＝ｐ、ｗ_Ｊ＝ｄ、かつｗ_Ｒ＝０であるように変換語ｗを用意する
３）ｖ＝ｗＧ^−１を計算する
４）修正語ｄ’５０３としてｖ_Ｉを出力する。

定理
前の段落におけるデータマッパは、式（１４）で特定されるようなデータマッピング操作を実行する。すなわち、ステップ４）での出力がｖ_Ｉ＝ｄＤ＋ａを満足する。ここで、Ｄ＝（Ｇ_Ｉ，Ｊ）^−１かつａ＝−ｔＧ_Ｔ，Ｊ（Ｇ_Ｉ，Ｊ）^−１である。

証明
式ｖ＝ｗＧ^−１は、次のように書ける。

これは、
ｖ_Ｉ＝−ｗ_Ｐ（Ｇ_Ｔ，Ｐ）^−１Ｇ_Ｔ，Ｊ（Ｇ_Ｉ，Ｊ）^−１＋ｗ_Ｊ（Ｇ_Ｉ，Ｊ）^−１ （２１）
であって、ｗ_Ｐ＝ｐ、ｗ_Ｊ＝ｄ、かつｔＧ_Ｔ，Ｐ＝ｐであることから、式（２１）は、
ｖ_Ｉ＝−ｐ（Ｇ_Ｔ，Ｐ）^−１Ｇ_Ｔ，Ｊ（Ｇ_Ｉ，Ｊ）^−１＋ｄ（Ｇ_Ｉ，Ｊ）^−１＝−ｔＧ_Ｔ，Ｊ（Ｇ_Ｉ，Ｊ）^−１＋ｄ（Ｇ_Ｉ，Ｊ）^−１ （２２）
と等価である。これで証明が完了する。

注：上記の証明により、「＊」で表示される式（１９）内の部分行列がこの文脈においては何の働きもしないことが明らかである。

ここで疑問となるのは、式（１４）のように直接ではなく、式（20）のようなより大きな変換操作の一部としてｄ’を計算することに利点があるかどうかということである。式（２０）による計算は、より大きな行列での計算が含まれるので、式（１４）よりもより複雑に見えるかもしれない。しかし、Ｇ^−１が計算の簡略化に利用可能な構造を持っているとすれば、式（２０）は容易にこの利点を利用可能である。他方、式（１４）では導かれる行列Ｄには、簡単に利用可能な構造が残っていない可能性がある。本原理においては、データマッピング操作をより大きな行列操作に埋め込むことが、計算を大幅に簡略化し得ることが理解される。

この第３の実施形態において、修正データｄ’５０３がデータマッパによって計算されると、非組織極符号化器５２０への入力として提供される。これは、任意の与えられた符号化器であってよいし、又は第１の実施形態に関連して議論したように直接実行されてもよい。非組織極符号化器５２０の実行の仕方の厳密な性質は、本目的に対しては副次的な問題である。本原理は主として、低複雑度でデータマッパ５１０の実行方法を提供することを目的としている。

本原理からすぐに利益を受けることができる符号のクラスは、極符号のクラスである［Ａｒｉｋ１］。極符号の場合には、変換行列は

の形式であり、ここで、

は構造の「カーネル」と呼ばれる。極変換の以下の特性は、よく知られている［Ａｒｉｋ１］。変換行列は、元Ｇ_ｉ，ｊを有し、

であればＧ_ｉ，ｊ＝１、そうでなければＧ_ｉ，ｊ＝０である。逆変換Ｇ^−１はＧに等しく、任意の与えられたｕに対して順変換ｕＧ及びその逆変換ｕＧ^−１は、ＮｌоｇＮ次の論理演算を用いて計算可能である。

次に図６には極変換６００が示されている。極変換６００は、極変換

を実行する論理回路であり、次に示す１６ｘ１６の行列表示を有する。

極変換６００は、変換入力ｕ６０１を受信し、変換出力ｚ６０２を出力する。変換入力ｕ６０１と変換出力ｚ６０２は、１６のブール変数から成る信号であって、標準的な論理ゲートを用いて実装可能である。極変換６００は標準のデジタル論理回路を用いて動作し、主要データ処理要素として排他的論理和ゲートを備える。極変換によって実行される計算は、二元体Ｆ_２での行列演算ｚ＝ｕＧと等価である。

図６を参照したまま、上で述べた第２と第３の実施形態を説明するための例を与える。

例：図５のような組織極符号化器を考える。非組織極符号化器５２０が、変換行列

を有する、図４に示すようなタイプの非組織極符号化器であるとする。

入力分割（Ｆ，Ｃ，Ｉ，Ｔ）と出力分割（Ｐ，Ｊ，Ｒ）が以下のようであると仮定する。
Ｔ＝Ｐ＝（７，１１，１５）＝（０１１１，１０１１，１１１１）
Ｉ＝Ｊ＝（３，１２，１３，１４）＝（００１１，１１００，１１０１，１１１０）
Ｃ＝（６，９，１０）＝（０１１０，１００１，１０１０）
Ｆ＝（０，１，２，４，５，８）＝（００００，０００１，００１０，０１００，０１０１，１０００）
Ｒ＝（Ｆ，Ｃ）＝（０，１，２，４，５，８，６，９，１０）＝（００００，０００１，００１０，０１００，０１０１，１０００，０１１０，１００１，１０１０）
ここでも、Ｇ_ｉ，ｊ＝１であるかどうかをチェックしやすくするために、分割の元を表すのにインデックスの二進表示を用いた。（

が成立するときに限り、Ｇ_ｉ，ｊ＝１であることに留意されたい）

この実施例において関心のあるＧの部分行列は、

である。

ここで、設計ルール２の要件であるように、Ｇ_Ｔ，ＰとＧ_Ｉ，Ｊは可逆である。

また、Ｇ_Ｉ，Ｐ＝０、Ｇ_Ｃ，Ｐ＝０、Ｇ_Ｆ，Ｐ＝０、Ｇ_Ｃ，Ｊ＝０かつＧ_Ｆ，Ｊ＝０であることにも留意されたい。

したがって、この例における設計の選択は、設計ルール２のすべての要件を満たす。

設計ルール２への適合は、変換

のいくつかの一般的性質により容易となる。特に、部分行列Ｇ_{Ｔ，Ｐ＝Ｔ}とＧ_{Ｉ、Ｊ＝Ｉ}が可逆であることは、Ｇ_Ａ，Ａが任意の空でないＡに対して可逆であるという一般的性質による。Ｇ_Ｉ，Ｐ＝０という事実は、Ｉのどの元もＰの元を支配しないという事実による。同じ説明が、Ｇ_Ｃ，Ｐ＝０、Ｇ_Ｆ，Ｐ＝０、Ｇ_Ｃ，Ｊ＝０及びＧ_Ｆ，Ｊ＝０について成り立つ。

これまでの議論で、一般的に、設計ルール２が任意の整数ｎ≧１に対して

に有効であるための、入力分割（Ｆ，Ｃ，Ｉ，Ｔ）と出力分割（Ｐ，Ｊ，Ｒ）の選択方法が明らかであろう。

この例を続けて、ｂ＝（０，１，１，０，１，０）、ｐ＝（１，１，０）及びｕ_Ｃが線形関数

で与えられるとする。

逆パンクチャ語ｔは、

で計算される。

第２の実施形態において、データマッパは次の形をとる。

例えば、ｄ＝（１，０，１，１）であればｄ’＝（１，０，１，１）である。

第３の実施形態において、データマッパはまずｗをｗ_Ｐ＝ｐ、ｗ_Ｊ＝ｄ、ｗ_Ｒ＝０のように組み込み、次いでｖ＝ｗＧ^−１を計算し、最後にｄ’としてｖ_Ｉを出力する。例えば、ｄ＝（１，０，１，１）であれば、
ｗ＝（０，０，０，１，０，０，０，１，０，０，０，１，０，１，１，０）
ｖ＝ｗＧ^−１＝（１，０，０，１，１，０，０，１，１，０，０，１，０，１，１，０）
ｄ’＝ｖ_Ｉ＝（１，０，１，１）
となる。

図７では、分割化付きのデータマッパ７００が示されており、これは図３のデータマッパ３１０又は図５のデータマッパ５１０の代わりに使用可能である。分割化付きのデータマッパ７００がデータｄ７０１を受信し、データ分割器７１０内でデータｄ７０１をデータ１ｄ^（１）７０２とデータ２ｄ^（２）７０３に分割する。データ１ｄ^（１）７０２とデータ２ｄ^（２）７０３はそれぞれ、データマッパ１ ７２０とデータマッパ２ ７３０で受信されて、次にそれぞれ修正データｄ’^（１）７０４と修正データ２ｄ’^（２）７０５を出力する。修正データｄ’^（１）７０４と修正データ２ｄ’^（２）７０５は両方ともデータ結合器７４０で受信されて、それらを結合して修正データｄ’７０６が生成される。

図７はデータマッパを実装する、分割統治手法を示す。データマッパ１ ７２０とデータマッパ２ ７３０は、図７と同じ戦略を使用して再帰的に実装可能である。そのような再帰的実装が、本原理に従って組織極符号化器の実装にＮｌоｇＮ次の複雑度を達成する鍵である。

上記の第３の実施形態は、極符号と共に使用される場合、この場合逆変換Ｇ^−１がクロネッカー冪Ｇ^−１＝Ｇ＝

で与えられ、それ自身が図7の再帰回路実装のタイプとなるので、図７の再帰的分割統治戦略を利用可能である。

図８は、本開示による、データ送信に低複雑度組織符号化器を用いた誤り訂正の実行が可能な、無線ネットワークの一例を示す図である。図８に示す無線ネットワーク８００の実施形態は、説明のためだけのものである。無線ネットワーク８００の他の実施形態も本開示の範囲から乖離することなく使用可能である。無線ネットワーク８００は、ｅＮｏｄｅＢ（ｅＮＢ）８０１、ｅＮＢ８０２及びｅＮＢ８０３を含む。ｅＮＢ８０１は、ｅＮＢ８０２及びｅＮＢ８０３と通信する。ｅＮＢ８０１はまた、インターネットや、専用ＩＰネットワーク又は他のデータネットワークなどの、少なくとも１つのインターネットプロトコル（ＩＰ）と通信する。

ネットワークの種類によって、「ｅＮｏｄｅＢ」や「ｅＮＢ」の代わりに、「基地局」、「アクセスポイント」などの他の周知の用語が使用されてもよい。便宜上、遠隔端末に無線アクセスするネットワークのインフラ構成要素の呼称に、本特許書類では用語「ｅＮｏｄｅＢ」及び「ｅＮＢ」を用いる。また、ネットワークの種類によって、「ユーザ機器」又は「ＵＥ」の代わりに、「移動局」（または「ＭＳ」）、「加入者局」（または「ＳＳ」）、「リモート端末」、「無線端末」、または「ユーザーデバイス」などの他のよく知られた用語が使用されてもよい。ＵＥが（携帯電話又はスマートフォンなどの）モバイル装置であるか、（デスクトップコンピュータ又は自動販売機などの）固定装置であると通常考えられるかに拘わらず、便宜上、「ユーザ機器」及び「ＵＥ」はこの特許文書においては、ｅＮＢに無線でアクセスするリモート無線機器を指す。

ｅＮＢ８０２が、ｅＮＢ８０２のカバー領域８２０内の第１の複数のユーザ機器（ＵＥ）に対して、ネットワーク８３０への無線ブロードバンドアクセスを提供する。第１の複数のユーザ機器（ＵＥ）には、小企業（ＳＢ）に配置され得るＵＥ８１１、企業（Ｅ）に配置され得るＵＥ８１２、ＷｉＦｉホットスポット（ＨＳ）に配置され得るＵＥ８１３、第１の住居（Ｒ）に配置され得るＵＥ８１４、第２の住居（Ｒ）に配置され得るＵＥ８１５、及び携帯電話、無線ラップトップ、無線携帯情報端末（ＰＤＡ）などのモバイル装置（Ｍ）であり得るＵＥ８１６が含まれる。ｅＮＢ８０３が、ｅＮＢ８０３のカバー領域８２５内の第２の複数のＵＥに対して、ネットワーク８３０への無線ブロードバンドアクセスを提供する。第２の複数のＵＥには、ＵＥ８１５及びＵＥ８１６が含まれる。いくつかの実施形態において、１つ以上のｅＮＢ８０１〜８０３は、相互に３Ｇ、４Ｇ若しくは５Ｇ、ロングタームエボリューション（ＬＴＥ）、ＬＴＥ−Ａ、ＷｉＭＡＸ、又はその他の進歩した無線通信技術を用いて通信可能である。

点線は、カバー領域８２０、８２５の近似的範囲を示し、これらは例示及び説明の目的のみで、近似的に円形として示されている。カバー領域８２０、８２５などの、ｅＮＢに関係するカバー領域は、ｅＮＢの構成並びに自然及び人工の遮蔽物に関する無線環境の変動に依存して、不定形を含む他の形状であってもよいことは明確に理解されるであろう。

以下でより詳細を述べるように、ＢＳ８０１、ＢＳ８０２及びＢＳ８０３の１つ以上は、本開示の実施形態で説明するような２Ｄアンテナ配列を含む。いくつかの実施形態において、ＢＳ８０１、ＢＳ８０２及びＢＳ８０３の内の１つ以上が、２Ｄのアンテナ配列を有するシステムに対して、コードブック設計及び構造をサポートする。

図８は無線ネットワーク１００の一例を示すが、図８に対して様々な変更を加えることができる。例えば、無線ネットワーク８００は任意の数のｅＮＢと任意の数のＵＥを任意の適切な構成で含むことができる。また、ｅＮＢ８０１は任意数のＵＥと直接通信可能であって、それらのＵＥにネットワーク８３０への無線ブロードバンドアクセスを提供してもよい。同様に、ｅＮＢ８０２〜８０３のそれぞれはネットワーク８３０に直接通信可能であって、ＵＥにネットワーク８３０への直接無線ブロードバンドアクセスを提供してもよい。さらに、ｅＮＢ８０１、８０２及び／又は８０３は、外部の電話ネットワークや他の種類のデータネットワークなどの、他又は追加的な外部ネットワークへのアクセスを提供してもよい。

図１に示し、上で説明した例示的な無線送信経路２０及び受信経路４０は、以下でさらに詳細を述べるように、ｅＮＢ（ｅＮＢ８０２など）及び／又はＵＥ（ＵＥ８１６など）に実装されてもよい。

図９Ａは本開示による、データ送信に低複雑度の組織符号化器を用いた誤り訂正が実行可能な、ユーザ装置のネットワーク例を示す図である。図９Ａに示すＵＥ８１６の実施形態は説明のためだけのものであって、図８のＵＥ８１１〜８１５は同一又は類似の構成をとり得る。ただしＵＥは多種の構成をとり、図９Ａは本開示の範囲をいかなる特定のＵＥの実装にも限定するものではない。

ＵＥ８１６は、アンテナ９０５、無線周波数（ＲＦ）送受信器９１０、送信（ＴＸ）処理回路９１５（これは図１の送信システム２０であってよい）、マイクロフォン９２０及び受信（ＲＸ）処理回路９２５（これは図１の受信システム４０であってよい）を含む。Ｕｅ８１６はまた、スピーカ９３０、主プロセッサ９４０、入出力（Ｉ／Ｏ）インタフェース（ＩＦ）９４５、キーパッド９５０、ディスプレイ９５５及びメモリ９６０を含む。メモリ９６０は、基本オペレーティングシステム（ＯＳ）プログラム９６１及び１つ以上のアプリケーション９６２を含む。ＯＳプログラム９６１、アプリケーション９６２の１つ、又はそれらの何らかの組み合わせ、のいずれかが、図１〜図７の様々な実施形態で説明した誤り訂正を有する低複雑度の組織極符号化のためのプログラミングを実装してもよい。

ＲＦ送受信器９１０は、アンテナ９０５からネットワーク８００のｅＮＢにより送信された入射ＲＦ信号を受信する。ＲＦ送受信器９１０は、入射ＲＦ信号を（復調器１７０内で、又は復調器に関連して）ダウンコンバートして中間周波数（ＩＦ）又は基本バンド信号を生成し、これをチャネル復号器１８０及びソース復号器１９０を実装する受信（Ｒｘ）処理回路９２５に送信する。そこで、ソースバンド又はＩＦ信号をフィルタリング、復号、及び／又はデジタル化して処理信号を生成してもよい。Ｒｘ処理回路９２５は、処理信号（出力データ１９５を含む）をスピーカ９３０（音声データ用などの）又は（ウェブブラウジングデータなどの）更なる処理のために主プロセッサ９４０に送信する。

送信（Ｔｘ）処理回路９１５は、マイクロフォン９２０からのアナログ又はデジタルの音声データ、又は主プロセッサ９４０からのその他の出力ベースバンドデータ（ウェブデータ、ｅメール又はインタラクティブなビデオゲームデータなど）を、少なくとも何らかの入力データ１１０として受信する。Ｔｘ処理回路９１５は、ソース符号化器１２０及びチャネル符号化器１３０を実装して、出力データを符号化、多重化、及び／又はデジタル化して、処理されたベースバンド信号又はＩＦ信号を生成する。ＲＦ送受信器９１０は、送信処理されたベースバンド又はＩＦ信号をＴｘ処理回路９１５から受信し、ベースバンド又はＩＦ信号を（例えば変調器１４０内又はそれに関連して）アップコンバートして、アンテナ９０５を介して送信されるＲＦ信号とする。

主プロセッサ９４０は、１つ以上のプロセッサ又は他の処理装置を含んで、ＵＥ８１６の全体の動作を制御するために、メモリ９６０に格納された基本ＯＳプログラム９６１を実行することができる。例えば、主プロセッサ９４０は、周知の原理によって、ＲＦ送受信器９１０、Ｒｘ処理回路９２５及びＴｘ処理回路９１５によって、順方向チャネル信号の受信及び逆方向チャネル信号の送信を制御可能である。いくつかの実施形態において、主プロセッサ９４０は少なくとも１つのプログラマブルマイクロプロセッサ又はマイクロコントローラを含み、他の実施形態において、主プロセッサは（例えば組織及び／又は非組織符号化又は復号プロセス、パンクチャリングプロセス、データマッピングなどのための）専用回路、並びに（任意選択的に）プログラマブル論理回路又は処理回路を含む。

主プロセッサ９４０はまた、本開示の実施形態で説明されたような、２Ｄアンテナアレイを有するシステムに関するチャネル品質測定及び報告のための動作などの、メモリ９６０に常駐する他のプロセス及びプログラムを実行することも可能である。主プロセッサ９４０は、実行プロセスによる要求に応じて、データ及び／又は命令をメモリ９６０の内外に移動可能である。いくつかの実施形態において、主プロセッサ９４０は、ＯＳプログラム９６１に基づいて、あるいはｅＮＢ又はオペレータから受信した信号に応答してアプリケーション９６２を実行するように構成されている。主プロセッサ９４０はまた、Ｉ／Ｏインタフェース９４５に結合される。これがＵＥ８１６に、ラップトップコンピュータ及びハンドヘルドコンピュータなどの他のデバイスへの接続を可能とする。Ｉ／Ｏインタフェース９４５は、これらのアクセサリと主コントローラ９４０との間の通信経路である。

主プロセッサ９４０はまた、キーパッド９５０（これは単純に１つのボタンであるか、又はアレイ若しくは別のボタンの組であってよい）及びディスプレイユニット９５５に結合されている。ＵＥ８１６のオペレータは、キーパッド９５０を使用してＵＥ８１６にデータを入力することが可能である。ディスプレイ９５５は、タッチスクリーンディスプレイ又は他のディスプレイであって、テキスト及び／又はウェブサイトからなどの少なくとも限られた図形をレンダリングし、かつ既知のやり方に従ってユーザからタッチ入力を受信することができる。メモリ９６０は主プロセッサ９４０に結合され、メモリ９６０の少なくとも一部はランダムアクセスメモリ（ＲＡＭ）を含み、かつメモリ９６０の別の一部はフラッシュメモリまたは他の読み出し専用メモリ（ＲＯＭ）を含むことができる。

図９ＡはＵＥ８１６の一例を示すが、図９Ａに対して様々な変更を加えることができる。例えば、図９Ａの様々な構成要素を組み合わせること、さらに細分化すること、あるいは省略することが可能であり、そして特定の必要性に応じて追加の構成要素を加えてもよい。具体的な例として、主プロセッサ９４０を、１つ以上の中央処理ユニット（ＣＰＵ）と１つ以上のグラフィック処理ユニット（ＧＰＵ）などの、複数のプロセッサに分割することが可能である。また、図９Ａでは携帯電話又はスマートフォンとしてＵＥ８１６が構成されるように示されているが、ＵＥは別のタイプのモバイル装置又は固定装置として動作するように構成されてもよい。

図９Ｂは本開示による、データ送信に低複雑度組織符号化器を用いた誤り訂正を実装可能な、エンハンストＮｏｄｅＢ（ｅＮＢ）ネットワークの一例を示す図である。図９Ｂに示すｅＮＢ８０２の実施形態は、説明のためだけのものであって、図８の他のｅＮＢも同一又は類似の構成をとり得る。ただし、ｅＮＢは多種の構成をとり、図９Ｂは本開示の範囲を、いかなる特定のｅＮＢの実装にも限定するものではない。ｅＮＢ８０１及びｅＮＢ８０３は、ｅＮＢ８０２と同一又は類似の構造を含み得ることに留意されたい。

図９Ｂに示すように、ｅＮＢ８０２は複数のアンテナ９７０ａ〜９７０ｎ、複数のＲＦ送受信器９７２ａ〜９７２ｎ、送信（Ｔｘ）処理回路９７４及び受信（Ｒｘ）処理回路９７６を含む。特定の実施形態では、複数のアンテナ９７０ａ〜９７０ｎの１つ以上が２Ｄアンテナアレイを含む。ｅＮＢ８０２はまた、コントローラ／プロセッサ９７８、メモリ９８０、及びバックホールまたはネットワークインタフェース９８２も含む。

ＲＦ送受信器９７２ａ〜９７２ｎは、ＵＥ又は他のｅＮＢから送信された信号などの入力ＲＦ信号を、アンテナ９７０ａ〜９７０ｎから受信する。ＲＦ送受信器９７２ａ〜９７２ｎは、入力ＲＦ信号を（例えば復調器１７０で、又はそれに関連して）ダウンコンバートして、ＩＦ又はベースバンド信号を生成する。ＩＦ又はベースバンド信号は、チャネル復号器１８０とソース復号器１９０とを実装するＲｘ処理回路９７６に送信される。これが、ベースバンド又はＩＦ信号をフィルタリング、復号及び／又はデジタル化して、処理済み信号を生成する。Ｒｘ処理回路９７６は処理済み信号（出力データ１９５を含む）を、更なる処理のためにコントローラ／プロセッサ９７８に送信する。

Ｔｘ処理回路９７４は、少なくとも何らかの入力データ１１０として、アナログ又はデジタルデータ（音声データ、ウェブデータ、ｅメール又はインタラクティブなビデオゲームデータなど）を、コントローラ／プロセッサ９７８から受信する。Ｔｘ処理回路９７４は、ソース符号化器１２０及びチャネル符号化器１３０を実装して、出力ベースバンドデータを符号化、多重化及び／又はデジタル化して、処理済み信号を生成する。ＲＦ送受信器９７２ａ〜９７２ｎは、Ｔｘ処理回路９７４からの出力処理済み信号を受信して、ベースバンド又はＩＦ信号を（例えば変調器１４０内で又はそれに関連して）アップコンバートして、アンテナ９０５を介して送信されるＲＦ信号とする。

コントローラ／プロセッサ９７８は、ｅＮＢ８０２の全体動作を制御する、１つ以上のプロセッサ又は他の処理デバイスを含むことができる。例えば、コントローラ／プロセッサ９７８は、周知の原理によって、ＲＦ送受信器９７２ａ〜９７２ｎ、Ｒｘ処理回路９７６及びＴｘ処理回路９７４によって、順方向チャネル信号の受信及び逆方向チャネル信号の送信を制御可能である。コントローラ／プロセッサ９７８は、より進歩した無線通信機能などの、追加機能もまたサポートすることができる。コントローラ／プロセッサ９７８により、ｅＮＢ８０２におけるその他の任意の多種の機能をサポートすることができる。いくつかの実施形態において、コントローラ／プロセッサ３７８は少なくとも１つのマイクロプロセッサ又はマイクロコントローラを含み、他の実施形態において、主プロセッサは専用回路（例えば組織及び／又は非組織符号化プロセス、パンクチャリングプロセス、データマッピングなどのための）、並びに（任意選択的に）プログラマブル論理回路又は処理回路を含む。

コントローラ／プロセッサ９７８は、メモリ９８０に常駐する基本ＯＳなどのプログラム及び他のプログラムもまた実行可能である。コントローラ／プロセッサ９７８はまた、本開示の実施形態で説明したような、２Ｄアンテナアレイを有するシステムに関するチャネル品質測定及び報告をすることも可能である。いくつかの実施形態においてコントローラ／プロセッサ９７８は、エンティティ間の通信をサポートする。コントローラ／プロセッサ８７８は、実行プロセスによる必要性に応じて、データ及び／又は命令をメモリ９８０の内外に移動可能である。

コントローラ／プロセッサ９７８はまた、バックホール又はネットワークインタフェース９８２に結合されている。バックホール又はネットワークインタフェース９８２は、ｅＮＢ８０２がバックホール接続またはネットワーク上で他のデバイス又はシステムと通信してもよい。インタフェース９８２は、任意の適切な有線又は無線の接続上での通信をサポートしてもよい。例えば、ｅＮＢ８０２が（３Ｇ、４Ｇ、５Ｇ、ＬＴＥ又はＬＴＥ−Ａをサポートするものなどの）セルラー通信システムの一部として実装される場合、インタフェース９８２はｅＮＢ８０２を、有線又は無線のバックホール接続上で他のｅＮＢと通信させることが可能である。ｅＮＢ８０２がアクセスポイントとして実装される場合、インタフェース９８２はｅＮＢ８０２を、有線又は無線のローカルエリアネットワーク又は有線又は無線の接続によって、（インターネットなどの）より大きなネットワークへの通信可能とすることができる。インタフェース９８２は、イーサネット（登録商標）又はＲＦ送受信器などの有線又は無線接続での通信をサポートする任意の適切な構造を含む。

メモリ９８０はコントローラ／プロセッサ９７８に結合される。メモリ９８０の一部にはＲＡＭが含まれ、メモリ９８０の別の一部にはフラッシュメモリまたは他のＲＯＭが含まれ得る。特定の実施形態においては、複数の命令がメモリに格納される。複数の命令は、コントローラ／プロセッサ９７８に、組織及び／又は非組織符号化又は復号プロセス、パンクチャリングプロセス、データマッピングなどを実行させるように構成される。

図９ＢはｅＮＢ８０２の一例を示すが、図９Ｂに対して様々な変更を加えることができる。例えば、ｅＮＢ８０２は図示された各構成要素を任意の数だけ含むことができる。特定の例として、アクセスポイントが複数のインタフェース９８２を含み、コントローラ／プロセッサ９７８が異なるネットワークアドレス間でデータをルーティングするルーティング機能をサポートしてもよい。別の特定の例としてｅＮＢ８０２は、Ｔｘ処理回路９７４の単一のインスタンスとＲｘ処理回路９７６の単一のインスタンスを含むものとして示しているが、それぞれ（ＲＦ送受信器ごとに１つなどの）複数のインスタンスを含んでもよい。

本明細書において、特定の低複雑度組織符号化器を用いた送信データの誤り訂正方法及びシステムを詳細に説明し、図示してきたが、本開示が包含する主題は特許請求の範囲によってのみ制限されることを理解されたい。本開示は、例示的な実施形態を用いて説明したが、当業者には様々な変更及び修正が示唆されるであろう。本開示は、添付の特許請求の範囲内にあるそのような変更及び変形を包含することが意図されている。本出願の記述を、いかなる特定の要素、ステップ、または機能も、特許請求の範囲に含まれるべき必須又は重要な要素であることを示唆するものであると読むべきではない。すなわち特許対象の主題の範囲は、特許付与された特許請求の範囲によってのみ定義される。さらには、添付の特許請求の範囲又は請求要素のいずれに関しても、特定のクレームに「のための手段」又は「のためのステップ」という厳密な用語が明示的に使用されて、機能を特定する分詞句が後続していない限りは、これらの特許請求の範囲は、いずれも３５ＵＳＣ§１１２（ｆ）を適用することを意図していない。請求項において、「機構」、「モジュール」、「デバイス」、「ユニット」、「構成要素」、「要素」、「部材」、「装置」、「機械」、「システム」、「プロセッサ」、「コントローラ」などの用語（これに限らないが）を使用することは、関連分野の当業者には既知の構造であって、特許請求の範囲そのものの特徴によってさらに変形又は強化されたものを指すものとして理解され、またそのよう意図される。そして米国特許法§１１２（ｆ）が適用されることは意図されていない。

Claims (27)

1. 送信システムにおけるデータ検査付きの組織極符号化器であって、
   送信すべき情報を含む入力データ語ｄを受信するように構成された入力と、
   符号語ｘを生成するように構成された符号化器回路と、
   前記符号語ｘを送信する、前記送信システムにおける出力と、
   を備え、
   前記符号化器回路による符号化操作が、変換行列Ｇと、変換入力ｕとを利用し、前記変換入力ｕは
   前記入力データ語ｄとは独立の固定語ｂに関してｕ_Ｆ＝ｂを満足する項ｕ_Ｆと、
   前記入力データ語ｄとは独立の固定語である逆パンクチャ語ｔに関してｕ_Ｔ＝ｔを満足する項ｕ_Ｔと、
   前記入力データ語ｄから導かれる修正データ語ｄ’に関してｕ_Ｉ＝ｄ’を満足する項ｕ_Ｉと、
   ｕ_Ｃ＝ｆ（ｄ’）を満足する項ｕ_Ｃであって、ｆは前記修正データ語ｄ’に作用して空でないチェック語を生成する、チェック生成器関数である項ｕ_Ｃと、
   を含み、
   前記変換入力ｕはそれに関連する変換出力ｚを有し、
   前記変換出力ｚはｚ＝ｕＧによって前記変換入力ｕに関連し、前記変換出力ｚは、
   空の固定語と空でない固定語の内の１つであるパンクチャ語ｐに関してｚ_Ｐ＝ｐを満足するパンクチャ項ｚ_Ｐと、
   ｚ_Ｊ＝ｄを満足する項ｚ_Ｊと、
   冗長シンボルとして作用する項ｚ_Ｒと、
   を含み、
   前記入力データ語ｄの組織符号化は、前記項ｚ_Ｊ＝ｄと前記変換出力ｚの前記項ｚ_Ｒを所定の順序で結合させて前記符号語ｘを形成することにより達成される、データ検査付き組織極符号化器。
2. 前記符号化操作は、ある任意の語ｅに関してｗ_Ｔ＝ｔ、ｗ_Ｊ＝ｄ及びｗ_Ｒ＝ｅを有するベクトルｗを形成することと、ｖ＝ＷＧ^−１を計算することと、ｄ’＝ｖ_Ｉとすることで修正データ語ｄ’を取得することとを含む、請求項１に記載のデータ検査付き組織極符号化器。
3. 前記変換行列Ｇは
   

   

   
   の形式を有し、ここでＡは置換行列であり、Ｆ_１は第１のカーネル変換、Ｇ_１は第１段変換、Ｂは置換行列であり、前記第１のカーネル変換Ｆ_１は１より大きいサイズであり、前記第１段変換Ｇ _１ は前記変換行列Ｇのサイズより小さいサイズであり、ｖの計算は、Ｇの特定の構造を利用して単純化される、請求項１に記載のデータ検査付き組織極符号化器。
4. 前記第１段変換Ｇ_１は複数のカーネル変換のクロネッカー積：
   

   

   
   であり、前記複数のカーネル変換のそれぞれは、１より大きいサイズを有する、請求項３に記載のデータ検査付き組織極符号化器。
5. すべての２≦ｉ≦ｎに対してＦ_ｉ＝Ｆ_１である、請求項４に記載のデータ検査付き組織極符号化器。
6. 

   
   である、請求項５に記載のデータ検査付き組織極符号化器。
7. Ａ又はＢは単位行列である、請求項６に記載のデータ検査付き組織極符号化器。
8. 送信システムにおけるデータ検査付きの組織極符号化器であって、
   送信のために極符号化される情報を含む入力データ語ｄを受信して、修正データ語ｄ’を生成するように構成されたデータマッパと、
   前記修正データ語ｄ’を受信して、符号語ｘのための変換出力ｚを生成するように構成された非組織極符号化器と、
   前記符号語ｘを送信するように構成された、前記送信システムにおける送受信器と、
   を備え、
   前記非組織極符号化器は、前記修正データ語ｄ’を符号化して座標Ｓのいくつかのサブシーケンスに関してｘ_Ｓ＝ｄとなるように、前記符号語ｘのための前記変換出力ｚを生成する変換行列Ｇを実行し、
   前記変換行列Ｇは、入力分割（Ｆ，Ｃ，Ｉ，Ｔ）、ここで｜Ｃ｜＞０、と出力分割（Ｐ，Ｊ，Ｒ）によって制約を受け、Ｇ_Ｉ，Ｐ＝０、Ｇ_Ｃ，Ｐ＝０、Ｇ_Ｆ，Ｐ＝０でありかつＧ_Ｔ，Ｐが可逆である、データ検査付きの組織極符号化器。
9. 変換行列Ｇを実行して変換出力ｚを生成するように構成された極変換を更に含み、
   前記組織極符号化器は、前記変換行列Ｇの前記変換出力ｚから、少なくとも部分的に前記符号語ｘを決定するように構成され、前記変換出力ｚは、
   パンクチャ語ｐに関してｚ_Ｐ＝ｐを満足するパンクチャド項ｚ_Ｐであって、前記パンクチャ語ｐは前記入力データ語ｄ及び空の固定語と空でない固定語の１つとは独立である、パンクチャド項ｚ_Ｐと、
   前記入力データ語ｄに対応するデータを搬送するための項ｚ_Ｊと、
   前記搬送されるデータを保護するための冗長シンボルとして作用する項ｚ_Ｒであって、前記項ｚ_Ｊと前記項ｚ_Ｒが所定の順序で結合して前記符号語ｘを生成する、項ｚ_Ｒと、
   を備える、請求項８に記載のデータ検査付きの組織極符号化器。
10. ｕ＝ｚＧ^−１による前記変換出力ｚに関する、前記変換行列Ｇのための変換入力ｕが、前記入力データ語ｄとは独立した固定語である凍結語ｂに関して、ｕ_Ｆ＝ｂを満足する項ｕ_Ｆと、前記修正データ語ｄ’に作用するチェック生成器関数ｆの出力を備え、かつ、前記修正データ語ｄ’に依存する少なくとも１つの元を有する、データ検査ｃを備える項ｕ_Ｃと、前記修正データ語ｄ’を備える項ｕ_Ｉと、ｕ_Ｔ＝ｐ（Ｇ_Ｔ，Ｐ）^−１を満足する項ｕ_Ｔと、を備える、請求項９に記載のデータ検査付き組織極符号化器。
11. 前記変換行列Ｇ、前記入力分割（Ｆ，Ｃ，Ｉ，Ｔ）及び前記出力分割（Ｐ，Ｊ，Ｒ）は、前記チェック生成器関数ｆがアフィン関数であるように選択される、請求項１０に記載のデータ検査付き組織極符号化器。
12. 前記変換行列Ｇ、前記入力分割（Ｆ，Ｃ，Ｉ，Ｔ）及び前記出力分割（Ｐ，Ｊ，Ｒ）は、Ｇ_Ｉ，Ｊが可逆であり、Ｇ_Ｃ，Ｊ＝０かつＧ_Ｆ，Ｊ＝０であるように選択される、請求項１０に記載のデータ検査付き組織極符号化器。
13. 前記変換行列Ｇは
    

    

    
    の形式を有し、ここでＡは置換行列であり、Ｆ_１は第１のカーネル変換、Ｇ_１は第１段変換、Ｂは置換行列であり、前記第１のカーネル変換Ｆ_１は１より大きいサイズであり、前記第１段変換Ｇ _１ は前記変換行列Ｇのサイズより小さいサイズであり、前記変換出力ｚの計算は、Ｇの特定の構造を利用して単純化される、請求項１２に記載のデータ検査付き組織極符号化器。
14. 前記第１段変換Ｇ_１は複数のカーネル変換のクロネッカー積：
    

    

    
    であり、前記複数のカーネル変換のそれぞれは、１より大きいサイズを有する、請求項１３に記載のデータ検査付き組織極符号化器。
15. すべての２≦ｉ≦ｎに対してＦ_ｉ＝Ｆ_１である、請求項１４に記載のデータ検査付き組織極符号化器。
16. 

    
    である、請求項１５に記載のデータ検査付き組織極符号化器。
17. Ａ又はＢは単位行列である、請求項１６に記載のデータ検査付き組織極符号化器。
18. 送信システムにおけるデータ検査付きの組織極符号化のための方法であって、
    送信のために極符号化される情報を含む入力データ語ｄをデータマッパにおいて受信するステップと、
    前記データマッパを使用して修正データ語ｄ’を生成するステップと、
    前記修正データ語ｄ’を非組織極符号化器において受信するステップと、
    前記非組織極符号化器を使用して、変換行列Ｇにより符号語ｘに対する変換出力ｚを生成するステップであって、前記変換行列Ｇは前記修正データ語ｄ’を符号化して、座標Ｓのいくつかのサブシーケンスに関してｘ_Ｓ＝ｄとなるように、前記符号語ｘに対する前記変換出力ｚを生成し、ここで前記変換行列Ｇは、入力分割（Ｆ，Ｃ，Ｉ，Ｔ）、ただし｜Ｃ｜＞０、と出力分割（Ｐ，Ｊ，Ｒ）によって制約を受け、Ｇ_Ｉ，Ｐ＝０、Ｇ_Ｃ，Ｐ＝０、Ｇ_Ｆ，Ｐ＝０でありかつＧ_Ｔ，Ｐが可逆である、ステップと、
    前記符号語ｘを、前記送信システムにおける送受信器を使用して送信するステップと、
    を含む方法。
19. 前記変換行列Ｇを実行して変換出力ｚを生成する極変換を使用するステップを更に含み、
    前記符号語ｘは少なくとも部分的に前記変換出力ｚから決定され、前記変換出力ｚは、
    パンクチャ語ｐに関してｚ_Ｐ＝ｐを満足するパンクチャド項ｚ_Ｐであって、前記パンクチャ語ｐは前記入力データ語ｄ及び空の固定語と空でない固定語の１つとは独立である、パンクチャド項ｚ_Ｐと、
    前記入力データ語ｄに対応するデータを搬送するための項ｚ_Ｊと、
    前記搬送されるデータを保護するための冗長シンボルとして作用する項ｚ_Ｒであって、前記項ｚ_Ｊと前記項ｚ_Ｒが所定の順序で結合して前記符号語ｘを生成する、項ｚ_Ｒと、
    を備える、請求項１８に記載の方法。
20. ｕ＝ｚＧ^−１による前記変換出力ｚに関する、前記変換行列Ｇのための変換入力ｕが、前記入力データ語ｄとは独立した固定語である凍結語ｂに関して、ｕ_Ｆ＝ｂを満足する項ｕ_Ｆと、前記修正データ語ｄ’に作用するチェック生成器関数ｆの出力を備え、かつ、前記修正データ語ｄ’に依存する少なくとも１つの元を有する、データ検査ｃを備える項ｕ_Ｃと、前記修正データ語ｄ’を備える項ｕ_Ｉと、ｕ_Ｔ＝ｐ（Ｇ_Ｔ，Ｐ）^−１を満足する項ｕ_Ｔと、を備える、請求項１９に記載の方法。
21. 前記変換行列Ｇ、前記入力分割（Ｆ，Ｃ，Ｉ，Ｔ）及び前記出力分割（Ｐ，Ｊ，Ｒ）は、前記チェック生成器関数ｆがアフィン関数であるように選択される、請求項２０に記載の方法。
22. 前記変換行列Ｇ、前記入力分割（Ｆ，Ｃ，Ｉ，Ｔ）及び前記出力分割（Ｐ，Ｊ，Ｒ）は、Ｇ_Ｉ，Ｊが可逆であり、Ｇ_Ｃ，Ｊ＝０かつＧ_Ｆ，Ｊ＝０であるように選択される、請求項２０に記載の方法。
23. 前記変換行列Ｇは
    

    

    
    の形式を有し、ここでＡは置換行列であり、Ｆ_１は第１のカーネル変換、Ｇ_１は第１段変換、Ｂは置換行列であり、前記第１のカーネル変換Ｆ_１は１より大きいサイズであり、前記第１段変換Ｇ _１ は前記変換行列Ｇのサイズより小さいサイズであり、前記変換出力ｚの計算は、Ｇの特定の構造を利用して単純化される、請求項２２に記載の方法。
24. 前記第１段変換Ｇ_１は複数のカーネル変換のクロネッカー積：
    

    

    
    であり、前記複数のカーネル変換のそれぞれは、１より大きいサイズを有する、請求項２３に記載の方法。
25. すべての２≦ｉ≦ｎに対してＦ_ｉ＝Ｆ_１である、請求項２４に記載の方法。
26. 

    
    である、請求項２５に記載の方法。
27. Ａ又はＢは単位行列である、請求項２６に記載の方法。
    

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