JP6738519B1 - 原価計算プログラム、原価計算装置、および、原価計算方法 - Google Patents

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Abstract

【課題】収集された生産データ・原価データに基づき、加工作業の流れに厳密に対応した原価計算結果を得る。【解決手段】製造原価計算プログラムは、加工進捗度軸から成る原価計算空間データと、原価計算対象期間内の生産状況である当期生産データを読み出し、入力されたマッチングに基づいてインプットノードとアウトプットノードとを結ぶアロー及びアローの経路上の物量であるアロー経路上の物量を計算するステップと、アロー経路上の物量を計算するステップにおいて、解マッチングとなれば、加工作業の投入条件である加工作業投入量関数データ、アロー経路上の物量データを読み出し、加工作業換算量と材料投入換算量を計算し、与えられた原価計算対象期間内の原価発生状況である当期実際原価データ、加工作業換算量、材料投入換算量を読み出し、アローに原価を配分して、アローに配分された原価を出力するステップと、を実行する。【選択図】図２Ａ

Description

本発明は、コンピュータ等による原価計算技術に関する。
これまで、製品原価計算の方法としては、大別して個別原価計算と総合原価計算の２つが提唱されてきた。
例えば、下記特許文献１においては、事業における原価を管理するための、制御部を備えた原価管理装置であって、前記制御部は、原価計算に関連する複数の処理がその実行順序と共に設定されている実行フェーズマスタに従って、前記事業に応じて予め設定されている棚卸資産の評価方法に準じた実際原価計算を実行することを特徴とする原価管理装置が開示されている。
また、下記特許文献２においては、リードタイムを基準とした原価計算方法が提案されている。
特開２０１６−１８４４０７号公報 特開２０１６−５１２２３号公報
個別原価計算は材料に投入した資源量を計測することで、正確な原価計算結果を与えるが、その実行には、材料をロット単位や製造指図書単位で投入から完成まで個別に把握することや、材料ごとに投入した資源量を測定することが必要であるなど、収集すべきデータの条件が厳しく、工場において、実行するためのデータを入手できないことが多い。
総合原価計算は、より簡便なデータから製品原価を計算することができるが、計算方法が実際の加工作業の流れと対応していないため、極めてシンプルな生産状況を除き、不正確な原価計算結果を与えてしまう。
原価管理の代表的な方法である標準原価計算では、目標である標準原価と、実際原価とを比較して、どこにどれだけのムダがあったのかを分析する（これを「差異分析」という）。
差異分析の具体的な処理は、例えば材料費では、材料費の標準原価と実際原価の差異を、価格差異と数量差異に分解することで、発生原因を明らかにする。
このような差異分析は、材料費をはじめ、労務費、製造間接費など、様々な原価要素に対して広く行われているが、従来の標準原価計算による差異分析は、シンプルな生産状況の下では適切な計算結果を与えるものの、材料の減損、材料の追加投入、複数種類の材料の投入などの要素が絡み合うような、複雑な生産状況には対応できず、適切な計算結果を与えない。
更に、材料の投入から完成までのリードタイム（経過時間）の要因が考慮されていない。特許文献２など、リードタイムを基準にして原価計算を行う方法が提案されているが、それらは材料の減損や追加投入など、製造加工中の物量の増減を適切に取り扱うことができず、そのような場合には不正確な計算をしてしまう。また、ロット単位や製造指図書単位で材料投入から完成までのリードタイムを計測することが必要なため、実行の手間がかかってしまう。
例えば、時間の経過と共に減損する揮発性の材料を用いて生産される製品を考えてみる。この製品は、材料の揮発を避けるあまり急ぎすぎて粗雑な加工作業を行った場合には、今度は不良品が増加してしまいやはり減損するものとする。このような揮発性の材料の減損量には、以下の３つの要因が関係している。
１）単位時間当たりの材料の揮発量、
２）材料投入から完成までのリードタイム（経過時間）、
３）加工作業の丁寧さ。
この３つの要因はそれぞれ異なっているので、必要な対策もそれぞれ異なる。例えば、２）のリードタイム（経過時間）が長すぎることが減損の主な要因であった場合、その対策は、加工作業の丁寧さを多少犠牲にしてでも、急いで加工作業を行うことである。
しかし、従来の標準原価計算では、経過時間の概念がないため、この３つの要因を区別できず、すべて３）の加工作業の丁寧さ、が減損の要因であると判断してしまう。これでは、リードタイム（経過時間）が長すぎることが減損の主要因であった場合でも、その対策として、より時間をかけて丁寧に加工作業を行う、という全く逆効果の対策しか提案できない。
本発明は、材料の減損・追加投入・複数種類の材料投入などの要素が絡み合うような複雑な生産状況においても、そしてロット単位や製造指図書単位で生産データが収集されていないような不十分な生産データであっても、更にはリードタイムを考慮すべき状況においても、正確な製品原価計算結果および標準原価計算による差異分析結果を得ることを目的とする。
本発明の目的は、物理的な加工作業の流れに厳密に対応した原価計算と標準原価計算を実行することにある。
従来の方法には大別すると２つの方法、つまり総合原価計算と個別原価計算があるが、これらの方法は物理的な意味で厳密な計算方法ではない。
一応、時間軸を考慮しない限定的な状況に限ると、個別原価計算・個別標準原価計算でも物理的に厳密な計算結果を得られるが、時間軸を考慮に入れた場合には、やはり従来の個別原価計算では対応できない。
尚、本発明において、時間軸を考慮に入れない（加工進捗度軸のみ考慮する）モデルも含めることができる。
特に、従来の方法とアロー原価計算とで大きく計算結果が異なる状況の一例を挙げるとすれば、リードタイム（加工時間）の長短により減損量・追加投入量が大きく変化してしまうような状況で標準原価計算を実行しようとする場合である。標準原価計算では、事前に設定した標準原価、すなわち、目標原価と実際原価との差の原因を分析する差異分析を行うが、その差異分析が適切に実行できるのはアロー原価計算だけになる（解説欄第８章に対応する）。
以下の解決手段において、解説欄の対応する箇所を参考として記載したが、本発明を、これらの例に限定する趣旨ではない。
尚、下記において、時間軸を考慮しないようにしても良い（時間軸を考慮しない計算例は解説欄２の例題１から例題７に対応する）。
例えば、そのような発明は、コンピュータに、製品製造原価計算を実行させるためのプログラムであって、
メモリに格納されている
１）加工進捗度軸から成る座標空間により画定される原価計算空間データと、
２）加工作業の投入条件である加工作業投入量関数データと、
３）原価計算対象期間内の生産状況である当期生産データと、
４）与えられた原価計算対象期間内の原価発生状況である当期実際原価データと、を参照し、
前記原価計算空間データ、前記当期生産データを読み出し、入力されたマッチングに基づいてインプットノードとアウトプットノードとを結ぶアロー、及び、前記アローの経路上の物量であるアロー経路上の物量を計算するステップと、
前記アロー経路上の物量を計算するステップにおいて、解マッチングとなれば、
前記加工作業投入量関数データ、前記アロー経路上の物量データを読み出し、加工作業換算量と材料投入換算量を計算し、
前記当期実際原価データ、前記加工作業換算量、前記材料投入換算量を読み出し、アローに原価を配分して、前記アローに配分された原価を出力するステップと、を
コンピュータに実行させるための製品製造原価計算プログラムである（この一連の手続きの計算例は解説欄２の例題１から例題３に対応する）。
また、時間軸を考慮に入れた発明は以下のものを含む（解説欄のすべての章（第１章から第９章）は時間軸を考慮に入れた発明の解説であり、また、解説欄２の例題８、９ａ、９ｂ、１１に対応する）。
本発明の一観点によれば、コンピュータに、製品製造原価計算を実行させるためのプログラムであって、メモリに格納されている
１）時間軸と加工進捗度軸から成る座標空間により画定される原価計算空間データと（解説欄第１章参照）、
２）加工作業の投入条件である加工作業投入量関数データと（解説欄第３章参照）、
３）原価計算対象期間内の生産状況である当期生産データと（解説欄第１章参照）、
４）与えられた原価計算対象期間内の原価発生状況である当期実際原価データと（解説欄第８章参照）、を参照し、
前記原価計算空間データ、前記当期生産データを読み出し、入力されたマッチングに基づいてインプットノードとアウトプットノードとを結ぶアロー経路、及び、前記アローの経路上の物量であるアロー経路上の物量を計算するステップと（解説欄第２章参照）、
解マッチングを求めるステップと、
前記アロー経路上の物量を計算するステップにおいて、解マッチングとなれば（解説欄第２章参照）、
前記加工作業投入量関数データ、前記アロー経路上の物量データを読み出し、加工作業換算量と材料投入換算量を計算し（解説欄第３章参照、定義の一例は式（３．１））、材料投入換算量（解説欄第３章参照）、
前記当期実際原価データ、前記加工作業換算量、前記材料投入換算量を読み出し、アローに原価を配分して（解説欄第４章参照）、前記アローに配分された原価を出力するステップと、をコンピュータに実行させるための製品製造原価計算プログラムが提供される。
さらに、メモリに格納されている、
５）材料の減損条件である減損関数データ（解説欄第２章参照）を参照し、
前記アロー経路上の物量を計算するステップは、さらに、前記減損関数データを読み出して物量を計算するようにしても良い。
さらに、メモリに格納されている
６）材料の追加投入条件である追加投入関数データを参照し（解説欄第２章参照）、
前記アロー経路上の物量を計算するステップは、さらに、前記追加投入関数データを読み出して物量を計算するようにしても良い。
尚、当期実際原価データとは、単純に、「実際材料費２００，０００円」、「実際変動加工費１，０００，０００円」などを指す。この金額をどのように求めるのかは、従来の原価計算における一つの論点になる。
しかし、本発明では、この実際原価データは、完全に与件、つまり勝手に与えられるものとする。
本発明は、この生産データや実際原価データが与えられた後で、それらのデータを使ってどうやって製品原価や期末仕掛品原価を求めればよいか、という部分に関するものである。
また、前記アロー経路上の物量を計算するステップにおいて、さらに、前記インプットノードと前記アウトプットノードとが表示されたアロー図を作成するステップを有し、前記アロー図上に前記アロー、及び、前記アローの経路上における物量の計算結果を表示させるステップを有するようにしても良い（ここの作業は解説欄第２章参照）。
また、本発明においては、上記に記載の原価計算に加えて、さらに、標準原価計算を実行するために（標準原価計算は解説欄第５章から第８章、及び、解説欄２の例題６ａ、６ｂ、７、９ａ、９ｂを参照）、
前記メモリは、
７）標準パラメタ値である標準パラメタ値データ（解説欄第５章参照）と、
８）標準資源消費量条件である標準資源消費量関数データ（ｑ（ｓ）のこと。解説欄第６章参照）と、
９）標準原価発生条件を記録しておく標準原価関数データ（ｐ（ｓ）のこと。解説欄第６章参照）と、
１０）差異分析の順番を記録しておく差異分析の順番データ（解説欄第６章参照、パラメタの並び順をユーザーが設定する）と、
１１）原価計算対象期間内の実際資源消費量状況を記録する実際資源消費量データ（解説欄第８章参照：例として、実際直接作業時間５５０時間）と、を記憶しており、
前記標準パラメタ値データ、前記標準資源消費量関数データ、前記標準原価関数データ、前記差異分析の順番データ、前記実際資源消費量データを前記メモリから読み出し、差異分析（具体的な差異分析の例は、解説欄第８章参照：例として、実際直接作業時間５５０時間）を実行するステップ、及び、
差異分析結果を出力するステップ、
をコンピュータに実行させるための製品製造原価計算プログラムである。
尚、上記のデータのうち、７）と１０）に記載のデータのみを取り扱うようにしても良い。その他のデータ８），９），１１）を、さらに考慮して計算を行うようにしても良い。以下の手段においても同様である。
解説欄第５章の各種パラメタ、つまり材料追加投入パラメタ（φ：ファイ）、減損パラメタ（θ）、アロー経路（ｐａｔｈ）などのそれぞれにおいて、標準値をユーザーが設定する。複数種類の材料を投入している場合は、その始点投入時の投入比率（ψ（ベクトル）：プサイ）が追加される。
他にも、資源価格（ｐ）、資源消費量（ｑ）の標準もあるが、これらは前の６）と７）に対応する。
これらパラメタの「今期の実際値」と「標準値」とを比較して、今期の生産は具体的にどこにムダがあったのかを明らかにする計算のことを標準原価計算と称する。
また、本発明においては、
前記アロー図は、
時間軸と加工進捗度軸から成る座標空間において、
１）インプットノード及びアウトプットノードを示す点、
２）前記インプットノードから前記アウトプットノードに向かうアロー経路、
３）前記アロー経路上の物量、を含む製品製造原価計算プログラムであることが好ましい。
また、複数材料を投入する場合には、
前記物量をベクトル値（第１材料の物量、第２材料の物量、…第Ｎ材料の物量）とすることで、Ｎの複数材料を投入する場合の製品製造原価計算を行う製品製造原価計算プログラムであっても良い（複数材料は、解説欄第７章・第８章参照）。
また、本発明は、製品製造原価計算を実行させるための計算装置であって、メモリに格納されている
１）時間軸と加工進捗度軸から成る座標空間により画定される原価計算空間のＸ−Ｙ座標軸（時間軸、加工進捗度軸）の原価計算空間データと、
２）加工作業の投入条件である加工作業投入量関数データと、
３）原価計算対象期間内の生産状況である当期生産データと、
４）与えられた原価計算対象期間内の原価発生状況である当期実際原価データと、を参照し、
前記原価計算空間データ、前記当期生産データを読み出し、入力されたマッチングに基づいてインプットノードとアウトプットノードとを結ぶアロー経路、及び、前記アロー経路上の物量を計算する第１の演算部と、
前記アロー経路上の物量を計算するステップにおいて、解マッチングとなれば、
前記加工作業投入量関数データ、前記アロー経路上の物量データを読み出し、加工作業換算量、材料投入換算量を計算する第２の演算部と、
前記当期実際原価データ、前記加工作業換算量、前記材料投入換算量を読み出し、アローに原価を配分する第３の演算部と、
前記アローに配分された原価を出力する第４の演算部と
を有する製品製造原価計算装置である。
また、本発明は、コンピュータに、製品製造原価計算を実行させるための方法であって、
メモリに格納されている
１）時間軸と加工進捗度軸から成る座標空間により画定される原価計算空間のＸ−Ｙ座標軸（時間軸、加工進捗度軸）の原価計算空間データと、
２）加工作業の投入条件である加工作業投入量関数データと、
３）原価計算対象期間内の生産状況である当期生産データと、
４）与えられた原価計算対象期間内の原価発生状況である当期実際原価データと、を参照し、
前記原価計算空間データ、前記当期生産データを読み出し、入力されたマッチングに基づいてインプットノードとアウトプットノードとを結ぶアロー経路、及び、前記アロー経路上の物量を計算するステップと、
前記アロー経路上の物量を計算するステップにおいて、解マッチングとなれば、
前記加工作業投入量関数データ、前記アロー経路上の物量データを読み出し、加工作業換算量、材料投入換算量を計算し、
前記当期実際原価データ、前記加工作業換算量、前記材料投入換算量を読み出し、アローに原価を配分して、前記アローに配分された原価を出力するステップと、をコンピュータに実行させるための製品製造原価計算方法である。
本発明によれば、どのような状況でも、正確な材料加工の流れに対応した原価計算結果を得られる。つまり、材料の減損・追加投入・複数種類の材料投入などの様々な要素が絡み合うような複雑な生産状況においても、そしてロット単位や製造指図書単位で生産データが収集されていないような不十分な生産データであっても、更にはリードタイムを考慮すべき状況においても、正確な製品原価計算結果および標準原価計算による差異分析結果を得ることができる。
本発明の実施の形態による原価計算技術に適用することができる、原価演算装置（計算装置）の一構成例を示す機能ブロック図である。 本実施の形態による原価計算技術における、単一材料の場合の原価計算処理の流れの一例を示すフローチャート図である。 単一材料で標準原価計算を行う処理例を示すフローチャート図であり、図２ＡのステップＳ８に続く処理を示す図である。 単一材料の場合のアロー図（ａｒｒｏｗ ｄｉａｇｒａｍ）の一例を示す図である。 複数種類の材料を投入する場合の演算処理の流れを示す図２Ａに対応するフローチャート図である。 複数材料で標準原価計算を行う処理例を示す図である。 原価計算空間と生産データを示すアロー図である。 マッチング、アロー経路、アロー経路上の物量を示すアロー図である。 マッチングで減損パラメタが変化する例（パターン１）（先入先出法）の例を示すアロー図である。 マッチングで減損パラメタが変化する例（パターン２）を示すアロー図である。 減損パラメタの識別可能性について（識別されない例１）を示すアロー図である。 減損パラメタの識別可能性について（識別されない例２）を示すアロー図である。 減損パラメタの識別可能性について（適切に識別される例）を示すアロー図である。 減損パラメタの識別可能性について（矛盾解が生じる例）示すアロー図である。 減損パラメタの識別可能性について（矛盾解の解決法１：グルーピング）示すアロー図である。 減損パラメタの識別可能性について（矛盾解の解決法２：マッチングを探す）示すアロー図である。 アロー毎の加工作業換算量ηと、材料投入換算量ζの計算を行う際のアロー図である。 標準原価計算の考え方を示すアロー図である。 差異分析の一例を示す流れ図である。 複数材料の場合のアロー図である。 アロー図を用いた解答例を示す図である。 材料Ａに関する差異分析の一例を示す図である。 材料Ｂに関する差異分析の一例を示す図である。 変動加工費に関する差異分析の一例を示す図である。 固定加工費に関する差異分析の一例を示す図である。 材料Ａに関する差異分析の一例を示す図である。 材料Ｂに関する差異分析の一例を示す図である。 変動加工費に関する差異分析の一例を示す図である。 変動加工費に関する差異分析の一例を示す図である。 固定加工費に関する差異分析の一例を示す図である。 アロー原価計算の考え方を示す原理図である。 総合原価計算（材料費の計算）の考え方を示す図である。 総合原価計算（加工費の計算）の考え方を示す図である。 総合原価計算の考え方の一例を示す図である。 アロー原価計算の考え方の一例を示す図である。 例題２のアロー図である。 例題３の解マッチングを示すアロー図である。 例題３の加工作業換算量ηの計算例を示す図である。 例題４の解マッチングを示すアロー図である。 例題５の解マッチングを示すアロー図である。 例題５の加工作業換算量ηＸの計算例を示す図である。 例題６ａの解マッチングを示すアロー図である。 例題６ａのη（ａ）とη（ｓ）の計算例を示す図である。 例題６ｂの解マッチングを示すアロー図である。 例題７の解マッチングを示すアロー図である。 例題８の解マッチングを示すアロー図である。 例題８のηＸとηＴの計算例（１→１アロー）を示す図である。 例題８のηＸとηＴの計算例（１→２アロー）を示す図である。 例題９ａの解マッチングを示すアロー図である。 例題９ｂの解マッチングを示すアロー図である。 例題１０の生産データのみを入力したアロー図である。 例題１０のアロー図（θ＝０の場合）である。 例題１０のアロー図（θ＝１０の場合）である。 例題１０のアロー図（θ＝２０の場合）である。 例題１０の解マッチングを示すアロー図（θ＝３０の場合）である。 例題１０のアロー図（θ＝４０の場合）である。 例題１１のアロー図（生産データのみ）である。 例題１１のアロー図（先入先出法の解マッチング）である。 例題１１のアロー図（先入先出法ではない解マッチング）である。 例題１１のアロー図（先入先出法の解マッチングの別の例）である。 例題１２のアロー図である。 例題１３のアロー図である。
以下、本発明の第１の実施の形態による原価計算技術について、基本的な構成例を示す図面等を参照しながら詳細に説明する。尚、発明の詳細な説明の末尾に記載した解説欄に計算手法のより詳細な説明を記載し、解説欄２にその計算例を記載した。これらの解説欄も適宜参照しながら以下に説明を行う。
（第１の実施の形態）
図１は、本発明の実施の形態による原価計算技術に適用することができる、原価演算装置（計算装置）の一構成例を示す機能ブロック図である。図２Ａは、本実施の形態による原価計算技術における、単一材料の場合の原価計算処理の流れの一例を示すフローチャート図である。これらの演算装置は、ハードウェア構成でも良いし、ソフトウェア構成でも良い。
図１に示すように、本実施の形態による原価演算システム（装置）Ａは、記憶装置１と、演算装置１１と、出力部２１（表示部等）を有する。原価演算システム（装置）Ａは、さらに、入力装置（マウス、キーボード等）を含んでいても良い。
記憶装置１は、例えば、原価計算空間データを記憶する原価計算空間データ記憶部１−１と、減損関数データを記憶する減損関数データ記憶部１−２と、追加投入関数データを記憶する追加投入関数データ記憶部１−３と、加工作業投入量関数データを記憶する加工作業投入量関数データ記憶部１−４と、当期生産データを記憶する当期生産データ記憶部１−５と、当期実際原価データを記憶する当期実際原価データ記憶部１−６と、を有する。
演算装置１１は、後述するアロー経路上の物量を演算するアロー経路上の物量演算部（ベクトルを含む）１１−１と、解マッチング判定部１１−２と、加工作業換算量／材料投入換算量演算部１１−３と、アロー配分原価演算部１１−４とを有する。アロー配分原価演算部１１−４は、差異分析演算部１１−５を含む。
本発明の実施の形態による原価計算を実行するためには、材料・仕掛品の加工進捗状況を原価計算空間上で表現することが必要である。これを可視化した図の一例が図３に示すアロー図である。図３は、単一材料の場合のアロー図（ａｒｒｏｗ ｄｉａｇｒａｍ）の一例を示す図である。図３に示すように、アロー図は、時間軸ｔ（図３では横軸）と加工進捗度軸ｘ（図３では縦軸）から成る座標空間であり、例えば図３のような直交座標平面に画定した図であり、図３では、以下の要素を含む。尚、時間軸ｔと加工進捗度軸ｘとのぞれぞれは、縦軸、横軸のいずれか一方であれば良く、変数と軸とは入れ替えることができる。また、座標空間も、図３のような直交座標平面に限定されるものでもない。
１）インプットノード（Ｐ１〜Ｐ３）及びアウトプットノード（Ｐ１１からＰ１３）を示す点をノードと名付ける。
２）インプットノードからアウトプットノードに向かう経路を、アロー経路と名付ける（矢印ＡＲ１〜ＡＲ４で表示される）。
３）アロー経路上の物量について
ここで、Ｌはノードの物量、１はアロー経路において消費される物量である。
ｘ＝０が工程始点、ｘ＝１が工程終点、ｔ＝Ｔ０が当期期首、ｔ＝Ｔ１が当期期末である。
図３のアロー図を用いることにより、材料・仕掛品の加工進捗状況が視覚的に分かりやすくなる。つまり、ある時点で投入した材料が、どの程度の早さ（時間あたりの加工進捗度の進み具合）で加工が進み、また、その間の物量の変化はどうであったのか、が明確になる。
尚、本実施の形態によるアロー原価計算処理は、例えばコンピュータ処理により行われるため、アロー図の作成／表示は必須構成ではない。アロー図を作成／表示しなくとも、コンピュータ内部等で計算して計算結果のみを示すことは可能である。但し、ユーザーが計算内容を理解しようとした場合には、アロー図を作成／表示することが好ましい。
図３のアロー図に示すように、例えば、インプットノードを●印、アウトプットノードを■印などと表記を変えることで、視覚的に分かりやすくすることもできる。
また、例えば、ノードの大きさを物量の大きさに合わせて変えることもできる。このようにすることで、ノードの物量の大きさを視覚的に分かりやすくすることができる。同様に、例えば、アロー経路の矢印の太さを変えて、物量の大きさを視覚的に分かりやすくすることもできる。
製品製造原価の計算において、収集された生産データ・原価データから可能な限り、材料・仕掛品の物理的な加工作業の流れに対応した原価計算及び標準原価計算を実行する。特に、製品製造にかかった経過時間を分析対象に含めた原価計算及び標準原価計算を実行する。
図２Ａに示すように、本実施の形態による単一材料の場合の原価計算処理は、例えば、コンピュータの演算装置（ソフトウェア処理、ハードウェア処理を含む）により以下の手順で行われる。
ここで、以下のデータ１）から６）までは、例えば、図１に示すように、予めメモリ等の記憶装置１に格納されているものとする。或いは、ネットワーク経由で取得可能な状態であっても良い。
１）原価計算空間データ記憶部１−１に記憶されている、時間軸ｔと加工進捗度軸ｘから成る座標空間により画定される原価計算空間のＸ−Ｙ座標軸（時間軸、加工進捗度軸）の原価計算空間データ（解説欄第１章参照）と、
２）減損関数データ記憶部１−２に記憶されている、材料の減損条件である減損関数データ（解説欄第２章参照）と、
３）追加投入関数データ記憶部１−３に記憶されている、材料の追加投入条件である追加投入関数データ（解説欄第２章参照）と、
４）加工作業投入量関数データ記憶部１−４に記憶されている、加工作業の投入条件である加工作業投入量関数データ（解説欄第３章参照）と、
５）当期生産データ記憶部１−５に記憶されている、原価計算対象期間内の生産状況である当期生産データ（解説欄第１章参照）と、
６）当期実際原価データ記憶部１−６に記憶されている、与えられた原価計算対象期間内の原価発生状況である当期実際原価データ（解説欄第８章参照）
そして、これらのデータを適宜参照して図１に示す演算装置１１が、以下の処理を行う。
演算装置１１が、前記原価計算空間データ、前記当期生産データを読み出し、インプットノードとアウトプットノードとが表示されたアロー図（ここの作業は解説欄第１章・第２章）を作成するステップ（１）と、
アロー経路上の物量演算部１１−１が、入力されたマッチング（「先入先出法」などのマッチングルールも含む）とアロー経路（解説欄第２章参照）、及び、前記減損関数データ、前記追加投入関数データを読み出し、前記アロー経路上の物量（アロー経路上の物量の計算方法は解説欄第２章参照）を計算するステップ（２）と、
解マッチング判定部１１−２が、前記アロー経路上の物量を計算するステップ（２）において、解マッチング（解説欄第２章参照）であると判定すれば、
加工作業換算量／材料投入換算量演算部１１−３が、前記加工作業投入量関数データ、前記アロー経路上の物量データを読み出し、加工作業換算量（解説欄第３章参照、定義の一例は式（３．１））、材料投入換算量（解説欄第３章参照）を計算し（２−１）、
アロー配分原価演算部１１−４が、前記当期実際原価データ、前記加工作業換算量、前記材料投入換算量を読み出し、アローに原価を配分（解説欄第４章参照）して、出力部２１が、前記アローに配分された原価を出力するステップ（２−２）と
を有する。
より詳細には、図２Ａに示すように、
（Ｓ１）
原価計算空間の座標軸を演算装置１１に入力する。
（Ｓ２）
（「減損関数」、（「追加投入関数」）、「加工作業投入量関数」を演算装置１１に入力する。但し、「減損関数」や「追加投入関数」は、それぞれ減損や追加投入がある場合のみ演算装置１１に入力する。尚、減損関数と追加投入関数は、それが発生するときだけ入力する選択的な項目であるので、任意に設けられる処理である。
（Ｓ３）
一原価計算期間終了時に、「当期生産データ」、「当期実際原価データ」を演算装置１１に入力する。
（Ｓ４）
「当期生産データ」を読み出し、インプットノードとアウトプットノードが表示されたアロー図を作成する。必要に応じて表示等の出力を行う。アロー原価計算において、アロー図の作成は必須ではない。アロー図を表示しなくとも、コンピュータ内部で計算して計算結果のみを示すことは可能である。但し、ユーザーが計算内容を理解しようとした場合には、アロー図の表示が役に立つ。
（Ｓ５）
インプットノードとアウトプットノードの「マッチング」、「アロー経路」を演算装置に入力する。尚、マッチングとは、どのインプットノードとどのアウトプットノードが対応しているか（マッチング）を考える処理である。直接的にマッチングを指定することもあれば、マッチングルール（例えば、先入先出法、など）のみを指定することもある（これを総称して「マッチング」と呼ぶ）。
（Ｓ６）
（「減損関数」）、（「追加投入関数」）、「マッチング」、「アロー経路」を記憶装置１から読み出し、演算装置１１が、（「実際減損パラメタ値」）、（「実際追加投入パラメタ値」）、「アロー経路上の物量」を計算する。
但し、「実際減損パラメタ値」や「実際追加投入パラメタ値」は、それぞれ減損や追加投入がある場合のみ計算する。
演算装置１１による計算の結果、解マッチング判定部１１−２により解マッチングになれば次に進み、解マッチングでなければ、例えばエラーメッセージを出力し「マッチング」、「アロー経路」の再入力を促す。
（Ｓ７）
「加工作業投入量関数」、「アロー経路上の物量」を記憶装置１から読み出し、演算装置１１が、「加工作業換算量」、「材料投入換算量」を計算する。
（Ｓ８）
「当期実際原価データ」、「加工作業換算量」、「材料投入換算量」を記憶装置１から読み出し、アロー配分原価演算部１１−４が各アローに原価を配分した結果を出力部２１に、出力する。
以上の処理により、物理的な加工作業の流れに厳密に対応した原価計算と標準原価計算とを実行することができる。
その際、生産データや実際原価データが与えられた後で、それらのデータを使ってどうやって製品原価や期末仕掛品原価を求めればよいかを把握することができる。
尚、アロー図の作成は任意である（以下同様）。
次に、単一材料で標準原価計算を行う処理について説明する。
メモリ等の記憶装置１は、
７）標準パラメタ値である標準パラメタ値データ（解説欄第５章参照。実際パラメタ値と対になっており、具体的には標準減損パラメタ値や標準追加投入パラメタ値、標準アロー経路、などがある。）と、
８）標準資源消費量条件である標準資源消費量関数データ（ｑ（ｓ）のこと。解説欄第６章参照）と、
９）標準原価発生条件を記録しておく標準原価関数データ（ｐ（ｓ）のこと。解説欄第６章参照）と、
１０）差異分析の順番を記録しておく差異分析の順番データ（解説欄第６章参照。パラメタの並び順をユーザーが設定する。）と、
１１）原価計算対象期間内の実際資源消費量状況を記録する実際資源消費量データ（解説欄第６章参照）と、を記憶している。
図２Ｂは、単一材料で標準原価計算を行う処理例を示すフローチャート図であり、図２ＡのステップＳ８に続く処理を示す図である。
そして、図２Ａに示す処理に加えて、さらに、
前記標準パラメタ値データ、前記標準資源消費量関数データ、前記標準原価関数データ、前記差異分析の順番データ、前記実際資源消費量データを前記メモリから読み出し、差異分析（具体的な差異分析の例は、解説欄第８章参照）を実行するステップ（３−１）、
及び、
差異分析結果を出力するステップ（３−２）、
を有する。
たとえば、図２Ｂに示すように、以下の処理を行う。
（Ｓ９）
（「標準減損パラメタ値」）、（「標準追加投入パラメタ値」）、「標準アロー経路」、「標準資源消費量関数ｑ（ｓ）」、「標準原価関数ｐ（ｓ）」、「差異分析の順番」を演算装置１１に入力する。
（Ｓ１０）
「実際資源消費量」を演算装置１１に入力する。
（Ｓ１１）
（「標準減損パラメタ値」）、（「標準追加投入パラメタ値」）、「標準アロー経路」、「標準資源消費量関数ｑ（ｓ）」、「標準原価関数ｐ（ｓ）」、「差異分析の順番」、「実際資源消費量」を読み出し、演算装置１１が差異分析を計算し、結果を出力部２１に出力する。
以上に示したように、本実施の形態によれば、収集された生産データ・原価データから可能な限り、単一材料で、材料・仕掛品の物理的な加工作業の流れに対応した標準原価計算を実行することができる。
尚、第１の実施の形態においては、時間軸を考慮して説明を行った。ところで、本発明には、時間軸を考慮しない例が含まれるようにしても良い。各構成は、第１の実施の形態において説明した対応する構成と同様である。
例えば、時間軸を考慮しない場合の製品製造原価計算手法は、以下の構成を有する。
（基本構成例）
１． コンピュータに、製品製造原価計算を実行させるためのプログラムであって、
予めメモリに格納されている
１）加工進捗度軸から成る座標空間により画定される原価計算空間データと、
２）加工作業の投入条件である加工作業投入量関数データと、
３）原価計算対象期間内の生産状況である当期生産データと、
４）与えられた原価計算対象期間内の原価発生状況である当期実際原価データと、を参照し、
前記原価計算空間データ、前記当期生産データを読み出し、入力されたマッチングに基づいてインプットノードとアウトプットノードとを結ぶアロー、及び、前記アローの経路上の物量であるアロー経路上の物量を計算するステップと、
前記アロー経路上の物量を計算するステップにおいて、解マッチングとなれば、
前記加工作業投入量関数データ、前記アロー経路上の物量データを読み出し、加工作業換算量と材料投入換算量を計算し、
前記当期実際原価データ、前記加工作業換算量、前記材料投入換算量を読み出し、アローに原価を配分して、前記アローに配分された原価を出力するステップと、を
コンピュータに実行させるための製品製造原価計算プログラム。
（減損がある場合）
２． さらに、予めメモリに格納されている、
５）材料の減損条件である減損関数データを
参照し、
アロー経路上の物量を計算するステップは、さらに、前記減損関数データを読み出す上記１に記載の製品製造原価計算プログラム。
（追加投入がある場合）
３． さらに、予めメモリに格納されている、
６）材料の追加投入条件である追加投入関数データを参照し、
前記アロー経路上の物量を計算するステップは、さらに、前記追加投入関数データを読み出す
上記１に記載の製品製造原価計算プログラム。
（減損と追加投入がある場合）
４． さらに、予めメモリに格納されている、
５）材料の減損条件である減損関数データと、
６）材料の追加投入条件である追加投入関数データと、を参照し、
前記アロー経路上の物量を計算するステップは、さらに、前記減損関数データと前記追加投入関数データを読み出す
上記１に記載の製品製造原価計算プログラム。
（上記１にアロー図を加えたもの）
５． 前記アロー経路上の物量を計算するステップにおいて、
さらに、前記インプットノードと前記アウトプットノードとが表示されたアロー図を作成するステップを有し、
前記アロー図上に前記アロー、及び、前記アローの経路上の物量の計算結果を表示させるステップを有することを特徴とする上記１から４までのいずれか１項に記載の製品製造原価計算プログラム。
（第２の実施の形態）
次に、本発明の第２の実施の形態について、基本的な構成例を示す図面等を参照しながら詳細に説明する。
第１の実施の形態では、単一材料の場合の原価計算技術について説明したが、本実施の形態では、複数種類の材料を投入する場合の原価計算技術について説明する。以下の説明は、解説欄の第７章を参照することでより良く理解することができる。
単一材料の場合の各種パラメタには、減損パラメタ（θ）、追加投入パラメタ（φ：ファイ）、アロー経路（ｐａｔｈ）（アロー経路は時間軸を考慮する場合のみ必要になる）があったが、複数種類の材料を投入する場合は、その始点投入時の投入比率（ψ：プサイ）（ベクトル値）が追加される。
複数種類の材料を投入する場合、物量はベクトル値（第１材料の物量、第２材料の物量、…第Ｎ材料の物量）で表示される。単一材料の場合はスカラー値である。
図４は、複数種類の材料を投入する場合の演算処理の流れの一例を示すフローチャート図である。図２Ａ，図２Ｂと異なる処理（ステップＳ６ａ）のみについて説明する。
ステップＳ６ａにおいて、
（「減損関数」）、（「追加投入関数」）、「マッチング」、「アロー経路」をメモリから読み出し、「始点投入時の実際物量比率ベクトル」、（「実際減損パラメタ値」）、（「実際追加投入パラメタ値」）、「アロー経路上の物量」を計算する。但し、「実際減損パラメタ値」や「実際追加投入パラメタ値」は、それぞれ減損や追加投入がある場合のみ演算装置１１により計算する。
そして、計算の結果、解マッチングになれば次に進み、解マッチングでなければエラーメッセージを出力し「マッチング」、「アロー経路」の演算装置１１への再入力を促す。
次に、複数材料で標準原価計算を行う処理について、図５を参照しながら説明する。図２Ｂとの相違点は、ステップＳ９ａ，Ｓ１１ａであるため、Ｓ９ａからＳ１１ａまでについて説明する。
（Ｓ９ａ）
「始点投入時の標準物量比率ベクトル」、（「標準減損パラメタ値」）、（「標準追加投入パラメタ値」）、「標準アロー経路」、「標準資源消費量関数ｑ（ｓ）」、「標準原価関数ｐ（ｓ）」、「差異分析の順番」を演算装置１１に入力する。
（Ｓ１０）
「実際資源消費量」を演算装置１１に入力する。
（Ｓ１１ａ）
「始点投入時の標準物量比率ベクトル」、（「標準減損パラメタ値」）、（「標準追加投入パラメタ値」）、「標準アロー経路」、「標準資源消費量関数ｑ（ｓ）」、「標準原価関数ｐ（ｓ）」、「差異分析の順番」、「実際資源消費量」をメモリから読み出し、演算装置１１で差異分析を計算し、結果を出力部２１に出力する。
このように、本実施の形態においては、複数材料の場合の原価計算に対応することができる。
以上のように、製品製造原価の計算において、収集された生産データ・原価データから可能な限り、材料・仕掛品の物理的な流れに対応した原価計算及び標準原価計算を実行する。特に、製品製造にかかった時間を分析対象に含めた原価計算及び標準原価計算を実行することで、精度の良い原価計算を行うことができる。
以下は、本実施の形態による原価計算技術に関連するより詳細な解説を行った欄である。上記の実施の形態及び下記の特許請求の範囲は、以下の解説欄の説明を参照することで、本実施の形態による原価計算技術を、より良く理解することができる。
（解説欄）
上記の実施の形態の記載は、以下の解説欄（第０章から第９章まで）を参照することでより詳細に理解ができるように構成されている。
第０章：アロー原価計算の基本的方針
アロー原価計算は、可能な限り、物理的な加工作業の流れに厳密に対応した原価計算を実行する。おおまかな手順は以下の通りである。
１）例えば、横軸を経過時間ｔ、縦軸を加工進捗度ｘ（逆でも良い。）とする座標空間を定義する。これを「原価計算空間」と呼ぶ。この原価計算空間上で、今期の生産状況をノード（点）とアロー（矢印）で表現し、それに基づいて今期の原価を完成品や期末仕掛品に配分する。
２）原価計算空間上で、今期の生産データを表す点をプロットする。この点を「ノード」と呼ぶ。ノードには２種類あり、期首仕掛品と当期投入などを表すインプットノードと、当期完成と期末仕掛品などを表すアウトプットノードである。
３）どのインプットノードとどのアウトプットノードが対応しているか（マッチング）を考え、それを矢印で結びつける。この矢印を「アロー」と呼ぶ。また、アローが原価計算空間内をどのように進むかを示す「経路（ｐａｔｈ）」についても考える。
４）当期において発生したコストを、そのコスト発生メカニズムに注意しながら、ノードやアローに配分する。具体的には、工程始点で投入する材料のコストは当期投入ノードに、そして、工程途中で投入する材料や、加工作業のコストはアローに配分する。
５）インプットノードやアローが向かう先のアウトプットノードにコストを集計する。この集計額が、アウトプットノードのコストを表す。もし、当期完成ノードなら完成品原価となる。期末仕掛品ノードなら期末仕掛品原価として次期の期首仕掛品原価となる。
ここで解説する本発明の目標は、原価計算を、解析学の一応用分野として位置づけることである。これは、物理的な加工作業の流れに厳密に対応した原価計算方法を考えていくと、自然と、解析学として扱わざるをえなくなるからである。
第１章：原価計算空間、生産データ及びアロー図について
（生産データ例１）（今期は、６月１日〜６月３０日の１ヶ月間とする）
本発明においては、ｔ軸を省略して、ｘ軸のみのモデルにすることも可能だが、以下においては、ｔ軸を付けたモデルにより解説する。ｔ軸を無くすことで、容易にｘ軸のみのモデルに書き換えることができる。
図６のような図をアロー図と呼ぶことにする。また、表１は、生産データ例１であり、今期とは、６月１日〜６月３０日までの１ヶ月間とする。
まず、図６に示すように、横軸をｔ（経過時間）、縦軸をｘ（進捗度）とする直交座標系を例として考える。このうち、以下の式、
の範囲に囲まれた領域を、「今期の」原価計算空間と定義する。
ｔ０，ｔ１，ｔ２，…は原価計算期間の区切りを示す。工場の稼動開始期をｔ０≦ｔ≦ｔ１として、以後、ｔ１≦ｔ≦ｔ２， ｔ２≦ｔ≦ｔ３，と期間を更新していく。期間の区切りは、実務的には月単位が一般的であるが、期間の区切りは、任意の単位で良い。また、区切り幅が一定でなくても良い。実際上、月単位の区切りでは、月の日数が２８日〜３１日と一定でないため、実務上も区切り幅は一定にならない。
尚、添え字を簡単にするために、図６等のアロー図において、今期はｔ０≦ｔ≦ｔ１としている。この場合、前期はｔ−１≦ｔ≦ｔ０として表示する。また、以下の解説では、更に簡略化して、今期を０≦ｔ≦１として表示することもある。
ｘ軸は加工進捗度を示す。ｘ＝０が材料投入を、ｘ＝１が製品完成を示す。ｘ＜０の領域は定義しない。１＜ｘの領域は、製品の追加加工などを考える際に、必要となるかもしれないが、本解説では、定義しないものとする。
この原価計算空間上に、今期の生産データをノード（点）で表示する。ノードは２種類ある。
１）インプットノード：○●型のノードで表示する。期首仕掛分（ｔ＝ｔ０のライン上のノード）と当期投入分（ｘ＝０のライン上のノード）を示す。なお、始点投入分は◎で示すこともある。
２）アウトプットノード：■型のノードで表示する。当期完成分（ｘ＝１のライン上のノード）と期末仕掛分（ｔ＝ｔ１のライン上のノード）を示す。
他にも、外部から仕掛品を購入して、そのまま生産工程の途中に投入した場合のインプットノード（途中投入インプットノード）や、まだ加工途中だが外部に販売する場合のアウトプットノード（半製品アウトプットノード）もある。これらのノードはｘ＝０，ｘ＝１やｔ＝ｔ０，ｔ＝ｔ１のライン上に存在しない。
尚、ノードの点が、軸線上のどちらかに微妙にずれている場合、それを表現するために、ノードの塗りつぶし方を変えるようにしても良い。例えば、図６等に示す例では、第１アウトプットノードはｘ＝１のライン上を少しだけ越えていることを示す。この例では、製品完成時（ｘ＝１）に完成量の一定割合が減損で消えることを想定しているが、それだと第１アウトプットノードが減損前と減損後の、どちらの物量を示しているのかが判らなくなってしまうからである。この例では塗りつぶし方を変えることで、黒領域は減損後の物量であることを示している。
今期の生産データに基づいて、すべてのノードの物量Ｌを入力する。図６は、上記の表１の（生産データ例１）を入力したものである。
図６には、ノードの具体的な（ｔ，ｘ）座標を表示していないが、各ノードの座標は以下の通りである。
１）第１インプットノード （ｔ，ｘ）＝（０，２／３） 月初仕掛品１００ｋｇに対応
２）第２インプットノード （ｔ，ｘ）＝（０，０） 当月投入（６月１日投入分２００ｋｇ）に対応
３）第３インプットノード （ｔ，ｘ）＝（１／２，０） 当月投入（６月１６日投入分１００ｋｇ）に対応
４）第１アウトプットノード （ｔ，ｘ）＝（２／３，１） 完成品１６０ｋｇに対応
５）第２アウトプットノード （ｔ，ｘ）＝（１，４／５） 月末仕掛品１００ｋｇ（進捗度４／５）に対応
６）第３アウトプットノード （ｔ，ｘ）＝（１，１／３） 月末仕掛品１００ｋｇ（進捗度１／３）に対応
ただし、簡略化のため、ｔ軸は、０≦ｔ≦１を今期の範囲としている。また、月初仕掛品はｔ＝０、月末仕掛品はｔ＝１、当月投入はｘ＝０、当月完成品はｘ＝１を意味している。
表１の（生産データ例１）は、どのインプットノードとどのアウトプットノードがマッチングしているかという情報は含まれていないため、後述する解マッチングを求めるためには、別途、先入先出法などのマッチングルールを指定する必要がある。
ロット単位で加工進捗状況を把握している場合などは、以下のようになる。
表２は、生産データ２の例を示す表である。
ただし、第２ロットは、その後の加工進捗状況で２つに分離している。
表２の（生産データ例２）は、どのインプットノードとどのアウトプットノードがマッチングしているかという情報も含むため、マッチングルールを指定する必要はない。ただし、（生産データ例２）では、マッチングの情報はあるがアロー経路の情報は含まれていない。そのため、アロー経路については「直線」など、何らかの指定が必要である。
他にも、各ロットの進捗状況を、１日単位で把握しているような場合には、アロー経路の情報まで含んだ生産データになる。
表３は、生産データ３の例を示す表である。
ただし、この表３の（生産データ例３）は、第１ロット分しか表示していない。
（生産データ例３）では、アロー経路の情報も含んでいる。この場合は、アロー経路が実測されている。
物量の測定単位としては、「（完成品換算での）個数」と「ｋｇ（質量）」が主に使われる。他にも、「ｌ（リットル）（体積）」など、様々な単位が使われる。
単位によっては、異なる種類の材料間で保存則（１単位＋１単位＝２単位）が必ずしも成立しないことがある。保存則が成立しない単位の場合は、適宜調整が必要である。
例えば、「（完成品換算での）個数」単位は、保存則が成立しない典型的な単位である。例えば、自動車工場において、１台の車台に４個のタイヤを取り付けたところで、車が５台に増えるわけではなく、１台のままである。このように、「個数」単位では、始点投入材料をベースとして、材料追加投入や、複数種類の材料などを評価することになる。
「個数」単位では、非常に簡単な調整作業で済むが、単位の種類によっては複雑な調整が必要なこともある。
もし、「（完成品換算量での）個数」以外の単位で、かつ、材料が複数種類存在するような場合などでは、それぞれの種類の材料毎に物量を入力しなければならない。
この場合、物量Ｌはベクトルで表示される。この問題は第７章で解説する。本章では、さしあたり「ｋｇ」単位で測定し、材料は１種類のみとする。
物量Ｌは、ここでは、インプットノードにはアンダーバーを、アウトプットノードにはオーバーバーを付けることがある。また、インプットノード、アウトプットノードのそれぞれに番号を付ける。例えば、インプットノードは左下に番号（ｉ＝１，２，．．．，Ｉ）を、アウトプットノードは左上に番号（ｊ＝１，２，．．．，Ｊ）を付ける。
番号を付ける順番には、特に制限はないが、インプットノードであれば座標で、（ｔ０，１）→（ｔ０，０）→（ｔ１，０）の順、アウトプットノードであれば（ｔ０，１）→（ｔ１，１）→（ｔ１，０）の順で番号を付けるのが一般的である。もしくは、すべての期間で完全に１対１マッチングである場合は、投入時点で固定シリアル番号を付与し、あとはずっとそれを維持していく方法もある。
アロー図において、物量Ｌの大きさを簡単に示すために、●や■の大きさを変えることがある。
全てのノードには、座標も入力されていなければならないが、この例では省略してある。例えば、明らかに、第２インプットノードの座標は（ｔ０，０）である。座標は、必要に応じて明示する。
減損や材料追加投入が無ければ、インプットノードの物量Ｌの合計と、アウトプットノードの物量Ｌの合計は一致する。図６に示すアロー図では、完成時（ｘ＝１）に、完成量の一定割合が減損で消えると仮定しているため、インプットノードの物量Ｌの合計と、アウトプットノードの物量Ｌの合計は一致していない。尚、図６の例では、減損率はｘ＝１に到達した時点の物量の２割であることが容易に計算できる。詳しくは２章の解説を参照。
第２章：マッチング、アロー経路及びアロー経路上の物量について
図７は、図６に対応するアロー図（ａｒｒｏｗ ｄｉａｇｒａｍ）であり、図６に加えて、マッチング、アロー経路、経路上の物量を示している。
図６に示すアロー図に生産データ（インプットノード、アウトプットノードの座標と物量）を入力した後は、以下の３つを、通常は同時に決定する。
１）マッチング
２）アロー経路（ａｒｒｏｗ ｐａｔｈ）
３）アロー経路上の物量
以下において、１）から順番に説明する。
１）：マッチングについて
どのインプットノードとアウトプットノードが対応しているかを、マッチングさせる。また、このマッチングを矢印で示したものをアローと呼ぶ。マッチングは、実際のデータとの対応により、３つのｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌがある。
１−１）ｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌ １（実測されたマッチング）：マッチングが実測されている場合。
１−２）ｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌ ２（可能なマッチング）：マッチングを推定し、それが現実的に可能な場合。
１−３）ｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌ ３（不可能なマッチング）：マッチングを推定し、それが現実には不可能な場合。ｔやｘが逆方向に進んでいる場合がｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌ ３に該当する。例えば、上記の生産データだと、仮に１→３アローという経路を考えると、ｘ（進捗度）が逆方向なので、不可能なマッチングとなる。
ただし、例えば加工作業中にミスが発覚したので加工作業をやり直すケースなどの場合に、ｘが逆方向に進むケースはあり得る。もし、こういうマッチングが発生した場合には、そのマッチングが妥当かどうかを、個別に検討して判断すべきである。
一つのノードに対して複数のアローが存在する場合、どのアローにどれだけの物量が出て行く（入ってくる）かも求めておく必要がある。もちろん、以下の式が成立しなければならない。
この式（２．０ａ）と式（２．０ｂ）をマッチング条件と呼ぶことにする。つまり、マッチング条件とは、１）すべてのインプットノードにおいて式（２．０ａ）が成立し、かつ、２）すべてのアウトプットノードにおいて式（２．０ｂ）が成立していることである。
マッチング条件を満たす解を「解マッチング」と呼ぶことにする。アロー経路上の物量はアロー経路や、減損パラメタの影響を受けるので、解マッチングは、
の値だけでなく、アロー経路や減損パラメタ値などの情報も含む。
一般的に、あるひとつの生産データに対して、解マッチングは無数に存在する。無数に存在する解マッチングの中から一つを選ぶために、マッチングルールを定める必要がある。マッチングルールとは、例えば、「先入先出法」、「平均法」、「後入先出法」などである。具体的な手順は後述する。
なお生産データによっては、マッチングルールを定めた後でも、解マッチングが複数存在することがある。その場合は、ｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌなどを参考にして、現実的に妥当なものを選択する。
単一のインプットノードと単一のアウトプットノードのみが独立してマッチングしている時、これを１対１マッチングと呼ぶ。図７の例では３→３アローのみが該当する。
なお、それ以外のマッチングは、１対多、多対１、多対多マッチングなどと呼ぶ。
複数種類の材料を投入する場合、それぞれの材料種毎にマッチング条件（式（２．０ａ）と式（２．０ｂ））をチェックする。そして、すべての材料種でマッチング条件を満たす場合を、解マッチングとする。
２）：アロー経路について
それぞれのアローの経路を入力する。この経路は、それぞれの仕掛品の加工速度（スピード）を示す。もし、仕掛品が放置されていて全く加工作業が進んでいない場合（経過時間：長）には、経路は水平になり、極めて短期間に加工作業が進めば（経過時間：短）、経路は垂直に近くなる。解マッチングにおけるアロー経路は「今期の」原価計算空間の範囲外に出てはいけない。このアロー経路にも、以下の３つのｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌがある。
２−１）ｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌ １（実測された経路）：経路が実測されている。例えば、原価計算期間が１ヶ月間だとすると、１日単位で進捗状況を把握していなければならない。さらに言えば、１時間単位、究極的には１秒単位である。現実的には極めて難しい。さらに言えば、経路が実測されている以上、マッチングも実測されていることになる。
２−２）ｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌ ２（可能な経路）：経路を推定し、それが現実的に可能な場合である。アロー経路のどの区間でも、ｔやｘがマイナス方向に進むことが無い場合である。上記の例では、すべてのアローがｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌ ２になっている。
２−３）ｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌ ３（不可能な経路）：経路を推定し、それが現実には不可能な場合である。アロー経路の中に、ｔやｘがマイナス方向に進んでいる区間がある場合である。不可能なマッチングの場合、必ず不可能なアロー経路になってしまう。また可能なマッチングでも、不可能な経路になることがある。
ｔｘモデルでは、基本的に、このアロー経路に沿った線積分で種々の必要な計算を行っていく。このため、アロー経路をどうするのかは極めて重要である。最もシンプルな方法としては、直線とすることである。要するに、「そのアローでは、時間当たりの加工スピードが一定である」、と仮定していることになる。
尚、土日祝、夜間などのように、工場が操業していない操業停止期間のアロー経路をどうすべきか、という問題がある。原価計算空間では、横軸（ｔ軸）は時間であるため、工場の操業の有無とは無関係である。そのため、操業していない期間では、時間は進むが加工作業は進まないので、アロー経路は水平（ｔ軸と平行）に進むことになる。原価計算期間が１ヶ月などの場合、土日祝や夜間になるたびにアロー経路を水平にしていくと、多数の水平な区間を含むアロー経路（線積分路）が出現してしまう。多数の水平区間を含むアロー経路はアロー図に表示したときに、少し見辛いかもしれない。そのような場合は、横軸（ｔ軸）を、絶対的な時間、つまり時計・カレンダー通りの時間とするのではなく、相対的な時間、つまり工場が操業している時間としてしまう方法がある。
例えば、ある日の１９：００に操業を終えた次の瞬間に、翌日の９：００になって操業が始まるように横軸を設定したり、金曜日の次の日は月曜日になるように設定したりする方法である。このように、土日祝、夜間など、そもそも工場が操業していない期間は、存在していないものとして横軸（ｔ軸）を設定することで、アロー経路に多数の水平区間が含まれるという問題は解決できる。
ただし、この解決法は横軸（ｔ軸）の意味を変えてしまうので、特定の状況下（経過時間によって減損が発生する状況など）では、物量の変化を適切に記述できなくなる可能性が出るなどの問題を引き起こす可能性がある。
これ以外にも、もっと単純に、工場を２４時間３６５日操業しているものとみなして演算を行う解決法もある。
３）：アロー経路上の物量について
それぞれのアローにおいて、経路上の物量を求める。マッチングを決定した段階で、既にアローの両端点の物量は求めているが、そのアロー経路に沿った物量の変化を求めなければならない。
もちろん、経路上で物量が一切変化しない（減損も無ければ、材料追加投入も無い）場合は、計算は極めて簡単である。
上記例の場合、例えば１→１アローでは、（ｔ＊，ｘ＊）を、アロー経路上の点として、以下の式のようになる。
なお、アロー経路上以外の座標においては、物量は定義しない。
減損がある場合（材料追加投入はないと仮定する）の、アロー経路上の物量の計算においては、減損パラメタを求める必要がある。これは、上記例においては、ｘ＝１のラインで減損が起きることは判っているが、具体的に何割の仕掛品が減損で消えるかどうかは、工場の生産管理状況に依存するため、事前に減損パラメタの具体的な値が分かるわけではないからである。尚、上記例は非常に簡単なモデルなので、減損率が２割というのは直感的に求められるが、複雑な状況下では厳密に計算する必要がある。
アロー経路上の物量をきちんと計算で求めるには、以下の式のようにすると良い。ま
のと仮定する）。
ただし、
である。
線積分路はアロー経路であり、ｇ′は瞬間的な減損量を表す減損関数である。減損関
必要なければ省略することもある。ダッシュ“´”記号には、特に意味は無い。瞬間的な変化を示す場合に、“´”を付けているだけである。
また、θは減損パラメタである。減損パラメタは複数存在することもありうる。この場合、減損パラメタベクトルθとなるが、多くの場合でパラメタは一意に識別されていなければならない。
上記例では、減損関数は以下の式となる。
ただし、ｉはｔ方向への単位ベクトル、ｊはｘ方向への単位ベクトルであり、δ（χ）はディラックのデルタ関数である。
式（２．２）の減損パターンは、「ｘ＝１の減損ラインを通過した瞬間に、残存量の一定割合が減損する」パターンである。
減損量に関して、この例の他にも、「一定量が減損する」パターンや、「投入量の一定割合が減損する」パターンなどもある。また、減損のタイミングも、「時間が経過する（ｔが進む）につれて減損する」パターン、「加工作業が進む（ｘが進む）につれて減損する」パターンなどがある。以下にいくつかの例を示す。
（例１）時間が経過するにつれて残存量の一定割合（θ１）が減損し、かつ、加工進捗度がａを越えた瞬間に残存量の一定割合（θ２）が減損する
この時、式（２．１）を求めると次式となる。厳密には、この式はインプットノードを起点とする式（２．１）ではなく、始点投入ノードを起点とする式（５．１）であるが、説明を分かりやすくするため、ここに記載する。
しくは５章を参照すること）。
また、ｕ（ｘ−ａ）は階段関数であり、次式となる。
なお、式（２．２）において式（２．１）を計算すると次式となる。
ここで、図７より、減損率（＝１−残存率）は２割（０．２）であることが分かっているので、残存率＝０．８である。ここで、減損パラメタθを求めると、 残存率＝ｅ［−θ］ となることより、
とはなるものの、このような減損パラメタは非常に分かりづらい。
このような例では、減損率をΘとおいて、
を新しい減損パラメタΘとして再設定したほうが分かりやすい。或いは、残存率（ｅ［−θ］）を新しい減損パラメタとして再設定するほうが分かりやすい。
工進捗度がａを越えた瞬間に投入量の一定割合（θ２）が減損する
この時、式（２．１）を求めると次式となる。これも、厳密には式（５．１）である。
（例３）時間が経過するにつれて一定量（θ１）が減損し、かつ、加工進捗度がａを越えた瞬間に一定量（θ２）が減損する
この時、式（２．１）を求めると次式となる。これも、厳密には式（５．１）である。
（例４）減損は起きない
自明なことではあるが、この例についても説明する。この時、式（２．１）を求めると次式となる。これも、厳密には式（５．１）である。
もちろん、より複雑な減損関数を考慮することもできるが、その分だけ計算も困難になる。
なお、アロー経路上の物量にも、ｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌがある。
１）ｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌ １（実測された物量）：アロー経路上の物量が実測されている。減損が無いなど、極めて簡単な生産状況ならば実測も可能だが、実際には相当困難である。もちろん、物量が実測されるためには、少なくともマッチングについても実測されている必要がある。
２）ｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌ ２（可能な物量）：経路上の物量を推定し、それが現実的に可能な場合である。推定のためには、式（２．１）を利用する。経路上のどの区間でも、物量が負にならない場合に対応する。
３）ｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌ ３（不可能な物量）：経路上の物量を推定し、それが現実的に不可能な場合。経路上のどこかの区間において、物量が負になっている場合に対応する。
もし、「ｋｇ」単位で、かつ材料を追加投入しているのでれば、式（２．１）は次式に書き換える。
但し、ｈ′は瞬間的な材料追加投入量を表す材料追加投入関数である。ここでは、材料は１種類と仮定しているので、工程始点（ｘ＝０）時に投入した材料と同一の材料を追加投入することを意味する。パラメタφは、材料追加投入パラメタである。もちろん、θとφは一意に識別されていなければならない。
一般に、ｇ′とｈ′は互いに影響を与えているので、ｇ′の式中にｈ′が、そしてｈ′の式中にｇ′が含まれている。その場合は、事前にその方程式を解いておく必要がある。
マッチング、アロー経路、経路上の物量は、一般に、互いに影響を与えてしまうため、この３つはすべてを一括して決定しなければならない。しかし、減損関数が特定の条件を満たす時、どのような解マッチングに対しても、減損パラメタが常に同じ値に定まる。この場合、減損パラメタを、マッチングやアロー経路とは独立して求めることが可能となる。これを「減損パラメタθの解マッチングからの分離定理」、もしくは単に「θの分離定理」や「分離定理」と呼び、その条件を「分離条件」と呼ぶ。
分離条件を満たす場合、まずは、減損パラメタを求めてから、マッチングやアロー経路を考えれば良くなる。従って、このマッチング、アロー経路、アロー経路上の物量を決定するのが非常に楽になる。それに比べて、分離条件を満たさない時は、マッチングが変われば減損パラメタの値も変わってしまうため、この３つを決定するのが難しくなる。
分離条件を満たす減損関数の一例を示すと、次式となる。
但し、式（２．４）では減損パラメタθが２つあるが、これは一意に識別されていなければならない。
式（２．２）は、式（２．４）の形式になっているので、分離条件を満たしている。つまり、マッチングに関わらず、減損率は２割となる。更に言うと、式（２．４）はポテンシャルを持っているので、式（２．１）の線積分は、積分路（アロー経路）に関わらず定まる。
材料追加投入がある場合は、材料追加投入パラメタφに関しても分離定理と分離条件が存在する。減損パラメタの時と同様であるため、具体的な中身は省略する。
図８Ａから図１４までは、減損パラメタが変化する例を示す図である。
図８Ａは、マッチングで減損パラメタが変化する例（パターン１）（先入先出法）の例を示すアロー図である。図８Ｂは、マッチングで減損パラメタが変化する例（パターン２）を示すアロー図である。図９は、減損パラメタの識別可能性について（識別されない例１）を示すアロー図である。図１０は、減損パラメタの識別可能性について（識別されない例２）を示すアロー図である。図１１は、減損パラメタの識別可能性について（適切に識別される例）を示すアロー図である。図１２は、減損パラメタの識別可能性について（矛盾解が生じる例）示すアロー図である。図１３は、減損パラメタの識別可能性について（矛盾解の解決法１：グルーピング）示すアロー図である。図１４は、減損パラメタの識別可能性について（矛盾解の解決法２：マッチングを探す）示すアロー図である。
（マッチングで減損パラメタが変化する例について）
次に、上記例において、図８Ａ，図８Ｂに示すように、減損が、減損ラインを越えたら「一定量が減損するパターン」の場合、マッチングにより減損パラメタがどう変化するかについて説明する。
（減損パラメタの識別可能性についての例）
これも参考までに、減損パラメタが「図９，図１０：識別されない（一意に求まらない）」、「図１１：適切に識別される（一意に求まる）」、「図１２：矛盾解が生じる」：例について示す。
減損関数は次式とする。
つまり、加工進捗度が１／２を越えた瞬間に一定量（θ１）が減損し、かつ、加工進捗度が１を越えた瞬間にも一定量（θ２）が減損する。また、時間経過では減損しない。
（途中投入インプットノード、半製品アウトプットノードについて）
ｔ軸は、０≦ｔ≦１を今期の範囲とした時、期首仕掛品インプットノードはｔ＝０、期末仕掛品アウトプットノードはｔ＝１、当期投入インプットノードはｘ＝０、当期完成品アウトプットノードはｘ＝１のライン上にノードが存在している。基本はこの４種類であるが、これ以外の場所にノードが存在する場合もある。
例えば、ｔ＝１／２のタイミングで、進捗度ｘ＝０．２の仕掛品を外部から購入し、工程の２０％点にそのまま投入して、残りの加工作業を行った場合、そのような途中投入インプットノードの座標は（ｔ，ｘ）＝（１／２，０．２）となる。
同様に、加工作業の途中であっても外部に販売できる場合（これを「半製品」と言う）もある。例えば、ｔ＝１／３のタイミングで、進捗度ｘ＝０．８の仕掛品をそのまま外部に販売した場合、そのような半製品アウトプットノードの座標は（ｔ，ｘ）＝（１／３，０．８）となる。
このようなノードがある場合、マッチングが難しくなってしまうので、できればこういうノードはマッチングを実測しておくことが望ましい。
（マッチングルールについて）
この章の最後に、マッチングルールについて説明する。まず始めに、もしも実測されたマッチングがあるなら、当然、その通りにマッチングさせるべきである。実測されたマッチングを行った後で、２個以上のインプットノード、及び、２個以上のアウトプットノードが残っている場合は、事前に定めたマッチングルールに基づいて、マッチングを行っていく。
会計学上の代表的なマッチングルールとしては、「先入先出法」、「平均法」、「後入先出法」がある。もちろん、これ以外のマッチングルールも、そのルールを厳密に定義できるならば、許容される。
数値例として、再び、図６の例を用い、減損は「完成時に、完成量の一定割合が減損する」ものと仮定する。これは減損関数が分離条件を満たしているので、減損率は（マッチングやアロー経路に関わらず）完成量の２割である。減損率２割という情報を使って、マッチングルールの具体的な説明を行う。
なお、インプットノード、アウトプットノードの番号は、図６のように振られているものとする。
１）先入先出法
この方法は、ベルトコンベア式生産のように、先に投入した材料から順に加工作業を行う、と考える方法である。インプットノードもアウトプットノードも、（図６の順に番号が振られているとして）小さい番号から順にマッチングを決めていく。
図７のアロー図が、先入先出法による解マッチングを示しているので、参照する。
（作業手順）
１−１）１→１アローにできるだけ多くの物量を流す（物量で、１００→８０）。
すると、第１インプットノードから１００流した時点で第１インプットノードが空になる（この時点で、第１アウトプットノードには１００×０．８＝８０が流入する）。第１インプットノードからはこれ以上流せないので、次の、第２インプットノードに切り替える。
１−２）２→１アローにできるだけ多くの物量を流す（物量で、１００→８０）。
すると、第１アウトプットノードに８０流した時点で、第１アウトプットノードの物量が８０＋８０＝１６０となり、第１アウトプットノードが満杯になり、これ以上流せなくなる（この時点で、第２インプットノードからは１００流している）。第１アウトプットノードへはこれ以上流せないので、次の、第２アウトプットノードに切り替える。
１−３）２→２アローにできるだけ多くの物量を流す（物量で、１００→１００）。
すると、物量で、１００→１００流した時点で、第２インプットノードは空に、第２アウトプットノードは満杯になる。よって、インプットノードもアウトプットノードも、次のノードに切り替える。
１−４）３→３アローにできるだけ多くの物量を流す（物量で、１００→１００）。
すると、物量で、１００→１００流した時点で、第３インプットノードは空に、第３アウトプットノードは満杯になる。インプットノードも、アウトプットノードも、次のノードはないので、これでマッチングは終了である。
１−５）マッチング条件を満たしているかチェックする。
先入先出法の場合は、最大番号同士のアロー（Ｉ→Ｊアロー。この例では３→３アロー）において、インプットノードが空になり、アウトプットノードが満杯になることが同時に起きると、マッチング条件を満たしている。
まとめると、以下のようになる。
（先入先出法による解マッチング）
１−ａ）マッチングルール：先入先出法
１−ｂ）アロー経路：任意（ただし、この場合でも、第３章以降の計算において経路を特定しないといけなくなる可能性がある。その場合は、何らかの特定化が必要である。例えば、「直線」など。もちろん、図７の３→３アローのように曲がっていても構わないし、１本１本適当に決めても（少なくとも数理計算上は）構わない。
１−ｃ）減損パラメタ：完成量の２割が減損
表４は、この場合の値を示す表である。
２）後入先出法
この方法は、後に投入した材料から順に加工作業を行う、と考える方法である。ほとんどすべてのケースにおいて、現実の生産方法とは異なるマッチングが行われる。図６の順に番号が振られているとして、インプットノードは小さい番号から順に、それに対してアウトプットノードは、大きい番号から順にマッチングを決めていく。具体的な作業手順は、先入先出法に準ずるので、省略する。
（後入先出法による解マッチング）
２−１）マッチングルール：後入先出法
２−２）アロー経路：任意
２−３）減損パラメタ：完成量の２割が減損
表５はこの場合の例を示す表である。
３）平均法
この方法は、すべてのインプットノードから、同じ比率で各アウトプットノードに物量を流す方法である。今回の例では、第１アウトプットノード：第２アウトプットノード：第３アウトプットノードに対して、２：１：１の比率で物量を流す。
（平均法による解マッチング）
１）マッチングルール：平均法
２）アロー経路：任意
３）減損パラメタ：完成量の２割が減損
表６はこの場合の例を示す表である。
このように、減損関数が分離条件を満たす場合は、減損パラメタがマッチングとは無関係に一意に定まるので、それぞれのマッチングルールによる解マッチングを容易に求めることができる。
しかし、もし、減損関数が分離条件を満たしていない場合は、減損パラメタがマッチングによって変化してしまうため、解マッチングを求めることは困難になる。例えば、上記の先入先出法の例において、１→１アローに１００→８０を流した時点で第１インプットノードが空になると計算できたのは、減損パラメタが２割と分かっていたからであって、減損パラメタの値が分かっていなければ、１００→？と、第１アウトプットノードにいくら流入するのかが分からなくなってしまう。このような場合には、どのタイミングでインプットノードが空になるか、そしてどのタイミングでアウトプットノードが満杯になるかが分からなくなってしまい、ノードを切り替えるタイミングが分からなくなってしまう。
これでは、先入先出法による作業手順が、ほぼ実行不可能となってしまう。後入先出法も、同じ問題に直面する。
分離条件を満たしていない状況下で、先入先出法や後入先出法を実行する場合は、以下のような作業手順になる。
１）減損パラメタが理論上とり得る定義域の範囲内で、一番小さい値を代入する。
図６の例では、減損パラメタは完成量の一定割合（Θ）としているので、定義域は０≦Θ≦１となる。よって、Θ＝０（減損率０割。つまり、全く減損しない）とする。
２）指定したマッチングルール（例えば先入先出法）に従って、マッチングを行う。
３）出来上がったマッチングがマッチング条件を満たすかどうか判定する。マッチング条件を満たしていれば解マッチングであり、マッチング条件を満たさなければ解マッチングでない。
４）減損パラメタΘの値を少しだけ大きくして（例えばΘ＝０．１。減損率１割。）、再度マッチングを行い、マッチング条件を満たすかどうか判定する。以後、この処理を繰り返す。
この作業手順は、要は、すべての可能な減損パラメタΘの値について、マッチング条件を満たしているかどうかを一つずつ判定していくことになる。
もし、複数の解マッチングが存在する場合は、ｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌや減損パラメタの値などの情報を参考にして、最も現実の生産状況に適合的と思われる解マッチングを選択する。
第３章：アロー毎の加工作業換算量ηと、材料投入換算量ζの計算
図１５は、アロー毎の加工作業換算量ηと、材料投入換算量ζの計算を行う際のアロー図である。
解マッチングを求めたら、次は、その解マッチングに従って、アロー毎の加工作業換算量ηと、材料投入換算量ζの計算を行っていく。
図１５に示すアロー図において、始点投入を表すインプットノード（ｘ＝０のライン上のインプットノード）は、◎で表記することがあるが、更に、文字の下に“ｉｎ”と表記することがある。
始点投入ノードと、当期投入ノードは異なる概念である。始点投入ノードとは、ｘ＝０のライン上のノードを指すが、当期投入ノードは、当期において始点投入したノード、つまりｘ＝０かつｔ０≦ｔ≦ｔ１のノードのみを指す。つまり、前期において始点投入されたノードは、始点投入ノードであっても当期投入ノードではない。
今期に発生したコストの配分基準となる、加工作業換算量ηと材料投入換算量ζの計算を行う。これは、アロー毎の計算や、インプットノード（当期投入ノード）毎の計算となるため、図１５では図を見やすくするために、ｉ→ｊアローのみを表示している。
加工作業には機械作業、手作業など様々な種類があり、それによって発生するコストのパターンも様々である。ここで、ｉ→ｊアローに投入された第ｋ加工作業換算量を次式で定義する。
ただしｆ′κは第ｋ作業の瞬間的な加工作業投入量を表す加工作業投入量関数である。ｆ′κには未知パラメタは一切含まれていない。
ｆ′κの簡単な例を示す。
式（３．２）は、進捗度ｘが進むにつれて投入される作業であり、一般的な加工作業は大抵このパターンである。式（３．３）は特定の進捗度でのみ投入される作業であり、例えば特定の進捗度で実施される検査などが該当する。
時間ｔの経過と共に作業が投入されるパターンが式（３．４）であり、例えば減価償却費などの固定費などが該当する。ただし、原価管理上の目的から、固定費であっても式（３．４）ではなく式（３．２）の形式で計算したほうが良い可能性もあるので、最終的にどうするかは企業の経営判断である。
数理計算上は、ｔとｘがより複雑に絡んだｆ′κあっても計算することは可能だが、そのｆ′κの意味を解釈することは難しいと思われる。
大きさと関わりが無いようなケースでは、
とした方が良い場合もあり得る。
例えば、レストランで、料理に使うフライパンを洗う作業を考える。このフライパンは大きくて、何人前の注文であっても、同一サイズのフライパンを使うものとする。また、料理を終えるたびに、毎回必ず洗うものとする。この時、フライパンを洗うという作業の手間は、何人前の料理を作ろうが、変わらない（１人前の調理後に洗う手間と、３人前の調理後に洗う手間は変わらない）。こういう場合、投入する食材の量に関係ない式（３．５）の方が適切である。
フライパン洗いに関してさらに言及すると、この手間にダイレクトに影響があるのは、投入した食材が何かである。脂の多い食材であれば、洗う手間は増大するが、脂のほとんど無い食材であれば、洗う手間はかなり軽減される。こういう場合は、投入する食材
材料モデルしか考えてないので、この議論は省略する。この論点に関して、詳しくは第７章で議論する。
材料投入換算量ζの計算は以下のようにする。材料投入のパターンには２つあり、１）工程始点で投入するか、２）工程途中で追加投入するか、である。
１）工程始点で投入する材料の場合、当該原価計算期間中の投入換算量は当期投入インプットノードの物量そのものである。つまり、この当期投入インプットノードに関するζは生産データより実測されている。
なお、期首仕掛品ノードの場合は、当期より昔の期間において始点投入されているのであるから、当期においては材料を始点投入していない。よって、期首仕掛品インプッ
材料を追加投入している場合は、更に、この追加投入分の投入換算量を求める必要がある。これは次式で計算する。
ａｒｒｏｗの文字は、これがアローに対して跡付けることを明確に示すために付けている。
ζに付いているアンダーバーやｉｎ、ａｒｒｏｗ、ｔｏｔａｌなどの添え字は、それが自明の場合には省略されることもある。
詳細に説明すると、ηやζにもｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌを考えることができる。式（３．１）や式（３．６）などの計算を行って求めたηやζをｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌ ２とする。もし、ηやζを実測している場合はｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌ １である。もちろん、ζに関しては、少なくとも当期投入分のζは実測している訳であるから、材料追加投入がなければ、ζはほぼ実測されていると言って良い。
ηも、例えば、ロットから一部を抜き出して製品検査を行うような場合を考える。この時、検査数量をηとすると、これはアロー単位で実測することも可能で、その場合はｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌ １となる。この場合は、アロー毎の検査数量のブレも認識できる。
これに対して、例えば式（３．１）により計算してηを求めると、ｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌ ２となる。
自動車工場など一般的な組立工場では、ベースとなる始点投入材料に、各種の部品を取り付けて製品を完成させる。この場合、ベースとなる始点投入材料の物量を「個数」単位で測定しているならば、ηとζは以下のようになる。
製造中に取り付ける部品：部品を取り付けたところで、完成品の個数が増えるわけではない（１台の車台に４個のタイヤを取り付けても車が５台に増えることはなく、１台のままである）。そのため、このような追加投入部品は、物量（台数）の変化をもたらさないので、ζではなくηとして計算、つまり、部品を取り付けるタイミングの加工進捗度で投入される加工作業とみなして計算する。
ただし、製造工程において、「製造中に取り付けた部品Ａ」に対して何らかの加工作業Ｂが行われるとする。そして、Ｂ作業で発生するコストは、すべての車台で同じではなく、部品Ａの質量（ｋｇ）に比例しているとする。このような場合、加工作業Ｂの投入量ηＢの計算には部品Ａの物量（ｋｇ）情報が必要となるので、第７章で解説するように、材料の物量を、車台（個数）と部品Ａ（ｋｇ）とで別々に把握しないといけない。すると、部品Ａの投入は、部品Ａの物量（ｋｇ）の変化をもたらすので、ηとしては計算できず、ζＡとして計算される。
ベースとなる始点投入材料：これはζとして計算する。もっとも、組立工場において、ベースとなる始点投入材料が工程途中で追加投入される事態は想定できない。つまり、式（３．６）は、以下のようになる。
チングを求めた時点で既に計算されてしまっているから、改めて何か計算しないといけない訳ではない。
●加工作業：これはもちろん、ηとして計算する。
このように、材料であればなんでも、ζの計算が必要になるわけではない。式（３．６）を使ってζを計算する必要があるのは、１）物量を「個数」以外の単位、例えば「ｋｇ」単位などで測定しており、かつ、２）材料を追加投入しているケースのみである。
仮に、物量を「ｋｇ」単位で評価していても、始点投入のみで追加投入のない材料であ
特定の条件下では、任意の解マッチングに対して、ηやζが一意に定まる。つまり、ηやζも分離定理と分離条件が存在する。
ηでは、式（３．１）の形状が関係するので、例え減損パラメタで分離定理が成立していても、そのままηの分離定理も成立するわけではない。ηの分離条件の詳細は省略する。
θや追加投入パラメタφしか関わっていない。θやφの分離条件と、ζの分離条件についても詳細は省略する。
第４章：ηとζに基づくコストの配分
当期において発生したコストを、各アローに配分する（当期投入材料の場合は当期投入ノードにも配分する）。配分の際、通常はηやζを利用する。またこれに関連して、効率性についても考える。
「η（ζ）→コスト」のモデルでの材料投入・加工作業の効率性は以下の式で定義できる。なお、「η（ζ）」は、「η及びζ」の意味である。
している。
式（４．１）と式（４．２）はアローの効率性を示したものだが、アロー単位で効率性を評価する必要が無ければ、当期のアロー全体の評価でとどめることもある。その場合は、以下の式となる。
表記法について説明すると、式（４．３）と式（４．４）の分母の二重シグマは、「すべてのアロー」という意味である。「ΣｉΣｊ」という書き方ではあるが、必ずしもＩ×Ｊ本のアローが存在している訳ではない。場合によっては、「ΣΣすべてのアロー」と記述することもある。
（期首仕掛品ノードコストの配分方法）
なお、期首仕掛品ノードのコストはすべて、今期より前の期間において発生したコストである。
（今期に投入した材料費や加工費の配分方法）
今期に発生したコストを当期投入ノードやアローに跡付けていくが、それにもｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌがある。
１）ｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌ １（実測されたコスト）：当期投入ノード、もしくはアロー単位で発生したコストが実測されている。この場合、コストが直接的に実測されてしまっているため、改めて原価を計算する必然性はない。
そのため、アロー図や原価計算空間、ηやζなどの概念も一切不要ではあるが、この場合でも、ηやζを求めることで、当期投入ノード単位やアロー単位で効率性を評価することが可能となる。
注文住宅など、の１件当たりの金額が大きく、また個別受注生産するような場合でもない限り、このケースはなかなかないと思われる。更に言えば、この場合でも、一般管理費などのコストはアロー単位では発生しないため、一部のコストでは、配分の問題が残る。
２）ｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌ ２（平均配分されたコスト）：当期発生した加工作業コストはηで、当期投入した材料はζの比率で各当期投入ノードやアローに配分する。
この場合、すべての当期投入ノード、すべてのアローで同じ効率性が仮定される。つまり、効率性は当期投入ノード単位やアロー単位ではなく、あくまでも今期の工場全体での効率性しか分からなくなる。
コストを各アロー（インプットノードのコストは適宜、各アローへ配分されている）へ配分した後は、そのアローが向かうアウトプットノードに集計する。このアウトプットノードに集計されたコストが、当該アウトプットノードのコストとなる。
アウトプットノードが完成品ノードであれば、それが完成品原価となる。期末仕掛品ノードの場合は、その集計額がそのまま来期の期首仕掛品ノードのコストとなる。
（η（ζ）→資源消費量（ｑ）→コスト（ｐ）のモデル）
作業効率をより厳密に評価しようとする場合は、「η（ζ）→資源消費量→コスト」のモデルを考える必要がある。資源消費量の例としては、ηｋが加工作業換算量であれば加工作業時間、ζであれば材料消費量、などである。ηｋやζに対応する資源の消費量を実測しておくことで、より適切な効率性評価ができる。
具体的には、仮に効率性が悪かった場合に、その原因が資源価格の高騰なのか、資源消費量の増大なのかを識別することが可能となる。「η（ζ）→コスト」モデルでは、この識別ができない。
具体的な計算方法は、資源消費量（ｑ）が１）アロー単位で測定されているか、２）アロー全体でしか測定されていないかで少し変わる。
１）の場合は、アロー単位η（ζ）、アロー単位ｑが求まっている。コスト（ｐ）はアロー単位ｑの比率に基づいて各アローに配分する。この場合、アロー単位η（ζ）の情報は、コスト配分のためには必要ない。ただし、効率性の評価の際にはη（ζ）の情報を使うので、η（ζ）を計算することは無意味にはならない。
２）の場合、アロー単位ｑを推定する必要がある。これは、単純に、当期全体のｑを、アロー単位η（ζ）の比率に基づいて各アローに配分する。後は、アロー単位ｑの比率に基づいてコストｐを配分する。
第５章：効率性の評価（標準原価計算）その１（ηとζ）
生産の効率性を評価するためには、製品の生産コストにおいて目標コスト（これを標準原価と言う）を定め、目標コストと実際コストを比較・分析することが有効である。この、コストを比較・分析する方法について考える。
目標コストと実際コストの比較はアロー単位で行うこともできるが、必要なければアロー全体で行うことになる。今回は、基本となるアロー単位の分析を行う。
図１６は、標準原価計算のための最も基本的なアロー図である。期首仕掛品インプットノードと、当期完成品ノードが対応している。
太実線で示してあるのが、分析対象のｉ→ｊアローである。これを、「実際ｉ→ｊアロー」と呼ぶことにする。実際アローなので、経路ｐａｔｈに（ａ：ａｃｔｕａｌ）を付けている。
太破線で示しているアローは、期首仕掛品ノードが作られるまでの（推定）実際アローを表す。これを、「（推定）実際ｏ→ｉアロー」、「インプットノードへの（推定）実際アロー」などと呼ぶことにする。破線なのは、これは推定されたアローだからである。
示している。
なぜこのアローを推定しているかといえば、基本的に原価計算は、「今期に入手可能なデータ」のみから原価計算を行うことを想定している。ところが、「（推定）実際ｏ→ｉアロー」は昔の期間に関するアローなので、今期のデータではない。そのため、「（推定）実際ｏ→ｉアロー」は、あくまでも今期のデータから推定したアローとして認識される。
もちろん、毎期きちんとデータを整備していれば、昔の期間のデータも入手可能であるため、その場合は、「実際ｏ→ｉアロー」を推定でなく、実測することも可能である。この場合は、推定アローではなく、実際アローとして「ｏ→ｉアロー」を認識することもできると思われるが、恐らく、その場合は減損パラメタなど他の要素もすべて、過去の実際のデータに置き換える必要があるものと思われる。
なお、期首仕掛品ノードが、昔の期において複数のアローが合流してできたノードである場合には、そもそも「実際ｏ→ｉアロー」というもの自体が存在しなくなってしまう（アローを遡ると、二つ以上の始点投入ノードにたどり着いてしまう）。こういう場合でも、「（推定）実際ｏ→ｉアロー」なら求めることが可能である。
細点線で示しているアローは、そのノード（第ｉインプットノードや第ｊアウトプットノード）を標準的な作業効率で製造した場合にできる標準アローを表す。
これらを、「ｉ→ｊアローの標準ｏ→インプットｉアロー」や「ｉ→ｊアローの標準ｏ→アウトプットｊアロー」と呼ぶことにする。ただし、正確に識別できるように名づけようとするとかえって分かりづらくなるので、その都度、適当に名前を付けた方が良い場合もある。例えば、「インプットノードへの標準アロー」や「アウトプットノードへの標準アロー」などである。
標準アローなので、経路ｐａｔｈに（ｓ：ｓｔａｎｄａｒｄ）を付けている。標準的な作業効率の水準は、企業の方で目標値として設定するものなので、事前に定められたものである。
られたノードである。よって、ハットは付けていない。
（η（ａ）、ζ（ａ）の定義の変更）
昔の期の始点投入ノードを導入すると、ｉ→ｊアロー上の物量を表す式（２．３）は、次のようにも書き換えることができる。なお、これからの議論では、対象が実際なのか標準なのかを明確にしなければならないため、（ａ）と（ｓ）を付けて区別していく。
ただし、座標（ｔ＊，ｘ＊）はｏ（ａ）→ｉ→ｊアロー上の点である。式（２．３）は第ｉインプットノードを起点とした式であり、式（５．１）は第ｉインプットノードの始点投入ノードを起点とした式である。もちろん、ｏ（ａ）→ｉアロー上の物量は、あくまでも仮想的なものにとどまる。
また、ηの計算式（３．１）も、以下のように書き換える。
ただし、
であり、その具体的な数式は次のとおりである。
同様にしてζの計算式も書き換えるのだが、ζは当期投入ノード分とアローへの追加投入分とに区別される。式（５．２）のように書き換える対象は、アローへの追加投入分だけである。つまり、アローへの追加投入分を表す式（３．６）を、次のように書き換える。
ただし、
であり、これらはそれぞれ、始点投入材料も含んでいる。また、具体的な数式は次のとおりである。
ンプットノードの場合）。
まず、ｉ→ｊアローの第ｉインプットノードが期首仕掛品ノードだった場合は、
となる。
次に、ｉ→ｊアローの第ｉインプットノードが当期投入ノードだった場合は、
となる。以上をまとめると、次式となる。
（η（ｓ）、ζ（ｓ）の定義）
次に、式（５．１）〜式（５．８）を参考にして、標準（ｓ）の定義を考えていく。対象と
次のように定義する。
ただし、
ければならない総加工作業換算量
なければならない総加工作業換算量
ただし、ここで言う標準的な効率とは、減損パラメタ（θ）、材料追加投入パラメタ（φ：ファイ）、アロー経路（ｐａｔｈ）が標準、という意味である（他にも、資源価格（ｐ）、資源消費量（ｑ）や、複数種類の材料を投入している場合は、その始点投入時の物量比率（ψ：プサイ）などが標準効率の対象となるが、ここでは省略する）。
標準アロー経路は、ｉ→ｊアローのインプットノード、アウトプットノードのそれ
算される。
式（５．１２）より求めることができる。
ただし、
ければならない総材料投入換算量
なければならない総材料投入換算量
り計算されている。
り計算されている。
もある。
このような、（ａ）と（ｓ）が混在したηは、差異分析を行う時に使用する。
具体的な計算は、式（５．１０）〜式（５．１５）を参考にして、パラメタを適宜（ｓ）から（ａ）に置き換えればよい。なお、ｐａｔｈを置き換えるとは、積分路を変えることを意味する。ｐａｔｈ（ａ）の下では、基本的に、昔の期のアローｏ（ａ）→ｉアローが積分路とし
具体的な計算方法は次の通り。まず、各種パラメタの（ａ）と（ｓ）の組み合わせをすべての記号の右上に書き続けるのは大変なので、何らかの記号で代用する。例えば、
ι（＃）（ｔ＊，χ＊）を求める。ｐａｔｈ（ｓ）の場合、アローは２本だが、ｐａｔｈ（ａ）の場合、アローは
第６章：効率性の評価（標準原価計算）その２（資源ｑ、コストｐ、差異分析）
（η（ζ）→資源（ｑ）の（ａ）と（ｓ））
効率性をきちんと評価するなら、加工作業ｋに対応する資源消費量ｑｋについても測定する必要がある。材料投入のζに関しては、ζが既に資源消費量ｑを表していることもあり、その場合は、ζ＝ｑとなり、ｑは省略される。
この時、効率性の評価は、式（４．１）と式（４．２）を参考にして、次式で定義する。
ただし、
である。
式（６．１）と式（６．２）では、アローの効率性を示したものだが、アロー単位で効率性を評価する必要が無ければ、当期のアロー全体の評価でとどめることもある。その場合は、式（４．３）と式（４．４）と同様にする。
ローに配分する必要がある場合は、次のようにする。これにもｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌがある。
１）ｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌ １（実測された資源消費量）：
この場合、実は原価を計算するためだけなら、ηやζを計算する必要はない。ただし、加工作業の効率性を評価するためにはηやζが必要である。
２）ｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌ ２（平均配分された資源消費量）：
つまり、次式となる。
式（６．１）〜式（６．４）より、明らかに、ｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌ ２の配分では、すべてのアローで同じ効率性となっている。
なお、この時のηとζは、（ａ）、（ｓ）のどちらも入りうるので、式（６．３）と式（６．４）のηとζの右上には（ａ）や（ｓ）などを付けていない。どちらを使うかは、分析の内容による。
次に、ｑ（ｓ）の定義を考える。これは、次式のとおりである。
式（６．５）と式（６．６）では、各アロー単位でｑ（ｓ）を求めているが、アロー単位で計算する必要が無ければ、アロー全体のｑ（ｓ）を求めれば済む。その場合は、
とすれば良い。
このように、ｑ（ｓ）とは、ｑ＝ｑ（η）やｑ＝ｑ（ζ）といった関数を事前に決めておき、その関数に従ってｑを計算したものである。式（６．５）や式（６．６）の具体的な形は、非常に簡単なケースでは次の通りである。
ここで更に、固定消費量ｂやβがゼロの場合、ｑは、ηやζに完全に比例することになり、この場合、式（６．１）と式（６．２）より、すべてのアローの効率性が一定（ａやα）となる。
となる。
（資源（ｑ）→コスト（ｐ）の（ａ）と（ｓ））
η（ζ）→資源（ｑ）の時と全く同様にして、次は資源（ｑ）→コスト（ｐ）の効率性を評価する。具体的な数式は式（６．１）〜式（６．１０）において、ｑをｐに、そしてηやζを対応するｑに置き換えるだけである。数式だけ並べておく。
を計算する。
（差異分析の一例）
（ｓ）と（ａ）の差異が、つまりは今期の、標準と実際の差異を表す。ただし、この差異の原因には色々な要素がある。具体的には資源価格（ｐ）、資源消費量（ｑ）、減損量（θ）、材料追加投入量（φ）、アロー経路（ｐａｔｈ）などがあり、どの要素がどれだけ効いているかを定量的に評価できなければ、どこが非効率だったのかが分かりにくい。
もちろん、各パラメタの（ｓ）と（ａ）が分かれば、そのパラメタの（ｓ）と（ａ）を直接比較して、大きく違っているパラメタが、効率が悪い（もしくは、効率が良い）、と判断することもあり得る。ただし、金額ベースで評価するほうが直感的に分かりやすいので、その方法の一例を示す。
（ｓ）と（ａ）の差異分析は、必要なデータさえ入手できるなら、アロー単位で行うこともできるし、アロー全体で行うこともできる。この例ではアロー全体を想定しているが、アロー単位の場合は、すべての要素にｉ→ｊアローを付けていく。
図１７に示すように、差異分析では、基本的に、パラメタを一つずつ、（ｓ）から（ａ）に変えていくことで行う。
ｐａｔｈは、積分路自体が変更される。特に、η（ζ）の他のパラメタが（ｓ）の時に、ｐａｔｈだけ先に（ａ）に変更してしまうと、昔の期のｐａｔｈがきちんと推定されていない限り、奇妙な結果になりかねないので注意する。
η（ζ）差異は、ｐａｔｈ差異とθ差異に分けることができるが、順番により２パターン（材料追加投入パラメタφや、複数種類の材料を投入している場合の始点投入時の物量比率パラメタψがあると、更にパターンは増える）ある。どのような順番でパラメタを変えていくのが望ましいかは、状況による。場合によっては、どの順番で計算しても奇妙な結果になる（パラメタ（ａ）が（ｓ）より悪い値にも関わらず、有利差異が計算されてしまう、など）時があるので、その場合は、η（ζ）に関する複数のパラメタをまとめて一気に（ｓ）から（ａ）に変更して済ませることもできる。
ｃａｐａｃｉｔｙ差異は、いわゆる操業度差異に相当する。固定費の場合に計算することがある。
第７章：材料が複数ある場合
これまでの議論では、投入する材料は１種類のみと仮定していたが、この章では、図１８に示すように、複数種類の材料を投入する場合を考える。
一列に並べた、
なるベクトルを、物量ベクトル、もしくは物量ベクトル関数と呼ぶことにする。図１８では、基本的なアロー図における、各ノードでの物量ベクトルの表記を示してある。
ここで、すべての材料の物量単位が、例えばｋｇで揃っているならば、
とすることで、式（７．１）は次のように変形できる。
ここで、
である。このとき、明らかに、物量比率ベクトルのすべての要素の和は１となる。物量単位はｋｇ以外にも、複数種類の材料の物量が合計できるような単位であれば何でも構わないが、場合によっては適宜修正が必要なこともある。
式（７．１）を線積分形式で表現しなおす。物量ベクトルにも（ａ）と（ｓ）があるが、まずは（ａ）について考える。
ベクトルパラメタ）も含むが、ここでは表示していない）が（ａ）であることを示して
分、縦に並べて書くのが面倒なので、まとめて表記するために導入しているだけである。
ダッシュ“´”記号にも、やはり特別な意味は無い。瞬間的な変化を示す場合に、“´”を付けているだけである。
複数の材料を投入する場合、ほとんどのケースで、減損パラメタθや材料追加投入パラメタφは複数出現するものと思われる。そのため、θやφはベクトル表記している。もちろん、これらのパラメタは、基本的にはすべて識別可能でなければならない。
例えば、Ａ材料追加投入量はＢ材料追加投入量に比例する、もしくは、Ｃ材料の追加投入量を減らす代わりにＤ材料の追加投入量を増やす、Ｅ材料減損量はＦ材料減損量に比例する、Ｇ材料減損量と同じ量だけＨ材料を追加投入する…など、各材料の減損量と追加投入量との間には密接な関係があるのが普通である。
ので、最大で２Ｍ本の式から成る方程式ができてしまう。この方程式は、基本的には事前に解いておかないといけない。
定義する。
値を返す関数である。具体的な関数形は、加工作業ｋの内容によって異なるが、簡単な例を示すと、次の関数形となる。
つまり、材料ごとに異なるウェイトを付けて物量の総和をとる。
例えば、複数の材料を容器に入れて加熱するという加工作業を考えてみる。この時、投入した熱量の換算量をηとする。材料を加熱するために投入した熱量は、材料の比熱によって異なっている。そのため、温まりやすい材料に対しては小さなウェイトを、温まりにくい材料に対しては大きなウェイトをつける必要がある。
ここで、
となっている場合には、式（７．７）は式（７．２）と同じになってしまい、
と、材料の合計物量を表すことになる。
料の種類だけ縦に並べて、
これを次のように書き換える。
ただし、
は材料ｍごとに個別に行う。そのため、このベクトル表記には、計算上のメリットはあまりなく、単に見やすくするくらいの意味しかない。
（標準（ｓ）の計算について）
次に、標準原価計算の方法について考える。複数材料を投入して製品を作る場合、ノードの物量の認識方法が２パターン存在する。
例えば、当期投入インプットノード→当期完成アウトプットノード、というアローを考える。今期はこの１本しかアローがないとする。材料は２種類あり、Ａ材料とＢ材料とする。
ここで、当期完成アウトプットノード（合計１００ｋｇ）の材料内訳が、（Ａ，Ｂ）＝（８０ｋｇ，２０ｋｇ）だったとする。このとき、１）材料内訳（Ａ８０ｋｇ，Ｂ２０ｋｇ）の完成品を標準的な効率の下で製造する時に必要なη（ζ）を標準（ｓ）と考えるのか、２）合計１００ｋｇの完成品を標準的な効率・材料投入比率の下で製造する時に必要なη（ζ）を標準（ｓ）と考えるのか、を選ばないといけない。
パターン１）の場合、これまでの議論と同様、物量を材料１種類ずつ個別に考えてから、ηｋやζｍの（ａ）や（ｓ）を計算していけばよい。この場合、このアローの、Ａ材料、Ｂ材料の標準始点投入量も、それぞれ個別に計算される。パターン１）では、基本的にこれまでの議論の繰り返しなので、ここではこれ以上取り扱わない。
パターン２）の場合、Ａ材料、Ｂ材料の標準始点投入量は個別には計算されない。この場合、始点投入時の物量比率ベクトルを、新しいパラメタ（ψ）として導入することが必要となる。ここでは、このパターン２）の方法について説明する。
まず、標準原価計算用に、η（ζ）の（ａ）の定義を書き換える。式（５．２）〜式（５．４）を参考にして、
となる。ただし、
である。
また、物量ベクトルは、次のように書き換える。
ここで、物量ベクトルを分解すると次のように変形できる。
次いで、始点投入時の物量比率ベクトルを新しいパラメタψとして設定する。
定する。
て、以下のようになる。
ただし、
式（７．１７）は、一見すると式（５．１２）と同一だが、式（５．１２）が１種類材料モデルでの物量を意味するのに対して、式（７．１７）では、合計物量を意味している。式（７．１６）
具体的には、次の手順となる。
２）式（７．１６）の右辺は、ａ以外はすべて既知のパラメタなので、（ｔ＊，ｘ＊）座標にお
できる。
５）式（７．１７）より、ａだけの方程式ができるので、ａを求める。ａが分かれば、
式（７．１５）〜式（７．１７）と同様にして、
次に、ζ（ａ）を書き換える。式（５．８）と同様に、次式が成立する。
ただし、式（５．６）や式（５．７）と同様、
である。
もちろんこれらは式（７．９）〜式（７．１１）の関係も満たしている（当期投入インプットノードにおいては、第ｉインプットノードが始点投入ノードでもあるので、
次に、式（５．１６）や式（７．２１）を参考にして、ζ（ｓ）を定義する。
ただし、
るが、これは式（７．１６）と式（７．１９）を計算する過程で既に求めている。
これまでの議論では、材料の始点投入時は勿論のこと、加工から完成に至るすべての状態において、それぞれの材料が具体的にどの程度存在しているのかを常に把握していた。しかしながら、製造する製品によっては、材料投入時にはどの材料をどれだけ投入したのかを具体的に把握するけれども、その後の加工時や完成時には合計物量のみを把握するだけ、という場合もあり得る。これは、投入した複数種類の材料が加工中に混ざり合ってしまい、具体的な材料の内訳を調べることが困難、もしくは不可能になってしまう場合に起きる。
このような場合の計算方法は２つある。
１）加工中や完成時の材料の存在比率（物量比率ベクトル）を、何らかの適当な方法で
２）材料の始点投入時のみ、合計物量と物量比率ベクトルを考えるけれども、その後はすべての材料の区別をなくしてしまい、（複数種類の材料から成る）合計物量をあたかも単一種類の材料の物量であるかのようにみなして計算する。この方法だと、始点投入
それ以外のノードでは合計物量のみを考え、マッチングやアロー経路上の物量などはすべて合計物量に基づいて計算される。
第８章：数値例
当工場では、工程始点で材料Ａ（ｋｇ）と材料Ｂ（ｋｇ）を投入して、それを加工して製品を製造している。ＡとＢは工程始点でのみ投入し、工程途中での追加投入はない。また、ＡとＢの投入比率は、標準的な投入比率は設定されているものの、実際にはその標準投入比率以外の比率でも製品製造は可能である。
ＡもＢも揮発性の材料のため、時間の経過に比例して一定量ずつ材料が減少していく。なお、ＡとＢでは揮発性の程度が異なっているため、経過時間あたりの減少量はＡとＢで異なっている。なお、経過時間あたりの減少量にも標準減少量が設定されているが、実際には工程管理の良し悪しによって、減少量は変化する。
ＡとＢにはそれぞれ標準価格（１ｋｇあたり）が設定されているものの、実際には購買活動の良し悪しで実際価格は変化する。
加工作業は主に工員による直接作業で行っている。加工作業には工員賃金以外にも様々なコストが発生し、それらは大別すると、工員の直接作業時間に比例してコストが発生する変動加工費と、経過時間に比例して発生する固定加工費に分けられる。ただし当工場では、工員の直接作業時間を資源消費量の基準として、変動加工費も固定加工費も管理している。
ここで、直接作業時間と、経過時間は異なる概念であることに注意する。直接作業時間とは、工員人数×作業時間の延べ時間で計算されるものであり、実際に加工作業が行われた時間のことである。経過時間とは、材料が工程に投入されてから完成するまでの間に経過した時間のことである。つまり、例えば、加工作業を全く行わず、材料を１時間放置した場合、直接作業時間は０時間で、経過時間は１時間である。また、１０人の工員で作業を１時間行った場合、直接作業時間は１０時間で、経過時間は１時間となる。このように、直接作業時間とは消費した資源量を表しているのであって、経過時間とは異なる概念である。
（材料の減損や追加投入がない状況の下で）１ｋｇの製品製造に必要な直接作業時間には標準時間が設定されているものの、実際には加工効率の良し悪しによって直接作業時間は変化する。
材料が多くなればなるほど必要な直接作業時間も増加する。具体的には、製品製造に必要な直接作業時間は、ＡとＢの内訳に関わらず、材料の合計重量にのみ比例して増加する。
直接作業時間１時間あたりの変動加工費にも、標準が設定されているが、コスト管理の良し悪しで変化する。固定加工費については、可能資源消費量（ｃａｐａｃｉｔｙ）（つまり、当該期間において可能な最大直接作業時間）が設定されているが、実際の資源消費量（実際直接作業時間）は、工場の繁忙・閑散の程度によって変化する。
（標準データ）
１）工程始点で投入される材料の標準投入比率 （Ａ：Ｂ）＝（０．５：０．５）
２）経過時間１時間あたりの標準減損量 Ａ：２ｋｇ Ｂ：０ｋｇ（適切に管理すれば材料Ｂは減損しない）
３）材料投入から完成までに必要な標準経過時間 ５時間（材料の量で変化しない）
なお、標準的な、経過時間当たり加工作業進捗度は一定とする。
４）材料標準単価（１ｋｇあたり） Ａ：２，０００円／ｋｇ Ｂ：３，０００円／ｋｇ
５）（材料の減損や追加投入がない状況の下で）
１ｋｇの製品製造に必要な標準直接作業時間 ３時間／ｋｇ
６）直接作業１時間あたりの標準変動加工費 ２，０００円／直接作業時間
７）経過１時間あたりの標準固定加工費 ６０，０００円／経過時間
なお、経過１時間あたりの可能直接作業時間は６０時間である。
（生産データ）
本日は、１０：００に材料を始点投入し、２０：００に完成した。この１０時間（１０：００〜２０：００）を当期として、原価計算を行う。当期において加工した材料はこれだけであり、期首仕掛品や期末仕掛品は無い。
（実際データ）
１）実際材料始点投入量２００ｋｇの内訳 （Ａ：Ｂ）＝（１２０ｋｇ：８０ｋｇ）
２）実際製品完成量１４０ｋｇの内訳 （Ａ：Ｂ）＝（７０ｋｇ：７０ｋｇ）
３）実際経過時間 １０時間（これは生産データにも書いてある）。
なお、経過時間あたり加工作業進捗度は一定であった
４）実際材料費 Ａ：２００，０００円 Ｂ：１８０，０００円
５）実際直接作業時間 ５５０時間
６）実際変動加工費 １，０００，０００円
７）実際固定加工費 ７００，０００円
まず、図１９に示すように、アロー図に必要なデータを入力していく。第１インプッ
今回は１→１アローの１本しかないので、１→１表記は省略しても構わない。実際の経過時間あたり加工作業進捗度が一定だったので、このアローのｐａｔｈ（ａ）は直線となる。
標準経過時間が５時間と、実際経過時間の半分なので、ｏ（ｓ）→アウトアローの点
一定であるので、このアローのｐａｔｈ（ｓ）も直線となる。
からないのでひとまずおいておく。
次に、減損パラメタ（実際）θ（ａ）を計算する。式（７．５）より、
なっている。
タは、一原価計算期間における減損量を表すので、経過時間１０時間あたりの減損量を意味する。
また、θ（ａ）が求まったので、式（８．２）も、次のように求められる。
となる。
上記の式変形中において、この加工作業（工員による直接作業）では、必要な直接作
いる。また、直接作業を行うことで加工進捗度が進むことから、ｆ′（ｔ，χ）＝（０＊ｉ＋１＊ｊ）と定義している。
考慮しつつ、式（７．２１）より、
となる。
次に、標準（ｓ）について考える。通常、標準アロー（ｐａｔｈ（ｓ））は、ｏ（ｓ）→インプットノードと、ｏ（ｓ）→アウトプットノードの２本あるのだが、今回の例では、インプットノードが当期投入ノードのため、ｏ（ｓ）→インプットノードの標準アローは縮退
→アウトプットノードのみ考える。
を参考にして、
となる。ここで、式（７．２０）、つまりアウトプットノードにおいて合計物量が一致する条件より、
となる。これにより、式（８．６）は、最終的に次式となる。
式（８．８）により、標準アロー経路上の座標の標準物量ベクトルが計算できる。例えば、
である。この、式（８．９）の結果が、図１９に表示されている。
標準に関するこの結果を要約すると次のようになる。生産データのアウトプットノード１４０ｋｇを、標準的な条件の下で製造するならば、材料１５０ｋｇ（内訳は（Ａ：Ｂ）＝（７５ｋｇ：７５ｋｇ））を時刻１５：００に投入し、５時間経過後の時刻２０：００に製品１４０ｋｇ（内訳は（Ａ：Ｂ）＝（６５ｋｇ：７５ｋｇ））を完成させることになる。
である。そのため、式（５．９）、式（７．１８）により、
となる。
より、
となる。材料追加投入がないので、式（８．１２）と式（８．９）は一致する。
基本的には、式（８．６）〜式（８．１２）において、関連するパラメタの（ａ）と（ｓ）の組み合わせを換えるだけである。ここでは式だけ示す。
次に、ｑ（ｓ）とｐ（ｓ）について定義する。まず、材料に関しては、ζ（ｋｇ）＝ｑ（ｋｇ）なので、
となる。
加工費については、直接作業時間ｑがあるので、まずはｑ（ｓ）（η）を定義する。標準データより、次式となる。
次に、ｐ（ｓ）（ｑ）を定義する。変動加工費をｐＶ、固定加工費をｐＦとする。標準データより、次式となる。
また式（８．１７）に関連して、ｑ（ｃａｐ）は次の通りである。
以上の結果を基にして、差異分析を行う（図２０から図２２Ｂまでを参照）。
１）差異分析を行うことによって、パラメタ毎に、効率の良し悪しを評価できる。なお、差異分析の順番はあくまで一例である。これ以外の順番もあり得る。
２）材料の、始点投入時の物量比率ψ差異に関しては、比率パラメタなので、材料Ａを増やせば、その分、材料Ｂは減る。つまり、Ａで不利差異が発生する場合、必ずＢで有利差異が発生する。そのため、材料のψ差異は、ＡとＢを合計して、
Ａ３４，０００（不利）＋Ｂ５１，０００（有利）＝１７，０００（有利）
と評価するのが良い。
３）この数値例は、材料こそ２種類投入しているものの、それ以外は非常にシンプルで、アローが１本（しかも当期投入インプットノード）しかない。また、材料追加投入もない。線積分も簡単に計算できるような設定なのに、これだけの計算をしないといけない。
もし、アローが１本しかなくても、それが期首仕掛品インプットノードだった場合は、インプットノード側でもｐａｔｈ（ｓ）を考えないといけないので、単純に計算量がほぼ２倍になる。
まして、複数インプットノードと複数アウトプットノードで、マッチングから考えないといけない状況だと、アローが何本も出現するので、計算量はさらに膨大になる。
４）この例では、実際減損量が標準よりも多かったが、その原因としては、１）経過時間あたりの減損量（減損パラメタθ）が標準よりも多かったからか、もしくは、２）だらだらと加工作業に時間をかけすぎたため、標準よりも経過時間（ｐａｔｈ）が長かったからなのか、の２つが考えられる。
今回は、θとｐａｔｈのどちらも標準より悪化しているため、どちらも原因ではあるが、差異分析の金額を見ると、どのコストを見ても、ｐａｔｈ差異の方が大きな不利差異になっていることから、ｐａｔｈの影響の方がより大きいことが分かる。
ただしこの結論は、差異分析の順番によって変わる可能性がある。同じ順番で毎期継続して分析することが重要である。
（参考：従来の方法で差異分析を行うとどうなるか）
ここで、この数値例を従来の方法で計算した場合の結果を示す。従来の方法では、まず標準生産データを作るところから始まる。
今回の数値例の場合は、次のようになる。
ただし、このような記述は、既に問題がある。これでは、標準減損が投入量に比例して発生してしまう（投入量：減損量＝１５０：１０）ように見えるが、実際は、投入量に関係なく一定量が減損する、というのが今回の状況である。
上記のような標準生産データは、減損量が投入量に比例し、また、進捗度ｘに関連して減損が発生する状況においてのみ、正しいデータを示す。
従来の方法による差異分析結果は図２３から図２７にまとめてある。図２３が材料Ａ、図２４が材料Ｂに関する差異分析の例を示す図である。
価格差異は、価格ｐ差異のことである。計算方法が同じなので、従来の方法でも同じ結果が得られている。
配合差異は、今回は材料追加投入がないため、始点投入時の物量比率ψ差異と対応している。材料Ａと材料Ｂの合計で考えたほうが良いのでそうすると、２０，０００円（有利）となる。
歩留差異は、減損θ差異とアロー経路ｐａｔｈ差異に対応している。もちろん、従来の方法ではこのθ差異とｐａｔｈ差異を区別できない。
今回の数値例の場合、材料Ａと材料Ｂに関しては、概ね、アロー原価計算と従来の方法とで大差は無い。
図２５は変動加工費に関する差異分析の例を示す図である。
通常、この図２５は直接労務費の差異分析図であるが、今回の例では、直接労務費と変動加工費が一まとめで扱われているので、図２５で変動加工費の差異分析を行っている。
予算差異は価格ｐ差異のことである。計算方法が同じなので、金額も一致している。
能率差異が有利差異、つまり、「今期の加工作業の能率が良かった」と判定されてしまっている。しかし、各パラメタの（ａ）と（ｓ）を比較してみても、どこにも標準より良かったパラメタは存在しておらず、「能率が良かった」などと判断する根拠はない。むしろ、アロー原価計算による差異分析結果を見れば明らかなように、今期はすべてのパラメタで悪い結果となっているのだから、（いかなる観点から見ても）「能率が悪かった」と判断しなければならない。
なぜこのような結果になったかと言えば、従来の方法では、能率を、「作業時間／投入量」と定義しているが、これでは減損の影響が紛れ込んでしまうからである。つまり、「今期の能率が良かった」と判断されたのは、投入した材料が大量に減損したので、結果として、加工しないといけない材料が大幅に減少したからである。
減損の影響は歩留差異に反映させているので、能率差異には紛れ込まないはず、と考えられるかもしれないが、実際には、歩留差異の計算方法自体が現実の減損発生メカニズムに対応していないので、減損の影響が能率差異に紛れ込んでしまっている。
能率差異に減損の影響が紛れ込むのを避けるためには、能率を、「作業時間／投入量」で定義するのではなく、「作業時間／加工換算量η」で定義すればよい。この定義に基づいて差異分析を行ったのが図２６である。この別案だと、能率差異が資源消費量ｑ差異と一致する。
この時、η／投入差異がもともとの能率差異から分離してくるが、これは減損量が大きいほど有利差異になってしまうので、このままでは解釈するのが困難である。そこで、η／投入差異は歩留差異と合算して評価するのが良い。η／投入差異＋歩留差異は１５０，０００円（不利差異）となり、これは我々の方法の減損θ差異とアロー経路ｐａｔｈ差異の合計と一致している。もちろん、従来の方法では、この減損の原因がθなのかｐａｔｈなのかを識別することはできない。
図２７に示すように、固定加工費についても、変動加工費と同じく作業時間を基準として差異分析を行っているので、変動加工費の時と同様、能率差異が有利になっている。
第９章：従来の方法との比較まとめ
従来の方法（総合原価計算）は、一見すると、ノードを認識しているようにみえるが、実際にはノードを認識しているのではなく、会計の仕掛品勘定に関する項目を認識しているだけである。例えば、複数の期首仕掛品ノード、当期投入ノード、当期完成ノード、期末仕掛品ノードがある場合、一まとめに括られてしまい、ノードの情報量が減らされる。また、コスト要素毎にノードが認識されてしまっている。
更に、アローが認識されていない。アローを認識しないので、コスト配分は、あくまでもコスト要素毎に認識したノードのマッチングに従って、ノードのコストを比率配分しているだけである。しかしこの方法だと、非常にシンプルな状況を除いて、正確な原価が計算されない。
更には、総合原価計算では、減損（仕損は含めない）をあたかもアウトプットノードであるかのように取り扱っている。これは、会計上、仕掛品勘定の右側に減損費を表示する（実際には、正常減損費は完成品や期末仕掛品に上乗せされて表示される）ためである。
しかし、アロー原価計算の理論によれば、減損は、アウトプットノードとして取り扱われるべきではなく、アロー経路上を進む物量の減少量として定義されなければならない。なおアロー原価計算では、仕損に関しては、基本的には減損と同じ取り扱いをするが、状況によっては異なる取り扱いをする場合もある。例えば、全数仕損はアウトプットノードとして認識することもある。
また、細かい話だが、期首仕掛品を外部購入して材料費と加工費の内訳が分からない場合、従来の方法では平均法による原価計算が計算不能となる。アロー原価計算にはこのような不具合はない。
従来の方法（個別原価計算）では、ノードやアローという用語は使われていないけれども、実はアロー原価計算の一タイプとして考えることが可能である。まず、マッチングは実測された１対１マッチング（ｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌ １）のみに限定する。そして、資源消費量ｑを、アロー毎に実測する（ｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌ １）。ｑを実測しているので、ηは認識しない。ζはζ＝ｑとして認識され、そしてｑが必ず実測される。
なお、個別原価計算でも、標準原価管理を行う場合はηやζの（ａ）と（ｓ）を計算するが、原価計算空間上でηやζを定義している訳ではないので、複雑な生産状況の下では、正確な差異分析は困難である。特に、経過時間ｔを含んだ場合、正確な差異分析はおよそ期待できない。
１対１マッチングを実測し、ｑをアロー毎に実測しなければならない個別原価計算は、正確な原価を計算する一方、必要なデータ量が大きすぎて、どの企業でも実行できるような方法ではない。また、だからといって集めるデータを少なくすると、総合原価計算を実行するしかなくなるが、すると不正確な原価しか計算されなくなってしまう。
つまり、従来の方法というのは、計算は正確だけれど必要なデータ量が多い個別原価計算と、必要なデータ量は少ないけれど計算が不正確な総合原価計算、と評価することができる。
それに比べてアロー原価計算は、集めてきたデータから分かる範囲で、可能な限り正確な計算を行う方法と評価できる。もし、質が良く大量のデータを集めてきたならば、計算結果はそれだけより正確なものとなるが、質が悪く少量のデータしかないなら、計算の正確性もそれなりのものとなる。しかしこの正確性の無さは、あくまでも集めてきたデータの質・量に依存しているのであって、計算方法が不正確なのではない（それに比べて、従来の総合原価計算は、そもそも、計算方法自体が不正確なものである）。
新しいポイント
１）「物理的な加工作業の流れに正確に対応した原価計算を行うために必要な、原価計算空間、ノード、アロー、アロー図概念の提案」
集めてきたデータから分かる範囲で、可能な限り、正確な原価計算を実行する（これまでは、正確だけれど必要なデータが多すぎる個別原価計算か、もしくは必要なデータは少なくて済むが計算方法が不正確な総合原価計算、のどちらかしかなかった）。
このために、原価計算空間上でノードとアローを認識し、必要な計算を行う。また、視覚的に理解できるよう、アロー図を考案した。原価計算空間、ノード、アロー、アロー図のアイデアが新しいポイントである。
２）「原価計算空間の、時間ｔ軸への拡張」
原価計算空間として、時間ｔを導入するｔｘ原価計算空間を考案した。従来の原価計算では、原価計算空間上ではないものの、加工進捗度ｘは原価計算のための重要な情報として認識されていた。しかし、時間ｔを正確に考慮して原価を計算する方法は、これまで考えられてきたことは無かった。
これまでに、時間ｔが考慮されたモデルがいくつか提案されたことはあるが、それは原価計算空間上でηやζを計算するようなものではないので、複雑な生産状況の下では、やはり正確な計算はできない。
原価計算空間として、ｘ軸だけの１次元モデルでなく、ｔ軸ｘ軸の２次元モデルへと拡張し、これにより必要なηやζなどの各種変数の定義もそれに併せて書き換えた。
時間ｔを、厳密な形で原価計算に導入したことが新しいポイントである。
３）「原価計算空間上における標準原価計算方法の提案」
このモデルによる標準原価計算の方法を提案した。とくにｔｘモデルでは、効率性の対象としてリードタイム（経過時間）も追加されるので、より正確で、より詳細な差異分析が可能となる。また、工程始点で複数種類の材料を投入している場合でも、正確に始点投入時の物量比率差異を分析する方法も提案した。
標準と実際とを比較して差異を計算するという、標準原価計算のアイデア自体は古くから存在しているが、それを厳密な形で行う方法を提案したことが新しいポイントである。
例えば一例として、加工作業中の減損が標準よりも多く発生した、という状況を考える。アロー原価計算では、この原因として次の３つを考えることができる。１）加工作業中のミスが標準より多かったから、２）経過時間あたりの減損量が標準より多かったから、３）経過時間が標準より長すぎたから、の３つである。これはそれぞれ原因が異なるので、当然、その対策も異なるはずである。しかしながら、従来の原価計算では、時間ｔが認識されていないので、１）しか認識できない。そのため、原因が２）や３）だった場合、見当はずれな対策を採ってしまう可能性がある。アロー原価計算では、このような危険性は無い。
（解説欄２）
この解説欄２では、いくつかの数値例を基にして、従来の原価計算方法（個別原価計算と総合原価計算）と本発明のアロー原価計算の違いについて説明する。
（例題１）
以下の条件（データ）に基づいて、完成品原価と期末仕掛品原価を計算する。
（条件）
ある工場では、１個の材料を４時間加工して、１個の製品を製造している。材料には材料費がかかり、材料費は前期までは１個あたり＠２００円であったが、今期は＠３００円であった。加工には加工費がかかり、加工費は前期までは１時間あたり＠１０円であったが、今期は＠２０円であった。
今期の生産データは次のとおりであった。なお加工進捗度は、加工の進み具合を表し、１時間の加工につき２５％ずつ増加する。
（その他の条件）
● 生産状況は完全に安定しており、必ず材料１個あたり４時間の加工で製品が完成する。
● 材料はすべて工程始点で投入される（始点投入材料）。
（例題１ 解答・解説）
例題１の問題を考えるには、図２８に示す模式図を考えると分かりやすい。
模式図２８において、大きい四角が材料（数値は材料費）を、その中の小さい四角が１時間分の加工費（数値は加工費）を表す。４時間の加工で製品が完成するので、小さい四角が４つあれば完成を表す。
図２８において、左側が期首時点・材料投入時点を表し、右側が完成時点・期末時点を表す。これが、製造指図書の今期の生産状況を示す。同じ製造指図書Ｎｏ．を結ぶ矢印を右上がりにした場合は、その期において加工が進んだことを示している。例えば、Ｎｏ．２００は、今期は加工がまったく進んでいないので、矢印を横ばいにしている。
図２８を参照すれば、それぞれの原価は以下の表７に示すようにに計算できる。なお、期首仕掛品とは期首時点での仕掛品（製造途中の製品）のことである。
表８に示すように、完成品原価は７８０円（Ｎｏ．１００）、期末仕掛品原価は１，６８０円（Ｎｏ．２００とＮｏ．３００）となる。
そして、このように製造指図書単位で製品原価を集計する計算方法を個別原価計算というが、この例題１では、アロー原価計算でも同じ計算を行う。これは、この例題１の状況はあまりにもシンプルすぎて、およそ考えられる合理的な計算方法がこの方法しかないからである（もちろん、より複雑な状況では、個別原価計算とアロー原価計算は異なる計算結果を示す）。
なお、以下にいくつかの留意点を述べる。
まず、Ｎｏ．１００とＮｏ．２００の期首時点では、両者は同じ加工進捗度（５０％）にあり、原価も同一（材料費や加工費が同じ）である。しかし、Ｎｏ．２００とＮｏ．３００の期末時点では、同じ加工進捗度（５０％）にも関わらず、原価は異なっている。これは、Ｎｏ．２００が、材料費や加工費が安かった前期までの期間中に加工されていたのに対し、Ｎｏ．３００が材料費や加工費が高い今期において加工されているからである。
（例題２）
以下の条件（データ）に基づいて、完成品原価と期末仕掛品原価を計算する。
ある工場では、１個の材料を４時間加工して、１個の製品を製造している。材料には材料費がかかり、材料費は前期までは１個あたり＠２００円であったが、今期は＠３００円であった。加工には加工費がかかり、加工費は前期までは１時間あたり＠１０円であったが、今期は＠２０円であった。
今期の生産データは次のとおりであった（表９参照）。なお加工進捗度は、加工の進み具合を表し、１時間の加工につき２５％ずつ増加する。
（その他の条件）
１）生産状況は完全に安定しており、必ず材料１個あたり４時間の加工で製品が完成する。
２）材料はすべて工程始点で投入される（始点投入材料）。
３）この工場では、先に投入した材料から優先的に加工を行う。このため、先に投入した材料から順に完成する（先入先出法）。
（例題２ 解答・解説）
従来の原価計算方法の一つである個別原価計算の実行には、生産データが製造指図書単位で把握されていることが必要であるため、この例題２の生産データの場合には、個別原価計算は実行できない。従来の原価計算では、このような場合には、総合原価計算が用いられる。先に投入した材料から優先的に加工作業を行うことを考慮すると、期首仕掛品の中から当期完成品が生産されるので、総合原価計算の計算法は以下の図２９，図３０のようになる。
よって、総合原価計算による計算結果は次の表１０のようになる。
このように、総合原価計算においては、材料と加工作業の関連性を切断し、材料費は材料費だけで当期完成品と期末仕掛品とに配分し、同様に、加工費は加工費だけで配分を行う。しかしながら、このような計算方法は、図３１のような考え方をしていることになるが、これが現実の製品加工の流れを反映していないことは明らかである。
そこで、本発明のアロー原価計算技術では、現実の製品加工の流れを厳密に反映させるため、図３２のように考えるという工夫をしている。
よって、アロー原価計算による計算結果は以下の表１１のようになる。
この表１１より、完成品原価は７８０円（期首仕掛品→当期完成品）、期末仕掛品原価は１，６８０円（期首仕掛品→期末仕掛品と当期投入→期末仕掛品）となる。
アロー原価計算では、図３２に示すように、生産データから材料・仕掛品の加工状況を再現して、原価を計算する。再現の結果、材料・仕掛品の流れは３本（「期首仕掛品→当期完成品」、「期首仕掛品→期末仕掛品」、「当期投入→期末仕掛品」）あることが分かったが、この方向をもつ矢印をアローと呼ぶ。
アロー原価計算では、まずこのアローを求める必要がある。上記の例題２程度の単純な生産データならアローを推定することは容易である。しかしながら、材料の減損や追加投入があるケースではかなり複雑になる。そこで、アローの導出を数理的に行うために、本発明では、加工進捗度を軸とする座標系を導入する（これを原価計算空間と呼ぶ）。
また、模式図を描くのは非常に手間がかかるので、模式図の代わりにアロー図を描くことにする。今回の例題２をアロー図で表現すると図３３のようになる。
図３３に示すアロー図中において、インプットノード（●）とは期首仕掛品と当期投入を意味し、アウトプットノード（■）とは当期完成品と期末仕掛品を意味する。それぞれのノードに対応する座標に点で表示される。そして、その座標点において物量をＬで示す。
尚、当期投入インプットノードは二重丸で示すこともある。
どのインプットノードとどのアウトプットノードが対応するかを、矢印で示す。これをアローと呼ぶ。アロー経路上の物量はｌ（エル）で示す。
図３３に示すそれぞれのアローで、どれだけの材料が当期に投入されたのか（これを材料投入（換算）量といい、ζで示す）を計算する。「期首仕掛品→当期完成品」と「期首仕掛品→期末仕掛品」の二つのアローでは、材料は前期以前に投入されているのであり、当期は材料を投入していない（材料はすべて始点投入材料である）のでζ＝０となる。「当期投入→期末仕掛品」アローでは３個の材料が投入されているのでζ＝３となる。
それぞれのアローで、どれだけの加工作業が当期に行われたのか（これを加工作業換算量といい、ηで示す）を計算する。今回の加工作業では、製品１個を完成させるために４ｈの加工作業が必要なので、加工時間が６ｈの場合、加工作業換算量は１．５個（＝６ｈ÷４ｈ／個）となる。
ただし、通常、加工作業換算量は以下のように計算する。
例えば、期首仕掛品→当期完成品アローでは、加工進捗度が５０％（＝アウトプットノード１００％−インプットノード５０％）進んでおり、アローの物量が３個であるので、加工作業換算量η＝３個×（１００％−５０％）＝１．５個である。この場合には、加工時間のデータが必要ない。
今回のアロー図では、軸はｘ軸（加工進捗度軸）しかない。そのため、本来なら座標軸は１本で済ませ、その線上にすべてのノードを表示するべきであるが、それだと図が非常に分かりにくくなるので、インプットノード側とアウトプットノード側とで別々にｘ軸を設定している。
（例題３）
以下のデータに基づいて、完成品原価と期末仕掛品原価を計算する。
（その他の条件）
１）加工進捗度８０％点において、残存量の一定割合が減損する。
２）材料はすべて工程始点で投入される（始点投入材料）。
３）この工場では、先に投入した材料から優先的に加工を行う。このため、先に投入した材料から順に完成する（先入先出法）。
（例題３ 解答・解説）
例題３では（その他の条件）に示したように、減損が発生するケースを考えている。例えば、加工進捗度８０％点において仕掛品の全数検査を行い、不合格品は廃棄処分にして合格品にだけ加工作業を継続するような場合がこれに該当する。なお、正確には、検査によって不合格品を取り除いた結果、物量が減少することは減損ではなく仕損と言うが、基本的に計算上の違いはないので、ここでは減損で表記を統一する。
この例題３の生産データに基づいてアロー図を描くと図３４のようになる。
各ノードに番号を付けると分かりやすい。そこで、図３４では、インプットノードはノードの左下に、アウトプットノードはノードの左上に番号を付けた。また、アローは対応するノードの番号で１→１アロー、などと記載した。
今回の生産データでは、２→２アローの物量から順に求めると分かりやすい。２→２アローは１００個の物量が、そして１→２アローは５０個の物量が流れることが容易に分かるので、１→１アローは１５０個がインプットノードから流れ、減損点で１２０個になることが判明する。
１→１アローは加工進捗度８０％（０．８）点を境に物量が変わるので、アローの幅で物量を表現している。なお、１５０個を検査して３０個が不合格で減損し、１２０個が合格していることから、減損率は２０％である。
上記の図３４に示すアロー図のように、まずは解マッチングを求める。解マッチングとは、アローの組み合わせと、それらのアローの経路上の物量が生産データと整合する場合に、そう呼ぶ。つまり、解マッチングとは、与えられた生産データから再現された、具体的な加工状況のことである。
解マッチングを求めたら、次はアロー毎に材料投入換算量ζと、加工作業換算量ηを計算する。具体的には、
１）１→１アロー：ζ＝０個
２）η＝１５０個×（０．８−０．４）＋１２０個×（１−０．８）＝６０個＋２４個＝８４個（図３５参照）
３）１→２アロー：ζ＝０個 η＝５０個×（０．６−０．４）＝１０個
４）２→２アロー：ζ＝１００個 η＝１００個×（０．６−０）＝６０個
となる。
これらの計算の後、以下のように原価を配分する。
（期首仕掛品原価の配分）
図３４に示すように、期首仕掛品ノードは第１インプットノードだけである。第１インプットノードの２００個は、１→１アローへ１５０個、１→２アローへ５０個が流れている。そこで、第１インプットノードの原価１２５，６００円を、（１→１アロー）：（１→２アロー）＝１５０：５０の比率で配分する。
（当期材料費の配分）
図３４に示すように、当期に投入した始点投入材料費は、材料投入量ζを基準にしてアローへ配分する。つまり、当期の材料費７０，０００円を、（１→１アロー）：（１→２アロー）：（２→２アロー）＝０：０：１００の比率で配分する。
（当期加工費の配分）
図３４に示すように、当期加工費は、加工作業換算量ηを基準にしてアローへ配分する。つまり、当期の加工費１５，４００円を、（１→１アロー）：（１→２アロー）：（２→２アロー）＝８４：１０：６０の比率で配分する。
以上をまとめると、表１３のようになる。
表１３に示すように、完成品原価は１０２，６００円（第１アウトプットノードに対応している１→１アロー１０２，６００円）、期末仕掛品原価は１０８，４００円（第２アウトプットノードに対応している１→２アロー３２，４００円と２→２アロー７６，０００円）となる。
（例題４）
以下のデータに基づいて、完成品原価と期末仕掛品原価を計算する。
（その他の条件）
１）加工進捗度３０％点と７０％点の２箇所において、仕掛品の検査を行う。検査点において、残存量の一定割合が減損する。
２）今期の仕掛品検査の結果、合格率は３０％点、７０％点とも同じであった。
３）材料はすべて工程始点で投入される（始点投入材料）。
４）この工場では、先に投入した材料から優先的に加工を行う。このため、先に投入した材料から順に完成する（先入先出法）。
（例題４ 解答・解説）
アロー原価計算では、より複雑な条件の下でも正確に計算を行うことが可能である。この例題４は、期首仕掛品や期末仕掛品が工程の複数個所に存在しているケースを取り上げている。
まず、減損率（＝１−合格率）を求める。今回のような減損発生パターンの場合は、以下のような解法が存在する。
二つの検査点で合格率が等しいので、合格率をθ（０≦θ≦１）とおく。そして、すべてのノードの物量をｘ＝１の地点で評価する。例えば、当期投入の４００個は、完成品（ｘ＝１）の地点では二つの検査点を越えるので、物量は４００θ２となる。
そして、ｘ＝１の地点で評価した、インプットノードの物量合計とアウトプットノードの物量合計を等式で結んだ式を解く。
を解く。この式を解けばθ＝−１，１／２となるが、０≦θ≦１の条件からθ＝１／２と確定する。つまり、検査点を越えるたびに、材料の５０％が合格し、５０％が不合格で減損となる。
あとは、先入先出法のルールに従って、各ノードのマッチングを行えば解マッチングが求まる。
図３６は、解マッチングを示すアロー図である。
図３６において、ζは自明である。
図３６において、ηの計算は次の通りである。
１→１アロー：η＝１００個×（１−０．８）＝２０個
２→１アロー：η＝２００個×（０．７−０．５）＋１００個×（１−０．７）＝４０個＋３０個＝７０個
２→２アロー：η＝１００個×（０．５−０．５）＝０個
３→２アロー：η＝２００個×（０．３−０）＋１００個×（０．５−０．３）＝６０個＋２０個＝８０個
３→３アロー：η＝２００個×（０．２−０）＝４０個
η合計：２１０個
従って、原価配分は以下の表１５のようになる。期首仕掛品原価は期首仕掛品インプットノードから分岐しているアローの物量の比率で、当期材料費はζの比率で、当期加工費はηの比率で、それぞれ配分する。
よって、完成品原価は４４２，０００円＋４０７，０００円＝８４９，０００円となる。第１期末仕掛品原価は２００，０００円＋２０８，０００円＝４０８，０００円、第２期末仕掛品原価は２０４，０００円、期末仕掛品原価（合計額）は４０８，０００円＋２０４，０００円＝６１２，０００円となる。
（例題５）
以下のデータに基づいて、完成品原価と期末仕掛品原価を計算する。
（その他の条件）
１）この工場では、工程始点で材料Ａと材料Ｂを混合投入している。投入比率は、一定でなく、製造指図書ごとに異なる。
２）材料Ａは、加工が進むにつれて投入量の一定割合が減損する。つまり、加工進捗度ｘに比例して減損する。
３）材料Ｂは減損しない。
４）加工作業Ｘは、通常の加工作業のことであり、材料Ａと材料Ｂを区別しない。そのため、加工作業Ｘは合計重量（Ａ＋Ｂ）に対する加工進捗度の進み具合に比例して加工作業が投入され、コストが発生する。
５）加工作業Ｙは、特殊な加工作業であり、加工進捗度５０％点で、そして材料Ａに対して行われる作業である。そのため、加工作業Ｙは加工進捗度５０％点における材料Ａの物量に比例して加工作業が投入され、コストが発生する。
（例題５ 解答・解説）
アロー原価計算では、複数種類の材料を投入するケースや、材料によって減損発生パターンが異なるようなケースでも正確に計算を行うことが可能である。表１６に示すように、この例題５では、製造指図書ごとの生産データが与えられているので、どのインプットノードとどのアウトプットノードが対応するかというマッチングは既に判明している。しかし、物量が材料Ａと材料Ｂの合計しか分かっていないので、解マッチングを求めるためには、それぞれのアローにおける材料Ａと材料Ｂの具体的な物量を計算しなければならない。
まず、＃１００の始点投入材料３００ｋｇのうち、材料Ａの始点投入量をａとすると、＃１００と＃２００の始点投入時の材料は表１７のようになる。
減損は材料Ａのみに発生し、ｘに比例して投入量の一定割合が減損することから、完成時における減損率をθとおくと、＃１００の完成時では材料Ａはａθだけ減損する。＃２００は加工作業がまだｘ＝２／３までしか進んでいないことから、減損も完成時まで進んだときの２／３しか発生していないので、期末仕掛品時点では材料Ａは（４５０−ａ）θ×（２／３）だけ減損する。
＃１００の材料Ａの減損量は（始点投入量）−（完成品量）＝３００ｋｇ−２４０ｋｇ＝６０ｋｇであり、＃２００の材料Ａの減損量は同様にして５４０ｋｇ−４８０ｋｇ＝６０ｋｇである（材料Ｂからは減損が発生しないことに注意）。
よって、連立方程式
を解くことで、ａ＝１８０，θ＝１／３となる。
よって、解マッチングをアロー図で示すと図３７のようになる。
当期投入ノードである第１インプットノードと第２インプットノードは、本来は同じ座標（ｘ＝０）に位置しているが、それでは非常に見辛くなってしまう。そこで、図３７では、第２インプットノードを右にずらして表示している。尚、必要があれば当期完成品アウトプットノードも、左にずらして表示することができる。
この解マッチングに基づいて、材料Ａと材料Ｂの投入量ζＡとζＢ、そして加工作業Ｘと加工作業Ｙの加工作業換算量ηＸとηＹをアロー毎に計算する。
図３７を参照して以下のように計算することができる。
（ζＡとζＢ）
１）１→１アロー：ζＡ＝１８０ｋｇ ζＢ＝１２０ｋｇ
２）２→２アロー：ζＡ＝２７０ｋｇ ζＢ＝２７０ｋｇ
（ηＸの計算）
１）１→１アロー：ηＸ＝（３００ｋｇ＋２４０ｋｇ）×（１／２）×（１−０）＝２７０ｋｇ分の作業量（図３８も参照）
２）２→２アロー：ηＸ＝（５４０ｋｇ＋４８０ｋｇ）×（１／２）×（２／３−０）＝３４０ｋｇ分の作業量（ηＹの計算）
ηＹは、ｘ＝１／２の点における材料Ａの物量を計算する。θ＝１／３であることを考えると、ｘ＝１／２の点での材料Ａの減損量は、始点投入時の割合で（１／３）×（１／２）＝１／６となっている。
１）１→１アロー：材料Ａの減損量が１８０ｋｇ×（１／６）＝３０ｋｇなので、
ηＹ＝１８０ｋｇ−３０ｋｇ＝１５０ｋｇ分の作業量である。
２）２→２アロー：材料Ａの減損量が２７０ｋｇ×（１／６）＝４５ｋｇなので、
ηＹ＝２７０ｋｇ−４５ｋｇ＝２２５ｋｇ分の作業量である。
よって原価配分は以下の表１８のようになる。
よって、完成品（＃１００）原価は６２７，０００円となり、期末仕掛品（＃２００）原価は８８９，０００円となる。
（例題６ａ）
当工場では、材料（箱数単位）を製造工程に投入し、製品（ｋｇ単位）を製造している。材料投入時に、材料はすべて潰して投入するため、生産データはｋｇ単位で計測される。
以下のデータに基づいて、標準原価計算を行う。
（その他の条件）
１）材料はすべて始点投入材料である。
２）仕掛品は加工が進むにつれて投入量の一定割合（θ）が減損する。つまり、加工進捗度ｘに比例して減損する。なお、標準はθ（ｓ）＝２０％である。θ記号の右上の（ｓ）は「標準」の値であることを示す。
３）材料（箱数単位）の重量には箱によってバラツキがあるが、材料の購入契約上、材料費は単価×箱数で計算される。そのため、重量の重い箱ばかりを購入できれば、重量（ｋｇ）あたりの材料費は安くなる。なお、材料の標準重量は材料投入１ｋｇにつき材料２箱、つまり材料０．５ｋｇ／箱である。また、標準単価は＠１００円／箱である。
４）加工作業は主に工員による直接作業で行っているので、直接作業時間を基準にして計算する。（減損がない状況の下で）１ｋｇの製品製造に必要な標準直接作業時間は３時間／ｋｇである。また、直接作業１時間あたりの標準加工費は１，０００円／時間である。
（例題６ａ 解答・解説）
標準原価計算とは、事前に定めた標準製造原価と、実際製造原価とを比較して、どこにどれだけのムダがあったのかを分析する計算方法である。従来の伝統的な標準原価計算の方法では、限定的な条件下でしか正確に計算できないが、本発明のアロー原価計算では、より複雑な条件下でも正確に計算することが可能である。
以下の議論では、「実際」と「標準」を比較する必要がある。これを分かりやすくするために、「実際」の場合は（ａ：ａｃｔｕａｌ）を、「標準」の場合は（ｓ：ｓｔａｎｄａｒｄ）をつける。
アロー原価計算における標準原価計算は、アロー単位で行うのが基本である。そのため、この例題６ａでは、１本のアローのみを考えている。複数のアローが存在している場合は、個別のアロー毎に計算した結果を合計するだけである。そこで、議論を簡単にするために１本のアローのみを考えている。
アローのインプットノードが期首仕掛品ノードか当期投入ノードかによって、標準原価計算の計算方法に違いが生じる。例題６ａはインプットノードが当期投入ノードの例である。
解マッチングは自明であるが、アロー図で示すと図３９のようになる。
実際の減損パラメタを求める。当期は１→１アローしか存在しておらず、３２０ｋｇの材料を始点投入し、完成時には３２０ｋｇ−１９２ｋｇ＝１２８ｋｇが減損しているのであるから、減損率は１２８／３２０＝４０％である。つまり、始点投入した材料は加工の進み具合に比例して徐々に減損していき、製品完成時には投入量の４０％が減損している。よって、θ（ａ）＝４０％である。
を表す。
品１９２ｋｇ）を、標準的な生産状況の下で生産したならば、何ｋｇの材料投入で済んだはずか」を考えている訳である。この物量をαｋｇとおけば、標準的な減損状況の下では２０％が減損で消えるので、完成時には０．８αｋｇになっているはずである。よって、０．８
よって、１→１アローの材料投入量ζは、実際はζ（ａ）＝３２０ｋｇであり、標準はζ（ｓ）＝２４０ｋｇである。これはどういう意味かといえば、「１→１アローのアウトプットノード（完成品１９２ｋｇ）を作るためには、標準的には２４０ｋｇの材料投入で済んだにも関わらず、実際には３２０ｋｇも投入してしまった。つまり、実際減損パラメタが４０％と標準（２０％）よりも悪かったため、材料のムダが３２０ｋｇ−２４０ｋｇ＝８０ｋｇも発生してしまった。」ということである。よって、減損θ差異は８０ｋｇ分の不利差異となる。
減損θ差異を金額で評価すると以下のようになる。
材料投入１ｋｇにつき標準消費量は２箱で、材料１箱の標準単価は＠１００円／箱であるから、８０ｋｇ×２箱／ｋｇ×１００円／箱＝１６，０００円の不利差異、つまり減損率の管理が悪かったために、材料費１６，０００円のムダが生じた、ということが分かる。
次に、材料の消費数量ｑ差異を計算する。当期は３２０ｋｇの材料投入を行ったのであるから、標準では、３２０ｋｇ×２箱／ｋｇ＝６４０箱の材料消費で済んだはずである。しかし、実際には６５０箱の材料を消費しているため、１０箱分、材料がムダになっていることが分かる。よって、材料消費数量ｑ差異は１０箱分の不利差異となる。これは、この例題の設定では、軽い重量の箱ばかりを購入してしまったことが原因と思われる。材料消費数量ｑ差異を金額で評価すると、１０箱×１００円／箱＝１，０００円の不利差異となる。
次に、材料の価格ｐ差異を計算する。当期は６５０箱の材料を消費したのであるから、標準では、６５０箱×１００円／箱＝６５，０００円の材料費がかかったはずである。しかし、実際には５８，５００円しかかかっていないので、材料費が６，５００円も安くなっていることが分かる。よって、材料価格ｐ差異は６，５００円の有利差異となる。これは、材料単価を標準よりも安く済ませることができたことが原因と思われる。
尚、ｑ差異は資源消費量ｑ差異と、ｐ差異は価格ｐ差異と呼ぶことがある。これは、ｑ差異とｐ差異はコスト要素毎に計算されるため、表記を統一したほうが分かりやすいからである。
これをまとめると、表２０のようになる。
次に、図４０を参照してη（ａ）とη（ｓ）を計算する。
１）η（ａ）＝（３２０ｋｇ＋１９２ｋｇ）×（１／２）×（１−０）＝２５６ｋｇ分の加工作業量
２）η（ｓ）＝（２４０ｋｇ＋１９２ｋｇ）×（１／２）×（１−０）＝２１６ｋｇ分の加工作業量
この意味は、「１→１アローのアウトプットノード（完成品１９２ｋｇ）を作るためには、標準的には２１６ｋｇ分の加工作業で済んだにも関わらず、実際には２５６ｋｇ分も加工作業をしてしまった。つまり、実際減損パラメタが４０％と標準（２０％）よりも悪かったため、加工作業のムダが２５６ｋｇ−２１６ｋｇ＝４０ｋｇ分も発生してしまった。」ということである。よって、減損θ差異は４０ｋｇ分の不利差異となる。このように、減損θ差異の影響は、ただ材料投入量ζだけでなく、加工作業量ηにもムダを生じさせるのである。
減損θ差異を金額で評価すると次のようになる。１ｋｇの製品製造のための標準直接作業時間は３時間で、直接作業時間１時間の標準加工費は＠１，０００円／時間であるから、４０ｋｇ×３時間／ｋｇ×１，０００円／時間＝１２０，０００円の不利差異、つまり減損率の管理が悪かったために、加工費１２０，０００円のムダが生じた、ということが分かる。
次に、直接作業時間ｑ差異を計算する。
当期は２５６ｋｇ分の加工作業を行ったのであるから、標準では、２５６ｋｇ×３時間／ｋｇ＝７６８時間の直接作業時間で済んだはずである。しかし、実際には８００時間の直接作業時間を消費しているため、３２時間分、直接作業時間がムダになっていることが分かる。よって、直接作業時間ｑ差異は３２時間分の不利差異となる。直接作業時間ｑ差異を金額で評価すると以下のようになる。
３２時間×１，０００円／時間＝３２，０００円の不利差異。
次に、直接作業の１時間あたりの加工費ｐ差異を計算する。当期は８００時間の加工作業をしたのだから、標準では、８００時間×１，０００円／時間＝８００，０００円の加工費ですんだはずである。しかし、実際には８８０，０００円もかかっているので、加工費が８０，０００円も高くなっていることが分かる。よって、１時間あたりの加工費ｐ差異は８０，０００円の不利差異となる。
この例題６ａはζ（ａ）とζ（ｓ）の差、η（ａ）とη（ｓ）の差を生み出す要因が減損パラメタθだけであったが、状況によっては、他にも材料追加投入パラメタや、製品加工速度を表すアロー経路ｐａｔｈパラメタ、始点投入時の物量比率ベクトルパラメタなど、様々な要因が複雑に影響することがある。その場合は、どの要因がどれだけの影響を与えているかを分析する必要がある。
（例題６ｂ）
例題６ａにおいて、生産データが次のようであった場合の、ζ（ａ）とζ（ｓ）の差異、及びη（ａ）とη（ｓ）の差異分析を行う。
（例題６ｂ 解答・解説）
この例題６ｂは、アローのインプットノードが期首仕掛品ノードの場合の標準原価計算の計算方法について解説する。尚、本来ならばζ（ａ）とζ（ｓ）の差異、及びη（ａ）とη（ｓ）の差異を求めた後は、ｑ差異とｐ差異について計算を行うが、ｑ差異とｐ差異については例題６ａの計算方法と変わらないので、この例題６ｂでは省略している。
この例題も解マッチングは自明であり、図４１は解マッチングを示すアロー図である（説明の都合上、このアローはｉ→ｊアローとする）。
図４１を参照して実際減損パラメタθ（ａ）を求めると、このアローではｘ＝１／２の地点で
ｘに比例して減損していくこと考えると、ｘ＝１／２の地点では、既に始点投入時の物量のうち７２ｋｇが減損していると考えられるため、始点投入時の物量は２８８ｋｇ＋７２ｋｇ＝３６０ｋｇと考えられる。
そうすると、投入から完成までの間で発生する減損量は７２ｋｇ＋７２ｋｇ＝１４４ｋｇとなり、減損率は１４４／３６０＝４０％となる。よって、θ（ａ）＝４０％である。標準減損パラメタは、例題６ａと同じくθ（ｓ）＝２０％である。
た、
場合は、次のように計算する。
（（１）アウトプットノードを、標準的な状況の下で生産した時のζやη）−（（２）インプットノードを、標準的な状況の下で生産した時のζやη）
ここでの必要投入量とは、それぞれ「始点投入時点からアウトプットノード」、「始点投入時点からインプットノード」までの必要投入量である。
このように、期首仕掛品インプットノードの場合のζ（ｓ）やη（ｓ）の計算では、始点投入時のことを考える必要があるため、アロー図において、始点投入ノードを点ｏ（ｓ）として表示している。（ｓ）表記をしているのは、基本的に標準（ｓ）のζやηを計算するときに必要となる座標点だからである。
（（１）アウトプットノードを、標準的な状況の下で生産した時のζやη）の計算
める。
ｌの下添え字“ｉｎ”は、それが始点投入ノードであることを示す。これを使うと、当
で、自明な場合は省略することがある。
「アウトプットノード（完成品２１６ｋｇ）を、標準的な生産状況の下で生産したならば、何ｋｇの材料投入で済んだはずか」を考えるのだが、この物量をαｋｇとおけば、標準的な減損状況の下では２０％が減損で消えるので、完成時には０．８αｋｇになっているはず
＝２４３ｋｇである。
（（２）インプットノードを、標準的な状況の下で生産した時のζやη）の計算
める。
「インプットノード（加工進捗度１／２の期首仕掛品２８８ｋｇ）を、標準的な生産状況の下で生産したならば、何ｋｇの材料投入で済んだはずか」を考えるのだが、この物量をβｋｇとおけば、標準的な減損状況の下では、加工進捗度１／２の時点では、標準減損率２０％×（１／２）＝１０％が減損で消えるので、加工進捗度１／２の時点では０．９βｋｇになっているはずである。そのため、０．９β＝２８８より、β＝３２０ｋｇとなる。よって、
３２０ｋｇとなる。
＝１５２ｋｇである。
以上の議論により、以下の式、
となる。
１２６＝−３５となるので、ηの減損θ差異は３５ｋｇの不利差異となる。
（例題７）
以下のデータに基づいて、標準原価計算を行う。
（その他の条件）
１）この工場では、工程始点で材料Ａと材料Ｂを混合投入している。投入比率は、一定でなく、製造指図書ごとに異なる。なお、始点投入時の物量比率（ψ）の標準は、（Ａ：Ｂ）＝（１：１）である。
２）加工進捗度ｘ＝１／２の地点で、材料Ａを追加投入する。追加投入割合（φ）の標準は、材料Ａのｘ＝１／２の地点における残存量と同量（材料Ａ残存量の１００％）である。
３）Ａ材料費の標準単価＠１００円／ｋｇ
４）Ｂ材料費の標準単価＠２００円／ｋｇ
５）加工作業換算量ηの計算においては、材料Ａと材料Ｂを区別しない。
６）（材料の追加投入がないならば）１ｋｇの製品製造に必要な標準直接作業時間は２時間／ｋｇである。
７）変動加工費は直接作業時間を基準にして計算する。また、直接作業１時間あたりの標準変動加工費は１，０００円／時間である。
８）固定加工費も直接作業時間を基準にして計算する。当期における標準固定加工費は１，８００，０００円であり、当期可能直接作業時間（当期における最大可能な直接作業時間）は９００時間である。そのため、直接作業１時間あたりの標準固定加工費は１，８００，０００円／９００時間＝２，０００円／時間である。
（例題７ 解答・解説）
図４１のアロー原価計算では、より複雑な条件下でも正確な差異分析が可能である。ここでは、ζ（ａ）とζ（ｓ）の差、及びη（ａ）とη（ｓ）の差を生み出す要因として二つの要因、つまり始点投入時の材料Ａと材料Ｂの物量比率（ψ）、そして材料Ａの追加投入割合（φ）を考えている（始点投入時の物量比率はベクトル値として与えられるため、ψと太字で表記している）。
変動加工費の説明の箇所で、「（材料の追加投入がないならば）１ｋｇの製品製造に必要な標準直接作業時間は２時間／ｋｇである。」との書き方は少し奇妙に見えるかもしれない。それは、この例では必然的に材料Ａを追加投入するのであるから、追加投入のない条件に基づいたデータは無意味と思われるからであろう。これは次のような理由による。
本来、標準的な条件下で１ｋｇの製品を完成させるならば、工程始点で（Ａ１／３ｋｇ Ｂ１／３ｋｇ）を投入し、ｘ＝１／２の地点でＡ１／３ｋｇを追加投入することになる。この時、加工作業量ηを計算すると、η＝２／３ｋｇ×（１／２−０）＋１ｋｇ×（１−１／２）＝５／６ｋｇとなる。つまり、５／６ｋｇ分の加工作業を行うことになるが、「η５／６ｋｇに対して標準直接作業時間○時間」という条件の与え方は、話を複雑にするだけである。もちろん、状況によってはこういう条件の与え方の方が、議論が簡単になることもあり得る。どのように条件を与えるかは、個々の状況に応じて判断する。
「（材料の追加投入がないならば）１ｋｇの製品製造に必要な標準直接作業時間は２時間／ｋｇである。」との書き方は、要は「η１ｋｇに対して標準直接作業時間２時間」と言っている訳である。
なお、η５／６ｋｇに対する標準直接作業時間を求めると、５／６×２時間＝５／３時間になる。これが、追加投入を考慮したうえでの、完成品１ｋｇに対する標準直接作業時間である。
この例題７では、変動加工費と固定加工費が区別されている。
変動加工費とは、直接作業時間ｑに従って発生するような加工費（ｑはηに従っているので、変動加工費はηにも従っている）であり、電気・ガス・水道代の従量料金部分、（仕事のあるときだけ契約する）アルバイト工員の賃金などが該当する。
固定加工費とは、直接作業時間ｑやηに関係なく、一定期間中に一定額が発生するような加工費であり、製造設備の減価償却費、電気・ガス・水道代の固定料金部分、（仕事量とは無関係に毎月決められた金額を支払う）正規雇用の工員の賃金（固定月給部分）などが該当する。
解マッチングは自明であり、アロー図は図４２のようになる。
図４２を参照して実際材料追加投入パラメタφ（ａ）を求めると、このアローではｘ＝１／２の地点で１２０ｋｇだった材料Ａに対して２４０ｋｇを追加投入しているので、φ（ａ）＝２４０ｋｇ／１２０ｋｇ＝２００％である。なお、φ（ｓ）は問題文にあるとおり、φ（ｓ）＝１００％である。
始点投入時の実際物量比率パラメタψ（ａ）を求める。投入比率は（Ａ：Ｂ）＝（１２０：２４０）＝（１：２）であるが、パラメタψは、ベクトル内のすべての要素の和が１でないといけないので、
となる。なお、ψ（ｓ）は、（Ａ：Ｂ）＝（１：１）という条件より、
となる。
次に、ζ（ａ）を求めるが、この例題７のように、材料を始点投入だけでなく、追加投入
る。
区別する。
となる。
末仕掛品６００ｋｇ）を、標準的な生産状況の下で生産したならば、始点投入時には物量合計で何ｋｇの材料投入で済んだはずか」を考える。この始点投入時の物量合計をαｋｇと
なる。これに、ｘ＝１／２の地点で材料Ａがα／２だけ追加投入される（φ（ｓ）＝１００％である）
量合計（Ａ＋Ｂ＝α＋α／２＝３α／２）が６００ｋｇになるのであるから、３α／２＝６００より
それぞれ始点投入点とアウトプットノード点における材料Ａと材料Ｂの内訳を示している。
よって、以下のようになる。
つまり、アウトプットノードの物量合計（ｘ＝５／６の期末仕掛品６００ｋｇ）を作るには、標準的には材料Ａは始点投入２００ｋｇ、追加投入２００ｋｇの計４００ｋｇ、材料Ｂは始点投入で２００ｋｇ、加工作業換算量は４００ｋｇが必要であったにも関わらず、実際には材料Ａは始点投入１２０ｋｇ、追加投入２４０ｋｇの計３６０ｋｇ、材料Ｂは始点投入で２４０ｋｇ、加工作業換算量は３８０ｋｇとなった。この差異は、始点投入時の物量比率（ψ）と追加投入割合（φ）が異なっていたことが要因である。
差異の要因が２つ以上存在する場合、どの要因がどれだけの影響を与えているのかを個別に調べる必要がある。そのためには、次のような計算を行う。
どちらを先に置き換えても構わないのだが、一般的には工程の後ろの方に関係するパラメタから先に置き換えていくと、解釈が分かりやすい結果になりやすい。そこで、（ψ）は始点投入時（ｘ＝０）の地点のパラメタであり、（φ）はｘ＝１／２の地点のパラメタなので、
仕掛品６００ｋｇ）を、標準的な始点投入時の物量比率（ψ）、実際的な追加投入割合（φ）という生産状況の下で生産したならば、始点投入時には物量合計で何ｋｇの材料投入で
の地点で材料Ａがβだけ追加投入される（φ（ａ）＝２００％である）ので、アウトプットノ
／２＋β／２＝２β）が６００ｋｇになるのであるから、２β＝６００よりβ＝３００ｋｇとなる。ア
入点とアウトプットノード点における材料Ａと材料Ｂの内訳を示している。
よって、以下のようになる。
なお、材料Ａと材料Ｂに関しては、投入量ζがそのまま資源消費量ｑになっている（ζ＝ｑ）ので、ｑ差異は存在しない。
差異分析結果をまとめると次のようになる。
（材料Ａに関する差異分析）
（材料Ｂに関する差異分析）
（変動加工費に関する差異分析】（１時間あたりの変動加工費をｐＶと表記する）
（固定加工費に関する差異分析）（１時間あたりの固定加工費をｐＦ表記する）
固定加工費の差異分析にでてくるｃａｐａｃｉｔｙ差異の意味について説明する。固定加工費は、製造設備の減価償却費のように、直接作業時間に関係なく一定額が発生する加工費である。この場合、製造設備は遊ばせておいても稼動させても、発生する固定加工費は一定であるのだから、できる限り稼動させたほうが経営上望ましい。当期可能直接作業時間９００時間というのは、この製造設備を十分に稼働させた場合に達成できる時間のことである。
この例題７では、当期の実際直接作業時間が７８０時間、可能直接作業時間が９００時間であるため、１２０時間分の稼働能力が遊んでいることを意味している。これを金額で評価すると２，０００円×１２０時間＝２４０，０００円となり、この金額だけムダが存在していることが分かる。
追加投入パラメタφ差異の影響は様々なコスト要素に波及する。この例題７では、φ（ｓ）＝１００％、φ（ａ）＝２００％と、標準よりも多くの材料Ａを追加投入している。その結果、始点投入分と追加投入分を合わせて考えても、標準よりも多くの材料Ａを投入したため、材料Ａでφ差異５，０００円（不利差異）となっている。これは直感的に明らかである。
φは材料Ａに関する追加投入パラメタであり、材料Ｂは追加投入しないにも関わらず、φ差異の影響は、材料Ａの投入量増加という影響を通じて、材料Ｂの投入量減少ももたらす。材料Ｂでφ差異１０，０００円（有利差異）が発生しているのはこれが理由である。
始点投入された材料には、工程進捗度０≦ｘ≦５／６の範囲において加工作業が投入されるのに較べて、ｘ＝１／２の地点で追加投入された材料には１／２≦ｘ≦５／６の範囲しか加工作業が投入されない。そのため、追加投入量が増えるほど、必要な加工作業量は減少する。変動加工費と固定加工費においてφ差異が有利差異となっているのはこれが理由である。
すべてのコスト要素のφ差異を合計すると３０５，０００円（有利差異）となる。
始点投入時の物量比率パラメタψ差異も同様に、様々なコスト要素に波及する。標準で（Ａ：Ｂ）＝（１：１）、実際は（Ａ：Ｂ）＝（１：２）と、材料Ｂを多めに始点投入している。その分、材料Ａは少なくて済むので、材料Ａψ差異９，０００円（有利差異）となっている。また当然ながら、材料Ｂは標準より多く消費しているので、材料Ｂψ差異１８，０００円（不利差異）となっている。
変動加工費と固定加工費でψ差異（不利差異）が計上されている。加工作業は材料Ａと材料Ｂとで等しく投入される（例えば、材料Ｂは材料Ａより加工に手間がかかるので、材料Ｂ１ｋｇに対する加工作業量は材料Ａ１ｋｇに対する加工作業量の２倍である、などということはない）ので、加工作業換算量ηが投入比率の影響を受けるのは少し不思議かもしれない。
これは、工程始点で材料Ｂを多めに、そして材料Ａを少なめに投入した結果、材料Ａの追加投入量も減少（追加投入量は始点投入量に比例していることに注意）したためである。加工作業において有利な追加投入材料が減少したので、加工費でも不利差異が発生したのである。
すべてのコスト要素のψ差異を合計すると１８９，０００円（不利差異）となる。
なお、ｑ差異とｐ差異は、通常、コスト要素ごとに独立していることが多いので、（φ差異やψ差異のように）様々なコスト要素に影響を与えることはあまりない。例えば、この例題７では、変動加工費と固定加工費の計算基準が共に直接作業時間をｑとして使っているくらいで、この直接作業時間ｑ差異が材料費などに影響を与えてはいない。
アロー原価計算による差異分析では、この例題のφ差異とψ差異のように、様々なコスト要素に複雑に影響を与えるような差異であっても、正確に差異分析を実行することが可能である。
従来の伝統的な標準原価計算による差異分析では、原価計算空間上のアローを分析するという数理的な発想がないため、このような複雑な状況に対して正確な差異分析を実行することは非常に困難である。
（例題８）
次のデータに基づいて、第１当期完成品と第２当期完成品の原価を計算する。
（その他の条件）
１）時間の経過と共に物量が一定量ずつ減損する（投入量や残存量に関わらず、常に一定量が減損する）。
２）材料はすべて工程始点で投入される（始点投入材料）。
３）Ｘ加工費は、加工進捗度ｘを基準にして計算する。
４）Ｔ加工費は、リードタイムｔを基準にして計算する。
５）原価計算期間は１１月１日００：００〜１１月３０日２４：００までの１ヶ月間である。また、当工場はこの期間中は毎日２４時間操業した。
６）第１当期完成品製造において、時間あたりの加工ペースは常に一定であった。
７）第２当期完成品製造において、時間あたりの加工ペース
７−１）１１月１日００：００（投入日時）〜１１月１５日２４：００までの１５日間は、１日あたりの加工進捗度の進むペースは２％で、時間あたりの加工ペースは常に一定であった。
その結果、１１月１５日２４：００時点での加工進捗度は３０％であった。
７−２）１１月１６日００：００〜１１月３０日２４：００（完成日時）までの１５日間は、常に一定であった。
（例題８ 解答・解説）
一般的に、製品製造の現場においては、材料投入から完成までのリードタイム（経過時間）を短縮することも重要な課題となっている。しかし、伝統的な原価計算では、計算システムの中にリードタイムの要素が含まれていないため、この課題に上手く対処できない。
アロー原価計算では、原価計算空間にこれまでの加工進捗度軸だけでなく、時間軸を導入することで、このリードタイムの問題についても適切に取り扱うことが可能である。
今回の例題８は、加工費を二つに分けている。Ｘ加工費は加工進捗度を基準にして計算することが望ましい加工費であり、例えば加工作業を行うときに発生するような加工費が該当する。Ｔ加工費はリードタイムを基準にして計算することが望ましい加工費であり、例えば時間の経過によって発生するような加工費が該当する。アロー原価計算では、どちらの場合でも（更には、もっと複雑な発生様態の費用でも）適切な計算を実行することが可能である。
解マッチングをアロー図で示すと図４３のようになる。
０≦ｔ≦１の範囲を当期と設定している。当期は１１月１日００：００（ｔ＝０）から１１月３０日２４：００（ｔ＝１）までの期間なので、１１月１５日２４：００はｔ＝１／２となる。
１→２アローの経路途中にある▲マークは、途中地点の座標を示す。●はインプットノードを、そして■はアウトプットノードを意味してしまうため使えないので、他の記号として▲マークを使っている。
これまでの、加工進捗度軸しかないアロー図においては、アローの矢印（→）は、どのインプットノードとどのアウトプットノードが対応しているかを示しているだけであったが、図４３のような、時間軸を含めたアロー図においては、この矢印は加工ペースも示すことになる。つまり、「何月何日何時の時点で、加工進捗度は○○であった」という情報を含んでいる。そのため、この矢印は折れ線や曲線のような形状を取ることもある（時間あたりの加工ペースが速ければ垂直に近くなり、遅ければ水平に近くなる）。
この例題８では、１→１アローは投入から完成までの期間中（０≦ｔ≦１／２）で「時間あたりの加工ペースは常に一定であった」という条件が存在するので、アローは直線ということが分かる。１→２アローは（０≦ｔ≦１／２）と（１／２≦ｔ≦１）で加工ペースが異なるので折れ線になっている。
減損パラメタθは次のように計算する。まず、「ｔが１期経過するとθｋｇだけ減損する」と考える。すると、１→１アローではｔが１／２だけ進んでいるからθ／２だけ減損し、１→２アローではｔが１だけ進んでいるからθだけ減損する。合計すると３θ／２が減損している。生産データより、当期投入量３００ｋｇ、完成品は合計で８０ｋｇ＋１６０ｋｇ＝２４０ｋｇなのだから、トータルでは３００ｋｇ−２４０ｋｇ＝６０ｋｇが減損している。よって、３θ／２＝６０よりθ＝４０ｋｇとなる。つまり、１期間経過すると４０ｋｇの材料が減損してしまう。
あとは、１→１アローではθ／２＝２０ｋｇが減損して第１アウトプットノードになって
図４４は、例題８のηＸとηＴの計算例（１→１アロー）を示す図である。
図４５は、例題８のηＸとηＴの計算例（１→２アロー）を示す図である。
ηは、
となる。
よって原価配分は次のようになる。
（例題９ａ）
次のデータに基づいて、ζ（ａ）とζ（ｓ）の差異、及びη（ａ）とη（ｓ）の差異分析を行う。
（その他の条件）
１）時間の経過と共に物量が一定量ずつ減損する（投入量や残存量に関わらず、常に一定量が減損する）。標準減損量は、１期間あたり３２ｋｇである。
２）材料はすべて工程始点で投入される（始点投入材料）。
３）Ｘ加工費は、加工進捗度ｘを基準にして計算する。
４）Ｔ加工費は、リードタイムｔを基準にして計算する。
５）時間あたりの加工速度は常に一定であった。標準リードタイムは半期（１／２）であり、標準加工速度は常に一定である。
（例題９ａ 解答・解説）
この例題９ａでは、時間軸と加工進捗度軸を考慮したモデルにおける標準原価計算の方法を説明する。なお、本来ならばζ（ａ）とζ（ｓ）の差異、及びη（ａ）とη（ｓ）の差異を求めた後は、ｑ差異とｐ差異について計算を行うが、ｑ差異とｐ差異についてはこれまでの議論と変わりないので、この例題９ａでは省略している。
この例題の解マッチングは自明であり、アロー図は図４６に示すようになる（説明の都合上、このアローはｉ→ｊアローとする）。
減損パラメタθ（ａ）は、ｔ＝０に投入した材料１５２ｋｇがｔ＝１には１０４ｋｇに減少しているので、減損量は１５２−１０４＝４８ｋｇである。よってθ（ａ）＝４８。なお、問題文よりθ（ｓ）＝３２。
アロー経路のことをｐａｔｈと言う。加工進捗度・時間軸モデルでは、このｐａｔｈが標準と実際とで異なることに注意する。上記のアロー図において、ｐａｔｈ（ａ）とは、アウトプットノードまでの実際のｐａｔｈを意味するのに対し、ｐａｔｈ（ｓ）とは、アウトプットノードまでの標準のｐａｔｈである。標準では、リードタイムは１／２であり、アウトプットノードの完成日時はｔ＝１であるので、標準的にはｔ＝１−１／２＝１／２の時点で材料を投入することが分かる。また、標準加工速度は常に一定であるので、このアローｐａｔｈ（ｓ）は直線となる。この結果、始点投入点の座標も、実際の始点投入点は（ｔ，ｘ）＝（０，０）だが標準では点（１／２，０）となり、異なる座標になる。
となる。
標準ではｔ＝１／２の時点で材料αｋｇを投入し、標準リードタイム１／２が経過する間にθ（ｓ）×１／２＝３２×１／２＝１６ｋｇが減損し、アウトプットノード１０４ｋｇになるので、α−１６
となる（ｐａｔｈ（ｓ）の経路に従って計算することに注意）。
次に、この（ｓ）と（ａ）のずれの要因として、この例題では二つの要因、つまり減損パラメタθと、アロー経路ｐａｔｈの二つがあるが、どちらの方がより大きな影響を及ぼ
どちらを先に置き換えるべきかだが、ｐａｔｈはできるだけ（ｓ）のままの方が、解釈が分
標準ではｔ＝１／２の時点で材料βｋｇを投入し、標準リードタイム１／２が経過する間にθ（ａ）×１／２＝４８×１／２＝２４ｋｇが減損し、アウトプットノード１０４ｋｇになるので、β−２４
となる（ｐａｔｈ（ｓ）の経路に従って計算することに注意）。
まとめると次のようになる（ｑ差異、ｐ差異はこれまでの議論と同じなので省略する）。
これによれば、θとｐａｔｈの両方とも、実際パラメタは標準パラメタよりも悪化しているが、その悪影響はｐａｔｈの方が大きいこと、特にＴ加工費に関しては非常に深刻なことが分かる。よって、製造工程を見直すならば、まずはｐａｔｈの改善、つまりリードタイムの改善を図るべきである。
もし、リードタイムを改善すると減損パラメタθが悪化してしまうようなトレードオフの状況であっても、減損パラメタの悪化がそこまでひどくなければ、リードタイムを改善したほうが全体として望ましいかもしれない。
アロー原価計算では、このような製品製造工程の改善において、時にトレードオフが存在するような複雑な状況に直面しても、関連するすべての要因を統合して評価することができるため、工場全体として最適となる意思決定に必要な情報を提供可能である。
（例題９ｂ）
次のデータに基づいて、ζ（ａ）とζ（ｓ）の差異、及びη（ａ）とη（ｓ）の差異分析を行う。
（その他の条件）
１）時間の経過と共に物量が一定量ずつ減損する（投入量や残存量に関わらず、常に一定量が減損する）。標準減損量は、１期間あたり３２ｋｇである。
２）材料はすべて工程始点で投入される（始点投入材料）。
３）Ｘ加工費は、加工進捗度ｘを基準にして計算する。
４）Ｔ加工費は、リードタイムｔを基準にして計算する。
５）時間あたりの加工速度は常に一定であった。標準リードタイムは半期（１／２）であり、標準加工速度は常に一定である。
（例題９ｂ 解答・解説）
この例題９ｂは、時間軸と加工進捗度軸を考慮したモデルにおいて、アローのインプットノードが期首仕掛品ノードの場合の標準原価計算の計算方法について解説する。解マッチングは自明であり、アロー図は図４７に示す図のようになる（説明の都合上、このアローはｉ→ｊアローとする）。
減損パラメタθ（ａ）は、ｔ＝０時点の物量１２８ｋｇがｔ＝１／２では１０４ｋｇに減少しているので、減損量は１２８−１０４＝２４ｋｇである。１／２期間で２４ｋｇの減損なので、１期間では４８ｋｇが減損する。よってθ（ａ）＝４８。なお、問題文よりθ（ｓ）＝３２。
この例題では、ｐａｔｈ（ｓ）は２本、つまりアウトプットノードへのｐａｔｈ（ｓ）とインプットノードへのｐａｔｈ（ｓ）の２本が存在している。
となる。
となる。
となる。
まとめると次のようになる（ｑ差異、ｐ差異はこれまでの議論と同じなので省略する）。
ここからは、アロー原価計算におけるその他の論点について説明する。
（例題１０）
次の生産データに基づいて、解マッチングを求めなさい。
（その他の条件）
１）加工進捗度８０％点において、（アローの物量に関わらず）一定量が減損する。
２）材料はすべて工程始点で投入される（始点投入材料）。
３）この工場では、先に投入した材料から優先的に加工を行う。このため、先に投入した材料から順に完成する（先入先出法）。
（例題１０ 解答・解説）
この例題は、減損パラメタθが解マッチングからの分離条件を満たさない場合の、解マッチングの算出方法について説明する。例題の趣旨は解マッチングを求めることであるので、原価データなどは省略している。
まず、減損量をθｋｇとおく。加工進捗度８０％点を通過すると、θｋｇだけ物量が減損する。このとき、０≦θである。
生産データのノードをアロー図上で表示すると、図４８に示すようになる。
解マッチングを求めるには、θに色々な値を代入し、すべてのデータが矛盾のない結果になるかどうかを逐一判定していくことで行われる。例えば、まずはθ＝０ｋｇを考える。
先入先出法のルールに基づき、１→１アローから順に考える。インプットノードは空になり次第、そしてアウトプットノードは満杯になり次第、次のノードに移行する。最後のアロー（この例題では２→２アロー）まで物量を流し終えたとき、データに矛盾がなければ解マッチングである。
図４９は、アロー図（θ＝０の場合）である。
同様に、θの値を色々と変えてみながら、解マッチングを探す。
図５０は、アロー図（θ＝１０の場合）である。図５１は、アロー図（θ＝２０の場合）である。図５２は、アロー図（θ＝３０の場合）である。図５３は、アロー図（θ＝４０の場合）である。
θが４０を超える場合は解マッチングにならないことが直感的に明らかなので、ここで計算を打ち切る。よって、θ＝３０の場合のみが解マッチングとなる。
このように、減損パラメタθが分離条件を満たしていない場合は、逐次的にθの値を変えてみて、データと整合するθの値を探索することになる。
実は、今回の例題ではこれ以外の解マッチングは存在しないが、状況によっては複数のθの下で解マッチングが成立することがある。その場合は、より現実的に妥当なものを解マッチングとして選択すればよい。
例えば、もしも材料追加投入量や減損量が判明しているならば、それと整合的な解マッチングを選択すべきである。
他には、アロー経路の一部区間で物量がマイナスになっているような解マッチングは、解マッチングの条件を満たしているとはいえ、現実的な妥当性は低いだろう。論文中のｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌとは、この現実的な妥当性を評価するための基準である。
（例題１１）
次のアロー図（図５４）で示される生産データに基づいて、先入先出法による解マッチングを求める。なお、材料の減損や追加投入はない。図５４は、アロー図（生産データのみ）である。
（例題１１ 解答・解説）
加工作業がある程度進んだ仕掛品を外部から購入し、工程途中に投入することがある。これを途中投入インプットノードといい、原価計算空間の（境界線上でなく）内部にインプットノードが出現する。この例題では第１インプットノードがそれに該当する。
また、加工作業途中の仕掛品であるが、外部に販売することがある。これを半製品アウトプットノードといい、こちらも原価計算空間の（境界線上でなく）内部にアウトプットノードが出現する。この例題では第２アウトプットノードがそれに該当する。
先入先出法の定義は、アローが交差しないことであり、解マッチングのアロー図は図５５に示すようになる。図５５は、アロー図（先入先出法の解マッチング）である。
１→１アローと２→１アローでアウトプットノードを共有しているが、これは交差しているとはいわない。同様に、２→１アローと２→２アローでインプットノードを共有しているが、これも交差しているとはいわない。
アローが交差しているとは、例えば次のような状態を指す。
図５６は、アロー図（先入先出法ではない解マッチング）である。
この図５６では、１→２アローと２→１アローが交差している。先入先出法とは、このようなアローの交差がひとつも存在しないマッチングルールのことをいうため、この図５６で示されるマッチングは、解マッチングではあるものの、先入先出法ではない。
なお、時間軸と加工進捗度軸を考慮したモデルにおいて、途中投入インプットノードや半製品アウトプットノードが存在する場合には、図５５で示した解マッチング以外にも、先入先出法による解マッチングが存在することがある。それは、例えば次のようなものである。
図５７は、アロー図（先入先出法の解マッチングの別の例）である。
この図５７で示される解マッチングも、アローが交差していないので先入先出法の条件を満たしている。
このように、マッチングルール（例えば先入先出法）を定めても、なお複数の解マッチングが存在する場合には、より現実の生産状況に適合的と考えられる解マッチングを選択する必要がある。
今回の例題では、明らかに図５７の解マッチングには問題が存在している。つまり、２→１アローの一部区間において、ｔ軸（時間軸）を逆方向に進んでしまっている（アロー経路のｒｅａｌｉｔｙ ｌｅｖｅｌ ３）が、これは現実にはあり得ない事である。よって、今回の例題では、図５７の解マッチングは棄却し、図５５の解マッチングを採択するのが妥当であろう。
（例題１２）
ある作業Ｋの作業量は資源ｋの消費量で測定される。また、この消費量はアロー単位で測定している。
次の生産データに基づいて、作業Ｋの加工作業投入量関数を推定する。
（その他の条件）
１）当期の範囲は０≦ｔ≦１とする。
２）減損や追加投入はない。
３）＃１００も＃２００も、時間あたりの加工ペースは常に一定であった。
４）作業Ｋは、加工作業を進めるときにも必要になるが、時間の経過によっても必要になる作業である。
５）作業Ｋは、物量の大きさに比例して必要な作業量も増加する。
６）作業Ｋの作業量は、＃１００と＃２００で同じであった。
（例題１２ 解答・解説）
アロー原価計算では、加工作業投入量関数ｆ′κは既知であり、未知パラメタが含まれてはいけない。しかしながら、実際には、ｆ′κが具体的にどうなっているのかが良く分からない加工作業も存在している。その場合は、ｆ′κを分析者が決定することになるが、必要なデータが揃うならば、ｆ′κを生産データなどから推定することも可能である。
解マッチングは自明であり、アロー図で示すと図５８のようになる。
次に、加工作業投入量関数ｆ′κの関数形を考える。問題文に示される条件、「作業Ｋは、加工作業を進めるときにも必要になるが、時間の経過によっても必要になる作業である」から、
と考えるのが妥当である。
ａとｂが未知パラメタであり、これをデータから推定する。
なお、今回の例題も含め通常は、ｆ′κのパラメタａとｂの相対的な差のみに興味があることが多い。そこで、一般性を失うことなく、
とすることができる。
次に加工作業換算量ηｋの関数形を考える。問題文に示される条件、「作業Ｋは、物量の大きさに比例して必要な作業量も増加する」から、
と考えるのが妥当である。
なお、このηはパラメタａとｂの値によって変化するため、ηｋ（ａ，ｂ）と書いている。
また、今回の例ではアロー単位で計算可能なので、ηの左側に添え字ｉ→ｊをつけている。問題の設定によっては、複数アローの合計η値しか分からないこともありうる。その場合は適宜調整する。
＃１００のアローより、
となる。
同様に、＃２００のアローより、
となる。
問題文に示される条件、「作業Ｋの作業量は、＃１００と＃２００で同じであった」から、
となる。この条件と、ａ＋ｂ＝１の条件より、
となる。
よって、加工作業投入量関数ｆ′κの推定値は
となる（推定値なのでハットを付ける）。
このように、生産データから加工作業投入量関数ｆ′κを推定することが可能となる。
（例題１３）
ある作業Ｋの作業量は資源ｋの消費量で測定される。また、この消費量はアロー単位で測定している。
次の生産データと資源ｋ消費量データに基づいて、作業Ｋの加工作業投入量関数と資源消費量関数を推定しなさい。
（その他の条件）
１）当期の範囲は０≦ｔ≦１とする。
２）減損や追加投入はない。
３）＃１００も＃２００も、時間あたりの加工ペースは常に一定であった。
４）作業Ｋは、加工作業を進めるときにも必要になるが、時間の経過によっても必要になる作業である。
５）作業Ｋは、物量の大きさに比例して必要な作業量も増加する。
６）作業Ｋの作業量と、資源ｋの消費量は比例している。
（例題１３ 解答・解説）
加工作業投入量関数ｆ′κを推定する際に、それ以外の関数も同時に推定することがある。例えばこの例題では、資源消費量関数ｑｋを同時に推定する。
解マッチングは自明であり、アロー図で示すと図５９のようになる。
次に、加工作業投入量関数ｆ′κの関数形を考える。問題文に示される条件、「作業Ｋは、加工作業を進めるときにも必要になるが、時間の経過によっても必要になる作業である」から、
ｆ′κ＝ａ＊ｉ＋ｂ＊ｊ
と考えるのが妥当である。ａとｂが未知パラメタであり、これをデータから推定する。
なお今回も、ａ＋ｂ＝１を仮定する。
次に加工作業換算量ηｋの関数形を考える。問題文に示される条件、「作業Ｋは、物量の大きさに比例して必要な作業量も増加する」から、
と考える。
次に、資源消費量関数ｑｋの関数形を考える。ここでは最も単純に、線型の関数形を考えて、
とする。
実際の資源消費量は、アローによってばらつきが生じるのが普通であるので、誤差項
ここで、パラメタ（今回の例では、ａ，ｂ，ｃ，ｄ）を推定するための方法を考える。一つ
して、この最小二乗法解の時のＲ２が最大化するようにａとｂを決定する。
つまり、
である。これで、すべてのパラメタ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）を推定できる。
ただし、今回の例題では、条件よりいくつかのパラメタに制約が付いていることと、データが２つしかなくて誤差項を完全にゼロにできることから、非常に簡単にパラメタを求めることができる。
まず、ａ＋ｂ＝１と仮定されている。
次に、問題文に示される条件、「作業Ｋの作業量と、資源ｋの消費量は比例している」から、資源の定量消費部分ｄはゼロ（ｄ＝０）と推測できるので、
となる。
＃１００のアローより、
となる。
同様に、＃２００のアローより、
となる。これらの条件と、ａ＋ｂ＝１の条件より、
となる。この時、誤差項は
となり、誤差項の二乗和も最小の０となる。
となる（推定値なのでハットを付ける）。
このように、生産データなどから加工作業投入量関数ｆ′κや資源消費量関数ｑｋを推定することが可能となる。
今回の例では加工作業投入量関数ｆ′κと資源消費量関数ｑｋを推定したが、与えられるデータによっては、加工作業投入量関数ｆ′κと原価関数ｐｋを推定することもある。更には、加工作業投入量関数ｆ′κ、資源消費量関数ｑｋ、原価関数ｐｋをすべて同時に推定することもありうる。
処理および制御は、ＣＰＵ（Ｃｅｎｔｒａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｕｎｉｔ）やＧＰＵ（Ｇｒａｐｈｉｃｓ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｕｎｉｔ）によるソフトウェア処理、ＡＳＩＣ（Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ Ｓｐｅｃｉｆｉｃ Ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ Ｃｉｒｃｕｉｔ）やＦＰＧＡ（Ｆｉｅｌｄ Ｐｒｏｇｒａｍｍａｂｌｅ Ｇａｔｅ Ａｒｒａｙ）によるハードウェア処理によって実現することができる。
また、上記の実施の形態において、図示されている構成等については、これらに限定されるものではなく、本発明の効果を発揮する範囲内で適宜変更することが可能である。その他、本発明の目的の範囲を逸脱しない限りにおいて適宜変更して実施することが可能である。
また、本発明の各構成要素は、任意に取捨選択することができ、取捨選択した構成を具備する発明も本発明に含まれるものである。
また、本実施の形態で説明した機能を実現するためのプログラムをコンピュータ読み取り可能な記録媒体に記録して、この記録媒体に記録されたプログラムをコンピュータシステムに読み込ませ、実行することにより各部の処理を行ってもよい。尚、ここでいう「コンピュータシステム」とは、ＯＳや周辺機器等のハードウェアを含むものとする。
また、「コンピュータシステム」は、ＷＷＷシステムを利用している場合であれば、ホームページ提供環境（あるいは表示環境）も含むものとする。
また、「コンピュータ読み取り可能な記録媒体」とは、フレキシブルディスク、光磁気ディスク、ＲＯＭ、ＣＤ−ＲＯＭ等の可搬媒体、コンピュータシステムに内蔵されるハードディスク等の記憶装置のことをいう。さらに「コンピュータ読み取り可能な記録媒体」とは、インターネット等のネットワークや電話回線等の通信回線を介してプログラムを送信する場合の通信線のように、短時間の間、動的にプログラムを保持するもの、その場合のサーバやクライアントとなるコンピュータシステム内部の揮発性メモリのように、一定時間プログラムを保持しているものも含むものとする。また前記プログラムは、前述した機能の一部を実現するためのものであっても良く、さらに前述した機能をコンピュータシステムにすでに記録されているプログラムとの組み合わせで実現できるものであっても良い。機能の少なくとも一部は、集積回路などのハードウェアで実現しても良い。また、ソフトウェアの形態は、パッケージ商品として実施することの他に、クラウドのシステム（工場の原価計算担当者がｗｅｂ経由で生産データや原価データを原価計算会社のシステムに送信し、原価計算会社のシステムで計算した後、計算結果を工場に送り返す形態なども含まれるものである。
本発明は、製品製造原価計算装置として利用可能である。
Ａ 原価演算システム
１ 記憶装置
１−１ 原価計算空間データ記憶部
１−２ 減損関数データ記憶部
１−３ 追加投入関数データ記憶部
１−４ 加工作業投入量関数データ記憶部
１−５ 当期生産データ記憶部
１−６ 当期実際原価データ記憶部
１１ 演算（計算）装置
１１−１ アロー経路上の物量演算部（ベクトルを含む）
１１−２ 解マッチング判定部
１１−３ 加工作業換算量／材料投入換算量演算部
１１−４ アロー配分原価演算部
１１−５ 差異分析演算部
２１ 出力部

Claims (29)

  1. コンピュータに、製品製造原価計算を実行させるためのプログラムであって、
    メモリに格納されている
    １）加工進捗度軸から成る座標空間により画定される原価計算空間データと、
    ２）加工作業の投入条件である加工作業投入量関数データと、
    ３）原価計算対象期間内の生産状況である当期生産データと、
    ４）与えられた原価計算対象期間内の原価発生状況である当期実際原価データと、を参照し、
    前記原価計算空間データ、前記当期生産データを読み出し、入力されたマッチングに基づいてインプットノードとアウトプットノードとを結ぶアローを、
    原価計算空間内で、以下の要素をすべて含むものとして定義し、
    ａ）前記アローの始点となるインプットノード、
    ｂ）前記アローの終点となるアウトプットノード、
    ｃ）前記アローの経路であるアロー経路、
    ｄ）前記アローの経路上の物量であるアロー経路上の物量、
    前記アロー経路上の物量を計算するステップであって、前記アロー経路上の任意の点における物量は、すべての座標で、前記インプットノードの座標における前記アロー経路上の物量と同一であるとして計算し、
    与えられた生産データに基づいた具体的な製品加工状況を、前記アローによって再現することで、すべてのインプットノード及びすべてのアウトプットノードのそれぞれにおいて、各ノードの物量と、そのノードに関係するすべてのアローの、当該ノードの座標におけるアロー経路上の物量の合計が一致するとき、そのアローの組み合わせとして定義される解マッチングとなれば、
    前記加工作業投入量関数データ、前記アロー経路上の物量データを読み出し、加工作業換算量と材料投入換算量を計算し、
    前記当期実際原価データ、前記加工作業換算量、前記材料投入換算量を読み出し、アローに原価を前記加工作業換算量、前記材料投入換算量の比率で按分し、前記アローに按分された原価を出力するステップと、を
    コンピュータに実行させるための製品製造原価計算プログラム。
  2. さらに、もし減損があれば、メモリに格納されている、
    ５）材料の減損条件である減損関数データを
    参照し、
    アロー経路上の物量を計算するステップであって、前記アロー経路上の任意の点における物量は、前記インプットノードの座標における前記アロー経路上の物量から、前記インプットノードからその点までの減損量を減算して計算するステップにおいて、物量を計算する
    請求項１に記載の製品製造原価計算プログラム。
  3. さらに、もし追加投入があれば、メモリに格納されている、
    ６）材料の追加投入条件である追加投入関数データを参照し、
    前記アロー経路上の物量を計算するステップであって、前記アロー経路上の任意の点における物量は、前記インプットノードの座標における前記アロー経路上の物量から、前記インプットノードからその点までの追加投入量を加算して計算するステップにおいて、物量を計算する
    請求項１に記載の製品製造原価計算プログラム。
  4. さらに、もし減損と追加投入があれば、メモリに格納されている、
    ５）材料の減損条件である減損関数データと、
    ６）材料の追加投入条件である追加投入関数データと、を参照し、
    前記アロー経路上の物量を計算するステップであって、前記アロー経路上の任意の点における物量は、前記インプットノードの座標における前記アロー経路上の物量から、前記インプットノードからその点までの減損量を減算し、前記インプットノードからその点までの追加投入量を加算して計算するステップにおいて、物量を計算する
    請求項１に記載の製品製造原価計算プログラム。
  5. 前記アロー経路上の物量を計算するステップにおいて、
    さらに、前記インプットノードと前記アウトプットノードとが表示されたアロー図を作成するステップを有し、
    前記アロー図上に、前記アローを表示させるステップを有することを特徴とする請求項１から４までのいずれか１項に記載の製品製造原価計算プログラム。
  6. 請求項１から５までのいずれか１項に記載の原価計算プログラムに加えて、さらに、標準原価計算を実行するために、
    前記メモリは、
    ７）加工作業換算量と材料投入換算量に関する標準パラメタ値である標準パラメタ値データと、
    ８）差異分析の順番を記録しておく差異分析の順番データと、
    を記憶しており、
    前記標準パラメタ値データ、前記差異分析の順番データを前記メモリから読み出し、
    標準原価と実際原価の差異を、少なくとも以下の（１）から（６）までのうちのいずれか１に分解することで、原価の構成要素ごとの効率性を明らかにする差異分析を実行するステップ、及び、
    差異分析結果を出力するステップ、
    をコンピュータに実行させるための製品製造原価計算プログラム。
    （１）価格p差異、
    （２）capacity差異、
    （３）資源消費量q差異、
    （４）減損θ差異、
    （５）追加投入φ差異、
    （６）始点投入時の物量比率ψ差異（複数材料を投入する場合）。
  7. さらに、メモリに格納されている、
    ９）標準資源消費量条件である標準資源消費量関数データと、
    １０）標準原価発生条件を記録しておく標準原価関数データと、
    １１）原価計算対象期間内の実際資源消費量状況を記録する実際資源消費量データと、
    を参照し、
    前記差異分析を実行するステップは、さらに、前記標準資源消費量関数データ、前記標準原価関数データ、前記実際資源消費量データを読み出して差異分析を実行する
    請求項６に記載の製品製造原価計算プログラム。
  8. 前記物量をベクトル値（第１材料の物量、第２材料の物量、…、第Ｎ材料の物量）とすることで、Ｎの複数材料を投入する場合の製品製造原価計算を行う、
    請求項１から７までのいずれか１項に記載の製品製造原価計算プログラム。
  9. 前記加工作業投入量関数データを、前記当期生産データから推定することで製品製造原価計算を行う、
    請求項１から８までのいずれか１項に記載の製品製造原価計算プログラム。
  10. コンピュータに、製品製造原価計算を実行させるためのプログラムにおいて、
    メモリに格納されている
    １）加工進捗度軸から成る座標空間により画定される原価計算空間データと、
    ２）原価計算対象期間内の生産状況である当期生産データと、
    を参照し、
    前記原価計算空間データ、前記当期生産データを読み出し、入力されたマッチングに基づいてインプットノードとアウトプットノードとを結ぶアローを、
    原価計算空間内で、以下の要素をすべて含むものとして定義し、
    ａ）前記アローの始点となるインプットノード、
    ｂ）前記アローの終点となるアウトプットノード、
    ｃ）前記アローの経路であるアロー経路、
    ｄ）前記アローの経路上の物量であるアロー経路上の物量、
    さらに、もし減損があれば、メモリに格納されている、
    ３）材料の減損条件である減損関数データ
    を参照し、
    さらに、もし追加投入があれば、メモリに格納されている、
    ４）材料の追加投入条件である追加投入関数データ
    を参照し、
    前記アロー経路上の物量を計算するステップであって、前記アロー経路上の任意の点における物量は、前記インプットノードの座標における前記アロー経路上の物量から、もし減損があれば、前記インプットノードからその点までの減損量を減算し、もし追加投入があれば、前記インプットノードからその点までの追加投入量を加算して計算するステップにおいて物量を計算し、
    アロー図とは、
    i）インプットノードを配置するための座標軸、
    ii）アウトプットノードを配置するための座標軸、
    iii）インプットノードを示す点、
    iv）アウトプットノードを示す点、
    を含み、必要があれば、
    v）アローを示す線又は矢印、
    も含むものであり、このアロー図を表示させるための製品製造原価計算プログラム。
  11. 製品製造原価計算を実行させるための計算装置であって、
    メモリに格納されている
    １）加工進捗度軸から成る座標空間により画定される原価計算空間データと、
    ２）加工作業の投入条件である加工作業投入量関数データと、
    ３）原価計算対象期間内の生産状況である当期生産データと、
    ４）与えられた原価計算対象期間内の原価発生状況である当期実際原価データと、を参照し、
    前記原価計算空間データ、前記当期生産データを読み出し、入力されたマッチングに基づいてインプットノードとアウトプットノードとを結ぶアローを、
    前記原価計算空間内で、以下の要素をすべて含むものとして定義し、
    ａ）前記アローの始点となるインプットノード、
    ｂ）前記アローの終点となるアウトプットノード、
    ｃ）前記アローの経路であるアロー経路、
    ｄ）前記アローの経路上の物量であるアロー経路上の物量、
    前記アロー経路上の物量を計算する第１の演算部あって、前記アロー経路上の任意の点における物量は、前記インプットノードの座標における前記アロー経路上の物量から、もし減損があれば、前記インプットノードからその点までの減損量を減算し、もし追加投入があれば、前記インプットノードからその点までの追加投入量を加算して、前記アロー経路上の物量を計算する第１の演算部と、
    与えられた生産データに基づいた具体的な製品加工状況を、前記アローによって再現することで、すべてのインプットノード及びすべてのアウトプットノードのそれぞれにおいて、各ノードの物量と、そのノードに関係するすべてのアローの、当該ノードの座標におけるアロー経路上の物量の合計が一致するとき、そのアローの組み合わせとして定義される解マッチングとなれば、
    前記加工作業投入量関数データ、前記アロー経路上の物量データを読み出し、加工作業換算量、材料投入換算量を計算する第２の演算部と、
    前記当期実際原価データ、前記加工作業換算量、前記材料投入換算量を読み出し、アローに原価を前記加工作業換算量、前記材料投入換算量の比率で按分する第３の演算部と、
    前記アローに配分された原価を出力する第４の演算部と
    を有する製品製造原価計算装置。
  12. 前記第１の演算部は、前記原価計算空間データ、前記当期生産データを読み出し、インプットノードとアウトプットノードとが表示されたアロー図を作成する処理も行う請求項１１に記載の製品製造原価計算装置。
  13. コンピュータに、製品製造原価計算を実行させるための方法であって、
    メモリに格納されている
    １）加工進捗度軸から成る座標空間により画定される原価計算空間データと、
    ２）加工作業の投入条件である加工作業投入量関数データと、
    ３）原価計算対象期間内の生産状況である当期生産データと、
    ４）与えられた原価計算対象期間内の原価発生状況である当期実際原価データと、を参照し、
    前記原価計算空間データ、前記当期生産データを読み出し、入力されたマッチングに基づいてインプットノードとアウトプットノードとを結ぶアローを、
    前記原価計算空間内で、以下の要素をすべて含むものとして定義し、
    ａ）前記アローの始点となるインプットノード、
    ｂ）前記アローの終点となるアウトプットノード、
    ｃ）前記アローの経路であるアロー経路、
    ｄ）前記アローの経路上の物量であるアロー経路上の物量、
    前記アロー経路上の物量を計算するステップであって、前記アロー経路上の任意の点における物量は、前記インプットノードの座標における前記アロー経路上の物量から、もし減損があれば、前記インプットノードからその点までの減損量を減算し、もし追加投入があれば、前記インプットノードからその点までの追加投入量を加算して計算し、
    与えられた生産データに基づいた具体的な製品加工状況を、前記アローによって再現することで、すべてのインプットノード及びすべてのアウトプットノードのそれぞれにおいて、各ノードの物量と、そのノードに関係するすべてのアローの、当該ノードの座標におけるアロー経路上の物量の合計が一致するとき、そのアローの組み合わせとして定義される解マッチングとなれば、
    前記加工作業投入量関数データ、前記アロー経路上の物量データを読み出し、加工作業換算量、材料投入換算量を計算し、
    前記当期実際原価データ、前記加工作業換算量、前記材料投入換算量を読み出し、アローに原価を前記加工作業換算量、前記材料投入換算量の比率で按分し、前記アローに按分された原価を出力するステップと、をコンピュータに実行させるための製品製造原価計算方法。
  14. さらに、前記原価計算空間データ、前記当期生産データを読み出し、インプットノードとアウトプットノードとが表示されたアロー図を作成するステップを有する請求項１３に記載の製品製造原価計算方法。
  15. コンピュータに、製品製造原価計算を実行させるためのプログラムであって、
    メモリに格納されている
    １）時間軸と加工進捗度軸から成る座標空間により画定される原価計算空間データと、
    ２）加工作業の投入条件である加工作業投入量関数データと、
    ３）原価計算対象期間内の生産状況である当期生産データと、
    ４）与えられた原価計算対象期間内の原価発生状況である当期実際原価データと、を参照し、
    前記原価計算空間データ、前記当期生産データを読み出し、入力されたマッチングに基づいてインプットノードとアウトプットノードとを結ぶアローを、
    原価計算空間内で、以下の要素をすべて含むものとして定義し、
    ａ）前記アローの始点となるインプットノード、
    ｂ）前記アローの終点となるアウトプットノード、
    ｃ）前記アローの経路であるアロー経路、
    ｄ）前記アローの経路上の物量であるアロー経路上の物量、
    前記アロー経路上の物量を計算するステップであって、前記アロー経路上の任意の点における物量は、すべての座標で、前記インプットノードの座標における前記アロー経路上の物量と同一であるとして計算し、
    与えられた生産データに基づいた具体的な製品加工状況を、前記アローによって再現することで、すべてのインプットノード及びすべてのアウトプットノードのそれぞれにおいて、各ノードの物量と、そのノードに関係するすべてのアローの、当該ノードの座標におけるアロー経路上の物量の合計が一致するとき、そのアローの組み合わせとして定義される解マッチングとなれば、
    前記加工作業投入量関数データ、前記アロー経路上の物量データを読み出し、加工作業換算量と材料投入換算量を計算し、
    前記当期実際原価データ、前記加工作業換算量、前記材料投入換算量を読み出し、アローに原価を前記加工作業換算量、前記材料投入換算量の比率で按分し、前記アローに按分された原価を出力するステップと、をコンピュータに実行させるための製品製造原価計算プログラム。
  16. さらに、もし減損があれば、メモリに格納されている、
    ５）材料の減損条件である減損関数データを
    参照し、
    アロー経路上の物量を計算するステップであって、前記アロー経路上の任意の点における物量は、前記インプットノードの座標における前記アロー経路上の物量から、前記インプットノードからその点までの減損量を減算して計算するステップにおいて、物量を計算する
    請求項１５に記載の製品製造原価計算プログラム。
  17. さらに、もし追加投入があれば、メモリに格納されている、
    ６）材料の追加投入条件である追加投入関数データを参照し、
    前記アロー経路上の物量を計算するステップであって、前記アロー経路上の任意の点における物量は、前記インプットノードの座標における前記アロー経路上の物量から、前記インプットノードからその点までの追加投入量を加算して計算するステップにおいて、物量を計算する
    請求項１５に記載の製品製造原価計算プログラム。
  18. さらに、もし減損と追加投入があれば、メモリに格納されている、
    ５）材料の減損条件である減損関数データと、
    ６）材料の追加投入条件である追加投入関数データと、を参照し、
    前記アロー経路上の物量を計算するステップであって、前記アロー経路上の任意の点における物量は、前記インプットノードの座標における前記アロー経路上の物量から、前記インプットノードからその点までの減損量を減算し、前記インプットノードからその点までの追加投入量を加算して計算するステップにおいて、物量を計算する
    請求項１５に記載の製品製造原価計算プログラム。
  19. 前記アロー経路上の物量を計算するステップにおいて、
    さらに、前記インプットノードと前記アウトプットノードとが表示されたアロー図を作成するステップを有し、
    前記アロー図上に、前記アローを表示させるステップを有することを特徴とする請求項１５から１８までのいずれか１項に記載の製品製造原価計算プログラム。
  20. 請求項１５から１９までのいずれか１項に記載の製品製造原価計算プログラムに加えて、さらに、標準原価計算を実行するために、
    前記メモリは、
    ７）加工作業換算量と材料投入換算量に関する標準パラメタ値である標準パラメタ値データと、
    ８）差異分析の順番を記録しておく差異分析の順番データと、
    を記憶しており、
    前記標準パラメタ値データ、前記差異分析の順番データを前記メモリから読み出し、
    標準原価と実際原価の差異を、少なくとも以下の（１）から（７）までのうちのいずれか１に分解することで、原価の構成要素ごとの効率性を明らかにする差異分析を実行するステップ、及び、
    差異分析結果を出力するステップ、
    をコンピュータに実行させるための製品製造原価計算プログラム。
    （１）価格p差異、
    （２）capacity差異、
    （３）資源消費量q差異、
    （４）減損θ差異、
    （５）追加投入φ差異、
    （６）始点投入時の物量比率ψ差異（複数材料を投入する場合）、
    （７）アロー経路path差異
  21. さらに、メモリに格納されている、
    ９）標準資源消費量条件である標準資源消費量関数データと、
    １０）標準原価発生条件を記録しておく標準原価関数データと、
    １１）原価計算対象期間内の実際資源消費量状況を記録する実際資源消費量データと、
    を参照し、
    前記差異分析を実行するステップは、さらに、前記標準資源消費量関数データ、前記標準原価関数データ、前記実際資源消費量データを読み出して差異分析を実行する
    請求項２０に記載の製品製造原価計算プログラム。
  22. 前記物量をベクトル値（第１材料の物量、第２材料の物量、…、第Ｎ材料の物量）とすることで、Ｎの複数材料を投入する場合の製品製造原価計算を行う、
    請求項１５から２１までのいずれか１項に記載の製品製造原価計算プログラム。
  23. 前記加工作業投入量関数データを、前記当期生産データから推定することで製品製造原価計算を行う、
    請求項１５から２２までのいずれか１項に記載の製品製造原価計算プログラム。
  24. コンピュータに、製品製造原価計算を実行させるためのプログラムにおいて、
    メモリに格納されている
    １）時間軸と加工進捗度軸から成る座標空間により画定される原価計算空間データと、
    ２）原価計算対象期間内の生産状況である当期生産データと、
    を参照し、
    前記原価計算空間データ、前記当期生産データを読み出し、入力されたマッチングに基づいてインプットノードとアウトプットノードとを結ぶアローを、
    原価計算空間内で、以下の要素をすべて含むものとして定義し、
    ａ）前記アローの始点となるインプットノード、
    ｂ）前記アローの終点となるアウトプットノード、
    ｃ）前記アローの経路であるアロー経路、
    ｄ）前記アローの経路上の物量であるアロー経路上の物量、
    さらに、もし減損があれば、メモリに格納されている、
    ３）材料の減損条件である減損関数データ
    を参照し、
    さらに、もし追加投入があれば、メモリに格納されている、
    ４）材料の追加投入条件である追加投入関数データ
    を参照し、
    前記アロー経路上の物量を計算するステップであって、前記アロー経路上の任意の点における物量は、前記インプットノードの座標における前記アロー経路上の物量から、もし減損があれば、前記インプットノードからその点までの減損量を減算し、もし追加投入があれば、前記インプットノードからその点までの追加投入量を加算して計算するステップにおいて物量を計算し、アロー図とは、
    i）時間軸、
    ii）加工進捗度軸、
    iii）インプットノードを示す点、
    iv）アウトプットノードを示す点、
    を含み、必要があれば、
    v）アローを示す線又は矢印、
    も含むものであり、このアロー図を表示させるための製品製造原価計算プログラム。
  25. 前記解マッチングは、
    いずれのアローも交差していないとき、それを先に投入した材料から順に加工作業を行う先入先出法と判定する
    請求項１から４及び請求項１５から１８までのいずれか１項に記載の製品製造原価計算プログラム。
  26. 製品製造原価計算を実行させるための計算装置であって、
    メモリに格納されている
    １）時間軸と加工進捗度軸から成る座標空間により画定される原価計算空間データと、
    ２）加工作業の投入条件である加工作業投入量関数データと、
    ３）原価計算対象期間内の生産状況である当期生産データと、
    ４）与えられた原価計算対象期間内の原価発生状況である当期実際原価データと、を参照し、
    前記原価計算空間データ、前記当期生産データを読み出し、入力されたマッチングに基づいてインプットノードとアウトプットノードとを結ぶアローを、
    前記原価計算空間内で、以下の要素をすべて含むものとして定義し、
    ａ）前記アローの始点となるインプットノード、
    ｂ）前記アローの終点となるアウトプットノード、
    ｃ）前記アローの経路であるアロー経路、
    ｄ）前記アローの経路上の物量であるアロー経路上の物量、
    前記アロー経路上の物量を計算する第１の演算部であって、前記アロー経路上の任意の点における物量は、前記インプットノードの座標における前記アロー経路上の物量から、もし減損があれば、前記インプットノードからその点までの減損量を減算し、もし追加投入があれば、前記インプットノードからその点までの追加投入量を加算して、前記アロー経路上の物量を計算する第１の演算部と、
    与えられた生産データに基づいた具体的な製品加工状況を、前記アローによって再現することで、すべてのインプットノード及びすべてのアウトプットノードのそれぞれにおいて、各ノードの物量と、そのノードに関係するすべてのアローの、当該ノードの座標におけるアロー経路上の物量の合計が一致するとき、そのアローの組み合わせとして定義される解マッチングとなれば、
    前記加工作業投入量関数データ、前記アロー経路上の物量データを読み出し、加工作業換算量、材料投入換算量を計算する第２の演算部と、
    前記当期実際原価データ、前記加工作業換算量、前記材料投入換算量を読み出し、アローに原価を前記加工作業換算量、前記材料投入換算量の比率で按分する第３の演算部と、
    前記アローに按分された原価を出力する第４の演算部と
    を有する製品製造原価計算装置。
  27. 前記第１の演算部は、
    前記原価計算空間データ、前記当期生産データを読み出し、インプットノードとアウトプットノードとが表示されたアロー図を作成する処理も行う
    請求項２６に記載の製品製造原価計算装置。
  28. コンピュータに、製品製造原価計算を実行させるための方法であって、
    メモリに格納されている
    １）時間軸と加工進捗度軸から成る座標空間により画定される原価計算空間データと、
    ２）加工作業の投入条件である加工作業投入量関数データと、
    ３）原価計算対象期間内の生産状況である当期生産データと、
    ４）与えられた原価計算対象期間内の原価発生状況である当期実際原価データと、を参照し、
    前記原価計算空間データ、前記当期生産データを読み出し、入力されたマッチングに基づいてインプットノードとアウトプットノードとを結ぶアローを、
    前記原価計算空間内で、以下の要素をすべて含むものとして定義し、
    ａ）前記アローの始点となるインプットノード、
    ｂ）前記アローの終点となるアウトプットノード、
    ｃ）前記アローの経路であるアロー経路、
    ｄ）前記アローの経路上の物量であるアロー経路上の物量、
    前記アロー経路上の物量を計算するステップであって、前記アロー経路上の任意の点における物量は、前記インプットノードの座標における前記アロー経路上の物量から、もし減損があれば、前記インプットノードからその点までの減損量を減算し、もし追加投入があれば、前記インプットノードからその点までの追加投入量を加算して計算し、
    与えられた生産データに基づいた具体的な製品加工状況を、前記アローによって再現することで、すべてのインプットノード及びすべてのアウトプットノードのそれぞれにおいて、各ノードの物量と、そのノードに関係するすべてのアローの、当該ノードの座標におけるアロー経路上の物量の合計が一致するとき、そのアローの組み合わせとして定義される解マッチングとなれば、
    前記加工作業投入量関数データ、前記アロー経路上の物量データを読み出し、加工作業換算量、材料投入換算量を計算し、
    前記当期実際原価データ、前記加工作業換算量、前記材料投入換算量を読み出し、アローに原価を前記加工作業換算量、前記材料投入換算量の比率で按分し、前記アローに按分された原価を出力するステップと、をコンピュータに実行させるための製品製造原価計算方法。
  29. さらに、前記原価計算空間データ、前記当期生産データを読み出し、インプットノードとアウトプットノードとが表示されたアロー図を作成するステップを有する
    請求項２８に記載の製品製造原価計算方法。
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