JP5773101B2 - コンデンサのシミュレーション方法並びにコンデンサのシミュレーション装置およびその使用方法 - Google Patents

Description

本発明は、コンデンサの直流電圧印加時の非線形特性をシミュレートするコンデンサのシミュレーション方法、並びにコンデンサのシミュレーション装置およびその使用方法に関するものである。

従来、この種の電子部品のシミュレーション方法および等価回路モデルは、電子回路設計における回路シミュレート時に用いられている。回路シミュレートには、ＳＰＩＣＥ（Simulation Program with Integrated Circuit Empahsis）等の回路シミュレータが用いられ、回路シミュレータの中には、電子部品製造メーカのホームページサイトにおいて利用することが出来るものもある。利用者は、パーソナルコンピュータ等の端末からインターネット網を通じて電子部品製造メーカのホームページサイトにアクセスし、回路シミュレータを利用する。

従来、この種のシミュレーション方法および等価回路モデルとしては、例えば、特許文献１に開示されたコンデンサについてのものがある。

このシミュレーションでは、同文献の図１に示されるように、第１のステップにおいて、コンデンサの与えられた周波数特性を入力し、第２のステップにおいて、周波数に依存しない抵抗（Ｒ）、キャパシタンス（Ｃ）、インダクタンス（Ｌ）を用いた、時間領域でのシミュレーションが可能な回路として、ＲＣ回路、およびＲＬ回路と、ＲＣＬ回路のいずれかを等価回路モデルとして形成する。そして、第３のステップにおいて、第２のステップで形成した等価回路モデルの精度を判定するための評価関数を合成し、第４のステップにおいて、第３のステップで合成した評価関数を最小化することによって回路定数を決定する。

特許文献１では、上記の構成により、周波数領域でインピーダンスを示されたコンデンサの、時間領域でのシミュレーションが可能な等価回路モデルを導出し、コンデンサの周波数領域または時間領域での電気的特性を、回路シミュレーションによって予測する。

また、従来、インダクタのシミュレーション方法および等価回路モデルとして、例えば、特許文献２に開示されたものがある。

このシミュレーションでは、同文献の図１（Ｃ）に示されるように、内部導体の表皮効果を考慮するインダクタンスＬ１とレジスタンスＲ１の直列回路に、直流に対するインダクタンスＬ０とインダクタンスＬ１との間の相互インダクタンスＬｍが並列接続され、これに直流に対するインダクタンスＬ０と内部導体の直流抵抗Ｒｄｃ１とが直列に接続された等価回路モデルが使用される。この等価回路モデルでは、さらに、外部電極のインダクタンス及びレジスタンスが同時に考慮され、インダクタンスＬ０に直列に外部電極のインダクタンスＬｓが直列に接続されると共に、内部導体の直流抵抗Ｒｄｃ１に外部電極の直流抵抗Ｒｄｃ２が直列に接続される。また、積層チップインダクタのチップを構成する誘電体の寄生キャパシタンスＣｐと、誘電体の損失を表す抵抗Ｒｐとを直列に接続した直列回路が、外部電極の等価素子Ｌｓ，Ｒｄｃ２の内側に並列に接続される。

特許文献２では、上記の等価回路モデルを使用した回路シミュレーションにより、回路設計と実際の回路性能との間に発生する誤差を抑制している。

また、従来、コンデンサのシミュレーション方法および等価回路モデルとして、例えば、特許文献３に開示された理想Ｃ回路モデルおよび広帯域高精度等価回路モデルを用いたものがある。

理想Ｃ回路モデルは、同文献の図１（Ａ）に示されるように、一つのキャパシタンスエレメントＣを回路素子とする等価回路で表される。キャパシタンスエレメントＣの両端に印加される電圧ｖは、その両端に印加された時間変化する信号電圧とノイズ電圧をｖ_ａｃ、両端に印加されたＤＣバイアス電圧をＶ_ｄｃとした場合、次の（１）式に表される。
ｖ＝ｖ_ａｃ＋Ｖ_ｄｃ …（１）

キャパシタンスエレメントＣがＤＣバイアス電圧Ｖ_ｄｃによって変化する特性は、次の（２）式に示される多項式で表現される。
Ｃ＝Ｃ（Ｖ_ｄｃ）
＝Ｃ_０＋Ｃ_１Ｖ_ｄｃ＋Ｃ_２Ｖ_ｄｃ ^２＋Ｃ_３Ｖ_ｄｃ ^３＋Ｃ_４Ｖ_ｄｃ ^４＋Ｃ_５Ｖ_ｄｃ ^５＋Ｃ_６Ｖ_ｄｃ ^６＋…
…（２）

また、キャパシタンスエレメントＣに流れる電流ｉは、次の（３）式に表される。
ｉ＝Ｃ（Ｖ_ｄｃ）・ｄｖ／ｄｔ …（３）

この（３）式を計算するため、同文献の図１（Ｂ）に示されるように演算回路が構築される。この演算回路では、キャパシタンスエレメントＣが、ＤＣバイアス電圧Ｖ_ｄｃによりコントロールされるノンリニア電圧制御電圧源ＵＡ３に変換される。また、コンデンサの両端に印加された総電圧ｖが、リニア電圧制御電圧源Ｅ１を経由して、極めて低いカットオフ周波数を持つローパスフィルタＬ１及びＲ１を通過することで、ＤＣバイアス電圧Ｖ_ｄｃが得られ、ノンリニア電圧制御電圧源ＵＡ３に与えられる。また、総電圧ｖが、リニア電圧制御電圧源Ｅ２を通じて微分デバイスＵＡ１の入力端子に供給されることで、微分ｄｖ／ｄｔが行われる。また、微分デバイスＵＡ１の出力電圧ｖ１が、キャパシタンスエレメントＣを代替するノンリニア電圧制御電圧源ＵＡ３の出力電圧（Ｃ（Ｖ_ｄｃ））と共に、３端子乗算デバイスＵＡ２に入力されることで、乗算（Ｃ（Ｖ_ｄｃ）・ｄｖ／ｄｔ）が行われる。これにより、乗算デバイスＵＡ２の出力端子に乗算結果が出力される。乗算デバイスＵＡ２の出力電圧ｖ２は、コンデンサに流れている電流ｉと単位抵抗の積に等しいので、出力電圧ｖ２により制御されるリニア電圧制御電流源Ｇを用いて、コンデンサと置き換えられる。

このような理想Ｃ回路モデルは、実際の部品のインピーダンス特性との差、特に高周波帯域における差が大き過ぎるため、回路シミュレーションには相応しくないが、回路設計の初期段階もしくは回路特性の予測には便利である。

また、特許文献３に開示された広帯域高精度等価回路モデルは、ＭＬＣＣ（積層セラミックコンデンサ）のシミュレーションに適用される。このシミュレーションでは、同文献の図５（Ａ）に示される回路構成の等価回路モデルが使用される。同文献の図５（Ｂ）に示されるように、積層チップコンデンサ１０では、複数の内部電極２０が積層されており、交互に電極の引き出しが行われている。同文献の図５（Ａ）に示される等価回路は、積層チップコンデンサ１０の複数の内部電極２０の厚みを考慮したものであり、複数の内部電極２０のそれぞれ上面２２及び下面２４における電磁効果のほか、複数の内部電極２０の一方の側面２６及び他方の側面２８と、オープン端面３０の電磁効果も考慮したものである。

この等価回路における各種回路素子の値は、すべてＤＣバイアス電圧により変化する。ＤＣバイアス電圧による各回路素子の特性変化は多項式によって表現され、この特性変化を見込んだ場合のＭＬＣＣの等価回路モデルは、同文献の図１２に示される。このモデルでは、微分デバイス、乗算デバイス、３端子や４端子の加算デバイスなどの他、除算デバイスと５端子の加算デバイスも使用される。ＤＣバイアス電圧による特性変化を見込んだこのような広帯域高精度モデルは、広い周波数帯域において良好なシミュレーション精度を得ることができる。

特開２００２−２５９４８２号公報 特開２０１０−２０４８６９号公報 特開２０１２−１５０５７９号公報

コンデンサやインダクタといった電子部品は、その静電容量やインダクタンスといった特性値が、重畳印加されるＤＣバイアス電圧や直流電流によって変化し、その変化は回路シミュレーションに無視できないものとなる。しかしながら、特許文献１や特許文献２に開示された上記従来の電子部品のシミュレーション方法に用いられる等価回路モデルは、いずれも抵抗素子Ｒ、誘導素子Ｌおよび容量素子Ｃの受動回路素子だけの組合せによって構成されており、ＤＣバイアス電圧または直流電流が重畳印加されたときに電子部品に生じる特性変化が反映されない。

また、特許文献３に開示された上記従来の電子部品のシミュレーション方法では、電圧源モデルや電流源モデルが等価回路モデルに用いられることで、ＤＣバイアス電圧が重畳印加されたときに電子部品に生じる特性変化が反映されている。しかしながら、この等価回路モデルは、微分、乗算、加算等の演算回路を含んだ複雑な構成をしているため、ある規則に則って規則的に等価回路モデルを導出することができず、等価回路モデルの導出作業は極めて難しい。また、このような複雑な構成をしているため、回路の動作を読むことも難しく、回路の見通しが悪いものとなっている。さらに、（２）式に示されるように、直流バイアスの依存性を反映する近似式に奇数次のべき条項が含まれるため、直流バイアスの符号が逆になった場合に対応することができず、モデルに極性の問題が生じる。また、直流バイアスの値が突発的に変化すると、発散した値に変換される問題も生じる。

本発明はこのような課題を解決するためになされたもので、
受動回路素子を使って表されたコンデンサの等価回路を用いてコンデンサの特性をコンピュータによってシミュレートするコンデンサのシミュレーション方法において、
コンピュータが、
コンデンサにかかる電圧を参照し、
参照した電圧に対応して、実測値を基に電圧を変数として表された近似関数により算出される直流電圧印加時における特性変化率、および直流電圧無印加時の受動回路素子の特性に応じて直流電圧印加時に受動回路素子に流れる無印加時電流に基づいて、直流電圧の印加によって特性が変化する受動回路素子に並列に接続される制御電流源により、直流電圧印加時の受動回路素子の特性に応じて直流電圧印加時に受動回路素子に流れる印加時電流と無印加時電流との差分電流を発生させ、無印加時電流に差分電流を併流させることで、
コンデンサの直流電圧印加時の非線形特性をシミュレートすることを特徴とする。

また、コンデンサの等価回路を表す受動回路素子と、
コンデンサにかかる電圧を参照する電圧参照手段と、
直流電圧印加時における受動回路素子の特性変化率を実測値を基に電圧を変数として表す近似関数により、電圧参照手段によって参照される電圧に対応して算出される特性変化率、および直流電圧無印加時の受動回路素子の特性に応じて直流電圧印加時に受動回路素子に流れる無印加時電流に基づいて、直流電圧印加時の受動回路素子の特性に応じて直流電圧印加時に受動回路素子に流れる印加時電流と無印加時電流との差分電流を発生させる、直流電圧の印加によって特性が変化する受動回路素子に並列に接続される制御電流源と
を備えて構成されるコンデンサの非線形等価回路モデルを用いてコンデンサの直流電圧印加時の非線形特性をコンピュータによってシミュレートするコンデンサのシミュレーション方法を構成した。

本構成のコンデンサのシミュレーション方法においては、直流電圧印加時における受動回路素子の特性変化率が、実測値を基に、参照する電圧を変数とした近似関数により表される。従って、受動回路素子の特性変化率は、参照する電圧に応じて、この近似関数により算出される。また、直流電圧印加時の受動回路素子の特性に応じて直流電圧印加時に受動回路素子に流れる印加時電流は、直流電圧無印加時の受動回路素子の特性に応じて直流電圧印加時に受動回路素子に流れる無印加時電流に、印加時電流と無印加時電流との差分電流を併流させることで、求めることができる。このため、上記の特性変化率および無印加時電流に基づいて、制御電流源により、印加時電流と無印加時電流との差分電流を発生させ、制御電流源に受動回路素子を並列に接続してこの差分電流を無印加時電流に併流させることで、受動回路素子の印加時電流をシミュレートすることができる。

すなわち、コンデンサにかかる電圧を参照して近似関数により受動回路素子の特性変化率を算出し、特性変化率および無印加時電流に基づいて制御電流源により差分電流を発生させることで、任意の直流印加電圧に対して動的に追従可能なシミュレーションをすることができる。この結果、コンデンサの直流電圧印加時の非線形特性を精度高く動的にシミュレートすることが可能なコンデンサのシミュレーション方法を単純な構成で簡単に提供することができる。また、コンデンサの非線形等価回路モデルは、上記のように、無印加時電流を基準にして、無印加時電流に差分電流を制御電流源によって単に併流させることで得られるので、逆に、本等価回路モデルから制御電流源を除外することで、無印加時電流に対応した、つまり、直流電圧の印加に依存しないコンデンサの等価回路モデルを簡単に得ることができる。

また、本発明は、差分電流が、差分電流をΔＩ、無印加時電流をＩ_０、近似関数を参照する電圧ｘを変数とする関数exp(f(x))とした場合に、次式
ΔＩ＝Ｉ_０×[exp(f(x))−１]
の関数形で与えられることを特徴とする。

本構成によれば、参照する電圧ｘの値がゼロのときには、指数関数である関数exp(f(x))の値が１になり、無印加時電流Ｉ_０に乗算される係数[exp(f(x))−１]の値がゼロになるので、差分電流ΔＩの値もゼロとなる。また、参照する電圧ｘの値がゼロでないときには、関数exp(f(x))の値が１より大きくなり、無印加時電流Ｉ_０に乗算される係数[exp(f(x))−１]の値がゼロより大きくなる。このため、実用時に即して差分電流ΔＩの値が算出され、参照する電圧ｘの値がゼロでないときには、差分電流ΔＩが電圧ｘに対応して必ず算出されてコンデンサの特性がシミュレートされ、コンデンサの定性理解に供される。

また、本発明は、近似関数が奇数次のべき乗項を含まない多項式形式の偶関数で与えられることを特徴とする。

本構成によれば、近似関数が奇数次のべき乗項を含まない多項式形式で表現されるため、従来のコンデンサのシミュレーションとは異なり、直流バイアスの符号が逆になった場合や直流バイアスの値が突発的に変化した場合などにも、受動回路素子の特性変化率は近似関数によって適切に近似される。

また、本発明は、コンデンサにかかる電圧が等価回路の両端で参照され、無印加時電流が受動回路素子の入力端または出力端で参照されることを特徴とする。

本構成によれば、参照する電圧または無印加時電流を等価回路モデルと別に設定して計算する方式とは異なり、等価回路モデル内でその回路両端に生じる瞬時電圧、または等価回路モデル内の受動回路素子の入力端もしくは出力端に生じる瞬時電流が参照されて、差分電流の演算が行われる。このため、差分電流の演算に用いられる電圧および無印加時電流は時間遅れなく参照され、コンデンサの非線形特性についての過渡応答解析を高速に高精度で行うことが可能となる。

また、本発明は、制御電流源に並列に接続される受動回路素子が、容量素子単体、または容量素子と抵抗素子との並列回路、または容量素子と抵抗素子と誘導素子との並列回路であることを特徴とする。

本構成によれば、直流電圧の印加に依存しない受動回路素子の特性は、容量素子単体、または容量素子と抵抗素子との並列回路、または容量素子と抵抗素子と誘導素子との並列回路によって表される。そして、これら回路に並列に制御電流源が接続されることで、直流電圧の印加に依存する受動回路素子の特性がシミュレートされる。

また、本発明は、制御電流源と受動回路素子との並列回路が複数直列に接続されることを特徴とする。

本構成によれば、制御電流源と受動回路素子との簡単な並列回路が単に直列に接続され、その直列数が増えることで、等価回路モデルのシミュレート精度が高められる。このため、シミュレート精度の高い等価回路モデルを、規則的で見通しよく構成することができる。また、制御電流源と受動回路素子との並列回路を複数直列に接続するだけなので、系統的な演算手続によって受動回路素子の直流電圧印加時の特性をシミュレートすることができる。

また、本発明は、等価回路が、コンデンサへの直流電圧の印加によって特性が変化しない受動回路素子を含んで構成されることを特徴とする。

本構成によれば、直流電圧の印加によって特性が変化する受動回路素子と、直流電圧の印加によって特性が変化しない受動回路素子とが組み合わされて等価回路モデルが構成されるので、コンデンサの非線形特性のシミュレーションをさらに高精度化すると共に、シミュレーションの周波数帯域を広帯域化することが可能となる。

また、本発明は、
コンデンサの等価回路を表す受動回路素子、
コンデンサにかかる電圧を参照する電圧参照手段、
直流電圧印加時における受動回路素子の特性変化率を実測値を基に電圧を変数として表す近似関数により、電圧参照手段によって参照される電圧に対応して算出される特性変化率、および直流電圧無印加時の受動回路素子の特性に応じて直流電圧印加時に受動回路素子に流れる無印加時電流に基づいて、直流電圧印加時の受動回路素子の特性に応じて直流電圧印加時に受動回路素子に流れる印加時電流と無印加時電流との差分電流を発生させる、直流電圧の印加によって特性が変化する受動回路素子に並列に接続される制御電流源
を備えて構成されるコンデンサの非線形等価回路モデルを格納する格納手段と、
コンデンサの種類を入力する第１のステップ、
コンデンサへ印加する電圧またはコンデンサへ流す電流を入力する第２のステップ、
第２のステップで入力された電圧または電流によってコンデンサにかかる電圧を参照し、第１のステップで入力された種類のコンデンサについて予め用意された近似関数により参照電圧に対応して算出される特性変化率、および無印加時電流に基づいて、制御電流源によって差分電流を発生させ、無印加時電流に差分電流を併流させることで、コンデンサの直流電圧印加時の非線形特性をシミュレートする第３のステップ
を備えるコンピュータプログラムをコンピュータに実行させて、上記のいずれかのコンデンサのシミュレーション方法を実行する実行手段と
から、コンデンサのシミュレーション装置を構成した。

本構成によれば、シミュレートするコンデンサの種類、およびコンデンサへ印加する電圧またはコンデンサへ流す電流の値がコンピュータプログラムに入力されることで、入力された種類のコンデンサの非線形特性は、コンピュータプログラムにより、受動回路素子の無印加時電流に差分電流が併流させられて自動的にシミュレーションされる。このため、本シミュレーション装置の利用者は、シミュレートするコンデンサの種類、およびコンデンサへ印加する電圧またはコンデンサへ流す電流の値をコンピュータプログラムに入力するだけで、的確な回路シミュレーションを高精度かつ簡単に行える。この結果、回路シミュレートに関する専門知識を持たない一般の利用者であっても、コンデンサを用いた電子回路の的確な回路シミュレーションを高精度かつ簡単に行える。

また、本発明は、前記格納手段および前記コンピュータプログラムを備えるサーバにインターネット網を介してアクセスし、インターネット網に接続された端末から前記実行手段に前記コンピュータプログラムを実行させるコンデンサのシミュレーション装置の使用方法を構成した。

本構成によれば、利用者は、インターネット網に接続された端末から前記格納手段および前記コンピュータプログラムを備えるサーバにアクセスすることで、前記コンピュータプログラムを容易に使用することが出来る。このため、本発明によるコンデンサのシミュレーション装置を多数の利用者が使用することが可能になる。

本発明によれば、上記のように、コンデンサの直流電圧印加時の非線形特性を精度高く動的にシミュレートすることが可能なコンデンサのシミュレーション方法並びにコンデンサのシミュレーション装置およびその使用方法を単純な構成で簡単に提供することができる。

（ａ）は、本発明の第１の実施の形態におけるコンデンサの直流電圧無印加時の受動等価回路モデル、（ｂ）は第１の実施の形態における直流電圧印加時のコンデンサの非線形等価回路モデルを示す回路図である。 （ａ）は、可変抵抗素子Ｒ_Ｘ１(Ｖdc)および可変容量素子Ｃ_Ｘ１(Ｖdc)を使って表される直流電圧印加時のコンデンサの非線形等価回路モデル、（ｂ）は、第１の実施の形態において可変抵抗素子Ｒ_Ｘ１(Ｖdc)および可変容量素子Ｃ_Ｘ１(Ｖdc)が等価モデル化されて表される、直流電圧印加時のコンデンサの非線形等価回路モデルを示す回路図である。 （ａ）は、図１（ｂ）に示す非線形等価回路モデルから算出されるコンデンサのインピーダンスＺの大きさＭａｇＺについての周波数特性を、図１（ａ）に示す受動等価回路モデルから算出される特性と比較して示すグラフ、（ｂ）は、図１（ｂ）に示す非線形等価回路モデルから算出されるコンデンサの等価直列抵抗ＥＳＲの周波数特性を、図１（ａ）に示す受動等価回路モデルから算出される特性と比較して示すグラフである。 （ａ）は、本発明の第２の実施の形態におけるコンデンサの直流電圧無印加時の受動等価回路モデル、（ｂ）は、第２の実施の形態における直流電圧印加時のコンデンサの非線形等価回路モデルを示す回路図である。 （ａ）は、第２の実施の形態において、制御電流源Ｂ_Ｒを用いて直流電圧印加時の非線形特性が表された抵抗素子Ｒ_１と、制御電流源Ｂ_Ｃを用いて直流電圧印加時の非線形特性が表された容量素子Ｃ_１との並列回路、（ｂ）は、１つの制御電流源（Ｂ_Ｒ＋Ｂ_Ｃ）を用いて直流電圧印加時の非線形特性が表された、抵抗素子Ｒ_１と容量素子Ｃ_１との並列回路である。 （ａ）は、図４（ｂ）に示す非線形等価回路モデルから算出されるコンデンサのインピーダンスＺの大きさＭａｇＺについての周波数特性を、図４（ａ）に示す受動等価回路モデルから算出される特性と比較して示すグラフ、（ｂ）は、図４（ｂ）に示す非線形等価回路モデルから算出されるコンデンサの等価直列抵抗ＥＳＲの周波数特性を、図４（ａ）に示す受動等価回路モデルから算出される特性と比較して示すグラフである。 （ａ）、（ｂ）、（ｃ）は、本発明の各実施の形態における受動等価回路モデルで使用される、直流電圧Ｖdcが印加されない場合の特性を表す受動回路素子、（ｄ）、（ｅ）、（ｆ）は、各実施の形態における非線形等価回路モデルで使用される、直流電圧Ｖdcが印加される場合の非線形特性を表す受動回路素子の構成を示す図である。 （ａ）は、コンデンサへの直流電圧Ｖdcの印加によって特性が変化しない受動回路素子ｒ，ｃ，ｌを含んで構成されるインピーダンス展開型受動等価回路モデル、（ｂ）は、これら受動回路素子ｒ，ｃ，ｌを含んで構成されるインピーダンス展開型非線形等価回路モデルを示す回路図である。 図８（ｂ）に示す非線形等価回路モデルを一般形にして表した、本発明の第３の実施の形態における非線形等価回路モデルの回路図である。 直流電圧Ｖdcの印加によって特性が変化しない受動回路素子が組み合わされて構成された、本発明の第４の実施の形態におけるコンデンサのインピーダンス展開型等価回路モデルの具体的な一例を示す回路図である。 直流電圧Ｖdcの無印加時におけるコンデンサのインピーダンスＺの大きさＭａｇＺと等価直列抵抗ＥＳＲとについて、図１０に示した等価回路モデルを使って計算した計算値を、測定値と比較して示すグラフである。 第４の実施の形態におけるコンデンサのインピーダンス展開型等価回路モデルを構成する回路素子の特性を補正する際に用いられる適用ルールを説明するための回路図である。 （ａ）は、コンデンサの容量変化率ｋｃを、コンデンサへ印加される直流電圧Ｖdcの近似関数として表したグラフ、（ｂ）は、コンデンサの誘電損失変化率Ｋdを、コンデンサへ印加される直流電圧Ｖdcの近似関数として表したグラフである。 （ａ）は、図１０に示す等価回路モデルに基づく、第４の実施の形態におけるコンデンサの直流電圧無印加時の受動等価回路モデル、（ｂ）は、同じく図１０に示す等価回路モデルに基づく、第４の実施の形態における直流電圧印加時のコンデンサの非線形等価回路モデルを示す回路図である。 （ａ）は、コンデンサのインピーダンスＺの大きさＭａｇＺについて、図１４に示した等価回路モデルを使って計算した計算値を測定値と比較して示すグラフ、（ｂ）は、コンデンサの等価直列抵抗ＥＳＲについて、図１４に示した等価回路モデルを使って計算した計算値を測定値と比較して示すグラフである。

次に、本発明によるコンデンサのシミュレーション方法およびコンデンサの非線形等価回路モデルを、リニアテクノロジー社が提供するＬＴspiceに適用した実施の形態について、説明する。

図１（ａ）は、第１の実施の形態におけるコンデンサの直流電圧無印加時の受動等価回路モデル、同図（ｂ）は第１の実施の形態における直流電圧印加時のコンデンサの非線形等価回路モデルを示す回路図である。

各等価回路モデルにおける、抵抗素子Ｒ_１と容量素子Ｃ_１との直列回路は、シミュレーションの対象とするコンデンサの等価回路を表す受動回路素子を構成する。同図（ａ）に示す受動等価回路モデルでは、直流電圧Ｖdcが重畳していない交流電圧Ｖacが、ＬＴspiceの電圧源モデルＶ_０によって受動回路素子Ｒ_１，Ｃ_１に電圧Ｖとして印加される。また、同図（ｂ）に示す非線形等価回路モデルでは、直流電圧Ｖdcが重畳した交流電圧Ｖacが、ＬＴspiceの電圧源モデルＶ_１によって受動回路素子Ｌ_１，Ｒ_１に電圧Ｖとして印加される。ここで、各等価回路における容量素子Ｃ_１の回路定数は８[μＦ]、抵抗素子Ｒ_１の回路定数は２．５[ｍΩ]、直流印加電圧Ｖdcは６[Ｖ]に設定した。

同図（ａ）に示す受動等価回路モデルにおける電圧源モデルＶ_ｎ０、および同図（ｂ）に示す非線形等価回路モデルにおける電圧源モデルＶ_ｎ１，Ｖ_Ｒ１，Ｖ_Ｃ１は、等価回路モデルにおける各箇所に流れる電流Ｉを計測する。これら電圧源モデルＶ_ｎ０，Ｖ_ｎ１，Ｖ_Ｒ１，Ｖ_Ｃ１は、それぞれの箇所における電流を計測するために設定した、ＬＴspiceにおける便宜上のコンポーネントであり、設定電圧Ｖが０[Ｖ]に設定されて電流計として代用される。

同図（ｂ）に示す制御電流源Ｂ_Ｒ１，Ｂ_Ｃ１は、受動回路素子Ｒ_１，Ｃ_１の回路定数の変化率すなわち特性変化率ｋ_Ｒ１(Ｖdc)，ｋ_Ｃ１(Ｖdc)、および無印加時電流Ｉ_Ｒ１，Ｉ_Ｃ１に基づいて、後述するように、印加時電流Ｉ_Ｒ１(Ｖdc)，Ｉ_Ｃ１(Ｖdc)と無印加時電流Ｉ_Ｒ１，Ｉ_Ｃ１との差分電流ΔＩ_Ｒ１，ΔＩ_Ｃ１を発生させる。無印加時電流Ｉ_Ｒ１，Ｉ_Ｃ１は、電圧源モデルＶ_Ｒ１，Ｖ_Ｃ１により、受動回路素子Ｒ_１，Ｃ_１の入力端で参照されるが、受動回路素子Ｒ_１，Ｃ_１の出力端で参照されるようにしてもよい。ここで、特性変化率ｋ_Ｃ１(Ｖdc)，ｋ_Ｒ１(Ｖdc)は、直流電圧Ｖdcの無印加時における受動回路素子Ｒ_１，Ｃ_１の回路定数に対する、直流電圧Ｖdcの印加時における回路定数の比である。また、無印加時電流Ｉ_Ｒ１，Ｉ_Ｃ１は、直流電圧Ｖdcの無印加時に受動回路素子Ｒ_１，Ｃ_１に流れる電流であり、印加時電流Ｉ_Ｒ１(Ｖdc)，Ｉ_Ｃ１(Ｖdc)は、直流電圧Ｖdcの印加時に受動回路素子Ｒ_１，Ｃ_１に流れる電流である。これら制御電流源Ｂ_Ｒ１，Ｂ_Ｃ１は、図示するように、直流電圧Ｖdcの印加によって特性が変化する受動回路素子Ｒ_１，Ｃ_１に並列に接続される。

各等価回路モデルにおける受動回路素子Ｒ_１，Ｃ_１は、その回路定数が直流印加電圧Ｖdcに依存しない不変のものを表しており、その特性変化による電圧変動分は制御電流源Ｂ_Ｒ１，Ｂ_Ｃ１によって表される。制御電流源Ｂ_Ｒ１，Ｂ_Ｃ１は、ＬＴspiceにおいてビヘイビア電流源モデルとして扱われるＬＴspiceのコンポーネントであり、参照する電圧Ｖrefおよび無印加時電流Ｉ_Ｒ１，Ｉ_Ｃ１に依存して、それ自身の値が従属的に決定される。本実施の形態では、電圧源モデルＶ_０，Ｖ_１によりコンデンサの両端に印加される電圧Ｖが、制御電流源Ｂ_Ｒ１，Ｂ_Ｃ１によって参照され、電圧Ｖのうちの直流電圧Ｖdcが参照電圧Ｖrefとされる。制御電流源Ｂ_Ｒ１，Ｂ_Ｃ１は、シミュレーションの対象とするコンデンサにかかる電圧Ｖrefを参照する電圧参照手段を構成する。なお、本実施形態では、電圧Ｖのうちの直流電圧Ｖdcだけを参照しているが、直流電圧Ｖdcと交流電圧Ｖacとの双方を参照して参照電圧Ｖrefとするようにしてもよい。

直流電圧Ｖdcの印加によって容量素子Ｃ_１と抵抗素子Ｒ_１の回路定数が変化する場合、本来であれば、図２（ａ）の回路図に示すように、容量素子Ｃ_１は、直流印加電圧Ｖdcの値に依存して容量値が可変する可変容量素子Ｃ_Ｘ１(Ｖdc)、抵抗素子Ｒ_１は、直流印加電圧Ｖdcの値に依存して抵抗値が変化する可変抵抗素子Ｒ_Ｘ１(Ｖdc)、と表される。ここで、容量素子Ｃ_１には抵抗素子Ｒ_２が並列に接続され、可変抵抗素子Ｒ_Ｘ１(Ｖdc)と誘導素子Ｌ_２とが直列に接続されているものとする。これら抵抗素子Ｒ_２および誘導素子Ｌ_２は、直流電圧Ｖdcの印加によって回路定数が変化せず、不変であるものとする。このため、回路図における抵抗素子Ｒ_２および誘導素子Ｌ_２の素子記号には、可変容量素子Ｃ_Ｘ１(Ｖdc)および可変抵抗素子Ｒ_Ｘ１(Ｖdc)と異なり、可変を示す矢印が無い。

この回路の入力端子に図示するように直流電流Ｉが流れ、可変容量素子Ｃ_Ｘ１(Ｖdc)と抵抗素子Ｒ_２との並列回路に電圧Ｖ_１、可変抵抗素子Ｒ_Ｘ１(Ｖdc)に電圧Ｖ_２が生じるものと仮定する。この場合、回路の入出力端子間に生じる電圧Ｖ、および回路に流れる電流Ｉは、それぞれ次の（４）式および（５），（６）式によって表される。
Ｖ＝Ｖ_１＋Ｖ_２ …（４）
Ｉ＝Ｖ_１／Ｒ_２＋Ｃ_Ｘ１(Ｖdc)・ｄＶ_１／ｄｔ …（５）
Ｉ＝Ｖ_２／Ｒ_Ｘ１(Ｖdc) …（６）

本実施形態では、直流電圧Ｖdcの印加によって回路定数が変化する可変容量素子Ｃ_Ｘ１(Ｖdc)を、図２（ｂ）に示すように、ＬＴspiceでビヘイビア電流源モデルとして扱われる制御電流源Ｂ_Ｃと容量素子Ｃ_１との並列回路として表す。また、直流電圧Ｖdcの印加によって回路定数が変化する可変抵抗素子Ｒ_Ｘ１(Ｖdc)を、図２（ｂ）に示すように、ＬＴspiceでビヘイビア電流源モデルとして扱われる制御電流源Ｂ_Ｒと抵抗素子Ｒ_１との並列回路として表す。この容量素子Ｃ_１および抵抗素子Ｒ_１は、図１におけるものと同じであり、その回路定数が直流印加電圧Ｖdcに依存しない不変のものを表している。

制御電流源Ｂ_Ｃは、直流電圧Ｖdcの印加によって容量素子Ｃ_１に生じる電流の変動分を、直流印加電圧Ｖdcの値に応じて差分電流ΔＩ_Ｃ１(Ｖdc)として発生させる。制御電流源Ｂ_Ｒは、直流電圧Ｖdcの印加によって抵抗素子Ｒ_１に生じる電流の変動分を、直流電圧Ｖdcの値に応じて差分電流ΔＩ_Ｒ１(Ｖdc)として発生させる。

可変容量素子Ｃ_Ｘ１(Ｖdc)および可変抵抗素子Ｒ_Ｘ１(Ｖdc)を上記のように等価モデル化することで、本来的には図２（ａ）に示される回路は、図２（ｂ）に示す本実施形態の非線形等価回路モデルに置き換えられる。つまり、図２（ａ）に示される可変容量素子Ｃ_Ｘ１(Ｖdc)と可変抵抗素子Ｒ_Ｘ１(Ｖdc)との直列回路は、図２（ｂ）に示すように、制御電流源Ｂ_Ｃと容量素子Ｃ_１との並列回路に制御電流源Ｂ_Ｒと抵抗素子Ｒ_１との並列回路を直列に接続した回路に置き換えられる。

この場合、非線形等価回路モデルに流れる電流Ｉは、制御電流源Ｂ_Ｃ，Ｂ_Ｒが発生させる差分電流ΔＩ_Ｃ１(Ｖdc)，ΔＩ_Ｒ１(Ｖdc)を用いて、次の（７）式，（８）式によって表される。
Ｉ＝Ｖ_１／Ｒ_２＋Ｃ_１・ｄＶ_１／ｄｔ＋ΔＩ_Ｃ１(Ｖdc) …（７）
Ｉ＝Ｖ_２／Ｒ_１＋ΔＩ_Ｒ１(Ｖdc) …（８）

また、差分電流ΔＩ_Ｃ１(Ｖdc)は、容量素子Ｃ_１の印加時電流Ｉ_Ｃ１(Ｖdc)と無印加時電流Ｉ_Ｃ１との差であるから、容量素子Ｃ_１の特性変化率ｋ_Ｃ１(Ｖdc)を用いて、次の（９）式によって表される。
ΔＩ_Ｃ１(Ｖdc)
＝Ｉ_Ｃ１(Ｖdc)−Ｉ_Ｃ１
＝（Ｃ_Ｘ１(Ｖdc)−Ｃ_１）・ｄＶ_１／ｄｔ
＝（ｋ_Ｃ１(Ｖdc)−１）・Ｃ_１・ｄＶ_１／ｄｔ
＝（ｋ_Ｃ１(Ｖdc)−１）・Ｉ_Ｃ１ …（９）

ここで、特性変化率ｋ_Ｃ１(Ｖdc)は、直流電圧Ｖdcの無印加時における受動回路素子Ｃ_１の回路定数Ｃ_１に対する、直流電圧Ｖdcの印加時における回路定数Ｃ_Ｘ１(Ｖdc)の比であり、次の（１０）式によって表される。
ｋ_Ｃ１(Ｖdc)＝Ｃ_Ｘ１(Ｖdc)／Ｃ_１ …（１０）

制御電流源Ｂ_Ｃは、（９）式に示されるように、特性変化率ｋ_Ｃ１(Ｖdc)から１を減算した値に無印加時電流Ｉ_Ｃ１を乗算することで、つまり、特性変化率ｋ_Ｃ１(Ｖdc)および無印加時電流Ｉ_Ｃ１に基づいて、印加時電流Ｉ_Ｃ１(Ｖdc)と無印加時電流Ｉ_Ｃ１との差分電流ΔＩ_Ｃ１(Ｖdc)を発生させる。

また、差分電流ΔＩ_Ｒ１(Ｖdc)は、抵抗素子Ｒ_１の印加時電流Ｉ_Ｒ１(Ｖdc)と無印加時電流Ｉ_Ｒ１との差であるから、抵抗素子Ｒ_１の特性変化率ｋ_Ｒ１(Ｖdc)を用いて、次の（１１）式によって表される。
ΔＩ_Ｒ１(Ｖdc)
＝Ｉ_Ｒ１(Ｖdc)−Ｉ_Ｒ１
＝（１／Ｒ_Ｘ１(Ｖdc)−１／Ｒ_１）・Ｖ_２
＝（１／ｋ_Ｒ１(Ｖdc)−１）・Ｖ_２／Ｒ_１
＝（１／ｋ_Ｒ１(Ｖdc)−１）・Ｉ_Ｒ１ …（１１）

ここで、特性変化率ｋ_Ｒ１(Ｖdc)は、直流電圧Ｖdcの無印加時における受動回路素子Ｒ_１の回路定数Ｒ_１に対する、直流電圧Ｖdcの印加時における回路定数Ｒ_Ｘ１(Ｖdc)の比であり、次の（１２）式によって表される。
ｋ_Ｒ１(Ｖdc)＝Ｒ_Ｘ１(Ｖdc)／Ｒ_１ …（１２）

制御電流源Ｂ_Ｒは、（１１）式に示されるように、特性変化率ｋ_Ｒ１(Ｖdc)の逆数から１を減算した値に無印加時電流Ｉ_Ｒ１を乗算することで、つまり、特性変化率ｋ_Ｒ１(Ｖdc)および無印加時電流Ｉ_Ｒ１に基づいて、印加時電流Ｉ_Ｒ１(Ｖdc)と無印加時電流Ｉ_Ｒ１との差分電流ΔＩ_Ｒ１(Ｖdc)を発生させる。

特性変化率ｋ_Ｃ１(Ｖdc)，ｋ_Ｒ１(Ｖdc)は、近似関数exp(f(x))により、参照電圧Ｖref（＝Ｖdc）に対応して算出される。近似関数exp(f(x))は、実測値を基に、コンデンサにかかる参照電圧Ｖrefを変数ｘとして、後述するように（図１３参照）、表される。本実施形態では、近似関数exp(f(x))は、奇数次のべき乗項を含まない多項式形式の偶関数で与えられる。また、（９）式および（１１）式で表される差分電流ΔＩ_Ｃ１(Ｖdc)，ΔＩ_Ｒ１(Ｖdc)は、この近似関数exp(f(x))を用いて次の（１３）式および（１４）式の関数形で与えられる。
ΔＩ_Ｃ１(Ｖdc)＝[exp(f(x))−１]・Ｉ_Ｃ１ …（１３）
ΔＩ_Ｒ１(Ｖdc)＝[exp(f(x))−１]・Ｉ_Ｒ１ …（１４）

本実施の形態のコンデンサのシミュレーション方法では、まず、コンデンサの等価回路を受動回路素子Ｒ_１，Ｃ_１の直列回路を使って表し、図１（ｂ）に示す非線形等価回路モデルを構築する。そして、直流電圧Ｖdcの印加時における受動回路素子Ｒ_１，Ｃ_１の特性変化率ｋ_Ｒ１(Ｖdc)，ｋ_Ｃ１(Ｖdc)を、実測値を基に、参照電圧Ｖrefを変数ｘとする近似関数exp(f(x))として表す。次に、受動回路素子Ｒ_１，Ｃ_１に並列に接続される制御電流源Ｂ_Ｒ１，Ｂ_Ｃ１により、参照電圧Ｖrefが参照され、近似関数exp(f(x))が用いられて、参照電圧Ｖrefに対応して特性変化率ｋ_Ｒ１(Ｖdc)，ｋ_Ｃ１(Ｖdc)が算出される。また、電圧源モデルＶ_Ｒ１，Ｖ_Ｃ１によって計測される受動回路素子Ｒ_１，Ｃ_１に流れる無印加時電流Ｉ_Ｒ１，Ｉ_Ｃ１が、制御電流源Ｂ_Ｒ１，Ｂ_Ｃ１によって参照される。そして、特性変化率ｋ_Ｒ１(Ｖdc)，ｋ_Ｃ１(Ｖdc)および無印加時電流Ｉ_Ｒ１，Ｉ_Ｃ１に基づいて、制御電流源Ｂ_Ｒ１，Ｂ_Ｃ１により、印加時電流Ｉ_Ｒ１(Ｖdc)，Ｉ_Ｃ１(Ｖdc)と無印加時電流Ｉ_Ｒ１，Ｉ_Ｃ１との差分電流ΔＩ_Ｒ１(Ｖdc)，ΔＩ_Ｃ１(Ｖdc)が発生させられ、無印加時電流Ｉ_Ｒ１，Ｉ_Ｃ１に差分電流ΔＩ_Ｒ１(Ｖdc)，ΔＩ_Ｃ１(Ｖdc)が併流させられることで、コンデンサの直流電圧Ｖdcの印加時の非線形特性がシミュレートされる。

図３（ａ）は、上記のようにコンデンサの非線形特性がシミュレートされて、図１（ｂ）に示す非線形等価回路モデルから算出されるコンデンサのインピーダンスＺの大きさＭａｇＺについての周波数特性と、図１（ａ）に示す受動等価回路モデルから算出される同大きさＭａｇＺについての周波数特性とを、比較して示すグラフである。同グラフの横軸は周波数[Ｈｚ]、縦軸は大きさＭａｇＺの値[Ω]を表す。また、実線で示す周波数特性Ａ１は非線形等価回路モデルから算出される、直流印加電圧Ｖdc＝６[Ｖ]のときの特性、破線で示す周波数特性Ａ０は受動等価回路モデルから算出される、直流印加電圧Ｖdc＝０のときの特性である。

図３（ｂ）は、上記のようにコンデンサの非線形特性がシミュレートされて、図１（ｂ）に示す非線形等価回路モデルから算出されるコンデンサの等価直列抵抗ＥＳＲの周波数特性と、図１（ａ）に示す受動等価回路モデルから算出される同等価直列抵抗ＥＳＲについての周波数特性とを、比較して示すグラフである。同グラフの横軸は周波数[Ｈｚ]、縦軸は等価直列抵抗ＥＳＲの値[Ω]を表す。また、実線で示す周波数特性Ｂ１は非線形等価回路モデルから算出される、直流印加電圧Ｖdc＝６[Ｖ]のときの特性、破線で示す周波数特性Ｂ０は受動等価回路モデルから算出される、直流印加電圧Ｖdc＝０のときの特性である。

図３（ａ）のグラフに示されるように、インピーダンスの大きさＭａｇＺについての周波数特性Ａ１は、直流電圧Ｖdcの印加によってＭａｇＺの値が直流電圧無印加時の周波数特性Ａ０より大きくなっており、直流電圧Ｖdcの印加によってインピーダンスが変動している。また、高周波域では、図３（ｂ）に示す等価直列抵抗ＥＳＲの特性に漸近する。また、図３（ｂ）のグラフに示されるように、等価直列抵抗ＥＳＲについての周波数特性Ｂ１も、直流電圧Ｖdcの印加によってＥＳＲの値が直流電圧無印加時の周波数特性Ｂ０より大きくなっており、直流電圧Ｖdcの印加によって変動している。しかし、周波数特性Ｂ１およびＢ０ともに、等価直列抵抗ＥＳＲの値は周波数に依らずに一定値となっている。

このような第１の実施の形態によるコンデンサのシミュレーション方法およびコンデンサの非線形等価回路モデルにおいては、上記のように、直流電圧Ｖdcの印加時における受動回路素子Ｒ_１，Ｃ_１の特性変化率ｋ_Ｒ１(Ｖdc)，ｋ_Ｃ１(Ｖdc)が、実測値を基に、コンデンサにかかる参照電圧Ｖrefを変数ｘとした近似関数exp(f(x))により表される。従って、（１０）式，（１２）式に示される特性変化率ｋ_Ｒ１(Ｖdc)，ｋ_Ｃ１(Ｖdc)は、参照する電圧Ｖrefに応じて、この近似関数exp(f(x))により算出される。また、印加時電流Ｉ_Ｒ１(Ｖdc)，Ｉ_Ｃ１(Ｖdc)は、無印加時電流Ｉ_Ｒ１，Ｉ_Ｃ１に、（９）式，（１１）式に示される差分電流ΔＩ_Ｒ１(Ｖdc)，ΔＩ_Ｃ１(Ｖdc)を併流させることで、求めることができる。このため、上記の特性変化率ｋ_Ｒ１(Ｖdc)，ｋ_Ｃ１(Ｖdc)および無印加時電流Ｉ_Ｒ１，Ｉ_Ｃ１に基づいて、制御電流源Ｂ_Ｒ，Ｂ_Ｃにより、差分電流ΔＩ_Ｒ１(Ｖdc)，ΔＩ_Ｃ１(Ｖdc)を発生させ、制御電流源Ｂ_Ｒ，Ｂ_Ｃに受動回路素子Ｒ_１，Ｃ_１を並列に接続して、この差分電流ΔＩ_Ｒ１(Ｖdc)，ΔＩ_Ｃ１(Ｖdc)を無印加時電流Ｉ_Ｒ１，Ｉ_Ｃ１に併流させることで、受動回路素子Ｒ_１，Ｃ_１の印加時電流Ｉ_Ｒ１(Ｖdc)，Ｉ_Ｃ１(Ｖdc)をシミュレートすることができる。

すなわち、コンデンサにかかる電圧Ｖrefを参照して近似関数exp(f(x))により受動回路素子Ｒ_１，Ｃ_１の特性変化率ｋ_Ｒ１(Ｖdc)，ｋ_Ｃ１(Ｖdc)を算出し、特性変化率ｋ_Ｒ１(Ｖdc)，ｋ_Ｃ１(Ｖdc)および無印加時電流Ｉ_Ｒ１，Ｉ_Ｃ１に基づいて制御電流源Ｂ_Ｒ，Ｂ_Ｃにより（９）式，（１１）式に示される差分電流ΔＩ_Ｒ１(Ｖdc)，ΔＩ_Ｃ１(Ｖdc)を発生させることで、任意の直流印加電圧Ｖdcに対して動的に追従可能なシミュレーションをすることができる。この結果、コンデンサの直流電圧印加時の非線形特性を精度高く動的にシミュレートすることが可能なコンデンサのシミュレーション方法およびコンデンサの非線形等価回路モデルを単純な構成で簡単に提供することができる。また、コンデンサの非線形等価回路モデルは、上記のように、無印加時電流Ｉ_Ｒ１，Ｉ_Ｃ１を基準にして、無印加時電流Ｉ_Ｒ１，Ｉ_Ｃ１に差分電流ΔＩ_Ｒ１(Ｖdc)，ΔＩ_Ｃ１(Ｖdc)を制御電流源Ｂ_Ｒ，Ｂ_Ｃによって単に併流させることで得られるので、逆に、図１（ｂ）に示される非線形等価回路モデルから制御電流源Ｂ_Ｒ，Ｂ_Ｃを除外することで、無印加時電流Ｉ_Ｒ１，Ｉ_Ｃ１に対応した、つまり、直流電圧Ｖdcが印加しない場合の、図１（ａ）に示されるコンデンサの等価回路モデルを簡単に得ることができる。

また、第１の実施の形態によるコンデンサのシミュレーション方法およびコンデンサの非線形等価回路モデルによれば、参照電圧Ｖrefの値がゼロ（ｘ＝０）のときには、指数関数である近似関数exp(f(x))の値が１になり、無印加時電流Ｉ_Ｒ１，Ｉ_Ｃ１に乗算される、（１３）式および（１４）式に示される係数[exp(f(x))−１]の値がゼロになるので、差分電流ΔＩ_Ｒ１(Ｖdc)，ΔＩ_Ｃ１(Ｖdc)の値もゼロとなる。また、参照電圧Ｖrefの値がゼロでないときには、近似関数exp(f(x))の値が１より大きくなり、無印加時電流Ｉ_Ｒ１，Ｉ_Ｃ１に乗算される係数[exp(f(x))−１]の値がゼロより大きくなるため、差分電流ΔＩ_Ｒ１(Ｖdc)，ΔＩ_Ｃ１(Ｖdc)が参照電圧Ｖrefに対応して必ず算出されてコンデンサの特性がシミュレートされ、コンデンサの定性理解に供される。

また、第１の実施の形態によるコンデンサのシミュレーション方法およびコンデンサの非線形等価回路モデルによれば、近似関数exp(f(x))が奇数次のべき乗項を含まない多項式形式の偶関数で表現されるため、従来のコンデンサのシミュレーションとは異なり、直流バイアスの符号が逆になった場合や直流バイアスの値が突発的に変化した場合などにも、特性変化率ｋ_Ｒ１(Ｖdc)，ｋ_Ｃ１(Ｖdc)は近似関数exp(f(x))によって適切に近似される。

また、第１の実施の形態によるコンデンサのシミュレーション方法およびコンデンサの非線形等価回路モデルによれば、参照電圧Ｖrefまたは無印加時電流Ｉ_Ｒ１，Ｉ_Ｃ１を等価回路モデルと別に設定して計算する方式とは異なり、等価回路モデル内の回路両端に生じる瞬時電圧、または等価回路モデル内の受動回路素子Ｒ_１，Ｃ_１の入力端もしくは出力端に生じる瞬時電流が参照されて、差分電流ΔＩ_Ｒ１(Ｖdc)，ΔＩ_Ｃ１(Ｖdc)の演算が行われる。このため、差分電流ΔＩ_Ｒ１(Ｖdc)，ΔＩ_Ｃ１(Ｖdc)の演算に用いられる参照電圧Ｖrefおよび無印加時電流Ｉ_Ｒ１，Ｉ_Ｃ１は時間遅れなく参照され、コンデンサの非線形特性についての過渡応答解析を高速に高精度で行うことが可能となる。

図４（ａ）は、本発明の第２の実施の形態におけるコンデンサの直流電圧無印加時の受動等価回路モデル、同図（ｂ）は、第２の実施の形態における直流電圧印加時のコンデンサの非線形等価回路モデルを示す回路図である。なお、同図において図１と同一または相当する部分には同一符号を付してその説明は省略する。

第２の実施の形態における受動等価回路モデルおよび非線形等価回路モデルでは、抵抗素子Ｒ_１と容量素子Ｃ_１との直列回路に直列に、容量素子Ｃ_２と抵抗素子Ｒ_２との並列回路が接続されて、シミュレーションの対象とするコンデンサの等価回路を表す受動回路素子が構成されている。

容量素子Ｃ_２と抵抗素子Ｒ_２との並列回路は、非線形等価モデル化すると、図５（ａ）に示すように、抵抗素子Ｒ_２については、回路定数が直流印加電圧Ｖdcに依存しない抵抗素子Ｒ_２に並列に、ビヘイビア電流源モデルとして扱われる制御電流源Ｂ_Ｒが接続される。また、容量素子Ｃ_２については、回路定数が直流印加電圧Ｖdcに依存しない容量素子Ｃ_２に並列にビヘイビア電流源モデルとして扱われる制御電流源Ｂ_Ｃが接続される。しかし、並列に接続されるこれら制御電流源Ｂ_ＲおよびＢ_Ｃは、図５（ｂ）に示すように、１つの制御電流源（Ｂ_Ｒ＋Ｂ_Ｃ）として表すことができる。ただし、制御電流源（Ｂ_Ｒ＋Ｂ_Ｃ）の発生する電流値は、各制御電流源Ｂ_ＣおよびＢ_Ｒが発生する電流の値の和となる。

従って、図４（ｂ）に示す非線形等価回路モデルでは、抵抗素子Ｒ_１に並列に制御電流源Ｂ_Ｒ１、容量素子Ｃ_１に並列に制御電流源Ｂ_Ｃ１、容量素子Ｃ_２と抵抗素子Ｒ_２との並列回路に並列に、図５（ｂ）に示す制御電流源（Ｂ_Ｒ＋Ｂ_Ｃ）に相当する制御電流源Ｂ_Ｃ２が接続されている。すなわち、この第２の実施の形態における各等価回路モデルでは、制御電流源Ｂ_Ｒ１および受動回路素子Ｒ_１の並列回路と、制御電流源Ｂ_Ｃ１および受動回路素子Ｃ_１の並列回路と、制御電流源Ｂ_Ｃ２および受動回路素子Ｃ_２，Ｒ_２の並列回路とが複数直列に接続されている。また、容量素子Ｃ_２の入力端には電圧源モデルＶ_Ｃ２、抵抗素子Ｒ_２の入力端には電圧源モデルＶ_Ｒ２が接続されて、容量素子Ｃ_２および抵抗素子Ｒ_２に流れる電流が電圧源モデルＶ_Ｃ２およびＶ_Ｒ２によって計測される。

この第２の実施の形態においても、図４（ａ）に示す受動等価回路モデルでは、直流電圧Ｖdcが印加していない交流電圧Ｖacが、電圧源モデルＶ_０によって等価回路の両端に電圧Ｖとして印加される。また、同図（ｂ）に示す非線形等価回路モデルでは、直流電圧Ｖdcが印加した交流電圧Ｖacが、電圧源モデルＶ_１によって等価回路の両端に電圧Ｖとして印加される。ここで、各等価回路における容量素子Ｃ_１の回路定数は８[μＦ]、抵抗素子Ｒ_１の回路定数は２．５[ｍΩ]、容量素子Ｃ_２の回路定数は１[ｍＦ]、抵抗素子Ｒ_２の回路定数は１０[ｍΩ]、直流印加電圧Ｖdcは６[Ｖ]に設定した。

図４（ｂ）に示す制御電流源Ｂ_Ｒ１は、抵抗素子Ｒ_１の特性変化率ｋ_Ｒ１(Ｖdc)および無印加時電流Ｉ_Ｒ１に基づいて、第１の実施形態のシミュレーション方法と同様に、抵抗素子Ｒ_１の印加時電流Ｉ_Ｒ１(Ｖdc)と無印加時電流Ｉ_Ｒ１との差分電流ΔＩ_Ｒ１(Ｖdc)を発生させる。また、制御電流源Ｂ_Ｃ１は、容量素子Ｃ_１の特性変化率ｋ_Ｃ１(Ｖdc)および無印加時電流Ｉ_Ｃ１に基づいて、制御電流源Ｂ_Ｒ１と同様に、容量素子Ｃ_１の印加時電流Ｉ_Ｃ１(Ｖdc)と無印加時電流Ｉ_Ｃ１との差分電流ΔＩ_Ｃ１(Ｖdc)を発生させる。また、制御電流源Ｂ_Ｃ２は、容量素子Ｃ_２の特性変化率ｋ_Ｃ２(Ｖdc)および抵抗素子Ｒ_２の特性変化率ｋ_Ｒ２(Ｖdc)、並びに、容量素子Ｃ_２の無印加時電流Ｉ_Ｃ２および抵抗素子Ｒ_２の無印加時電流Ｉ_Ｒ２に基づいて、容量素子Ｃ_２についての印加時電流Ｉ_Ｃ１(Ｖdc)と無印加時電流Ｉ_Ｃ１との差分電流ΔＩ_Ｃ１(Ｖdc)と、抵抗素子Ｒ_２についての印加時電流Ｉ_Ｒ２(Ｖdc)と無印加時電流Ｉ_Ｒ２との差分電流ΔＩ_Ｒ１(Ｖdc)とを併せた差分電流ΔＩ_Ｃ１(Ｖdc)＋ΔＩ_Ｒ１(Ｖdc)を発生させる。

図６（ａ）は、図４（ｂ）に示す非線形等価回路モデルから算出されるコンデンサのインピーダンスＺの大きさＭａｇＺについての周波数特性と、図４（ａ）に示す受動等価回路モデルから算出される同大きさＭａｇＺについての周波数特性とを、比較して示すグラフである。同グラフの横軸は周波数[Ｈｚ]、縦軸は大きさＭａｇＺの値[Ω]を表す。また、実線で示す周波数特性Ｃ１は非線形等価回路モデルから算出される、直流印加電圧Ｖdc＝６[Ｖ]のときの特性、破線で示す周波数特性Ｃ０は受動等価回路モデルから算出される、直流印加電圧Ｖdc＝０のときの特性である。

図６（ｂ）は、図４（ｂ）に示す非線形等価回路モデルから算出されるコンデンサの等価直列抵抗ＥＳＲの周波数特性と、図４（ａ）に示す受動等価回路モデルから算出される同等価直列抵抗ＥＳＲについての周波数特性とを、比較して示すグラフである。同グラフの横軸は周波数[Ｈｚ]、縦軸は等価直列抵抗ＥＳＲの値[Ω]を表す。また、実線で示す周波数特性Ｄ１は非線形等価回路モデルから算出される、直流印加電圧Ｖdc＝６[Ｖ]のときの特性、破線で示す周波数特性Ｄ０は受動等価回路モデルから算出される、直流印加電圧Ｖdc＝０のときの特性である。

図６（ａ）のグラフに示されるように、インピーダンスの大きさＭａｇＺについての周波数特性Ｃ１も、図３（ａ）のグラフに示される周波数特性Ａ１と同様に、直流電圧Ｖdcの印加によってＭａｇＺの値が直流電圧無印加時の周波数特性Ｃ０より大きくなっており、直流電圧Ｖdcの印加によってインピーダンスが変動している。また、高周波域では、図６（ｂ）に示す等価直列抵抗ＥＳＲの特性に漸近する。また、図６（ｂ）のグラフに示されるように、等価直列抵抗ＥＳＲについての周波数特性Ｄ１も、図３（ｂ）のグラフに示される周波数特性Ｂ１と同様に、直流電圧Ｖdcの印加によってＥＳＲの値が直流電圧無印加時の周波数特性Ｄ０より大きくなっており、直流電圧Ｖdcの印加によって変動している。しかし、周波数特性Ｄ１およびＤ０ともに、図３（ｂ）のグラフに示される周波数特性Ｂ１およびＢ０と異なり、等価直列抵抗ＥＳＲの値が周波数によって変化し、周波数特性を持つ値となっている。

このような第２の実施の形態によるコンデンサのシミュレーション方法およびコンデンサの非線形等価回路モデルによれば、制御電流源Ｂ_Ｒ１および受動回路素子Ｒ_１の簡単な並列回路と、制御電流源Ｂ_Ｃ１および受動回路素子Ｃ_１の簡単な並列回路と、制御電流源Ｂ_Ｃ２および受動回路素子Ｃ_２，Ｒ_２の簡単な並列回路とが単に直列に接続され、その直列数が増えることで、等価回路モデルのシミュレート精度が高められる。このため、シミュレート精度の高い等価回路モデルを、規則的で見通しよく構成することができる。また、制御電流源Ｂ_Ｒ１、Ｂ_Ｃ１、Ｂ_Ｃ２と受動回路素子Ｒ_１、Ｃ_１、Ｃ_２，Ｒ_２とによる各並列回路を複数直列に接続するだけなので、系統的な演算手続によって受動回路素子Ｒ_１、Ｃ_１、Ｃ_２，Ｒ_２の直流電圧印加時の特性をシミュレートすることができる。

なお、上記の第１の実施の形による受動等価回路モデルでは、図７（ａ）に示すように、容量素子Ｃの単体の回路によって受動回路素子を構成することで、直流電圧Ｖdcが印加されない場合の受動回路素子の特性を表した。そして、非線形等価回路モデルでは、図７（ｄ）に示すように、この回路に並列に制御電流源Ｂを接続することで、受動回路素子の直流電圧Ｖdcが印加される場合の特性をシミュレートした。また、上記の第２の実施の形態による受動等価回路モデルでは、図７（ｂ）に示すように、容量素子Ｃと抵抗素子Ｒとの並列回路によっても受動回路素子を構成することで、直流電圧Ｖdcが印加されない場合の受動回路素子の特性を表した。そして、非線形等価回路モデルでは、図７（ｅ）に示すように、この並列回路に並列に制御電流源Ｂを接続することで、受動回路素子の直流電圧Ｖdcが印加される場合の特性をシミュレートした。

さらに、図７（ｃ）に示す受動等価回路モデルのように、誘導素子Ｌと容量素子Ｃと抵抗素子Ｒとの並列回路で受動回路素子を構成するようにしてもよい。この場合、非線形等価回路モデルは、図７（ｆ）に示すように、この並列回路に並列に制御電流源Ｂが接続されて構成される。このように受動回路素子を構成しても、直流電圧Ｖdcが印加されない場合の受動回路素子の特性は、誘導素子Ｌと容量素子Ｃと抵抗素子Ｒとの並列回路によって表される。そして、この回路に並列に制御電流源Ｂが接続されることで、コンデンサに直流電圧Ｖdcが印加される場合の特性がシミュレートされる。

また、上記の第１の実施形態並びに第２の実施形態では、全ての受動回路素子Ｃ_１，Ｒ_１、Ｃ_２，Ｒ_２が、直流電圧Ｖdcの印加によってその特性が変化する場合について、説明した。しかし、図８（ａ）に示すインピーダンス展開型受動等価回路モデルのように、直流電圧Ｖdcの印加によって特性が変化する受動回路素子Ｒ，Ｌ，Ｃに加えて、コンデンサへの直流電圧Ｖdcの印加によって特性が変化しない受動回路素子ｒ，ｌを含んで、等価回路が構成されるようにしてもよい。直流電圧Ｖdcの印加によって特性が変化するかしないかは、実際の測定値の分析によって決定される。この場合、図８（ｂ）に示すインピーダンス展開型非線形等価回路モデルでは、直流電圧Ｖdcの印加によって特性が変化する受動回路素子Ｒ，Ｌ，Ｃに並列に制御電流源Ｂが接続され、受動回路素子ｒ，ｌに制御電流源Ｂが接続されないことで、コンデンサに直流電圧Ｖdcが印加される場合の特性がシミュレートされる。また、ここでは、等価回路モデルをインピーダンス展開型に構成した場合について説明しているが、受動回路素子を並列に接続してアドミッタンス展開型に各等価回路モデルを構成することも可能である。

図９は、図８（ｂ）に示す非線形等価回路モデルを一般形にして表した、本発明の第３の実施の形態における非線形等価回路モデルの回路図である。なお、図９において図８（ｂ）と同一または相当する部分には同一符号を付してその説明は省略する。

図９に示す一般形の非線形等価回路モデルを使用したコンデンサのシミュレーション方法では、まず、コンデンサの等価回路を受動回路素子Ｒｘ，Ｌｘ，Ｃｘおよびｒｘ，ｌｘ，ｃｘを使って表し、同図に示すような非線形等価回路モデルを構築する。ここで、各回路素子に付される添え字ｘ（ｘ＝１，２，３，…）は、図の左端の回路素子を１番として、左端から右端へ向けて順番に同図のように付される素子位置１，２，３，…を表す。以下、各回路素子について同様に添え字ｘを付す。また、容量素子ｃｘは、抵抗素子ｒおよび誘導素子ｌと同様、インダクタへの直流電圧Ｖdcの重畳によって特性が変化しない受動回路素子である。次に、図１におけるものと同様な電圧源モデルＶ_１により、交流電圧Ｖacに直流電圧Ｖdcが印加した電圧Ｖ（＝Ｖdc＋Ｖac）を、非線形等価回路モデルの両端の端子ｎ１およびｎ２間に印加する。

電圧Ｖは、ＳＴＥＰ１において、受動回路素子Ｒｘ，Ｃｘ，Ｌｘに並列に接続される制御電流源Ｂｘにより、直流電圧Ｖdcが参照電圧Ｖrefとして参照される（Ｖref＝Ｖdc）。なお、ここでは、電圧Ｖのうちの直流電圧Ｖdcだけを参照しているが、直流電圧Ｖdcと交流電圧Ｖacとの双方を参照するようにしてもよい。次に、ＳＴＥＰ２において、直流電圧Ｖdcの印加時における受動回路素子Ｒｘ，Ｃｘ，Ｌｘの特性変化率ｋ_ＲＸ(Ｖref)，ｋ_ＣＸ(Ｖref)，ｋ_ＬＸ(Ｖref)を、測定値を基に、参照電圧Ｖrefを変数ｘとする近似関数exp(f(x))として表す。そして、制御電流源Ｂ_Ｘにより、近似関数exp(f(x))が用いられて、参照電圧Ｖrefに対応して特性変化率ｋ_ＲＸ(Ｖref)，ｋ_ＣＸ(Ｖref)，ｋ_ＬＸ(Ｖref)が算出される。

次に、ＳＴＥＰ３において、制御電流源Ｂ_Ｘにより、受動回路素子Ｒｘ，Ｃｘ，Ｌｘに流れる無印加時電流Ｉ_ＲＸ，Ｉ_ＣＸ，Ｉ_ＬＸが参照される。そして、特性変化率ｋ_ＲＸ(Ｖref)，ｋ_ＣＸ(Ｖref)，ｋ_ＬＸ(Ｖref)および無印加時電流Ｉ_ＲＸ，Ｉ_ＣＸ，Ｉ_ＬＸに基づいて、制御電流源Ｂ_Ｘにより、印加時電流Ｉ_ＲＸ(Ｖref)，Ｉ_ＣＸ(Ｖref)，Ｉ_ＬＸ(Ｖref)と無印加時電流Ｉ_ＲＸ，Ｉ_ＣＸ，Ｉ_ＬＸとの差分電流ΔＩ_ＲＸ(Ｖref)，ΔＩ_ＣＸ(Ｖref)，ΔＩ_ＬＸ(Ｖref)が補正電流として発生させられ、無印加時電流Ｉ_ＲＸ，Ｉ_ＣＸ，Ｉ_ＬＸに差分電流ΔＩ_ＲＸ(Ｖref)，ΔＩ_ＣＸ(Ｖref)，ΔＩ_ＬＸ(Ｖref)が併流させられることで、コンデンサの直流電圧Ｖdcの印加時の非線形特性がシミュレートされる。

このような第３の実施の形態によるコンデンサのシミュレーションによれば、直流電圧Ｖdcの印加によって特性が変化する受動回路素子Ｒｘ，Ｃｘ，Ｌｘと、直流電圧Ｖdcの印加によって特性が変化しない受動回路素子ｒｘ，ｃｘ，ｌｘとが組み合わされて等価回路モデルが構成されるので、コンデンサの非線形特性のシミュレーションをさらに高精度化すると共に、シミュレーションの周波数帯域を広帯域化することが可能となる。

図１０は、直流電圧Ｖdcの印加によって特性が変化しない受動回路素子ｒｘ，ｃｘ，ｌｘが組み合わされて構成された、本発明の第４の実施の形態におけるコンデンサのインピーダンス展開型等価回路モデルの具体的な一例を示す回路図である。なお、図１０において図９と同一または相当する部分には同一符号を付してその説明は省略する。

このインピーダンス展開型等価回路モデルにおける素子位置１〜３の回路素子は、主共振回路を構成し、シミュレートするコンデンサの主共振周波数付近の周波数特性を実際の特性にフィッティングする。また、素子位置４〜８の回路素子は、容量性回路を構成し、シミュレートするコンデンサの容量性帯域の周波数特性を実際の特性にフィッティングする。また、素子位置９，１０の回路素子は副共振回路Ａ、素子位置１４，１５の回路素子は副共振回路Ｂを構成し、シミュレートするコンデンサの副共振周波数付近の周波数特性を実際の特性にフィッティングする。また、素子位置１１〜１３の回路素子は、誘導性回路を構成し、シミュレートするコンデンサの誘導性帯域の周波数特性を実際の特性にフィッティングする。

以下の表１は、直流電圧Ｖdcの無印加時（Ｖdc＝０[Ｖ]）のときに導出される、図１０に示す各回路素子の回路定数を示している。

上記表の左欄のＮｏは回路素子の上記素子位置１〜１５を示し、各素子位置に対応して、抵抗素子Ｒ，ｒ[ｍΩ]、容量素子Ｃ，ｃ[μＦ]および誘導素子Ｌ，ｌ[ｐＨ]の各回路定数が示されている。また、各回路定数は１０の累乗値で表されており、例えば５．８１Ｅ＋０３は５．８１×１０^３(＝５．８１×１０００)を表し、「Ｅ」は底の１０、＋０３は指数を表す。また、１．０１Ｅ−０５は同様に１．０１×１０^-５(＝１．０１×０．００００１)を表す。

図１１は、直流電圧Ｖdcの無印加時（Ｖdc＝０[Ｖ]）におけるコンデンサのインピーダンスＺの大きさＭａｇＺと等価直列抵抗ＥＳＲとについて、図１０に示した等価回路モデルを使って計算した計算値を、測定値と比較して示すグラフである。同グラフの横軸は周波数[Ｈｚ]、縦軸は大きさＭａｇＺおよび等価直列抵抗ＥＳＲの値[Ω]を表す。ここで、目盛りには上記の１０の累乗値が振ってある。また、大きさＭａｇＺの測定値は実線の特性線ｅ０、計算値は破線の特性線Ｅ０で示され、等価直列抵抗ＥＳＲの測定値は実線の特性線ｆ０、計算値は破線の特性線Ｆ０で示される。

同グラフに示されるように、インピーダンスＺの大きさＭａｇＺおよび等価直列抵抗ＥＳＲの計算値は、共に、１００[Ｈｚ]〜８．５[ＧＨｚ]の全帯域にわたって良好に測定値にフィッテイングしていることが確認された。

また、上述の特性のフィッティングでは、コンデンサへの直流電圧Ｖdcの印加によって変化する受動回路素子Ｒ，Ｃ，Ｌの特性値の変化率を、コンデンサの誘電体の材質に起因する特性変化率を基にして、無次元係数として表す。そして、所定の適用ルールに従い、上記の主共振回路、副共振回路Ａ，Ｂ、容量性回路または誘導性回路を構成する回路素子の特性値を、コンデンサへ印加される直流電圧Ｖdcに応じた値に補正する。

本実施の形態では、無次元係数は、コンデンサへ直流電圧Ｖdcを印加して測定されるコンデンサの容量変化率Ｋcおよび誘電損失変化率Ｋdの一方または双方を基に、コンデンサへの直流電圧Ｖdcの印加に応じて特性値が変化する容量素子Ｃまたは抵抗素子Ｒについて表される。適用ルールは、コンデンサへ印加される直流電圧Ｖdcに応じて特性値が変化する回路素子の、直流電圧Ｖdcの無印加時における特性値に、無次元係数を掛け合わすルールである。特性値の補正は、直流電圧Ｖdcに応じて容量値が変化する容量素子Ｃの直流電圧無印加時における容量値、および直流印加電圧Ｖdcに応じて抵抗値が変化する抵抗素子Ｒの直流電圧無印加時における抵抗値に、適用ルールに従って無次元係数を掛け合わせて行われる。適用ルールにおけるこの無次元係数の掛け合わせは、容量変化率Ｋcおよび誘電損失変化率Ｋdの一方または双方の組合わせを、次のように乗算、除算することで、行われる。

図１２はこの適用ルールを示す回路図である。なお、図１２において図１０と同一または相当する部分には同一符号を付してその説明は省略する。

直流電圧Ｖdcの印加による容量素子Ｃ_２の特性変化は、誘電体の材質に起因して起きる。従って、素子位置１〜３の回路素子で構成される主共振回路では、直流電圧Ｖdcの印加電圧に応じて容量素子Ｃ_２の特性を補正する必要がある。この補正における適用ルールには、容量素子Ｃ_２の容量値に容量変化率Ｋcを乗算する適用ルールＩを採用する。この場合、無次元係数は容量変化率Ｋcに設定されることとなる。

容量性回路を構成する素子位置４〜８の回路素子は全て、直流電圧Ｖdcの印加により、誘電体の材質に起因して特性が変化する。従って、容量性回路では、直流電圧Ｖdcの印加電圧に応じて抵抗素子Ｒ_４〜Ｒ_８および容量素子Ｃ_４〜Ｃ_８の全回路素子の特性を補正する必要がある。

容量素子Ｃ_４〜Ｃ_８の補正における無次元係数の適用ルールには、容量素子Ｃ_４〜Ｃ_８の容量値に容量変化率Ｋcを乗算し、誘電損失変化率Ｋdで除算する適用ルールIIを採用する。この場合、無次元係数は容量変化率Ｋcを誘電損失変化率Ｋdで除算した値に設定されることとなる。また、抵抗素子Ｒ_４〜Ｒ_８の補正における無次元係数の適用ルールには、抵抗素子Ｒ_４〜Ｒ_８の抵抗値に誘電損失変化率Ｋdを乗算し、容量変化率Ｋcで除算する適用ルールIIIを採用する。この場合、無次元係数は誘電損失変化率Ｋdを容量変化率Ｋcで除算した値に設定されることとなる。

素子位置９，１０の副共振回路Ａの回路素子のうち、直流電圧Ｖdcの印加により誘電体の材質に起因して特性が変化する要素は、容量素子Ｃ_９，Ｃ_１０である。従って、副共振回路Ａでは、直流電圧Ｖdcの印加電圧に応じて容量素子Ｃ_９，Ｃ_１０の特性を補正する必要がある。この補正における無次元係数の適用ルールには、容量素子Ｃ_９，Ｃ_１０の容量値に容量変化率Ｋcを乗算する適用ルールIVを採用する。この場合、無次元係数は容量変化率Ｋcに設定されることとなる。

素子位置１１〜１３の誘導性回路を構成する各回路素子は、誘電体の材質に起因する特性変化が起きない。従って、誘導性回路では、直流電圧Ｖdcの印加電圧に応じて特性を補正する必要はない。素子位置１４，１５の副共振回路Ｂを構成する各回路素子も、誘電体の材質に起因する特性変化が起きない。従って、副共振回路Ｂでも、直流電圧Ｖdcの印加電圧に応じて特性を補正する必要はない。

また、実際の測定値から、コンデンサの等価直列容量ＥＳＣを次の（１５）式により、誘電損失tanδを次の（１６）式により計算した。ここで、Ｉｍ（Ｚ）はコンデンサのインピーダンスＺの虚部、Ｒｅ（Ｚ）はインピーダンスＺの実部を表す。

以下の表２は、この計算によって求めたコンデンサの等価直列容量Ｃ[μＦ]、誘電損失tanδ[％]、並びにこれらの直流電圧無印加時の特性値に対する容量変化率Ｋc[−]および誘電損失変化率Ｋd[−]を示す。容量変化率Ｋcおよび誘電損失変化率Ｋdは次元を持たない無次元量であり、[−]はこれらが無次元であることを表している。

図１３（ａ）は、上記の表２に示されるコンデンサの容量変化率ｋｃを、コンデンサへ印加される直流電圧Ｖdcの近似関数として表したグラフである。また、同図（ｂ）は、表２に示されるコンデンサの誘電損失変化率Ｋdを、コンデンサへ印加される直流電圧Ｖdcの近似関数として表したグラフである。

これらグラフの横軸は直流印加電圧(DC bias voltage)[Ｖ]、縦軸は、それぞれ容量変化率Ｋc[−]および誘電損失変化率Ｋd[−]である。また、容量変化率Ｋcの近似関数は特性線Ｈ１、誘電損失変化率Ｋdの近似関数は特性線Ｈ２で表される。また、四角印のプロットｐは、表２に示される容量変化率Ｋcおよび誘電損失変化率Ｋdの測定値である。各プロットｐを結ぶ特性線Ｈ１，Ｈ２は、この測定値を基に導出され、本実施の形態では前述のように指数関数exp(f(x))で表され、奇数次のべき乗項を含まない多項式形式の偶関数で表現される。

容量変化率Ｋcおよび誘電損失変化率Ｋdがこのように近似関数として表されることにより、表２のように離散して測定される測定値間の、連続した任意の直流電圧Ｖdcについての容量変化率Ｋcおよび誘電損失変化率Ｋdを補完することが出来、連続した任意の直流電圧Ｖdcについての無次元係数を求めることが出来る。従って、このように求めた無次元係数を適用ルールに従って上述のように抵抗素子Ｒおよび容量素子Ｃの特性値に掛け合わせて特性変化率ｋ_Ｒ１(Ｖdc)，ｋ_Ｃ１(Ｖdc)を算出することで、連続した任意の直流電圧Ｖdcに対する等価回路モデルの導出と、導出したこの等価回路モデルを用いた、本実施の形態による差分電流ΔＩ_ＲＸ(Ｖref)，ΔＩ_ＣＸ(Ｖref)，ΔＩ_ＬＸ(Ｖref)を併流させる回路特性の計算が可能になる。

図１４（ａ）は、図１０に示す等価回路モデルに基づく、第４の実施の形態におけるコンデンサの直流電圧無印加時の受動等価回路モデル、図１４（ｂ）は、同じく図１２に示す等価回路モデルに基づく、第４の実施の形態における直流電圧印加時のコンデンサの非線形等価回路モデルを示す回路図である。なお、同図において図４および図１０と同一または相当する部分には同一符号を付してその説明は省略する。

第４の実施の形態における図１４（ａ）に示す受動等価回路モデルでは、図１０では示されていた制御電流源Ｂ_Ｘが除かれている。また、図１４（ｂ）に非線形等価回路モデルでは、抵抗素子Ｒ_Ｘ，容量素子Ｃ_Ｘ，誘導素子Ｌ_Ｘを流れる電流を計測する電圧源モデルＶ_ＲＸ、Ｖ_ＣＸ，Ｖ_ＬＸが電流計として設けられている。この第４の実施の形態における各等価回路モデルでも、図４に示される第２の実施の形態における各等価回路モデルと同様、制御電流源Ｂ_Ｘと受動回路素子Ｒ_Ｘ，Ｃ_Ｘ，Ｌ_Ｘとの並列回路が複数直列に接続されている。また、図９に示される第３の実施の形態における等価回路モデルと同様、コンデンサへの直流電圧Ｖdcの印加によって特性が変化しない受動回路素子ｒ_Ｘ，ｃ_Ｘ，ｌ_Ｘを含んで構成されている。

この第４の実施の形態においても、図１４（ａ）に示す受動等価回路モデルでは、直流電圧Ｖdcが印加していない交流電圧Ｖacが、電圧源モデルＶ_０によって回路に電圧Ｖとして印加される。また、同図（ｂ）に示す非線形等価回路モデルでは、直流電圧Ｖdcが印加した交流電圧Ｖacが、電圧源モデルＶ_１によって回路に電圧Ｖとして印加される。

図１４に示す等価回路モデルを用いたコンデンサのシミュレーションにおいても、まず、図１３（ａ）に示す特性線Ｈ１を表す近似関数exp(f(x))を使い、参照電圧Ｖrefに対応して受動回路素子Ｒ_Ｘ，Ｃ_Ｘ，Ｌ_Ｘの特性変化率ｋ_ＲＸ(Ｖdc)，ｋ_ＣＸ(Ｖdc)，ｋ_ＬＸ(Ｖdc)を算出する。制御電流源Ｂ_Ｘは、算出した特性変化率ｋ_ＲＸ(Ｖdc)，ｋ_ＣＸ(Ｖdc)，ｋ_ＬＸ(Ｖdc)および無印加時電流Ｉ_ＲＸ，Ｉ_ＣＸ，Ｉ_ＬＸに基づいて、第１の実施形態のシミュレーション方法と同様にして、印加時電流Ｉ_ＲＸ(Ｖdc)，Ｉ_ＣＸ(Ｖdc)，Ｉ_ＬＸ(Ｖdc)と無印加時電流Ｉ_ＲＸ，Ｉ_ＣＸ，Ｉ_ＬＸとの差分電流ΔＩ_ＲＸ(Ｖdc)，ΔＩ_ＣＸ(Ｖdc)，ΔＩ_ＬＸ(Ｖdc)を発生させる。

図１５（ａ）は、定格電圧の６．３[Ｖ]の直流電圧Ｖdcを印加した時におけるコンデンサのインピーダンスＺの大きさＭａｇＺについて、図１４に示した等価回路モデルを使って計算した計算値を測定値と比較して示すグラフである。同グラフの横軸は周波数[Ｈｚ]、縦軸は大きさＭａｇＺの値[Ω]を表す。大きさＭａｇＺの、直流印加電圧Ｖdが０[Ｖ]の測定値は実線の特性線Ｅ０、直流印加電圧Ｖdcが６．３[Ｖ]の測定値は実線の特性線Ｅ１で示される。また、大きさＭａｇＺの、直流印加電圧Ｖdcが６．３[Ｖ]の計算値は破線の特性線Ｅ２で示される。

図１５（ｂ）は、同じく６．３[Ｖ]の直流電圧Ｖdcを印加した時におけるコンデンサの等価直列抵抗ＥＳＲについて、図１４に示した等価回路モデルを使って計算した計算値を測定値と比較して示すグラフである。同グラフの横軸は周波数[Ｈｚ]、縦軸は等価直列抵抗ＥＳＲの値[Ω]を表す。等価直列抵抗ＥＳＲの、直流印加電圧Ｖdcが０[Ｖ]の測定値は実線の特性線Ｆ０、直流印加電圧Ｖdcが６．３[Ｖ]の測定値は実線の特性線Ｆ１で示される。また、等価直列抵抗ＥＳＲの、直流印加電圧Ｖdcが６．３[Ｖ]の計算値は破線の特性線Ｆ２で示される。

同各グラフに示されるように、インピーダンスＺの大きさＭａｇＺおよび等価直列抵抗ＥＳＲの、各直流電圧Ｖdcが印加されたときの計算値は、共に、１００[Ｈｚ]〜８．５[ＧＨｚ]の全帯域にわたり、各測定値に良好に一致している。

すなわち、第４の実施形態における図１４に示すコンデンサの等価回路モデルを用いたシミュレーションによっても、直流印加電圧Ｖdcに応じて変動するコンデンサの特性を広帯域かつ高精度に再現してシミュレートすることが可能であり、第１から第３の各実施形態と同様な作用効果が奏される。

なお、上記の各実施の形態では、各等価回路モデルをリニアテクノロジー社が提供するＬＴspiceに適用した場合について説明したが、適用する回路シミュレータはこれに限定されることはない。例えば、Applied WaＩe Reserch社(AWR社)が提供するMicrowaＩe Officeや、Agilent Technologies Inc.社(Agilent社) が提供するADSといった他の回路回路シミュレータにも同様に適用することができる。

上述した各実施の形態のコンデンサのシミュレーション方法およびコンデンサの非線形等価回路モデルは、次のコンピュータプログラムを用いることで、簡単に利用することが出来る。このコンピュータプログラムは、第１のステップと第２のステップと第３のステップとを備える。第１のステップでは、電子回路設計に用いるコンデンサの種類を入力する。第２のステップでは、コンデンサへ印加する電圧Ｖまたはコンデンサへ流す電流Ｉを入力する。第３のステップでは、第２のステップで入力された電圧Ｖまたは電流Ｉによってコンデンサにかかる電圧Ｖを計測して、参照電圧Ｖrefを参照する。そして、第１のステップで入力された種類のコンデンサについて予め用意された近似関数exp(f(x))により参照電圧Ｖrefに対応して算出される特性変化率ｋ_ＲＸ(Ｖref)，ｋ_ＣＸ(Ｖref)，ｋ_ＬＸ(Ｖref)、および無印加時電流Ｉ_ＲＸ，Ｉ_ＣＸ，Ｉ_ＬＸに基づき、制御電流源Ｂ_Ｘによって参照電圧Ｖrefに応じて差分電流ΔＩ_ＲＸ(Ｖref)，ΔＩ_ＣＸ(Ｖref)，ΔＩ_ＬＸ(Ｖref)を発生させ、無印加時電流Ｉ_ＲＸ，Ｉ_ＣＸ，Ｉ_ＬＸに併流させることで、コンデンサの直流電圧印加時の非線形特性をシミュレートする。コンピュータプログラムは、これら各ステップを実行する演算処理により、上記の各実施形態のコンデンサのシミュレーション方法を実施する、または上記の各実施形態のコンデンサの非線形等価回路モデルを機能させる。

本構成によれば、シミュレートするコンデンサの種類、およびコンデンサへ印加する電圧Ｖまたはコンデンサへ流す電流Ｉの値が、コンピュータプログラムに入力されることで、入力された種類のコンデンサの非線形特性は、コンピュータプログラムにより、受動回路素子Ｒｘ，Ｃｘ，Ｌｘの無印加時電流Ｉ_ＲＸ，Ｉ_ＣＸ，Ｉ_ＬＸに差分電流ΔＩ_ＲＸ(Ｖref)，ΔＩ_ＣＸ(Ｖref)，ΔＩ_ＬＸ(Ｖref)が併流させられて自動的にシミュレーションされる。このため、本シミュレーション方法または本非線形等価回路モデルの利用者は、シミュレートするコンデンサの種類、およびコンデンサへ印加する電圧Ｖまたはコンデンサへ流す電流Ｉの値をコンピュータプログラムに入力するだけで、的確な回路シミュレーションを高精度かつ簡単に行える。この結果、回路シミュレートに関する専門知識を持たない一般の利用者であっても、コンデンサを用いた電子回路の的確な回路シミュレーションを高精度かつ簡単に行える。

また、上記のコンピュータプログラムは、上記コンピュータプログラムを備える電子部品製造メーカなどのサーバにインターネット網を介してアクセスすることで、インターネット網に接続されたパーソナルコンピュータ等の端末から使用することが出来る。本構成によれば、利用者は、インターネット網に接続された端末から上記コンピュータプログラムを備えるサーバにアクセスすることで、上記コンピュータプログラムを容易に使用することが出来る。このため、上記の各実施の形態によるコンデンサのシミュレーション方法およびコンデンサの非線形等価回路モデルを多数の利用者に提供することが可能になる。

Ｒｘ，Ｌｘ，Ｃｘ，ｒ，ｌ，ｃ…受動回路素子
Ｂ_Ｘ…制御電流源（ビヘイビア電流源モデル）
Ｖ_ｎＸ，Ｖ_ＲＸ，Ｖ_ＣＸ…電圧源モデル（電流計）
Ｖ_０，Ｖ_１…電圧源モデル
Ｒ_Ｘ１(Ｖdc)…可変抵抗素子
Ｃ_Ｘ１(Ｖdc)…可変誘導素子

Claims (10)

1. 受動回路素子を使って表されたコンデンサの等価回路を用いてコンデンサの特性をコンピュータによってシミュレートするコンデンサのシミュレーション方法において、
   コンピュータは、
   コンデンサにかかる電圧を参照し、
   参照した電圧に対応して、実測値を基に電圧を変数として表された近似関数により算出される直流電圧印加時における前記受動回路素子の特性変化率、および直流電圧無印加時の前記受動回路素子の特性に応じて直流電圧印加時に前記受動回路素子に流れる無印加時電流に基づいて、直流電圧の印加によって特性が変化する前記受動回路素子に並列に接続される制御電流源により、直流電圧印加時の前記受動回路素子の特性に応じて直流電圧印加時に前記受動回路素子に流れる印加時電流と前記無印加時電流との差分電流を発生させ、前記無印加時電流に前記差分電流を併流させることで、
   コンデンサの直流電圧印加時の非線形特性をシミュレートすることを特徴とするコンデンサのシミュレーション方法。
2. コンデンサの等価回路を表す受動回路素子と、
   前記コンデンサにかかる電圧を参照する電圧参照手段と、
   直流電圧印加時における前記受動回路素子の特性変化率を実測値を基に電圧を変数として表す近似関数により、前記電圧参照手段によって参照される電圧に対応して算出される前記特性変化率、および直流電圧無印加時の前記受動回路素子の特性に応じて直流電圧印加時に前記受動回路素子に流れる無印加時電流に基づいて、直流電圧印加時の前記受動回路素子の特性に応じて直流電圧印加時に前記受動回路素子に流れる印加時電流と前記無印加時電流との差分電流を発生させる、直流電圧の印加によって特性が変化する前記受動回路素子に並列に接続される制御電流源と
   を備えて構成されるコンデンサの非線形等価回路モデルを用いてコンデンサの直流電圧印加時の非線形特性をコンピュータによってシミュレートするコンデンサのシミュレーション方法。
3. 前記差分電流は、前記差分電流をΔＩ、前記無印加時電流をＩ_０、前記近似関数を参照する電圧ｘを変数とする関数exp(f(x))とした場合に、次式
   ΔＩ＝Ｉ_０×[exp(f(x))−１]
   の関数形で与えられる
   ことを特徴とする請求項１または請求項２に記載のコンデンサのシミュレーション方法。
4. 前記近似関数は奇数次のべき乗項を含まない多項式形式の偶関数で与えられることを特徴とする請求項１から請求項３のいずれか１項に記載のコンデンサのシミュレーション方法。
5. 前記コンデンサにかかる電圧は前記等価回路の両端で参照され、前記無印加時電流は前記受動回路素子の入力端または出力端で参照されることを特徴とする請求項１から請求項４のいずれか１項に記載のコンデンサのシミュレーション方法。
6. 前記制御電流源に並列に接続される前記受動回路素子は、容量素子単体、または容量素子と抵抗素子との並列回路、または容量素子と抵抗素子と誘導素子との並列回路であることを特徴とする請求項１から請求項５のいずれか１項に記載のコンデンサのシミュレーション方法。
7. 前記制御電流源と前記受動回路素子との並列回路が複数直列に接続されることを特徴とする請求項１から請求項６のいずれか１項に記載のコンデンサのシミュレーション方法。
8. 前記等価回路は、直流電圧の印加によって特性が変化しない前記受動回路素子を含んで構成されることを特徴とする請求項１から請求項７のいずれか１項に記載のコンデンサのシミュレーション方法。
9. コンデンサの等価回路を表す受動回路素子、
   前記コンデンサにかかる電圧を参照する電圧参照手段、
   直流電圧印加時における前記受動回路素子の特性変化率を実測値を基に電圧を変数として表す近似関数により、前記電圧参照手段によって参照される電圧に対応して算出される前記特性変化率、および直流電圧無印加時の前記受動回路素子の特性に応じて直流電圧印加時に前記受動回路素子に流れる無印加時電流に基づいて、直流電圧印加時の前記受動回路素子の特性に応じて直流電圧印加時に前記受動回路素子に流れる印加時電流と前記無印加時電流との差分電流を発生させる、直流電圧の印加によって特性が変化する前記受動回路素子に並列に接続される制御電流源
   を備えて構成されるコンデンサの非線形等価回路モデルを格納する格納手段と、
   前記コンデンサの種類を入力する第１のステップ、
   前記コンデンサへ印加する電圧または前記コンデンサへ流す電流を入力する第２のステップ、
   前記第２のステップで入力された電圧または電流によって前記コンデンサにかかる電圧を参照し、前記第１のステップで入力された種類の前記コンデンサについて予め用意された前記近似関数により参照電圧に対応して算出される前記特性変化率、および前記無印加時電流に基づいて、前記制御電流源によって前記差分電流を発生させ、前記無印加時電流に前記差分電流を併流させることで、前記コンデンサの直流電圧印加時の非線形特性をシミュレートする第３のステップ
   を備えるコンピュータプログラムをコンピュータに実行させて、請求項１から請求項８のいずれか１項に記載のコンデンサのシミュレーション方法を実行する実行手段と
   から構成されるコンデンサのシミュレーション装置。
10. 前記格納手段および前記コンピュータプログラムを備えるサーバにインターネット網を介してアクセスし、インターネット網に接続された端末から前記実行手段に前記コンピュータプログラムを実行させる請求項９に記載のコンデンサのシミュレーション装置の使用方法。

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